K+F Projekt portfóliók menedzselése: valós opciós

megközelítés

Diplomamunka

Írta: Bódai Zoltán

Alkalmazott matematikus szak

Témavezető:

Fullér Róbert, egyetemi docens

Operációkutatási Tanszék

Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2005

II

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 1

2. Pénzügyi opciók és a Black-Scholes formula 4 2.1. Alapvető fogalmak áttekintése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2. A Black-Scholes formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Valós opciók 9

3.1. A valós opciók fajtái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.1.1. Időzítési opció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.1.2. A fázisokra bontás opciója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.1.3. A projekt abbahagyásának (és értékesítésének) opciója …. 11 3.1.4. Ideiglenes szüneteltetés, bővítés (gyorsítás), szűkítés (lassítás)

opciója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1.5. Input/output megváltoztatásának opciója . . . . . . . . . . . 12 3.1.6. Terjeszkedési/növekedési opció . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2. Alkalmazási területek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3. Analógia megvalósítása a klasszikus és a valós opciók között . . . . . 13

4. Projektértékelési módszerek 15

4.1. A klasszikus módszerek kritikája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.1.1. A klasszikus DCF (NPV) módszer . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.1.2. Döntési fák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2. A valós opciós módszerekről - általánosságban . . . . . . . . . . . . . 17 4.3. Az opciós értékelési módszerek bemeneti változói . . . . . . . . . . . 17

4.3.1. Az alapeszköz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.3.2. A kockázat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.3.3. Osztalék-kifizetések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.3.4. A kötési árfolyam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.3.5. A kockázatmentes kamatláb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.3.6. Lejárat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.3.7. Verseny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.4. Az opciós módszer gyakorlati lépései . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.5. Kérdések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5. A K+F projektek főbb típusai és modellezése 24 5.1. A kutatás és a későbbi pénzáramlások közötti kapcsolat . . . . . . . . 25 5.2. Egy telekommunikációs projekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.2.1. Az E-commerce projekt ismertetése . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.2.2. A projekt modellezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.3. Az NDA-projekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.3.1. A projekt ismertetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.3.2. A projekt modellezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.3.3. A modell értékelése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.3.4. Az általánosított Geske-modell . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6. Új információ 30

Függelék 36

Irodalomjegyzék 36

Ábrák jegyzéke

V

1. fejezet

Bevezetés

Fontos kérdés a mai gazdasági életben, hogy egy vállalat pontosan mekkora értéket tulajdoníthat egy elindításra váró, folyamatban lévő vagy befejezett K+F (R&D) projektjének^{1}. Manapság az amerikai nagyvállalatok már több mint egynegyede használja kutatásainak, fejlesztéseinek kvantitatív értékelésére a dolgozatban tárgyalt valós opciós megközelítést, és ez az arány folyamatosan csak nő. A vállalatok vezetői kezdik felismerni a módszer jelentőségét: azt, hogy a projekt értékét nem célszerű csupán a hagyományos (passzív) stratégiai hozzáállásra alapozott módszerekkel számítani, hanem annak tükröznie kell az aktív menedzselés lehetőségének értékét is. Ha a környezeti változásokra lehetőségünk van intelligens módon reagálni, vagyis a projektben van egy bizonyos mértékű flexibilitás (pl. kiszállhatunk a projektből vagy eladhatjuk azt), akkor a nem kívánt veszteségek bekövetkezése megelőzhető. Tehát a rugalmasság megléte növeli egy projekt értékét, ezt a növekedést viszont a klasszikus NPV (nettó jelenérték) módszer nem veszi figyelembe.

A 2. fejezetben áttekintjük a hagyományos, pénzügyi opciók alapvető típusait, majd ezután levezetésre kerül az árazásukra leggyakrabban használt Black-Scholes formula. Többféleképpen belátható az opciók piaci értékét meghatározó képlet. Ebben a fejezetben azon bizonyítás kerül ismertetésre, amelynek néhány főbb gondolatára a későbbiekben - más kontextusban - utalás történik.

A 3. fejezetben először a projektek során potenciálisan felmerülő valós opciók fajtáit ismertetjük, illetve megvizsgáljuk, hogy az élet mely területén bírnak kimondottan nagy értékkel az egyes opciók. Megvizsgáljuk, hogy a pénzügyi opciók elmélete milyen mértékben alkalmazható a valós opciók esetében, illetve megteremtjük a két elmélet közötti analógiát.

1Kutatás és fejlesztés (research and development)

A 4. fejezetben röviden áttekintjük a különféle projektek értékelésére általánosan használt módszereket. Megvizsgáljuk a valós opciók árazására használt módszerek tipikus bemenő paramétereit (alapeszköz, kockázat mértéke, osztalék-kifizetés, kötési árfolyam, kockázatmentes kamatláb, opció érvényességi ideje), így egyben áttekintést is kapunk a valós opciós módszer nehézségeiről. Említésre kerülnek azok az okok, melyek miatt egyes esetekben a valós opciós értékelés jóval nehezebb lehet, mint a klasszikus opciók árazása. A fejezet végén a felmerült kérdéseket foglaljuk össze, és a dolgozat hátralevő részében a megválaszolásukra teszünk kísérletet.

A valós opciós projektértékelési módszer számos iparágban használható, ill. már a gyakorlatban is használatos. Legszélesebb körben a gyógyszeriparban alkalmazzák, mivel itt viszonylag determinált a kutatás-fejlesztési fázisok hossza, de emellett számos más, bizonytalanságot rejtő kutatási projekt esetében is használható a módszer (információ technológia, természeti erőforrások kutatása, mezőgazdaság, telekommunikáció, stb.). Az 5. fejezetben a K+F projektek főbb típusai kerülnek bemutatásra. Mivel nincsen két azonos projekt, ezért nehéz olyan általános modellt felállítani, amely egyben kezeli a különféle kutatások sajátosságait. Emiatt példaként ismertetünk egy gyógyszeripari és egy IT projektet, ami azonban alkalmas lesz arra, hogy a modellezés során felmerülő főbb kérdésekkel találkozzunk, és választ keressünk rájuk. Megvizsgáljuk, hogy milyen megközelítés alkalmas az előbbi két projekt főbb fázisainak (kutatás, fejlesztés, implementáció) megfelelő modellezésére, és milyen módszert célszerű használni a projektek pénzben kifejezhető értékének meghatározásához. A modellek iránt természetes elvárás lesz, hogy az adott projekt sajátosságait figyelembe vegye (pl. összetett opciók jelenléte a projektben).

Új információk érkezésével illetve az idő előrehaladtával a legtöbb esetben kiderül, hogy másképp alakult a projekt anyagi sorsa, mint korábban várható volt. Mivel az időben előrehaladva csökken a menedzsment jövőbeni pénzáramlásokhoz kapcsolódó bizonytalansága, így a változó körülményeknek megfelelően tudja módosítani a projekthez fűződő várakozásokat, reményeket. A lényegi információk azonban tipikusan nem folyamatosan áramlanak, hanem diszkrét időpillanatokban érkeznek. Emiatt egyes esetekben az a feltevés, hogy az alapeszköz lognormális eloszlást követ, nem megalapozott. A 6. fejezetben a probléma kezelésére alkalmas projektértékelési módszert ismertetünk, mely tekintettel lesz a lényegi információk érkezésének gyakoriságára, illetve ennek a gyakoriságnak az alapeszköz eloszlását módosító hatására.

A 7. fejezetben szó lesz a projekt érzékenységvizsgálata során definiált néhány parciális derivált (delta, gamma, vega, teta, ró) jelentőségéről, majd az eredményekre alapozva következtetéseket vonunk le a sikeres projektmenedzseléssel kapcsolatosan.

A 8. fejezetben olyan projektek árazására vezetünk le modellt, amelyek a piacon nem kereskedettek, mégis, egy ún. egységes piaci hasznossági függvény bevezetésével meg tudjuk határozni a befektetés pénzben kifejezhető értékét. Többféle típusú LRT^{2}- osztálybeli függvényt tekintünk majd, és szimulációval hasonlítjuk össze, mennyire hatékonyan írják le a piac magatartását. Végül az opcióárazási képletek egyik bemenő paraméterére, az alapeszköz (pénzügyi kontextusban pl. a részvény, valós opciós megközelítés esetében leggyakrabban a jövőbeli várható pénzáramlás) volatilitására próbálunk meg becslést adni. A becslésben nem direkt módon próbáljuk meghatározni σ értékét, hanem feltételezzük, hogy a menedzsment minimális mennyiségű - ám megbízható - információval rendelkezik az alapeszköz jövőbeni eloszlásával kapcsolatban (pl. minimum érték, maximum érték, legvalószínűbb érték). Ezeket az információkat felhasználva magát az ismeretlen eloszlást fogjuk becsülni háromszög illetve trapéz alakú sűrűségfüggvényekkel, majd ezek szórását vesszük becslésünk alapjául. A modell előnye, hogy a valós életben könnyen interpretálható, egyszerű, hétköznapi fogalmakon alapszik, mégis - mint ahogy számításainkból kiderül - elég pontos eredményt szolgáltat.

