Kvázilineáris elliptikus egyenletek megoldásairól

Bozi Imre

ELTE-TTK matematikus szak Témavezető: Karátson János

2002 június

Tartalomjegyzék

Előszó 2

1. A degree definíciója és alaptulajdonságai 4 1.1. ℝ^{n} → ℝ^{n} függvény foka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Banach-térből Banach-térbe képező függvény

foka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. A time-map fogalma és alkalmazása a megoldásszám becslésére 7 2.1. A time-mapre vonatkozó elemi egyenlőtlenségek. . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2. p-konvex függvényekre vonatkozó eredmények . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Egy alkalmazás a maximum-elv és a degree segítségével 21 3.1. A maximum-elv általánosított alakja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2. A fő eredmény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4. A time-map alkalmazása egy konkrét esetben 34

Előszó

Ebben a dolgozatban a következő, úgynevezett kvázilineáris Dirichlet-féle peremértékproblémával foglalkozunk.

\begin{matrix}(ϕ_{p}(u′))′ + f(t, u) = 0 \\ u(a) = u(b) = 0 \end{matrix} \}  (P),

ahol ϕ_{p}(s) := |s|^{p−2} · s, ha s ≠ 0, ϕ_{p}(s) := 0, ha s = 0; és feltesszük, hogy p > 1. Ilyen típusú egyenletek megoldásszámára szeretnénk részleges diszkussziót nyerni. Végig ebben a dolgozatban megoldáson olyan u függvényt értünk, amely a nyílt (a, b) intervallumon pozitív, ezért amikor megoldásról beszélünk, vagy pozitív megoldásról, akkor mindig (a, b)-n pozitív megoldásra gondolunk. A dolgozatban majd pontosítjuk, hogy f-re milyen feltételeket kötünk ki, illetve, hogy az u függvényt milyen függvénytérben keressük. Látni fogjuk, hogy a probléma matematikailag sokrétű eszközökkel kezelhető, lesznek könnyebbek és nehezebbek. A megoldásszám becslésére alkalmazott egyik módszerünk egy mély funkcionálanalízisbeli eszközre: a Leray-Schauder degree fogalmára, a másik pedig elemi számolásokra épül: a time-map tulajdonságaiból következtetünk a megoldásszámra. Ugyanakkor az elemi time-mapes eredményeinket fel fogjuk használni a nehezebb számolásokat igénylő degree-s okoskodásnál. Látni fogjuk, hogy a degree-vel egy végtelen sok megoldás létezését garantáló tételt tudunk bizonyítani, míg a time-map segítségével az általunk vizsgált esetekben véges sok megoldást tudunk igazolni.

Megemlítjük, hogy az ilyen típusú egyenletek megfelelő magasabb dimenziós általánosításai− amikor adott egy B ⊂ ℝ^{n} gömb, az n-dimenziós p-Laplace operátor: Δ_{p}(u) = div(|▽|^{p−2}(u)▽(u)), és a Δ_{p}(u) + f(t, u) = 0 egyenlet olyan megoldásait keressük, amelyek a gömb belsejében pozitívak, a peremén pedig eltűnnek− több fizikai modellben is előfordulnak, például klimatológiában, asztrofizikában. Ilyen típusú egyenletekkel írhatók le a földfelszín hőmérsékletének egyensúlyi állapotai egy bizonyos modellben. A dolgozat a következőképpen épül fel:

Az első fejezetben bevezetjük a Leray-Schauder degree fogalmát, amely alapvető segédeszköz lesz a dolgozat további részében. Az első fejezet eredményei a [3] könyvre épülnek.

A második fejezetben definiáljuk a time-mapet, elemi egyenlőtlenségeket igazolunk rá, majd bizonyos speciális esetekben teljes klasszifikációt nyerünk a megoldásszámra. Ezeknél a számolásoknál végig feltesszük, hogy az f függvény nem függ t-től, azaz az alapegyenlet autonóm.

A harmadik fejezetben a degree segítségével igazolunk egy megoldásszámra vonatkozó eredményt, melyben azt igazoljuk, hogy bizonyos feltételek mellett meg lehet mutatni végtelen sok megoldás létezését.

A negyedik fejezetben egy saját alkalmazásomat írom le, amelyben egy speciális f függvény esetén a time-map monotonitása és konvexitása alapján arra lehet következtetni, hogy előfordulhat 0,1,2 megoldás az intervallum méretétől függően. Ez egy olyan típusú probléma lesz, amelyre a második fejezetben leírt klasszifikációs tételek nem adnak választ. Ebben a részben feltesszük, hogy a megoldást egy origóra szimmetrikus [−R, R] intervallumon keressük, és itt is autonóm egyenletet vizsgálunk.

Végül tisztázunk néhány jelölést, amelyeket a dolgozatban használunk. ℝ_{+} := [0, ∞), ℝ^{+} := (0, ∞), \overline{ℝ_{+}} := [0, ∞], ℕ jelölje a természetes számok halmazát a 0-t kihagyva. B(0, R) jelölje adott normált térben a 0 középpontú R sugarú nyílt gömböt.

