Stacionárius folyamatok vizsgálata

frekvencia-tartományban

Diplomamunka

készítette: Bauer Péter

ELTE TTK

alkalmazott matematikus, V. évfolyam

témavezető: Maricza István

BME

Távközlési és Telematikai Tanszék

Tartalomjegyzék

Bevezetés 2

1. A spektrális sűrűségfüggvény 3 1.1. Fehér zaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2. Lineáris időinvariáns szűrő és a spektrális sűrűségfüggvény …. 11 1.3. ARMA folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Frakcionális ARIMA folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5. Hosszútávon összefüggő folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6. A frakcionális Gauss-zaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. A spektrális sűrűségfüggvény becslése 19

2.1. Abszolút szummázható autokovariancia függvényű

folyamatok spektrálbecslése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Hosszútávon összefüggő folyamatok spektrálbecslése . . . . . . . . 21

3. Aggregáció 24 3.1. Az aggregáció és az autokovariancia függvény . . . . . . . . . . . 24 3.2. Az aggregáció felbontása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3. Mozgóátlag képzés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4. Mintavételezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.5. Az aggregált folyamat spektrális sűrűségfüggvénye . . . . . . . . . 31 3.6. Néhány, az aggregációval kapcsolatos eredmény . . . . . . . . . . 32

Bevezetés

Stacionárius folyamatokat a természettudományok számos területén alkalmaznak olyan jelenségek modellezésére, melyek jellemzői „állandósultak”. Vizsgálatuk több módon lehetséges, a jelfeldolgozásban megszokott szóhasználattal élve időtartományban és frekvencia-tartományban is vizsgálódhatunk. Ez a dolgozat a stacionárius folyamatok frekvencia-tartományban történő vizsgálatával foglalkozik, ami a spektrális sűrűségfüggvénnyel való leírást jelenti majd.

Az utóbbi években előtérbe kerültek olyan modellek, például a távközlésben, amelyeknél a folyamatok időben távoli pontjai között számottevő korreláció van: az autokovariancia függvény lassan cseng le. Az ilyen folyamatok a hosszútávon összefüggő, más néven hosszú emlékezetű folyamatok. Ezeknek a folyamatoknak a hagyományos, rövidtávon összefüggő folyamatoktól eltérő statisztikai tulajdonságai vannak. A dolgozat nagy része egy olyan, a folyamatokon ható operációval, az aggregációval foglalkozik, amelynek segítségével a rövid és hosszútávon összefüggő folyamatok azonos módszerrel osztályozhatók.

Az 1. részben vezetjük be a spektrális sűrűségfüggvényt, és ez a rész tartalmazza a spektrális sűrűségfüggvény létezésére és előállítására vonatkozó állításokat. Ezek többségében elégséges feltételek, és Fourier-elméleti tételek alkalmazásai. Úgy tűnik, hogy ezt a témakört a stacionárius folyamatokkal foglalkozó szakirodalom meglehetősen elhanyagolja. Ebben a részben szerepel néhány közismert folyamat spektrális sűrűségfüggvényének kiszámítása is, és itt kerül bevezetésre a már említett hosszútávon összefüggő folyamatok fogalma időtartományban és frekvencia-tartományban.

A 2. rész a spektrális sűrűségfüggvény becslésével foglalkozik tömören, csak a főbb eredményeket ismertetve: a periodogramm aszimptotikus torzításával és a periodogramm eloszlásban való konvergenciájával foglalkozunk, megkülönböztetve az abszolút szummázható autokovariancia függvényű folyamatok esetét a hosszútávon összefüggő folyamatok esetétől.

A 3. rész az aggregációval foglalkozik. Az aggregáció egy folyamat egyenlő hosszú, egymást nem metsző szeleteit külön-külön átlagolja, majd az így kapott átlagokból új folyamatot készít. Ez még kutatás alatt álló terület, és a cél az volt, hogy a már ismert tételekre frekvencia-tartománybeli megközelítéssel más, lehetőleg egyszerűbb bizonyítást adjak. Ez csak részben sikerült: a tételekhez mindenféle többlet feltételt kellett feltenni, és bizonyos tételek átvitele megoldhatatlannak bizonyult számomra. Ez annak a következménye, hogy az aggregáció jóval komplikáltabban írható le frekvencia-tartományban, mint időtartományban, valamint az autokovariancia függvény és a spektrális sűrűségfüggvény közötti megfeleltetés nehézségeivel magyarázható.

A dolgozatban stacionárius folyamaton – ha másként nem mondjuk – diszkrét idejű, gyengén (másodrendben) stacionárius folyamatot értünk.

A saját tételeket, bizonyításokat a dolgozatban (*)-gal jelölöm.

1. A spektrális sűrűségfüggvény

1.1 Definíció [BD96] Egy X_{t} stacionárius folyamat autokovariancia függvényén a

γ_{X}(k) = cov(X_{t}, X_{t+k}), k ∈ ℤ

függvényt értjük.

1.2 Megjegyzés Mivel stacionárius folyamatról van szó, a definícióban szereplő kovariancia értéke független t-től, így az autokovariancia függvény jól definiált.

A definícióból látszik, hogy az autokovariancia függvény valós esetben szimmetrikus, komplex esetben Hermite tulajdonságú (γ(k) = \overline{γ(−k)}). Az autokovariancia függvényt karakterizálja az a tulajdonsága, hogy pozitív szemidefinit függvény. Azaz igaz a következő tétel.

1.3 Tétel [BD96] A γ(·) (esetleg komplex értékű) egész számokon értelmezett függvény pontosan akkor autokovariancia függvénye egy (esetleg komplex értékű) stacionárius folyamatnak, ha γ(·) pozitív szemidefinit. Azaz ha

∑_{j,k=1}^{n} a_{j}γ(j − k)\overline{a}_{k} ≥ 0,

tetszőleges n pozitív egész számra és a_{1}, a_{2}, …, a_{n} komplex számokra.

Tekinthetjük úgy, hogy az autokovariancia függvény a folyamatot időtartományban jellemzi, hiszen időpontbeli értékek kovariancia struktúráját adja meg. Determinisztikus függvényeknél szokásos a függvényt frekvencia-tartományban is jellemezni, ami a függvény valamilyen Fourier-transzformációját jelenti. Ha egy stacionárius folyamatot frekvencia-tartományban szeretnénk vizsgálni, több lehetőségünk van. Felírhatjuk magát a folyamatot egy ortogonális sztochasztikus mérték szerinti integrál alakjában, a következőkben tárgyalandó Herglotz-tételben szereplő alakhoz hasonlóan, csak persze nem egy F függvény szerint integrálunk, hanem az említett ortogonális sztochasztikus mérték szerint ([BD96, 145. oldal]). Ezt hívják a folyamat spektrális reprezentációjának. A másik lehetőség, hogy az autokovariancia függvényt jellemezzük frekvencia-tartományban. Mi ez utóbbi utat fogjuk követni.

A következő tétel arról szól, hogy egy autokovariancia függvény mindig felírható ún. Fourier-Stieltjes integrál alakban. Ezt az autokovariancia függvény pozitív szemidefinitségéből lehet levezetni.

1.4 Tétel (Herglotz)[BD96, 117. oldal] Egy komplex értékű, egészeken értelmezett γ(·) függvény akkor és csak akkor autokovariancia függvénye egy (esetleg komplex értékű) stacionáris folyamatnak, ha

γ(h) = ∫_{(−π,π]} e^{ihν}dF (ν)  (1)

minden h egész számra, ahol

F egy monoton növekedő, jobbról folytonos függvény, ami korlátos a [−π, π] intervallumon és F (−π) = 0.

Az (1) összefüggést a Fourier-analízisben szokásos szóhasználattal úgy is mondhatjuk, hogy az autokovariancia függvény γ(h) értékei az F függvény Fourier-Stieltjes együtthatói. Az F függvényt hívják a folyamat és az autokovariancia függvény spektrális eloszlásfüggvényének. F persze csak akkor igazi eloszlásfüggvény, ha γ(0) = 1. A spektrális eloszlásfüggvényt egyértelműen meghatározza az autokovariancia függvény, azaz ha F és G két monoton növekedő, jobbról folytonos függvény, ami korlátos [−π, π]-ben, és −π-ben 0, és

γ(h) = ∫_{−π}^{π} e^{ihν}dF (ν) = ∫_{−π}^{π} e^{ihν}dG(ν),

akkor F (λ) = G(λ), minden λ ∈ (−∞, ∞)-re ([BD96, 119. oldal]).

Ha van olyan f függvény, hogy F (λ) = ∫_{−π}^{λ} f(ν)dν, −π ≤ λ ≤ π, akkor f a folyamat és γ(·) spektrális sűrűségfüggvénye. Az ilyen F függvények abszolút folytonos függvények. Ekkor

γ(h) = ∫_{−π}^{π} e^{ihν}f(ν)dν.

Ezt úgy is kifejezhetjük, hogy γ(h) az f függvény h-adik Fourier-együtthatója. Ha a folyamatunk valós értékű, akkor az autokovariancia-függvénye is valós, amiből az következik, hogy az F spektrális eloszlásfüggvény szimmetrikus abban az értelemben, hogy

F (λ) = F (π^{−}) − F (−λ^{−}), −π < λ < π

A spektrális sűrűségfüggvényre ilyenkor a következő tulajdonságok teljesülnek:

1. f(λ) ≥ 0,

2. ∫_{−π}^{π} f(λ)dλ = F (π) < ∞

3. f(λ) = f(−λ).

Az első két tulajdonság komplex esetben is teljesül. Hasonlóan a spektrális eloszlásfüggvényhez, a spektrális sűrűségfüggvény is egyértelmű, azaz ugyanahhoz az autokovariancia függvényhez ugyanaz a spektrális sűrűségfüggvény tartozik. Az egyértelműséget m.m. (majdnem mindenütt) értjük, hiszen egy függvényt nullmértékű halmazon megváltoztatva Fourier-együtthatói változatlanok maradnak.

Ha egy folyamatnak van spektrális sűrűségfüggvénye, akkor autokovariancia függvénye lecsengő, tehát ∞-ben 0-hoz tart. Ezt a Riemann-Lebesgue lemma biztosítja ([Zyg59, 45. oldal]). Ez persze csak abban az esetben áll fenn, ha a spektrális sűrűségfüggvény csak közönséges függvény lehet és nem általánosított függvény (disztribúció). Amennyiben ugyanis megengedjük az általánosított függvényeket is, akkor például az azonosan 1 autokovariancia függvényhez a Dirac-δ spektrális sűrűségfüggvény tartozik. A továbbiakban csak közönséges függvényekkel foglalkozunk.

Előfordulhat-e, hogy egy γ autokovariancia függvény felírható úgy

γ(h) = ∫_{−π}^{π} e^{ihν}f(ν)dν  (2)

alakban, hogy f L^{1}-beli, azaz abszolútértéke végesen integrálható −π-től π-ig, de nem igaz, hogy nemnegatív? A válasz nemleges, miután igaz az, hogy ha két korlátos változású függvény Fourier-Stieltjes együtthatói ugyanazok, akkor a két függvény különbsége konstans ([Zyg59, 41. oldal]). Így ha az autokovariancia függvény felírható (2) alakban, akkor az f integráljával meghatározott korlátos változású G függvénynek és a Herglotz-tételből kapott F spektrális eloszlásfüggvénynek különbsége konstans. Így G monoton növő, tehát f nemnegatív. Tehát igaz a következő tétel:

1.5 Tétel (*) Ha γ egy autokovariancia függvény, és egy f L^{1}-beli függvény kadik Fourier-együtthatója γ(k), akkor létezik spektrális sűrűségfüggvény és ez megegyezik az f függvénnyel.

Milyen F spektrális eloszlásfüggvényekhez létezik spektrális sűrűségfüggvény? Mivel F monoton növő, ezért minden pontja vagy folytonossági, vagy szakadási pont. Ha F legalább egy pontban szakad, akkor nyilván nem létezik spektrális sűrűségfüggvény. Azonban ha F folytonos, az sem biztosítja a spektrális sűrűségfüggvény létezését, hiszen konstruálható olyan monoton növő, folytonos függvény, amely nem abszolút folytonos. Ilyen például a Cantor-függvény. (lásd például [GO64, 96. oldal]). Láttuk, hogy az autokovariancia függvény lecsengése szükséges feltétele a spektrális sűrűségfüggvény létezésének. De nem elégséges feltétel: létezik olyan monoton növő, folytonos, de nem abszolút folytonos függvény, amelyre vonatkozó Fourier-Stieltjes együtthatók nullához tartanak a végtelenben, mégpedig O(n^{− \frac{1}{2} +ϵ}) (tetszőleges ϵ > 0-ra) nagyságrendben ([Zyg59, II.kötet, 146. oldal]). (A Cantor-függvény nem ilyen, annál az együtthatók nem tartanak 0-hoz [Zyg59, 196. oldal].) Tehát létezik olyan 0-hoz tartó autokovariancia függvény, amelynek nincs spektrális sűrűségfüggvénye. Az azonban igaz ([Zyg59, 108. oldal]), hogy ha az autokovariancia függvény ∞-ben 0-hoz tart, akkor F folytonos.

A most következőkben azzal foglalkozunk, hogy mi mondható l_{1}-beli sorozatokról, speciálisan l_{1}-beli autokovariancia függvényekről.

1.6 Tétel [BD96, 120. oldal] Ha K(·) egészeken értelmezett komplex értékű függvény, és teljesül rá, hogy

∑_{n=−∞}^{∞} |K(n)| < ∞,

vagyis K ∈ l_{1}, akkor K(·) felírható

K(h) = ∫_{−π}^{π} e^{ihν}f(ν)dν, h = 0, ±1, …

alakban, ahol

f(λ) = \frac{1}{2π} ∑_{n=−∞}^{∞} e^{−inλ}K(n).  (3)

1.7 Megjegyzés A tétel bizonyítása integrál és szumma cserével történik, a K függvény abszolút szummázhatósága biztosítja azt, hogy ez megtehető.