2LRT(Linear Risk Tolerance) = lineáris kockázat toleranciát leíró

Pénzügyi opciók és a Black-Scholes

formula

A fejezet célja, hogy - a pénzügyi opciók legfőbb típusainak áttekintése után - azok árazására használható képletet vezessen le: a Black- Scholes formulát. Többféleképpen is igazolható az 1973-as eredmény. Fisher Black és Myron Scholes Nobeldíjas cikkükben kétféle módon is eljutottak az árazási képlethez, és azóta többen más megközelítésben is belátták a formula helyességét. Mi az eredeti cikk egyik bizonyításának főbb lépéseit fogjuk végigkövetni, mivel az opcióárazás mérföldkövének tekinthető levezetésben több olyan fontos gondolat is található, melyek említést érdemelnek egy valós opció megközelítésről szóló dolgozatban, ill. melyekre a későbbiek megértéséhez szükség lehet.

2.1. Alapvető fogalmak áttekintése

A különféle (pénzügyi és valós) opciók különféle lehetőségek, vagyis jogot, de nem kötelezettséget jelentenek az opció tulajdonosának.

2.1.1. Definíció. Ha valaki európai típusú vételi (call) opcióval rendelkezik, akkor ez azt jelenti, hogy jogában áll az opcióhoz tartozó alapeszközt (pl. részvényt) egy adott T lejárati időpontban egy rögzített P áron megvenni.

2.1.2. Definíció. Ha valaki európai típusú eladási (put) opcióval rendelkezik, akkor ez azt jelenti, hogy jogában áll az opcióhoz tartozó alapeszközt (pl. részvényt) egy adott T lejárati időpontban egy rögzített P áron eladni.

2.1.3. Definíció. Ha valaki amerikai típusú vételi (call) opcióval rendelkezik, akkor ez azt jelenti, hogy jogában áll az opcióhoz tartozó alapeszközt (pl. részvényt) bármely t < T időpontban egy rögzített P áron megvenni (ahol T az előre rögzített lejárati időpont).

2.1.4. Definíció. Ha valaki amerikai típusú eladási (put) opcióval rendelkezik, akkor ez azt jelenti, hogy jogában áll az opcióhoz tartozó alapeszközt (pl. részvényt) bármely t < T időpontban egy rögzített P áron eladni (ahol T az előre rögzített lejárati időpont).

2.2. A Black-Scholes formula

Tegyük fel, hogy egy piacon a következő ideális feltételek teljesülnek:

1: A rövidtávú kamatláb ismert és konstans.

2: A részvényár véletlen bolyongásnak megfelelően mozog, folytonos időben. A relatív szórás arányos a részvényár négyzetével, vagyis a részvényárak bármely véges intervallumon lognormális eloszlást követnek.

3: A részvény nem fizet osztalékot.

4: Az opció európai típusú, vagyis csak lejáratkor lehet érvényesíteni.

5: Nincsenek tranzakciós költségek egy részvény vagy opció eladása/vétele során.

6: A rövidre eladást nem büntetik.

Ezen feltételek alapján az opció ára csak a részvényár, az idő, és a konstansnak tekintett változók függvénye lesz. Tehát létre tudunk hozni egy lefedezett pozíciót, ami egy hosszú pozícióban levő részvényből és egy rövid pozícióban levő opcióból áll. Belátjuk, hogy ennek értéke már csak az időtől és a konstansnak tekintett változóktól fog függni. Legyen w(x, t) az opció értéke x (a részvényár) és t (idő) függvényében. A rövidre eladandó opciók száma egy darab hosszú pozícióban levő részvény mellé: \frac{1}{w_{x}(x,t)}.

2.2.1. Állítás. Az így létrehozott lefedezett portfóliónk értéke nem függ a részvényártól.

Az \frac{opció értékének változása}{részvényár változása} = w_{x}(x, t), ha a részvényár változása nagyon kicsi. Első megközelítésben tehát, ha a részvényár Δx-szel változik, az opció ára w_{x}(x, t)Δxszel változik, és az opciók száma (1/w_{x})Δx-szel fog változni. Tehát, a hosszú pozícióban levő részvény értékében történő változás lényegében ugyanannyi, mint a rövid pozícióban levő 1/w_{x} db opció értékében történő változás. Ahogy x és t változik, a rövidre eladandó opciók számát is folyamatosan változtathatjuk oly módon, hogy továbbra is fennmaradjon a lefedezett pozíció. Ekkor a fenti becslések pontossá válnak, és a hozam, amit a lefedezett pozíció tekintetében realizálhatunk, teljesen független a részvény árának alakulásától^{1}.

Vegyük észre, hogy egy, a részvényárban történő nagyobb változás miatti értékcsökkenés a portfóliónkban kicsi. Ahogy a részvényárban történő változás egyre kisebb, a portfólió értékének a részvényár változásához viszonyított relatív megváltozása is egyre kisebb.

Láthatjuk, hogy a portfólió értéke a részvényár elmozdulásának irányától is független. Vagyis, mivel feltettük, hogy a részvényár véletlen bolyongást követ és a hozam konstans szórású, ezért

Cov(portfólió hozama, részvény hozama) = 0.

Ha a részvényár és a "piaci portfólió" együttesen is konstans kovarianciájú véletlen bolyongást követ, akkor megállapíthatjuk, hogy

Cov(portfólió hozama, piaci hozam) = 0.

Tehát a lefedezett pozícióban a kockázat 0, ha a rövidre eladott opciók számát folyamatosan módosítjuk. Ha e változtatás nem folyamatos módon történik, a kockázat kicsi és teljes mértékben diverzifikálható, ha képezünk egy sok ilyen lefedezett pozícióból álló portfóliót.

Portfóliónk értéke

x − \frac{w}{w_{x}} ,  (2.1)

mivel egy darab hosszú pozícióban levő részvényből és 1/w_{x} rövid pozícióban levő opcióból áll.

Egy kicsi, Δt idő alatt a portfólió értékében a változás: Δx − \frac{Δw}{w_{x}}.

1Sőt, a hozam nagysága előre tudható, lásd [12]

Feltéve, hogy folyamatos módon változtatjuk a rövid pozícióban levő opciók számát, sztochasztikus analízisbeli eszközökkel^{2} kapjuk, hogy a lefedezett portfóliónk értékében történt változás:

−(\frac{1}{2}w_{11}σ^{2}x^{2} + w_{2})\frac{Δt}{w_{1}},  (2.2)

ahol σ^{2} a részvény hozamának szórásnégyzetét jelöli.

Mivel a lefedezett portfólió hozama garantált hozam, ezért meg kell egyeznie rΔtvel. Jogosan merülhet fel a kérdés: mi történik, ha nem módosítjuk folyamatosan portfóliónk összetételét?

A kockázat még ekkor is kicsi marad, és ez a kockázat is teljes mértékben diverzifikálható, vagyis a lefedezett pozícióban levő portfóliónk hozama ekkor is a rövidtávú kamatláb értéke körül lesz. Ha nem így lenne, spekulánsok nagy értékű kölcsönt vennének fel, ilyen lefedezett pozíciókat hoznának létre, és így ennek következtében a hozamok lecsökkennének a rövidtávú kamatláb szintjére.

Tehát (2.1) és (2.2) között az összefüggés:

−(\frac{1}{2}w_{11}σ^{2}x^{2} + w_{2})\frac{Δt}{w_{1}} = (x − \frac{w}{w_{1}} )rΔt  (2.3)

Δt-vel való leosztás és átrendezés után a következő differenciálegyenletet kapjuk:

w_{2} = rw − rxw_{1} − \frac{1}{2}σ^{2}x^{2}w_{11}.  (2.4)

A kezdetiérték feltétel is adott:

w(x, t^{∗}) = \{ \begin{matrix}x − c & ha x ≥ c \\ 0 & ha x < c, \end{matrix}  (2.5)

ahol t^{∗} az opció lejárati ideje, c pedig a kötési árfolyam.

A differenciálegyenlet megoldása^{2}:

w(x, t) = xΦ(d_{1}) − ce^{r(t−t^{∗})}Φ(d_{2}),  (2.6)

ahol

d_{1} = \frac{ln \frac{x}{c} + (r + \frac{1}{2}σ^{2})(t^{∗} − t)}{σ\sqrt{t^{∗} − t}}  (2.7)

2bővebben lásd [4]

d_{2} = \frac{ln \frac{x}{c} + (r − \frac{1}{2}σ^{2})(t^{∗} − t)}{σ\sqrt{t^{∗} − t}}  (2.8)

Vegyük alaposan szemügyre a most levezetett képletet, a Black-Scholes formulát!

2.2.2. Következmény. A befektetők kockázatviselési hajlandósága nem befolyásolja az opció értékét.

2.2.3. Következmény. Az opció értéke nem függ a hozzá tartozó alapeszköz hozamának várható értékétől.

2.2.4. Következmény. Az opció várható hozama viszont már függ a részvény várható hozamától: ha gyorsabban növekszik a részvényár, az opció ára is gyorsabban fog változni.

2.2.5. Következmény. A (2.6) képletben t^{∗} − t önmagában nem, csak r-rel illetve σ^{2}-tel megszorozva szerepel, vagyis ha az érvényesség időtartamát növeljük (csökkentjük), ez ugyanolyan hatással van az opció árára, mintha r-et és σ^{2}-et növelnénk (csökkentenénk) ugyanolyan arányban.