1. fejezet

A degree definíciója és alaptulajdonságai

Ebben a fejezetben megadjuk a Leray-Schauder degree fogalmát, amely a negyedik fejezetben leírt tételnél lesz egy alapvető segédeszköz. Először definiáljuk ℝ^{n} → ℝ^{n} függvények Brouwer-degree-jét, majd ezt kiterjesztjük tetszőleges Banach-térből ugyanabba a Banach-térbe képező függvényekre. Az egyszerűség kedvéért itt végig elhagyjuk a degree jelzőjét és a Brouwer-degree-t, a Leray-Schauder degree-t röviden degree-nek nevezzük, illetve használni fogjuk szinonímaként a fok kifejezést is.

1.1. ℝ^{n} → ℝ^{n} függvény foka

Vezessük be az alábbi jelöléseket: Legyen C az ℝ^{n} zárt részhalmazain értelmezett ℝ^{n}-be képező folytonos függvények halmaza, azaz

C := {f : ℝ^{n} → ℝ^{n} | D_{f} zárt és f folytonos} .

Legyen továbbá 𝒢_{n} az ℝ^{n} korlátos nyílt halmazainak halmaza, és

M := \{(F, U, y) ∈ C × 𝒢_{n} × ℝ^{n} | F : \overline{U} → ℝ^{n} folytonos, ∀ x ∈ ∂U : F (x) ≠ y\} .

Olyan d : M → ℝ leképezést keresünk, amely kielégíti az alábbi axiómákat.

(A1)

d(I, U, y) = \{ \begin{matrix}1 & ha y ∈ U \\ 0 & ha y ∉ \overline{U}, \end{matrix}

ahol I = id_{ℝ^{n}} az ℝ^{n} identikus függvénye.

(A2)

d(F, U, y) ≠ 0 ⟹ ∃x ∈ U, amelyre F (x) = y.

(A3) Legyenek U_{i} ⊂ U, (1 ⩽ i ⩽ m) diszjunkt nyílt halmazok, amelyekre ⋃_{i=1}^{m}(\overline{U_{i}}) =

\overline{U} és bármely x ∈ ∂U_{i} (1 ⩽ i ⩽ m) esetén F (x) ≠ y. Ekkor

d(F, U, y) = ∑_{i=1}^{m} d(F, U_{i}, y).

(A4) Legyen H : \overline{U} × [0, 1] → ℝ^{n} folytonos és H(x, t) ≠ y bármely x ∈ ∂U, és t ∈ [0, 1]

esetén. Ekkor

t ↦ d(H(·, t), U, y)

konstans függvény.

Belátható, hogy létezik pontosan egy olyan d : M → ℝ leképezés, amelyik kielégíti ezeket az axiómákat, ezt nevezzük egy M -beli ℝ^{n} → ℝ^{n} függvény fokának.

1.2. Banach-térből Banach-térbe képező függvény foka

Most röviden vázoljuk, hogy miként lehet a most bevezetett degree-fogalmat kiterjeszteni Banach-térből ugyanabba a Banach-térbe képező függvényekre. Megmutatható, hogy ebben az esetben a degree értelmezési tartományát le kell szűkíteni, mert ekkor a folytonosság már nem elegendő, szükségünk van a kompakt függvény fogalmára.

1.1. Definíció. Ha X és Y Banach-terek, akkor egy f : X → Y függvényt kompaktnak nevezünk, ha folytonos és bármely B ⊂ X korlátos halmaz esetén \overline{f(B)} kompakt.

Mivel az I : X → X identikus operátor csak véges dimenziós estben kompakt, ezért az előző degree fogalom felépítését módosítani kell. Most az I − f alakú függvényeket fogjuk tekinteni, ahol f kompakt. Az ilyen függvények között már ott van az I : X → X identikus függvény is. Legyen tehát X egy Banach-tér, C pedig az X zárt részhalmazain értelmezett X-be képező folytonos függvények halmaza, továbbá 𝒢_{X} az X korlátos, nyílt halmazainak rendszere. Most

M := \{(I − f, U) ∈ C × 𝒢_{X} | D_{f} = \overline{U}, \overline{f(\overline{U})} kompakt, ∀x ∈ ∂U : f(x) ≠ x\} .

1.1. Megjegyzés. A véges dimenziós esetben M definíciójában szereplő y-nak most 0 felel meg. Az ott szereplő F (x) = y feltétel most az (I − f)(x) = 0 feltételbe megy át, azaz az M halmaz megadásában szereplő x-ek pontosan f fixpontjai. Továbbá f pontosan akkor kompakt, ha bármely U ∈ 𝒢_{X} esetén \overline{f(\overline{U})} kompakt.

Az axiómákat némileg módosítani kell. Most a következő axiómákat tesszük fel.

(A1*)

d(I, U) = \{ \begin{matrix}1 & ha 0 ∈ U \\ 0 & ha 0 ∉ U, \end{matrix}

ahol I : X → X X identikus függvénye.

(A2*)

d(I − f, U) ≠ 0 ⟹ ∃x ∈ U, amelyre (I − f)(x) = 0.

