Periodikus függvények összege

szakdolgozat

Harangi Viktor matematikus hallgató

Témavezető: Keleti Tamás, docens

Analízis Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Budapest, 2007.

Köszönetnyilvánítás

Köszönöm témavezetőmnek, Keleti Tamásnak az érdekes témát valamint azt a rengeteg időt és figyelmet, amit rám szánt. Számtalan hasznos tartalmi és formai megjegyzésével is nagy mértékben segítette e szakdolgozat megírását.

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 1

2. Valós és egész felbonthatóság 5 2.1. Fogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2. Az átlagoló operátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3. Valós felbonthatóság karakterizációja . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4. Egész felbonthatóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Leképezések Abel-csoportok között 14 3.1. Pozitív eredmények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2. Negatív eredmények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3. Valós és egész felbonthatóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. Homogén megoldások 21 4.1. Triviális megoldások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2. Nem-triviális megoldások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.1. Három periódus esete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.2. Több periódus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5. Korlátosan felbontható függvények 34 5.1. Kapcsolat a homogén megoldásokkal . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.2. Negatív eredmények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.3. Karakterizáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6. Mérhető függvények felbontásai 43

1. fejezet

Bevezetés

Legyen f : ℝ → ℝ függvény. Ha a_{1}, a_{2}, …, a_{k} valós számok esetén f felírható f_{1} + f_{2} + … + f_{k} alakban, ahol f_{i} : ℝ → ℝ a_{i}-periodikus függvény, akkor azt mondjuk, hogy f valós felbontható az a_{1}, a_{2}, …, a_{k} periódusokkal.

Tetszőleges a valós szám esetén bevezethető a Δ_{a} differencia operátor, melyre (Δ_{a}f)(x) = f(x + a) − f(x). Egy f függvény a-periodikussága úgy is megfogalmazható, hogy Δ_{a}f = 0. Továbbá könnyen ellenőrizhetően a Δ operátorok egymással felcserélhető lineáris operátorok, így valós felbontható f esetén

Δ_{a_{1}}Δ_{a_{2}} … Δ_{a_{k}}f = 0.  (∗)

Ez tehát szükséges feltétele a valós felbonthatóságnak. Az elégségesség már a legegyszerűbb esetben sem igaz: f(x) = x és a_{1} = a_{2} = a ≠ 0 esetén Δ_{a}f = a és Δ_{a}Δ_{a}f = 0. Azonban f nem bontható fel két a-periodikus függvény összegére, hiszen ekkor maga is a-periodikus lenne.

Ennek orvoslására két természetes út kínálkozik. Az egyik, hogy valamilyen F ⊂ ℝ^{ℝ} függvényosztályra szorítkozunk: f ∈ F és a felbontás tagjairól, az f_{i} függvényekről is megköveteljük, hogy F-beliek legyenek. Azt mondjuk, hogy F rendelkezik a felbontási tulajdonsággal (decomposition property), ha valahányszor egy f ∈ F függvényre fennáll (∗), akkor léteznek f_{i} ∈ F a_{i}-periodikus függvények, melyek összege f.

A fentiekben láttuk, hogy ha egy függvényosztály tartalmazza az identitás függvényt, akkor biztosan nem rendelkezik a felbontási tulajdonsággal. Ez rögtön kizárja az összes ℝ → ℝ függvények ℝ^{ℝ} osztályát vagy a folytonos függvények C(ℝ) osztályát. Laczkovich Miklós és Révész Szilárd [11]-ben illetve [12]-ben számos függvényosztályról megmutatták, hogy rendelkeznek a felbontási tulajdonsággal. Ilyen például a korlátos függvények B(ℝ), a korlátos folytonos függvények BC(ℝ), az egyenletesen folytonos korlátos függvények UCB(ℝ) osztálya illetve a korlátos mérhető függvények osztálya. A felbontási tulajdonsággal illetve periodikus függvényekre való felbontással kapcsolatos további eredmények [2], [4], [5], [6], [8], [9], [13], [14], [15]-ben találhatók.

Egy másik lehetőség az, hogy megpróbáljuk (∗)-ot kiegészíteni hasonló típusú egyenletekkel úgy, hogy az már szükséges és elégséges feltételt adjon az ℝ^{ℝ} függvényeken. Vegyünk egy {a_{1}, a_{2}, …, a_{k}} = B_{1} ∪ B_{2} ∪ … ∪ B_{N} partíciót, melyre minden B_{j}-ben a periódusok összemérhetők, azaz hányadosuk racionális. Ilyenkor beszélhetünk a B_{j}-ben szereplő periódusok legkisebb közös többszöröséről, jelölje ezt b_{j}. Az f = f_{1} + f_{2} + … + f_{k} felbontás esetén azon f_{i}-k összege, melyekhez tartozó a_{i} periódusok B_{j}-beliek egy b_{j}-periodikus g_{j} függvényt adnak. Ezen g_{j}-k összege pedig f, így Δ_{b_{1}}Δ_{b_{2}} … Δ_{b_{N}} f = 0. Tehát ezek az egyenletek is mind szükséges feltételek. A 2.3. szakaszban látni fogjuk, hogy ha ezt minden ilyen partícióra megköveteljük, abból már következik a valós felbonthatóság.

Ezt a karakterizációt, pontosabban az elégségesség bizonyításánál látott módszert fogjuk használni a következő probléma megoldására. Könnyen bizonyítható, hogy ha egy racionális értékű f függvényről tudjuk, hogy az bizonyos periódusokkal valós felbontható, akkor meg lehet adni olyan felbontást is, amelyben szereplő f_{i} függvények racionális értékűek. Ugyanezt kérdezhetjük egész értékű függvényekre is. Károlyi, Keleti, Kós és Ruzsa pozitív választ adtak [7]-ben, amennyiben a periódusok páronként összemérhetők. A 2.4. szakaszban tetszőleges periódusok esetén bizonyítjuk az állítást.

A Farkassal, Keletivel és Révésszel közös cikkünkben ([1]) a valós felbontható függvények karakterizációját jóval általánosabb környezetben vizsgáljuk, a 2. fejezet lényegében ennek a cikknek az eredményeit mutatja be a fent vázolt speciális esetben. A 3. fejezetben Abel-csoportok között menő A → B leképezések körében foglalkozunk azzal a kérdéssel, hogy mikor adható a fentihez hasonló szükséges és elégséges feltétel függvények periodikus felbontására előre adott periódusokkal. Ennek folyományaként belátjuk, hogy egy A Abel-csoportra pontosan akkor teljesül, hogy minden A → ℤ függvényre a valós felbonthatóságból következik az egész felbonthatóság, ha A torziómentes vagy A = ⨁_{p} ℤ_{p^{np}} alakú. (Itt p a prímeken fut végig, ⨁ diszkrét direkt összeg és n_{p} ∈ {0, ∞} ∪ ℕ.)

Mint már említettük, egy f : ℝ → ℤ valós felbontható függvénynek mindig létezik egész értékű felbontása is a megadott periódusokkal. Ha f korlátos, akkor létezik korlátos függvényekből álló valós felbontása is (ez következik abból, hogy B(ℝ) rendelkezik a felbontási tulajdonsággal). Azonban nem feltétlenül létezik korlátos függvényekből álló egész felbontása. Megadható olyan 0, 1 értékű f függvény, amely megfelelően választott három periódus esetén (például a_{1} = 1, a_{2} irracionális, a_{3} = a_{1} + a_{2}) felbontható korlátos a_{i}-periodikus valós értékű függvények összegére, de nem írható fel korlátos a_{i}-periodikus egész értékű függvények összegeként [7]. A 4. és 5. fejezetekben azt a problémát vizsgáljuk, hogy milyen periódusok esetén van ilyen ellenpélda. Másképp fogalmazva: milyen a_{1}, a_{2}, …, a_{k} periódusokra igaz, hogy ha egy egész értékű függvénynek van korlátos valós felbontása, akkor van korlátos egész felbontása is. Az derült ki, hogy ez a probléma nagy mértékben kapcsolódik az ún. homogén megoldásokhoz, melyekkel a 4. fejezetben foglalkozunk.

Homogén egyenlet alatt a következőt értjük:

h_{1} + h_{2} + … + h_{k} = 0 (h_{i} : ℝ → ℝ ; Δ_{a_{i}}h_{i} = 0).

Ennek az egyenletnek a megoldásai azt mutatják, hogy egy f függvény különböző periodikus felbontásai miben térhetnek el egymástól, mennyire egyértelmű a felbontás. Ezen homogén egyenleteknek definiáljuk majd bizonyos triviális megoldásait. A 5. fejezetben megmutatjuk, hogy ugyanazon a_{1}, a_{2}, …, a_{k} periódusokra teljesül az, hogy a homogén egyenlet minden megoldása triviális, illetve az, hogy a korlátos valós felbonthatóságból következik a korlátos egész felbonthatóság. Ezek a periódusok azok, melyek közül bármely három, melyek páronként nem összemérhetők, lineárisan függetlenek ℚ felett.

Keleti Tamás [10]-ben mérhető függvények felbontásait vizsgálta. Többek között karakterizálta azon a_{1}, …, a_{k} periódusokat, melyekre egy majdnem mindenütt egész értékű mérhető f függvényre a mérhető valós felbontás létezéséből következik majdnem mindenütt egész értékű mérhető felbontás létezése. A karakterizáció a következő feltételt adja a periódusokra. A periódusokon az összemérhetőség egy ekvivalencia-reláció. Minden osztályból vegyünk egy periódust, ezek reciprokainak kell lineárisan függetlennek lenni ℚ felett.

Mit mondhatunk, ha mindenütt egész értékű f esetén mérhető valós felbontás létezéséből mindenütt egész értékű mérhető felbontás létezésére akarunk következtetni? Ekkor is ugyanaz a feltétel a periódusokra? [10] szerint erre pontosan akkor igenlő a válasz, ha az ℝ → ℤ függvények körében tetszőleges periódusokra a valós felbonthatóságból következik az egész felbonthatóság. Ez utóbbit viszont a 2.4. szakaszban bizonyítjuk, így a mindenütt egész értékű esetben is ugyanaz a feltétel, mint a majdnem mindenütt egész értékűnél.

Az 6. fejezetben karakterizáljuk azon periódusokat is, melyekre ℝ → ℤ függvények esetén korlátos mérhető valós felbontás létezéséből következik korlátos mérhető egész felbontás létezése. A feltétel az, hogy egy-egy periódust véve az összemérhetőségi ekvivalencia-osztályokból, ezek közül bármely három lineárisan független, valamint a reciprokaik lineárisan függetlenek.

Valós és egész felbonthatóság

2.1. Fogalmak

Legyen A tetszőleges Abel csoport.

2.1. Definíció. Legyen a ∈ A; f : A → ℝ tetszőleges függvény. Jelölje Δ_{a}f azt az A → ℝ függvényt, melyre

(Δ_{a}f)(x) = f(x + a) − f(x) (∀x ∈ A).

Az f függvényt a-periodikusnak hívjuk, ha (Δ_{a}f)(x) = 0 (∀x ∈ A).

Ezek a Δ_{a} differencia operátorok könnyen ellenőrizhetően egymással felcserélhető lineáris operátorok.

2.2. Definíció. Legyen a ∈ A; f : A → ℝ. Az f̂ = Δ_{a}f függvényt az f a szerinti deriváltjának fogjuk nevezni. Azt is mondjuk majd, hogy f az f̂a szerinti primitív függvénye vagy a szerinti felemeltje.

Világos, hogy két a szerinti primitív függvény eltérése a-periodikus.

Legyenek a_{1}, a_{2}, …, a_{k} ∈ A \ {0} tetszőlegesek.

2.3. Definíció. Az f : A → ℝ függvény kielégíti a differencia feltételt, ha

Δ_{a_{1}}Δ_{a_{2}} … Δ_{a_{k}}f = 0.

Ennek fennállását DF_{a_{1},...,a_{k}}(f)-fel jelöljük majd.

2.4. Definíció. Az f : A → ℝ függvény valós felbontható az a_{1}, a_{2}, …, a_{k} periódusokkal, ha

∃f_{1}, f_{2}, …, f_{k} : A → ℝ f = f_{1} + f_{2} + … + f_{k} ; Δ_{a_{i}}f_{i} = 0 (1 ≤ i ≤ k).

Jelben: V F_{a_{1},...,a_{k}}(f) vagy röviden V F (f), ha világos, hogy mik a periódusok.

2.5. Definíció. Az f : A → ℤ függvény egész felbontható az a_{1}, a_{2}, …, a_{k} periódusokkal, ha

∃g_{1}, g_{2}, …, g_{k} : A → ℤ f = g_{1} + g_{2} + … + g_{k} ; Δ_{a_{i}}g_{i} = 0 (1 ≤ i ≤ k).

Jelben: EF_{a_{1},...,a_{k}}(f) vagy röviden EF (f), ha világos, hogy mik a periódusok.

A Δ operátorok felcserélhetősége miatt a valós felbonthatóságból következik a differencia feltétel. Természetesen az egész felbonthatóság pedig a valós felbonthatóságot vonja maga után. Az érdekes kérdés az, hogy ezek az implikációk milyen esetben fordíthatók meg.

2.6. Definíció. Egy F függvényosztályra azt mondjuk, hogy rendelkezik a felbontási tulajdonsággal (decomposition property), ha minden f ∈ F függvényre és tetszőleges a_{1}, a_{2}, …, a_{k} periódusokra DF_{a_{1},...,a_{k}}(f)-ből következik, hogy f felírható f_{1} + f_{2} + … + f_{k} alakban, ahol f_{i} ∈ F a_{i}-periodikus függvény.

Az A = (ℝ, +) esetben a valós számoknak csak az additív struktúrája számít, emiatt sok esetben érdemes ℝ-re mint ℚ feletti vektortérre gondolni. Ennek megfelelően valós számok lineárisan függetlensége alatt mindig ℚ feletti függetlenséget értünk majd. Bevezetjük még az összemérhetőség fogalmát.

2.7. Definíció. Az a, b ∈ ℝ \ \{0\} valós számok összemérhetők, ha \frac{a}{b} ∈ ℚ. Ellenkező esetben azt mondjuk, hogy a és b összemérhetetlenek. Több valós szám legyen összemérhető, ha páronként összemérhetők.

Fogunk beszélni irányokról is ℝ-en. Az összemérhetőség ekvivalencia-reláció ℝ \ {0}-n, az ekvivalencia-osztályokat nevezzük irányoknak. Világos, hogy lehet beszélni irányok ℚ feletti lineáris függetlenségéről is.

2.8. Definíció. Összemérhető valós számok esetén van értelme legnagyobb közös osztóról illetve legkisebb közös többszörösről beszélni, ezeket (a_{1}, a_{2}, …, a_{k}) illetve [a_{1}, a_{2}, …, a_{k}] fogja jelölni.

2.2. Az átlagoló operátor

2.9. Definíció. Legyenek a, m ∈ ℝ ; \frac{m}{a} ∈ ℕ. Az M = M_{a}^{m} átlagoló operátor f : ℝ → ℝ függvényekhez rendel ugyanilyen függvényeket a következő módon:

(M_{a}^{m}f)(x) := (\frac{m}{a})^{−1} · ∑_{j=0}^{\frac{m}{a} −1} f(x + j · a).

2.10. Állítás. Az M_{a}^{m} operátor alábbi tulajdonságai könnyen ellenőrizhetők:

(a) lineáris,

(b) felcserélhető a Δ operátorokkal, így a periodikusságot megtartja,

(c) m-periodikus függvényből a-periodikus lesz,

(d) a-periodikus függvényeket önmagukba viszi.

A következő Lemmát rendszeresen használjuk majd olyan indukciós bizonyításoknál, amikor a felbontandó függvényt lederiváljuk valamelyik periódus szerint, és a kapott függvény indukció szerint létező felbontását visszaemelve próbáljuk megkapni az eredeti függvény egy megfelelő felbontását.

2.11. Lemma. Legyenek a, b ∈ ℝ; f̂: ℝ → ℝ. Tegyük fel, hogy Δ_{b}f̂ = 0. Ekkor f̂ a szerinti primitív függvényeiről a következőket állíthatjuk.

(a) Ha \frac{a}{b} ∉ ℚ, akkor az alábbi állítások teljesülnek.

• Minden a szerinti f primitív függvény f_{a} + f_{b} alakban írható, ahol Δ_{a}f_{a} = Δ_{b}f_{b} = 0.

• Létezik a szerinti f primitív függvény, ami b-periodikus.

(b) Ha \frac{a}{b} ∈ ℚ, akkor az alábbi állítások ekvivalensek.