2.2.6. Következmény. A formula szemléletesen azt mutatja, hogy egy vételi opció értéke megegyezik egy Φ(d_{1}) mértékű részvénybefektetés értékének és egy olyan hitelfelvételnek a különbsége, melynek nagysága a kötési árfolyam jelenértékének Φ(d_{2})-szöröse.

Az is bizonyítható, hogy az opció értéke folytonos, monoton növő függvénye t^{∗}- nak, r-nek illetve σ^{2}-nek (lásd[12]). Természetesen a maximum értéke az opciónak a részvény ára.

2.2.7. Állítás. Az opció volatilitása mindig nagyobb, mint a részvény volatilitása.

(2.6) x szerinti parciális deriváltját véve kapjuk, hogy

w_{x}(x, t) = Φ(d_{1})  (2.9)

Mivel értelemszerűen x > 0, e^{−rt^{∗}} > 0 és Φ(−d^{2}) > 0, ezért

\frac{xw_{x}}{w} > 1,  (2.10)

vagyis az opció tényleg mindig nagyobb volatilitású, mint a hozzá kapcsolódó alaptermék.

Valós opciók

Ebben a fejezetben ismertetésre kerülnek a valós életbeli projektekben potenciálisan jelenlevő reálopciók fajtái. Ahogyan már a névből is sejthető, a valós és a hagyományos (pénzügyi) opciók között elég sok a jellegbeli hasonlóság. Megállapíthatjuk, hogy tulajdonképpen egy kutatásba történő befektetés ekvivalens egy valós opció megvételével. Az analógia megteremtése után azt is megvizsgáljuk, mennyire szorosan kapcsolódik a valós opciós elmélet a klasszikus opciók elméletéhez.

3.1. A valós opciók fajtái

Hat különböző valós opciót szokás megkülönböztetni:

1. Időzítési opció

2. A fázisokra bontás (Time-to-build) opciója

3. A projekt abbahagyásának (és értékesítésének)opciója

4. Ideiglenes szüneteltetés, bővítés (gyorsítás), szűkítés (lassítás) opciója

5. Input/output megváltoztatásának opciója

6. Terjeszkedési/növekedési opció

Hogyan lehet ezekre a valós opciókra szert tenni?

• A valós opciók közül sok természetes módon, extra költség ráfordítása nélkül jelentkezik: késleltetni, ideiglenesen felfüggeszteni, abbahagyni a projektet stb.

• Egyes opciók viszont csak plusz kiadással szerezhetőek meg: kapacitás növelése, alternatív inputra vagy outputra történő váltás, további terjeszkedés előkészítése stb.

3.1.1. Időzítési opció

Ha időzítési opcióval rendelkezünk, akkor lehetőségünk van várni egy megfelelő pillanatra, amikor érdemes lesz elindítani a kutatás adott fázisát. Ezt a lehetőséget más néven "beruházást megelőző várakozásra vonatkozó", vagy tanulási opciónak is szokták nevezni. Például: ha tulajdonunkban van egy rézbánya (vagy rendelkezünk egy erre vonatkozó vételi opcióval), érdemes lehet megvárni, míg a réz piaci ára kedvezően alakul, és csak ekkor indítani be a kitermelését (c_{1} költséggel). Ha elég magas a réz árfolyama, érvényesítjük jogunkat (lehívjuk az opciót), míg kedvezőtlen esetben nem fogunk élni ezzel a lehetőséggel. Tehát, az opció értéke: max(V − c_{1}, 0), vagyis az időzítési opció egy amerikai típusú vételi opció, ami a bejezett projekt bruttó várható pénzáramlásának jelenértékének (V) megszerzésére jogosít minket, c_{1} kötési árfolyammal számolva.

Az időzítési opció különlegesen nagy értékkel bír abban az esetben, ha nagy a jövővel kapcsolatos bizonytalanság, ha hosszú időhorizontot tekintünk, ill. ha jelenleg a projekt várható pénzáramlása alacsony.

3.1.2. A fázisokra bontás opciója

Egy projekt fázisokra bonthatósága elsősorban azért értékes, mert új információ érkezése után viszonylag rövid időn belül reagálhat arra a menedzsment^{1}. Mindegyik fázis tulajdonképpen tekinthető egy olyan opciónak, amely lehetőséget biztosít a későbbi fázisok által generált pénzáramlások megszerzésére, vagyis ilyen esetben egy többszörösen összetett opciót tartalmaz a projektünk.

1pl. a projekt leállításával, szüneteltetésével, vagy a termelés mértékének megváltoztatásával

3.1.3. A projekt abbahagyásának (és értékesítésének) opciója

Ha a projekt előreláthatólag már nem lesz jövedelmező, úgy dönthetünk, hogy a kutatást leállítjuk, és az addigi eredményeket (illetve a félbehagyott projektet) értékesítjük. A projekt leállításának és értékesítésének opciója megfelel egy amerikai típusú vételi opciónak, amely lehívásával jogosultak leszünk a projekt V értékére, és amelynek kötési árfolyama az A érték, mely a projekt legjobb alternatív felhasználásának értéke. Ha az opcióval rendelkezünk,

V + max(A − V, 0) = max(V, A)

a várható értéke projektünknek. Természetesen az opció olyan projektek kapcsán merül fel legjellemzőbb módon, melyek könnyen pénzzé tehetők, a nagyon szélsőséges területtel foglalkozó iparágak esetében csak nagyon ritkán.

3.1.4. Ideiglenes szüneteltetés, bővítés (gyorsítás), szűkítés (lassítás) opciója

Az opció lényege, hogy a piaci körülményeknek megfelelően változtatható a termelés mértéke, vagy más szavakkal: a termelési skála módosítására vonatkozó joggal ruházza fel az opció tulajdonosát. Nyilván a termelés beindításakor még nem rendelkezik a menedzsment olyan pontos információkkal, ami a piac "véletlenszerű" alakulására vonatkozik. Emiatt időközben a plusz információk beérkezése után, ha aktív projekt-menedzselésről beszélhetünk, a menedzsment módosítja a termelés sebességét.

Ha a termelés p%-kal való növeléséről szó, ami c_{2} költséggel érhető el, akkor ez a gyorsítási opció megfelel egy vételi opciónak, melynek kötési árfolyama c_{2}, és lehetőséget biztosít a projekt p%-ának megszerzésére. Vagyis az opció értéke:

V + max(pV − c_{2}, 0).

Ha a termelés p%-kal való csökkentésére vonatkozik az opció, ami c_{3} értékű megtakarítást eredményez, akkor ez a lassítási opció nem más, mint egy eladási opció, amely a projekt p%-ára vonatkozik c_{3} kötési árfolyammal. Az opció értéke: max(c_{3} −pV, 0).

Extrém esetekben a termelés bizonyos ideig szüneteltethető is. Tegyük fel, hogy a projekt sorsáról évenként dönt a menedzsment, ekkor az ideiglenes leállás opciója megfelel egy vételi opciónak, amely feljogosítja tulajdonosát az évi pénzáramlás (C) megszerzésére c_{4} változó költség mellett, ami az opció kötési árfolyama. Ekkor az opció értéke: max(C − c_{4}, 0).

3.1.5. Input/output megváltoztatásának opciója

Az alapanyagok ill. a végtermék megváltoztatásának opciója nagy flexibilitást tükröz, és emiatt különösen is értékes. Tipikusan kétfajta rugalmasságot érdemes itt megkülönböztetni.

3.1.1. Definíció. Egy projekttel kapcsolatban termék-rugalmasságról beszélünk, ha ugyanazon alapanyagok felhasználásával többféle végtermék is előállítható.

3.1.2. Definíció. Egy projekttel kapcsolatban folyamat-rugalmasságról beszélünk, ha ugyanazt a végterméket egymástól különböző alapanyagokból is elő lehet állítani.

Hogy pontosan mikor melyik rugalmasság előnyét lehet kihasználni, az függhet például az alapanyag beszerzési vagy a végtermék értékesítési árától, vagy egyszerűen a termék iránti kereslettől.

3.1.6. Terjeszkedési/növekedési opció

Ha a projekt sikeres befejezése lehetővé teszi több későbbi projekt beindítását is, vagyis az adott projekt egy láncszem egy projektláncolatban és új lehetőségeket nyit meg a menedzsment előtt, akkor növekedési opcióról beszélünk. Tehát egy anyagilag kevésbé vonzó projekt is lehet nagyon értékes a menedzsment részére^{2}, ha az tartalmazza ezt a terjeszkedési opciót.

3.2. Alkalmazási területek

A valós opciók az élet számos területén jelen vannak. Ahol valamennyire befolyásunk van a jövőbeni kimenetelekre, vagyis rugalmasan tudunk reagálni a környezeti változásokra, ott tulajdonképpen valós opciókkal élünk. Számos iparágban fellelhetőek ezek a reálopciók, tipikusan a következőkben tulajdonítanak nekik nagy értéket:

2Sőt, egyes esetekben még negatív nettó jelenértékkel bíró projekteket is érdemes lehet beindítani.

• Az időzítési opció kiemelkedő jelentőséggel bír a mezőgazdaságban, a papíriparban, természeti erőforrások kitermelésével kapcsolatosan.

• A fázisokra való felosztás opciója tipikusan a K+F projektekben értékes, ezeken belül is a hosszabb időhorizonttal rendelkező kutatásokban, mint pl. a gyógyszeripar.

