Kutatási tevékenységünk

Pálfy Péter Pál a véges csoportok elméletével foglalkozik. Főbb kutatási területei a következők.

1. Előáll-e minden véges háló egy alkalmas véges csoport részcsoporthálójának intervallumaként? Ez a kérdés egy általános algebrákkal kapcsolatos reprezentációs problémából származik (P. Pudlák), és sok esetben nehéz, a jelenlegi módszerekkel megtámadhatatlan, véges egyszerű csoportokkal kapcsolatos problémához vezet. (R. Baddeley, A. Lucchini). A kérdéskör nemrégiben a funkcionálanalízissel is kapcsolatba került (M. Aschbacher, Y. Watatani).
2. CI-csoportok: ezek azok a (Babai László által bevezetett) csoportok, amelyekre teljesül, hogy két Cayley-gráfjuk akkor és csak akkor izomorf, ha a megfelelő generátorrendszerek egymásba átvihetők a csoport egy automorfizmusával. Az egyik fő nyitott kérdés a következő: mely elemi Abel-féle p-csoportok lesznek CI-csoportok?
3. Az unitrianguláris felső háromszögmátrixok csoportjának osztályszám-problémáját általánosítsuk félcsoport-algebrák egységcsoportjaira.

Csörgő Piroska elsősorban a véges csoportok elméletéből származó loop-okkal foglalkozik. A feloldhatóság és a nilpotencia kérdéseit (mint a nilpotenciaosztály és a belső eltolások Abel-csoportjának kapcsolata) M. Niemenmaa finn, valamint A. Drápal és T. Kepka cseh matematikusokkal közösen vizsgálták. A speciális loop-osztályokról, például Buchsteiner-loopokról, LCC-loopokról, illetve a Moufang-loopok nukleáris és centrális nilpotenciájáról szóló eredményeinek társszerzői M. Kinyon (USA) és A. Drápal.

A tanszék további kutatási területe a szuperfeloldható csoportok, p-csoportok és bizonyos beágyazási tulajdonságoknak eleget tevő csoportosztályok struktúrájának vizsgálata. Az itt született eredmények szerzői Csörgő Piroska, részben a következő társzserzőkkel: M. Asaad, M. Ramadan, M. Ezzat, A. A. Heliel (Egyiptom) és M. Herzog (Izrael), valamint Hermann Péter, aki Corrádi Keresztéllyel, Héthelyi Lászlóval és Horváth Erzsébettel közösen dolgozik.

A magyarországi gyűrűelméleti kutatások kezdetei olyan jelentős személyek nevéhez köthetők, mint Szele Tibor, Kertész Andor vagy Rédei László. A később induló generációból kiemelhetjük Wiegandt Richárd és Szász Ferenc nevét, akik főleg radikálelmélettel foglalkoztak, valamint az általános gyűrűelméletben Márki László és Pham Ngoc Ánh munkásságát. Az 1990-es években néhány további téma is meghonosodott Magyarországon: Debrecenben Bódi Béla és tanítványai a csoportalgebrák elméletében, Miskolcon Szigeti Jenő és társai a polinomazonosságok elméletében dolgoznak, s új irányt jelentett a reprezentációelmélet, ezen belül a kváziöröklődő algebrák kutatásának meghonosodása is.
A kváziöröklődő algebrák fogalmát 1987-ben vezette be Ed Cline, Brian Parshall és Leonard Scott a Lie-algebrák és az algebrai csoportok terén végzett kutatásaik során. Az első alapvető eredmények Vlastimil Dlab és Claus Michael Ringel nevéhez köthetők, majd ezekbe a kutatásokba kapcsolódott be tanszékünkről Ágoston István, valamint a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetemről Lukács Erzsébet és a Debreceni Egyetemről Lakatos Piroska. Ágoston, Dlab és Lukács közös munkáikban a kváziöröklődő algebrák szerkezeti és homologikus tulajdonságait vizsgálták, majd ezeket a vizsgálatokat kiterjesztették az ún. standardul rétegezett algebrákra is, melyek szintén megjelennek a Lie-algebrák reprezentációelméletében, és a kváizöröklődő algebrák természetes általánosításai. Ágoston, Dieter Happel, Lukács és Luise Unger a rétegezett algebrák finitisztikus dimenziójával kapcsolatban értek el eredményeket. A kváziöröklődő algebrákkal foglalkozó külföldi kutatók közül megemlítjük még Karin Erdmann, Steffen König, Volodymyr Mazorchuk és Changchang Xi nevét. Magyarországon a gyűrűelméletnek a reprezentációelmélethez közeli területeit kutatják Domokos Mátyás (aki korábban tanszékünkön is dolgozott), valamint Pham Ngoc Ánh.

Fried Ervin nyugalmazott Professzor Emeritusunk Schmidt Tamással és Csákány Béla szegedi professzorral együtt az 1960-as években nemzetközileg elismert, aktív résztvevője volt az általános algebrai kutatásoknak, ők teremtették meg a magyar univerzális algebra iskolát. A téma ismertebb magyar szakértői Szegeden Szendrei Ágnes, Czédli Gábor, Zádori László és tanítványaik, Budapesten Márki László, Miskolcon Radeleczki Sándor. A tanszékünkön jelenleg félállásban dolgozó Pálfy Péter Pál eredményeit felhasználva Ralph McKenzie más matematikusokkal közösen kifejlesztette a kongruenciaszelídítés mély elméletét. Ennek alkalmazása és továbbfejlesztése Kiss Emil elsődleges kutatási területe. A terület a Constraint Satisfaction Problem révén az algoritmuselmélettel is kapcsolatba került. Az általános algebrák elméletének és az algoritmuselméletnek a határterületein dolgozik Szabó Csaba, az algebrai és kombinatorikai módszereket ötvözve, aki sok tehetséges tanítványát is bevezette a kutatásokba. Ez a magyarországi kutatói csoport munkakapcsolatban áll több nemzetközi általános algebrai centrummal is, amit McKenzie-n kívül többek között George Gratzer, Ralph Freese, Matthew Valeriote, Keith Kearnes, Rudolf Wille neve fémjelez.

