Tartalomjegyzék

1 Előszó 2 2 Az eredendő probléma 4 3 Ismerkedés a fogalmakkal 6 4 Kis lyukak, nagy lyukak 9 5 Ultraszorzatok 13 6 Normális ultraszűrők 16 7 (μ,λ)-reguláris ultraszűrők 24 8 A fő eredmények 28 9 Egyebek 31 10 Utószó 32 Kötelező és ajánlott olvasmányok 32

1 Előszó

A szűrők - és ezen belül az ultraszűrők - fontos szerepet játszanak a modern halmazelméletben, így érdemes megvizsgálni egyes tulajdonságaikat. Mielőtt ehhez hozzáfognánk, lássuk, mik is azok a szűrők. [20]-ben, például ezt olvashatjuk:

1 . Definíció Szűrő, l. Vizszerzés.

Ebből rögtön megtudjuk, hogy hol tudhatjuk, meg mi is az a szűrő. A következő definíció is inkább sejtelmes, mint precíz:

2 . Definíció Viz-szerzés, l. Vizvezeték.

Ha arra gondolnánk, hogy vízvezetéket már az ókori Rómában is használtak, így a szűrőkről is, mint a Római Birodalom egyik érdekességéről olvashatunk, alaposan csalódnánk. Nézzük a vízvezeték rövidített definícióját.

3 . Definíció Vizvezeték, vizben szegény vagy rossz vizű helyeknek kellő mennyiségű és minőségű vizzel való ellátására szolgáló létesítmény(...)

A folyók általában lágy vizet adnak, de igen gyakran, főként áradáskor, zavarosak. Ezért előbb meg kell tisztítani a vizet, mielőtt a város használatára bocsátanák. E célra mesterséges szürőket készítenek, melyek rendesen nagy ülepedő medencékből állnak, hol a víz iszapját hátrahagyva, kavicsrétegen át szűrődik meg, s igen jól megtisztul. De vannak különös szerkezetű szűrő berendezések is, amelyek azonban nem mindig felelnek meg a célnak(...)(a házi) szűrők rendesen kettős falu edények, melyeknek egyik fala likacsos anyag (homokkő, cserép, asbest), s melyen a víz keresztülhatolva iszapját hátrahagyja(...)

Ezzel a fallal fogunk részletesen foglalkozni. Más, szűrővel kapcsolatos dolog definíciója is hasznos lehet, hátha ott is utalnak a szűrőkre.

4 . Definíció Szűrés (bor). A borban lebegő s abból leülepedni nem akaró s annak zavarosságát v. homályosságát okozó anyagok eltávolítására a Sz.-t használják. E célra a legkülönbözőbb szerkezetű szűrőgépek állnak a borkezelő rendelkezésére(...)

Sz. (filtrálás), igen fontos és nagyon gyakran használatos kémiai művelet, amely arra való, hogy a folyadékot a benne lévő csapadéktól (oldhatatlan anyagoktól) elválasszuk. A Sz.-hez tölcsért használunk, amelybe alkalmas módon összehajtott szűrőt (filtrum) teszünk(...) A jó szűrő a reá öntött folyadékot gyorsan átereszti, míg a legfinomabb csapadékot is visszatartja, minek során az átszűrt folyadék (filtratum) nem zavaros, hanem egészen kristálytiszta.

[21]-ben már használhatóbb információkat találunk:

5 . Definíció szűrő : 1. szűkebb értelemben szilárd anyagoknak folyadéktól való elválasztására szolgáló likacsos anyag (→ szűrés)(...)

A szűrés meghatározását itt is érdemes elolvasni, hiszen itt kerül elő egy számunkra fontos fogalom.

6 . Definíció szűrés, filtráció ⟨gör.-ből⟩ : 1. szilárd anyagok elválasztása folyadékoktól olyan szűrőréteg segítségével, amelynek likacsain a folyadék részecskéi (szűrlet) áthaladnak, a szilárd anyagé azonban nem(...)

Szubmikroszkópos méretű részecskék (pl. baktériumok) kiszűrésére az ultraszűrők szolgálnak.A vegyiparban használatos szűrők szakaszos v. folytonos üzeműek. Főbb típusai a homok-, szívó-, táskás-, prés-, dobszűrő.

2. a köznyelvben helytelenül így nevezik a különféle orvosi → szűrővizsgálatokat.

Ez utóbbi valóban helytelen, de ha már megemlítik az ultraszűrőket különösen finom szerkezetű szűrőkként, nézzük mit írnak róluk:

7 . Definíció ultraszűrés : eljárás kolloid oldatok (→szolok) különböző nagyságú →szubmikroszkópos méretű részecskéinek egymástól, ill. a szubmiroszkópos részecskéknek az → amikroszkópos méretű részecskéktől történő elválasztására. Az ∼hez különlegesen előállított szűrőhártyákat (ultraszűrők) használnak, amelyek pórusnagysága kisebb 1 mikronnál. Szűrőhártya készíthető pl. kollódium oldatából. Újabban megfelelő módon készített dextrán ([C_{6}H_{10}O_{5}]_{x}) preparátumokat használnak a szubmikroszkópos méretű anyagoknak kis molekulájúaktól való elválasztására. Ezek fordítva működnek, mint az ultraszűrők(...)

A tudomány előrehaladtával a fogalmak néha új, praktikus jelentést kapnak. [22]-ben a szűrőről kizárólag, mint a fényképezőgép alkatrészéről olvashatunk ^{1}:

1A fordítást angol eredetiből szakfordító nem hitelesítette.

8 . Definíció szűrő, a fényképészetben, a vegyes összetételű fény különböző hullámhosszú összetevőinek, a filmhez érkezés előtti szelektív módosítására szolgáló eszköz(...)

A fekete-fehér filmekben színes szűrőket használnak a fény módosítására, és hogy a képet a szürke megfelelő árnyalatára készítsék. A színes szűrők fényesíteni vagy sötétíteni is tudják a színes tárgy képét(...) Színes fényképezésnél a színes szűrők a fény színét alakítják át a film színérzékenységéhez(...)

2 Az eredendő probléma

A színes szűrők vizsgálatakor merült fel az alábbi kérdés:

Legyen λ > ω számosság, U uniform ultrafilter ^{2} λ-n. Legyen T olyan ω magas fa, amelynek minden x csúcsából λ él megy fölfelé. Legyen A(x) x fölső szomszédainak halmaza, A^{0}(x) = {x}, A^{n+1}(x) = A(A^{n}(x)). Legyenek A(x) elemei megszámozva λ elemeivel és tekintsük A(x)-en az U(x) ultrafiltert, ami legyen kanonikus megfeletetése U-nak. Definiáljuk a (V_{U}, G) topológikus teret! Legyen V T csúcsainak halmaza, legyen Y ⊆ V nyílt, ha minden x ∈ Y esetén {y ∈ Y ⋂ A(x)} ∈ U.

9 . Probléma Meg tudjuk-e adni V_{U}-nak egy olyan λ-színezését, hogy minden nem üres nyílt halmaz tartalmazzon minden színű csúcsot?

Erre rögtön megkísérlünk választ adni.

10 . Tétel λ = ω_{1}, esetén megadható olyan ω_{1}-színezés, ami a 9. Probléma megoldása.

Bizonyítás Tekintsünk egy ⟨Y_{α} : α ∈ ω⟩ halmazsorozatot, ahol Y_{0} = ω_{1}, továbbá fennáll, hogy α, β ∈ ω, α < β esetén Y_{α} ⊃ Y_{β} és

⋂_{α∈ω} Y_{α} = ∅.

Ha α ∈ [1, ω), akkor legyen

X_{α} = Y_{α−1}\Y_{α}.

2Itt is, mint a későbbiekben általában, megszokásból az ultrafilter szót használjuk, ultraszűrő helyett.

Ilyen sorozat létezése könnyen látható, a 27. Tétel speciális eseteként be is fogjuk bizonyítani. ⟨X_{α} : α ∈ ω⟩ nyilvánvalóan particionálja ω_{1}-et.

A csúcsokat ω_{1} elemeivel színezzük, minden nem 0-színű csúcsot a saját színe mellett még egy zöld színű indexszel is megjelölünk. Színezzük T gyökerét 0-színűre. Ha egy x csúcsot 0-színűre színeztünk, az A(x) halmaz elemei legyenek rendre 1, 2, ..., α, ...(α ∈ ω_{1}) különböző, színűek. Jelöljük meg ezeket a csúcsokat egy zöld színű ω-val. Minden α ≥ ω-ra, legyen f_{α} : ω → α bijekció, ahol f(0) = 0, ha α < ω, akkor legyen f_{α} = id_{α} : α → α. Ha y-t zöld ω-val jelöltük és y színe α ≥ ω, A(y)-on tekintsük a fent definiált ⟨X_{α} : α ∈ ω⟩ partíciót, és ∀β ∈ α-ra színezzük X_{f_{α}^{−1}(β)} elemeit β-színűre. Jelöljük meg ezeket a pontokat egy-egy zöld f_{α}^{−1}(β)-val. Ha y-t zöld ω-val jelöltük és y színe α ≥ ω és z ∈ A(y) β-színű és f_{α}^{−1}(β) = n ∈ ω; vagy ha z-t zöld ω-val jelöltük, z α-színű és α = n < ω, akkor minden k ∈ [1, n]-re és minden w ∈ A^{n}(z)-re legyen w színe f_{α}(n − k), jelöljük meg továbbá w-t egy zöld n − k-val.

Könnyen látható, hogy minden csúcsot kiszíneztünk. Tekintsünk egy G ⊆ V nem üres nyílt halmazt. Legyen x ∈ G. Ekkor fennáll az alábbi esetek valamelyike:

(1) x 0-színű.

(2) x-et egy zöld n ∈ ω számmal jelöltük. Ekkor A^{n}(x) elemei 0-színűek, és G ⋂ A^{n}(x) ≠ ∅.

(3) x-et egy zöld ω-val jelöltük. Ekkor A(x) elemeit zöld ω-beli számokkal jelöltük, és van y ∈ G ⋂ A(x).

