A BSc-képzés szakdolgozati témái, 2010/11

ELTE TTK, Matematikai Intézet, Analízis Tanszék

BSc szakdolgozati témát a matematika valamely témaköréből vagy annak tanításából lehet választani. A szakdolgozat célja, hogy a hallgató elmélyedjen egy területen és azt a témavezető segítségével feldolgozza. Tipikus szakdolgozati téma lehet egy könyvfejezet megértése feladatok segítségével (matematikus és tanár szakirányon), vagy egy alkalmazott matematikai feladat megismerése, megoldása (elemző és alkalmazott matematikai szakirányon). Önálló matematikai eredményeket nem várunk el, önálló munkát azonban igen. Ez nemcsak az irodalom feldolgozását és az anyag megértését jelenti, hanem például önálló feladatmegoldást, feladatok, programok vagy népszerősítő anyagok készítését is. A dolgozat elvárt terjedelme körülbelül 30 oldal.

A szakdolgozat elkészítésében a hallgatót témavezető(k) segíti(k). A témavezető(ke)t a hallgató az egyetem oktatói és tudományos kutatói közül választhatja ki. Az illetékes tanszékvezető jóváhagyásával külső szakembert is fel lehet kérni témavezetőnek.

Szakdolgozati témát (legkésőbb) a (tervezett) záróvizsga-időszak kezdete előtt 6 hónappal kell választani, tehát az ajánlott tanterv szerint haladóknak az 5. félévben november 15-ig. A tanszékek minden év október 15-ig meghirdetik az aktuális szakdolgozati témákat.

A szakdolgozatot témavezetői véleménnyel együtt két bekötött példányban legkésőbb a záróvizsga előtt 3 héttel kell leadni a Matematikai Intézet tanulmányi titkárságán. Még a leadás előtt elektronikus formában, pdf formátumban is fel kell tölteni az Intézet honlapján leírt módon (lásd ITT).

A szakdolgozatot a záróvizsgán, a szakdolgozat teljes témájáról folytatott interaktív beszélgetés keretében kell megvédeni. A szakdolgozatra és a védésre a hallgató külön érdemjegyet kap, ezeket a záróvizsga-bizottság állapítja meg. A védés céljai közé tartozik annak ellenőrzése, hogy a hallgató megfelelő mélységben érti-e a szakdolgozat témájához tartozó alapfogalmakat.

1. Mérték, topológia és fraktál geometria
 Ajánlott szakirányok:tanári, elemző
 Témavezető:Buczolich Zoltán
 A téma rövid leírása:G. A. Edgar Measure Topology and Fractal Geometry című könyvéből egy vagy több fejezet anyagának feldolgozása esetleg kitekintés friss folyóiratcikkekben leírt eredményekre. Témakörök: Példák fraktálokra, metrikák, topologikus dimenzió, önhasonlóság, mértékelmélet, Hausdorff dimenzió. A szakdolgozónak az új fogalmak megértésén és feldolgozásán kívül feladatmegoldásra, animációk/illusztrációk készítésére, megfelelő informatikai háttér esetén programírásra és példák kidolgozására van lehetősége.
 Ajánlott irodalom:Edgar, Gerald A. Measure, topology, and fractal geometry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1990.
Previte, Michelle; Yang, Sean A novel way to generate fractals. Amer. Math. Monthly 115 (2008), no. 1, 13-32.
Schleicher, Dierk Hausdorff dimension, its properties, and its surprises. Amer. Math. Monthly 114 (2007), no. 6, 509-528.
Devaney, Robert L. The Mandelbrot set, the Farey tree, and the Fibonacci sequence. Amer. Math. Monthly 106 (1999), no. 4, 289-302.
2. Dinamikai rendszerek, szimbolikus dinamika, periodikus pontok, bifurkációk, kaotikus viselkedés
 Ajánlott szakirányok:elemző, tanári, alk. mat
 Témavezető:Buczolich Zoltán
 A téma rövid leírása:A címben megjelölt témakörbe eső könyvfejezetek, folyóiratcikkek feldolgozása, feladatmegoldás, animációk készítése esetleg programozási/prezentációs feladat megoldása vár a szakdolgozóra. A témakör különösen ajánlott az elemző Dinamikai rendszerek előadás hallgatóinak, de mások is megpróbálkozhatnak vele.
 Ajánlott irodalom:B. Hasselblatt, A. Katok: A first course in dynamics. With a panorama of recent developments. Cambridge University Press, New York, 2003.
A. Katok, B.Hasselblatt: Introduction to the modern theory of dynamical systems. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 54. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
Robert L. Devaney: An introduction to chaotic dynamical systems. Second edition. Addison Wesley Studies in Nonlinearity. Addison Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989.
