\documentclass[12pt]{article}
\pagestyle{headings}
%
\setlength{\textwidth}{36true pc}
\setlength{\headheight}{10true pt} % needed for 12pt documents
\setlength{\oddsidemargin}{0 truept}
\setlength{\evensidemargin}{0 truept}
\setlength{\textheight}{572true pt}

\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}

%\RequirePackage[magyar]{babel}
%\selectlanguage{magyar}

%\RequirePackage[T1]{fontenc}
%\RequirePackage[latin1]{inputenc}

\newcounter{tema}[section]
\long\def\cikk#1{\hangindent2\parindent[$\ast$] #1\par}
\long\def\tema#1#2#3#4#5{\vskip\baselineskip
\refstepcounter{tema}\noindent\hangindent\parindent
{\bf \thetema. {\bf t\'ema:} \hangindent2\parindent#1\par}%
{{\bf Témavezet\H{o}:} }{\hangindent2\parindent#2\par}%
{{\bf Rövid leírás:} }{\hangindent2\parindent#3\par}%
{{\bf Ajánlott irodalom:} }{\par #4 \par}%
{{\bf Szakirány:} }{\hangindent2\parindent#5\par}%
\vskip 0pt plus 20pt\penalty 5000}

\begin{document}


\title{{\bf A BSc-képzés szakdolgozati témái}\\
{\large {\bf Geometriai Tanszék}}\\
{\large \sl 2022/2023}}

\date{}
\maketitle

\tema{Szabadon választható téma}%
{A tanszék bármelyik oktatója.}%
{Ha egy hallgató tetsz\H{o}leges geometriai téma
  iránt érdekl\H{o}dik, akkor témavezet\H{o}nek választhatja azt a
  szakembert, aki ehhez ért, és ebben segítséget tud neki
  nyújtani.}%
{\hskip 6mm a hallgató és a témavezet\H{o} megállapodása alapján.\par}%
{b\'armely szakos hallgat\'o}

%\tema{Ceva-tétel véges projektív síkon}%
%{Csajbók Bence}%
%{Ceva tételét lehet értelmezni véges számtesttel koordinátázott síkokon is. 
%A Wilson-tétel szerint véges számtest nem nulla elemeinek a szorzata $-1$. 
%Ezt a két egyszerű tételt megfelelően kombinálva meglepő állításokat lehet igazolni 
%véges számtestre épített projektív síkokon. Ezek legtöbbje ezen síkok kúpszeleteiről mond el valamit, 
%de maga a módszer pár középiskolás számelmélet versenyfeladatnál is alkalmazható. 
%Feladat lenne néhány ilyen eredmény ismertetése mellett a szokásos euklideszi síkról a véges számtesttel koordinátázott síkra átvihető (általában kúpszeletekre vonatkozó) eredmények bemutatása, illetve olyan példák ismertetése, ahol nem működik az analógia.}%
%{\cikk{Kiss Gy. és Szőnyi T.: Véges geometriák, Polygon Kiadó Szeged, 2001}}%
%{matematikus}


%\tema{Kettős leszámlálás véges projektív síkon}%
%{Csajbók Bence}%
%{Kettős leszámlálásnak nevezzük azokat a középiskolában is megjelenő kombinatorikus bizonyításokat melyekben ugyanannak a halmaznak az elemeit kétféleképpen megszámolva bizonyítjuk két kifejezés egyenlőségét. Feladat lenne ilyen típusú bizonyítások rendszerező bemutatása véges projektív síkokon, érdeklődés esetén kombinatorikusan szép tulajdonságokkal rendelkező ponthalmazokra vonatkozó új alkalmazások és/vagy a Haemers-től származó páros gráfokra vonatkozó "Expander mixing lemma"-val való kapcsolat bemutatása, mely egy másik módszert nyújt ezeknek az eredményeknek a bizonyításához.}%
%{\cikk{Kiss Gy. és Szőnyi T.: Véges geometriák, Polygon Kiadó Szeged, 2001}}%
%{matematikus}