(A3*) Legyenek U_{i} ⊂ U, (1 ⩽ i ⩽ m) diszjunkt nyílt halmazok, amelyekre ⋃_{i=1}^{m}(\overline{U_{i}}) =

\overline{U} és bármely x ∈ ∂U_{i} (1 ⩽ i ⩽ m) esetén (I − f)(x) ≠ 0. Ekkor

d(I − f, U) = ∑_{i=1}^{m} d(I − f, U_{i}).

(A4*) Legyen H : \overline{U} × [0, 1] → X kompakt és H(x, t) ≠ x bármely x ∈ ∂U és t ∈ [0, 1]

esetén. Ekkor

t ↦ d(I − H(·, t), U)

konstans függvény.

Belátható, hogy létezik pontosan egy olyan d : M → ℝ leképezés, amelyik kielégíti ezt a négy axiómát, a továbbiakban ezt fogjuk használni. A most bevezetett (A4*) axiómára a degree homotópia-invarianciájaként fogunk hivatkozni. Az

(f, U) ↦ d(I − f, U), f kompakt, U ∈ 𝒢_{X}

leképezést fixpont-indexnek is fogjuk nevezni, továbbá az előbbi leképezés alkalmas F × 𝒢_{X} ⊂ M halmazra való leszűkítését – ahol F az X → X kompakt függvények halmazának részhalmaza – az F -hez tartozó fixpont-indexnek fogjuk nevezni, és ι̇_{F} -fel fogjuk jelölni. Az axiómákból könnyen látszik, hogy a degree teljesíti a következő tulajdonságot:

(I − f, U), (I − f, V) ∈ M, \overline{V} ⊂ U ⟹ d(I − f, U \ \overline{V}) = d(I − f, U) − d(I − f, V).

Ezt a degree kivágási tulajdonságának fogjuk nevezni.

A time-map fogalma és alkalmazása a megoldásszám becslésére

Ebben a fejezetben végig a

(ϕ_{p}(u′))′ + f(u) = 0  (2.1)

alakú autonóm egyenlettel foglakozunk, ahol p > 1 és f ∈ C^{0}(ℝ_{+}, ℝ). Most bizonyos típusú kezdeti érték feladatokhoz hozzárendelünk egy time-mapnek nevezett leképezést, majd a time-mapre – f-ről megfelelő simaságot feltételezve – integrálformulás előállítást adunk. Ezután a time-map értelmezési tartományát kibővítjük és ezen a bővebb halmazon az integrálformulás előállítás lesz a time-map értelmezése. A time-mapre igazolunk néhány egyenlőtlenséget, amelyek segítségével bizonyos függvényosztályokra megkapjuk a pontos megoldásszámot, valamint a következő fejezetben is alkalmazzuk őket az ott leírt multiplicitás-eredményben. Látni fogjuk, hogy – az f függvényre tett bizonyos megszorítások mellett, origóra szimmetrikus [−R, R] intervallumon keresve a megoldást – a megoldások száma pontosan megegyezik T^{−1}({R}) elemszámával. Ily módon bizonyos esetekben a time-map alakjából, monotonitásából, konvexitásából következtethetünk a megoldásszámra. Tegyük fel, hogy a következő kezdeti feltételek teljesülnek az eredeti (2.1) egyenlőségre

u(0) = c, u′(0) = 0.

Jelöljük a (2.1) egyenletet és a fenti kezdeti feltételeket együtt a (T ) problémának. Később – a time-mapen keresztül – látni fogjuk a kapcsolatot a (T ) kezdetiérték probléma és az eredeti peremértékprobléma origóra szimmetrikus intervallumon való megoldásai között. Tegyük fel, hogy az f függvény C^{1}(ℝ_{+}, ℝ)-beli, amelynek a gyökei izoláltak, azaz – a folytonosság miatt – nem létezik olyan valódi intervallum, amelyen konstans 0. Ekkor belátható (lásd [2]), hogy bármely olyan [0, R] intervallumon, amelyen létezik pozitív megoldás, ott létezik egy egyértelmű minimális globális pozitív megoldás, jelöljük ezt u(r, c)-vel. Minden ilyen típusú problémához hozzárendelhetünk egy T -vel jelölt timemapet az alábbi módon (lásd [8, 10, 7]).

2.1. Definíció.

D(T) := {c > 0 | ∃r > 0 u(r, c) = 0}; T (c) := min {r > 0 | u(r, c) = 0} .

Látható, hogy a time-map fogalma szemléletesen az, hogy a 0 időpontban a c-ből induló megoldás mikor éri el legkorábban ismét a 0-t. Vezessük be a következő jelölést:

F (s) := ∫_{0}^{s} f(u)du.  (2.2)

Belátható, hogy ha f ∈ C^{1}(ℝ_{+}, ℝ), akkor T -re teljesül a következő integrálformula:

T (c) = c_{p} · ∫_{0}^{c} \frac{1}{(F (c) − F (s))^{1/p}} ,

ahol c_{p} = \frac{1}{(p^{∗})^{1/p}} = (\frac{p−1}{p})^{1/p}, és p^{∗} = \frac{p}{p−1} a p-hez konjugált szám (ami kielégíti az \frac{1}{p} + \frac{1}{p^{∗}} = 1 azonosságot). Most az integrálformulás előállítás segítségével a time-mapet már bővebb függvényosztályon is értelmezhetjük, majd elemi egyenlőtlenségeket bizonyítunk rá, amelyek a továbbiakban fontos segédeszközök lesznek.

