Nyitólap
Címünk
Dolgozóink
Jegyzetek
Oktatás
Preprintek
Szeminárium
Tanrend és specirend
Tanszéki publikációk
Matematika Intézet

BSc szakdolgozati témák



Switch to English

Tantárgyi tematikák

Az alábbi tantárgyi tematikák a BSc szakleírások alapján készültek, így csak tájékoztató jellegűek. Az egyes tárgyak tematikái az előadó döntése alapján az itt megadottaktól kismértékben eltérhetnek.

Biológia BSc

Matematika I

Halmazok, függvények (alapfogalmak és jelölések, inverz függvény, függvények kompozíciója, halmaz ősképe, elemi függvények, síkbeli halmazok vizsgálata és ábrázolása).

Komplex szám (alapműveletek, algebrai és trigonometrikus alak, algebrai egyenletek).

Lineáris algebra (vektor, determináns, mátrix, alapműveletek, inverz mátrix, lineáris leképezés mátrixa, valós és komplex sajátérték-feladat, Leslie-modell).

Egyváltozós függvénytan (sorozat és függvény határértéke, derivált, deriválási szabályok magasabb rendű deriváltak, szélsőérték-számítás, függvényvizsgálat és függvényábrázolás, primitív függvény, integrálási szabályok, Riemann-integrál, numerikus sorok, Taylor-sorok és Taylor-közelítések).

Többváltozós függvénytan (függvényábrázolás, parciális deriváltak, gradiens, Jacobi-mátrix, Hesse-mátrix, szélsőérték-számítás, primitív függvény).

Diszkrét dinamikai rendszer (rekurzív sorozatok, fixpontok és stabilitásuk, paraméteres feladat, bifurkációs diagram).

Matematika II

Differenciálegyenlet (integrálható egyenlet, szétválasztható egyenlet, egydimenziós fáziskép, differenciálegyenletes modellek).

Folytonos dinamikai rendszer (differenciálegyenlet-rendszer, egyensúlyi pont, kétdimenziós homogén lineáris rendszer, kétdimenziós fáziskép, egyensúlyi pont stabilitása, kétdimenziós folytonos dinamikai rendszer geometriai vizsgálata, stabilitásvizsgálat lineáris közelítéssel, Lotka-Volterra-modell).

Valószínűségszámítás (valószínűség, kombinatorika, kombinatorikus valószínűség, feltételes valószínűség, események függetlensége, teljes valószínűség tétele, Bayes-tétel).

Valószínűségeloszlások (diszkrét és folytonos eloszlások: binomiális, Poisson, hipergeometrikus, normális, exponenciális).

Fizika BSc

Kalkulus I

Halmazelméleti alapfogalmak és jelölések. Halmazok uniója, metszete, különbsége, Descartes-szorzata.

Függvény fogalma és tulajdonságai. Inverz és kompozíció függvény.

Számhalmazok bevezetése. A természetes számok, az egész számok, a racionális számok, a valós számok és a komplex számok. Műveletek komplex számokkal, trigonometrikus alak.

Számsorozatok. A határérték fogalma, példák. Határérték és a műveletek kapcsolata, határértékek kiszámítása, az "e" szám bevezetése.

Egyváltozós függvények. Határérték és folytonosság. Az összeg, szorzat, kompozíció, inverz folytonossága. Bolzano-tétel.

Elemi függvények. Hatvány függvény, exponenciális függvény, logaritmus függvény, trigonometrikus és hiperbolikus függvények, valamint ezek inverzei.

Differenciálszámítás. Derivált definíciója, geometriai és fizikai jelentése, példák. Deriválási szabályok, elemi függvények deriváltjai. Magasabb rendű derivált fogalma. Növekedés, fogyás, szélsőérték és konvexitás kapcsolata a deriválttal. Függvényvizsgálat, függvények grafikonjának meghatározása. L'Hospital-szabály.

Integrálszámítás. Határozatlan integrál, primitív függvény. Parciális és helyettesítéses integrálás. Elemi függvények primitív függvényei. Integrálási módszerek néhány függvény típus esetében. Határozott integrál, Riemann-integrál. Az integrál bevezetése alsó és felső közelítő összeggel, geometriai és fizikai motiváció. Feltételek Riemann-integrálhatóságra. Geometriai és fizikai példák. Improprius integrál.

Végtelen sorok, geometriai és harmonikus sor. A konvergencia és divergencia fogalma. Kritériumok sorok konvergenciájára: összehasonlító-, gyök-, hányadoskritérium. Leibniz-sor. Sorok Cauchy-féle szorzata. Példák.

Kalkulus II

Függvénysorozatok és függvénysorok. Pontonkénti és egyenletes konvergencia. A határfüggvény folytonossága, integrálhatósága, deriválhatósága.

Hatványsor fogalma. Konvergencia sugár, Cauchy-Hadamard-képlet. A sor tagonkénti differenciálhatósága és integrálhatósága.

Taylor-sor fogalma. Összefüggés a hatványsor összege és az együtthatók között. Adott függvény Taylor-sora, ennek konvergenciája, analitikus függvény. Nevezetes Taylor-sorok, exponenciális függvény, trigonometrikus függvények, binomiális sor. Komplex függvények. Példák.

Fourier-sor fogalma. Trigonometrikus sor. Összefüggés a trigonometrikus sor összege és az együtthatók között. Adott függvény Fourier-sora, ennek konvergenciája. Fontos példák.

Az n-dimenziós tér fogalma. Az n-változós függvény bevezetése, határértéke és folytonossága.

Lineáris függetlenség, dimenzió. Sajátérték, sajátvektor. Lineáris leképezés.

Többváltozós függvények differenciálszámítása. A derivált fogalma, parciális derivált, Jacobi-mátrix. Magasabb rendű derivált, Young tétele. A vektoranalízis elemei, gradiens, divergencia, rotáció. Fizikai alkalmazások. Taylor-polinom. Többváltozós függvények szélsőértéke, primitív függvénye. Potenciál, erőtér.