%\tema{Elhelyezések és fedések konvex síkidomokkal}%
%{ifj.\ Böröczky Károly}%
%{Fejes Tóth László munkáságát követ\H{o}en
%mintegy 50 év alatt jelent\H{o}s ismeretanyag halmozódott fel
%konvex síkidomok kongruens példányaival való fedések
%és elhelyezésekr\H{o}l. Ezzel együtt manapság is születnek alapvet\H{o}
%új eredmények, és vannak nyitott, érdekes kérdések.}%
%{L.\ Fejes T\'oth:
%  {\sl Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und im Raum},
%  Springer-Verlag, Berlin, 1972., illetve ennek 2009-ben
%megjelen\H{o} angol nyelvű fordítása.
%K.\ Böröczky, Jr.: {\sl Finite packing and covering}, Cambridge, 2004.}%
%{matematikus, tanári, alkalmazott matematikus.}
%
%\tema{Az izoperimetrikus egyenl\H{o}tlenség}%
%{ifj.\ Böröczky Károly}%
%{A tény, hogy adott területű síkidomok közül a kör kerülete
%a legkisebb, már az ókori görögök el\H{o}tt is ismert
%volt. Ennek a tételnek különböz\H{o} bizonyításait illetve
%változatait (többek között magasabb dimenziókban)
%$lehetne áttekinteni.}%
%{L.\ A.\ Santaló:
% {\sl Integral Geometry and Geometric Probability},
%Addison-Wesley, 1976., els\H{o} fejezet.
%R.\ Osserman:
%{\sl Bonnesen-style isoperimetric inequalities}, 
%Am. Math. Mon. 86, 1-29 (1979).}%
%{matematikus, tanári, alkalmazott matematikus.}
%
%\tema{Affin-invariáns geometriai egyenl\H{o}tlenségek}%
%{ifj.\ Böröczky Károly}%
%{Az euklidészi térben olyan konvex testekre
%vonatkozó egyenl\H{o}tlenségeket tekintünk, melyek
%invariánsan maradnak affin transzformációk esetén.
%Ilyen például a Brunn--Minkowski-egyenl\H{o}tlenség
%(mely az izoperimetrikus egyenl\H{o}tlenség egy általánosítása),
%vagy a konvex test és polárisára vonatkozó 
%Blaschke--Santaló-egyenl\H{o}tlenség.}%
%{P.\ M.\ Gruber:
%{\sl Convex and discrete geometry},
%Springer, Berlin, 2007., E.\ Lutwak:
%{\sl Selected affine isoperimetric inequalities},
%Handbook of convex geometry,
%North-Holland, Amsterdam, 1993, 151--176.}%
%{matematikus.}
%
%\tema{Gömbelhelyezések sűrűsége a hiperbolikus térben}%
%{ifj. Böröczky Károly}%
%{Id.\ Böröczky Károly 40 éves példái mutatják, hogy
%a hiperbolikus térben nem lehet az euklideszi térhez
%hasonlóan definiálni egy gömbelhelyezés sűrűségét.
%L.\ Bowen és Ch.\ Radin 2000 után dolgoztak ki
%ergodelméletet használó definíciót kell\H{o}en homogén
%gömbelhelyezések sűrűségének vizsgálatára. Ezt az
%új elmélet kerülne áttekintésre, továbbá
%az ismert megközelítéseket kiterjesztve lehetne megfelel\H{o}
%sűrűségfogalmat keresni tetsz\H{o}leges gömbelhelyezésre. }%
%{L. Bowen, Ch Radin:             
%Densest packing of equal spheres in hyperbolic space. 
%Discrete Comput.\ Geom.\ 29 (2003), 23-39.}%
%{matematikus.}

\tema{Nevezetes görbék és felületek}%
{Csikós Balázs}%
{A klasszikus differenciálgeometriában sok nevezetes görbe- és felületosztályt ismernek, melyek tagjai számtalan szép tulajdonsággal rendelkeznek, és néha a legváratlanabb helyeken t\H{u}nnek fel (a ciklois és rokonai, Cassini-féle oválisok, a csavarvonal és általánosításai, állandó Gauss-görbület\H{u}, és állandó középgörbület\H{u} felületek, minimálfelületek, stb.). A szakdolgozó feladata valamely görbe, vagy felületosztály tulajdonságainak összegy\H{u}jtése, rendszerezése, bizonyítása. A görbék és felületek vizsgálatára és ábrázolására ajánlott a Mathematica vagy Maple program használata.}%
{\cikk{A.\ Gray, E.\ Abbena, S.\ Salamon: {\sl Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica.}}}%
{b\'armely szakos hallgat\'o}

\eject
\tema{Geometriai egyenl\H{o}tlenségek}%
{Csikós Balázs}%
{A geometriában gyakran találkozunk optimalizásási feladatokkal. Ezek közt nagyon sok  klasszikus probléma van (izoperimetrikus, izodiametrális egyenl\H{o}tlenségek, stb.), és vannak régóta megválaszolatlan kérdések is. Ugyanakkor felvethet\H{o}k új problémák is, melyeket eddig keveset vizsgáltak. A szakdolgozó feladata valamely klasszikus probléma különböz\H{o} megoldásainak és általánosításainak áttekintése, vagy egy még megoldatlan probléma vizsgálata.}%
{\cikk{D.\ O.\ Skljarszkij, N.\ N.\ Csencov, I.\ M.\ Jaglom: {\sl Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréb\H{o}l. II.\ rész, 2.\ kötet. Geometriai egyenl\H{o}tlenségek és széls\H{o}érték-feladatok}}
\cikk{D.\ S.\ Mitrinovi\'c, J.\ E.\ Pe\v cari\v c, A.\ M.\ Fink: {\sl Recent Advances in Geometric Inequalities} (Mathematics and its Applications), Kluwer Academic Publishers.} 
}%
{b\'armely szakos hallgat\'o}

%\tema{Dinamikus geometriai programok (Geogebra, Euklides, Cabri, stb.) használata a geometriában}%
%{Csikós Balázs}%
%{A dinamikus geometriai programok hasznos segédeszközt jelentenek bizonyos típusú geometriai problémák megoldásában. Használatuk módszertanát érdemes minden középiskolai matematikatanárnak elsajátítani és továbbadni. Jól használhatja e programokat mindenki, akinek valamilyen geometriai problémát kell megoldania. A szakdolgozat célja annak bemutatása konkrét példákon keresztül, hogyan lehet e programokat a probléma elemzésére, sejtések megfogalmazására, mértani helyek megsejtésére használni.}%
%{\hskip 6mm versenyfeladatok gyűjteményei, Középiskolai Matematikai
  %Lapok.\par}%
%{els\H{o}sorban tanári.}