D. Lind, B. Marcus, An introduction to symbolic dynamics and coding. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
Sobottka, Marcelo; de Oliveira, Luiz P. L. Periodicity and predictability in chaotic systems. Amer. Math. Monthly 113 (2006), no. 5, 415-424.,
Barrio Blaya, Alejo; Jiménez López, Víctor: Is trivial dynamics that trivial? Amer. Math. Monthly 113 (2006), no. 2, 109-133.
Bryk, John; Silva, Cesar E.: Measurable dynamics of simple $p$-adic polynomials. Amer. Math. Monthly 112 (2005), no. 3, 212-232.
Ingram, William T.; Mahavier, William S.: Interesting dynamics and inverse limits in a family of one-dimensional maps. Amer. Math. Monthly 111 (2004), no. 3, 198-215.
3. Térkitöltő görbék
 Ajánlott szakirányok:tanári, elemző
 Témavezető:Buczolich Zoltán
 A téma rövid leírása:Különböző sík és térkitöltő görbék (pl. Peano, Hilbert, Sierpinski, Lebesgue görbék) tulajdonságainak vizsgálata. A szakdolgozó az elméleti háttér feldolgozása után feladat/problémammegoldással, animációk számítógép programok készítésével foglalkozhat.
 Ajánlott irodalom:Sagan, Hans, Space filling curves. Universitext. Springer Verlag, New York, 1994.
Holbrook, John A. R. Stochastic independence and space-filling curves. Amer. Math. Monthly 88 (1981), no. 6, 426-432.
4. Sharkovszkij tétele
 Ajánlott szakirányok:matematikus esetleg tanári, elemző
 Témavezető:Buczolich Zoltán
 A téma rövid leírása:Az egydimenziós dinamikus rendszerek elméletének egyik legérdekesebb tétele bizonyos periodikus pontok létezéséből, bizonyos további periodikus pontok létezésére következtet. A szakdolgozó feladata a tétel többféle bizonyításainak, történeti hátterének, kapcsolódó témaköreinek feldolgozása/megértése bemutatása lesz.
 Ajánlott irodalom:Li, Tien Yien; Yorke, James A. Period three implies chaos. Amer. Math. Monthly 82 (1975), no. 10, 985-992.
Du, Bau-Sen A simple proof of Sharkovsky's theorem revisited. Amer. Math. Monthly 114 (2007), no. 2, 152-155.
Barrio Blaya, Alejo; Jiménez López, Víctor Is trivial dynamics that trivial? Amer. Math. Monthly 113 (2006), no. 2, 109-133.
Szuca, Piotr Sharkovskii's theorem holds for some discontinuous functions. Fund. Math. 179 (2003), no. 1, 27-41.
B. Hasselblatt, A. Katok: A first course in dynamics. With a panorama of recent developments. Cambridge University Press, New York, 2003.
A. Katok, B.Hasselblatt: Introduction to the modern theory of dynamical systems. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 54. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
Robert L. Devaney: An introduction to chaotic dynamical systems. Second edition. Addison Wesley Studies in Nonlinearity. Addison Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989.
5. Birkhoff Ergodtétele
 Ajánlott szakirányok:matematikus, illetve analízis, fizika iránt érdeklődő tanári
 Témavezető:Buczolich Zoltán
 A téma rövid leírása:Birkhoff ergodtétele statisztikus fizikához kapcsolódó matematikai állítás. Azt mondja ki, hogy bizonyos (úgynevezett ergodikus) rendszerekben majdnem minden részecske állapotainak időbeli átlagai a teljes rendszer részecskéi állapotainak térátlagához tartanak. A tétel különböző bizonyításainak megértése, feldolgozása, valamint feladatmegoldás lesz a szakdolgozó feladata.
 Ajánlott irodalom:Keane, Michael; Petersen, Karl Easy and nearly simultaneous proofs of the ergodic theorem and maximal ergodic theorem. Dynamics & stochastics, 248-251, IMS Lecture Notes Monogr. Ser., 48, Inst. Math. Statist., Beachwood, OH, 2006
Walters, Peter An introduction to ergodic theory. Graduate Texts in Mathematics, 79. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982.
Petersen, Karl Ergodic theory. Corrected reprint of the 1983 original. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 2. Cambridge University Press, Cambridge, 1989.
Rosenblatt, Joseph M.; Wierdl, Máté Pointwise ergodic theorems via harmonic analysis. Ergodic theory and its connections with harmonic analysis (Alexandria, 1993), 3-151, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 205, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995.
Katznelson, Yitzhak; Weiss, Benjamin A simple proof of some ergodic theorems. Israel J. Math. 42 (1982), no. 4, 291-296.