Többváltozós függvények integrálszámítása. Görbe ívhossza, vonalintegrál fogalma és kapcsolata a primitív függvénnyel. n-dimenziós Riemann-integrál bevezetése alsó és felső közelítő összeggel. Feltételek Riemann-integrálhatóságra. Geometriai és fizikai példák. Kettős és hármas integrálok kiszámítása egy-dimenziósra való redukálással a Fubini-tétel segítségével. Integrál transzformáció, polárkoordináták és gömbi koordináták bevezetésével integrálás különböző tartományokon.

Felületi integrál bevezetése és kiszámítása. Stokes-tétel és Gauss tétel. Példák.

Analízis I (fizikus szakirány)

n-dimenziós euklideszi tér, Hilbert-tér, Banach-tér, metrikus tér. Topológiai alapfogalmak.

Sorozatok és sorok. Függvények határértéke és folytonossága, a folytonos függvények alaptulajdonságai.

A Riemann-integrál. Függvénysorozatok és sorok. Taylor-formula.

Többváltozós függvények parciális differenciálhatósága és differenciálhatósága. Lagrange-féle középérték tétel. Taylor-formula. Többváltozós függvények szélsőértéke. Implicit és inverz függvény tétel.

Analízis II (fizikus szakirány)

Vonalintegrál.

Közönséges differenciálegyenletek. Kezdetiérték feladat megoldásának létezése és egyértelműsége. Lineáris rendszerek.

Komplex függvények differenciálhatósága. Cauchy-alaptétel, Cauchy-féle integrálformula. Taylor- és Laurent-sorfejtés. Reziduum tétel. Analitikus folytatás.

Lebesgue-integrál, mérhető függvények és halmazok, mérték. Az L2 és Lp függvénytér.

Analízis III (fizikus szakirány)

A Hilbert-tér geometriája, Fourier-sorfejtés.

Lineáris korlátos operátorok normált térben. Lineáris korlátos funkcionálok Hilbert-téren, és az Lp téren, konjugált tér. Sajátérték, spektrum. Neumann-sorfejtés, alkalmazás integrálegyenletekre.

Adjungált operátor Hilbert-térben. Szimmetrikus és önadjungált; izometrikus és unitér operátorok. Fourier-operátor, alkalmazás parciális differenciálegyenletekre. Kompakt és önadjungált kompakt operátorok sajátértékei és sajátfüggvényei, alkalmazás parciális differenciálegyenletekre.

Földtudomány BSc

Matematika 1

Halmazok, műveletek halmazokkal, Descartes szorzat. Alapvető jelölések.

Függvény fogalma, gráfja. Inverz függvény. Kompozíció fogalma. Az identikus leképezés.

Nevezetes számhalmazok (természetes, egész, racionális, valós, komplex számok) bevezetése. Intervallumok fogalma. Műveletek számok körében. Valós számhalmaz szuprémuma (infimuma).

Példák sorozatokra. Határérték fogalma. Konvergens és divergens sorozatok. A határérték és a műveletek kapcsolata. Monoton és korlátos sorozatok. Határérték kiszámítása néhány nevezetes példában. Az "e" szám. Cauchy sorozatok.

Számsorok fogalma. Példák. Konvergens és divergens sorok. Sorok konvergenciájának különböző kritériumai: összehasonlító kritérium, hányados és gyök kritérium. Példák. (geometriai sor, harmonikus sor). Abszolút konvergencia. Leibniz típusú sorok. Sorok Cauchy-féle szorzata.

Polinomok, racionális törtfüggvények, exponenciális, trigonometrikus, hiperbolikus függvények. Inverzeik definiálása. Tulajdonságok.

Határérték, folytonosság, egyenletes folytonosság. Az összeg és szorzat folytonossága. Kompozíció és inverz függvény folytonossága. Bolzano tétele.

A derivált definíciója, geometriai és fizikai jelentése. Példák, alkalmazások. Deriválási szabályok, elemi függvények deriváltjai.

Növekedés, fogyás, szélsőérték és a deriváltak kapcsolata. Konvexitás, konkávitás. Függvényvizsgálat, függvények grafikonjának meghatározása. L'Hospital szabály. Függvények közelítése Taylor polinommal.

Határozatlan integrál, műveleti tulajdonságok. Parciális és helyettesítéses integrálás. Elemi függvények integrálfüggvényei.

Különböző típusú integrálok kiszámítása (racionális függvények, trigonometrikus függvények, nevezetes helyettesítések.)

Matematika 2

Az integrál bevezetése, értelmezése. Geometriai szemléltetés. Fizikai motiváció. A Riemann integrál létezésének elégséges feltételei. A Newton-Leibniz formula. Fizikai alkalmazások, példák. Az improprius integrál.

A függvénysorozat fogalma. Pontonkénti és egyenletes konvergencia. Határfüggvény fogalma. A határfüggvény folytonossága, differenciálhatósága, integrálhatósága. Függvénysorok fogalma és tulajdonságai.

Hatványsorok fogalma. Konvergenciasugár, Cauchy-Hadamard tétele. A hatványsorok tagonkénti differenciálhatósága és integrálhatósága. Példák, alkalmazások.

A Taylor sor fogalma. Összefüggés a hatványsor összegfüggvénye és együtthatói között. Adott függvények Taylor sorának kiszámítása, konvergenciahalmazának meghatározása. Analitikus függvények. Nevezetes Taylor sorok.

Trigonometrikus függvénysorok összegfüggvénye. Kapcsolat a sor összegfüggvénye és az együtthatói között. Adott függvények Fourier sorának előállítása és a sor konvergenciájának vizsgálata. Fontos és nevezetes példák. Alkalmazások. Fourier transzformáció.

