Mennyi a kicsi ha a tér nagy? Nullahalmazok Banach-terekben

Szakdolgozat

írta

Csörnyei Marianna

Matematikus hallgató

ELTE

Témavezető: Petruska György

1. Bevezetés

Banach-tereken értelmezett mértéken mindig a tér Borel-halmazain definiált σ-véges mértéket értünk.

Egy Banach-téren nincs egyetlen kitüntetett mérték, mint például a véges dimenziós euklídeszi terekben, sokan sok különböző mértéket vezettek be és vizsgáltak. Fontos, és sokszor nagyon nehéz probléma ezen mértékek egymáshoz való viszonyának megértése.

Gyakran nem maguk a mértékek, hanem a mértékek szerinti nullahalmazok kerülnek előtérbe. A nullahalmazok fogalma általában egyszerűbb: már a valós számokon értelmezett Lebesgue-mérték esetén is, a 0-mértékű halmazok definíciója (lefedhetőek tetszőlegesen kis összhosszúságú intervallum-rendszerrel) sokkal könnyebb a Lebesgue-mérté-kénél, amelyből származnak.

Hasonló a helyzet a végtelen dimenziós Banach-terekben is: itt is mértékek nélkül definiálhatjuk, mit értünk 0-mértékű halmazokon. Azonban itt a probléma a véges dimenziós esetnél sokkal mélyebb: nemcsak hogy nem tudunk, de gyakran nem is lehet olyan mértéket definiálni, amely szerint nullahalmazaink pontosan a 0-mértékűek.

A legalapvetőbb kívánság egy nullahalmaz-fogalommal szemben az, hogy σ-ideál és eltolásinvariáns legyen. Azonban a végtelen dimenziós terek nagyon ”nagyok”, és ez általában azt eredményezi, hogy van kontinuum sok páronként diszjunkt halmaz, melyek nem 0-mértékűek, így hozzájuk mérték nem létezhet!

Ezt a nehézséget kétféleképpen lehet áthidalni:

(i) a véges dimenziós terek nullahalmazait nem úgy karakterizáljuk, hogy Lebesguemérték szerinti 0-mértékűek, hanem valamely más tulajdonságuk alapján, majd ezt általánosítjuk Banach-terekre – ez történik a Haar-nulla és az Aronszajn-nulla halmazok esetében;

(ii) nem egyetlen mértéket, hanem egy nagyobb mértékosztályt adunk meg, és nullahalmaznak hívjuk azokat a halmazokat, amelyek valamennyi mérték szerint 0-mértékűek – ld. Gauss-mértékek illetve kocka-mértékek.

Sokáig fontos megoldatlan probléma volt a legfontosabb nullahalmaz-fogalmak (Haar-, Gauss-, kocka-, illetve Aronszajn-nulla) egymáshoz való viszonya. 1978-ban R.R. Phelps bebizonyította, hogy minden Haar-nulla halmaz Gauss-nulla és nem minden Gauss-nulla halmaz Haar-nulla, valamint hogy az Aronszajn-nulla halmazok Gauss-nullák. Az, hogy minden Aronszajn-nulla halmaz kocka-nulla, triviális.

A dolgozat fő eredménye a 4.2. és a 6.1. tétel (minden Gauss-nulla halmaz kockanulla illetve minden kocka-nulla halmaz Aronszajn-nulla), vagyis annak bizonyítása, hogy a Gauss-, kocka- és Aronszajn-nulla halmazok valójában ugyanazok!

H ⇒^{⇍} G  H ⇒^{⇍} G
⇑ helyett ⇑̸⇓ ⇕
K ⇐ A  K ⇔ A

A 4.2. és 6.1. tételek bizonyításának részletes leírása megtalálható a hamarosan megjelenő [7] cikkben és [9], [15] könyvekben is – sőt, a dolgozatban említett valamennyi tétel és még rengeteg érdekes eredmény megtalálható lesz a [2] könyv 8. fejezetében és D. függelékében, amennyiben a szerzők művüket valaha is befejezettnek tekintik és megjelentetik.

A 2. fejezetben összefoglaljuk a Banach-terekben értelmezett mértékekkel kapcsolatos legalapvetőbb tudnivalókat, a 3., 4. és 5. fejezetben bemutatjuk a Haar-, Gauss- és kocka-, valamint az Aronszajn-nulla halmazok illetve mértékek legfontosabb tulajdonságait. A 6. fejezet tartalmazza annak bizonyítását, hogy minden kocka-nulla halmaz Aronszajn-nulla, végül a 7. fejezetben megpróbáljuk néhány példával illusztrálni, a nullahalmazok mennyire másképp viselkednek Banach-térben, mint ahogy megszoktuk a véges dimenziós esetben.

2. Mértékekről általában

Ebben a fejezetben ”mérték” alatt mindig a tér Borel-halmazain értelmezett valószínűségi mértéket fogunk érteni.

Egy μ mérték reguláris, ha minden B Borel-halmazra

μ(B) = sup{μ(K) : K ⊂ B kompakt} = inf{μ(G) : G ⊃ B nyílt}.

Egy teret Radon-térnek nevezünk, ha rajta minden mérték reguláris.

2.1. Tétel. Minden lengyel tér (speciálisan minden szeparábilis Banach-tér) Radon.

Bizonyítás. Legyen μ egy tetszőleges mérték, és B egy tetszőleges Borel-halmaz. Először megmutatjuk, hogy van olyan F zárt és G nyílt halmaz, amelyre F ⊂ B ⊂ G, és

μ(G \ F) < ε.  (1)

Világos, hogy az ilyen tulajdonságú Borel-halmazok σ-algebrát alkotnak, ezért elég megmutatni, hogy a zárt halmazok rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal.

Legyen tehát B zárt. Ekkor a G_{n} =^{def}\{x : dist(x, B) < \frac{1}{n}\} fogyó nyílt halmazokra B = ⋂_{n} G_{n}, ezért elég nagy n-re μ(G_{n} \ B) < ε. Ekkor G = G_{n} és F = B választással valóban teljesül (1).

Már csak azt kell bebizonyítani, hogy minden F zárt halmaz tartalmaz K kompaktot, amelyre μ(F \ K) < ε. Mivel a tér szeparábilis, ezért F lefedhető megszámlálható sok \frac{1}{n} sugarú zárt gömbbel, ezek között van véges sok, melyek uniója legalább μ(F)− \frac{ε}{2^{n}} mértékű halmazban metszi F -et, mondjuk F_{n}-ben. A K =^{def} ⋂_{n} F_{n} halmaz zárt és teljesen korlátos, így kompakt, és valóban teljesül rá μ(F \ K) < ε.

A μ_{n} mértékek gyengén konvergálnak μ-höz, ha minden folytonos korlátos függvényre ∫ fdμ_{n} → ∫ fdμ, azaz ha μ_{n} → μ a folytonos korlátos függvények duális terében a w^{∗} topológia szerint.

Könnyen látható, hogy ugyanezt a topológiát indukálja az alábbi, úgynevezett Lévymetrika, és ezzel a metrikával a mértékek tere teljes:

ρ(μ, ν) =^{def} inf{ε : ∀A, μ(A) ≤ ν(A_{ε}) + ε, ν(A) ≤ μ(A_{ε}) + ε},

ahol A_{ε} =^{def}{x : dist(x, A) < ε}.

A valószínűségi mértékek egy H részhalmazát feszesnek hívjuk, ha minden ε-ra van olyan K kompakt halmaz, amelyre μ(K) > 1 − ε minden μ ∈ H-ra.

Mivel egy lengyel térben minden mérték reguláris, ezért az 1 elemű halmazok feszesek. Prohorovtól származik a következő, sokkal mélyebb tétel (lsd. pl. [3]):

2.2. Tétel. A valószínűségi mértékek egy H részhalmaza pontosan akkor relatív kompakt a gyenge konvergencia topológiában, ha feszes.

Bizonyítás. Legyen μ_{n} egy feszes sorozat, azt kell bebizonyítanunk, hogy van gyengén konvergens részsorozata. Válasszunk K_{1} ⊂ K_{2} ⊂ … kompakt halmazokat, amelyekre μ_{n}(K_{m}) ≥ 1 − \frac{1}{2^{m}} teljesül minden n, m-re. Mivel C(K_{m})^{∗} egységgömbje w^{∗}-kompakt, ezért (átlós eljárás segítségével) található olyan μ_{n_{i}} részsorozat, amelyre μ_{n_{i}}_{|K_{m}} → ν_{m} C(K_{m})^{∗}-ban az w^{∗}-topológia szerint. Nyilván ||μ_{n_{i}}_{|K_{m}} − μ_{n_{i}}_{|K_{l}}|| ≤ \frac{1}{2^{m}} minden m < l-re és i-re, így teljesül ||ν_{m} − ν_{l}|| ≤ \frac{1}{2^{n}}, vagyis ν_{n} → ν valamely ν mértékre. Ekkor persze μ_{n_{i}} → ν.

A másik irány bizonyítása analóg a 2.1. Tétel bizonyításával, csak azt kell megmutatnunk, hogy ha H relatív kompakt, akkor a teret lefedve megszámlálható sok \frac{1}{n} sugarú zárt gömbbel, mondjuk B_{1}, B_{2}, …-al, kiválasztható közülük véges sok, melyek uniója legalább 1 − \frac{ε}{2^{n}} minden H-beli μ mérték szerint.

Tegyük fel, hogy ez nem teljesül, azaz minden j-re van μ_{j} ∈ H, amelyre μ_{j}(⋃_{i=1}^{j} B_{i}) < 1 − \frac{ε}{2^{n}}. Mivel H relatív kompakt, ezért feltehető, hogy μ_{j} → μ. A μ mérték reguláris, vagyis van olyan K kompakt halmaz, amire μ(K) > 1 − \frac{ε}{2^{n}}, és K-t lefedi véges sok B_{i} gömb uniója, ami ellentmondás.

