Opcióárazás lineáris

sztochasztikus differenciálegyenletek által leírt

árfolyammodellekben

Írta: Véber Miklós

ELTE TTK alkalmazott matematikus hallgató

Témavezető: Arató Miklós, docens

ELTE TTK Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék

Diplomamunka, 2001. május

Tartalomjegyzék

Bevezetés 2

1. Az európai típusú vételi és eladási opció 3

1.1. Opcióárazás lineáris sztochasztikus differenciálegyenlet által

leírt modellben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Európai opciók az f_{T} = f(S_{T}) speciális esetben . . . . . . . . 11

1.2.1. A Black-Scholes formula . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3. A put-call paritás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Néhány egzotikus opció árazási formulája 19

2.1. A lookback típusú eladási opció . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1. A lookback típusú eladási opció a Samuelson-féle árfo-

lyammodellben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2. A lookback típusú vételi opció . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.1. A lookback típusú vételi opció a Samuelson-féle árfo-

lyammodellben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3. A down and out call (limitár alatt értéktelen vételi) opció … 30 2.4. Opcióárazás, ha r(t)/σ^{2}(t) hányados nem állandó . . . . . . . 34

3. A modellt leíró függvények becslése 38 3.1. A probléma paraméteres becslési feladattá alakítása . . . . . . 38 3.2. ML-becslés állandó együtthatós lineáris sztochasztikus diffe-

renciálegyenlet esetén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.1. ML-becslés a klasszikus esetben . . . . . . . . . . . . . 52

3.3. ML-becslés általánosabb modellek esetén . . . . . . . . . . . . 54 3.3.1. Becslés általános μ(t) polinom esetén . . . . . . . . . . 55 3.3.2. Becslés monoton növekedő lineáris λ(t) függvény esetén 60 3.3.3. Becslés lineáris σ(t) függvény esetén . . . . . . . . . . . 66

3.4. Még néhány összefoglaló megjegyzés a becslésekhez... . . . . . 69

Irodalomjegyzék 71

Bevezetés

Az értékpapírok (főként a részvények) szabad kereskedelmének kialakulásával egyidejű annak a törekvésnek a megjelenése, hogy a tőzsdén zajló üzleti folyamatokat valahogy modellezzük. Sokan, sokféleképp vélekedtek, és vélekednek a mai napig is arról, hogy mi határozza meg a kereskedésben résztvevő termékek árát. Egyesek szerint az ott zajló folyamatok alapvetően determinisztikusak, a véletlennek kicsi a szerepe az árfolyamok alakulásában. Mások szerint még ha ez így is lenne, az árak változását leíró rendszer annyira bonyolult, a bemenő paramétereknek annyira érzékeny, kaotikus viselkedést mutató függvénye, hogy célravezetőbb a sztochasztikus modellek alkalmazása. Ezen dolgozat is ebben az irányban próbál meg vizsgálódni.

A klasszikus Black-Scholes-féle elmélet [2] irányvonalát követve európai opciók árát fogjuk meghatározni. Ezen opciók árazása során kulcsfontosságú szerepet játszik az adott részvény árfolyamának modellezése. Ebben –követve a klasszikus elméletet– megmaradunk a diffúziós folyamatok osztályánál, hiszen ezek a folytonos realizációjú Markov-folyamatok számos jelenség leírásához elfogadható valószínűségelméleti modellt szolgáltatnak^{1}. A dolgozat egyik fő eredményeként a klasszikus megközelítésnél bővebb modellosztályra, az úgynevezett szűkebb értelemben vett lineáris sztochasztikus differenciálegyenletek segítségével definiált árfolyammodell-családra próbáljuk meg általánosítani a klasszikus elmélet tételeit. Meghatározzuk az európai vételi opció árát, a fedezésére szolgáló stratégiát, és belátjuk a put-call paritás teljesülését. A dolgozat második fejezetében három egzotikusabb opció árát számítjuk ki: a lookback típusú vételi és eladási opcióét, valamint illusztrációképpen a down and out call opcióét. A harmadik fejezetben a dolgozat másik fő új eredménye, a modell paramétereinek becslése kerül tárgyalásra, ezzel mintegy „élővé”, a gyakorlatban is alkalmazhatóvá téve az előző két fejezet eredményeit. Egy egyszerű összehasonlítással rávilágítunk, mennyire különböző opcióárakat kaphatunk csupán azzal, ha ugyanarra az adatsorra más és más modellt illesztünk.

1A diffúziós folyamatok alkalmazásának jogosságát támasztja alá [7] 15. fejezete számos példa segítségével.

1. fejezet

Az európai típusú vételi és eladási opció

1.1. Opcióárazás lineáris sztochasztikus differenciálegyenlet által leírt modellben

Ebben a fejezetben az európai típusú vételi (call) és eladási (put) opció árát határozzuk meg. Egy európai vételi opció vásárlójának jogot biztosít arra, hogy egy előre meghatározott jövőbeli T időpillanatban egy részvényt K áron megvásároljon. Egy európai eladási opció pedig vásárlóját azzal a joggal ruházza fel, hogy a T időpillanatban egy részvényt K áron eladjon. Arra szeretnénk választ találni, hogy egy ilyen jövőbeli, úgynevezett feltételes követelés pillanatnyilag mennyiért adható el. Az ármeghatározásnál az úgynevezett portfólió-elméleti megközelítést használjuk, melynek lényege abban rejlik, hogy a piacon kétfajta értékpapír forog: részvény (t időbeli árfolyamát S_{t} jelöli) és kötvény (t időbeli árfolyama: B_{t}). Az opció kiírója olyan áron kívánja eladni opcióját, amelyből befolyt tőkét ezen két típusú értékpapír között forgatva legalább akkora nyereséget tud elérni, mint az opció megvásárlója^{1}. Vizsgálódásaink során mind a kötvény, mind a részvény árfolyammozgását folytonosnak tekintjük. A kötvényárfolyam kielégíti az alábbi determinisztikus differenciálegyenletet:

dB_{t} = r(t)B_{t}dt.

Azaz:

B_{t} = B_{0} exp {∫_{0}^{t} r(s)ds} ,

1A portfólió-elméleti megközelítésről szemléletes képet ad [12].

ahol tegyük fel, hogy B_{0} = 1 és r : [0, T] → ℝ^{+}, folytonosan differenciálható. A részvényárfolyam viselkedése sztochasztikus, legyen ezért (Ω, (F)_{t≥0}, P) a kanonikus filtrációval ellátott Wiener-tér, azaz Ω a [0, T]-n értelmezett olyan valós folytonos függvények tere, amelyek 0-ban 0-t vesznek fel, P a Wienermérték, (F)_{t≥0} filtráció pedig olyan σ-algebrasorozat, melyre F_{t} = ∩_{s>t}F_{s}^{∗}, ahol F_{s}^{∗} a megfelelő folytonos függvények [0, s] intervallumra vett megszorításai által generált Borel halmazok P mérték szerint teljessé tett σ-algebrája. Ekkor W_{t}(ω) = ω_{t} egy standard Wiener-folyamat ezen a téren. A klasszikus Samuelson-féle árfolyammodell:

S_{t} = S_{0} exp \{(μ − \frac{σ^{2}}{2} ) t + σW_{t}\} ,

ami sztochasztikus differenciálegyenlet formájában is felírható a következő tétel, az úgynevezett Itô-formula segítségével [8]:

1. Tétel. Legyen f(t, x) egy olyan folytonos függvény, amelynek f′_{t}(t, x), f′_{x}(t, x) és f′′_{xx}(t, x) parciális deriváltjai folytonosak. Legyen továbbá ξ_{t} egy olyan F_{t}-mérhető folyamat, mely kielégíti a

dξ_{t} = a(t, ω)dt + b(t, ω)dW_{t}

sztochasztikus differenciálegyenletet. Ekkor f(t, ξ_{t}) folyamat kielégíti az alábbi sztochasztikus differenciálegyenletet:

df(t, ξ_{t}) = [f′_{t}(t, ξ_{t}) + f′_{x}(t, ξ_{t})a(t, ω) + \frac{1}{2}f′′_{xx}(t, ξ_{t})b^{2}(t, ω)] dt

+f′_{x}(t, ξ_{t})b(t, ω)dW_{t}.

Alkalmazva a tételt az

f(t, x) = S_{0} exp \{(μ − \frac{σ^{2}}{2} ) t + σx\}

függvényre és a standard Wiener-folyamatra:

dS_{t} = S_{t}[μdt + σdW_{t}]

adódik. Bevezetve a

ξ_{t} = (μ − \frac{σ^{2}}{2} ) t + σW_{t}

folyamatot nyilván S_{t} = S_{0} exp{ξ_{t}}, és

dξ_{t} = (μ − \frac{σ^{2}}{2} ) t + σdW_{t}

adódik. Innen könnyen adódik az ötlet, hogy vizsgáljuk a részvényárfolyammodellek egy bővebb osztályát, legyen S_{t} = exp{ξ_{t}}, ahol ξ_{t} kielégíti a következő, úgynevezett szűkebb értelemben vett lineáris sztochasztikus differenciálegyenletet^{2}:

dξ_{t} = [λ(t)ξ_{t} + μ(t)]dt + σ(t)dW_{t},

ahol σ(t) pozitív értékű folytonos, λ(t), μ(t) pedig folytonos (determinisztikus) függvények a [0, T] intervallumon. Tegyük fel még, hogy ξ_{0} ∼ N(μ_{∗}, σ_{∗}^{2}), ahol ξ_{0} F_{0}-mérhető és független F_{t}-től t > 0-ra. Ekkor az Itô-formula alkalmazásával az S_{t} differenciálegyenlete:

dS_{t} = S_{t} \{[λ(t)ξ_{t} + μ(t) + \frac{1}{2}σ^{2}(t)] dt + σ(t)dW_{t}\}

Jelölje S̃_{t} a diszkontált részvényárfolyamot, azaz S̃_{t} := S_{t}/B_{t}. Ekkor az Itôformula segítségével az S̃_{t} differenciálegyenlete:

dS̃_{t} = S̃_{t} \{[−r(t) + λ(t)ξ_{t} + μ(t) + \frac{1}{2}σ^{2}(t)] dt + σ(t)dW_{t}\} .

Jelölje θ(t) a következő folyamatot:

θ(t) = \frac{μ(t) − r(t) + λ(t)ξ_{t} + \frac{1}{2}σ^{2}(t)}{σ(t)}.

Ennek a segítségével pedig vezessük be a következő folyamatot:

Λ^{θ}(t) = exp \{− ∫_{0}^{t} θ(s)dW_{s} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} θ^{2}(s)ds\} .

A szakirodalomban fellelhető analóg tételek alapján belátható a következő:

2. Tétel. A Λ^{θ}(t) folyamat (F_{t}, P)-martingál.

2A továbbiakban ezt is az egyszerűség kedvéért csak lineáris differenciálegyenletnek hívjuk, nem írjuk ki mindig a teljes megnevezést.

Bizonyítás: Felhasználjuk azt a tényt, hogy a dξ_{t} = [λ(t)ξ_{t} + μ(t)]dt + σ(t)dW_{t}; ξ_{0} = c lineáris differenciálegyenlet ξ_{t} megoldása pontosan akkor Gauss-folyamat, ha c normális eloszlású, vagy konstans^{3}. Így mivel ξ_{t} Gauss, ezért θ(t) is az. Mivel ξ_{t} diffúziós folyamat, így folytonos P-m.m. realizációja, ezért θ(t)-nek is P-m.m. realizációja folytonos, azaz speciálisan: P(∫_{0}^{t} θ^{2}(s)ds < ∞) = 1, így [8] 211. oldal 6.13 miatt Λ^{θ}(t) szupermartingál. Jelölje m_{t} = Eξ_{t}; s_{t} = D^{2}ξ_{t}. Ekkor [1] 146. oldal 8.2.6 Tétel szerint m_{t} kielégíti az

m′_{t} = λ(t)m_{t} + μ(t) m_{0} = μ_{∗}

differenciálegyenletet, valamint s_{t} kielégíti az

s′_{t} = 2λ(t)s_{t} + σ^{2}(t) s_{0} = σ_{∗}^{2}

differenciálegyenletet, tehát speciálisan m_{t} és s_{t} korlátosak [0, T]-n, így az is igaz lesz, hogy

sup_{s≤t} E|(θ(s)| < ∞ és sup_{s≤t} D((θ(s)) < ∞,

amiből [8] 221. oldal a. megjegyzése miatt Λ^{θ}(t) martingál. ■

Ezek után definiáljuk a

\overline{P}_{t}(dω) = Λ^{θ}(t)(ω)P_{t}(dω)

mértéket, ahol P_{t} = P|_{F_{t}}. Ez a \overline{P}_{t} mérték kiterjeszthető F = σ(∪_{t≤T} F_{t})-ra, így kapjuk \overline{P} mértéket^{4}. Ez valószínűségi mérték lesz, hisz Λ^{θ}(t) martingál, azaz EΛ^{θ}(t) = EΛ^{θ}(0) = 1. Ez a \overline{P} mérték lokálisan ekvivalens a P mértékkel, azaz \overline{P}_{t} ∼ P_{t} és minden egy valószínűséggel [0, T]-beli megállításra \overline{P}_{τ} ∼ P_{τ}, a Radon-Nikodym derivált pedig^{5}:

\frac{d\overline{P}_{τ}}{dP_{τ}} (ω) = Λ^{θ}(τ)(ω)

Van azonban ennek a mértéknek egy még ennél is lényegesebb tulajdonsága, mely Girsanov-tétel néven ismert a szakirodalomban ([4] 132.oldal):

3. Tétel. Tegyük fel, hogy a θ(t), 0 ≤ t ≤ T egy olyan adaptált folyamat, hogy ∫_{0}^{T} θ^{2}(s)ds < ∞ P-m.m., valamint Λ^{θ}(t) (F_{t}, P)-martingál. Ekkor \overline{W}_{t} := W_{t} + ∫_{0}^{T} θ(s)ds standard Wiener-folyamat (F_{t}, \overline{P})-n.

3Ezen állítás bizonyítása: [1] 148. oldal 8.2.10. Tétel.

4Részletesebben erről: [14] 2. fejezetében 3§.

5Ennek részletes leírása: [5] 3. fejezet, 3§.

\overline{W}_{t}-re ekkor a következő differenciálegyenlet írható fel:

d\overline{W}_{t} = dW_{t} + θ(t)dt

Így θ(t) definícióját beírva és átrendezve:

σ(t)d\overline{W}_{t} = σ(t)dW_{t} + [μ(t) − r(t) + λ(t)ξ_{t} + \frac{1}{2}σ^{2}(t)] dt,

ami alapján S̃_{t} differenciálegyenlete \overline{P} mérték mellett:

dS̃_{t} = S̃_{t}σ(t)d\overline{W}_{t}.

Ha tudnánk, hogy S̃_{t} folyamat \overline{P}-m.m. realizációja folytonos, akkor S̃_{t}-ről bizton állíthatnánk, hogy martingál a \overline{P} mértékre nézve. Ez azért van, mert ekkor speciálisan

\overline{P} (∫_{0}^{T} (S̃_{t}σ(t))^{2}dt < ∞) = 1

teljesülne, így egyrészt [8] 207. oldal 6.1 Lemmája miatt S̃_{t} szupermartingál lenne, másrészt [1] 153. oldal 8.4.5 Tétel szerint ennek a várható értéke konstans, konstans várható értékű szupermartingál pedig martingál^{6}. De az előbb láttuk, hogy P és \overline{P} lokálisan ekvivalens mértékek, ebből kifolyólag S̃_{t} lokális martingál lesz mindkét mértékre nézve.

Az új \overline{W}_{t} folyamat segítségével S_{t} differenciálegyenlete is átírható a

dS_{t} = S_{t}[r(t)dt + σ(t)\overline{W}_{t}]

alakra. Ez pedig azt jelenti, hogy \overline{P} mérték mellett a részvényárfolyam úgy viselkedik, mintha az eredeti modellben λ(t) ≡ 0; μ(t) = r(t) − σ^{2}(t)/2 választással éltünk volna^{7}. Persze a P mértékről a \overline{P} mértékre való áttérésnél ξ_{0} eloszlása nem változik meg, s róla továbbra is feltétezhető, hogy F_{t}-től független t > 0-ra és eloszlása N(μ_{∗}, σ_{∗}^{2}).

A további vizsgálatokhoz szükségünk lesz néhány definícióra, térjünk át így most azok ismertetésére. Tegyük fel, hogy kezdetben x tőkénk van, ezt úgy forgatjuk, hogy t időpillanatban a portfóliónk Π_{t} = (β_{t}, γ_{t}), ahol β_{t} jelöli a t időpillanatban a birtokunkban lévő kötvény, γ_{t} pedig a részvény mennyiségét. Tehát a teljes tőkénk a t időpillanatban X_{t} = β_{t}B_{t} + γ_{t}S_{t}, és persze x = X_{0} = β_{0}B_{0}+γ_{0}S_{0}. Stratégia alatt egy olyan portfólió-folyamatot értünk, amelyben β_{t} és γ_{t} F_{t}-mérhetőek minden 0 ≤ t ≤ T -re, ami annak felel meg, hogy az értékpapírok adása illetve vétele csak a múltbéli részvényárfolyammozgástól függhet, azaz nem láthatunk a jövőbe. Egy Π_{t} stratégia önfinanszírozó, ha 0 ≤ t ≤ T -re:

6Ennek bizonyítása: [8] 216. oldal 6.4 Lemma.

7Csak össze kell vetni a részvényárfolyam \overline{P} mérték melletti fenti egyenletét a P mérték melletti dS_{t} = S_{t}{[λ(t)ξ_{t} + μ(t) + σ^{2}(t)/2]dt + σ(t)dW_{t}} egyenlettel.

dX_{t} = β_{t}dB_{t} + γ_{t}dS_{t},

és P-m.m.:

∫_{0}^{T} |β_{u}|dB_{u} < ∞ és ∫_{0}^{T} (γ_{u}S_{u})^{2}du < ∞.

Jelölje ezek osztályát 𝒮ℱ. Ha Π ∈ 𝒮ℱ, akkor az önfinanszírozó stratégia definíciójából, és B_{t} illetve S_{t} differenciálegyenletéből kapjuk, hogy

dX_{t}^{π} = β_{t}r(t)B_{t}dt + γ_{t}r(t)S_{t}dt + γ_{t}σ(t)S_{t}d\overline{W}_{t}

= r(t)X_{t}^{π}dt + γ_{t}σ(t)S_{t}d\overline{W}_{t}.

Vezessük be a diszkontált tőkefolyamatot:

Y_{t}^{π} = \frac{X_{t}^{π}}{B_{t}} .

Alkalmazva az Itô-formulát a diszkontált tőkefolyamatra, mint az X_{t}^{π} folyamat függvényére

dY_{t}^{π} = \frac{σ(t)γ_{t}S_{t}}{B_{t}} d\overline{W}_{t}

differenciálegyenlet adódik. Ez az Y_{t}^{π} martingál lenne, ha ∫_{0}^{T} (γ_{u}S_{u})^{2}du < ∞ teljesülne \overline{P}-m.m., de ez csak a lokálisan ekvivalens P mértékre lesz igaz, így ez \overline{P} mértékre nézve csak lokális martingál lesz^{8}. Ha ζ egy olyan nemnegatív F-mérhető valószínűségi változó, amelynek \overline{P} mérték melletti várható értéke véges, akkor azt mondjuk, hogy Π ∈ 𝒮ℱ^{ζ}, ha \overline{P}-m.m.:

Y_{t}^{π} ≥ −\overline{E}(ζ|F_{t}) t ≥ 0-ra.

[14] 2. fejezet 6§-a alapján ha Π ∈ 𝒮ℱ^{ζ}, akkor Y_{t}^{π} szupermartingál \overline{P}-ra nézve, így \overline{P}(τ_{1} ≤ τ_{2}) = 1 esetén: \overline{E}(Y_{τ_{2}}^{π}|F_{τ_{1}}) ≤ Y_{τ_{1}}^{π}. Így speciálisan, ha X_{0}^{π} = x ≥ 0 és Π ∈ 𝒮ℱ^{ζ}, akkor \overline{E}(e^{−rτ}X_{τ}^{π}) ≥ x. Ha ζ ≡ 0, akkor 𝒮ℱ^{ζ}-t 𝒮ℱ^{+}-nak írjuk, és ilyenkor Π ∈ 𝒮ℱ^{+} esetén Y_{t}^{π} nemnegatív szupermartingál.

8Ennek a részletes tárgyalása megtalálható: [5] 3. fejezet 3§; illetve [9] 1. fejezet 4§.

Egy Π ∈ 𝒮ℱ stratégiát európai típusú (x, f_{T})-hedge-nek hívunk, ha

X_{0}^{π} = x és \overline{P}-m.m. X_{T}^{π} ≥ f_{T} ,

ahol f_{T} F_{T} -mérhető valószínűségi változó. Egy Π^{∗} ∈ 𝒮ℱ (x, f_{T})-hedge minimális, ha minden Π (x, f_{T})-hedge-re

X_{T}^{π} ≥ X_{T}^{π^{∗}} \overline{P}-m.m.

Most már végre definiálhatjuk, hogy mit is kell érteni egy f_{T} kifizetőfüggvényű követelés racionális árán. Jelölje Π_{T} (x, f_{t}) az 𝒮ℱ^{+}-beli (x, f_{T})-hedge-k halmazát. A racionális ár az a minimális nagyságú kezdőtőke, amellyel az f_{T} kifizetés elérhető, tehát létezik olyan Π ∈ 𝒮ℱ^{+}, hogy X_{T}^{π} ≥ f_{T} \overline{P}-m.m., azaz:

ℂ_{T} (f_{T}) = inf{x ≥ 0 : Π_{T} (x, f_{T}) ≠ ∅}.

Ezen definíciók ismertetése után most már rátérhetünk az opcióár tényleges meghatározására. Ha Π ∈ 𝒮ℱ^{+}, akkor mivel a diszkontált tőkefolyamat szupermartingál, ezért X_{0}^{π} ≥ \overline{E}X_{T}^{π}/B_{T}. Így ha Π még (x, f_{T})-hedge is, akkor X_{T}^{π} ≥ f_{T} miatt x ≥ \overline{E}f_{T} /B_{T}. Tehát ebből az árra rögtön adódik egy alsó korlát:

ℂ_{T} (f_{T}) ≥ \overline{E}\frac{f_{T}}{B_{T}} .

Jelölje S(r) azt a részvényárfolyam-modellt, amit úgy kapunk, hogy a már említett λ(t) ≡ 0, μ(t) = r(t) − σ^{2}(t)/2 választással élünk. Ha f_{T} = f_{T} (S) alakban előáll, azaz a kifizetőfüggvény csak a részvényárfolyam [0, T]-beli értékeitől függ, akkor azt mondjuk, hogy az f_{T} kifizetőfüggvény természetes. Ilyenkor persze mivel S \overline{P} melletti eloszlása megegyezik S(r) P melletti eloszlásával, ezért f_{T} (S) \overline{P} melletti eloszlása megegyezik f_{T} (S(r)) P melletti eloszlásával, így speciálisan:

ℂ_{T} (f_{T}) ≥ E\frac{f_{T} (S(r))}{B_{T}}.

Belátjuk, hogy ℂ_{T} (f_{T})) = \overline{E}f_{T} /B_{T} lesz a racionális ár.

Legyen f_{T} olyan F_{T} -mérhető valószínűségi változó, hogy \overline{E}f_{T} < ∞ legyen. A Hölder-egyenlőtlenség miatt, mivel \overline{E}f_{T} = EΛ_{T}^{θ} f_{T}, ezért elegendő, ha például valamely ε > 0-ra: Ef_{T}^{1+ε} < ∞. Legyen:

Y_{T} = \overline{E} ( \frac{f_{T}}{B_{T}} | F\overline{W} ; t ) 0 ≤ t ≤ T.