1.8 Megjegyzés A (3) egyenlőség jobb oldalán álló trigonometrikus sort K(·) Fourier-traszformáltjának fogjuk nevezni. Ezzel a szóhasználattal akkor fogunk élni, amikor nem abból indulunk ki, hogy K(·) valamilyen f függvény Fourieregyütthatóiként áll elő.

Ennek a tételnek folyományaként adódik az alábbi fontos következmény, amely szükséges és elégséges feltételt ad arra, hogy egy l_{1}-beli sorozat autokovariancia függvény, kimondja, hogy l_{1}-beli autokovariancia függvényhez létezik spektrális sűrűségfüggvény, és adódik az is, hogy hogyan kell kiszámolni az autokovariancia függvényből a spektrális sűrűségfüggvényt.

1.9 Következmény [BD96, 120. oldal] Ha γ(·) ∈ l_{1}, azaz ∑_{k=−∞}^{∞} |γ(k)| < ∞, akkor γ(·) pontosan akkor autokovariancia függvénye egy stacionárius folyamatnak, ha

f(λ) := \frac{1}{2π} ∑_{k=−∞}^{∞} e^{−ikλ}γ(k) ≥ 0  (4)

minden λ ∈ [−π, π]-re. Ekkor γ(·) spektrális sűrűségfüggvénye f.

1.10 Megjegyzés Természetesen itt is, mint mindig, csak m.m. beszélhetünk a spektrális sűrűségfüggvény értékéről.

1.11 Megjegyzés Valós értékű folyamat esetén γ(−k) = γ(k), így a spektrális sűrűségfüggvényre vonatkozó (4) kifejezés a következő alakba írható:

f(λ) = \frac{γ(0)}{2π} + \frac{1}{π} ∑_{k=1}^{∞} cos(kλ)γ(k)

Azt tehát már tudjuk, hogy ha az autokovariancia függvény l_{1}-beli, akkor létezik spektrális sűrűségfüggvénye. A következő tétel kimondja, hogy nem csak létezik, hanem folytonos is ebben az esetben.

1.12 Tétel Ha γ_{X} ∈ l_{1}, akkor f_{X} folytonos.

Bizonyítás: f_{X}(t) = \frac{1}{2π} ∑_{k=−∞}^{∞} e^{−ikt}γ_{X}(k), és e^{−itk}γ_{X}(k)-nak van t-től független szummábilis majoránsa, mégpedig |γ_{X}(k)|, tehát Lebesgue tétele értelmében

lim_{t→t_{0}} f_{X}(t) = f_{X}(t_{0}),

vagyis f_{X} folytonos tetszőleges t_{0} ∈ [−π, π] pontban.

■

Milyen autokovariancia függvényre teljesül, hogy l_{1}-beli? Például arra, amelyik csak véges sok helyen nem 0, biztosan. Arra is teljesül, amelyik a végtelenben aszimptotikusan n^{−α}, ahol α > 1, hiszen ekkor létezik N természetes szám, hogy n ≥ N esetén γ(n) < 2n^{−α} és γ(n) > 0, így a ∑_{k=−∞}^{∞} |γ(n)| összeget szétválasztva egy −(N − 1) indextől N − 1 indexig terjedő részre és egy −∞-től −N-ig illetve egy N-től ∞-ig terjedő részre, a két végtelen összeg konvergens, mivel felülről becsülhető a konvergens 2 ∑ n^{−α} összeggel (α > 1). Hasonlóan belátható, hogy ha az autokovariancia függvény a végtelenben aszimptotikusan n^{−α}, de itt α ≤ 1, akkor nem l_{1}-beli. Tehát a később tárgyalandó (1.26 Definíció) hosszútávon összefüggő folyamatok autokovariancia függvénye nem l_{1}-beli.

Az l_{1}-beli sorozatok után vizsgáljuk most az l_{2}-beli sorozatokat!

1.13 Tétel Ha K(·) egészeken értelmezett komplex értékű függvény, és teljesül rá, hogy

∑_{n=−∞}^{∞} |K(n)|^{2} < ∞,

vagyis K ∈ l_{2}, akkor K(·) felírható

K(h) = ∫_{−π}^{π} e^{ihν}f(ν)dν, h = 0, ±1, …

alakban, ahol

f(λ) = \frac{1}{2π} ∑_{n=−∞}^{∞} e^{−inλ}K(n).

Itt az egyenlőség m.m. értendő, és a jobb oldalon álló trigonometrikus sor is csak m.m. konvergens.

Bizonyítás: A Riesz-Fischer-tétel ([Zyg59, 127. oldal], nem tévesztendő össze az L^{p} terek teljességéről szóló Riesz-Fischer-tétellel) kimondja, hogy egy l_{2}-beli K-hoz létezik olyan f ∈ L^{2}(−π, π), hogy az f k-adik Fourier-együtthatója K(k).

A Carleson-tételből (lásd pl. [Cha87, 157. oldal]) pedig következik, hogy egy L^{2}- beli f függvény Fourier-sora m.m. konvergál az f-hez (ez L^{p}-beli (1 < p ≤ ∞) függvényekre is igaz).

■

Ez a tétel az 1.6 Tétel l_{2}-beli megfelelője annyi különbséggel, hogy az ott szereplő trigonometrikus sor K ∈ l_{1} miatt nemcsak majdnem mindenütt, hanem minden pontban konvergens. Az alábbi fontos következményt kapjuk a tételből, amely az 1.9 Következmény l_{2}-beli változata, és többek között azt is kimondja, hogy l_{2}-beli autokovariancia függvénynek van spektrális sűrűségfüggvénye.

1.14 Következmény (*) Ha γ(·) ∈ l_{2}, azaz ∑_{k=−∞}^{∞} |γ(k)|^{2} < ∞, akkor γ(·) pontosan akkor autokovariancia függvénye egy stacionárius folyamatnak, ha

f(λ) := \frac{1}{2π} ∑_{k=−∞}^{∞} e^{−ikλ}γ(k) ≥ 0  (5)

m.m. λ ∈ [−π, π]-re. Ekkor γ(·) spektrális sűrűségfüggvénye f.

Bizonyítás: Az 1.13 Tétel kimondja, hogy f k-adik Fourier-együtthatója γ. Ezért, ha f m.m. nemnegatív, akkor γ autokovariancia függvény, és f a spektrális sűrűségfüggvénye. Megfordítva, ha γ autokovariancia függvény, akkor f nemnegativitása következik az 1.5 Tételből.

■

Ismert, hogy l_{1} ⊂ l_{2}, tehát ebből a Következményből következik az l_{1}-beli sorozatokra vonatkozó 1.9 Következmény. Azért foglalkoztunk mégis előbb az l_{1} esettel, mert egyrészt ott jóval egyszerűbbek a bizonyítások, szemben az l_{2} esettel, ahol olyan erős tételt is felhasználtunk, mint a Carleson-tétel, másrészt az l_{1} esetnél a spektrális sűrűségfüggvényt előállító trigonometrikus sor mindenhol konvergens, és az is kiderült, hogy a spektrális sűrűségfüggvény folytonos. Abból, hogy minden l_{1}-beli sorozat egyben l_{2}-beli sorozat is, az az apró megjegyzés következik, hogy az 1.9 Következménynél is elegendő f m.m. való nemnegativitását feltenni. Ez persze abból is következik, hogy egy m.m. nemnegatív, mindenhol folytonos függvény mindenhol nemnegatív.

Felmerülhet az a kérdés, hogy vajon valamilyen p > 2 esetén igaz-e, hogy minden l_{p}-beli autokovariancia függvénynek van spektrális sűrűségfüggvénye. A válasz az, hogy nem, mivel már az 1.5 Tétel utáni részben megemlítettük, hogy létezik olyan autokovariancia függvény, amely O(n^{− \frac{1}{2} +ϵ}) nagyságrendben tart a 0-hoz tetszőlegesen kicsi ϵ > 0-ra, de nincs spektrális sűrűségfüggvénye. Az ilyen autokovariancia függvény pedig tetszőleges p > 2-re benne van l_{p}-ben.

Belátható, hogy az 1.9 és az 1.14 Következménynél a következtetés egyik irányánál elhagyható az a feltétel, hogy az autokovariancia függvény l_{1}-beli, illetve l_{2}-beli legyen, viszont m.m. konvergencia és nemnegativitás helyett a mindenütt való konvergenciát és nemnegativitást kell megkövetelni: [Zyg59, 326. oldalon] szerepel az a tétel, hogy, ha egy (2π)^{−1} ∑_{n=−∞}^{∞} c_{n}e^{−ixn} trigonometrikus sor minden x-re konvergál egy véges f(x)-hez, ahol f integrálható függvény, akkor a trigonometrikus sor f Fourier-sora, azaz c_{n}-ek f Fourier-együtthatói. Ehhez vegyük hozzá azt a tételt, ami [Zyg59, 328. oldalon] szerepel, és kimondja, hogy ha a trigonometrikus sor nemnegatív függvényhez konvergál mindenhol, akkor ez a függvény integrálható. Így kapjuk a következő tételt:

1.15 Tétel Ha egy γ(·) egészeken értelmezett függvényre

f(λ) := \frac{1}{2π} ∑_{k=−∞}^{∞} e^{−ikλ}γ(k)

konvergens és nemnegatív minden λ ∈ [−π, π]-re, akkor γ autokovariancia függvény és f a spektrális sűrűségfüggvénye.

A következő tételből ([Zyg59, 183. oldal]) szintén egy elégséges feltételt kaphatunk a spektrális sűrűségfüggvény létezésére.

1.16 Tétel Ha a_{k} → 0 és az a_{0}, a_{1}, … sorozat konvex, akkor az

\frac{1}{2π} a_{0} + \frac{1}{π} ∑_{k=1}^{∞} a_{k} cos(kx)  (6)

sor konvergál – kivéve esetleg x = 0-ban – egy nemnegatív, integrálható, valamint folytonos (x ≠ 0) f(x) függvényhez, és \frac{1}{2π}a_{0} + \frac{1}{π} ∑_{k=1}^{∞} a_{k} cos(kx) a Fourier-sora az f-nek, vagyis a_{k} = ∫_{−π}^{π} e^{ikx}f(x)dx.

Az a_{0}, a_{1}, … sorozat konvexitása azt jelenti, hogy Δ^{2}a_{k} ≥ 0 minden k-ra, ahol Δa_{k} = a_{k} − a_{k+1}, Δ^{2}a_{k} = Δa_{k} − Δa_{k+1}. Geometriailag ez azt jelenti, hogy a (k, a_{k}) pontok által meghatározott töröttvonal konvex. Igaz az, hogy ha {a_{k}} konvex és korlátos, akkor monoton csökkenő. Az 1.16 Tételben tehát a feltétel teljesüléséhez szükséges, hogy a_{k} monoton csökkenő módon tartson 0-hoz.

Esetünkben, amikor a spektrális sűrűségfüggvény létezésére keresünk feltételt, a_{k} az autokovariancia függvény lesz a k helyen, vagyis a_{k} := γ(k). Az 1.16 Tétel szerint tehát a konvex, 0-hoz tartó autokovariancia függvényeknek van spektrális sűrűségfüggvényük. Sőt, az is következik, hogy egy konvex, 0-hoz tartó sorozat autokovariancia függvény. A konvexitás nem jelent megkötést az autokovariancia függvény lecsengésének gyorsaságára, ugyanis konstruálható tetszőleges ε_{n} → 0 pozitív számok sorozatához a_{n} konvex sorozat úgy, hogy a_{n} ≥ ε_{n} és a_{n} → 0.

Az 1.16 Tétel feltétele enyhíthető, ha a_{k}-ról mindjárt feltesszük, hogy autokovariancia függvény. Ugyanis az 1.16 Tétel kis módosítása úgy szól ([Zyg59, 184. oldal]), hogy ha annyit teszünk fel, hogy a_{k} monoton csökkenően tart nullához, akkor a (6) sor konvergál x = 0-át esetleg kivéve egy x ≠ 0 -ban folytonos f(x) függvényhez, amelynek Fourier-együtthatói a_{k}-k. Itt tehát kimarad az az állítás, hogy f nemnegatív. Ha azonban a_{k} egy autokovariancia függvény, akkor ez automatikusan következik. Tehát az eredmény az alábbi tétel.

1.17 Tétel (*) Ha γ autokovariancia függvény, és γ(k), k ≥ 0 monoton csökkenően tart 0-hoz, akkor létezik spektrális sűrűségfüggvénye.

Foglaljuk össze röviden az ebben a szakaszban szerepelt feltételeket! γ autokovariancia függvénynek létezik spektrális sűrűségfüggvénye, ha az alábbi feltételek valamelyike teljesül:

1. γ l_{1}-beli,

2. γ l_{2}-beli,

3. γ Fourier-transzformáltja mindenhol konvergens és nemnegatív,

4. γ(k) (k ≥ 0) monoton csökkenően tart a nullához.

Az 1., 2. és 3. feltétel komplex autokovariancia függvényre is teljesül, míg a 4. csak valós esetben. Ha valamelyik feltétel teljesül, akkor a γ Fouriertranszformáltja m.m. megegyezik a spektrális sűrűségfüggvénnyel. Az 1. feltétel teljesülése esetén a spektrális sűrűségfüggvény mindenhol folytonos (m.m. megegyezik egy folytonos függvénnyel), míg 4. esetén 0 kivételével mindenhol folytonos.

1.1. Fehér zaj

A legegyszerűbb stacionárius folyamat a fehér zaj.