Így látjuk, hogy minden halmazban van 0-színű x csúcs. Legyen γ ∈ ω_{1}. U uniformitása miatt van olyan y ∈ g ⋂ A(x), aminek a színe α ≥ γ. Legyen n = f_{α}^{−1}(γ). Ekkor az A(y)-t partícionáló ⟨X_{α} : α ∈ ω⟩ konstrukciója miatt, van olyan m ∈ ω, m ≥ n, amire X_{m} ⋂ G ≠ ∅. Legyen z ∈ X_{m} ⋂ G. Ekkor A^{m−n}(z) ⋂ G ≠ ∅, és ennek az elemei éppen γ-színűek lesznek. ♠♡♢♣

Ha λ tetszőleges számosság akkor a következővel próbálkozhatunk:

Tegyük fel, hogy minden λ_{0} < λ számosságra már van kostrukciónk.

(i) Legyen a gyökér 0-színű, azaz 0-színű.

(ii) Ha x 0-színű, A(x) elemei legyenek különböző színűek.

(iii) Ha x 0-színű, és y ∈ A(x) színe ν, akkor legyen λ_{0} = cf(|ν|). Rendezzük ν egy kofinális részét λ_{0}-típusba és ezekkel a színekkel csináljuk meg y fölé a λ_{0}-ra ismert 0-színű pontok fölé írt konstrukciót, amíg újra 0-színű pontokat nem kapunk.

Itt a (iii) lépéshez arra van szükségünk, hogy

(A) λ-nak létezzen olyan ⟨X_{α} : α ∈ λ_{0}⟩ partíciója, hogy μ < λ_{0}, |S| =

μ, S ⊂ λ_{0}) esetén ⋃_{α∈S} X_{α} ∉ U.

Így felmerül a következő kérdés:

11 . Probléma Milyen λ-ra és U-ra áll fenn (A)?

A továbbiakban a 11. Problémát vizsgáljuk.

3 Ismerkedés a fogalmakkal

H. J. Keisler nevéhez fűződik az alábbi definíció:

12 . Definíció Legyen U ultrafilter az I alaphalmazon, λ számosság. Ha van I-nek olyan

I = ⋃_{β<λ}^{∗}X_{β}  (1)

partíciója, hogy S ∈ [λ]^{<λ} esetén ⋃_{β∈S}^{∗}X_{β} ∉ U, akkor azt mondjuk, hogy U

λ-felbontható. Ekkor az (1) beli partíciót U λ-felbontásának nevezzük. U λ-felbonthatatlan, ha nem λ-felbontható.

Először kimondunk néhány trivialitást.

13 . Állítás Tetszőleges U ultrafilter 1-felbontható, és λ < ω, λ ≠ 1 esetén λ-felbonthatatlan.

14 . Állítás Legyen U uniform ultrafilter a λ számosságon. Ekkor U λfelbontható.

Egyszerű, de hasznos a következő lemma:

15 . Lemma Legyen U ultrafilter az I alaphalmazon, η, λ számosságok. Legyen ∀α ∈ [η, λ] számosságra U α-felbonthatatlan. Ekkor I bármely I = ⋃_{β<λ}^{∗}X_{β} partíciója esetén ∃S ∈ [λ]^{<η}, hogy

⋃_{β∈S}^{∗}X_{β} ∈ U.  (2)

Bizonyítás A 13. Állítás miatt vagy η = λ = ∅ vagy η ≥ 2. Ha λ < ω, az állítás triviális. Legyen λ végtelen számosság. Rögzítsük η-t. Ha η ≥ λ, U λfelbonthatósága adja az állítást. Tegyük fel, hogy λ < λ_{0}-ra az állítás igaz. Legyen I = ⋃_{β<λ_{0}}^{∗}X_{β}. Ekkor U λ_{0}-felbonthatósága miatt ∃S ⊂ λ_{0}, |S| =

λ_{1} < λ_{0}, hogy ⋃_{β∈S}^{∗}X_{β} ∈ U. Legyen X_{∗} = ⋃_{β∉S}^{∗}X_{β}. Tekintsük I-nek az

I = X_{∗} ⋃( ⋃_{β∈S}^{∗}X_{β}) partícióját. Ez (λ_{1} + 1) részre particionálja U-t, amiből

az indukciós feltevés alapján ki tudunk választani S_{1} ⊆ {∗} ⋃ S-et, hogy |S_{1}| < η és kielégíti (2)-t, amit X_{∗} ∉ U miatt S_{1}\{∗} ⊂ λ_{0} is megtesz. ♡

16 . Definíció Legyen λ számosság U λ-felbontható ultrafilter, ⋃_{β<λ}^{∗}X_{β} λ-

felbontása U-nak. Legyen

U(λ) = {S ⊆ λ : ⋃_{β∈S} X_{β} ∈ U}.

U(λ)-t az U (egy) visszahúzásának nevezzük λ-ra.

17 . Állítás Legyenek η, λ számosságok, U λ-felbontható ultrafilter. Legyen U(λ) U visszahúzása λ-ra. Ekkor

- U(λ) uniform ultrafilter λ-n.

- Ha U η-felbonthatatlan, akkor U(λ) is η-felbonthatatlan.

Triviális, nem bizonyítjuk.

A következő fogalmat C. C. Chang vezette be [4]-ben:

18 . Definíció Legyen U ultrafilter az I alaphalmazon, λ számosság. Ha van olyan ⟨Y_{α} : α ∈ λ⟩ sorozat, hogy ha α ∈ λ, akkor Y_{α} ∈ U, és α < β < λ esetén (i) Y_{α} ⊃ Y_{β}, illetve

(ii) Y_{α} ⊇ Y_{β},

továbbá ⋂_{α∈λ} Y_{α} = ∅, akkor U-t az (i) esetben (erősen) λ-likacsosnak, vagy

mai szóhasználattal (erősen) λ-lyukasnak, az (ii) esetben gyengén λlyukasnak mondjuk. Az ⟨Y_{α}⟩ sorozatra azt mondjuk ekkor, hogy (gyenge) λ-lyuk. Ha U semmilyen η < λ számosságra sem gyengén η-lyukas, akkor U λ-teljes.

19 . Állítás Ha λ reguláris, az erős illetve gyenge λ-lyukasság ekvivalens. Ha λ szinguláris, minden erős λ-lyuk gyenge is egyben. Gyenge λ lyuknak van olyan része, ami erős cf(λ)-lyuk. Ha U minden eleme legalább λ számosságú, akkor erős cf(λ)-lyukat ki lehet bővíteni erős λ-lyukká.

Csak az utolsó állítás nem triviális, de az sem okoz nehézséget. A bizonyítását elhagyjuk. A továbbiakban λ-lyuk alatt erős λ-lyukat értünk.

Az alábbi állítás a lyukasság és a felbonthatóság közötti szoros kapcsolatot mutatja. A továbbiakban általában a felbonthatóságot fogjuk vizsgálni, egyrészt a fogalom könnyebb kezelhetősége miatt, másrészt mert szinguláris számosságokra erősebb feltétel.

20 . Lemma Legyen U ultrafilter az I alaphalmazon, λ ≥ ω számosság. Ekkor

U λ-felbontható ⇒ U λ-lyukas, és

U λ-lyukas ⇒ U cf(λ)-felbontható.

Bizonyítás Legyen I = ⋃_{β<λ}^{∗}X_{β} λ-felbontása U-nak. Minden α < λ-ra

legyen Z_{α} = ⋃_{β≤α} X_{β}, és Y_{α} = I\Z_{α}. Ekkor Z_{α} λ-nál kevesebb X_{β} uniója, így

Y_{α} ∈ U. ⋂ Y_{α} = ∅, hiszen X_{β}-k páronként diszjunktak.

Másik irányba: A 19. Állítás miatt feltehető, hogy λ reguláris. Legyen ⟨Y_{α}⟩ egy λ-lyuk. Legyen minden β < λ-ra X_{β} = ⋂_{γ<β} Y_{γ}\Y_{β}. X_{β}-k nyil-

ván diszjunktak lesznek, és S ∈ [λ]^{<λ} esetén van sup S < α_{0} < λ, így

( ⋃_{β∈S} X_{β}) ⋂ Y_{α_{0}} = ∅. ♡

4 Kis lyukak, nagy lyukak

Először azt vizsgáljuk meg, hogy egy lyuk milyen feltételek mellett garantálja kisebb lyuk létezését. A következő két tétel erről szól.

21 . Tétel Legyenek μ, λ olyan számosságok, hogy μ < λ ≤ 2^{μ}, legyen U λ-lyukas ultrafilter az I alaphalmazon. Ekkor U ν-lyukas is valamely ν ≤ μ számosságra.

Bizonyítás A 20. Lemma miatt van U-nak I = ⋃_{α∈λ}^{∗}X_{α} λ-felbontása.

Tekintsünk egy μ + 1 magas 2-fát, azaz olyan fát, aminek minden levéltől különböző csúcsából kettő él indul felfelé. A fa minden x csúcsára legyen l(x) az x fölötti levelek halmaza. Az X_{α}(α ∈ λ) halmazokat írjuk a fa egyegy levelére, a többi levélre írjunk üres halmazt. A fa levéltől különböző x csúcsaira, pedig B(x)-szel jelölve az x csúcsra írt halmazt legyen B(x) =

⋃_{y∈l(x)} B(y).

Minden η ∈ μ-re az η-dik szinten levő csúcsokra írt halmazok diszjunktak, s uniójuk I ∈ U, így közűlük legfeljebb egy U-beli van. Legyen μ_{0} a legalsó szint, ahol nincs U-beli. Legyen Y_{0} = B(z) ∈ U, ahol z a fa gyökere, és minden η ∈ μ-re Y_{η} legyen az η-dik szinten levő U-beli halmaz, ha η < μ_{0}, különben nem definiáljuk. Könnyen látható, hogy ⟨Y_{η} : η < μ_{0}⟩ monoton fogyó és B = ⋂_{η<μ_{0}} Y_{η} ∉ U. Legyen ν = cf(μ_{0}) és tekintsük ⟨Y_{η}⟩-nak egy

⟨Z_{γ} : γ ∈ ν⟩ kofinális részsorozatát. Ekkor a ⟨Z_{γ}\B⟩ sorozat ν-lyuk lesz. ♠♡♢♣

22 . Definíció Legyen λ számosság. Egy fát λ-Aronszajn fának nevezünk, ha λ-magas, minden szintjén λ-nál kevesebb csúcs van és nincs λ hosszú ága. A λ számosság gyengén kompakt, ha erősen elérhetetlen és nincs λ-Aronszajn fa.

