Általános szummációs módszerek

Szakdolgozat

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

2004. március 16.

Általános szummációs módszerek

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés, alapfogalmak 1 1.i. Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.ii. ω, a sorozatok tere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.iii. Végtelen mátrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.iii.1. c_{0} ⟶ c_{0} mátrix-transzformáció, mint általános lineáris leképezés . . . . . . 3 1.iii.2. Mátrix-transzformációk „tetszőleges” sorozatterek között . . . . . . . . . . . 5

1.iv. Tipikus szummációs problémák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.iv.1. A sorozattereket érintő néhány tipikus probléma [Ruc81] . . . . . . . . . . . 5 1.v. Érdekesség: ℓ_{2} ⟶ ℓ_{2} leképezés [Ruc81] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Egyszerűbb sorozatterek és duálisaik [Wil78] 7 2.i. ℓ_{p}, ℓ_{p}^{∗} (p≥1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.ii. ℓ_{∞}, ℓ_{∞}^{∗} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.iii. c, c^{∗} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.iv. c_{0}, c_{0}^{∗} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.v. bv, bv^{∗} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.vi. cs, cs^{∗} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Az általam kidolgozott módszer 12 3.i. Előkészületek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.ii. A módszer helyességének igazolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. A módszer alkalmazásai 15 4.i. Abel-szummáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.ii. Riemann-szummáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.iii. Toeplitz eredménye c ⟶ c mátrixokra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.iv. Poisson-szummáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.v. Egyszerű, de általános szummáció [DS88] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.vi. Cesàro (C, α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.vii. Nörlund–szummáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.viii. Hölder-szummáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.ix. Euler-szummáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.x. Borel mátrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.xi. Fourier-sorok által inspirált eljárások [Har49] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5. Általánosítások 23

5.i. A módszerem általánosítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.i.1. A 4.12 lemma néhány realizációja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.ii. Egy messzemenő általánosítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Hivatkozások 26

A. Alapfogalmak, jelölések: 27

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

1. oldal

Kivonat

A szummációs módszerek lényege, hogy sor(ozat)hoz másik sor(ozato)t rendeljünk úgy, hogy a konvergenciát (ha volt) ne rontsuk el, de esetleg nem konvergens sor(ozat)okat is konvergensbe képezzünk. Ez utóbbiak a számunkra „érdekesek” – ízelítőül a módszerek sokféleségére álljon itt néhány nagyobb név: Abel, Cesàro (C, 1), Riemann. Ezen dolgozatban bemutatok egy ∑ a_{n}φ_{n}(t) alakú általános szummációs módszert: ami ezen régebbi és ismert szummációs módszereket magában foglalja, sőt az összes mátrixon alapuló módszer felírható ilyen alakban. Igazolom a tétel egy általánosítását is, ami nem csak a cs sorozattéren lesz érvényes, hanem tet-

szőleges (bizonyos feltételeknek eleget tevő) sorozattéren is.

Természetesen ez nem a lehető legáltalánosabb módszer, a dolgozat végén megemlítek egy sokkal messzebbre mutató általánosítást, melyre azonban szükséges és elegendő feltételek nem, csupán példák állnak rendelkezésünkre.

1. Bevezetés, alapfogalmak

1.i. Bevezetés

A szummációs módszerek lényege, hogy sor(ozat)hoz másik sor(ozat)ot rendeljünk úgy, hogy a konvergenciát (ha volt) ne rontsuk el, de esetleg nem konvergens sor(ozat)okat is konvergensbe képezzünk.

Például Euler \frac{1}{2}-et rendelt a Σ(−1)^{n−1} divergens sor összegének, mert

a) ha x := ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}, akkor 1 − x = 1 − ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} = x,

b) |t|<1 esetén F (t) := \frac{1}{1+t} = ∑_{n=0}^{∞}(−t)^{n} és F (1)=\frac{1}{2}. A probléma magával az analízissel egyidős. Kezdetben nem tudták pontosan definiálni a sorösszeget, így Cauchy előtt gyakran hasonló ad hoc módszerekkel próbálták megfogni a határértéket.

1.1. Definíció. [[Gyö71]] Adott A mátrix esetén ha egy Σx_{n} sorra nézve az s_{n} := ∑_{k=0}^{n} x_{k} részletösszegek t = A(s) transzformált sorozata (t_{n} = ∑_{k=0}^{∞} A(n, k)·x_{n}) létezik és Cauchy-konvergens, akkor a Σx_{n} sort az A (szummációs) eljárásra nézve szummábilis sornak (röviden A-szummábilisnak) nevezzük.

Egy A eljárás permanens, ha A(s) = ∑ s.

[Gam] Érdemes leszögezni, hogy a szummációs módszerek nagy többségét nem csupán azon absztrakt célból találták ki, hogy minden divergens sorhoz találjunk összeget, hanem hogy bizonyos, éppen felmerült konkrét problémát megoldjanak.

Íme két példa: az f(z) = ∑_{n=0}^{∞} f_{n}z^{n} hatványsor konvergáljon a 0 egy környezetében. Az f(z) sor Mittag–Leffler csillagja az a D_{f} tartomány, melynek pontjaiba a sor folytatható z=0-ból kiinduló töröttvonallal. D_{f} ekkor összefüggő tartomány, jelölje F (z) az f(z) függvény D_{f}-re való kiterjesztését. Ekkor

lim_{δ⟶+0} ∑_{n=0}^{∞} \frac{f_{n}z^{n}}{Γ(1+nδ)}

létezik minden z∈D_{f}-re és megegyezik F (z)-vel.

A másik példa: Fejér tétele – bármely pontonként folytonos ϕ(x) függvény Fourier-sora összegezhető a következő aritmetikai középpel: \frac{1}{2}\{ϕ(x+0) + ϕ(x−0)\}.

Ezen dolgozatban nem foglalkozom velük, de a szummációs módszerek igen kiterjedt köre foglalkozik improprius integrálokkal. Például a Σu sorra alkalmazott aritmetikai közép módszerét

s = lim_{n⟶∞} ∑_{k=0}^{n} (1 − \frac{k}{n})u_{k}

az ∫_{a}^{∞} f(x) dx (a>0) integrál összegzésére alkalmazva az

s = lim_{t⟶∞} ∫_{a}^{t} (1 − \frac{x}{t})f(x) dx

formulát kapjuk ([Mad80]).

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

1. oldal

1.ii. ω, a sorozatok tere

1.2. Definíció. []Jelölje ω := {x : ℕ ⟶ 𝕂} a számsorozatok vektorterét. Ezen a téren értelmezhetünk egy topológiát: legyen ez a leggyengébb olyan topológia, melyre a P_{n} : ω ⟶ 𝕂, P_{n}(x) := x_{n} (koordináta) függvények folytonosak. Jelölje ezt a topológiát τ_{ω}.

Fréchet-tér: olyan lokálisan konvex vektortér, mely teljesen metrizálható (pszeudonormálható), azaz létezik rajta olyan pszeudonorma, hogy az általa generált topológiával a tér teljes és a topológia megegyezik a tér eredeti topológiájával.

Legyen (H, τ_{H}) topologikus vektortér. Egy (X, τ_{X}) lokálisan konvex Fréchet-teret FH-térnek mondnunk, ha X (algebrai) altere H-nak és τ_{X} ≥ τ_{H}↾_{X}, azaz az X ⟶ H természetes beágyazás folytonos.

FK-tér: FH-tér H=ω-val – azaz egy olyan sorozattér, mely lokálisan konvex Fréchet-tér, és a koordinátafüggvények folytonosak.

Mivel a τ_{ω} topológia megegyezik a P := {p_{n} : x ↦ |x_{n}|∈ℝ_{+}} félnormacsalád által generált lokálisan konvex vektortopológiával, ezért (ω, τ_{ω}) Fréchet-tér.

1.1. Lemma. [[Wil84, 4.2.2]] Legyen X egy Fréchet-tér, Y egy FH-tér és f : X ⟶ Y lineáris leképezés. Ha f : X ⟶ H folytonos, akkor f : X ⟶ Y is folytonos.

Bizonyítás. Megmutatjuk, hogy f gráfja zárt: f : X ⟶ (H, τ_{H}) folytonos, így gráfja zárt; az f : X ⟶ (Y, τ_{H} ↾_{Y}) megszorítás gráfja is zárt. Tehát f zárt (X, τ_{X})×(Y, τ_{H} ↾_{Y})-ban, így (X, τ_{X})×(Y, τ_{Y})-ban is, hiszen τ_{Y} ≥ τ_{H}↾_{Y} miatt ezen utóbbi szorzattérnek csak több zárt halmaza van.

A Fréchet-terekre vonatkozó zárt gráf tétel (Fréchet-terek közti zárt gráfú lineáris függvény

folytonos [Wil78, 5-3-1]) szerint tehát f : X ⟶ Y folytonos.  QED

1.2. Állítás. [[Wil84, 4.2.4]] Legyenek (X, τ_{X}), (Y, τ_{Y}) FH-terek (ugyanazon H-ra), X⊂Y. Akkor τ_{X} ≥ τ_{Y}↾_{X} és pontosan akkor egyenlők, ha X zárt részhalmaza Y -nak.

Bizonyítás. Az 1.1 lemmát alkalmazva az X ⟶ Y beágyazásra kapjuk, hogy τ_{X} ≥ τ_{Y} ↾_{X}. Ha X zárt Y -ban, akkor a τ_{Y}↾_{X} topológiával FH tér lesz, ami az egyértelműség miatt τ_{X}.

Megfordítva, ha τ_{Y}↾_{X}= τ_{X}, X teljes, akkor zárt és részhalmaza Y -nak.  QED

A dolgozatban előforduló sorozatterek ω-nak algebrai értelemben vett alterei, valamilyen (a teret teljessé tevő) normával. Az 1.2 állítás szerint az indukált normatopológia egyértelmű, ezek a sorozatterek (FK-terek is!) topológiai alterei ω-nak.

Jelölje

ϕ := {x∈ω : x csak véges sok helyen nemnulla} = sp{δ^{n} : n∈ℕ} ⊂ ω

a véges (finite) sorozatok vektorterét – ez altere lesz minden, a következőkben előforduló sorozattérnek.

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

2. oldal

1.iii. Végtelen mátrixok

Végtelen mátrixon értsünk egy ℕ×ℕ ⟶ 𝕂 függvényt. Vigyük át a mátrix szorzás szabályát végtelen mátrixok esetére is. Az A mátrixot az x sorozattal mint oszlopvektorral szorozzuk: Ax legyen az a sorozat, melynek m-edik tagja ∑_{n=0}^{∞} A(m, n)·x_{n} ha értelmes.

Jelölje D(A) := {x∈ω : Ax értelmes} – a mátrixszorzás szabályaiból könnyen belátható, hogy ez a halmaz vektortér. Jelöljük szintén A-val az A : D(A) ⟶ s, x ↦ Ax lineáris leképezést.

Könnyen belátható, hogy minden A végtelen mátrixra {0} ∪ ϕ ⊂ D(A). Sejtés, hogy ez a legbővebb halmaz, mely minden mátrix „értelmezési tartományában” benne van.

A szummációs módszerekkel először Cesàro, Borel és mások foglalkoztak a századfordulón. O. Toeplitz (1881-1940), az ünnepelt német matematikus volt az, aki 1911-ben alkalmazta a lineáris terek elméletét a sorozatterek közti mátrix transzformációk kezelésére.

Toeplitz meghatározta mindazon A = (a_{nk}) (n, k = 1, 2 …) végtelen mátrixokat, melyek a c sorozatteret önmagába képezik, a konvergens sorozatok határértékét megőrizve. Ezen „Toeplitz feltételek” könnyen adódnak a Banach–Steinhaus tételt alkalmazva. (Természetesen Toeplitz még

nem ismerhette ezt az 1920-as évekbeli tételt, így a tétel nemtriviális részéhez klasszikus analízist használt, kifejlesztve egy némiképp komplikált reductio ad absurdum érvelést. Mindenesetre bizonyítása nagyon inspiráló és érdekes, az olvasó megtalálja [Har49]-ben.)

Silvermann kiegészítette Toeplitz tételét: karakterizálta azon mátrixokat, melyek a c sorozatteret önmagukba képezik, nem feltétlenül őrizve meg a konvergens sorozatok határértékét. Ezen Silvermann–Toeplitz tétel (4.6) tétel tehát éppen [c, c]-t írja le.

Látni fogjuk, hogy a Banach–Steinhaus tétel és hasonló eredmények különösen alkalmasak a mátrix transzformációk és a szummációs módszerek problémáinak kezelésére.

1.iii.1. c_{0} ⟶ c_{0} mátrix-transzformáció, mint általános lineáris leképezés

Hogy miért érdekesek a mátrix transzformációk, miért nem nem általános lineáris transzformációkkal foglalkozunk? A válasz az, hogy sok esetben sorozattéren az általános lineáris transzformációk megadhatóak mátrixszal is. Példaként tekintsük c_{0}-t, a nullsorozatok terét és legyen A = (a_{mn})

(m, n∈ℕ).

1.3. Definíció. []Jelölje c_{0} := {x∈ω : ∃ lim x = 0} a konvergens nullsorozatok Banach-terét a ∥x∥_{c_{0}} := sup_{n∈ℕ} |x_{n}| (x∈c_{0}) supnormával.

1.3. Állítás. []Legyen a_{mn} ⟶^{m⟶∞} 0 ∀n∈ℕ és tegyük fel, hogy M = sup_{m} ∑ |a_{mn}| < ∞ (az

összegzés n-re történik).

Akkor A korlátos lineáris operátort definiált c_{0}-ról önmagába és ∥A∥ =M.