Jones, Roger L. New proofs for the maximal ergodic theorem and the Hardy-Littlewood maximal theorem. Proc. Amer. Math. Soc. 87 (1983), no. 4, 681-684.
Buczolich, Zoltán Ergodic averages and free $Z\sp2$ actions. Fund. Math. 160 (1999), no. 3, 247-254.
Krengel, Ulrich Ergodic theorems. With a supplement by Antoine Brunel. de Gruyter Studies in Mathematics, 6. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1985. viii+357 pp.
6. Mikro-tangens halmazok
 Ajánlott szakirányok:matematikus, alkalmazott matematikus
 Témavezető:Buczolich Zoltán
 A téma rövid leírása:Irreguláris, fraktál tulajdonságú függvények lokális vizsgálatára szolgál a mikro-tangens halmaz. A témavezetőtől származó definíció és első eredményeket tartalmazó cikk viszonylag új. Számos kérdés vethető fel. A kutatás iránt érdeklődő szakdolgozó szakdolgozatát sikeres problémamegoldások esetén később esetleg TDK dolgozatban, illetve önálló kutatómunkában is folytathatja.
 Ajánlott irodalom:Z. Buczolich, Micro Tangent Sets of Continuous Functions, Math. Bohem. 128 (2003), no. 2, 147-167.
Z. Buczolich and Cs. Ráti, Micro Tangent sets of typical continuous functions, Atti. Semin. Mat. Fis. Univ. Modena Reggio Emilia, 54 (2006), 135-136
7. Tipikus függvények, mértékek irregularitási tulajdonságai
 Ajánlott szakirányok:matematikus
 Témavezető:Buczolich Zoltán
 A téma rövid leírása:A tipikus folytonos függvények Hölder spektrumát és momentum összegeit vizsgáló cikk és annak előzményeit tartalmazó cikkek anyagának megértése és átgondolása után esetleg önálló kutatómunkába is kezdhet, mivel számos további kérdés vethető fel. A kutatás iránt érdeklődő szakdolgozó szakdolgozatát sikeres problémamegoldások esetén később esetleg TDK dolgozatban, illetve önálló kutatómunkában is folytathatja.
 Ajánlott irodalom:Z. Buczolich and J. Nagy, Hölder spectrum of typical monotone continuous functions, Real Analysis Exchange, 26 (2000/01), no. 1, 133-156.
J. Genyuk, A typical measure typically has no local dimension, Real Anal. Exchange, 23(2), 1997/8, 525-538.
T. Zamfirescu, Most monotone functions are singular, Amer. Math. Monthly, 88 (1) (1981), 47-49.
T. Zamfirescu, Typical monotone continuous functions, Arch. Math., 42 (1984), 151-156.
8. A Haight-Weizsäcker probléma
 Ajánlott szakirányok:matematikus
 Témavezető:Buczolich Zoltán
 A téma rövid leírása:Alapprobléma: Legyen $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ mérhető függvény. Igaz-e, hogy $\sum\limits_{n=1}^{\infty}f(nx)$ vagy majdnem mindenütt konvergens, vagy majdnem mindenütt divergens? Az alapprobléma nem csak H. v. Weizsäcker diplomamunkájában, hanem J. A. Haight egy cikkében is felmerült. Az alapprobléma megoldásával kapcsolatos eredmények feldolgozásán kívül számos megoldatlan probléma is van a területen így az igényes, kutatás iránt érdeklődő szakdolgozó a szakirodalom (legalábbis) jelentős részének feldolgozása után önálló kutatómunkába is kezdhet.
 Ajánlott irodalom:Z. Buczolich, J-P. Kahane and R.D. Mauldin, On series of translates of positive functions, Acta Math. Hungar., 93(3) (2001), 171-188.
Z. Buczolich and D. Mauldin, On the convergence of $\sum\limits_{n=1}^{\infty}f(nx)$ for measurable functions, Mathematika, 131 (2001), no. 4, 785-798.
Z. Buczolich and D. Mauldin, On series of translates of positive functions II., Indag. Mathem., N. S., 12 (3), (2001), 317-327.
N.J. Fine and A.R. Hyde, Solution of a problem proposed by K.L. Chung, Amer. Math. Monthly 64 (1957), 119-120.
J.A. Haight, A linear set of infinite measure with no two points having integral ratio, Mathematika 17 (1970), 133-138.
J.A. Haight, A set of infinite measure whose ratio set does not contain a given sequence, Mathematika 22 (1975), 195-201.