(i) Minden a szerinti f primitív függvény f_{a} + f_{b} alakban írható, ahol Δ_{a}f_{a} = Δ_{b}f_{b} = 0.

(ii) Létezik a szerinti f primitív függvény, ami b-periodikus.

(iii) f̂(x) + f̂(x + a) + … + f̂(x + m − a) = 0 (∀x ∈ ℝ), azaz M_{a}^{m}f̂ = 0, ahol m tetszőleges közös többszöröse a-nak és b-nek.

(iv) f̂(x)+f̂(x+d)+…+f̂(x+b−d) = 0 (∀x ∈ ℝ) , ahol d a legnagyobb közös osztója a-nak és b-nek.

Ha az f̂értékkészlete teljes egészében (ℝ, +)-nak valamilyen B részcsoportjában fekszik, akkor a primitív függvény választható úgy is, hogy az ő értékkészlete is B-ben legyen. (Ezt B = \frac{1}{n}ℤ esetén fogjuk használni.)

Bizonyítás. (a) Mivel két a szerinti primitív függvény különbsége a-periodi-kus, ezért elég megmutatni, hogy létezik b-periodikus primitív függvény. Továbbá a primitív függvény megadása nyilvánvalóan egymástól függetlenül tehető meg az aℤ + x_{0} alakú részhalmazain ℝ-nek. Egy ilyen részhalmazon egy pontban előírhatjuk az f primitív függvényt, a többi pontra ebből egyértelműen adódik f értéke. Rögzítsük x_{0}-t. A b-periodikusság miatt f̂|_{aℤ+x_{0}+i·b} éppen i · b-vel való eltoltja az f̂|_{aℤ+x_{0}} függvénynek (i ∈ ℤ). Ez utóbbin adjuk meg valahogy f-et, az eltolt halmazokon pedig a megfelelő eltoltakkal definiáljuk. (Ezek az eltolt halmazok páronként diszjunktak az a és b összemérhetetlensége miatt.) Ezzel sikerült b-periodikusan definiálnunk f-et az aℤ + bℤ + x_{0} halmazon. Ilyen alakú halmazok diszjunkt uniójaként pedig előáll ℝ.

(b) A (ii) ⇒ (i) irány ugyanúgy következik, mint az (a) résznél.

Az (i) ⇒ (iii) implikáció bizonyításához vegyük a és b egy tetszőleges m közös többszörösét. Felhasználva, hogy M_{a}^{m} és Δ_{a} felcseréhetők, valamint hogy az M_{a}^{m} operátor m-periodikus (speciálisan b-periodikus) függvényből a-periodikusat csinál:

M_{a}^{m}f̂ = M_{a}^{m}Δ_{a}(f_{a} + f_{b}) = M_{a}^{m}Δ_{a}f_{b} = Δ_{a} (M_{a}^{m}f_{b}) = 0.

Megjegyezzük, hogy (iii) pontosan akkor teljesül valamelyik m közös többszörösre, ha az m_{0} = [a, b] legkisebb közös többszörösre teljesül. Valóban,

M_{a}^{m}f̂ = M_{a}^{m_{0}} f̂,

ugyanis f̂(x + m_{0}) = f̂(x) miatt mindkét operátor ugyanazon értékeket átlagolja, de M_{a}^{m}-ban minden érték \frac{m}{m_{0}} -szor szerepel. Ez persze az átlagon nem változtat.

Így (iii) ⇔ (iv)-hez elég látni, hogy b-periodikus f̂ függényre

\frac{m_{0}}{a} M_{a}^{m_{0}} f̂ = f̂(x) + f̂(x + d) + … + f̂(x + b − d).

Ez azért teljesül, mert modulo \frac{b}{d} teljes maradékrendszert alkotnak a \frac{0}{d}, \frac{a}{d}, …, \frac{m_{0}−a}{d} illetve a \frac{0}{d}, \frac{d}{d}, …, \frac{b−d}{d} egész számok is, így mindkét oldalon ugyanazon értékeket adjuk össze, esetleg más sorrendben.

Végül (iii) ⇒ (ii) belátásához tekintsük a dℤ ⊂ ℝ részhalmazt. Persze elég ezen megadni b-periodikusan az f primitív függvényt. Válasszuk meg f-et tetszőlegesen a 0 pontban. Ekkor Δ_{a}f = f̂ feltétel mellett egyértelműen terjed ki f a 0, a, 2a, …, m_{0} − a pontokra. Ha ezeket d-vel osztjuk, olyan egész számokat kapunk, melyek teljes maradékrendszert alkotnak modulo \frac{b}{d}. Emiatt ezekről a pontokról a Δ_{b}f = 0 feltétel mellett egyértelműen terjed ki a függvényünk dℤ-re. A kapott f tehát biztosan b-periodikus lesz, de mi a helyzet a (Δ_{a}f)(x) = f̂(x) feltétellel? Az x = 0, a, …, m_{0} − 2a pontokban teljesül, hiszen erre az elején ügyeltünk. Az x = m_{0} − a pontban is igaz, mert

f(m_{0}) − f(m_{0} − a) = f(0) − f(m_{0} − a) = − ∑_{i=0}^{\frac{m_{0}}{a} −2} f̂(i · a) =^{(iii)} f̂(m_{0} − a).

A többi pontban pedig a b-periodikus kiterjesztés miatt triviálisan igaz.

Annak bizonyítása van még hátra, hogy f̂(ℝ) ⊂ B ≤ (ℝ, +) esetén f is választható úgy, hogy f(ℝ) ⊂ B. Ehhez annyit kell csupán megjegyezni, hogy amikor a fentiekben valahol azt mondtuk, hogy bizonyos pontokban válasszuk meg tetszőlegesen f értéket, ezután vigyázzunk rá, hogy B-beli értéket válasszunk. Ekkor a többi pontra automatikusan B-értékűként terjed ki f, hiszen az előírt különbségek is B-beliek. _{■}

Mi a helyzet, ha az f̂ függvény több periódus szerint is periodikus? Ekkor a következőt állíthatjuk.

2.12. Lemma. Legyenek a, b_{1}, …, b_{r} periódusok lineárisan függetlenek, az f̂ pedig olyan függvény, ami b_{i}-periodikus minden 1 ≤ i ≤ r-re. Ekkor létezik olyan a szerinti f primitív függvénye f̂-nak, ami b_{i}-periodikus minden 1 ≤ i ≤ r-re.

Bizonyítás. Ugyanúgy járunk el, mint az előző lemma (a) részének bizonyításánál. Rögzített x_{0}-ra aℤ + x_{0} halmazon megválasztjuk az f primitív függvényt, majd ezt kiterjsztjük az aℤ+b_{1}ℤ+…+b_{r}ℤ+x_{0} halmazra b_{1}, …, b_{r}-periodikusan. Minden pontban egyértelműen definiált f értéke, hiszen aℤ + b_{1}ℤ + … + b_{r}ℤ pontjai egyértelműen írhatók fel a, b_{1}, …, b_{r} egész együtthatós lineáris kombinációjaként a lineáris függetlenség miatt. Az is világos, hogy így primitív függvényt kapunk az aℤ + b_{1}ℤ + … + b_{r}ℤ + x_{0} halmazon. Ilyen halmazok diszjunkt uniójaként pedig előáll ℝ. _{■}

2.3. Valós felbonthatóság karakterizációja

Mint már a bevezetőben említettük, az ℝ → ℝ függvények osztálya nem rendelkezik a felbontási tulajdonsággal, azaz Δ_{a_{1}} … Δ_{a_{k}}f = 0 nem elégséges feltétele a valós felbonthatóságnak. Ezt az egyenletet hasonló típusúakkal szeretnénk kiegészíteni olyan módon, hogy így már szükséges és elégséges feltételt kapjunk.

Vegyünk egy {a_{1}, a_{2}, …, a_{k}} = B_{1} ∪ B_{2} ∪ … ∪ B_{N} partíciót, melyre minden B_{j}-ben a periódusok összemérhetők. Jelölje b_{j} a B_{j}-ben szereplő periódusok legkisebb közös többszörösét. Egy f = f_{1} + f_{2} + … + f_{k} felbontás esetén azon f_{i}-k összege, melyekhez tartozó a_{i} periódusok B_{j}-beliek, egy b_{j}-periodikus g_{j} függvény. Ezen g_{j}-k összege pedig f, így DF_{b_{1},...,b_{N}} (f), azaz Δ_{b_{1}}Δ_{b_{2}} … Δ_{b_{N}} f = 0.

2.13. Definíció. Az f : ℝ → ℝ függvény kielégíti az ADF_{a_{1},...,a_{k}} általánosított differencia feltételt, ha az összes olyan {a_{1}, a_{2}, …, a_{k}} = B_{1} ∪ B_{2} ∪ … ∪ B_{N} partícióra, ahol minden B_{j}-ben a periódusok összemérhetők, fennáll, hogy

Δ_{b_{1}}Δ_{b_{2}} … Δ_{b_{N}} f = 0,  (2.1)

ahol b_{j} a B_{j}-ben szereplő periódusok legkisebb közös többszöröse. Ha f teljesíti a fentieket, azt ADF_{a_{1},...,a_{k}}(f)-fel jelöljük.

Az imént láttuk, hogy ADF szükséges feltétele a valós felbonthatóságnak. Az alábbi tétel állítása az, hogy elégséges is. Ezt a karakterizációt [1]-ben adtuk, ott jóval általánosabb környezetben bizonyítottuk a tételt, most maradunk az ℝ → ℝ függvényeknél.

2.14. Tétel. (Farkas, Harangi, Keleti, Révész) Legyenek a_{1}, a_{2}, …, a_{k} tetszőleges periódusok, f : ℝ → ℝ függvény. Ekkor

V F_{a_{1},...,a_{k}}(f) ⟺ ADF_{a_{1},...,a_{k}}(f).

Bizonyítás. A hiányzó ⇐ irányt a periódusok számára vonatkozó indukcióval bizonyítjuk. A k = 1 eset triviális, tegyük fel, hogy k ≥ 2 és legfeljebb k − 1 periódusra az állítás igaz. Vegyük az a_{1}, a_{2}, …, a_{k} periódusokat. Feltehető, hogy közülük azok, amik a_{1}-gyel összemérhetők a_{1}, a_{2}, …, a_{l} valamilyen 1 ≤ l ≤ k egészre. Ezek legkisebb közös többszörösét jelölje m. Az indukciós feltevést két függvényre is alkalmazzuk. Könnyű meggondolni, hogy ADF_{a_{1},...,a_{k}}(f)-ből következik ADF_{a_{2},...,a_{k}}(Δ_{a_{1}}f) illetve ADF_{a_{l+1},...,a_{k}}(Δ_{m}f) is. Ezek tehát valós felbonthatók a megfelelő periódusokkal. Legyen f̂ = Δ_{a_{1}}f; h = Δ_{m}f, illetve

f̂ = f̂_{2} + … f̂_{l} + f̂_{l+1} + … + f̂_{k} (f̂_{i} : ℝ → ℝ; Δ_{a_{i}} f̂_{i} = 0),
h = h_{l+1} + … + h_{k} (h_{i} : ℝ → ℝ; Δ_{a_{i}}h_{i} = 0)

a felbontásaik. Alkalmazzuk a 2.9. Definícióban bevezetett M = M_{a_{1}}^{m} operátort az f̂_{i} függvényekre: (Mf̂_{i}) a_{i}-periodikus minden 2 ≤ i ≤ k-ra, sőt 2 ≤ i ≤ l esetén még a_{1}-periodikus is. Továbbá fennáll, hogy

h(x) = f(x + m) − f(x) = ∑_{t=0}^{\frac{m}{a_{1}} −1} (f(x + (t + 1) · a_{1}) − f(x + t · a_{1})) =

= ∑_{t=0}^{\frac{m}{a_{1}} −1} f̂(x + t · a_{1}) = \frac{m}{a_{1}} · (Mf̂)(x) = \frac{m}{a_{1}} · ∑_{i=2}^{k}(Mf̂_{i})(x).

Az utolsó egyenlőség M linearitásából következik. Írjuk be h felbontását, majd osszunk át:

(\frac{m}{a_{1}})^{−1} · (h_{l+1} + … + h_{k}) = Mf̂_{2} + … + Mf̂_{k}.  (2.2)

Most megadjuk f̂-nek egy másik felbontását (ĝ_{i}).

ĝ_{i} := \{ \begin{matrix}f̂_{i} − Mf̂_{i} & (2 ≤ i ≤ l) \\ f̂_{i} − Mf̂_{i} + (\frac{m}{a_{1}} )^{−1} · h_{i} & (l + 1 ≤ i ≤ k) \end{matrix}

Ez valóban felbontást ad, hiszen (2.2) miatt ∑_{i=2}^{k} ĝ_{i} = ∑_{i=2}^{k} f̂_{i} = f̂, és persze ĝ_{i} a_{i}-periodikus, mert ilyenek összegéből kaptuk. Azonban ez a felbontás már felemelhető f egy felbontásává. A 2.11. Lemma vizsgálja, hogy mi a feltétele, hogy ĝ_{i}-nek legyen olyan a_{1} szerinti primitív függvénye, amely a_{i}-periodikus.

Ha l + 1 ≤ i ≤ k, akkor a_{1} és a_{i} nem összemérhetők – ilyenkor mindig létezik a megfelelő primitív függvény.

Ha 2 ≤ i ≤ l, akkor pedig Mĝ_{i} = 0 a felemelés feltétele. Ez pedig most teljesül, hiszen Mf̂_{i} a_{1}-periodikus, így M önmagába viszi, emiatt

Mĝ_{i} = Mf̂_{i} − M(Mf̂_{i}) = 0.

Kapunk tehát g_{2}, …, g_{l}, g_{l+1}, …, g_{k} primitív függvényeket, melyek a megfelelő a_{i} szerint periodikusak. Ezek összegének a_{1} szerinti deriváltja f̂. Mivel ez f-re is igaz, ezért f −(g_{2} +…+g_{k}) egy a_{1}-periodikus függvény, ezt válasszuk g_{1}-nek. _{■}

A bizonyításban megadott eljárás racionális értékű f esetén racionális értékű felbontást ad. Azonban ennél sokkal több is következik, erről lesz szó a 2.4. szakaszban.

Megjegyezzük, hogy ha csak azt akarnánk bizonyítani, hogy racionális értékű, valós felbontható f esetén létezik racionális felbontás is, akkor jóval egyszerűbben is eljárhatunk. A legelegánsabb, ha veszünk egy Hamel-bázist, mely tartalmazza 1-et, és a valós f_{i}(x) felbontás helyett tekintjük a következőt. Felírjuk f_{i}(x)-et a Hamel-bázisban, és az 1-hez tartozó együtthatót választjuk g_{i}(x)-nek. Ez kétség kívül racionális értékű, a_{i}-periodikus, és összegben f(x)-et állítja elő, hiszen 1 együtthatója f(x)-nél maga f(x).

2.4. Egész felbonthatóság

2.15. Tétel. (Farkas, Harangi, Keleti, Révész) Tetszőleges a_{1}, a_{2}, …, a_{k} ∈ ℝ periódusokra és f : ℝ → ℤ függvényre fennáll, hogy

V F_{a_{1},a_{2},...,a_{k}}(f) ⟺ EF_{a_{1},a_{2},...,a_{k}}(f),

azaz f pontosan akkor áll elő a_{i}-periodikus valós értékű függvények összegeként, ha előáll a_{i}-periodikus egész értékű függvények összegeként.

Bizonyítás. Az ⇐ irány triviális, a másik irányt indukcióval bizonyítjuk, egy periódus esetén az állítás persze igaz. Feltesszük, hogy k-nál kevesebb periódus esetén is igaz az állítás. Az a_{1}-gyel összemérhető periódusok továbbra is legyenek a_{1}, a_{2}, …, a_{l}, ezek legkisebb közös többszöröse m.

Vegyünk egy f : ℝ → ℤ függvényt, amely a_{1}, …, a_{k} periódusokkal valós felbontható. Ekkor f̂ = Δ_{a_{1}}f ugyancsak egész értékű, és valós felbontható a_{2}, …, a_{k} periódusokkal. (Hiszen f felbontását deriválva az a_{1}-periodikus tag eltűnik.) Hasonlóan, h = Δ_{m}f egész értékű és valós felbontható a_{l+1}, …, a_{k} periódusokkal. (Ezúttal f felbontását m szerint deriváljuk, így az a_{1}, …, a_{l}-periodikus tagok mind eltűnnek.)