Bizonyítás. [Mad80] x∈c_{0} esetén Ax ∈ c_{0}, ugyanis A_{m}(x) := ∑_{n=0}^{∞} a_{mn}x_{n} ⟶^{m⟶∞} 0 a feltevés szerint. Tehát az Σa_{mn}x_{n} sor abszolút konvergens minden m-re és ∀N≥0-ra

|A_{m}(x)| ≤ ∑_{n=0}^{N} |a_{mn}x_{n}| + ∑_{n=N+1}^{∞} |a_{mn}x_{n}| ≤ ∥x∥_{c_{0}} · ∑_{n=0}^{N} |a_{mn}| + max_{n≥N+1} |x_{n}|·M

ε>0-hoz létezik elég nagy N, mellyel max_{n≥N+1} |x_{n}| < ε és ∑_{n=0}^{N} |a_{mn}| is teljesüljön. Így megmutattuk, hogy A : c_{0} ⟶ c_{0}.

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

3. oldal

A nyilván lineáris: A(λx) = (∑ a_{mn}λx_{n})_{m∈ℕ} = λ(∑ a_{mn}x_{n})_{m∈ℕ} = λA(x).

∥A(x)∥ = sup_{m} |∑ a_{mn}x_{n}| ≤ ∥x∥_{c_{0}} sup_{m} ∑ |a_{mn}| = M· ∥x∥_{c_{0}} ∀x∈c_{0}

Tehát ∥A∥ ≤M, A korlátos.

A másik irányhoz legyen r=r(ε) olyan, hogy ∑ |a_{rn}| > M−\frac{ε}{2}, így ∑ |a_{rn}| < ∞ miatt ∃p=p(ε) hogy ∑_{n>p} |a_{rn}| < \frac{ε}{2}. Legyen

x_{n} := \begin{cases}sgn a_{rn}, & 0≤n≤p \\ 0, & n>p \end{cases}

Ekkor x∈c_{0} és ∥x∥_{c_{0}} =1, így

\begin{matrix}∥ & A(x) & ∥ \\ ∥x∥ & c_{0} \end{matrix} = sup_{m} |A_{m}(x)| ≥ |A_{r}(x)| > M−ε

Ebből következik, hogy M = sup \begin{cases}∥ & A(x) & ∥ \\ ∥x∥ & _{c_{0}} \end{cases} : 0≠x∈c_{0}\} = ∥A∥.  QED

Igazolható a megfordítás is, tehát hogy minden c_{0} ⟶ c_{0} korlátos lineáris operátor előáll mátrix alakban:

1.4. Állítás. []Legyen A∈B(c_{0}, c_{0}) (korlátos lineáris operátor c_{0}-ból c_{0}-ba). Akkor A meghatároz egy (a_{mn}) mátrixot, melyre

(Ax)_{m} = ∑ a_{mn}x_{n} ∀x∈c_{0} és

∥A∥ = sup_{m} ∑ |a_{mn}| < ∞ valamint a_{mn} ⟶^{m⟶∞} 0 (∀n∈ℕ)

Bizonyítás. Minden x∈c_{0} sorozat előáll x = ∑ x_{n}e_{n} alakban, ahol (e_{n}) egy bázis c_{0}-ban (például

e_{0} = (1, 0, …), e_{1} = (0, 1, 0 …) …).

A linearitása és folytonossága miatt Ax = ∑ x_{n}Ae_{n}, így |x_{m}|≤ ∥x∥_{c_{0}}-t használva kapjuk, hogy (Ax)_{m} = ∑ x_{n}(Ae_{n})_{m} (m∈ℕ) azaz

A_{m}(x) := ∑ a_{mn}x_{n}, ahol a_{mn} = (Ae_{n})_{m}

x∈c_{0} esetén Ax∈c_{0} miatt Ae_{n}∈c_{0}, így a_{mn} ⟶^{m⟶∞} 0 (∀n∈ℕ).

Már csak ∥A∥ = sup_{m} ∑ |a_{mn}|-t kell megmutatni, amihez az előző állítás alapján elegendő, ha ∑ |a_{mn}| ≤ H (∀m∈ℕ)-t igazoljuk valamely H-ra.

Mivel |A_{m}(x)| ≤ ∥A(x)∥ ≤ ∥A∥ · ∥x∥_{c_{0}}, azért A_{m} korlátos (nyilván lineáris) funkcionál c_{0}- on. Kaptunk tehát egy (A_{m})∈c_{0}^{∗} funkcionál-sorozatot, melyre lim_{m} A_{m}(x)=0 c_{0}-on. A Banach– Steinhaus tétel szerint a normák (∥A_{m}∥)_{m∈ℕ} sorozata korlátos, azaz ∃H>0 : ∥A_{m}∥ ≤H ∀m∈ℕ.

Ugyanakkor ∥A_{m}∥ = ∑ |a_{mn}|, amivel a bizonyítást befejeztük.  QED

Hasonló módszerekkel majdnem minden X, Y sorozattérre megmutatható, hogy minde A ∈ B(X, Y) operátor megadható mátrixként. Néhány ilyen pár: (c_{0}, c_{0}), (c_{0}, c), (c_{0}, ℓ_{1}), (c, c_{0}), (c, c), (c, ℓ_{1}), (ℓ_{p}, c_{0}), (ℓ_{p}, c), (ℓ_{p}, ℓ_{1}), (ℓ_{p}, ℓ_{s}), ahol 1 ≤ p, s < ∞.

Láthatóan ℓ_{∞} kivételt képez – ez azért van, mert ℓ_{∞}^{∗} nem minden eleme írható fel ∑ a_{n}x_{n} alakban. Látni fogjuk, hogy ℓ_{∞} izomorf bfa(ℕ)-val, ami nem sorozattér.

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

4. oldal

1.iii.2. Mátrix-transzformációk „tetszőleges” sorozatterek között

Jó volna, ha a sorozatterek közti mátrix-transzformációk szépek (folytonosak) lennének. Nos, a következőkben igazoljuk, hogy FK-terek között ez teljesül.

1.4. Definíció. []Jelölje R(A) := {Ax : x∈D(A)} az A leképezés képterét.

Legyenek most (X, τ) és (Y, η) sorozatterek, és jelölje [X, Y] := {A végtelen mátrix : X⊂D(A), R(A)⊂Y } az X, Y terek közt képező mátrixok halmazát.

Legyenek adva (X, τ_{X}), (Y, τ_{Y}) FK-terek. Kérdés: lehet-e jellemezni azokat az A mátrixokat, amelyekre D(A)⊃X, R(A)⊂Y (azaz [X, Y]-t) ?

1.5. Lemma. [[Wil84, 4.2.3]] Legyen X egy Fréchet-tér, Y pedig egy FK-tér és f : X ⟶ Y lineáris leképezés. Ha P_{n}∘f : X ⟶ 𝕂; x ↦ (f(x))_{n} folytonos minden n-re, akkor f : X ⟶ Y folytonos.

Bizonyítás. Az FK-tér definíciójából következik, hogy a feltétel ekvivalens azzal, hogy az f : X ⟶

ω leképezés folytonos. Ebből 1.1 alapján következik az állítás.  QED

1.6. Tétel. [[Wil84, 4.2.8]] A∈[X, Y] ⟹ A : X ⟶ Y folytonos, azaz FK-terek közt minden mátrix-leképezés folytonos.

Bizonyítás. A lemma szerint elegendő azt belátni, hogy minden n-re az x ↦ (Ax)_{n} leképezés folytonos X ⟶ 𝕂.

Most (Ax)_{m} = lim_{N⟶∞} ∑_{n=0}^{N} a_{mn}x_{n} és minden x ↦ ∑_{n=0}^{N} a_{mn}x_{n} leképezés folytonos, mivel koordináták véges lineáris kombinációja.

Az (Ax)_{m} limeszfüggvény folytonosság következik a (lokálisan konvex Fréchet terekre vonatkozó [Wil78, 9-3-7]) Banach–Steinhaus tételből.

QED

1.iv. Tipikus szummációs problémák

1.iv.1. A sorozattereket érintő néhány tipikus probléma [Ruc81]

1. Az azonosság problémája: adott S sorozattérnek találjuk meg más karakterizációit.

2. Abel-típusú tételek: adott sorozatterek esetén mikor tartalmazza egyik tér a másikat?

3. Tauber-típusú tételek: adott S, T, U sorozatterekre igazoljunk S∩T ⊂ U jellegű tételt.

4. Mátrix leképezés probléma: adott S, T sorozatterek esetén mely végtelen mátrixok képezik Set T -be? Speciális problémák is érdekesek lehetnek – például megtalálni az összes diagonális mátrixot, ami S-et T -be képezi.

5. Topológia hozzárendelése: mi módon lehetne vektortopológiát rendelni a sorozatterek egy gyűjteményéhez vagy egy meghatározott csoportjukhoz úgy, hogy egy kitűzött célt elérjünk?

6. Struktúra probléma: igazoljuk bizonyos struktúrák létezését és ennek következményeit topologikus sorozattereken. Például határozzuk meg a tér duálisát vagy éppen a véges sorozatok lezártját.

7. Geometriai problémák: például milyen feltételek mellett lesz a tér reflexív vagy tartalmaz egy zárt alteret mely izomorf egy adott térrel?

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

5. oldal

1.v. Érdekesség: ℓ_{2} ⟶ ℓ_{2} leképezés [Ruc81]

Ebben a fejezetben Crone eredményét ismertetem az ℓ_{2} ⟶ ℓ_{2} módszerek karakterizációjával kapcsolatban.

1.7. Lemma. [] Egy A végtelen mátrix ℓ_{2}-t ℓ_{2}-re képezi pontosan akkor, ha

sup_{n} ∥[A]_{n}∥ < ∞, ahol [A]_{n}(i, j) = \begin{cases}A(i, j), & i≤n, j≤n \\ 0, & különben \end{cases}

Ez esetben ∥A∥ = sup_{n} ∥[A]_{n}∥ és lim_{n}[A]_{n}x = Ax (x∈ℓ_{2}).

Bizonyítás. Az első és az utolsó állítás a Banach–Steinhaus tételből és abból a tényből következnek, hogy lim_{n}[A]_{n}e_{k} = Ae_{k} (∀k∈ℕ) feltéve hogy sup_{n} ∥[A]_{n}∥ < ∞.

A második állítás abból következik, hogy ∥[A]_{n}x∥ = ∥[A]_{n}x^{[n]}∥ ≤ ∥A(x^{[n]})∥.  QED

1.8. Állítás. [Crone] Egy A végtelen mátrix pontosan akkor képezi ℓ_{2}-t ℓ_{2}-be, ha

(i) ∃(A^{∗}A)^{m} (∀m∈ℕ), (ii) C := sup_{m} sup_{i} \{(A^{∗}A)^{m}(i, i)\}^{\frac{1}{2m}} < ∞ és ekkor C= ∥A∥.

Bizonyítás. ⇒: Ha A ℓ_{2}-t ℓ_{2}-be képezi, akkor A^{∗} is ugyanezt teszi, tehát ∀m∈ℕ-re (A^{∗}A)^{m} létezik és ℓ_{2}-t ℓ_{2}-be képezi. Ennek minden diagonális elemére

(A^{∗}A)^{m}(i, i) = E_{i}((A^{∗}A)^{m}e_{i}) ≤ ∥A^{∗}∥^{m} · ∥A∥^{m} = ∥A∥^{2m}

ahol E_{i} az i dimenziós egységmátrix. Tehát C ≤ ∥A∥.

⇐: Minden n-re [(A^{∗}A)^{2}]_{n} −([A^{∗}A]_{n})^{2} pozitív és szemidefinit, hiszen Hermite és a diagonális nemnegatív. Tehát

∥[(A^{∗}A)^{2}]_{n}∥ ≥ ∥([A^{∗}A]_{n})^{2}∥ = ∥[A^{∗}A]_{n}∥^{2} , iterálva ∥[(A^{∗}A)^{2^{h}}]_{n}∥ ≥ ∥[A^{∗}A]_{n}∥^{2^{h}} , (h∈ℕ)

(1)

Egy n×n-es mátrix nyoma megegyezik a mátrix sajátértékeinek összegével, azaz egy B m×m-es hermitikus (és nemnegatív diagonálisú) mátrixra azt kapjuk, hogy

∥B∥ = B legnagyobb sajátértéke ≤ m· max_{i} B(i, i)

Ezen megfigyelés és (1) egyenlőtlenség alapján

∥[A^{∗}A]_{n}∥ ≤ ∥[(A^{∗}A)^{2^{h}}]_{n}∥^{2^{−h}} ≤ n^{2^{−h}}·(max_{i} {[(A^{∗}A)^{2^{h}}]_{n}(i, i)})^{2^{−h}} ≤ n^{2^{−h}}·C^{2}

Mivel ez minden h-ra fennáll, kapjuk, hogy ∥[A^{∗}A]_{n}∥ ≤ C^{2} minden n-re, tehát az 1.7 lemma

alapján A ℓ_{2}-t ℓ_{2}-be képezi.  QED

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

6. oldal

2. Egyszerűbb sorozatterek és duálisaik [Wil78]

Ezen fejezetben a [Wil78] könyvben leírt néhány általános, sorozatterekre vonatkozó segédtétel szerepel, melyeknek fontos szerepe lesz tételem (3.5) általánosításában (5.3).

A most következő 2.2 tétel tekinthető az Abel-tétel általánosításának – melyre tételünk igazolásához szükségünk lesz – és jól rámutat arra, miért lesz szükségünk a sorozatterek topologikus duális tereire is.