• A projekt abbahagyásának opciója különösen fontos olyan területeken, mint például a légi- és vasútvonalak kiépítése, pénzügyi szolgáltatások, új termék forgalmazásának megkezdése bizonytalan piacon.

• Az ideiglenes szüneteltetés, bővítés (gyorsítás), szűkítés (lassítás) opciója kimondottan jelentős például a fogyasztási termékek gyártásában ill. a bányászatban.

• A végtermék (kimenet) megváltoztatásának opciója nagy értékkel rendelkezik olyan területen, ahol nagyon ingadozó a termékkereslet (pl. szórakoztató elektronika, papíripar, alkatrészgyártás, autók, játékok), míg az a termeléshez szükséges alapanyag (input) megváltoztatásának opciója tipikusan nyersanyag alapú iparágakban fontos (pl. olajipar, vegyipar, stb.) .

• A növekedési opció különösen fontos az infrastruktúra alapú iparágakban (csúcstechnológia, K+F), illetve több különféle terméket előállító iparágakban (számítástechnika, gyógyszeripar, stb.) .

3.3. Analógia megvalósítása a klasszikus és a valós

opciók között

Ahogyan a fentiekben is láttuk, nem állnak messze a valós opciók - természetüket tekintve - a pénzügyi opcióktól. Hogy az analógia még szorosabb legyen, vizsgáljuk meg, mi lehet a valós opciók esetében az alapeszköz, a kötési árfolyam, a lejárat, a kockázat, osztalék-kifizetés, és a diszkontáláshoz használt kamatláb!

PÉNZÜGYI OPCIÓK ⟺ VALÓS OPCIÓK

Opció fajtája:

vételi opció egy befektetési projektre ⟺ vételi opció egy részvényre Alapeszköz: a részvény jelenlegi értéke ⟺ a várható pénzáramlások (bruttó) jelenértéke Kötési árfolyam:

egy rögzített részvényár ⟺ a befektetés költségének jelenértéke Lejárat:

rögzített időpont ⟺ amikor a lehetőség érvényét veszíti Kockázat: bizonytalanság a részvény értékében ⟺ bizonytalanság a projekt értékében Osztalék-kifizetés:

osztalék-kifizetés részvény tulajdonosának ⟺ osztalék-kifizetés indirekt módon^{3}

Kamatláb:

kockázatmentes kamatláb ⟺ kockázatmentes kamatláb

3Tipikusan a befektetésig várakozással eltöltött időszakban felmerülő veszteségek tekinthetőek osztalékjellegű kifizetéseknek

Projektértékelési módszerek

Ebben a fejezetben több különféle projektértékelési módszert vizsgálunk meg. Először említésre kerülnek az ismertebb módszerek (DCF, döntési fák), és megállapítjuk, hogy miért nem használhatjuk őket sikeresen egy K+F projekt pénzben kifejezhető értékének meghatározására, majd az opciók árazására használt módszerek tipikus bemenő paramétereinek lehetséges állapotait vizsgáljuk meg. Egyben áttekintést kapunk a valós opciós módszerről, és találkozni fogunk azokkal a nehézségekkel, ami miatt egyes esetekben a valós opciók értékelése jóval nehezebb lesz, mint a klasszikus opcióké.

4.1. A klasszikus módszerek kritikája

4.1.1. A klasszikus DCF (NPV) módszer

A legősibb és legelterjedtebb eljárás projektek kvantitatív értékelésére a diszkontált pénzáramlások módszere^{1}. Ez a módszer csupán arra ad becslést, hogy mennyi a jelenleg várható pénzáramlások várható értéke, figyelembe véve a pénz időben történő értékcsökkenését. A diszkontált pénzáramlások módszere nem tulajdonít értéket a projektekben gyakran jelenlevő flexibilitásnak: annak a lehetőségnek, hogy a menedzsment aktívan beavatkozhat a projekt folyamán, ha erre - a változó körülmények miatt - szükség lenne. A kockázatnak megfelelő diszkontálás problémája még akkor sem lenne megoldva, ha a DCF-analízis figyelembe venné ezt a többlet- pénzáramlást, vagyis a projekthez kapcsolódó opciók értékét, mivel egy opció kockázata természetesen nem egyezik meg az aktuális pénzáramlások kockázatával. Az opció kockázata nem becsülhető meg, így egy egységes - a kockázat mértékének megfelelő - diszkontráta sem adható meg. (A kockázat az idő és a pénzáramlások bizonytalan méretének függvénye.)

1DCF = discounted cashflow (diszkontált pénzáramlás), NPV = nettó present value (nettó jelenérték)

Összegezve: A DCF-módszert sokan elavultnak tartják, mivel nem tulajdonít értéket a projektekben jelenlevő flexibilitás mértékének: nem tükrözi a menedzsment értékét. Nem veszi figyelembe, hogy aktív portfólió kezeléssel csökkenthetőek a veszteségek, és növelhetőek a várható hozamok. Azonban a módszer mégsem használhatatlan: ez a passzív hozzáállásra alapozott módszer, mint azt később látni fogjuk, kibővíthető egy sokkal inkább használható modellé, amely már figyelembe veszi az aktív projektkezelés lehetőségének értékét is.

4.1.2. Döntési fák

A döntési fák módszere már fejlettebb módon kezeli a projektben rejlő opciók kérdését. A döntési fa minden egyes pontja egy opciónak a lehívását reprezentálja. A döntési fa gyökerében (csúcsában) a projekt feltételes várható értéke szerepel, azokra az eseményekre tekintve, amik a fa gyökeréből (csúcsából) valamilyen (előre vezető) úton elérhetőek.

A projekt értékének a meghatározása tehát a következő: a feltételezett jövőbeli értékektől haladunk fokozatosan visszafelé a jelenig, míg végül megkapjuk, hogy az opciók jelenléte mennyivel növeli meg a projekt értékét.

A modell hátránya: nagyon gyorsan kezelhetetlenné válik a fa a sok ág miatt, ezért valós életbeli, bonyolultabb opciókat tartalmazó projektek értékének meghatározására nem tanácsos használni. De ami még ennél is nagyobb probléma: sajnos a diszkontráta módosításának szükséges mértékét ez a módszer sem adja meg.^{2}

A modell előnye: A modell szinte bármilyen opció értékelésére használható. Ennek akkor van nagy jelentősége, ha más opcióértékelési módszerek nem alkalmazhatóak^{3}.

2E probléma a menedzsment hasznossági függvényének megfelelő becslésével feloldható. Részletek: Smith and Nau, 1995

4.2. A valós opciós módszerekről - általánosságban

A valós opciós módszerek a beágyazott opciók értékét is meg tudják ragadni, és így végre az adott projekt aktív (meglévő opciók értékével növelt) értékét fogjuk tudni meghatározni. Erről két faktor gondoskodik:

• A lehetséges pénzáramlásokat elméletileg megalapozott eloszlásokkal adjuk meg (pl. lognormális, binomiális), így az opciók megjelenése ezen eloszlások megfelelő transzformálásával lesz ekvivalens.

• A kifizetések aktuális valószínűségeit kockázatsemleges valószínűségekre cseréljük, így lehetővé válik a kockázatmentes kamatlábbal történő diszkontálás.

Megjegyzés: Ez tulajdonképpen úgy írható le szemléletesen, mintha levághatnánk az aktuális döntési fa kevésbé tetszetős ágait anélkül, hogy a diszkontrátára tekintettel kellene lennünk. Vagyis tulajdonképpen a valós opciós módszer nem más, mint a döntési fák módszerének módosított változata, melyben úgy rendezzük át a kockázatot, hogy lehetővé váljon, hogy mindig a kockázatmentes kamatlábbal kelljen diszkontálnunk.

4.3. Az opciós értékelési módszerek bemeneti válto-

zói

A legtöbb opcióárazási modell 6 különböző inputváltozót használ:

• alapeszköz (eloszlása, aktuális értéke, stb.)

• kockázat mértéke

• osztalék-kifizetés

• kötési árfolyam • kockázatmentes kamatláb

3pl. mert a Black-Scholes formula használata nem megalapozott

• érvényességi idő

A valós opciók árazása jóval bonyolultabb feladat, mint a klasszikus opcióké, mivel - a korábban felismert hasonlóságok ellenére - sok különbség is van közöttük. A következőkben célunk ezeknek a különbségeknek a számbavétele. Néhány nehézségre csupán rávilágítunk, néhány fontosabb kérdésre viszont a későbbi fejezetekben választ is próbálunk adni.

4.3.1. Az alapeszköz

Az alapeszköz pénzügyi eszközök esetében például egy részvény, valós opciók esetén pedig tipikusan a projekttel kapcsolatos várható pénzáramlások (bruttó) jelenértéke: ezek az árak változhatnak folytonosan, vagy diszkrét időpontokban. Folytonos esetben többféle modell használata is indokolt lehet (a projekt jellegétől, sajátosságától függően): diffúziós, ugró vagy várható értékhez visszatérő (mean-reverting) folyamatot tekinthetünk vizsgálódásunk során.

• A diffúziós folyamat során nincsenek hirtelen ugrások az ár változásait feltüntető grafikonban, ilyen például a geometriai Brown- mozgás. A Black-Scholes modell is az alapeszköz árának ilyen jellegű mozgását feltételezi. Az eszköz ára ebben az esetben lognormális eloszlású.