C. G. Lekkerkerker, Lattice points in unbounded point sets, I. Indag. Math., 20 (1958) 197-205.
H. v. Weizsäcker, Zum Konvergenzverhalten der Reihe $\sum\limits_{n=1}^{\infty}f(nt)$ für $\lambda$-messbare Funktionen $f:R^+\toR^+$, Diplomarbeit, Universität München, 1970.
9. Számítógépes programok alkalmazása az analízisben
 Ajánlott szakirányok:elemző, tanári
 Témavezető:Gémes Margit
 A téma rövid leírása:Az analízis valamelyik fejezetének (pl. többváltozós függvények vagy differenciálegyenletek) számítógépes feldolgozása: szemléltető, a megértést segítő ábrák készítése, programok írása bizonyos feladatok eredményeinek megsejtésére.
 Ajánlott irodalom:Laczkovich Miklós - T. Sós Vera: Analízis I. és II.
10. Számítógépes programok alkalmazása a középiskolában
 Ajánlott szakirányok:tanári
 Témavezető:Gémes Margit
 A téma rövid leírása:A középiskolai matematika tananyag valamelyik fejezetének (pl. függvények ábrázolása) számítógépes feldolgozása: olyan számítógépes feladatsorok készítése, amelyek segítenek a tanulóknak a tananyag megértésében és megtanulásában.
 Ajánlott irodalom:Laczkovich Miklós - T. Sós Vera: Analízis I. és II.
11. Analízis feladatok a KÖMAL-ban
 Ajánlott szakirányok:tanári
 Témavezető:Gémes Margit
 A téma rövid leírása:Analízis témájú KÖMAL feladatok összegyűjtése, rendszerezése, megoldása, és egy emelt szintű érettségire vagy versenyre felkészítő analízis példatár összeállítása ezek alapján.
 Ajánlott irodalom:KÖMAL
12. Divergens sorok
 Ajánlott szakirányok:tanári
 Témavezető:Gémes Margit
 A téma rövid leírása:Hogyan látta Euler a divergens sorokat? Hogyan rendelhetünk divergens sorokhoz mégis határértéket? Ez az eljárás a függvénysorok elméletének igen fontos része. Erről írt könyvet G. H. Hardy. A szakdolgozat témája egy fejezet feldolgozása Hardy: Divergent Series könyvéből.
 Ajánlott irodalom:Laczkovich Miklós - T. Sós Vera: Analízis I. és II., Hardy: Divergent Series
13. Folytonos függvények közelítése polinomokkal
 Ajánlott szakirányok:tanári
 Témavezető:Gémes Margit
 A téma rövid leírása:A legegyszerűbb folytonos függvények a polinomok. Weierstrass approximációs tétele kimondja, hogy egy korlátos, zárt intervallumon folytonos függvény tetszés szerinti pontossággal egyenletesen megközelíthető polinomokkal. A tételre több bizonyítás született, a cél ezek feldolgozása.
 Ajánlott irodalom:Laczkovich Miklós - T. Sós Vera: Analízis I. és II., Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok
14. Komplex függvénytan.
 Ajánlott szakirányok:matematikus, alkalmazott matematikus
 Témavezető:Halász Gábor
 A téma rövid leírása:A III.-éves, bevezető komplex függvénytani előadáshoz kapcsolódó témák, a konkrét témaválasztás egyéni megbeszélés alapján. Kezdve a tanult fogalmak, tételek szemléltetésével, jobb elsajátításával (ehhez például alkalmas összenyomhatatlan folyadékok örvénymentes síkbeli áramlásának a leírása) választhatók a tanult anyagon túlmutató témák is (például egész függvények Wiman-Valiron elmélete, ami arról szól, hogy egész függvények nagy körökön - egyre nagyobb fokú - polinomok mintájára viselkednek).
 Ajánlott irodalom:
15. Fourier integrál.
 Ajánlott szakirányok:matematikus
 Témavezető:Halász Gábor
 A téma rövid leírása:A III.-éves Fourier-integrál előadáshoz kapcsolódó témák, a konkrét témaválasztás egyéni megbeszélés alapján. Elsősorban a Fourier analízis valószínűségszámítási és számelméleti alkalmazásai (az előadásban tárgyaltakon kívül például általános, minden további feltétel nélküli úgynevezett koncentrációbecslések arra, hogy független valószínűségi változók összegei milyen valószínűséggel eshetnek egy intervallumba vagy additív és multiplikatív számelméleti függvények eloszlása), de választhatók tisztán analitikus jellegű problémák is (mint trigonometrikus Fourier-sorok konvergenciája).