Így az indukció miatt léteznek f̂_{i} (2 ≤ i ≤ k) illetve h_{i} (l + 1 ≤ i ≤ k) egész értékű felbontások is. Innen a 2.14. Tétel gondolatmenetét követve elkészítjük f̂-nak azt a másik ĝ_{i} felbontását, ami már a_{1} szerint felemelhető. Ebben

az új felbontásban f̂_{i}, M_{a_{1}}^{m}f̂_{i} és (\frac{m}{a_{1}} )^{−1} h_{i} függvények szerepelnek, azaz a ĝ_{i}-k

értékkészlete ℚ-ban van, és a fellépő nevezők mind osztói (\frac{m}{a_{1}} )-nek. A 2.11.

Lemmánál tett megjegyzéseink értelmében ĝ_{i}-khez úgy is választható a megfelelő primitív függvény, hogy ez rájuk is igaz legyen. Vagyis f-nek olyan felbontását kapjuk, melyben a függvények racionális értékűek, és az előforduló nevezők mind osztói (\frac{m}{a_{1}} )-nek.

Azonban a_{1} szerepét lecserélhetjük bármely más, vele összemérhető a_{i} periódusra (i = 1, 2, …, l). Azt kapjuk, hogy

∀ 1 ≤ i ≤ l ∃ f = f_{1}^{i} + f_{2}^{i} + … + f_{k}^{i},

ahol \frac{m}{a_{i}} · f_{j}^{i}(x) egész minden x-re, illetve Δ_{a_{j}}f_{j}^{i} = 0.

Könnyen átgondolhatóan (\frac{m}{a_{1}} , \frac{m}{a_{2}} , …, \frac{m}{a_{l}}) = 1, így vannak c_{1}, c_{2}, …, c_{l} ∈ ℤ együtthatók, melyekkel

c_{1} · \frac{m}{a_{1}} + c_{2} · \frac{m}{a_{2}} + … + c_{l} · \frac{m}{a_{l}} = 1.

Vegyük az f_{j}^{i} felbontások következő lineáris kombinációját:

g_{j}(x) := ∑_{i=1}^{l} c_{i} · \frac{m}{a_{i}} · f_{j}^{i}(x).

Az így definiált g_{j}(x) a_{j}-periodikus, hiszen ilyenek lineáris kombinációja. Sőt, g_{j}(x) egész, hiszen \frac{m}{a_{i}} · f_{j}^{i}(x) is egész minden i-re. Végül igazolnunk kell, hogy valóban f(x) felbontását adják, amit a

∑_{j=1}^{k} g_{j}(x) = ∑_{j=1}^{k} ∑_{i=1}^{l} c_{i} \frac{m}{a_{i}}f_{j}^{i}(x) = ∑_{i=1}^{l} c_{i} \frac{m}{a_{i}} ∑_{j=1}^{k} f_{j}^{i}(x) = (∑_{i=1}^{l} c_{i} \frac{m}{a_{i}})·f(x) = f(x)

számolás mutat. _{■}

Leképezések Abel-csoportok között

Mint már a bevezetőben említettük, az előző fejezet eredményei jóval általánosabban is igazak. [1]-ben tetszőleges A halmazon vett T : A → A invertálható transzformációkat tekintünk, és egy f : A → ℝ függvényt akkor nevezünk T - periodikusnak, ha Δ_{T} f := f ∘ T − f = 0. Ha adottak T_{1}, …, T_{k} páronként felcserélhető transzformációk, akkor a 2.14. Tételhez hasonló, de annál bonyolultabb szükséges és elégséges feltétel adható arra, hogy egy A → ℝ függvény mikor írható fel T_{i}-periodikus függvények összegeként.

Ennek speciális esetét kapjuk, ha egy A Abel-csoporton az eltolásokat, azaz a T (x) = x + a (a ∈ A) alakú transzformációkat tekintjük. Ezek ugyanis automatikusan egymással felcserélhetők, így az általános tétel alkalmazható rájuk. (Ebben a speciális esetben az általános tételben szereplő feltétel az alábbi (2) feltétellé egyszerűsödik.) Arra vagyunk kíváncsiak, hogy ez akkor is jó feltétel marad-e, ha valós értékű függvények helyett A → B leképezések körében vagyunk, ahol B valamilyen Abel-csoport. Ezt a kérdést vizsgáljuk ebben a fejezetben.

Legyenek tehát A és B tetszőleges Abel-csoportok. Milyen A, B esetén ekvivalens az alábbi két állítás tetszőleges a_{1}, …, a_{k} ∈ A elemekre és f : A → B függvényre?

(1) Az f függvény felbontható a_{j}-periodikus A → B függvények összegére.

(2) Minden B_{1} ∪ … ∪ B_{N} = {a_{1}, …, a_{k}} partícióra és tetszőleges b_{j} ∈ [B_{j}]

elemekre fennáll, hogy

Δ_{b_{1}} … Δ_{b_{n}}f = 0.

(Itt [B] alatt a B-be eső elemek közös többszörösei alkotta ⋂_{b∈B} ⟨b⟩ részcsoportot értjük. Ez egy véges vagy végtelen ciklikus csoport, és (2)-t nyilvánvalóan elég ellenőrizni a [B_{j}] valamelyik b_{j} generátorelemére.)

Az (1) ⇒ (2) implikáció tetszőleges A, B esetén fennáll. (Ez triviálisan bizonyítható, és ugyanúgy megy, mint az ℝ → ℝ esetben.) A továbbiakban a másik iránnyal foglalkozunk.

3.1. Pozitív eredmények

Az alábbi esetekben fennáll (1) és (2) ekvivalenciája.

• A tetszőleges, B = ℝ. [1]

• A torziómentes, B torziómentes. [1]

• A = ℤ_{m} ciklikus csoport valamilyen m egészre, B torziómentes. Ezt vissza lehet vezetni az A = ℤ esetre, ami már torziómentes. Az f : ℤ_{m} → B függvény helyett vegyük ugyanis azt az f̃ : ℤ → B függvényt, amire f̃(x) = f(x mod m). Tegyük fel, hogy f-re teljesül bizonyos a_{1}, …, a_{k} ∈ ℤ_{m} = {0, 1, …, m − 1} periódusok esetén a (2) feltétel. Mivel ℤ_{m}-ben a Δ_{a} operátor megegyezik a Δ_{(a,m)} operátorral, ezért az általánosság korlátozása nélkül feltehetjük, hogy a_{i} osztja m-et minden i-re. Ha mint ℤ-beli számokra gondolunk ezekre a periódusokra, akkor azt jelöljük írásban is, a_{i}^{ℤ}-vel. Mivel B ⊂ ℤ_{m} esetén a megfelelő B^{ℤ} ⊂ ℤ halmazra a [B^{ℤ}] ≤ ℤ részcsoport mod m éppen a [B] ≤ ℤ_{m} részcsoportba megy át, ezért f̃-re teljesül (2) az a_{1}^{ℤ}, …, a_{k}^{ℤ} periódusokkal. Így f̃-nek létezik a megfelelő f̃_{j} : ℤ → B felbontása. A periódusok osztják m-et, így a felbontás minden tagja m-periodikus, vagyis ebből kaphatjuk f-nek egy f_{j} : ℤ_{m} → B felbontását.

• A = ℤ_{p^{∞}} a kváziciklikus csoport valamilyen p prímre, B torziómentes. Világos, hogy mindig elég a kérdést az a_{1}, …, a_{k} ∈ A periódusok által generált részcsoporton vizsgálni. Azonban ℤ_{p^{∞}} végesen generált részcsoportjai ℤ_{p^{n}} prímrendű ciklikusok, amikre pedig már tudjuk, hogy fennáll az ekvivalencia.

• B torziómentes,

A = ⨁_{p prím}ℤ_{p^{np}},

ahol ez egy diszkrét direkt összeg, és n_{p} lehet 0, pozitív egész és ∞ is. Ezen A csoport végesen generált részcsoportjai mind ciklikusak.

3.2. Negatív eredmények

Az alábbi esetekben nem áll fenn az ekvivalencia.

• A = ℤ_{2} ⊕ ℤ_{2}, B = ℤ.

Legyenek a_{1} = (1, 0); a_{2} = (0, 1); a_{3} = (1, 1) ∈ ℤ_{2} × ℤ_{2}. Egy f : ℤ_{2} × ℤ_{2} → ℝ függvényre gondolhatunk mint 2 × 2-es valós mátrixra:

( \begin{matrix}f(0,0) & f(0,1) \\ f(1,0) & f(1,1) \end{matrix} ). Tekintsük a ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) mátrixot. A hozzá tartozó f : ℤ_{2}×ℤ_{2} → ℤ

függvényről látjuk be, hogy teljesül rá (2), de (1) nem. Vegyük a következő felbontását:

(\begin{matrix}0 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix}) + (0 0_{\frac{1}{2} \frac{1}{2}}) + (\begin{matrix}0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) .

Világos, hogy az ezekhez tartozó f_{j} : ℤ_{2} × ℤ_{2} → ℝ függvények a_{j}- periodikusak (j = 1, 2, 3). Tehát egy f : ℤ_{2} × ℤ_{2} → ℤ függvényt felbontottunk valós a_{j}-periodikus függvények összegére, így B = ℝ esetén (1) teljesül, ekkor persze (2) is. A (2) feltétel azonban nem függ B-tól, így ez B = ℤ esetén is teljesül.

Meg kell még mutatnunk, hogy nincs egész értékű felbontás. Világos, hogy egy egész értékű a_{j}-periodikus g_{j} : ℤ_{2} × ℤ_{2} → ℤ függvényhez tartozó 2 × 2-es mátrix elemeinek az összege páros kell legyen (j = 1, 2, 3). Ilyen tulajdonságú mátrixok összege is ilyen. Azonban a ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) jól láthatóan nem ilyen.

• A = ℤ_{p} ⊕ ℤ_{p} tetszőleges p prímre, B = ℤ. Az előző példát általánosítjuk. Tekintsük a következő p + 1 darab periódust

a_{1} = (1, 0); a_{2} = (1, 1); …; a_{p} = (1, p − 1); a_{p+1} = (0, 1),

valamint az alábbi f_{j} : ℤ_{p} ⊕ ℤ_{p} → ℝ függvényeket:

f_{j}(x, y) = \{ \begin{matrix}0 & ha (x, y) skalárszorosa a_{j}-nek \\ \frac{1}{p} & különben. \end{matrix}

Világos, hogy az így definiált f_{j} függvények a_{j}-periodikusak. Meggondolható az is, hogy ezek összege éppen az

f(x, y) = \{ \begin{matrix}0 & ha x = y = 0 \\ 1 & különben \end{matrix}

egész értékű függvény. Ennek tehát van valós felbontása az a_{1}, …, a_{p+1} periódusokkal, de nincs egész felbontása, mert a függvényértékek összege p^{2} − 1, ami nem oszható p-vel.

• A = ℤ ⊕ ℤ_{p}, B = ℤ.

Ugyanaz a példa némi módosítással jó itt is. A periódusok megint

a_{1} = (1, 0); a_{2} = (1, 1); …; a_{p} = (1, p − 1); a_{p+1} = (0, 1),

a függvények pedig az 1 ≤ j ≤ p esetben

f_{j}(x, y) = \{ \begin{matrix}0 & ha (x, y) skalárszorosa a_{j}-nek \\ \frac{1}{p} & különben, \end{matrix}

illetve a j = p + 1 esetben

f_{p+1}(x, y) = \{ \begin{matrix}0 & ha p osztja x-et \\ \frac{1}{p} & különben. \end{matrix}

Ekkor minden {kp, kp+1, …, (k+1)p−1}×ℤ_{p} alakú halmazon ugyanazt kapjuk, mint az imént ℤ_{p} ⊕ ℤ_{p}-n.

• A-nak van ℤ_{p} ⊕ ℤ_{p}-vel vagy ℤ ⊕ ℤ_{p}-vel izomorf részcsoportja, B = ℤ. Az előző példákat a részcsoporton kívül 0-ként terjesztjük ki.

• A-nak van ℤ_{p} ⊕ ℤ_{p}-vel vagy ℤ ⊕ ℤ_{p}-vel izomorf részcsoportja, B „nem osztható p-vel”. Azalatt, hogy B nem osztható p-vel, azt értjük, hogy van olyan c ∈ B elem, melyhez nincs d ∈ B úgy, hogy c = pd. Ágyazzuk be B-t valamilyen B_{0} osztható Abel csoportba, és legyen c_{0} ∈ B_{0} olyan, hogy c = pc_{0}. Ekkor a korábbi példákat 1 helyett c-vel, \frac{1}{p} helyett c_{0}-val elkészítve olyan f : A → B függvényt kapunk, aminek bizonyos periódusokkal lesz B_{0} értékű felbontása, így (2) teljesül rá. Azonban B értékű felbontása nincs, mert ekkor – a korábbiakhoz hasonlóan – kapnánk, hogy (p^{2} − 1)c = pd valamilyen d ∈ B-re, amiből c = p(pc − d) következne.

Megjegyezzük, hogy ha a B Abel-csoport nem osztható, akkor lehet hozzá találni olyan A Abel csoportot, hogy az A, B párra ne álljon fenn (1) és (2) ekvivalenciája. Valóban, ha B nem osztható, akkor van olyan p prím, amivel nem osztható, és ekkor A = ℤ_{p} ⊕ ℤ_{p} megfelelő választás.

Minden ellenpéldánkban az A szerepét játszó csoportnak volt torziója.

3.1. Kérdés. Igaz-e, hogy ha A torziómentes, akkor tetszőleges B Abel-csoport esetén (1) és (2) ekvivalensek?

3.3. Valós és egész felbonthatóság

Meghatározzuk azon A Abel-csoportokat, melyekre tetszőleges a_{1}, …, a_{k} ∈ A periódusok esetén egy f : A → ℤ függvény valós felbonthatóságából következik az egész felbonthatósága. (A 2.15. Tétel azt állítja, hogy A = ℝ esetén ez az implikáció fennáll.) Mivel a valós felbonthatóság tetszőleges A Abel-csoport esetén ekvivalens (2)-vel, ezért a feltétel az, hogy A-ra B = ℤ esetén is legyen ekvivalens a két állítás. A fejezet eddigi részeiben már láttuk, hogy ez teljesül, ha A torziómentes vagy A = ⨁_{p} ℤ_{p^{np}} alakú (p a prímeken fut végig, ⨁ diszkrét direkt összeg és n_{p} ∈ {0, ∞} ∪ ℕ). Másrészt mutattunk ellenpéldát azokban az esetekben, mikor A tartalmaz ℤ_{p} ⊕ℤ_{p}-vel vagy ℤ⊕ℤ_{p}-vel izomorf részcsoportot. Ezek az esetek azonban már kiadják az összes Abel-csoportot (lásd 3.7. Állítás). Így beláttuk az alábbi Tételt.

3.2. Tétel. Az A → ℤ függvényekre akkor és csak akkor következik a valós felbonthatóságból az ugyanolyan periódusokkal való egész felbonthatóság, ha A torziómentes vagy A = ⨁_{p} ℤ_{p^{np}} valamilyen n_{p} ∈ {0, ∞} ∪ ℕ-ekre. (A 3.7. Állításban két további ekvivalens jellemzését kapjuk az ilyen csoportoknak.)

Rátérünk annak a kérdésnek a vizsgálatára, hogy melyek azok az A Abelcsoportok, melyekre az A → ℤ leképezésekből álló függvényosztály rendelkezik a felbontási tulajdonsággal (lásd 2.6. Definíció). Ezt a függvényosztályt kissé pongyolán {A → ℤ}-vel jelöljük a továbbiakban.

Ha A nem torziócsoport, azaz létezik a ∈ A, melyre ⟨a⟩ ≅ ℤ, akkor a következő f : A → ℤ leképezés mutatja, hogy {A → ℤ} nem rendelkezik a felbontási tulajdonsággal:

f(x) := \{ \begin{matrix}n & x = na (n ∈ ℤ) \\ 0 & x ∉ ⟨a⟩ . \end{matrix}

Valóban, az f függvényre Δ_{a}Δ_{a}f = 0, azonban f nem a-periodikus.

Ha A tartalmaz ℤ_{p} ⊕ ℤ_{p}-vel izomorf részcsoportot, akkor a korábbiak szerint már a valós felbonthatóságból sem következik az egész felbonthatóság, azaz vannak olyan a_{1}, …, a_{k} periódusok és f : A → ℤ függvény, hogy f felbontható a_{i}-periodikus A → ℝ függvények összegére, de egész értékűek összegére nem. Azonban a valós felbonthatóságból következik Δ_{a_{1}} … Δ_{a_{k}}f = 0, így f mutatja, hogy ebben az esetben sem rendelkezhet {A → ℤ} a felbontási tulajdonsággal.