2.1. A time-mapre vonatkozó elemi egyenlőtlenségek.

Ennek a szakasznak az eredményei nagyrészt az [1] cikk eredményeire támaszkodnak. Tekintsük most a

(ϕ_{p}(u′))′ + f(u) = 0

alakú autonóm egyenletet, ahol p > 1, f ∈ C^{0}(ℝ_{+}, ℝ), és legyen

F (s) = ∫_{0}^{s} f(u)du.

A továbbiakban bármely C^{0}(ℝ_{+}, ℝ)-beli függvény esetén a megfelelő nagybetűs függvény az előzővel analóg integrálfüggvényt fogja jelölni. Definiáljuk a következő 𝒞 halmazt.

𝒞 := {f ∈ C^{0}(ℝ_{+}, ℝ) | ∃d_{0} = d_{0}(f) : f(s) > 0, ha s > d_{0} és lim_{∞} F = ∞} .

Tekintsük továbbá a 𝒞 következő 𝒞_{#} részhalmazát:

𝒞_{#} := {f ∈ 𝒞 | d_{0}(f) = 0} .

Bármely f ∈ 𝒞 esetén definiálhatjuk a következő két time-map függvényt:

T_{f}(x, v) := c_{p} · ∫_{v}^{x} \frac{du}{(F (x) − F (u))^{1/p}} ,  (2.3)

T_{f}(x) := 2T_{f}(x, 0) = 2c_{p} · ∫_{0}^{x} \frac{du}{(F (x) − F (u))^{1/p}} .  (2.4)

Emlékeztetünk arra, hogy itt c_{p} = (\frac{p−1}{p})^{1/p}. A most definiált time-map a fejezet bevezetőjében definiált time-maptől némileg eltér, a most bevezetett time-map az origóra szimmetrikus intervallum esetének felel meg, ennek megfelelően a bevezetőben említett time-mapnek 2-szerese.

2.1. Megjegyzés. Világos, hogy létezik olyan d_{1} = d_{1}(f) ⩾ d_{0}, hogy T_{f}(x, v) és T_{f}(x) definiált v ⩾ d_{1} és x ⩾ v esetén. 2.1. Tétel. Legyen g, h ∈ 𝒞 és k ∈ \overline{ℝ_{+}}. Ekkor

(i)

lim inf_{x→∞} \frac{g(x)}{h(x)} ⩾ k ⟹ lim sup_{x→∞} \frac{T_{g}(x)}{T_{h}(x)} ⩽ \frac{1}{k^{1/p}} ,

(ii)

lim sup_{x→∞} \frac{g(x)}{h(x)} ⩽ k ⟹ lim inf_{x→∞} \frac{T_{g}(x)}{T_{h}(x)} ⩾ \frac{1}{k^{1/p}} .

A tétel bizonyításához szükségünk van egy lemmára. 2.1. Lemma. Legyen g ∈ 𝒞 és x, v ⩾ d_{1}(g), v rögzített. Jelölje:

I_{g}(v, x) := c_{p} · ∫_{0}^{v} \frac{du}{(G(x) − G(u))^{1/p}} .  (2.5)

Ekkor

lim_{x→∞} \frac{2I_{g}(v, x)}{T_{g}(x)} = 0.

Bizonyítás. Ha x, v ⩾ d_{1}(g), akkor \frac{2I_{g}(v,x)}{T_{g}(x)} = \frac{1}{1+L(x)} , ahol

L(x) = \begin{matrix}∫_{v}^{x} & \frac{du}{(G(x)−G(u))^{1/p}} \\ ∫_{0}^{v} & \frac{du}{(G(x)−G(u))^{1/p}} \end{matrix} .  (2.6)

Könnyen látható, hogy

∫_{v}^{x} \frac{du}{(G(x) − G(u))^{1/p}} > ∫_{v}^{x} \frac{du}{(G(x) − G(v))^{1/p}} = \frac{x − v}{(G(x) − G(v))^{1/p}} .  (2.7)

Másrészt, ha u ∈ (0, v), akkor minden elég nagy x > v esetén

0 < \frac{|G(u)|}{G(x)} < \frac{1}{2},

és így

∫_{0}^{v} \frac{du}{(G(x) − G(u))^{1/p}} < \frac{2^{1/p}}{(G(x))^{1/p}} · v.  (2.8)

(2.6)−(2.8)-ból következik, hogy

L(x) > \frac{x − v}{2^{1/p}v (1 − G(v)/G(x))^{1/p}} .