1.18 Definíció [BD96] Egy Z_{t} stacionárius folyamatot fehér zajnak hívunk, jelölésben: Z_{t} ∼ W N(0, σ^{2}), ha Z_{1}, Z_{2}, … korrelálatlan, 0 várható értékű, σ^{2} szórásnégyzetű valószínűségi változók.

Az 1.9 Következményben szereplő eredmény segítségével számoljuk ki a fehér zaj spektrális sűrűségfüggvényét!

1.19 Tétel [BD96] Legyen ε_{1}, ε_{2}, … egy korrelálatlan folyamat, E(ε_{i}) = 0, E(ε_{i}^{2}) = σ_{ε}^{2} (i = 1, 2, …). Ekkor {ε_{t}} folyamatnak létezik spektrális sűrűségfüggvénye, és ez

f_{ε}(λ) = \frac{σ_{ε}^{2}}{2π} .

Bizonyítás: Az autokovariancia függvényre igaz, hogy γ_{ε}(t) = 0, t ≠ 0 a korrelálatlanság miatt, és γ_{ε}(0) = σ_{ε}^{2}, így az autokovariancia függvény l_{1}-beli. Most alkalmazzuk az 1.9 Következményt, és így kapjuk, hogy

f_{ε}(λ) = \frac{1}{2π} ∑_{k=−∞}^{∞} e^{−ikλ}γ_{ε}(k) = \frac{1}{2π} γ_{ε}(0) = \frac{1}{2π} σ_{ε}^{2}

■

Látható, hogy a fehér zaj spektrális sűrűségfüggvénye konstans, nem függ a λ frekvenciától.

1.2. Lineáris időinvariáns szűrő és a spektrális sűrűségfüggvény

Most nézzük meg, mi történik, ha az idősort ún. lineáris időinvariáns szűrővel szűrjük! Először definiáljuk [BD96, 122. oldal]-t követve, hogy mi is az a lineáris időinvariáns szűrő.

1.20 Definíció Azt mondjuk, hogy Y_{t} folyamat az X_{t} folyamat ψ = {ψ_{j} : j ∈ ℤ} lineáris időinvariáns szűrővel szűrt folyamata, ha

Y_{t} = ∑_{j=−∞}^{∞} ψ_{j}X_{t−j},  (7)

és

∑_{j=−∞}^{∞} |ψ_{j}| < ∞.

A (7) egyenletet rövidebben az

Y = ψ ∗ X

jelöléssel is írhatjuk, ahol a ∗ a konvolúciót jelenti. A ψ̃(λ) függvénnyel fogjuk a ψ lineáris időinvariáns szűrő átviteli függvényét jelölni, amely

ψ̃(λ) := ∑_{j=−∞}^{∞} ψ_{j}e^{−iλj}.

Vizsgáljuk a szűrt folyamat spektrális sűrűségfüggvényét! Először a spektrális eloszlásfüggvényt vizsgáljuk:

1.21 Tétel [BD96, 122. oldal] Ha X(t) 0 várható értékű stacionárius folyamat F_{X} spektrális eloszlás-függvénnyel, és Y (t) a ψ = {ψ_{j} : j ∈ ℤ} lineáris időinvariáns szűrővel X(t)-ből kapott folyamat, akkor Y (t) stacionárius, és spektrális eloszlásfüggvénye

F_{Y} (λ) = ∫_{(−π,λ]} | ∑_{j=−∞}^{∞} ψ_{j}e^{−ijν}|^{2} dF_{X}(ν), −π ≤ λ ≤ π

Ebből már következik az eredmény a spektrális sűrűségfüggvényre:

1.22 Következmény Legyen X(t) stacionárius folyamat, Y (t) pedig a ψ lineáris időinvariáns szűrővel szűrt folyamat. Ha X(t)-nek van f_{X} spektrális sűrűségfüggvénye, akkor Y (t)-nek is van f_{Y} spektrális sűrűségfüggvénye és

f_{Y} (λ) = |ψ̃(λ)|^{2}f_{X}(λ),

ahol ψ̃ a ψ átviteli függvénye.

1.3. ARMA folyamatok

Az ARMA folyamatokat régóta használják folyamatok modellezésére, becslésére. Ez viszonylag egyszerű kezelhetőségük eredménye.

Először is lássuk az ARMA folyamat definícióját!

1.23 Definíció [BD96, 78. oldal] X_{t} stacionárius folyamatot ARMA(p, q) folyamatnak nevezzük, ha

ϕ(B)X_{t} = θ(B)Z_{t},

ahol Z_{t} ∼ W N(0, σ^{2}), és ϕ(z) p-ed fokú, θ(z) q-ad fokú polinom z-ben. B a back-shift operátor, vagyis BX_{t} = X_{t−1}.

Az 1.22 Következmény alkalmazásával levezethetjük egy ARMA(p, q) folyamat spektrális sűrűségfüggvényét.

1.24 Tétel [BD96, 123. oldal] X_{t} legyen egy ARMA(p, q) folyamat, amire

ϕ(B)X_{t} = θ(B)Z_{t},

ahol Z_{t} 0 várható értékű, σ^{2} szórásnégyzetű fehér zaj. ϕ(z) p-ed fokú, θ(z) q-ad fokú polinom z-ben, nincs közös nullhelyük, és ϕ(z)-nek nincs nullhelye az egységkör kerületén. B a backshift operátor. Ekkor X_{t}-nek van spektrális sűrűségfüggvénye, és ez

f_{X}(λ) = \frac{σ^{2}}{2π} \frac{|θ(e^{−iλ})|^{2}}{|ϕ(e^{−iλ})|^{2}} .

Bizonyítás: Ismert [BD96]-ből, hogy X_{t} felírható ∑ ψ_{j}Z_{t−j} alakban, ahol ∑ |ψ_{j}| < ∞, tudjuk, hogy a fehér zajnak van spektrális sűrűségfüggvénye (1.19 Tétel), tehát az 1.22 Következmény szerint X_{t}-nek is van spektrális sűrűségfüggvénye. Legyen U_{t} := ϕ(B)X_{t} = θ(B)Z_{t}, akkor az 1.22 Következményt felhasználva a következő, spektrális sűrűrűségfüggvények közötti összefüggést írhatjuk fel:

f_{U}(λ) = |ϕ(e^{−iλ})|^{2}f_{X}(λ) = |θ(e^{−iλ})|^{2}f_{Z}(λ).

Az 1.19 Tételből következik, hogy f_{Z}(λ) = \frac{σ^{2}}{2π}. Ezt írjuk be az előbbi egyenlőségbe, majd osszunk át |ϕ(e^{−iλ})|^{2}-tel (felhasználva azt, hogy ϕ(z)-nek nincs nullhelye az egységkörön), és így kapjuk f_{X}-re a bizonyítandó állítást.

■

1.4. Frakcionális ARIMA folyamatok

A frakcionális ARIMA (fARIMA) folyamatok az ARMA folyamatokból származtathatóak. Hosszútávon összefüggő folyamatok modellezésére használhatóak. Az alábbiakban definiáljuk a fARIMA folyamatokat, majd levezetjük a spektrális sűrűségfüggvényüket! Az ARIMA és fARIMA folyamatok definíciója hasonló az ARMA folyamatokhoz. Míg egy X_{t} ARMA folyamatnál ϕ(B)X_{t} = ψ(B)Z_{t} teljesült, ahol Z_{t} fehér zaj volt, addig egy ARIMA(p, d, q) folyamatra (d nemnegatív egész) a megfelelő egyenlet:

ϕ(B)(1 − B)^{d}X_{t} = ψ(B)Z_{t}.  (8)

Mivel (1 − B)X_{t} = X_{t} − X_{t−1}, (1 − B)^{2}X_{t} = (X_{t} − X_{t−1}) − (X_{t−1} − X_{t−2}), stb., ezért (1 − B)^{d}-t joggal hívhatjuk a d-edik differencia operátornak. A felírt (8) egyenlet értelmezhető úgy, hogy X_{t} d-edik differenciája egy ARMA(p, q) folyamat. Tehát X_{t} egy ARMA folyamat „integráltja”, ha az integrálást most mint a d-edik differenciaképzés inverz műveleteként tekintjük. Innen jön az ARIMA elnevezés is: integrált ARMA folyamat. Ha (1 − B)^{d}-t kifejtjük:

(1 − B)^{d} = ∑_{k=0}^{d} \binom{d}{k}(−1)^{k}B^{k},  (9)

ahol

\binom{d}{k} = \frac{d!}{k!(d − k)!} = \frac{Γ(d + 1)}{Γ(k + 1)Γ(d − k + 1)}.

A Γ függvénnyel való felírás segítségével (1 − B)^{d}-t általánosítani tudjuk tetszőleges valós d-re:

(1 − B)^{d} := ∑_{k=0}^{∞} \binom{d}{k}(−1)^{k}B^{k}.

Ha itt d nemnegatív egész, akkor k > d-re \binom{d}{k} = 0. Így ebben az esetben visszakapjuk a korábbi (9)-beli definíciót. Most, hogy (1 − B)^{d}-t már definiáltuk valós d-kre is, ennek segítségével −\frac{1}{2} < d < \frac{1}{2}-re a (8) egyenlettel definiálható X_{t} stacionárius folyamatot frakcionális ARIMA folyamatnak nevezzük. A d-re vonatkozó korlátok a folyamat stacionaritása miatt kellenek ([Ber94, 60. oldal]). A definíciót úgy is fel lehet fogni, hogy egy fARIMA(0, d, 0) folyamatot átengedünk egy ARMA(p, q) szűrőn. Tehát ha a fARIMA(0, d, 0) folyamat spektrális sűrűségfüggvénye f, akkor az X_{t} spektrális sűrűségfüggvénye f_{X}(λ) = f(λ)\frac{|θ(e^{−iλ}|^{2}}{|ϕ(e^{−iλ}|^{2}} . Így elegendő fARIMA(0, d, 0) spektrális sűrűségfüggvényével foglalkozni. A megfelelő definiáló egyenlet tehát:

(1 − B)^{d}X_{t} = Z_{t},

illetve

X_{t} = (1 − B)^{−d}Z_{t}.

Láttuk már az 1.22 Következménynél, hogy, ha X_{t}-t Y_{t}-ből a ∑ a(s)Y_{t−s} lineáris szűrővel kapjuk, és Y_{t}-nek f_{Y} a spektrális sűrűségfüggvénye, akkor X_{t} spektrális sűrűségfüggvénye |A(λ)|^{2}f_{Y} (λ), ahol A(λ) = ∑ a(s)e^{isλ}. Most Y_{t} legyen Z_{t}, és tudjuk, hogy X_{t} = (1−B)^{−d}Z_{t} = ∑ \binom{−d}{s}(−1)^{s}Z_{t−s}, így A(λ) = ∑ \binom{−d}{s}(−1)^{s}e^{isλ}, ami éppen (1 − e^{iλ})^{−d} kifejtése, tehát |A(λ)|^{2} = |1 − e^{iλ}|^{−2d}. Tehát fARIMA(0, d, 0) spektrális sűrűségfüggvénye:

\frac{σ^{2}}{2π} |1 − e^{iλ}|^{−2d}.

Így kapjuk a következő tételt.

1.25 Tétel Egy X_{t} fARIMA(p, d, q) folyamatnak, amelyre

ϕ(B)(1 − B)^{d}X_{t} = ψ(B)Z_{t},

a spektrális sűrűségfüggvénye:

f_{X}(λ) = \frac{σ^{2}}{2π} |1 − e^{iλ}|^{−2d} \frac{|θ(e^{−iλ})|^{2}}{|ϕ(e^{−iλ})|^{2}} .  (10)

Mivel |1 − e^{iλ}| = 2 sin \frac{1}{2}λ és lim_{λ→0} λ^{−1}(2 sin \frac{1}{2}λ) = 1, ezért a spektrális sűrűségfüggvény az origóban:

f(λ) ∼ f_{ARMA}(0)|λ|^{−2d}.  (11)

Így d > 0-ra a spektrális sűrűségfüggvénynek pólusa van a nullában. Ha 0 < d < \frac{1}{2}, akkor fellép a hosszútávú összefüggés jelensége.

1.5. Hosszútávon összefüggő folyamatok

A hosszútávú összefüggést lehet az autokorreláció (autokovariancia) függvénnyel vagy a spektrális sűrűségfüggvénnyel definiálni. Nézzük előbb az autokorrelációs definíciót. Itt és a későbbiekben is ρ-val az autokorreláció függvényt jelöljük.

1.26 Definíció Legyen X_{t} egy stacionárius folyamat, amire a következő teljesül. Létezik egy α ∈ (0, 1) valós szám és egy c_{ρ} > 0 konstans úgy, hogy

lim_{k→∞} \frac{ρ(k)}{c_{ρ}k^{−α}} = 1.  (12)

Ekkor X_{t}-t stacionárius hosszútávon összefüggő (LRD) folyamatnak, vagy hosszú emlékezetű folyamatnak nevezzük.

Gyakran α helyett a H = 1 − α/2 paramétert használjuk. Ezt a H paramétert szokás Hurst-paraméternek nevezni. Hosszútávú összefüggés tehát \frac{1}{2} < H < 1 esetén jelentkezik.

1.27 Definíció Legyen X_{t} egy olyan stacionárius folyamat, amire igaz, hogy létezik β ∈ (0, 1) valós szám és egy c_{f} > 0 konstans úgy, hogy

lim_{λ→0} \frac{f(λ)}{c_{f}|λ|^{−β}} = 1.  (13)

Ekkor X_{t} LRD folyamat.