23 . Tétel Legyen λ olyan számosság, amire van λ-Aronszajn fa. Legyen U λ-lyukas ultrafilter. Ekkor van olyan ν < λ számosság, amire U ν-lyukas.

A bizonyítás lényegében megegyezik a 21. Tételével, ezért elhagyjuk. Az eddigiek alapján megállapíthatjuk, hogy minden mérhető számosság gyengén kompakt. Ezt egyébként Erdős P. és A. Tarski bizonyították be először 1942ben.

Ismert tétel, a bizonyítás megtalálható, például [19]-ban:

24 . Tétel Ha U λ-lyukas ultrafilter, és λ kisebb, mint a legkisebb mérhető számosság, akkor U ω-lyukas.

Most, hogy bizonyos esetekben tudjuk, hogy egy λ-s (nagy) lyuk mellett mindig létezik ω-s (kis) lyuk is, vizsgáljuk meg, hogy milyen feltételek mellett létezik közepes lyuk. Ennek egy fontos esetét fogalmazza meg a következő tétel, amit 2^{λ} = λ^{+} feltétel mellett C. C. Chang bizonyítoott be először, s aminek bizonyítása megtalálható [1]-ben is. Előbb azonban nézzük a hozzá tartozó segédeszközt:

25 . Definíció Legyen λ ≥ ω számosság. Legyen (A_{α,β} : α ∈ λ^{+}, β ∈ λ) olyan mátrix, hogy minden α, α_{1}, α_{2}, ∈ λ^{+}, β, β_{1}, β_{2} ∈ λ, α_{1} ≠ α_{2} esetén

(i) A_{α_{1},β} ⋂ A_{α_{2},β} = ∅,

(ii) |λ^{+}\ ⋃_{β<λ} A_{α,β}| < λ^{+}.

(iii) A_{α,β_{1}} ⋂ A_{α,β_{2}} = ∅,

Ekkor az (A_{α,β}) mátrixot diszjunkt Ulam-mátrixnak, ha (iii)-t nem teszszük fel, akkor Ulam-mátrixnak nevezzük.

26 . Lemma Legyen λ ≥ ω számosság. Ekkor létezik (A_{α,β} : α ∈ λ^{+}, β ∈ λ) diszjunkt Ulam-mátrix.

Bizonyítás Minden η < λ^{+} rendszámra legyen f_{η} : |η| → η η-nak |η| típusú felsorolása. Legyen η ∈ A_{α,β} ⇔ f_{η}(β) = α. Ez jó lesz. ♡

27 . Tétel Legyen λ számosság, U λ^{+}-lyukas ultrafilter valamilyen I alaphalmazon. Ekkor

(a) ha λ reguláris, akkor U λ-lyukas.

(b) ha λ szinguláris, akkor U vagy cf(λ)-lyukas, vagy van olyan μ < λ, hogy minden η ∈ [μ, λ) reguláris számosságra η-lyukas.

Bizonyítás U λ^{+}-lyukas, így a 20. Lemma miatt U λ^{+}-felbontható is. Ezért I-t felírhatjuk I = ⋃_{α<λ^{+}}^{∗}X_{α} alakban, hogy minden S ∈ [λ^{+}]^{≤λ} esetén

⋃_{α∈S} X_{α} ∉ U. Így U a kanonikus hozzárendeléssel meghatároz λ^{+}-on egy U′

uniform ultrafiltert: ha A ⊆ λ^{+}, akkor legyen

A ∈ U′ ⇔ ⋃_{α∈A} X_{α} ∈ U.

Ez U′ egy ν-lyukához is egyértelműen hozzárendel egy U-beli ν-lyukat, ezért elég belátni, hogy U′ λ-lyukas vagy η-lyukas minden elég nagy η < λ reguláris számosságra.

Legyen (A_{α,β}) a 26. Lemma szerint létező diszjunkt Ulam-mátrix. Legyen B_{α,β} := ⋃_{γ<β} A_{α,γ}. Ha van olyan α < λ^{+}, hogy minden β ∈ λ esetén

B_{α,β} ∉ U′, akkor rögzítve ezt az α-t legyen minden β ∈ λ-ra Bβ^{′} = ⋃_{γ∈[β,λ)} A_{α,γ}.

Ekkor nyilvánvaló, hogy Bβ^{′} ∈ U′, ⋂_{γ∈[β,λ)} B_{α,γ} = ∅ és ⟨Bβ^{′} : β ∈ λ⟩ monoton

fogyó, így (gyenge)λ-lyuk. Ha viszont ilyen α nincs, akkor létezik olyan β ∈ λ és λ^{+} különböző α ∈ λ^{+}, hogy B_{α,β} ∈ U′. Legyen η ∈ [β, λ^{+}) reguláris számosság. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy α < η esetén B_{α,β} ∈ U′. Legyen minden γ ∈ η-ra C_{γ} = ⋃_{α∈[γ+1,η)} B_{α,β}, ez nyilvánvalóan U′-

beli, így vagy C_{γ} (γ ∈ η) egy η-lyuk U′-n, vagy ∃b ∈ ⋂_{γ∈η} C_{γ}, azaz van olyan

B ⊂ η kofinális halmaz, hogy α ∈ B esetén b ∈ B_{α,β}. Legyen g : B → β a következő függvény:

g(α) = δ, ha b ∈ A_{α,δ}.

g injektív, hiszen (A_{α,β}) Ulam-mátrix, így |B| ≤ |β| < η fennáll. Viszont η regularitása miatt |B| = η, ami ellentmondás. ♠♡♢♣

Így a λ-lyukasságból, ha nem is tudunk feltétlenül következtetni tetszőleges λ-nál kisebb lyukra, bizonyos feltételek mellett a legkisebb (ω) és a legnagyobb (λ^{−}, ha létezik) létezéséről már tudunk.

Most sok kis lyukból csináljunk nagyot:

28 . Definíció Ha λ reguláris limeszszámosság, akkor (gyengén) elérhetetlennek mondjuk.

29 . Tétel (K. Prikry [2]). Legyen U ultrafilter az I alaphalmazon. Legyen λ számosság olyan, hogy fennáll az alábbiak valamelyike.

(a) λ elérhetetlen , 2^{λ} = λ^{+}.

(b) λ erős limesz és U cf(λ)-felbontható.

(c) cf(λ) = ω és U cf(λ)-felbontható.

Tegyük fel továbbá, hogy μ < λ esetén ∃ν ∈ [μ^{+}, λ), hogy U ν-felbontható. Ekkor U λ-felbontható.

Bizonyítás (b) és (c): Legyen ν = cf(λ). Tekintsünk egy ⟨λξ^{′} : ξ ∈ ν⟩ monoton növő számosság- (vagy rendszám) sorozatot, ahol lim λξ^{′} = λ.

Megadunk egy B = {(λ_{ξ}, U_{ξ}) : ξ ∈ ν} sorozatot, ahol limλ_{ξ} = λ, U_{ξ} = {A_{ρ}^{ξ} : ρ < λ_{ξ}} λ_{ξ}-felbontása U-nak, ha ξ_{1} < ξ_{2}, akkor λ_{ξ_{1}} < λ_{ξ_{2}} és U_{ξ_{2}} finomítása U_{ξ_{1}}-nek. Továbbá, ha ξ ∈ ν limeszrendszám, legyen igaz, hogy:

λ_{ξ} > 2^{sup_{η<ξ} λ_{η}}.

Legyen λ_{0} = ν, U_{0} egy — a tétel feltevései szerint létező — tetszőleges ν-felbontása U-nak. Tegyük fel, hogy η < ξ-re (λ_{η}, U_{η})-t már definiáltuk. Legyen először ξ = ξ_{0}+1. Legyen (λ_{ξ}, W_{ξ}), olyan, amire λ_{ξ} ∈ [max(λ_{ξ_{0}}^{+}, λξ^{′}), λ], U λ_{ξ}-felbontható, és W_{ξ} λ_{ξ}-felbontása U-nak. Legyen U_{ξ} a kanonikus finomítása W_{ξ}-nek és U_{ξ_{0}}-nak. Ez nyilvánvalóan λ_{ξ}-felbontása U-nak. Most legyen ξ limeszrendszám. Legyen U az U_{η}(η < ξ) felbontások kanonikus finomítása. Ez I-t ϑ részre osztja valamilyen ϑ számosságra. Ekkor μ = sup_{η<ξ} λ_{η}

jelöléssel ϑ ≤ | ∏_{η<ξ} λ_{η}| ≤ μ^{ξ} ≤ 2^{μ} < λ. Legyen (λ_{ξ}, W_{ξ}), olyan, amire λ_{ξ} ∈

[max((2^{μ})^{+}, λξ^{′}), λ], U λ_{ξ}-felbontható, és W_{ξ} λ_{ξ}-felbontása U-nak. Legyen U_{ξ} a kanonikus finomítása W_{ξ}-nek és U-nak. Ez is nyilvánvalóan λ_{ξ}-felbontása U-nak. λ = lim λξ^{′} ≤ lim λ_{ξ} ≤ λ, így transzfinit rekurzióval megkaptuk B-t.

Minden ρ ∈ ν rendszámra legyen μ_{ρ} ∈ [(sup_{η<ρ} λ_{η})^{+}, λ_{ρ}] reguláris számosság.

Legyen 0 = ν_{0} < ν_{1} < ... < ν_{ρ} < ... < ν (ρ ∈ ν) rendszámsorozat és legyen minden ρ ∈ ν-re

W_{ρ} = {A_{ϑ}^{ρ} ⋂ A_{τ}^{0} : sup_{η<ρ} ν_{η} < τ < ν_{ρ}, ϑ ∈ λ_{ρ}}.