%\tema{Geometriai fejtör\H{o}khöz kapcsolódó matematikai problémák}%
%{Csikós Balázs}%
%{A szakdolgozó feladata egy geometriai játékhoz vagy fejtör\H{o}höz kapcsolódó matematikai problémák összegyűjtése, megoldása. Például: Hányféleképpen lehet összerakni egy darabjaira szedett Rubik-kockát? Hány összerakásból tekerhet\H{o} ki a gyári elrendezés? Hányféleképpen lehet egy Rubik kocka kis négyzeteit kiszínezni $k$ színnel, ha két színezést nem különböztetünk meg, ha egymásba tekerhet\H{o}k? Mi a helyzet a Rubik-kocka variánsaival?\dots Avagy:  Egy dobókockát görgetünk a síkon úgy, hogy minden lépésben az egyik élén átgördítjük. Milyen helyzetekbe juttathatjuk így el a dobókockát? Hány görgetés kell minimálisan egy adott helyzetbe eljuttatáshoz? Vizsgáljuk meg ugyanezeket a kérdéseket egy számozott lapú tetraéderre, oktaéderre, ikozaéderre.}%
%{\hskip 6mm https://en.wikipedia.org/wiki/Rubik\%27s\_Cube \par}%
%{b\'armely szakos hallgat\'o}

%\tema{Geometriai egyenl\H{o}tlenségek a síkon és a gömbfelületen}%
%{Kertész Gábor}%
%{A feladat néhány egyszerűen megfogalmazható,
% de nem feltétlen könnyen bizonyítható egyenl\H{o}tlenség,
% mint a háromszöglemez pontjának csúcsoktól és oldalegyenesekt\H{o}l mért távolságai közti
% Erd\H{o}s--Mordell egyenl\H{o}tlenség körbejárása.
% Lehet\H{o}ség van még egyszerű,
% de a Hajós-könyvön túlmutató gömbi egyenl\H{o}tlenségek vizsgálatára is.
% Hogyan változik a csuklókkal összekötött rudakból álló négyszög területe
% a síkon és a gömbfelületen?
% Analitikus és más bizonyítások.
%}%
%{
%\cikk{Hajós György: {\sl Bevezetés a geometriába}}
%\cikk{Sklarszkij, Scsencov, Jaglom: {\sl Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréb\H{o}l.}}}%
%{elemz\H o}
%
%\tema{Tengelyes tükrözések az euklideszi és a gömbi geometriában}%
%{Kertész Gábor}%
%{Ismert, hogy a tengelyes tükrözések generálják
% a sík és a gömbfelület egybevágósági csoportját,
% de ún.\ tükrözésgeometriai eszközökkel sajátosan kezelhet\H{o}ek
% a sugársorok és a ciklusok (itt kör és egyenes) is.
% Segítségükkel bebizonyítjuk azt is,
% az adott oldalhosszúságú sokszögek halmazában,
% ha az nem üres és gömbön a kerület kisebb, mint $\pi$,
% egybevágóság erejéig pontosan egy körbe írható van.
%}%
%{\cikk{Hajós György: {\sl Bevezetés a geometriába.}}}%
%{elemz\H o}

%\tema{Szimmetrikus sudoku-megold\'asok}%
%{Kiss Gy\"orgy}%
%{Ha egy sudoku-megold\'ast\'ol a szok\'asos tulajdons\'agokon k\'\i v\"ul --
%minden sorban, minden oszlopban \'es minden kis n\'egyzetben forduljon el\H o
%mind a 9 sz\'amjegy -- m\'eg n\'eh\'any tov\'abbit is megk\"ovetel\"unk, akkor
%kapjuk az \'un.\ szimmetrikus megold\'asokat. Ezek szorosan kapcsol\'odnak 
%bizonyos perfekt k\'odokhoz \'es v\'eges geometri\'akhoz.}%
%{Bailey, Cameron, Connelly: {\sl Sudoku, gerechte designs, resolutions,
%affine space, spreads, reguli and Hamming codes}, k\'ezirat.}%
%{matematikus, alkalmazott matematikus.}
%
%\tema{Focibajnoks\'agok \'es v\'eges geometri\'ak}%
%{Kiss Gy\"orgy}%
%{Egy k\"orm\'erk\H oz\'eses focibajnoks\'ag fordul\'oinak 
%\"ossze\'all\'\i t\'asa sok csapat eset\'en nem egyszer\H u. Ennek a
%probl\'em\'anak sok sz\'ep geometriai megold\'asa van. Ezek k\"oz\"ul
%n\'eh\'any le\'\i r\'asa a dolgozat t\'em\'aja.}%  
%{Kiss, Sz\H onyi: {\sl V\'eges geometri\'ak}, 12.\ fejezet, Wallis:
%{\sl One-Factorizations.}}%
%{mindegyik.}