Itt β paraméter mellett H = \frac{1}{2}(β + 1) is használatos. A definíciókban szereplő feltételek aszimptotikus jelöléssel írhatóak

ρ(k) ∼_{k→∞} c_{ρ}k^{−α}

illetve

f(λ) ∼_{λ→0} c_{f}|λ|^{−β}

alakban. Az f(x) ∼_{x→a} g(x) jelölés azt jelenti, hogy f és g függvény aszimptotikusan ekvivalens x → a mellett, azaz lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = 1. Az f(x) ∼ g(x) jelölés az f(x) ∼_{x→∞} g(x) összefüggést jelöli.

Az 1.26 és az 1.27 Definíciók ekvivalensek ([Ber94, 43. oldal]):

1.28 Tétel (i) Tegyük fel, hogy (12) egyenlőség 0 < α = 2−2H < 1-gyel teljesül. Ekkor a spektrális sűrűségfüggvény f létezik és

lim_{λ→0} \frac{f(λ)}{c_{f}|λ|^{1−2H}} = 1,

ahol

c_{f} = σ^{2}π^{−1}c_{ρ}Γ(2H − 1) sin(π(1 − H))

és σ^{2} = var(X_{t}). (ii) Tegyük fel, hogy (13) egyenlőség teljesül 0 < β = 2H − 1 < 1-re. Ekkor

lim_{k→∞} \frac{ρ(k)}{c_{ρ}k^{2H−2}} = 1,

ahol

c_{ρ} = 2σ^{−2}c_{f}Γ(2 − 2H) sin (π (H − \frac{1}{2})) .

Az 1.27 definíció és a fARIMA folyamatok spektrális sűrűségfüggvényének nullabeli pólusáról (11)-ben felírt kifejezés alapján adódik, hogy a fARIMA(p, d, q), 0 < d < \frac{1}{2} folyamatok hosszútávon összefüggő folyamatok H = d + \frac{1}{2} paraméterrel.

1.6. A frakcionális Gauss-zaj

A frakcionális Gauss-zaj (FGN) a frakcionális Brown-mozgás (FBM) növekményi folyamata. A frakcionális Brown-mozgást sokféleképpen lehet definiálni. Itt a következőképpen definiáljuk:

1.29 Definíció [Ber94] H paraméterű (0 ≤ H ≤ 1) frakcionális Brown-mozgásnak hívjuk azt az X(t) t ∈ ℝ, t ≥ 0 folyamatot, amelyre a következő tulajdonságok teljesülnek:

1. stacionárius növekményű

2. X(0) = 0, 1 valószínűséggel

3. X(t) Gauss-folyamat

4. E(X(t) − X(s)) = 0

5. var(X(t) − X(s)) = σ^{2}|t − s|^{2H}

6. folytonos trajektóriájú

1.30 Megjegyzés A definícióban az 5-ös pont helyett gyakran a folyamat önhasonlóságát szabják feltételül. Ez azt jelenti, hogy X(ct) és c^{H}X(t) véges dimenziós eloszlásai megegyeznek, azaz

(X(ct_{1}), X(ct_{2}), …, X(ct_{n})) =^{d} c^{H}(X(t_{1}), X(t_{2}), …, X(t_{n})),

tetszőleges n-re és t_{1}, t_{2}, …, t_{n} számokra.

Az FBM tulajdonságaiból egyszerűen levezethető a kovariancia függvénye:

1.31 Tétel Ha X(t) H paraméterű frakcionális Brown-mozgás, akkor

cov(X(t), X(s)) = \frac{σ^{2}}{2} \{|t|^{2H} − |t − s|^{2H} + |s|^{2H}\} .

1.32 Definíció [Ber94] A frakcionális Gauss-zaj a frakcionális Brown-mozgás növekményi folyamata, azaz ha X(t)-vel jelöljük a frakcionális Brown-mozgást, akkor

Y (k) = X(k) − X(k − 1) k ≥ 1 egész

a frakcionális Gauss-zaj.

Mivel az FBM stacionárius növekményű, ezért a FGN stacionárius folyamat. Az FBM kovariancia függvényéből könnyedén kiszámolható a frakcionális Gausszaj autokovariancia függvénye:

1.33 Tétel [Ber94] A H paraméterű frakcionális Gauss-zaj autokovariancia függvénye

γ(k) = \frac{σ^{2}}{2} \{|k + 1|^{2H} − 2|k|^{2H} + |k − 1|^{2H}\} .

Taylor-sorfejtéssel megmutatható, hogy γ(k) ∼ σ^{2}H(2H − 1)k^{2H−2}. Tehát, ha \frac{1}{2} < H < 1, akkor a frakcionális Gauss-zaj hosszútávon összefüggő H Hurstparaméterrel. Ezért viszonylagos egyszerűsége folytán az FGN a hosszútávon összefüggő folyamatok népszerű modellje, bár nem tökéletes, hiszen várható értéke 0, mégis nyilvánvalóan nem-nulla várható értékű folyamatokat modelleznek vele (például adatforgalmi modelleknél: [Nor95]).

Most a frakcionális Gauss-zaj spektrális sűrűségfüggvényével foglalkozunk. Kiszámolásához fel fogjuk írni a folyamat ún. harmonizálható reprezentációját, ami a folyamatot a t pontban egy t-től függő integrandusnak egy M̃ komplex, izotróp, azaz forgatás-invariáns véletlen mérték szerinti integráljaként állítja elő. Ehhez a felíráshoz előbb a frakcionális Brown-mozgásnak adjuk meg a harmonizálható reprezentációját. Az itt használt eredmények a harmonizálható reprezentációról megtalálhatóak [ST94, 318-333. oldalon]. Az M̃ véletlen mérték szerinti integrál egy fontos tulajdonságáról, az izometriájáról szól a következő tétel.

1.34 Tétel

EI(f_{1})I(f_{2}) = ∫_{−∞}^{∞} f_{1}(x)\overline{f_{2}(x)}dx,

ahol I(f_{1}) és I(f_{2}) két, M̃ véletlen mérték szerinti integrál f_{1} illetve f_{2} integrandussal.

Most nézzük a frakcionális Brown-mozgás harmonizálható reprezentációját!

1.35 Tétel Legyen 0 < H < 1. Akkor a {B_{H}(t), t ∈ ℝ} H-paraméterű, σ_{0}^{2} szórásnégyzetű frakcionális Brown-mozgás a következő alakba írható:

B_{H}(t) = \frac{σ_{0}}{C_{2}(H)} ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{ixt} − 1}{ix}|x|^{−(H−1/2)}M̃(dx), t ∈ ℝ,

ahol

C_{2}(H) = (\frac{π}{HΓ(2H) sin Hπ} )^{1/2} .

A tétel bizonyításának lényege, hogy ellenőrizni kell, hogy az integrállal definiált folyamat H-paraméterű önhasonló, stacionárius növekményű folyamat, melynek szórásnégyzete σ_{0}^{2}.

Most könnyen megkaphatjuk az FGN harmonizálható reprezentációját, figyelembe véve, hogy az FGN a frakcionális Brown-mozgás növekményi folyamata, vagyis ha Y_{j}-vel jelöljük az FGN folyamatot a j időpontban, akkor Y_{j} = B_{H}(j + 1) − B_{H}(j). Így kapjuk:

1.36 Tétel Az {Y_{j}, j ∈ ℤ} H-paraméterű, σ_{0}^{2} szórásnégyzetű FGN folyamat harmonizálható reprezentációja:

\frac{σ_{0}}{C_{2}(H)} ∫_{−∞}^{∞} e^{ixj} \frac{e^{ix} − 1}{ix}|x|^{−(H−1/2)}M̃(dx), j ∈ ℤ,

ahol C_{2}(H) ugyanaz, mint az 1.35 Tételben.

Ennek az állításnak és az 1.34 Tétel segítségével írjuk fel γ(j)-t, az FGN autokovariancia függvényét a j helyen.

γ(j) = EY_{0}Y_{j} = σ_{0}^{2}C_{2}^{−2}(H) ∫_{−∞}^{∞} e^{ixj} |\frac{e^{ix} − 1}{ix}|^{2} |x|^{−2(H−1/2)}dx

= σ_{0}^{2}C_{2}^{−2}(H) ∫_{−∞}^{∞} e^{ixj}|e^{ix} − 1|^{2}|x|^{−2H−1}dx

= σ_{0}^{2}C_{2}^{−2}(H) ∑_{k=−∞}^{∞} ∫_{−π+2πk}^{π+2πk} e^{ixj}|e^{ix} − 1|^{2}|x|^{−2H−1}dx

= σ_{0}^{2}C_{2}^{−2}(H) ∑_{k=−∞}^{∞} ∫_{−π}^{π} e^{iλj}|e^{iλ} − 1|^{2}|λ + 2πk|^{−2H−1}dλ

= σ_{0}^{2}C_{2}^{−2}(H) ∫_{−π}^{π} e^{iλj}|e^{iλ} − 1|^{2} ∑_{k=−∞}^{∞} \frac{1}{|λ + 2πk|^{2H+1}} dλ.

Figyelembe véve, hogy γ(j) = ∫_{−π}^{π} e^{iλj}f(λ)dλ, ahol f(λ) a spektrális sűrűségfüggvény, kapjuk:

1.37 Tétel A H-paraméterű, σ_{0}^{2} szórásnégyzetű FGN spektrális sűrűségfüggvénye

f(λ) = \frac{σ_{0}^{2}}{C_{2}^{2}(H)}|e^{iλ} − 1|^{2} ∑_{k=−∞}^{∞} \frac{1}{|λ + 2πk|^{2H+1}} , −π ≤ λ ≤ π.

2. A spektrális sűrűségfüggvény becslése

A spektrális sűrűségfüggvény becslésére használatos a periodogramm. Egy tetszőleges x ∈ ℂ^{n} vektorra értelmezhető az I periodogramm, mégpedig egy ω_{j} = 2πj/n ún. Fourier-frekvenciánál a következőképpen:

2.1 Definíció Ha x ∈ ℂ^{n}, ω_{j} egy Fourier-frekvencia, akkor

I(ω_{j}) := |a_{j}|^{2} = |⟨x, e_{j}⟩|^{2} = \frac{1}{n} |∑_{t=1}^{n} x_{t}e^{−itω_{j}} |^{2}

a periodogramm a j-edik Fourier-frekvenciánál.

Itt

e_{j} = n^{−1/2}(e^{iω_{j}}, e^{i2ω_{j}}, …, e^{inω_{j}}),

(j = −[(n − 1)/2], …, [n/2]), ortonormált bázist alkot ℂ^{n}-ben, így a_{j} az x e bázis szerinti j-edik együtthatója. Úgy is mondhatjuk, hogy a periodogramm az x diszkrét Fourier-transzformáltjának (DFT) abszolútérték-négyzete osztva n-nel. Így, ha x egy stacionárius folyamatból egy minta, akkor a periodogramm a folyamatot frekvencia-tartományban jellemzi. Mivel a spektrális sűrűségfüggvény is egy stacionárius folyamat frekvencia-tartománybeli jellemzését adja, ezért kézenfekvő kapcsolatot keresni a kettő között. Ki fog derülni, hogy a periodogrammal becsülhető a spektrális sűrűségfüggvény. A következő állításból látszik, hogy miért érdemes a periodogrammot használni a spektrális sűrűségfüggvény becslésére. Felülvonással a komplex konjugáltat jelöljük, valós értékű folyamat esetén ezek természetesen elhagyhatók.

2.2 Tétel [BD96, 334. oldal] Ha ω_{j} egy nem nulla Fourier-frekvencia, akkor

I(ω_{j}) = ∑_{k=−n+1}^{n−1} γ̂(k)e^{−ikω_{j}},  (14)

ahol γ̂(k) = n^{−1} ∑_{t=1}^{n−k}(x_{t+k} − m)(x̄_{t} − m̄), k ≥ 0, m = n^{−1} ∑_{t=1}^{n} x_{t}, és γ̂(k) = \overline{γ̂(−k)}, k < 0. Ha m = 0 vagy γ̂(k) helyett egy olyan γ̃(k)-t írunk, amely úgy van definiálva, mint γ̂(k), csak m helyett 0-át írunk, akkor (14) egyenlőség minden Fourier-frekvenciára teljesül.

A fenti állításban szereplő γ̂ az autokovariancia függvény becslése, ha x_{t}, t = 1, …, n egy stacionárius idősor realizációja. A (14) egyenlőség jobb oldala pedig nagyon hasonló az l_{1}-beli autokovariancia függvényű stacionárius folyamatok spektrális sűrűségfüggvényének felírásához, ami f(ω) = (2π)^{−1} ∑_{k=−∞}^{∞} γ(k)e^{−ikω} volt.

2.1. Abszolút szummázható autokovariancia függvényű folyamatok spektrálbecslése

A következőkben a periodogramm aszimptotikus viselkedését fogjuk vizsgálni. Legyen I_{n} az X_{1}, …, X_{n} periodogrammja, ahol {X_{t}} stacionárius idősor, melynek várható értéke μ, és a γ(·) autokovariancia függvénye l_{1}-beli, azaz abszolút szummázható. A fentiekben már definiáltuk a periodogrammot az ω_{j} = 2πj/n Fourier-frekvenciákban, most kiterjesztjük tetszőleges ω ∈ [−π, π]-re, mégpedig a következőképpen:

I_{n}(ω) := \begin{cases}I_{n}(ω_{k}) & ω_{k} − π/n < ω ≤ ω_{k} + π/n \\ I_{n}(−ω) & ω ∈ [−π, 0) \end{cases}

A következő tétel arról szól, hogy \frac{1}{2π}I_{n}(ω) aszimptotikusan torzítatlanul becsli f(ω)-át, amennyiben ω ≠ 0.

2.3 Tétel [BD96, 343. oldal] Ha {X_{t}} stacionárius, μ a várható értéke, és autokovariancia függvénye γ abszolút szummábilis, akkor

EI_{n}(0) − nμ^{2} → 2πf(0),

és ha ω ≠ 0, akkor

EI_{n}(ω) → 2πf(ω).