Ezért lim_{x→∞} L(x) = ∞, amiből a lemma következik. ■

A 2.1. tétel bizonyítása: Elég belátni az egyik változatot, így csak (i)-t bizonyítjuk. k = 0-ra a tétel triviális, így a továbbiakban feltesszük, hogy k > 0. Legyen L ∈ (0, k) tetszőleges. (i) miatt

(∃v = v_{L}) (∀x ⩾ v) (g(x) ⩾ h(x) · L),

ahol v_{L} csak a L-től függő konstans. Feltehető, hogy v > max{d_{1}(g), d_{1}(h)}. Így rögtön adódik, hogy

(∀u ∈ [v, x)) ( G(x) − G(u) ⩾ L (H(x) − H(u) ) ) ,

és így

(∀x > v) (T_{g}(x, v) ⩽ \frac{1}{L^{1/p}} · T_{h}(x, v)) .

(2.3)−(2.5)-ból kapjuk, hogy

T_{g}(x) − 2I_{g}(v, x) ⩽ \frac{1}{L^{1/p}} · (T_{h}(x) − 2I_{h}(v, x)),

és így

T_{g}(x) ⩽ \frac{1}{L^{1/p}} T_{h}(x) + 2I_{g}(v, x).

Ebből és a 2.1. lemmából kapjuk, hogy elég nagy x-re

\frac{T_{g}(x)}{T_{h}(x)} ⩽ \frac{1}{L^{1/p}} · (\frac{1}{1 − (2I_{g}(v, x)/T_{g}(x))}) ,

és így

lim sup_{x→∞} \frac{T_{g}(x)}{T_{h}(x)} ⩽ \frac{1}{L^{1/p}} .  (2.9)

Ebből következik, hogy

lim sup_{x→∞} \frac{T_{g}(x)}{T_{h}(x)} ⩽ inf \{\frac{1}{L^{1/p}} | 0 < L < k\} ⟹ lim sup_{x→∞} \frac{T_{g}(x)}{T_{h}(x)} ⩽ \frac{1}{k^{1/p}} . ■

Megemlítjük az előbbi tétel egy triviális, ám alkalmazás szempontjából fontos következményét.

2.1. Következmény. Legyen g, h ∈ 𝒞. Ekkor:

lim_{x→∞} \frac{g(x)}{h(x)} = k ⟹ lim_{x→∞} \frac{T_{g}(x)}{T_{h}(x)} = \frac{1}{k^{1/p}} .

2.2. Megjegyzés. Ebből k = 1 esetén

lim_{∞} \frac{g}{h} = 1 ⟹ lim_{∞} \frac{T_{g}}{T_{h}} = 1.

Ezért T_{g}(s) s → ∞ melletti aszimptotikus becsléséhez elég a g ∈ 𝒞_{#} függvényeket tekinteni. A most következő tételben ilyen függvényekre bizonyítunk becsléseket.

2.2. Tétel. Legyen g, h ∈ 𝒞_{#}. Ekkor

lim sup_{x→∞} \frac{T_{g}(x)}{T_{h}(x)} ⩽ k ⟹ lim inf_{x→∞} \frac{G(x)}{H(x)} ⩾ \frac{1}{k^{p}} ,

(ii)

lim inf_{x→∞} \frac{T_{g}(x)}{T_{h}(x)} ⩾ k ⟹ lim sup_{x→∞} \frac{G(x)}{H(x)} ⩽ \frac{1}{k^{p}} .

Bizonyítás. A k = 0 és a k = ∞ eset triviális, ezért legyen k ∈ ℝ^{+}. Mivel (i)-ből következik (ii), azért csak (i)-t bizonyítjuk. Nyilván elég belátni, hogy bármely M > k-ra

lim sup_{x→∞} \frac{T_{g}(x)}{T_{h}(x)} < M ⟹ lim inf_{x→∞} \frac{G(x)}{H(x)} ⩾ \frac{1}{M^{p}} ,  (2.10)

vagy a vele ekvivalens

lim sup_{x→∞} \frac{T_{g}(x)}{T_{h}(x)} < 1 ⟹ lim inf_{x→∞} \frac{G(x)}{H(x)} ⩾ 1  (2.11)

formulát. Ezért csak (2.11)-et igazoljuk.

lim sup_{x→∞} \frac{T_{g}(x)}{T_{h}(x)} < 1.  (2.12)

Ebből következik, hogy

(∃c ∈ ℝ^{+}) (∀x > c) (∫_{0}^{x} \frac{du}{(G(x) − G(u))^{1/p}} < ∫_{0}^{x} \frac{du}{(H(x) − H(u))^{1/p}} ) .  (2.13)

Azt állítjuk, hogy (2.13)-ból következik, hogy létezik olyan d ∈ [c, ∞), amelyre g(d) ⩾ h(d). Ugyanis, ha ez nem így lenne, akkor bármely x > c esetén g(x) < h(x) teljesülne, és így lim sup_{x→∞} \frac{g(x)}{h(x)} ⩽ 1 lenne. Ám e kkor a 2.1. tétel (ii) részéből lim inf_{x→∞} \frac{T_{g}(x)}{T_{h}(x)} ⩾ 1 teljesülne,

ami viszont ellentmond (2.12)-nek. Vegyük észre, hogy c = d is vehető és így g(c) ⩾ h(c). Most definiáljuk a g̃(x) függvényt a következőképpen:

g̃(x) : =^{def} \{ \begin{matrix}max\{g(x), h(x)\} ha x ∈ [0, c] \\ g(x) ha c ⩽ x. \end{matrix}