Ha A = ⨁_{p} ℤ_{p^{np}}, akkor könnyen ellenőrizhetően A minden végesen generált részcsoportja véges ciklikus. Vegyünk a_{1}, …, a_{k} ∈ A tetszőleges periódusokat. Belátjuk, hogy egy f : A → ℤ függvényre a Δ_{a_{1}} … Δ_{a_{k}}f = 0 feltételből következik, hogy f egész felbontható a_{1}, …, a_{k} periódusokkal. Most is elég a kérdést az A_{0} := ⟨a_{1}, …, a_{k}⟩ ≤ A végesen generált részcsoporton vizsgálni, ami az előzőek szerint véges ciklikus csoport. [12]-ben megmutatták, hogy tetszőleges A halmazra, az {f : A → ℝ|f korlátos} függvények rendelkeznek a felbontási tulajdonsággal. Most A_{0} véges, így f rajta automatikusan korlátos, vagyis létezik f_{i} : A_{0} → ℝ a_{i}-periodikus valós felbontás. Ebből pedig már 3.2. Tétel miatt következik a megfelelő periódusokkal történő egész értékű felbontás létezése is.

Mivel e három eset (nem torziócsoport; tartalmaz ℤ_{p} ⊕ ℤ_{p}-t; A = ⨁_{p} ℤ_{p^{np}}) kiadja az összes Abel-csoportot (lásd a 3.6. Lemma), ezért a következő Tételt kaptuk.

3.3. Tétel. Egy A Abel-csoportra {A → ℤ} pontosan akkor rendelkezik a felbontási tulajdonsággal, ha A = ⨁_{p} ℤ_{p^{np}} valamilyen n_{p} ∈ {0, ∞} ∪ ℕ-ekre. (A 3.6. Lemmában két további ekvivalens jellemzését kapjuk az ilyen csoportoknak.)

3.4. Megjegyzés. Hasonló gondolatmenettel megmutatható, hogy {A → ℝ} akkor és csak akkor rendelkezik a felbontási tulajdonsággal, ha A torziócsoport.

3.5. Kérdés. Mik azok az A, B Abel-csoportok, melyekre {A → B} rendelkezik a felbontási tulajdonsággal?

A fejezet végére hagytuk a felhasznált tisztán algebrai állítások igazolását. Ezek egyszerű és bizonyára (köz)ismert tények Abel-csoportokról, a teljesség kedvéért vázlatosan bizonyítjuk őket.

3.6. Lemma. Egy A Abel-csoportra ekvivalensek az alábbi állítások.

(i) A = ⨁_{p} ℤ_{p^{np}} alakú. (Itt p a prímeken fut végig, ⨁ diszkrét direkt összeg és n_{p} ∈ {0, ∞} ∪ ℕ.)

(ii) A minden végesen generált részcsoportja véges ciklikus.

(iii) A torziócsoport és nem tartalmaz ℤ_{p} ⊕ ℤ_{p}-vel izomorf részcsoportot semmilyen p prímre.

Bizonyítás. Az (i) ⇒ (ii) és (ii) ⇒ (iii) irány világos; (iii) ⇒ (i)-hez a következőképp járunk el. Abel-csoportban egy p prímre részcsoportot alkotnak a p-hatvány rendű elemek, jelölje ezt a részcsoportot T_{p}(A). Ezek diszkrét direkt összege éppen a csoport torzió-részcsoportja (lásd például [3, 21. oldal]). Esetünkben A torziócsoport, így A = ⨁_{p} T_{p}(A).

Tehát elegendő meghatározni a ℤ_{p} ⊕ℤ_{p}-t részcsoportként nem tartalmazó kommutatív p-csoportokat. Ha a csoport véges, akkor a véges Abel-csoportok alaptételéből következik, hogy csak a p-hatvány rendű ciklikus csoportok ilyenek. Ha a csoport rendje végtelen, akkor vegyünk két elemet a csoportból (x, y). Az ezek által generált részcsoport egy p-hatvány rendű ciklikus. Ezt x vagy y egymaga is generálja. Tehát a csoport bármely két elemére az egyik többszöröse a másiknak. Ebből már következik, hogy a legfeljebb p^{k} rendű elemek egy ℤ_{p^{k}}-val izomorf részcsoportot alkotnak. Ezen részcsoportok uniójaként áll elő a teljes csoport, így az izomorf a ℤ_{p^{∞}} kváziciklikus csoporttal. _{■}

3.7. Állítás. Egy A Abel-csoportra ekvivalensek az alábbi állítások.

(i) A torziómentes vagy A = ⨁_{p} ℤ_{p^{np}} alakú. (Itt p a prímeken fut végig, ⨁ diszkrét direkt összeg és n_{p} ∈ {0, ∞} ∪ ℕ.)

(ii) A minden végesen generált részcsoportja ℤ_{n}-nel vagy ℤ^{n}-nel izomorf valamilyen n pozitív egészre.

(iii) A nem tartalmaz ℤ_{p} ⊕ ℤ_{p}-vel vagy ℤ ⊕ ℤ_{p}-vel izomorf részcsoportot semmilyen p prímre.

Bizonyítás. Ezúttal is egyedül a (iii) ⇒ (i) irány nem triviális. Ennek bizonyításához vegyünk egy ℤ_{p}⊕ℤ_{p}-t és ℤ⊕ℤ_{p}-t nem tartalmazó A Abel-csoportot. Feltesszük, hogy A nem torziómentes, ekkor van prímrendű x eleme. Ha lenne egy végtelen rendű y eleme A-nak, akkor persze ⟨x, y⟩ ≅ ℤ_{p} ⊕ ℤ lenne. Tehát A torziócsoport, és alkalmazhatjuk az előző lemma (iii) ⇒ (i) irányát. _{■}

Homogén megoldások

A 2.3. szakaszban azt vizsgáltuk, hogy egy ℝ → ℝ függvénynek milyen feltételek mellett létezik felbontása periodikus függvények összegére előre adott periódusokkal. A felbontás (feltéve, hogy létezik) nem egyértelmű. Ebben a fejezetben azzal foglalkozunk, hogy ezek a felbontások mennyiben térhetnek el egymástól.

Ezekre az eredményekre a következő fejezetben lesz szükségünk, ahol a korlátos valós felbonthatóság és a korlátos egész felbonthatóság kapcsolatát vizsgáljuk.

Legyenek a megadott periódusok a_{1}, a_{2}, …, a_{k}. Az f : ℝ → ℝ függvény valós felbontható ezen periódusokkal, ha előáll f_{1} + … + f_{k} alakban (Δ_{a_{i}}f_{i} = 0). Ha f′_{i} egy másik ilyen előállítás, akkor ezek különbsége h_{i} := f_{i} − f′_{i} megoldása lesz a következő, ún. homogén egyenletnek:

h_{1} + h_{2} + … + h_{k} = 0 (Δ_{a_{i}}h_{i} = 0).  (4.1)

Tehát f összes felbontását megkapjuk, ha egy tetszőleges (partikuláris) felbontásához hozzáadjuk a (4.1) egyenlet megoldásait.

4.1. Triviális megoldások

Két periódus esetén az egyenlet így írható: h_{1} = −h_{2}. Vagyis a homogén megoldások azok, ahol h_{1} és h_{2} egyszerre a_{1} és a_{2}-periodikusak, és egymás ellentettjei.

Több periódus esetén már nem ennyire egyszerű a helyzet. Mindenesetre mindig homogén megoldást kapunk, ha a következőképp járunk el.

4.1. Definíció. A homogén egyenlet triviális megoldásáról beszélünk, ha a megoldás az alábbi alakban írható:

h_{i} = ∑_{j=1}^{k} h_{i,j} (h_{i,i} = 0 ; h_{i,j} = −h_{j,i} ; Δ_{a_{i}}h_{i,j} = Δ_{a_{j}}h_{i,j} = 0).  (4.2)

Az ilyen alakú h_{i}-k valóban kielégítik (4.1)-t, hiszen h_{i} a_{i}-periodikus függvények összege, így maga is az, illetve h_{1} + … + h_{k}-ban minden h_{i,j} (i < j) egyszer pozitív, egyszer negatív előjellel fordul elő, így az összeg 0.

Megjegyezzük, hogy a és b összemérhető periódusokra egy f függvény pontosan akkor a és b-periodikus, ha (a, b)-periodikus, ahol (a, b) jelöli a és b legnagyobb közös osztóját.

Valójában sok esetben csak ezek a triviális megoldások vannak. A következő fejezet 5.9. Tételében látni fogjuk, hogy pontosan akkor létezik nem-triviális megoldás, ha a periódusok között található három, melyek lineárisan összefüggőek, de páronként összemérhetetlenek. Ebben a fejezetben ebből annyit bizonyítunk, hogy ha a periódusok között nincs három ilyen, akkor minden megoldás triviális. Először néhány egyszerű lemmát látunk be.

4.2. Definíció. Legyen a ∈ ℝ \ {0}. Az L : ℝ → ℝ függvényre azt mondjuk, hogy a-lineáris, ha Δ_{a}Δ_{a}L = 0. (Az elnevezést az indokolja, hogy L pontosan akkor a-lineáris, ha L |_{aℤ+x_{0}} lineáris függvény tetszőleges x_{0} ∈ ℝ esetén.)

4.3. Lemma. Legyenek a és b összemérhető periódusok, f̂ : ℝ → ℝ pedig bperiodikus függvény. Ekkor f̂-nak tetszőleges a szerinti primitív függvénye előáll f + L alakban, ahol f b-periodikus és L a-lineáris.

Ha még azt is tudjuk, hogy f̂c-periodikus valamilyen a, b-vel nem összemérhető c periódusra, akkor f még c-periodikusnak is választható.

Bizonyítás. Legyen m = [a, b]. Vegyük a 2.9.-ben definiált M_{a}^{m} operátort. Bontsuk két részre az f̂ függvényt az alábbi módon:

f̂ = (f̂− M_{a}^{m}f̂) + M_{a}^{m}f̂.

Az M_{a}^{m} operátor 2.10. Állításban kimondott tulajdonságai miatt (M_{a}^{m}f̂) a-perio-dikus, és így M_{a}^{m} önmagába viszi. Vagyis M_{a}^{m} az első (zárójeles) tagot 0-ba viszi. Így a 2.11. Lemma miatt létezik olyan primitív függvénye a szerint, amelyik bperiodikus, ezt válasszuk f-nek. A második tag a-periodikus, így annak minden primitív függvénye a-lineráis.

Ha f̂ c-periodikus is, akkor (f̂− M_{a}^{m}f̂) is az. Mivel az a szerinti primitív függvény megválasztása egymástól függetlenül tehető meg az aℤ + x_{0} ⊂ ℝ alakú részeken, és mivel i·c ∉ aℤ, ezért az aℤ+x_{0} +i·c (i ∈ ℤ) részeken megtehetjük, hogy ugyanazt a primitív függvényt választjuk. _{■}

Ugyan nem fogjuk használni, de megjegyezzük, hogy az előzőnél valamivel erősebb alábbi állítás is igaz.

4.4. Állítás. Legyenek a és b összemérhető periódusok, f pedig olyan függvény, melyre Δ_{a}Δ_{b}f = 0. Ekkor f a következő alakban írható:

f = L + f_{a} + f_{b} (L (a, b)-lineáris; Δ_{a}f_{a} = Δ_{b}f_{b} = 0).

Bizonyítás. Ha b egész számszorosa a-nak, akkor (a, b) = a és így az előző Lemma szerint f valóban előáll a kívánt alakban.

Legyenek most a és b tetszőleges összemérhető periódusok. Ekkor Δ_{a}Δ_{b}f = 0 feltételből következik, hogy

Δ_{[a,b]}Δ_{b}f = 0; Δ_{a}Δ_{[a,b]}f = 0,

azaz a Δ_{[a,b]}f függvény a és b-periodikus, így (a, b)-periodikus. Tehát

Δ_{(a,b)}Δ_{[a,b]}f = 0.

Itt viszont [a, b] egész számszorosa (a, b)-nek, vagyis léteznek L (a, b)-lineáris és f′ [a, b]-periodikus függvények, melyre f = L + f′. Azonban

Δ_{(a,b)}Δ_{(a,b)}L = 0 ⇒ Δ_{a}Δ_{b}L = 0 ⇒ Δ_{a}Δ_{b}f′ = Δ_{a}Δ_{b}(f − L) = 0.

Tehát f′-re fennállnak, hogy

Δ_{a}Δ_{b}f′ = 0; Δ_{[a,b]}f′ = 0,

vagyis f′-re teljesül az általánosított differencia feltétel a, b periódusok esetén. A 2.14. Tétel miatt ekkor f′ felírható egy a-periodikus és egy b-periodikus függvény összegeként. _{■}

4.5. Lemma. Legyenek a és b összemérhető periódusok, L pedig a-lineáris függvény. Ha L még b-periodikus is vagy korlátos, akkor egyúttal a-periodikus.

Bizonyítás. Legyen m := na valamelyilyen n pozitív egészre. Az a-linearitás azt jelenti, hogy f(x + 2a) − f(x + a) = f(x + a) − f(x) minden x-re. Rögzítsük x-et, ekkor c := f(x + a) − f(x) = f(x + (i + 1) · a) − f(x + i · a) tetszőleges i egész számra. Ebből azt kapjuk, hogy

f(x + m) − f(x) = ∑_{i=0}^{n−1} f (x + (i + 1) · a) − f(x + i · a) = nc.

Ha L b-periodikus, akkor m = [a, b] esetén a fenti képletben f(x+m)−f(x) = 0, tehát c = 0 adódik, azaz f(x + a) = f(x). Ez minden x-re elmondható, így L valóban a-periodikus.

Ha L korlátos valamilyen K ∈ ℝ_{+} korláttal, akkor |f(x + m) − f(x)| ≤ 2K, vagyis |c| ≤ \frac{2K}{n}, és n → ∞ adja, hogy c = 0. _{■}

4.6. Következmény. Ha az a periódusra, f korlátos függvényre és k pozitív egészre

Δ_{a}^{k}f = 0,

akkor f a-periodikus.

Bizonyítás. Ha k = 1, akkor az állítás nyilvánvaló. Ha k ≥ 2, akkor vegyük az L = Δ_{a}^{k−2}f függvényt. Ez korlátos és a-lineáris, így az előző Lemma szerint a-periodikus. Vagyis

0 = Δ_{a}L = Δ_{a}Δ_{a}^{k−2}f = Δ_{a}^{k−1}f.

Ezt addig ismételhetjük, amíg a kitevő lemegy 1-re. Az viszont éppen azt jelenti, hogy f a-lineáris.

Megjegyezzük, hogy ez az állítás következik abból a bevezetésben említett tényből is, hogy B(ℝ) rendelkezik a felbontási tulajdonsággal [12]. (Emlékeztetőül, ez azt jelenti, hogy ha egy korlátos f : ℝ → ℝ függvényre Δ_{a_{1}} … Δ_{a_{k}}f = 0, akkor f felírható korlátos, a_{i}-periodikus függvények összegeként. A most bizonyított állítás ennek éppen az a_{1} = … = a_{k} = a speciális esete.) _{■}

Mielőtt rátérnénk a legáltalánosabb eset (4.9. Tétel) tárgyalására, két speciális esetet (4.7. és 4.8.) bizonyítunk, amiknek az eredményét és módszereit használni fogjuk az általános esetnél.

4.7. Állítás. Ha az a_{1}, a_{2}, …, a_{k} periódusok összemérhetők, akkor a homogén egyenletnek csak triviális megoldásai vannak.

Bizonyítás. Indukcióval bizonyítunk. Egy illetve két periódus esetén persze igaz. Legyen k ≥ 3, és tegyük fel, hogy k-nál kevesebb periódusra az állítás igaz. Ha a h_{1} + … + h_{k} = 0 homogén megoldást a_{1} szerint deriváljuk, akkor egy

ĥ_{2} + ĥ_{3} + … + ĥ_{k} = 0 (ĥ_{i} = Δ_{a_{1}}h_{i})

homogén megoldást kapunk az a_{2}, a_{3}, …, a_{k} periódusokra. Az indukció miatt ez triviális megoldás, azaz léteznek a megfelelő ĥ_{i,j} (a_{i}, a_{j})-periodikus függvények (2 ≤ i, j ≤ k). Ezeknek vegyük valamilyen primitív függvényét a_{1} szerint. A 4.3. Lemma szerint ezek h_{i,j} + L_{i,j} alakban írhatók, ahol h_{i,j} (a_{i}, a_{j})-periodikus, L_{i,j} pedig a_{1}-lineáris. Arra is nyilván tudunk ügyelni, hogy ĥ_{i,j} illetve ĥ_{j,i} (amik egymás ellentettjei) primitív függvényében a h_{i,j} illetve h_{j,i} függvények is egymás ellentettjei legyenek.