Egy mértéket mindig tekinthetünk egy X valószínűségi változó eloszlásfüggvényének. Egy, a valós számokon és általában az R^{n}-en értelmezett valószínűségi változó karakterisztikus függvénye az e^{i⟨x,X⟩} függvény várható értéke, azaz

ϕ_{X}(x) =^{def} ∫_{R^{n}} e^{i⟨x,y⟩}dμ_{X}(y),

ahol μ_{X} az X eloszlásfüggvénye; ez a függvény a valószínűségi változót egyértelműen meghatározza.

Ezzel analóg módon definiálhatjuk a végtelen dimenziós euklídeszi-téren, azaz a szeparábilis H Hilbert-téren definiált mértékek (valószínűségi változók) karakterisztikus függvényét:

ϕ(x) =^{def} ∫_{H} e^{i⟨x,y⟩}dμ(y).

S. Bochner és A. Hinchin híres tétele szerint (lsd. [8]) minden olyan ϕ : R^{n} → C függvény karakterisztikus függvénye egy X valószínűségi változónak, amely pozitív definit, folytonos a 0-ban, és amelyre teljesül ϕ(0) = 1.

Ezt az eredményt Hilbert-terekre R.A. Milnos és V.V. Sazonov ([12] és [16]) általánosította. A tétel kimondásához először szükségünk van néhány definícióra.

Egy Hilbert-téren értelmezett A korlátos lineáris operátor Hilbert-Schmidt operátor, ha

||A||_{2} =^{def}( ∑_{i} ||Ae_{i}||^{2})^{1/2}

értéke véges, ahol {e_{i}} a Hilbert-tér egy ortonormált bázisa. Az A operátor nyom-osztályú operátor, ha két Hilbert-Schmidt operátor szorzata. Bebizonyítható, hogy az utóbbi definíció ekvivalens azzal, hogy ||A||_{1} véges, ahol

||A||_{1} =^{def} ∑_{i}⟨|A|e_{i}, e_{i}⟩,

|A| =^{def}(A^{∗}A)^{1/2}.

||A||_{2} és ||A||_{1} értéke nem függ a bázis megválasztásától.

2.3. Tétel. Egy ϕ : H → C függvény pontosan akkor karakterisztikus függvénye egy, a Hilbert-téren értelmezett mértéknek, ha

(i) pozitív definit; (ii) ϕ(0) = 1; (iii) minden ε > 0-ra van olyan T_{ε} nemnegatív nyom-osztályú operátor, hogy ⟨T_{ε}y, y⟩ ≤ 1

esetén teljesül Re(ϕ(0) − ϕ(y)) < ε.

3. Haar-mérték és Haar-nulla halmazok

Ismert, hogy minden lokálisan kompakt, szeparábilis teljes Abel-csoporton létezik egy eltolásinvariáns (nem feltétlenül valószínűségi) mérték, az úgynevezett Haar-mérték. Azonban a szeparábilis Banach-terek nem lokálisan kompaktak, és bebizonyítható, hogy eltolásinvariáns mérték nincsen rajtuk. Ennek ellenére, a Haar-nulla halmaz fogalma (tehát azok a halmazok, amelyek Haar-mértéke 0) kiterjed Banach-terekre is. Az alábbi definíció, és a fejezet valamennyi tétele J.P.R. Christensen-től származik ([6]).

Definíció. Egy szeparábilis teljes Abel-csoport B Borel-részhalmaza Haar-nulla, ha van olyan μ valószínűségi Borel-mérték a csoporton, amely szerint B minden eltoltja 0mértékű.

(Világos, hogy a definícióban valójában nincs szükség arra a feltételre, hogy a keresett mérték egy valószínűségi mérték, mert minden σ-véges mértékhez választhatunk egy abszolút folytonos valószínűségi mértéket.)

Megmutatjuk, hogy lokálisan kompakt esetben, tehát amikor a csoporton van Haarmérték, a Haar-nulla halmazok valóban megegyeznek a 0-mértékű halmazokkal. Nem lokálisan kompakt esetben azonban annak a bizonyítása sem világos, hogy a Haar-nulla halmazok σ-ideált alkotnak. Ehhez szükségünk lesz a valószínűségi mértékek konvolúciójának fogalmára. Két valószínűségi mérték, μ és ν konvolúciója az a μ ∗ ν mérték, amelyre

∫_{G} ∫_{G} f(x + y)dμ(x)dν(y) = ∫_{G} f(x)d(μ ∗ ν)(x)

teljesül minden folytonos korlátos f függvényre, azaz

(μ ∗ ν)(A) =^{def} ∫_{G} ν(A − x)dμ(x).

Könnyen látható, hogy μ ∗ ν is valószínűségi mérték, és μ ∗ ν = ν ∗ μ.

3.1. Tétel. Ha G lokálisan kompakt, akkor egy B Borel-halmaz pontosan akkor Haar-nulla, ha Haar-mértéke 0.

Bizonyítás. Ha B Haar-mértéke 0, akkor az eltolás-invariancia miatt B minden eltoltjának is 0 a Haar-mértéke, vagyis a keresett mértéknek választhatjuk a Haar-mértéket.

Megfordítva, ha valamely μ mértékre μ(B + x) = 0 minden x-re, akkor a Fubini-tétel alapján

0 = ∫ ∫ χ_{B}(x + y)dμ(x)dh(y) = h(B),

ahol h jelöli a Haar-mértéket.

3.2. Tétel. A Haar-nulla halmazok σ-ideált alkotnak.

Bizonyítás. Az, hogy egy Haar-nulla halmaz részhalmaza is Haar-nulla, triviális, azt kell megmutatnunk, hogy megszámlálható sok Haar-nulla halmaz uniója is Haar-nulla.

Könnyen látható, hogy két Haar-nulla halmaz uniója Haar-nulla, mert ha B_{1} minden eltoltja 0-mértékű μ szerint és B_{2} minden eltoltja 0-mértékű ν szerint, akkor B_{1} ∪ B_{2} minden eltoltja 0-mértékű μ ∗ ν szerint. A megszámlálható unió bizonyításához azonban végtelen sok mérték konvolúciójára van szükségünk.

Tudjuk, hogy a valószínűségi mértékek tere a ρ Lévy-metrikával teljes metrikus tér. Legyenek A_{1}, A_{2}, … Haar-nulla halmazok, válasszunk minden n-re egy μ_{n} valószínűségi mértéket, amelyre

(i) μ_{n}(A_{n} + x) = 0 minden x ∈ G-re, és (ii) ρ(μ_{n}, δ) < \frac{1}{2^{n}} a δ (0-tartójú) Dirac-mértékre.

Ilyet könnyű konstruálni, mert ha egy halmaz minden eltoltja 0-mértékű valamely μ valószínűségi mérték szerint, akkor ugyanez teljesül μ minden eltoltjára, valamint minden olyan mértékre, amely abszolút folytonos μ-re nézve, speciálisan a

ν(A) =^{def} \frac{μ((A + x) ∩ B)}{μ(B)}

alakú mértékekre is, ahol B egy rögzített, pozitív μ-mértékű Borel-halmaz. Ez alapján tudunk olyan mértéket konstruálni, amelyre teljesül (i), és a 0 egy kis környezetébe van koncentrálva, így teljesül rá (ii) is.

A konvolúció definíciójából világos, hogy tetszőleges ν_{1}, ν_{2}, μ mértékekre

ρ(ν_{1} ∗ μ, ν_{2} ∗ μ) ≤ ρ(ν_{1}, ν_{2}),

és tetszőleges μ mértékre

μ ∗ δ = μ,

így

ρ(μ_{1} ∗ μ_{2} ∗ … ∗ μ_{n}, μ_{1} ∗ μ_{2} ∗ … ∗ μ_{n−1}) ≤ \frac{1}{2^{n}} ,

vagyis a tér teljessége miatt létezik μ =^{def} ∏_{k=1}^{∞} ∗μ_{k}. Mivel a konvolúció a távolságokat nem növeli, ezért ν_{n} → ν esetén tetszőleges ν_{0} mértékre ν_{n} ∗ ν_{0} → ν ∗ ν_{0}, ebből azonnal adódik μ = μ_{n} ∗ (∏_{k≠n} ∗μ_{k}), amiből következik μ ≪ μ_{n} minden n-re. Így μ(A_{n} + x) = 0 minden n-re és x-re, ezzel az állítást bebizonyítottuk.

A következő tételek fontos példákat mutatnak Haar-nulla halmazokra végtelen dimenziós szeparábilis Banach-terekben.

3.3. Tétel. Végtelen dimenziós szeparábilis Banach-térben minden kompakt halmaz Haar-nulla.

3.4. Tétel. Végtelen dimenziós nem reflexív szeparábilis Banach-térben minden gyengén kompakt halmaz Haar-nulla.

Mindkét tétel bizonyítása a véges dimenziós térben jól ismert Steinhaus-tétel végtelen dimenziós kiterjesztésén alapszik:

3.5. Tétel. Ha A nem Haar-nulla halmaz, akkor A − A tartalmazza a 0 egy környezetét.

A 3.5. Tétel bizonyítása. Bebizonyítjuk, hogy az

{x : A ∩ (A + x) nem Haar-nulla}

halmaz tartalmaz 0-környezetet.

Indirekt módon tegyük fel, hogy van egy olyan x_{n} sorozat, amelyre ||x_{n}|| < \frac{1}{2^{n}} és A ∩ (A + x_{n}) Haar-nulla. Mivel a Haar-nulla halmazok σ-ideált alkotnak, ezért így ⋃_{n} A ∩ (A + x_{n}) is Haar-nulla, vagyis B =^{def}A \ ⋃_{n}(A ∩ (A + x_{n})) nem Haar-nulla. A B halmaz definíciójából következik, hogy

B ∩ (B + x_{n}) = ∅ ∀n.  (2)

Legyen C =^{def}{0, 1}^{N} a Cantor-csoport, és egy c = (c_{1}, c_{2}, …) ∈ C pontra legyen ϕ(c) =^{def} ∑_{n} c_{n}x_{n}. Ez egy folytonos leképezés C-ből a Banach-térbe. Legyen a Cantorcsoporton a Haar-mérték h, és tekintsük a μ =^{def}h ∘ ϕ^{−1} mértéket a Banach-téren.

