Az ortogonális csoport vektorinvariánsai a 2 karakterisztikájú esetben

Diplomamunka

Készítette: Frenkel Péter Témavezető: Domokos Mátyás

Budapest, 2002 0.1. Bevezetés

Az ortogonális csoport és más klasszikus csoportok vektorinvariánsairól Hermann Weyl kimerítő tárgyalást adott híres [11] könyvében, melynek első kiadása 1939-ben jelent meg. Az eredmények egy része már Weyl 1924-es [10] cikkében szerepelt. Az egységes tárgyalásmód – mely Capelli, Weitzenböck és mások módszereit is felhasználja – és az eredmények jelentős része Weyl sajátja, bár például az ortogonális csoportra vonatkozó úgynevezett „első alaptételt” E. Study már 1897-ben bebizonyította [8].

Weyl könyve csak a nullkarakterisztikájú esettel foglalkozik. C. De Concini és C. Procesi 1976-ban megjelent [1] cikkükben kiterjesztették az eredményeket más testekre is. Az ortogonális és a speciális ortogonális csoport esetében a kiterjesztés csak 2-től különböző karakterisztikájú testek esetén működött. David R. Richman 1989-es [7] cikkében 2 karakterisztikájú végtelen test felett is leírta az „ortogonális csoport” vektorinvariánsait abban az esetben, ha a csoportot az A^{T} A = I egyenlettel definiáljuk. De a 2 karakterisztikájú esetben nem ezt szokás ortogonális csoportnak nevezni. Domokos Mátyás, S. G. Kuzmin és A. N. Zubkov megjelenés alatt álló [2] cikkükben – egy másik invariánselméleti probléma vizsgálatának melléktermékeként – rámutattak, hogy ha a (speciális) ortogonális csoportot egy 2 karakterisztikájú, algebrailag zárt test felett a szokásos módon, egy nem-elfajuló kvadratikus alak invarianciájával definiáljuk, akkor az invariáns polinomok az eddig említett esetektől gyökeresen elütő módon viselkednek (legalábbis a cikkben vizsgált SO(4) csoport esetén).

Ebben a dolgozatban a 2 karakterisztikájú esetre koncentrálva vizsgáljuk az ortogonális csoport vektorinvariánsait. Az első fejezetben magát a csoportot definiáljuk, és bebizonyítjuk néhány fontos tulajdonságát. A második fejezetben definiáljuk az invariánsokat, és olyan tételeket bizonyítunk, amelyek az invariáns polinomok algebrájának szerkezetéről adnak információt. A hangsúly itt azokon az ellenpéldákon van, amelyek a 2 karakterisztikájú esetet az összes többitől eltérővé teszik. A 3.1 alfejezetben definiáljuk és jellemezzük a nullkúpot, és ebből további következtetést vonunk le az invariáns polinomok algebrájára vonatkozólag. A harmadik fejezet további részében a klasszikus algebrai geometria néhány egyszerű eszközét bevetve leírjuk az invariáns racionális kifejezések testét, és a dimenzióhoz képest kevés számú vektorváltozó esetén az invariáns polinomok algebráját is. A harmadik fejezet eredményei olyan jellegűek, mint a 2-től különböző karakterisztika esetén megszokottak.

A diplomamunkában saját eredmények a 2.2, 2.3, 2.6, 3.3 és 3.4 alfejezetek eredményei. A többi állításnál vagy kiderül a szövegből, hogy kitől származik, vagy olyan ismert tényről van szó, amelyről nehéz volna megállapítani, hogy ki bizonyította először.

Köszönöm témavezetőmnek, Domokos Mátyásnak az érdekes témát és a diplomamunka írása során nyújtott rengeteg segítséget.

1. Az ortogonális csoport

Az O(n) ortogonális csoportot a valós test fölött az A^{T} A = I egyenlettel definiáljuk. Ez – tetszőleges k test felett tekintve is – azt fejezi ki, hogy A, mint a k^{n} tér lineáris transzformációja, invariánsan hagyja a „standard” nem-elfajuló bilineáris függvényt (skalárszorzatot). Ha char k ≠ 2, akkor ez egyenértékű azzal, hogy A invariánsan hagyja a „standard” kvadratikus alakot (a koordináták négyzetösszegét). Ha viszont char k = 2, akkor A-nak ez a két tulajdonsága már nem egyenértékű. Továbbá a koordináták négyzetösszege teljes négyzetté alakítható és emiatt – az alábbi 1.1.3 definíció értelmében – elfajuló, ezért nem a négyzetösszeget fogjuk standard kvadratikus alaknak nevezni.

Az alábbiakban egy tetszőlegesen rögzített nem-elfajuló kvadratikus alak invarianciájával definiáljuk az ortogonális csoportot, és tisztázzuk néhány alaptulajdonságát. Az 1.2 és 1.3 alfejezetekben többé-kevésbé Donald E. Taylor [9] könyvét követjük.

Ha nem mondunk mást, akkor egy 2 karakterisztikájú k alaptest felett dolgozunk; V mindig egy k feletti n dimenziós vektorteret jelöl. A második és harmadik fejezetben, az invariánselméleti vizsgálódások során mindig feltesszük majd, hogy k végtelen, sőt a harmadik fejezetben azt is, hogy algebrailag zárt. Most még nincs szükségünk ilyen feltevésre.

1.1. Kvadratikus alakok

1.1.1. Állítás. Ebben az állításban a k alaptest tetszőleges lehet.

A q : V → k függvényre vonatkozó alábbi feltételek ekvivalensek:

(i) Van olyan {·, ·} bilineáris függvény V -n, amelynek q a diagonalizáltja: q(v) = {v, v} minden v ∈ V esetén.

(ii) A q függvény a koordináták homogén másodfokú polinomjaként írható fel tetszőleges V -n felvett lineáris koordinátarendszer esetén.

(iii) A q függvény a koordináták homogén másodfokú polinomjaként írható fel egy alkalmas V -n felvett lineáris koordinátarendszer esetén.

A közismert (és nagyon egyszerű) bizonyítást nem részletezzük. Ha az állításban szereplő ekvivalens feltételek teljesülnek, akkor q-t kvadratikus alaknak nevezzük.

1.1.2. Állítás. A k alaptest most is tetszőleges lehet. Legyen q : V → k egy kvadratikus alak. Ekkor

β(v, w) = q(v + w) − q(v) − q(w)  (1)

egy β szimmetrikus bilineáris függvényt definiál V -n. (Ezt q polarizáltjának nevezzük.)

Ha char k = 2, akkor β nem csak szimmetrikus, hanem alternáló: β(v, v) = 0 minden v ∈ V vektorra.

Bizonyítás. Legyen q a {·, ·} bilineáris függvény diagonalizáltja. Ekkor

β(v, w) = {v + w, v + w} − {v, v} − {w, w} = {v, w} + {w, v},

amiből az állítás nyilvánvalóan következik. □

A továbbiakban β mindig az éppen szóban forgó q kvadratikus alak polarizáltját fogja jelölni.

1.1.3. Definíció. A k alaptest most is tetszőleges lehet. A q : V → k kvadratikus alakot nem-elfajulónak mondjuk, ha abból, hogy q(v) = 0 és minden w-re β(v, w) = 0, következik, hogy v = 0. Ekkor a (V, q) párt ortogonális geometriának nevezzük.

Ha char k ≠ 2, akkor q pontosan akkor elfajuló, ha β az. Ha viszont char k = 2, akkor előfordulhat, hogy β elfajuló, de q nem.

1.1.4. Állítás. Tegyük fel, hogy a 2 karakterisztikájú k test algebrailag zárt. Legyen q egy kvadratikus alak V -n. Ekkor léteznek ϱ, σ ≥ 0 egészek úgy, hogy 2ϱ + σ = n = dim V, és egy (x_{1}, …, x_{ϱ}, y_{1}, …, y_{ϱ}, z_{1}, …, z_{σ}) lineáris koordinátarendszer, amellyel

q = ∑_{i=1}^{ϱ} x_{i}y_{i} vagy q = ∑_{i=1}^{ϱ} x_{i}y_{i} + z_{1}^{2}.

Bizonyítás. Mivel β alternáló, ezért van olyan (X_{1}, …, X_{ϱ}, Y_{1}, …, Y_{ϱ}, Z_{1}, …, Z_{σ}) koordinátarendszer, amellyel

β (v^{(1)}, v^{(2)}) = ∑_{i=1}^{ϱ} (X_{i}^{(1)}Y_{i}^{(2)} + Y_{i}^{(1)}X_{i}^{(2)}) .

(Itt és minden hasonló esetben X_{i}^{(1)} a v^{(1)} vektor X_{i} koordinátáját jelenti stb.) Egy ilyen koordinátarendszerben

q = ∑_{i=1}^{ϱ} (a_{i}X_{i}^{2} + X_{i}Y_{i} + b_{i}Y_{i}^{2}) + ∑_{j=1}^{σ} c_{j}Z_{j}^{2}

alkalmas a_{i}, b_{i}, c_{j} skalárokkal. Mivel k algebrailag zárt, így vannak olyan x_{i}, y_{i} ∈ kX_{i} + kY_{i} lineáris funkcionálok, amelyekkel a_{i}X_{i}^{2} + X_{i}Y_{i} + b_{i}Y_{i}^{2} = x_{i}y_{i}. Mivel char k = 2, ezért x_{i} és y_{i} lineárisan függetlenek. Ha minden c_{j} nulla, akkor (x_{1}, y_{1}, …, x_{ϱ}, y_{ϱ})-t egészítsük ki V^{∗} bázisává tetszőleges módon. Ha nem minden c_{j} nulla, akkor legyen z_{1} = ∑_{j=1}^{σ} \sqrt{c}_{j}Z_{j}, és (x_{1}, y_{1}, …, x_{ϱ}, y_{ϱ}, z_{1})-et egészítsük ki V^{∗} bázisává tetszőleges módon. Az így kapott koordinátarendszer megfelelő lesz. □

1.1.5. Megjegyzés. A q kvadratikus alak egyértelműen meghatározza az

{x_{1} = ⋯ = x_{ϱ} = y_{1} = ⋯ = y_{ϱ} = 0}

alteret (és így ϱ-t és σ-t is). Valóban, a fenti altér éppen

ker β =^{def} {v ∈ V : β(v, w) = 0 minden w ∈ V vektorra}.

Továbbá, q azt is meghatározza, hogy szerepel-e a z_{1}^{2} tag (pontosan akkor szerepel, ha q nem tűnik el azonosan ker β-n).

Könnyen látható, hogy a fenti 1.1.4 állításban szereplő alakú q pontosan akkor nemelfajuló, ha vagy n = 2ϱ, vagy n = 2ϱ + 1 és q-ban szerepel a z_{1}^{2} tag.

1.2. Az ortogonális csoport

Legyen V az oszlopvektorok k^{n} tere. Itt a koordinátákat x_{1}, …, x_{ν}, y_{1}, …, y_{ν} fogja jelölni, ha n = 2ν páros, és x_{1}, …, x_{ν}, y_{1}, …, y_{ν}, z fogja jelölni, ha n = 2ν + 1 páratlan.

A teret ellátjuk a

q = ∑_{i=1}^{ν} x_{i}y_{i}, illetve q = ∑_{i=1}^{ν} x_{i}y_{i} + z^{2}  (2)

standard nem-elfajuló kvadratikus alakkal. (Ez a k feletti n dimenziós standard ortogonális geometria; algebrailag zárt k felett izometrikus izomorfizmustól eltekintve csak ez van.) A q kvadratikus alak polarizáltja mindkét esetben

β (v^{(1)}, v^{(2)}) = ∑_{i=1}^{ν} (x_{i}^{(1)}y_{i}^{(2)} + y_{i}^{(1)}x_{i}^{(2)}) .

A β alternáló bilineáris függvény mátrixa

J = (\begin{matrix}0 & I \\ I & 0 \end{matrix}) , illetve J ⊕ 0 = (\begin{matrix}0 & I \\ I & 0 \\ & & 0 \end{matrix}) ,

ahol I a ν ×ν méretű egységmátrix. A páros dimenziós esetben β-t standard szimplektikus formának nevezzük.

Az alábbiakban 𝔤𝔩(V) jelöli a V → V lineáris transzformációk (asszociatív) algebráját. Ha V = k^{n}, akkor 𝔤𝔩(n)-et írunk.

1.2.1. Definíció. Ebben a definícióban a k alaptest tetszőleges lehet.

Legyen (V, q) egy ortogonális geometria. Az A ∈ 𝔤𝔩(V) transzformáció ortogonális, ha invariánsan hagyja q-t:

O(V) = O(V, q) = {A ∈ 𝔤𝔩(V) : q(Av) = q(v) minden v ∈ V vektorra}.

A 2 karakterisztikájú, standard esetben az O(n) jelölést használjuk.

1.2.2. Definíció. A k alaptest most is tetszőleges lehet.

Legyen (V, β) egy szimplektikus geometria, azaz egy nem-elfajuló, alternáló bilineáris függvénnyel ellátott vektortér. Az A ∈ 𝔤𝔩(V) transzformáció szimplektikus, ha invariánsan hagyja β-t:

Sp(V) = Sp(V, β) = {A ∈ 𝔤𝔩(V) : β(Av, Aw) = β(v, w) minden v, w ∈ V vektorpárra} .

A 2 karakterisztikájú, standard esetben az Sp(2ν) jelölést használjuk:

Sp(2ν) = {A ∈ 𝔤𝔩(2ν) : β(Av, Aw) = β(v, w) minden v, w ∈ k^{n} vektorpárra} =
= {A ∈ 𝔤𝔩(2ν) : A^{T} JA = J} .

1.2.3. Állítás. A 2 karakterisztikájú, standard esetben O(2ν) ≤ Sp(2ν) ≤ SL(2ν). Páratlan n-re is O(n) ≤ SL(n).

Ez valójában a nem-standard esetben is igaz.

Bizonyítás. Ha A ∈ O(2ν), akkor A invariánsan hagyja q-t, ezért β-t is, vagyis A ∈ Sp(2ν). Ha A ∈ Sp(2ν), akkor A^{T} JA = J, ahonnan (det A)^{2} = 1, azaz det A = 1.

Ha A ∈ O(2ν + 1), akkor A invariánsan hagyja q-t, ezért β-t is. Tehát ker β, azaz a z-tengely A-invariáns. A z-tengelyen q injektív, ezért a z-tengely minden vektora fix. Vagyis A utolsó oszlopa (0, …, 0, 1)^{T}. A V/ ker β = k^{2ν} faktortéren A szimplektikusan hat, tehát A bal felső sarka ∈ Sp(2ν). Ebből az állítás következik. □

1.2.4. Állítás. Tegyük fel, hogy a k 2 karakterisztikájú test tökéletes, azaz k minden elemének van négyzetgyöke k-ban. Ha A ∈ O(2ν + 1), akkor jelölje Ā ∈ Sp(2ν) az A által a k^{2ν+1}/ ker β = k^{2ν} faktortéren indukált szimplektikus transzformációt. Ekkor ϕ : O(2ν + 1) → Sp(2ν), A ↦ Ā csoportizomorfizmus.

Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy ϕ homomorfizmus.

Legyen

S = {v ∈ k^{2ν+1} : q(v) = 0}.

Mivel ker β a z-tengely és k tökéletes, ezért q minden ker β szerinti mellékosztályt bijektíven képez k-ra. Így a

v ↦ v̄ = v + ker β

természetes leképezés S-re való megszorítása egy π : S → k^{2ν} bijekció. Ha A ∈ O(2ν + 1) és Ā = I, akkor A identikusan hat S-en és ker β-n, tehát A = I. Ezzel beláttuk, hogy ϕ injektív.

A szürjektivitás bizonyításához legyen Ã ∈ Sp(2ν) tetszőleges. Ha v ∈ S és w ∈ ker β, akkor legyen

A(v + w) = π^{−1} (Ãπ(v)) + w.

Világos, hogy A(au) = aA(u) minden u ∈ k^{2ν+1} és a ∈ k esetén. Továbbá q(Au) = q(u), hiszen

q(v + w) = q(v) + β(v, w) + q(w) = q(w),

ha v ∈ S és w ∈ ker β. Az A leképezés linearitásának igazolásához még azt kell ellenőrizni, hogy v^{(1)}, v^{(2)} ∈ S esetén

A (v^{(1)} + v^{(2)}) = Av^{(1)} + Av^{(2)}.

Az világos, hogy

A (v^{(1)} + v^{(2)}) = Av^{(1)} + Av^{(2)} + w

alkalmas (v^{(1)}-től és v^{(2)}-től függő) w ∈ ker β-val. Mindkét oldalra q-t alkalmazva azt kapjuk, hogy

β (v^{(1)}, v^{(2)}) = β (Av^{(1)}, Av^{(2)}) + q(w).

Másrészt

β (Av^{(1)}, Av^{(2)}) = β (π^{−1} (Ãπ (v^{(1)})) , π^{−1} (Ãπ (v^{(2)}))) = β (v^{(1)}, v^{(2)}) .

Ezért q(w) = 0, ahonnan w = 0. Ezzel beláttuk, hogy A lineáris, tehát A ∈ O(2ν + 1). Világos, hogy Ā = Ã. □

1.2.5. Megjegyzés. Ez a konstrukció valójában a nem-standard esetben is működik; a bizonyítás szinte szó szerint átvihető. Lényeges viszont az a feltétel, hogy k tökéletes.

1.2.6. Megjegyzés. A fenti ϕ csoportizomorfizmus reguláris leképezés (algebro-geometriai értelemben), de ϕ^{−1} nem az (feltéve, hogy ν ≥ 1 és k végtelen).