A vektortér fogalma. Lineáris függetlenség. Dimenzió.. Leképezések a terek között. Lineáris leképezések. Sajátérték, sajátvektor fogalma. Többváltozós függvények, határérték és folytonosság.

A derivált fogalma, deriválhatóság és a folytonosság kapcsolata. Parciális deriváltak. A Jacobi mátrix. Magasabb rendű deriváltak. Young tétele. Második derivált kiszámítása. A Taylor polinom. Függvények közelítése.

Többváltozós függvények szélsőértékének kiszámítása. Primitív függvény. Az erőtér és a potenciál fogalma.

Görbementi integrál. Primitív függvény, úttól való függetlenség. Ívhosszúság, kiszámítási módszerek. Alkalmazások.

A többváltozós függvények Riemann integráljának meghatározása. Tulajdonságok, integrálhatósági feltételek. Kiszámítási módszerek. Newton-Leibniz formula. A két és háromdimenziós integrálok kiszámítása egydimenziós integrálokra való visszavezetéssel. Integráltranszformációk, polárkoordinátában illetve gömbi koordinátában való integrálás.

Matematika 3 (csillagász, geofizikus és meteorológus szakirány)

Halmazok, relációk, függvények. Sorozatok és sorok, konvergencia és határérték.

Függvények határértéke és folytonossága. Függvénysorozatok és sorok, hatványsorok.

Függvények differenciálása, differenciálhatósága. Differenciálási szabályok, függvényvizsgálat (szélsőértékek, monotonitás, konvexitás, L'Hospital-szabály). Taylor-formula, függvénysorozat határértékének differenciálhatósága. Legendre-polinomok és differenciálásuk.

Matematika 4 (csillagász, geofizikus és meteorológus szakirány)

Függvények integrálása. Riemann-integrál. Integrálási szabályok.Newton-Leibniz formula. Reziduum-tétel.

Magasabbrendű differenciálhatóság. Iránymenti és parciális differenciálhatóság. Elsőrendű közönséges differenciálegyenletek. Egzisztencia és unicitás. Lineáris differenciálegyenletek.

Differenciálegyenletek (csillagász, geofizikus és meteorológus szakirány)

Közönséges differenciálegyenlet fogalma, osztályozása. Minőségi vizsgálatok, geometriai jelentés. Elsőrendű lineáris közönséges differenciálegyenletek. Másodrendű lineáris közönséges differenciálegyenletek. Kezdetiérték-feladatok. Peremérték-feladatok. Közönséges lineáris differenciálegyenlet-rendszerek. Alaprendszer és lineáris összefüggőség fogalma.

Parciális differenciálegyenlet fogalma, osztályozása. Korrekt kitűzésű parciális differenciálegyenletek. Elliptikus differencálegyenletek (Laplace-egyenlet megoldása). Parabolikus differenciálegyenletek (Poisson-képlet). Hiperbolikus differenciálegyenletek (Duhamel-elv). Alkalmazások, példák (potenciál, rezgő húr, hővezetési feladat, stb.).

Differenciálegyenletek (geológusoknak) (geológus szakirány)

A tárgy tematikája hasonló a földtudomány szakon a többi szakiránynak tartott Differenciálegyenletek óra tematikájához, azonban a tárgyalásmód - a kevesebb előismeret miatt - jelentősen egyszerűbb. Emiatt a két tárgy nem feleltethető meg egymásnak.

Környezettan BSc

Bevezetés a matematikába 1, 2

Halmazok, függvények, sorozatok és sorok, konvergencia, határérték;

Függvények határértéke és folytonossága; egyváltozós függvények deriválása, függvényanalízis; függvénysorok; integrálszámítás, határozatlan integrál, Riemann-féle integrál, integrálszámítási módszerek; többváltozós függvények analízisének elemei; skalár- és vektorterek, gradiens, divergencia, rotáció, függvényanalízis,

Differenciálegyenletek, elsőrendű közönséges differenciálegyenletek megoldási módszerei. parciális differenciálegyenletek, másodrendű lineáris egyenletek osztályozása, konvekció-diffúziós modellek;

Komplex számok, algebrai egyenletek, mátrixok, determinánsok, lineáris egyenletrendszerek, műveletek mátrixokkal, sajátérték, sajátvektor;

A valószínűség értelmezése és tulajdonságai, feltételes valószínűség és függetlenség, eloszlás és sűrűségfüggvények, nevezetes eloszlások (binomiális-, Poisson- és normális-eloszlás), várható érték, szórás, medián, többdimenziós eloszlások, korreláció és kovariancia.

Matematika 3 (geofizikus és meteorológus)
A tárgy megegyezik a Földtudomány BSc geofizikus és meteorológus szakirányainak hasonló nevű tárgyával.
Matematika 4 (geofizikus és meteorológus)
A tárgy megegyezik a Földtudomány BSc geofizikus és meteorológus szakirányainak hasonló nevű tárgyával.
Differenciálegyenletek (geofizikus)
A tárgy megegyezik a Földtudomány BSc geofizikus szakirányának hasonló nevű tárgyával.

Matematika BSc

Analízis 1

Logikai alapfogalmak. Bizonyítási módszerek. Nevezetes egyenlőtlenségek. Halmazok, függvények, sorozatok. Valós számok: axiomatikus és konstruktív megalapozás. Tizedestörtek. Korlátos számhalmazok, alsó és felső határ. Hatványozás.

Számsorozatok határértéke. Végtelenhez tartó sorozatok. Határérték és műveletek. Határérték és egyenlőtlenségek. Monoton sorozatok. Limesz inferior, limesz szuperior. A Bolzano-Weierstass tétel és a Cauchy-kritérium.

Megszámlálható halmazok.

Valós függvények globális tulajdonságai. Monotonitás, konvexitás.

Függvények folytonossága és határértéke. A belső pont, torlódási pont, izolált pont fogalma. Átviteli elvek. Folytonosság, határérték és műveletek. Folytonosság, határérték és egyenlőtlenségek. Korlátos zárt intervallumban folytonos függvények. Monotonitás és határérték. Monotonitás és folytonosság. Konvexitás és folytonosság.