Mivel B nem Haar-nulla, ezért valamely y-ra μ(B+y) ≠ 0, azaz B^{∗} =^{def}ϕ^{−1}(B+y) Haarmértéke pozitív. De ekkor B^{∗} − B^{∗} tartalmazza a 0 egy környezetét C-ben, speciálisan tartalmaz egy olyan pontot, amelynek csak egyetlen koordinátája 1-es, mondjuk az n-edik. Ez azt jelenti, hogy x_{n} ∈ B − B, ami ellentmond (2)-nek.

3.3. és 3.4. Tételek bizonyítása. Ha K egy kompakt halmaz, akkor K − K is kompakt (például mert K × K folytonos képe), és egy kompakt halmaz nem tartalmazhat 0-környezetet, mert egy 0-környezetben van nem torlódó sorozat. Ugyanígy, ha K gyengén kompakt, akkor K − K is gyengén kompakt, és nem reflexív Banach térben egy gyengén kompakt halmaz nem tartalmazhat gömböt.

4. Gauss-mérték és Gauss-nulla halmazok

A Banach-tereken értelmezett mértékek közül talán a legtöbbet vizsgált mértékek a Gauss-mértékek, vagy másnéven normális eloszlások.

Először összefoglaljuk a véges dimenziós Gauss-mértékek legfontosabb tulajdonságait. A valós számokon értelmezett

\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2}

sűrűségfüggvénnyel megadott valószínűségi változót standard Gauss vagy standard normális valószínűségi változónak hívjuk. A standard n-dimenziós Gauss-mérték n db standard Gauss-mérték szorzata R^{n}-en. Egy R^{n}-en értelmezett Y valószínűségi változó Gauss, ha felírható

Y = AX + m

alakban, ahol X a standard n-dimenziós Gauss-mérték, A egy k × n-es mátrix, és m ∈ R^{k}. Ekkor m az Y valószínűségi változó várható értéke, és S =^{def}AA^{T} az Y kovariancia mátrixa.

Bebizonyítható, hogy Y -t m és S már egyértelműen meghatározza, és karakterisztikus függvénye

ϕ_{Y} (x) = e^{i⟨x,m⟩−⟨Sx,x⟩/2}.

Ha S invertálható, akkor Y -nak létezik sűrűségfüggvénye, és ez

\frac{1}{(2π)^{n/2} det(S)}e^{−⟨S^{−1}(x−m),x−m⟩/2}.

Ekkor Y -t nemelfajuló Gauss-mértéknek hívjuk.

Bebizonyítható, hogy R^{n}-en egy mérték pontosan akkor Gauss, ha minden 1-dimenziós vetülete Gauss. Ez alapján a Gauss-mérték definíciója általánosítható Banach-terekre is:

Definíció. Egy μ valószínűségi mérték egy szeparábilis Banach-téren Gauss-mérték, ha a duális tér minden x^{∗} elemére a

μ_{x^{∗}}(A) =^{def}μ{y : ⟨x^{∗}, y⟩ ∈ A} (A ⊂ R)

egyenlőséggel definiált mérték 1-dimenziós Gauss-mérték. Ha minden x^{∗} ≠ 0-ra μ_{x^{∗}} nemelfajuló, akkor μ-t nemelfajuló Gauss-mértéknek hívjuk.

Banach-terekben a legelőször vizsgált és egyik legfontosabb Gauss-mérték az úgynevezett Wiener-mérték C([0, 1])-en: az a (létező és egyértelmű) w mérték, melyre

(i) minden rögzített 0 ≤ t ≤ 1-re f(t) (f ∈ C([0, 1])) egy 0 várható értékű, \sqrt{t} szórású Gauss-valószínűségi változó; (ii) minden rögzített 0 ≤ t_{1} ≤ t_{2} ≤ … ≤ t_{n} ≤ 1-re az f(t_{k+1}) − f(t_{k}) valószínűségi

változók függetlenek. Ekkor persze f(0) = 0 és ezért w elfajuló, de már nemelfajuló Gauss-mértéket kapunk az {f : f(0) = 0} altéren.

A Wiener-mérték egy explicit megadása megtalálható pl. [3]-ban.

Hilbert-téren a Gauss-mértékeket megadhatjuk a karakterisztikus függvényükkel:

4.1. Tétel. Egy H Hilbert-téren a μ mérték pontosan akkor Gauss, ha van olyan x_{0} ∈ H és S nemnegatív nyom-osztályú operátor, amelyre

∫_{H} e^{i⟨x,y⟩}dμ(y) = e^{i⟨x,x_{0}⟩−⟨Sx,x⟩/2}.  (3)

A μ mérték pontosan akkor nemelfajuló, ha ker(S) = {0}.

Bizonyítás. Az egyik irány triviális: ha μ-re teljesül (3), és μ_{x} jelöli ⟨x, ·⟩ eloszlását, akkor μ_{x} karakterisztikus függvénye

∫_{R} e^{its}dμ_{x}(t) = ∫_{H} e^{is⟨x,y⟩}dμ(y) = e^{is⟨x,x_{0}⟩−s^{2}⟨Sx,x⟩/2},

ami (rögzített x-re) valóban 1-dimenziós Gauss-mérték karakterisztikus függvénye.

Megfordítva, tegyük fel, hogy μ Gauss-mérték. Ekkor minden μ_{x} mérték Gauss, tehát

ϕ(x) = ∫_{H} e^{i⟨x,y⟩}dμ(y) = e^{im_{x}−σ_{x}^{2}/2},

ahol

m_{x} = ∫_{H}⟨x, y⟩dμ(y) és σ_{x}^{2} = ∫_{H}(⟨x, y⟩ − m_{x})^{2}dμ(y).

Ekkor

m_{x} = lim_{r→∞} ∫_{||y||≤r}⟨x, y⟩dμ(y),

és a konvergencia lokálisan egyenletes, így az x → m_{x} leképezés folytonos. Ebből már következik, hogy m_{x} = ⟨x, x_{0}⟩ valamely x_{0} ∈ H-ra.

Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy x_{0} = 0 (ez csak a μ mérték eltolását jelenti). Ekkor

σ_{x}^{2} = ∫_{H}⟨x, y⟩^{2}dμ(y),

így σ_{x}^{2} = ⟨Sx, x⟩ valamely S pozitív lineáris operátorra, vagyis ϕ(x) = e^{−⟨Sx,x⟩/2}, csak azt kell bebizonyítani, hogy S valóban egy nyom-osztályú operátor.

A 2.3. Tétel alapján van olyan T nemnegatív nyom-osztályú operátor, amelyre ⟨T x, x⟩ ≤ 1 esetén 1−e^{−⟨Sx,x⟩/2} ≥ 1/2, így ⟨Sx, x⟩ ≤ log 4. Azt is feltehetjük, hogy T és S magja megegyezik. Ekkor S ≤ log 4 · T, és mivel T nyom-osztályú, ezért ||S||_{1} ≤ log 4||T ||_{1} miatt S is biztosan nyom-osztályú.

Végül, μ pontosan akkor nemelfajuló, ha minden x-re σ_{x} ≠ 0, azaz ha minden 0 ≠ x-re ⟨Sx, x⟩ > 0. Ez ekvivalens azzal, hogy ker(S) = {0}.

A 2.3. Tételből következik, hogy minden x_{0}-ra és S-re létezik (pontosan egy) Gaussmérték, amelyre teljesül (3).

A 4.1. Tétel fontos következménye, hogy Hilbert-térben egy Gauss-mérték mindig független 1-dimenziós Gauss-mértékek illetve Dirac-mértékek szorzata. Valóban, válaszszunk egy {e_{n}} ortonormált bázist S sajátvektoraiból (ilyet lehet, mert minden nyomosztályú, sőt minden Hilbert-Schmidt operátor kompakt), és legyenek a hozzájuk tartozó sajátértékek λ_{n} ≥ 0. Ekkor ||S||_{1} = ∑_{n} λ_{n} < ∞, és az a_{n} = ⟨x, e_{n}⟩, α_{n} = ⟨x_{0}, e_{n}⟩ jelölésekkel

ϕ(x) = ∏ e^{iα_{n}a_{n}−λ_{n}a_{n}^{2}/2}.

Általában, tetszőleges szeparábilis Banach-térben a nem-elfajuló Gauss-mértékek létezése sem világos. Azonban egy Hilbert-téren értelmezett Gauss-mértékből könnyen konstruálhatunk Gauss-mértéket tetszőleges Banach-térben:

Legyen B egy Banach-tér, és T egy folytonos lineáris leképezés H-ból B-be. Ekkor a Hilbert-téren értelmezett bármely μ Gauss-mértékre ν =^{def}μ ∘ T^{−1} Gauss-mérték B-n, és ha μ nemelfajuló volt és T képe sűrű B-ben, akkor ν is nemelfajuló. Ha B szeparábilis, akkor valóban létezik olyan T : H → B folytonos lineáris leképezés, amelynek a képe sűrű.

Hasonló módon lehet definiálni más mértékeket is szeparábilis Banach-térben:

Definíció. A B szeparábilis Banach-téren μ kocka-mérték, ha egy a + ∑_{k} X_{k}e_{k} alakú valószínűségi változó eloszlása, ahol a, e_{1}, e_{2}, … ∈ B, ∑_{k} ||e_{k}|| < ∞, és X_{1}, X_{2}, … független, egyenletes eloszlású valószínűségi változók [0, 1]-en. A μ kocka-mérték nemelfajuló, ha az e_{1}, e_{2}, … vektorok által feszített altér sűrű B-ben.