1.3. Tükrözések

1.3.1. Definíció. Ebben a definícióban (V, q) tetszőleges k test feletti ortogonális geometria lehet.

Tetszőleges v ∈ V esetén legyen v^{⊥} = {w ∈ V : β(v, w) = 0}. Tetszőleges H ⊆ V esetén legyen H^{⊥} = ⋂_{v∈H} v^{⊥}.

A v ∈ V, v ≠ 0 vektor szinguláris, ha q(v) = 0. Egy altér totálisan szinguláris, ha minden vektora szinguláris (vagy nulla). Egy egydimenziós altér szinguláris, ha totálisan szinguláris.

Ha q(v) ≠ 0, akkor a

T_{v}w = w − \frac{β(w, v)}{q(v)}v

képlettel definiált T_{v} transzformációt a v által meghatározott tükrözésnek nevezzük. Könynyen ellenőrizhető, hogy T_{v} valójában csak a kv egydimenziós altértől függ, ortogonális, fixpontjainak halmaza v^{⊥}, és T_{v}^{2} = I. Nyilvánvaló, hogy T_{v} = I akkor és csak akkor áll fenn, ha v ∈ ker β.

Az alábbiakban célunk annak bizonyítása, hogy O(n)-et generálják a tükrözések. Először a páratlan dimenziós esetet intézzük el, az 1.2.4 állításban szereplő ϕ csoportizomorfizmus segítségével. Ehhez feltesszük, hogy k tökéletes.

Ha x ∈ V = k^{2ν+1}, akkor legyen x̄ az x képe V̄ = V/ ker β = k^{2ν}-ben. A T_{v} tükrözésnek a

T̄_{v} : w̄ ↦ w̄ − \frac{1}{q(v)}β(w̄, v̄)v̄

Sp(2ν)-beli transzformáció felel meg. Rögzített v̄ mellett az itt szereplő \frac{1}{q(v)} tetszőleges nullától különböző skalár lehet. Ezért elegendő a következő állítást igazolni:

1.3.2. Állítás. Az

F_{v,a} : k^{2ν} → k^{2ν}, w ↦ w + aβ(w, v)v (v ∈ k^{2ν}, a ∈ k)

szimplektikus transzformációk (az úgynevezett szimplektikus transzvekciók) generálják az Sp(2ν) csoportot. Sőt, Sp(2ν) minden eleme előáll 4ν szimplektikus transzvekció szorzataként.

Bizonyítás. Az identikus leképezés is transzvekció, ezért elég azt belátni, hogy Sp(2ν) minden eleme előáll legfeljebb 4ν ilyen szorzataként. Legyen F a szimplektikus transzvekciók halmaza. Először azt mutatjuk meg, hogy bármely nullától különböző vektor átvihető bármelyik másikba legfeljebb két szimplektikus transzvekció egymásutánjával. Ha u_{1}, u_{2} ≠ 0 és β(u_{1}, u_{2}) ≠ 0, akkor a

v = u_{1} − u_{2}, a = \frac{1}{β(u_{1}, u_{2})}

választással F_{v,a}u_{1} = u_{2}. Ha viszont β(u_{1}, u_{2}) = 0, akkor válasszunk egy olyan w-t, amellyel β(u_{1}, w) ≠ 0 és β(u_{2}, w) ≠ 0 (van ilyen w, hiszen csak két valódi alteret zárunk ki). Ekkor w ∈ Fu_{1} és u_{2} ∈ Fw, tehát u_{2} ∈ FFu_{1}.

Most megmutatjuk, hogy bármely, a β(u, v) = 1 egyenletet kielégítő rendezett vektorpár (úgynevezett hiperbolikus pár) átvihető bármely másikba legfeljebb négy szimplektikus transzvekció egymásutánjával. Evégett legyenek (u_{1}, v_{1}) és (u_{2}, v_{2}) hiperbolikus párok. Az előzőek miatt feltehetjük, hogy u_{1} = u_{2} = u, de ekkor legfeljebb két transzvekcióval kell boldogulnunk. Ha β(v_{1}, v_{2}) ≠ 0, akkor a

v = v_{1} − v_{2}, a = \frac{1}{β(v_{1}, v_{2})}

választással F_{v,a}u = u és F_{v,a}v_{1} = v_{2}, készen vagyunk. Ha viszont β(v_{1}, v_{2}) = 0, akkor (u, u + v_{1}) olyan hiperbolikus pár, amelyre már β(u, u + v_{1}) = β(v_{2}, u + v_{1}) = 1, ezért (u, v_{1}) és (u, v_{2}) bármelyikébe átvihető szimplektikus transzvekcióval.

Ezután az állítást ν szerinti teljes indukcióval bizonyítjuk. A ν = 0 esetben nincs mit bizonyítani. Tegyük fel, hogy az állítás igaz (ν − 1)-re. Legyen A ∈ Sp(2ν) teszőleges. Legyen u, illetve v az x_{ν} illetve y_{ν} irányú standard bázisvektor. Az (u, v) pár hiperbolikus. Van olyan T, amely legfeljebb négy szimplektikus transzvekció szorzata és amellyel T Au = u, T Av = v. Tehát T A identikus az L = ku ⊕ kv altéren, és invariánsan hagyja az L^{⊥} = k^{2(ν−1)} alteret. Az indukciós feltevés szerint

(T A) |_{L^{⊥}}= T′_{1} ⋯ T′_{4(ν−1)} ,

ahol mindegyik T′_{i} ∈ Sp(2(ν−1)) szimplektikus transzvekció. Legyen T_{i} = T′_{i}⊕I ∈ Sp(2ν). Ekkor T_{i} szimplektikus transzvekció, és A = T^{−1}T_{1} ⋯ T_{4(ν−1)}. □

1.3.3. Következmény. Ha k tökéletes, akkor a tükrözések generálják O(2ν + 1)-et. Sőt, O(2ν + 1) minden eleme előáll 4ν tükrözés szorzataként.

Rátérünk a páros dimenziós esetre. Az ortogonális geometriát definiáló q kvadratikus alak polarizáltja, β itt nem-elfajuló, ezért az identitás nem tükrözés (szemben a páratlan dimenziós esettel). Ki fog derülni, hogy nem is áll elő páratlan számú tükrözés szorzataként (ld. az 1.3.7 következményt).

Az alfejezet hátralevő részében foglaltak a következő általánosabb feltételek mellett is érvényesek: k teszőleges test, V a k feletti véges dimenziós vektortér, és q olyan kvadratikus alak V -n, melynek β polarizáltja nem-elfajuló.

Az általánosabb szituációban is O(V) jelöli a q-t megtartó transzformációk csoportját.

1.3.4. Lemma. Ha A ∈ O(V) és r pozitív egész, akkor

ker(I − A)^{r} = (im(I − A)^{r})^{⊥} .

Bizonyítás. Tetszőleges u, v vektorokra β((I−A)u, v) = β(Au, (A−I)v). Ebből indukcióval

β ((I − A)^{r}u, v) = β (A^{r}u, (A − I)^{r}v) .

Ha tehát v ∈ ker(I − A)^{r}, akkor β ((I − A)^{r}u, v) is nulla. Ezzel beláttuk, hogy

ker(I − A)^{r} ≤ (im(I − A)^{r})^{⊥} .

E két altér azonos dimenziójú, tehát megegyeznek. □ 1.3.5. Állítás. Ha A ∈ O(V) fixponthalmaza 1 kodimenziós altér, akkor A tükrözés. Bizonyítás. Az im(I − A) képtér egydimenziós, legyen egy nullától különböző vektora v. Ekkor

Aw = w + λ(w)v

egy λ lineáris funkcionállal. Mivel β nem-elfajuló, így

Aw = w + β(w, u)v

egy rögzített u ≠ 0 vektorral. Ebből ker(I − A) = u^{⊥}, a lemma r = 1 esetéből u = av alkalmas a ≠ 0 skalárral. Tehát

Aw = w + aβ(w, v)v.

Mivel A ortogonális, minden w-re

q(w) = q(w) + aβ(w, v)^{2} + a^{2}β(w, v)^{2}q(v),

ahonnan a = −\frac{1}{q(v)}, A = T_{v}. □

A továbbiakban az A lineáris leképezés rangját rk A fogja jelölni. 1.3.6. Állítás. Legyen 0 ≠ v ∈ V nem-szinguláris és A ∈ O(V) tetszőleges.

(i) Ha v ∈ im(I − A), v = (I − A)u, akkor im(I − T_{v}A) = im(I − A) ∩ u^{⊥}.

(ii) Ha v ∉ im(I − A), akkor im(I − T_{v}A) = im(I − A) ⊕ kv.

Bizonyítás. (i) Könnyen látható, hogy q(v) = β(u, v). Ezért T_{v}u = u − v = Au. Így u ∈ ker(I − T_{v}A), ahonnan az 1.3.4 lemma alapján im(I − T_{v}A) ≤ u^{⊥}.

Vegyük észre, hogy

I − T_{v}A = (I − T_{v})A + (I − A).

Emiatt egyrészt

im(I − T_{v}A) ≤ im(I − A),

hiszen im(I − T_{v}) = kv ≤ im(I − A), másrészt viszont

rk(I − T_{v}A) ≥ rk(I − A) − 1.

Tehát

im(I − T_{v}A) ≤ im(I − A) ∩ u^{⊥},

és a két oldal azonos dimenziójú, hiszen u ∉ ker(I − A) miatt u^{⊥} ≱ im(I − A). (ii) Vegyük észre, hogy w ∈ ker(I − T_{v}A) pontosan akkor, ha T_{v}w = Aw, azaz, ha

(I − A)w = \frac{β(w, v)}{q(v)}v.

A v ∉ im(I − A) esetben ez azzal ekvivalens, hogy w ∈ ker(I − A) ∩ v^{⊥}. Tehát

ker(I − T_{v}A) = ker(I − A) ∩ v^{⊥}.

Ebből az 1.3.4 lemma alapján következik az állítás. □

1.3.7. Következmény. (i) Legyen T ∈ O(V) tükrözés és A ∈ O(V) teszőleges. Ekkor

rk(I − T A) = rk(I − A) ± 1.

(ii) Ha A ∈ O(V) előáll r tükrözés szorzataként, akkor rk(I − A) ≡ r mod 2.

Tehát I nem áll elő páratlan sok tükrözés szorzataként.

1.3.8. Tétel. Ha k algebrailag zárt, akkor a tükrözések generálják O(V)-t. Sőt, O(V) minden eleme előáll legfeljebb 2n − 1 tükrözés szorzataként.

Az algebrai zártság helyett valójában elég feltenni, hogy k nem a kételemű test. Sőt a kételemű test felett is igaz az állítás „majdnem minden” ortogonális geometriára. Az általános bizonyítás – mely ráadásul (2n − 1)-nél lényegesen jobb becslést (a kételeműtől különböző test esetén n-et) ad, viszont az alábbi bizonyításnál jóval hosszadalmasabb – megtalálható a [9] könyvben.

Bizonyítás. Legyen e^{(1)}, …, e^{(n)} olyan bázis, mely nem-szinguláris vektorokból áll, s amelyre L = ⟨e^{(1)}, …, e^{(n−1)}⟩^{⊥} sem szinguláris. Ilyen van: ha char k ≠ 2, akkor bármely βortogonális bázis megfelel; ha pedig char k = 2, akkor legyen a és b két egymástól és nullától különböző skalár, és az 1.1.4 állítás által biztosított (x_{1}, …, x_{ν}, y_{1}, …, y_{ν}) koordinátarendszerben legyenek e^{(2i−1)} koordinátái

x_{i} = a, y_{i} = b, x_{j} = y_{j} = 0 (j ≠ i),

e^{(2i)} koordinátái pedig

x_{i} = b, y_{i} = a, x_{j} = y_{j} = 0 (j ≠ i).

Elég belátni, hogy ha A ∈ O(V), és r a legkisebb index, amelyre Ae^{(r)} ≠ e^{(r)}, akkor van olyan T, amely legfeljebb két tükrözés szorzata, sőt r = n esetén tükrözés, és amellyel T A-ra már T Ae^{(i)} = e^{(i)} minden i ≤ r-re (ami persze azzal ekvivalens, hogy T e^{(i)} = e^{(i)} minden i < r-re, és T Ae^{(r)} = e^{(r)} ).

Legyen c = q (e^{(r)}) = q (Ae^{(r)}) és W = ⟨e^{(1)}, …, e^{(r−1)}⟩^{⊥}. Ekkor 0 ≠ e^{(r)} − Ae^{(r)} ∈ W, hiszen A invariánsan hagyja β-t.

Az r = n esetben a 0 ≠ e^{(r)} −Ae^{(r)} ∈ W = L vektor nem szinguláris, így T = T_{e^{(r)}−Ae^{(r)}} megfelelő. Tegyük fel, hogy r < n. Jelölje W̃ az e^{(r)} + W = Ae^{(r)} + W affin teret. Elég olyan u ∈ W̃ vektort találni, melyre q(u) = c, továbbá q (u − e^{(r)}) és q (u − Ae^{(r)}) egyike sem nulla. Ekkor ugyanis T = T_{u−e^{(r)}}T_{u−Ae^{(r)}} megfelelő lesz.

Azt állítjuk, hogy a W̃ affin térben a

Q = {u ∈ W̃ : q(u) = c}

másodrendű algebrai hiperfelület irreducibilis, és az

S_{1} = {u ∈ W̃ : q (u − e^{(r)}) = 0} , S_{2} = {u ∈ W̃ : q (u − Ae^{(r)}) = 0}

hiperfelületek egyike sem fedi le, így együtt sem fedik le, ami a fenti tulajdonságú u létezését bizonyítja.

Mivel Q másodrendű hiperfelület, így irreducibilitásának igazolásához elég megmutatni, hogy nem áll elő két (W̃ -beli) hipersík uniójaként. Azt állítjuk, hogy nincs olyan 1 kodimenziós H < W altér, melyre

e^{(r)} ∈ H̃ =^{def} e^{(r)} + H ⊆ Q

állna. Tegyük fel indirekt módon, hogy H ilyen. Ekkor H ≤ ⟨e^{(r)}⟩^{⊥} ∩W, ahol a dimenziók egyezése miatt egyenlőség áll. Továbbá H totálisan szinguláris. Ez lehetetlen, mert H ≥ L.

Az S_{1} felület nem fedi le Q-t. Valóban, legyen w ∈ W úgy, hogy β (e^{(r)}, w) ≠ 0 és q(w) ≠ 0. (Van ilyen, hiszen W -ből csak két algebrai felületet zártunk ki.) Ekkor T_{w}e^{(r)} ∈ Q\S_{1}.

Ugyanígy látható be, hogy S_{2} ⊉ Q. □

A standard V = k^{2ν}, q = ∑_{i=1}^{ν} x_{i}y_{i} esetben a tételből könnyen adódik az 1.3.9. Következmény. Ha k algebrailag zárt, akkor O(2ν)-t generálják az

Â = (\begin{matrix}A \\ & A^{−T} \end{matrix} ) (A ∈ GL(ν))

alakú elemei és az x_{1} ↔ y_{1} tükrözés. (Itt A^{−T} az A mátrix inverzének transzponáltját jelöli.)

Az algebrai zártság helyett valójában elég feltenni, hogy k minden elemének van négyzetgyöke k-ban.

Bizonyítás. Vegyük észre, hogy ha v ∈ k^{2ν}, éspedig v = (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}), ahol x, y ∈ k^{ν}, akkor

q(v) = ⟨x, y⟩, ahol ⟨·, ·⟩ a standard skalárszorzat a k^{ν} téren. Ezért Â valóban ortogonális:

q (Âv) = ⟨Ax, A^{−T} y⟩ = ⟨x, y⟩ = q(v).

Az x_{1} ↔ y_{1} involúció valóban tükrözés, mégpedig az

x_{1} = y_{1} = 1, x_{i} = y_{i} = 0 (i ≠ 1)

koordinátájú vektor által meghatározott tükrözés. Azt állítjuk, hogy tetszőleges T_{v} tükrözés megkapható ebből úgy, hogy egy alkalmas Â-pal konjugáljuk. (Ha ezt belátjuk, akkor az előző tétel miatt készen vagyunk.) A v vektort alkalmas skalárszorosával helyettesítve feltehetjük, hogy q(v) = 1 (itt kihasználjuk, hogy k minden elemének van négyzetgyöke kban). Állításunk azzal ekvivalens, hogy ha W egy ν dimenziós vektortér és x ∈ W, y ∈ W^{∗} úgy, hogy yx = 1, akkor van olyan bázis W -ben, melynek első vektora x, a duális bázis első vektora pedig y. Ez viszont nyilvánvaló: x-hez vegyük hozzá a ker y 1 kodimenziós altér egy tetszőleges bázisát. □

1.3.10. Definíció. Az A ortogonális transzformációt speciálisnak nevezzük, ha páros sok tükrözés szorzata. Az ilyenek csoportját SO(V) = SO(V, q), illetve SO(n) jelöli.

Ezt a definíciót tetszőleges k test feletti ortogonális geometria esetén alkalmazhatjuk. Ha char k ≠ 2, akkor visszakapjuk a megszokott SO(V) = O(V) ∩ SL(V) definíciót. Ha viszont char k = 2, akkor – mint láttuk – O(V) ≤ SL(V).

Legyen k 2 karakterisztikájú. Ha k tökéletes, akkor SO(2ν + 1) = O(2ν + 1) adódik az 1.3.3 következményből, mert I is tükrözés. Másrészt |O(2ν) : SO(2ν)| = 2 adódik az 1.3.8 tételből és abból, hogy I nem áll elő páratlan számú tükrözés szorzataként.

1.4. Algebro-geometriai megjegyzések

Ebben az alfejezetben feltesszük, hogy a 2 karakterisztikájú k alaptest algebrailag zárt. Az állítások 2-től különböző karakterisztika esetén is igazak, a bizonyítások triviális módosításokkal átvihetők.