Ekkor könnyen látható, hogy g̃ folytonos, g̃(x) ⩾ g(x) bármely x ∈ ℝ_{+} esetén és x ∈ [0, c] esetén g̃(x) ⩾ h(x). Ezért teljesülnek a következő egyenlőtlenségek:

g̃(x) ⩾ g(x) ⟹ ∀x > 0 : ∫_{0}^{x} \frac{du}{(G̃(x) − G̃(u))^{1/p}} ⩽ ∫_{0}^{x} \frac{du}{(G(x) − G(u))^{1/p}} .  (2.14)

g̃(x) ⩾ h(x) ⟹ ∀x ∈ [0, c] : ∫_{0}^{x} \frac{du}{(G̃(x) − G̃(u))^{1/p}} ⩽ ∫_{0}^{x} \frac{du}{(H(x) − H(u))^{1/p}} . (2.15)

(2.13)−(2.15)-ból következik, hogy (2.15) valójában minden x > 0-ra teljesül, azaz

(∀x > 0) (Tg̃(x) ⩽ T_{h}(x)).

Most [4] 1.tételének gondolatmenetét követve kapjuk, hogy

H(x) ⩽ G̃(x).

Ezért

lim inf_{x→∞} \frac{G̃(x)}{H(x)} ⩾ 1.  (2.16)

Most lim_{x→∞} G(x) = ∞-t és G̃ definícióját használva nyerjük, hogy lim_{x→∞} \frac{G̃(x)}{G(x)} = 1. Így (2.16)-

ból lim inf_{x→∞} \frac{G(x)}{H(x)} ⩾ 1, amivel a bizonyítás kész. ■

A 2.2. tételből közvetlenül adódik az alábbi:

2.2. Következmény.

lim_{x→∞} \frac{T_{g}(x)}{T_{h}(x)} = l ⟹ lim_{x→∞} \frac{G(x)}{H(x)} = \frac{1}{l^{p}} .

A most következő eredményünkben egy fontos speciális esetre nyerünk becsléseket: arra az esetre, amikor a 2.1. tételben szereplő h függvényre h(x) = a · ϕ_{p}(x) teljesül valamely a > 0 esetén. Először T_{h}-t számoljuk ki erre az esetre. A definícióból következik, hogy

T_{h}(x) = 2c_{p} · ∫_{0}^{x} \frac{du}{(a (Φ_{p}(x) − Φ_{p}(u)))^{1/p}} ,

ahol

Φ_{p}(s) = ∫_{0}^{s} ϕ_{p}(u)du = \frac{|s|^{p}}{p} , s ∈ ℝ

a már bevezetett jelöléseinkkel összhangban. Ezért

T_{h}(x) = \frac{2c_{p}p^{1/p}}{a^{1/p}} · ∫_{0}^{x} \frac{du}{(|x|^{p} − |u|^{p})^{1/p}} .

Most alkalmazzuk az s = \frac{u}{x} · (p − 1)^{1/p} helyettesítést az integrálban, és használjuk fel c_{p} definícióját. Ekkor a következőt kapjuk:

∀x > 0 : T_{h}(x) = \frac{2}{a^{1/p}} · ∫_{0}^{(p−1)^{1/p}} \frac{ds}{(1 − \frac{s^{p}}{(p−1)})^{1/p}} = \frac{π_{p}}{a^{1/p}} ,

ahol a π_{p} konstans a következő:

π_{p} := 2 · ∫_{0}^{(p−1)^{1/p}} \frac{ds}{(1 − \frac{s^{p}}{(p−1)})^{1/p}} .

Azaz – a most kapott eredményt külön kiemelve – :

T_{ϕ_{p}} ≡ π_{p}.

Most leírjuk az eddig elmondottak néhány következményét.

2.3. Következmény. Az alábbi implikációk teljesülnek bármely g ∈ 𝒞 és k ∈ \overline{ℝ_{+}} esetén.

(i)

lim inf_{x→∞} \frac{g(x)}{ϕ_{p}(x)} ⩾ k ⟹ lim sup_{x→∞} T_{g}(x) ⩽ \frac{π_{p}}{k^{1/p}} ,

(ii)

lim sup_{x→∞} \frac{g(x)}{ϕ_{p}(x)} ⩽ k ⟹ lim inf_{x→∞} T_{g}(x) ⩾ \frac{π_{p}}{k^{1/p}} ,

(iii)

lim_{x→∞} \frac{g(x)}{ϕ_{p}(x)} = k ⟹ lim_{x→∞} T_{g}(x) = \frac{π_{p}}{k^{1/p}} ,

(iv)

lim inf_{x→∞} T_{g}(x) ⩾ π_{p}k ⟹ lim sup_{x→∞} \frac{G(x)}{Φ_{p}(x)} ⩽ \frac{1}{k^{p}} ,

(v)

lim sup_{x→∞} T_{g}(x) ⩽ π_{p}k ⟹ lim inf_{x→∞} \frac{G(x)}{Φ_{p}(x)} ⩾ \frac{1}{k^{p}} ,

(vi)

lim_{x→∞} T_{g}(x) = π_{p}k ⟹ lim_{x→∞} \frac{G(x)}{Φ_{p}(x)} = \frac{1}{k^{p}} .