Világos, hogy a kocka-mértékek pontosan azok a mértékek, amelyek megkaphatók a Q = [0, 1]^{N} Hilbert-kockán értelmezett λ standard Lebesgue-mértékből λ ∘ T^{−1} alakban,

ahol q = (q_{1}, q_{2}, …) ∈ Q-ra T (q) =^{def}a + ∑_{k} q_{k}e_{k}.

Végtelen sok mérték szorzatának (speciálisan a fenti Q Hilbert-kockán értelmezett λ Lebesgue-mértéknek) a viselkedése eltér a véges dimenziós esetben megszokottól. Például, az (\frac{1}{2}, 1]^{N} kockának kontinuum sok diszjunkt eltoltja van Q-ban, így nyilván 0-mértékű (ami persze a ∏_{n=1}^{∞} \frac{1}{2} = 0 egyenlőségből is azonnal látszik). Általában pedig a ∏_{n=1}^{∞}[ε_{n}, 1] kocka mértéke ∏_{n=1}^{∞}(1 − ε_{n}), vagyis ez a mérték pontosan akkor pozitív, ha ∑_{n} ε_{n} < ∞.

Egy Banach-téren sok nemelfajuló Gauss- és kocka-mérték van, nincs közöttük egyetlen kitüntetett. Sőt, az előbbi észrevétel alapján könnyen megadható kontinuum sok diszjunkt tartójú kocka- illetve Gauss-mérték. Ezért különösen fontosak azok a halmazok, amelyek minden nemelfajuló Gauss- vagy kocka-mérték szerint 0-mértékűek:

Definíció. Egy A halmazt Gauss-nullának nevezünk, ha minden nem-elfajuló Gaussmérték szerint 0-mértékű. Ugyanígy, A kocka-nulla, ha minden nemelfajuló kocka-mérték szerint 0-mértékű.

Nyilvánvaló, hogy a kocka-nulla és a Gauss-nulla halmazok is σ-ideált alkotnak. A Gauss-nulla halmazokat R.R. Phelps vezette be, a kocka-nulla halmazokat először

P. Mankiewicz használta, akkor még explicit definíció nélkül (lsd. [13] és [10]).

Bebizonyítjuk, hogy minden Gauss-nulla halmaz kocka-nulla. A bizonyításnak az a ”lényege”, hogy ha a Hilbert-kocka egy kis rész-kockája pozitív mértékű valamely μ valószínűségi mérték szerint, és A egy pozitív Lebesgue-mértékű részhalmaz, akkor A pozitív mértékű μ valamely eltoltja szerint is. Precízebben:

Lemma. Legyenek ε_{1}, ε_{2}, … pozitív valós számok, melyekre ∑_{n} ε_{n} < ∞ és 0 < ε_{n} < 1 minden n-re. Legyen A ⊂ ∏_{n=1}^{∞}[ε_{n}, 1] egy pozitív Lebesgue-mértékű részhalmaza [0, 1]^{N}- nek, és legyen μ egy olyan mérték R^{N}-en, amelyre teljesül μ(∏_{n=1}^{∞}[0, ε_{n}]) > 0. Ekkor van olyan \underline{t} ∈ [0, 1]^{N}, hogy a μ\underline{t}(X) =^{def}μ(X + \underline{t}) mértékre μ\underline{t}(A) > 0.

Bizonyítás. A Fubini-tételt alkalmazzuk:

∫_{[0,1]^{N}} μ\underline{t}(A)dλ(\underline{t}) ≥ ∫_{[0,1]^{N}} ∫_{[0,1]^{N}} χ_{A−\underline{t}}(\underline{u})dμ(\underline{u})dλ(\underline{t})
= ∫_{[0,1]^{N}} ∫_{[0,1]^{N}} χ_{A−\underline{t}}(\underline{u})dλ(\underline{t})dμ(\underline{u})
= ∫_{[0,1]^{N}} ∫_{[0,1]^{N}} χ_{A−\underline{u}}(\underline{t})dλ(\underline{t})dμ(\underline{u})
= ∫_{[0,1]^{N}} λ((A − \underline{u}) ∩ [0, 1]^{N})dμ(\underline{u})
≥ ∫_{∏[0,ε_{n}]} λ((A − \underline{u}) ∩ [0, 1]^{N})dμ(\underline{u})
= μ(∏[0, ε_{n}])λ(A) > 0,

így valóban van olyan \underline{t}, amelyre μ\underline{t}(A) > 0.

4.2. Tétel. Minden Gauss-nulla halmaz kocka-nulla.

Bizonyítás. Ha A nem kocka-nulla, akkor van olyan kocka-mérték, amely szerint nem 0-mértékű, így valamilyen T : Q → B-re λ(T^{−1}A) > 0. Feltehető, hogy A ⊂ ∏_{n}[ε_{n}, 1] valamely, a Lemma feltételeit kielégítő ε_{n} sorozatra. Tekintsünk R^{N}-en egy ∏_{n} X_{n} valószínűségi változót, ahol X_{1}, X_{2}, … független, 0 várható értékű 1-dimenziós Gauss-változók olyan kicsi szórással, hogy ∏_{n}[0, ε_{n}] mérteke pozitív legyen. A Lemmát alkalmazva T^{−1}A mértéke pozitív a \underline{t} + ∏ X_{n} valószínűségi változó μ eloszlása szerint valamilyen \underline{t}-re, így a μ ∘ T^{−1} Gauss-mérték szerint A nem 0-mértékű a Banach-térben.

A következő tétel a 3.3. Tétellel együtt a Gauss-nulla és kocka-nulla halmazok kapcsolatát mutatja a Haar-nulla halmazok σ-ideáljával.

4.3. Tétel. Minden Gauss-nulla halmaz Haar-nulla, és nem minden kompakt halmaz kocka-nulla.

Bizonyítás. Mindkét állítás triviális. Ha A Gauss-nulla, akkor nyilván tetszőleges μ nemelfajuló Gauss-mértékre μ(A+x) = 0. Másrészt, egy nemelfajuló kocka-mérték tartója Q folytonos képe, így kompakt, és nyilván nem kocka-nulla.

5. Aronszajn-nulla halmazok

Definíció. Legyenek e_{1}, e_{2} … egy B szeparábilis Banach-tér elemei. Legyen

A(e_{1}, e_{2}, …)

azon B-beli B Borel-halmazok osztálya, amelyek felbonthatók megszámlálható sok Borelhalmaz uniójára úgy, hogy az n-edik halmaz uniója 0-mértékű az e_{n} irányú egyeneseken, azaz B = ⋃_{n} B_{n}, λ{t ∈ R : a + te_{n} ∈ B_{n}} = 0 minden a-ra.

Egy B Borel-halmazt Aronszajn-nullának nevezünk, ha B ∈ A(e_{1}, e_{2}, …) minden olyan e_{1}, e_{2}, … sorozatra, amely által kifeszített altér sűrű.

Könnyen látható (Fubini-tétel segítségével), hogy R^{n}-ben az Aronszajn-nulla halmazok megegyeznek a (Lebesgue) 0-mértékű halmazokkal. Valóban, egy 0-mértékű halmaz a síkon m.m. vízszintes egyenesen 0-mértékű, és m.m. vízszintes egyenest elhagyva a maradék halmaz persze m.m. függőleges egyenesen 0-mértékű lesz. Ezzel analóg módon bizonyíthatunk magasabb dimenziókban, valamint vízszintes-függőleges helyett más irányú egyenesekre is. (Az pedig, hogy minden Aronszajn-nulla halmaz Lebesgue-nulla, triviális.)

A Lebesgue-nulla halmazokkal való ekvivalencia az eddig bevezetett nullahalmaz-fogal-makra (Haar-nulla, Gauss-nulla, kocka-nulla) már a definícióból triviálisan következett.

Az összes nullahalmaz-fogalom közül az Aronszajn-nulla halmazok fogalma a legkevésbé természetes. Az Aronszajn-nulla halmazokat N. Aronszajn vezette be, bebizonyítva, hogy Banach-téren egy Lipschitz függvény nem-differenciálhatósági pontjai mindig Aronszajn-nulla halmazt alkotnak (lsd. [1]).

Vegyük észre, hogy a definícióban a B_{n} halmazok Borel tulajdonsága nagyon fontos. Ha ezt nem tennénk fel, akkor az egész tér Aronszajn-nulla lenne. Már Sierpiński felbontotta a síkot (kontinuum-hipotézis felhasználásával) két részre úgy, hogy az egyik minden vízszintes, a másik minden függőleges egyenesen 0-mértékű.

Hasonló felbontás lehetséges végtelen dimenziós szeparábilis B Banach-térben is, sőt, kontinuum-hipotézis nélkül, csak a kiválasztási axióma felhasználásával ([4]): Legyen e_{1}, e_{2}, ... egy tetszőleges sorozat, melyre e_{n} ∉ span(e_{1}, …, e_{n−1}). Az

F = B/span(e_{1}, e_{2}, …)

faktortér minden eleméből válasszunk ki egy-egy reprezentáns pontot, legyen az így kapott (persze nem Borel) halmaz D, és legyen B_{n} =^{def}D + span(e_{1}, e_{2}, …, e_{n−1}). Ekkor valóban B = ⋃_{n} B_{n}, és minden e_{n} irányú egyenes legfeljebb 1 pontban metszi B_{n}-et.