Ha ν_{η} és W_{η} már definiált (η < ρ)-ra, akkor legyen ν_{ρ} a legkisebb olyan rendszám, amire |W_{ρ}| ≥ μ_{ρ}. Belátjuk ν_{ρ}létezését: ⋃_{τ>sup_{η<ρ} ν_{η}} A_{τ}^{0} ∈ U, így ebbe

U_{ρ}-nak λ_{ρ} tagja belemetsz, ezért ha

V_{ρ,τ^{∗}} = {A_{ϑ}^{ρ} ⋂ A_{τ}^{0} : sup_{η<ρ} ν_{η} < τ < τ^{∗}, ϑ ∈ λ_{ρ}},

akkor rögzített ρ mellett lim_{τ^{∗}→ν} |V_{ρ,τ^{∗}}| ≥ μ_{ρ}. Így μ_{ρ} regularitása miatt van τ_{0}^{∗} < ν, amire |V_{ρ,τ_{0}^{∗}}| ≥ μ_{ρ}. Legyen ν_{ρ} a legkisebb ilyen τ_{0}^{∗}. Legyen W = ⋃_{ρ<ν} W_{ρ}.

Belátjuk, hogy W λ-felbontása U-nak. Legyen S ⊂ W, |S| = μ < μ_{ξ} valamilyen ξ < ν mellett. Legyen S^{∗} = S ⋂ ⋃_{ν_{ξ}<ρ<ν} W_{ρ} Ha ⋃ S ∈ U, akkor

⋃ S^{∗} ∈ U, ami viszont ellentmondás, hiszen ⋃_{ν_{ξ}<ρ<ν} W_{ρ} finomítása U_{ξ}-nek.

(a): Legyen Λ = {μ < λ : U μ-felbontható}. Minden μ ∈ Λ-ra legyen U_{μ} μ-felbontása U-nak. Legyen W a kanonikus finomítása az {U_{μ} : μ ∈ Λ} partícióknak. Ez I-t kevesebb, mint λ^{λ} = λ^{+} részre osztja. Ha S ⊂ W, |S| < λ, akkor feltevésünk szerint van olyan μ ∈ Λ, amire |S| < μ. Ekkor ⋃ S ∉ U, ugyanis W finomítása U_{μ}-nek. Ha ∃T ⊆ W, |T | = λ, ⋃ T ∈ U, akkor V = T ⋃{I\ ⋃ T } λ-felbontása U-nak. Ha ilyen T nincs, akkor W λ^{+}-felbontása U-nak. ♠♡♢♣

5 Ultraszorzatok

A későbbiekben hasznunkra lesz, ha megvizsgáljuk egy U ultrafilter felbonthatósága és U szerinti ultraszorzatok számossága közötti összefüggéseket. Az alábbi tétel szerint, az elég nagy ultraszorzat garantál bizonyos méretű lyukakat.

30 . Definíció Ha μ számosság, akkor legyen μ^{(0)} = μ, és minden n > 0 természetes számra legyen μ^{(n)} = (μ^{(n−1)})^{+}.

31 . Tétel (K. Prikry [2]). Legyen U ultrafilter az I alaphalmazon. Legyen μ végtelen számosság és minden μ < λ ≤ 2^{(2^{μ})^{+}} esetén U λ-felbonthatatlan. Ekkor igazak az alábbiak:

(i) | ∏ μ/U| ≤ 2^{μ}.

(ii) Minden n természetes számra | ∏ μ^{(n)}/U| ≤ μ^{(n)}2^{μ}.

(iii) Ha ν tetszőleges rendszám, ∏ ν/U-ban nincs (2^{μ})^{+} típusú fogyó sorozat.

(iv) Ha λ ≤ 2^{(2^{μ})^{+}}, akkor ∏ λ/U ≤ λ^{μ}.

Bizonyítás (i): Tegyük fel, hogy | ∏ μ/U| > 2^{μ}. Ekkor léteznek olyan f_{α} : I → μ (α ∈ (2^{μ})^{+}) függvények, hogy ha α ≠ β [f_{α}] ≠ [f_{β}], azaz

{i : f_{α}(i) ≠ f_{β}(i)} ∈ U.  (3)

i ∈ I esetén legyen

A_{i} = {{α, β} : f_{α}(i) ≠ f_{β}(i)},

és minden A ⊆ [(2^{μ})^{+}]^{2}-hoz definiáljuk az

X_{A} = {i : A_{i} = A}.

halmazt. {X_{A} : A ⊆ [(2^{μ})^{+}]^{2}} I-nek legfeljebb 2^{(2^{μ})^{+}} részre való partíciója. A 15. Lemma miatt ekkor ∃μ^{∗} ≤ μ és ∃A_{i(ξ)} (ξ ∈ μ^{∗}), hogy i(ξ) ∈ I, A_{i(ξ)} ≠ ∅ és

X = ⋃_{ξ∈μ^{∗}} X_{A_{i(ξ)}} ∈ U.

Tekintsük [(2^{μ})^{+}]^{2} alábbi c színezését:

c(α, β) = min{ξ : {α, β} ∈ A_{i(ξ)}}.

Ez, (3) miatt, valóban színezés.

Az Erdős-Rado tétel miatt ∃Z ⊂ (2^{μ})^{+}, |Z| = μ^{+} homogén halmaz, azaz α, β ∈ Z ⇒ c(α, β) = ξ. Ezt a ξ-t rögzítve μ^{+} ≤ |{f_{α}(i(ξ)) : α ∈ Z}| ≤ μ, ami ellentmondás.

(ii): n = 0-ra (i)-ből következik. Tegyük fel, hogy n − 1-re igaz. A 27. Tétel miatt Uμ^{(n)}-felbonthatatlan, ezért minden f : I → μ^{(n)} függvényhez van U-beli halmaz, ahol f kevesebb, mint μ^{(n)} különböző értéket vesz fel. Így

| ∏ μ^{(n)}/U| = | ⋃_{ν∈μ^{(n)}} ∏ ν/U| ≤ μ^{(n)}μ^{(n−1)}2^{μ} = μ^{(n)}2^{μ}.

(iii): Szinte szóról szóra megegyezik (i) bizonyításával. Tegyük fel, hogy van ilyen sorozat, azaz léteznek f_{α} : I → ν (α ∈ (2^{μ})^{+}) függvények, hogy ha α < β, akkor [f_{α}] > [f_{β}]. Legyen

A_{i} = {{α, β} : α < β, f_{α}(i) > f_{β}(i)}.

Ugyanúgy, mint (i)-ben, definiáljuk az X_{A} : A ⊆ [(2^{μ})^{+}]^{2} halmazokat, ξ ∈ μ^{∗} ≤ μ-re i(ξ)-t és [(2^{μ})^{+}]^{2} c színezését.

Az Erdős-Rado tétel miatt most is ∃Z ⊂ (2^{μ})^{+}, |Z| = μ^{+} halmaz, amire α, β ∈ Z ⇒ c(α, β) = ξ valamely ξ ∈ μ-re. Ezt a ξ-t rögzítve ⟨f_{α}(i(ξ)) : α ∈ Z⟩ μ^{+} típusú fogyó sorozat a rendszámokon, ami lehetetlen.

(iv): A 15. Lemma miatt

∏ λ/U = ⋃_{S∈[λ]^{≤μ}} ∏ S/U.

Így (i) miatt

| ∏ λ/U| ≤ 2^{μ}λ^{μ} = λ^{μ}.

♠♡♢♣

(ii)-ben tulajdonképpen többet bizonyítottunk, mondjuk ki ezt a többletet is:

32 . Tétel Legyen U ultrafilter az I alaphalmazon. Legyen λ olyan számosság, hogy U cf(λ)-felbonthatatlan. Tegyük fel, hogy van olyan ν_{α} (α ∈ cf(λ)) λhoz kofinális számosságsorozat és λ_{0} számosság, amire | ∏ ν_{α}/U| ≤ λ_{0}. Ekkor | ∏ λ/U| ≤ cf(λ)λ_{0}.

Bizonyítás Mint a 31. Tétel (ii). ♠♡♢♣

A továbbiakban nagy szükségünk lesz a következő tételre, ami (ÁKH) mellett megtalálható [2]-ben.

33 . Tétel Legyen U ultrafilter az I alaphalmazon. Legyen μ számosság és U 2^{μ}-felbonthatatlan. Legyen ν rendszám, K ⊆ ∏ ν/U, felülről korlátos halmaz és legyen cf(K) ≥ (2^{μ})^{+}. Ekkor K-nak van h minimális felső korlátja.

Bizonyítás Tegyük fel, hogy nincs ilyen h. Ekkor van egy λ reguláris számosság és egy f_{α} : I → ν (α ∈ λ) sorozat, hogy [f_{α}] < [f_{β}], ha α > β, [f_{α}] felső korlátja K-nak és

(i) K minden [f] felső korlátjához ∃α ∈ λ, hogy [f_{α}] < [f].

A 31. Tétel (iii) miatt λ < (2^{μ})^{+}. Legyen A_{i} = {f_{α}(i) : α ∈ λ}. Mivel |A_{i}| < (2^{μ})^{+}, a 31. Tétel (ii) miatt

| ∏ A_{i}/U| < (2^{μ})^{+}.

Legyen

F = {[f] : [f] ∈ ∏ A_{i}/U, ∃[k] ∈ K([k] > [f])}.

|F | < (2^{μ})^{+}, így ∃[k_{0}] ∈ K, hogy ∀[f] ∈ F -ra ([k_{0}] > [f]). α ∈ λ esetén legyen

I_{α} = {i : f_{α}(i) > k_{0}(i)} ∈ U.

Nyilvánvalóan I_{α} ⊇ I_{α+1}, s mivel U nem λ-lyukas X = ⋂_{α∈λ} I_{α} ∈ U. Legyen

h(i) = min{f_{α}(i) : i ∈ I_{α}}.

Ezzel h-t ⋃_{α∈λ} I_{α} ∈ U helyen definiáltuk. Nyilvánvalóan h(i) < f_{α}(i), ha

i ∈ I_{α} ⋂ I_{α+1}, tehát ∃[k] ∈ K : [k] > [h], emiatt [h] ∈ F, így [k_{0}] > [h]. Másfelől ha i ∈ X, akkor h(i) ≥ k_{0}(i), ami ellentmondás. ♠♡♢♣

6 Normális ultraszűrők

34 . Definíció Legyen A rendezett halmaz, U ⊂ P (A) ultrafilter. Azt mondjuk, hogy U normális ultrafilter, ha [id] a legkisebb olyan elem ∏ A/U-ban, ami minden a ∈ A-ra nagyobb, mint [c_{a}], ahol c_{a}(i) = a konstansfüggvény.