Ha továbbá g folytonosan differenciálható, akkor

(vii)

lim inf_{x→∞} \frac{g′(x)}{(p − 1)x^{p−2}} ⩾ k ⟹ lim sup_{x→∞} T_{g}(x) ⩽ \frac{π_{p}}{k^{1/p}} ,

(viii)

lim sup_{x→∞} \frac{g′(x)}{(p − 1)x^{p−2}} ⩽ k ⟹ lim inf_{x→∞} T_{g}(x) ⩾ \frac{π_{p}}{k^{1/p}} .

Bizonyítás. (i)−(iii) közvetlenül következik a 2.1.tételből és a 2.1. következményből, míg (iv)-(vi) következik a 2.2. tételből és a 2.2. következményből, végül (vii) és (viii) következik (i) és (ii)-ből és az általánosított L’Hospital szabályból (lásd [6] Lemma 4.1). ■

Mivel láttuk, hogy a time-map aszimptotikus becsléséhez elegendő 𝒞_{#}-beli függvényekre szorítkozni, azért a most következő eredményünkben feltesszük, hogy f ∈ 𝒞_{#} és f(0) > 0. (2.2)-ből azt kapjuk, hogy F′(x) = f(x) > 0, ha x > 0, ezért F : ℝ_{+} → ℝ_{+} diffeomorfizmus, F^{−1} ugyanilyen tulajdonságú. Legyen w : ℝ_{+} → ℝ_{+} a következő:

w(y) := F^{−1} (\frac{y^{p}}{p} ) , y ∈ ℝ_{+}.  (2.17)

Ekkor

w′(y) = \frac{y^{p−1}}{f(w(y))} = \frac{[pF (w(y))]^{1/p^{∗}}}{f(w(y))} .  (2.18)

(2.4)-ből az x := w(y) jelölés bevezetésével nyerjük:

T_{f}(x) = T_{f}(w(y)) = 2 · ∫_{0}^{(p−1)^{1/p}} \frac{w′ (ys/ (p − 1)^{1/p}) ds}{(1 − s^{p}/ (p − 1))^{1/p}}.

A következő tételben további becsléseket kapunk, amelyek a time-map és az eredeti f függvény nagyságrendi viszonyát mutatják. 2.3. Tétel. Teljesülnek az alábbi implikációk.

(i)

lim sup_{x→∞} \frac{p^{1/p^{∗}}F (x)^{1/p^{∗}}}{f(x)} ⩽ k ⟹ lim sup_{x→∞} T_{f}(x) ⩽ kπ_{p},

(ii)

lim inf_{x→∞} \frac{p^{1/p^{∗}}F (x)^{1/p^{∗}}}{f(x)} ⩾ k ⟹ lim inf_{x→∞} T_{f}(x) ⩾ kπ_{p}.

Ekvivalens módon a k̃ := \frac{1}{k^{p^{∗}}} jelölés bevezetésével (i) és (ii) így írható: (i’)

lim inf_{x→∞} \frac{(f(x))^{p^{∗}}}{pF (x)} ⩾ k̃ ⟹ lim sup_{x→∞} T_{f}(x) ⩽ \frac{π_{p}}{k̃^{1/p^{∗}}} ,

(ii’)

lim sup_{x→∞} \frac{(f(x))^{p^{∗}}}{pF (x)} ⩽ k̃ ⟹ lim inf_{x→∞} T_{f}(x) ⩾ \frac{π_{p}}{k̃^{1/p^{∗}}} .

Bizonyítás. Csak (i)-t bizonyítjuk k < ∞ esetén. (i)-ből és (2.18)-ból:

lim sup_{s→∞} w′(s) ⩽ k.

Ekkor

(∀ε > 0 ∃s_{e}) (∀s ⩾ s_{ε} : w′(s) ⩽ k + ε).

Továbbá

\frac{ys}{(p − 1)^{1/p}} ⩾ s_{ε} ⟺ s ⩾ ϱ_{ε} := \frac{s_{ε}(p − 1)^{1/p}}{y} ,

és

0 < \frac{ys}{(p − 1)^{1/p}} ⩽ s_{ε} ⟺ 0 < s ⩽ ϱ_{ε}.