 Ajánlott irodalom:
16. Hatványösszegmódszer.
 Ajánlott szakirányok:matematikus
 Témavezető:Halász Gábor
 A téma rövid leírása:Hatványösszegen véges sok komplex szám valamilyen kitevős hatványának az összegét értjük. Turán Pál nevezetes hatványösszegmódszere különböző kitevőkhöz tartozó ilyen összegekre vonatkozó általános egyenlőtlenségeken alapul. Vannak ezek között elemien (de nem triviálisan!) bizonyíthatóak, másokhoz a komplex függvénytan eszközei (vonalintegrál, reziduumtétel) kellenek. A kapott egyenlőtlenségek pedig az analízisben és az analitikus számelméletben szerteágazóan alkalmazhatóak.
 Ajánlott irodalom:P. Turán: On a New Method of Analysis and Its Applications.
17. Polinomokra és trigonometrikus összegekre vonatkozó egyenlőtlenségek és alkalmazásaik.
 Ajánlott szakirányok:matematikus
 Témavezető:Kós Géza
 A téma rövid leírása: Olyan becslések vizsgálata, amelyben különböző, az együtthatókra vagy a gyökökre vonatkozó megkötések mellett a polinom vagy deriváltja értékeinek vagy gyökeinek eloszlását vizsgáljuk. (Pl. ha egy $n$-edfokú polinomnak minden együtthatója $1$, $0$ vagy $-1$, akkor legfeljebb hányszoros gyöke lehet az $1$?)
 Ajánlott irodalom:Peter Borwein és Erdélyi Tamás cikkei
18. Kombinatorikus Nullhelytétel multihalmazokra
 Ajánlott szakirányok:matematikus
 Témavezető:Kós Géza
 A téma rövid leírása:A polinom-módszer, főleg a Noga Alon féle Combinatorial Nullstellensatz és általánosításai és ezek alkamazásai kombinatorikai problémák megoldásában.
 Ajánlott irodalom:N. Alon: Combinatorial Nullstellensatz
S. Ball, O. Serra: Punctured Combinatorial Nullstellensätze
Kós - Rónyai: Alon's Nullstellensatz for multisets
19. Mi legyen egy függvény $\sqrt{2}$-edik deriváltja?
 Ajánlott szakirányok:matematikus
 Témavezető:Kós Géza
 A téma rövid leírása:Függvényeket pozitív egész számszor szoktunk differenciálni vagy integrálni. Ki lehet-e terjeszteni ezt az operációt nem egész indexekre, vagy éppen komplex számokra?
 Ajánlott irodalom:A Fourier- és Laplace-transzformáltról, továbbá a $\Gamma$-függvényről szóló könyvfejezetek, jegyzetek
20. Olimpiai és középiskolai matematika versenyfeladatok.
 Ajánlott szakirányok:matematikus, tanár
 Témavezető:Kós Géza
 A téma rövid leírása:Olyan feldatok, megoldások és a megoldásokban haszálható módszerek, tételek összegyűjtése és feldolgozása, amelyek középiskolai matematikaversenyekre, első sorban a Nemzetközi Matematikai Diákolimpiára való felkészülést segíthetik.
 Ajánlott irodalom:KöMaL, IMO Shortlist, www.mathlinks.ro
21. Egyetemi matematika versenyfeladatok.
 Ajánlott szakirányok:matematikus, tanár
 Témavezető:Kós Géza
 A téma rövid leírása:Olyan feldatok, megoldások és a megoldásokban haszálható módszerek, tételek összegyűjtése és feldolgozása, amelyek az egyetemi matematikaversenyekre (IMC, Vojtech Jarnik, Seemous) való felkészülést segíthetik.
 Ajánlott irodalom:Az említett versenyek honlapjai, www.mathlinks.ro
22. Valós analízis gyakorló feladatok.
 Ajánlott szakirányok:matematikus, tanár
 Témavezető:Kós Géza
 A téma rövid leírása:Gyakorló feladatok összegyűjtése, mintamegoldások és megoldási tippek írása a Valós Analízis I-IV. gyakorlatokon szerepelt témák valamelyikéhez. (Az elkészült anyagot egy új, internetes feladatgyűjtemény létrehozásához szeretnénk felhasználni, ezért elvárás a megoldások világos, jól érthető megírása.)
 Ajánlott irodalom:Laczkovich Miklós - T. Sós Vera: Analízis I-II.
 Megjegyzés:Sigray Istvánnal közös téma
23. Komplex függvénytan gyakorló feladatok.
 Ajánlott szakirányok:matematikus, tanár
 Témavezető:Kós Géza
 A téma rövid leírása:Gyakorló feladatok összegyűjtése, mintamegoldások és megoldási tippek írása a Komplex Függvénytan gyakorlatokon szerepelt témák valamelyikéhez. (Az elkészült anyagot egy új, internetes feladatgyűjtemény létrehozásához szeretnénk felhasználni, ezért elvárás a megoldások világos, jól érthető megírása.)