Belátjuk, hogy az L_{i,j}-k úgy is megválaszthatók, hogy

h_{i} = ∑_{j=2}^{k} h_{i,j} + L_{i,j} (i = 2, 3, …, k)  (4.3)

teljesüljön. Ugyanis ĥ_{i}-nek a_{1} szerinti felemeltje h_{i} és ∑_{j=2}^{k} h_{i,j} + L_{i,j} is, ezért ezek különbsége egy a_{1}-periodikus függvény. Ezt a függvényt adjuk hozzá valamely j-re L_{i,j}-hez. Továbbra is igaz, hogy L_{i,j} a_{1}-lineáris és h_{i,j} + L_{i,j} primitív függvénye ĥ_{i,j}-nek, és így már (4.3) is fennáll.

Mivel a h_{i,j}-k a_{i}-periodikusak minden j-re, ezért ∑_{j=2}^{k} L_{i,j} is a_{i}-periodikus. Másrészt a_{1}-lineáris is, így a 4.5. Lemma miatt a_{1}-periodikus. Válasszuk ezt a függvényt h_{i,1}-nek és az ellentettjét h_{1,i}-nek. A megfelelő periodikusságok teljesülnek, az indexeket megcserélve mindig ellentett függvényt kapunk, és h_{i,1}-et úgy választottuk, hogy h_{i} = ∑_{j=1}^{k} h_{i,j} fennálljon (i = 2, 3, …, k). Egyedül azt kell még ellenőrizni, hogy ez i = 1-re is teljesül. Valóban,

h_{1} = −h_{2} − … − h_{k} = − ∑_{i=2}^{k} ∑_{j=1}^{k} h_{i,j} =^{∗} − ∑_{i=2}^{k} h_{i,1} = ∑_{i=2}^{k} h_{1,i},

ahol a ∗-gal megjelölt egyenlőség azért áll fenn, mert

∑_{i=2}^{k} ∑_{j=2}^{k} h_{i,j} = 0,

ami pedig a h_{i,j} = −h_{j,i} egyenlőségekből következik. _{■} 4.8. Lemma. Ha az a_{2}, …, a_{k} periódusokra igaz, hogy minden homogén megoldás triviális, akkor ez igaz az a_{1}, a_{2}, …, a_{k} periódusokra is feltéve, hogy minden 2 ≤ i, j ≤ k indexpárra fennáll, hogy a_{1} ∉ ⟨a_{i}, a_{j}⟩_{ℚ}. (Azaz vagy a_{i} és a_{j} összemérhetők egymással, de a_{1}-gyel nem, vagy a_{1}, a_{i} és a_{j} lineárisan függetlenek.)

Bizonyítás. Ha a h_{1} + … + h_{k} = 0 homogén megoldást a_{1} szerint deriváljuk, akkor egy

ĥ_{2} + ĥ_{3} + … + ĥ_{k} = 0 (ĥ_{i} = Δ_{a_{1}}h_{i})

homogén megoldást kapunk az a_{2}, a_{3}, …, a_{k} periódusokra, A feltevéseink értelmében ez egy triviális megoldás, így találhatók megfelelő ĥ_{i,j} : ℝ → ℝ függvények (2 ≤ i, j ≤ k). Ezeknek a ĥ_{i,j} függvényeknek van olyan a_{1} szerinti primitív függvénye, amely ugyancsak a_{i} és a_{j}-periodikus. (Ugyanis ha a_{i} és a_{j} összemérhetők, akkor (a_{i}, a_{j})-periodikusságról van szó, és a 2.11. Lemma (a) része mutatja a megfelelő primitív függvény létezését. Ha a_{1}, a_{i} és a_{j} lineárisan függetlenek, akkor pedig a 2.12. Lemma alkalmazható.) Jelölje ezt a primitív függvényt h_{i,j} (2 ≤ i, j ≤ k). Persze h_{i,j} = −h_{j,i} teljesülésére is tudunk ügyelni. Legyen továbbá

h_{i,1} := h_{i} − h_{i,2} − h_{i,3} − … − h_{i,k}.

Azt állítjuk, hogy az így definiált h_{i,1} a_{1} és a_{i}-peirodikus. Valóban,

Δ_{a_{1}}h_{i,1} = ĥ_{i} − ĥ_{i,2} − … − ĥ_{i,k} = 0,
Δ_{a_{i}}h_{i,1} = Δ_{a_{i}}h_{i} − Δ_{a_{i}}h_{i,2} − … − Δ_{a_{i}}h_{i,k} = 0 − 0 − … − 0 = 0.

Végül pedig h_{1,i} legyen az imént megadott h_{i,1} ellentettje. Ekkor

h_{1} = −h_{2} − … − h_{k} = − ∑_{i=2}^{k} ∑_{j=1}^{k} h_{i,j} = − ∑_{i=2}^{k} h_{i,1} = ∑_{i=2}^{k} h_{1,i},

azaz a h_{1,i}-k összege valóban h_{1}. _{■}

4.9. Tétel. Ha a_{1}, a_{2}, …, a_{k} olyan periódusok, hogy közülük bármely három, melyek páronként nem összemérhetők, egyúttal lineárisan függetlenek is (vagyis az előforduló irányok közül bármely három lineárisan független), akkor minden homogén megoldás triviális.

Bizonyítás. Indukcióval bizonyítunk, tegyük fel, hogy k-nál kevesebb periódus esetén a tétel állítása igaz. Feltehető, hogy az a_{1}-gyel összemérhető periódusok a_{1}, …, a_{l}.

\underline{1. eset}: l = 1 Ebben az esetben nincs más a_{1}-gyel összemérhető periódus. Ha a_{i} és a_{j} nem összemérhetők valamilyen i, j ≥ 2 indexpárra, akkor a feltételek szerint a_{1}, a_{i}, a_{j} lineárisan függetlenek. Így a 4.8. Lemma alkalmazható, készen vagyunk. \underline{2. eset}: l ≥ 2 A h_{1} + … + h_{k} = 0 homogén megoldást a_{1} szerint deriváljuk, egy

ĥ_{2} + ĥ_{3} + … + ĥ_{k} = 0 (ĥ_{i} = Δ_{a_{1}}h_{i})

homogén megoldást kapunk az a_{2}, a_{3}, …, a_{k} periódusokra. Az indukció miatt ez triviális megoldás, azaz léteznek a megfelelő ĥ_{i,j} a_{i} és a_{j}-periodikus függvények (2 ≤ i, j ≤ k). Mit mondhatunk ezek a_{1} szerinti primitív függvényeiről?

Ha l + 1 ≤ i ≤ k ; l + 1 ≤ j ≤ k, akkor a_{1} ∉ ⟨a_{i}, a_{j}⟩_{ℚ} és ilyenkor létezik h_{i,j} primitív függvény, ami a_{i} és a_{j} szerint is periodikus, ahogy azt a 4.8. Lemma bizonyításánál már meggondoltuk.

Ha l + 1 ≤ i ≤ k ; 2 ≤ j ≤ l, akkor ĥ_{i,j} a_{i} és a_{j} szerint periodikus, ahol a_{1} összemérhető a_{j}-vel, de a_{i}-vel nem. A 4.3. Lemma miatt ekkor minden primitív függvény h_{i,j} + L_{i,j} alakú, ahol h_{i,j} a_{i} és a_{j}-periodikus és L_{i,j} a_{1}-lineáris. A 4.7. Állítás bizonyításánál azt is láttuk, hogy L_{i,j}-ket választhatjuk úgy, hogy

h_{i} = ∑_{j=2}^{k} h_{i,j} + ∑_{j=2}^{l} L_{i,j} = ∑_{j=2}^{k} h_{i,j} + L_{i} (l + 1 ≤ i ≤ k),

ahol L_{i} = ∑_{j=2}^{l} L_{i,j} a_{1}-lineáris és (a fenti egyenlőség miatt) a_{i}-periodikus függvény. Vagyis ez még nem jó felbontása h_{i}-nek: csak a_{1}-linearitást tudunk L_{i}-ről a_{1}-periodikusság helyett.

Mivel h_{i,j} = −h_{j,i}, így ∑_{i=l+1}^{k} ∑_{j=l+1}^{k} h_{i,j} = 0. Ezt a ∗-gal jelölt egyenlőségnél használva:

− ∑_{i=1}^{l} h_{i} = ∑_{i=l+1}^{k} h_{i} = ∑_{i=l+1}^{k} ∑_{j=2}^{k} h_{i,j} + ∑_{i=l+1}^{k} L_{i} =^{∗} ∑_{i=l+1}^{k} ∑_{j=2}^{l} h_{i,j} + ∑_{i=l+1}^{k} L_{i}.

Az L_{1} = ∑_{i=1}^{l} h_{i} + ∑_{i=l+1}^{k} ∑_{j=2}^{l} h_{i,j} jelölés mellett:

L_{1} + L_{l+1} + L_{l+2} + … + L_{k} = 0.

Ekkor egyrészt L_{1} m-periodikus, ahol m = [a_{1}, …, a_{l}], hiszen minden tagja a_{j}- periodikus valamilyen 1 ≤ j ≤ l-re, másrészt L_{1} a_{1}-lineáris, hiszen a többi L_{i} (l + 1 ≤ i ≤ k) mind az. A 4.5. Lemma miatt ekkor L_{1} valójában a_{1}-periodikus is. Ez azt jelenti, hogy az L_{i}-k homogén megoldást adnak az a_{1}, a_{l+1}, a_{l+2}, …, a_{k} periódusok mellett. Mivel l ≥ 2, ezért ez legfeljebb k − 1 periódus, az indukció alkalmazható, így kapunk h′_{i,j} függvényeket (i, j ∈ {1, l + 1, …, k}), melyekre h′_{i,j} = −h′_{j,i} a_{i} és a_{j}-periodikusak, valamint

L_{i} = h′_{i,1} + ∑_{j=l+1}^{k} h′_{i,j} (i = 1, l + 1, …, k).

Vezessük be l + 1 ≤ i ≤ k-ra az alábbi h′′_{i,j} függvényeket.

h′′_{i,j} := \{ \begin{matrix}h′_{i,1} & (j = 1) \\ h_{i,j} & (2 ≤ j ≤ l) \\ h_{i,j} + h′_{i,j} & (l + 1 ≤ j ≤ k) \end{matrix}

Legyen továbbá h′′_{i,j} := −h′′_{j,i}, ha i ≤ l és j ≥ l + 1.

Már csak azon esetekben nincs definiálva h′′_{i,j}, ha mindkét index legfeljebb l. Most rátérünk erre az esetre is. Korábbiakhoz hasonló számolással kapjuk, hogy

∑_{i=1}^{l} h_{i} = − ∑_{i=l+1}^{k} h_{i} = − ∑_{i=l+1}^{k} ∑_{j=1}^{k} h′′_{i,j} = ∑_{i=1}^{k} ∑_{j=l+1}^{k} h′′_{i,j} = ∑_{i=1}^{l} ∑_{j=l+1}^{k} h′′_{i,j}.

Vagyis g_{i} := (h_{i} − ∑_{j=l+1}^{k} h′′_{i,j}) a_{i}-periodikus függvények (i = 1, …, l) homogén megoldást adnak az a_{1}, …, a_{l} periódusok mellett. Ezek összemérhető periódusok, így a 4.7. Állítás miatt a megoldás triviális, vagyis léteznek megfelelő h′′_{i,j} (1 ≤ i, j ≤ l) függvények. Ezekkel egészítsük ki a már meglévő h′′_{i,j}-ket. Minden kívánt tulajdonság teljesül. _{■}

4.2. Nem-triviális megoldások

4.2.1. Három periódus esete

A homogén egyenletnek lehetnek nem-triviális megoldásai is. A 4.9. Tétel szerint erre akkor van esély, ha az a_{1}, …, a_{k} periódusok között van három, melyek lineárisan összefüggnek, de páronként összemérhetetlenek. A legegyszerűbb ilyen eset az, amikor

k = 3 ; \frac{a_{1}}{a_{2}} ∉ ℚ ; a_{3} = r_{1}a_{1} + r_{2}a_{2} (r_{1}, r_{2} ∈ ℚ \ \{0\}).

Ekkor ⟨a_{1}, a_{2}, a_{3}⟩_{ℤ} egy ℤ × ℤ-vel izomorf additív részcsoportja ℝ-nek. Ezek eltoltjainak diszjunkt uniójaként előállítható ℝ. Világos, hogy ezeken külön-külön lehet megadni a homogén megoldást.

Legyenek tehát a_{i} = (m_{i}, n_{i}) ∈ ℤ × ℤ (i = 1, 2, 3) periódusok, melyekre ⟨a_{1}, a_{2}, a_{3}⟩_{ℤ} = ℤ × ℤ és az a_{i}-k páronként összemérhetetlenek, azaz egyik vektor sem skalárszorosa a másiknak. Azért valamilyen lineáris összefüggésnek kell lennie köztük: megfelelő c_{1}, c_{2}, c_{3} ∈ ℤ \ {0} együtthatókkal

c_{1}a_{1} + c_{2}a_{2} + c_{3}a_{3} = (c_{1}m_{1} + c_{2}m_{2} + c_{3}m_{3}, c_{1}n_{1} + c_{2}n_{2} + c_{3}n_{3}) = (0, 0).

Ekkor tetszőleges t ∈ ℝ esetén homogén megoldást adnak ℤ × ℤ-n a

h_{i}(x, y) := c_{i}t(n_{i}x − m_{i}y) (x, y ∈ ℤ)  (4.4)

függvények. Az is világos, hogy ez t ≠ 0 esetén egy nem-triviális megoldás. (Meggondolható ugyanis, hogy a triviális megoldások ℤ × ℤ-n véges sok értéket vesznek fel.) Azt fogjuk bizonyítani, hogy minden homogén megoldás egy (4.4) alakú és egy triviális megoldás összegeként áll elő.

Azokat a h_{1}, h_{2}, h_{3} : ℤ × ℤ → ℝ függvényeket keressük tehát, melyekre

h_{1} + h_{2} + h_{3} = 0 (Δ_{a_{i}}h_{i} = 0).

Először meghatározzuk azon h_{1} függvényeket, melyek a_{1}-periodikusak, valamint előállnak egy a_{2}-periodikus és egy a_{3}-periodikus függvény összegeként. Utóbbi azzal ekvivalens, hogy Δ_{a_{2}}Δ_{a_{3}}h_{1} = 0, hiszen a_{2} és a_{3} összemérhetetlenek. Tehát az alábbi egyenleteket kielégítő h_{1} : ℤ × ℤ → ℝ függvényeket keressük:

Δ_{a_{1}}h_{1} = 0 ; Δ_{a_{2}}Δ_{a_{3}}h_{1} = 0.  (4.5)

Első lépésként megadjuk a (4.5)egyenletet kielégítő korlátos h_{1} függvényeket. Tekintsük a ĥ_{1} = Δ_{a_{3}}h_{1} függvényt. Ez a_{1} és a_{2}-periodikus is. Megmutatjuk, hogy létezik olyan h′_{1} : ℤ × ℤ → ℝ függvény, amelyre

Δ_{a_{3}}h′_{1} = ĥ_{1} = Δ_{a_{3}}h_{1} és Δ_{a_{1}}h′_{1} = Δ_{a_{2}}h′_{1} = 0.

Vagyis azt akarjuk bizonyítani, hogy ĥ_{1}-et fel tudjuk úgy emelni a_{3} szerint, hogy megőrizze az a_{1} és a_{2}-periodikusságot. Válasszuk meg a (0, 0) pontban h′_{1} értékét tetszőlegesen. Innen a Δ_{a_{3}}h′_{1} = 0 feltétel mellett egyértelműen terjed ki a {d_{3}a_{3} : d_{3} ∈ ℤ} ⊂ ℤ × ℤ halmazra. Ezután tetszőleges d_{1}, d_{2}, d_{3} ∈ ℤ együtthatókra

h′_{1}(d_{1}a_{1} + d_{2}a_{2} + d_{3}a_{3}) := h′_{1}(d_{3}a_{3}).

Ezzel mindenhol megadtuk h′_{1}-t, hiszen ⟨a_{1}, a_{2}, a_{3}⟩_{ℤ} = ℤ × ℤ. Persze egy ℤ × ℤ-beli pont nem egyértelműen áll elő d_{1}a_{1} + d_{2}a_{2} + d_{3}a_{3} alakban, így h′_{1} jól definiáltságát még ellenőriznünk kell.