Néhány fontos függvényosztály (polinomfüggvények, racionális törtfüggvények, exponenciális függvények, hatványfüggvények, logaritmusfüggvények, trigonometrikus függvények és ezek inverzei, a hiperbolikus függvények és inverzeik).

A differenciálhányados fogalma. Differenciálási szabályok és az elemi függvények deriváltjai. Magasabb rendű differenciálhányadosok. A lokális tulajdonságok és a derivált kapcsolata. Középértéktételek. A differenciálható függvények vizsgálata.

A Taylor-formula. A L'Hospital-szabály.

Analízis 2

A primitív függvény fogalma. Primitívfüggvény-keresési módszerek (parciális integrálás, helyettesítéses integrálás), racionális törtfüggvények primitív függvényeinek keresése.

A Riemann-integrál fogalma. Az integrálhatóság feltételei. Az integrál elemi tulajdonságai. Integrálok becslése. A Newton-Leibniz formula.

Az integrálszámítás alkalmazásai. Wallis-formula, Stirling-formula. A Taylor-formula integrál-maradéktaggal.

Az improprius integrál fogalma. Az improprius értelemben vett integrálhatóság feltételei. Példák elemi primitív függvénnyel nem rendelkező függvények improprius integráljának kiszámítására.

Korlátos változású függvények. A Riemann-Stieltjes integrál. Az integrálszámítás második középértéktétele.

Végtelen sorok. Abszolút konvergencia. Konvergencia-kritériumok (összehasonlító-, gyök-, hányados-, integrálkritérium, Leibniz-sorok, az Abel-Dirichlet kritérium). Végtelen sorok szorzása (négyzetes szorzás, Cauchy-szorzat), Mertens tétele konvergens és abszolút konvergens sor Cauchy szorzatáról. Sorok átrendezése. Riemann tétele.

Függvénysorozatok, függvénysorok. Egyenletes konvergencia. A limeszfüggvény, illeteve összegfüggvény határértéke, folytonossága, differenciálhatósága, integrálhatósága. A függvénysorok egyenletes konvergenciájára vonatkozó Abel-Dirichlet kritérium.

Hatványsorok. Abel folytonossági tétele. Taylor-sorok, konkrét függvények előállítása Taylor-soruk összegeként.

Analízis 3 (matematikus szakirány)

Konvergencia és topologikus alapfogalmak (belső pont, határpont, külső pont, torlódási pont, izolált pont, nyílt halmaz, zárt halmaz, kompakt halmaz) euklideszi és metrikus terekben.

Többváltozós, illetve metrikus téren értelmezett függvények és leképezések határértéke és folytonossága. Átviteli elvek. Kompakt halmazon értelmezett folytonos függvények tulajdonságai.

Deriválás koordinátafüggvényenként. Iránymenti és parciális deriváltak, Jacobi-mátrix. A gradiens. Érintősík. Lagrange-féle középértéktétel. A Lagrange-féle becslés leképezésekre. A differenciálhatóság szükséges és elégséges feltételei. Szélsőérték-keresés kompakt halmazon értelmezett függvényekre. n-szer differenciálható leképezések. Taylor-polinomok és differenciálok. A Young-tétel. A Taylor-formula. Lokális szélsőérték szükséges, ill. elégséges feltételei. Az inverz leképezés deriváltja, inverzfüggvénytétel. Az implicit leképezés tétele. Feltételes szélsőértékfeladat, Lagrange-féle multiplikátorszabály.

Korlátos változású leképezések, a teljes változás kiszámítására szolgáló formula, görbék ívhossza. A Riemann-Stieltjes-integrál.

A Jordan-féle belső és külső mérték. A határ külső mértéke. Jordan-mérhető halmazok. A mérhetőség pontos feltétele. A konvex poliéderek és a normáltartományok mérhetősége. A parallelepipedonok térfogata. A Jordan-mérték egybevágóság-invarianciája.

A többszörös integrál. Definíció, alaptulajdonságok, az integrálhatóság ekvivalens feltételei. Folytonos és korlátos függvények integrálhatósága. Egy halmaz mérhetőségének és karakterisztikus függvénye integrálhatóságának ekvivalenciája. Folytonos függvénnyel való kompozíció integrálhatósága. A lebontási tétel. A Cavalieri-tétel. Normáltartományok térfogata. A gömb térfogata. Mértéktranszformáció. Az integráltranszformáció (esetleg bizonyítás nélkül). A polárkoordinátás helyettesítés.

A vonalintegrál és kiszámítása. A Newton-Leibniz-formula. A primitív függvény létezésének feltételei. Divergencia és rotáció; integráltételek (csak a kétdimenziós Gauss tétel bizonyítással).

Paraméteres integrálok folytonossága, differenciálása és integrálása. Improprius paraméteres integrálok. Egyenletes konvergencia. Improprius paraméteres integrálok folytonossága, differenciálása és integrálása. Elégséges feltétel az improprius paraméteres integrál egyenletes konvergenciájára.

Analízis 4 (matematikus szakirány)

Szigma-algebra, halmazrendszer által generált szigma-algebra, Borel-halmazok. Szigma-additív halmazfüggvény, külső mérték, mérték. Mérték kiterjesztése, teljesség. Lebesgue- és Lebesgue-Stieltjes-féle külső mérték és mérték, regularitás.

Mérhető függvények. Majdnem mindenütt való konvergencia. Jegorov tétel. Mértékben való konvergencia. Luzin tétele.

Lebesgue- és Lebesgue-Stieltjes-integrál. Függvénysorozatok és sorok integrálása.

Előjeles mérték. Totális variáció. Előjeles mérték Jordan-felbontása. Hahn felbontási tétele. Radon-Nikodym tétel. Abszolút folytonos és szinguláris mértékek. Lebesgue-felbontás.