Emiatt már annak a bizonyítása sem triviális (persze nem is nehéz), hogy ha egy B Borel-halmazra és e_{1}, e_{2}, …, e_{n} vektorokra B minden eltoltja 0 Lebesgue-mértékű halmazban metszi a span(e_{1}, …, e_{n}) teret, akkor B ∈ A(e_{1}, …, e_{n}). A 6. fejezetben látni fogjuk, hogy ennél sokkal több is igaz: tetszőleges B Borel-halmazra a

ϕ(x) = λ_{n}((B + x) ∩ span(e_{1}, …, e_{n}))

függvény Borel-mérhető. Ekkor, B_{i}-nek választva B azon pontjait, amelyeken keresztül az e_{i} irányú egyenesek 0-mértékű halmazban metszik B-t, a kapott B_{i} halmazok Borelek. Persze B = ⋃_{i=1}^{n} B_{i}.

Fubini tételéből azonnal következik, hogy minden Aronszajn-nulla halmaz kocka-nulla. R.R. Phelps bizonyította a következőt ([13]):

5.1. Tétel. Minden Aronszajn-nulla halmaz Gauss-nulla.

A bizonyítás alapja a következő tétel:

5.2. Tétel. Van olyan T : B → H folytonos lineáris injektív leképezést, amelyre T B sűrű H-ban, és tetszőleges B ∈ B Borel- halmazra T B Borel.

Az 5.2. Tétel bizonyítása. Minden szeparábilis Banach-tér tekinthető C[0, 1] egy alterének, ezért elég megmutatni, hogy a C[0, 1] ⊂ L_{2}(0, 1) természetes beágyazásnál minden Borel-halmaz képe Borel, utána választhatjuk H-nak B lezártját L_{2}-ben.

Ehhez elég bebizonyítani, hogy C[0, 1] egységgömbje Borel L_{2}-ben. Legyen I a racionális intervallumok halmaza [0, 1]-en, és legyen I_{m} azon racionális intervallum-párok halmaza, amelyek hossza is és távolsága is kisebb 1/m-nél. Ekkor

M =^{def} ⋂_{i∈I}{f ∈ L_{2} : ∫_{I} |f| ≤ |I|}

egy zárt halmaz L_{2}-ben, megmutatjuk, hogy C[0, 1] egységgömbje ennek és az

N =^{def} ⋂_{n} ⋃_{m} ⋂_{(I,J)∈I_{m}}\{f ∈ L_{2} : |\frac{1}{|I|} ∫_{I} f − \frac{1}{|J|} ∫_{J} f| < 1/n\}

Borel-halmaznak a metszete.

Az, hogy mindkét halmaz tartalmazza C[0, 1] egységgömbjét, triviális. Másrészt tudjuk, hogy lim_{I→x} \frac{1}{|I|} ∫_{I} f = f(x) egy teljes mértékű halmazon. Így ha egy f függvény eleme N-nek, akkor egyenletesen folytonos egy teljes mértékű halmazon, azaz m.m. megegyezik egy C[0, 1]-beli függvénnyel. Ezek után f ∈ M biztosítja, hogy benne van az egységgömbben.

Az 5.1. Tétel bizonyítása. Legyen A egy Aronszajn-nulla halmaz, μ egy nemelfajuló Gauss-mérték, és válasszunk egy T : B → H leképezést, amely kielégíti az 5.2. Tétel feltételeit.

Ekkor ν =^{def}μ∘T^{−1} egy nemelfajuló Gauss-mérték H-n, legyen e_{1}, e_{2}, … egy ortonormált bázis a ν-höz tartozó nyom-osztályú operátor sajátértékeiből. Tudjuk, hogy A felírható ⋃_{n} A_{n} alakban, ahol A_{n} 0 Lebesgue-mértékű minden T^{−1}e_{n} irányú egyenesen, és ν 1dimenziós nemelfajuló ν_{n} Gauss-mértékek szorzata. Ekkor T A_{n} 0-mértékű minden e_{n} irányú egyenesen, így ν_{n}(x + T A_{n}) = 0 minden x-re. Fubini tétele alapján ν(T A_{n}) = 0, ez teljesül minden n-re, tehát 0 = ν(T A) = μ(A).

A Banach-terek elméletében, különösen a Banach-tereken értelmezett mértékek differenciálásakor fontos szerepet játszanak az úgynevezett Radon-Nikodým-tulajdonságú, vagy röviden RNP terek. A Radon-Nikodým-tulajdonságnak számos ekvivalens definíciója ismert – az ekvivalencia bizonyítása általában nem triviális. Ezek azok a terek, ahol a mértékek differenciálhatóak, érvényes a valós esetben jól ismert Radon-Nikodým-tétel. Számunkra most a következő tulajdonságuk (vagy ha úgy tetszik, definíciójuk) miatt érdekesek:

Definíció. Egy B Banach-tér RNP, ha minden f : [0, 1] → B abszolút folytonos függvény m.m. differenciálható.

Bebizonyítható, hogy R, R^{n}, sőt minden olyan tér, amely szeparábilis és konjugált (pl. a szeparábilis reflexív terek), RNP.

Legtöbbször azonban nem a [0, 1] intervallumon, hanem egy Banach-téren szeretnénk deriválni:

Definíció. Egy B Banach-térből egy másik Banach-térbe képező f függvény Gâteauxdifferenciálható az x_{0} pontban, ha van a terek között olyan korlátos lineáris T operátor, amellyel minden u ∈ B-re teljesül

T u = lim_{t→0} \frac{f(x_{0} + tu) − f(x_{0})}{t}.

Azaz, egy függvény pontosan akkor Gâteaux-differenciálható, ha minden egyenesen külön-külön differenciálható, és ezek a deriváltak együtt egy korlátos lineáris leképezését alkotják az irányoknak.

A definíció gyengébb, mint a véges dimenziós esetben megszokott derivált-fogalom, mert most nem követeljük meg, hogy a különböző irányokban a limesz egyenletes legyen. Például, a síkon értelmezett

f(0, 0) = 0; f(x, y) = \frac{x^{2}y}{x^{6} + y^{2}} , ha (x, y) ≠ (0, 0)

függvény nem folytonos a 0-ban, és ott mégis Gâteaux-differenciálható!

Megmutatjuk, hogy egy szeparábilis Banach-térből egy RNP térbe képező Lipschitzleképezés minden pontban Gâteaux-differenciálható, kivéve egy Aronszajn-nulla halmaz pontjaiban. Ehhez szükségünk lesz a következő Lemmára:

Lemma. Legyen B szeparábilis Banach-tér, és f Lipschitz-leképezés B egy nyílt részhalmazából egy RNP térbe. Legyen G sűrű additív részcsoport R^{n}-ben, és tegyük fel, hogy valamely x_{0}-ra és minden u ∈ G-re létezik

D(x_{0})u =^{def} lim_{t→0} \frac{f(x_{0} + tu) − f(x_{0})}{t},

és ez u-nak additív függvénye. Ekkor f Gâteaux-differenciálható x_{0}-ban.

Bizonyítás. A h_{t}(u) = (f(x_{0} + tu) − f(x_{0}))/t függvények egyenlő mértékben folytonosak, sőt Lipschitzek, ugyanazzal a Lipschitz-konstanssal, mint f. Így D(x_{0})u létezik minden u ∈ cl (G) = B-re, és nyilván additív függvénye u-nak. Ebből már következik, hogy D(x_{0}) lineáris operátor, és az is könnyen látható, hogy korlátos, f Lipschitz-konstansa egy megfelelő korlát.

Szükségünk lesz a következő definícióra:

Egy A ∈ B halmaz porózus az x ∈ A pontban, ha van olyan r_{1}, r_{2}, … 0-hoz tartó sorozat, 0 < c < 1 valós szám és léteznek A-tól diszjunkt cr_{1}, cr_{2}, … sugarú B_{1}, B_{2}, … gömbök, melyek rendre benne vannak az x pont r_{1}, r_{2}, … sugarú környezetében. Az A halmazt porózusnak hívjuk, ha minden pontjában porózus, végül A σ-porózus halmaz, ha megszámlálható sok porózus halmaz uniója.

Lebesgue sűrűségi tételéből azonnal következik, hogy R^{n}-ben minden porózus halmaz, és így minden σ-porózus halmaz is 0-mértékű.

A most következő tételt N. Aronszajn bizonyította először, az itt látható bizonyítás D. Preiss-tól és L. Zajíček-től származik:

5.3. Tétel. Legyen C Radon-Nikodým tulajdonságú Banach-tér, és f Lipschitzleképezés R^{n} egy U nyílt részhalmazából C-be. Ekkor f az U minden pontjában Gâteauxdifferenciálható, kivéve egy Aronszajn-nulla halmaz pontjaiban.

Bizonyítás. Nyilvánvalóan feltehető, hogy f értelmezve van egész R^{n}-en. A RNP definíciójából következik, hogy az iránymenti deriváltak m.m. léteznek, így a fenti Lemma alapján csak azt kell bebizonyítani, hogy rögzített u ≠ 0 és v ≠ 0 vektorok esetén azon x-ek halmaza, melyekre nem létezik D(x)(u + v), vagy pedig létezik, de nem egyenlő a D(x)u + D(x)v összeggel, nullmértékű. Ennél többet fogunk bizonyítani: megmutatjuk, hogy ez a halmaz mindig σ-porózus.

Jelöljük A(k, y, z)-vel azon x-ek halmazát, amelyekre

(i)

\frac{||f(x + tu) − f(x) − ty||}{|t|} ≤ 1/k ∀ 0 < |t| ≤ 1/k;

(ii)

\frac{||f(x + tv) − f(x) − tz||}{|t|} ≤ 1/k ∀ 0 < |t| ≤ 1/k;

(iii)

lim sup_{s→0} \frac{||f(x + s(u + v)) − f(x) − s(y + z)||}{|s|} > 3/k.

Elég bebizonyítani, hogy A(k, y, z) porózus minden y, z-re és k egészre.