• Gyakran ez a folytonos árváltozás nem felel meg teljes mértékben a valóságnak, előfordulhat ugyanis, hogy ha valamilyen új információhoz jutunk, hirtelen felmegy vagy lezuhan a vizsgált ár, vagyis ugrás történik az árban. Például részvényárfolyamok vizsgálata során gyakran találkozhatunk ilyen jellegű ugrásokkal, ahol ezek a hirtelen árváltozások ismert vagy sejthető okokkal magyarázhatóak, (Nyilvánosságra kerül egy vállalat anyagi helyzete, háború kitörése, csatlakozás az Európai Unióhoz, stb.). Az ugrások tekinthetőek fixnek vagy véletlentől függőnek. Arról, hogy új információ érkezése hogyan befolyásolhatja az alapeszköz (és ezzel együtt az ehhez tartozó opciók) értékét, a 6. részben, a 30. oldalon foglalkozunk részletesebben. A modell hátránya, hogy ugró folyamatok esetén nehéz zárt alakban megadni az adott opció értékét.

• A Brown mozgással szimulált sztochasztikus folyamatok a kiindulóponttól nagyon eltávolodhatnak. Ez bizonyos eszközárak modellezésénél meglehetősen irreális, mivel hosszabb időtartamot tekintve a várható érték körüli értékek a tipikusak. A várható értékhez visszatérő modell hátránya, hogy általában igen nehéz megállapítani, hogy egy folyamat ténylegesen visszatérő-e vagy nem.

• Végül lehetőség van az árváltozások még egy fokkal komplexebb modellezésére: a vizsgált folyamatot diffúziós és ugró folyamatnak is tekinthetjük, vagyis két korábbi modell vegyesen jelenik meg ebben a megközelítésben.

Az opciók árazásának elméletében fontos feltétel, hogy az alapeszköz kereskedett legyen (hogy az arbitrázsmentességet kihasználó értékelési módszert alkalmazni lehessen). Ha egy K+F befektetés kereskedett (pl. jegyezhető a tőzsdén), akkor van piaci ára, ami tekinthető alapeszköznek. Általában azonban ez a ritkább eset, tehát jogos a kérdés: mi legyen az alapeszköz abban az esetben, ha egy befektetés nem kereskedett?

Megjegyezés: Bár a valóságban leggyakrabban a jövőbeni pénzáramlások nettó jelenértékét tekintik alapeszköznek, ez nyilván felvehet negatív értéket is, míg a hagyományos, pénzügyi opciók árazási formuláiban az alapeszköz nem lehet negatív. Ez azt jelenti, hogy egyes projektekre az alapeszköz nem lehet a jövőbeni pénzáramlások nettó jelenértéke.

4.3.2. A kockázat

A volatilitásnak 5 különböző fajtáját szokták megkülönböztetni:

• jövőbeli volatilitás: általában nem ismert, de ez határozza meg az opció tényleges értékét

• múltbeli volatilitás: múltbéli adatokból levezetett volatilitás

• előrejelzett volatilitás: tapasztalt szakemberek által becsült, korábbi elemzésen alapuló volatilitási érték

• implicit volatilitás: az opciók piaci árát alapul véve, opcióárazási modellek segítségével meghatározott belső volatilitás • szezonális volatilitás: akkor érdemes szezonális volatilitást tekinteni, ha az

adott termék ára nagyon ingadozó, és ezen változás ciklikussága felismerhető a piacon (pl. búza, szója ára)

Az alapeszköz kockázatának mérése a következőképpen zajlik: az ármozgások volatilitását kell megállapítani ahhoz, hogy meghatározhassuk a relatív hozam volatilitását. K+F befektetési projektek volatilitását nehéz mérni, mert általában nincsenek múltbeli volatilitási adatok, amikre támaszkodhatnánk. Ez nem meglepő, mivel a kutatásnak éppen az a célja, hogy valami újat hozzon létre. Tehát felmerül a következő kérdés: Milyen módon tudunk mégis valamilyen módon egy használható volatilitási paramétert megadni?

4.3.3. Osztalék-kifizetések

A hagyományos (pénzügyi) opciók elméletében csupán olyan osztalék- kifizetést szokás vizsgálni, amire az alapeszköz tulajdonosa jogosult. A valós opciók elméletében kétféle osztalék kifizetést érdemes vizsgálni: lehet az, hogy az alapeszköz tulajdonosa jogosult az osztalékra, de az is gyakran előfordulhat, hogy az opció tulajdonosának jár az osztalék-kifizetés. Az első esetről beszélhetünk, ha elindítunk egy befektetést. Ekkor a projekthez kapcsolódó pénzáramlások nálunk, az alapeszköz tulajdonosánal jelentkeznek osztalék formájában. Viszont ha egy földterületre vonatkozó vételi opcióval rendelkezünk, és a föld hasznot termel (pl. termés formájában), ez az opciónk értékét is megnöveli, vagyis az opció tulajdonosánál fog jelentkezni egy osztalék-jellegű kifizetés. A pénzügyi opciókkal ellentétben egy befektetési projekt olyan pénzáramlásokat generálhat, amelyek nagysága, megjelenési gyakorisága általában nem ismert. Az első esetről beszélhetünk pl. ha rendelkezünk egy földterületre vonatkozó építési joggal, és az építkezés megkezdése (az opció lehívása) előtt még profit származik a területből (pl. termés). A pénzügyi opcióknál nem annyira jellemző különféle osztalékok (osztalék-jellegű juttatások) különösen komplikálttá tehetik a valós opciók értékét, mivel itt

• az osztalék nagysága lehet determinisztikus vagy sztochasztikus

• az osztalék-kifizetés történhet diszkrét időpontokban vagy folytonos módon.

4.3.4. A kötési árfolyam

Sokminden múlik azon, hogy projektünk értékelése során milyen kötési árfolyammal számolunk. A kötési árfolyam lehet ismert (például egy K+F projekt során a befektetés költsége általában ilyen), de sztochasztikus jelleggel is rendelkezhet.

K+F projektek kötési árfolyama általában nem ismeretes előre, ezért ha alkalmazni szeretnénk valamilyen opcióértékelési modellt, helyettesíteni (replikálni) kell azt egy sztochasztikus változóval.

4.3.5. A kockázatmentes kamatláb

A kockázatmentes kamatláb általában ismertnek tekinthető a pénzügyi opciók esetében. K+F projektek esetében viszont lényegesen hosszabb időperiódusokkal kell számolnunk, mint általában a pénzügyi opcióknál, ezért a kockázatmentes kamatlábat ilyenkor ismeretlennek, sztochasztikus változónak célszerű tekinteni. Ez viszont ismételten nehezebbé teszi a projekt során felmerülő opciók kvantitatív értékelését. Ha olyan állampapírok várható hozamát tekintjük, amelyek ugyanannyi idő múlva járnak le, mint egy adott opció, akkor általában egy jó becslést kapunk a kockázatmentes kamatláb értékére.

4.3.6. Lejárat

A lejárat konkrét időpontja lehet:

• ismert: rövid, hosszú vagy végtelen ideig tartó

• ismeretlen

A K+F projektekkel kapcsolatban felmerülő valós opciók - a pénzügyi opciókkal ellentétben - általában jóval hosszabb érvényességi idővel rendelkeznek, ezért viszonylag nagy hatással van az opció értékére ez a paraméter. Ilyen esetekben gyakran nem is lehet pontosan tudni, meddig is érvényes egy adott opció.

Megemlítünk még egy apró különbséget a pénzügyi és a valós opciók között: míg a pénzügyi opciók esetében nem igazán kell számításba vennünk, hogy megszűnhet az alapeszköz (a részvény), addig a K+F projektek esetében ez is előfordulhat (a valós opció tovább lenne érvényes, ám a projektet időközben leállították). Ezzel a problémával a klasszikus opcióárazási modellek nem számolnak.

4.3.7. Verseny

Számolnunk kell azzal az eshetőséggel is, hogy versenytársak is belépnek a piacra a miénkhez hasonló, konkurens termékekkel: ez esetben nyilván csökken a projektünk értéke. Ezért célszerű a valós opciókat két részre osztani aszerint, hogy kinek van joga érvényesíteni az adott opciót. 4.3.1. Definíció. Exkluzív opcióknak nevezzük azokat az opciókat, melyeket csak az opció tulajdonosa hívhat le. 4.3.2. Definíció. Közönséges opcióknak nevezzük azokat az opciókat, melyeket bárki érvényesíthet.

A közönséges opciók esetében nehezebb a kvantitatív értékelés. Ilyenkor egy lehetőség a probléma kezelésére, ha úgy jelenítjük meg a versenytársak lépéseit projektünk értékelése során, mint osztalék-kifizetéseket.

4.4. Az opciós módszer gyakorlati lépései

Egy opciós értékelés során a gyakorlati teendők tipikusan^{4} a következők:

• meg kell állapítanunk, milyen valós opciók rejlenek a projektben

• az alapeszköz definiálása/karakterizálása

• volatilitás megállapítása (vagy valamilyen módszerrel becsülni kell)

• kötési árfolyam megállapítása

• az érvényességi idő rögzítése

• a kockázatmentes kamatláb meghatározása

• osztalék kifizetések vannak-e, ill. ha igen, milyenek

• lehet-e versenyhelyzetre számítani

• az opció típusának megállapítása

4Természetesen ezek a lépések függenek az éppen használni kívánt modelltől, de általában a fejlettebb modellek esetében mindenképpen szükségesek.