Ez lesz az a segédeszköz, amely megoldja a legtöbb problémánkat. Belátjuk, hogy bizonyos esetekben feltehetjük egy ultrafilter normalitását, normális ultrafilterre meg sokminden igaz. A következő lemma azt mutatja, hogy sok ultrafilter kifejezetten hasonlít egy normálisra.

35 . Lemma Legyen A rendezett halmaz, U ultrafilter I-n. Tegyük fel, hogy ∃[f] ∈ ∏ A/U, amire igaz, hogy ∀a ∈ A-ra [f] > [c_{a}], és [f] a legkisebb ilyen tulajdonságú eleme ∏ A/U-nak. Legyen V ⊆ P (A) úgy definiálva, hogy:

X ∈ V ⇔ f^{−1}(X) ∈ U.

Ekkor V normális ultrafilter A-n és minden λ számosságra:

U λ − felbonthatatlan ⇒ V λ − felbonthatatlan.

36 . Megjegyzés Mind az U, mind a V szerinti konstansfüggvényt c_{a}-val jelöltük, attól még két különböző függvényről van szó.

Bizonyítás {a ∈ A : a > a_{0}} ∈ U, hiszen [f] > [c_{a_{0}}]. Így [id] > [c_{a_{0}}].

Ha adott g : A → A, [g] < [id_{A}], akkor legyen h : I → A, h(i) = g(f(i)). Nyilvánvalóan [h] < [f], tehát ∃a ∈ A : [h] < [c_{a}]. Legyen X ⊂ A olyan, hogy g(b) > a (b ∈ X). Ekkor h(i) > a (i ∈ f^{−1}(X), tehát X ∉ U, így [g] < [c_{a}].

Legyen A = ⋃_{α∈λ}^{∗}X_{α}, ekkor I = ⋃_{α∈λ}^{∗}f^{−1}(X_{α}). Ha U λ-felbonthatatlan,

akkor ∃S ⊂ λ, |S| < λ, hogy ⋃_{α∈S}^{∗}f^{−1}(X_{α}) ∉ U. Erre az S-re ⋃_{α∈S}^{∗}X_{α} ∉ V.

♡

Alkalmazzuk rögtön ezt a lemmát! Az alábbi tételre lépten-nyomon fogunk hivatkozni, amikor bizonyos ultrafilterek normalitására lesz szükségünk.

37 . Tétel Legyenek λ, μ olyan számosságok, amelyekre cf(λ) > 2^{μ}. Legyen továbbá U olyan uniform ultrafilter λ-n, hogy ha μ < ν < 2^{(2^{μ})^{+}}, akkor U ν-felbonthatatlan. Ekkor van λ-n ugyanezzel a tulajdonsággal rendelkező V normális ultrafilter.

Bizonyítás Legyen

K = {[c_{γ}] : γ ∈ λ} ⊂ ∏ λ/U.

Ekkor a 33. Tétel miatt ∃[f] ∈ ∏ λ/U, ami K összes elemének minimális felső korlátja. Így a 35. Lemma adja az állítást. ♠♡♢♣

A normális ultrafilterek egyik fontos tulajdonsága, hogy bizonyos halmazokról be tudjuk látni, hogy az ultrafilterben vannak. Először ilyen tételeket nézünk.

38 . Állítás Legyen U normális ultrafilter a λ számosságon. C ⊆ λ kofinális zárt halmaz. Ekkor C ∈ U.

Bizonyítás Legyen

g : λ → λ, g(α) = max{β : β ∈ C, β ≤ α}.

Ez C zártsága miatt értelmes definíció. Nyilvánvalóan [g] > [c_{α}], és ha C ∉ U, akkor [g] < [id]. ♡

39 . Következmény Ha λ reguláris és U normális ultrafilter λ-n, akkor {α : α ∈ λ limeszrendszám} ∈ U. Ha λ elérhetetlen, akkor {α : α ∈ λ limeszszámosság} ∈ U. Ha λ erősen elérhetetlen, akkor {α : α ∈ λ erős limeszszámosság} ∈ U.

A 39. Következmény veti fel az alábbi kérdést.

40 . Probléma U normális ultrafilter és ν reguláris számosság esetén az {α : cf(α) < ν}, {α : cf(α) = ν}, {α : cf(α) > ν} halmazok közűl melyik van U-ban? Általában a nagy vagy a kis kofinalitású rendszámok halmaza U-beli?

Mint látni fogjuk ez a kérdés szorosan összefügg az ultraszorzatok méretével és ezen keresztűl a felbonthatósággal. Az alábbi lemmák [2]-ból vannak.

41 . Lemma Legyen λ reguláris számosság, U normális ultrafilter λ-n. Minden α ∈ λ limeszrendszámra legyen S_{α} ⊆ α cf(α) típusú kofinális halmaz. Minden α ∈ λ rendszámra legyen S_{α+1} = {α}. Ekkor

λ ≤ | ∏ S_{α}/U| ≤ | ∏ λ/U| ≤ 2^{λ}.  (4)

Bizonyítás A második egyenlőtlenség triviális, a harmadik egyszerű leszámlálás. Az első egyenlőtlenséget bizonyítjuk:

Ha [f] ∈ ∏ S_{α}/U, akkor a 39. Következmény miatt [f] < [id]. Így U normalitása miatt [f]-nek van valamilyen γ ∈ λ-val [c_{γ}] felső korlátja. Ha | ∏ S_{α}/U| < λ, akkor λ regularitása miatt van olyan γ_{0} ∈ λ, amire [c_{γ_{0}}] az összes [f]-et majorálja. Viszont legyen f_{0}(α) = β_{α}, ha α > γ_{0} limeszrendszám, ahol β_{α} > γ_{0}, β_{α} ∈ S_{α} tetszőlegesen választható. Ezzel f_{0}-t 1 mértékű halmazon definiáltuk. Nyilvánvalóan [f_{0}] > [c_{γ_{0}}], ami ellentmondás. ♡

42 . Következmény Ha λ számosság, U normális ultrafilter λ^{+}-on, akkor

λ^{+} ≤ | ∏ λ/U| ≤ 2^{λ^{+}}.  (5)

43 . Lemma Legyen η számosság, λ ≥ η^{++} reguláris számosság, U normális ultrafilter λ-n. Ekkor vagy

| ∏ η/U| ≥ λ,

vagy

{α : α ∈ λ, cf(α) > η} ∈ U.

Bizonyítás Tegyük fel, hogy egyik sem áll fenn. Készítsük el a 41. Lemmában definiált S_{α} halmazokat. Feltevésünk szerint

{α : α ∈ λ, |S_{α}| > η} ∉ U,

ezért | ∏ S_{α}/U| < λ. Ez ellentmond a 41. Lemmának. ♡

A következő lemma többek között a reguláris számosságok U-beliségére mutat elégséges feltételt.

44 . Lemma Legyen λ (erősen) elérhetetlen számosság, U normális ultrafilter λ-n. Legyen minden ν < λ számosságra

| ∏ ν/U| < λ.

Ekkor

{α : α < λ, α(erősen) elérhetetlen} ∈ U.

Bizonyítás Tegyük fel, hogy nem igaz. Készítsük el a 41. Lemmában definiált S_{α} halmazokat. Feltevésünk szerint a szinguláris limeszszámosságok halmaza U-beli, és ha α szinguláris limesz, akkor |S_{α}| < α. Így U normalitása miatt van olyan ν < λ, hogy |S_{α}| < ν egy U-beli halmazon. Így

| ∏ S_{α}/U| < λ,

ami ellentmond a 41. Lemmának. ♡

A 44. Lemma és a 38. Állítás adja az alábbi következményt:

45 . Következmény A 44. Lemma feltételei mellett a λ-nál kisebb (erős) limeszszámosságok halmaza stacionárius, azaz λ (erős) Mahlo.

A 27. Lemma analógiájára bizonyos λ limeszszámosságokról is be akarjuk látni, hogy ha egy U ultrafilter λ-lyukas, akkor U bizonyos ⟨α_{η}⟩, λ-ban kofinális számosságsorozat elemeire is α_{η}-lyukas. A következő lemma két ilyen állítást mond ki.

46 . Lemma Legyen λ erősen elérhetetlen, de nem erős Mahlo számosság, U uniform ultrafilter λ-n. Ekkor

(i) Ha α < λ, akkor ∃β ∈ [α, λ), hogy U β-felbontható.

(ii) (ÁKH)∃α < λ, hogy ha α ≤ cf(β) < λ, akkor U β-felbontható.

Bizonyítás (i): Tegyük fel, hogy nem igaz az állítás, azaz ∃α < λ, hogy ha α ≤ β < λ, akkor U β-felbonthatatlan. Ekkor a 37. Tétel miatt van V normális ultrafilter λ-n, amire ugyanez fennáll (ugyanezzel az α-val, de ez nem lényeges). 31. Tétel (i) miatt minden β < λ esetén | ∏ β/U| < λ, a 45. Következmény miatt λ Mahlo, ami ellentmondás.

(ii) bizonyítása pontosan ugyanúgy megy, mint (i)-é. ♡

G. V. és D. V. Chudnovsky [5]-ben egy [9]-beli eredmény segítségével ennél erősebb tételt igazoltak:

47 . Tétel Legyen λ (erősen) elérhetetlen, de nem (erős) Mahlo számosság, U uniform ultrafilter λ-n. Ekkor ∃α < λ, hogy ha α ≤ cf(β) < λ, akkor U β-felbontható.

Ezt később a 68. Tételben mi is igazoljuk. Megemlítjük még, hogy Chudnovsky-ék a következőt is megmutatták ugyanott:

48 . Tétel A 47. Tétel feltételei mellett U vagy minden α < λ reguláris számosságra α-lyukas, vagy valamely α < λ számosságra (α, λ)-reguláris.

Az (α, λ)-regularitást később definiáljuk.

A következő cél, hogy n-Mahlo számosságokra is hasonló tételt mondhassunk ki (n ∈ ω).

49 . Lemma (J. Silver [2]). Legyen λ számosság, ν < λ reguláris számosság, U ν-felbonthatatlan ultrafilter λ-n. Legyen δ ∈ λ rendszám, amire cf(δ) = ν. Legyen továbbá ⟨δ_{ξ} : ξ ∈ ν⟩ δ-hoz konvergáló szigorúan növő sorozat. Ekkor ⟨[c_{δ_{ξ}}] : ξ ∈ ν⟩ is konvergál [c_{δ}]-hoz ∏ λ/U-ban.