Legyen f Lipschitz-konstansa L. Minden x ∈ A(k, y, z)-hez válasszunk olyan s és w számokat, amelyre 0 < |s| < 1/k, ||f(x + s(u + v)) − f(x) − s(y + z)|| > 3|s|/k, és ||w|| < |s|/2kL. Ekkor

||f(x + su + w + sv) − f(x + su + w) − sz||
≥||f(x + su + sv) − f(x + su) − sz|| − 2L||w||
≥||f(x + su + sv) − f(x) − s(y + z)|| − 2L||w|| − |s|/k > |s|/k,

így x+su+w nem eleme A(k, y, z)-nek. Ez azt jelenti, hogy az x+su középpontú, |s|/2kL sugarú gömb diszjunkt A(k, y, z)-től.

Ebből már gyorsan következik az alábbi tétel:

5.4. Tétel. Legyen B szeparábilis Banach-tér, és C RNP. Ekkor egy f : B → C Lipschitz-függvény egy Aronszajn-nulla halmaz kivételével mindenütt Gâteaux-differen-ciálható.

Bizonyítás. A fenti Lemma fontos következménye, hogy azon pontok, ahol f differenciálható, mindig Borel-halmazt alkotnak. Megint feltehető, hogy f az egész B téren értelmezve van.

Legyenek x_{1}, x_{2}, ... lineárisan független vektorok, melyek sűrű alteret feszítenek B-ben, és legyen V_{n} =^{def}span(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}). Jelöljük D_{n}-el azon x-ek halmazát, ahol f-nek létezik az u irányú deriváltja minden u ∈ V_{n}-re, és ez u-nak lineáris függvénye. A Lemma alapján f a ⋂_{n} D_{n} halmaz minden pontjában Gâteaux-differenciálható, azt kell megmutatnunk, hogy B \ (⋂_{n} D_{n}) ∈ A(x_{1}, x_{2}, …).

Az 5.3. Tétel alapján minden rögzített y-ra ((B \ D_{n}) + y) ∩ V_{n} 0-mértékű a V_{n} euklídeszi térben, és B \ D_{n} Borel, így B \ D_{n} ∈ A(x_{1}, …, x_{n}).

6. Minden kocka-nulla halmaz Aronszajn-nulla

A dolgozat fő eredménye az alábbi, korábban nem ismert tétel:

6.1. Tétel. Szeparábilis Banach-térben minden kocka-nulla halmaz Aronszajn-nulla.

Vizsgáljuk először a szeparábilis Hilbert-terek speciális esetét. Ehhez bevezetünk néhány jelölést.

Jelölések.

Legyen H szeparábilis Hilbert-tér.

(i) rögzítsünk egy e_{1}, e_{2}, … ortonormált bázist, és egy x ∈ H pontra legyen x^{(i)} az x i-edik koordinátája. Legyen I_{1}, I_{2}, … a valós racionális zárt intervallumok egy felsorolása, és egy rögzített \underline{s} =^{def}(s_{1}, s_{2}, …, s_{k}) sorozatra legyen

C\underline{s} =^{def}\{x ∈ H : x^{(i)} ∈ I_{s_{i}} i = 1, 2, … k\}.

(ii) Egy rögzített B ⊂ H Borel-halmazra és x ∈ H-ra legyen

T \underline{s} ; B(x) =^{def}\{(r_{1}, r_{2}, …, r_{k}) ∈ R^{k} : x + r_{1}e_{1} + r_{2}e_{2} + … + r_{k}e_{k} ∈ B ∩ C\underline{s}\}.

(iii) Könnyen látható, hogy ekkor T \underline{s} ; B(x) egy Borel-halmaz R^{k}-ban, jelöljük a mértékét

f\underline{s} ; B(x)-el:

f\underline{s} ; B(x) =^{def}λ(T \underline{s} ; B(x)).

(iv) Minden B Borel-halmazra, \underline{s} = (s_{1}, s_{2}, …, s_{k}) sorozatra és c nemnegatív számra definiáljuk a B^{\underline{s} c} halmazt a következőképpen: ha s = ∅, akkor legyen B^{∅c} =^{def}B. Legyen B^{s_{1}c} azon B-beli pontok halmaza, amelyeken keresztülmenő e_{1} irányú egyenes I_{s_{1}}-ben levő részén a B halmaz nagy, azaz

B^{s_{1}c} =^{def}{x ∈ B : f_{B}^{s_{1}}(x) ≥ c|I_{s_{1}}|}.

Ugyanígy, ha B^{\underline{s}^{∗}c}-t már definiáltuk az \underline{s}^{∗} = (s_{1}, s_{2}, …, s_{k−1}) sorozatra, akkor legyen B^{\underline{s} c} azon B^{\underline{s}^{∗}c}-beli pontok halmaza, melyeken keresztülmenő e_{1}, e_{2}, …, e_{k} által feszített k-dimenziós altér megfelelő téglájában B^{\underline{s}^{∗}c} nagy, vagyis

B^{\underline{s} c} =^{def}\{x ∈ B^{\underline{s}^{∗}c} : f\underline{s} ; B^{\underline{s}^{∗}c}(x) ≥ c ∏_{i=1}^{k} |I_{s_{i}}|\}.

Bebizonyítjuk, hogy ha B zárt, akkor a B^{\underline{s} c} halmazok is zártak, és ha B Borel, akkor a B^{\underline{s} c} halmazok is Borelek.

Legyen először B zárt, megmutatjuk, hogy ekkor az \{x : f\underline{s} ; B(x) ≥ c\} nívóhalmazok is zártak. Ehhez az kell, hogy x_{n} → x, f\underline{s} ; B(x_{n}) ≥ c esetén f\underline{s} ; B(x) ≥ c legyen.

Ha valamely (r_{1}, r_{2}, …, r_{k}) sorozatra x_{n}^{(i)} + r_{i} ∈ I_{s_{i}}, akkor r_{i} eleme az I_{s_{i}} − x_{n}^{(i)} intervallumnak. Mivel x_{n} → x, ezért x_{n}^{(i)} → x^{(i)}, vagyis elég nagy n-re T_{n} =^{def}T \underline{s} ; B(x_{n}) benne van R^{k} egy rögzített téglájában. Mivel λ(T_{n}) ≥ c, ezért λ(lim sup T_{n}) ≥ c, azaz elég megmutatni, hogy (r_{1}, r_{2}, …, r_{k}) ∈ lim sup T_{n} esetén x + r_{1}e_{1} + r_{2}e_{2} + … + r_{k}e_{k} ∈ B ∩ C\underline{s}. Ez B zártságából azonnal következik.

Ezzel \{x : f\underline{s} ; B(x) ≥ c\} zártságát bebizonyítottuk, így a B^{\underline{s} c} halmazok is zártak.

Ha B nem zárt, csak Borel, az f\underline{s} ; B(x) függvény akkor is biztosan Borel-mérhető, mivel

B_{1} ⊂ B_{2} ⊂ … illetve B_{1} ⊃ B_{2} ⊃ … esetén az f\underline{s} ; ∪_{n=1}^{∞}B_{n} illetve f\underline{s} ; ∩_{n=1}^{∞}B_{n} függvény az

f\underline{s} ; B_{n} (Borel-mérhető) függvények pontonkénti határértéke. Így a B^{\underline{s} c} halmazok valóban Borelek.

A definícióból világos, hogy B_{1} ⊂ B_{2} és c ≥ d esetén B_{1}^{\underline{s} c} ⊂ B_{2}^{\underline{s} d}. Továbbá, könnyen látható, hogy B_{1} ⊂ B_{2} ⊂ … növő sorozat, B ⊂ ⋃_{n=1}^{∞} B_{n} és c > d esetén

B^{\underline{s} c} ⊂ ⋃_{n=1}^{∞} B_{n}^{\underline{s} d}

teljesül minden \underline{s}-re, és B_{1} ⊃ B_{2} ⊃ … csökkenő sorozat, B = ⋂_{n=1}^{∞} B_{n} esetén

B^{\underline{s}c} = ⋂_{n=1}^{∞} B_{n}^{\underline{s} c}.

Ezen előkészületek után rátérhetünk a tétel bizonyítására. Legyen először B ⊂ H egy Borel-halmaz, amelyre B ∉ A(e_{1}, e_{2} …). Megmutatjuk, hogy ekkor B nem kocka-nulla.

Mivel B ∉ A(e_{1}), ezért a ”legtöbb” e_{1} irányú egyenesen B pozitív mértékű. Egy pozitív mértékű halmaz m.m. pontja Lebesgue-sűrűségi pont, vagyis tetszőleges c < 1-re az e_{1} irányú egyeneseken B m.m. pontjához választható egy rövid racionális I intervallum, amelyet B legalább c|I| mértékű halmazban metsz. Precízebben: tetszőleges ε, c > 0-ra

B \ ( ⋃_{σ: |I_{σ}|<ε} B^{σ c}) ∈ A(e_{1}).

Az is könnyen látható (Fubini-tétel segítségével), hogy tetszőleges \underline{s} = (s_{1}, s_{2}, …, s_{k}) sorozat, ε > 0 és 1 > c > d > 0 számok esetén, minden B Borel-halmazra teljesül

B^{\underline{s} c} \ ( ⋃_{σ: |I_{σ}|<ε} B^{(\underline{s},σ)d}) ∈ A(e_{k+1}).  (4)

Rögzítsünk egy c_{1}-et és egy ε_{1}-et. Ekkor tehát

B \ ( ⋃_{σ: |I_{σ}|<ε_{1}} B^{σ c_{1}}) ∈ A(e_{1}),

így mivel B ∉ A(e_{1}, e_{2}, …), ezért biztosan van olyan σ = s_{1}, amelyre |I_{s_{1}}| < ε_{1}, és

B^{s_{1}c_{1}} ∉ A(e_{1}, e_{2}, …).