Tegyük fel, hogy d_{1}a_{1} + d_{2}a_{2} + d_{3}a_{3} = d′_{1}a_{1} + d′_{2}a_{2} + d′_{3}a_{3}. Kéne, hogy ekkor h′_{1}(d_{3}a_{3}) = h′_{1}(d′_{3}a_{3}). Persze csak d_{3} ≠ d′_{3} esetén van mit bizonyítani. Feltehető, hogy d′_{3} > d_{3}. Ekkor

h′_{1}(d′_{3}a_{3}) − h′_{1}(d_{3}a_{3}) = ∑_{j=d_{3}}^{d′_{3}−1} ĥ_{1}(ja_{3}) = h_{1}(d′_{3}a_{3}) − h_{1}(d_{3}a_{3}).

Tegyük fel indirekt módon, hogy ez nem 0. Mivel ĥ_{1} a_{1} illetve a_{2}-periodikus, ezért (d_{1} − d′_{1})a_{1} + (d_{2} − d′_{2})a_{2} = (d′_{3} − d_{3})a_{3} szerint is periodikus. Így

∑_{j=d_{3}+k(d′_{3}−d_{3})}^{d_{3}+(k+1)(d′_{3}−d_{3})−1} ĥ_{1}(ja_{3}) = ∑_{j=d_{3}}^{d′_{3}−1} ĥ_{1}(ja_{3}),

azaz

h_{1}(d_{3} + (k + 1)(d′_{3} − d_{3})) − h_{1}(d_{3} + k(d′_{3} − d_{3})) = h_{1}(d′_{3}a_{3}) − h_{1}(d_{3}a_{3}) = c ≠ 0,

ahol k tetszőleges pozitív egész, c pedig k-től nem függő nem 0 konstans. Azonban

h_{1}(d_{3} + k(d′_{3} − d_{3})) − h_{1}(d_{3}) = kc,

ami ellentmond h_{1} korlátosságának. Vagyis h′_{1} valóban jól definiált, és így automatikusan a_{1} és a_{2}-periodikus.

Ekkor

Δ_{a_{3}}(h_{1} − h′_{1}) = Δ_{a_{3}}h_{1} − Δ_{a_{3}}h′_{1} = ĥ_{1} − ĥ_{1} = 0,

továbbá Δ_{a_{1}}(h_{1} − h′_{1}) = 0 is teljesül, így a h_{1} = h′_{1} + (h_{1} − h′_{1}) felbontás mutatja, hogy h_{1} előáll egy a_{1} és a_{2}-periodikus valamint egy a_{1} és a_{3}-periodikus függvény összegeként. Tehát (4.5) egyenleteit kielégítő korlátos h_{1} függvények mind h_{1,2} + h_{1,3} alakúak.

Most rátérünk arra az esetre, amikor h_{1} nem feltétlenül korlátos. Többször fogjuk alkalmazni, ezért Lemmaként kimondjuk az alábbi trivialitást.

4.10. Lemma. Ha az f függvény a-periodikus, akkor tetszőleges b periódusra és k egész számra Δ_{b}f = Δ_{b+ka}f.

Bizonyítás. A Lemma állítását a

(Δ_{b}f)(x) = f(x + b) − f(x) = f(x + b + ka) − f(x) = (Δ_{b+ka}f)(x)

számolás bizonyítja. _{■}

A Lemma és (4.5) felhasználásával kapjuk, hogy

Δ_{a_{2}}Δ_{a_{3}}h_{1} = 0 ⇒ Δ_{a_{2}}Δ_{c_{3}a_{3}}h_{1} = 0 ⟹^{4.10.} Δ_{a_{2}}Δ_{c_{3}a_{3}+c_{1}a_{1}}h_{1} = 0,

amiből Δ_{a_{2}}Δ_{c_{2}a_{2}}h_{1} = 0 következik. Ugyanígy adódik Δ_{a_{3}}Δ_{c_{3}a_{3}}h_{1} = 0 is. Viszont a 4.10. Lemma újbóli felhasználásával kapjuk, hogy

Δ_{c_{2}a_{2}}h_{1} = Δ_{c_{2}a_{2}+c_{1}a_{1}}h_{1} = Δ_{−c_{3}a_{3}}h_{1}.

A fentiek alapján a bal oldal a_{2}-periodikus, a jobb oldal a_{3}-periodikus, és persze mindkét oldal a_{1}-periodikus. Következésképp Δ_{c_{2}a_{2}}h_{1} mindhárom periódus szerint periodikus, vagyis konstans u a teljes ℤ × ℤ-n valamilyen u valós számra.

Vegyük az alábbi L_{1} függvényt:

L_{1}(x, y) := t_{1}(n_{1}x − m_{1}y) (x, y ∈ ℤ), ahol t_{1} = \frac{u}{c_{2}(n_{1}m_{2} − m_{1}n_{2})}.

(Itt t_{1} nevezője nem 0, ugyanis sem c_{2}, sem n_{1}m_{2} −m_{1}n_{2} nem 0, az utóbbi amiatt, mert a_{1} és a_{2} nem egymás skalárszorosai.) Könnyen ellenőrizhető, hogy

Δ_{a_{1}}L_{1} = 0; Δ_{a_{2}}Δ_{a_{3}}L_{1} = 0; Δ_{c_{2}a_{2}}L_{1} ≡ u,

vagyis a h′_{1} = h_{1} − L_{1} függvényre

Δ_{a_{1}}h′_{1} = 0; Δ_{a_{2}}Δ_{a_{3}}h′_{1} = 0; Δ_{c_{2}a_{2}}h′_{1} = 0.

Tehát h′_{1} olyan megoldása a (4.5) egyenletnek, ami még (c_{2}a_{2})-periodikus is. Azonban egy a_{1} és (c_{2}a_{2})-periodikus függvény ℤ×ℤ-n csak véges sok féle értéket vehet fel, speciálisan korlátos. A korlátos eset vizsgálatánál láttuk, hogy

h′_{1} = h_{1,2} + h_{1,3} (Δ_{a_{1}}h_{1,2} = Δ_{a_{2}}h_{1,2} = Δ_{a_{1}}h_{1,3} = Δ_{a_{3}}h_{1,3} = 0),

amiből

h_{1}(x, y) = t_{1}(n_{1}x − m_{1}y) + h_{1,2}(x, y) + h_{1,3}(x, y).

Most már meg tudjuk adni a h_{1} + h_{2} + h_{3} = 0 három tagú homogén egyenlet megoldásait. Ismételjük el a fentieket a homogén megoldás másik két függvényére is. Azt kapjuk, hogy

h_{2}(x, y) = t_{2}(n_{2}x − m_{2}y) + h_{2,1} + h_{2,3},
h_{3}(x, y) = t_{3}(n_{3}x − m_{3}y) + h_{3,1} + h_{3,2}

valamilyen t_{2}, t_{3} valós számokra. Összeadva a három függvényt:

0 = (t_{1}n_{1} + t_{2}n_{2} + t_{3}n_{3})x − (t_{1}m_{1} + t_{2}m_{2} + t_{3}m_{3})y + ∑_{i≠j} h_{i,j}.

Az utolsó tag korlátos, így a maradéknak is annak kell lennie, ami csak úgy lehet, ha x és y együtthatója is 0. Tehát t_{1}a_{1}+t_{2}a_{2}+t_{3}a_{3} = 0, azaz valamilyen t ∈ ℝ-re:

t_{1} = tc_{1}; t_{2} = tc_{2}; t_{3} = tc_{3}.

Vagyis L_{i}(x, y) = tc_{i}(n_{i}x−m_{i}y) (i = 1, 2, 3). Ezek a függvények már magukban megoldását adják a homogén egyenletnek. Ettől az L_{i} megoldástól h_{i} egy h′_{i} = ∑_{j≠i} h_{i,j} (i = 1, 2, 3) megoldásban tér el. Azt akarjuk bizonyítani, hogy h′_{i} egy triviális homogén megoldás. Ehhez az kéne még, hogy h_{i,j} = −h_{j,i}, de ez nem feltétlenül teljesül. Azonban

h_{1,2} + h_{2,1} = −h_{1,3} − h_{3,1} − h_{2,3} − h_{3,2},

ahol a bal oldal a_{1} és a_{2}-periodikus, a jobb oldal pedig a_{3}-periodikus. Következésképp h_{1,2} + h_{2,1} ≡ c_{3} ℤ × ℤ-n. Ugyanígy h_{1,3} + h_{3,1} ≡ c_{2} és h_{2,3} + h_{3,2} ≡ c_{1}. Persze c_{1} + c_{2} + c_{3} = 0, így az alábbi h′_{i,j} függvények könnyen ellenőrizhetően igazolják a h′_{i} megoldás triviális voltát:

h′_{1,2} = h_{1,2} ; h′_{2,1} = h_{2,1} − c_{3};
h′_{1,3} = h_{1,3} ; h′_{3,1} = h_{3,1} − c_{2};
h′_{2,3} = h_{2,3} + c_{3} ; h′_{3,2} = h_{3,2} − c_{3} − c_{1}.

Ezzel beláttuk az alábbi tételt.

4.11. Tétel. Három páronként összemérhetetlen, de lineárisan összefüggő periódus esetén a homogén egyenlet minden megoldása (a periódusok által generált) ℤ × ℤ-n egy (4.4) alakú és egy triviális megoldás összege. Ha a megoldásokat ℝ-en keressük, akkor egymástól függetlenül adhatjuk meg azt az ⟨a_{1}, a_{2}, a_{3}⟩_{ℤ}+ x_{0} mellékosztályokon, azaz a (4.4)-ben szereplő t paraméter függhet x_{0}-tól.

4.2.2. Több periódus

Legyenek most a_{1}, a_{2}, …, a_{k} tetszőleges periódusok. Ezek közül válasszunk ki kettőt: a_{j_{1}}, a_{j_{2}}. Homogén megoldást kapunk, ha h_{j_{1}} a_{j_{1}} és a_{j_{2}}-periodikus függvény, h_{j_{2}} ennek ellentettje, a többi h_{i} pedig 0. Ilyen megoldások összege is homogén megoldás – ezeket neveztük triviálisnak. Ha három olyat veszünk (a_{j_{1}}, a_{j_{2}}, a_{j_{3}}), melyek lineárisan összefüggnek, de páronként összemérhetetlenek, akkor az előző részben megadott három tagú homogén megoldásokat minden ⟨a_{j_{1}}, a_{j_{2}}, a_{j_{3}}⟩_{ℤ} + x_{0} alakú halmazon elkészítve (t függhet x_{0}-tól), a többi periódushoz tartozó h_{i} függvényt pedig 0-nak választva, persze homogén megoldást kapunk. (Erről nem világos, hogy miért ne lenne triviális. A következő fejezetben fog kiderülni, hogy ezek között van nem-triviális megoldás.)

Felmerül a kérdés, hogy minden homogén megoldás előáll-e ilyenek összegeként. A válasz az, hogy nem. Vegyük az (1, 0); (0, 1); (1, 1); (1, −1) ∈ ℤ × ℤ periódusokat. Megadunk ℤ × ℤ-n egy homogén megoldást a fenti periódusokkal:

2y^{2} + 2x^{2} − (x − y)^{2} − (x + y)^{2} = 0.

Ez nem áll elő olyan megoldások összegeként, amelyekben az egyik periódushoz tartozó függvény azonosan 0, ugyanis az ilyenekről az előző részben láttuk, hogy x, y-ban lineárisak. (Hiszen a triviális megoldások jelen esetben konstans függvényekből állnak, mivel bármely két periódus generálja az egész ℤ × ℤ-t.)

A fenti példa általánosításaként tekintsük a következőt. Legyen k ≥ 2, a_{i} = (m_{i}, n_{i}) ∈ ℤ × ℤ (1 ≤ i ≤ k) tetszőlegesek. Homogén megoldást keresünk az

f_{i}(x, y) = λ_{i}(n_{i}x − m_{i}y)^{k−2} (i = 1, 2, …, k)

alakban. A ∑_{i=1}^{k} f_{i}(x, y) = 0 egyenletben a bal oldalt kifejtve egy (k − 2) fokú homogén kétváltozós polinomot kapunk. Egy ilyen polinomnak (k − 1) monomja van: x^{j}y^{k−2−j} (j = 0, 1, …, k − 2). Ezen monomok együtthatóit 0-nak előírva a λ_{1}, …, λ_{k} együtthatókra egy (k−1) egyenletből álló k-változós homogén lineáris egyenletrendszert kapunk. Ennek van olyan megoldása, amelyben nem minden λ_{i} egyenlő 0. Belátható, hogy ha az a_{i}-k páronként összemérhetetlenek, akkor az egyenletrendszer minden nem triviális megoldására λ_{i} ≠ 0 (i = 1, 2, …, k).

4.12. Kérdés. Igaz-e, hogy minden homogén megoldást megkaphatunk olyan homogén megoldások összegeként, melyeknél a nem azonosan 0 függvényekhez tartozó periódusok egy síkban vannak.

4.13. Kérdés. Mik a megoldásai a homogén egyenletnek ℤ × ℤ-n tetszőleges periódusok esetén?

Korlátosan felbontható függvények

Ebben a fejezetben a következő két fogalom kapcsolatát vizsgáljuk. Legyen A tetszőleges Abel csoport.

5.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : A → ℝ függvény korlátosan valós felbontható a_{1}, a_{2}, …, a_{k} periódusokkal, ha

∃f_{1}, f_{2}, …, f_{k} : A → ℝ f = f_{1}+f_{2}+…+f_{k} ; Δ_{a_{i}}f_{i} = 0 ; f_{i} korl. (1 ≤ i ≤ k).

Jelben: KV F_{a_{1},...,a_{k}}(f) vagy röviden KV F (f), ha világos, hogy mik a periódusok.

5.2. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : A → ℤ függvény korlátosan egész felbontható a_{1}, a_{2}, …, a_{k} periódusokkal, ha

∃g_{1}, g_{2}, …, g_{k} : A → ℤ f = g_{1}+g_{2}+…+g_{k} ; Δ_{a_{i}}g_{i} = 0 ; g_{i} korl. (1 ≤ i ≤ k).

Jelben: KEF_{a_{1},...,a_{k}}(f) vagy röviden KEF (f), ha világos, hogy mik a periódusok.

Legyen most A = ℝ. Az alábbi impliációk közül az első triviális, a második pedig a 2.15. Tétel állítása.

KV F_{a_{1},...,a_{k}}(f) ⟹ V F_{a_{1},...,a_{k}}(f) ⟹ EF_{a_{1},...,a_{k}}(f)

De vajon van-e egész értékű korlátos felbontás is? Általában nincs. Károlyi, Keleti, Kós és Ruzsa adott példát [7]-ben olyan ℤ × ℤ → {0, 1} függvényre, amely korlátosan valós felbontható, de nem korlátosan egész felbontható (lásd 5.4. Állítás). Másrészt egyszerű gondolatmenet mutatja, hogy összemérhető illetve lineárisan független esetben van korlátos egész felbontás is.

Ebben a fejezetben meghatározzuk azon a_{1}, a_{2}, …, a_{k} periódusokat, amikre fennáll ez a KV F ⇒ KEF implikáció, valamint rámutatunk a kérdésnek a homogén megoldásokkal való kapcsolatára.

Már többször említettük, hogy a korlátos ℝ → ℝ függvények B(ℝ) osztálya rendelkezik a felbontási tulajdonsággal [12]. Emiatt a_{1}, a_{2}, …, a_{k} periódusokra és f : ℝ → ℤ függvényre

KV F_{a_{1},...,a_{k}}(f) ⟺ f korl. és V F_{a_{1},...,a_{k}}(f) ⟺ f korl. és Δ_{a_{1}} … Δ_{a_{k}}f = 0.

5.1. Kapcsolat a homogén megoldásokkal

5.3. Tétel. Ha az a_{1}, a_{2}, …, a_{k} periódusokra a (4.1) homogén egyenlet minden megoldása triviális, akkor KV F ⇒ KEF fennáll.

Bizonyítás. Vegyünk egy f : ℝ → ℤ függvényt, tegyük fel, hogy létezik korlátos valós felbontása. Ekkor 2.15. Tétel miatt van egész felbontása is.

f = f_{1} + f_{2} + … + f_{k} = g_{1} + g_{2} + … + g_{k},

ahol f_{i} : ℝ → ℝ korlátos, g_{i} : ℝ → ℤ nem feltétlenül korlátos függvények, melyekre Δ_{a_{i}}f_{i} = Δ_{a_{i}}g_{i} = 0. Ekkor persze h_{i} := f_{i} − g_{i} egy homogén megoldás. A feltételek szerint ez egy triviális megoldás, vegyük a megfelelő h_{i,j} : ℝ → ℝ függvényeket. Ezekhez közel választunk egész értékű h̃_{i,j} függvényeket, melyek továbbra is teljesítik a Δ_{a_{i}} h̃_{i,j} = Δ_{a_{j}} h̃_{i,j} = 0 és h̃_{i,j} = −h̃_{j,i} feltételeket. Ez nyilván megtehető úgy, hogy |h̃_{i,j}(x) − h_{i,j}(x)| < 1 minden i, j, x-re. Ezekből legyártva a

h̃_{i} := ∑_{j=1}^{k} h̃_{i,j}

egész értékű a_{i}-periodikus függvényeket, azok továbbra is megoldásai lesznek a homogén egyenletnek (h̃_{1} + … + h̃_{k} = 0), és közel vannak a h_{i} függvényekhez:

|h̃_{i}(x) − h_{i}(x)| ≤ ∑_{1≤j≤k ; j≠i} |h̃_{i,j}(x) − h_{i,j}(x)| < k − 1.