Előjeles Borel-mértékek differenciálhatósága. Fubini tétele mértékek végtelen összegének differenciálására. Lebesgue-féle sűrűségpont tétel.

Monoton és korlátos változású függvények differenciálhatósága. Abszolút folytonos függvények, szinguláris függvények, Newton-Leibniz formula.

Mértékterek szorzata. Fubini tétele a szorzatmérték szerinti integrálról. Integráltranszformáció.

Lp-függvényosztályok. Konvolúció.

Differenciálegyenletek (matematikus és alkalmazott matematikus szakirány)

Elsőrendű közönséges differenciálegyenlet-rendszer fogalma, megoldásának egyértelműsége, Gronwall lemma. A lokális és globális megoldás létezése. A megoldás folytonos, ill. differenciálható függése a kezdeti feltételtől, és a jobboldaltól.

Lineáris differenciálegyenlet-rendszer: a megoldás létezése és egyértelműsége; a homogén és inhomogén egyenlet megoldásának előállítása az alaprendszer segítségével; az állandók variálásának módszere. Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet-rendszer: eA létezése és tulajdonságai; a megoldás előállítása eAt segítségével; eAt kiszámítása Jordan normálformával, ill. Hermite-féle interpolációs polinomokkal. Magasabb rendű lineáris differenciálegyenletek.

Autonóm differenciálegyenletek: csoport tulajdonság; dinamikai rendszer fogalma. Stabilitási fogalmak; lineáris differenciálegyenlet-rendszer stabilitás vizsgálata: stabil, instabil, centrális altér, a stabilitás meghatározása a sajátértékek segítségével, Routh-Hurwitz kritérium; egyensúlyi pont stabilitás vizsgálata linearizálással. Stabilitás vizsgálat Ljapunov módszerével: Ljapunov stabilitási és instabilitási tétele. Kvadratikus alak, mint Ljapunov függvény, kvadratikus Ljapunov függvény lineáris rendszerhez.

Aszimptotikus viselkedés: az w-határhalmaz fogalma és tulajdonságai, a vonzó halmaz definíciója, és elégséges feltétel a létezésére, a vonzási tartomány. Az w-határhalmazok típusai egy és két dimenzióban: a Poincaré-Bendixson tétel.

Periodikus megoldás stabilitás vizsgálata: orbitális stabilitás, Poincaré leképezés létezése, egyértelműsége. Leképezés fixpontjának stabilitása. A Poincaré leképezés fixpontjának stabilitása és a periodikus pálya orbitális stabilitása közötti kapcsolat. Floquet elmélet: Floquet tétele, a karakterisztikus multiplikátorok meghatározása, az Andronov-Vitt tétel.

Dinamikai rendszerek topologikus osztályozása: ekvivalencia fogalmak, kiegyenesítési tétel, lineáris rendszerek topologikus osztályozása, Hartman-Grobman tétel.

Másodrendű lineáris differenciálegyenletre vonatkozó peremértékproblémák, és Sturm-féle szeparációs tételek.

A variációszámítás elemei.

Funkcionálanalízis 1 (matematikus szakirány)

Hilbert terek: belső vagy skalár-szorzat, Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenség félskalár-szorzatra, l2-; L2-terek. Riesz-tétele merőleges komponensekre való felbontásra: altértől való távolság. Ortonormált rendszerekre Hilbert térben: általánosított Fourier-sorfejtés: Bessel-egyenlőtlenség, Parseval-azonosság, Hilbert terek izometrikus izomorfikus azonosítása. Folytonos lineáris funkcionálok Hilbert téren. Riesz reprezentációs tétele: folytonos lineáris funkcionálok előállítása.

Folytonos lineáris operátorok Hilbert téren: operátorok normája, numerikus sugara, adjungáltja, spektruma. Speciális operátorok: önadjungált, unitér, normális operátorok, ortogonális projekciók. Kompakt operátorok Hilbert-téren: Hilbert-Schmidt tétel normális kompakt, önadjungált kompakt operátorokra, mint a mátrixokra vonatkozó főtengely-tétel általánosítása.

Banach terek: altértől való távolság, Riesz-lemmája. Baire kategória tétele. Folytonos lineáris funkcionálok normált téren, Hahn-Banach tétel és alkalmazásai, Mazur-Orlicz tétel. Folytonos lineáris operátorok Banach téren: operátorok adjungáltja, spektruma, Neumann sor. Banach-Steinhaus tételek: egyenletes korlátosság és pontonkénti konvergencia tétele. Banach nyílt leképezés és zárt gráf tétele. Kompakt operátorok Hilbert téren: Riesz-Fredholm elmélet alapjai. Schauder tétele, Lomonoszov tétel.

Funkcionálanalízis 2 (matematikus szakirány)

Banach-algebrák: inverz előállítása Neumann-sorral, spektrum, spektrál sugár. Rezolvens azonosság, analitikusság. Spektrum viselkedés bővítés esetén. Gelfand-Mazur tétel. A spektrál-sugár tétel. Ford lemmája négyzetgyökvonásra. Alaoglu tétele, mint Banach tételének általánosítása.

Gelfand elmélete: kommutatív Banach algebrák előállítása folytonos függvények algebrájaként kompakt Hausdorff-tér fölött. A Gelfand-transzformált és tulajdonságai. A maximál ideál tér azonosítása a karakterek terével. Féligegyszerű kommutatív Banach algebrák. A kommutatívitás feltételei: Hirschfeld-Zelazko tétel. Wiener tétele abszolút konvergens Fourier sorokra.

Kommutatív Gelfand-Naimark tétel kommutatív kompaktifikáció C*-algebrák előállítására. Stone-Cech Stone-Weierstrass tétel, ennek Bishop féle változata.