Ekkor Y_{t} egy nemnegatív martingál, így az Itô-Klark-féle martingálreprezentációs tétel szerint ([8] 5. fejezet):

Y_{t} = Y_{0} + ∫_{o}^{t} α_{u}d\overline{W}_{u}

ahol α_{u} 0 ≤ u ≤ T esetén F\overline{W} ; u -mérhető és \overline{P}-m.m. ∫_{0}^{T} α_{u}^{2}du < ∞. De F\overline{W} ; u = F_{u}^{S}, így α_{u} értékei S-folyamat egy funkcionáljaként állnak elő, azaz létezik olyan α_{u}^{∗} funkcionál, hogy α_{u} = α_{u}^{∗}(S)^{9}. Legyen

γ_{u}^{∗}(S) = \frac{α_{u}^{∗}(S)B_{u}}{σ(u)S_{u}} és β_{u}^{∗}(S) = Y_{u} − γ_{u}^{∗}(S)\frac{S_{u}}{B_{u}} .

Definiáltunk ezzel egy Π_{u}^{∗} = (β_{u}^{∗}, γ_{u}^{∗}) stratégiát. Először belátjuk, hogy ez önfinanszírozó:

X_{u}^{π^{∗}} = β_{u}^{∗}B_{u} + γ_{u}^{∗}S_{u} = Y_{u}B_{u} − γ_{u}^{∗}S_{u} + γ_{u}^{∗}S_{u} = Y_{u}B_{u}.

Így egyrészt ehhez a stratégiához éppen az Y_{u} diszkontált tőkefolyamat tartozik, másrészt:

dX_{u}^{π^{∗}} = B_{u}dY_{u} + Y_{u}dB_{u} = B_{u}α_{u}d\overline{W}_{u} + Y_{u}dB_{u}

= (Y_{u} − \frac{α_{u}}{σ(u)}) dB_{u} + \frac{α_{u}}{σ(u)}B_{u}[r(u)du + σ(u)d\overline{W}_{u}]

= β_{u}^{∗}dB_{u} + γ_{u}^{∗}dS_{u}

A két technikai feltétel pedig ∫_{0}^{T} α_{u}^{2}du < ∞ P-m.m. való végessége, és az Y_{u} trajektóriáinak folytonossága miatt teljesül. Láttuk már, hogy Y_{u}^{π^{∗}} = Y_{u}, így

X_{u}^{π^{∗}} = Y_{u}B_{u} = \overline{E} ( \frac{B_{u}}{B_{T}} f_{T} | F\overline{W} ; u ) = \overline{E} ( \frac{B_{u}}{B_{T}} f_{T} | F_{u}^{S}) \overline{P}-m.m.,

és persze

X_{0}^{π^{∗}} = \overline{E}\frac{f_{T}}{B_{T}} , valamint X_{T}^{π^{∗}} = f_{T} P-m.m.

9Részletesebben: [8] 4.9 Lemma.

Tehát Π^{∗} olyan (x, f_{T})-hedge, amihez x = \overline{E}(f_{T} /B_{T}) kezdőtőke tartozik, ráadásul minimális is. Így az alsó határt elértük, a racionális ár:

ℂ_{T} (f_{T}) = \overline{E}\frac{f_{T}}{B_{T}}

Persze ha f_{T} = f_{T} (S) alakú, akkor ez nem függ a kezdeti μ(t) és λ(t) függvényektől, hisz

\overline{E}\frac{f_{T}}{B_{T}} = \overline{E}\frac{f_{T} (S)}{B_{T}} = E\frac{f_{T} (S(r))}{B_{T}}.

Az ehhez tartozó stratégia pedig: β_{u}^{∗} és γ_{u}^{∗}, azaz az Itô-Klark reprezentáció során adódott mennyiségek. Persze természetes kifizetés esetén

Y_{t} = \overline{E} ( \frac{f_{T}}{B_{T}} | F\overline{W} ; t ) = E ( \frac{f_{T} (S(r))}{B_{T}} | F_{t}^{S(r)})

miatt α^{∗} nem függ λ(t)-től és μ(t)-től, így a stratégia sem.

1.2. Európai opciók az f_{T} = f(S_{T}) speciális esetben

Ezen alfejezetben általános módszert adunk az f(S_{T}) kifizetőfüggvényű opciók árának és az őket fedező stratégiák meghatározására. A klasszikus vételi és eladási opció is ebbe a kategóriába tartozik, hiszen kifizetőfüggvényeik: |S_{T} − K|^{+}, illetve |K − S_{T} |^{+}, ahol |x|^{+} = max{0, x}.

Legyen T a továbbiakban rögzített, 0 ≤ t ≤ T tetszőleges. Vezessük be a ϑ(t) = ∫_{t}^{T} σ^{2}(s)ds jelölést. Mivel a kifizetőfüggvény f(S_{T}) alakú, ezért természetes, így \overline{P} mérték szerinti várható érték helyett számolhatunk P mérték szerintivel, és feltételezhető, hogy a részvényárfolyamot S(r) írja le (ezt a elkövetkezendőkben az egyszerűség kedvéért csak S-sel jelöljük). Mivel a lineáris sztochasztikus differenciálegyenletek megoldásai rendelkeznek a Markov tulajdonsággal ([1] 160. oldal 9.2.3 Tétel), ezért ilyenkor az optimális tőkefolyamat

X_{t}^{∗} = E ( \frac{B_{t}}{B_{T}} f(S_{T})| F_{t}) = E ( \frac{B_{t}}{B_{T}} f(S_{T})| S_{t}) .

Ilyenkor a részvényárfolyam kielégíti a

dS_{t} = S_{t}[r(t)dt + σ(t)dW_{t}] S_{0} = e^{ξ_{0}}

egyenletet, ahol ξ_{0} ∼ N(μ_{∗}, σ_{∗}^{2}). Egy ilyen homogén egyenlet megoldása [1]

153. oldal 8.4.3 Következmény szerint:

S_{t} = S_{0}B_{t} exp \{∫_{0}^{t} σ(s)dW_{s} − ∫_{0}^{t} \frac{σ^{2}(s)}{2}ds\} .

Amiből egyszerűen adódik az

S_{T} = S_{t} \frac{B_{T}}{B_{t}} exp \{∫_{t}^{T} σ(s)dW_{s} − \frac{ϑ(t)}{2}\}

összefüggés. Bevezetve a φ = ∫_{t}^{T} σ(s)dW_{s} jelölést, a Wiener-folyamat független növekményűségéből és [1] 92. oldal 4.5.6 Következménye alapján φ ∼ N(0, ϑ(t)) és φ S_{t}-től független t > 0-ra. Ekkor pedig

X_{t}^{∗} = \frac{B_{t}}{B_{T}} E [f (S_{t} \frac{B_{T}}{B_{t}} exp \{φ − \frac{ϑ(t)}{2}\})] = \frac{B_{t}}{B_{T}} F (t, S_{t})

adódik, ahol közben bevezettük az

F (t, x) = E [f (x\frac{B_{t}}{B_{T}} exp \{φ_{t} − \frac{ϑ(t)}{2}\})]

jelölést, ahol φ_{t} ∼ N(0, ϑ(t)). Legyen G(t, x) = F (t, B_{t}x), ekkor az optimális diszkontált tőkefolyamat

Y_{t}^{∗} = \frac{1}{B_{T}} G (t, \frac{S_{t}}{B_{t}} ) , azaz dY_{t}^{∗} = \frac{1}{B_{T}} dG (t, \frac{S_{t}}{B_{t}} ) .

Az Itô-formulát alkalmazva az (x, t) → G(t, x/B_{t}) függvényre és az S_{t} folyamatra

dG (t, \frac{S_{t}}{B_{t}} ) = [G′_{1} (t, \frac{S_{t}}{B_{t}} ) + G′_{2} (t, \frac{S_{t}}{B_{t}} ) (−r(t))\frac{S_{t}}{B_{t}}

+G′_{2} (t, \frac{S_{t}}{B_{t}} ) r(t)\frac{S_{t}}{B_{t}} + \frac{1}{2}G′′_{22} (t, \frac{S_{t}}{B_{t}} ) σ^{2}(t)\frac{S_{t}^{2}}{B_{t}^{2}} ] dt + G′_{2} (t, \frac{S_{t}}{B_{t}} ) σ(t)\frac{S_{t}}{B_{t}} dW_{t}

= [G′_{1} (t, \frac{S_{t}}{B_{t}} ) + \frac{1}{2}G′′_{22} (t, \frac{S_{t}}{B_{t}} ) σ^{2}(t)\frac{S_{t}^{2}}{B_{t}^{2}} ] dt + G′_{2} (t, \frac{S_{t}}{B_{t}} ) dS̃_{t}

összefüggés adódik. A fentiekből

Y_{t}^{∗} = Y_{0}^{∗} + \frac{1}{B_{T}} ∫_{0}^{t} G′_{2} (u, \frac{S_{u}}{B_{u}} ) dS̃_{u}

+\frac{1}{B_{T}} ∫_{0}^{t} [G′_{1} (u, \frac{S_{u}}{B_{u}} ) + \frac{1}{2}G′′_{22} (u, \frac{S_{u}}{B_{u}} ) σ^{2}(u)\frac{S_{u}^{2}}{B_{u}^{2}} ] du

Az egyenlet baloldalán egy martingál áll, a jobboldalon a második tag lokális martingál, hisz S̃_{u} lokális martingál. Így a Doob-Meyer felbontás ([8] 3. fejezete) egyértelműségéből a korlátos változású tag 0 kell legyen, azaz

Y_{t}^{∗} = Y_{0}^{∗} + \frac{1}{B_{T}} ∫_{0}^{t} G′_{2} (u, \frac{S_{u}}{B_{u}} ) dS̃_{u}

= Y_{0}^{∗} + ∫_{0}^{t} \frac{1}{B_{T}} G′_{2} (u, \frac{S_{u}}{B_{u}} ) σ(u)\frac{S_{u}}{B_{u}} dW_{u}

Így az Itô-Klark-tételbeli α_{u}:

α_{u} = \frac{1}{B_{T}} G′_{2} (u, \frac{S_{u}}{B_{u}} ) σ(u)\frac{S_{u}}{B_{u}} .

Amiből a kétfajta értékpapír optimális mennyisége:

γ_{u}^{∗} = \frac{α_{u}B_{u}}{σ(u)S_{u}} = \frac{1}{B_{T}} G′_{2} (u, \frac{S_{u}}{B_{u}} ) = \frac{B_{u}}{B_{T}} F′_{2}(u, S_{u})

β_{u}^{∗} = Y_{u}^{∗} − γ_{u}^{∗} \frac{S_{u}}{B_{u}} = \frac{1}{B_{T}} [F (u, S_{u}) − S_{u}F′_{2}(u, S_{u})].

Az opció ára pedig:

ℂ_{T} (f_{T}) = \frac{1}{B_{T}} F (T, S_{0}),

vagy ha S_{0} valószínűségi változó, akkor

ℂ_{T} (f_{T}) = \frac{1}{B_{T}} E[F (T, S_{0})].

A következő feladat az lenne, hogy az f(x) = |x − K|^{+} kifizetőfüggvény esetén határozzuk meg az F (t, x) függvényt. Mivel a mi modellünkben S_{0} valószínűségi változó volt, ezért ne is az F (t, x)-t, hanem inkább E[F (t, η)]-t határozzuk meg, ahol η lognormális eloszlású μ_{∗} és σ_{∗}^{2} paraméterekkel (ez éppen e^{ξ_{0}} eloszlásának felel meg, ha ξ_{0} ∼ N(μ_{∗}, σ_{∗}^{2})).

E[F (t, η)] = E [E [f (η \frac{B_{t}}{B_{T}} exp \{φ_{t} − \frac{ϑ(t)}{2}\})]]

= E [f (ηe^{φ_{t}} \frac{B_{t}}{B_{T}} exp \{\frac{−ϑ(t)}{2}\})] ,

ahol mivel ξ_{0} független F_{t} -től t > 0-ra, ezért η és φ_{t} függetlenek, ηe^{φ_{t}} eloszlása így μ_{∗} és σ_{∗}^{2} + ϑ(t) paraméterű lognormális eloszlás. Ekkor

E[F (t, η)] = ∫_{y}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2π(σ_{∗}^{2} + ϑ(t))}} exp \{\frac{−(u − μ_{∗})^{2}}{2(σ_{∗}^{2} + ϑ(t))}\} (\frac{B_{T}}{B_{t}} e^{−ϑ(t)/2+u} − K) du

= \frac{B_{T}}{B_{t}} e^{μ_{∗}+σ_{∗}^{2}/2} ∫_{y}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2π(σ_{∗}^{2} + ϑ(t))}} exp \{\frac{−(u − μ_{∗} − σ_{∗}^{2} − ϑ(t))^{2}}{2(σ_{∗}^{2} + ϑ(t))} \}

−K ∫_{y}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2π(σ_{∗}^{2} + ϑ(t))}} exp \{\frac{−(u − μ_{∗})^{2}}{2(σ_{∗}^{2} + ϑ(t))}\}

= \frac{B_{T}}{B_{t}} e^{μ_{∗}+σ_{∗}^{2}/2}Φ (\frac{μ_{∗} + σ_{∗}^{2} + ϑ(t) − y}{\sqrt{σ_{∗}^{2} + ϑ(t)}} ) − KΦ (\frac{μ_{∗} − y}{\sqrt{σ_{∗}^{2} + ϑ(t)}}) ,

ahol y = ln(K) + ϑ(t)/2 − ln(B_{T} /B_{t}), Φ pedig a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye. Rövidebben:

E[F (t, η)] = \frac{B_{T}}{B_{t}} e^{μ_{∗}+σ_{∗}^{2}/2}Φ(y_{1}^{∗}) − KΦ(y_{2}^{∗}),

ahol

y_{1}^{∗} = \frac{ln (\frac{1}{K} ) + \frac{ϑ(t)}{2} + ln (\frac{B_{T}}{B_{t}} ) + μ_{∗} + σ_{∗}^{2}}{\sqrt{σ_{∗}^{2} + ϑ(t)}}

y_{2}^{∗} = \frac{ln (\frac{1}{K} ) − \frac{ϑ(t)}{2} + ln (\frac{B_{T}}{B_{t}} ) + μ_{∗}}{\sqrt{σ_{∗}^{2} + ϑ(t)}} .

Így speciálisan ha a második változó konstans (x), akkor σ_{∗}^{2} = 0 és μ_{∗} = ln(x), tehát

F (t, x) = x\frac{B_{T}}{B_{t}} Φ (\frac{ln (\frac{x}{K} ) + \frac{ϑ(t)}{2} + ln (\frac{B_{T}}{B_{t}} )}{\sqrt{ϑ(t)}}) − KΦ (\frac{ln (\frac{x}{K} ) − \frac{ϑ(t)}{2} + ln (\frac{B_{T}}{B_{t}} )}{\sqrt{ϑ(t)}}) .

Ezt x változó szerint deriválva az első tag deriváltjának egyik része (szorzatderiváltról lévén szó) éppen a második tag deriváltjának ellentettje lesz, így azok kiejtik egymást (ezt könnyű ellenőrizni, csak elemi deriválás), marad:

F′_{2}(t, x) = \frac{B_{T}}{B_{t}} Φ (\frac{ln (\frac{x}{K} ) + \frac{ϑ(t)}{2} + ln (\frac{B_{T}}{B_{t}} )}{\sqrt{ϑ(t)}}) .

Innen az opció ára:

ℂ_{T} (f_{T}) = \frac{1}{B_{T}} E[F (T, S_{0})] = e^{μ_{∗}+σ_{∗}^{2}/2}Φ(y_{1}^{∗}) − \frac{K}{B_{T}} Φ(y_{2}^{∗}),

ahol y_{1}^{∗} és y_{2}^{∗} képleteiben most t=0. Az optimális portfólióhoz tartozó értékpapírfolyamatok pedig:

γ_{t}^{∗} = Φ(y_{1}^{t}) és β_{t}^{∗} = \frac{−K}{B_{T}} Φ(y_{2}^{t}) ,

ahol

y_{1}^{t} = \frac{ln (\frac{S_{t}}{K} ) + \frac{ϑ(t)}{2} + ln (\frac{B_{T}}{B_{t}} )}{\sqrt{ϑ(t)}} és y_{2}^{t} = \frac{ln (\frac{S_{t}}{K} ) − \frac{ϑ(t)}{2} + ln (\frac{B_{T}}{B_{t}} )}{\sqrt{ϑ(t)}}.

Az optimális tőkefolyamat pedig:

X_{t}^{∗} = \frac{B_{t}}{B_{T}} F (t, S_{t}) = S_{t}Φ(y_{1}^{t}) − K \frac{B_{t}}{B_{T}} Φ(y_{2}^{t}).

1.2.1. A Black-Scholes formula

Az eddig elmondottak speciális eseteként megkapjuk az európai típusú klasszikus vételi opció Black-Scholes-féle árát és a hozzá tartozó stratégiát. Az eddigi jelölésekkel a klasszikus Samuelson-féle árfolyammodellben:

μ(t) ≡ μ  r(t) ≡ r  μ_{∗} = ln S_{0}
λ(t) ≡ 0  σ(t) ≡ σ σ_{∗}^{2} = 0,

ami alapján

B_{t} = e^{rt} és ϑ(t) = (T − t)σ^{2}.

Legyen

y_{1}^{t} = \frac{ln (\frac{S_{t}}{K} ) + (r + \frac{σ^{2}}{2} ) (T − t)}{σ\sqrt{T − t}}

y_{2}^{t} = \frac{ln (\frac{S_{t}}{K} ) + (r − \frac{σ^{2}}{2} ) (T − t)}{σ\sqrt{T − t}}.

Ekkor a vételi opció ára:

ℂ_{T} = S_{0}Φ(y_{1}^{0}) − \frac{K}{B_{T}} Φ(y_{2}^{0}),

az értékpapírok optimális mennyisége pedig:

γ_{t}^{∗} = Φ(y_{1}^{t}) és β_{t}^{∗} = −Ke^{−rT} Φ(y_{2}^{t}).

Végül az optimális tőkefolyamat:

X_{t}^{∗} = S_{t}Φ(y_{1}^{t}) − Ke^{−r(T −t)}Φ(y_{2}^{t}).

1.3. A put-call paritás

Ebben az alfejezetben azt vizsgáljuk meg, hogy a vételi opció árának és a hozzá tartozó stratégiának ismeretében hogyan lehet ugyanezeket a mennyiségeket az eladási opciónál megállapítani. Közben belátjuk a két ár kapcsolatát leíró úgynevezett put-call paritást.

A két kifizetőfüggvény közti kapcsolat:

|K − S_{T} |^{+} = |S_{T} − K|^{+} − S_{T} + K.

Így az eladási opció ára:

ℙ_{T} = E (\frac{1}{B_{T}} |K − S_{T} |^{+}) = E (\frac{1}{B_{T}} |S_{T} − K|^{+}) − E (\frac{S_{T}}{B_{T}} ) + \frac{K}{B_{T}}

= ℂ_{T} − e^{μ_{∗}+σ_{∗}^{2}/2} + \frac{K}{B_{T}} ,

ahol közben kihasználtuk, hogy

E (\frac{S_{T}}{B_{T}} ) = E(S_{0}) = e^{μ_{∗}+σ_{∗}^{2}/2}.

Tehát a put-call paritás:

ℙ_{T} + e^{μ_{∗}+σ_{∗}^{2}/2} = ℂ_{T} + \frac{K}{B_{T}} ,

azaz hasonló összefüggés lesz érvényben, mint a klasszikus esetben, aholis

ℙ_{T} + S_{0} = ℂ_{T} + e^{−rT} K

teljesül.

Próbáljuk meg az ehhez tartozó stratégiát is meghatározni. Az 1.2 alfejezet jelöléseivel:

E[F (t, η)] = ∫_{−∞}^{y} \frac{1}{\sqrt{2π(σ_{∗}^{2} + ϑ(t))}} exp \{\frac{−(u − μ_{∗})^{2}}{2(σ_{∗}^{2} + ϑ(t))}\} (K − \frac{B_{T}}{B_{t}} e^{−ϑ(t)/2+u}) du

= KΦ (\frac{y − μ_{∗}}{\sqrt{σ_{∗}^{2} + ϑ(t)}}) − \frac{B_{T}}{B_{t}} e^{μ_{∗}+σ_{∗}^{2}/2}Φ (\frac{y − μ_{∗} − σ_{∗}^{2} − ϑ(t)}{\sqrt{σ_{∗}^{2} + ϑ(t)}}) ,

ahol y = ln(K) + ϑ(t)/2 − ln(B_{T} /B_{t}). Így speciálisan:

F (t, x) = KΦ (\frac{ln (\frac{K}{x} ) + \frac{ϑ(t)}{2} − ln (\frac{B_{T}}{B_{t}} )}{\sqrt{ϑ(t)}}) − x\frac{B_{T}}{B_{t}} Φ (\frac{ln (\frac{K}{x} ) − \frac{ϑ(t)}{2} − ln (\frac{B_{T}}{B_{t}} )}{\sqrt{ϑ(t)}}) .

Deriválva a második változója szerint:

F′_{2}(t, x) = −\frac{B_{T}}{B_{t}} Φ (\frac{ln (\frac{K}{x} ) − \frac{ϑ(t)}{2} − ln (\frac{B_{T}}{B_{t}} )}{\sqrt{ϑ(t)}}) .

Amiből az előző alfejezet jelöléseivel:

ℙ_{T} = \frac{1}{B_{T}} E[F (T, S_{0})] = \frac{K}{B_{T}} Φ(−y_{2}^{∗}) − e^{μ_{∗}+σ_{∗}^{2}/2}Φ(−y_{1}^{∗}).

Azaz a put-call paritás tényleg fennáll, hisz

ℙ_{T} + e^{μ_{∗}+σ_{∗}^{2}/2} = \frac{K}{B_{T}} (1 − Φ(y_{2}^{∗})) + e^{μ_{∗}+σ_{∗}^{2}/2}Φ(y_{1}^{∗}) = ℂ_{T} + \frac{K}{B_{T}} .

Az optimális értékpapírmennyiségek pedig:

γ_{t}^{∗} = −Φ(−y_{1}^{t}) = Φ(y_{1}^{t}) − 1

β_{t}^{∗} = \frac{1}{B_{T}} [KΦ(−y_{2}^{t}) − S_{t} \frac{B_{T}}{B_{t}} Φ(−y_{1}^{t}) + S_{t} \frac{B_{T}}{B_{t}} Φ(−y_{1}^{t})]

= \frac{1}{B_{T}} KΦ(−y_{2}^{t}) = \frac{K}{B_{T}} − \frac{K}{B_{T}} Φ(y_{2}^{t}),

azaz az optimális stratégia majdnem ugyanaz, mint a vételi opciónál volt, csupán minden időpillanatban egy részvénnyel kevesebbet kell tartani, kötvényből pedig K/B_{T} jelenértékűvel többet. A put-call paritás elve éppen ezt mondta ki, csak az árak viszonylatában. Jól látható a számítások nyomán (és ez persze vártható is volt, azaz tulajdonképpen az optimális stratégia kiszámítása ilyen értelemben felesleges is volt), hogy a paritásnak az optimális stratégiák viszonylatában is fenn kell állnia.

Néhány egzotikus opció árazási formulája

Az elkövetkezendőkben az előző fejezet eredményeinek felhasználásával három –a vételi illetve az eladási opciónál bonyolultabb– követelés árát határozzuk meg:

• a lookback típusú eladási opcióét

• a lookback típusú vételi opcióét

• a limitár alatt értéktelen vételi opcióét (down and out call).