Bizonyítás Legyen f : λ → λ olyan, hogy [f] < [c_{δ}]. Legyen ξ ∈ ν esetén

A_{ξ} = {ρ : sup_{η<ξ} δ_{η} ≤ f(ρ) < δ_{ξ}}.

Ekkor az A_{ξ}-k páronként diszjunktak, így ⋃_{ξ∈ν} A_{ξ} ν-partíciója λ-nak. Fel-

tevésünk szerint létezik S ⊂ ν, |S| < ν, hogy

⋃_{ξ∈S} A_{ξ} ∈ U.

Ha ξ > sup S, akkor [c_{δ_{ξ}}] > [f], ezzel a lemmát beláttuk. ♡

50 . Lemma (J. Silver [2]). Legyen λ reguláris számosság, U normális ultrafilter λ-n. Tegyük fel, hogy van ν < λ, hogy U ν-felbonthatatlan. Legyen C ⊆ ∏ λ/U olyan zárt halmaz, amire sup(C ⋂{[f] : [f] < [id]}) = [id]. Legyen

D = {δ : [c_{δ}] ∈ C}.

Ekkor |D| = λ, és D-beli rendszámok ν-típusú sorozatának limesze D-beli.

Bizonyítás Az utóbbi állítás a 49. Lemma következménye. A számosságra vonatkozó állításhoz megmutatjuk, hogy D ⊆ λ kofinális halmaz. Legyen α ∈ λ. U normalitása miatt rekurzióval tudunk csinálni egy ⟨[f_{ξ}] : ξ ∈ ν⟩ C-beli és egy ⟨δ_{ξ} : ξ ∈ ν⟩ λ-beli sorozatot, ahol

• δ_{0} > α,

• [f_{ξ}] > [c_{δ_{ξ}}],

• [c_{δ_{ξ+1}}] > [f_{ξ}] és

• Ha ξ limesz, akkor δ_{ξ} = sup_{η<ξ} δ_{η}.

Mindkét sorozat szigorúan növő és ekvikonvergensek, így ha δ = sup_{η<ν} δ_{η}, akkor

a 49. Lemma miatt [c_{δ}] ∈ C, tehát δ ∈ D és δ > α. ♡

Az alábbi tételt többször fogjuk használni.

51 . Tétel (J. Silver, K. Prikry [2]). Legyen λ reguláris számosság, U normális ultrafilter λ-n, S ⊆ λ stacionárius halmaz. Tegyük fel továbbá, hogy minden α ∈ S-re U cf(α)-felbonthatatlan. Ekkor

{β : S ⋂ β stacionárius halmaz β-ban} ∈ U.

Bizonyítás Tegyük fel, hogy ez nem igaz, azaz

B = {β : S ⋂ β nem stacionárius halmaz β-ban} ∈ U.

Minden β ∈ B-re legyen C_{β} ⊆ β S-től diszjunkt cf(β) típusú kofinális zárt halmaz. Legyen C = ∏ C_{β}/U. Erre, ν = cf(α) választással valmely α ∈ S limeszrendszámra, teljesülnek az 50. Lemma feltételei, így a D = {δ : [c_{δ}] ∈ C} halmaz

(i) λ számosságú, és

(ii) minden α ∈ S-re D zárt a cf(α) típusú limeszképzésre.

D (i) miatt kofinális λ-ban, így a lezártjában van S-beli rendszám. Legyen ez a rendszám α. Ekkor α előáll D-beli rendszámok cf(α) típusú limeszeként, így (ii) miatt α ∈ D, tehát [c_{α}] ∈ C, ezért van olyan β ∈ B, amire C_{β} a feltevésünkkel ellentétben nem diszjunkt S-től. ♠♡♢♣

52 . Lemma (K. Prikry [2]). Legyen λ reguláris számosság, U normális ultrafilter λ-n. Legyen C ⊂ ∏ λ/U olyan zárt halmaz, aminek [id] ∉ C a legkisebb felső korlátja. Ekkor fennáll az alábbiak valamelyike:

(i) {δ : [c_{δ}] ∈ C} ∈ U

(ii) {δ : U cf(δ)-felbontható} ∈ U.

Bizonyítás Tegyük fel, hogy nincs így, azaz

F = {δ : U cf(δ)-felbonthatatlan, [c_{δ}] ∉ C} ∈ U.

C zártsága miatt értelmes a következő: Minden δ ∈ F -re legyen

[h_{δ}] = max{[g] ∈ C : [g] ≤ [c_{δ}]}.

[c_{δ}] ∉ C, ezért [h_{δ}] < [c_{δ}]. A konstrukcióból nyilvánvaló, hogy δ_{1} < δ_{2} esetén [h_{δ_{1}}] ≤ [h_{δ_{2}}]. Legyen

G = {[h_{δ}] : δ ∈ F }.

U normalitása miatt C minden elemének van G-beli felső korlátja. Minden δ ∈ F -re U δ-felbonthatatlansága miatt van olyan γ ∈ λ, hogy

[h_{δ}] < [c_{γ}] < [c_{δ}].  (6)

Minden δ ∈ F -re legyen H(δ) = γ valameley (6)-t kielégítő γ-ra. Ekkor H felső korlátja G-nek — tehát C-nek is —, és [H] < [id], ami ellentmondás. ♡

53 . Tétel (K. Prikry [2]). (ÁKH)Legyen λ reguláris számosság, U uniform ultrafilter λ-n. Legyen tetszőlegesen nagy reguláris μ < λ-ra U μfelbonthatatlan. Ekkor λ ω-Mahlo.

Bizonyítás Nyilvánvaló, hogy λ elérhetetlen. Feltehetjük, hogy U normális. Azt kell belátni, hogy E = {δ ∈ λ : δ n − Mahlo} ⊂ λ stacionárius halmaz. Ennél egy picit többet igazolunk: Megmutatjuk, hogy E ∈ U.

n = 0-ra ez a 46. Lemma (ii) állítása. Tegyük fel, hogy n-re és minden λ-ra igaz az állítás, azaz E = {δ ∈ λ : δ n − Mahlo} ∈ U. Legyen

D = {δ ∈ λ : δ n − Mahlo, U δ-felbontható} ⊆ E.

Tegyük fel, hogy D ∈ U. Legyen A = {ν : Uν-felbonthatatlan, ν < λ reguláris}. Feltevésünk szerint |A| = λ. Ezért a

B = {β : |β ⋂ A| = β}

halmaz kofinális és zárt λ-ban, tehát B ⋂ D ∈ U. Legyen δ ∈ B ⋂ D. Ekkor a 17. Állítás miatt δ-ra és U(δ)-ra alkalmazhatjuk az indukciós feltevést, így δ (n + 1) − Mahlo, ami adja az állítást.

Most tegyük fel, hogy D ∉ U. Tegyuk fel továbbá, hogy nem igaz az állítás. Ekkor

F = {δ : δ n − Mahlo, de nem (n + 1) − Mahlo} ∈ U.

Legyen minden δ ∈ F -re C_{δ} ⊂ δ olyan kofinális zárt halmaz, ami nem tartalmaz n-Mahlo számosságot. Legyen

C = ∏ C_{δ}/U.

C zárt és [id] ∉ C a legkisebb felső korlátja, így az 52. Lemma miatt

{δ : [c_{δ}] ∈ C} ∈ U,

amiből következik, hogy

{δ : δ nem n − Mahlo} ∈ U.

Ez ellentmondás. ♠♡♢♣

Vegyük észre, hogy az 53. Tételben (ÁKH)-t egyedül a 46. Lemmára való hivatkozásnál használtuk ki. Ezért, a 47. Tételt használva az 53. Tétellel analóg módon beláthatjuk, hogy

54 . Tétel Legyen λ (erősen) elérhetetlen számosság, U uniform ultrafilter λ-n. Legyen tetszőlegesen nagy reguláris μ < λ-ra U μ-felbonthatatlan. Ekkor λ (erős) ω-Mahlo.

55 . Megjegyzés A tétel bizonyítása során felhasznált 47. Tétel következik a 68. Tételből, így miután a 68. Tételt beláttuk, fogjuk az 54. Tételt is bizonyítottnak tekinteni.

(ÁKH)és a 47. Tétel nélkül az alábbi egyszerűbb tételt tudjuk igazolni:

56 . Tétel Legyen λ reguláris számosság, U uniform ultrafilter λ-n. Legyen minden elég nagy reguláris μ < λ-ra U μ-felbonthatatlan. Ekkor λ ω-Mahlo.

Bizonyítás Indukcióval bizonyítunk: 46. Lemma (i) miatt λ (1)-Mahlo. Tegyük fel, hogy λ n-Mahlo. Ekkor az elég nagy (n − 1)-Mahlo számosságok stacionárius halmazt alkotnak λ-ban, így az 51. Tétel alapján az n-Mahlo számosságok halmaza is stacionárius. ♠♡♢♣

7 (μ,λ)-reguláris ultraszűrők

57 . Definíció Legyen U ultrafilter az I alaphalmazon, λ, μ számosságok. Azt mondjuk, hogy U (μ, λ)-reguláris, ha ∃A ⊆ U, |A| = λ, hogy minden B ⊆ A, |B| = μ esetén ⋂ B = ∅.

Legyen λ számosság és U uniform ultrafilter λ-n. Azt mondjuk, hogy U reguláris, ha U (ω, λ)-reguláris.

Először nézzünk ide tartozó trivialitásokat:

58 . Állítás (i) Ha |I| = λ, akkor U (λ, λ)-reguláris.

(ii) Ha μ < ν és η < λ, akkor U (μ, λ)-reguláris ⇒ U (ν, η)-reguláris.

A (μ, λ)-regularitás, mint az alábbi lemma mutatja, a λ-lyukasság általánosítása:

59 . Lemma Ha λ reguláris számosság, U ultrafilter, akkor

U (λ, λ)-reguláris ⇔ U λ-lyukas.

Bizonyítás Legyenek ⟨A_{α} : α ∈ λ⟩ U-beli halmazok, amelyekre S ⊂ λ, |S| < λ esetén ⋂_{α∈S} A_{α} = ∅. Legyen minden α ∈ λ-ra

B_{α} = ⋃_{β∈[α,λ]} A_{β}.