Azt állítjuk, hogy a f̃_{i} := g_{i} + h̃_{i} függvények egy korlátos egész felbontását adják f-nek. Az világos, hogy ez egész felbontás, hiszen úgy kaptuk, hogy egy egész felbontáshoz hozzáadtunk egy egész értékű homogén megoldást. A korlátossághoz elég belátni, hogy f̃_{i} − f_{i} korlátos. Valóban,

|f̃_{i}(x) − f_{i}(x)| = |(g_{i}(x) + h̃_{i}(x)) − (g_{i}(x) + h_{i}(x))| = |h̃_{i}(x) − h_{i}(x)| < k − 1.

Ezzel az f̃_{i} felbontásnak minden kívánt tulajdonságát beláttuk. _{■}

Mivel a 4.9. Tétel szerint minden homogén megoldás triviális feltéve, hogy a periódusok között előforduló irányok közül bármely három lineárisan független, ezért azt kaptuk, hogy ebben az esetben fennáll KV F ⇒ KEF. Látni fogjuk, hogy más esetekben az implikáció nem áll fenn.

5.2. Negatív eredmények

Az alábbi példát [7]-ben adták. Mi másképp bizonyítjuk, hogy a konstruált függvény nem korlátosan egész felbontható. Ezzel a módszerrel ugyanis valamivel több is kijön majd (lásd 5.6. Állítás).

5.4. Állítás. Létezik egy f : ℤ × ℤ → {0, 1} függvény, amit fel lehet írni egy (1, 0)-periodikus, egy (0, 1)-periodikus és egy (1, 1)-periodikus ℤ × ℤ → [−1, 1] függvény összegeként, de nem lehet felírni három periodikus, korlátos ℤ × ℤ → ℤ függvény összegeként ugyanazokkal a periódusokkal.

Bizonyítás. Legyenek a_{1} = (1, 0); a_{2} = (0, 1); a_{3} = (1, 1) ∈ ℤ × ℤ periódusok. Rögzítsünk egy t irracionális számot. Tekintsük az alábbi ℤ × ℤ → ℝ függvényeket.

f_{1}(x, y) := −{ty} ; f_{2}(x, y) := {tx} ; f_{3}(x, y) := {t(−x + y)} (x, y ∈ ℤ),

ahol {a} jelöli az a valós szám tört részét. Világos, hogy Δ_{a_{i}}f_{i} = 0 (i = 1, 2, 3). Továbbá −1 < f_{1} ≤ 0; 0 ≤ f_{2} < 1; 0 ≤ f_{3} < 1, vagyis az f_{i} függvények korlátosak is. Következésképp az

f(x, y) := f_{1}(x, y)+f_{2}(x, y)+f_{3}(x, y) = −{ty}+{tx}+{t(−x+y)} (x, y ∈ ℤ)

függvény korlátosan valós felbontható a_{1}, a_{2}, a_{3} periódusokkal. Továbbá az előbbi egyenlőtlenségek miatt −1 < f < 2 is fennáll.

Felhasználva a (−ty) + tx + t(−x + y) = 0 egyenlőséget, f így is írható:

f(x, y) = g_{1}(x, y) + g_{2}(x, y) + g_{3}(x, y) := [ty] − [tx] − [t(−x + y)] (x, y ∈ ℤ), ahol [a] = a − {a} az a valós szám egész részét jelöli. Ez az alak mutatja, hogy f valójában egész értékű, sőt, −1 < f < 2 miatt ℤ × ℤ → {0, 1} függvény.

Azt kell még belátnunk, hogy f nem korlátosan egész felbontható a_{1}, a_{2}, a_{3}- mal. Tegyük fel indirekt, hogy létezik

f = g′_{1} + g′_{2} + g′_{3} (g′_{i} : ℤ × ℤ → ℤ korlátos és a_{i}-periodikus)

felbontás. A két egész felbontást kivonva egymásból a h_{i} := g_{i} − g′_{i} (i = 1, 2, 3) egész értékű homogén megoldáshoz jutunk. Alkalmazzuk a homogén felbontásra a Δ_{a_{2}}Δ_{a_{3}} operátort, ami az a_{2} illetve a_{3}-periodikus függvényeket 0-ba viszi:

0 = Δ_{(0,1)}Δ_{(1,1)}h_{1} =^{∗} Δ_{(0,1)}Δ_{(0,1)}h_{1},

ahol a (*)-gal jelölt egyenlőség a 4.10. Lemma következménye. (A szereposztás: f = h_{1} ; a = a_{1} = (1, 0) ; b = a_{3} = (1, 1) ; k = −1.) Ebből következik, hogy h_{1}-et megszorítva ({0} × ℤ) ≅ ℤ-re egy 1-lineáris L : ℤ → ℤ függvényt kapunk. Másrészt h_{1} − g_{1} = −g′_{1} korlátossága miatt L(y) − [ty] is korlátos. Legyen

L′(y) := L(y) − ty = L(y) − [ty] − {ty},

ami az első alakja miatt 1-lineáris, a második alakja miatt korlátos, így szükségképpen konstans függvény (4.5. Lemma). Azonban L(y) = ty + c semmilyen c konstansra nem lesz mindenhol egész, ellentmondás. _{■}

5.5. Megjegyzés. Könnyen meggondolható, hogy

f(x, y) = \{ \begin{matrix}1 & ha \{tx\} > \{ty\} \\ 0 & ha \{tx\} ≤ \{ty\}. \end{matrix}

Valójában a fenti f függvényt még úgy sem lehet felbontani korlátos egész értékű periodikus függvények összegére, ha tetszőleges más „síkbeli” periódusokat is használhatunk. Ez könnyen kiolvasható a most következő Állítás bizonyításából.

5.6. Állítás. Tegyük fel, hogy az a_{1}, a_{2}, …, a_{k} ∈ ℚ × ℚ periódusok között található három páronként nem összemérhető. Ekkor megadható ℚ × ℚ → ℤ függvény, amely korlátosan valós felbontható, de nem korlátosan egész felbontható az a_{1}, a_{2}, …, a_{k} periódusokkal.

Bizonyítás. A három páronként nem összemérhető periódus legyen a_{1}, a_{2}, a_{3}. Ekkor közülük kettő bázisát adja ℚ × ℚ-nak, így feltehető, hogy a_{1} = (1, 0) és a_{2} = (0, 1). Jelöljék továbbá az a_{i} koordinátáit a p_{i} illetve q_{i} racionális számok. Mivel a_{3} nem összemérhető a_{1}, a_{2}-vel, így p_{3}, q_{3} ≠ 0.

Vegyük észre, hogy minden racionális r-re az (x, y) ↦ f(y) alakú leképezések (r, 0)-periodikusak, az (x, y) ↦ f(x) alakúak (0, r)-periodusak, míg az (x, y) ↦ f(−q_{3}x + p_{3}y) alakúak (r · p_{3}, r · q_{3})-periodikusak.

Rögzítsünk egy t irracionális számot, és tekintsük az alábbi függvényeket.

f_{1}(x, y) := −{tp_{3}y} ; g_{1}(x, y) := [tp_{3}y]
f_{2}(x, y) := {tq_{3}x} ; g_{2}(x, y) := −[tq_{3}x]
f_{3}(x, y) := {t(−q_{3}x + p_{3}y)} ; g_{3}(x, y) := − [t(−q_{3}x + p_{3}y)]

A megjegyzéseink alapján Δ_{a_{i}}f_{i} = Δ_{a_{i}}g_{i} = 0, ha i ≤ 3. Másrészt (−tp_{3}y) + tq_{3}x+t(−q_{3}x+p_{3}y) = 0 miatt f_{1}+f_{2}+f_{3} = g_{1}+g_{2}+g_{3}. Jelölje ezt az összeget f. Világos, hogy f : ℚ × ℚ → ℤ korlátosan valós felbontható a_{1}, a_{2}, a_{3}-mal. Ekkor persze KV F_{a_{1},...,a_{k}}(f) is teljesül, hiszen a felbontásban szereplő többi függvényt (f_{i}, i ≥ 4) választhatjuk 0-nak.

Belátjuk, hogy nem létezik korlátos egész felbontása. Tegyük fel indirekt, hogy

f = g′_{1} + g′_{2} + … + g′_{k} (g′_{i} : ℚ × ℚ → ℤ korlátos és a_{i}-periodikus).

Először nézzük azt az esetet, amikor a_{1} irányában már nincs több periódus, azaz q_{i} ≠ 0, ha i ≠ 1.

Jelölje [q_{2} = 1, q_{3}, …, q_{k}] legkisebb közös többszöröst M. Ekkor \frac{M}{q_{i}} egész számok. N-et válasszuk úgy, hogy Np_{i} ∈ ℤ teljesüljön minden i ≥ 2-re. Tekintsük az n_{i} := \frac{MN}{q_{i}} egész számokat. A fentiek alapján világos, hogy

n_{i}a_{i} = (n_{i}p_{i}, n_{i}q_{i}) = (\frac{M}{q_{i}} (Np_{i}), MN) ∈ ℤ × \{MN\} (i = 2, 3, …, k).

Alkalmazzuk f-re az S = Δ_{n_{2}a_{2}} … Δ_{n_{k}a_{k}} operátort.

Sf = Sg_{1} = Sg′_{1}

(Ugyanis i ≥ 2-re az a_{i}-periodikus függvényeket 0-ba viszi S.) Tehát a h_{1} := g_{1} − g′_{1} függvényekre Sh_{1} = 0. Azt állítjuk, hogy Sh_{1} = Δ_{n_{2}a_{2}} … Δ_{n_{k−1}a_{k−1}}Δ_{n_{k}a_{k}}h_{1} = Δ_{n_{2}a_{2}} … Δ_{n_{k−1}a_{k−1}}Δ_{(MN \frac{p_{k}}{q_{k}} ,MN)}h_{1} =

= Δ_{n_{2}a_{2}} … Δ_{n_{k−1}a_{k−1}}Δ_{(0,MN)}h_{1} = … = Δ_{(0,MN)} … Δ_{(0,MN)}Δ_{(0,MN)}h_{1}.

Ugyanis h_{1} a_{1} = (1, 0)-periodikusságát és (MN \frac{p_{k}}{q_{k}}) ∈ ℤ-t felhasználva a 4.10. Lemma adja, hogy

Δ_{n_{k}a_{k}}h_{1} = Δ_{(MN \frac{p_{k}}{q_{k}} ,MN)}h_{1} = Δ_{(0,MN)}h_{1}.

Vagyis Δ_{n_{k}a_{k}} lecserélhető Δ_{(0,MN)}-re. Azonban a Δ_{(0,MN)}h_{1} függvény ugyancsak (1, 0)-periodikus, így ugyanez a gondolatmenet mutatja, hogy Δ_{n_{k−1}a_{k−1}} is lecserélhető Δ_{(0,MN)}-re, és így tovább.

A fenti okoskodásból az jött tehát ki, hogy

Δ_{(0,MN)}^{k−1}h_{1} = 0.

Tekintsük az

L_{1}(x, y) = h_{1}(x, y) − tp_{3}y

függvényt, ami egyrészt korlátos, hiszen

L_{1}(x, y) = (h_{1}(x, y) − [tp_{3}y]) − {tp_{3}y} = −g′_{1}(x, y) − {tp_{3}y},

másrészt Δ_{(0,MN)}^{k−1}L_{1} = 0, mert ez h_{1}-re igaz, (x, y) ↦ tp_{3}y pedig (0, 1)-lineáris és k −1 ≥ 2. A 4.6. Következmény szerint ekkor L_{1} (0, MN)-periodikus. Vagyis

h_{1}(0, MN) − h_{1}(0, 0) = L_{1}(0, MN) − L_{1}(0, 0) + tp_{3}MN = tp_{3}MN ∉ ℚ,

holott h_{1} egész értékű, ellentmondás.

Ha a_{4}, …, a_{k} között vannak a_{1}-gyel összemérhetők, akkor a következőképp járunk el. Először kicsit megváltoztatjuk a jelöléseinket. Az a_{1}-gyel nem összemérhetőket továbbra is jelöljük a_{2}, …, a_{k}-val; az a_{1}-gyel összemérhetők legyenek a_{1} = (r_{1}, 0) = (1, 0); (r_{2}, 0); …; (r_{l}, 0). (Ezzel persze k értéke is változik.) Ezután jelölje m az [r_{1} = 1, r_{2}, …, r_{l}] legkisebb közös többszöröst. A fenti gondolatmeneten annyit változatunk, hogy miután feltesszük indirekt, hogy f-nek van korlátos egész felbontása, összeadjuk az a_{1} = (r_{1}, 0) = (1, 0); (r_{2}, 0); …; (r_{l}, 0) periódusokhoz tartozó függvényeket. Ezzel kapunk egy G′_{1} (m, 0)-periodikus függvényt. Az a_{i}-periodikusokat továbbra is jelölje g′_{i}, ha i ≥ 2. Ekkor mindent ugyanúgy csinálunk leszámítva azt, hogy N megválasztásánál Np_{i} ∈ mℤ-re ügyelünk. Mivel H_{1} := g_{1} − G′_{1} m-periodikus, ezért innen már minden ugyanúgy megy. _{■}

A következő lemma mutatja, hogy ha a ℚ × ℚ-beli periódusokhoz hozzáveszünk olyanokat, amik nem fekszenek ebben a síkban, akkor továbbra is fennáll, hogy KV F ⇏ KEF.

5.7. Lemma. Legyenek d < d′ pozitív egészek; a_{1}, a_{2}, …, a_{l} ∈ ℚ^{d} ⊂ ℚ^{d′} és a_{l+1}, a_{l+2}, …, a_{k} ∈ ℚ^{d′} \ ℚ^{d}. Ha létezik olyan f : ℚ^{d} → ℤ függvény, melyre KV F_{a_{1},...,a_{l}}(f), de nem KEF_{a_{1},...,a_{l}}(f), akkor van olyan f′ : ℚ^{d′} → ℤ függvény is, melyre KV F_{a_{1},...,a_{k}}(f′), de nem KEF_{a_{1},...,a_{k}}(f′).

Bizonyítás. Terjesszük ki f-et ℚ^{d′}-re úgy, hogy ℚ^{d}-n kívül 0 legyen. Válasszuk ezt a függvényt f′-nek. Ekkor KV F_{a_{1},...,a_{k}}(f′), sőt KV F_{a_{1},...,a_{l}}(f′), hiszen f = f_{1} + … + f_{l} korlátos valós felbontásában szereplő f_{i} függvényeket is ugyanúgy 0-kal kiterjeszthetjük ℚ^{d′}-re, mint ahogy f-fel tettük. Ettől a periodikusságuk megmarad, hiszen 1 ≤ i ≤ l esetén a_{i} ∈ ℚ^{d}.

Be kell még látnunk, hogy f′ nem korlátosan egész felbontható az a_{1}, …, a_{k} periódusokkal. Tegyük fel indirekt, hogy

f′ = g′_{1} + g′_{2} + … + g′_{k} (g′_{i} : ℚ^{d′} → ℤ korlátos, a_{i}-periodikus függvény).

Vegyünk n_{l+1}, n_{l+2}, …, n_{k} pozitív egészeket, és tekintsük a

S := Δ_{n_{l+1}a_{l+1}}Δ_{n_{l+2}a_{l+2}} … Δ_{n_{k}a_{k}}

operátort. Az S operátor persze l + 1 ≤ i ≤ k-ra a_{i}-periodikus függvényt 0-ba visz, így

Sf′ = Sg′_{1} + Sg′_{2} + … + Sg′_{l},

ahol Sg′_{i} : ℚ^{d′} → ℤ korlátos a_{i}-periodikus függvény (1 ≤ i ≤ l). Emiatt KEF_{a_{1},...,a_{l}}(Sf′). Az n_{l+1}, n_{l+2}, …, n_{k} pozitív egészeket úgy fogjuk megválasztani, hogy Sf′-t megszorítva ℚ^{d}-re a (−1)^{k−l}f függvényt kapjuk. Ekkor kész lennénk, hiszen ebből KEF_{a_{1},...,a_{l}}(f) következne.