4.5. Kérdések

A dolgozat további részében a következő kérdésekkel fogunk foglalkozni:

1. Milyen valós életbeli projektek esetében lehet sikerrel alkalmazni a valós opciós megközelítést? Hogyan lehet egy ilyen projektet modellezni? Milyen valós opciók merülnek fel a projekttel kapcsolatban? Milyen modellt alkalmazzunk az opciós értékelés során? Hogyan lehet összetett opciókat értékelni^{5}?

2. Jogos-e az a feltevés, hogy az alapeszköz a valós opciós megközelítésben is lognormális eloszlást követ? Milyen módon lehet az információk érkezésének alapeszközre vonatkozó hatását modellezni^{6}?

3. Hogyan növelhető projektünk értéke? Mely bemenő paraméterekre érzékeny a leginkább az opcióárazási formula^{7}?

4. Hogyan becsülhető az alapeszköz volatilitása? Mit tehetünk abban az esetben, ha az adott projekt a piacon nem kereskedett^{8}?

5Ezekkel e kérdésekkel az 5. fejezetben fogunk részletesen foglalkozni.

6Ezekkel e kérdésekkel a 6. fejezetben fogunk részletesen foglalkozni.

7Ezekkel e kérdésekkel a 7. fejezetben fogunk részletesen foglalkozni.

8Ezekkel e kérdésekkel a 8. fejezetben fogunk részletesen foglalkozni.

A K+F projektek főbb típusai és

modellezése

Kutatás és fejlesztés manapság egyre több iparágban zajlik. Számos modell létezik, melyek leírják egy adott területhez kapcsolódó projekt sajátosságait, azonban ezek a modellek egymástól nagyban különböznek. Ebben a fejezetben két ilyen K+F projektet ismertetünk. Ezek tipikusan egy-egy adott iparághoz kötődnek ugyan, de mégis kiválóan alkalmasak arra, hogy betekintést nyerjünk abba, hogy milyen kérdésekkel kell szembesülnünk egy projekt kvantitatív értékelése során.

Egy lehetőség projektünk kvantitatív értékelésére a viszonylag nem túl nagy múltra visszatekintő, mégis nagy reményekkel kecsegtető valós opciós megközelítés. Az opcióelmélet mérföldköve 1973, amikor is Black, Scholes és Merton egy a pénzügyi opciók értékelésére használható elmélettel állt elő. Ez az elmélet nem csak pénzügyi opciók megfelelő árazására lehet alkalmas, hanem a valós opciók értékelésére is, mivel, egy kutatásba történő befektetés, mint láttuk, ekvivalens egy valós opció megvételével.

Egyes esetekben teljesen helytálló ez a megközelítés, viszont, mint látni fogjuk, nem minden esetben célszerű ezzel a módszerrel számolnunk a kutatás opció értékét. Ennek több oka is lehet: nem feltétlenül teljesül az alapeszköz lognormalitására vonatkozó feltétel^{1}, vagy például mert gyakran összetett opciók^{2} találhatóak egy valós életbeli projektben.

1ami a Black-Scholes formula egyik lényegi alapfeltevése volt

2opció egy opció megvételére

5.1. A kutatás és a későbbi pénzáramlások közötti

kapcsolat

Fontos látnunk, hogy - bár korábban sokan így látták - , a kutatás önmagában nem jár profittal, célszerű inkább erre úgy tekinteni, mint egy lehetőségre, amelyet megfelelő módon kihasználva esetleges jövőbeli pénzekhez juthatunk. A kutatás és a későbbi pénzáramlások közötti kapcsolatot gyakran nehéz megállapítani, nagyban függ attól, hogy a kutatás milyen területen folyik.

Például gyógyszeripari kutatásokban, ahol a kutatás fázisai meglehetősen determináltak és viszonylag könnyen nyomon követhetőek, ez a kapcsolat viszonylag szoros. (Gondoljunk például arra, hogy törvény írja elő, hogy egy piacra bevezetendő gyógyszer kifejlesztése és tesztelése mennyi ideig kell, hogy tartson). Szemléltetésként a következő részben bemutatásra kerül egy valós életbeli gyógyszeripari projekt.

A telekommunikáció területén folyatott kutatások esetében viszont sokkal nehezebb megállapítani, hogy a kutatások eredményessége milyen mértékben befolyásolja a jövőbeni pénzáramlásokat. Természetesen bármely területen vizsgálódunk, ezt a hatást teljesen pontosan nem lehet megállapítani, csupán becsülni lehet őket. Becslésünket alapozhatjuk korábbi adatsorokból levont következtetésekre, illetve ennek hiányában más, hasonló kutatási projektekből nyert adatokat használhatunk fel paramétereink becslésére. A kutatási tevékenység előfeltétele a későbbi fázisoknak, így a kutatás értéke tulajdonképpen egyenlő a kutatásra maximálisan áldozható összeggel, amely mellett a hozam még arányos a kockázattal. Ez könnyen igazolható néhány iparágban, ahol a kutatás eredménye valamilyen explicit tudás, és így könnyen megragadható a kutatás és a későbbi pénzáramlások közötti kapcsolat. Más esetekben, ahol a kutatási fázis csupán csak az egyik előfeltétele a későbbi hozamnak, definiálhatunk egy technológiai faktort, amely azt mutatja meg, hogy milyen mértékben felelős a kutatás eredményessége a későbbi pénzáramlások nagyságáért. Azonban a pénzáramlások erőteljes sztochasztikus jellege miatt ennek a faktornak még a becslése is elég körülményes.

5.2. Egy telekommunikációs projekt

5.2.1. Az E-commerce projekt ismertetése

1. Kutatási fázis (R: kutatás költsége, E:egyéb kiadások (pl.piacelemzés költsége)). Hossza: tipikusan egy év.

2. Fejlesztési fázis (D: fejlesztés költsége). Hossza: tipikusan egy év.

3. Implementáció fázisa (I: befektetés, C: befolyó pénzáramlás). Hossza: ez a fázis a projekt élettartamának végéig tart.

Megjegyzés: A modell az e-commerce projektek többségére igaz, de néhány kutatási terület esetében az 1. és a 2. fázis tovább is eltarthat.

5.2.2. A projekt modellezése

Ilyen esetben a Black-Scholes-képlet nem ragadja meg ennek a modellnek a többlépcsős jellegét, mivel ebben az esetben tulajdonképpen egy összetett vételi opcióról van szó, ahol a kutatási fázis rendelkezik a fejlesztési fázis elindításának opciójával, a fejlesztési fázis pedig a megvalósítási fázis beindításának opciójával. A két opciót nem lehet lehívni lejáratuk előtt, vagyis európai típusú opciók. Ez a feltevés teljesen helytálló, mivel nyilván nem lehet elkezdeni a megvalósítást, ha a megfelelő technológia még nem elérhető.

Formalizálva:

• Az első opció kötési árfolyama: D.

• k opció kötési árfolyama: I.

• A pénzáramlások jelenértéke: C (az az érték, amelyhez akkor jutunk, ha lehívjuk a második opciót).

• D, I: determinisztikusak

• C: sztochasztikus (Wiener folyamat)

Összetett opciók értékelésére a Black-Scholes formula Geske által 1979-ben továbbfejlesztett változata használható. Eszerint az összetett opció értéke:

G = CM(d_{1}(\frac{C}{C^{∗}e^{−rt_{1}}} , t_{1}), d_{1}(\frac{C}{Ie^{−rt_{2}}} , t_{2}), ρ) −

− Ie^{−rt_{2}}M(d_{2}(\frac{C}{C^{∗}e^{−rt_{1}}} , t_{1}), d_{2}(\frac{C}{Ie^{−rt_{2}}} , t_{2}), ρ) − De^{−rt_{1}}Φ(d_{2}(\frac{C}{C^{∗}e^{−rt_{1}}} , t_{1})) (5.1)

ahol • G: az összetett opció értéke

• C: a pénzáramlások becsült jelenértéke

• I: az implementáció során felmerülő költség

• D: a fejlesztés beindításának költsége

• t_{1}: a fejlesztés beindításának időpontja

• t_{2}: az implementáció megkezdésének időpontja

• σ: C volatilitása

• r: kockázatmentes kamatláb

• M: a kétváltozós normális eloszlás eloszlásfüggvénye

• ρ: korrelációs együttható M-ben

• d_{1}(x, t) = \frac{ln x + \frac{1}{2}σ^{2}t}{σ\sqrt{t}}

• d_{2}(x, t) = d_{1}(x, t) − σ\sqrt{t}

• C^{∗}: C azon értéke, mikor az opciót t_{1}-ben ajánlatos lehívni (Ezt az értéket úgy kapjuk meg, hogy megoldjuk a standard Black-Scholes egyenletet egy t_{2}- ben lejáró opció értékére, vagyis ha F_{BS}(C, I, σ, t, r) egy európai típusú vételi opció értéke a szokásos jelölésekkel, akkor C^{∗}-ra teljesül, hogy F_{BS}(C^{∗}, I, σ, t_{2}− t_{1}, r) = 0).