Nemkommutatív Gelfand-Naimark tétel: C*-algebrák előállítása operátoralgebrákként Hilbert téren. Daniel-Stone tétel, spektráltétel Segal, ill. Dunford változata normális, ill. önadjungált folytonos lineáris operátorokra Hilbert téren.

Parciális differenciálegyenletek (matematikus és alkalmazott matematikus szakirány)

A parciális differenciálegyenlet fogalma, speciális típusok. Fizikai példák kezdeti, peremérték és vegyes feladatokra. A másodrendű lineáris és szemilineáris parciális differenciálegyenletek osztályozása és kanonikus alakja.

A disztribúció fogalma, reguláris disztribúciók. Algebrai műveletek disztribúciók körében. Disztribúciók tartója. Disztribúciók deriválása, nevezetes példák. Konvolúció és direkt szorzat disztribúciók körében.

Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletek alapmegoldása, példák. Klasszikus és általánosított Cauchy-feladat állandó együtthatós lineáris hiperbolikus és parabolikus egyenletekre.

Green-formulák elliptikus egyenletekre. Az elliptikus peremérték feladatok klasszikus megoldásának egyértelműsége. Green-függvény.

Szoboljev függvényterek: alaptulajdonságok, ekvivalens normák, kompakt beágyazási tételek, nyom operátor. A peremérték feladatok gyenge (Szoboljev-térbeli) megoldásának fogalma. Klasszikus és általánosított sajátérték feladat. A sajátértékek és sajátfüggvények tulajdonságai. Alternatíva tétel az inhomogén peremérték feladatokra.

Vegyes (kezdeti-peremérék feladat) hiperbolikus és parabolikus egyenletekre. A gyenge (Szoboljev-térbeli) megoldás egyértelműsége, a megoldás létezése (Fourier-módszer).

Függvénysorok (matematikus szakirány)

Stone-Weierstarss tétel, approximáció a p-edik hatványon integrálható függvények terében, az ortogonális sorok elmélete, általánosított Fourier-sorok, Dirichlet-féle magfüggvény, Fourier-sorok pontonkénti konvergenciája, Dirichlet-tétel, Fejér-féle szummációs tétel, Rademacher- és Haar-rendszer, ortogonális polinomok, Weyl-sorozatok

Analízis 3 (alkalmazott matematikus szakirány)

Konvergencia és topologikus alapfogalmak (belső pont, határpont, külső pont, torlódási pont, izolált pont, nyílt halmaz, zárt halmaz, kompakt halmaz) euklideszi terekben.

Többváltozós függvények és leképezések határértéke és folytonossága. Átviteli elvek. Kompakt halmazon értelmezett folytonos függvények tulajdonságai.

Iránymenti és parciális deriváltak, Jacobi-mátrix. A gradiens. Érintősík. Lagrange-féle középértéktétel. A Lagrange-féle becslés leképezésekre. A differenciálhatóság szükséges és elégséges feltételei. Szélsőérték-keresés kompakt halmazon értelmezett függvényekre. n-szer differenciálható leképezések. Taylor-polinomok és differenciálok. A Young-tétel. A Taylor-formula. Lokális szélsőérték szükséges, ill. elégséges feltételei. Az inverz leképezés deriváltja, inverzfüggvénytétel. Az implicit leképezés tétele (esetleg bizonyítás nélkül). Feltételes szélsőértékfeladat, Lagrange-féle multiplikátorszabály.

Görbék. Rektifikálhatóság, ívhossz, az ívhossz kiszámítására szolgáló formula. A Riemann-Stieltjes-integrál.

A Jordan-féle belső és külső mérték. A határ külső mértéke. Jordan-mérhető halmazok. A mérhetőség pontos feltétele. A konvex poliéderek és a normáltartományok mérhetősége. A parallelepipedonok térfogata. A Jordan-mérték egybevágóság-invarianciája.

A többszörös integrál. Definíció, alaptulajdonságok, az integrálhatóság ekvivalens feltételei. Folytonos és korlátos függvények integrálhatósága. Egy halmaz mérhetőségének és karakterisztikus függvénye integrálhatóságának ekvivalenciája. Folytonos függvénnyel való kompozíció integrálhatósága. A lebontási tétel. A Cavalieri-tétel. Normáltartományok térfogata. A gömb térfogata. Mértéktranszformáció. Az integráltranszformáció (bizonyítás nélkül). A polárkoordinátás helyettesítés.

A vonalintegrál és kiszámítása. A Newton-Leibniz-formula. A primitív függvény létezésének feltételei. Divergencia és rotáció; integráltételek (bizonyítás nélkül).

Paraméteres integrálok folytonossága, differenciálása és integrálása.

Funkcionálanalízis (alkalmazott matematikus szakirány)

Hilbert terek: belső vagy skalár-szorzat, Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenség félskalár-szorzatra, l2-; L2-terek. Riesz-tétele merőleges komponensekre való felbontásra: altértől való távolság. Ortonormált rendszerekre Hilbert térben: általánosított Fourier-sorfejtés: Bessel-egyenlőtlenség, Parseval-azonosság, Hilbert terek izometrikus izomorfikus azonosítása. Folytonos lineáris funkcionálok Hilbert téren. Riesz reprezentációs tétele: folytonos lineáris funkcionálok előállítása.

Folytonos lineáris operátorok Hilbert téren: operátorok normája, numerikus sugara, adjungáltja, spektruma. Speciális operátorok: önadjungált, unitér, normális operátorok, ortogonális projekciók. Kompakt operátorok Hilbert-téren: Hilbert-Schmidt tétel normális kompakt, önadjungált kompakt operátorokra, mint a mátrixokra vonatkozó főtengely-tétel általánosítása.