Ezen követelések annyiban bonyolultabbak a standard vételi és eladási opciónál, hogy kifizetőfüggvényük nem f(S_{T}) alakú (így azon speciális eset eredményei nem alkalmazhatóak), ám értékük csak a részvényárfolyam [0, T]-beli viselkedésétől függ, azaz kifizetőfüggvényük természetes. Azt már korábban láttuk, hogy természetes kifizetés esetén a \overline{P} mértékről visszatérhetünk az eredeti P mértékre, s ekkor az S_{t} folyamat helyett az S_{t}(r) folyamattal lehet számolni.

2.1. A lookback típusú eladási opció

1. Definíció. Egy lookback típusú eladási opció tulajdonosának azt a jogot biztosítja, hogy részvényét a T időpillanatban az adott részvény [0, T] időintervallumbeli legmagasabb árán adhatja el. Kifizetőfüggvénye így:

max_{0≤t≤T} S_{t} − S_{T} .

Mivel a részvényárfolyam

S_{t} = e^{ξ_{0}} exp \{∫_{0}^{t} r(s) − \frac{σ^{2}(s)}{2}ds + ∫_{0}^{t} σ(s)dW_{s}\}

alakú, ezért

G(t) = ∫_{0}^{t} g(s)ds + ∫_{0}^{t} σ(s)dW_{s}

folyamat maximumának és G(T)-nek az együttes eloszlására lenne szükségünk g(s) = r(s) − σ^{2}(s)/2 esetén^{1}. Jelölje

M_{g}(T) = max_{0≤t≤T} G(t) ,

továbbá legyen

Λ_{t} = exp \{− ∫_{0}^{t} \frac{g(s)}{σ(s)}dW_{s} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} \frac{g^{2}(s)}{σ^{2}(s)}ds\} .

Mivel g(s)/σ(s) folytonos determinisztikus függvény [0, T]-n, ezért a Girsanovtétel feltételei teljesülnek, így a Λ_{t} által definiált P̃ mértékre nézve:

W̃_{t} = W_{t} + ∫_{0}^{t} \frac{g(s)}{σ(s)}ds

standard Wiener-folyamat lesz. Ezt differenciákra átírva, σ(s)-sel szorozva, és újra integrálva:

∫_{0}^{t} σ(s)dW̃_{s} = ∫_{0}^{t} σ(s)dW_{s} + ∫_{0}^{t} σ(s)\frac{g(s)}{σ(s)}ds = G(t).

Jelölje:

U(t) = ∫_{0}^{t} σ(s)W_{s} és V (T) = max_{0≤t≤T} U(t).

Mivel az U(t) folyamat független növekményű, s növekményei szimmetrikus eloszlásúak, ezért alkalmazható rá az úgynevezett tükrözési elv ([6]):

P(U(T) < b, V (T) ≥ c) = P(U(T) ≥ 2c − b) = 1 − F_{0,ϑ}(2c − b)

1Nyilván ennél kevesebb is elég, hisz ha tudjuk a maximum eloszlását, már onnan is kiszámítható az ár, viszont látni fogjuk majd, hogy az általunk vizsgált esetben az együttes eloszlásból könnyű meghatározni a maximum eloszlását.

= Φ (\frac{b − 2c}{\sqrt{ϑ}}) , ha c > 0 és b ≤ c ,

ahol F_{0,ϑ} a 0 várható értékű ϑ varianciájú, Φ pedig a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye, valamint

ϑ = ∫_{0}^{T} σ^{2}(s)ds.

Mivel P(U(T) < b, V (T) < c) = P(U(T) < b) − P(U(T) < b, V (T) ≥ c)

= Φ (\frac{b}{\sqrt{ϑ}}) − Φ (\frac{b − 2c}{\sqrt{ϑ}}) ,

ezért U(T) és V (T) együttes eloszlásfüggvénye:

E_{U,V} (b, c) = \{ \begin{matrix}Φ (\frac{b}{\sqrt{ϑ}}) − Φ (\frac{b−2c}{\sqrt{ϑ}}) & ha c > 0 és b ≤ c \\ Φ (\frac{c}{\sqrt{ϑ}}) − Φ (\frac{−c}{\sqrt{ϑ}}) & ha c > 0 és b > c \\ 0 & ha c ≤ 0. \end{matrix}

Deriválva ezt b szerint^{2}:

E_{U,V}^{(U)}(b, c) = \{ \begin{matrix}φ (\frac{b}{\sqrt{ϑ}}) \frac{1}{\sqrt{ϑ}} − φ (\frac{b−2c}{\sqrt{ϑ}}) \frac{1}{\sqrt{ϑ}} & ha c > 0 és b ≤ c \\ 0 & különben. \end{matrix}

Tovább c szerint:

E_{U,V}^{(U,V)}(b, c) = \{ \begin{matrix}\frac{2(2c−b)}{ϑ\sqrt{ϑ}}φ (\frac{b−2c}{\sqrt{ϑ}}) & ha c > 0 és b ≤ c \\ 0 & különben. \end{matrix}

Nekünk G(T) és M_{g}(T) együttes eloszlására lenne szükségünk:

P(G(T) < b, M_{g}(T) < c) = E[I(G(T) < b, M_{g}(T) < c)]

= Ẽ[Λ_{T}^{−1}I(G(T) < b, M_{g}(T) < c)]

= Ẽ [exp \{∫_{0}^{T} \frac{g(s)}{σ(s)}dW_{s} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{T} \frac{g^{2}(s)}{σ^{2}(s)}ds\} I(G(T) < b, M_{g}(T) < c)]

2Az alábbi képletekben φ a standard normális eloszlás sűrűségfüggvényét jelöli.

Mivel dW_{s} = dW̃_{s} − \frac{g(s)}{σ(s)}, ezért az együttes eloszlást továbbírva

Ẽ [exp \{∫_{0}^{T} \frac{g(s)}{σ(s)}dW̃_{s} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{T} \frac{g^{2}(s)}{σ^{2}(s)}ds\} I(G(T) < b, M_{g}(T) < c)]

adódik. G(T) és M_{g}(T) együttes eloszlása P̃ mérték mellett ugyanaz, mint U(T) és V (T) együttes eloszlása P mérték mellett, így a fenti várható érték kiszámítható lenne, ha nemcsak (U(T), V (T)) pár együttes eloszlását ismernénk, hanem (U(T), V (T), Z(T))-ét, ahol

Z(T) = ∫_{0}^{T} \frac{g(s)}{σ(s)}dW_{s} .

Mivel ennek a kiszámítása általában rendkívül bonyolult, egy egyszerűsítő feltételt teszünk. Ha \frac{g(s)}{σ(s)} σ(s) konstansszorosa lenne, akkor a keresett együttes eloszlás kiszámításához elegendő lenne U(T) és V (T) együttes eloszlása. Tegyük fel tehát, hogy

\frac{g(s)}{σ(s)} = κσ(s) , azaz r(s) = (κ + \frac{1}{2}) σ^{2}(s).

Ekkor bevezetve M_{g}(T)-re az M_{κ}(T) jelölést:

P(G(T) < b, M_{κ}(T) < c)

= Ẽ [exp \{∫_{0}^{T} κσ(s)dW̃_{s} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{T} κ^{2}σ^{2}(s)ds\} I(G(T) < b, M_{κ}(T) < c)]

= E [exp \{κU(T) − \frac{κ^{2}ϑ}{2}\} I(U(T) < b, V (T) < c)] .

Ezen valószínűség kiszámítása során négy esetet kell megkülönböztetni:

• ha c ≤ 0, akkor mivel olyan halmazon kell venni a várható értéket, ahol az együttes sűrűségfüggvény 0, ezért 0-t kapunk

• ha c > 0 és b ≤ 0, akkor a keresett valószínűség:

∫_{−∞}^{b} ∫_{0}^{c} exp \{κz − \frac{κ^{2}ϑ}{2}\} \frac{2(2y − z)}{ϑ\sqrt{ϑ}}φ (\frac{z − 2y}{\sqrt{ϑ}} ) dydz

= ∫_{−∞}^{b} exp \{κz − \frac{κ^{2}ϑ}{2}\} \frac{1}{\sqrt{ϑ}} [φ (\frac{z}{\sqrt{ϑ}}) − φ (\frac{z − 2c}{\sqrt{ϑ}})] dz

= ∫_{−∞}^{0} exp \{κ(b + z) − \frac{κ^{2}ϑ}{2}\} \frac{1}{\sqrt{ϑ}} [φ (\frac{b + z}{\sqrt{ϑ}} ) − φ (\frac{b + z − 2c}{\sqrt{ϑ}})] dz

= exp \{κb − \frac{κ^{2}ϑ}{2}\} [A(b) − A(b − 2c)] ,

ahol

A(d) = \frac{1}{\sqrt{ϑ}} ∫_{−∞}^{0} e^{κz}φ (\frac{d + z}{\sqrt{ϑ}} ) dz

= exp \{−κd + \frac{κ^{2}ϑ}{2}\} ∫_{−∞}^{0} \frac{1}{\sqrt{2πϑ}} exp \{\frac{−(d + z − κϑ)^{2}}{2ϑ} \} dz

= exp \{−κd + \frac{κ^{2}ϑ}{2}\} Φ (\frac{d − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) ,

így a kettős integrál végső értéke:

Φ (\frac{b − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) − e^{2κc}Φ (\frac{b − 2c − κϑ}{\sqrt{ϑ}})

• ha c > 0 és c < b, akkor a valószínűség az előzőek felhasználásával:

∫_{−∞}^{0} ∫_{0}^{c} exp \{κz − \frac{κ^{2}ϑ}{2}\} \frac{2(2y − z)}{ϑ\sqrt{ϑ}}φ (\frac{z − 2y}{\sqrt{ϑ}} ) dydz

+ ∫_{0}^{c} ∫_{z}^{c} exp \{κz − \frac{κ^{2}ϑ}{2}\} \frac{2(2y − z)}{ϑ\sqrt{ϑ}}φ (\frac{z − 2y}{\sqrt{ϑ}} ) dydz

= Φ (\frac{−κϑ}{\sqrt{ϑ}}) − e^{2κc}Φ (\frac{−2c − κϑ}{\sqrt{ϑ}})

+ ∫_{0}^{c} exp \{κz − \frac{κ^{2}ϑ}{2}\} \frac{1}{\sqrt{ϑ}} [φ (\frac{−z}{\sqrt{ϑ}}) − φ (\frac{z − 2c}{\sqrt{ϑ}})] dz ,

φ(d) = φ(−d) kihasználásával a harmadik tag:

∫_{−∞}^{c} exp \{κz − \frac{κ^{2}ϑ}{2}\} \frac{1}{\sqrt{ϑ}} [φ (\frac{z}{\sqrt{ϑ}}) − φ (\frac{z − 2c}{\sqrt{ϑ}})] dz

− ∫_{∞}^{0} exp \{κz − \frac{κ^{2}ϑ}{2}\} \frac{1}{\sqrt{ϑ}} [φ (\frac{z}{\sqrt{ϑ}}) − φ (\frac{z − 2c}{\sqrt{ϑ}})] dz

= exp \{κc − \frac{κ^{2}ϑ}{2}\} [A(c) − A(−c)] − exp \{−\frac{κ^{2}ϑ}{2}\} [A(0) − A(−2c)]

= Φ (\frac{c − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) − e^{2κc}Φ (\frac{−c − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) − Φ (\frac{−κϑ}{\sqrt{ϑ}}) + e^{2κc}Φ (\frac{−2c − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) ,

így a keresett valószínűség:

Φ (\frac{c − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) − e^{2κc}Φ (\frac{−c − κϑ}{\sqrt{ϑ}})

• ha pedig c > 0 és 0 < b < c, akkor az előző eset felhasználásával:

Φ (\frac{b − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) − e^{2κb}Φ (\frac{−b − κϑ}{\sqrt{ϑ}})

+ ∫_{−∞}^{b} ∫_{b}^{c} exp \{κz − \frac{κ^{2}ϑ}{2}\} \frac{2(2y − z)}{ϑ\sqrt{ϑ}}φ (\frac{z − 2y}{\sqrt{ϑ}} ) dydz ,

a kettős integrált átalakítva:

∫_{−∞}^{b} exp \{κz − \frac{κ^{2}ϑ}{2}\} \frac{1}{\sqrt{ϑ}} [φ (\frac{z − 2b}{\sqrt{ϑ}}) − φ (\frac{z − 2c}{\sqrt{ϑ}})] dz

= exp \{κb − \frac{κ^{2}ϑ}{2}\} [A(−b) − A(b − 2c)]

= e^{2κb}Φ (\frac{−b − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) − e^{2κc}Φ (\frac{b − 2c − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) ,

amiből a kérdéses valószínűség:

Φ (\frac{b − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) − e^{2κc}Φ (\frac{b − 2c − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) .

Tehát az eloszlásfüggvény c > 0 b ≤ c esetén:

Φ (\frac{b − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) − e^{2κc}Φ (\frac{b − 2c − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) ,

0 < c < b esetén pedig ugyanez, csak b helyére c-t kell írni. Innen látható, hogy az együttes eloszlás tartója a

{(b, c) ∈ ℝ^{2} : b ≤ c, c > 0}

halmaz lesz. Az eloszlásfüggvényt b szerint ezen a halmazon deriválva:

\frac{1}{\sqrt{ϑ}} [φ (\frac{b − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) − e^{2κc}φ (\frac{b − 2c − κϑ}{\sqrt{ϑ}})] ,

tovább c szerint:

\frac{−e^{2κc}}{\sqrt{ϑ}} φ (\frac{b − 2c − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) [2κ + \frac{b − 2c − κϑ}{\sqrt{ϑ}} \frac{2}{\sqrt{ϑ}}]

= \frac{2(2c − b)}{ϑ\sqrt{ϑ}}e^{2κc}φ (\frac{b − 2c − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) = \frac{2(2c − b)}{ϑ\sqrt{ϑ}}φ (\frac{2c − b}{\sqrt{ϑ}}) exp \{κb − \frac{κ^{2}ϑ}{2}\} .

Tehát az együttes sűrűségfüggvény:

\{ \begin{matrix}\frac{2(2c−b)}{ϑ\sqrt{ϑ}}φ (\frac{2c−b}{\sqrt{ϑ}}) exp \{κb − \frac{κ^{2}ϑ}{2}\} & ha c > 0 és b ≤ c \\ 0 & különben. \end{matrix}

Visszatérve az együttes eloszlásfüggvényre, könnyű kiszámítani ebből az M_{κ}(T) maximum eloszlását. Az eloszlásfüggvénye c > 0 esetén

Φ (\frac{c − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) − e^{2κc}Φ (\frac{−c − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) .

Így a sűrűségfüggvénye:

\frac{1}{\sqrt{ϑ}}φ (\frac{c − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) − 2κe^{2κc}Φ (\frac{−c − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) + e^{2κc} \frac{1}{\sqrt{ϑ}}φ (\frac{−c − κϑ}{\sqrt{ϑ}})

= \frac{2}{\sqrt{ϑ}}φ (\frac{c − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) − 2κe^{2κc}Φ (\frac{−c − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) ,

ha c > 0, különben 0.

Most már rátérhetünk a lookback típusú eladási opció árának meghatározására:

E [\frac{1}{B_{T}} ( max_{0≤t≤T} S_{t} − S_{T} )] = E [\frac{1}{B_{T}} e^{ξ_{0}+M_{κ}(T)}] − e^{μ_{∗}+ \frac{σ^{2}_{∗}}{2}}

= e^{μ_{∗}+ \frac{σ^{2}_{∗}}{2}} [\frac{1}{B_{T}} E (e^{M_{κ}(T)}) − 1] ,

ahol közben kihasználtuk ξ_{0} és M_{κ}(T) függetlenségét. Az egyedüli, amit ki kell számítani:

E (e^{M_{κ}(T)}) = ∫_{0}^{∞} e^{c} [\frac{2}{\sqrt{ϑ}}φ (\frac{c − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) − 2κe^{2κc}Φ (\frac{−c − κϑ}{\sqrt{ϑ}})] dc.

Tagonként számolva:

∫_{0}^{∞} e^{c} \frac{1}{\sqrt{ϑ}}φ (\frac{c − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) dc = exp \{\frac{(2κ + 1)ϑ^{2}}{2ϑ} \} ×

∫_{0}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2πϑ}} exp \{\frac{−(c − (κ + 1)ϑ)^{2}}{2ϑ} \} dc = e^{ϑ(κ+ \frac{1}{2})}Φ (\frac{ϑ(κ + 1)}{\sqrt{ϑ}}) ,

valamint a másik parciális integrálással:

∫_{0}^{∞} 2κe^{2κc}Φ (\frac{−c − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) e^{c}dc = \frac{2κ}{2κ + 1} ∫_{0}^{∞}(2κ + 1)e^{(2κ+1)c}Φ (\frac{−c − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) dc

= \frac{2κ}{2κ + 1} [e^{(2κ+1)c}Φ (\frac{−c − κϑ}{\sqrt{ϑ}})]_{0}^{∞} + \frac{2κ}{2κ + 1} ∫_{0}^{∞} e^{(2κ+1)c}φ (\frac{−c − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) \frac{1}{\sqrt{ϑ}}dc

= −\frac{2κ}{2κ + 1}Φ (\frac{−κϑ}{\sqrt{ϑ}}) + \frac{2κ}{2κ + 1} exp \{\frac{(2κ + 1)ϑ^{2}}{2ϑ} \} ×

∫_{0}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2πϑ}} exp \{\frac{−(c − (κ + 1)ϑ)^{2}}{2ϑ} \} dc

= −\frac{2κ}{2κ + 1}Φ (\frac{−κϑ}{\sqrt{ϑ}}) + \frac{2κ}{2κ + 1}e^{ϑ(κ+ \frac{1}{2})}Φ (\frac{ϑ(κ + 1)}{\sqrt{ϑ}}) ,

ahol közben kihasználtuk, hogy a L’Hospital-szabály miatt:

lim_{c→∞} \frac{Φ (\frac{−c−κϑ}{\sqrt{ϑ}})}{e^{−(2κ+1)c}} = lim_{c→∞} \frac{\frac{1}{\sqrt{2π}} exp \{\frac{−(c+κϑ)^{2}}{2ϑ} \} \frac{−1}{\sqrt{ϑ}}}{−(2κ + 1)e^{−(2κ+1)c}}

= egy c-től nem függő konstans · lim_{c→∞} exp \{\frac{−(c − (κ − 1)ϑ)^{2}}{2ϑ} \} = 0.

Így bevezetve a d = (κ + 1)\sqrt{ϑ} jelölést:

E (e^{M_{κ}(T)}) = 2e^{ϑ(κ+ \frac{1}{2})}Φ(d) + \frac{2κ}{2κ + 1}Φ(−d + \sqrt{ϑ}) − \frac{2κ}{2κ + 1}e^{ϑ(κ+ \frac{1}{2})}Φ(d) ,

amiből az eladási opció ára:

e^{μ_{∗}+ \frac{σ^{2}_{∗}}{2}} \{\frac{1}{B_{T} (2κ + 1)} [(2κ + 2)e^{ϑ(κ+ \frac{1}{2})}Φ(d) + 2κΦ(−d + \sqrt{ϑ})] − 1\} .

2.1.1. A lookback típusú eladási opció a Samuelson-féle árfolyammodellben

Számítsuk ki, hogy mit ad a fenti formula a klasszikus árfolyammodell feltételei mellett. Mivel ekkor σ és r is konstans, ezért működik az árazási formula:

κ = \frac{r}{σ^{2}} − \frac{1}{2} , amiből: d = \frac{2r + σ^{2}}{2σ} \sqrt{T} ,

és az opció ára így (S_{0} = e^{μ_{∗}}, σ_{∗}^{2} = 0):

S_{0} \{e^{−rT} \frac{σ^{2}}{2r} [(\frac{2r}{σ^{2}} + 1) e^{rT} Φ(d) + (\frac{2r}{σ^{2}} − 1) Φ(−d + σ\sqrt{T})] − 1\} =

S_{0} \{−Φ(−d) + e^{−rT} Φ(−d + σ\sqrt{T}) + \frac{σ^{2}}{2r} e^{−rT} [−Φ(−d + σ\sqrt{T}) + e^{rT} Φ(d)]\} ,

ami megfelel a szakirodalomban ([4] 175. oldal, [13]) található eredménynek.

2.2. A lookback típusú vételi opció

2. Definíció. Egy lookback típusú vételi opció tulajdonosának azt a jogot biztosítja, hogy T időpillanatban az adott részvény [0, T] időintervallumbeli legalacsonyabb árán egy részvényt megvásároljon. Kifizetőfüggvénye tehát:

S_{T} − min_{0≤t≤T} S_{t} .

Minden képlet az előző alfejezet analógiájára egyszerűen számítható, így csak a végeredményeket írjuk fel. Legyen

m_{κ}(T) = min_{0≤t≤T} G(t) és v(T) = min_{0≤t≤T} U(T).

Ekkor mivel az U(T) folyamat szimmetrikus:

P(U(T) > b, v(T) > c) = P(−U(T) < −b, V (T) < −c)

= \{ \begin{matrix}Φ (\frac{−b}{\sqrt{ϑ}}) − Φ (\frac{−b+2c}{\sqrt{ϑ}}) & ha c < 0 és b ≥ c \\ Φ (\frac{−c}{\sqrt{ϑ}}) − Φ (\frac{c}{\sqrt{ϑ}}) & ha c < 0 és b < c \\ 0 & ha c ≥ 0 , \end{matrix}

amiből az együttes sűrűségfüggvényre

\frac{2(b − 2c)}{ϑ\sqrt{ϑ}}φ (\frac{2c − b}{\sqrt{ϑ}})

adódik, ha c < 0 és b ≥ c, különben pedig 0. Innen:

P(G(T) > b, m_{κ}(T) > c) = \{ \begin{matrix}Φ (\frac{−b+κϑ}{\sqrt{ϑ}}) − e^{2κc}Φ (\frac{−b+2c+κϑ}{\sqrt{ϑ}}) & ha c < 0 és b ≥ c \\ Φ (\frac{−c+κϑ}{\sqrt{ϑ}}) − e^{2κc}Φ (\frac{c+κϑ}{\sqrt{ϑ}}) & ha c < 0 és b < c \\ 0 & ha c ≥ 0 , \end{matrix}

amiből az együttes sűrűségfüggvény:

\{ \begin{matrix}\frac{2(b−2c)}{ϑ\sqrt{ϑ}}φ (\frac{2c−b}{\sqrt{ϑ}}) exp \{κb − \frac{κ^{2}ϑ}{2}\} & ha c < 0 és b ≥ c \\ 0 & különben. \end{matrix}

Az m_{κ}(T) túlélésfüggvénye:

Φ (\frac{−c + κϑ}{\sqrt{ϑ}}) − e^{2κc}Φ (\frac{c + κϑ}{\sqrt{ϑ}}) ha c < 0.

Ennek a deriváltjának az ellentettje lesz m_{κ}(T) sűrűségfüggvénye:

2κe^{2κc}Φ (\frac{c + κϑ}{\sqrt{ϑ}}) + \frac{2}{\sqrt{ϑ}}φ (\frac{c − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) ha c < 0 ,

amiből:

E (e^{m_{κ}(T)}) = ∫_{−∞}^{0} e^{c} [2κe^{2κc}Φ (\frac{c + κϑ}{\sqrt{ϑ}}) + \frac{2}{\sqrt{ϑ}}φ (\frac{c − κϑ}{\sqrt{ϑ}})] dc.

Kiszámítva az első tagot parciális integrálással:

∫_{−∞}^{0} 2κe^{(2κ+1)c}Φ (\frac{c + κϑ}{\sqrt{ϑ}}) dc = \frac{2κ}{2κ + 1} [e^{(2κ+1)c}Φ (\frac{c + κϑ}{\sqrt{ϑ}})]_{∞}^{0} −

\frac{2κ}{2κ + 1}e^{(κ+ \frac{1}{2})ϑ} ∫_{−∞}^{0} \frac{1}{\sqrt{2πϑ}} exp \{\frac{−(c − (κ + 1)ϑ)^{2}}{2ϑ} \} dc

= \frac{2κ}{2κ + 1}Φ (\frac{κϑ}{\sqrt{ϑ}}) − \frac{2κ}{2κ + 1}e^{(κ+ \frac{1}{2})ϑ}Φ (\frac{−(κ + 1)ϑ}{\sqrt{ϑ}}) .