Ezek után ugyanígy egy tetszőleges c_{2} < c_{1} konstanst és egy ε_{2}-t választva (4) alapján van egy olyan σ = s_{2}, amelyre

B^{(s_{1}s_{2})c_{2}} ∉ A(e_{1}e_{2} …),

és így tovább, egy tetszőleges c_{1} > c_{2} > …, és ε_{1}, ε_{2}, … sorozathoz gyárthatunk egy B ⊃ B^{s_{1}c_{1}} ⊃ B^{(s_{1}s_{2})c_{2}} ⊃ … halmaz-sorozatot. Legyen ezen halmazok metszete B^{∗}.

Jelöljük a ∏_{n=1}^{∞} I_{s_{n}} kockát C-vel. A B^{∗} ⊂ C halmazunknak megvan az a kellemes tulajdonsága, hogy bármely pontján keresztül húzott e_{1} irányú egyenes legalább c_{1}|I_{s_{1}}| (lineáris) mértékű halmazban metszi C-t, bármelyik pontján keresztülfektetett e_{1}, e_{2} irányú síkmetszete legalább c_{2}|I_{s_{1}}||I_{s_{2}}| mértékű, stb. Abban reménykedhetnénk, hogy ekkor B^{∗} mértéke a C kockában a megfelelő kocka-mérték szerint legalább lim c_{n}. Ez esetben csak egy konvergens c_{n} → c > 0 sorozatot kell választanunk, és készen vagyunk.

De sajnos vannak mindenféle problémák. A B^{∗} metszet akár üres is lehet, és akkor hiába a fenti ”kellemes” tulajdonság. Semmi sem garantálja továbbá, hogy a ∏_{n=1}^{∞} I_{s_{n}} ”kocka” valóban a Hilbert-térben van, ahhoz nekünk konvergens négyzetösszegek kellenének. Végül, de nem utolsó sorban: ha ezekkel nincs gond, akkor sem biztos, hogy B^{∗} mértéke legalább lim c_{n}; lehet akár 0 is, gondoljunk az {x ∈ H : csak véges sok x^{(i)} nem 0} halmazra. Ez minden pontján keresztül a teljes egyenest, síkot, stb. tartalmazza, mégis 0-mértékű, hiszen megszámlálható sok véges dimenziós altér uniója!

Annál meglepőbb és fontosabb a következő észrevétel:

Lemma. Ha B^{∗} ≠ ∅ és zárt, továbbá ε_{n} < 1/2^{n}, akkor a ∏_{n=1}^{∞} I_{s_{n}} kocka benne van a Hilbert-térben, és B^{∗} mértéke a kockában legalább lim c_{n}.

Bizonyítás. Az, hogy a kocka benne van a térben, triviális, mert van legalább egy pontja (B^{∗} ≠ ∅ miatt), az élei pedig konvergens négyzetösszegűek.

Jelöljük az e_{1} irányú egyenesre való vetítést P_{1}-el, az e_{1}, e_{2} által meghatározott síkra való vetítést P_{2}-vel, stb, és legyen

B_{n}^{∗} =^{def}{x ∈ H : ∃y ∈ B^{∗}, P_{n}(x) = P_{n}(y)}.

Ekkor B_{n}^{∗} kocka-mértéke nyilván legalább c_{n}, és B^{∗} = ⋂_{n=1}^{∞} B_{n}^{∗} (mert B^{∗} zárt), tehát B^{∗} mértéke valóban legalább lim c_{n}.

Már csak az a kérdés, hogyan lehet a Lemma feltételeit biztosítani. Az ε_{n} < 1/2^{n} nem probléma, ε_{n} értékét tetszőlegesen választottuk. A metszet nemüressége és zártsága sokkal nehezebb ügy.

Ha B kompakt halmaz volt, akkor a metszet biztosan nemüres és zárt, hiszen ekkor kompakt halmazokat metszünk össze. Vagyis ha találnánk B-ben egy kompakt K részhalmazt, amelyre K ∉ A(e_{1}, e_{2}, …), akkor készen lennénk. Sajnos ilyen kompakt részhalmaz nem biztos, hogy létezik.

Ha B nem kompakt, de zárt, akkor legalább azt tudjuk, hogy a metszet zárt lesz, csak hát lehet, hogy üres. Ez esetben csináljuk a következőt:

Tudjuk, hogy minden (s_{1}, s_{2}, …, s_{k}) sorozatra és 0 < ε, 0 < d < c < 1-re teljesül (4). Ezért biztosan létezik egy olyan x_{0} ∈ B, amelyre

x_{0} ∉ B^{\underline{s} c} \ ( ⋃_{σ: |I_{σ}|<ε} B^{(\underline{s},σ)d})  (5)

teljesül minden (s_{1}, s_{2}, …, s_{k}) sorozatra és minden 0 < ε, 0 < d < c < 1 racionális számra, hiszen ez csak megszámlálható sok halmaz. Válasszunk tehát egy pozitív határértékű c_{1} > c_{2} > … racionális sorozatot, ε_{n} < 1/2^{n} racionális számokat, és az első lépésben válasszunk olyan s_{1}-et, amelyre |I_{s_{1}}| < ε_{1} és x_{0} ∈ B^{s_{1}c_{1}} (ilyen s_{1} (5) miatt biztosan létezik). A következő lépésben válasszunk olyan s_{2}-t, amelyre |I_{s_{2}}| < ε_{2} és x_{0} ∈ B^{(s_{1}s_{2})c_{2}}, stb., végül B^{∗}-ban benne lesz az x_{0}, és készen is vagyunk.

Ezzel bebizonyítottuk, hogy ha B ∉ A(e_{1}, e_{2} …) és zárt, akkor nem kocka-nulla, de hátra van még a tetszőleges Borel-halmaz esete. Az a célunk, hogy egy Borel-halmazt zárt halmazokból ”építsünk fel”.

Ez valóban lehetséges, az úgynevezett Szuszlin-operáció segítségével. Ismert eredmény a leíró halmazelméletben, hogy minden B Borel-halmaz felírható

B = ⋃_{\underline{n}} ⋂_{k} F_{n_{1}n_{2}...n_{k}}  (6)

alakban, ahol

(i) minden F_{n_{1}n_{2}...n_{k}} halmaz zárt; (ii) F_{n_{1}n_{2}...n_{k}} ⊃ F_{n_{1}n_{2}...n_{k}n_{k+1}}; (iii) F_{n_{1}n_{2}...n_{k}} ⊂ F_{n_{1}n_{2}...n_{k−1}(n_{k}+1)};

(iv) a B_{n_{1}n_{2}...n_{k}} =^{def} ⋃\underline{m} ⋂_{l} F_{n_{1}n_{2}...n_{k}m_{1}m_{2}...m_{l}} halmazok Borelek.

Ezek után válasszunk egy x_{0}-t, amelyre

x_{0} ∉ B_{n_{1}n_{2}...n_{k}}^{\underline{s} c} \ ( ⋃_{σ:|I_{σ}|<ε} B_{n_{1}n_{2}...n_{k}}^{(\underline{s},σ)d})

minden (s_{1}, s_{2}, …, s_{k})-ra, n_{1}, n_{2}, …, n_{k}-ra és minden 0 < ε, 0 < d < c < 1 racionális számra. Válasszunk egy 1 > c_{0} > c_{1} > c_{2} > … > c > 0 racionális sorozatot. Ekkor:

x_{0} ∈ B = ⋃_{n_{1}} B_{n_{1}} ⟹ ∃n_{1} : x_{0} ∈ B_{n_{1}} = B_{n_{1}}^{∅ c_{0}}

x_{0} ∉ B_{n_{1}}^{∅,c_{0}} \ ⋃_{s_{1}:|I_{s_{1}} |<1/2} B_{n_{1}}^{s_{1} c_{1}} ⟹ ∃s_{1} : |I_{s_{1}}| < 1/2 és x_{0} ∈ B_{n_{1}}^{s_{1} c_{1}}

B_{n_{1}n_{2}} ↗ B_{n_{1}} ⟹ B_{n_{1}}^{s_{1} c_{1}} ⊂ ⋃_{n_{2}} B_{n_{1}n_{2}}^{s_{1} c_{2}} ⟹ ∃n_{2} : x_{0} ∈ B_{n_{1}n_{2}}^{s_{1} c_{2}}

x_{0} ∉ B_{n_{1}n_{2}}^{s_{1} c_{2}} \ ⋃_{s_{2}:|I_{s_{2}} |<1/4} B_{n_{1}n_{2}}^{s_{1}s_{2} c_{3}} ⟹ ∃s_{2} : |I_{s_{2}}| < 1/4 és x_{0} ∈ B_{n_{1}n_{2}}^{s_{1}s_{2} c_{3}}

B_{n_{1}n_{2}n_{3}} ↗ B_{n_{1}n_{2}} ⟹ B_{n_{1}n_{2}}^{s_{1}s_{2} c_{3}} ⊂ ⋃_{n_{3}} B_{n_{1}n_{2}n_{3}}^{s_{1}s_{2} c_{4}} ⟹ ∃n_{3} : x_{0} ∈ B_{n_{1}n_{2}n_{3}}^{s_{1}s_{2} c_{4}}

Ezt így folytatva

x_{0} ∈ ⋂_{k} B_{n_{1}n_{2}...n_{k}}^{s_{1}s_{2}...s_{k} c},

és nyilván

⋂_{k} B_{n_{1}n_{2}...n_{k}}^{s_{1}s_{2}...s_{k} c} ⊂ ⋂_{k} F_{n_{1}n_{2}...n_{k}}^{s_{1}s_{2}...s_{k} c} ⊂ F,

ahol

F =^{def} ⋂_{k} F_{n_{1}n_{2}...n_{k}}.  (7)
(6) és (7) alapján F ⊂ B, és F_{n_{1}} ⊃ F_{n_{1}n_{2}} ⊃ … miatt

⋂_{k} F^{\underline{s} c} = ⋂_{k} ( ⋂_{l} F_{n_{1}n_{2}...n_{l}})^{\underline{s} c} = ⋂_{k} ⋂_{l} F_{n_{1}n_{2}...n_{l}}^{\underline{s} c} ∋ x_{0},

vagyis A egy F zárt részhalmazára találtunk egy nemüres zárt F^{∗} =^{def} ∩ F^{\underline{s} c} halmazt. Ezzel az állítást tetszőleges B ∉ A(e_{1}, e_{2}, …) Borel-halmazra bebizonyítottuk.