2.1. Definíció. []Legyen most S egy sorozattér (altere ω-nak).

A, B ⊂ S-re (A ⟶ B) := M(A, B) = ⋂_{a∈A} a^{−1}B = {r : rs∈B ∀s∈A}. Azt mondjuk, hogy S topologikus sorozattérben s∈ω-nek AK-ja van, ha

s^{[n]} ∈ S (∀n∈ℕ) és lim_{n} s^{[n]} = s

ahol s^{[n]} := s· ∑_{k=0}^{n} δ^{k} az a sorozat, amely i≤n-re megegyezik ω-el, utána viszont 0. Egy S topologikus sorozattérnek AK-ja van, vagy S AK-tér, ha ∀s∈ω-nek AK-ja van. S térnek AD-je van, vagy AD-tér, ha ϕ sűrű S-ben.

A rövidítések eredete: Abschnitts-Konvergenz (kezdőszelet-konvergencia) illetve Abschnitts-Dicht (kezdőszelet-sűrű).

2.2. Definíció. [ Zeller és Wilansky] K-térnek nevezünk egy (S, τ) párt, ahol S egy sorozattér, τ pedig egy S-en értelmezett lineáris topológia, melyre nézve s ↦ s_{n} folytonos ∀n∈ℕ. Ha ez a topológia teljes metrikus (nem feltétlenül lokálisan konvex), akkor a párt FK-térnek nevezzük. Ha τ Banach-tér topológia, akkor a párt BK-térnek nevezzük.

2.1. Állítás. []Egy K-tér pontosan akkor AK, ha az δ^{n} : n∈ℕ koordináta-vektorok S-nek Schauderbázisát alkotják, azaz ∀s∈ω előáll

s = ∑_{n=0}^{∞} s_{n}δ^{n}  (2)

alakban.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy S AK-tér. Ekkor a sor konvergens S-en, ugyanis s^{[k]} = ∑_{n=0}^{k} s_{n}δ^{n}

(∀k∈ℕ).

Megfordítva, alkossák a δ^{n} : n∈ℕ koordináta-vektorok az S sorozattér Schauder-bázisát. Ekkor egy s∈ω sorozatra a feltevés szerint s = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}δ^{n} = lim_{N⟶∞} ∑_{n=0}^{N} a_{n}δ^{n} = lim_{N⟶∞} s^{[N]} ami

épp az igazolandó állítás.  QED

2.2. Tétel. [[Ruc81]] Ha X egy FK-tér AK-val, akkor ∀f∈X^{∗} (folytonos lineáris funkcionálra X-

en)

(f(δ^{n})) ∈ (X ⟶ cs), és ez az összefüggés izomorfizmus X^{∗}-ról (X ⟶ cs)-be, azaz

X^{∗} ≅ (X ⟶ cs)

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

7. oldal

Általános szummációs módszerek

Bizonyítás. f∈X^{∗} folytonossága miatt x∈X-re

f(x) = ∑_{n=0}^{∞} x_{n}f(δ^{n})

(2) alapján. Tehát (f(δ^{n})) ∈ (X ⟶ cs) definíció szerint, és a hozzárendelés nyilván izomorf. A szürjektivitás ellenőrzéséhez legyen u∈(X ⟶ cs), ∀n∈ℕ-re f_{n}(x) := ∑_{k=0}^{n} s_{k}u_{k}, így f_{n}∈X^{∗}

és f_{n} ⟶ f pontonként X-en, tehát a (teljes metrikus terekre vonatkozó) Banach–Steinhaus tétel szerint f folytonos. QED

Igaz az Abel-tétel általánosítása: 2.3. ∘Köv.. []Legyen az X egy FK-tér, akkor adott y sorozat esetén a Σx_{n}y_{n} sor pontosan akkor konvergens ∀x∈X mellett, ha y∈X^{∗}.

A következő állítást az előzőek alapján igazolom, és szintén a tételem általánosításához szükséges. 2.4. Állítás. [] Legyen X sorozattér AK-val és legyen Y egy másik sorozattér, melyre létezik j : X^{∗} ⟶ Y izometrikus izomorfia (X^{∗} ≅^{j} Y).

Ekkor f∈X^{∗}-ra ∥xy∥ = ∥f∥_{X^{∗}}, ahol y = j(f). Bizonyítás. X sorozattér AK-val, így (2) érvényes, következésképpen y = j(f)=(f(δ^{n}))_{n∈ℕ}-re

∥xy∥ = sup {|∑_{n=0}^{∞} x_{n}y_{n}| : x∈X, ∥x∥_{X} ≤1} = sup {|∑_{n=0}^{∞} x_{n}f(δ^{n})| : x∈X, ∥x∥_{X} ≤1} =

= sup {|f(x)| : x∈X, ∥x∥_{X} ≤1} = ∥f∥_{X^{∗}} (3)

QED

Most pedig lássunk néhány sorozatteret és duálisát – ezekre azért van szükség, hogy ne csak cs ⟶ cs szummációs módszereket tudjunk felírni (6) alakban.

2.i. ℓ_{p}, ℓ_{p}^{∗} (p≥1)

ℓ_{p} = \{x : ∥x∥_{p} < ∞\}, ahol ∥x∥_{p} := (∑_{n=0}^{∞} |x_{n}|^{p})^{\frac{1}{p}} 2.5. Állítás. [[Wil78, 2-3-5]] ℓ_{1}^{∗} ≅ ℓ^{∞} Bizonyítás. x = ∑ x_{k}δ^{k} ∈ ℓ_{1} (azaz ℓ_{1} AK) és ha f∈ℓ_{∞} f(x) = ∑ y_{k}x_{k} alakú, akkor y∈ℓ_{∞} (|y_{k}| = |f(δ^{k})| ≤ ∥f∥ · ∥δ^{k}∥_{1} = ∥f∥). Ugyanakkor |f(x)| ≤ ∥y∥_{∞} · ∑ |x_{k}|, így ∥f∥ ≤ ∥y∥_{∞}, tehát ∥f∥ = ∥y∥_{∞}. Megmutattuk, hogy az ℓ_{1}^{∗}∋f ↦ {f(δ^{k})}∈ℓ leképezés izometria.

Belátjuk, hogy szürjektív: Legyen y∈ℓ_{∞}, f(x) = ∑ y_{n}x_{n}, ekkor f∈ℓ_{1}^{∗}, hiszen |f(x)| ≤ ∥x∥_{1} · ∑ |y_{n}|, {f(δ^{n})} = y. QED 2.6. Állítás. [[Wil78, 2-3-6]] p>1-re ℓ_{p}^{∗} ≅ ℓ_{q} (\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1).

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

8. oldal

Bizonyítás. Legyen f(x) = ∑ y_{k}x_{k}, y_{k} = f(δ^{k}) ⟹ y∈ℓ_{q}, ugyanis y≠0 esetén rögzített m-re ∃i<m : y_{i}≠0;

u := (∑_{k=0}^{m} |y_{k}|^{q})^{\frac{1}{p}} x_{k} := \begin{cases}\frac{|y_{k}|^{q}}{u·y_{k}} , & k≤m \\ 0, & x>m \end{cases} így f(x) = (∑_{k=0}^{m} |y_{k}|^{q})^{\frac{1}{q}} ≤ ∥f∥

hiszen ∥x∥ =1. Tehát ∥f∥ ≥ ∥y∥_{q}. A Hölder-egyenlőtlenség |f(x)| ≤ ∥y∥_{q} · ∥x∥_{p}-t ad, azaz ∥f∥ ≤ ∥y∥_{q}, így az ℓ_{p}^{∗}∋f ↦ f(δ^{k})∈ℓ_{q} leképezés izometria.

Szürjektív is: y∈ℓ_{q}-ra legyen f(x) = ∑ y_{n}x_{n}, ekkor |f(x)| ≤ ∥x∥_{p} · ∑ |y_{n}|, {f(δ^{n})} = y. QED

2.ii. ℓ_{∞}, ℓ_{∞}^{∗}

a korlátos sorozatok tere a supnormával. Jelölje bfa(ℕ) a korlátos, végesen additív (μ(∅)=0, μ(S∪T) = μ(S)+μ(T), S∩T =∅) komplex értékű, ℕ-en értelmezett halmazfüggvények terét; a norma:

∥μ∥ := sup {∑_{i=0}^{n} |μ(E_{i})| : ℕ = ⋃_{i=0}^{n} E_{i}, E_{k}∩E_{l}=∅ (k≠l)}

2.7. Állítás. [[Wil78, 2-3-15]] ℓ_{∞}^{∗} ≅ bfa(ℕ)

Bizonyítás. f∈ℓ_{∞}^{∗}-ra legyen μ(S) := f(χ_{S}) (χ_{S} az S karakterisztikus függvénye) — ekkor μ végesen additív (χ_{S}+χ_{T} = χ_{S∪T} ha T ∩S=∅) és korlátos.

Sőt ∥μ∥ ≤ ∥f∥, ugyanis tekintsük az ℕ egy partícióját (ℕ = ∪^{∗}E_{i}) és legyen x_{n} := sgn μ(E_{k}) ahol n∈E_{k}. Ekkor ∥x∥_{∞} =1 és

∑_{i=0}^{∞} |μ(E_{i})| = ∑_{i=0}^{∞} x_{n_{i}}μ(E_{i}) = f(∑_{i=0}^{∞} x_{n_{i}}χ_{E_{i}}) ≤ ∥f∥ · ∥y∥ ≤^{1} ∥f∥

ahol y := ∑_{i=0}^{∞} x_{n_{i}}χ_{E_{i}}, 1: ∥y∥ ≤1.

Belátjuk, hogy a φ : f ⟶ μ leképezés szürjektív: legyen m_{0} a 0-1 sorozatok által feszített altér

ℓ_{∞}-ben (az egyszerű sorozatok tere — csak véges sok különböző értéket vesznek fel).

μ∈bfa(ℕ)-re legyen f(x) := ∑_{i=0}^{∞} x_{i}μ(E_{i}) ahol x_{i}∈E_{i} — ekkor f∈m_{0}^{∗} és ∥f∥ ≤ ∥μ∥, hiszen ∥x∥_{∞} ≤1 ⟹ |f(x)| ≤ ∑ |x_{i}|·|μ(E_{i})| ≤ ∥μ∥.

Mivel \overline{m_{0}}=ℓ_{∞}, ezért f-et kiterjeszthetjük ℓ_{∞}-re és írhatunk f∈ℓ_{∞}^{∗}-t — a μ-nek megfelelő f-et akár ∫_{ℕ} x dμ alakban is írhatjuk. Nyilván f(χ_{S})=μ(S), azaz φ(f)=μ. Láttuk, hogy ∥μ∥ = ∥f∥,

tehát az ℓ_{∞}^{∗} ⟶ bfa(ℕ) leképezés ekvivalencia.  QED

2.iii. c, c^{∗}

c a konvergens sorozatok tere a supnormával (c⊂ℓ_{∞}).

2.8. Állítás. []c^{∗} ≅ ℓ_{1}

Bizonyítás. x = (lim x)1 + ∑(x_{k}− lim x)δ^{k}, így a leképezés:

ℓ_{1}∋y ↦ f∈c^{∗},  f(x) := y_{1} lim x + ∑ y_{k+1}x_{k}
T : c^{∗}∋f ↦ y∈ℓ_{1},  y_{k+1} := f(δ^{k}), y_{1} := f(1)− ∑ f(δ^{k})

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

9. oldal

Kell: Ezen T : c^{∗} ⟶ ℓ_{1} lineáris leképezés szürjektív és izometrikus. Szürjektivitást adja az inverz leképezés; ∥T (f)∥_{1} = |f(1) − ∑ f(δ^{k})| + ∑ |f(δ^{k})| ≤ ∥f∥ = sup{|f(x)| : x∈c, ∥x∥ = sup |x_{n}| ≤ 1} triviális módon. A megfordítás:

Előállítás szerint a linearitás miatt f(x) = (lim x)f(1) + ∑(x_{k}− lim x)f(δ^{k}) ⟹ speciálisan egy lim x = (1 − ∑ f(δ^{k})) |x_{k} − lim x| = 1 sorozattal (∥x∥_{c} =1) |f(x)| ≤ ∥T (f)∥_{1}-et kapunk. Ilyen

sorozat például x_{n} := (1 − ∑ f(δ^{k})) + ε_{n}, ahol ε∈c_{0}, ∥ε∥_{∞} =1.  QED

2.iv. c_{0}, c_{0}^{∗}

a konvergens nullsorozatok tere a supnormával (c_{0}⊂c⊂ℓ_{∞}).

2.9. Állítás. [[Wil78, 2-3-4]] c_{0}^{∗} ≅ ℓ_{1}

Bizonyítás. [Wil78] Legyen x∈c_{0}, ekkor x = ∑ x_{k}δ^{k} (azaz c_{0} AK-tér), hiszen

∥x − ∑_{k=0}^{m} x_{k}δ^{k}∥_{∞} = sup{|x_{n}| : n>m} ⟶^{m⟶∞} 0.