A második tag pedig:

∫_{−∞}^{0} \frac{2}{\sqrt{ϑ}}e^{c}φ (\frac{c − κϑ}{\sqrt{ϑ}}) dc = 2 exp \{\frac{2κϑ^{2} + ϑ^{2}}{2ϑ} \} ×

∫_{−∞}^{0} \frac{1}{\sqrt{2πϑ}} exp \{\frac{−(c − (κ + 1)ϑ)^{2}}{2ϑ} \} dc = 2e^{(κ+ \frac{1}{2})ϑ}Φ (\frac{−(κ + 1)ϑ}{\sqrt{ϑ}}) .

Így a már bevezetett d jelöléssel:

E (e^{m_{κ}(T)}) = \frac{2κ}{2κ + 1}Φ(d − \sqrt{ϑ}) + \frac{2κ + 2}{2κ + 1}e^{(κ+ \frac{1}{2})ϑ}Φ(−d) ,

amiből az opció ára:

E [\frac{1}{B_{T}} (S_{T} − min_{0≤t≤T} S_{t})] = e^{μ_{∗}+ \frac{σ^{2}_{∗}}{2}} \{1 − \frac{1}{B_{T}} E (e^{m_{κ}(T)})\}

= e^{μ_{∗}+ \frac{σ^{2}_{∗}}{2}} \{1 − \frac{1}{B_{T} (2κ + 1)} [2κΦ(d − \sqrt{ϑ}) + (2κ + 2)e^{(κ+ \frac{1}{2})ϑ}Φ(−d)]\} .

2.2.1. A lookback típusú vételi opció a Samuelson-féle árfolyammodellben

A klasszikus árfolyammodell feltételezései:

S_{0} = e^{μ_{∗}} σ_{∗}^{2} = 0 r, σ konstansok.

Ekkor az opció ára a szakirodalomban ([4] 176. oldal) fellelhetőknek megfelelően:

S_{0} \{1 − e^{−rT} \frac{σ^{2}}{2r} [(\frac{2r}{σ^{2}} − 1) Φ(d − σ\sqrt{T}) + (\frac{2r}{σ^{2}} + 1) e^{rT} Φ(−d)]\}

= S_{0} \{Φ(d) − e^{−rT} Φ(d − σ\sqrt{T}) + \frac{σ^{2}}{2r} e^{−rT} [Φ(d − σ\sqrt{T}) − e^{rT} Φ(−d)]\} .

2.3. A down and out call (limitár alatt értéktelen vételi) opció

3. Definíció. Egy limitár alatt értéktelen vételi opció K lehívási árfolyammal, T lejárati idővel és H limitárral az opció tulajdonosának azt a jogot nyújtja, hogy egy részvényt T időpillanatban K áron megvásárolhat, feltéve, ha a részvény ára a [0, T] időintervallumban nem esett a H szint alá. Tehát az opció kifizetőfüggvénye:

|S_{T} − K|^{+}I ( min_{0≤t≤T} S_{t} ≥ H) ,

ahol fel szokás tenni, hogy K > H és S_{0} > H.

Minden szükséges segédeszköz rendelkezésünkre áll, hogy ennek az opciónak az árát kiszámítsuk. Jelölje ℂ_{T} (K|H ↓ O) az opció árát. Itt a „↓” jel arra utal, hogy a „limit alá” nem mehet a részvényárfolyam, az „O” pedig az angol „out” szóra utal. Ekkor

ℂ_{T} (K|H ↓ O) = \frac{1}{B_{T}} E [|S_{T} − K|^{+}I ( min_{0≤t≤T} S_{t} ≥ H)] =

\frac{1}{B_{T}} \{E [S_{T} I (S_{T} ≥ K, min_{0≤t≤T} S_{t} ≥ H)] − KE [I (S_{T} ≥ K, min_{0≤t≤T} S_{t} ≥ H)]\}

A számolások egyszerűbbé tétele miatt tegyük fel, hogy σ_{∗}^{2} = 0, tehát hogy ξ_{0} konstans. Ekkor nyilván:

\begin{aligned}S_{T} ≥ K & ⟺ & e^{μ_{∗}+G(T)} ≥ K & ⟺ & G(T) ≥ ln K − μ_{∗} , \\ min_{0≤t≤T} S_{t} ≥ H & ⟺ & e^{μ_{∗}+m_{κ}(T)} ≥ H & ⟺ & m_{κ}(T) ≥ ln H − μ_{∗} . \end{aligned}

továbbá:

Mivel K > H és S_{0} > H, ezért

ln K − μ_{∗} > ln H − μ_{∗} és ln H − μ_{∗} < 0.

Az együttes sűrűségfüggvény tartójának és az indikátor által kijelölt tartomány metszetén integrálva az első várható érték:

E [e^{μ_{∗}+G(T)}I(G(T) ≥ ln K − μ_{∗}, m_{κ}(T) ≥ ln H − μ_{∗})]

= ∫_{ln K−μ_{∗}}^{0} ∫_{ln H−μ_{∗}}^{z} e^{μ_{∗}+z} \frac{2(z − 2y)}{ϑ\sqrt{ϑ}}φ (\frac{2y − z}{\sqrt{ϑ}} ) e^{κz− \frac{κ^{2}ϑ}{2}} dydz

+ ∫_{0}^{∞} ∫_{ln H−μ_{∗}}^{0} e^{μ_{∗}+z} \frac{2(z − 2y)}{ϑ\sqrt{ϑ}}φ (\frac{2y − z}{\sqrt{ϑ}} ) e^{κz− \frac{κ^{2}ϑ}{2}} dydz

= ∫_{ln K−μ_{∗}}^{0} exp \{μ_{∗} + z(κ + 1) − \frac{κ^{2}ϑ}{2}\} \frac{1}{\sqrt{ϑ}} [φ (\frac{z}{\sqrt{ϑ}}) − φ (\frac{−z + ln H^{2} − 2μ_{∗}}{\sqrt{ϑ}} )] dz

+ ∫_{0}^{∞} exp \{μ_{∗} + z(κ + 1) − \frac{κ^{2}ϑ}{2}\} \frac{1}{\sqrt{ϑ}} [φ (\frac{−z}{\sqrt{ϑ}}) − φ (\frac{−z + ln H^{2} − 2μ_{∗}}{\sqrt{ϑ}} )] dz

= e^{μ_{∗}− \frac{κ^{2}ϑ}{2}} [A(0) − A(ln H^{2} − 2μ_{∗})] ,

ahol:

A(b) = ∫_{ln K−μ_{∗}}^{∞} e^{z(κ+1)} \frac{1}{\sqrt{ϑ}}φ (\frac{−z + b}{\sqrt{ϑ}}) dz =

exp \{\frac{2b(κ + 1)ϑ + (κ + 1)^{2}ϑ^{2}}{2ϑ} \} ∫_{ln K−μ_{∗}}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2πϑ}} exp \{\frac{−(z − b − (κ + 1)ϑ)^{2}}{2ϑ} \} dz

= exp \{(κ + 1) [\frac{(κ + 1)ϑ}{2} + b]\} Φ (\frac{(κ + 1)ϑ + b − ln K + μ_{∗}}{\sqrt{ϑ}} ) .

Tehát az első várható érték:

exp \{μ_{∗} − \frac{κ^{2}ϑ}{2} + \frac{(κ + 1)^{2}ϑ}{2}\} [Φ (\frac{(κ + 1)ϑ − ln K + μ_{∗}}{\sqrt{ϑ}} ) −

e^{(κ+1)(ln H^{2}−2μ_{∗})}Φ (\frac{(κ + 1)ϑ + ln H^{2} − μ_{∗} − ln K}{\sqrt{ϑ}} )] =

e^{μ_{∗}+κϑ+ \frac{ϑ}{2}} [Φ (\frac{(κ + 1)ϑ − ln (\frac{K}{e^{μ∗}} )}{\sqrt{ϑ}}) − (\frac{H}{e^{μ_{∗}}} )^{2(κ+1)} Φ (\frac{(κ + 1)ϑ + ln (\frac{H^{2}}{Ke^{μ∗}} )}{\sqrt{ϑ}})] .

A második várható érték pedig:

E [I(G(T) ≥ ln K − μ_{∗}, m_{κ}(T) ≥ ln H − μ_{∗})]

= ∫_{ln K−μ_{∗}}^{0} ∫_{ln H−μ_{∗}}^{z} \frac{2(z − 2y)}{ϑ\sqrt{ϑ}}φ (\frac{2y − z}{\sqrt{ϑ}} ) e^{κz− \frac{κ^{2}ϑ}{2}} dydz

+ ∫_{0}^{∞} ∫_{ln H−μ_{∗}}^{0} \frac{2(z − 2y)}{ϑ\sqrt{ϑ}}φ (\frac{2y − z}{\sqrt{ϑ}} ) e^{κz− \frac{κ^{2}ϑ}{2}} dydz

= ∫_{ln K−μ_{∗}}^{0} exp \{κz − \frac{κ^{2}ϑ}{2}\} \frac{1}{\sqrt{ϑ}} [φ (\frac{z}{\sqrt{ϑ}}) − φ (\frac{−z + ln H^{2} − 2μ_{∗}}{\sqrt{ϑ}} )] dz

+ ∫_{0}^{∞} exp \{κz − \frac{κ^{2}ϑ}{2}\} \frac{1}{\sqrt{ϑ}} [φ (\frac{−z}{\sqrt{ϑ}}) − φ (\frac{−z + ln H^{2} − 2μ_{∗}}{\sqrt{ϑ}} )] dz

= e^{− \frac{κ^{2}ϑ}{2}} [B(0) − B(ln H^{2} − 2μ_{∗})] ,

ahol:

B(b) = ∫_{ln K−μ_{∗}}^{∞} e^{κz} \frac{1}{\sqrt{ϑ}}φ (\frac{−z + b}{\sqrt{ϑ}}) dz

= exp \{κ [\frac{κϑ}{2} + b]\} Φ (\frac{κϑ + b − ln K + μ_{∗}}{\sqrt{ϑ}} ) .

Így a második várható érték:

Φ (\frac{κϑ − ln K + μ_{∗}}{\sqrt{ϑ}} ) − e^{κ(ln H^{2}−2μ_{∗})}Φ (\frac{κϑ + ln H^{2} − μ_{∗} − ln K}{\sqrt{ϑ}} )

= Φ (\frac{(κϑ − ln (\frac{K}{e^{μ∗}} )}{\sqrt{ϑ}}) − (\frac{H}{e^{μ_{∗}}} )^{2κ} Φ (\frac{κϑ + ln (\frac{H^{2}}{Ke^{μ∗}} )}{\sqrt{ϑ}}) .

Tehát kihasználva, hogy B_{T} = e^{(κ+ \frac{1}{2})ϑ}, az opció ára:

e^{μ_{∗}} [Φ (\frac{(κ + 1)ϑ − ln (\frac{K}{e^{μ∗}} )}{\sqrt{ϑ}}) − (\frac{H}{e^{μ_{∗}}} )^{2(κ+1)} Φ (\frac{(κ + 1)ϑ + ln (\frac{H^{2}}{Ke^{μ∗}} )}{\sqrt{ϑ}})] −

\frac{K}{B_{T}} [Φ (\frac{κϑ − ln (\frac{K}{e^{μ∗}} )}{\sqrt{ϑ}}) − (\frac{H}{e^{μ_{∗}}} )^{2κ} Φ (\frac{κϑ + ln (\frac{H^{2}}{Ke^{μ∗}} )}{\sqrt{ϑ}})] .

A klasszikus Samuelson-féle árfolyammodellben ez még egyszerűbb alakot ölt:

S_{0} [Φ (\frac{rT + \frac{σ^{2}T}{2} − ln (\frac{K}{S_{0}} )}{σ\sqrt{T}}) − (\frac{H}{S_{0}} )^{\frac{2r}{σ^{2}} +1} Φ (\frac{rT + \frac{σ^{2}T}{2} + ln (\frac{H^{2}}{KS_{0}} )}{σ\sqrt{T}})] −

Ke^{−rT} [Φ (\frac{rT − \frac{σ^{2}T}{2} − ln (\frac{K}{S_{0}} )}{σ\sqrt{T}}) − (\frac{H}{S_{0}} )^{\frac{2r}{σ^{2}} −1} Φ (\frac{rT − \frac{σ^{2}T}{2} + ln (\frac{H^{2}}{KS_{0}} )}{σ\sqrt{T}})] ,

ami megfelel a szakirodalomban fellelhető formulának ([4] 173. oldal).

A down and out call opció analógiájára hasonló opciók definiálhatók. Olyanok, amelyek akkor biztosítanak vételi jogot, ha az ár nem emelkedik egy adott szint fölé, vagy éppen akkor, ha igen. Mindezen opciók eladási jogosultságot is nyújthatnak. Összesen így nyolcféle opció definiálható az

\frac{up}{down}  and  \frac{out}{in}  \frac{call}{put}

nevekkel. Ezek árainak meghatározása a down and out call mintájára megy, így ezek árazásától eltekintünk.

2.4. Opcióárazás, ha r(t)/σ^{2}(t) hányados nem állandó

Ebben az alfejezetben azt nézzük meg, hogy mit lehet mondani az eddig tárgyalt egzotikus opciók áráról, ha az

\frac{r(t)}{σ^{2}(t)} ≡ konstans

feltétel nem teljesül. Az egyik lehetőség U(T), V (T) és Z(T) együttes eloszlásának meghatározása. Ha ez meglenne, akkor az összes eddig vizsgált egzotikus opció árát könnyen kiszámíthatnánk. A gond azonban az, hogy az együttes eloszlás kiszámítása rendkívül bonyolult, teljes általánosságban explicit formula nem is adható rá.

A másik lehetőség az, hogy megadjuk egy általános lineáris sztochasztikus differenciálegyenlettel leírt diffúziós folyamat maximumának az eloszlását. Ezzel persze csak a lookback típusú eladási (illetve alkalmas transzformálással a vételi) opció árát tudjuk meghatározni, a limitáras opciókét nem, hiszen ahhoz a végponttal vett együttes eloszlás kellene. Megelégszünk mégis a maximum eloszlásának vizsgálatával, ugyanis annak meghatározása is rendkívül bonyolult már.

Elsőként az lesz a célunk, hogy a maximum eloszlásának vizsgálatát a Wiener-folyamat egy egyszerű szintátmetszési problémájává alakítsuk át. Láttuk, hogy elég

G(t) = ∫_{0}^{t} σ(s)dW_{s} − ∫_{0}^{t} g(s)ds

[0, T]-n vett maximumának eloszlását ismerni, ezt a maximumot jelöltük M_{g}(T)-vel:

P(M_{g}(T) < c) = P (∫_{0}^{t} σ(s)dW_{s} < c + ∫_{0}^{t} g(s)ds ∀t ∈ [0, T]-re) .

Bevezetve az

f(t) = c + ∫_{0}^{t} g(s)ds

függvényt:

P (∫_{0}^{t} σ(s)dW_{s} < c + ∫_{0}^{t} g(s)ds ∀t ∈ [0, T]-re)

= P (∫_{0}^{t} σ(s)dW_{s} < f(t) ∀t ∈ [0, T]-re) = P(τ > T) ,

ahol τ a következő megállítás^{3}:

τ = inf {t : 0 ≤ t ≤ T, ∫_{0}^{t} σ(s)dW_{s} ≥ f(t)} .

τ eloszlásának ismeretében rendelkezésünkre állna a maximum eloszlása is. Ez a következő tétel alapján visszavezethető a standard Wiener-folyamat szintátmetszési problémájára:

4. Tétel. Legyen y(t) egy olyan folytonos trajektóriájú Gauss-Markov folyamat, melyre y(0) = 0 egy valószínűséggel és E(y(t)) = 0 ∀t-re. Ekkor

(i) y(t) kovarianciafüggvénye: h_{1}(s)h_{2}(t) alakú s ≤ t esetén,

(ii) bevezetve a k(t) = h_{1}(t)/h_{2}(t) függvényt, y(t) folyamat a_{y}(t) szinten való első átlépésének sűrűségfüggvénye:

p_{y}(t) = p_{W} (k(t))k′(t) ,

ahol p_{W} (s) a standard Wiener-folyamat

a_{W} (s) = h_{2}(k^{−1}(s))a_{y}(k^{−1}(s))

szinten való első átlépésének sűrűségfüggvénye.

A fenti tétel megtalálható [3]-ban, így nem bizonyítjuk. Ennek segítségével azonban (lévén ∫_{0}^{t} σ(s)dW_{s} folytonos trajektóriájú Gauss-Markov folyamat) elegendő a Wiener-folyamat szintátmetszésével foglalkozni. τ eloszlásának^{4} kiszámítása persze ettől még továbbra is elég bonyolult, így csak idézzük az idevágó szakirodalom eredményét ([3]):

5. Tétel. Legyen f(t) folytonosan differenciálható függvény [0, T]-n. Ekkor a fenti τ eloszlásának sűrűségfüggvénye egy 0 < t < T helyen előáll a következő sor határértékeként:

p(t) = ∑_{j=1}^{∞}(−1)^{j−1}q_{j}(t) ,

3Itt természetesen úgy értve ezt, hogy az üres halmaz infimuma +∞.

4Itt már τ definíciójába ∫_{0}^{t} σ(s)dW_{s} helyett egyszerűen W_{t}-t kell írni, az eredeti f(t)

helyébe pedig a 4. Tételnek megfelelő átskálázott határfüggvényt.

ahol

q_{j}(t) = ∫_{0}^{t} ∫_{0}^{t_{1}}⋯ ∫_{0}^{t_{j−2}} [\frac{f(t_{j−1})}{t_{j−1}} − f′(t_{j−1})] ×

∏_{i=1}^{j−1} [\frac{f(t_{i−1}) − f(t_{i})}{t_{i−1} − t_{i}} − f′(t_{i−1})] h(t_{j−1}, ... t_{1}, t)dt_{j−1}...dt_{1} (t_{0} = t),

h(t_{j−1}, ... t_{1}, t) pedig W_{t_{j−1}},... W_{t_{1}}, W_{t} együttes eloszlásának sűrűségfüggvénye az f(t_{j−1}),... f(t_{1}), f(t) helyen.

A p(t) függvény ismeretében amire nekünk szükségünk van:

P(τ > T) = 1 − P(τ ≤ T) = 1 − ∫_{0}^{T} p(t)dt.

Persze mivel p(t) csupán végtelen sorelőállítással van megadva, ezért ezt a valószínűséget egyáltalán nem könnyű kiszámítani. Szerencsére azonban a végtelen sor viszonylag gyorsan konvergál, így általában a negyedik, ötödik tagig ha kiszámítjuk a részletösszeget, az már elég jó közelítést ad ([3]).

Bizonyos esetekben az opció árára pontosan nincs is szükségünk, inkább csak valamiféle közelítő, de egyszerű formulát szeretnénk. Ilyenkor elég, ha τ eloszlását alulról, illetve felülről becsülni tudjuk. Ebben segít a következő –Novikovtól származó– két tétel ([10]):

6. Tétel. Legyen f(t) olyan abszolút folytonos függvény, melyre

f(0) > 0 és ∫_{0}^{T} (f′(t))^{2}dt < ∞

Ekkor tetszőleges p > 1 számra:

P(τ > T) ≥ (Φ_{0} (\frac{|f(0)|}{\sqrt{T}}))^{\frac{p}{p−1}} exp \{−\frac{p}{2} ∫_{0}^{T} (f′(t))^{2}dt\}

és

P(τ > T) ≤ Φ_{0} (\frac{|f(0)|}{\sqrt{T}})^{\frac{1}{p}} exp \{\frac{1}{2(p − 1)} ∫_{0}^{T} (f′(t))^{2}dt\} ,

ahol

Φ_{0}(x) = 2Φ(x) − 1.

7. Tétel. Az előző tétel feltételei mellett, ha α egy tetszőleges pozitív szám, akkor:

P(τ > T) ≥ exp \{−\frac{1}{2} ∫_{0}^{T} (f′(t))^{2}dt − α (∫_{0}^{T} (f′(t))^{2}dt)^{\frac{1}{2}} \} ×

[Φ_{0} (\frac{−f(0)}{\sqrt{T}}) + Φ(α) − 1]

és

P(τ > T) ≤ Φ_{0} (\frac{−f(0)}{\sqrt{T}}) exp \{\frac{1}{2} ∫_{0}^{T} (f′(t))^{2}dt+

α (∫_{0}^{T} (f′(t))^{2}dt)^{\frac{1}{2}} \} + 1 − Φ(α).

A tételek feltételei elegendően sima σ(t) és r(t) választása esetén persze teljesülnek (a gyakorlatban úgyis mindig ilyeneket érdemes használni), így a p illetve az α szám ügyes megválasztásával a τ eloszlása ezen két tétel segítségével jól közelíthető, onnan pedig az opciók ára már számolható.

A modellt leíró függvények becslése

Ebben a fejezetben az árfolyammodellt leíró ξ_{t} folyamat paramétereit próbáljuk valamilyen módon megbecsülni. Ez alapvető fontosságú az előző két fejezet eredményeinek alkalmazásához, hisz az árazási formulákban szereplő σ(t), illetve az ebből származtatott ϑ(t) függvények közvetlenül nem megfigyelhetőek, a részvényárfolyam korábbi viselkedéséből kell következtetnünk ezekre. Ugyan a μ(t) és a λ(t) függvények explicite nem szerepelnek egyetlen árazási képletben sem, látni fogjuk, hogy az illesztett modelltől mégis igen jelentősen függ a σ(t) függvény becslése. Ennek eredményeként a becsülendő μ(t) és λ(t) függvények alakjának megválasztása közvetetten jelentős befolyással bír az opciók árára is.

3.1. A probléma paraméteres becslési feladattá alakítása

A 3. fejezet egészét végigkíséri az a feltételezés, hogy ξ_{0}-t nem tekintjük valószínűségi változónak, értékét ismertnek tételezzük fel. Ha ξ_{0}-t normális eloszlású valószínűségi változónak vennénk, akkor természetesen a paramétereit is valahogy becsülni kellene. Ezekre értelmes becslést azonban csak akkor tudnánk adni, ha a részvényárfolyamból (mint folyamatból) több trajektóriát (vagy legalább csak azok kezdőpontjait) megismerhetnénk a mintavételezés során. Általában azonban a tőzsdén forgó részvények mindegyikének másképp fejlődik az árfolyama, így megfigyeléseink legtöbbször egy trajektóriára, sőt legtöbb esetben annak diszkrét időpontokban felvett értékeire koncentrálódnak. Maradunk tehát annál a feltételezésnél, hogy ξ_{0} egy konstans érték.

Tegyük fel továbbá, hogy a részvényárfolyam folyamatos fejlődését nem ismerjük, annak csupán 0 = t_{0} < t_{1} < ... < t_{n} diszkrét időpontokban felvett értékei állnak rendelkezésünkre. Ez olyan szempontból nem irreális feltételezés, hogy a modell segítségével az opciók árára a múltbeli részvényárfolyammozgás alapján akarunk következtetni, múltbeli adatok viszont nem állnak olyan nagy mennyiségben rendelkezésünkre, hogy az árfolyamváltozásokat egyik pillanatról a másikra követni tudjuk. Általában napi, legfeljebb óránkénti árfolyamértékeket tartanak nyilván, így ha az ember amúgyis csak diszkrét adatokhoz tud hozzájutni, akkor érdemes a becslést is ezek alapján végezni.