A topológiai kifejezéseket a Zariski-féle értelemben használjuk.

1.4.1. Állítás. A k^{n} vektortéren értelmezett kvadratikus alakok vektorterében a nem-el-fajuló kvadratikus alakok nyílt halmazt alkotnak.

Bizonyítás. Legyen először n páros. Az a leképezés, mely minden kvadratikus alakhoz a polarizáltját rendeli, lineáris. Továbbá egy kvadratikus alak pontosan akkor nem-elfajuló, ha a polarizáltja nem-elfajuló. Ezért elég belátni, hogy az alternáló bilineáris függvények vektorterében a nem-elfajulók nyílt halmazt alkotnak. Ez nyilvánvaló, hiszen egy bilineáris függvény pontosan akkor elfajuló, ha mátrixának determinánsa nulla.

Legyen most n = 2ν + 1 páratlan. Jelölje U a nem-elfajuló kvadratikus alakok halmazát. Az 1.1.4 állítás következtében a nem-elfajuló kvadratikus alakok egyformák: vagy mindegyikük belső pontja U-nak, vagy egyikük sem. Ezért elég belátni, hogy U tartalmaz egy nem-üres nyílt halmazt.

Legyen q egy kvadratikus alak. Legyen q polarizáltjának mátrixa

β = (\begin{matrix}A & v \\ v^{T} & 0 \end{matrix}) ,

ahol A ∈ k^{2ν×2ν} persze alternáló. Tegyük fel, hogy det A ≠ 0. Ekkor a ker β altér egydi-

menziós, és egy nullától különböző vektora (\begin{matrix}A^{−1}v \\ 1 \end{matrix}), ezért q pontosan akkor nem-elfajuló,

ha q (\begin{matrix}A^{−1}v \\ 1 \end{matrix}) ≠ 0. Ezzel beláttuk, hogy U tartalmazza a

\{q : det A ≠ 0, q (\begin{matrix}A^{−1}v \\ 1 \end{matrix}) ≠ 0\}

halmazt. Ez nyílt, hiszen det A és q (\begin{matrix}A^{−1}v \\ 1 \end{matrix}) egyaránt racionális függvényei q-nak; továbbá

nem üres, hiszen tartalmazza a standard nem-elfajuló kvadratikus alakot. □

1.4.2. Állítás. Az O(n) ortogonális csoport algebrai (azaz algebrai egyenletekkel definiálható) részhalmaz a 𝔤𝔩(n) térben.

Bizonyítás. Tekintsük a 𝔤𝔩(n) félcsoport természetes jobboldali hatását a kvadratikus alakok vektorterén: q^{A}(v) = q(Av). A hatás polinomiális, ezért O(n), mint a standard nem-elfajuló kvadratikus alak stabilizátora, algebrai részhalmaz. □

Könnyen látható, hogy ha a G mátrixcsoport algebrai részhalmaz a 𝔤𝔩(n) térben, akkor G-nek (mint affin algebrai halmaznak) az irreducibilis komponensei diszjunktak. Ezért mindegy, hogy irreducibilis komponensekről vagy összefüggő komponensekről beszélünk. A komponensek (mint algebrai varietások) izomorfak. Az egységelemet tartalmazó komponens (röviden egységkomponens) egy véges indexű normálosztó. A komponensek épp az egységkomponens szerinti mellékosztályok.

1.4.3. Állítás. Az O(n) csoport egységkomponense SO(n).

Bizonyítás. Legyen

U = {(v^{(1)}, …, v^{(2n−2)}) ∈ k^{n×(2n−2)} : q (v^{(1)}) ⋯ q (v^{(2n−2)}) ≠ 0} .

Az U halmaz nyílt, ezért irreducibilis. Tekintsük a

φ : U → O(n), φ (v^{(1)}, …, v^{(2n−2)}) = T_{v^{(1)}} ⋯ T_{v^{(2n−2)}}

racionális leképezést. Az SO(n) = φ(U) kép is irreducibilis, és tartalmazza az egységelemet. Ezért SO(n) része az egységkomponensnek. Másrészt SO(n) legfeljebb 2 indexű részcsoport O(n)-ben, így az egységkomponensben is, ezért sűrű az egységkomponensben (ellenkező esetben az SO(n) lezárása és az O(n)\SO(n) lezárása külön-külön nem, de együtt lefedné az egységkomponenst, holott az irreducibilis). Mivel azonban SO(n) az U affin nyílt halmaz racionális képe az (irreducibilis) egységkomponensben, ezért csak úgy lehet sűrű, ha tartalmazza az egységkomponens egy nem-üres nyílt részhalmazát. (Itt használjuk a később bizonyítandó 3.2.6 általános algebro-geometriai segédtételt. Ha ezt el akarjuk kerülni, hivatkozhatunk a szintén később bizonyítandó 2.1.4 megjegyzésre is, amely szerint SO(2ν) algebrai, továbbá arra, hogy SO(2ν + 1) = O(2ν + 1).) Mivel SO(n) részcsoport, meg kell egyeznie az egységkomponenssel. □

Az alábbi állításban felhasználjuk az affin algebrai halmazok dimenziójának fogalmát és a következő alapvető tényt: ha X és Y affin terek, és egy X → Y polinomiális leképezésnél Y egy nem-üres nyílt részhalmaza pontjainak azonos dimenziójú az ősképe, akkor ez a közös dimenzió dim X − dim Y. (Egy ennél jóval általánosabb állítás: [4], 11.13 korollárium és az azt kiegészítő megjegyzés.)

1.4.4. Állítás. Az O(n) és SO(n) csoportok dimenziója \binom{n}{2}.

Bizonyítás. Elegendő O(n)-nel foglalkozni. Tekintsük ismét az X = 𝔤𝔩(n) félcsoport jobboldali hatását a kvadratikus alakok \binom{n+1}{2} dimenziós Y terén. Az 1.1.4 állítás miatt a GL(n) ⊂ 𝔤𝔩(n) általános lineáris csoport hatása tranzitív a nem-elfajuló kvadratikus alakok nyílt halmazán. Az

X → Y, A ↦ q_{0}^{A}

leképezésre (ahol q_{0} a standard nem-elfajuló kvadratikus alakot jelöli) alkalmazható a fent idézett állítás, hiszen bármely nem-elfajuló kvadratikus alak ősképe egy O(n) szerinti jobboldali mellékosztály GL(n)-ben. Ezért az O(n) stabilizátor dimenziója

dim O(n) = dim X − dim Y = n^{2} − \binom{n + 1}{2} = \binom{n}{2}.

□

2. Invariánsok

Legyen k egyelőre tetszőleges végtelen test. Jelölje

R = R_{n×m,p×n} = k [v^{(1)}, …, v^{(m)}, ξ_{(1)}, …, ξ_{(p)}] ,

illetve

K = K_{n×m,p×n} = k (v^{(1)}, …, v^{(m)}, ξ_{(1)}, …, ξ_{(p)})

a v^{(1)}, …, v^{(m)} n-dimenziós határozatlan vektorok (oszlopvektorok) és ξ_{(1)}, …, ξ_{(p)} ndimenziós határozatlan kovektorok (sorvektorok) koordinátáitól, mint határozatlanoktól függő polinomok, illetve racionális kifejezések algebráját, illetve testét. (Ha csak n × m áll az indexben, akkor p = 0 értendő. Az alábbi 2.0.5 tételtől kezdve mindvégig erre az esetre fogunk szorítkozni.) Azt mondjuk, hogy az f ∈ K racionális kifejezés invariáns a G ≤ GL(n) csoporttal szemben, ha

f (Av^{(1)}, …, Av^{(m)}, ξ_{(1)}A^{−1}, …, ξ_{(p)}A^{−1}) = f (v^{(1)}, …, v^{(m)}, ξ_{(1)}, …, ξ_{(p)})

teljesül minden A ∈ G esetén. Az ilyen f racionális kifejezések testét jelölje K^{G}. Legyen R^{G} = K^{G} ∩ R a G-invariáns polinomok algebrája.

A vektorinvariánsok elméletének elsődleges célkitűzése az, hogy az R^{G} algebrát generáljuk véges sok (minél egyszerűbb) „alapinvariánssal” (egy ilyen generátorrendszert megadó tételt „első alaptételnek” szokás nevezni), és meghatározzuk az ezekre teljesülő algebrai összefüggések ideálját („második alaptétel”). A nullkarakterisztikájú esetben Hermann Weyl ezt megtette a G = GL(n), SL(n), O(n), SO(n), Sp(2ν) klasszikus csoportok mindegyikére (lásd Weyl híres [11] könyvét). Az első alaptétel mindegyik esetben úgy szól, hogy az R_{n×m,p×n}^{G} algebrát generálják bizonyos legfeljebb n-edfokú (GL(n), O(n), Sp(2ν) esetén pontosan másodfokú) invariánsok, melyek mindegyike az (m + p) (ko)vektorváltozó közül legfeljebb n-től (GL(n), O(n), Sp(2ν) esetén legfeljebb kettőtől) függ. Például, az ortogonális csoportra vonatkozó első alaptétel – amelyet E. Study [8] már 1897-ben bebizonyított – a következő. (Mivel R_{n×m,p×n}^{O(n)} nyilvánvaló módon azonosítható R_{n×(m+p)}^{O(n)}-nel, ezért elég a p = 0 esettel foglalkozni.)

2.0.5. Tétel. Az ortogonális csoporttal szemben invariáns polinomok R_{n×m}^{O(n)} algebráját generálják a

⟨v^{(i)}, v^{(j)}⟩ (1 ≤ i ≤ j ≤ m)

skalárszorzatok.

Ezzel teljesen analóg a szimplektikus csoportra vonatkozó első alaptétel. Emlékeztetjük az olvasót, hogy az Sp(2ν) szimplektikus csoportot minden test felett az A^{T} JA = J

egyenlettel definiáljuk, ahol J = (\begin{matrix}0 & I \\ −I & 0 \end{matrix}). Ez azt fejezi ki, hogy A invariánsan hagyja a

β(u, v) = u^{T} Jv (u, v ∈ k^{2ν})

standard szimplektikus formát.

2.0.6. Tétel. A szimplektikus csoporttal szemben invariáns polinomok R_{2ν×m}^{Sp(2ν)} algebráját generálják a

β (v^{(i)}, v^{(j)}) (1 ≤ i < j ≤ m)

szimplektikus szorzatok.

C. De Concini és C. Procesi 1976-ban megjelent [1] dolgozatukban megmutatták, hogy ezek az eredmények szórul szóra átvihetők GL(n), SL(n), Sp(2ν) esetén minden (végtelen) testre, O(n) és SO(n) esetén pedig minden 2-től különböző karakterisztikájú (végtelen) testre.

Az alábbiakban egy végtelen, 2 karakterisztikájú k alaptest felett vizsgáljuk az ortogonális csoport vektorinvariánsait (kovektorokkal nem foglalkozunk).

Egy f monom multifokán értsük az α = (α^{(1)}, …, α^{(m)}) sorozatot, ha f v^{(1)}-ben α^{(1)}- ed, …, v^{(m)}-ben α^{(m)}-edfokú. Egy polinom multihomogén, ha minden tagjának ugyanaz a multifoka. Egy G-invariáns polinom multihomogén komponensei is G-invariánsak (tetszőleges G ≤ GL(n) mellett).

Az első fejezet jelöléseivel összhangban, n = 2ν esetén x_{1}^{(i)}, …, x_{ν}^{(i)}, y_{1}^{(i)}, …, y_{ν}^{(i)}, n = 2ν + 1 esetén pedig x_{1}^{(i)}, …, x_{ν}^{(i)}, y_{1}^{(i)}, …, y_{ν}^{(i)}, z^{(i)} fogja jelölni a v^{(i)} határozatlan vektor koordinátáit. Tehát mindvégig e határozatlanok polinomjairól beszélünk.

Használjuk i, j, i_{1}, … i_{n} ∈ {1, …, m} esetén a

\begin{aligned}Q^{(i)} & = q (v^{(i)}) & = & \begin{cases}x_{1}^{(i)}y_{1}^{(i)} + ⋯ + x_{ν}^{(i)}y_{ν}^{(i)} \\ x_{1}^{(i)}y_{1}^{(i)} + ⋯ + x_{ν}^{(i)}y_{ν}^{(i)} + z^{(i)}^{2}, \end{cases} \\ B^{(ij)} & = β (v^{(i)}, v^{(j)}) & = & x_{1}^{(i)}y_{1}^{(j)} + y_{1}^{(i)}x_{1}^{(j)} + ⋯ + x_{ν}^{(i)}y_{ν}^{(j)} + y_{ν}^{(i)}x_{ν}^{(j)}, \\ D^{(i_{1},...,i_{n})} & = det [v^{(i_{1})}, …, v^{(i_{n})}] \end{aligned}  (3)

jelöléseket. Ekkor Q^{(i)}, B^{(ij)}, D^{(i_{1},...,i_{n})} ∈ R_{n×m}^{O(n)} multihomogén O(n)-invariáns polinomok.

2.1. Determináns helyett

Az alábbiakban tetszőleges ν esetén konstruálunk olyan polinomot, amely SO(2ν)-re invariáns, de O(2ν)-re nem (mint a 2-től különböző karakterisztikájú esetben a determináns).

2.1.1. Lemma. Jelöljük SO(2ν, ℂ)-vel a komplex test feletti, a q = x_{1}y_{1} + ⋯ + x_{ν}y_{ν} kvadratikus alak által definiált 2ν-dimenziós ortogonális geometria speciális ortogonális csoportját, míg SO(2ν) a 2 karakterisztikájú k test feletti csoportot jelölje. Ha az f ∈ ℤ [v^{(1)}, …, v^{(m)}] egész együtthatós, (2ν × m)-változós polinom invariáns az SO(2ν, ℂ) csoporttal szemben, akkor a modulo 2 tekintett f̄ ∈ k [v^{(1)}, …, v^{(m)}] polinom is invariáns az SO(2ν) csoporttal szemben.

Az SO(2ν) helyett az O(n) csoportra is igaz az analóg állítás; a következő bizonyítás kézenfekvő módon átvihető.

Bizonyítás. Az, hogy f invariáns SO(2ν, ℂ)-vel szemben, azt jelenti, hogy bármely két tükrözés szorzatával szemben invariáns:

f (T_{u}T_{w}v^{(1)}, …, T_{u}T_{w}v^{(m)}) = f (v^{(1)}, …, v^{(m)}) ,

ha u, w ∈ ℂ^{2ν} és q(u)q(w) ≠ 0. Itt mindkét oldal együtthatói az u és w vektorváltozók egész együtthatós racionális függvényeinek tekinthetők, és a megfelelő együtthatók egyenlőségének formálisan is fenn kell állnia. De akkor ezek a formális egyenlőségek k felett is fennállnak. (Lényeges, hogy a tükrözések 1.3.1 szerinti definíciójában a nevezőben szereplő q(u) illetve q(w) a modulo 2 redukciónál sem válik azonosan nullává.) Ez viszont azt jelenti, hogy f̄ is invariáns bármely két tükrözés szorzatával, tehát SO(2ν)-vel szemben.

□

A továbbiakban a ∗ szimbólum az x és y betűk bármelyikét jelölheti.

2.1.2. Állítás. Tekintsük a (3) által ℤ felett definiált B polinomokból képzett

∑ B^{(i_{1}i_{2})}B^{(i_{3}i_{4})} ⋯ B^{(i_{2ν−1}i_{2ν})}

2ν-lineáris polinomot, ahol az összegzést az 1, …, 2ν indexek azon i_{1}, …, i_{2ν} permutációira terjesztjük ki, amelyekre i_{1} < i_{2}, i_{3} < i_{4}, …, i_{2ν−1} < i_{2ν} és i_{1} < i_{3} < ⋯ < i_{2ν−1}. Ha a ∗_{j_{1}}, …, ∗_{j_{2ν}} betűk az x_{1}, …, x_{ν}, y_{1}, …, y_{ν} betűknek egy permutációját alkotják, akkor a ∗_{j_{1}}^{(1)} ⋯ ∗_{j_{2ν}}^{(2ν)} monom együtthatója a fenti polinomban 1. Ha nem alkotnak permutációt, akkor az együttható páros.

Bizonyítás. A B^{(i_{1}i_{2})}B^{(i_{3}i_{4})} ⋯ B^{(i_{2ν−1}i_{2ν})} szorzat azoknak a ∗_{j_{1}}^{(1)} ⋯ ∗_{j_{2ν}}^{(2ν)} monomoknak az összege, amelyekre j_{i_{1}} = j_{i_{2}}, j_{i_{3}} = j_{i_{4}}, …, j_{i_{2ν−1}} = j_{i_{2ν}}, és az ezen indexpárok bármelyikének megfelelő két csillag egyike x, másika y. Tehát csak olyan monomok lépnek fel, amelyekben ugyanannyi – mondjuk τ_{t} – darab x_{t} és y_{t} szerepel minden t-re. Egy ilyen monom együtthatója a B-szorzatok összegében τ_{1}! … τ_{ν}!, mert annyi B-szorzatban szerepel, ahányféleképpen a tényezői összepárosíthatók úgy, hogy csak {x_{t}, y_{t}} alakú párok jöjjenek létre. Ez az együttható csak akkor páratlan, ha τ_{1} = ⋯ = τ_{ν} = 1 (azaz ha permutációról van szó); és akkor 1. □

2.1.3. Állítás. (Domokos M., szóbeli közlés.) Tetszőleges ν esetén létezik olyan R_{2ν×2ν}- beli, 2ν-lineáris polinom, amely invariáns SO(2ν)-re, de O(2ν)-re nem.