Banach terek: altértől való távolság, Riesz-lemmája. Baire kategória tétele. Folytonos lineáris funkcionálok normált téren, Hahn-Banach tétel és alkalmazásai, Mazur-Orlicz tétel. Folytonos lineáris operátorok Banach téren: operátorok adjungáltja, spektruma, Neumann sor. Banach-Steinhaus tételek: egyenletes korlátosság és pontonkénti konvergencia tétele. Banach nyílt leképezés és zárt gráf tétele. Kompakt operátorok Hilbert téren: Riesz-Fredholm elmélet alapjai. Schauder tétele, Lomonoszov tétel.

Analízis 3 (matematika tanár szakirány)

A folytonosság és a függvényhatárérték fogalmának általánosítása. Metrikus terek, gömbök, nyílt, illetve zárt halmazok, konvergens pontsorozatok, Cauchy-sorozatok, teljes terek. Függvények határértéke és folytonossága, átviteli elvek, kompozíció határértéke, illetve folytonossága, többváltozós függvény folytonossága és parciális folytonossága. Kontrakciók, a Banach-féle fixponttétel.

Az m-dimenziós euklideszi tér korlátos zárt részhalmazainak sorozatkompaktsága, korlátos zárt halmazon értelmezett folytonos függvények tulajdonságai, elégséges feltétel paraméteres integrál folytonosságára, az általánosított Weierstrass-tétel néhány következménye.

Közönséges differenciálegyenletek. Szétválasztható változójú (vagy ilyenre visszavezethető) és lineáris differenciálegyenletek. Közönséges elsőrendű explicit differenciálegyenlet, illetve kezdetiérték-feladat fogalma. A kezdetiérték-feladat egyenértékűsége egy integrálegyenlettel; a Picard-Lindelöf-tétel. Magasabb rendű egyenletek és elsőrendű rendszerek, lineáris elsőrendű rendszerek, másodrendű lineáris differenciálegyenletek.

A többváltozós integrálszámítás elemei. m-dimenziós téglák, téglán értelmezett korlátos függvény integrálhatósága, az egyváltozós integrálszámítás tételeinek általánosítása. Fubini tétele. A Jordan-féle térfogat, a térfogati integrál általános definíciója, integrálás normáltartományon, a Cavalieri-elv. Lineáris transzformációk és Jordan mérték.

Analízis 4 (matematika tanár szakirány)

Többváltozós függvények differenciálszámítása. Parciális deriváltak, iránymenti deriváltak, differenciálhatóság; a differenciálhatóság ekvivalens megfogalmazásai általában, illetve a valós változós vektorértékű függvények esetében, komplex változós komplex értékű függvény komplex értelemben vett differenciálhatósága, kétszer differenciálható számértékű függvény, első és második differenciál, gradiens, Jacobi-mátrix, Hesse-féle mátrix; Young tétele. A kompozíció differenciálhatósága. A Lagrange-féle középértéktétel általánosításának lehetőségei, illetve korlátai. A másodrendű Taylor-formulák általánosítása kétszer differenciálható számértékű függvényekre. Implicitfüggvény-tétel (bizonyítás két dimenzióban). Szélsőérték-feladatokkal kapcsolatos szükséges, illetve elégséges feltételek. Elégséges feltétel paraméteres integrál differenciálhatóságára. Az integráltranszformáció (bizonyítás nélkül, példákkal).

Vonalintegrál. Zárt intervallumon értelmezett folytonosan differenciálható vektorértékű függvények, irányított sima vonalak. Sima vonalak kezdőpontja, végpontja, értékkészlete, sima vonalak csatlakoztatása, zárt vonalak. Sima vonal ívhosszának definíciója és kiszámítása.

A munka és az erőtér fogalma a mechanikában; skaláris szorzat az m-dimenziós euklideszi térben, a vonalintegrál definíciója és kiszámítása. Integrandus szerinti és útvonal szerinti additivitás. Konzervatív erőtér, potenciál, a primitív függvény fogalma; a vonalintegrálokra vonatkozó Newton-Leibniz-formula. A primitív függvény létezésének szükséges és elégséges, illetve elégséges feltételei. Green tétele (bizonyítás nélkül), zárt sima vonal értékkészlete által határolt Jordan-mérhető síkbeli ponthalmaz területének kiszámítása vonalintegrál segítségével.

Analízis 3 (matematikai elemző szakirány)

Többváltozós függvények és leképezések határértéke és folytonossága. Korlátos zárt halmazon értelmezett folytonos függvények tulajdonságai.

Parciális deriválás. Többváltozós függvények differenciálhatósága, gradiens. A derivált geometriai jelentése, érintősík.

Leképezések differenciálása: definíció, alaptulajdonságok, láncszabály. Jacobi-mátrix, iránymenti derivált és kiszámítása.

Folytonosan differenciálható többváltozós függvények és leképezések.

Szélsőérték-keresés korlátos zárt halmazon. Optimumkeresés.

Kétszer differenciálható többváltozós függvények és leképezések. Young-tétel. Lokális szélsőérték szükséges, ill. elégséges feltételei.

Az inverz leképezés deriváltja. Inverzfüggvénytétel (bizonyítás nélkül). Az implicit leképezés tétele (bizonyítás nélkül).

Feltételes szélsőértékfeladat, Lagrange-féle multiplikátorszabály.

Analízis 4 (matematikai elemző szakirány)

Területi és térfogati integrál téglán. Az integrál geometriai jelentése.

A területi és térfogati integrál kiszámítása. Az integrálások sorrendjének megcserélése.

Többváltozós helyettesítés, alternatív koordinátarendszerek: polár-, gömbi és hengerkoordináták.

A Riemann-Stieltjes integrál. Kiszámítás a Riemann integrál segítségével.

Görbék. Rektifikálhatóság, ívhossz, az ívhossz kiszámítására szolgáló formula.

Vonalintegrál és primitív függvény, a vonalintegrál kiszámítása.

Trigonometrikus polinomok. Fourier-sorok értelmezése és konvergenciája. Függvények közelítése trigonometrikus polinomokkal. Függvények Fourier-sorának meghatározása. A Fourier sorok elméleti és gyakorlati alkalmazásai.