\tema{A momentumg\"orbe v\'eges terekben}%
%
{Kiss Gy\"orgy}
%
{A $q$ elem\H{u} v\'eges test f\"ol\"otti $n$-dimenzi\'os projekt\'{\i}v t\'erben momentumg\"orb\'enek
	nevezz\"uk a 
	$$\{ (1:t:t^2:\dots :t^n)\colon t\in \mathrm{GF}(q)\} \cup \{(0:0:\dots :0:1)\}$$ ponthalmazt.
	A g\"orb\'enek \'erdekes geometriai tulajdons\'agai miatt sok k\'odelm\'eleti \'es
	kriptogr\'afiai alkalmaz\'asa van. Ezek k\"oz\"ul n\'eh\'any kiv\'alasztott bemutat\'asa \'es
	p\'eld\'ak konstru\'al\'asa a leend\H{o} szakdolgoz\'o feladata. }%
%
{\cikk{Hirschfeld, J.~W.~P. and Thas, J.~A., {\it General Galois Geometries},
		Clarendon Press, Oxford, 1991.}
	%%%
	\cikk{Kiss Gy. \'es Sz\H{o}nyi T.: {\it V\'eges geometri\'ak,} 
		Polygon Kiad\'o, Szeged, 2001.}}
%
{(alkalmazott) matematikus}

%
%*****************************
%tema{Er\H{o}s reprezent\'al\'o rendszerek magasabb dimenzi\'os \'altal\'anos\'{\i}t\'asai}%
%
%{Kiss Gy\"orgy}%
%
%{V\'eges projekt\'{\i}v s\'{\i}kon er\H{o}s reprezent\'al\'o rendszernek nevez\"unk illeszked\H{o} pont-egyenes
%	p\'aroknak egy olyan $\{ (P_i,\ell _i)\} $ halmaz\'at, melyre teljes\"ul, hogy ha%
%	$P_j\, \mathrm{I} \, l_k,$ akkor $j=k.$ Az ilyen tulajdons\'ag\'u halmazok szorosan kapcsol\'odnak 
%		szemiov\'alisokhoz \'es s\'{\i}kbeli minim\'alis lefog\'o halmazokhoz. A leend\H{o} szakdolgoz\'o feladata
%		ezen halmazok lehets\'eges magasabb dimenzi\'os \'altal\'anos\'{\i}t\'asainak vizsg\'alata.}%
	%
{
%	\cikk{Ill\'es T., Sz\H{o}nyi T. \'es Wettl F.:{\it Blocking sets and maximal strong representative systems in finite projective planes,} 
%			Mitteilungen des Mathematischen Seminar der Universitat Giessen, {\bf 201} (1991), 97--107.}
%	\cikk{Kiss Gy. \'es Sz\H{o}nyi T.: {\it V\'eges geometri\'ak,} 
%			Polygon Kiad\'o, Szeged, 2001.}}%
%{matematikus}
	

	%
	%*****************************
	\tema{Affin szab\'alyos soksz\"ogek}%
	%
	{Kiss Gy\"orgy}%
	%
	{Az affin szab\'alyos soksz\"ogek az euklid\'eszi s\'{\i}k szab\'alyos soksz\"ogeinek affin k\'epei. B\'armely h\'aromsz\"og affin szab\'alyos, 
		a n\'egysz\"ogek k\"oz\"ul pedig a paralelogramm\'ak az affin szab\'alyosak. Ha egy soksz\"og oldalsz\'ama n\'egyn\'el nagyobb,
		akkor viszont ,,r\'an\'ez\'esre'' m\'ar nem lehet eld\"onteni az affin szab\'alyoss\'agot. A leend\H{o} szakdolgoz\'o feladata
		az affin szab\'alyos soksz\"ogek tulajdons\'againak \"osszegy\H{u}jt\'ese, a hozz\'ajuk kapcsol\'od\'o t\'etelek rendszerez\'ese.}%
	%
	{\cikk{Reiman I. {\it A geometria \'es hat\'arter\"uletei,} Szalay K\"onyviad\'o, Kis\'ujsz\'all\'as, 1999.}}
	%
	{b\'armely szakos hallgat\'o}
	
	
%	\tema{Affin szab\'alyos soksz\"ogek}%
%	%
%	{Kiss Gy\"orgy}%
%	
%	{Szabadon v\'alasztott t\'ema egy\'eni megbesz\'el\'es alapj\'an}%
%	
%	{b\'armely szakos hallgat\'o} 





%\tema{Baricentrikus koordin\'at\'ak}%
%{Lakos Gyula}%
%{A baricentrikus koordin\'at\'ak a h\'aromsz\"og geometri\'aj\'anak leghat\'ekonyabb
%analitikus eszk\"ozei. Seg\'its\'eg\"ukkel a h\'aromsz\"og nevezetes alakzatai mind 
%j\'ol le\'irhat\'oak; a h\'aromsz\"og geometri\'aj\'anak megnyugtat\'oan rendszeres
%kezel\'es\'ere van m\'od.}%
%{\cikk{Reiman Istv\'an: {\sl A geometria \'es hat\'arter\"uletei,} 2., 3. fejezet.}}%
%{tan\'ari.}
%ordin
\tema{Vektorazonosságok és alkalmazásaik}%
{Lakos Gyula}%
{Nevezetes és kevébé nevezetes vektorazonosságok vizsgálata.
	Vektorazonoságok alkalmazása elemi vagy projektív geometriában.}%
{\cikk{Hajós György: Bevezetés a geometriába.}
	\cikk{Reiman Istv\'an: {\sl A geometria \'es hat\'arter\"uletei}.}}%
{tan\'ari.}