Ha μ = 0, akkor EI_{n}(ω) egyenletesen konvergál 2πf(ω)-hoz [−π, π]-n.

A következő tétel a peridogramm eloszlásban való konvergenciájáról szól egy speciális esetben, amikor független, azonos eloszlású valószínűségi változók sorozatáról van szó.

2.4 Tétel [BD96, 344. oldal] Legyen Z_{t} független, azonos eloszlású, 0 várható értékű, és σ^{2} szórásnégyzetű folyamat, periodogrammja I_{n}. Ekkor

(i) Ha 0 < λ_{1} < ⋯ < λ_{m} < π akkor a (I_{n}(λ_{1}), …, I_{n}(λ_{m})) véletlen vektor eloszlásban konvergál n → ∞ mellett egy olyan vektorhoz, melynek koordinátái függetlenek és σ^{2} várható értékű exponenciális valószínűségi változók. (ii) Ha EZ_{1}^{4} = ησ^{4} < ∞, akkor

var(I_{n}(ω_{j})) = \begin{cases}n^{−1}(η − 3)σ^{4} + 2σ^{4} & ω_{j} = 0 vagy π \\ n^{−1}(η − 3)σ^{4} + σ^{4} & 0 < ω_{j} < π \end{cases}

és

cov(I_{n}(ω_{j}), I_{n}(ω_{k})) = n^{−1}(η − 3)σ^{4},

ha ω_{j} ≠ ω_{k}. Ha Z_{1} normális eloszlású, akkor η = 3, így I_{n}(ω_{j}) és I_{n}(ω_{k}) korrelálatlan, ha j ≠ k.

A következő tétel az előző állításhoz hasonlóan a periodogramm eloszlásban való konvergenciájával foglalkozik, itt azonban olyan idősorokról van szó, amelyek mozgóátlagként felírhatóak.

2.5 Tétel [BD96, 347. oldal] Legyen X_{t} olyan folyamat, hogy

X_{t} = ∑_{j=−∞}^{∞} ψ_{j}Z_{t−j},

ahol Z_{t} független, azonos eloszlású, 0 várható értékű, σ^{2} szórásnégyzetű sorozat, és ∑_{j=−∞}^{∞} |ψ_{j}| < ∞. Jelölje I_{n} az X_{1}, …, X_{n} periodogrammját és f X_{t} spektrális sűrűségfüggvényét. Ekkor

(i) Ha f(λ) > 0 minden λ ∈ [−π, π] és ha 0 < λ_{1} < ⋯ < λ_{m} < π, akkor az (I_{n}(λ_{1}), …, I_{n}(λ_{m})) véletlen vektor eloszlásban tart egy független, exponenciális eloszlású változókból álló vektorhoz, ahol az i-edik komponens várható értéke 2πf(λ_{i}), i = 1, …, m. (ii) Ha ∑_{j=−∞}^{∞} |ψ_{j}||j|^{1/2} < ∞, EZ_{1}^{4} = ησ^{4} < ∞, ω_{j}, ω_{k} ≥ 0, akkor

cov(I_{n}(ω_{j}), I_{n}(ω_{k})) = \begin{cases}2(2π)^{2}f^{2}(ω_{j}) + O(n^{−1/2}) & ω_{j} = ω_{k} = 0 vagy π \\ (2π)^{2}f^{2}(ω_{j}) + O(n^{−1/2}) & 0 < ω_{j} = ω_{k} < π \\ O(n^{−1}) & ω_{j} ≠ ω_{k} \end{cases}

ahol az O(n^{−1/2}) illetve O(n^{−1}) tagokat j-ben és k-ban egyenletesen felülről lehet becsülni c_{1}n^{−1/2}-del illetve c_{2}n^{−1}-gyel, valamilyen c_{1} és c_{2} pozitív konstansokkal.

2.2. Hosszútávon összefüggő folyamatok spektrálbecslése

Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy E(X_{i}) = 0. Az eredmények úgy is teljesülnek, ha X_{i} helyett X_{i} − X̄-et írunk.

Az előző szakaszban láttuk, hogy l_{1}-beli autokovariancia függvényű stacionárius idősorokra λ ≠ 0-ra

I(λ) →^{d} 2πf(λ)ζ,

ahol ζ egy 1 várható értékű exponenciális valószínűségi változó. Sőt az is igaz, hogy ha λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{k} véges sok nem 0 frekvencia, amire λ_{n,j} → λ_{j} és λ_{j} ± λ_{j′} ≠ 2πl (l ∈ ℤ), j ≠ j′, akkor

[I(λ_{n,1}), …, I(λ_{n,k})] →^{d} 2π[f(λ_{1})ζ_{1}, …, f(λ_{k})ζ_{k}],

ahol ζ_{1}, …, ζ_{k} független, 1 várható értékű exponenciális valószínűségi változók. Ez az eredmény bizonyos feltételekkel teljesül hosszútávon összefüggő folyamatokra is ([Ber94, 78. oldal]):

2.6 Tétel Legyen X_{t} egy stacionárius folyamat f spektrális sűrűségfüggvénnyel. Tegyük fel, hogy

f(x) = f^{∗}(x)|1 − e^{ix}|^{1−2H},

ahol \frac{1}{2} < H < 1 és f^{∗} egy [−π, π]-n értelmezett pozitív, folytonos függvény. Tegyük fel továbbá, hogy X_{t}-nek van egyoldali végtelen mozgóátlag előállítása, és a frekvenciák olyanok, mint az előbb, vagyis λ_{1}, …, λ_{k} véges sok nem 0 frekvencia, amire λ_{n,j} → λ_{j} és λ_{j} ± λ_{j′} ≠ 2πl, l ∈ ℤ, j ≠ j′. Ekkor

[I(λ_{n,1}), …, I(λ_{n,k})] →^{d} 2π[f(λ_{1})ζ_{1}, …, f(λ_{k})ζ_{k}]

teljesül, ahol ζ_{1}, …, ζ_{k} független, 1 várható értékű exponenciális valószínűségi változók.

A tétel fontos kikötése, hogy a frekvenciák nem tartanak 0-hoz. Ha 0-hoz tartanak, a periodogram másként viselkedik aszimptotikusan. Erről szól az alábbi tétel ([Ber94, 78. oldal]):

2.7 Tétel Legyen X_{t} egy stacionárius, hosszútávon összefüggő folyamat, aminek spektrális sűrűségfüggvénye f olyan, mint a 2.6 Tételben. Legyen j rögzített és λ_{j} = \frac{2πj}{n}. A normált periodogramm a következő:

I^{∗}(λ_{j}) := \frac{I(λ_{j})}{2πf(λ_{j})}.

Ekkor a következő tulajdonságok teljesülnek:

(i) Az I^{∗}(λ_{j}) aszimptotikus torzítása:

lim_{n→∞} E[I^{∗}(λ_{j})] = 2Δ_{j}(H, −1),

ahol

Δ_{j}(H, u) = \frac{1}{π} ∫_{−∞}^{∞} \frac{sin^{2} \frac{x}{2}}{(2πj − x)(2πj + ux)} |\frac{x}{2πj} |^{1−2H} dx

(ii) I(λ_{j}) aszimptotikus szórásnégyzete:

var[I(λ_{j})] = O(n^{4H−2}).

(iii) j ≠ j′ esetén I^{∗}(λ_{j}) és I^{∗}(λ_{j′}) aszimptotikusan korreláltak.

(iv) Ha X_{t} Gauss-folyamat, akkor

I^{∗}(λ_{j}) →^{d} η_{j},

ahol η_{j} a következő:

η_{j} = [\frac{1}{2}Δ_{j}(H, −1) − Δ_{j}(H, 1)] Z_{1}^{2} + [\frac{1}{2}Δ_{j}(H, −1) + Δ_{j}(H, 1)] Z_{2}^{2},

ahol Z_{1}, és Z_{2} független standard normális valószínűségi változók.

Az (i) pontban a torzítottságot nyilván az jelenti, ha 2Δ_{j}(H, −1) ≠ 1. Igaz az, hogy H > \frac{1}{2}-re és kis j-re az aszimptotikus torzítás nagy. H = \frac{1}{2} esetén Δ_{j}(H, −1) = \frac{1}{2}, Δ_{j}(H, 1) = 0, tehát ebben az esetben a (iv) pontban a rövidtávon összefüggő folyamatokra már ismert eredményt kapjuk vissza.

3. Aggregáció

A hosszútávon összefüggő folyamatok vizsgálatánál jelentős erőfeszítéseket tettek a folyamatok Hurst-paraméterének becslésére ([Ber94]). Foglalkoztak az úgynevezett második paraméter (c_{γ} illetve c_{f}) becslésével is ([VA99]). Legalább ilyen fontos volna a folyamat várható értékének becslése. Bár a mintaátlagról tudjuk, hogy a várható érték egyik leghatékonyabb becslése ([Ber94]), nem ismert a pontos hatékonysága, csak aszimptotikus eredmények vannak. Ilyen a következő tétel.

3.1 Tétel [Cox84] Legyen X_{t} stacionárius, hosszútávon összefüggő folyamat \frac{1}{2} < H < 1 Hurstparaméterrel. Ekkor

var (\frac{∑_{i=1}^{n} X_{i}}{n} ) ∼ \frac{c_{γ}n^{2H−2}}{H(2H − 1)}.

A mintaátlag szórásnégyzete (varianciája) pedig megegyezik az alábbiakban definiált aggregált folyamat szórásnégyzetével. Ez adja a motivációt arra, hogy az aggregált folyamattal részletesebben foglalkozzunk.

3.2 Definíció Adott egy X(t) diszkrét stacionárius folyamat. A folyamat Y (t) m-aggregáltja a következőképpen van értelmezve:

Y (t) = \frac{1}{m} ∑_{k=(t−1)m+1}^{tm} X(k),

vagyis a folyamatot m hosszú, egymást nem metsző darabokra osztjuk, majd ezeket a darabokat külön-külön átlagoljuk és az átlagokból elkészítjük az Y (t) folyamatot.

A most következő szakaszban ismerkedjünk meg az aggregációval kapcsolatos időtartománybeli eredményekkel. Ezek megtalálhatóak: [GVMM01].

3.1. Az aggregáció és az autokovariancia függvény

3.3 Definíció Legyen γ az X(t) folyamat autokovariancia függvénye, akkor S_{2}^{X} := ∑_{k=−∞}^{∞} γ(k) a kovariancia-összeg.

A továbbiakban feltesszük, hogy S_{2} létezik, véges vagy végtelen, és eltekintünk attól az esettől, amikor a sor úgy divergens, hogy nem a végtelenbe tart. Tehát például a γ(k) = (−1)^{k} esetet nem vesszük figyelembe. S_{2}-t a folyamatok jellemzésére használjuk más paraméterekkel együtt.

Az ebben a szakaszban szereplő tételek bizonyításánál a kulcs az, hogy az m-aggregált folyamat autokovariancia függvényét felírjuk különböző mértékben aggregált folyamatok szórásnégyzetével:

3.4 Tétel Ha γ^{(m)} az m-aggregált folyamat autokovariancia függvénye, v^{((k+1)m)}, v^{(km)} és v^{((k−1)m)} a (k + 1)m-, km-, illetve (k − 1)m-aggregált folyamat szórásnégyzete, akkor

γ^{(m)}(k) = \frac{1}{2} \{(k + 1)^{2}v^{((k+1)m)} − 2k^{2}v^{(km)} + (k − 1)^{2}v^{((k−1)m)}\} .

Figyeljük meg, hogy a tételbeli autokovariancia függvény felírt alakja mennyire hasonlít a frakcionális Gauss-zaj autokovariancia függvényére (1.33 Tétel). Ezt használjuk ki ahhoz, hogy belássuk: a frakcionális Gauss-zaj (illetve általánosítása, a 3.7 Definícióban definiált ALP) szoros kapcsolatban áll az aggregációval (lásd a 3.10, 3.12, és 3.15 Tételek).

Előbb azonban nézzünk néhány, a kovariancia-összegre vonatkozó állítást.

3.5 Tétel Ha S_{2} létezik, akkor S_{2} ≥ 0.

Ez az autokovariancia függvény pozitív szemidefinitségéből következik ([BD96]). Később, a 3.48 Tétel következményeként adunk egy bizonyítást a 3.5 Tételre.

3.6 Tétel Ha S_{2}^{(m)} az m-aggregált folyamat kovariancia-összege, és S_{2} ∈ (0, ∞) az eredeti folyamat kovariancia-összege, akkor S_{2}^{(m)} = \frac{S_{2}}{m}. Ha S_{2} 0 vagy ∞, akkor S_{2}^{(m)} = S_{2}.

Ha kiszámoljuk, hogy hogyan változik meg az autokovariancia függvény értéke egy helyen az aggregáció hatására, majd összegezzük az így kapott értékeket, viszonylag egyszerűen beláthatjuk ezt a tételt. Később szerepel egy bizonyítás a spektrális sűrűségfüggvény segítségével is (3.47 Tétel). Igaz, hogy ott egyéb feltételek is szükségesek a bizonyításhoz.

3.7 Definíció A H paraméterű aggregációs határ-folyamat (ALP), egy olyan folyamat, amelynek autokorrelációs függvénye (0 ≤ H ≤ 1 esetén):

ρ_{H}(k) = \begin{cases}1 & k = 0 \\ 2^{2H−1} − 1 & |k| = 1 \\ \frac{1}{2} \{|k + 1|^{2H} − 2|k|^{2H} + |k − 1|^{2H}\} & |k| ≥ 2 \end{cases}

Látható, hogy a definícióban szereplő autokorrelációs függvény gyakorlatilag ugyanaz, mint a frakcionális Gauss-zaj autokorrelációs függvénye (lásd 1.33 Tétel). Annyi a különbség, hogy a fenti autokorrelációs függvény H = 0-ra is definiált, míg az FGN-nél H = 0 mellett k = 0, 1, −1-re akkor lesz ugyanaz a kifejezés mint itt, ha 0^{0}-ont 0-nak vesszük. Miért nem használjuk a fenti definíciót H < 0-ra? Azért mert belátható, hogy ebben az esetben nem kapunk valódi folyamatot, az autokovariancia függvény nem pozitív szemidefinit.