Ugyancsak fontos lehet, hogy nem feltétlen áll elő minden 0 ≤ i ≤ n esetén t_{i} it alakban, azaz nem feltétlen egyenlő időközönként figyeljük meg a részvényárfolyam változását. Bár a legszebb eredmények egyenletes időfelosztás mellett érhetők el (például, ha ξ_{t} elsőrendű folytonos idejű autoregresszió, akkor a folyamatot diszkrét egyenletes időközönként megfigyelve, az diszkrét AR(1) folyamat lesz^{1}). Mi azonban egyrészt ξ_{t}-t ennél bonyolultabb folyamatként is szeretnénk közelíteni, másrészt az egyenletes időfelosztás sem mindig elfogadható feltételezés. Egy tőzsdei részvény árfolyama olyan időszakokban is fejlődhet, mikor azt nem tudjuk megfigyelni. Ilyen például a hétvége (amikoris zárva tart a tőzsde), vagy óránkénti adatok elemzése esetén az éjszakai órák. Persze ezekben az időszakokban nem fejlődik a részvényárfolyam olyan ütemben, mint a tényleges aktív kereskedési órákban, ám egy alkalmas időközválasztással ez a kevésbé aktív fejlődés kezelhetővé válik.

Legyen tehát 0 = t_{0} < t_{1} < ... < t_{n} időpontokban a részvényárfolyam értéke: S_{t_{0}}, S_{t_{1}}, ... S_{t_{n}}. Ez alapján a ξ_{t} folyamat ezen időpontokban megfigyelt értékei:

s_{i} = ln(S_{t_{i}}) 0 ≤ i ≤ n.

Rendelkezésünkre áll tehát (n + 1) db adat, ezek alapján λ(t), μ(t) és σ(t) függvényeket mindenféle korlátozás nélkül nem érdemes becsülni. Tegyük fel, hogy ezek polinomok, azaz:

λ(t) = λ_{0} + λ_{1}t + ... + λ_{p}t^{p} ,
μ(t) = μ_{0} + μ_{1}t + ... + μ_{q}t^{q} ,
σ(t) = σ_{0} + σ_{1}t + ... + σ_{u}t^{u} ,

ahol a p, q és u a becslés elején rögzített, pozitív egész számok. Ezzel a becslési feladatunk paraméteres formát öltött, célunk {λ_{i}}_{i=0}^{p}, {μ_{i}}_{i=0}^{q}, {σ_{i}}_{i=0}^{u} együtthatók becslése. Maximum likelihood (ML) módszert szeretnénk használni. Ehhez kellene a (ξ_{t_{1}}, ... ξ_{t_{n}}) vektor eloszlásának a sűrűségfüggvénye, ebbe beírjuk a megfigyelt {s_{i}}_{i=0}^{n} értékeket, majd az így kapott kifejezést a paraméterekben, mint változókban maximalizáljuk. Mivel a ξ_{t} folyamatot egy olyan lineáris sztochasztikus differenciálegyenlet írja le, ahol ξ_{0} konstans, ezért ξ_{t} Gauss-folyamat, azaz minden véges dimenziós eloszlása Gauss. Elég lenne éppen ezért (ξ_{t_{1}}, ... ξ_{t_{n}}) vektor várható értékét és kovarianciamátrixát ismerni, ebből felírható a ξ_{t_{1}}, ... ξ_{t_{n}} valószínűségi változók együttes eloszlásának sűrűségfüggvénye.

1Például megtalálható: [11].

[1 ] 146. oldal 8.2.6 Tétel alapján:

Eξ_{t} = Ψ(t) (ξ_{0} + ∫_{0}^{t} Ψ^{−1}(τ)μ(τ)dτ) és

Cov(ξ_{t}, ξ_{s}) = Ψ(t)Ψ(s) ∫_{0}^{min{t,s}} Ψ^{−2}(τ)σ^{2}(τ)dτ ,

ahol Ψ(t) a Ψ̇(t) = λ(t)Ψ(t) determinisztikus differenciálegyenlet alapmegoldása. A mi feltételeink mellett ez az alapmegoldás

Ψ_{t} = exp \{λ_{0}t + λ_{1} \frac{t^{2}}{2} + ... + λ_{p} \frac{t^{p+1}}{p + 1}\} ,

amiből

Eξ_{t} = e^{λ_{0}t+...+λ_{p} \frac{t^{p+1}}{p+1}} (ξ_{0} + ∫_{0}^{t} e^{−λ_{0}τ−...−λ_{p} \frac{τ^{p+1}}{p+1}} (μ_{0} + μ_{1}τ + ... + μ_{q}τ^{q})dτ) ,

valamint

Cov(ξ_{t}, ξ_{s}) = e^{λ_{0}(t+s)+...+λ_{p} \frac{t^{p+1}+s^{p+1}}{p+1}} ∫_{0}^{min\{t,s\}} e^{−2λ_{0}τ−...−2λ_{p} \frac{τ^{p+1}}{p+1}} (σ_{0} + ... + σ_{u}τ^{u})^{2}dτ.

Bevezetve az

m = (Eξ_{t_{1}}, Eξ_{t_{2}}, ... Eξ_{t_{n}})^{T}

Σ_{ij} = (Cov(ξ_{t_{i}}, ξ_{t_{j}}))_{ij}

s = (s_{1}, ... s_{n})^{T}

jelöléseket a likekihood függvény a

(2π)^{− \frac{n}{2}} (det Σ)^{− \frac{1}{2}} exp \{−\frac{1}{2}(s − m)^{T} Σ^{−1}(s − m)\}

alakot ölti, ezt kell maximalizálni a λ(t), μ(t), σ(t) polinomok együtthatóinak függvényében. Ennek a szélsőérték-problémának a megoldása általánosságban egy igen nehéz, bonyolult numerikus módszereket igénylő optimalizálási feladat, így mi csupán a legegyszerűbb formában oldjuk meg, majd szólunk egy-két általánosabb alak numerikus megoldásának lehetőségeiről is.

3.2. ML-becslés állandó együtthatós lineáris sztochasztikus differenciálegyenlet esetén

Ebben az alfejezetben a λ(t) ≡ λ, μ(t) ≡ μ, σ(t) ≡ σ feltételezésekkel élünk, azaz feltételezzük, hogy ξ_{t} kielégíti a

dξ_{t} = [λξ_{t} + μ]dt + σdW_{t}

állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletet. Ilyen feltételek mellett próbáljuk megbecsülni az együtthatókat, majd a σ-ra ilyen módon kapott becslést összevetjük azzal az eredménnyel, amit λ = 0 feltétel mellett, azaz a klasszikus esetben kapnánk.

Ha λ(t) és μ(t) függvények egyaránt konstans értékűek, akkor

Eξ_{t} = e^{λt} (ξ_{0} + ∫_{0}^{t} e^{−λτ}μdτ) = e^{λt}s_{0} + \frac{μ}{λ} (e^{λt} − 1) ,

és ha σ(t) is konstans, akkor pedig:

Cov(ξ_{t}, ξ_{s}) = e^{λ(t+s)} ∫_{0}^{min\{t,s\}} e^{−2λτ}σ^{2}dτ = \frac{σ^{2}}{2λ}e^{λ(t+s)} (1 − e^{−2λ min\{t,s\}}) .

Bevezetve az a = e^{λ} és a b_{i} = 1 − e^{−2λt_{i}} jelöléseket, a kovarianciamátrix:

Σ = \frac{σ^{2}}{2λ} (\begin{matrix}a^{t_{1}+t_{1}}b_{1} & a^{t_{1}+t_{2}}b_{1} & a^{t_{1}+t_{3}}b_{1} & … & a^{t_{1}+t_{n}}b_{1} \\ a^{t_{2}+t_{1}}b_{1} & a^{t_{2}+t_{2}}b_{2} & a^{t_{2}+t_{3}}b_{2} & … & a^{t_{2}+t_{n}}b_{2} \\ a^{t_{3}+t_{1}}b_{1} & a^{t_{3}+t_{2}}b_{2} & a^{t_{3}+t_{3}}b_{3} & … & a^{t_{3}+t_{n}}b_{3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a^{t_{n}+t_{1}}b_{1} & a^{t_{n}+t_{2}}b_{2} & a^{t_{n}+t_{3}}b_{3} & … & a^{t_{n}+t_{n}}b_{n} \end{matrix}) .

A továbbiakhoz két lemmára lesz szükségünk:

1. Lemma. Legyenek a ≥ 0, b_{i}, c_{i} ∈ ℝ, t_{i} > 0, és legyen

A = (\begin{matrix}a^{t_{1}+t_{1}}b_{1} & a^{t_{1}+t_{2}}c_{1} & a^{t_{1}+t_{3}}c_{1} & … & a^{t_{1}+t_{n}}c_{1} \\ a^{t_{2}+t_{1}}b_{1} & a^{t_{2}+t_{2}}b_{2} & a^{t_{2}+t_{3}}c_{2} & … & a^{t_{2}+t_{n}}c_{2} \\ a^{t_{3}+t_{1}}b_{1} & a^{t_{3}+t_{2}}b_{2} & a^{t_{3}+t_{3}}b_{3} & … & a^{t_{3}+t_{n}}c_{3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a^{t_{n}+t_{1}}b_{1} & a^{t_{n}+t_{2}}b_{2} & a^{t_{n}+t_{3}}b_{3} & … & a^{t_{n}+t_{n}}b_{n} \end{matrix}) ,

azaz

A_{ij} = \{ \begin{matrix}a^{t_{i}+t_{j}}b_{j} & ha i ≥ j \\ a^{t_{i}+t_{j}}c_{i} & ha i < j \end{matrix} .

Ekkor

det A = a^{2 ∑_{i=1}^{n} t_{i}}b_{1}(b_{2} − c_{1})(b_{3} − c_{2}) … (b_{n} − c_{n−1}).

Bizonyítás: Ha a = 0, akkor a lemma állítása triviális. Tegyük fel, hogy a ≠ 0. Osszuk le az A mátrix első sorát a^{t_{1}}-gyel, majd az első oszlopát is. A második sorát a^{t_{2}}-nel, majd a második oszlopát is, stb... Így kapjuk a B mátrixot, ahol

B_{ij} = \{ \begin{matrix}b_{j} & ha i ≥ j \\ c_{i} & ha i < j \end{matrix} .

Nyilván det A = a^{2 ∑_{i=1}^{n} t_{i}} det B, így elég belátni, hogy

det B = b_{1}(b_{2} − c_{1})(b_{3} − c_{2}) … (b_{n} − c_{n−1}).

Ezt n szerinti teljes indukcióval látjuk be. n = 1-re triviális az állítás. Általában n > 1 esetén fejtsük ki az első sor szerint a mátrixot, és alkalmazzuk az első két tag esetén az indukciós feltételt. A többi tag úgyis nulla, hisz a megfelelő aldetermináns első két oszlopa egymás konstansszorosa. Tehát

det B = b_{1}b_{2}(b_{3} − c_{2})(b_{4} − c_{3}) … (b_{n} − c_{n−1}) − b_{1}c_{1}(b_{3} − c_{2})(b_{4} − c_{3}) … (b_{n} − c_{n−1})

= b_{1}(b_{2} − c_{1})(b_{3} − c_{2})(b_{4} − c_{3}) … (b_{n} − c_{n−1}). ■

2. Lemma. Legyen a > 0, b_{i} ∈ ℝ, b_{i+1} ≠ b_{i}, b_{1} ≠ 0, t_{i} > 0, valamint

A = (\begin{matrix}a^{t_{1}+t_{1}}b_{1} & a^{t_{1}+t_{2}}b_{1} & a^{t_{1}+t_{3}}b_{1} & … & a^{t_{1}+t_{n}}b_{1} \\ a^{t_{2}+t_{1}}b_{1} & a^{t_{2}+t_{2}}b_{2} & a^{t_{2}+t_{3}}b_{2} & … & a^{t_{2}+t_{n}}b_{2} \\ a^{t_{3}+t_{1}}b_{1} & a^{t_{3}+t_{2}}b_{2} & a^{t_{3}+t_{3}}b_{3} & … & a^{t_{3}+t_{n}}b_{3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a^{t_{n}+t_{1}}b_{1} & a^{t_{n}+t_{2}}b_{2} & a^{t_{n}+t_{3}}b_{3} & … & a^{t_{n}+t_{n}}b_{n} \end{matrix}) ,

azaz

A_{ij} = a^{t_{i}+t_{j}}b_{min{i,j}}.

Ekkor

A^{−1} =

(\begin{matrix}a^{−(t_{1}+t_{1})} \frac{b_{2}}{b_{1}(b_{2}−b_{1})} & a^{−(t_{1}+t_{2})} \frac{1}{b_{1}−b_{2}} & 0 & … & 0 \\ a^{−(t_{2}+t_{1})} \frac{1}{b_{1}−b_{2}} & a^{−(t_{2}+t_{2})} \frac{b_{3}−b_{1}}{(b_{2}−b_{1})(b_{3}−b_{2})} & a^{−(t_{2}+t_{3})} \frac{1}{b_{2}−b_{3}} & … & 0 \\ 0 & a^{−(t_{3}+t_{2})} \frac{1}{b_{2}−b_{3}} & a^{−(t_{3}+t_{3})} \frac{b_{4}−b_{2}}{(b_{3}−b_{2})(b_{4}−b_{3})} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & a^{−(t_{n}+t_{n})} \frac{1}{b_{n}−b_{n−1}} \end{matrix} )

azaz

(A^{−1})_{ij} = \{ \begin{matrix}0 & ha |i − j| ≥ 2 \\ a^{−(t_{i}+t_{j})} \frac{1}{b_{min\{i,j\}}−b_{max\{i,j\}}} & ha |i − j| = 1 \\ a^{−2t_{1}} \frac{b_{2}}{b_{1}(b_{2}−b_{1})} & ha i = j = 1 \\ a^{−2t_{i}} \frac{b_{i+1}−b_{i−1}}{(b_{i}−b_{i−1})(b_{i+1}−b_{i})} & ha 1 < i = j < n \\ a^{−2t_{n}} \frac{1}{b_{n}−b_{n−1}} & ha i = j = n \end{matrix} .

Bizonyítás: Jelölje B azt a mátrixot, amit A-ból úgy kapunk, hogy az „a-hatványos” tényezőt minden elem elejéről elhagyjuk. Jelölje B′ pedig azt, amit ugyanilyen módon A^{−1}-ből kapunk^{2}. Ekkor világosan látszik, hogy

(AA^{−1})_{ij} = a^{t_{i}−t_{j}}(BB′)_{ij}.

Ha belátjuk, hogy BB′ = I_{n} (nxn-es egységmátrix), akkor készen is leszünk, hiszen i = j esetén a^{t_{i}−t_{j}} = 1, különben meg (BB′)_{ij} úgyis 0. Számítsuk ki B^{−1}-t, s lássuk be, hogy megegyezik B′-sal. Ehhez az előző lemmát használjuk a = 1 speciális esetben.

2Úgy értve ezt, hogy A^{−1} nem a tényleges inverzet jelöli, hanem azt a mátrixot, amiről szeretnénk belátni, hogy az az inverz.

• Ha |i − j| ≥ 2, akkor szimmetrikus mátrixról lévén szó, elég belátni, hogy i > j esetén az i. sor j. eleméhez tartozó aldetermináns nulla. Két esetet kell megkülönböztetni:

– ha j = 1, akkor az aldetermináns első két sora egymás konstansszorosa, így nyilván 0 az aldetermináns értéke,

– ha j > 1, akkor tekintsük az aldetermináns (j − 1)., j. és (j + 1). sorát. Ezek rendre:

\begin{matrix}b_{1} & b_{2} & … & b_{j−1} & b_{j−1} & b_{j−1} & … & b_{j−1} \\ b_{1} & b_{2} & … & b_{j−1} & b_{j} & b_{j} & … & b_{j} \\ b_{1} & b_{2} & … & b_{j−1} & b_{j+1} & b_{j+1} & … & b_{j+1} \end{matrix}

A (j + 1). sorból kivonva a j.-et, majd a j.-ből a (j − 1).-et, a j. és a (j + 1). sor:

\begin{matrix}0 & 0 & … & 0 & b_{j} − b_{j−1} & b_{j} − b_{j−1} & … & b_{j} − b_{j−1} \\ 0 & 0 & … & 0 & b_{j+1} − b_{j} & b_{j+1} − b_{j} & … & b_{j+1} − b_{j} \end{matrix}

Tehát ezek egymás konstansszorosai, így megintcsak 0 az aldetermináns értéke.

• Ha |i − j| = 1, akkor az előző lemmából:

(B^{−1})_{ij} = \{ \begin{matrix}−\frac{b_{1}(b_{2}−b_{1})...(b_{i}−b_{i−1})(b_{i+2}−b_{i+1})...(b_{n}−b_{n−1})}{b_{1}(b_{2}−b_{1})...(b_{n}−b_{n−1})} = \frac{1}{b_{i}−b_{i+1}} & ha j = i + 1 \\ −\frac{b_{1}(b_{2}−b_{1})...(b_{i−2}−b_{i−1})(b_{i}−b_{i−1})...(b_{n}−b_{n−1})}{b_{1}(b_{2}−b_{1})...(b_{n}−b_{n−1})} = \frac{1}{b_{i−1}−b_{i}} & ha j = i − 1. \end{matrix}

• Ha i = j = 1, akkor szintén az előző lemmából:

(B^{−1})_{11} = \frac{b_{2}(b_{3} − b_{2}) … (b_{n} − b_{n−1})}{b_{1}(b_{2} − b_{1}) … (b_{n} − b_{n−1})} = \frac{b_{2}}{b_{1}(b_{2} − b_{1})}.

• Ha 1 < i = j < n, akkor hasonló okokból, mint az előbb:

(B^{−1})_{ii} = \frac{b_{1}(b_{2} − b_{1}) … (b_{i−1} − b_{i−2})(b_{i+1} − b_{i−1})(b_{i+2} − b_{i+1})(b_{n} − b_{n−1})}{b_{1}(b_{2} − b_{1}) … (b_{n} − b_{n−1})}

= \frac{b_{i+1} − b_{i−1}}{(b_{i} − b_{i−1})(b_{i+1} − b_{i})}.

• Ha i = j = n, akkor pedig:

(B^{−1})_{nn} = \frac{b_{1}(b_{2} − b_{1}) … (b_{n−2} − b_{n−1})}{b_{1}(b_{2} − b_{1}) … (b_{n} − b_{n−1})} = \frac{1}{b_{n} − b_{n−1}} .

Ezzel a lemmát beláttuk. ■

Megjegyzés: Bár egyelőre a két lemma állítása nekünk bőven elég lesz, később szükségünk lesz ezek általánosítására. Triviálisan igazolható, hogy a két lemma úgy is érvényben marad, ha a^{t_{i}} helyére mindenhova egy hasonló alakú, de többtényezős szorzatot írunk, méghozzá a következőt:

a_{(1)}^{t_{i}^{(1)}+t_{j}^{(1)}}a_{(2)}^{t_{i}^{(2)}+t_{j}^{(2)}} … a_{(m)}^{t_{i}^{(m)}+t_{j}^{(m)}}.

Persze a determináns ekkor

(∏_{j=1}^{m} a_{(j)}^{2 ∑_{i=1}^{n} t_{i}^{(j)}}) b_{1}(b_{2} − c_{1}) … (b_{n} − c_{n−1})

lesz, az inverzmátrixban pedig a^{−(t_{i}+t_{j})} helyett

a_{(1)}^{−(t_{i}^{(1)}+t_{j}^{(1)})}a_{(2)}^{−(t_{i}^{(2)}+t_{j}^{(2)})} … a_{(m)}^{−(t_{i}^{(m)}+t_{j}^{(m)})}

áll. Ezen általánosítások igazolása pontosan ugyanígy megy, mint ahogy a lemmák egyszerűbb változatát beláttuk.

Az 1. Lemma segítségével a kovarianciamátrix determinánsa σ^{2n}k_{1} alakú, ahol

k_{1} = \frac{1}{2^{n}λ^{n}} e^{2λ ∑_{i=1}^{n} t_{i}}b_{1}(b_{2} − b_{1}) … (b_{n} − b_{n−1}) ,

tehát k_{1} csak λ-tól függ, μ-től és σ-tól nem. Másrészt a c_{i} = (e^{λt_{i}} − 1)/λ jelöléssel:

(s − m)^{T} Σ^{−1}(s − m) = \frac{2λ}{σ^{2}} [\frac{b_{2}a^{−2t_{1}}}{b_{1}(b_{2} − b_{1})}(s_{1} − a^{t_{1}}s_{0} − μc_{1})^{2} + …

⋯ + \frac{a^{−2t_{n}}}{b_{n} − b_{n−1}} (s_{n} − a^{t_{n}}s_{0} − μc_{n})^{2} + \frac{2a^{−(t_{1}+t_{2})}}{b_{1} − b_{2}} (s_{1} − a^{t_{1}}s_{0} − μc_{1})(s_{2} − a^{t_{2}}s_{0} − μc_{2}) + …

⋯ + \frac{2a^{−(t_{n−1}+t_{n})}}{b_{n−1} − b_{n}} (s_{n−1} − a^{t_{n−1}}s_{0} − μc_{n−1})(s_{n} − a^{t_{n}}s_{0} − μc_{n})] = \frac{k_{2}}{σ^{2}} ,

ahol k_{2} csak λ-tól és μ-től függ, σ-tól nem. Ezekkel a jelölésekkel a likelihoodfüggvény a

(2π)^{− \frac{n}{2}} (σ^{2n}k_{1})^{− \frac{1}{2}} exp \{−\frac{1}{2} \frac{k_{2}}{σ^{2}} \}

alakot ölti, így a loglikelihood-függvény:

−\frac{n}{2} ln(2π) − \frac{1}{2} ln(k_{1}σ^{2n}) − \frac{1}{2} \frac{k_{2}}{σ^{2}} .

Először rögzített λ és μ esetén σ-ban maximalizáljuk ezt. Deriválva σ szerint

−\frac{n}{σ} + \frac{k_{2}}{σ^{3}} = 0

egyenletet kapjuk, amiből

σ̂^{2} = \frac{k_{2}}{n}

adódik. A likelihood-függvény második deriváltjába beírva az így kapott σ̂^{2} értéket:

\frac{n}{σ^{2}} − \frac{3k_{2}}{σ^{4}} = \frac{n^{2}}{k_{2}} − \frac{3n^{2}}{k_{2}} = \frac{−2n^{2}}{k_{2}} < 0

tehát ez valóban maximumhely. Itt közben kihasználtuk, hogy k_{2} 1 valószínűséggel pozitív. Hogy ez miért van így, arra hamarosan visszatérünk még. Visszaírva a loglikelihood-függvénybe a kapott σ̂^{2}-et:

−\frac{n}{2} ln(2π) − \frac{1}{2} ln(k_{1} \frac{k_{2}^{n}}{n^{n}}) − \frac{n}{2}

adódik. További célunk tehát a k_{1}k_{2}^{n} mennyiség minimalizálása lesz μ és λ változókban. Először minimalizáljunk μ-ben!

Mivel k_{1} csak λ-tól függ, ezért lényegében k_{2}-t kell minimalizálni. Ehhez alakítsuk át egy kicsit:

k_{2} = 2λ [\frac{(b_{2} − b_{1})a^{−2t_{1}} + b_{1}a^{−2t_{1}}}{b_{1}(b_{2} − b_{1})} (s_{1} − a^{t_{1}}s_{0} − μc_{1})^{2}

+\frac{(b_{3} − b_{2})a^{−2t_{2}} + (b_{2} − b_{1})a^{−2t_{2}}}{(b_{2} − b_{1})(b_{3} − b_{2})} (s_{2} − a^{t_{2}}s_{0} − μc_{2})^{2}

+\frac{a^{−2t_{n}}}{b_{n} − b_{n−1}} (s_{n} − a^{t_{n}}s_{0} − μc_{n})^{2} + a vegyes tagok]

A négyzetes tagokat a fentieknek megfelelően két részre bontva, és a vegyes tagokból a megfelelőket felhasználva a szögletes zárójelen belüli kifejezés teljes négyzetek összegévé alakítható:

k_{2} = 2λ [\frac{1}{b_{1}} (\frac{s_{1}}{a^{t_{1}}} − s_{0} − \frac{μc_{1}}{a^{t_{1}}} )^{2} + \frac{1}{b_{2} − b_{1}} (\frac{s_{2} − μc_{2}}{a^{t_{2}}} − \frac{s_{1} − μc_{1}}{a^{t_{1}}} )^{2} + …

⋯ + \frac{1}{b_{n} − b_{n−1}} (\frac{s_{n} − μc_{n}}{a^{t_{n}}} − \frac{s_{n−1} − μc_{n−1}}{a^{t_{n−1}}} )^{2}] .