Tehát f∈c_{0}^{∗}-re f(x) = ∑ y_{k}x_{k}, ahol y_{k}=f(δ^{k}) — megmutatjuk, hogy y∈ℓ_{1}: legyen m rögzített,

x_{n} := \begin{cases}sgn y_{n}, & n≤m \\ 0, & n>m \end{cases} így ∑_{n=0}^{m} |y_{n}| = ∑_{n=0}^{m} y_{n}x_{n} = f(x) ≤ ∥f∥

hiszen ∥x∥_{∞} =1. Tehát ∥f∥ ≥ ∥y∥_{1}. Ugyanakkor ∥x∥_{∞} ≤1 ⟹ |f(x)| = | ∑ y_{n}x_{n}| ≤ ∑ |y_{n}|, azaz ∥f∥ = ∥y∥_{1}. Megmutattuk, hogy a c_{0}^{∗}∋f ↦ f(δ^{k})∈ℓ_{1} leképezés izometria — emellett ráképezés is:

y∈ℓ_{1} esetén f(x) = ∑ y_{n}x_{n} ⟹ f∈c_{0}^{∗}, hiszen |f(x)| ≤ ∥x∥_{∞} · ∑ |y_{n}| és (f(δ^{k}))_{k∈ℕ}=y.  QED

A sorok és sorozatok megfeleltethetők egymásnak, a következő módon: jelölje σ : ω ⟶ ω; (σx)_{n} := ∑_{k=0}^{n} x_{k} (n∈ℕ) – ez lineáris bijekció a (σ^{−1}y)_{n} := y_{n}−y_{n−1} (n∈ℕ, y_{0} := 0) inverzzel.

2.v. bv, bv^{∗}

bv =^{def} {(x_{n})∈ω : ∑_{n=0}^{∞} |x_{n+1}−x_{n}| konvergens} a korlátos változású sorozatok tere. Ezen a téren ∑_{n=0}^{∞} |x_{n+1} − x_{n}| félnorma, ∥x∥ := |x_{0}| + ∑_{n=0}^{∞} |x_{n+1}−x_{n}| norma: háromszög-egyenlőtlenség, homogenitás következik az abszolutérték tulajdonságaiból; ∥x∥ =0 ⟺ x=0 is triviális.

bv Banach-tér, ugyanis x∈ω korlátos változású ⟺ σ^{−1}x∈ℓ_{1} és (az x_{0} := 0 megállapodás mellett) nyilván ∥x∥_{bv} = ∥σ^{−1}x∥_{1}, azaz σ^{−1}(bv) = ℓ_{1}, másképpen bv = σ(ℓ_{1}). Itt bv vektortér izomorf az ℓ_{1} vektortérre, σ izomorfizmus közöttük, így az ∥x∥ := ∥σx∥ (x∈bv) egyenlőséggel definiált ∥·∥ : bv ⟶ ℝ_{+} függvény norma bv-n, amellyel (bv, ∥·∥) Banach-tér.

2.10. Lemma. []x∈bv ⟹ ∃ lim_{n⟶∞} x_{n}, azaz bv ⊂ c.

A lim : ω ⟶ 𝕂 lineáris funkcionált bv-re megszorítva folytonos lineáris funkcionált kapunk.

Bizonyítás. Belátjuk, hogy Cauchy:

|x_{m} − x_{n}| = |( ∑_{k=0}^{m−1} x_{k+1}−x_{k}) − (∑_{l=0}^{n−1} x_{l+1}−x_{l})| ≤ | ∑_{k=0}^{m−1} |x_{k+1}−x_{k}| − ∑_{l=0}^{n−1} |x_{l+1}−x_{l}||

= |s_{m−1} − s_{n−1}| < ε

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

10. oldal

Hiszen s_{n} := ∑_{k=0}^{n} |x_{k+1}−x_{k}| Cauchy-sorozatot alkot.

Az állítás második fele következik abból, hogy | lim(x)| ≤ |x_{0}| + ∑_{k=0}^{∞} |x_{k+1}−x_{k}| = ∥x∥_{bv}

(lim(x) := lim_{n⟶∞} x_{n}).  QED

2.11. Állítás. []|x|:= | lim x| + ∑_{n=0}^{∞} |x_{n+1}−x_{n}| norma, mely ekvivalens ∥·∥_{bv}-vel (∥·∥ ∼ |·|).

Bizonyítás. Az abszolutérték tulajdonságaiból következik a homogenitás és a háromszög-egyen-lőtlenség; |x|=0 ⟹ x∈c_{0} és ∑_{n=0}^{∞} |x_{n+1}−x_{n}|=0 ⟺ x konstans sorozat, aminek limesze | lim_{n⟶∞} x_{n}|=0.

∥x∥ ∼ |x| ⟺_{def} ∃c_{1}, c_{2}>0 : c_{1}· ∥x∥ ≤^{1} |x|≤^{2} c_{2}· ∥x∥

1: lim(x) = x_{0} + ∑_{k=0}^{∞}(x_{k+1}−x_{k}) ⟹ x_{0} = lim(x) − ∑_{k=0}^{∞}(x_{k+1}−x_{k}), így ∥x∥_{bv} = |x_{0}| + ∑_{k=0}^{∞} |x_{k+1}−x_{k}| ≤ ∥x∥_{bv} + ∑_{k=0}^{∞} |x_{k+1}−x_{k}| ≤ 2 |x|, azaz c_{1}=\frac{1}{2} 2: | lim(x)| ≤ ∥x∥_{bv} figyelembevételével |x| ≤ ∥x∥_{bv} + ∑_{k=0}^{∞} |x_{k+1}−x_{k}| ≤ 2 ∥x∥_{bv}, azaz c_{2}=2

jó.  QED

2.12. Állítás. []bv^{∗} ≅ bs, ahol bs = {(a_{k})∈ω : sup_{n} |∑_{k=0}^{n} a_{k}|<∞} a korlátos részletösszegű sorok tere.

Bizonyítás. Dirichlet tétele: ha (b_{n}) korlátos változású nullsorozat és a Σa_{n} sor szeletei korlátos sorozatot alkotnak, akkor a Σa_{n}b_{n} sor is konvergens.

T^{−1} : bs∋y ↦ f∈bv^{∗}, f(x) := ∑_{n=1}^{∞} y_{n}(x_{n}− lim x) — a Dirichlet-tétel szerint konvergens, mert x_{n} korlátos változású, y_{n} pedig korlátos szeletű sort alkot. Tehát a függvény jóldefiniált.

Innen T : bv^{∗}∋f ↦ y∈bs, y_{k} := f(δ^{k}) lineáris, szürjektív, hiszen tetszőleges y∈bs-hez f :=

T^{−1}(y), erre T (f) = T (T^{−1}(y)) = f(δ^{k}) = ∑_{n=0}^{∞} y_{n}(δ_{n}^{k}− lim δ^{k}) = y_{k}.  QED

Jelölje bv_{0} a korlátos változású nullsorozatokat — bv_{0}⊂bv altér, sőt

2.13. Állítás. []bv_{0} = ℓ_{1}

Bizonyítás. Az eddigiek fényében triviális: tekintjsük a bv∋y ↦ x∈ℓ_{1}, x_{n} := y_{n+1}−y_{n}, x_{0} := 0 leképezést.

A másik irány: az y_{n+1} := ∑_{k=0}^{n} x_{n} (y_{0} := 0) képlet adja az inverz leképezést. Az izometria

(∥y∥_{bv} = ∥x∥_{1}) a definÍciókból következik az x_{0} := 0 konvencióval.  QED

2.14. ∘Köv.. []bv = ℓ_{1}⊕1 hiszen bv_{0} 1 kodimenziós altere bv-nek.

2.vi. cs, cs^{∗}

Jelölje cs := {a∈ω : (∑_{k=0}^{n} a_{k})_{n∈ℕ} ∈ c} a konvergens sorok terét – ez Banach-tér a supnormával: cs = σ^{−1}(c) = {a∈ω : Σa∈c}, így cs Banach-tér a ∥x∥_{cs} := ∥Σx∥_{c} = sup_{n} |∑_{k=0}^{n} x_{k}| normával, és cs ≅ c.

2.15. Állítás. [] cs^{∗} ≅ bv.

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

11. oldal

Bizonyítás. Legyen T : bv ⟶ cs^{∗}; y ↦ (f : x ↦ ∑_{n=0}^{∞} x_{n}y_{n}), itt f lineáris funkcionál, a 3.2

lemma biztosítja az f folytonosságát és a T lineáris leképezés normatartását.  QED

2.16. Állítás. []ℓ_{1}, cs terek AK-terek.

Bizonyítás. [Wil84, 59. oldal] x∈cs-re ∥x−x^{[n]}∥_{cs} = sup_{m} |∑_{k=n+1}^{m} x_{k}| ⟶^{n⟶∞} 0, tehát cs AKtér.

y∈ℓ_{1} esetén ∥y−y^{[n]}∥_{1} = ∑_{k=n+1}^{∞} |y_{k}| ⟶^{n⟶∞} 0, tehát ℓ_{1} AK-tér.  QED

3. Az általam kidolgozott módszer

Ebben a fejezetben igazolom tételem cs ⟶ cs alakját.

3.i. Előkészületek

Az elkövetkezőkben X, Y legyenek sorozatterek.

3.1. Definíció. []Egy (f_{n})_{n∈ℕ}, f_{n} : X ⟶ Y függvénysorozat egyenletesen korlátos változású, ha (∃C>0)(∀x∈X) ∥f_{n}(x)∥_{bv} < C.

3.1. Lemma. [] Legyen a∈cs, b∈bv, ekkor ab∈cs (a sorozatot mint a : ℕ ⟶ 𝕂; n ↦ a_{n} függvényt

kezelve), azaz Σa_{n}b_{n} konvergens. Emellett az A_{n} := ∑_{k=0}^{n} a_{k} (n∈ℕ) jelöléssel

lim(ab) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}b_{k} = ∑_{k=0}^{∞} A_{k}(b_{k+1}−b_{k}) + lim(Σa) · lim(b)  (4)

Bizonyítás. Az Abel-átrendezés szerint

∑_{k=0}^{n} a_{k}b_{k} = ∑_{k=0}^{n} A_{k}(b_{k+1}−b_{k}) + A_{n}b_{n+1}  (5)

a összegezhető sorozat, részletösszegeinek (A_{n}) sorozata korlátos, tehát b∈bv miatt a

ΣA_{k}(b_{k+1}−b_{k}) sor (abszolút) konvergens is. (4) következik bv⊂c felhasználásával (5)-ből.  QED

3.2. Lemma. [] Legyen b∈bv rögzített és tekintsük a

ψ : cs ⟶ 𝕂, ψ(x) := ∑_{n=0}^{∞} b_{n}x_{n}

lineáris funkcionált.

Ez folytonos (ψ∈cs^{∗}) és ∥ψ∥ = ∥b∥_{bv}.

Bizonyítás. Jelölje s_{n} := ∑_{k=0}^{n} x_{k}, ekkor

∥ψ∥ = sup {|∑_{n=0}^{∞} x_{n}b_{n}| : ∥x∥_{cs} ≤1} = sup {| lim_{n⟶∞} ∑_{k=0}^{n} x_{k}b_{k}| : ∥x∥_{cs} ≤1}

Az Abel-átrendezés szerint ∑_{k=0}^{n} x_{k}b_{k} = s_{n}·b_{n+1}+∑_{k=0}^{n−1} s_{k}(b_{k} −b_{k+1}), tehát |s_{k}|≤1-et felhasználva kapjuk, hogy ∥ψ∥ ≤ ∥b∥_{bv}.

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

12. oldal

A másik irány: b_{k+1}−b_{k}∈𝕂-hez ∃ε_{k}∈ℂ : b_{k+1}−b_{k} = |b_{k+1}−b_{k}|·\overline{ε_{k}}, továbbá legyen lim(b) = | lim(b)|·\overline{ε_{0}}. x^{(n)} := (ε_{1}, ε_{2}, . . , ε_{n}, ε_{0}, ε_{0}, …) ∈ c, ∥x^{(n)}∥_{c} =1, így y^{(n)} := σ^{−1}x^{(n)}-re ∥y^{(n)}∥_{cs} =1. Erre a sorozatra

ψ(y^{(n)}) = ∑_{k=0}^{n} |b_{k+1}−b_{k}| + ε_{0}· ∑_{k=n+1}^{∞}(b_{k+1}−b_{k}) + lim(x^{(n)})· lim(b), következésképpen

lim_{n⟶∞} ψ(y^{(n)}) = ∑_{k=0}^{∞} |b_{k+1}−b_{k}| + 0 + ε_{0}· lim(b) = |b|_{bv}

QED

3.2. Definíció. []Egy ζ : X ⟶ 𝕂 lineáris funkcionált szummációs funkcionálnak nevezünk, ha cs ⊂ Dom ζ ⊂ ω.

ζ szummációs funkcionál reguláris, ha ζ↾_{cs}= Σ_{cs}. x ∈ Dom ζ\cs-re jelölje \begin{matrix}∞ \\ ∑ & ζ \\ n=0 \end{matrix} x_{n} := ζ(x).

Legyen T topologikus tér, t_{0}∈T rögzített, Ṫ := T \{t_{0}}, φ_{n} : Ṫ ⟶ 𝕂 függvények egy sorozata (n∈ℕ) és jelölje φ(t) := {φ_{n}(t)}_{n∈ℕ}

3.3. Állítás. [] Az

A_{t}(a) := ∑_{n=0}^{∞} a_{n}φ_{n}(t) (a∈cs, t∈Ṫ)  (6)

egyenlőséggel definiált funkcionál pontosan akkor létezik (a szumma véges) adott t∈Ṫ mellett minden a∈cs sorozatra, ha φ(t) ∈ bv.