\tema{K\"or\"ok analitikus geometri\'aja}%
{Lakos Gyula}%
{Körgeometriai tételek analitikus megközelítésben.
	Szükséges alapismeretek: A lineáris algebra magabiztos használata.
	%	A k\"ortart\'o (konform) lek\'epez\'esek nagyon sz\'ep t\'emak\"or, \'es term\'eszetesen csatlakozik
%az $\mathrm{O(3,1)}$ csoport meg\'ert\'es\'ehez.
}%
{\cikk{Hajós György: Bevezetés a geometriába.}
	\cikk{H.\ S.\ M.\ Coxeter: {\sl A geometri\'ak alapjai,} 6. fejezet.}}%
{elemz\H o}

\tema{Line\'aris algebra indefinit vektortereken}{Lakos Gyula}{Indefinit biline\'aris form\'akkal kapcsolatos t\'emak\"or\"ok
	(pl. klasszifik\'aci\'os eredm\'enyek) feldolgoz\'asa a szakirodalom alapj\'an.
	Sz\"uks\'eges alapismeretek: A line\'aris algebra megb\'{\i}zhat\'o ismerete.}
{\cikk{Gohberg, Lancaster, Rodman:  Indefinite Linear Algebra and Applications.}}
{matematikus}




\tema{Norm\'alt terek geometri\'aja}
{Nasz\'odi M\'arton}
{Az euklideszi t\'avols\'agot a s\'ikon (\'altal\'anosabban, $\mathbb{R}^n$-ben) kicser\'elhetj\" uk m\'as t\'avols\'agf\" uggv\'enyekre,
amik az euklideszit\H ol k\" ul\" onb\" oz\H o, \'erdekes geometri\'akhoz vezetnek. Lehet p\'eld\'aul vizsg\'alni, 
hogy az euklideszi s\'ikbeli trigonometria hogyan vihet\H o \'at egy norm\'alt s\'ikba, mi a mer\H olegess\'eg fogalma, mik az \'alland\'o sz\'eless\'eg\H u halmazok,
stb.}
{\cikk{A. C. Thompson: \emph{Minkowski Geometry}.}}
{matematikus, alkalmazott matematikus}



\tema{Hadwiger-számok}
{Nasz\'odi M\'arton}
{Egy $d$-dimenziós konvex testet érint\H{o}, páronként és a testtel átfedésmentes 
eltoltjainak száma a test \emph{Hadwiger-száma}. Több izgalmas kérdést lehet vizsgálni 
ezzel, és általánosabban, páronként átfedés nélküli eltoltak érintési gráfjával kapcsolatban.}
{Különböz\H{o} cikkek.}
{matematikus}




\tema{Csomóelmélet, régi és új invariánsok}
{Némethi András}
{A csomóelmélet a háromdimenziós térbeli zárt hurkok elmélete, érdekes találkozása a topológiának, kombinatorikának és a csoportelméletnek.  A régi invariánsok
is (fundamentális csoport, Alexander polinom, fed\H{o}terek szerkezete) már nagyon érdekes
képet adnak, az újabbak (Jones vagy HOMFLY polinomok) már egészen misztikusak.}
{\cikk{csomóelméleti könyvek, cikkek.}}
{mindegyik}

\tema{3 dimenziós sokaságok}
{Némethi András}
{A modern topológia alappillérének számít a kis dimenziós terek
elmélete, de ugyanakkor még nagyon szemléletesek. Ez a dimenzió már érdekes kihívás, még látni lehet a teret, de már érdekesebb módszerek kellenek a szerkesztésekhez, osztályozásokhoz (kombinatorika, csoportok).  A bevezet\H{o} példák: lencseterek, Seifert sokaságok, gráf 3-sokaságok. Kiindulási pont lehet differenciáltopológia vagy akár algebrai geometria (szingularitás elmélet) fele.}
{}
{mindegyik}

\tema{A fundamentális csoport}
{Némethi András}
{A topologikus terek megértésében és osztályozásában egyik legfontosabb
invariáns a fundamentális csoport. Nagyon sok geometriai jelenséget ez a csoport vezérel (miben különbözik az úszógumi a Klein üvegt\H{o}l vagy a focilabda a projektív síktól).
Kapocs a véges és kombinatorikus geometria, csoportelmélet,
gráfelmélet, reprezentációelmélet között.}
{}
{mindegyik}


\tema{Algebrai görbék}
{Némethi András}
{A (komplex) affin vagy projektív tér görbéit egy polinom zérushelyeként
definiáljuk. A polinom algebrai merevsége és a görbe alakja között érdekes összefüggések
vannak, összekötve az algebrát a topológiával. Ez az algebrai geometria születési helye,
elementárisan megfogalmazható százéves nyílt kérdésekkel.}
{}
{mindegyik}





\tema{Trigonometriai tételek a Cayley-Klein-modellben}%
{Verhóczki László}%
{A hiperbolikus geometria legismertebb és legyakrabban alkalmazott
modellje a Cayley-Klein-féle gömbmodell.
A szakdolgozó feladata a hiperbolikus trigonometria alapvető tételeinek a
Cayley-Klein-modellben történő tárgyalása.}%
{Reiman István: {\sl A geometria és határterületei.}}%
{mindegyik}

\tema{Geometriai vetítések analitikus leírása}%
{Verhóczki László}%
{A számítógépes grafikában a térbeli alakzatok parallel vagy centrális
 vetületeinek előállításakor különféle geometriai transzformációkat
 alkalmaznak. A cél ezen transzformációk részletes leírása és néhány 
 ábrázoló geometriai eredmény analitikus igazolása.}%
{Szirmay-Kalos László: {\sl Számítógépes grafika.} \\
Foley, van Dam, Feiner and Hughes: 
{\sl Computer graphics, principles and practice,}}%
{alkalmazott matematikus}