 Ajánlott irodalom:Halász Gábor: Bevezető komplex függvénytan
 Megjegyzés:Sigray Istvánnal közös téma
24. Szélsőérték feladatok megoldása elemi módszerekkel.
 Ajánlott szakirányok: elemző, tanári
 Témavezető:Szentmiklóssy Zoltán
 A téma rövid leírása:Az analízisben, geometriában előforduló szélsőérték feladatok jelentős része megoldható elemi úton, azaz deriválás nélkül, csak a közepekre (számtani, mértani, harmonikus, négyzetes, ...) vonatkozó egyenlőtlenségek használatával is.
 Ajánlott irodalom:Analízis példatárak, Laczkovich Miklós - T. Sós Vera: Analízis I. és II.
25. Végtelen sorok konvergencia kritériumai.
 Ajánlott szakirányok: elemző, tanári
 Témavezető:Szentmiklóssy Zoltán
 A téma rövid leírása:Nagyon sok kritérium ismert a sorok konvergenciájára vonatkozólag. Ezek egy része a tananyag része (majoráns, hányados, gyök kritérium, ... ). Az irodalomban ezeken kívül is található számos jól használható kritérium. Ezek ismertetése a dolgozat témája.
 Ajánlott irodalom:a választott témáktól függő szakirodalom
26. A végtelen fogalma a matematikában
 Ajánlott szakirányok:tanári
 Témavezető:Szentmiklóssy Zoltán
 A téma rövid leírása:A véges és végtelen halmazok fogalmát már a gimnáziumban is lehet tanítani. A megszámlálhatóan végtelen halmaz fogalmát sok érdekes példával lehet illusztrálni. A végtelen halmazok megkülönböztetése, osztályozása számosság szerint, megszámlálható és nem megszámlálható halmazok.
 Ajánlott irodalom:a választott témáktól függő szakirodalom
27. Metrikus terek.
 Ajánlott szakirányok:matematikus, alkalmazott matematikus
 Témavezető:Szentmiklóssy Zoltán
 A téma rövid leírása:A metrikus terek fogalma. Példák metrikus terekre. Teljes metrikus terek, teljes burok, kompakt metrikus terek. Metrizációs tételek. Hilbert tér, Banach tér.
 Ajánlott irodalom:Császár Ákos, Engelking, ... magyar ill. angol nyelvű könyvei.
28. Sorozatok konvergenciája topológikus terekben.
 Ajánlott szakirányok:matematikus
 Témavezető:Szentmiklóssy Zoltán
 A téma rövid leírása:Az absztrakt topológikus terek fogalma, szétválasztási axiómák.
$M_1$ terek, Frechet-Uriszon terek. Szekvenciális, radiális, sorozat-kompakt, kompakt terek.
 Ajánlott irodalom:Császár Ákos, Engelking stb. magyar ill. angol nyelvű könyvei
29. Számosság-függvények topológikus terekben
 Ajánlott szakirányok:matematikus
 Témavezető:Szentmiklóssy Zoltán
 A téma rövid leírása:A topológikus terek tulajdonságait jellemezhetjük számosságokkal, például: súly, sürüség, Lindelöf-szám, karakter, stb. Ezek kapcsolatát, a különbségeket illusztráló példákat lehet a dolgozatban leírni.
 Ajánlott irodalom:Engelking, Juhász István stb. angol nyelvű könyvei
30. Gyökkeresés iterációval.
 Ajánlott szakirányok:matematikus, alkalmazott matematikus, matematika tanári, elemző matematikus
 Témavezető:Sigray István
 A téma rövid leírása:Egyik legegyszerűbb módszer egy polinom egy gyökét (vagy általánosabban függvény zérushelyét) Newton iterációval keresni. A szakdolgozatban konkrét példák kiszámolása illetve elemzése történik; mind a valós, mind a komplex Newton iterációt megvizsgáljuk. A dolgozat írójának jártasnak kell lennie Maple vagy más matematikai program alkalmazásában.
 Ajánlott irodalom:J. Milnor: Dynamics in one complex variable,
http://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_method,
31. Ideális áramlás síktartományokon.
 Ajánlott szakirányok:matematikus, alkalmazott matematikus
 Témavezető:Sigray István
 A téma rövid leírása:Vagy számítógép segítségével bemutatott konkrét áramlásokat kell elemezni, vagy pedig konkrétan megadott példák esetén a definiált fizikai mennyiségeket kiszámolni.