Innen már leolvasható, hogy miért lesz k_{2} 1 valószínűséggel pozitív. Vezessük be a b_{0} = 0 jelölést! Ha

• λ < 0, akkor 0 ≤ i ≤ n − 1 esetén b_{i+1} − b_{i} < 0, így k_{2} pozitív együtthatós teljes négyzetek összege, tehát nemnegatív

• λ = 0, akkor az egész becslés így nem működik, de erről az esetről később még szót ejtünk

• λ > 0, akkor 0 ≤ i ≤ n − 1 esetén b_{i+1} − b_{i} > 0, így k_{2} megintcsak nemnegatív.

ξ_{t} Gauss-folyamat, így bármelyik négyzetes tagot választjuk is ki, az 1 valószínűséggel nem lesz 0, tehát k_{2} valóban 1 valószínűséggel pozitív^{3}. Bevezetve a

d_{i} = \frac{1}{b_{i} − b_{i−1}}  e_{i} = \frac{c_{i}}{a^{t_{i}}} − \frac{c_{i−1}}{a^{t_{i−1}}}  y_{i} = \frac{s_{i}}{a^{t_{i}}} − \frac{s_{i−1}}{a^{t_{i−1}}}

jelöléseket, ezek egyike sem függ μ-től, csak λ-tól, valamint ezek segítségével k_{2} a

2λ ∑_{i=1}^{n} d_{i}(y_{i} − e_{i}μ)^{2}

alakot ölti. Ez μ-ben egy másodfokú kifejezés, aminek pozitív a főegyütthatója, hisz

e_{i}^{2} = (\frac{1}{e^{λt_{i−1}}} − \frac{1}{e^{λt_{i}}} )^{2} \frac{1}{λ^{2}} > 0 és λd_{i} > 0 ,

3k_{2}-ről láttuk, hogy 1 valószínűséggel pozitív, k_{1}-re ez pontosan ugyanígy látható be.

ahol az utóbbi egyenlőtlenséget éppen az előbb láttuk be. Deriválva a minimalizálandó kifejezést így biztosan minimumhelyet kapunk. A deriváltat nullával egyenlővé téve:

−4λ ∑_{i=1}^{n} d_{i}e_{i}(y_{i} − e_{i}μ) = 0

adódik, amiből

μ̂ = \frac{∑_{i=1}^{n} d_{i}e_{i}y_{i}}{∑_{i=1}^{n} d_{i}e_{i}^{2}} .

Végső soron nekünk a k_{1}k_{2}^{n} szorzatot kell minimalizálni. Beírva a μ̂ becslést:

k_{1}k_{2}^{n} = 2^{n}λ^{n} [∑_{i=1}^{n} d_{i} (y_{i} − e_{i} \frac{∑_{j=1}^{n} d_{j}e_{j}y_{j}}{∑_{j=1}^{n} d_{j}e_{j}^{2}} )^{2}]^{n} \frac{1}{2^{n}λ^{n}} e^{2λ ∑_{i=1}^{n} t_{i}} \frac{1}{d_{1}} · ... · \frac{1}{d_{n}}

= \frac{[∑_{i=1}^{n} d_{i} (y_{i} − e_{i} \frac{∑_{j=1}^{n} d_{j}e_{j}y_{j}}{∑_{j=1}^{n} d_{j}e_{j}^{2}} )^{2}]^{n}}{e^{−2λ ∑_{i=1}^{n} t_{i}}d_{1} · ... · d_{n}}

Bevezetve az x = 1/a = e^{−λ} jelölést:

d_{i} = \frac{1}{−x^{2t_{i}} + x^{2t_{i−1}}} e_{i} = \frac{1}{λ}(x^{t_{i−1}} − x^{t_{i}}) y_{i} = s_{i}x^{t_{i}} − s_{i−1}x^{t_{i−1}} ,

amiből x függvényeként előáll k_{1}k_{2}^{n}:

k_{1}k_{2}^{n} =

\frac{[∑_{i=1}^{n} \frac{1}{x^{2t_{i−1}}−x^{2t_{i}}} (s_{i}x^{t_{i}} − s_{i−1}x^{t_{i−1}} − (x^{t_{i−1}} − x^{t_{i}})\frac{∑_{j=1}^{n} \frac{x^{t_{j−1}} −x^{t_{j}}}{x^{2t_{j−1}} −x^{2t_{j}}} (s_{j}x^{t_{j}} −s_{j−1}x^{t_{j−1}})}{∑{n \atop j=1} \frac{(x^{t_{j−1}} −x^{t_{j}})^{2}}{x^{2t_{j−1}} −x^{2t_{j}}}})^{2}]^{n}}{x^{2 ∑_{i=1}^{n} t_{i}} \frac{1}{x^{2t_{0}}−x^{2t_{1}}} · ... · \frac{1}{x^{2t_{n−1}}−x^{2tn}}}

= (−1 + x^{2(t_{0}−t_{1})}) · ... · (−1 + x^{2(t_{n−1}−t_{n})})

· [∑_{i=1}^{n} \frac{1}{x^{2t_{i−1}} − x^{2t_{i}}} (s_{i}x^{t_{i}} − s_{i−1}x^{t_{i−1}} − (x^{t_{i−1}} − x^{t_{i}})\begin{matrix}∑ & {n \atop j=1} & \frac{s_{j}x^{t_{j}} −s_{j−1}x^{t_{j−1}}}{x^{t_{j−1}}+x^{t_{j}}} \\ ∑ & {n \atop j=1} & \frac{x^{t_{j−1}}−x^{t_{j}}}{x^{t_{j−1}}+x^{t_{j}}} \end{matrix} )^{2}]^{n}

Ha létezik egy olyan pozitív t érték, hogy minden t_{i} ennek egészszámú többszöröse, akkor y = x^{t} függvényében a fenti kifejezés racionális törtfüggvény alakra hozható. Ezt y szerint deriválva y racionális törtfüggvényének gyökhelyeit kell megvizsgálni, hiszen legfeljebb ott lehet k_{1}k_{2}^{n} minimális. Lényegében tehát egy polinom gyökhelyeit kell megtalálni, erre pedig rengeteg algebrai és numerikus módszer áll rendelkezésre, így a minimumhelyet adó λ̂ kiszámítható. λ̂ ismeretében μ̂ és σ̂ meghatározása már csupán egyszerű képletbe helyettesítés.

Abban a speciális esetben, ha t_{i} = it alakú valamely pozitív t-re, azaz ha egyenletes időközönként ismerjük a ξ folyamat értékeit, akkor a λ̂ becslés explicit módon kiszámítható, s a következőkben ezt nézzük meg.

Jelölje y = x^{t} = e^{−λt}. Ekkor

k_{1}k_{2}^{n} =

(\frac{1}{y^{2}} − 1)^{n} [∑_{i=1}^{n} \frac{1}{y^{2(i−1)} − y^{2i}} (s_{i}y^{i} − s_{i−1}y^{i−1} − (y^{i−1} − y^{i})\begin{matrix}∑ & {n \atop j=1} & \frac{s_{j}y^{j}−s_{j−1}y^{j−1}}{y^{j−1}+y^{j}} \\ ∑ & {n \atop j=1} & \frac{y^{j−1}−y^{j}}{y^{j−1}+y^{j}} \end{matrix} )^{2}]^{n}

= [\frac{1}{y^{2}} ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{y^{2(i−1)}} (s_{i}y^{i} − s_{i−1}y^{i−1} − (y^{i−1} − y^{i})\frac{∑_{j=1}^{n} s_{j}y − s_{j−1}}{∑_{j=1}^{n} 1 − y} )^{2}]^{n}

= [∑_{i=1}^{n} (s_{i} − \frac{s_{i−1}}{y} − \frac{∑_{j=1}^{n} s_{j} − \frac{s_{j−1}}{y}}{n} )^{2}]^{n} .

A szögletes zárójelben lévő kifejezés nemnegatív, így a fenti akkor minimális, ha a szögletes zárójelben lévő az. 1/y-ban ez egy másodfokú kifejezés, ahol a főegyüttható:

∑_{i=1}^{n} (\frac{∑_{j=1}^{n} s_{j−1}}{n} − s_{i−1})^{2} > 0 ,

tehát a másodfokú kifejezés szélsőértéke minimumhely lesz. Átalakítva a főegyütthatót:

\frac{1}{n^{2}} ∑_{i=1}^{n} (n^{2}s_{i−1}^{2} − 2ns_{i−1} ∑_{j=1}^{n} s_{j−1} + (∑_{j=1}^{n} s_{j−1})^{2}) = \frac{1}{n} (n ∑_{i=1}^{n} s_{i−1}^{2} − (∑_{i=1}^{n} s_{i−1})^{2}) .

Az elsőfokú tag együtthatója:

−\frac{2}{n^{2}} ∑_{i=1}^{n} (ns_{i} − ∑_{j=1}^{n} s_{j}) (ns_{i−1} − ∑_{j=1}^{n} s_{j−1}) = −\frac{2}{n} (n ∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1} − ∑_{i=1}^{n} s_{i} ∑_{i=1}^{n} s_{i−1}) ,

amiből a minimumot biztosító 1/y úgy kapható meg, hogy az elsőfokú tag együtthatójának ellentettjét osztjuk a főegyüttható kétszeresével, azaz

\frac{1}{y} = \frac{n ∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1} − ∑_{i=1}^{n} s_{i} ∑_{i=1}^{n} s_{i−1}}{n ∑_{i=1}^{n} s_{i−1}^{2} − (∑_{i=1}^{n} s_{i−1})^{2}} .

Jelölje a fenti kifejezést α. Ekkor persze α = 1/y = e^{λt}, amiből

λ̂ = \frac{ln α}{t}

adódik.

Vizsgáljuk meg ennek a becslésnek a viselkedését! α nevezője 1 valószínűséggel pozitív, hiszen a Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenség alapján csak akkor lehet 0, ha s_{0} = s_{1} = ... = s_{n−1}, ez pedig nulla valószínűségű esemény, hisz Gauss-folyamatról lévén szó már annak is nulla a valószínűsége, hogy s_{1} = s_{0}. A számláló vizsgálata során célszerű s_{1}, s_{2}, ...s_{n−1} változókat rögzíteni, s így nézni s_{n} feltételes eloszlását. Ekkor az α nevezője rögzített, a számláló pedig l_{1} + l_{2}s_{n} alakú, ahol l_{1} és l_{2} rögzített konstansok. Innen látható, hogy e^{λt} becslése pozitív valószínűséggel lesz pozitív, illetve nempozitív, valamint nulla valószínűséggel 1. Ennek megfelelően pozitív valószínűséggel nem létezik a λ̂ becslés (ez annak felel meg, hogy a bekövetkezett realizációja a ξ folyamatnak erősen ellentmond a feltételezett modell szerinti tipikus viselkedésnek). Igaz lesz továbbá az is, hogy a λ̂ becslés pozitív valószínűséggel létezik, ám 1 valószínűséggel nem nulla, így nem követtünk el nagy hibát, mikor a levezetés során ezzel az esettel nem foglalkoztunk.

Nézzük meg, hogy mit kapunk ezek után μ becsléseként:

μ̂ = \frac{∑_{i=1}^{n} d_{i}e_{i}y_{i}}{∑_{i=1}^{n} d_{i}e_{i}^{2}} = \frac{∑_{i=1}^{n} \frac{1}{y^{2(i−1)}−y^{2i}} \frac{1}{λ̂}(y^{i−1} − y^{i})(s_{i}y^{i} − s_{i−1}y^{i−1})}{∑_{i=1}^{n} \frac{1}{y^{2(i−1)}−y^{2i}} \frac{1}{λ̂^{2}} (y^{i−1} − y^{i})^{2}}

= λ̂\frac{∑_{i=1}^{n} \frac{1}{1−y^{2}} (1 − y)(s_{i}y − s_{i−1})}{∑_{i=1}^{n} \frac{1}{1−y^{2}} (1 − y)^{2}} = λ̂\frac{∑_{i=1}^{n}(s_{i}y − s_{i−1})}{n(1 − y)}

= \frac{ln α}{t} \frac{∑_{i=1}^{n} s_{i} − α ∑_{i=1}^{n} s_{i−1}}{(α − 1)n} .

Végül σ̂ kellene, ehhez k_{2}-re van szükségünk:

k_{2} = 2λ̂ ∑_{i=1}^{n} d_{i}(y_{i} − e_{i}μ̂)^{2}

= 2λ̂ ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{y^{2(i−1)} − y^{2i}} (s_{i}y^{i} − s_{i−1}y^{i−1} − \frac{1}{λ̂}(y^{i−1} − y^{i})λ̂\frac{∑_{j=1}^{n}(s_{j}y − s_{j−1})}{n(1 − y)})^{2}

= 2λ̂ ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} − 1} (s_{i} − \frac{s_{i−1}}{y} − \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} (s_{j} − \frac{s_{j−1}}{y} ))^{2}

= \frac{2 ln α}{t(α^{2} − 1)} ∑_{i=1}^{n} (s_{i} − \frac{s_{i−1}}{y} − \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} (s_{j} − \frac{s_{j−1}}{y} ))^{2}

Látható, hogy az így kapott képlet második tényezőjét adó összeg éppen az a négyzetes kifejezés, aminek minimalizálásával α-t kaptuk. Egy ax^{2} + bx + c (a > 0) kifejezés minimumhelye x = −b/2a, a minimum értéke pedig c − b^{2}/(4a). Így a kérdéses összeg:

∑_{i=1}^{n} (s_{i} − ∑_{j=1}^{n} \frac{s_{j}}{n} )^{2} − \begin{matrix}\frac{4}{n^{2}} & (n ∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1} − ∑_{i=1}^{n} s_{i} ∑_{i=1}^{n} s_{i−1}) & 2 \\ \frac{4}{n} & (n ∑_{i=1}^{n} s_{i−1}^{2} − (∑_{i=1}^{n} s_{i−1})^{2}) \end{matrix}

= ∑_{i=1}^{n} s_{i}^{2} − \frac{1}{n} (∑_{i=1}^{n} s_{i})^{2} − \frac{(n ∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1} − ∑_{i=1}^{n} s_{i} ∑_{i=1}^{n} s_{i−1})^{2}}{n (n ∑_{i=1}^{n} s_{i−1}^{2} − (∑_{i=1}^{n} s_{i−1})^{2})}

Amiből

σ̂^{2} = \frac{k_{2}}{n} = \frac{2 ln α}{n^{2}(α^{2} − 1)t} [n ∑_{i=1}^{n} s_{i}^{2} − (∑_{i=1}^{n} s_{i})^{2} − \frac{(n ∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1} − ∑_{i=1}^{n} s_{i} ∑_{i=1}^{n} s_{i−1})^{2}}{n ∑_{i=1}^{n} s_{i−1}^{2} − (∑_{i=1}^{n} s_{i−1})^{2}} ]

σ^{2} pontos becslése, de ha egy kicsit egyszerűbb formulát szeretnénk, és nincs szükségünk ennyire pontos becslésre, akkor az utolsó tagot elhagyhatjuk, így kapjuk

σ̂^{2} ≈ \frac{2 ln α}{α^{2} − 1} \frac{1}{t} [\frac{∑_{i=1}^{n} s_{i}^{2}}{n} − (\frac{∑_{i=1}^{n} s_{i}}{n} )^{2}] = \frac{2 ln α}{α^{2} − 1} \frac{𝒟^{2}(s)}{t}

formulát, ahol 𝒟^{2}(s) az s_{1}, s_{2}, ...s_{n} mennyiségek tapasztalati szórásnégyzetét jelöli. Ez az s-eknek még mindig elég bonyolult függvénye, így az α ≈ 1 közelítés felhasználásával az ln x függvény 1 körüli Taylor-sorfejtéséből^{4}:

σ̂^{2} ≈ \frac{3 − α}{α + 1} \frac{𝒟^{2}(s)}{t}

3.2.1. ML-becslés a klasszikus esetben

Ebben a részben megvizsgáljuk, hogyan módosulnak az előző rész eredményei abban az esetben, ha a klasszikus modellben nézzük az ML-becslést, azaz λ = 0 feltételezéssel élünk. Az előző rész jelöléseit és gondolatmenetét megismételve Ψ ≡ 1 lesz az alapmegoldás, innen:

Eξ_{t} = ξ_{0} + ∫_{0}^{t} μdτ = ξ_{0} + μt

Cov(ξ_{t}, ξ_{s}) = ∫_{0}^{min{t,s}} σ^{2}dτ = σ^{2} min{t, s}.

Ekkor a kovarianciamátrix:

Σ = σ^{2} (\begin{matrix}t_{1} & t_{1} & t_{1} & … & t_{1} \\ t_{1} & t_{2} & t_{2} & … & t_{2} \\ t_{1} & t_{2} & t_{3} & … & t_{3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ t_{1} & t_{2} & t_{3} & … & t_{n} \end{matrix}) ,

aminek a determinánsa:

det Σ = σ^{2n}t_{1}(t_{2} − t_{1})(t_{3} − t_{2})...(t_{n} − t_{n−1}) ,

az inverze pedig:

Σ^{−1} = \frac{1}{σ^{2}} (\begin{matrix}\frac{t_{2}}{t_{1}(t_{2}−t_{1})} & \frac{1}{t_{1}−t_{2}} & 0 & … & 0 \\ \frac{1}{t_{1}−t_{2}} & \frac{t_{3}−t_{1}}{(t_{2}−t_{1})(t_{3}−t_{2})} & \frac{1}{t_{2}−t_{3}} & … & 0 \\ 0 & \frac{1}{t_{2}−t_{3}} & \frac{t_{4}−t_{2}}{(t_{3}−t_{2})(t_{4}−t_{3})} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & \frac{1}{t_{n}−t_{n−1}} \end{matrix} ) .

4A másodfokú tagig vesszük a sorfejtést: ln x ≈ (x − 1) − 1/2(x − 1)^{2}.

A megfelelő k_{1} és k_{2} jelöléseket bevezetve a loglikelihood-függvény:

−\frac{n}{2} ln(2π) − \frac{1}{2} ln(k_{1}σ^{2n}) − \frac{1}{2} \frac{k_{2}}{σ^{2}} ,

ahol

k_{1} = t_{1}(t_{2} − t_{1})(t_{3} − t_{2})...(t_{n} − t_{n−1})

k_{2} = \frac{t_{2}}{t_{1}(t_{2} − t_{1})}(s_{1} − s_{0} − μt_{1})^{2} + ... + \frac{1}{t_{n} − t_{n−1}} (s_{n} − s_{0} − μt_{n})^{2}

+\frac{2}{t_{1} − t_{2}} (s_{1} − s_{0} − μt_{1})(s_{2} − s_{0} − μt_{2}) + ...

... + \frac{2}{t_{n−1} − t_{n}} (s_{n−1} − s_{n} − μt_{n−1})(s_{n} − s_{0} − μt_{n})

= \frac{1}{t_{1}} (s_{1} − s_{0} − μt_{1})^{2} + \frac{1}{t_{2} − t_{1}} (s_{2} − s_{1} − μt_{2} + μt_{1})^{2} + ...

... + \frac{1}{t_{n} − t_{n−1}} (s_{n} − s_{n−1} − μt_{n} + μt_{n−1})^{2} = ∑_{i=1}^{n} d_{i}(y_{i} − e_{i}μ)^{2}.

Közben bevezettük a következő jelöléseket:

d_{i} = \frac{1}{t_{i} − t_{i−1}} y_{i} = s_{i} − s_{i−1} e_{i} = t_{i} − t_{i−1}.

A loglikelihood-függvény σ szerinti deriváltját 0-val egyenlővé téve adódik:

σ̂^{2} = \frac{k_{2}}{n} .

A második deriváltba ezt beírva:

\frac{n}{σ^{2}} − \frac{3k_{2}}{σ^{4}} = \frac{2n^{2}}{k_{2}} < 0 ,

így ez tényleg minimumhely, hisz k_{2} (hasonló okokból, mint az előző részben) 1 valószínűséggel pozitív^{5}. Visszaírva ezt a becslést a loglikelihoodfüggvénybe, megint k_{2}-t kell lényegében minimalizálni μ-ben. Teljesen hasonló módon, mint az előző részben a minimumhely ismét

μ̂ = \frac{∑_{i=1}^{n} d_{i}e_{i}y_{i}}{∑_{i=1}^{n} d_{i}e_{i}^{2}}

5Nyilván itt k_{1} > 0 minden esetben.

lesz. Ezt tovább számolva:

μ̂ = \frac{∑_{i=1}^{n} d_{i}e_{i}y_{i}}{∑_{i=1}^{n} d_{i}e_{i}^{2}} = \frac{∑_{i=1}^{n} s_{i} − s_{i−1}}{∑_{i=1}^{n} t_{i} − t_{i−1}} = \frac{s_{n} − s_{0}}{t_{n}}

adódik. Ebből k_{2} értéke:

k_{2} = ∑_{i=1}^{n} d_{i}(y_{i} − e_{i}μ̂)^{2} = ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{t_{i} − t_{i−1}} (s_{i} − s_{i−1} − \frac{s_{n} − s_{0}}{t_{n}} (t_{i} − t_{i−1}))^{2}

= ∑_{i=1}^{n} \frac{(s_{i} − s_{i−1})^{2}}{t_{i} − t_{i−1}} − 2 ∑_{i=1}^{n} \frac{(s_{i} − s_{i−1})(s_{n} − s_{0})}{t_{n}} + ∑_{i=1}^{n} \frac{(s_{n} − s_{0})^{2}}{t_{n}^{2}} (t_{i} − t_{i−1})

= ∑_{i=1}^{n} \frac{(s_{i} − s_{i−1})^{2}}{t_{i} − t_{i−1}} − \frac{(s_{n} − s_{0})^{2}}{t_{n}} .

Így a σ̂^{2} becslése:

σ̂^{2} = \frac{1}{n} [∑_{i=1}^{n} \frac{(s_{i} − s_{i−1})^{2}}{t_{i} − t_{i−1}} − \frac{(s_{n} − s_{0})^{2}}{t_{n}} ] .

Ha speciálisan egyenletes időközönként vannak megfigyeléseink, azaz t_{i} = it, akkor:

σ̂^{2} = \frac{1}{t} [\frac{∑_{i=1}^{n}(s_{i} − s_{i−1})^{2}}{n} − (\frac{s_{n} − s_{0}}{n} )^{2}] = \frac{𝒟^{2}(Δs)}{t} ,

ahol 𝒟^{2}(Δs) a ξ folyamat növekményeinek tapasztalati szórásnégyzete.

Látható tehát, hogy amennyiben a klasszikus modellt használjuk, a σ̂^{2}-re teljesen eltérő becslést kapunk, mintha az általánosabb modellben végeztük volna el a becslést. Az eddig ismertetett opciók egyikének árában sem szerepeltek ugyan a μ(t) és a λ(t) függvények (csupán σ(t)), ám a feltételezett modell határozza meg σ(t) becslését, ilyen módon maga az opcióár közvetve ugyan, de mégis csak függ μ(t) és λ(t) függvényektől.

3.3. ML-becslés általánosabb modellek esetén

Ebben az alfejezetben feloldjuk az előző alfejezet korlátozó feltételeit, s kissé általánosabb esetben próbáljuk meg a paraméterfüggvényeket becsülni.