Vizsgáljuk, hogy az aggregációnak milyen folyamatok lehetnek fixpontjai. Definiáljuk az autokorrelációs függvény segítségével a fixpont fogalmát!

3.8 Definíció Tegyük fel, hogy X^{(m)}(t) folyamat X(t) stacionárius folyamatból m-aggregációval keletkezett. Legyen a folyamatok autokorrelációs függvénye ρ_{X}^{(m)} és ρ_{X}. Akkor mondjuk, hogy X(t) folyamat fixpont az aggregációra nézve, ha ρ_{X}^{(m)}(k) = ρ_{X}(k), k ∈ ℤ, minden m-re. Vagyis tetszőleges m-re az m-aggregáció megtartja az autokorrelációs függvényt.

3.9 Megjegyzés A fenti definíció az autokovariancia függvényre nézve azt jelenti, hogy – γ_{X}-szel illetve γ_{X}^{(m)}-szel jelölve az autokovariancia függvényeket – γ_{X}^{(m)}(k) = C(m)γ_{X}(k), ahol C(m) egy m-től függő, de k-tól független szorzó. C(m)-et a szórásnégyzetekkel kifejezve: C(m) = γ_{X}^{(m)}(0)/γ_{X}(0).

A következő tétel kimondja, hogy a 3.7 Definícióban bevezetett ALP fixpont az aggregációra nézve.

3.10 Tétel Ha γ az ALP autokovariancia függvénye, γ^{(m)} az ALP-ből m-aggre-gálással kapott folyamat autokovariancia függvénye, akkor

γ^{(m)}(k) = m^{2H−2}γ(k) minden k ∈ ℤ-re és minden m ∈ ℤ^{+}-ra

3.11 Definíció Egy folyamat kovariancia-részösszege:

S_{2}(n) := ∑_{k=−n}^{n} γ(k),

ahol γ a folyamat autokovariancia függvénye.

3.12 Tétel Minden fixpont egy ALP.

3.13 Megjegyzés A 3.12 Tétel azon feltétel mellett bizonyított, hogy ∃n_{0} ∈ ℕ, hogy a kovariancia-részösszeg, S_{2}(n), nem negatív, ha n ≥ n_{0}.

Ezzel meghatároztuk az aggregációra nézve fixpontok osztályát. Vizsgálható az a kérdés is, hogy ha m-mel tartunk a végtelenbe, és egy folyamatot m-aggregálunk, akkor a kapott folyamatok autokorrelációs függvénye konvergále, és ha igen, akkor milyen függvényhez. Pontosabban:

3.14 Definíció Tegyük fel, hogy

ρ^{(∞)}(k) := lim_{m→∞} ρ^{(m)}(k)

létezik minden k ∈ ℤ-re, ahol ρ^{(m)} az m-aggregált folyamat autokorrelációs függvénye. Ekkor azt mondjuk, hogy a folyamat a ρ^{(∞)} vonzási tartományában van.

Ezzel kapcsolatosak az alábbi eredmények.

3.15 Tétel Tegyük fel, hogy az X_{t} folyamat a ρ^{(∞)} vonzási tartományában van, és teljesül a 3.13 Megjegyzésbeli feltétel. Ekkor ρ^{(∞)} megegyezik az ALP 3.7 Definíciójában felírt autokorrelációs függvénnyel.

Meg kellene mondani, hogy milyen folyamatokra létezik ρ^{(∞)}. Ehhez definiáljuk a w^{(m)} mennyiséget.

3.16 Definíció w^{(m)} := m^{2}v^{(m)}, ahol v^{(m)} az m-aggregált folyamat szórásnégyzete.

A következő 3.22 Tételben regulárisan változó sorozatról lesz szó. Hogy ez érthető legyen, definiáljuk előbb a regulárisan változó függvényeket, majd a regulárisan változó sorozatokat (diszkrét idejű regulárisan változó függvényeket). A regulárisan változó függvényekkel kapcsolatos definíciók és tételek megtalálhatóak: [Fel71],[Res].

3.17 Definíció Egy F függvény α exponensű regulárisan változó függvény, ha

lim_{t→∞} \frac{F (tx)}{F (t)} = x^{α}  (15)

minden x > 0-ra.

3.18 Definíció Ha egy függvény 0 exponensű regulárisan változó függvény, akkor lassan változó függvénynek nevezzük. Azaz a 3.17 Definícióban a (15) kifejezés jobb oldalára x^{α} helyett 1-et írva kapjuk meg a lassan változó függvény definícióját.

3.19 Tétel F függvény pontosan akkor α exponensű regulárisan változó függvény, ha F felírható

F (x) = x^{α}S(x)

alakban, ahol S lassan változó függvény.

3.20 Definíció Egy a_{1}, a_{2}, … sorozat regulárisan változó α exponenssel, ha van egy olyan α exponensű regulárisan változó f függvény, amelynek 1, 2, … helyeken felvett értékei a_{1}, a_{2}, …, azaz f(n) = a_{n}, n ∈ ℕ.

3.21 Megjegyzés Ha F (k) egy α exponensű regulárisan változó sorozat, akkor

lim_{m→∞} \frac{F (mn)}{F (m)} = n^{α}, m, n ∈ ℕ.

Ugyanakkor a fenti formulát kielégítő egészeken értelmezett függvények nem feltétlenül regulárisan változóak.

3.22 Tétel Ha teljesülnek a 3.15 Tétel feltételei, akkor a folyamat w^{(m)} sorozata regulárisan változó.

3.23 Tétel Ha egy folyamatra w^{(m)} regulárisan változó 2H exponenssel, ahol H < 1, akkor a folyamat a H-paraméterű ALP autokorrelációs függvényének vonzási tartományában van.

3.24 Megjegyzés Itt valójában elég az is, hogy lim_{m→∞} \frac{w(nm)}{w(m)} = n^{α}.

3.25 Tétel Ha γ autokovariancia függvény regulárisan változó, akkor a folyamathoz tartozó w^{(m)} is regulárisan változó.

3.26 Következmény Ha γ autokovariancia függvény regulárisan változó, akkor a folyamat az ALP vonzási tartományában van.

3.27 Megjegyzés A 3.26 Következményben megfogalmazott állítás nem fordítható meg: létezik olyan nem regulárisan változó γ autokovariancia függvényű folyamat, amelynek w^{(m)} sorozata regulárisan változó, tehát a folyamat az ALP vonzási tartományában van.

3.28 Megjegyzés Mivel a hosszútávon összefüggő folyamatok regulárisan változó autokovariancia függvényű folyamatok (1.26 Definíció), ezért ezek az ALP vonzási tartományában vannak.

3.2. Az aggregáció felbontása

Tegyük fel, hogy X(t) folyamat spektrális sűrűségfüggvénye f. Ki akarjuk fejezni az X(t) folyamatból aggregációval kapott folyamat spektrális sűrűségfüggvényét f segítségével. Ehhez az aggregálás műveletét bontsuk két részre: 1. mozgóátlag képzés, 2. mintavételezés.

Mozgóátlagképzés alatt a következőt értjük:

3.29 Definíció X(t) folyamatból képezzük Y (t) folyamatot a következőképpen:

Y (t) = ∑_{k=−∞}^{∞} a_{k}X(t − k),

ahol

a_{k} = \begin{cases}\frac{1}{m}, & −(m − 1) ≤ k ≤ 0 \\ 0, & különben \end{cases}

Ekkor azt mondjuk, hogy Y (t) X(t)-ből mozgóátlagképzéssel keletkezett. Ha hangsúlyozni akarjuk az m paraméter értékét, akkor m-mozgóátlagképzésről beszélünk.

3.30 Megjegyzés Itt az egyszerűség kedvéért használjuk a mozgóátlag elnevezést, általában mozgóátlag alatt tetszőleges együtthatókkal vett súlyozást szoktak érteni.

Például m = 2 esetén az új folyamat:

\frac{X_{0} + X_{1}}{2} , \frac{X_{1} + X_{2}}{2} , \frac{X_{2} + X_{3}}{2} , …

Mintavételezésről a következő értelemben beszélünk:

3.31 Definíció Az X(t) folyamatból úgy képezzük az új Y (t) folyamatot, hogy kiválasztjuk minden m-edik elemét, és ezekből képezünk sorozatot. Vagyis:

Y (t) = X(mt).

Ekkor azt mondjuk, hogy Y (t) X(t)-ből mintavételezéssel vagy – kiemelve m értékét – m-mintavételezéssel keletkezett.

A definíciókból világos, hogy ha egy X(t) folyamatból m-mozgóátlagképzéssel kapjuk Y (t) folyamatot, és Y (t) folyamatból m-mintavételezéssel Z(t) folyamatot, akkor X(t)-ből m-aggregációval képzett folyamat Z(t). Ugyanis amikor Y (t)- t mintavételezzük, akkor pont az X(t) folyamat egymást nem metsző m hosszú darabjainak átlagait választjuk ki.

3.3. Mozgóátlag képzés

Nézzük mi történik ekkor a spektrális sűrűségfüggvénnyel! A mozgóátlag képzés lineáris időinvariáns szűrés, ezért alkalmazható az 1.22 Következmény. Esetünkben ψ_{j} = a_{j}, és teljesül a ∑_{j=−∞}^{∞} |ψ_{j}| < ∞ feltétel.

ψ̃(λ) = \frac{1}{m} ∑_{j=−m+1}^{0} e^{−ijλ} = \frac{1}{m} ∑_{j=0}^{m−1} e^{ijλ}

Ez egy mértani sorozat összege. Számoljuk ki az összeget:

∑_{j=0}^{m−1} e^{ijλ} = \frac{e^{imλ} − 1}{e^{iλ} − 1} = \frac{e^{i \frac{m}{2} λ}}{e^{i \frac{1}{2} λ}} \frac{(e^{i \frac{m}{2} λ} − e^{−i \frac{m}{2} λ})}{(e^{i \frac{1}{2} λ} − e^{−i \frac{1}{2} λ})} =

\frac{e^{i \frac{m}{2} λ}}{e^{i \frac{1}{2} λ}} \frac{sin(\frac{m}{2}λ)}{sin(\frac{1}{2}λ)}

Az összegzésre használt képlet persze λ ≠ 0 esetén működik. Ha λ = 0, akkor az összegnek m-nek kell lennie. Ha az eredményt megnézzük, akkor látható (például L’Hospital-szabállyal), hogy λ = 0-ban m-hez tart. Terjesszük ki a 0-ban m-mel, és akkor az eredmény használható minden λ-ra. Tehát

|ψ̃(λ)|^{2} = \frac{1}{m^{2}} \frac{sin^{2}(\frac{mλ}{2})}{sin^{2}(\frac{λ}{2})}.

Az egyenlőség jobb oldalán álló mennyiség az ún. Fejér-mag m-ed része, azaz a Fejér-mag definíciójában \frac{1}{m^{2}} helyett \frac{1}{m} szorzó áll. Így az eredeti spektrális sűrűségfüggvény ennyivel szorzódik:

f_{Y} (λ) = \frac{1}{m^{2}} \frac{sin^{2}(\frac{mλ}{2})}{sin^{2}(\frac{λ}{2})}f_{X}(λ).

Az előbbiekben kapott eredményt írjuk fel a következő tételben:

3.32 Tétel Ha Y (t) folyamat az X(t) folyamatból keletkezett m-mozgóátlag képzéssel, és X(t) spektrális sűrűségfüggvénye f_{X}, akkor Y (t)-nek is van spektrális sűrűségfüggvénye, és ez az alábbi:

f_{Y} (λ) = \frac{1}{m^{2}} \frac{sin^{2}(\frac{mλ}{2})}{sin^{2}(\frac{λ}{2})}f_{X}(λ).

3.33 Megjegyzés A fentebb elmondottak alapján f_{Y} (0) = \frac{1}{m^{2}} · m^{2}f_{X}(0) = f_{X}(0).

3.4. Mintavételezés

Az új spektrális sűrűségfüggvényt az autokovariancia függvény segítségével fogjuk kiszámolni. A számolás egyszerűsítése érdekében a

γ(k) = ∫_{−π}^{π} e^{ikt}f(t)dt

összefüggés helyett a

γ(k) = ∫_{0}^{2π} e^{ikt}f(t)dt

kifejezést használjuk. Ez ekvivalens az előbbivel, hiszen e^{ikt} és f(t) is 2π periodikus t szerint. Az új folyamat autokovariancia függvénye:

γ_{Y} (h) = cov(Y_{t}, Y_{t+h}) = cov(X_{mt}, X_{mt+mh}) = γ_{X}(mh),

így

γ_{Y} (h) = γ_{X}(mh) = ∫_{0}^{2π} e^{imht}f_{X}(t)dt.