5.3. Az NDA-projekt

5.3.1. A projekt ismertetése

A (??). ábrán láthatók egy új gyógyszer^{3} kifejlesztésének fő fázisai. A projekt sokáig tartó, költséges, komplex kutatással indul. Az elsődleges kutatás során általában többezer kémiai anyagot tesztelnek, míg megtalálják azt az egyet, amely eléri a kívánt hatást (pl. képes legyőzni egy adott betegséget). Körülbelül 5000-10000 kémiai összetevő közül 250 alkalmas további vizsgálatokra, ami állatokon történő tesztelést jelent, mind külsőleg, mind belsőleg. Általában legalább kettő fajon sikeresnek kell lennie a tesztelésnek ahhoz, hogy emberen is ki lehessen próbálni az anyagot. Ha a klinikai fázis előtt kiderül, hogy a gyógyszer alkalmazása komoly veszélyt jelenthet az emberi egészségre (pl. emberi szerv károsodása, rák, stb.), a kutatást berekesztik. Ha a tesztek sikeresek, és az erre jogosult hivatalos szerv^{4} engedélyt ad rá, következhetnek a klinikai tesztek. A 250 kémiai összetevőből körülbelül már csak 5 jut el ebbe a fázisba. Ez az állomás 3 alfázisból áll:

1. 20-80 önkéntesen tesztelik a "gyógyszert".(Fő szempontok: biztonságosság, dózis, tipikus hossz: néhány hónap-egy év)

2. 100-300 emberen tesztelik a "gyógyszert".(Fő szempontok: hatékonyság, mellékhatások, tipikus hossz: néhány hónap-két év) Ha komoly mellékhatások jelentkeznek, a gyógyszer nem kerülhet alkalmazásra a későbbiekben.

3. 1000-5000 emberen tesztelik a gyógyszert. (Fő szempontok: hatékonyság, jobbe, mint a korábbi hasonló gyógyszer?, Tipikus hossz: 3 év)

A következő lépés a tesztadatok összegyűjtése, továbbítása annak hivatalos szervnek, amelynek feladata az új gyógyszer jóváhagyása. Ezután következik az üzleti fázis. Miután megvan a szabadalom, ezt a projektet indító cég értékesítheti. (A szabadalom hossza tipikusan 11-12 év.) Statisztikák mutatják, hogy egy gyógyszer piacra jutásának ideje átlagosan 14,2 év.

3NDA = new drug application

4az USA-ban az FDA

5.3.2. A projekt modellezése

A kezdeti kutatási fázis tehát tekinthető egy opciónak, amely a klinikai tesztek előtti fázisba lépésre jogosít. Ha a kezdeti fázis sikeres, a projekt továbblép a következő fázisba, különben vége a projektnek. A klinikai tesztek előtti fázis tekinthető egy opciónak, amely a klinikai tesztek elindítására jogosít. Ha a klinikai tesztek előtti fázis sikeres, a projekt továbblép a tesztelési fázisba, ha pedig sikertelen, a kutatásnak ismét vége. A mostani fázis ismét tartalmaz egy opciót, amely a következő fázisba lépésre jogosít, és így tovább.

A modell tehát egy hatszorosan összetett opciót tartalmaz, melynek értékelése után megkapjuk, hogy mekkora a K+F projekt értéke a projekt elindítása előtt. Ebből az elsődleges információ az, hogy érdemes-e belevágni a kutatásba. Másodlagos haszna ennek a kvantitatív értékelésnek az, hogy különböző K+F projektek között preferencia sorrendet tudunk felállítani. Nyilván érdemes abba a projektbe belevágni, amelyik a lehető legnagyobb várható haszonnal kecsegtet.

5.3.3. A modell értékelése

Mivel összetett opciókat tartalmazó projektet kell értékelnünk, a Black- Scholesmodell nem a legmegfelelőbb választás. Ennek továbbfejlesztett változata, a Geskemodell, ami kétfázisú projektek értékelésére lett kifejlesztve. Ez már pontosabb értéket szolgáltatna a projekt értékére, de ezesetben két fő fázisra kellene osztani a kutatást. Jelen esetben viszont ez túl nagy kompromisszum lenne, tekintve, hogy hatszorosan összetett opciót tartalmazó projektet kell értékelnünk. A Geske-modell megközelítése azonban használhatónak tűnik, ezért általánosítsuk azt!

5.3.4. Az általánosított Geske-modell

...JÖN...

Új információ

A Black-Scholes képlet levezetésekor feltettük, hogy az alapeszköz geometriai Brown-mozgást végez, ami egyes kutatási projektek esetében könnyen támadható. Tulajdonképpen azt jelentené a feltevés, hogy a lényegi információ, amely módosítja az alapeszköz értékét, folytonosan érkezik. Azonban könnyen elfogadható, hogy lényegi információk inkább diszkrét időpillanatokban érkeznek, mint folytonosan. A valós életben, a valós piacokon a menedzsment a jövőbeli pénzáramlások jelenértékét nem folyamatosan módosítja, hanem csak stratégiai jelentőséggel bíró információk érkezése után. (Az a tapasztalat, hogy a gyakorlatban a menedzsment még ennél is passzívabb hozzáállást tanúsít korábbi becsléseinek felülvizsgálatára.)

Az a feltevés, hogy az alapeszköz geometriai Brown-mozgást követ, nincs összhangban a tipikus menedzsment döntési folyamataival, mivel a projekt nettó jelenértékével kapcsolatos bizonytalanság a piacra lépés pillanatában előre nem látható események függvénye. A menedzsment akkor fog érvényesíteni egy valós opciót (piacra dobni egy új terméket), ha S > I, vagyis ha a jövőbeli nettó pénzáramlások várható jelenértéke (S) meghaladja a befektetés költségét (I). A jövőbeli profit várható jelenértéke véletlen számú alkalommal módosulni fog a jelen pillanat (t) és a piacra lépés időpontja között (T).

6.0.1. Definíció. A lényegi információ olyan stratégiai jelentőséggel bíró információ, melynek következménye a várható jövőbeni pénzáramlások megváltozása.

Feltesszük, hogy az új, lényegi információ érkezéséig eltelt idő (w) θ paraméterű exponenciális eloszlású. Előnyei a feltevésnek:

• Az exponenciális eloszlás örökifjú, vagyis egy új lényegi információ érkezése nem függ a korábban érkezett információk érkezési időpontjától.

• A beérkezett lényegi információk száma (n) λ = 1/θ intenzitású homogén

Poisson-folyamat. Vagyis

E(n) = λ(T − t),

ahol n a [t, T] intervallumon beérkezett lényegi információk száma.

A λ paraméter tipikusan a K+F projekt kutatási területétől függ. Technológiai alapú piacokon λ értéke nagy lesz (az a lehetőség, hogy szabványosíthatják az újonnan kifejlesztett technológiát, pozitív módon befolyásolja a projekt nettó jelenértékét), míg például az infrastruktúra kiépítéséhez/bővítéséhez kapcsolódó (tipikusan irreverzibilis) projektek esetében, mivel a kutatási fázisban túl sok lényegi információ érkezése nem várható, λ értéke kicsi.

A jövőbeli nettó pénzáramlások piaci értéke, feltéve, hogy a piacra lépés megtörténik:

S(t) = ∑_{i=0}^{∞} e^{−(T +i)μ}E(CF_{T +i}|Ω(t))  (6.1)

ahol

• Ω(t): a t időpontig megismert információk halmaza, melyre Ω(t) ⊆ Ω(s) teljesül, ha t < s ≤ T

• μ: a projekt költségei

• CF_{T +i}: a nettó pénzáramlás i évvel az irreverzibilis befektetés elindítása után

Feltesszük, hogy a pénzáramlások azonos kockázati karakterisztikával rendelkeznek, vagyis μ minden lehetséges pénzáramlásra konstans. Az opció értékét a piacra lépés pillanatában értelemszerűen a következőképpen definiáljuk:

V (S(T)) = max(0, S(T) − I).  (6.2)

Mivel T rögzített, és az opció nem hívható le a piacra lépés előtt (ehhez szükséges a K+F fázisok teljesítése), az opció európai típusú.

A Black-Scholes feltételek mellett megvalósítható egy (megfelelő számú opcióból és részvényből álló) kockázatmentes, lefedezett P portfólió létrehozása (lásd 2.6.rész 7. oldal), és az így kapott differenciálegyenlet már nem függ kockázati preferenciáktól. Ilyen esetben a kockázatmentes kamatláb az, amit alapul vehetünk a portfólió növekedési ütemére vonatkozóan.

Ha a Black-Scholes folytonossági feltétele nem teljesül, konkrétan: ha az alapeszköz egy olyan diffúziós folyamat, amelyben ugrások vannak, akkor részvényekből és opciókból nem állítható össze egy lefedezett kockázatmentes P portfólió.

P várható hozama a kockázatmentes kamatláb, ha a CAPM (Capital Asset Pricing Model) teljesül és ugrások komponensei nem korreláltak a világpiaccal.

Következmény: Ilyen esetben a () modellre β = 0 teljesül, és az ugrási komponensek tisztán nem-szisztematikus kockázatot jelentenek.