Egymás után választjuk meg az n_{k}, n_{k−1}, …, n_{l+1} pozitív egészeket, először n_{k}-t tetszőlegesen. Tekintsük a (Δ_{n_{k}a_{k}}f′)(x) = f′(x + n_{k}a_{k}) − f′(x) függvényt. Ez a függvény x ∈ ℚ^{d} esetén −f(x), hiszen a_{k} ∉ ℚ^{d}. Továbbá van egy ℚ^{d}-nel párhuzamos „sáv”, amin kívül 0, ahol sávon

ℚ^{d} × ([−K_{d+1}, K_{d+1}] ∩ ℚ) × … × ([−K_{d′}, K_{d′}] ∩ ℚ) ⊂ ℚ^{d′}

alakú halmazokat értünk, ahol K_{d+1}, …, K_{d′} ≥ 0 racionális számok. (Esetünkben K_{j} választható az n_{k}a_{k} pont j-edik koordinátája abszolút értékének.) Ezután n_{k−1}-t úgy választjuk meg, hogy n_{k−1}a_{k−1} ezen a sávon kívül legyen. (Ez megtehető, mert a_{k−1} ∉ ℚ^{d}, így valamilyen j > d-re a_{k−1} j-edik koordinátája nem 0, így (n_{k−1}a_{k−1})_{j} > K_{j} elég nagy n_{k−1}-re.) Ekkor (Δ_{n_{k−1}a_{k−1}}Δ_{n_{k}a_{k}}f′)(x) függvény ℚ^{d}-n éppen f-fel egyenlő, és most is lesz egy sáv, amin kívül már mindenhol 0 a függvény. (Az új K_{j} választható a régi K_{j} és |(n_{k−1}a_{k−1})_{j}| összegének.) Ezt az eljárást folytatva, végül olyan S-et kapunk, melyre Sf′ |_{ℚ^{d}} valóban (−1)^{k−l}f._{■}

5.8. Tétel. Ha az a_{1}, a_{2}, …, a_{k} ∈ ℝ \ {0} periódusok között található három, melyek lineárisan összefüggőek, de páronként összemérhetetlenek, akkor

KV F_{a_{1},...,a_{k}} ⇏ KEF_{a_{1},...,a_{k}}.

Bizonyítás. Legyen ez a három periódus a_{1}, a_{2}, a_{3}. Ezek egy két dimenziós ℚlineáris alteret feszítenek ki. Feltehető, hogy azon periódusok, melyek beleesnek ebbe az ⟨a_{1}, a_{2}, a_{3}⟩_{ℚ} ≅ ℚ × ℚ altérbe a_{1}, …, a_{l} valamilyen 3 ≤ l ≤ k egészre. Továbbá ⟨a_{1}, a_{2}, …, a_{k}⟩_{ℚ} ≅ ℚ^{d′} valamilyen d′ ≥ 2 pozitív egészre.

Az 5.6. Állítás miatt ezen a ℚ×ℚ-n az a_{1}, …, a_{l} periódusokra megadható korlátosan valós felbontható egész értékű függvény, amelynek nincs korlátos egész felbontása.

Ha l = k, azaz d′ = 2, akkor ezt a függvényt terjesszük ki 0-kal ℝ-re. A valós felbontást is terjesszük ki 0-kal ℝ-re. Mivel minden periódus ℚ × ℚ-beli, ezért a megfelelő periodikusságok továbbra is teljesülnek, így ezzel egy korlátos valós felbontást kapunk. A korlátos egész felbonthatóság persze a kiterjesztett függvényre sem állhat fenn.

Ha l < k, azaz d′ > 2, akkor az 5.7. Lemma miatt ℚ^{d′}-n az a_{1}, …, a_{k} periódusokra megadható korlátosan valós felbontható egész értékű függvény, amelynek nincs korlátos egész felbontása. Ebben az esetben ezt terjesztjük ki 0-kal ℝ-re. Az előző esetnél látott gondolatmenet mutatja, hogy ez jó. _{■}

5.3. Karakterizáció

5.9. Tétel. Az a_{1}, a_{2}, …, a_{k} periódusokra az alábbiak ekvivalensek.

(i) Az a_{1}, a_{2}, …, a_{k} periódusokra teljesül, hogy bármely három, melyek páronként összemérhetetlenek, lineárisan függetlenek. (Vagyis az előforduló irányok közül bármely három lineárisan független.)

(ii) A homogén egyenlet minden megoldása triviális.

(iii) Minden f : ℝ → ℤ függvényre fennáll az alábbi implikáció:

KV F_{a_{1},...,a_{k}}(f) ⟹ KEF_{a_{1},...,a_{k}}(f),

azaz ha f felbontható korlátos, a_{i}-periodikus, valós értékű függvények összegére, akkor felbomlik korlátos, a_{i}-periodikus, egész értékű függvények összegeként is.

(iv) Minden f : ℝ → ℤ függvényre fennáll az alábbi implikáció:

f korlátos és Δ_{a_{1}} … Δ_{a_{k}}f = 0 ⟹ KEF_{a_{1},...,a_{k}}(f).

Bizonyítás. A 4.9. Tétel (i) ⇒ (ii)-t, az 5.3. Tétel (ii) ⇒ (iii)-at, az 5.8. Tétel pedig (iii) ⇒ (i)-et mondja ki.

A (iv) ⇒ (iii) irány triviális, a (iii) ⇒ (iv) implikáció pedig azért teljesül, mert a korlátos ℝ → ℝ függvények B(ℝ) osztálya rendelkezik a felbontási tulajdonsággal ([12]), így f korlátosságából és Δ_{a_{1}} … Δ_{a_{k}}f = 0-ból következik KV F_{a_{1},...,a_{k}}(f). _{■}

Mérhető függvények felbontásai

Keleti Tamás [10]-ben igazolta az alábbi tételt.

6.1. Tétel. Az a_{1}, a_{2}, …, a_{k} ∈ ℝ \ {0} periódusokra az alábbi hét állítás ekvivalens.

(i)/(i′) Ha egy mindenütt/majdnem mindenütt egész értékű mérhető f függvény ℝen felírható f = f_{1} + … + f_{k} alakban, ahol f_{j} a_{j}-periodikus mérhető ℝ → ℝ függvény, akkor f felírható f = g_{1} + … + g_{k} alakban is, ahol g_{j} a_{j}-periodikus majdnem mindenütt egész értékű mérhető függvény.

(ii)/(ii′) Ha egy mindenütt/majdnem mindenütt egész értékű korlátos mérhető f függvény ℝ-en felírható f = f_{1} + … + f_{k} alakban, ahol f_{j} a_{j}-periodikus korlátos mérhető ℝ → ℝ függvény, akkor f felírható f = g_{1} +…+g_{k} alakban is, ahol g_{j} a_{j}-periodikus majdnem mindenütt egész értékű korlátos mérhető függvény.

(iii)/(iii′) Egy mindenütt/majdnem mindenütt egész értékű korlátos mérhető f függvény ℝ-en pontosan akkor írható fel f = g_{1} + … + g_{k} alakban, ahol g_{j} a_{j}-periodikus majdnem mindenütt egész értékű korlátos mérhető függvény, ha Δ_{a_{1}} … Δ_{a_{k}}f = 0.

(iv) Az a_{1}, …, a_{k} periódusok között előforduló irányok reciprokai lineárisan függetlenek ℚ felett.

Az (i) illetve (ii) pontokban mindenütt egész értékű mérhető f függvényünk van, a g_{i} felbontás tagjairól mégis csupán majdnem mindenütt egész értékűséget követelünk meg. Mi a helyzet, ha mindenütt egész értékű g_{i} felbontás létezésére szeretnénk következtetni? Mint arra már [10] is rámutatott, ehhez éppen az analóg problémára van szükségünk a mérhetőség nélküli esetből. (Azaz arra, hogy f : ℝ → ℤ függvény esetén milyen periódusokra következik a valós felbonthatóságból az egész felbonthatóság, illetve a korlátosan valós felbonthatóságból a korlátosan egész felbonthatóság.) Ezekre az analóg problémákra választ adtunk a korábbi fejezetekben (2.15. és 5.9. Tétel), így válaszolhatunk a most felvetett problémákra is.

[10]-ben bizonyítást nyert, hogy az alábbi (i′′) állítás pontosan akkor ekvivalens az előző Tételben szereplő hét állítással, ha tetszőleges periódusokra következik f : ℝ → ℤ valós felbonthatóságából az egész felbonthatósága. A teljesség kedvéért idemásoljuk az esetünkben releváns irány bizonyítását.

6.2. Tétel. Az alábbi állítás ekvivalens a 6.1. Tételben szereplő hét másik állítással.

(i′′) Ha egy mérhető f : ℝ → ℤ függvény felírható f = f_{1} + … + f_{k} alakban, ahol f_{j} a_{j}-periodikus mérhető ℝ → ℝ függvény, akkor f felírható f = g_{1} + … + g_{k} alakban is, ahol g_{j} a_{j}-periodikus mindenütt egész értékű mérhető függvény.

Bizonyítás. Az (i′′) ⇒ (i) irány triviális. Az (i) ⇒ (i′′) irány bizonyításához vegyünk egy f : ℝ → ℤ mérhető függvényt, melynek létezik f = f_{1} + … + f_{k} mérhető valós felbontása. Ekkor (i) szerint f felírható g_{1} + … + g_{k} alakban is, ahol g_{j} a_{j}-periodikus majdnem mindenütt egész értékű mérhető függvény. Az a feladatunk, hogy lecseréljük g_{j}-ket mindenütt egész értékű mérhető függvényekre.

Legyen

E_{j} = {x ∈ ℝ : g_{j}(x) ∉ ℤ} ,

illetve

E = (⋃_{j=1}^{k} E_{j}) + a_{1}ℤ + … + a_{k}ℤ.

A feltételek szerint E_{j} nullmértékű minden j-re, így ∪_{j=1}^{k}E_{j} is az. Ezen halmaz megszámlálható sok eltoltjának uniójaként kapjuk E-t, így E is nullmértékű. Továbbá E a_{j}-periodikus minden j-re, vagyis a g_{j}χ_{E} illetve a g_{j}χ_{ℝ\E} függvények a_{j}-periodikusak.

Tekintsük az F = fχ_{E} függvényt. Ez valós felbontható a_{1}, …, a_{k} periódusokkal, amit a

F = fχ_{E} = g_{1}χ_{E} + … + g_{k}χ_{E}

felbontás mutat. A 2.15. Tétel szerint ekkor egész felbontható is ugyanazokkal a periódusokkal:

F = G_{1} + … + G_{k} (G_{j} : ℝ → ℤ; Δ_{a_{j}}G_{j} = 0).

Legyen

g′_{j}(x) = g_{j}χ_{ℝ\E} + G_{j}χ_{E}.

Világos, hogy g′_{j} egész értékű és a_{j}-periodikus. Mérhető is, mert nullmértékű részen (E) tér el a mérhető g_{j} függvénytől. Végül,

g′_{1}(x) + … + g′_{k}(x) = \{ \begin{matrix}g_{1}(x) + … + g_{k}(x) = f(x) & (x ∈ ℝ \ E) \\ G_{1}(x) + … + G_{k}(x) = F (x) = f(x) & (x ∈ E) \end{matrix}

mutatja, hogy a g′_{j} függvények felbontását adják f-nek. _{■}

6.3. Tétel. Az alábbi (ii′′) állítás azzal ekvivalens, hogy a periódusok között előforduló irányok reciprokai lineárisan függetlenek és az irányok közül bármely három lineárisan független.

(ii′′) Ha egy korlátos mérhető f : ℝ → ℤ függvény felírható f = f_{1} + … + f_{k} alakban, ahol f_{j} a_{j}-periodikus korlátos mérhető ℝ → ℝ függvény, akkor f felírható f = g_{1} + … + g_{k} alakban is, ahol g_{j} a_{j}-periodikus mindenütt egész értékű korlátos mérhető függvény.

Bizonyítás. Először tegyük fel, hogy a periódusokra kikötött két feltétel közül valamelyik nem teljesül. Ha az irányok reciprokai nem lineárisan függetlenek, akkor a 6.1. Tétel szerint már (ii) sem teljesül, így nyilván (ii′′) sem. Ha pedig az irányok között van három, melyek lineárisan összefüggnek, akkor az 5.8. Tétel szerint ezen periódusokra létezik korlátosan valós felbontható f : ℝ → ℤ függvény, amelynek nincs korlátos egész felbontása. Sőt, a bizonyításában olyan példát adtunk, amelynél f valamint a korlátos valós felbontásban szereplő f_{i} függvények ℝ-nek egy ℚ^{d′}-vel izomorf additív részcsoportjára vannak koncentrálva. Ezek a függvények tehát csak megszámlálható sok pontban vesznek fel nem 0 értéket, így mérhetők. Vagyis f-nek van korlátos mérhető felbontása, de még korlátos egész felbontása sincs.

Most tegyük fel, hogy mindkét feltétel teljesül a periódusokra. Ekkor (ii) és KV F ⇒ KEF teljesülnek. Ugyanúgy járunk el, mint az előző bizonyításnál. Vegyünk egy f : ℝ → ℤ függvényt, melynek létezik f = f_{1} + … + f_{k} korlátos mérhető valós felbontása. Ekkor (ii) szerint f felírható g_{1} + … + g_{k} alakban is, ahol g_{j} a_{j}-periodikus majdnem mindenütt egész értékű korlátos mérhető függvény.

Legyen ismét

E_{j} = {x ∈ ℝ : g_{j}(x) ∉ ℤ}; E = (⋃_{j=1}^{k} E_{j}) + a_{1}ℤ + … + a_{k}ℤ.

Vegyük megint az F = fχ_{E} = g_{1}χ_{E} + … + g_{k}χ_{E} korlátosan valós felbontható függvényt, aminek így van

F = G_{1} + … + G_{k} (G_{j} : ℝ → ℤ korl.; Δ_{a_{j}}G_{j} = 0)

korlátos egész felbontása is. Ekkor

g′_{j}(x) = g_{j}χ_{ℝ\E} + G_{j}χ_{E}

megadja a kívánt korlátos, mérhető, mindenütt egész értékű felbontást. _{■}

Irodalomjegyzék

[1] B. Farkas, V. Harangi, T. Keleti, Sz.Gy. Révész, Invariant decomposition of functions with respect to commuting invertible transformations, Proceedings of American Mathematical Society, közlésre benyújtva.

[2] B. Farkas, Sz.Gy. Révész, Decomposition as the sum of invariant functions with respect to commuting transformations, Aequationes Math., megjelenés alatt.

[3] L. Fuchs, Abelian groups, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1958.

[4] Z. Gajda, Note on decomposition of bounded functions into the sum of periodic terms, Acta Math Hungar. 59 (1-2) (1992) 103-106.

[5] V.M. Kadets, S.B. Shumyatskiy, Averaging Technique in the Periodic Decomposition problem, Mat. Fiz. Anal. Geom. 7(2000), no. 2, 184-195.

[6] V.M. Kadets, S.B. Shumyatskiy, Additions to the Periodic decomposition theorem, Acta Math. Hungar. 90(2001), no. 4, 293-305.

[7] Gy. Károlyi, T. Keleti, G. Kós, I.Z.Ruzsa, Periodic decomposition of integer valued functions, Acta Math. Hungar., megjelenés alatt.

[8] T. Keleti, On the differences and sums of periodic measurable functions, Acta Math. Hungar., 75(4) (1997), 279-286.

[9] T. Keleti, Difference functions of periodic measurable functions, Fund. Math., 157 (1998), 15-32.

[10] T. Keleti, Periodic decomposition of measurable integer valued functions, J. Math. Anal. Appl. (2007), megjelenés alatt.

[11] M. Laczkovich, Sz.Gy. Révész, Periodic decomposition of continuous functions, Acta Math. Hungar. 54(3-4) (1989), 329-341.

[12] M. Laczkovich, Sz.Gy. Révész, Decompositions into periodic functions belonging to a given Banach space, Acta Math. Hungar. 55(3-4) (1990), 353-363.

[13] S. Mortola, R. Peirone, The sum of periodic functions, Boll. Un. Mat. Ital.8 2-B (1999), 393-396.

[14] T. Natkaniec, W. Wilczyński, Sums of periodic Darboux functions and measurability, Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena 51 (2003), 369-376.

[15] M. Wierdl, Continuous functions that can be represented as the sum of finitely many periodic functions, Mat. Lapok 32 (1984), 107-113.