\tema{Másodrendű felületek és felületsorok a projektív térben}%
{Verhóczki László}%
{A projektív tér koordinátázása, a pontok és síkok homogén koordinátái.
Koordináta alapalakzatok, koordináta-transzformációk a projektív térben.
A másodrendű felületek projektív osztályozása a kanonikus egyenletek alapján.
Pólus-polársík kapcsolat egy másodrendű felületre vonatkozóan.
Az érintősík, mint polársík. A másodrendű felület kanonikus egyenletének
meghatározása az autopolár négyszög felhasználásával. Másodrendű felületsorok.
A másodrendű felületsor alapgörbéje, a széteső áthatás tétele.}%
{Kárteszi Ferenc: {\sl Ábrázoló geometria.} \\
Horvay Katalin-Reiman István: {\sl Projektív geometria.}}%
{mindegyik}

\end{document}



\end{document}


\tema{Szerkesztések a Cayley-Klein-féle körmodellben}%
{Verhóczki László}%
{A síkbeli hiperbolikus geometria legismertebb modellje a 
 Cayley-Klein-féle körmodell. Alapvet\H{o} projektív geometriai
 ismereteket alkalmazva ebben a modellben már megoldhatóak olyan
 problémák, mint például egy szakasz felez\H{o}mer\H{o}legesének vagy
 két egyenes korrespondeáló pontjainak a megszerkesztése.
 A modellbeli körök, paraciklusok és hiperciklusok euklideszi értelemben ellipszisek,
és ezeket centrális-tengelyes kollineációk segítségével lehet megkapni.}%
{\cikk{Reiman István: {\sl A geometria és határterületei.}}}%
{tanári}

\tema{Trigonometriai összefüggések a Cayley-Klein-modellben}%
{Verhóczki László}%
{A Cayley-Klein-féle modellben viszonylag könnyen igazolni lehet a
hiperbolikus trigonometria olyan alapvet\H{o} eredményeit, mint a
szinusztétel és a két koszinusztétel. Ezen kívül
le lehet vezetni a parallelszögre, valamint a kör kerületére
és területére vonatkozó összefüggéseket is.}%
{\cikk{Reiman István: {\sl A geometria és határterületei.}}}%
{tanári.}

\tema{Másodrendű görbesorok a projektív síkon}%
{Verhóczki László}%
{Mint ismeretes, a projektív síkon egy másodrendű
görbét öt független adattal 
(pédául három ponttal és közülük kett\H{o}ben az érint\H{o}vel)
lehet egyértelműen leírni. Alapvet\H{o} kérdés, hogy az ilyen koordináta-adatokból
miként lehet egyszerűen kiszámítani
a másodrendű görbe egyenletét. Ez a probléma
jól kezelhet\H{o} a másodrendű görbesorok alkalmazásával.}%
{\cikk{Horvay Katalin, Reiman István: {\sl Projektív geometria}} 
\cikk{I. Faux and M. Pratt: {\sl Computational geometry for design and
manufacture.}}}%
{tanári}
\eject

\tema{Geometriai vetítések analitikus leírása}%
{Verhóczki László}%
{A számítógépes grafikában a térbeli alakzatok parallel vagy centrális
 vetületeinek el\H{o}állításakor különféle geometriai transzformációkat
 alkalmaznak. A cél ezen transzformációk részletes leírása és néhány 
 ábrázoló geometriai eredmény analitikus igazolása.}%
{\cikk{Szirmay-Kalos László: {\sl Számítógépes grafika}}
\cikk{Foley, van Dam, Feiner and Hughes: 
{\sl Computer graphics, principles and practice}}}%
{tanári, alkalmazott matematikus}

\tema{A másodrendű felületek affin osztályozása}%
{Verhóczki László}%
{Ha megfelel\H{o} koordináta-transzformációt alkalmazunk
az euklideszi térben, akkor egy másodrendű felület
egyenlete kanonikus alakra hozható.
Ez a módszer lehet\H{o}séget nyújt a másodrendű
felületek affin osztályozására. További feladat a síkba nem
lefejthet\H{o} másodrendű vonalfelületek (az egyköpenyű hiperboloid és
a hiperbolikus paraboloid) geometriai tulajdonságainak tárgyalása.}%
{\cikk{Hajós György: {\sl Bevezetés a geometriába}}}%
{tanári}


\tema{Térbeli geometriai transzformációk analitikus leírása (foglalt)}%
{Verhóczki László}%
{A térbeli egybevágóság által a szabad vektorok terén indukált leképezés.
Az egybevágóság leírása mátrixegyenlettel (a koordinátázott térben). Az egybevágóságok osztályozása.
A síkra tükrözés és a tengely körüli elforgatás mátrixa. Az egységkvaternió által meghatározott elforgatás.
A szabályos poliéderek szimmetriacsoportjai. A térbeli hasonlósági transzformációk osztályozása,
a fixpont szerepe. Az affin transzformációk jellemzése. Speciális térbeli affinitások.
Az affin transzformáció invariáns derékszögű triédere.}
{\cikk{Marcel Berger: {\sl Geometry I-II.}}}%
{tanári}
\eject