Nem tekintjük a μ(t), λ(t) és a σ(t) függvények mindegyikét konstansnak, s ezzel párhuzamosan explicit formulák levezetésére sem fogunk törekedni, megelégszünk azzal, ha olyan alakra hozzuk a megoldandó feladatokat, amelyet már valamilyen egyszerűbb algebrai vagy numerikus módszerrel meg tudunk oldani. Sohasem oldjuk fel az előző alfejezet összes korlátozó feltételét egyszerre (hiszen az –mint korábban említettük– olyan bonyolult numerikus optimalizálási feladatot állítana elénk, melynek megoldása szinte kezelhetetlen), hanem apró lépéseken keresztül próbálunk meg közelíteni az általános probléma megoldásának irányába. A másik ok, ami miatt nem törekszünk az általános probléma megoldására, az, hogy a legtöbb gyakorlati alkalmazásnál már az állandó együtthatós modell is jól leírja a részvényárfolyam mozgását, a paraméterfüggvények egyikét-másikát lineáris függvénynek választva pedig szinte tökéletes modellezés érhető el. Ebből kifolyólag a teljesen általános probléma megoldásának mind tisztán elméleti, mind gyakorlati haszna csekély.

3.3.1. Becslés általános μ(t) polinom esetén

Ebben a részben megszabadulunk attól a feltevéstől, hogy μ konstans, és általános μ(t) polinom esetén próbálunk meg az együtthatókra becslést adni. μ(t) alakja tehát:

μ(t) = μ_{0} + μ_{1}t + μ_{2}t^{2} + ... + μ_{q}t^{q} ,

ahol tegyük fel, hogy q ≪ n, különben esetleg egyszerű polinom-interpolációba menne át a becslési feladatunk. λ-t és σ-t továbbra is konstansnak tekintjük. Az előző alfejezet gondolatmenetét követve ekkor

Eξ_{t} = e^{λt} (ξ_{0} + ∫_{0}^{t_{i}} e^{−λτ}(μ_{0} + μ_{1}τ + ... + μ_{q}τ^{q})dτ) .

Jelölje:

I_{i}^{k} = ∫_{0}^{t_{i}} e^{−λτ}τ^{k}dτ.

Ekkor

I_{i}^{0} = ∫_{0}^{t_{i}} e^{−λτ}dτ = \frac{1}{λ}(1 − e^{−λt_{i}}) ,

továbbá parciális integrálással:

∫_{0}^{t} e^{−λτ}τ^{k+1}dτ = \frac{−e^{−λt}}{λ} t^{k+1} + \frac{k + 1}{λ} ∫_{0}^{t} e^{−λτ}τ^{k}dτ ,

I_{i}^{k+1} = \frac{k + 1}{λ}I_{i}^{k} − \frac{e^{−λt_{i}}t_{i}^{k+1}}{λ} ,

tehát rekurzióval könnyen számíthatóak ezek. Ezzel a jelöléssel:

Eξ_{t_{i}} = e^{λt_{i}} (ξ_{0} + ∑_{k=0}^{q} μ_{k}I_{i}^{k}) .

A kovarianciastruktúrát μ(t) nem befolyásolja, így az ugyanaz, mint az állandó együtthatós esetben. σ becslése μ(t) és λ ismeretében ennek eredményeként ugyanaz lesz, mint az előző alfejezetben. A jelöléseket megőrizve:

k_{2} = 2λ [\frac{1}{b_{1}} (\frac{s_{1}}{a^{t_{1}}} − s_{0} − \frac{1}{a^{t_{1}}} e^{λt_{1}} ∑_{k=0}^{q} μ_{k}I_{1}^{k})^{2}

+\frac{1}{b_{2} − b_{1}} (\frac{s_{2}}{a^{t_{2}}} − \frac{s_{1}}{a^{t_{1}}} − \frac{1}{a^{t_{2}}} e^{λt_{2}} ∑_{k=0}^{q} μ_{k}I_{2}^{k} + \frac{1}{a^{t_{1}}} e^{λt_{1}} ∑_{k=0}^{q} μ_{k}I_{1}^{k})^{2} + ...

... +\frac{1}{b_{n} − b_{n−1}} (\frac{s_{n}}{a^{t_{n}}} − \frac{s_{n−1}}{a^{t_{n−1}}} − \frac{1}{a^{t_{n}}} e^{λt_{n}} ∑_{k=0}^{q} μ_{k}I_{n}^{k} + \frac{1}{a^{t_{n−1}}} e^{λt_{n−1}} ∑_{k=0}^{q} μ_{k}I_{n−1}^{k})^{2}]

= 2λ ∑_{i=1}^{n} d_{i} (y_{i} − ∑_{k=0}^{q} e_{i}^{k}μ_{k})^{2} ,

ahol

a = e^{λ} b_{i} = 1 − e^{−2λt_{i}}

d_{i} = \frac{1}{b_{i} − b_{i−1}}  y_{i} = \frac{s_{i}}{a^{t_{i}}} − \frac{s_{i−1}}{a^{t_{i−1}}}  e_{i}^{k} = I_{i}^{k} − I_{i−1}^{k}.

k_{2}-t kell μ_{0}, ...μ_{q} változókban minimalizálni. μ_{l} szerinti parciális deriváltja:

−4λ ∑_{i=1}^{n} d_{i}e_{i}^{l} (y_{i} − ∑_{k=0}^{q} e_{i}^{k}μ_{k}) .

Ezzel l = 0, ...q esetén egy lineáris egyenletrendszert kapunk, ebből μ̂_{0}, ...μ̂_{q} létezik és egyértelmű, ha a következő mátrix nemszinguláris:

(\begin{matrix}4λ ∑_{i=1}^{n} d_{i}e_{i}^{0}e_{i}^{0} & 4λ ∑_{i=1}^{n} d_{i}e_{i}^{0}e_{i}^{1} & … & 4λ ∑_{i=1}^{n} d_{i}e_{i}^{0}e_{i}^{q} \\ 4λ ∑_{i=1}^{n} d_{i}e_{i}^{1}e_{i}^{0} & 4λ ∑_{i=1}^{n} d_{i}e_{i}^{1}e_{i}^{1} & … & 4λ ∑_{i=1}^{n} d_{i}e_{i}^{1}e_{i}^{q} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 4λ ∑_{i=1}^{n} d_{i}e_{i}^{q}e_{i}^{0} & 4λ ∑_{i=1}^{n} d_{i}e_{i}^{q}e_{i}^{1} & … & 4λ ∑_{i=1}^{n} d_{i}e_{i}^{q}e_{i}^{q} \end{matrix}) = 4λ ∑_{i=1}^{n} d_{i}e_{i}e_{i}^{T} ,

ahol

e_{i} = (e_{i}^{0}, e_{i}^{1}, ...e_{i}^{q})^{T} .

Szimmetrikus mátrixról lévén szó elég belátni, hogy pozitív definit ez a mátrix. Legyen α ∈ ℝ^{q} tetszőleges. Ekkor

α^{T} 4λ ∑_{i=1}^{n} d_{i}e_{i}e_{i}^{T} α = 4 ∑_{i=1}^{n} λd_{i}(e_{i}^{T} α)^{2} ≥ 0 ,

hisz λd_{i} > 0 1 valószínűséggel. Be kellene még látni, hogy egyenlőség csak nullvektor esetén állhat fenn. Ha egyenlőség van, akkor speciálisan e_{1}^{T} α = e_{2}^{T} α = ... = e_{q+1}^{T}α = 0, azaz bevezetve az E = (e_{1}, e_{2}, ...e_{q+1})^{T} mátrixot: Eα = 0. Ha belátjuk, hogy E nemszinguláris, akkor készen leszünk. Kiírva az E mátrixot:

E = (\begin{matrix}I_{1}^{0} & I_{1}^{1} & I_{1}^{2} & … & I_{1}^{q} \\ I_{2}^{0} − I_{1}^{0} & I_{2}^{1} − I_{1}^{1} & I_{2}^{2} − I_{1}^{2} & … & I_{2}^{q} − I_{1}^{q} \\ I_{3}^{0} − I_{2}^{0} & I_{3}^{1} − I_{2}^{1} & I_{3}^{2} − I_{2}^{2} & … & I_{3}^{q} − I_{2}^{q} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ I_{q+1}^{0} − I_{q}^{0} & I_{q+1}^{1} − I_{q}^{1} & I_{q+1}^{2} − I_{q}^{2} & … & I_{q+1}^{q} − I_{q}^{q} \end{matrix}) .

A második sorhoz hozzáadva az elsőt, a harmadikhoz a másodikat, stb... a mátrix determinánsa nem változik meg. Kapjuk

(\begin{matrix}I_{1}^{0} & I_{1}^{1} & I_{1}^{2} & … & I_{1}^{q} \\ I_{2}^{0} & I_{2}^{1} & I_{2}^{2} & … & I_{2}^{q} \\ I_{3}^{0} & I_{3}^{1} & I_{3}^{2} & … & I_{3}^{q} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ I_{q+1}^{0} & I_{q+1}^{1} & I_{q+1}^{2} & … & I_{q+1}^{q} \end{matrix})

mátrixot. A rekurzió kihasználásával az utolsó oszlopból kivonva az utolsó előtti (q/λ)-szorosát, az utolsó előttiből az az előtti ({q − 1}/λ)-szorosát, stb... a második oszlopból kivonva első (2/λ)-szorosát, az első oszlopba pedig beírva a rekurzió kezdőértékét:

−\frac{1}{λ} (\begin{matrix}e^{−λt_{1}} − 1 & e^{−λt_{1}}t_{1} & e^{−λt_{1}}t_{1}^{2} & … & e^{−λt_{1}}t_{1}^{q} \\ e^{−λt_{2}} − 1 & e^{−λt_{2}}t_{2} & e^{−λt_{2}}t_{2}^{2} & … & e^{−λt_{2}}t_{2}^{q} \\ e^{−λt_{3}} − 1 & e^{−λt_{3}}t_{3} & e^{−λt_{3}}t_{3}^{2} & … & e^{−λt_{3}}t_{3}^{q} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ e^{−λt_{q+1}} − 1 & e^{−λt_{q+1}}t_{q+1} & e^{−λt_{q+1}}t_{q+1}^{2} & … & e^{−λt_{q+1}}t_{q+1}^{q} \end{matrix}) .

Szorozva a mátrix első sorát (−e^{λt_{1}}/λ)-val, a másodikat (−e^{λt_{2}}/λ)-val, stb...:

(\begin{matrix}1 − e^{λt_{1}} & t_{1} & t_{1}^{2} & … & t_{1}^{q} \\ 1 − e^{λt_{2}} & t_{2} & t_{2}^{2} & … & t_{2}^{q} \\ 1 − e^{λt_{3}} & t_{3} & t_{3}^{2} & … & t_{3}^{q} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 1 − e^{λt_{q+1}} & t_{q+1} & t_{q+1}^{2} & … & t_{q+1}^{q} \end{matrix})

adódik. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy létezik olyan t > 0, hogy minden t_{i} ennek egész számú többszöröse, azaz t_{i} = tt′_{i}, ahol t′_{i} ∈ ℤ^{+} 1 ≤ i ≤ n esetén. Ekkor bevezetve az a_{0} = e^{−λt} jelölést, a determináns az első oszlop szerint kifejtve:

l_{0} + l_{1}a_{0}^{t′_{1}} + l_{2}a_{0}^{t′_{2}} + ... + l_{q+1}a_{0}^{t′_{q+1}} l_{i} ∈ ℝ, l_{i} nem függ λ-tól

adódik. Ez a_{0}-ban egy t′_{q+1}-edfokú polinom, így speciálisan legfeljebb véges sok olyan a_{0} lesz, amire ez a 0 értéket veszi fel. Ez azt jelenti, hogy legfeljebb véges sok λ esetén lehet a vizsgált mátrix szinguláris. A becslésből később majd (ugyanúgy, mint az előző alfejezetben) látni lehet, hogy egy fix értéket λ 0 valószínűséggel vesz fel, így véges sok értéket is, tehát a mátrix 1 valószínűséggel nemszinguláris. Ennek eredményeként μ̂_{0}, ...μ̂_{q} 1 valószínűséggel léteznek, be kellene még látni, hogy ez minimumhely. A második parciális derivált:

4λ ∑_{i=1}^{n} d_{i}e_{i}^{l}e_{i}^{m}.

Az ezekből elkészített mátrix épp a megoldás létezése során vizsgált mátrix, így egy valószínűséggel pozitív definit, tehát ez tényleg minimumhely.

Ezek után vezessünk be az ℰℒ és a 𝒫ℰℒ függvényosztályokat^{6}!

6Ezek nem a szakirodalomban elterjedt jelölések, csak „házi” használatra vezetjük be őket, hogy könnyebb legyen a becslések alakjáról beszélni.

4. Definíció. Azt mondjuk, hogy egy f(x) : ℝ → ℝ függvény ℰℒ-beli, ha előáll

∑_{i∈I} l_{i}^{(1)} exp{l_{i}^{(2)}x}x^{l_{i}^{(3)}}

alakban, ahol l_{i}^{(1)} ∈ ℝ, l_{i}^{(2)}, l_{i}^{(3)} ∈ ℕ konstansok i ∈ I esetén, I pedig egy véges indexhalmax.

5. Definíció. Egy f(x) valósértékű függvényről azt mondjuk, hogy 𝒫ℰℒbeli, ha előáll két ℰℒ-beli hányadosaként.

Nyilván az összeadásra és a szorzásra nézve mindkét osztály zárt, 𝒫ℰℒ pedig még az osztásra is. I_{i}^{k} definíciójából rögtön látszik, hogy I_{i}^{k} ∈ 𝒫ℰℒ, így e_{i}^{k} ∈ 𝒫ℰℒ, ugyanígy d_{i} ∈ 𝒫ℰℒ és y_{i} ∈ 𝒫ℰℒ, ha mindegyiket, mint λt függvényét tekintjük. Ha a μ̂_{i} becsléseket elkészítjük, akkor a Cramer-szabályból jól látszik, hogy ezek is 𝒫ℰℒ-beliek lesznek.

Hátra van még a λ becslésének meghatározása. Ezt úgy kaphatjuk meg, ha k_{1}k_{2}^{n}-t minimalizáljuk. Nyilván b_{i} ∈ 𝒫ℰℒ, így mivel

k_{2} = 2λ ∑_{i=1}^{n} d_{i} (y_{i} − ∑_{k=0}^{q} e_{i}^{k}μ̂_{k})^{2}

k_{1} = \frac{1}{2^{n}λ^{n}} e^{2 ∑_{i=1}^{n} t_{i}}b_{1}(b_{2} − b_{1})...(b_{n} − b_{n−1}) ,

ezért k_{1}, k_{2} ∈ 𝒫ℰℒ. Mivel így a minimalizálandó kifejezésünk λt-ben 𝒫ℰℒbeli, ezért λ szerint deriválva szintén 𝒫ℰℒ-beli kifejezést kapunk. Ennek a számlálójának a gyökhelyei jöhetnek csak, mint lehetséges λ̂ becslések, számításba. A számláló egy ℰℒ-beli kifejezés, így ha igaz lenne az, hogy minden ℰℒ-beli kifejezésnek legfeljebb véges sok gyökhelye van, akkor véges sok lehetséges λ̂ közül kellene kiválasztani a minimumhelyet. Ez pedig triviális, hisz az ℰℒ-beli kifejezésben ha nincs olyan exponenciális tag, ahol az exponensben x pozitív számmal van szorozva, akkor polinomról van szó, annak pedig véges sok gyökhelye van, ezekre korlátokat is könnyű adni. Ha van ilyen, akkor vegyük az(oka)t, ahol az exponensben a lehető legnagyobb pozitív szorzó áll. Ezek közül válasszuk ki azt, ahol az x kitevője a legnagyobb, nyilván a végtelenben való viselkedésnél ez lesz a domináns tag. Ha x → ∞, akkor ez tart ±∞-be, attól függően, hogy milyen előjelű az együtthatója. Ha pedig x → −∞, akkor ki kell választani az(oka)t a tago(ka)t, ahol az exponensben a lehető legkisebb szorzó áll, ezek közül válasszuk ki azt, ahol az x kitevője a lehető legnagyobb. Egy idő után (x → −∞) ez a tag lesz a domináns, abszolútértéke nagyobb lesz az összes többi abszolútértékének összegénél. De ez a tag magában sosem lesz nulla, így ennél kisebb x-ekre nem lesz a függvényünknek gyökhelye. Meg lehet adni tehát (ennek az explicit meghatározásával most nem foglalkozunk) egy olyan kompakt intervallumot, amelyen kívül biztosan nincs gyökhely. Ebben az intervallumban is legfeljebb csak véges sok gyökhely lehet, hiszen különben a gyökhelyeknek lenne torlódási pontja, így analitikus függvényről lévén szó ez csak az azonosan nulla függvény lehetne. A λt-re számításba jövő véges sok értéket numerikus módszerekkel könnyen kiszámíthatjuk, hiszen a legtöbb klasszikus numerikus eljárás (húrmódszer, stb...) jól működik, mivel ezen a kompakt intervallumon korlátos a derivált is.

Van még egy apróság, amit figyelembe kell venni, nevezetesen látni kellene, hogy λ̂ becslés 1 valószínűséggel nem nulla. Könnyű meggondolni, hogy a minimalizálandó kifejezés a Cramer-szabály miatt egy olyan λt-ben 𝒫ℰℒbeli elem, aminek van olyan törtelőállítása, ahol a számláló s_{n}-ek polinomja, a nevező pedig nem függ s_{n}-től. Ezt deriválva λ szerint ugyancsak olyan (λtben 𝒫ℰℒ-beli) kifejezést kapunk, ahol a számláló s_{n}-nek polinomja, a nevező pedig független s_{n}-től. A számlálót tekintve csak, s_{0}, ...s_{n−1} értékének fixálásával, λ = 0 -t beírva s_{n}-ben egy polinomot kapunk. Ez pedig azt jelenti, hogy legfeljebb véges sok s_{n} esetén lehet a számláló nulla. Így annak az s_{1}, ...s_{n−1} szerinti feltételes valószínűsége, hogy λ = 0 gyökhely lesz nulla, hisz ennyi annak a feltételes valószínűsége, hogy s_{n} éppen az előbb említett polinom véges sok gyökhelyének egyikét vegye fel. A teljes valószínűség tételéből így azt kapjuk, hogy λ̂ 1 valószínűséggel nem nulla.

3.3.2. Becslés monoton növekedő lineáris λ(t) függvény esetén

Ebben a részben csak a μ(t) ≡ 0 esetet vizsgáljuk meg. σ továbbra is konstans lesz, viszont λ(t)-ről feltesszük, hogy monoton növekedő lineáris függvény, azaz

λ(t) = λ_{0} + λ_{1}t , ahol λ_{1} > 0.

Ekkor:

Eξ_{t} = e^{λ_{0}t+ \frac{λ_{1}}{2} t^{2}}ξ_{0}

Cov(ξ_{t}, ξ_{s}) = e^{λ_{0}(s+t)+λ_{1} \frac{s^{2}+t^{2}}{2}} ∫_{0}^{min\{t,s\}} e^{−2λ_{0}τ− \frac{2λ_{1}}{2} τ^{2}}σ^{2}dτ

= σ^{2}\sqrt{\frac{π}{λ_{1}}} e^{λ_{0}(s+t)+λ_{1} \frac{s^{2}+t^{2}}{2}} exp \{\frac{λ_{0}^{2}}{λ_{1}} \} ∫_{0}^{min\{t,s\}}(\frac{2π}{2λ_{1}} )^{− \frac{1}{2}} exp \{\frac{−2λ_{1} (τ + \frac{λ_{0}}{λ_{1}} )^{2}}{2} \} dτ

= σ^{2}\sqrt{\frac{π}{λ_{1}}} exp \{λ_{0}(s + t) + λ_{1} \frac{s^{2} + t^{2}}{2} + \frac{λ_{0}^{2}}{λ_{1}} \} ×

[Φ (\sqrt{2λ_{1}} min\{t, s\} + \frac{\sqrt{2}λ_{0}}{\sqrt{λ_{1}}} ) − Φ (\frac{\sqrt{2}λ_{0}}{\sqrt{λ_{1}}} )] .

Vezessük be a következő jelöléseket:

a_{1} = e^{λ_{0}} a_{2} = e^{λ_{1}/2} b_{i} = Φ (\sqrt{2λ_{1}}t_{i} + \frac{\sqrt{2}λ_{0}}{\sqrt{λ_{1}}} ) − Φ (\frac{\sqrt{2}λ_{0}}{\sqrt{λ_{1}}} ) .

Ekkor a kovarianciamátrix:

Σ = σ^{2}\sqrt{\frac{π}{λ_{1}}} exp \{\frac{λ_{0}^{2}}{λ_{1}} \} (\begin{matrix}a_{1}^{t_{1}+t_{1}}a_{2}^{t_{1}^{2}+t_{1}^{2}}b_{1} & a_{1}^{t_{1}+t_{2}}a_{2}^{t_{1}^{2}+t_{2}^{2}}b_{1} & … & a_{1}^{t_{1}+t_{n}}a_{2}^{t_{1}^{2}+t_{n}^{2}}b_{1} \\ a_{1}^{t_{2}+t_{1}}a_{2}^{t_{2}^{2}+t_{1}^{2}}b_{1} & a_{1}^{t_{2}+t_{2}}a_{2}^{t_{2}^{2}+t_{2}^{2}}b_{2} & … & a_{1}^{t_{2}+t_{n}}a_{2}^{t_{2}^{2}+t_{n}^{2}}b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{1}^{t_{n}+t_{1}}a_{2}^{t_{n}^{2}+t_{1}^{2}}b_{1} & a_{1}^{t_{n}+t_{2}}a_{2}^{t_{n}^{2}+t_{2}^{2}}b_{2} & … & a_{1}^{t_{n}+t_{n}}a_{2}^{t_{n}^{2}+t_{n}^{2}}b_{n} \end{matrix}) .

Ennek a determinánsa egy korábbi lemma után tett megjegyzés alapján:

det Σ = σ^{2n} (\frac{π}{λ_{1}} )^{\frac{n}{2}} exp \{\frac{nλ_{0}^{2}}{λ_{1}} \} a_{1}^{2 ∑_{i=1}^{n} t_{i}}a_{2}^{2 ∑_{i=1}^{n} t_{i}^{2}}b_{1}(b_{2} − b_{1})...(b_{n} − b_{n−1})

= σ^{2n}k_{1} ,

ahol közben definiáltuk k_{1} λ_{0}-tól és λ_{1}-től függő konstanst. Ugyanezen megjegyzés miatt:

Σ^{−1} = \frac{1}{σ^{2}} \sqrt{\frac{λ_{1}}{π}} exp \{−\frac{λ_{0}^{2}}{λ_{1}} \} ×

(\begin{matrix}a_{1}^{−(t_{1}+t_{1})}a_{2}^{−(t_{1}^{2}+t_{1}^{2})} \frac{b_{2}}{b_{1}(b_{2}−b_{1})} & a_{1}^{−(t_{1}+t_{2})}a_{2}^{−(t_{1}^{2}+t_{2}^{2})} \frac{1}{b_{1}−b_{2}} & … \\ a_{1}^{−(t_{2}+t_{1})}a_{2}^{−(t_{2}^{2}+t_{1}^{2})} \frac{1}{b_{1}−b_{2}} & a_{1}^{−(t_{2}+t_{2})}a_{2}^{−(t_{2}^{2}+t_{2}^{2})} \frac{b_{3}−b_{1}}{(b_{2}−b_{1})(b_{3}−b_{2})} & … \\ ⋮ & ⋮ & ... \end{matrix} ) .