 Ajánlott irodalom:Halász Gábor: Kis hidrodinamika, kézirat
32. Valós analízis gyakorló feladatok.
 Ajánlott szakirányok:matematikus, alkalmazott matematikus, matematika tanári
 Témavezető:Sigray István
 A téma rövid leírása:Gyakorló feladatok összegyűjtése, mintamegoldások és megoldási tippek írása a Valós Analízis I-IV. gyakorlatokon szerepelt témák valamelyikéhez. (Az elkészült anyagot egy új, internetes feladatgyűjtemény létrehozásához szeretnénk felhasználni, ezért elvárás a megoldások világos, jól érthető megírása.)
 Ajánlott irodalom:Laczkovich Miklós - T. Sós Vera: Analízis I-II.
 Megjegyzés:Kós Gézával közös téma
33. Komplex függvénytan gyakorló feladatok.
 Ajánlott szakirányok:matematikus, alkalmazott matematikus
 Témavezető:Sigray István
 A téma rövid leírása:Gyakorló feladatok összegyűjtése, mintamegoldások és megoldási tippek írása a Komplex Függvénytan gyakorlatokon szerepelt témák valamelyikéhez. (Az elkészült anyagot egy új, internetes feladatgyűjtemény létrehozásához szeretnénk felhasználni, ezért elvárás a megoldások világos, jól érthető megírása.)
 Ajánlott irodalom:Halász Gábor: Bevezető komplex függvénytan
 Megjegyzés:Kós Gézával közös téma
34. Jordan tétele.
 Ajánlott szakirányok:matematikus, alkalmazott matematikus
 Témavezető:Sigray István
 A téma rövid leírása:Jordan egyszerű zárt görbékről szóló tétele a síktopológia egyik igen fontos tétele, amelyet a komplex függvénytan felépítésében alkalmazhatunk. A feladat a tétel bizonyítása illetve a tétellel összefüggő fogalmak bemutatása)
 Ajánlott irodalom:Halász Gábor: Bevezető komplex függvénytan, Petruska György: Komplex függvénytan
35. Komplex dinamikai problémák
 Ajánlott szakirányok:matematikus, alkalmazott matematikus
 Témavezető:Sigray István
 A téma rövid leírása:Milnor: Dynamics in One Complex Variable: c.jegyzetében levő feladatok feldolgozása, az ábrák leírása, továbbá egyéb komplex dinamikai problémák vizsgálata.
 Ajánlott irodalom:Milnor: Dynamics in One Complex Variable
Halász Gábor: Bevezető komplex függvénytan
Petruska György: Komplex függvénytan
36. Geometriai függvénytan
 Ajánlott szakirányok:matematikus, alkalmazott matematikus
 Témavezető:Szőke Róbert
 A téma rövid leírása:Milyen csoportok jöhetnek elő síktartományok automorfizmuscsoportjaként? Invariáns metrikák a komplex függvénytanban: Bergman, Caratheodory, Kobayashi. Könyvfejezet önálló feldolgozása.
 Ajánlott irodalom:S. Krantz:Complex analysis: the geometric viewpoint
37. Inhomogén Cauchy-Riemann egyenlet
 Ajánlott szakirányok:matematikus, alkalmazott matematikus
 Témavezető:Szőke Róbert
 A téma rövid leírása:A Cauchy integrálformula általánosítása, algebrai alkalmazások: tartományon holomorf függvények gyűrűjére, tartományról sehova sem folytatható analitikus függvények. Könyvfejezet önálló feldolgozása
 Ajánlott irodalom:R. Remmert: Classical topics in complex function theory, J. L. Taylor: Several complex variables with connections to algebraic geometry and Lie groups 1. fejezet
38. Holomorf függvények Hilbert terei
 Ajánlott szakirányok:matematikus, alkalmazott matematikus
 Témavezető:Szőke Róbert
 A téma rövid leírása:Súlyfüggvényre L2 holomorf függvények, Segal-Bargmann transzformált, Heisenberg csoport. Könyvfejezet önálló feldolgozasa.