A magyar számelmélet iskola - melyet Erdős Pál és Turán Pál alapítottak - világviszonylatban is vezető szerepet játszik a kombinatorikus, additív és multiplikatív számelmélet bizonyos területein (pl. sorozatok, valószínűségi számelmélet, Turán hatványösszeg módszere, prímszámelmélet).
Turán Pál (1910-1976) egyetemi tanár, az MTA rendes tagja, az Algebra és Számelmélet Tanszék megalapítója, akinek tudományos munkássága a számelméleten (elemi és analitikus számelmélet, diophantoszi approximáció) és algebrán (statisztikus csoportelmélet, numerikus algebra) kívül olyan területek fejlődésére is döntő hatással volt, mint a gráfelmélet, komplex függvénytan vagy az approximációelmélet. Sok tanítványa, kutatótársa megtalálható az ELTE különböző tanszékein, a Debreceni Egyetemen, a Rényi Intézetben és külföldi egyetemeken.
A tanszék vezetését Turán Páltól Surányi János egyetemi tanár vette át, aki a matematikai logika, számelmélet, algebra, kombinatorika és gráfelmélet, approximációelmélet területén egyaránt dolgozott.
A számelméleti kutatások jelenlegi irányítója Sárközy András egyetemi tanár, az MTA rendes tagja.

Sárközy András: kombinatorikus, additív és multiplikatív számelmélet, számítógépes számelmélet, pszeudovéletlenség, kriptográfiai alkalmazások.

Károlyi Gyula: diszkrepanciaelmélet (eloszlások irregularitásai), additív kombinatorika.

Szalay Mihály: statisztikus partícióelmélet, statisztikus csoportelmélet.

Freud Róbert, P. Kovács Katalin: additív számelméleti függvények karakterizációja, Sidon-problémakör, kombinatorikus számelmélet.

Gyarmati Katalin: kombinatorikus számelmélet, diophantoszi problémák, pszeudovéletlenség.

Zábrádi Gergely: algebrai számelmélet.

Sárközy András és Gyarmati Katalin egyik fő kutatási területe pszeudovéletlen struktúrák vizsgálata. E témát Christian Mauduit, Pascal Hubert, Joël Rivat, Julien Cassaigne, Sébastien Ferenczi (mind Marseille) és Cécile Dartyge (Nancy) francia, valamint Cameron L. Stewart (Waterloo) kanadai, Harald Niederreiter (Singapore) osztrák, Arne Winterhof (Linz) német és Pethő Attila (Debrecen) matematikusokkal közösen kutatták.
Sárközy András és Szalay Mihály Jean-Louis Nicolas (Lyon) és Cécile Dartyge (Nancy) francia matematikusokkal közösen foglalkozott partíciók vizsgálatával.
Károlyi Gyula fő érdeklődési területe kombinatorikus számelméleti problémák algebrai megközelítése. Legnevezetesebb eredménye az Erdős-Heilbronn sejtéshez kapcsolódóan az extremális sorozatok struktúráját leíró tétele.
Az algebrai számelmélet kutatása Magyarországon olyan neves tudósok munkájának eredményeként indult el a 20. század elején, mint Kőnig Gyula, Kürschák József, Bauer Mihály és Rédei László. Azóta az 1970-es években alakult egy nagyon erős iskola Debrecenben Győry Kálmán vezetésével. A budapesti algebrai számelméleti kutatás Szamuely Tamás munkája révén újult meg az ezredforduló táján.
Az algebrai számelmélet egyik központi kérdése olyan aritmetikai objektumoknak a vizsgálata, mint például számtestek osztálycsoportja vagy elliptikus görbék racionális pontjai. Erre egy (rendkívül hatásos) módszer az Iwasawa-elmélet, melynek saját kutatása és rengeteg tanítványa révén egyik legismertebb kutatója John Coates, aki Zábrádi Gergely doktori témavezetője is volt.
Zábrádi Gergely posztdoktorként a Münsteri Egyetemen Peter Schneiderrel dolgozott, aki (többek között) a p-adikus csoportok p-adikus reprezentációelméletének neves kutatója és egyik megalkotója. Ezen reprezentációknak a Galois-reprezentációkhoz fűződő - talán egyre kevésbé misztikus - kapcsolatának megértése az algebrai számelmélet egy új, gyorsan fejlődő ága.

A számelméleti kutatócsoportnak intenzív nemzetközi kapcsolatai vannak, pl. a francia, német és észak-amerikai kapcsolatok különösen aktívak Sárközy András munkássága révén a kombinatorikus, additív és multiplikatív számelmélet kutatóival, köztük olyan vezető kutatókkal, mint Etienne Fouvry, Jean-Louis Nicolas, Rudolf F. Ahlswede, Helmut Maier, Cameron L. Stewart, Peter D.T.A. Elliott, Henryk Iwaniec, Melvyn B. Nathanson, Andrew M. Odlyzko, Carl Pomerance.
A tanszék jelenlegi oktatóinak külföldi társszerzői listája igen hosszú, pl. az utóbbi 20 évben 14 országból voltak társszerzőink.

a lap tetejére