Ezt szeretnénk ∫_{0}^{2π} e^{iht}f_{Y} (t)dt alakba átírni. Alkalmazzunk t = \frac{s}{m} helyettesítést, ekkor az integrál kifejezés a következőképpen alakul:

∫_{0}^{2πm} e^{ihs} \frac{1}{m}f_{X} (\frac{s}{m}) ds

Írjuk ezt fel 2π hosszú intervallumokon vett integrálok összegeként:

∑_{k=1}^{m} ∫_{2π(k−1)}^{2πk} e^{ihs} \frac{1}{m}f_{X} (\frac{s}{m}) ds

Alakítsuk át minden egyes ∫_{2π(k−1)}^{2πk} e^{ihs} \frac{1}{m}f_{X}(\frac{s}{m})ds integrált [0, 2π]-n vett integrállá az s = t + 2π(k − 1) helyettesítéssel. Mivel 2π egésszámú többszörösével toltuk el az integrálást, ezért az exponenciális rész nem változik. Az eredmény:

∫_{0}^{2π} e^{iht} \frac{1}{m}f_{X} (\frac{t + 2π(k − 1)}{m}) dt

Összegezve ezt a kifejezést k szerint, kapjuk, hogy a keresett spektrális sűrűségfüggvény:

f_{Y} (t) = \frac{1}{m} ∑_{k=1}^{m} f_{X} (\frac{t + 2π(k − 1)}{m}) = \frac{1}{m} ∑_{k=0}^{m−1} f_{X} (\frac{t + 2πk}{m} )

Még ellenőrizni kell a kapott f_{Y} függvény nem-negativitását, de ez nyilvánvaló f_{X} nem-negativitásából.

Foglaljuk össze mindezt egy tételben:

3.34 Tétel (*) Ha Y (t) folyamat m-mintavételezéssel keletkezett X(t) folyamatból, és az X(t) spektrális sűrűségfüggvénye f_{X}, akkor Y (t)-nek is van spektrális sűrűségfüggvénye, mégpedig

f_{Y} (t) = \frac{1}{m} ∑_{k=0}^{m−1} f_{X} (\frac{t + 2πk}{m} ) .

3.5. Az aggregált folyamat spektrális sűrűségfüggvénye

Ha végrehajtjuk a mozgóátlag képzést, majd a mintavételezést, akkor megkapjuk az aggregált folyamatot. Ezt és az előzőekben kapott eredményeket felhasználva adódik a következő tétel.

3.35 Tétel (*) Ha az X(·) folyamatból m-aggregálással kaptuk az Y (·) folyamatot, és az X(·) folyamatnak létezik spektrális sűrűségfüggvénye (f_{X}), akkor az Y (·) folyamatnak is létezik spektrális sűrűségfüggvénye, mégpedig:

f_{Y} (t) = \frac{1}{m^{3}} ∑_{k=0}^{m−1} \frac{sin^{2}(\frac{t}{2})}{sin^{2}(\frac{t+2πk}{2m})}f_{X} (\frac{t + 2πk}{m} )

Bizonyítás: A 3.32 és a 3.34 Tételekből következik az eredmény, ha még azt is figyelembe vesszük, hogy

sin^{2} (\frac{1}{2}m (\frac{t + 2kπ}{m} )) = sin^{2} (\frac{1}{2}(t + 2kπ)) = sin^{2} (\frac{1}{2}t) ,

ahol a második egyenlőség a sin^{2} függvény π szerinti periodicitásából adódik. ■

3.36 Megjegyzés A tételből következik, hogy egy folyamat spektrális sűrűségfüggvénye egyértelműen meghatározza az aggregált folyamat spektrális sűrűségfüggvényét.

Az aggregált folyamat spektrális sűrűségfüggvényére kapott 3.35 Tételbeli összefüggést összehasonlítva a 3.4 Tételben az aggregált folyamat autokovariancia függvényére kapott összefüggéssel, látható, hogy mennyivel egyszerűbb az ott kapott eredmény. Igaz, hogy ott a v^{(m)} függvény segítségével írjuk fel az aggregált folyamat autokovariancia függvényét, az eredeti autokovariancia függvénnyel a kifejezés kicsit bonyolultabb lenne. Ennek következménye, hogy a spektrális sűrűségfüggvénnyel nehezebb belátni a 3.1 szakaszban kimondott állításokat illetve az azokkal párhuzamos, spektrális sűrűségfüggvényre vonatkozó állításokat.

3.6. Néhány, az aggregációval kapcsolatos eredmény

3.37 Tétel (*) Ha az Y (t) folyamat az X(t) folyamatból keletkezett mozgóátlag képzéssel, és X autokovariancia függvénye γ_{X} ∈ l_{1}, vagyis abszolútértékben összegezhető, akkor γ_{Y} ∈ l_{1} is igaz.

Bizonyítás: Ha f_{X} X(t) spektrális sűrűségfüggvénye, akkor

f_{Y} (t) = \frac{1}{m^{2}} \frac{sin^{2}(\frac{mt}{2})}{sin^{2}(\frac{t}{2})}f_{X}(t)

Ismert, hogy

\frac{1}{2π} \frac{sin^{2}(\frac{mt}{2})}{sin^{2}(\frac{t}{2})}

a

Δ_{m}(k) = \begin{cases}m − |k|, & k ≤ m − 1 \\ 0, & k ≥ m \end{cases} k ∈ ℤ

háromszög függvény Fourier-transzformáltja (Ez megtalálható például [Zyg59, 88. oldalon], de a 3.44 Lemma is lényegében ezt az állítást mondja ki). Emlékeztetünk a Fourier-transzformált elnevezés 1.8 Megjegyzésben bevezetett jelentésére: egy a(k) egészeken értelmezett függvény A(t), t ∈ ℝ Fourier-transzformáltját az

A(t) = \frac{1}{2π} ∑_{k=−∞}^{∞} e^{−ikt}a(k)

egyenlőséggel definiáljuk. Ez 2π szerint periodikus.

Tehát létezik ϑ egészeken értelmezett függvény, hogy

\frac{1}{m^{2}} \frac{sin^{2}(\frac{mt}{2})}{sin^{2}(\frac{t}{2})} = \frac{1}{2π} ∑_{k=−∞}^{∞} e^{−ikt}ϑ(k)

Persze itt ϑ(k) = \frac{2π}{m^{2}} Δ_{m}(k). Ismert, hogy a Fourier-transzformáltak szorzata az eredeti függvények konvolúciójának Fourier-transzformáltja. Ez például igazolható szummacserével, ami megtehető, hiszen ϑ és γ_{X} is abszolút szummázható. Mivel γ_{X} l_{1}-beli, ezért f_{X} a γ_{X} Fourier-transzformáltja (1.9 Következmény). Tehát létezik β függvény, hogy

f_{Y} (t) = \frac{1}{2π} ∑_{k=−∞}^{∞} e^{−ikt}β(k),

ahol β(k) = (ϑ ∗ γ_{X})(k).

ϑ ∈ l_{1}, γ_{X} ∈ l_{1}, tehát β ∈ l_{1} is (konvolúciós tulajdonság). β(k) = γ_{Y} (k) pedig ekkor következik, hiszen mindkettő előáll:

∫_{−π}^{π} e^{ikt}f_{Y} (t)dt

alakban: a γ_{Y} azért mert autokovariancia függvény, a β pedig az 1.6 Tétel miatt. ■

3.38 Tétel (*) Ha Y (t) folyamat az X(t)-ből m-mintavételezéssel áll elő, és γ_{X} ∈ l_{1}, akkor γ_{Y} ∈ l_{1} is igaz.

Bizonyítás: γ_{Y} (k) = γ_{X}(mk), így

∑_{k=−∞}^{∞} |γ_{Y} (k)| = ∑_{k=−∞}^{∞} |γ_{X}(mk)| ≤ ∑_{k=−∞}^{∞} |γ_{X}(k)| < ∞

■

3.39 Következmény (*) Ha Y (t) folyamat m-aggregálással adódik X(t)-ből, és γ_{X} ∈ l_{1}, azaz X(t) autokovariancia függvénye abszolút szummábilis, akkor Y (t) autokovariancia függvénye is, azaz γ_{Y} ∈ l_{1}.

A következő tételben azt vizsgáljuk, hogy a már a 3.3 Definícióban bevezetett S_{2} kovariancia-összeg hogy változik az aggregált folyamatnál. Ez lényegében ugyanaz az állítás, mint a 3.6 Tételben, csak itt a spektrális sűrűségfüggvény segítségével bizonyítunk.

3.40 Tétel (*) Legyen az X(t) folyamat autokovariancia függvénye γ_{X} ∈ l_{1}. Az Y (t) folyamat az X(t)-ből m-aggregációval áll elő. Ekkor S_{2}^{Y} = \frac{1}{m}S_{2}^{X}.

Bizonyítás: Ha γ_{X} ∈ l_{1}, akkor f_{X}(t) = \frac{1}{2π} ∑_{k=−∞}^{∞} e^{−ikt}γ_{X}(k), pontosabban mondva: vegyük az X spektrális sűrűségfüggvényének ezt a verzióját, amelyről tudjuk, hogy folytonos (1.12 Tétel). Ekkor 2πf_{X}(0) = S_{2}^{X}. Ha f_{Y} (t)-t kifejezzük a korábban a 3.35 Tételben megadott képlet segítségével f_{X}-ből (vagyis ezt a verzióját tekintjük Y spektrális sűrűségfüggvényének), akkor f_{Y} is folytonos, és ha t helyére 0-t helyettesítünk, akkor

f_{Y} (0) = \frac{1}{m}f_{X}(0)

adódik. A 3.39 Következményben beláttuk, hogy ha γ_{X} ∈ l_{1}, akkor γ_{Y} ∈ l_{1}, tehát f_{Y} m.m. megegyezik \frac{1}{2π} ∑_{k=−∞}^{∞} e^{−ikt}γ_{Y} (k) függvénnyel, ami szintén folytonos. Ha két folytonos függvény m.m. megegyezik, akkor mindenütt megegyezik. Tehát 0-ban is, így 2πf_{Y} (0) = S_{2}^{Y}. Vagyis:

S_{2}^{Y} = 2πf_{Y} (0) = 2π \frac{1}{m}f_{X}(0) = \frac{1}{m}S_{2}^{X},

amiből következik az állítás.

■

A továbbiakban a 3.40 Tételt általánosítjuk olyan folyamatokra, amelyek kovariancia-összege, S_{2} véges. Ezekről nyugodtan feltehető, hogy autokovariancia függvényük nem l_{1}-beli, hiszen l_{1}-beli autokovariancia függvényű folyamatokra a 3.40 Tétel alkalmazható.

A következő tétel megtalálható például [Zyg59, 89. oldalon]:

3.41 Tétel Legyen f ∈ L^{1}(−π, π), azaz f [−π, π]-ben abszolút integrálható függvény, valamint legyen 2π periodikus. Ha f folytonos az x pontban, és f Fourier-sora ebben a pontban konvergens, akkor a Fourier-sor összege az x pontban azonos f(x)-szel.

3.42 Megjegyzés Amennyiben f-ről csak annyit teszünk fel, hogy x-ben bal és jobboldali határértéke van, akkor a Fourier sor összege az x pontban \frac{f(x^{−})+f(x^{+})}{2}- vel, vagyis a jobb és baloldali határérték átlagával egyezik meg.

Ennek a tételnek a segítségével kapjuk az alábbi állítást, amely a spektrális sűrűségfüggvény 0-beli értéke és a kovariancia-összeg között teremt kapcsolatot. Azt használjuk ki, hogy az S_{2} kovariancia-összeg a spektrális sűrűségfüggvény Fourier-sora a 0-ban.

3.43 Következmény (*) Ha S_{2}^{X} < ∞, f_{X} a 0 pontban folytonos, akkor S_{2}^{X} = 2πf_{X}(0).

3.44 Lemma

\frac{sin^{2}(\frac{mt}{2})}{sin^{2}(\frac{t}{2})} = ∑_{l=0}^{m−1} ∑_{k=−l}^{l} e^{ikt}

Bizonyítás: Belátható (mértani sorozat összegzése), hogy

∑_{k=−l}^{l} e^{itk} = \frac{sin[(l + \frac{1}{2})t]}{sin(\frac{t}{2})}.

∑_{l=0}^{m−1} sin [(l + \frac{1}{2})t] = \frac{sin^{2}(m\frac{t}{2})}{sin(\frac{t}{2})}

pedig e^{[(l+ \frac{1}{2} )t]} l szerinti összegzésével, majd a képzetes rész vételével adódik. Tehát igaz a lemmában szereplő összefüggés.

■

3.45 Tétel (*) Ha az Y (t) folyamat az X(t) folyamatból keletkezett m-mozgóátlag képzéssel, és S_{2}^{X} < ∞, akkor S_{2}^{Y} < ∞ is igaz.

Bizonyítás: Tudjuk:

f_{Y} (t) = \frac{1}{m^{2}} \frac{sin^{2}(\frac{mt}{2})}{sin^{2}(\frac{t}{2})}f_{X}(t).

A 3.44 Lemma alapján:

γ_{Y} (j) = \frac{1}{m^{2}} ∫_{−π}^{π} e^{ijt} ∑_{l=0}^{m−1} ∑_{k=−l}^{l} e^{ikt}f_{X}(t)dt

= \frac{1}{m^{2}} ∑_{l=0}^{m−1} ∑_{k=−l}^{l} ∫_{−π}^{π} e^{i(j+k)t}f_{X}(t)dt = \frac{1}{m^{2}} ∑_{l=0}^{m−1} ∑_{k=−l}^{l} γ_{X}(j + k)

Így

∑_{j=−∞}^{∞} γ_{Y} (j) = \frac{1}{m^{2}} ∑_{l=0}^{m−1} ∑_{k=−l}^{l} ∑_{j=−∞}^{∞} γ_{X}(j + k) = \frac{1}{m^{2}} ∑_{l=0}^{m−1} ∑_{k=−l}^{l} ∑_{j=−∞}^{∞} γ_{X}(j)

= ∑_{j=−∞}^{∞} γ_{X}(j)

■

Be kellene látni, hogy a mintavételezés nem változtat S_{2} végességén. Sajnos most nem működik az a bizonyítás, amit az l_{1}-beli autokovariancia függvényekre 3.38 Tételben adtunk, hiszen a mintavételezés során kihagyott tagok lehetnek negatívak, és így a mintavételezett folyamat S_{2}-jét nem majorálhatjuk az eredeti folyamat S_{2}-jével. Sőt, tetszőleges sorra nem is igaz az, hogy ha az eredeti sor konvergens, akkor az új sor, amit minden m-edik tag kiválasztásával kapunk, konvergens.