Differenciálegyenletek (matematikai elemző szakirány)

Differenciálegyenletek a fizikában, kémiában, biológiában, közgazdaságtanban. A megoldás létezése és egyértelműsége, differenciálegyenletek megoldási módszerei. Lineáris rendszerek, magasabbrendű lineáris egyenletek.

Autonóm differenciálegyenletek, dinamikai rendszerek. Stabilitási fogalmak, Ljapunov módszere, Poincaré-Bendixson elmélet. Periodikus megoldás stabilitásvizsgálata. Poincaré leképezés. Peremértékproblémák, Sturm-féle szeparációs tételek. Egyszerű variációszámításbeli problémák.

Alkalmazott analízis 1 (matematikai elemző szakirány)

A matematikai modellezés és szerepe. Matematikai modellezés a jelenségtől a számítógépes eredményig. Megbízhatóság, pontosság. Hibaanalízis.

Numerikus interpoláció és alkalmazásai. Különböző típusú interpolációk és hibabecslésük. (Lineáris interpoláció, Lagrange-féle interpoláció, spline tipusú interpoláció.)

Numerikus deriválás. Lagrange-féle, véges differenciás és spline függvényes deriválás)

Numerikus integrálás. Interpolációs eljárások, trapéz és a Simpson formula.

A funkcionálanalízis néhány eleme. Fixpont tételek és alkalmazásuk.

Lineáris egyenletrendszerek direkt megoldási módszerei. Gauss elimináció, a főelemkiválasztásos Gauss módszer. Speciális alakú egyenletek direkt megoldási módszerei. Az LU-módszer.

Lineáris egyenletrendszerek iteratív megoldási módszerei. Egyszerű iteráció, Gauss-Jordan- féle iteráció. Az iteráció felgyorsítása.

Nemlineáris algebrai egyenletek és egyenletrendszerek numerikus megoldásai. Egyváltozós egyenlet megoldása intervallumfelezéssel, fixpont iterációs eljárással, Newton módszerrel.

A MATLAB programrendszer alkalmazása a fenti módszerekre. Néhány egyszerűbb műszaki feladat megoldása a fenti technikákkal.

Alkalmazott analízis 2 (matematikai elemző szakirány)

Közönséges differenciálegyenletek megoldási módszerei.

Kezdetiérték feladatok megoldása Runge-Kutta típusú módszerekkel. Explicit és implicit egylépéses módszerek. Diferenciálegyenlet-rendszerek numerikus megoldási módszerei.

Peremérték feladatok numerikus megoldási módszerei. Véges differenciás és véges elemes módszerek. A módszerek elemzése és számítógépes realizálásának vizsgálata. MATLAB programok alkalmazása ill. készítése.

Parciális differenciálegyenletek numerikus megoldási módszereinek általános kérdései. Approximáció, stabilitás. Véges differenciás és véges elemes módszerek.

Elliptikus peremérték feladatok megoldása véges differenciákkal és véges elemekkel. A Ritz módszer és kapcsolata a véges elemekkel. Parabolikus feladatok numerikus megoldásának vizsgálata. A Lax-féle ekvivalencia tétel. Speciális módszerek parabolikus feladatok megoldására. Kvalitatív analízis. Hiperbolikus feladatok numerikus megoldása.

Néhány valós probléma (pld. kémiai, légszennyeződési, gazdasági) feladat modellezése és numerikus megoldása.

Folytonos modellek (matematikai elemző szakirány)

Folytonos optimalizálási modellek a pénzügy, mérnöki szerkezetek, gépipar, környezetvédelem, mezőgazdaság, vízügy, vegyipar területén. Logisztikai, termelésirányítási, védelmi, pénzügyi nagyrendszerekben fellépő optimalizálási problémák. Differenciálegyenletekkel, illetve dinamikai rendszerekkel leírható folyamatok modellezése különböző tudományterületeken: közgazdaságtan, ökológia, populációbiológia, biokémia, fiziológia, kémiai reakció kinetika, transzportfolyamatok, hővezetés, kémiai hullámok.

A kapott dinamikai rendszerek kvalitatív vizsgálata. Két- és háromdimenziós modellek fázisképének meghatározása analitikus és numerikus módszerekkel. Egyensúlyi pontok lokális vizsgálata linearizálással és Poincaré-féle normálforma segítségével. Globális vizsgálat Ljapunov módszererrel, illetve index kiszámításával, az attraktorok és vonzási tartományuk vizsgálata.

Bifurkációs pontok és görbék meghatározásának analitikus és numerikus módszerei. Nyeregcsomó és Hopf bifurkációk görbéjének meghatározása több paramétert tartalmazó rendszerekben. Periodikus pályák bifurkációi. Példák két-kodimenziós bifurkációs pontok meghatározására.

Parciális differenciálegyenletek és alkalmazásaik (matematikai elemző szakirány)

A parciális differenciálegyenlet fogalma, speciális típusok. Fizikai példák kezdeti, peremérték és vegyes feladatokra. A másodrendű lineáris és szemilineáris parciális differenciálegyenletek osztályozása és kanonikus alakja.

Elsőrendű kvázilineáris parciális differenciálegyenletek.

Cauchy-feladat állandó együtthatós lineáris hiperbolikus és parabolikus egyenletekre. Nevezetes megoldó képletek előállítása elemi úton, ill. Fourier-transzformációval.

Green-formulák elliptikus egyenletekre. Az elliptikus peremérték feladatok klasszikus megoldásának egyértelműsége. Green-függvény.

Elliptikus sajátérték feladat. A sajátértékek és sajátfüggvények tulajdonságai. Alternatíva tétel az inhomogén peremérték feladatokra, megoldás a sajátfüggvények szerint haladó sorfejtéssel.

Vegyes (kezdeti-peremérék feladat) hiperbolikus és parabolikus egyenletekre. Fourier-módszer.