Bizonyítás. ⇒: Legyen t∈Ṫ rögzített, a feltevés szerint minden a∈cs-re létezik A_{t}(a)<∞, így speciálisan az a^{[n]} := a· ∑_{k=0}^{n} δ^{k} sorozatra is. Jelölje f_{n} := ∑_{k=0}^{n} a_{k}φ_{k}(t) (azaz f = a^{[n]}·φ(t)). Ekkor nyilván az {f_{n}}_{n∈ℕ}⊂cs^{∗} rendszer pontonként korlátos (cs felett), így az egyenletes korlátosság tétele szerint egyenletesen is korlátos:

∞ > sup_{n∈ℕ} ∥f_{n}∥ = sup_{n∈ℕ} sup_{∥a∥_{cs}≤1} |∑_{k=0}^{n} a_{k}φ_{k}(t)| = sup_{∥a∥_{cs}≤1} |∑_{n=0}^{∞} a_{n}φ_{n}(t)| = ∥A_{t}(a)∥ =

=^{3.2} ∥φ(t)∥_{bv} ⟺ φ(t)∈bv

⇐: A 2.15 állítás szerint cs^{∗} ≅ bv, így φ(t)∈bv, tehát a 3.1 lemma alapján A_{t}(a) < ∞. QED

3.4. ∘Megjegyzés. []Bár úgy tűnhet, a fenti bizonyítás mégsem használta ki a cs, bv terek speciális tulajdonságait – mint azt az általánosítás (5.3) is mutatja, az állítás következik az általánosabb 2.2 tételből.

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

13. oldal

Általános szummációs módszerek

3.ii. A módszer helyességének igazolása

3.3. Definíció. []A φ függvénysorozatot szummációs sorozatnak nevezzük egy a∈ω sorozatra nézve, ha ∃A_{t}(a) < ∞ és ∃ lim_{t⟶t_{0}} A_{t}(a) ∈ 𝕂. Ezt a határértéket \begin{matrix}∞ \\ ∑ & A_{φ} \\ n=0 \end{matrix} a_{n}-vel jelöljük (azaz

kapunk egy ζ : ω ⟶ 𝕂 lineáris funkcionált).

φ szummációs sorozat reguláris ha lim_{t⟶t_{0}} A_{t}(a) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n} (azaz lim_{t_{0}} A_{t} = Σ cs-n).

3.5. Tétel. [] Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy az (6) egyenlettel definiált {A_{t}}_{t⟶t_{0}} (általánosított) funkcionál-sorozat A limesze folytonos és lineáris funkcionál legyen a következő:

(i) sup_{t∈Ṫ} ∥φ(t)∥_{bv} < ∞, azaz φ egyenletesen korlátos változású Ṫ -n, (ii) φ_{n}-ek folytonosak t_{0}-ban ∀n∈ℕ-re. Ha azt szeretnénk, hogy A(a)=Σa (a∈cs) teljesüljön, akkor (ii) a következőképp módosul: (ii’) (∀n∈ℕ)(lim_{t⟶t_{0}} φ_{n}(t) = 1).

Bizonyítás. A Banach-Steinhaus tétel szerint a limesz létezéséhez szükséges és elegendő, hogy (a) supṪ ∥A_{t}∥ < ∞,

(b) ∃M⊂cs totális rendszer (\overline{⟨M⟩}=cs), melyre A_{t} ⟶ A pontonként az M-en. Azaz (i) ⟺ (a) a 3.2 lemma alapján;

Belátjuk, hogy az M := {a^{[n]} : a∈cs} finite sorozatok halmazán A_{t} ⟶^{t⟶t_{0}} A pontonként – ez elég, mert ⟨M⟩ (supnormában) sűrű cs-ben. Tehát rögzített a∈M-re

(∀ε>0)(∃U∈τ(t_{0}))(∀t∈U̇) : |∑_{k=0}^{n} a_{k}φ_{k}(t) − ∑_{k=0}^{n} a_{k}φ_{k}(t_{0})| = |∑_{k=0}^{n} a_{k}(φ_{k}(t)−φ_{k}(t_{0}))| < ε

azaz a (b) pontosan akkor teljesül, ha ∀n∈ℕ-re φ_{n} folytonos t_{0}-ban.

Ha most A↾_{cs}= Σ-t szeretnénk (permanencia), akkor (∀n∈ℕ)(lim_{t⟶t_{0}} φ_{n}(t) = 1) a megfelelő feltétel. QED

Az alkalmazásokhoz fogalmazzuk át a tételt c ⟶ c leképezésekre: b∈c-re

A_{t}(σ^{−1}b) = ∑_{n=0}^{∞}(b_{n+1}−b_{n})φ_{n}(t) = lim_{N⟶∞} ∑_{n=1}^{N} [b_{n}(φ_{n−1}(t)−φ_{n}(t))] − b_{0}φ_{0}(t) + b_{N+1}φ_{N}(t) =

= lim(b) lim(φ(t)) − b_{0}φ_{0}(t) − ∑_{n=1}^{∞} b_{n}·(σ^{−1}φ(t))_{n}

Tehát

B_{t}(b) := ∑_{n=0}^{∞} b_{n}ψ_{n}(t) = lim(b) ∑_{n} ψ_{n}(t) − A_{t}(σ^{−1}b)  (7)

alakú limesz-kiterjesztéseknél (φ(t) := σψ(t)-t használva, így φ_{0}≡0) ψ-re a szükséges feltételek:

3.6. Tétel. [] Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy a

B_{t}(b) := ∑_{n=1}^{∞} b_{n}ψ_{n}(t)

egyenlőséggel definiált {B_{t}}_{t⟶t_{0}} (általánosított) funkcionál-sorozat B limesze folytonos és lineáris funkcionál legyen a következők:

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

14. oldal

(i) sup_{t∈Ṫ} ∥ψ(t)∥_{1} < ∞, azaz a (ψ(t))_{n∈ℕ} sorozat egyenletesen ℓ_{1}-beli Ṫ -n, (ii) ∑_{k=0}^{n} ψ_{k}-nak folytonosnak kell lennie t_{0}-ban ∀n∈ℕ-re – ez teljesül például, ha ψ_{n} folytonos

t_{0}-ban ∀n∈ℕ-re. Ha azt szertnénk, hogy B(b)= lim b (b∈c) teljesüljön, akkor (ii) a következőképp módosul: (ii’) (∀n∈ℕ)(lim_{t⟶t_{0}} ∑_{k=0}^{n} ψ_{k}(t) = 1) és

Bizonyítás. Alkalmazzuk a 3.5 tételt σ^{−1}b-re: az (7) átrendezést használva látható, hogy ∥σψ∥_{bv} = ∥ψ∥_{1}, továbbá hogy ∑_{k=0}^{n} ψ_{n}(t)-t kell φ_{n}(t) helyére helyettesítenünk.

Az átrendezésből az is látható, hogy a permanencia feltétele:

lim_{t⟶t_{0}} A_{t}(σ^{−1}b) = lim_{t⟶t_{0}} ∑_{n=0}^{∞}(σ^{−1}b)_{n}(σψ(t))_{n} = 0

QED

4. A módszer alkalmazásai

A következőkben bemutatok néhány ismertebb szummációs módszert. Mivel majdnem minden ilyen eljárást valamilyen probléma megoldása hívott életre, ezért nagyon sok, lényegesen különböző módszer létezik (a kisebb eltérésűekről nem is beszélve). Igen részletekbe menő összefoglalást írt Hardy (lásd [Har49]) Divergent Series címmel. A későbbi eredményekről jó összefoglalás olvasható [Mad70]-ban.

Többek között az egyes módszerek ekvivalenciáját, erősségét, a módszercsalád a paramétertől való függését is lemezte ebben a könyvben.

4.i. Abel-szummáció

Legyen T a komplex sík egységkörén belül olyan tartomány, melyet a t_{0} := (1, 0) pontból szögtér határol (lásd 1. ábra) és jelölje Ṫ := T \t_{0}.

1. ábra. Az Abel-szummáció tartománya

4.1. Tétel. [Abel] Ha Σa_{n} konvergens, akkor

lim{z⟶t_{0} \atop z∈Ṫ} ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}

Bizonyítás. φ_{n}(z) := z^{n} (z∈T), ekkor ∥φ(z)∥_{bv} = 1 + ∑_{n=0}^{∞} |z^{n+1}−z^{n}| = 1 + |z−1|· ∑_{n=0}^{∞} |z^{n}| = \frac{|1−z|}{1−|z|}, így a T -t jellemző α, δ > 0-hoz ∃K(α, δ)∈ℝ_{+} : sup_{z∈Ṫ} ∥φ(z)∥_{bv} = K(α, δ) < ∞, azaz a 3.5

tétel alapján φ reguláris szummációs sorozat (φ_{n} nyilván folytonos a t_{0}-ban).  QED

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

15. oldal

Két speciális eset:

(λ_{n}) nemnegatív monoton növő divergens sorozatra jelölje f(x) := ∑_{n=0}^{∞} a_{n}e^{−λ_{n}x}. Azt mondjuk, hogy az Σa_{n} sor (A, λ)-szummábilis, ha ∃ lim_{x⟶0} f(x) – és ezt a számot az Σa_{n} sor (A, λ)- összegének nevezzük.

Komplex síkon legyen (a_{n}) olyan sorozat, melyre Σa_{n}e^{−λ_{n}z} konvergens a {z : ℜz>0} félsíkban. Jelölje f(z) := ∑_{n=0}^{∞} a_{n}e^{−λ_{n}z}. Ha ∃ lim\{f(z) : z ⟶ 0, |ℑz| ≤ ℜz· tan α szögtérben\} (0<α< \frac{π}{2}), akkor ezt a számot az Σa_{n} sor (A, λ, α)-összegének nevezzük

[Har49] Az Abel-összeget (valós eset) gyakran Poisson-szummációnak is nevezik, ugyanis Poisson használta Fourier sorok összegzésére. Ráadásul Euleren keresztül egészen Leibnizig visszakövethető ez a módszert.

4.ii. Riemann-szummáció

Legyen az f : ℝ ⟶ ℝ függvény értelmezve az x pont egy környezetében, és t∈ℝ szám. Jelölje

Δ_{t}f(x) := \frac{f(x+t) − f(x−t)}{2t}

az f függvény szimmetrikus differenciáját az x pontban. Az ḟ(x) := lim_{t⟶0} Δ_{t}f(x) határértéket szimmetrikus deriváltnak nevezzük. A következő állítás szerint az elnevezés jogos:

4.2. Állítás. []Ha az f függvény differenciálható az x pontban, akkor létezik a szimmetrikus deriváltja, és f′(x) = f̌(x).

Bizonyítás. Jelölje D_{h}f(x) := \frac{f(x+h)−f(x)}{t} az f függvény differenciáját az x pontban. f : ℝ ⟶ ℝ differenciálható x-ben ⟺ ∃ lim_{y⟶x} \frac{f(y)−f(x)}{y−x} =: f′(x) ⟺ ∃ lim_{h⟶0} D_{h}f(x).

Ha tehát ∃f′(x), úgy Δ_{t}f(x) = \frac{1}{2} · (D_{t}f(x) + D_{−t}f(x)) miatt ∃ḟ(x) = f′(x).  QED

4.3. Állítás. [] Tetszőleges G(x) 2-szer szimmetrikusan differenciálható (folytonos) függvényre

G̈(x) = lim_{h⟶0} \frac{G(x+h) − 2G(x) + G(x−h)}{h^{2}}

Bizonyítás. Δ_{h}Δ_{h}G(x) = \frac{\frac{G(x+2h)−G(x)}{2h} − \frac{G(x)−G(x+2h)}{−2h}}{2h} =\frac{1}{4h^{2}} ·(G(x+2h)−2G(x)+G(x−2h)) QED

Jelölje Δ_{h}^{2}G(x) := \frac{G(x+h)−2G(x)+G(x−h)}{h^{2}} a G függvény Riemann-differenciáját.

Legyen c(x) := ∑_{n=0}^{∞} c_{n}(x) egy (nem feltétlenül konvergens) trigonometrikus sor, melynek együtthatói korlátosak. Jelölje c_{n}(x) := a_{n} cos x + b_{n} sin x = c_{n}e^{inx}. Integráljuk kétszer a sort formálisan x szerint – kapunk egy mindenütt konvergens, folytonos

F (x) := ∑_{n=1}^{∞} (−\frac{a_{n}}{n^{2}} cos nx + \frac{b_{n}}{n^{2}} sin nx) = c_{0} \frac{x^{2}}{2} + ∑_{n=1}^{∞} \frac{c_{n}}{(in)^{2}} e^{inx}

Fourier-sort. Ez biztosan kétszeresen szimmetrikusan differenciálható, a következő tétel szerint jogosan nevezzük az így kapott F̈(x_{0}) sort az eredeti sor Riemann-összegének.

A 4.3 állítás alapján

Δ_{h}^{2}e^{ix} = \frac{e^{i(x+h)} − 2e^{ix} + e^{i(x−h)}}{h^{2}} = e^{ix}·\frac{4 sin \frac{h}{2}}{h^{2}} = e^{ix}·(\frac{sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} )^{2}, így

Δ_{2h}^{2}F (x) = c_{0} + ∑_{n=1}^{∞} c_{n}e^{inx} · (\frac{sin nh}{nh})^{2} ⟹ F̈(x) = lim_{t⟶0} ∑_{n=1}^{∞} c_{n}(x) · (\frac{sin nt}{nt})^{2}

2004. március 16.

16. oldal

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

Legyen T := [−1, 1], t_{0} := 0, Ṫ := T \t_{0}. A következő tétel szerint a fent leírt eljárás kiterjesztése Σ-nak.