Ennek ellenére igaz, hogy az aggregáció nem változtat S_{2} végességén, ez következik a 3.6 Tételből, csak ezt másképp kellene belátni, hiszen pont a 3.6 Tételt szeretnénk frekvencia-tartománybeli megközelítéssel belátni.

3.46 Tétel Ha Y (t) folyamat X(t) folyamatból m-aggregálással keletkezett, S_{2}^{X} < ∞, akkor S_{2}^{Y} < ∞

Ez, és a 3.43 Következmény adja az alábbi állítást, figyelembe véve még az aggregált folyamat 3.35 Tételbeli alakját, amiből látszik, hogy f^{(m)} 0-beli folytonosságához elég, ha f folytonos a 0-ban, és a \frac{2πk}{m} pontok valamilyen környezetében korlátos (k ∈ ℤ, k ≠ 0), azaz minden k nem-nulla egészhez van egy (k-tól és m-től függő) K korlát és δ > 0 szám, hogy |f(t)| < K, ha t ∈ (\frac{2πk}{m} − δ, \frac{2πk}{m} + δ). Hiszen a szinusznégyzetes kifejezés folytonos (0-ban megszüntethető szingularitással), a \frac{2πk}{m} (k ≠ 0) pontokban pedig 0. Az egyszerűség kedvéért a tételben feltesszük, hogy az f spektrális sűrűségfüggvény korlátos.

3.47 Tétel (*) Ha az Y (t) folyamat az X(t) folyamatból keletkezett m-aggregálással, S_{2}^{X} < ∞, f_{X} korlátos, valamint folytonos a 0-ban, akkor S_{2}^{Y} = \frac{1}{m}S_{2}^{X}.

Bizonyítás: Mivel S_{2}^{X} < ∞, ezért S_{2}^{Y} is véges. f_{Y} folytonos a 0-ban (mert f_{X} folytonos a 0-ban), így S_{2}^{Y} = 2πf_{Y} (0) és S_{2}^{X} = 2πf_{X}(0). Teljesül f_{Y} (0) = \frac{1}{m}f_{X}(0) is, így S_{2}^{Y} = \frac{1}{m}S_{2}^{X}.

■

Az f_{X} spektrális sűrűségfüggvény 0-beli viselkedésének vizsgálata nem egyenértékű az S_{2}^{X} kovariancia-összeg vizsgálatával, hiszen mutatható olyan nemnegatív L^{1}-beli 2π periodikus függvény, amely folytonos, de Fourier-sora nem konvergens a 0-ban, azaz ez egy olyan spektrális sűrűségfüggvény, amely folytonos (s persze így korlátos, és folytonos a 0-ban), de kovariancia-összege nem véges. [Zyg59, 299. oldalon] található ilyen konstrukció, csak ott nincs kikötve a nem-negativitás, de ez könnyen megoldható: vegyük a függvény pozitív részét és a negatív részét, ekkor az eredeti függvény a pozitív rész mínusz a negatív rész. Ez két nemnegatív L^{1}-beli 2π periodikus folytonos függvény, melyek Fourier-együtthatóinak különbségeként kaphatóak meg az eredeti függvény Fourier-együtthatói. Így, ha a pozitív és a negatív rész Fourier-sora is konvergens lenne a 0 pontban, akkor az eredeti Fourier-sor is konvergens lenne a 0-ban. Nem ez a helyzet, tehát a pozitív és a negatív rész közül legalább az egyik Fourier-sora nem konvergens a 0-ban.

A következő tétel a 3.11 Definícióban bevezetett kovariancia-részösszeg és a 3.16 Definícióban definiált w^{(m)} közötti összefüggésről szól.

3.48 Tétel w_{X}^{(m)} = ∑_{l=0}^{m−1} S_{2}^{X}(l).

Bizonyítás: (*) Használjuk fel, hogy

γ_{X}^{(m)}(k) = \frac{1}{m^{2}} ∫_{−π}^{π} e^{itkm} \frac{sin^{2}(m\frac{t}{2})}{sin^{2}(\frac{t}{2})}f(t)dt,

így

w_{X}^{(m)} = m^{2}γ_{X}^{(m)}(0) = ∫_{−π}^{π} \frac{sin^{2}(m\frac{t}{2})}{sin^{2}(\frac{t}{2})}f(t)dt.

Másrészt

∑_{l=0}^{m−1} S_{2}^{X}(l) = ∑_{l=0}^{m−1} ∑_{k=−l}^{l} γ_{X}(k)

= ∫_{−π}^{π} ∑_{l=0}^{m−1} ∑_{k=−l}^{l} e^{itk}f(t)dt.

A 3.44 Lemma alapján pedig megkapjuk a kívánt egyenlőséget.

■

Ennek a tételnek a következményeként bebizonyítjuk a 3.5 Tételt, ami azt mondta ki, hogy ha S_{2} létezik, akkor nemnegatív.

Bizonyítás: (3.5 Tétel) Tegyük fel, hogy S_{2} negatív. Ekkor az S_{2}(n) kovariancia-részösszegek valamilyen n-től kezdve már kisebbek, mint egy negatív α valós szám, hiszen S_{2}(n) határértéke S_{2}. Azaz ∃n_{0} ∈ ℕ, α < 0, hogy ∀n ≥ n_{0} S_{2}(n) < α. Ekkor ∑_{n=0}^{m−1} S_{2}(n) < 0, ha m elég nagy, hiszen a szummában n = n_{0}-tól kezdve csupa α < 0-nál kisebb tag szerepel, tehát az első n_{0} darab tag által adott esetleg nemnegatív összeget elég sok tag hozzávételével negatívvá tehetjük. De a 3.48 Tétel kimondja, hogy ez az összeg w^{(m)}, azaz az m-aggregált folyamat szórásnégyzetének m^{2}-szerese, ami nem lehet negatív. Tehát S_{2} nem lehet negatív.

■

Be fogjuk látni, hogy a frakcionális Gauss-zaj az aggregációra nézve fixpont. Definiáljuk előbb, mit is értünk itt fixpont alatt. A fixpont fogalmát egyszer már definiáltuk a 3.8 Definícióban az autokorrelációs függvény segítségével. Most definiáljuk a spektrális sűrűségfüggvény segítségével:

3.49 Definíció (*) Legyen az X^{(m)}(t) folyamat az X(t) folyamat m-aggregáltja. Legyenek a spektrális sűrűségfüggvények f_{X}^{(m)} és f_{X}. Akkor mondjuk, hogy az X(t) folyamat fixpont az aggregációra, ha f_{X}^{(m)}(λ) = C(m)f_{X}(λ), λ ∈ [−π, π], minden m-re, ahol C(m) egy m-től függő, de λ-tól független szorzó. Vagyis tetszőleges m-re az m-aggregáció megtartja a spektrális sűrűségfüggvényt.

3.50 Megjegyzés Persze itt le lehet normálni a spektrális sűrűségfüggvényt, hogy ennél a definíciónál is a 3.8 Definícióhoz hasonlóan szorzótag nélküli összefüggést írhassunk. Tehát ha h_{X}(λ) := \frac{f_{X}(λ)}{∫_{−π}^{π} f_{X}(λ)dλ} a normált spektrális sűrűség-

függvény, akkor a fenti fixpont-definícióban h_{X}^{(m)}(λ) = h_{X}(λ) lenne a feltétel. Azért a spektrális sűrűségfüggvény integráljával osztunk le, mert ez megegyezik az autokovariancia függvény 0 helyen felvett értékével (vagyis a szórásnégyzettel), így a 3.8 Definícióval ekvivalens definíciót kapunk.

Két definíciót is adtunk a fixpontra, meg kell mutatni, hogy ezek ekvivalensek.

3.51 Tétel (*) A 3.8 és a 3.49 Definíciók ekvivalensek, azaz ha X^{(m)}(t) az X(t) folyamatból keletkezett m-aggregálással, akkor: ρ_{X}^{(m)}(k) = ρ_{X}(k), k ∈ ℤ, minden m-re pontosan akkor, ha f_{X}^{(m)}(λ) = C(m)f_{X}(λ), λ ∈ [−π, π], minden m-re.

Bizonyítás: Ha f_{X}^{(m)}(λ) = C(m)f_{X}(λ), λ ∈ [−π, π], akkor

γ_{X}^{(m)}(k) = ∫_{−π}^{π} e^{ikλ}f_{X}^{(m)}(λ)dλ =

C(m) ∫_{−π}^{π} e^{ikλ}f_{X}(λ)dλ = C(m)γ_{X}(k).

Másrészt, ha ρ_{X}^{(m)}(k) = ρ_{X}(k), akkor

∫_{−π}^{π} e^{ikλ}f_{X}^{(m)}(λ)dλ = \frac{γ_{X}^{(m)}(0)}{γ_{X}(0)} ∫_{−π}^{π} e^{ikλ}f_{X}(λ)dλ,

ebből pedig a spektrális sűrűségfüggvények egyértelműsége miatt következik f_{X}^{(m)}(λ) = C(m)f_{X}(λ).

■

Most pedig belátjuk, hogy a frakcionális Gauss-zaj fixpont az aggregációra nézve.

3.52 Tétel Legyen {X_{j}, j ∈ ℤ} H-paraméterű, σ_{0}^{2} szórásnégyzetű FGN, γ_{X} az autokovariancia függvénye. Ekkor

γ_{Y} (j) = m^{2H−2}γ_{X}(j),  (16)

ahol Y az X folyamatból m-aggregálással kapott folyamat, γ_{Y} pedig Y autokovariancia függvénye. Sőt, a frakcionális Gauss-zajéval azonos autokovariancia függvényű folyamatokra (tehát a korábban ALP néven emlegetett folyamatokra (H>0)) is igaz (16) összefüggés.

Bizonyítás: (*) Az aggregált folyamat kifejezhető a frakcionális Brown-mozgás segítségével a következőképpen:

Y_{j} = \frac{1}{m} (B_{H}((j + 1)m) − B_{H}(jm)) ,

ahol B_{H} az a frakcionális Brown-mozgás, aminek növekményi folyamata a szóban forgó FGN. Tehát az Y autokovariancia függvénye:

γ_{Y} (j) = EY_{j}Y_{0} = \frac{1}{m^{2}} E [(B_{H}((j + 1)m) − B_{H}(jm)) (B_{H}(m) − B_{H}(0))] .

Alkalmazzuk az 1.30 Megjegyzést, mely szerint a H paraméterű frakcionális Brown-mozgás önhasonló folyamat H paraméterrel. Tehát ha az autokovariancia függvény fenti kifejtésében B_{H}(t) helyett m^{H}B_{H}(t/m) folyamatot írjuk be, akkor nem változtatunk γ_{Y} (j) értékén. Tehát

γ_{Y} (j) = \frac{1}{m^{2}} E [m^{H} (B_{H}(j + 1) − B_{H}(j)) m^{H} (B_{H}(1) − B_{H}(0))] =

= m^{2H−2}EX_{j}X_{0} = m^{2H−2}γ_{X}(j).

Ezzel a tétel nagyobb részét beláttuk. Az pedig, hogy az FGN-ével azonos autokovariancia függvényű folyamatokra is igaz az állítás, abból következik, hogy beláttuk, az aggregált folyamat spektrális sűrűségfüggvényét egyértelműen meghatározza (m.m.) az eredeti folyamat spektrális sűrűségfüggvénye (3.35 Tétel). Ekkor persze ez az autokovariancia függvényre is igaz, vagyis az aggregált folyamat autokovariancia függvényét egyértelműen meghatározza az eredeti folyamat autokovariancia függvénye. Így, ha egy olyan folyamatot tekintünk, aminek autokovariancia függvénye azonos az FGN autokovariancia függvényével, akkor annak aggregáltjának autokovariancia függvénye megegyezik az FGN aggregáltjának autokovariancia függvényével. Tehát (16) összefüggés teljesül.

■

Hivatkozások

[BD96] P. J. Brockwell and R. A. Davis. Time Series: Theory and Methods. Springer, 1996.

[Ber94] J. Beran. Statistics for Long-Memory Processes. Chapman & Hall, 1994.

[Cha87] D. C. Champeney. A handbook of Fourier theorems. Cambridge University Press, 1987.

[Cox84] D. R. Cox. Long-Range Dependence: A Review. In Proceedings 50th Anniversary Conference Iowa State Statistical Laboratory. The Iowa State University Press, 1984.

[Fel71] W. Feller. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. John Wiley and Sons, 1971.

[GO64] Gelbaum and Olmsted. Counterexamples in Analysis. Holden-Day, Inc., San Francisco, 1964.

[GVMM01] András Gefferth, Darryl Veitch, István Maricza, and Sándor Molnár. A characterization Framework for Short- and Long Memory Processes. In International Workshop on High Speed Networking, Balatonfüred, May 2001.

[Nor95] I. Norros. On the use of fractional brownian motion in the theory of connectionless networks. IEEE Journal on Selected Areas in Communications, pages 953–962, August 1995.

[Res] Sidney I. Resnick. Extreme Values, Regular Variation and Point Processes.

[ST94] Gennady Samorodnitsky and Murad S. Taqqu. Stable Non-Gaussian Random Processes. Chapman & Hall, 1994.

[VA99] D. Veitch and P. Abry. A Wavelet Based Joint Estimator of the Parameters of Long-Range Dependence. Special issue on Multiscale Statistical Signal Analysis and its Applications, IEEE Trans. Info. Th., 45(3):878–898, April 1999.

[Zyg59] A. Zygmund. Trigonometric Series. Cambridge, University Press, 1959.