Bizonyítás. Az előző állításban szereplő összegből vonjuk ki a (szintén ℤ felett képezett) D^{(1···(2ν))} determinánst. A kapott polinom az állítás következtében csupa páros együtthatóval bír, tehát 2f alakú, ahol f ∈ ℤ [v^{(1)}, …, v^{(m)}]. Ha a ∗_{j_{1}}, …, ∗_{j_{2ν}} betűk az x_{1}, …, x_{ν}, y_{1}, …, y_{ν} betűknek egy permutációját alkotják, akkor – ismét az előző állítás miatt – a ∗_{j_{1}}^{(1)} ⋯ ∗_{j_{2ν}}^{(2ν)} monom együtthatója az f polinomban 0 vagy 1 aszerint, hogy a permutáció páros-e vagy páratlan. Ez a tény öröklődik a modulo 2 tekintett f̄ polinomra is. Mivel f nyilvánvalóan invariáns SO(2ν, ℂ)-re, ezért a fenti 2.1.1 lemma szerint f̄ invariáns SO(2ν)- re. Másrészt f̄ nem invariáns az x_{1} ↔ y_{1} tükrözésre, mert ez a páratlan permutációknak megfelelő monomokat a páros permutációknak megfelelőkbe viszi. □

2.1.4. Megjegyzés. Az állításból azonnal következik, hogy az SO(2ν) mátrixcsoport algebrai. Valóban, egy lineáris transzformáció pontosan akkor speciális ortogonális, ha invariánsan hagyja a q polinomot és egy tetszőlegesen rögzített SO(2ν)-invariáns, de nem O(2ν)-invariáns polinomot.

2.1.5. Megjegyzés. Bármely R_{2ν×m}^{SO(2ν)}\R_{2ν×m}^{O(2ν)}-beli polinom másodfokú és egész R_{2ν×m}^{O(2ν)} felett, mert az O(2ν)\SO(2ν) mellékosztálynál keletkező képével vett összege és szorzata is R_{2ν×m}^{O(2ν)}-ben van. Hasonlóan, bármely K_{2ν×m}^{SO(2ν)}\K_{2ν×m}^{O(2ν)}-beli racionális kifejezés másodfokú K_{2ν×m}^{O(2ν)} felett. Mivel a K_{2ν×m}^{SO(2ν)} | K_{2ν×m}^{O(2ν)} testbővítés nyilvánvalóan szeparábilis, azt kapjuk, hogy m ≥ 2ν esetén ez a bővítés másodfokú.

2.2. Megjegyzés a páratlan dimenziós esetről

A fejezet hátralévő részében az invariáns polinomok alacsony fokú ilyenek polinomjaként való kifejezhetőségének kérdésével foglalkozunk. A 2 karakterisztikájú test felett is érvényes 2.0.6 tétel, valamint az O(2ν + 1) és Sp(2ν) közötti kapcsolat lehetőséget nyújt arra, hogy a páratlan dimenziós esetben azonnal levonjuk az alábbi következtetést:

2.2.1. Állítás. Tegyük fel, hogy k tökéletes. Az f ∈ R_{(2ν+1)×m}^{O(2ν+1)} invariáns akkor és csak akkor fejezhető ki a Q^{(i)} és B^{(ij)} másodfokú invariánsok polinomjaként, ha a z^{(1)}, …, z^{(m)} változók mindegyike csak páros kitevővel fordul elő benne.

Az állítás speciális eseteként adódik, hogy ha f egy tetszőleges invariáns polinom négyzete, akkor kifejezhető a Q-k és B-k polinomjaként. Ennek ellenére – legalábbis a háromdimenziós esetben – léteznek tetszőlegesen magas fokú invariáns polinomok, amelyek nem fejezhetők ki alacsonyabb fokúak polinomjaként (lásd a 2.4 alfejezetet).

Bizonyítás. A feltétel szükségessége nyilvánvaló. A megfordítás bizonyításához tegyük fel, hogy f-re teljesül a feltétel. Ha f nem függ a z^{(1)}, …, z^{(m)} változóktól, akkor az 1.2.4 állítás folytán invariáns Sp(2ν)-re, így a 2.0.6 tétel szerint f polinomja a B^{(ij)} invariánsoknak.

Tegyük fel, hogy f függ a z^{(i)} változóktól. Legyen f-nek, mint ezek polinomjának az egyik legmagasabb fokú tagja

z^{(1)}^{2α_{1}} ⋯ z^{(m)}^{2α_{m}}p (x_{1}^{(1)}, …, x_{ν}^{(1)}, y_{1}^{(1)}, …, y_{ν}^{(1)}, . . . . . . , x_{1}^{(m)}, …, x_{ν}^{(m)}, y_{1}^{(m)}, …, y_{ν}^{(m)}) .

Tudjuk, hogy minden ortogonális mátrix utolsó oszlopa (0, …, 0, 1)^{T}, bal felső sarka pedig ∈ Sp(2ν). Ezért f csak úgy lehet O(2ν + 1)-invariáns, ha p is az. Így p polinomja a B^{(ij)} invariánsoknak.

Térjünk át f-ről az

f − Q^{(1)}^{α_{1}} ⋯ Q^{(m)}^{α_{m}}p

polinomra. Ez is O(2ν + 1)-invariáns, a z^{(i)} változók csak páros kitevőn szerepelnek, és eltűnt f kiválasztott legmagasabb fokú tagja. A keletkező új tagok pedig f-nél alacsonyabb fokúak a z^{(i)} változókban. Az eljárást iterálva véges sok lépés után olyan polinomot kapunk, amely nem függ a z^{(i)} változóktól. Ez a polinom kifejezhető a Q^{(i)}-k és B^{(ij)}-k polinomjaként, tehát f is. □

2.3. A kétdimenziós eset

A k^{2} kétdimenziós térben legyen x és y a két koordináta. A standard kvadratikus alak q = xy. Az

A = (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})

mátrix pontosan akkor ortogonális, ha

(a_{11}x + a_{12}y)(a_{21}x + a_{22}y) = xy,

azaz, ha a_{11}a_{21} = a_{12}a_{22} = 0 és a_{11}a_{22} + a_{12}a_{21} = 1. Ezért

O(2) = \{(\begin{matrix}a & 0 \\ 0 & 1/a \end{matrix}) : a ∈ k^{∗}\} ∪ \{(\begin{matrix}0 & a \\ 1/a & 0 \end{matrix}) : a ∈ k^{∗}\} ,

ahol az 1.3.7 állítás miatt az első tag SO(2).

Ezért egy polinom pontosan akkor invariáns SO(2)-re, ha minden tagjában ugyanannyi x van, mint y. Ezért az SO(2)-invariáns polinomok algebrája generálható másodfokú elemekkel:

R_{2×m}^{SO(2)} = k [x^{(i)}y^{(j)} : i, j = 1, …, m] .

Megmutatjuk, hogy az O(2)-invariáns polinomok algebrájával már nem ez a helyzet.

Egy SO(2)-invariáns polinom pontosan akkor invariáns a teljes O(2)-re, ha (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})-re

invariáns, azaz, ha

x^{(i_{1})} ⋯ x^{(i_{s})}y^{(i_{1})} ⋯ y^{(i_{s})} = Q^{(i_{1})} ⋯ Q^{(i_{s})}

és

x^{(i_{1})} ⋯ x^{(i_{s})}y^{(j_{1})} ⋯ y^{(j_{s})} + y^{(i_{1})} ⋯ y^{(i_{s})}x^{(j_{1})} ⋯ x^{(j_{s})} =^{def} B^{(i_{1},...i_{s};j_{1},...j_{s})}

alakú (multihomogén) tagok k feletti lineáris kombinációja. (Vegyük észre, hogy a most bevezetett jelölés összhangban van a régebbi B^{(ij)} jelöléssel.)

2.3.1. Állítás. (i) Tegyük fel, hogy az i_{1}, …, i_{s}, j_{1}, …, j_{s} indexek mind különbözőek. Ekkor B^{(i_{1},...,i_{s};j_{1},...,j_{s})} nem fejezhető ki alacsonyabb fokú O(2)-invariáns polinomok polinomjaként.

(ii) Tegyük fel, hogy az 1, …, m indexek mindegyike ugyanannyiszor fordul elő az i_{1}, …, i_{s}, j_{1}, …, j_{s} indexek között, mint az i′_{1}, …, i′_{s}, j′_{1}, …, j′_{s} indexek között. Ekkor a B^{(i_{1},...,i_{s};j_{1},...,j_{s})} + B^{(i′_{1},...,i′_{s};j′_{1},...,j′_{s})} multihomogén O(2)-invariáns polinom kifejezhető két alacsonyabb fokú B szorzataként (kivéve, ha nulla).

(iii) Tegyük fel, hogy az i_{1}, …, i_{s}, j_{1}, …, j_{s} indexek nem mind különbözőek. Ekkor B^{(i_{1},...,i_{s};j_{1},...,j_{s})} kifejezhető alacsonyabb fokú O(2)-invariáns polinomok polinomjaként.

Bizonyítás. (i) Legyen B^{(i_{1},...,i_{s};j_{1},...,j_{s})} multifoka α. Tehát α^{(i)} = 1 ha i az i_{1}, …, i_{s}, j_{1}, …, j_{s} indexek egyike, és α^{(i)} = 0 különben.

Csak azt kell belátnunk, hogy B^{(i_{1},...,i_{s};j_{1},...,j_{s})} nem fejezhető ki alacsonyabb fokú Qszorzatok és B-k kéttényezős szorzatainak összegeként. Vegyük észre, hogy egy ilyen kéttényezős szorzat mindig egy multihomogén polinom, mely csak úgy lehet α multifokú, ha két olyan (alacsonyabb multifokú) B-t szorzunk össze, melyek mindegyikének csupa különböző indexe van, és a két indexhalmaz diszjunkt egyesítése {i_{1}, …, i_{s}, j_{1}, …, j_{s}}. Egy ilyen szorzat viszont mindig két α multifokú B összege. Ilyen szorzatok tetszőleges lineáris kombinációja tehát mindig olyan lineáris kombinációja az α multifokú B-knek, amelyben az együtthatók összege nulla. Mivel B^{(i_{1},...,i_{s};j_{1},...,j_{s})} nem ilyen, készen vagyunk.

(ii) A feltétel úgy fogalmazható, hogy az I = {i_{1}, …, i_{s}}, J = {j_{1}, …, j_{s}}, I′ = {i′_{1}, …, i′_{s}}, J′ = {j′_{1}, …, j′_{s}} multihalmazokra I + J = I′ + J′. Ezért vannak olyan E, F, G, H multihalmazok, melyekkel I = E + G, J = F + H, I′ = E + H és J′ = F + G. Ekkor |E| = |F |, |G| = |H|, és

B^{(E;F)}B^{(G;H)} = B^{(E+G;F +H)} + B^{(E+H;F +G)} = B^{(I;J)} + B^{(I′;J′)}.

(iii) A már igazolt (ii) állítás miatt feltehetjük, hogy i_{1} = j_{1}. Ekkor viszont

B^{(i_{1},...,i_{s};j_{1},...,j_{s})} = Q^{(i_{1})}B^{(i_{2},...,i_{s};j_{2},...,j_{s})}.
□

Az állításból egyszerűen adódik a

2.3.2. Tétel. (i) Az R_{2×m}^{O(2)} algebrát generálják a Q^{(i)} és B^{(i_{1},...,i_{s};j_{1},...,j_{s})} invariánsok, ahol 1 ≤ i ≤ m, illetve 1 ≤ i_{1} < ⋯ < i_{s} < j_{1} < ⋯ < j_{s} ≤ m.

(ii) Az (i) alatti generátorrendszerből egyetlen elem sem hagyható el. Sőt, az R_{2×m}^{O(2)} algebra minden, multihomogén elemekből álló generátorrendszere tartalmazza a Q^{(i)}-k egy-egy nullától különböző skalárszorosát, továbbá tartalmaz egy α multifokú invariánst minden olyan α = (α^{(1)}, …, α^{(m)}) 0-1-sorozat esetén, amelyben páros sok 1-es van.

Bizonyítás. (i) Elég belátni, hogy minden Q-kból álló szorzat és minden B kifejezhető a tételben szereplő generátorok polinomjaként. A Q-szorzatokra ez nyilvánvaló, a B-kre pedig 2.3.1(iii) és (ii) következménye.

(ii) A Q^{(i)}-nél kisebb vagy vele egyenlő multifokú multihomogén invariánsok csak Q^{(i)} skalárszorosai. Ebből következik a Q^{(i)}-re vonatkozó állítás. A 0-1 sorozatokra vonatkozó állítás 2.3.1(i) következménye. □

2.4. A háromdimenziós eset

Ebben az alfejezetben feltesszük, hogy a k 2 karakterisztikájú test tökéletes. Azonosítsuk a k^{3} háromdimenziós teret a nulla nyomú 2 × 2-es mátrixok 𝔰𝔩(2) terével. A v = (x, y, z)^{T} vektornak a

V = (\begin{matrix}z & x \\ y & z \end{matrix})

mátrix feleljen meg. Ekkor q(v) = xy + z^{2} = det V. Ebből világos, hogy tetszőleges T ∈ SL(2) mellett

Ad T : 𝔰𝔩(2) → 𝔰𝔩(2), V ↦ T V T^{−1}

egy ortogonális transzformáció.

2.4.1. Állítás. Az 𝔰𝔩(2) háromdimenziós tér minden ortogonális transzformációja Ad T alakú, alkalmas T ∈ SL(2)-vel.

Bizonyítás. Elegendő az 𝔰𝔩(2)/ ker β faktortéren való hatást vizsgálni. Legyen T = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}),

ekkor

(Ad T) (\begin{matrix}0 & x \\ y & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & x \\ y & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}d & b \\ c & a \end{matrix}) = (\begin{matrix}∗ & a^{2}x + b^{2}y \\ c^{2}x + d^{2}y & ∗ \end{matrix}) .

Tehát az Ad T által az 𝔰𝔩(2)/ ker β faktortéren indukált transzformáció mátrixa a kanonikus

bázisban (\begin{matrix}a^{2} & b^{2} \\ c^{2} & d^{2} \end{matrix}), így az 1.2.4 állítás miatt elég belátni, hogy ez tetszőleges szimplektikus

mátrix lehet. A k test tökéletessége alapján nyilvánvaló, hogy tetszőleges unimoduláris mátrix előáll ilyen alakban. □

2.4.2. Következmény. Legyen i_{1}, …, i_{s} ∈ {1, …, m}. A

Tr^{(i_{1},...,i_{s})} =^{def} Tr (V^{(i_{1})} ⋯ V^{(i_{s})})

polinom O(3)-invariáns: Tr^{(i_{1},...,i_{s})} ∈ R_{3×m}^{O(3)}.

2.4.3. Állítás. (Domokos M., szóbeli közlés.) Ha s páros, és az i_{1}, …, i_{s} indexek különbözőek, akkor Tr^{(i_{1},...,i_{s})} nem áll elő alacsonyabb fokú O(3)-invariáns polinomok polinomjaként.

Bizonyítás. Legyen s = 2σ. Feltehetjük, hogy i_{1} = 1, …, i_{2σ} = 2σ.

Ha egy O(3)-invariáns polinomban a z^{(i)} változók helyett nullát írunk, akkor egy – az eredetinél nem magasabb fokú – O(2)-invariáns polinomot kapunk, hiszen az A 2 × 2-es ortogonális mátrixszal együtt az A ⊕ 1 blokkdiagonális mátrix is ortogonális. Ezért elég belátni, hogy a

Tr^{(1,...,2σ)} |_{z=0}= Tr ((\begin{matrix}0 & x^{(1)} \\ y^{(1)} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & x^{(2)} \\ y^{(2)} & 0 \end{matrix}) ⋯ (\begin{matrix}0 & x^{(2σ−1)} \\ y^{(2σ−1)} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & x^{(2σ)} \\ y^{(2σ)} & 0 \end{matrix})) =

= Tr ((\begin{matrix}x^{(1)}y^{(2)} \\ & y^{(1)}x^{(2)} \end{matrix}) ⋯ (\begin{matrix}x^{(2σ−1)}y^{(2σ)} \\ & y^{(2σ−1)}x^{(2σ)} \end{matrix})) = B^{(1,3,...,2σ−1;2,4,...,2σ)}

polinom nem áll elő 2σ-nál alacsonyabb fokú O(2)-invariáns polinomok polinomjaként. Ezt 2.3.1(i)-ből tudjuk. □

2.4.4. Következmény. Az R_{3×m}^{O(3)} algebra minden, multihomogén elemekből álló generátorrendszere tartalmazza a Q^{(i)}-k egy-egy nullától különböző skalárszorosát, továbbá tartalmaz egy α multifokú invariánst minden olyan α = (α^{(1)}, …, α^{(m)}) 0-1-sorozat esetén, amelyben páros sok 1-es van.