4.4. Tétel. [Riemann] Ha Σa_{n} konvergens, akkor

lim_{t⟶0} ∑_{n=1}^{∞} a_{n}(\frac{sin nt}{nt})^{2} = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}

Bizonyítás. φ_{n}(t) := (\frac{sin nt}{nt})^{2} (most n=1, 2 …), ekkor

∥φ(t)∥_{bv} = |\frac{sin t}{t}|^{2} + ∑_{n=1}^{∞} |(\frac{sin((n+1)t)}{(n+1)t})^{2} − (\frac{sin nt}{nt})^{2}| ≤

≤ |\frac{sin t}{t}|^{2} + \frac{1}{t^{2}} · ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1}{(n+1)^{2}} + \frac{1}{n^{2}} ) ⟶^{t⟶0} C < ∞

φ_{n} nyilván folytonos t_{0}-ban.  QED

Sőt ezen állításnak egy kis általánosítása is igaz:

4.5. Állítás. []Ha Σa_{n} konvergens, akkor

lim_{t⟶0} ∑_{n=1}^{∞} a_{n}(\frac{sin nt}{nt})^{k} = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}

bármely k>1 számra.

Bizonyítás. Ugyanúgy φ_{n}(t) := (\frac{sin nt}{nt})^{k} (n = 1, 2, …), ekkor

∥φ(t)∥_{bv} = |\frac{sin t}{t}|^{k} + ∑_{n=1}^{∞} |(\frac{sin (n+1)t}{(n + 1)t})^{k} − (\frac{sin nt}{nt})^{k}| ≤

≤ |\frac{sin t}{t}|^{k} + \frac{1}{t^{k}} · ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1}{(n + 1)^{k}} + \frac{1}{n^{k}} ) ⟶^{t⟶0} C < ∞

QED

Ezen állítás alapján bevezethetjük az (R, k) k-adrendű Riemann-szummációt: egy Σa_{n} sort (R, k)-szummábilisnek mondunk, ha ∃ lim_{t⟶0} ∑_{n=1}^{∞} a_{n}(\frac{sin nt}{nt})^{k} =: s. Ebben az esetben ∑_{(R,k)} a_{n} := s a Σa_{n} sor (R, k)-összege.

4.iii. Toeplitz eredménye c ⟶ c mátrixokra

Egy A mátrix összegző, ha ∀x∈c-re Ax∈c; permanens, ha ∀x∈c sorozatra Ax = lim x. Mi a feltétele, hogy egy mátrix összegző, ill. permanens legyen?

Toeplitz 1911-ben szügséges és elegendő feltételt adott arra, hogy egy A-eljárás permanens legyen, azaz megválaszolta a kérdést A : c ⟶ c leképezésekre:

4.6. Tétel. [Silverman–Toeplitz, [Har49], [DS88]] Egy A = [a_{m,n}]_{m,n∈ℕ} mátrixszal adott operátor c-ből c-be képez (x∈c-re Ax := (∑_{n} a_{m,n}x_{n})_{m∈ℕ} ∈ c) pontosan akkor, ha teljesülnek a következők:

(i) sup_{m} ∑_{n} |a_{m,n}| < ∞, azaz a mátrix sorai egyenletesen ℓ_{1}-beliek,

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

17. oldal

(ii) ∃ lim_{m⟶∞} a_{m,n} =: γ_{n} (∀n∈ℕ), azaz a mátrix oszlopai c-beliek, (iii) ∃ lim_{m⟶∞} ∑_{n} a_{m,n} =: γ Ekkor ∑ γ_{n} abszolút konvergens és y := Ax-re

lim y_{n} = γ·(lim x_{n}) + ∑ γ_{n}(x_{n}− lim x_{n}) = (lim x)·(γ− ∑_{n} γ_{n}) + ∑_{n} γ_{n}x_{n}

T permanens ⟺ γ_{n}=0 (∀n∈ℕ) és γ=1.

Fogalmazzuk át a tételt cs ⟶ cs leképezésre (a σ leképezést használva ekvivalens állítást kapunk)!

4.7. Állítás. []Egy B = [b_{m,n}]_{m,n∈ℕ} mátrixszal adott operátor cs-ből cs-be képez (y∈cs-re By := (∑_{n} b_{m,n}y_{n})_{m∈ℕ} ∈ cs) pontosan akkor, ha teljesülnek a következők: (i’) sup_{m} ∑_{n} |b_{m,n}−b_{m,n+1}| < ∞, azaz a mátrix sorai bv-beliek, (ii’) ∃ lim_{m⟶∞}(b_{m,n}−b_{m,n+1}) =: γ_{n} (∀n∈ℕ), azaz a mátrix oszlopai c-beliek (iii’) ∃ lim_{m⟶∞}(b_{m,0}− lim_{n⟶∞} b_{m,n}) =: γ Ekkor ∑ γ_{n} abszolút konvergens és z := Ay-ra

lim z_{n} = γ·s + ∑ γ_{n}(s_{n}−s) = s·(γ− ∑_{n} γ_{n}) + ∑_{n} γ_{n}s_{n}

ahol s_{n} := ∑_{k=0}^{n} y_{n}, s := lim s_{n}.

Bizonyítás. y_{n} = x_{n+1}−x_{n}, x_{n} = ∑_{k=0}^{n} y_{k} alapján ∑_{n=0}^{N} a_{m,n} ∑_{k=0}^{n} y_{k} = ∑_{k=0}^{N} y_{k} ∑_{n=k}^{N} a_{m,n},

azaz b_{m,n} = ∑_{k=n}^{∞} a_{m,k} és így a_{m,n} = b_{m,n}−b_{m,n+1}.  QED

4.8. ∘Megjegyzés. []Az előző állítást átírhatjuk a 3.5 állításnak jobban megfelelő alakba is:

T := ℕ∪{∞}, t_{0} := ∞, φ_{n}(m) := b_{n,m}, így B = [φ_{n}(m)]_{m,n∈ℕ} mátrixszal adott operátor cs-ből cs-be képez (y∈cs-re By := (∑_{n} y_{n}φ_{n}(m)))_{m∈ℕ} ∈ cs) pontosan akkor, ha teljesülnek a következők: (i’) sup_{m} ∑_{n} |φ_{n}(m)−φ_{n+1}(m)| < ∞ ( ⟺ sup_{m} ∥φ(m)∥_{bv} < ∞) (ii’) ∃ lim_{m⟶∞}(φ_{n}(m)−φ_{n+1}(m)) =: γ_{n} (∀n∈ℕ) (⇐ ∃ lim_{m⟶∞} φ_{n}(m) (∀n∈ℕ)), (iii’) ∃ lim_{m⟶∞} ∑_{n}(φ_{n}(m)−φ_{n+1}(m)) = lim_{m⟶∞}(φ_{0}(m) − lim_{n} φ_{n}(m)) =: γ

(⇐ φ(m)∈bv miatt (∀m∈ℕ)(∃ lim_{n⟶∞} φ_{n}(m)))

Ez már következik a 3.5 tételből.

A következő néhány szummációs módszer mindegyike felírható alsó háromszögmátrix alakban, így t_{0} := ∞, T := ℕ∪{∞}.

4.iv. Poisson-szummáció

∑Poisson a_{n} := lim_{n⟶∞} \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} a_{k} ha létezik

A 3.5 tétel segítségével belátjuk, hogy ez egy reguláris szummációs funkcionál: φ_{n}(t) = \begin{cases}\frac{1}{n}, & n≤t \\ 0, & n>t \end{cases}

(most n = 1, 2, …) korlátos változású, ∥φ(t)∥_{bv} = 1 + ∑_{n=1}^{t} |\frac{1}{n+1} − \frac{1}{n} | ≤ 1 + ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} < ∞.

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

18. oldal

Ez megegyezik a (C, 1)-szummával.

A_{Poisson} = [\begin{matrix}1 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ ⋮ & ... & ... & ... \\ \frac{1}{m} & … & \frac{1}{m} & \frac{1}{m} & 0 \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ... & ... \end{matrix}]

4.v. Egyszerű, de általános szummáció [DS88]

Legyen (p_{n})_{n∈ℕ} ⊂ ℝ_{+} nemnegatív sorozat és jelölje P_{n} := ∑_{k=0}^{n} p_{k}. Adott x sorozatra mikor lesz az

y_{n} := \frac{1}{P_{n}} · ∑_{k=0}^{n} p_{k}x_{k}

egyenlőséggel definiált leképezés kiterjesztése Σ-nak?

Alkalmazzuk a 3.5 tételt T := ℕ∪\{∞\}, t_{0} := ∞, φ_{k}(t) := \begin{cases}\frac{p_{k}}{P_{t}} , & k≤t \\ 0, & k>t \end{cases} szereposztással. Ekkor

sup_{t∈Ṫ} ∥φ(t)∥_{bv} = sup_{t∈Ṫ} \{\frac{1}{P_{t}} · (|p_{0}| + ∑_{k=0}^{t} |p_{k+1} − p_{k}|)\} < ∞ ⟺ lim_{t⟶∞} P_{t} = ∞

A másik feltétel ((∀k∈ℕ) ∃ lim_{t⟶t_{0}} φ_{k}(t)) is nyilván teljesül, hiszen a p sorozat nemnegativitása miatt (P_{n})_{n∈ℕ} monoton növő sorozatot alkot, így lim_{t⟶t_{0}} φ_{k}(t) = lim_{t⟶∞} \frac{p_{k}}{P_{t}} = 0.

Ha p_{n}=1 (∀n∈ℕ), akkor épp a Cesàro (C, 1)-szummációt kapjuk.

A = [\begin{matrix}\frac{p_{0}}{P_{0}} & 0 \\ \frac{p_{0}}{P_{1}} & \frac{p_{1}}{P_{1}} & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ... \\ \frac{p_{0}}{P_{m}} & \frac{p_{1}}{P_{m}} & … & \frac{p_{m}}{P_{m}} & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ... & ... \end{matrix}]

4.vi. Cesàro (C, α)

Jelölje C_{0}^{β} := 1, C_{m}^{β} := \binom{m+β−1}{m} = \frac{1}{m!}·β(β+1) ⋯ (β+m−1) (m>0-ra). Ekkor

4.9. Állítás. []Adott x∈cs sorozatra az

y_{n} := \frac{1}{C_{n}^{α+1}} ∑_{k=0}^{∞} C_{n−k}^{α}s_{k}

egyenlőség (s_{k} := ∑_{i=0}^{k} x_{i}) permanens összegzést definiál minden α>0-ra.

Bizonyítás. Alkalmazzuk a 3.5 tételt T := ℕ∪{∞}, t_{0} := ∞,

φ_{k}(t) := \begin{cases}\frac{C_{t−k}^{α}}{C_{t}^{α+1}} , & k≤t \\ 0, & t>k \end{cases}

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

19. oldal

szereposztással. Ekkor ∥φ(t)∥_{bv} = |\frac{C_{t}^{α}}{C_{t}^{α+1}} | + ∑_{k=0}^{t} |\frac{C_{t−k−1}^{α}−C_{t−k}^{α}}{C_{t}^{α+1}} |, itt ∑_{k=0}^{t} C_{t−k−1}^{α} − C_{t−k}^{α} = ∑_{k=0}^{t} \frac{1}{(t−k)!}·α(α+1) ⋯ (α+t−k−2)·(α+t−k−1 − (t−k)) = ∑_{k=0}^{t} C_{t−k}^{α−1} = C_{t}^{α}

Tehát sup_{t∈Ṫ} ∥φ(t)∥_{bv} = sup_{t∈Ṫ} \{|\frac{2C_{t}^{α}}{C_{t}^{α+1}} |\} = sup_{t∈Ṫ} |2\frac{t+1}{α+t} | = 2  QED

lim_{t⟶t_{0}} φ_{n}(t) = lim_{m⟶∞} \frac{C_{m−n}^{α}}{C_{m}^{α+1}} = lim_{m⟶∞} \frac{m!}{(m−n)!} · \frac{α(α+1)···(α+m−n−1)}{α(α+1)···(α+m−1)} = 1, tehát a módszer reguláris (permanens).

A (C, 1)-szummációt először D. Bernoulli használta 1771-ben periodikusan oszcilláló soroza-

tokra (Leibniz speciális sorozatokra már 1713-ban használta). 1880, 1882-ben Frobeniusnál és Hölder-

nél is felfedezhetjük, 1890-ben Cesàro publikált ezen eljárás általánosításáról. [Har49]

A_{(C,α)} = [\begin{matrix}1 & 0 \\ \frac{C_{1}^{α}}{C_{1}^{α+1}} & \frac{1}{C_{1}^{α+1}} & 0 \\ \frac{C_{2}^{α}}{C_{2}^{α+1}} & \frac{C_{1}^{α}}{C_{2}^{α+1}} & \frac{1}{C_{2}^{α+1}} & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ... \\ \frac{C_{m}^{α}}{C_{m}^{α+1}} & \frac{C_{m−1}^{α}}{C_{m}^{α+1}} & … & \frac{1}{C_{m}^{α+1}} & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ... & ... \end{matrix}]

Könnyen belátható, hogy ∑_{n=0}^{m} C_{m−n}^{s}C_{n}^{r} = C_{m}^{s+r+1}, amiből következik, hogy ∑_{n} |a_{mn}| = ∑_{n} a_{mn} = 1 ∀m. Innen \frac{C_{m}^{r}}{m^{2}} ⟶^{m⟶∞} \frac{1}{Γ(r+1)}-t felhasználva következik, hogy rögzített n-re a_{mn} ⟶^{m⟶∞} 0. Tehát (C, r) mátrixa Toeplitz tulajdonságú, ha r≥0.

Mivel s>r esetén

C_{n}^{r} = ∑_{k=0}^{s−r}(−1)^{k}\binom{s−r}{k}C_{n−k}^{s}

így definiálhatjuk C_{n}^{r}-et negatív r-re is: r= − p, s=0 szereposztással C_{n}^{−p} = A_{n} − \binom{p}{1}A_{n−1} + \binom{p}{2}A_{n−2} − ⋯, ahol A_{n} := ∑_{k=0}^{n} a_{k} – azaz C_{n}^{−1} = A_{n}−A_{n−1} = a_{n}.