Innen a már sokszor látott levezetés analógiájára legyen

k_{2} = \sqrt{\frac{λ_{1}}{π}} exp \{−\frac{λ_{0}^{2}}{λ_{1}} \} [\frac{1}{b_{1}} (\frac{s_{1}}{a_{1}^{t_{1}}a_{2}^{t_{1}^{2}}} − s_{0})^{2} + \frac{1}{b_{2} − b_{1}} (\frac{s_{2}}{a_{1}^{t_{2}}a_{2}^{t_{2}^{2}}} − \frac{s_{1}}{a_{1}^{t_{1}}a_{2}^{t_{1}^{2}}} )^{2} + ...

... + \frac{1}{b_{n} − b_{n−1}} (\frac{s_{n}}{a_{1}^{t_{n}}a_{2}^{t_{n}^{2}}} − \frac{s_{n−1}}{a_{1}^{t_{n−1}}a_{2}^{t_{n−1}^{2}}} )^{2}] .

Ekkor a likelihood-függvény a

(2π)^{− \frac{n}{2}} (σ^{2n}k_{1})^{− \frac{1}{2}} exp \{\frac{−k_{2}}{2σ^{2}} \}

alakot ölti, így σ^{2} becslése λ_{1} és λ_{0} függvényében ugyanúgy k_{2}/n lesz, mint eddig mindig. A továbbiakban az eddigiekhez hasonlóan k_{1}k_{2}^{n}-t kell minimalizálni. Mivel t_{0} = 0, ezért b_{0} = 0 lesz, így bevezetve a

d_{i} = \frac{1}{b_{i} − b_{i−1}} = \frac{1}{Φ (\sqrt{2λ_{1}}t_{i} + \frac{\sqrt{2}λ_{0}}{\sqrt{λ_{1}}} ) − Φ (\sqrt{2λ_{1}}t_{i−1} + \frac{\sqrt{2}λ_{0}}{\sqrt{λ_{1}}} )}

y_{i} = \frac{s_{i}}{a_{1}^{t_{i}}a_{2}^{t_{i}^{2}}} − \frac{s_{i−1}}{a_{1}^{t_{i−1}}a_{2}^{t_{i−1}^{2}}}

jelöléseket:

k_{1}k_{2}^{n} = a_{1}^{2 ∑_{i=1}^{n} t_{i}}a_{2}^{2 ∑_{i=1}^{n} t_{i}^{2}} \frac{[ ∑_{i=1}^{n} d_{i}y_{i}^{2}]^{n}}{d_{1}d_{2}...d_{n}} .

Ez a λ_{0}, λ_{1} változóknak eléggé bonyolult függvénye, így d_{i} nevezőjét közelítsük úgy, hogy vesszük a Φ függvény két vizsgált pontjában a Φ deriváltjainak mértani közepét és ezt szorozzuk be a két pont által meghatározott intervallum hosszával:

d_{i} ≈ \frac{1}{\sqrt{2λ_{1}}(t_{i} − t_{i−1})\frac{1}{\sqrt{2π}} exp \{−\frac{λ_{1}}{2} (t_{i}^{2} + t_{i−1}^{2}) − λ_{0}(t_{i} + t_{i−1}) − \frac{λ_{0}^{2}}{λ_{1}} \}} .

Ekkor:

k_{1}k_{2}^{n} = a_{2}^{t_{n}^{2}}a_{1}^{t_{n}} ∏_{i=1}^{n}(t_{i} − t_{i−1})×

[∑_{i=1}^{n} \frac{exp \{\frac{λ_{1}}{2} (t_{i}^{2} + t_{i−1}^{2}) + λ_{0}(t_{i} + t_{i−1})\}}{(t_{i} − t_{i−1})} (\frac{s_{i}}{e^{λ_{0}t_{i}}e^{\frac{λ_{1}}{2} t_{i}^{2}}} − \frac{s_{i−1}}{e^{λ_{0}t_{i−1}}e^{\frac{λ_{1}}{2} t_{i−1}^{2}}} )^{2}]^{n}

= ∏_{i=1}^{n}(t_{i} − t_{i−1})×

[e^{λ_{0} \frac{tn}{n}} e^{\frac{λ_{1}}{2} \frac{t^{2}_{n}}{n}} ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{t_{i} − t_{i−1}} (\frac{s_{i}}{e^{\frac{λ_{1}}{4} (t_{i}^{2}−t_{i−1}^{2})}e^{\frac{λ_{0}}{2} (t_{i}−t_{i−1})}} − \frac{s_{i−1}}{e^{\frac{λ_{1}}{4} (t_{i−1}^{2}−t_{i}^{2})}e^{\frac{λ_{0}}{2} (t_{i−1}−t_{i})}} )^{2}]^{n} .

Tegyük fel, hogy egyenletes időközönként állnak rendelkezésre az adatok, azaz t_{i} = it. Ekkor

k_{1}k_{2}^{n} = [e^{λ_{0}t}e^{\frac{λ_{1}}{2} t^{2}n} ∑_{i=1}^{n} (s_{i}e^{\frac{λ_{1}t^{2}}{4} (1−2i)− \frac{λ_{0}}{2} t} − s_{i−1}e^{\frac{λ_{1}t^{2}}{4} (2i−1)+ \frac{λ_{0}}{2} t})^{2}]^{n} .

Az n. gyökvonásnak (nemnegatív kifejezésről lévén szó) nincs szerepe a minimalizálásban, így azt el is hagyhatjuk. Vezessük be továbbá az

x_{1} = e^{\frac{λ_{0}}{2} t} és az x_{2} = e^{\frac{λ_{1}}{4} t^{2}}

jelöléseket. Ekkor minimalizálandó az

x_{1}^{2}x_{2}^{2n} ∑_{i=1}^{n} (\frac{s_{i}}{x_{1}x_{2}^{2i−1}} − s_{i−1}x_{1}x_{2}^{2i−1})^{2}

kifejezés. Átalakítva:

x_{1}^{2}x_{2}^{2n} (∑_{i=1}^{n} \frac{s_{i}^{2}}{x_{1}^{2}x_{2}^{4i−2}} − 2 ∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1} + ∑_{i=1}^{n} s_{i−1}^{2}x_{1}^{2}x_{2}^{4i−2})

= ∑_{i=1}^{n} s_{i}^{2}x_{2}^{2n−4i+2} − 2x_{1}^{2}x_{2}^{2n} ∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1} + ∑_{i=1}^{n} s_{i−1}^{2}x_{1}^{4}x_{2}^{2n+4i−2}.

Ezt x_{1} szerint deriválva:

−4x_{1}x_{2}^{2n} ∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1} + 4 ∑_{i=1}^{n} s_{i−1}^{2}x_{1}^{3}x_{2}^{2n+4i−2} = 0.

Amiből:

x̂_{1}^{2} = \frac{x_{2}^{2} ∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1}}{∑_{i=1}^{n} s_{i−1}^{2}x_{2}^{4i}} illetve x̂_{1}^{2} = 0.

A második deriváltba pedig ezt beírva:

−4x_{2}^{2n} ∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1} + 12 ∑_{i=1}^{n} s_{i−1}^{2}x_{1}^{2}x_{2}^{2n+4i−2} = −4x_{2}^{2n} ∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1} + 12x_{2}^{2n} ∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1}

= 8x_{2}^{2n} ∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1} ,

illetve

−4x_{2}^{2n} ∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1} + 12 ∑_{i=1}^{n} s_{i−1}^{2}x_{1}^{2}x_{2}^{2n+4i−2} = −4x_{2}^{2n} ∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1}.

A már sokszor alkalmazott s_{1}, ...s_{n−1}-re való feltételes valószínűség elvével könnyen látható, hogy ∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1} 1 valószínűséggel nem nulla. Ekkor pedig x_{1}^{2}-ben a minimumhely

x̂_{1}^{2} = \{ \begin{matrix}\frac{x_{2}^{2} ∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1}}{∑_{i=1}^{n} s_{i−1}^{2}x_{2}^{4i}} & ha ∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1} > 0 \\ 0 & ha ∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1} < 0. \end{matrix}

Ez pedig azt jelenti, hogy mivel x_{1}^{2} = e^{λ_{0}t}, ezért a második esetben λ_{0} becslése nem létezik. Tehát ha ∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1} < 0, akkor az adatok nem támasztják alá ennek a modellnek az alkalmazását. A ∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1} > 0 esettel foglalkozunk ezek után. Visszaírva a minimalizálandó képletbe x_{1}^{2} becslését:

∑_{i=1}^{n} s_{i}^{2}x_{2}^{2n−4i+2} − 2x_{2}^{2n+2} \frac{(∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1})^{2}}{∑_{i=1}^{n} s_{i−1}^{2}x_{2}^{4i}} + x_{2}^{2n+2} \frac{(∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1})^{2}}{∑_{i=1}^{n} s_{i−1}^{2}x_{2}^{4i}}

= x_{2}^{2n+2} (∑_{i=1}^{n} \frac{s_{i}^{2}}{x_{2}^{4i}} − \frac{(∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1})^{2}}{∑_{i=1}^{n} s_{i−1}^{2}x_{2}^{4i}} ) .

Bevezetve az

f_{i} = s_{i}^{2} g = (∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1})^{2} x_{3} = x_{2}^{2}

jelöléseket:

x_{3}^{n+1} (∑_{i=1}^{n} \frac{f_{i}}{x_{3}^{2i}} − \frac{g}{∑_{i=1}^{n} f_{i−1}x_{3}^{2i}} )

adódik. Deriválva ezt x_{3} szerint:

(n + 1)x_{3}^{n} (∑_{i=1}^{n} \frac{f_{i}}{x_{3}^{2i}} − \frac{g}{∑_{i=1}^{n} f_{i−1}x_{3}^{2i}} ) − 2x_{3}^{n+1} (∑_{i=1}^{n} \frac{if_{i}}{x_{3}^{2i+1}} − \frac{g ∑_{i=1}^{n} if_{i−1}x_{3}^{2i−1}}{(∑_{i=1}^{n} f_{i−1}x_{3}^{2i})^{2}} ) = 0

Mivel x_{3} = e^{\frac{λ_{1}}{2} t^{2}}, ezért értelmes becslést csak úgy kaphatunk, ha x_{3} > 1, így szorozzunk be x_{3}^{n}(∑_{i=1}^{n} f_{i−1}x_{3}^{2i})^{2}-nel, valamint vezessük be az x_{4} = x_{3}^{2} jelölést:

(n + 1) (∑_{i=1}^{n} f_{i}x_{4}^{n−i}) (∑_{i=1}^{n} f_{i−1}x_{4}^{i})^{2} − (n + 1)x_{4}^{n}g (∑_{i=1}^{n} f_{i−1}x_{4}^{i})

−2 ∑_{i=1}^{n} if_{i}x_{4}^{n−i} (∑_{i=1}^{n} f_{i−1}x_{4}^{i})^{2} + 2x_{4}^{n}g (∑_{i=1}^{n} if_{i−1}x_{4}^{i}) .

Ez x_{4}-ben egy (3n − 1)-edfokú polinom, ami numerikus, vagy algebrai módszerekkel megoldható. A gyökhelyei közül ki kell választani azt, amelyik az eredeti kifejezés minimumát adja (persze csak az 1-nél nagyobb x_{4}-ek jöhetnek számításba). Ez lesz x_{4} becslése. Ez alapján:

λ̂_{1} = \frac{ln x̂_{4}}{t^{2}} .

Továbbá

x̂_{1}^{2} = \frac{\sqrt{x̂_{4}} ∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1}}{∑_{i=1}^{n} s_{i−1}^{2}x̂_{4}^{i}}

miatt:

λ̂_{0} = \frac{1}{t} [\frac{1}{2} ln x̂_{4} + ln (∑_{i=1}^{n} s_{i}s_{i−1}) − ln (∑_{i=1}^{n} s_{i−1}^{2}x̂_{4}^{i})] .

Kell még k_{2} a σ^{2} becsléséhez:

k_{2} = \sqrt{\frac{λ̂_{1}}{π}} exp \{−\frac{λ̂_{0}^{2}}{λ̂_{1}} \} ×

∑_{i=1}^{n} (s_{i} exp \{\frac{λ̂_{1}t^{2}}{4} (1 − 2i) − \frac{λ̂_{0}}{2} t\} − s_{i−1} exp \{\frac{λ̂_{1}t^{2}}{4} (2i − 1) + \frac{λ̂_{0}}{2} t\})^{2} ; \sqrt{2λ̂_{1}} \frac{t}{\sqrt{2π}} exp \{−\frac{λ̂_{0}^{2}}{λ̂_{1}} \}

= \frac{1}{t} ∑_{i=1}^{n} (s_{i}x̂4^{\frac{1−2i}{4}} x̂_{1}^{−1} − s_{i−1}x̂4^{\frac{2i−1}{4}} x̂_{1})^{2} .

Így a σ^{2} becslése:

σ̂^{2} = \frac{1}{nt} ∑_{i=1}^{n} (s_{i}x̂4^{\frac{1−2i}{4}} x̂_{1}^{−1} − s_{i−1}x̂4^{\frac{2i−1}{4}} x̂_{1})^{2} .

3.3.3. Becslés lineáris σ(t) függvény esetén

Ebben a részben feltételezzük, hogy σ(t) a t-nek lineáris függvénye, azaz:

σ(t) = σ_{0} + σ_{1}t.

Kényelmesebben tudjuk azonban becsülni az együtthatókat, ha ehelyett az előállítás helyett inkább a

σ(t) = σσ_{1} + σ_{1}t

alakot választjuk. Az egyszerűség kedvéért legyen λ(t) ≡ 0, μ(t) pedig tetszőleges polinom:

μ(t) = μ_{0} + μ_{1}t + ... + μ_{q}t^{q} ,

ahol megint tegyük fel, hogy q ≪ n. Ekkor

E(ξ_{t}) = ξ_{0} + ∫_{0}^{t} μ_{0} + μ_{1}τ + ... + μ_{q}τ^{q}dτ = ξ_{0} + μ_{0}t + μ_{1} \frac{t^{2}}{2} + ... + μ_{q} \frac{t^{q+1}}{q + 1} ,

továbbá Cov(ξ_{t}, ξ_{s}) = ∫_{0}^{min{t,s}} σ^{2}σ_{1}^{2} + 2σσ_{1}^{2}τ + σ_{1}^{2}τ^{2}dτ

= σ_{1}^{2} [σ^{2} min\{t, s\} + σ(min\{t, s\})^{2} + \frac{1}{3}(min\{t, s\})^{3}] .

Vezessük be a következő jelölést:

b_{i} = σ^{2}t_{i} + σt_{i}^{2} + \frac{t_{i}^{3}}{3} .

Ezzel a kovarianciamátrix:

Σ = σ_{1}^{2} (\begin{matrix}b_{1} & b_{1} & b_{1} & … & b_{1} \\ b_{1} & b_{2} & b_{2} & … & b_{2} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} & … & b_{3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} & … & b_{n} \end{matrix}) .

A determinánsa^{7}:

det Σ = σ_{1}^{2n}b_{1}(b_{2} − b_{1})...(b_{n} − b_{n−1}) = σ_{1}^{2n}k_{1}.

Az inverze pedig a szokásos alakban írható fel, így

k_{2} = \frac{1}{b_{1}} (s_{1} − s_{0} − ∑_{k=0}^{q} μ_{k} \frac{t_{1}^{k+1}}{k + 1})^{2} + \frac{1}{b_{2} − b_{1}} (s_{2} − s_{1} − ∑_{k=0}^{q} μ_{k} \frac{t_{2}^{k+1} − t_{1}^{k+1}}{k + 1} )^{2} + ...

... + \frac{1}{b_{n} − b_{n−1}} (s_{n} − s_{n−1} − ∑_{k=0}^{q} μ_{k} \frac{t_{n}^{k+1} − t_{n−1}^{k+1}}{k + 1} )^{2}

jelöléssel a loglikelihood-függvény:

−\frac{n}{2} ln(2π) − \frac{1}{2} ln(σ_{1}^{2n}k_{1}) − \frac{k_{2}}{2σ_{1}^{2}} .

Amiből σ_{1}^{2} becslése a szokásos módon adódik:

σ̂_{1}^{2} = \frac{k_{2}}{n} .

7Közben bevezetjük értelemszerűen a k_{1} jelölést.

Ezt visszaírva a loglikelihood-függvénybe, látható, hogy megint k_{1}k_{2}^{n}-t kell minimalizálni. Először μ_{0},... μ_{q} változókban optimalizáljunk. Ekkor lényegében k_{2}-t kell minimalizálni, hisz k_{1}-ben ezek a változók nem szerepelnek. Itt közben kihasználtunk, hogy k_{1} > 0 és k_{2} > 0 1 valószínűséggel. Ehhez elég azt látni, hogy b_{i} > b_{i−1} 1 ≤ i ≤ n esetén. Ez pedig triviális, hisz az x → σ^{2}x + σx^{2} + x^{3}/3 függvény szigorúan monoton növekedő, mivel a deriváltja

(σ^{2}x + σx^{2} + \frac{x^{3}}{3} )′ = σ^{2} + 2σx + x^{2} = (σ + x)^{2} > 0.

Bevezetve a

d_{i} = \frac{1}{b_{i} − b_{i−1}}  e_{i}^{k} = \frac{t_{i}^{k+1} − t_{i−1}^{k+1}}{k + 1}  y_{i} = s_{i} − s_{i−1}

jelöléseket:

∑_{i=1}^{n} d_{i} (y_{i} − ∑_{k=0}^{q} μ_{k}e_{i}^{k})^{2}

kifejezést kell minimalizálni. Deriválva μ_{l} szerint:

2 ∑_{i=1}^{n} d_{i}e_{i}^{l} (y_{i} − ∑_{k=0}^{q} μ_{k}e_{i}^{k}) = 0 l = 0...q

lineáris egyenletrendszert kell megoldani. Ennek egyértelmű lesz a megoldása, hiszen a 3.3.1. rész gondolatmenetét lemásolva látni kell, hogy

(\begin{matrix}e_{1}^{0} & e_{1}^{1} & … & e_{1}^{q} \\ e_{2}^{0} & e_{2}^{1} & … & e_{2}^{q} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ e_{q+1}^{0} & e_{q+1}^{1} & … & e_{q+1}^{q} \end{matrix})

mátrix nemszinguláris. Beszorozva a második oszlopot 2-vel, a harmadikat 3-mal, stb... , majd az első sort hozzáadva a másodikhoz, a másodikat a harmadikhoz, stb... , kapjuk:

(\begin{matrix}t_{1} & t_{1}^{2} & … & t_{1}^{q+1} \\ t_{2} & t_{2}^{2} & … & t_{2}^{q+1} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ t_{q+1} & t_{q+1}^{2} & … & t_{q+1}^{q+1} \end{matrix})

mátrixot, ez pedig Vandermonde-típusú, így nemszinguláris, tehát az eredeti sem volt szinguláris. A második parciális deriváltakból elkészített mátrix pozitív definitsége is triviális innen.

μ̂_{0}, ...μ̂_{q} becslések a Cramer-szabállyal számíthatók, innen látszik az is, hogy ezek a becslések a d_{i}-k parciális törtfüggvényeként állnak elő, így mivel minden d_{i} a σ-nak racionális törtfüggvénye, ezért ezek a becslések is σ racionális törtfüggvényei lesznek. Az optimális σ megtalálásához k_{1}k_{2}^{n}-t kell minimalizálni. k_{2}-be beírva a μ̂_{0}, ...μ̂_{q} becsléseket, k_{1}k_{2}^{n} σ-nak racionális törtfüggvénye lesz. σ szerint deriválva ezt, továbbra is racionális törtfüggvény marad ez, így számlálójának gyökhelyei jöhetnek csak szóba, mint optimális σ̂. Ezeket numerikus módszerekkel könnyen meghatározhatjuk, és ha a σ̂ becslés megvan, akkor visszahelyettesítve μ̂_{0}, ...μ̂_{q} képleteibe ezt, a μ(t) függvény együtthatóinak becslése is meglesz. Innen σ̂_{1}^{2} becslése:

σ̂_{1}^{2} = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} d̂_{i} (y_{i} − ∑_{k=0}^{q} μ̂_{k}e_{i}^{k})^{2} ,

ahol

d̂_{i} = \frac{1}{σ̂^{2}(t_{i} − t_{i−1}) + σ̂(t_{i}^{2} − t_{i−1}^{2}) + \frac{1}{3}(t_{i}^{3} − t_{i−1}^{3})} .

3.4. Még néhány összefoglaló megjegyzés a becslésekhez...

Az eddigiekben a felhasználható modelleknek csupán egy töredékével foglalkoztunk, néha szükség lehet azonban ezeknél sokkal bonyolultabb (esetleg nem polinom paraméterfüggvénnyel leírt) modellek alkalmazására. Ezek természetesen megfelelő paraméterezés bevezetésével ugyanúgy becsülhetők, csak legfeljebb a számolások lesznek bonyolultabbak, a maximalizálás során komplikáltabb numerikus eljárások használata válik szükségessé. Polinom paraméterfüggvények alkalmazása esetén is láthattuk néhány alapprobléma felvillantásán keresztül, hogy a legegyszerűbbnek tűnő esetek megoldása is mennyire bonyolult lehet. Sokszor a számolások megkönnyítése végett közelítéseket kell alkalmazni, míg máskor csak numerikusan oldható meg a szélsőértékkeresés. Ennek ellenére egy-egy opció árának meghatározása előtt érdemes több modellt kipróbálni. Néha a rendelkezésre álló adatok alapján egyszerűen meg sem lehet becsülni az együtthatókat (erre az előbbiekben láttunk számos példát), hiszen az adatok annyira ellentmondanak az illeszteni próbált modell által leírt folyamat tipikus viselkedésének. Ebben az esetben persze az adott modellel nem érdemes foglalkozni, más, becsülhető modellt kell keresni. Ha esetleg több modell is jól illeszthető az adatokra, akkor célszerű azt választani, amelyikhez hasonló modellt már sikeresen alkalmaztak más, valamilyen értelemben a vizsgált részvénnyel rokon értékpapír árfolyamának modellezésénél.

Irodalomjegyzék

[1] Ludwig Arnold: Sztochasztikus differenciálegyenletek. Elmélet és alkalmazás. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1984.

[2] F. Black, M. Scholes. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81: 637-659, 1973.

[3] J. Durbin. The first-passage density of the Brownian motion process to a curved boundary. Journal of Applied Probability, 29: 291-304, 1992.

[4] R. J. Elliot, P. E. Kopp: Pénzpiacok matematikája, Typotex Kiadó, Budapest, 2000.

[5] J. Jacod, A. N. Shiryayev. Limit theorems for stochastic processes. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 288., Springer-Verlag, New York, 1987.

[6] S. Karlin, H. M. Taylor: Sztochasztikus folyamatok, Gondolat Könyvkiadó, Budapest, 1985.

[7] S. Karlin, H. M. Taylor: A Second Course in Stochastic Processes, Academic Press, New York, 1981.

[8] R. S. Liptser, A. N. Shiryayev: Statistics of Random Processes. I. General Theory, Springer-Verlag, New York, 1977.

[9] R. S. Liptser: Theory of Martingales, Kluwer, Dordrecht, 1989.

[10] A. A. Novikov. On estimates and the asymptotic behaviour of nonexit probabilitities of a Wiener process to a moving boundary. Math. Sb., 110: 539-550, 1979.

[11] M. B. Priestley: Spectral Analysis and Time Series, Academic Press, London, 1981.

[12] A. N. Shiryayev, Y. M. Kabanov, O. D. Kramkov, A. V. Melnikov: Toward the theory of pricing of options of both European and American types. I. Discrete time. Theory of Probability and its applications, 39: 14-60, 1994.

[13] A. N. Shiryayev, Y. M. Kabanov, O. D. Kramkov, A. V. Melnikov: Toward the theory of pricing of options of both European and American types. II. Continuous time. Theory of Probability and its applications, 39: 61-102, 1994.

[14] A. N. Shiryayev, R. P. Boas: Probability, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1984.