 Ajánlott irodalom:B. Hall: Holomorphic methods in analyis and mathematical physics
39. Speciális függvények
 Ajánlott szakirányok:mindegyik
 Témavezető:Tóth Árpád
 A téma rövid leírása: Azok a függvények amelyek hasznosak valamely elméleti vagy alkalmazott matematikai feladat megoldásában, általában külön nevet kapnak, és ettől "speciális"-sá válnak. Számos ilyen függvényt, a hatványfüggvényeket, az exponeneciális, a trigonometrikus függvényeket, mindannyian ismerünk, számosat nem. Több speciális függvény szorosan kapcsolódik a Lie csoportok elméletéhez, ami a konkrét alkalmazásokon túlmutató elméleti jelentőséget ad nekik. Maguk az alkalmazások gyakran geometriai, pl. az ellipszis ívhosszát megadó integrál, vagy fizikai eredetűek, pl. egy inga mozgása. (Ez a két probléma ugyanahhoz a függvényosztályhoz vezet.) Mindkét előző feladat egy differenciálegyenletre vezet, ez a leggyakoribb megadási módja a speciális függvényeknek. Milyen kérdések vezetnek speciális függvényekhez? Például elemi függvények nem elemi integráljai; optikai és csillagászati jelenségek matematikai modellezése; elektromágenses mezők; Schrödinger egyenlet; hővezetés egyenlete körszimmetrikus testekben; és még számos más feladat. Egy jó tájékozódási pont, ha a probléma fontos, akkor a megoldás egy speciális függvény :) A szakdolgozat célja egy speciális függvénycsalád bemutatása az elméleti háttéren vagy egy választott alkalmazáson keresztül.
 Ajánlott irodalom:A választott feladattól függően magyar vagy angol nyelvű jegyzetek.
40. Számítógépes kisérletek sorozatokkal
 Ajánlott szakirányok:alkalmazott matematikus, elemző, tanár
 Témavezető:Tóth Árpád
 A téma rövid leírása: Milyen gyorsan konvergál egy sorozat a határértékhez? Mi egy optimális, vagy legalább közel optimális "küszöbindex" egy megadott epszilonhoz? Az elmélet szempontjából ez gyakran háttérbe szorul, elég tudnunk, hogy van egy küszöbindex. Gyakorlati szempontból viszont fontos lehet, hogy a határértéket minél hamarabb megtaláljuk, mondjuk 3 tizedesjegyig. Ha a küszöbindex túl nagy fel tudjuk-e gyorsítani a konvergenciát? (A Moore-törvényt nem használhatjuk :) Ha a sorozat nem konvergens, mutat-e bármilyen törvényszerűséget az eloszlása? A szakdolgozat célja konkrét sorozatok, sorok számítógépes vizsgálata a fenti szempontok alapján.
 Ajánlott irodalom:Választott témától és programozási nyelvtől függően.
41. Aszimptotikus analízis
 Ajánlott szakirányok:alkalmazott matematikus, matematikus
 Témavezető:Tóth Árpád
 A téma rövid leírása: A valós függvények nagy számokon felvett értékei fontos szerepet játszanak mind az elméleti, mind az alkalmazott matematikában. A végtelenben vett viselkedés vizsgálatára a differenciálszámítás elemi módszerei nem elégségesek. Egy határozatlan integrált, vagy egy differenciál-egyenlet megoldását gyakran könnyű Taylor sorával megadni, de ebből még még azt is nehéz megállapítani, hogy az így előállt függvény korlátos-e. Ez a kérdés gyakran mégis megválaszolható, (pl. Stirling formula), és a szakdolgozat célja, hogy a rendelkezésre álló eszközöket konkrét példákon bemutasssa.
 Ajánlott irodalom:Választott témától függő
42. Analitikus számelmélet véges függvénytestekben
 Ajánlott szakirányok:matematikus
 Témavezető:Tóth Árpád
 A téma rövid leírása:Legyen F a mod p maradékosztályok teste, és F[t] az F együtthatós polinomomok gyűrűje. Ez a gyűrű az egész számok gyűrűjéhez sokban hasonlít, hányadostestén nem triviális metrika adható meg. Az analitikus számelmélet számos kérdése egyszerűben tanulmányozható, mert a prímek (irreducibils polinomok) eloszlása egyszerű. A dolgozat célja egy ismert tétel, sejtés átültetése, bizonyítása, a hallgató érdeklődésétől függő mélységben. A témakör jelenleg is aktív kutatási terület.
 Ajánlott irodalom:Rosen: Number theory in function fields
43. Komplex analízis Riemann felületeken
 Ajánlott szakirányok:matematikus
 Témavezető:Tóth Árpád
 A téma rövid leírása:Van-e meromorf függvény egy kompakt Riemann felületen? Megadható-e egy Riemann felület mint egy komplex algebrai görbe. Lehet-e hallani egy Riemann felületet alakját? Milyen eloszlást mutatnak a Laplace-Beltrami operátor sajátértékei? A sajátfüggvényei? A dolgozat célja a modern matematikai kutatások egy fontos ágánal felfedezése ezen kérdések megértésén keresztül.
 Ajánlott irodalom: Választott témától függően angol nyelvű tankönyvek. (pl. Farkas-Kra: Riemann felületek, Miranda: Algebraic curves and Riemann surfaces, és még számos más)