Bizonyítás. A Q-kra vonatkozó állítás ugyanúgy nyilvánvaló, mint a kétdimenziós esetben. A másik állítás a fentiből azonnal adódik. □

2.5. A négydimenziós eset

Azonosítsuk a k^{4} négydimenziós teret a 2 × 2-es mátrixok 𝔤𝔩(2) terével úgy, hogy a v = = (x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2})^{T} vektornak a

V = (\begin{matrix}x_{1} & x_{2} \\ y_{2} & y_{1} \end{matrix})

mátrix feleljen meg. Ekkor q(v) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} = det V. Ebből világos, hogy tetszőleges S, T ∈ SL(2) mellett

𝔤𝔩(2) → 𝔤𝔩(2), V ↦ SV T^{−1}

egy ortogonális transzformáció. Így adódik egy φ : SL(2) × SL(2) → O(4) csoporthomomorfizmus. Ez injektív, mert ha S, T ∈ SL(2) és SV T^{−1} = V minden V ∈ 𝔤𝔩(2)-re, akkor S = T unimoduláris skalármátrix, és az egységmátrix az egyetlen ilyen. Az im φ kép éppen SO(4) (lásd [9], 12.21 feladat. Az algebrailag zárt esetben a hivatkozás helyett úgy is érvelhetünk, hogy az im φ kép hatdimenziós irreducibilis részcsoportja O(4)-nek, ezért csak SO(4) lehet). Az SO(4) csoportnak ezt az interpretációját felhasználva mutatott rá Domokos Mátyás, S. G. Kuzmin és A. N. Zubkov a megjelenés alatt álló [2] cikkben arra, hogy az R_{4×m}^{SO(4)} invariánsalgebra a 2 karakterisztikájú esetben teljesen más szerkezetű, mint bármely más karakterisztika esetén, amennyiben nem generálható (m − 1)-nél alacsonyabb fokú elemekkel. Azóta Domokos Mátyás – továbbra is a fenti interpretációból kiindulva – a következő egyszerűbb bizonyítást találta ugyanerre.

Ha i_{1}, …, i_{s}; j_{1}, …, j_{s} ∈ {1 … m}, akkor a

det (\begin{matrix}V^{(i_{1})} & V^{(j_{1})} \\ & V^{(i_{2})} & V^{(j_{2})} \\ & & ... & ... \\ & & & V^{(i_{s−1})} & V^{(j_{s−1})} \\ V^{(j_{s})} & & & & V^{(i_{s})} \end{matrix})

polinom SO(4)-invariáns. Legyenek az i_{1}, …, i_{s}; j_{1} …, j_{s} indexek mind különbözőek. A fenti polinom 2s-lineáris komponense is invariáns, jelölje azt F^{(i_{1},...,i_{s};j_{1}...,j_{s})} ∈ R_{4×m}^{SO(4)}.

2.5.1. Állítás. Ha az i_{1}, …, i_{s}; j_{1}, …, j_{s} ∈ {1, …, m} indexek mind különbözőek, akkor F^{(i_{1},...,i_{s};j_{1},...,j_{s})} nem áll elő alacsonyabb fokú SO(4)-invariáns polinomok polinomjaként.

Bizonyítás. Ha egy SO(4)-invariáns polinomban az összes x_{2}^{(i)} és y_{2}^{(i)} változó helyett nullát írunk, akkor egy – az eredetinél nem magasabb fokú – O(2)-invariáns polinomot kapunk, hiszen az A 2 × 2-es ortogonális mátrixszal együtt az A ⊕ I és A ⊕ J blokkdiagonális

mátrixok is ortogonálisak, és egyikük speciális (J-vel itt a (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) mátrixot jelöljük).

Ezért elég belátni, hogy az

F^{(i_{1},...,i_{s};j_{1},...,j_{s})} |_{x_{2}=y_{2}=0}

polinom nem áll elő 2s-nél alacsonyabb fokú O(2)-invariáns polinomok polinomjaként. De ez a

det (\begin{matrix}\begin{matrix}x^{(i_{1})} & 0 \\ 0 & y^{(i_{1})} \end{matrix} & \begin{matrix}x^{(j_{1})} & 0 \\ 0 & y^{(j_{1})} \end{matrix} \\ & \begin{matrix}x^{(i_{2})} & 0 \\ 0 & y^{(i_{2})} \end{matrix} & \begin{matrix}x^{(j_{2})} & 0 \\ 0 & y^{(j_{2})} \end{matrix} \\ & & ... & ... \\ & & & \begin{matrix}x^{(i_{s−1})} & 0 \\ 0 & y^{(i_{s−1})} \end{matrix} & \begin{matrix}x^{(j_{s−1})} & 0 \\ 0 & y^{(j_{s−1})} \end{matrix} \\ \begin{matrix}x^{(j_{s})} & 0 \\ 0 & y^{(j_{s})} \end{matrix} & & & & \begin{matrix}x^{(i_{s})} & 0 \\ 0 & y^{(i_{s})} \end{matrix} \end{matrix})

determináns 2s-lineáris komponense, ami pedig éppen a B^{(i_{1},...,i_{s};j_{1},...,j_{s})} polinom. Így az állítás 2.3.1(i)-ből következik. □

2.5.2. Következmény. Az R_{4×m}^{SO(4)} algebra minden, multihomogén elemekből álló generátorrendszere tartalmazza a Q^{(i)}-k egy-egy nullától különböző skalárszorosát, továbbá tartalmaz egy α multifokú invariánst minden olyan α = (α^{(1)}, …, α^{(m)}) 0-1-sorozat esetén, amelyben páros sok 1-es van.

Bizonyítás. A Q-kra vonatkozó állítás ugyanúgy nyilvánvaló, mint a két- és háromdimenziós esetben. A másik állítás a fentiből azonnal adódik. □

2.6. A páros dimenziós eset

Ebben az alfejezetben megmutatjuk, hogy az R_{2ν×m}^{O(2ν)} algebrát nem generálják a Q^{(i)} és B^{(ij)} invariánsok, ha m elég nagy. Ezt ν = 1 esetén már tudjuk.

Egy a v^{(1)}, …, v^{(m)} 2ν-dimenziós vektoroktól multilineárisan függő monomot nevez-

zünk (\begin{matrix}σ_{1} & ⋯ & σ_{ν} \\ τ_{1} & ⋯ & τ_{ν} \end{matrix}) típusúnak, ha tényezői között x_{1}-ből σ_{1} darab, y_{1}-ből τ_{1} darab, …,

x_{ν}-ből σ_{ν} darab, y_{ν}-ből τ_{ν} darab van. Ekkor tehát

m = σ_{1} + τ_{1} + ⋯ + σ_{ν} + τ_{ν}.

2.6.1. Lemma. Jelölje p azon monomok összegét, melyek a v^{(1)}, …, v^{(6)} kétdimenziós

vektoroktól szextilineárisan függenek, és típusuk (\begin{matrix}3 \\ 3 \end{matrix}). Ekkor p unimoduláris invariáns:

p ∈ R_{2×6}^{SL(2)}.

Bizonyítás. A

(\begin{matrix}c \\ & 1/c \end{matrix})  (c ∈ k^{∗})

transzformációkkal szembeni invariancia nyilvánvaló: p minden tagja invariáns. Elegendő az

A_{c} = \binom{1 c}{1}  és A_{c}^{T} = \binom{1}{c 1}  (c ∈ k)

transzformációkkal szembeni invarianciát igazolni. Sőt, szimmetria-okok miatt elég csak A_{c}-vel foglalkozni. A

p_{c} (v^{(1)}, …, v^{(6)}) = p (A_{c}v^{(1)}, …, A_{c}v^{(6)})

transzformált polinomban csak olyan szextilineáris monomok szerepelnek, amelyeknek

(\begin{matrix}σ \\ τ \end{matrix}) típusára (ahol persze σ + τ = 6) fennáll a σ ≤ 3 ≤ τ egyenlőtlenség. Egy ilyen

monom együtthatója c^{τ−3}\binom{τ}{3}. Ez csak akkor nem nulla, ha τ = 3; és akkor 1. Ezért p_{c} = p. □

Legyen m ≥ 2(3ν − 1), és jelölje f ∈ R_{2ν×2(3ν−1)} ≤ R_{2ν×m} azon monomok összegét, melyek multilineárisan függenek az első 2(3ν − 1) vektorváltozótól (a többitől nem függenek), továbbá típusuk két sora megegyezik, és soronként egy kettes és (ν − 1) hármas van benne.

2.6.2. Állítás. Az f polinom ortogonális invariáns: f ∈ R_{2ν×2(3ν−1)}^{O(2ν)} ≤ R_{2ν×m}^{O(2ν)}.

Bizonyítás. Feltehetjük, hogy k algebrailag zárt, hiszen bővebb test felett több ortogonális transzformáció van. Elég belátni, hogy f invariáns az O(2ν) csoportnak az 1.3.9 következményben megadott generátoraira nézve.

Az x_{1} ↔ y_{1} tükrözés esetében ez nyilvánvaló, mert tetszőleges típust kijelölve, f olyan típusú tagjai egymás közt permutálódnak (persze másodrendű permutáció keletkezik).

Nézzük ezután az Â transzformációkat. Persze elég A-t a GL(ν) csoport egy generátorrendszerén végigfuttatni.

Az

Â_{i,c} : x_{i} ↦ cx_{i}, y_{i} ↦ c^{−1}y_{i} (i ∈ {1, …, m}; c ∈ k^{∗})

transzformációkra nézve is nyilvánvaló az invariancia: f minden tagja invariáns. Ezután már – szimmetria-okok miatt – elegendő az

Â_{c} : x_{1} ↦ x_{1} + cx_{2}, y_{2} ↦ cy_{1} + y_{2} (c ∈ k)

egyparaméteres részcsoportra vonatkozó invarianciát igazolni. Ehhez írjuk f-et f = g + h alakba, ahol g az f azon tagjainak összege, amelyek típusának első két oszlopában csupa hármas van, h pedig a többi tag összege.

A fenti lemma alapján belátjuk, hogy g invariáns Â_{c}-vel szemben, sőt külön-külön az x_{1} ↦ x_{1} + cx_{2} és y_{2} ↦ cy_{1} + y_{2} transzformációkkal szemben is. Ezt – szimmetria-okok miatt – elég az x_{1} ↦ x_{1} + cx_{2} transzformációkra bizonyítani. Ehhez csoportosítsuk g tagjait aszerint, hogy melyik hat vektorváltozónak szerepel tényezőként az x_{1} vagy x_{2} koordinátája, és a többi vektorváltozónak melyik koordinátája szerepel. Az egy csoportba kerülő \binom{6}{3} darab tag összege a fenti lemma szerint invariáns a szóban forgó transzformációkra.

Már csak azt kell bizonyítanunk, hogy h is invariáns Â_{c}-vel szemben. Ehhez csoportosítsuk h tagjait aszerint, hogy melyik tíz vektorváltozónak szerepel tényezőként az x_{1}, x_{2}, y_{1} vagy y_{2} koordinátája, és a többi vektorváltozónak melyik koordinátája szerepel. Azt állítjuk, hogy az egy csoportba kerülő 2\binom{10}{5}\binom{5}{2}^{2} darab tag összege invariáns Â_{c}-vel szemben. Más szóval, azon monomok összege, melyek a v^{(1)}, …, v^{(10)} négydimenziós vektoroktól de-

cilineárisan függenek, és típusuk (\begin{matrix}2 & 3 \\ 2 & 3 \end{matrix}) vagy (\begin{matrix}3 & 2 \\ 3 & 2 \end{matrix}), invariáns Â_{c}-vel szemben. Jelölje

ezt az összeget r. Az

r_{c} (v^{(1)}, …, v^{(10)}) = r (Â_{c}v^{(1)}, …, Â_{c}v^{(10)})

transzformált polinomban csak olyan decilineáris monomok szerepelhetnek, amelyeknek

(\begin{matrix}σ_{1} & σ_{2} \\ τ_{1} & τ_{2} \end{matrix}) típusára σ_{1} + σ_{2} = τ_{1} + τ_{2} = 5 teljesül. Egy ilyen monom együtthatója

c^{σ_{2}−3+τ_{1}−2}\binom{σ_{2}}{3}\binom{τ_{1}}{2} + c^{τ_{1}−3+σ_{2}−2}\binom{τ_{1}}{3}\binom{σ_{2}}{2} = c^{σ_{2}+τ_{1}−5} (\binom{σ_{2}}{3}\binom{τ_{1}}{2} + \binom{τ_{1}}{3}\binom{σ_{2}}{2}) .

Ez csak akkor nem nulla, ha {τ_{1}, σ_{2}} = {2, 3}; és akkor 1. Ezért r_{c} = r. □

2.6.3. Állítás. Az f O(2ν)-invariáns polinom nem fejezhető ki a Q^{(i)} és B^{(ij)} polinomok polinomjaként.

Bizonyítás. Mivel f multilineáris, ezért csak úgy lehetne a Q-k és B-k polinomja, ha a B-k polinomja volna. Ezzel szemben megmutatjuk, hogy f nem szimplektikus invariáns: f ∉ R_{2ν×m}^{Sp(2ν)}.

Tekintsük a

T : x_{1} ↦ x_{1} + y_{1}

szimplektikus transzformációt. Írjuk f-et f = g̃ + h̃ alakba, ahol g̃ az f azon tagjainak összege, amelyekben három-három x_{1} és y_{1} szerepel tényezőként, h̃ pedig azoké, amelyekben kettő-kettő. A 2.6.1 állítás miatt g̃ invariáns T -vel szemben. Megmutatjuk viszont, hogy h̃ nem invariáns. Ehhez elég belátni, hogy a v^{(1)}, …, v^{(4)} kétdimenziós vektoroktól

kvadrilineárisan függő, (\begin{matrix}2 \\ 2 \end{matrix}) típusú monomok összege nem invariáns. Ez világos: a T -vel

transzformált polinomban az x^{(1)}y^{(2)}y^{(3)}y^{(4)} monom 1 + 1 + 1 = 1 együtthatóval szerepel.

□

3. Algebro-geometriai megközelítés

Ebben a fejezetben mindig feltesszük, hogy a k alaptest algebrailag zárt; ezt nem fogjuk külön hangsúlyozni.

3.1. A nullkúp

Ebben az alfejezetben feltesszük, hogy k 2 karakterisztikájú.

3.1.1. Definíció. Legyen S ≤ k [v^{(1)}, …, v^{(m)}] egy tetszőleges (egységelemes) részalgebra. A

{(v^{(1)}, …, v^{(m)}) ∈ k^{n×m} : f (v^{(1)}, …, v^{(m)}) = f(0, …, 0) minden f ∈ S esetén}

halmaz az S algebrához tartozó nullkúp.

A nullkúp definíciójában szereplő f polinomot természetesen elegendő az S algebra egy generátorrendszerén végigfuttatni. Célunk annak bizonyítása, hogy az S = R_{n×m}^{O(n)} algebrához tartozó nullkúpot már a Q^{(i)} és B^{(ij)} polinomok definiálják (noha, mint láttuk, az algebrát nem generálják). Ezek mind eltűnnek a (0 …, 0) vektor-m-esen. Egy tetszőleges vektor-m-esen akkor és csak akkor tűnnek mind el, ha a vektor-m-es által kifeszített altér totálisan szinguláris (azaz q azonosan eltűnik rajta). Ezért először a totálisan szinguláris altereket vizsgáljuk.

3.1.2. Állítás. Legyen q tetszőleges kvadratikus alak egy vektortéren. Legyen β a q polarizáltja. Ha β ≡ 0, de q ≢ 0, akkor azok a vektorok, amelyeken q eltűnik, egy 1 kodimenziós alteret alkotnak. Ha viszont β ≢ 0, akkor kifeszítik a teret.

Bizonyítás. Ha β ≡ 0, de q ≢ 0, akkor az 1.1.4 állítás által biztosított koordinátarendszerben q = z_{1}^{2} lesz, tehát {q = 0} = {z_{1} = 0}.

Ha β ≢ 0, akkor q azonosan eltűnik a 1.1.4 állítás által biztosított koordinátarendszer bármelyik tengelyére megszorítva – kivéve esetleg a z_{1}-tengelyt. Ezenkívül nyilván van olyan nullhelye is q-nak, amelynek z_{1} koordinátája 1. Ebből az állítás következik. □

A következő állítás már a standard ortogonális geometriára vonatkozik.

Egy alteret totálisan izotropnak nevezünk, ha β azonosan eltűnik rajta. Persze minden totálisan szinguláris altér egyben totálisan izotrop is.

3.1.3. Állítás. Legyen n = 2ν vagy n = 2ν + 1. Legyen W ≤ k^{n} egy maximális totálisan szinguláris altér. Ekkor dim W = ν, és

k^{n} = W ⊕ W_{1} ⊕ ker β

írható egy szintén totálisan szinguláris W_{1} altérrel.

Bizonyítás. Ha n = 2ν, akkor β nem-elfajuló, ezért

dim W + dim W^{⊥} = 2ν.

Ha n = 2ν + 1, akkor dim ker β = 1, ezért

dim W + dim W^{⊥} = 2ν + 1 vagy 2ν + 2.

Ezt az alábbiakban többször kihasználjuk.

Mivel W totálisan szinguláris, ezért totálisan izotrop, tehát W ≤ W^{⊥}, így persze W ⊕ ker β ≤ W^{⊥}. Belátjuk, hogy egyenlőség áll fenn. Tegyük fel indirekt módon, hogy W ⊕ ker β < W^{⊥}. Ekkor dim W ≤ dim W^{⊥} − 2. A fenti 3.1.2 állítás következtében létezik v ∈ W^{⊥}\W szinguláris vektor. A W ⊕ kv altér totálisan szinguláris, ellentmondásban W maximalitásával. Ezzel beláttuk, hogy W ⊕ ker β = W^{⊥}, ahonnan dim W = ν.

A W ⊕ker β alteret csak 0-ban metsző totálisan szinguláris alterek közül legyen W_{1} egy maximális. Ha léteznék v ∈ W_{1}^{⊥}\(W ⊕ W_{1} ⊕ ker β) szinguláris vektor, akkor a W_{1} ⊕ kv totálisan szinguláris altér is csak 0-ban metszené a W ⊕ ker β alteret, ellentmondásban W_{1} maximalitásával. Ezért W ⊕ W_{1} ⊕ ker β tartalmazza W_{1}^{⊥} minden szinguláris vektorát. A 3.1.2 állítás következtében

dim ((W ⊕ W_{1} ⊕ ker β) ∩ W_{1}^{⊥}) ≥ dim W_{1}^{⊥} − 1.