A további nehézségek (e_{1}, e_{2}, … sorozat helyett tetszőleges olyan x_{1}, x_{2}, … sorozat, amely sűrű alteret feszít, illetve Hilbert-tér helyett Banach-tér) már csak technikaiak.

Legyen B egy tetszőleges szeparábilis Banach-tér. Közismert a következő Lemma:

Lemma. Minden x_{1}, x_{2}, … ∈ B sorozathoz, amelyre span(x_{1}, x_{2}, …) sűrű B-ben, található olyan e_{1}, e_{2}, … ∈ B, e_{1}^{∗}, e_{2}^{∗}, … ∈ B^{∗} ortogonális rendszer (azaz ⟨e_{i}^{∗}, e_{j}⟩ = δ_{ij}), amelyre ⋂_{i=1}^{∞} ker e_{i}^{∗} = {0}, és az e_{1}, e_{2}, … vektorok ugyanazt az alteret feszítik, mint x_{1}, x_{2}, . . ..

Ekkor nyilván B ∈ A(x_{1}, x_{2}, …) ⟺ B ∈ A(e_{1}, e_{2}, …), és az egész bizonyítás megismételhető, csak az ”x i-edik koordinátája” helyett mindenütt ⟨e_{i}^{∗}, x⟩-et kell mondanunk (lsd. [7]).

7. Eltérő viselkedés a véges dimenziós esettel szemben

A 0-mértékű halmazok egy fontos (és triviális) tulajdonsága R^{n}-ben, hogy a Lipschitzleképezések megőrzik őket, azaz 0-mértékű halmaz Lipschitz-képe 0-mértékű. Ugyanez nem igaz a végtelen dimenziós Hilbert-térben. V.I. Bogachev-től származik a következő tétel ([5]):

7.1. Tétel. Legyen a H Hilbert-tér egységgömbje B. Ekkor megadható olyan A ⊂ B halmaz, amely nem Gauss-nulla, de a képe egy alkalmas f : B → H bi-Lipschitz-leképezésnél Aronszajn-nulla. Sőt, megadható olyan A és f, amelyre f(A) minden egyenest legfeljebb 3 pontban metsz.

Bizonyítás. Legyenek S_{1} és S_{2} olyan pozitív és nyom-osztályú operátorok H-n, melyekre S_{1}H ∩ S_{2}H = {0}, és a képük sűrű. Válasszunk egy {e_{n}} ortonormált bázist S_{1} sajátértékeiből, legyen S_{1}e_{n} = λ_{n}e_{n}.

Tekintsük az S = S_{1}^{3}-höz tartozó μ Gauss-mértéket. Könnyen ellenőrizhető, hogy ha λ_{n} → 0 elég gyorsan, akkor az S_{1}H képhalmaz tartója lesz μ-nek, és minden 0-körüli B_{0} gömbre μ(S_{1}H ∩ B_{0}) > 0.

Legyen f(x) =^{def}x + ||x||^{2}S_{2}x. Ez C^{1} (sőt C^{∞}), vagyis Lipschitz-tulajdonságú a B_{0} gömbökön, és 0-ban a deriváltja az identitás. Ekkor az inverz-leképezés tétel miatt bi-Lipschitz-tulajdonságú egy kis 0-körüli környezetben.

Már csak azt kell megmutatnunk, hogy f(S_{1}H) minden egyenest legfeljebb 3 pontban metsz. Tegyük fel, hogy valamely x, y, z ∈ S_{1}H pontokra és t ≠ 0-ra f(x) − f(y) = t(f(y) − f(z)), és x ≠ y. Mivel S_{1}H ∩ S_{2}H = {0}, ezért ekkor

x − y = t(y − z) és ||x||^{2}S_{2}x − ||y||^{2}S_{2}y = t(||y||^{2}S_{2}y − ||z||^{2}S_{2}z).

Ebből S_{2} injektivitása alapján

t^{2}(||x||^{2}x − ||y||^{2}y) = t^{3}||y||^{2}y − ||(t + 1)y − x||^{2}((t + 1)y − x),

ami egy nem-triviális másodfokú egyenlete t-nek, mert ||(t + 1)y − x||^{2} kifejtésekor a harmadfokú tag kiesik, és a 0 nem gyöke. Vagyis legfeljebb egy megoldása lehet a t = −1-en kívül.

A fenti jelenség nemcsak az Aronszajn-nulla halmazokkal hanem a Haar-nulla halmazokkal is előfordul. E. Matoušková egy, a közelmúltban bebizonyított tétele alapján a Haar-nulla halmazok sem invariánsak a bi-Lipschitz homeomorfizmusokra.

Talán ennél is meglepőbb a következő, D. Preiss-tól és J. Tišer-től származó tétel ([14]), amely azt mutatja, hogy egy végtelen dimenziós Banach-térben a σ-porózus halmazok lehetnek nagyon nagyok:

7.2. Tétel. Minden szeparábilis végtelen dimenziós B Banach-tér felbontható egy Aronszajn-nulla és egy σ-porózus halmaz uniójára.

Bizonyítás. Normalizáljuk a tér minden egyenesén a Lebesgue-mértéket B normája szerint, és legyen {x_{n}} egy rögzített sűrű sorozat. Válasszunk egy {z_{n}} sorozatot, amelyre ||x_{n} − z_{n}|| ≤ 11/2, és d(z_{n}, span(z_{1}, …, z_{n−1})) > 5. Ekkor a z_{n} pontok körüli 6 sugarú gömbök uniója lefedi a teret, jelöljük a z_{n} pontok körüli 1 sugarú gömbök unióját G-vel.

Rögzítsünk egy l egyenest, és minden olyan z_{n} pontra, amelyre d(z_{n}, l) < 1, válasszunk egy w_{n} pontot l-en, amelyre ||z_{n} − w_{n}|| < 1. Könnyen ellenőrizhető, hogy bármely két w_{i} pont távolsága legalább 3, és bármely i < j < k-ra w_{k} távolsága a [w_{i}, w_{j}] szakasztól legalább ||w_{i} − w_{j}||. Ebből indukcióval következik, hogy a w_{i} pontok tetszőleges n elemű részhalmazának az átmérője legalább 2^{n−1}.

Ekkor az l egyenes bármely két x, y pontjára, melyek távolsága nagyobb, mint 1, pontosabban 2^{m−1} < ||x−y|| ≤ 2^{m} valamely pozitív egész m-re, az [x, y] szakasz legfeljebb m+1 db G-beli gömböt metszhet. Ezért a metszet Lebesgue-mértéke legfeljebb 2(m+1) ≤ \frac{m+1}{2^{m−2}} ||y −x||. Tehát minden k ≥ 1-re van olyan s_{k} pozitív szám, hogy a tér bármely t ≥ s_{k} hosszúságú szakasza legfeljebb \frac{1}{2^{k}} t mértékű halmazban metszi G-t.

Ezek után legyen G_{k} = \frac{1}{2^{k}s_{k}} G, ekkor a t ≤ \frac{1}{2^{k}} hosszúságú szakaszok legfeljebb \frac{t}{2^{k}} mértékű halmazban metszik G_{k}-t, így biztosan 0 mértékű halmazban metszik lim sup G_{k}-t. Másrészt, lim sup G_{k} komplementere σ-porózus, hiszen a z_{n} középpontú 6 sugarú gömbök a teret lefedték.

Hivatkozások

[1] N. Aronszajn: Differentiability of Lipschitz mappings between Banach spaces, Studia Math., 57:147-190, 1976.

[2] Y. Benyamini and J. Lindenstrauss: Geometric Nonlinear Functional Analysis, előkészületben

[3] P. Billingsley: Convergence on Probability Measures, Wiley, 1968.

[4] V.I. Bogachev: Negligible sets in locally convex spaces, Mat. Zametki, 36:51-64, 1984. (oroszul)

[5] V.I. Bogachev: Some results on differentiable measures, Math. USSR-Sb., 55:335-349, 1986.

[6] J.P.R. Christensen: On sets of Haar measure zero in Abelian Polish groups, Israel J. Math., 13:255-260, 1972.

[7] M. Csörnyei: Aronszajn null and Gaussian null sets coincide, Israel J. Math., 1998.

[8] A. Hinchin: Correlation theory of stationary random processes, Uspehi. Mat. Nank., 42-51, 1938. (oroszul)

[9] W.B. Johnson and J. Lindenstrauss: Handbook on the Geometry of Banach spaces, előkészületben

[10] P. Mankiewicz: On the differentiability of Lipschitz mappings in Fréchet spaces, Studia Math., 45:15-29, 1973.

[11] E. Matoušková: Lipschitz images of Haar null sets, előkészületben

[12] R.A. Milnos: Generalized random processes, Trudy Mosk. Mat. Ob., 8:497-518, 1959. (oroszul)

[13] R.R. Phelps: Gaussian null sets and differentiability of Lipschitz maps on Banach spaces, Pacific J. Math., 77:523-531, 1978.

[14] D. Preiss and J. Tišer: Two unexpected examples concerning differentiability of Lipschits functions on Banach spaces, GAFA Israel Seminar 92-94, 219-238. Birkhäuser, 1995. (edited by V.D. Milman and J. Lindenstrauss)

[15] D. Renfro: A study of porous and σ-porous sets, előkészületben

[16] V.V. Sazonov: A remark on characteristic functionals, Teor. Ver. i ee Prim., 3:201-203, 1958. (oroszul)