\tema{A hiperbolikus sík Poincaré-féle körmodellje (foglalt)}
{Verhóczki László}%
{A köri pontnégyes kett\H{o}sviszonyának szerepe a modellbeli távolság megadásában.
Az euklideszi síkon vett inverziók, mint a körmodell tengelyes tükrözései.
A Bolyai-féle hiperbolikus síkgeometria axiómáinak teljesülése a modellben.
A modell szögtartó tulajdonságának igazolása. A körmodellben a körök, a paraciklusok
és a hiperciklusok meghatározása. Szerkesztési feladatok megoldása a modellben.
Kapcsolat a Poincaré-féle félsíkmodellel.}%
{\cikk{Reiman István: {\sl A geometria és határterületei.}}}% 
{tanári}

\tema{Másodrendű felületek és felületsorok a projektív térben}%
{Verhóczki László}%
{A projektív tér koordinátázása, a pontok és síkok homogén koordinátái.
Koordináta alapalakzatok, koordináta-transzformációk a projektív térben.
A másodrendű felületek projektív osztályozása a kanonikus egyenletek alapján.
Pólus-polársík kapcsolat egy másodrendű felületre vonatkozóan.
Az érint\H{o}sík, mint polársík. A másodrendű felület kanonikus egyenletének
meghatározása az autopolár négyszög felhasználásával. Másodrendű felületsorok.
A másodrendű felületsor alapgörbéje, a szétes\H{o} áthatás tétele.}%
{\cikk{Kárteszi Ferenc: {\sl Ábrázoló geometria}}
\cikk{Horvay Katalin, Reiman István: {\sl Projektív geometria.}}}%
{tanári}


\tema{Kombinatorikus geometriai problémák}%
{Naszódi Márton}%
{Különböz\H{o} elemi módszereken alapuló síkgeometriai eredményeket lehet bemutatni, illetve nyitott kérdéseket vizsgálni. 
Néhány példa: Erd\H{o}s--Szekeres-tételkör, azaz konvex $n$-szög létezése megfelel\H{o}en nagy ponthalmazban,
gráf síkbarajzolásában az élek metszeteinek száma,
körlapok családjában páronként diszjunkt elemkb\H{o}l álló részcsalád keresése.}%
{\cikk{J.\ Matou\v{s}ek: {\sl Lectures on Discrete Geometry}}
\cikk{ Pach J.: {\sl Combinatorial Geometry}}}%
{tanári.}

\tema{Normált terek geometriája}%
{Naszódi Márton}%
{Az euklideszi távolságot a síkon (általánosabban $\bf R^n$-ben) kicserélhetjük más távolságfüggvényekre, amelyek az euklideszit\H{o}l különböz\H{o} érdekes geometriákhoz vezetnek. Lehet például vizsgálni, hogy az euklideszi síkbeli trigonometria hogyan vihet\H{o} át normált síkba, mi a mer\H{o}legesség fogalma, mik az állandó szélességű halmazok, stb.}%
{\cikk{A.\ C.\ Thompson: {\sl Minkowski Geometry}}}%
{matematikus, tanári, alkalmazott matematikus.}

\tema{Konvex geometriai módszerek}%
{Naszódi Márton}%
{A magasdimenziós konvex testek vizsgálatában alkalmazott valószíműségi módszert lehetne bemutatni a Dvoretzky-tétel egy bizonyításán keresztül. E tétel szerint tetsz\H{o}leges $k$ természetes számhoz van olyan $n$ természetes szám, hogy minden $n$-dimenziós konvex testnek van olyan $k$-dimenziós metszete, amely ,,nagyon hasonlít'' az euklideszi gömbre.}%
{\cikk{K.\ Ball: {\sl Introduction to Modern Convex geometry}} \cikk{J.\ Matou\v{s}ek: {\sl Lectures on Discrete Geometry}}}%
{matematikus.}


\tema{Véges geometriai konstrukciók}%
{Sagmeister Ádám}%
{Véges projektív terek, ívek, általánosított sokszögek, blokkoló halmazok illetve egyéb véges geometriai struktúrák bevezetése, konstrukciók. Néhány alkalmazás, például az extremális gráfelmélet területén.}%
{\cikk{Kiss György, Sz\H{o}nyi Tamás: {\sl Véges geometriák}}}%
{b\'armely szakos hallgat\'o}




\tema{Geometriai módszerek a végtelen csoportok elméletében}%
{Moussong Gábor}%
{A csoportelmélet legtöbb eszköze csak a véges csoportok esetében működik 
hatékonyan. A végtelen csoportok megértéséhez különféle geometriai és 
topológiai módszerek állnak rendelkezésünkre: izometrikus csoporthatások, 
a Cayley-gráf geometriája és aszimptotikus viselkedése, görbületi feltételek.
}%
{\cikk{M.\ Kapovich: {\sl Lectures on Geometric Group Theory}} 
\cikk{M.\ Bridson, 
A.\ Haefliger: {\sl Metric Spaces of Non-positive Curvature.}}}%
{matematikus.}


\tema{Coxeter-csoportok}%
{Moussong Gábor}%
{A diszkrét transzformációcsoportok között a tükrözésekkel generált 
csoportokat, illetve ezek absztrakt megfelel\H{o}it, a Coxeter-csoportokat
ismerjük a legalaposabban. A szakdolgozat felderítheti a geometria és az 
algebra között ebben a témában különösen szépen megmutatkozó összjátékot.
}%
{\cikk{M.\ W.\ Davis: {\sl The geometry and topology of Coxeter groups}} 
\cikk{H.\ Hiller: {\sl The geometry of Coxeter groups.}}}%
{matematikus.}