A bal oldalon szereplő altér éppen

((W ⊕ W_{1})^{⊥} ⊕ W_{1})^{⊥} ,

ezért

dim ((W ⊕ W_{1})^{⊥} ⊕ W_{1}) ≤ dim W_{1} + dim ker β + 1,

ahonnan

dim(W ⊕ W_{1})^{⊥} ≤ dim ker β + 1

és így dim W_{1} ≥ ν −1. Egyenlőség esetén a 3.1.2 állítás szerint W_{1}^{⊥} totálisan izotrop volna, de akkor

W_{1}^{⊥} ≤ W_{1}^{⊥⊥} = W_{1} ⊕ ker β

ellentmondáshoz vezetne. Tehát dim W_{1} = ν, és W_{1} direkt kiegészítője a W ⊕ker β altérnek. □

3.1.4. Következmény. Az R_{n×m}^{O(n)} invariánsalgebrához tartozó nullkúp megegyezik a Q^{(i)} és B^{(ij)} polinomok közös nullhelyeinek halmazával.

Bizonyítás. Legyenek v^{(1)}, …, v^{(m)} olyan vektorok, amelyek kielégítik a Q^{(i)} = 0 és B^{(ij)} = 0 egyenleteket, tehát totálisan szinguláris alteret feszítenek ki. Legyen W egy őket tartalmazó maximális totálisan szinguláris altér. Legyen W_{1} a fenti állítás által biztosított altér. Tetszőleges t ∈ k^{∗} esetén jelölje A_{t} ∈ O(n) azt az ortogonális transzformációt, amely a W -beli vektorokat t-vel szorozza, a W_{1}-belieket t-vel osztja, a ker β altéren pedig identikus. Tetszőleges f ∈ R_{n×m}^{O(n)} polinom invariáns A_{t}-vel szemben is, ezért

f (tv^{(1)}, …, tv^{(m)}) = f (v^{(1)}, …, v^{(m)}) .

Mivel ez tetszőleges t ≠ 0 skalárra teljesül, és f egy polinom, ezért t = 0-ra is teljesül. Mivel f ∈ R_{n×m}^{O(n)} tetszőleges volt, ez azt jelenti, hogy a (v^{(1)}, …, v^{(m)}) vektor-m-es benne van a nullkúpban. □

A 3.1.4 következményből már pusztán általános elvek alapján levezethető, hogy R^{O(n)} végesen generált mint az

A = k [Q^{(i)}, B^{(ij)} : 1 ≤ i < j ≤ m]

részalgebra feletti modulus. (A 2.6 alfejezetben azt bizonyítottuk, hogy ha n páros és m elég nagy, akkor A ≠ R^{O(n)}. Páratlan n-re és m ≥ n-re ez nyilvánvaló, mert D^{(1···n)} ∈ R^{O(n)}\A.)

Vázoljuk a bizonyítást. Nem nehéz belátni, hogy az O(n) algebrai csoport reduktív, vagyis a radikálja (legnagyobb összefüggő feloldható normálosztója) egy tórusz. Ebből Nagata tétele (az [5]-beli 3.4 tétel) szerint következik, hogy az R^{O(n)} algebra végesen generált.

Legyen h ∈ R^{O(n)} tetszőleges homogén elem. A 3.1.4 következmény és a Hilbert-féle nullhelytétel szerint h egy hatványa benne van az A által R-ben generált ideálban. Az [5]-beli 3.4.2 lemma szerint ebből következik, hogy h egy (esetleg magasabb) hatványa benne van az A által R^{O(n)}-ben generált ideálban is (itt ismét fel kell használni O(n) reduktivitását).

Ezt az R^{O(n)} algebra egy homogén elemekből álló véges generátorrendszerének minden h elemére alkalmazva az adódik, hogy R^{O(n)} minden elég magas (mondjuk legalább d-ed)fokú homogén eleme benne van az A által R^{O(n)}-ben generált ideálban. Így R^{O(n)}-et, mint Amodulust, generálják a d-nél alacsonyabb fokú elemei. Ezek véges dimenziós vektorteret alkotnak, tehát közülük véges sok is elég.

David Hilbert ennek a gondolatmenetnek az eredeti, komplex test feletti változata kapcsán vezette be a nullkúp fogalmát és bizonyította be a nullhelytételt.

3.2. Általános segédtételek

A harmadik fejezet hátralévő részének fő célja az ortogonális csoporttal szemben invariáns racionális kifejezések testének leírása, de a 3.3 alfejezetben kitérőt teszünk és kevés számú vektorváltozó esetén leírjuk az invariáns polinomok algebráját. A jelen alfejezetben az ezekhez szükséges algebro-geometriai segédtételeket bizonyítjuk. Lényegében Roe Goodman és Nolan R. Wallach [3] könyvének „A” függelékét fogjuk követni, de az ott csak a komplex test felett tárgyalt tételeket minden algebrailag zárt k alaptest esetére kiterjesztjük.

Az alább bizonyítandó 3.2.8 tétel (i) állításából azonnal következik az a jól ismert általános tény, hogy a nullkarakterisztikájú esetben a racionális invariánsok testét akkor és csak akkor generálja néhány megadott racionális invariáns, ha ezek szétválasztják a csoport általános helyzetű pályáit (lásd pl.: [6], 2.2.1 lemma). (Ez tetszőleges algebrai csoport tetszőleges racionális reprezentációjának invariánsaira érvényes. Esetünkben O(n) definiáló reprezentációjának önmagával való m-szeres direkt összegéről van szó.) A prímkarakterisztikájú esetben szükség van egy szeparábilitási feltételre is (lásd a 3.2.8 tétel (ii) állítását és a tételt követő megjegyzést).

Két tisztán algebrai tétellel kezdjük, amelyek k-értékű algebra-homomorfizmusok (azaz k-lineáris multiplikatív funkcionálok, más néven karakterek) kiterjeszthetőségéről szólnak.

Algebrán kommutatív, egységelemes k-algebrát értünk (k tetszőleges algebrailag zárt test). Ha A egy algebra, akkor Hom(A, k) az A → k algebra-homomorfizmusok halmazát jelöli (az azonosan nulla funkcionált nem tekintjük algebra-homomorfizmusnak). Ezeket A karaktereinek is nevezzük. Jelöljük Hom(A, k)^{a}-val a 0 ≠ a ∈ A elemen el nem tűnő karakterek halmazát. Ha g(X) egy tetszőleges A feletti polinom és ϕ ∈ Hom(A, k), akkor jelölje g^{ϕ}(X) azt a k feletti polinomot, melyet g(X)-ből úgy kapunk, hogy minden együtthatójára alkalmazzuk a ϕ karaktert.

3.2.1. Tétel. Legyen B nullosztómentes algebra. Legyen A ≤ B egy részalgebra, és tegyük fel, hogy B végesen generált mint A feletti algebra. Ekkor tetszőleges 0 ≠ b ∈ Bhez van 0 ≠ a ∈ A úgy, hogy minden ϕ ∈ Hom(A, k)^{a} karakter kiterjed ψ ∈ Hom(B, k)^{b} karakterré. Ha B minden eleme egész A felett, és b = 1, akkor a = 1 megfelelő.

Bizonyítás. Legyen először B = A[u] egy u ∈ B elemmel. Legyen 0 ≠ b = f(u) ∈ B tetszőleges, ahol f(X) ∈ A[X] egy A feletti polinom.

Ha u transzcendens A felett, akkor egyelőre tetszőleges λ ∈ k skalárt választva kiterjeszthetjük B-re a ϕ karaktert a

ψ(g(u)) = g^{ϕ}(λ) (g ∈ A[X])  (4)

formulával. Ekkor ψ(b) = f^{ϕ}(λ). Mivel b ≠ 0, így f(X) ≠ 0, és a-nak választhatjuk az f(X) polinom bármelyik nullától különböző együtthatóját. Valóban, ha ϕ(a) ≠ 0, akkor f^{ϕ}(X) ≠ 0, tehát van olyan λ ∈ k, mely nem gyöke f^{ϕ}-nek, és az azzal definiált ψ kiterjesztésre ψ(b) ≠ 0.

Ha viszont u algebrai A felett, akkor b is az. Legyen

s(X) = a_{m}X^{m} + ⋯ + a_{1}X + a_{0} illetve q(X) = c_{n}X^{n} + ⋯ + c_{1}X + c_{0}

az u illetve b minimálpolinomja A felett, ahol a_{m} ≠ 0. Megmutatjuk, hogy a = a_{m}c_{0} megfelelő. (Jegyezzük meg, hogy ha u egész A felett és b = 1, akkor a_{m} = c_{0} = 1 választható, s e választással a = 1 lesz.)

Legyen g(X) ∈ A[X] tetszőleges. Maradékos osztással kaphatunk egy d ≥ 0 egészt és A feletti h(X), r(X) polinomokat úgy, hogy gr r(X) < m és

a_{m}^{d}g(X) = s(X)h(X) + r(X).

Ha g(X) olyan, hogy g(u) = 0, akkor r(X) = 0, hiszen r(u) = 0 és gr r(X) < m. Ezért ekkor a_{m}^{d}g(X) osztható s(X)-szel A[X]-ben.

Legyen ϕ ∈ Hom(A, k)^{a} és legyen λ az s^{ϕ}(X) polinom egy gyöke. Ha g(u) = 0, akkor

ϕ(a_{m})^{d}g^{ϕ}(λ) = ϕ (a_{m}^{d}g(λ)) = 0,

de ϕ(a_{m}) = ϕ(a)/ϕ(c_{0}) ≠ 0, ezért g^{ϕ}(λ) = 0. Ez lehetővé teszi, hogy a ψ ∈ Hom(B, k) kiterjesztést a (4) formulával definiáljuk. Erre a kiterjesztésre

0 = ψ(0) = ψ(q(b)) = q^{ϕ}(ψ(b)),

viszont 0 nem gyöke q^{ϕ}(X)-nek, mivel ϕ(c_{0}) ≠ 0. Így ψ(b) ≠ 0. Ezzel a B = A[u] esetben beláttuk a tételt.

Tegyük fel, hogy a tétel igaz minden olyan esetben, amikor B generálható (n − 1) elemmel A felett, és tekintsük a B = A[b_{1}, …, b_{n}] esetet. Legyen 0 ≠ b ∈ B adott. Legyen Ã = A[b_{1}, …, b_{n−1}] és u = b_{n}. Ekkor B = Ã[u]. A fentiek szerint van 0 ≠ ã ∈ Ã úgy, hogy minden ϕ̃ ∈ Hom(Ã, k)ã karakter kiterjed ψ ∈ Hom(B, k)^{b} karakterré. Az indukciós feltevést B és b helyett Ã-ra és ã-ra alkalmazva azt kapjuk, hogy van 0 ≠ a ∈ A úgy, hogy minden ϕ ∈ Hom(A, k)^{a} karakter kiterjed ϕ̃ ∈ Hom(Ã, k)ã karakterré. Ez az a elem megfelelő lesz. □

3.2.2. Következmény. Legyen B végesen generált nullosztómentes algebra. Ekkor tetszőleges 0 ≠ b ∈ B-hez van ψ ∈ Hom(B, k) úgy, hogy ψ(b) ≠ 0.

Bizonyítás. Alkalmazzuk a fenti tételt az A = k, ϕ(λ) = λ (λ ∈ k) szereposztással. □

3.2.3. Tétel. Legyen B végesen generált nullosztómentes algebra, és legyen A ≤ B egy végesen generált részalgebra. Tegyük fel, hogy van 0 ≠ b ∈ B úgy, hogy A-nak minden karaktere legfeljebb egyféleképpen terjed ki Hom(B, k)^{b}-beli karakterré. Ekkor B minden eleme tisztán inszeparábilis A felett. (Azaz, B minden eleme tisztán inszeparábilis A hányadosteste felett, B hányadostestében.) Másként fogalmazva:

(i) Ha char k = 0, akkor B minden eleme benne van A hányadostestében.

(ii) Ha char k = p ≠ 0, akkor B minden elemének egy p-hatványadik hatványa benne van A hányadostestében.

Bizonyítás. Az előző tételhez hasonlóan, most is elég a B = A[u] esettel foglalkozni (abból már indukcióval adódik a tétel). Legyen b = f(u), ahol f(X) = a_{n}X^{n} + ⋯ + a_{0} egy A feletti polinom, mely persze nem azonosan nulla.

Először belátjuk, hogy u algebrai A felett. Tegyük fel indirekt módon, hogy u transzcendens. Legyen a az f(X) egyik nullától különböző együtthatója, és legyen ϕ ∈ Hom(A, k)^{a} tetszőleges. A (4) formula a ϕ karakternek egy Hom(B, k)^{b}-beli ψ kiterjesztését definiálja minden olyan λ ∈ k esetén, amely nem gyöke f^{ϕ}-nek. Ez pedig ellentmond az egyértelműségnek, hiszen ψ(u) = λ folytán különböző λ skalárok különböző ψ kiterjesztéseket adnak. Így u valóban algebrai.

Azt kell belátnunk, hogy u tisztán inszeparábilis A felett. Jelölje s(X) és q(X) ugyanazt, mint az előző tétel bizonyításában, és legyen, mint ott, a = a_{m}c_{0}. Tegyük fel indirekt módon, hogy s(X)-nek van két különböző gyöke a felbontási testében. Legyen x és y két különböző gyök. Legyen F = A[x, y]. Legyen ϕ̃ ∈ Hom(F, k)^{a(x−y)} tetszőleges, és legyen ϕ ∈ Hom(A, k)^{a} a ϕ̃ karakter A-ra való megszorítása. Ekkor ϕ̃(x) és ϕ̃(y) két különböző gyöke s^{ϕ}(X)-nek. Például,

s^{ϕ} (ϕ̃(x)) = ϕ̃ (s(x)) = 0.

Ha tehát a (4) formulában λ helyébe ϕ̃(x)-et, illetve ϕ̃(y)-t írunk, akkor két különböző ψ ∈ Hom(B, k)^{b} kiterjesztését kapjuk a ϕ karakternek, ami ellentmond a tétel feltételének.

□

Rátérünk a fenti két tétel algebro-geometriai következményeire. A topológiai kifejezéseket, mint korábban, most is a Zariski-féle értelemben használjuk. Affin varietáson irreducibilis affin algebrai halmazt, kváziaffin varietáson pedig egy ilyenben nyílt halmazt értünk. Ha X egy tetszőleges affin algebrai halmaz, akkor jelölje A_{X} az X affin koordinátagyűrűjét. Ekkor A_{X} egy végesen generált algebra, mely pontosan akkor nullosztómentes, ha X irreducibilis. Az A_{X} koordinátagyűrű minden k-lineáris multiplikatív funkcionálja (azaz karaktere) realizálható mint az X halmaz egy pontjában való kiértékelés. (Ez az állítás a Hilbert-féle nullhelytétel ekvivalens alakjainak egyike.) Tehát a Hom(A_{X}, k) halmaz természetes módon azonosítható X-szel. Az azonosításnál a Hom(A_{X}, k)^{a} halmaznak az X^{a} =^{def} {x ∈ X : a(x) ≠ 0} nyílt halmaz felel meg (tetszőleges 0 ≠ a ∈ A_{X} esetén) .

3.2.4. Definíció. Legyenek X és Y affin algebrai halmazok. Az f : X −−→ Y racionális leképezés domináns, ha az f(X) kép sűrű Y -ban.

3.2.5. Megjegyzés. Ha f : X → Y reguláris, akkor f dominanciája ekvivalens az általa indukált f^{∗} : A_{X} ← A_{Y} algebra-homomorfizmus injektivitásával.

3.2.6. Tétel. Legyenek X és Y affin varietások és legyen f : X −−→ Y domináns racionális leképezés. Legyen ∅ ≠ M ⊆ X nyílt. Ekkor f(M) tartalmazza Y -nak egy nem-üres nyílt részhalmazát.

Bizonyítás. Legyen 0 ≠ q ∈ A_{X} olyan reguláris függvény X-en, amellyel az f leképezés bármely koordinátafüggvényét megszorozva az egész X halmazon reguláris függvényt kapunk. Ekkor tehát f reguláris az X^{q} kváziaffin varietáson. Azonosítsuk X^{q}-t az

X̃^{q} = {(x, t) ∈ X × k : q(x)t = 1}

affin varietással a természetes módon. Az f̃(x, t) = f(x) formulával definiált f̃: X̃^{q} → Y leképezés reguláris. Ezért eleve feltehetjük, hogy f reguláris.

Legyen B = A_{X} és A = f^{∗}A_{Y}. Mivel X irreducibilis, ezért B nullosztómentes. Feltehető, hogy M = X^{b} egy 0 ≠ b ∈ B függvénnyel. Legyen a ∈ A a 3.2.1 tétel által biztosított elem, és legyen a = f^{∗}(ā), ahol ā ∈ A_{Y}. Belátjuk, hogy f(X^{b}) ⊇ Y ā. Valóban, tetszőleges y ∈ Y ā pontnak olyan ϕ : A → k karakter felel meg, amelyre ϕ(a) = ā(y) ≠ 0, azaz ϕ ∈ Hom(A, k)^{a}. Tehát – a választása folytán – ϕ kiterjeszthető ψ ∈ Hom(B, k)^{b} karakterré. De ψ szükségképpen egy x ∈ X^{b} pontban való kiértékelés, és g(f(x)) = g(y) minden g ∈ A_{Y} -ra, hiszen ψ kiterjesztése ϕ-nek. Ebből következik, hogy f(x) = y. □

3.2.7. Lemma. Legyenek X és Y affin varietások, és legyen F : X → Y egy domináns reguláris leképezés. Tegyük fel, hogy F injektív az X varietás egy alkalmas nem-üres és nyílt U részhalmazára megszorítva.