Nyilvánvalóan B_{α} ∈ U, α_{0} < α_{1} esetén B_{α_{0}} ⊇ B_{α_{1}}. Tegyük fel, hogy x ∈ ⋂_{α∈λ} B_{α}, ekkor ∃S ⊂ λ kofinális halmaz, hogy x ∈ ⋂_{α∈S} A_{α}, ami ellentmondás.

Ez azt jelenti, hogy ⟨B_{α} : α ∈ λ⟩ λ-lyuk.

Legyen most ⟨B_{α} : α ∈ λ⟩ λ-lyuk. Ennek bármely λ számosságú része kofinális a sorozatban, így ⟨B_{α}⟩ monotonitása miatt a metszete üres. ♡

60 . Következmény Ha λ reguláris számosság, η > λ, U (λ, η)-reguláris ultrafilter, akkor minden ν ∈ [λ, η] számosságra U ν-lyukas.

61 . Megjegyzés Konzisztens, hogy a 60. Következmény megfordítása nem igaz; azaz előfordulhat, hogy U μ-lyukas minden ν ∈ [λ, η] számosságra, de nem (λ, η)-reguláris. Ilyen példát lehet találni η = ω_{2}-re [12]-ben.

[10]-ben található az alábbi lemmát:

62 . Lemma Legyen λ szinguláris számosság, ν < λ számosság, U uniform ultrafilter λ-n. Tegyük fel, hogy U minden ρ < λ számosságra (μ, ρ)-reguláris. Ekkor U (μ, λ)-reguláris.

A következő lemmák K. Prikrytől származnak.

63 . Lemma Legyen A tetszőleges rendezett halmaz, U ultrafilter A-n. Legyenek μ, ν számosságok, és ρ ∈ A-ra legyen A_{ρ} ⊂ A, |A| < ν. Tegyük fel továbbá, hogy létezik olyan [f_{ξ}] ∈ ∏ A_{ρ}/U és γ_{ξ} ∈ A (ξ ∈ μ), amire ξ_{0} < ξ_{1} < μ esetén

[c_{ξ_{0}}] ≤ [f_{ξ_{0}}] < [c_{ξ_{1}}].  (7)

Ekkor U (ν, μ)-reguláris.

Bizonyítás Minden ξ ∈ μ-re legyen B_{ξ} = {ρ ∈ A : γ_{ξ} ≤ f_{ξ}(ρ) < γ_{ξ+1}. Legyen S ⊆ μ. Ha ρ ∈ ⋂_{ξ∈S} B_{ξ}, akkor az f_{ξ}(ρ)-k mind különbözőek. Legyen

R_{ρ,S} = {f_{ξ}(ρ) ∈ A_{ρ} : ξ ∈ S}.

Így |R_{ρ,S}| = |S|, ezért |S| < ν. ♡

64 . Lemma Legyen A tetszőleges rendezett halmaz, U ultrafilter A-n. Legyenek μ, ν számosságok, μ ≤ cf(A), és ρ ∈ A-ra legyen A_{ρ} ⊂ A, |A| < ν. Tegyük fel továbbá, hogy U nem (ν, μ)-reguláris. Ekkor a

H = {[f] ∈ ∏ A_{ρ}/U : ∃(δ ∈ A)([f] < [c_{δ}])}  (8)

halmaznak létezik valamely γ ∈ A-ra [c_{γ}] felső korlátja.

Bizonyítás Tegyük fel, hogy nem igaz az állítás. Ekkor triviálisan konstruálhatóak (7)-beli [f_{ξ}]-k és γ_{ξ}-k. Így a 63. Lemma miatt U (ν, μ)- reguláris, ami ellentmondás. ♡

65 . Lemma Legyen λ reguláris számosság, U normális ultrafilter λ-n. Legyen μ < λ számosság és minden ρ ∈ λ-ra legyen A_{ρ} ⊆ ρ, |A_{ρ}| < μ. Tegyük fel továbbá, hogy ∏ A_{ρ}/U legkisebb felső korlátja [id]. Ekkor U (μ, λ)-reguláris.

Bizonyítás Definiáljuk H-t, mint (8)-ben. U normalitása miatt H = ∏ A_{ρ}/U. Alkalmazzuk H-ra a 64. Lemmát. ♡

66 . Tétel (K. Prikry [2]). Legyenek μ < λ számosságok, λ reguláris, U normális ultrafilter λ-n. Ha U nem (μ, λ)-reguláris, akkor

{α ∈ λ : cf(α) ≥ μ} ∈ U.

Bizonyítás Minden α ∈ λ-ra legyen A_{α} ⊆ α, cf(α) számosságú kofinális zárt halmaz. Ha {α ∈ λ : cf(α) < μ} ∈ U, akkor a 65. Lemma miatt U (μ, λ)-reguláris lenne, s épp ennek az ellenkezőjét tettük fel. ♠♡♢♣

Alkalmazva az 59. Lemmát a 40. Problémára kapunk részben választ:

67 . Következmény Legyen λ reguláris számosság, U normális ultrafilter λ-n. Ha μ < λ-számosságra U μ-felbonthatatlan, akkor {α ∈ λ : cf(α) ≥ μ} ∈ U.

Az alábbi tételben a 47. Tételt is bebizonyítjuk.

68 . Tétel (K. Prikry [2]). Legyen λ (erősen) elérhetetlen számosság. Ha van olyan U normális ultrafilter λ-n, ami minden μ < λ számosságra U nem (μ, λ)-reguláris, akkor λ (erős) Mahlo.

Bizonyítás A 39. Következmény miatt elég megmutatnunk, hogy a λ-beli reguláris számosságok halmaza U-beli.

Tegyük fel, hogy a λ-beli szinguláris számosságok halmaza U-beli. Ekkor [cf] < [id], így U normalitása miatt van olyan μ < λ, amire [cf] < [c_{μ}]. Minden α ∈ λ szinguláris számosságra legyen A_{α} ⊆ α cf(α) számosságú kofinális zárt halmaz. Az előző megállapításunk miatt {α : |A_{α}| < μ} ∈ U, így a 65. Lemma miatt ∏ A_{α}/U-nak van [id]-nél kisebb felső korlátja. U normalitása miatt van [c_{β}] felső korlátja is, valamely β ∈ λ-ra. Legyen α > β. Ekkor ∃g(α) ∈ A_{α}, g(α) > β. Ekkor viszont [g] > [c_{β}], ami ellentmondás. ♠♡♢♣

A 68. Tétel és az 59. Lemma együttesen adják az alábbit:

69 . Következmény Legyen λ (erősen) elérhetetlen számosság. Ha van olyan U normális ultrafilter λ-n, hogy tetszőlegesen nagy μ < λ-ra U λfelbonthatatlan, akkor λ (erős) Mahlo.

70 . Megjegyzés Ezzel bebizonyítottuk a 47. Tételt, s így az 54. Tételt is.

Szükségünk lesz az alábbi tételre, ami speciális esete Chang és Keisler egy közös eredményének.

71 . Tétel Legyenek μ < λ számosságok, tegyük fel, hogy nincs ν < μ, 2^{ν} > μ számosság. Legyen U (μ, λ)-reguláris ultrafilter. Ekkor

∏ μ/U ≥ 2^{λ}.

Bizonyítás Legyenek A_{α} ∈ U(α ∈ λ) olyanok, hogy közűlük bármelyik μ metszete üres. Minden β ∈ λ-ra legyen

R_{β} = {α : β ∈ A_{α}}.

Ekkor |R_{β}| < μ. Minden B ⊆ λ-ra legyen

f_{B}(β) = B ⋂ R_{β}.

Legyen B_{0} ⊈ B_{1}. Tekintsünk egy α ∈ B_{0}\B_{1} rendszámot. Minden β ∈ A_{α}-ra

α ∈ f_{B_{0}}(β), de α ∉ f_{B_{1}}(β).

Így [f_{B_{0}}] ≠ [f_{B_{1}}], tehát

2^{λ} ≤ | ∏ P(R_{β})/U| ≤ | ∏ λ/U|.

♠♡♢♣

8 A fő eredmények

Nézzünk néhány eredményt a szinguláris számosságokról.

72 . Tétel (K. Prikry [2]). Legyen λ erős szinguláris limeszszámosság, U uniform ultrafilter λ^{+}-on. Tegyük fel, hogy λ^{<λ} < 2^{λ^{+}}. Ekkor fennáll az alábbiak valamelyike:

(i) U λ-felbontható.

(ii) U β-felbontható tetszőlegesen nagy β < λ számosságra.

Ha (ÁKH)-t is feltesszük, akkor U β-felbontható minden β < λ számosságra.

Bizonyítás Tegyük fel, hogy (ii) nem áll fenn. Ekkor a 37. Tétel miatt feltehetjük, hogy U normális. cf(α) < λ minden α ∈ λ^{+}-ra, így a 66. Tétel alapján U (λ, λ^{+})-reguláris, ezért a 71. Tétel miatt

| ∏ λ/U| ≥ 2^{λ^{+}}.

Most tegyük fel, hogy (i) sem áll fenn. Ez azt jelenti, hogy nincs olyan f : λ^{+} → λ függvény, aminek minden minden U-beli halmazon λ számosságú az értékkészlete. Ezért

∏ λ/U ⊆ ⋃_{X∈[λ]^{<λ}} ∏ X/U.

A 31. Tétel miatt minden μ < λ-ra | ∏ μ/U| < λ, így

| ∏ λ/U| ≤ |[λ]^{<λ}| · λ < 2^{λ^{+}}.

És ez ellentmondás. ♠♡♢♣

A szinguláris számosságokról szól a következő két K. Prikrytől származó tétel is.

73 . Tétel Legyen λ erős limeszszámosság, cf(λ) = ω, λ^{<λ} < 2^{λ^{+}} és U uniform ultrafilter λ^{+}-on. Tegyük fel, hogy nincs λ-nál kisebb mérhető számosság. Ekkor U λ-felbontható.