\tema{Hiperbolikus geometria}%
{Moussong Gábor}%
{A Bolyai--Lobacsevszkij-féle geometria b\H{o}ségesen kínál felderítésre váró 
érdekes témákat úgy a modern, magasabb dimenziós vonatkozások területén
(pl.\ transzformációcsoportok, térformák leírása), mint a klasszikus
síkgeometriai kérdésekben (pl.\ a területszámítás elemi tárgyalása, 
háromszögek geometriája, trigonometria, szerkesztések).}%
{\cikk{E.\ B.\ Vinberg: {\sl Geometry II.} (Springer EMS Vol.\ 29.)} 
\cikk{Szász P.:
{\sl Bevezetés a Bolyai--Lobacsevszkij-féle geometriába}}
\cikk{Reiman I.: 
{\sl A geometria és határterületei.}}}%
{matematikus.}


\tema{Gömbi geometria.}%
{Moussong Gábor}%
{A nem-euklideszi geometriák közül a legszemléletesebb és legismertebb a 
gömbi geometria. Kísérletezni lehet bármilyen ismert síkgeometriai 
témakör átültetésével a gömbi geometriába (pl.\ háromszögek geometriája, 
szerkesztések, kúpszeletek, izoperimetrikus problémakör).}%
{\cikk{Csikós B.: {\sl Gömbi geometria}}
\cikk{ Moussong G.: {\sl Izopoerimetrikus 
egyenl\H{o}tlenségek és gömbi geometria.}}}%
{elemz\H o}

\tema{Poliéderek, mozaikok}%
{Moussong Gábor}%
{A jól ismert szabályos poliédereken kívül jó néhány érdekes poliédertípus 
vár feltérképezésre és osztályozásra: félig szabályos, uniform, csillag-,
Johnson-, Catalan-, stb. poliéderek. Rokon téma a mozaikok világa: a 
periodikus mozaikok osztályozása, nevezetes nem-periodikus mozaikok.}%
{\cikk{D.\ Wells: {\sl The Penguin Dictionary of Curious and Interesting 
Geometry.}}}%
{elemz\H o}

\tema{Érdekes síkgörbék}%
{Moussong Gábor}%
{A geometria hosszú története során változatos céllal és igen nagy számban 
vizsgáltak különféle síkbeli görbéket. Ezek összegyűjtése, rejtett 
összefüggéseik feltárása lehet a szakdolgozat témája.}%
{\cikk{Reiman I.: {\sl A geometria és határterületei}} 
\cikk{Pelikán J.: {\sl 
Klasszikus algebrai görbék}} \cikk{D.\ Wells: {\sl The Penguin 
Dictionary of Curious and Interesting Geometry.}}}%
{elemz\H o}



\tema{Egybevágóságok}%
{Szeghy Dávid}%
{Az egybevágóságok euklideszi osztályozásának mintájára a gömbi és
a hiperbolikus geometria egybevágóságait tekintjük át.}%
{\cikk{H.\ S.\ M.\ Coxeter: {\sl A geometriák alapjai}} 
\cikk{M.\ Berger: {\sl 
Geometry}}
\cikk{E.\ B.\ Vinberg: {\sl Geometry II.} (Springer EMS Vol.\ 29.)}}%
{b\'armely szakos}

%\tema{Véges geometriai konstrukciók}%
%{Sagmeister Ádám}%
%{Véges projektív terek, ívek, általánosított sokszögek, blokkoló halmazok, illetve egyéb véges geometriai struktúrák bevezetése, konstrukciók. Néhány alkalmazás, például az extremális gráfelmélet területén.}%
%{\cikk{Kiss György, Sz\H{o}nyi Tamás: {\sl Véges geometriák}}}%
%{b\'armely szakos hallgat\'o}

\tema{Affin transzformációk}%
{Szeghy Dávid}%
{Az affinitások áttekintése és felhasználása sík- és térgeometriai 
kérdésekben.}%
{\cikk{H.\ S.\ M.\ Coxeter: {\sl A geometriák alapjai}}
\cikk{M.\ Berger: {\sl 
Geometry.}}}%
{elemz\H o}

\tema{Állandó görbületű zárt felületek}%
{Szeghy Dávid}%
{Áttekintjük a zárt felületek topológiai osztályozását és felderítjük, 
melyiken milyen állandó görbületű geometria létezik.}%
{\cikk{E.\ B.\ Vinberg: {\sl Geometry II.} (Springer EMS Vol.\ 29.)}}%
{b\'armely szakos}


\tema{
Hiperbolikus geometria}%
{Szenthe János}%
{A cél Milnor egy cikkének feldolgozása, mely a hiperbolikus geometria rövid történeti összefoglalója után, a hiperbolikus sokaságok kérdésével foglalkozik. Bemutat ismert konstrukciókat és eredményeket. A témában nyitott kérdések is vannak, melyekkel később foglalkozni lehet.}%
{Milnor: Hyperbolic geometry the first 150 years, Bulletin (New Series) Of The American Mathematical Society, Volume 6, Number 1, January 1982}%
{matematikus} 