(i) Ha char k = 0, akkor minden X −−→ k racionális függvény racionális függvénye F -nek (ezen azt értjük, hogy g ∘ F alakú egy alkalmas g : Y −−→ k racionális függvénnyel).

(ii) Ha char k = p prímszám, akkor minden X −−→ k racionális függvény egy alkalmas p-hatványadik hatványa racionális függvénye F -nek.

Bizonyítás. Legyen B = A_{X} az X → k reguláris függvények algebrája, A = F^{∗}A_{Y} pedig azon függvények alkotta részalgebra, amelyek F -nek reguláris függvényei. Feltehetjük, hogy U = X^{b} egy 0 ≠ b ∈ B függvénnyel. Ekkor A-nak minden ϕ karaktere legfeljebb egyféleképpen terjeszthető ki ψ ∈ Hom(B, k)^{b} karakterré. Valóban, ϕ realizálható egy y ∈ Y pontban való kiértékelésként, tetszőleges ψ ∈ Hom(B, k)^{b} kiterjesztés pedig egy olyan x ∈ U pontban való kiértékelésként, amelyre F (x) = y. Ilyen tulajdonságú x pont pedig legfeljebb egyféleképpen választható.

A 3.2.3 tétel miatt B minden eleme tisztán inszeparábilis A felett. De minden X −−→ k racionális függvény előáll két B-beli (azaz reguláris) függvény hányadosaként, amiből a tétel állítása következik. □

3.2.8. Tétel. Legyenek M és N affin varietások, f : M → N reguláris leképezés és h : M −−→ k egy racionális függvény. Tegyük fel, hogy van egy nem-üres, nyílt U ⊆ M nyílt halmaz, amelyen h reguláris és csak f-től függ (ezen azt értjük, hogy ha m′, m′′ ∈ U és f(m′) = f(m′′), akkor h(m′) = h(m′′)).

(i) Ha char k = 0, akkor h racionális függvénye f-nek.

(ii) Ha char k = p ≠ 0, akkor h egy p-hatványadik hatványa racionális függvénye f-nek.

Bizonyítás. Jelölje Y az f(M) kép lezárását, X pedig az f × h : M −−→ N × k leképezés képének lezárását. Legyen F : X → Y az N × k → N vetítés X-re való megszorítása. Ekkor F domináns, és injektív az (f × h)(U) halmazra megszorítva. A 3.2.6 tétel szerint pedig (f ×h)(U) tartalmazza X-nek egy nem-üres nyílt részhalmazát. Ezért az F leképezés kielégíti a 3.2.7 lemma feltételeit. Alkalmazzuk a lemma állítását arra az X → k reguláris függvényre, amit úgy kapunk, hogy az X → N × k beágyazást komponáljuk az N × k → k vetítéssel. Pont a tétel állítását kapjuk. □

Az f : k → k, f(x) = x^{p} és h : k → k, h(x) = x példa mutatja, hogy a p karakterisztikájú esetben h nem feltétlenül racionális függvénye f-nek. Ha azonban f „maximális rangú”, akkor mégis levonhatjuk ezt az erősebb következtetést. Az alábbiakban ezt bizonyítjuk a legegyszerűbb speciális esetben. Ehhez szükségünk lesz az alábbi egyszerű állításra.

3.2.9. Állítás. Legyen X egy affin tér és g : X −−→ k egy racionális függvény. Tegyük fel, hogy g minden parciális deriváltja azonosan nulla.

(i) Ha char k = 0, akkor g konstans.

(ii) Ha char k = p ≠ 0, akkor g egy racionális függvény p-edik hatványa.

Vegyük észre, hogy az állítás megfordítása mindkét esetben nyilvánvaló.

Bizonyítás. Legyen g = r/q, ahol r és q relatív prím polinomok. Jelöljük vesszővel bármelyik változó szerinti parciális deriválást; ekkor qr′ − q′r = 0. Ezért q′ osztható q-val, r′ pedig r-rel, ahonnan q′ = r′ = 0. Azt kaptuk, hogy q és r minden parciális deriváltja is azonosan nulla. Tehát eleve feltehetjük, hogy g polinom, arra pedig az állítás nyilvánvaló.

□

3.2.10. Következmény. Legyenek M és N affin terek. Tegyük fel, hogy f : M → N és h : M −−→ k olyanok, mint a 3.2.8 tételben. Tegyük fel, hogy f domináns, és van olyan m ∈ M pont, ahol az f leképezés Jacobi-mátrixának rangja dim N. Ekkor h racionális függvénye f-nek.

Az f dominanciájára vonatkozó feltételt valójában el lehetne hagyni, mert következik a rangra vonatkozó feltételből.

Bizonyítás. Ha char k = 0, akkor a 3.2.8 tétel után már nincs mit bizonyítani. Legyen char k = p prímszám. A 3.2.8 tétel miatt elég belátni, hogy ha h^{p} racionális függvénye f-nek, akkor h is az. Legyen tehát h^{p} = g ∘ f, ahol g : N −−→ k racionális. Azon M-beli pontok, ahol f Jacobi-mátrixának rangja dim N, egy nem-üres és nyílt, következésképpen sűrű U halmazt alkotnak. Mivel f domináns, ezért az f(U) kép is sűrű az N térben. Mivel a h^{p} függvény minden parciális deriváltja azonosan nulla, ezért a g függvény minden parciális deriváltja eltűnik az f(U) halmaz minden pontjában, vagyis szintén azonosan nulla. A fenti 3.2.9 állítás szerint \sqrt[p]{g} is racionális függvény. Így h = \sqrt[p]{g} ∘ f valóban racionális függvénye f-nek. □

A következő egyszerű állítás független az előzőektől, bizonyításához csupán a Hilbertféle nullhelytételt kell felhasználnunk.

3.2.11. Állítás. Legyen M egy affin algebrai halmaz, N pedig egy affin tér. Legyen f : M → N egy szürjektív reguláris leképezés, g : N −−→ k pedig egy racionális függvény. Ha g ∘ f reguláris, akkor g is az.

Valójában nincs szükség arra, hogy N affin tér legyen; elég, ha normális varietás (azaz koordinátagyűrűje integrálisan zárt). A szürjektivitás is gyengíthető: elég volna feltenni, hogy a kimaradó halmaz lezárásának kodimenziója (a normális képvarietásban) legalább 2.

Bizonyítás. Legyen g = r/q, ahol r, q ∈ A_{N} relatív prím polinomok. Mivel g ∘ f reguláris, ezért r ∘ f osztható q ∘ f-fel az A_{M} algebrában. Ezért ahol q ∘ f eltűnik, ott r ∘ f is. Mivel f szürjektív, az adódik, hogy ahol q eltűnik, ott r is. A Hilbert-féle nullhelytétel szerint r egy hatványa osztható q-val. Mivel (q, r) = 1, ezért q egység. □

3.3. A kevés vektor esete

Ebben az alfejezetben mindig feltesszük, hogy a k algebrailag zárt test 2 karakterisztikájú. Célunk annak bizonyítása, hogy ha n = 2ν vagy n = 2ν + 1, és m ≤ 2ν, akkor az R_{n×m}^{O(n)} invariánsalgebrát generálják a Q^{(i)} és B^{(ij)} másodfokú invariánsok.

3.3.1. Állítás. Legyen W ≤ k^{n} egy m dimenziós altér, amelyen q nem-elfajuló, és amelyre W ∩ ker β = 0. (Páros n esetén az utóbbi feltétel felesleges, hiszen ker β = 0. Páros m esetén is felesleges, hiszen ekkor q |_{W} -vel együtt β |_{W} sem elfajuló.) Válasszunk olyan (e^{(1)}, …, e^{(m)}) bázist W -ben, amelyhez tartozó koordinátarendszerben q |_{W} az 1.1.4 állítás szerinti kanonikus alakú. Ekkor ez a bázis kiegészíthető k^{n} egy olyan (e^{(1)}, . . . . . . , e^{(n)}) bázisává, amelyhez tartozó koordinátarendszerben a következők teljesülnek:

(i) Ha m páros, akkor q kanonikus alakú.

(ii) Ha m páratlan, akkor q a kanonikus alakú kvadratikus alakból az m-edik koordináta négyzetének hozzáadásával kapható.

Bizonyítás. (i) Mivel β |_{W} nem elfajuló, ezért k^{n} = W ⊕ W^{⊥}. Legyen (e^{(m+1)}, …, e^{(n)}) olyan bázis W^{⊥}-ben, amelyhez tartozó koordinátarendszerben q |_{W^{⊥}} kanonikus alakú.

(ii) Mivel W ∩ ker β = 0, és e^{(m)} lineárisan független az e^{(1)}, …, e^{(m−1)} vektoroktól, ezért van olyan e^{(m+1)} ∈ ⟨e^{(1)}, …, e^{(m−1)}⟩^{⊥} vektor, amelyre β (e^{(m)}, e^{(m+1)}) = 1. Az e^{(m+1)} vektor úgy is megválasztható, hogy q (e^{(m+1)}) = 0 legyen (az eredeti választásunkhoz e^{(m)} alkalmas skalárszorosát hozzáadva). Legyen W̃ = W ⊕ ke^{(m+1)}.

Mivel β |W̃ nem elfajuló, ezért k^{n} = W̃ ⊕ W̃^{⊥}. Legyen (e^{(m+2)}, …, e^{(n)}) olyan bázis W̃^{⊥}-ben, amelyhez tartozó koordinátarendszerben q |W̃^{⊥} kanonikus alakú. □

Ebből azonnal következik Witt egy nevezetes tételének ([9], 7.4 tétel) alábbi speciális esete:

3.3.2. Állítás. Legyenek W′, W′′ ≤ k^{n} olyan alterek, mint a fenti állításban szereplő W. Legyen A : W′ → W′′ izometrikus (azaz q-t megtartó) izomorfizmus. Ekkor A kiterjeszthető Ã ∈ O(n) ortogonális transzformációvá.

3.3.3. Következmény. Legyen n = 2ν vagy n = 2ν + 1, és legyen m ≤ 2ν. Ekkor létezik egy U ⊂ k^{n×m} nem-üres nyílt halmaz a következő tulajdonsággal: ha (v^{(1)}′, …, v^{(m)}′) ∈ U

és (v^{(1)}′′, …, v^{(m)}′′) ∈ U olyanok, hogy Q^{(i)}′ = Q^{(i)}′′ minden i-re és B^{(ij)}′ = B^{(ij)}′′ minden

(i, j) párra, akkor van olyan A ∈ O(n) ortogonális transzformáció, amellyel Av^{(i)}′ = v^{(i)}′′ minden i-re.

Bizonyítás. Legyen U az olyan vektor-m-esek halmaza, amelyeknek a k^{n}/ ker β faktortérben adódó képe független vektor-m-es, és amelyek által kifeszített m-dimenziós altéren q nem-elfajuló. Az 1.4.1 állítás segítségével könnyen látható, hogy U nyílt. Bármely Ubeli vektor-m-es által kifeszített W altérre W ∩ ker β = 0. Ha (v^{(1)}′, …, v^{(m)}′) ∈ U és

(v^{(1)}′′, …, v^{(m)}′′) ∈ U olyanok, hogy Q^{(i)}′ = Q^{(i)}′′ minden i-re és B^{(ij)}′ = B^{(ij)}′′ minden (i, j) párra, akkor az

Av^{(i)}′ = v^{(i)}′′ (i = 1, …, m)

által definiált, a kifeszített alterek közötti izometrikus izomorfizmus kiterjeszthető ortogonális transzformációvá. □

3.3.4. Megjegyzés. A fenti 3.3.3 következmény valójában tetszőleges m esetén is igaz.

Bizonyítás. Legyen m ≥ n. Legyen U azon vektor-m-esek halmaza, amelyek első n vektora bázist alkot a k^{n} térben. Ha két ilyen vektor-m-es kielégíti a 3.3.3 következményben kirótt feltételeket, akkor az a lineáris transzformáció, amely a v^{(1)}′, …, v^{(n)}′ bázist a v^{(1)}′′, …, v^{(n)}′′ bázisba viszi, nyilvánvalóan ortogonális, és megfelelő lesz. □

3.3.5. Állítás. Legyen m teszőleges pozitív egész, és (β^{(ij)}) teszőleges olyan m × m-es mátrix, melynek rangja r ≤ 2ν. Ekkor léteznek u^{(1)}, …, u^{(m)} ∈ k^{2ν} vektorok úgy, hogy

β (u^{(i)}, u^{(j)}) = β^{(ij)} (i, j = 1, …, m).

Bizonyítás. Jól ismert, hogy (β^{(ij)}) kogrediens a J ⊕ 0 = (\begin{matrix}0 & I \\ I & 0 \end{matrix}) ⊕ 0 mátrixszal, ahol J

mérete r × r (tehát r mindig páros). Ezért elegendő az utóbbi mátrix esetére bizonyítani az állítást, arra pedig triviális. □

3.3.6. Állítás. Legyen m ≤ n. Legyen (β^{(ij)}) teszőleges m × m-es alternáló mátrix, és legyenek q^{(1)}, …, q^{(m)} ∈ k tetszőlegesek. Ekkor léteznek v^{(1)}, …, v^{(m)} ∈ k^{n} vektorok úgy, hogy

β (u^{(i)}, u^{(j)}) = β^{(ij)} (i, j = 1, …, m)

és

q (v^{(i)}) = q^{(i)} (i = 1, …, m).

Bizonyítás. Legyen, mint mindig, ν = [n/2]. Válasszuk meg az u^{(1)}, …, u^{(m)} ∈ k^{2ν} vektorokat az előző állítás szerint.

Legyen először n = 2ν + 1. Mivel a ker β egydimenziós altér nem szinguláris, ezért a q kvadratikus alak minden ker β szerinti mellékosztályon minden értéket felvesz. Van tehát olyan v^{(i)} ∈ k^{2ν+1}, mely a k^{2ν+1} → k^{2ν+1}/ ker β = k^{2ν} természetes leképezésnél u^{(i)}-be megy át, és amelyre q (v^{(i)}) = q^{(i)}. Az így kapott v^{(1)}, …, v^{(m)} vektorok megfelelőek.

Legyen ezután n = 2ν. Tekintsük először azt az esetet, amikor az u^{(1)}, …, u^{(m)} vektorok bázist alkotnak k^{n}-ben (ekkor persze m = n). Definiáljuk a q^{∗} kvadratikus alakot a

q^{∗} (∑_{i=1}^{m} λ_{i}u^{(i)}) = ∑_{i=1}^{m} λ_{i}^{2}q^{(i)} + ∑_{1≤i<j≤m} λ_{i}λ_{j}β^{(ij)}

formulával. Legyen β^{∗} a q^{∗} polarizáltja. Mivel

β^{∗} (u^{(i)}, u^{(j)}) = q^{∗} (u^{(i)} + u^{(j)}) − q (u^{(i)}) − q (u^{(j)}) = β^{(ij)} = β (u^{(i)}, u^{(j)}) ,

ezért β^{∗} ≡ β. Emiatt q^{∗} sem elfajuló. Az 1.1.4 állítás miatt van olyan A : k^{n} → k^{n} lineáris izomorfizmus, amellyel q(Au) = q^{∗}(u) minden u ∈ k^{n}-re. Ekkor persze

β (Au′, Au′′) = β^{∗} (u′, u′′) = β (u′, u′′)

minden u′, u′′ ∈ k^{n}-re (azaz A ∈ Sp(n)). Legyen v^{(i)} = Au^{(i)} (i = 1, …, m). Ekkor

β (v^{(i)}, v^{(j)}) = β (u^{(i)}, u^{(j)}) = β^{(ij)}

és

q (v^{(i)}) = q^{∗} (u^{(i)}) = q^{(i)},

tehát v^{(1)}, …, v^{(m)} megfelelő.

Tekintsük végül azt az esetet, amikor n = 2ν, de az u^{(1)}, …, u^{(m)} vektorok nem feszítik ki a k^{n} teret. Legyen 0 ≠ u^{(0)} ∈ ⟨u^{(1)}, …, u^{(m)}⟩^{⊥} egy rögzített vektor. Legyen f : k^{n} → k olyan lineáris funkcionál, amelyre f (u^{(0)}) ≠ 0. Definiáljuk a q^{∗} kvadratikus alakot a

q^{∗} = q + λf^{2}

formulával, ahol a λ ∈ k paraméter értéke úgy választandó, hogy q^{∗} (u^{(0)}) ≠ 0 legyen. Mivel f^{2} polarizáltja azonosan nulla, ezért q^{∗} polarizáltja β. Ebből következik, hogy q^{∗} nem-elfajuló. Tehát van olyan A : k^{n} → k^{n} lineáris izomorfizmus, amellyel q(Au) = q^{∗}(u) minden u ∈ k^{n}-re. Persze A ∈ Sp(n). Az Au^{(i)} vektorokra

β (Au^{(i)}, Au^{(j)}) = β (u^{(i)}, u^{(j)}) = β^{(ij)}.

Továbbá Au^{(0)} ∈ ⟨Au^{(1)}, …, Au^{(m)}⟩^{⊥} és q (Au^{(0)}) ≠ 0. Az utóbbiból következik, hogy q minden kAu^{(0)} szerinti mellékosztályon minden értéket felvesz. Tehát van olyan v^{(i)} ∈ Au^{(i)} + kAu^{(0)} vektor, amelyre q (v^{(i)}) = q^{(i)}. Az így kapott v^{(1)}, …, v^{(m)} vektorok megfelelőek. □

3.3.7. Tétel. Legyen n = 2ν vagy n = 2ν + 1, és legyen m ≤ 2ν. Ekkor az R_{n×m}^{O(n)} algebrát generálják a Q^{(i)} és B^{(ij)} invariánsok (ahol 1 ≤ i ≤ m, illetve 1 ≤ i < j ≤ m).