Bizonyítás A 72. Tétel szerint elég azzal az esettel foglalkoznunk, ha U βfelbontható tetszőlegesen nagy β < λ számosságra. Mivel nincs λ-nál kisebb mérhető számosság — és nyilvánvalóan λ, λ^{+} sem azok —, U ω-felbontható. Ezért alkalmazhatjuk a 29. Tételt, ami éppen a kívánt eredményt adja. ♠♡♢♣

74 . Tétel Legyen λ számosság, U uniform ultrafilter λ-n. Tegyük fel, hogy U semmilyen μ ∈ [ω_{1}, λ) számosságra sem μ-felbontható. Ekkor vagy λ ω-Mahlo vagy cf(λ) = ω.

Bizonyítás Ha λ szinguláris, akkor triviális, hogy cf(λ)-felbontható. Ha λ szinguláris rákövetkezője, akkor a 72. Tétel adja az állítást, ha λ reguláris rákövetkezője, a 27. Tétel miatt vagyunk kész. Az utolsó eset, hogy λ elérhetetlen, ekkor előbb a 68. Tételt, majd az 54. Tételt alkalmazva a tételt beláttuk. ♠♡♢♣

Az eddigiek alapján a 11. Problémára a következőket mondhatjuk:

75 . Tétel λ reguláris számosságra, ha U λ-lyukas ultrafilter, akkor

Ha λ = μ^{+} és μ reguláris, akkor U μ-lyukas. (27. Tétel).

Ha λ elérhetetlen, de nem ω-Mahlo, akkor ∃μ < ν, hogy minden ν ∈ [μ, λ)-ra U ν-lyukas. (54. Tétel).

Ha λ erősen elérhetetlen, de nem erős ω-Mahlo, akkor ∃μ < ν, hogy minden ν ∈ [μ, λ)-ra U ν-lyukas. (54. Tétel).

Ha λ = μ^{+} és μ szinguláris, akkor U vagy cf(μ)-lyukas, vagy vagy van olyan ν < μ <, hogy minden η ∈ [ν, μ) reguláris számosságra η-lyukas.

(27. Tétel).

(ÁKH)Ha λ = μ^{+} és μ szinguláris, akkor U vagy (μ)-felbontható, vagy vagy van olyan ν < μ <, hogy minden η ∈ [ν, μ) reguláris számosságra η-lyukas. (72. Tétel).

Jensen bizonyította be [3]-ben a következő tételt:

76 . Tétel Tegyük fel, hogy V = L. Legyenek μ < λ reguláris számosságok, λ nem gyengén kompakt, ekkor van olyan S ⊂ λ stacionárius halmaz, amire

(i) Minden α ∈ S-re cf(α) = μ.

(ii) S ⋂ α semmilyen α ∈ λ-ra sem stacionárius α-ban.

Ennek következménye az alábbi tétel, ami válasz a 11. Problémára egy speciális esetben.

77 . Tétel (R. Jensen, K.Prikry, J. Silver). Tegyük fel, hogy V = L. Legyenek μ < λ reguláris számosságok, λ nem gyengén kompakt, legyen U uniform ultrafilter λ-n. Ekkor U μ-felbontható.

Bizonyítás Tegyük fel, hogy U μ-felbonthatatlan, valamely μ < λ reguláris számosságra. A 35. Tétel miatt feltehető, hogy U normális. Legyen S ⊂ λ olyan stacionárius halmaz, amilyent a 76. Tételben definiáltunk. Ekkor az 51. Tétel szerint

{β : S ⋂ β stacionárius halmaz β-ban} ∈ U,

a 76. Tétel szerint pedig

{β : S ⋂ β stacionárius halmaz β-ban} = ∅,

ami ellentmondás. ♠♡♢♣

Visszatérve az eredeti kérdésünkre, az eddigiekből megállapíthatjuk, hogy

78 . Tétel Ha λ < ω_{ω}, akkor a 9. Problémára van megoldás.

9 Egyebek

Az alábbi két tétel [2]-ben szerepel bizonyítással.

79 . Tétel Legyen λ erősen elérhetetlen számosság, U olyan uniform ultrafilter λ-n, amely minden μ ∈ [ω_{1}, λ)-ra μ-felbonthatatlan. Tegyük fel, hogy λ alatt (ÁKH)igaz. Ekkor 2^{λ} = λ^{+}.

80 . Tétel Legyen λ erősen elérhetetlen számosság, U olyan uniform ultrafilter λ-n, amely minden μ ∈ [ω_{1}, λ)-ra μ-felbonthatatlan. Ekkor λ-ra nem teljesül a Kurepa hipotézis, azaz nincs olyan F ⊆ P(λ), |F| = λ^{+} halmazrendszer, hogy minden α ∈ λ-ra

|{X ⋂ α : X ∈ F}| ≤ |α|

fennálljon.

Donder bizonyította be [10]-ben a következő tételt:

81 . Tétel Ha λ szinguláris vagy rákövetkező számosság, U uniform ultrafilter λ-n és teljesül a □_{λ}^{+} feltétel, akkor U reguláris.

A □_{λ}^{+} definíciója szintén [10]-ben található meg. Találunk ugyanott két másik elégséges feltételt a regularitásra.

82 . Tétel Tegyük fel, hogy egy modellben L^{μ} nem áll fenn. Legyen λ szinguláris számosság, U uniform ultrafilter λ-n. Ekkor U reguláris.

83 . Tétel Legyen λ olyan reguláris számosság, amire (λ^{+})^{λ} = λ. Legyen U uniform ultrafilter λ-n. Tegyük fel továbbá, hogy λ nem mérhető belső modellben. Ekkor U reguláris.

Nézzünk néhány eredményt a felbonthatatlanságról is! Prikry látta be [13]-ben az alábbit:

84 . Tétel Tegyük fel, hogy létezik mérhető számosság. Ekkor van olyan λ szinguláris számosság és U uniform ultrafilter λ-n, hogy U μ-felbonthatatlan, minden μ ∈ [ω_{1}, λ) számosságra.

M. Magidor [12]-ben huge számosság létezését használva konstruált olyan modellt, amiben létezik ω_{2}-n nem reguláris ultrafilter.

M. Foreman, M. Magidor és S. Shelah [16]-ben ugyanezt megmutatták ω_{1}-re.

H. Woodin azt is megmutatta, hogy elég majdnem huge számosság létezésének a konzisztenciáját feltenni. Ekkor is létezik olyan modell, amiben létezik ω_{1}-en nem reguláris ultrafilter. H. Woodin ehhez R. Laver egy [14]-beli módszerét használta.

10 Utószó

Egyszer ide is el kellett érkeznünk. Reméljük, aki idáig eljutott, jól szórakozott és sikerült közelebb kerülnie az ultraszűrők és likacsaik varázslatos világához. Rengeteg területet bejártunk a vízszerzésnél használatostól kezdve az ω_{1}-en nem regulárisig hőseink számos fajtájával megismerkedhettünk. Ha mostanra egy picivel több fény szűrődik be a likacsokon, utunk már nem volt hiábavaló.

A történetnek, azonban, egyáltalán nincs még vége. Akinek sikerült felkeltenünk az érdeklődését, annak további izgalmakat kínálhatunk az Ultraszűrők legújabb kalandjai sorozat alábbi, már megjelent írásaiban.

Kötelező és ajánlott olvasmányok

[1] K. Kunen, K. Prikry. On descendingly incomplete ultrafilters. J. in Symb. Logic. 36 1971. 650-652 (1972).

[2] K. Prikry. On descendingly complete ultrafilters. Cambridge Summer School Math. Logic., Cambridge, 1971. Lecture Notes Math. 337 459-488 (1973).

[3] R. Jensen. The fine structure of constructible hierarchy. Annals of Math. Logic., 4 229-308, 1972.

[4] C. C. Chang. Descendingly incomplete ultrafilters. Trans. Amer. Math. Soc. 126, 108-118, 1967.

[5] G. V. Chudnovsky, D. V. Chudnovsky. Regularnije i ubivajuse nepolnije ultrafiltri. Dolkl. Akad. Nauk SSSR, 198, 779-782, 1971.

[6] M. Benda, J. Ketonen. Regularity of ultrafilters. Isr. J. Math. 17 231-240 1974.

[7] A. Kanamori. Weakly normal filters and irregular ultrafilters Trans. Am. Math. Soc. 220 393-399 1976.

[8] J. Ketonen. Nonregular ultrafilters and large cardinals. Trans. Am. Math. Soc. 224 61-73 1976.

[9] Hajnal A. Ulam-matrices for inaccessible cardinals. Bull. Acad. Polon. Soc. XVII, 683-688, 1969.

[10] H.-D. Donder. Regularity of ultrafilters and the Core model. Isr. J. Math. 63 289-322 1988.

[11] S. Shelah. Product of regular cardinals and cardinal invariants of products of Boolean algebras. Isr. J. Math. 70 129-187 1990.

[12] M. Magidor. On the existence of nonregular ultrafilters and the cardinality of ultrapowers Trans. Am. Math. Soc. 249 97-111 1979.

[13] K. Prikry. Changing mesurable into accessible cardinals. Diss. Math. 68 5-22 1970.

[14] R. Laver. Saturated ideals and non-regular ultrafilters. Patras Logic symposium North-Holland, Amsterdam 297-305 1982.

[15] M. Foreman, M. Magidor, S. Shelah. Martin’s Maximum, saturated ideals and non-regular ultrafilters. Part I. Annals of Math. 127 1-47 1988.

[16] M. Foreman, M. Magidor, S. Shelah. Martin’s Maximum, saturated ideals and non-regular ultrafilters. Part II. Annals of Math. 127 521-545 1988.

[17] Juhász István, Soukup Lajos, Szentmiklóssy Zoltán. Resolvable spaces. 1998 prilis 16.

[18] P. Lipparini Productive [λ, μ]-Compactness And Regular Ultrafilters. Topology Proceedings, Vol. 21, 1996.

[19] Hajnal András, Hamburger Péter.  Halmazelmélet.  Nemzeti

Tankönyvkiadó, Budapest, 1983.

[20] Révai testvérek. A PALLAS NAGY LEXIKONA az összes ismeretek enciklopédiája. Pallas irodalmi s nyomdai részvénytársaság, Budapest, 1897.

[21] Új Magyar Lexikon. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1962.

[22] The New Encyclopædia Britannica. 15th edition. Encyclopædia Britannica Inc., Chicago, 1974.