Ha az alapeszköz kereskedett, akkor a nem-szisztematikus kockázat diverzifikálható. Ebben az esetben létezik opcióárazási formula (Merton), de sajnos nem írható könnyen kezelhető, zárt alakba.

Tehát tegyük fel, hogy S(t) értéke egy kockázat-semleges környezetben egy r drifttel rendelkező ugró folyamatnak megfelelően változik, vagyis

dS(t) = rS(t)dt + S(t)dn  (6.3)

ahol

• P (dn = 0) = 1 − λdt

• P (dn = Θ_{i}) = λdt

Cox és Ross 1975-ös modelljét kapjuk vissza, ha az ugrás amplitúdója (az alapeszköz értékében történt relatív változás) pozitív és determinisztikus. A geometriai Brown-mozgás ebben az esetben nem lenne helytálló, mivel most olyan módon modellezzük az alapeszköz változását, hogy az nem változik, amíg új információ nem érkezik.

A modell sztochasztikus amplitúdójú ugrásokat tekint. Az ugrások amplitúdóját tekintsük a következő szorzatalakban:

Θ_{i} = X_{i}Γ_{i},  (6.4)

ahol • X_{i}: az ugrás irányára utal

• Γ_{i} pedig az ugrás abszolút nagyságára utal.

a következőképp:

X_{i} = \{ \begin{matrix}1 & p valószínűséggel \\ −1 & 1 − p valószínűséggel, \end{matrix}  (6.5)

és Γ_{i} ≥ 0. Feltesszük még, hogy Γ_{i}|X_{i} ∼ W eibull(γ_{X_{i}}, 2) (ez tulajdonképpen az ún. Rayleigh-eloszlás).

A valóságot esetleg jobban leírhatja egy olyan modell, amelyben pl. a nagyobb ugrások valószínűsége nagyobb (vagyis az ugrások eloszlása nem szimmetrikus), mint egy olyan, amelyben p = 0, 5 és γ_{−1} = γ_{1} (vagyis az eloszlás szimmetrikus).

(Feltételezzük, hogy olyan esemény nemigen fog bekövetkezni, amikor a lényegi információ olyan mértékben befolyásolja a kimenő és befolyó pénzek nagyságát, hogy azok éppen "kioltják egymást", vagyis előjeles összegük éppen zérus lesz.)

Az egyszerűség kedvéért a továbbiakban feltesszük, hogy a sztochasztikus ugrások nagysága szimmetrikus eloszlású.

Ekkor

E(Θ_{i}|X_{i}) = \frac{1}{2}\sqrt{π}X_{i}γ_{X_{i}}  (6.6)

és

V ar(Θ_{i}|X_{i}) = (1 − \frac{1}{4}π)γ_{X_{i}}^{2}  (6.7)

A Θ_{i}-k feltétel nélküli eloszlásában a várható érték 0, ha teljesül, hogy

pγ_{1} = (1 − p)γ_{−1}  (6.8)

S(T) = S(t)(Θ(N) + 1)  (6.9)

ha N ≥ 0.

Illetve nyilván

Θ(N) + 1 = ∏_{i=0}^{n}(Θ_{i} + 1),  (6.10)

ahol Θ_{0} = 0, vagyis Θ(0) = 0 lesz. A Θ_{i}-k egymástól függetlenek, N pedig Poissoneloszlású, λ(T − t) paraméterrel.

Megjegyzés: Kis valószínűséggel előfordulhat, hogy az alapeszköz értéke negatívvá válik (nagy mértékű lefelé történő ugrás esetén). Ilyen esetben megkérdőjelezhetjük, hogy ténylegesen európai típusú opciókat tartalmaz-e a projekt, mivel ekkor egy teljesen logikus lépés a menedzsment részéről, ha azonnal él azzal a jogosultságával, hogy leállítja a projektet. A gyakorlatban nagyon gyakran fix időtartamokban gondolkodik a menedzsment (pl. a kutatás jellege miatt), és csak konkurensek piacra lépése, és egyéb drasztikus változások esetén kérdőjeleződhet meg egy projekt sikeressége, mikor is a menedzsment kénytelen idő előtt leállítani a kutatásokat. Ilyen esetekben, ha kicsi annak a valószínűsége, hogy a nagy esés után még pozitívvá válhat a projekt értéke, mind az európai típusú, mind az amerikai típusú opciók értéke (közel) nulla lesz. Tehát az, hogy amerikai típusú opciók helyett európaiakkal dolgozunk, nem módosítja nagyban a projekt értékét.

Tegyük fel, hogy γ_{1} = γ_{−1}, és jelöljük ezt a közös értéket γ-val.

V ar(Θ + 1) = V ar(X_{i}Γ_{i}) = E_{X_{i}}(V ar(X_{i}Γ_{i}|X_{i})) + V ar_{X_{i}}(E(XΓ_{i}|X_{i})) =

= (1−\frac{1}{4}Π)γ^{2}+V ar_{X_{i}}(\frac{1}{2}\sqrt{π}X_{i}γ) = (1−\frac{1}{4}Π)γ^{2}+\frac{1}{4}Πγ^{2}E_{X_{i}}(X_{i}^{2}) = (1−\frac{1}{4}Π)γ^{2}+\frac{1}{4}Πγ^{2} = γ^{2} (6.11)

E((Θ(N)+1)^{2}) = ∑_{n=0}^{∞} E(∏_{i=0}^{n} (Θ_{i} + 1)^{2})P (N = n) = ∑_{n=0}^{∞} ∏_{i=0}^{n} (E(Θ_{i} + 1)^{2})P (N = n) =

= ∑_{n=0}^{∞}(∏_{i=0}^{∞} (E(Θ_{i}^{2}) + 1))P (N = n) = ∑_{n=0}^{∞} (γ^{2} + 1)^{n} \frac{(λ(T − t))^{n}e^{−λ(T −t)}}{n!} = e^{λ(T −t)γ^{2}} (6.12)

Mivel

• Θ_{i}-k függetlenek, i = 0, 1, …, N-re.

• E(Θ_{i}) = 0 és

• V ar(Θ_{i}) = Γ^{2} és mivel

E(Θ(N) + 1) = 1,  (6.13)

ezért

V ar(Θ(N) + 1) = e^{λ(T −t)Γ^{2}} − 1.  (6.14)

Tegyük fel, hogy az alapeszköz nulla driftű, szigma szórású, egységnyi kezdő értékű geometriai Brown-mozgást követ. Ekkor

D^{2}(S_{T}) = e^{D^{2}(T −t)} − 1,  (6.15)

és a piacra lépés pillanatában a kapott eloszlás lognormális lesz.

A Centrális Határeloszlás Tétel értelmében S(t) értékében történő logaritmikus változások összege, vagyis az alapeszköz hozamai normális eloszláshoz konvergálnak, ha az időintervallumok hossza a nullához tart.

Mivel a K+F projektek hossza általában több év, ezért az alapeszközről feltehetjük, hogy λΓ^{2}szórásnégyzetű geometriai Brown-mozgást követ.

Az opció jelenértéke (6.2)-t felhasználva:

V (t) = e^{−r(T −t)}Ê(max(0, S(T) − I))  (6.16)

ahol Ê a kockázat-semleges világban vett várható értéket jelöli. S(t) lognormalitását feltéve, és a Black-Scholes levezetéssel analóg módon (lásd

2.6. rész, 7. oldal) ez az egyenlet

V (t) = S(t)Φ(d + \sqrt{λ(T − t)}γ) − IΦ(d)e^{−r(T −t)}  (6.17)

alakra írható át, ahol

d = \frac{ln \frac{S(t)}{I} + (r − \frac{1}{2}λγ^{2})(T − t)}{\sqrt{λ(T − t)}γ}.  (6.18)

Irodalomjegyzék

[1] Mondher Bellalah. Irreversibility, sunk costs and investment under incomplete information.

[2] L. Thomassen és M. Van Wouwe D. Cassimon, P. J. Engelen. The valuation of a nda using a 6-fold compound option. 2003.

[3] Lenos Trigeorgis Eero Kasanen. Merging finance theory and decison analysis.

[4] Myron Scholes Fisher Black. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81.

[5] Jaime Casassus Gonzalo Cortazar, Eduardo S. Schwartz. Optimal exploration investments under price and geological uncertainty: a real options model.

[6] Axel J. Jagle. Shareholder value, real options, and innovation in technology-intensive companies.

[7] Max P. Michaels Keith J. Leslie. The real power of real options. 1997.

[8] Alexander J. Triantis Kenneth W. Smith. The value of options in strategic acquisitions.

[9] Paul Warren Kjeld Jensen. The use of options theory to value research in the service sector.

[10] Randolf Schrank Manfred Perlitz, Thorsten Peske. Real options valuation: the new frontier in r&d project evaluation?

[11] Andrew Rennie Martin Baxter. Pénzügyi kalkulus. Bevezetés a származtatott termékek árazásába.

[12] Robert C. Merton. Theory of rational option pricing.

[13] Robert J. Kauffman Michel Benaroch. Justifying electronic banking network expansion using real options analysis.

[14] Brealey Myers. Modern vállalati pénzügyek. 1991.

[15] Enrico Pennings Onno Lint. An option approach to the new product development process: a case study at philips electronics.

[16] Enrico Pennings Onno Lint. The option value of advanced r&d.

[17] Lenos Trigeorgis. Real options: An overview.