Bizonyítás. Jelölje f : k^{n×m} → k^{\binom{m+1}{2}} azt a reguláris leképezést, melynek koordinátafüggvényei a Q^{(i)} és B^{(ij)} polinomok. Legyen h ∈ R_{n×m}^{O(n)} tetszőleges. A 3.3.3 következmény szerint van egy nem-üres nyílt halmaz, amelyen h csak f-től függ.

Tekintsük azt a vektor-m-est (mint k^{n×m}-beli pontot), amely a k^{n} tér standard bázisának első m vektorából áll. Megmutatjuk, hogy az f leképezés e pontban vett Jacobimátrixának rangja \binom{m+1}{2}. Ehhez feltehetjük, hogy n = 2ν. Írjuk fel a parciális deriváltakat:

\frac{∂Q^{(i)}}{∂x_{t}^{(i)}} = y_{t}^{(i)},  \frac{∂Q^{(i)}}{∂y_{t}^{(i)}} = x_{t}^{(i)},  (5)

a Q^{(i)} polinom többi parciális deriváltja pedig nulla. Tehát a Q^{(i)} parciális deriváltjaiból álló 2ν × m-es mátrixot úgy kapjuk, hogy az i-edik oszlopba beírjuk az i-edik standard bázisvektort úgy, hogy az x_{t} és y_{t} koordinátát felcseréljük (egyszerre minden t-re). Továbbá,

\frac{∂B^{(ij)}}{∂x_{t}^{(i)}} = y_{t}^{(j)},  \frac{∂B^{(ij)}}{∂y_{t}^{(i)}} = x_{t}^{(j)},  \frac{∂B^{(ij)}}{∂x_{t}^{(j)}} = y_{t}^{(i)},  \frac{∂B^{(ij)}}{∂y_{t}^{(j)}} = x_{t}^{(i)},  (6)

a B^{(ij)} polinom többi parciális deriváltja pedig nulla. Tehát a B^{(ij)} parciális deriváltjaiból álló 2ν × m-es mátrixot úgy kapjuk, hogy az i-edik oszlopba beírjuk a j-edik, a j-edik oszlopba pedig az i-edik standard bázisvektort úgy, hogy az x_{t} és y_{t} koordinátát felcseréljük (egyszerre minden t-re).

Azt kell belátnunk, hogy a kapott \binom{m+1}{2} darab 0-1-mátrix lineárisan független. Tekinthetjük helyettük azokat a mátrixokat, amelyeket a standard bázisvektorokból ugyanúgy kapunk, azzal a különbséggel, hogy az x_{t} ↔ y_{t} cserét sehol sem végezzük el. E mátrixok m×m méretű bal felső sarkai az m×m-es szimmetrikus mátrixok \binom{m+1}{2} dimenziós terének standard bázisát alkotják. Ezzel az f leképezés rangjára vonatkozó állításunkat beláttuk.

A 3.2.10 következmény szerint h racionális függvénye f-nek. De h reguláris, és a 3.3.6 állítás szerint f szürjektív. A 3.2.11 állítás azt adja, hogy h reguláris függvénye f-nek. □

3.4. A racionális invariánsok teste

Ebben az alfejezetben is mindig feltesszük, hogy a k algebrailag zárt test 2 karakterisztikájú.

Mindenekelőtt a 3.3.3 következményt általánosítjuk.

3.4.1. Állítás. (i) Legyen n = 2ν és legyen m tetszőleges. Ekkor létezik egy U ⊂ k^{n×m} nem-üres nyílt halmaz a következő tulajdonsággal: ha

(v^{(1)}′, …, v^{(m)}′) ∈ U és (v^{(1)}′′, …, v^{(m)}′′) ∈ U

olyanok, hogy

\begin{aligned}Q^{(i)}′ & = Q^{(i)}′′ & (1 ≤ i ≤ 2ν), \\ B^{(ij)}′ & = B^{(ij)}′′ & (1 ≤ i < j ≤ m, i ≤ 2ν), \end{aligned}

akkor van olyan A ∈ O(n) ortogonális transzformáció, amellyel Av^{(i)}′ = v^{(i)}′′ minden 1 ≤ i ≤ m-re.

(ii) Legyen n = 2ν + 1 és legyen m tetszőleges. Ekkor létezik egy U ⊂ k^{n×m} nem-üres nyílt halmaz a következő tulajdonsággal: ha

(v^{(1)}′, …, v^{(m)}′) ∈ U és (v^{(1)}′′, …, v^{(m)}′′) ∈ U

olyanok, hogy

\begin{aligned}Q^{(i)}′ & = Q^{(i)}′′ & (1 ≤ i ≤ 2ν), \\ B^{(ij)}′ & = B^{(ij)}′′ & (1 ≤ i < j ≤ m, i ≤ 2ν), \\ D^{(1,··· ,2ν,l)}′ & = D^{(1,··· ,2ν,l)}′′ & (2ν + 1 ≤ l ≤ m), \end{aligned}

akkor van olyan A ∈ O(n) ortogonális transzformáció, amellyel Av^{(i)}′ = v^{(i)}′′ minden 1 ≤ i ≤ m-re.

Bizonyítás. A 3.3.3 következmény miatt feltehetjük, hogy m ≥ 2ν. Legyen U azon vektorm-esek halmaza, amelyek első 2ν vektorának természetes képe bázist alkot a k^{n}/ ker β faktortérben. Egy ilyen vektor-m-es első 2ν vektora mindig olyan 2ν dimenziós W alteret feszít ki, amelyre W ∩ ker β = 0. Ha (v^{(1)}′, …, v^{(m)}′) ∈ U és (v^{(1)}′′, …, v^{(m)}′′) ∈ U teljesítik az állításban kirótt feltételeket, akkor a 3.3.2 állítás miatt van olyan A ∈ O(n) ortogonális transzformáció, amelyre

Av^{(i)}′ = v^{(i)}′′ (i = 1, …, 2ν).

Megmutatjuk, hogy ez megfelelő lesz.

(i) Mivel β nem-elfajuló és a v^{(1)}′′, …, v^{(2ν)}′′ vektorok bázist alkotnak a k^{2ν} térben, ezért elég belátni, hogy 1 ≤ j ≤ m és 1 ≤ i ≤ 2ν esetén

β (v^{(i)}′′, Av^{(j)}′) = β (v^{(i)}′′, v^{(j)}′′) .  (7)

Ez világos, mert a bal oldal β (Av^{(i)}′, Av^{(j)}′)-vel, a jobb β (v^{(i)}′, v^{(j)}′)-vel egyenlő, ezek pedig egymással egyenlőek A ortogonális volta miatt.

(ii) A (7) egyenlőség most is ugyanúgy bizonyítható, mint az (i) esetben, de ezúttal csak annyit mutat, hogy Av^{(j)}′ csak a z koordinátájában különbözhetik v^{(j)}′′-től. A z koordináták egyenlőségének bizonyításához elég megmutatni, hogy

det (v^{(1)}′′, …, v^{(2ν)}′′, Av^{(j)}′) = det (v^{(1)}′′, …, v^{(2ν)}′′, v^{(j)}′′) ,  (8)

hiszen ha mindkét determinánst az utolsó oszlop szerint kifejtjük, akkor ugyanazokat a tagokat kapjuk, kivéve az utolsó vektor z-koordinátáját tartalmazó egy-egy tagot, ezekben pedig a két z-koordináta együtthatója ugyanaz a nullától különböző 2ν × 2ν méretű aldetermináns.

A (8) egyenlőség azzal ekvivalens, hogy

det (Av^{(1)}′, …, Av^{(2ν)}′, Av^{(j)}′) = det (v^{(1)}′, …, v^{(2ν)}′, v^{(j)}′) ,

ez pedig A ortogonális volta miatt fennáll. □

3.4.2. Tétel. Legyen m ≥ 2ν. Ekkor a K_{2ν×m}^{O(2ν)} testet generálják az algebrailag független

Q^{(i)} (1 ≤ i ≤ 2ν)

és

B^{(ij)} (1 ≤ i < j ≤ m, i ≤ 2ν)

invariánsok.

Bizonyítás. Jelölje

f : k^{2ν×m} → k^{2ν+\binom{m}{2}−\binom{m−2ν}{2}} = k^{2νm−\binom{2ν}{2}}

azt a reguláris leképezést, melynek koordinátafüggvényei a tételben szereplő invariáns polinomok. Ez domináns, mert ha koordinátafüggvényei számára olyan q^{(i)} és β^{(ij)} értékeket írunk elő, hogy a (β^{(ij)})_{i,j=1}^{2ν} mátrix reguláris legyen, akkor a 3.3.6 állítás által biztosított v^{(1)}, …, v^{(2ν)} vektorok bázist alkotnak a k^{2ν} térben, és ezért kiegészíthetők olyan vektorm-essé, amelyen f koordinátafüggvényei az előírt értékeket veszik fel. Ezzel beláttuk, hogy a tételben felsorolt invariánsok algebrailag függetlenek.

Tekintsük azt a vektor-m-est (mint k^{2ν×m}-beli pontot), amely a k^{2ν} tér standard bázisának 2ν vektorából és m − 2ν darab nullvektorból áll. Megmutatjuk, hogy az f leképezés e pontban vett Jacobi-mátrixának rangja 2νm − \binom{2ν}{2}.

A parciális deriváltakat megadó (5) és (6) formulák most is érvényesek; az ott nem szereplő parciális deriváltak most is azonosan nullák. Ha tehát i ≤ 2ν, akkor a Q^{(i)} parciális deriváltjaiból álló 2ν ×m-es mátrixot úgy kapjuk, hogy az i-edik oszlopba beírjuk az i-edik standard bázisvektort úgy, hogy az x_{t} és y_{t} koordinátákat felcseréljük. Továbbá, ha i < j és i ≤ 2ν, akkor a B^{(ij)} parciális deriváltjaiból álló 2ν × m-es mátrixot úgy kapjuk, hogy az i-edik oszlopba beírjuk a j-edik standard bázisvektort (illetve j > 2ν esetén a nullvektort), a j-edik oszlopba pedig az i-edik standard bázisvektort úgy, hogy az x_{t} és y_{t} koordinátákat felcseréljük.

Azt kell belátnunk, hogy ez a 2νm − \binom{2ν}{2} darab 0-1-mátrix lineárisan független. Tekinthetjük helyettük azokat a mátrixokat, amelyeket a standard bázisvektorokból ugyanúgy kapunk, azzal a különbséggel, hogy az x_{t} ↔ y_{t} cserét sehol sem végezzük el. E mátrixok a 2ν ×m-es „szimmetrikus” mátrixok 2νm−\binom{2ν}{2} dimenziós terének standard bázisát alkotják (szimmetrián azt értjük, hogy ha két elem a bal felső sarokból induló „főátlóra” nézve szimmetrikusan helyezkedik el, akkor egyenlőek). Ezzel az f leképezés rangjára vonatkozó állításunkat beláttuk.

Legyen h ∈ K_{2ν×m}^{O(2ν)} tetszőleges. A 3.4.1 állítás szerint van egy nem-üres nyílt halmaz, amelyen h (reguláris és) csak f-től függ. A 3.2.10 következmény szerint h racionális függvénye f-nek. □

3.4.3. Megjegyzés. Ha a tételben szereplő invariánsokhoz hozzáveszünk egy tetszőleges K_{2ν×m}^{SO(2ν)}\K_{2ν×m}^{O(2ν)}-beli racionális kifejezést, akkor a K_{2ν×m}^{SO(2ν)} test egy generátorrendszerét kapjuk.

Bizonyítás. Az előző tétel és a 2.1.5 megjegyzés azonnali következménye. □

3.4.4. Tétel. Legyen m ≥ 2ν. Ekkor a K_{(2ν+1)×m}^{O(2ν+1)} testet generálják az algebrailag független

Q^{(i)} (1 ≤ i ≤ 2ν),
B^{(ij)} (1 ≤ i < j ≤ m, i ≤ 2ν),

és

D^{(1,...,2ν,l)} (2ν + 1 ≤ l ≤ m)

invariánsok.

Bizonyítás. Jelölje

f : k^{(2ν+1)×m} → k^{2ν+\binom{m}{2}−\binom{m−2ν}{2}+m−2ν} = k^{2νm−\binom{2ν}{2}+m−2ν}

azt a reguláris leképezést, melynek koordinátafüggvényei a tételben szereplő invariáns polinomok. Ez domináns, mert ha koordinátafüggvényei számára olyan q^{(i)}, β^{(ij)} és d^{(1,...,2ν,l)} értékeket írunk elő, hogy a (β^{(ij)})_{i,j=1}^{2ν} mátrix reguláris legyen, akkor a 3.3.6 állítás által biztosított v^{(1)}, …, v^{(2ν)} vektorok bázist alkotnak a k^{2ν+1}/ ker β faktortérben, és ezért kiegészíthetők olyan vektor-m-essé, amelyen f koordinátafüggvényei az előírt értékeket veszik fel. Ezzel beláttuk, hogy a tételben felsorolt invariánsok algebrailag függetlenek.

Tekintsük azt a vektor-m-est (mint k^{(2ν+1)×m}-beli pontot), amely a k^{2ν+1} tér standard bázisának első 2ν vektorából és m−2ν darab nullvektorból áll. (A nullvektorok helyett tetszőleges ker β-beli, azaz a z-tengely irányába mutató vektorokat vehetnénk.) Megmutatjuk, hogy az f leképezés e pontban vett Jacobi-mátrixának rangja 2νm − \binom{2ν}{2} + m − 2ν.

A parciális deriváltakat megadó (5) és (6) formulák most is érvényesek; az ott nem szereplő parciális deriváltak most is azonosan nullák. Ha tehát i ≤ 2ν, akkor a Q^{(i)} parciális deriváltjaiból álló (2ν + 1) × m-es mátrixot úgy kapjuk, hogy az i-edik oszlopba beírjuk az i-edik standard bázisvektort úgy, hogy az x_{t} és y_{t} koordinátákat felcseréljük. Továbbá, ha i < j és i ≤ 2ν, akkor a B^{(ij)} parciális deriváltjaiból álló (2ν + 1) × m-es mátrixot úgy kapjuk, hogy az i-edik oszlopba beírjuk a j-edik standard bázisvektort (illetve j > 2ν esetén a nullvektort), a j-edik oszlopba pedig az i-edik standard bázisvektort úgy, hogy az x_{t} és y_{t} koordinátákat felcseréljük. Tehát a Q^{(i)}-k és B^{(ij)}-k parciális deriváltjaiból álló mátrixok utolsó sorában csupa nulla van, de (mint az előző tétel bizonyításában láttuk) ez a 2νm − \binom{2ν}{2} darab mátrix lineárisan független. Ezért elég belátni, hogy a D^{(1,...,2ν,l)} polinomok parciális deriváltjaiból álló mátrixok utolsó sorai függetlenek. Ez nyilvánvaló: ha 2ν + 1 ≤ l, l′ ≤ m, akkor

\frac{∂D^{(1,...,2ν,l)}}{∂z^{(l′)}} = δ_{(l′)}^{(l)}.

Ezzel az f leképezés rangjára vonatkozó állításunkat beláttuk.

Legyen h ∈ K_{(2ν+1)×m}^{O(2ν+1)} tetszőleges. A 3.4.1 állítás szerint van egy nem-üres nyílt halmaz, amelyen h (reguláris és) csak f-től függ. A 3.2.10 következmény szerint h racionális függvénye f-nek. □

Hivatkozások

[1] C. De Concini, C. Procesi: A Characteristic Free Approach to Invariant Theory, Advances in Mathematics 21 (1976), 330 – 354. oldal

[2] M. Domokos, S. G. Kuzmin, A. N. Zubkov: Rings of matrix invariants in positive characteristic, J. Pure Appl. Alg., közlésre elfogadva

[3] R. Goodman, N. R. Wallach: Representations and Invariants of the Classical Groups, Cambridge University Press, 1998

[4] J. Harris: Algebraic Geometry – A First Course, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1992

[5] P. Newstead: Introduction to moduli problems and orbit spaces, Tata Inst. Lecture Notes, Springer-Verlag, 1978

[6] V. L. Popov, E. B. Vinberg: Invariant Theory. In: Algebraic Geometry IV, Encyclopedia of Mathematical Sciences 55, Springer Verlag, 1994

[7] D. R. Richman: The Fundamental Theorems of Vector Invariants, Advances in Mathematics 73 (1989), 43 – 78. oldal

[8] E. Study: Ueber die Invarianten der projectiven Gruppe einer quadratischen Mannigfaltigkeit von nichtverschwindender Discriminante, Ber. Sächs. Akad. Wissensch. (1897), 443 – 461. oldal

[9] D. E. Taylor: The Geometry of the Classical Groups, Heldermann Verlag Berlin, 1992

[10] H. Weyl: Randbemerkungen zu Hauptproblemen der Mathematik, Math. Zeitschr. 20 (1924)

[11] H. Weyl: The Classical Groups – Their Invariants and Representations, Princeton University Press, 1946

Tartalomjegyzék

0.1. Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Az ortogonális csoport 2 1.1. Kvadratikus alakok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Az ortogonális csoport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Tükrözések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. Algebro-geometriai megjegyzések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Invariánsok 14 2.1. Determináns helyett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Megjegyzés a páratlan dimenziós esetről . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. A kétdimenziós eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4. A háromdimenziós eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5. A négydimenziós eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.6. A páros dimenziós eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Algebro-geometriai megközelítés 25 3.1. A nullkúp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2. Általános segédtételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3. A kevés vektor esete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4. A racionális invariánsok teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36