4.vii. Nörlund–szummáció

[Wil84, 32. oldal] Legyen p∈ω(ℂ), p_{1} := 0 és jelölje P_{n} := ∑_{k=0}^{n} p_{k}. Feltehető, hogy P_{n}≠0. Mikor lesz az

y_{n} := \frac{1}{P_{n}} ∑_{k=0}^{n} p_{n−k}x_{k}

egyenlőséggel definiált leképezés kiterjesztése Σ-nak?

A_{Nörlund} = [\begin{matrix}\frac{p_{0}}{P_{0}} & 0 \\ \frac{p_{1}}{P_{1}} & \frac{p_{0}}{P_{1}} & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ... \\ \frac{p_{m}}{P_{m}} & \frac{p_{m−1}}{P_{m}} & … & \frac{p_{0}}{P_{m}} & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ... & ... \end{matrix}]

4.10. Állítás. []Az A_{Nörlund} = (N, p) Nörlund-mátrix pontosan akkor konzervatív (kiterjesztése Σ-nak), ha teljesülnek a következők:

(i) (∃M>0)(∀n∈ℕ) ∑_{k=0}^{n} |p_{n−k} − p_{n−k+1}| ≤ M|P_{n}|,

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

20. oldal

(ii) ∃ lim_{n⟶∞} \frac{p_{n}}{P_{n}} =: λ. A módszer pontosan akkor reguláris (permanens), ha (i),(ii) mellett λ=0 is teljesül.

Bizonyítás. Alkalmazzuk a 3.5 tételt T := ℕ∪{∞}, t_{0} := ∞,

φ_{k}(t) := \begin{cases}\frac{p_{t−k}}{P_{t}} , & k≤t \\ 0, & k>t \end{cases}

szereposztással. Ekkor

sup_{t∈Ṫ} ∥φ(t)∥_{bv} = sup_{t∈Ṫ} \{\frac{1}{P_{t}} · (|p_{t}| + ∑_{k=0}^{t} |p_{t−k} − p_{t−k+1}|)\} < ∞ ⟺ (i)

φ_{n} folytonos t_{0}-ban ⟺ ∃ lim_{t⟶t_{0}} \frac{p_{t−n}}{P_{t}}. Ugyanakkor

φ_{n+1}(t) = \frac{p_{t−n−1}}{P_{t}} = \frac{p_{t−n−1}}{P_{t−1}} · \frac{P_{t−1}}{P_{t}} = φ_{n}(t−1)·(1 − \frac{p_{t}}{P_{t}} ) ⟶^{t⟶t_{0}} φ_{n}(t_{0})·(1−λ)

Azaz φ_{0}(t) = \frac{p_{t}}{P_{t}} = 1 − \frac{P_{t−1}}{P_{t}} alapján

φ_{n+1}(t_{0}) = φ_{n}(t_{0})·(1−λ) = φ_{0}(t_{0})·(1−λ)^{k+1} = λ(1−λ)^{k+1}

Következésképpen ∃ lim_{t⟶t_{0}} φ_{n}(t) ⟺ ∃ lim_{t⟶t_{0}} φ_{0}(t) = lim_{n⟶∞} \frac{p_{n}}{P_{n}} = λ.

Tehát az (N, p) Nörlund-szummáció pontosan akkor reguláris (permanens), ha λ = 0.  QED

A Nörlund mátrixok könnyen manipulálhatóak a p(z) := ∑_{n=0}^{∞} p_{n}z^{n} = (1−z)P (z) formális hatványsor segítségével, ahol P (z) := ∑_{n=0}^{∞} P_{n}z^{n}.

Legyen például p(z) = (1−z)^{−1}, ekkor p=1, (N, p) = (C, 1). Ha α∈ℕ, akkor p(z) := (1−z)^{−α} = ∑ \binom{n+α−1}{n}z^{n} mellett P (z) = \frac{p(z)}{1−z} = (1−z)^{−α−1} = ∑ \binom{n+α}{n}z^{n}, tehát (N, p) = (C, α).

Ha α∈ℝ, úgy kihasználva, hogy ∑_{k=1}^{t} C_{t−k}^{α} = C_{t}^{α+1} látható, hogy p_{k} := C_{k}^{α} esetén éppen egy Nörlund-szummációt kapunk.

4.viii. Hölder-szummáció

Σa_{n} sorra H_{n}^{0} := ∑_{k=0}^{n} a_{k}, H_{n}^{r+1} := \frac{1}{n+1} ∑_{k=0}^{n} H_{k}^{r} és azt mondjuk, hogy ha ∃ lim_{n⟶∞} H_{n}^{k} =: A, akkor a Σa_{n} sor (H, k)-szummábilis és ∑_{(H,k)} a_{n} := A.

Szokás (H, 0)-t a Cauchy-féle konvergenciának tekinteni. Nyilván (H, 1) = (C, 1).

H_{n}^{r+1} = \frac{1}{n+1} ∑_{m=0}^{n} H_{m}^{r}, ez a rekurziós lépés azon H alsó háromszög-mátrix alkalmazását jelenti, amelyre

H(i, j) := \begin{cases}\frac{1}{i}, & j≤i \\ 0, & különben \end{cases} (1≤i, j) azaz H = [\begin{matrix}1 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ ⋮ & & ... & ... \\ \frac{1}{m} & \frac{1}{m} & … & \frac{1}{m} & 0 \\ ⋮ & & & & ... & ... \end{matrix}]

Mivel H_{n}^{0} = ∑_{k=0}^{n} a_{k}, ezért ez másik mátrixot jelent: A a csupa 1-esekből álló alsó háromszögmátrix.

A = [\begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ ⋮ & & ... & ... \end{matrix}]

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

21. oldal

Tehát (H, 0) megfelel az A mátrix által megadott szummációs módszernek, (H, k) pedig a H^{k}A mátrix indukálta módszernek. Mivel mind az A-szummáció, mind a H-szummáció reguláris, ezért a (H, k)-szummáció is az.

4.ix. Euler-szummáció

Σa_{n} sor (E, 1)-szummábilis, ha ∃s := ∑_{n=0}^{∞} \frac{b_{n}}{2^{n+1}} < ∞, ahol b_{n} := ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a_{k}. Ekkor ∑_{(E,1)} a_{n} := s.

p_{k} := \binom{n}{k}-val épp egy Nörlund-szummációt kapunk, tehát (E, 1) is reguláris (permanens) szummáció.

A_{Euler} = [\begin{matrix}\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{1}{8} & \frac{2}{8} & \frac{1}{8} & 0 \\ ⋮ & ⋮ & & ... & ... \\ ⋮ & ⋮ & & & ... & ... \\ ⋮ & ⋮ & & & & ... & ... \\ \frac{1}{2^{m+1}} & \frac{m}{2^{m+1}} & \frac{\binom{m}{2}}{2^{m+1}} & … & \frac{\binom{m}{m−2}}{2^{m+1}} & \frac{m}{2^{m+1}} & \frac{1}{2^{m+1}} & 0 \\ ⋮ & ⋮ & & & & & & ... & ... \end{matrix}]

4.x. Borel mátrix

Tekintsük a következő Toeplitz-mátrixot: a_{k}(t) = e^{−t}·\frac{t^{k}}{k!} (k∈ℕ, t>0). Ez megegyezik a φ_{k}(t) := e^{−t}·\frac{t^{k}}{k!} által (6) formában megadott szummációval.

Alkalmazzuk most Toeplitz tételét (4.6) az A_{Borel} ℝ_{+} sorú és ℕ oszlopú mátrixra (megtehetjük –

akár az eredeti bizonyítás szerint, akár az itt leírt a 3.5 tételre való visszavezetés szerint), ekkor a_{k}(t) ≥ 0,

a_{k}(t) ⟶^{t⟶∞} 0, ∑ |a_{k}(t)| = ∑ a_{k}(t) = 1, azaz minden feltétel teljesül, a Borel-mátrix reguláris.

4.xi. Fourier-sorok által inspirált eljárások [Har49]

s_{n}(θ) := ∑_{k=0}^{n} cos kθ = \frac{sin (n+ \frac{1}{2} )θ}{2 sin \frac{θ}{2}} = D_{n}(θ) alapján

t_{m}(θ) := ∑ c_{m,n}D_{n}(θ) (C, 1)-összege  ∑_{(C,1)} t_{m}(θ) = \frac{1}{2(m+1)}·(\begin{matrix}sin & \frac{1}{2}(m+1)θ \\ sin & \frac{1}{2}θ \end{matrix} )^{2}
t_{m}(x, θ) := ∑ c_{n}(x)D_{n}(θ) Abel-összege  ∑_{Abel} t_{m}(r, θ) = \frac{1 − r^{2}}{2(1−2r cos θ + r^{2})}

Mindkét sorösszeg nemnegatív, m⟶∞ esetén 0-hoz tart egyenletesen (−π, π) minden 0-t nem tartalmazó zárt részintervallumán.

Hasonló tulajdonságokkal bír t_{m}(θ) := \frac{1}{2^{m+1}} ·\frac{Γ(m+1)·\sqrt{π}}{Γ(m+ \frac{1}{2} )} ·(1 + cos θ)^{m}, itt (1 + cos θ)^{m} = 2^{1−m}·\frac{2m!}{(n!)^{2}} · (\frac{1}{2} + \frac{m}{m+1} cos θ + \frac{m(m−1)}{(m+1)(m+2)} cos 2θ + ⋯). Innen kapjuk de la Vallée– Poussin definícióját: ∑ a_{n} = lim_{m⟶∞} (a_{0} + \frac{m}{m+1}a_{1} + \frac{m(m−1)}{(m+1)(m+2)}a_{2} + ⋯), így t_{m} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(m!)^{2}}{(m−k)!·(m+k)!} · s_{k}.

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

22. oldal

Azaz φ_{n}(m) := \frac{(m!)^{2}}{(m−n)!·(m+n)!} definícióval (6) alakú felírását kaptuk a

de la Vallée–Poussin-szummációnak, ez reguláris a 3.5 tétel alapján: Ṫ := ℕ, t_{0} := {∞},

sup_{t∈Ṫ} ∥φ(t)∥ = sup_{m∈ℕ∪\{∞\}} \{\frac{(m!)^{2}}{m!·m!} + ∑_{n=0}^{m−1} |\frac{m(m−1) ⋯ (m−n+1)}{(m + 1) ⋯ (m + n)} − \frac{m(m−1) ⋯ (m−n)}{(m + 1) ⋯ (m + n + 1)}|\}

≤^{1,2} sup_{m∈ℕ∪\{∞\}} \{1 + \frac{m}{m + 1}\} = 2

ahol 1: \frac{m(m−1)···(m−n+1)}{(m+1)···(m+n)} − \frac{m(m−1)···(m−n)}{(m+1)···(m+n+1)} = \frac{m(m−1)···(m−n+1)·(2n+1)}{(m+1)(m+2)···(m+n+1)} ≤ (2n+1)·\frac{m^{n}}{(m+1)^{n}}; 2: ∑_{n=0}^{m−1} \frac{2n+1}{m+1}·(\frac{m}{m+1})^{n} ≤ \frac{1}{m+1}

Ugyanakkor ∃ lim_{m⟶∞} φ_{n}(m) = lim_{m⟶∞} \frac{m(m−1)···(m−n+1)}{(m+1)···(m+n)} = 1

A_{de la Vallée–Poussin} = [\begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & \frac{2}{3} & \frac{2}{12} & 0 \\ ⋮ & & & ... & ... \\ 1 & \frac{m}{m+1} & \frac{m(m−1)}{(m+1)(m+2)} & … & \frac{m(m−1)···(m−m+1)}{(m+1)(m+2)···(m+m)} & 0 \\ ⋮ & ⋮ & & & & ... & ... \end{matrix}]

5. Általánosítások

5.i. A módszerem általánosítása

A következőkben belátjuk, hogy a 3.5 tételben nem sok szerepe van a konkrét sorozattérnek (csnek), bizonyos feltételek mellett általánosíthatunk.

S^{∗} természetesen továbbra is az S tér topologikus duálisát jelöli, de ha ez izometrikusan izomorf egy T sorozattérrel, akkor ezt a T sorozatteret is S^{∗}-al jelöljük. Tehát S^{∗} elemeit folytonos lineáris funkcionálként és sorozatként is tekinthetjük.

5.1. Állítás. [] Legyen S sorozattér AK-tér, T topologikus tér, t_{0}∈T rögzített, Ṫ := T \{t_{0}}. Az

A_{t}(a) := ∑_{n=0}^{∞} a_{n}φ_{n}(t) (a∈ω, t∈Ṫ)  (8)

egyenlőséggel definiált funkcionál pontosan akkor létezik (a szumma véges) adott t∈Ṫ mellett minden a∈ω sorozatra, ha φ(t) ∈ S^{∗} – azaz a φ(t) sorozat eleme az S^{∗} térrel izometrikusan izomorf sorozattérnek.

Bizonyítás. Az állítás következik a 2.2 tételből.  QED

5.2. Lemma. [] ∃c, C > 0 : ∀t∈Ṫ c· ∥φ(t)∥_{S^{∗}} ≤ ∥A_{t}∥ ≤ C· ∥φ(t)∥_{S^{∗}}.

Bizonyítás. A 2.4 állítás alapján ∥A_{t}∥ = sup {|∑_{n=0}^{∞} a_{n}φ_{n}(t)| : a∈ω, ∥a∥_{S} ≤1} = ∥φ(t)∥_{S^{∗}}  QED

5.3. Tétel. [] Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy az (8) egyenlettel definiált {A_{t}}_{t⟶t_{0}} (általánosított) funkcionál-sorozat A limesze folytonos és lineáris funkcionál legyen a következők:

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

23. oldal

Általános szummációs módszerek

(i) sup_{t∈Ṫ} ∥φ(t)∥_{S^{∗}} < ∞, azaz φ egyenletesen S^{∗}-korlátos Ṫ -n, (ii) φ_{n}-ek folytonosak t_{0}-ban ∀n∈ℕ-re. Ha azt szeretnénk, hogy A(a)=Σa (a∈ω) teljesüljön, akkor (ii) a következőképp módosul: (ii’) (∀n∈ℕ)(lim_{t⟶t_{0}} φ_{n}(t) = 1).

Bizonyítás. A Banach-Steinhaus tétel szerint szükséges és elegendő, hogy

(a) supṪ ∥A_{t}∥ < ∞,

(b) ∃M⊂S totális rendszer (\overline{⟨M⟩}=S), melyre A_{t} ⟶ A pontonként az M-en. Azaz (i) ⟺ (a) az 5.2 lemma alapján;

Belátjuk, hogy az M := {a^{[n]} : a∈ω} finite sorozatok halmazán A_{t} ⟶^{t⟶t_{0}} A pontonként – ez elég, mert ⟨M⟩ ∥·∥_{S}-ban sűrű S-ben (feltettük, hogy S AK-tér). Tehát rögzített a∈M-re

(∀ε>0)(∃U∈τ(t_{0}))(∀t∈U̇) : |∑_{k=0}^{n} a_{k}φ_{k}(t) − ∑_{k=0}^{n} a_{k}φ_{k}(t_{0})| = |∑_{k=0}^{n} a_{k}(φ_{k}(t)−φ_{k}(t_{0}))| < ε

azaz (b) pontosan akkor teljesül, ha ∀n∈ℕ-re φ_{n} folytonos t_{0}-ban.

Ha most A↾_{S}= Σ-t szeretnénk (permanencia), akkor (∀n∈ℕ)(lim_{t⟶t_{0}} φ_{n}(t) = 1) a megfelelő

feltétel.  QED

5.i.1. A 4.12 lemma néhány realizációja Lássuk tehát néhány realizációját az 5.2 lemmának: mivel

∥A_{t}∥ = sup_{t∈Ṫ} {|∑_{n=0}^{∞} a_{n}φ_{n}(t)| : a∈ω, ∥a∥_{S} ≤1}

ezért elegendő |∑_{n=0}^{∞} a_{n}φ_{n}(t)| = lim_{N⟶∞} |∑_{n=0}^{N} a_{n}φ_{n}(t)|-t becsülni ∥φ(t)∥_{S^{∗}}-al.

5.4. Állítás. [5.2 lemma ℓ_{1}-re] ∥A_{t}∥ = ∥φ(t)∥_{ℓ_{∞}} (A_{t} : ℓ_{1} ⟶ 𝕂)

Bizonyítás. A felső becslés:

|∑_{n=0}^{N} a_{n}φ_{n}(t)| ≤ ∑_{n=0}^{N} |a_{n}|·|φ_{n}(t)| ≤ (sup_{n} |φ_{n}(t)|)· ∑_{n=0}^{N} |a_{n}| ⟶^{N⟶∞} ∥φ(t)∥_{∞} · ∥a∥_{1}.

Másik irányhoz legyen ε>0, H_{ε} := {n∈ℕ : |φ_{n}(t) − ∥φ(t)∥|_{∞} < ε}, H_{ε}[m] a H_{ε} egy m elemű részhalmaza és legyen a_{n}^{(ε,m)} := \begin{cases}\frac{1}{m}, & n∈H_{ε}[m] \\ 0, & különben \end{cases}

Ekkor (a_{n}^{(ε,m)})∈ℓ_{1}, ∥a^{(ε,m)}∥_{1} = 1 és |∑_{n=0}^{∞} a_{n}^{(ε,m)}φ_{n}(t) − ∥φ(t)∥_{∞}| < ε, ha m elég nagy.

ε ⟶ 0, m ⟶ ∞.  QED

5.5. Állítás. [5.2 lemma bv-re] ∥A_{t}∥ = ∥φ(t)∥_{bs} (A_{t} : bv ⟶ 𝕂)

Bizonyítás. ∑_{n=0}^{N} a_{n}φ_{n}(t) = ∑_{n=0}^{N} a_{0}φ_{n}(t) + ∑_{n=0}^{N} ∑_{k=1}^{n}(a_{k}−a_{k−1})·b_{n} így

|∑_{n=0}^{∞} a_{n}φ_{n}(t)| ≤ lim_{N⟶∞} |a_{0}|·|∑_{n=0}^{N} φ_{n}(t)| + ∑_{n=0}^{N} |φ_{n}(t)| · ∑_{k=1}^{n} |a_{k}−a_{k−1}| ≤

≤ |a_{0}|· ∥φ(t)∥_{bs} + ∥a∥_{bv} · ∥φ(t)∥_{bs}

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

24. oldal

Másik irányhoz legyen ε>0, H_{ε} := {n∈ℕ : |φ_{n}(t) − ∥σ(φ(t))∥_{∞}| < ε}, H_{ε}[m] a H_{ε} egy m elemű

részhalmaza és legyen a_{n}^{(ε,m)} := \begin{cases}\frac{1}{m}, & n∈H_{ε}[m] \\ 0, & különben \end{cases} és legyen a_{m+1}^{(ε,m)} − a_{m+2}^{(ε,m)} := 1 − ∥(a^{(ε,m)})^{[m]}∥_{bv}.

Ekkor (a_{n}^{(ε,m)})∈bv, ∥a^{(ε,m)}∥_{bv} = 1 és |∑_{n=0}^{∞} a_{n}^{(ε,m)}φ_{n}(t) − ∥φ(t)∥_{bs}| < ε, ha m elég nagy.

ε ⟶ 0, m ⟶ ∞.  QED

5.6. Állítás. [5.2 lemma ℓ_{2}-re] ∥A_{t}∥ = ∥φ(t)∥_{ℓ_{2}} (A_{t} : ℓ_{2} ⟶ 𝕂)

Bizonyítás. |∑_{n=0}^{∞} a_{n}φ_{n}(t)| ≤ ∥a∥_{ℓ_{2}} · ∥\overline{φ(t)}∥_{ℓ_{2}} a Cauchy-Bunyakovszkij-Schwartz egyenlőtlenség szerint.

A másik irányhoz legyen a_{n} := \overline{φ_{n}(t)}, ekkor (a_{n})∈ℓ_{2}, ∥a∥_{ℓ_{2}} = ∥φ(t)∥_{ℓ_{2}} és |∑_{n=0}^{∞} a_{n}φ_{n}(t)| =

∥φ(t)∥_{ℓ_{2}}^{2} = ∥a∥_{ℓ_{2}} · ∥φ(t)∥_{ℓ_{2}}.  QED

5.7. Állítás. [5.2 lemma ℓ_{p}-re] ∥A_{t}∥ = ∥φ(t)∥_{ℓ_{q}} (A_{t} : ℓ_{p} ⟶ 𝕂, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1, 1<p<∞)

Bizonyítás. A Hölder-egyenlőtlenség szerint |∑_{n=0}^{∞} a_{n}φ_{n}(t)| ≤ ∥a∥_{ℓ_{p}} · ∥φ(t)∥_{ℓ_{q}}.

A másik irányhoz legyen a_{n} := \begin{cases}\frac{|φ_{n}(t)|^{q}}{u} , & k≤m \\ 0, & k>m \end{cases} ahol u := (∑_{k=0}^{m} |φ_{k}(t)|^{q})^{\frac{1}{p}}.

Ekkor ∥a∥_{ℓ_{p}} =1 és |∑_{n=0}^{∞} a_{n}φ_{n}(t)| ≥ ∥φ(t)∥_{ℓ_{q}}.  QED

5.8. Állítás. [5.2 lemma c-re] ∥A_{t}∥ = ∥φ(t)∥_{1} (A_{t} : c ⟶ 𝕂)

Bizonyítás. |∑_{n=0}^{∞} a_{n}φ_{n}(t)| ≤ (sup_{n∈ℕ} |a_{n}|)· ∑_{n=0}^{∞} |φ_{n}(t)| = ∥a∥_{c} · ∥φ(t)∥_{1}.

A másik irányhoz legyen a_{n} := sgn φ_{n}(t) (𝕂=ℝ) vagy a_{n} := \sqrt{\frac{\overline{φ_{n}(t)}}{φ_{n}(t)}} (𝕂=ℂ), ekkor ∥a∥_{c} =1,

∑_{n=0}^{∞} a_{n}φ_{n}(t) = ∑_{n=0}^{∞} |φ_{n}(t)| = ∥φ∥_{1}.  QED

5.ii. Egy messzemenő általánosítás

Legyen X egy tér, μ egy ezen értelmezett mérték és tekintsük a következő A : F ⟶ F operátort:

A_{f}(x) := ∫_{X} A (x, y) ·f(y) dμ(y)

Ezen operátort szummációs eljárásnak mondjuk, ha van az értelmezési tartománynak olyan altere, melyet A helyben hagy. Természetes kérdés, hogy ha adott egy ilyen szummációs eljárás, akkor azt meddig lehet kiterjeszteni?

F : L_{2} ⟶ L_{2} Fourier-operátor,

A_{f}(x) := ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{x−y} ·f(x) dy Hilbert-transzformáció

ahol az integrált Cauchy-főértékben értjük. Igazolható, hogy ha f∈ Lip (α) (0<α<1), akkor ezen integrál Cauchy-főértékben létezik, sőt A_{f} = f.

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

25. oldal

Általános szummációs módszerek

Hivatkozások

[DS88] Nelson Dunford and Jacob T. Schwartz, Linear Operators, Wiley Classics Library Edition, vol. 1, John Wiley & Sons, 1988.

[Gam] R. V. Gamkrelidze (ed.), Analysis i., EMS, vol. 13. [Gyö71] Pál László György, Ortogonális függvénysorok, ELTE Tankönyvkiadó Budapest, 1971.

[Har49] G. H. Hardy, Divergent series, Oxford University Press, 1949.

[Mad70] Ivor J. Maddox, Elements of Functional Analysis, Cambridge University Press, 1970.

[Mad80] , Infinite Matrices of Operators, Lecture Notes in Mathematics, vol. 786, Springer-Verlag, 1980.

[Ruc81] William H. Ruckle, Sequence spaces, Research notes in Mathematics, vol. 41, Pitman Publishing Limited, London, 1981, C16411.

[Wil78] Albert Wilansky, Modern Methods in Topological Vector Spaces, McGraw-Hill, 1978, C16204.

[Wil84] , Summability through functional analysis, North-Holland mathematics studies, vol. 85, North-Holland – Amsterdam, 1984, C16683.

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

26. oldal

A. Alapfogalmak, jelölések:

𝕂 := ℝ v. ℂ, ℝ_{+} = {x∈ℝ : x≥0}, ℝ^{+} := ℝ_{+}\{0}.

X 𝕂 feletti vektortér (vektortér) az alaptér ℕ a természetes számok halmaza, 0 számmal kezdődően; Az összegzések 0-al kezdődnek és az indexbeli változóra történnek – kivéve ha ki van írva. ω(X) := F(ℕ, X) az X vektortér feletti sorozatok vektortere – a dolgozatban számsorozatokkal

foglalkozunk, így X=𝕂, ω := ω(𝕂).

a, b, x, y általában sorozatot jelöl, mint függvény – de x(n) helyett x_{n}-et írunk sup_{n} := sup_{n∈ℕ}, lim x := lim_{n∈ℕ} x_{n}. ℓ_{p} := \{x∈ω : ∥x∥_{p} := (∑_{n=0}^{∞} |x_{n}|^{p})^{\frac{1}{p}} < ∞\} Banach-tér ℓ_{∞} := {x∈ω : ∥x∥_{∞} := sup_{n} |x_{n}| < ∞} a korlátos sorozatok Banach-tere c := {x∈ω : ∃ lim x} a konvergens sorozatok Banach-tere (a supnormával) c_{0} := {x∈c : lim x = 0} a konvergens nullsorozatok Banach-tere a supnormával cs := {x∈c : (∑_{k=0}^{n} x_{k})_{n∈ℕ} ∈ c} a konvergens sorok tere a ∥x∥_{cs} := sup_{n} |∑_{k=0}^{n} x_{k}| normával bv := {(x_{n})∈ω(X) : ∑_{n=0}^{∞} |x_{n+1}−x_{n}| konvergens} a korlátos változású sorozatok tere az

∥x∥_{bv} = |x_{0}| + ∑_{n=0}^{∞} |x_{n+1}−x_{n}|-normával bv_{0} := bv ∩ c_{0} a korlátos változású nullsorozatok tere a ∥·∥_{bv}-normával bs := {a∈ω : sup_{n} |∑_{k=0}^{n} a_{k}|<∞} a korlátos részletösszegű sorok tere bfa(ℕ)(X) legyen a korlátos, végesen additív, komplex értékű, X-en értelmezett halmazfügg-

vények tere a ∥μ∥ := sup {∑_{i=0}^{n} |μ(E_{i})| : X = ∪^{∗}_{i=0}^{n}E_{i}} normával.

δ^{n} az a sorozat, mely mindenütt 0, kivéve az n helyen, ahol 1 (δ_{k}^{n} = δ_{nk} Kronecker-szimbólum). Általában a sorozatot kis latin betű jelöli, alul indexelve a sorozat elemei.

A mátrix elemei általában a_{ik}-k, de ugyanezt jelöli A(i, k) is.

2004. március 16.

Készítette: Gulácsi Tamás Témavezető: Czách László docens

27. oldal