Ezekből nyerjük, hogy

T_{f}(w(y)) = 2 · (I_{1}(y) + I_{2}(y)),  (2.19)

ahol

I_{1}(y) := ∫_{0}^{ϱ_{ε}} \frac{w′ (ys/ (p − 1)^{1/p})}{(1 − s^{p}/ (p − 1))^{1/p}}ds; I_{2}(y) := ∫_{ϱ_{ε}}^{(p−1)^{1/p}} \frac{w′ (ys/ (p − 1)^{1/p})}{(1 − s^{p}/ (p − 1))^{1/p}}ds.

Világos, hogy

lim_{y→∞} I_{1}(y) = 0.  (2.20)

Továbbá, mivel I_{2}(y)-ban s ⩾ ϱ_{ε}, nyerjük, hogy

w′ (\frac{y}{(p − 1)^{1/p}} · s) ⩽ k + ε.

Így

I_{2}(y) ⩽ (k + ε) · ∫_{0}^{(p−1)^{1/p}} \frac{ds}{(1 − s^{p}/ (p − 1))^{1/p}} = (\frac{k + ε}{2}) · π_{p}

elég nagy y-ra, mivel

lim sup_{y→∞} I_{2}(y) ⩽ \frac{kπ_{p}}{2} .  (2.21)

Végül (2.19)−(2.21)-ből nyerjük (i)-t. ■ 2.3. Megjegyzés. A 2.3. tétel Schaaf (lásd:[9]) p = 2-re vonatkozó time-mapes becsléseinek kiterjesztése tetszőleges p > 1-re. Az alábbi következmény rögtön adódik: 2.4. Következmény.

l = lim_{x→∞} \frac{pF (x)}{(f(x))^{p^{∗}}} ⟹ lim_{x→∞} T_{f}(x) = l^{1/p^{∗}} · π_{p}.

Most definiálunk néhány állandót, amelyeket ennek a szakasznak az utolsó tételében használunk.

a := lim inf_{x→∞} \frac{F (x)}{Φ_{p}(x)}, A := lim sup_{x→∞} \frac{F (x)}{Φ_{p}(x)};

b := lim inf_{x→∞} \frac{f(x)}{ϕ_{p}(x)}, B := lim sup_{x→∞} \frac{f(x)}{ϕ_{p}(x)};

c := lim inf_{x→∞} \frac{f′(x)}{ϕ′_{p}(x)}, C := lim sup_{x→∞} \frac{f′(x)}{ϕ′_{p}(x)};

d := lim inf_{x→∞} T_{f}(x), D := lim sup_{x→∞} T_{f}(x);

e := lim inf_{x→∞} \frac{(f(x))^{p^{∗}}}{pF (x)} , E := lim sup_{x→∞} \frac{(f(x))^{p^{∗}}}{pF (x)} .

2.4. Tétel. A fenti jelölésekkel a következők teljesülnek:

(i)

c ⩽ b ⩽ (\frac{π_{p}}{D} )^{p} ⩽ a ⩽ A ⩽ (\frac{π_{p}}{d} )^{p} ⩽ B ⩽ C.

\frac{b}{A^{1/p^{∗}}} ⩽ e^{1/p^{∗}} ⩽ \frac{π_{p}}{D} ⩽ \frac{π_{p}}{d} ⩽ E^{1/p^{∗}} ⩽ \frac{B}{a^{1/p^{∗}}} .

A fentiekkel ekvivalens alakok:

(i’)

\frac{π_{p}}{C^{1/p}} ⩽ \frac{π_{p}}{B^{1/p}} ⩽ d ⩽ \frac{π_{p}}{A^{1/p}} ⩽ \frac{π_{p}}{a^{1/p}} ⩽ D ⩽ \frac{π_{p}}{b^{1/p}} ⩽ \frac{π_{p}}{c^{1/p}} .

(ii’)

\frac{π_{p}}{B} · a^{1/p^{∗}} ⩽ \frac{π_{p}}{E^{1/p^{∗}}} ⩽ d ⩽ D ⩽ \frac{π_{p}}{e^{1/p^{∗}}} ⩽ \frac{π_{p}}{b} · A^{1/p^{∗}}.

Bizonyítás. (i) bizonyítása: c ⩽ b és C ⩽ B közvetlenül adódik az általánosított L’Hospital szabályból (lásd:[6]Lemma 4.1). b ⩽ (\frac{π_{p}}{D} )^{p}, (\frac{π_{p}}{d} )^{p} ⩽ B pedig azonnal következik a 2.3. következmény (i), illetve (ii) részéből. Végül (\frac{π_{p}}{D} )^{p} ⩽ a és A ⩽ (\frac{π_{p}}{d} )^{p} azonnal adódik a 2.3. következmény (iv) és (v) részéből. (ii) bizonyítása: e^{1/p^{∗}} ⩽ \frac{π_{p}}{D} és \frac{π_{p}}{d} ⩽ E^{1/p} a 2.3. tétel (i’) és (ii’) részéből következik. \frac{b}{A^{1/p^{∗}}} ⩽ e^{1/p^{∗}} bizonyítása:

e = lim inf_{x→∞} \frac{(f(x))^{p^{∗}}}{pF (x)} = lim inf_{x→∞} [\frac{(f(x))^{p^{∗}}}{[ϕ_{p}(x)]^{p^{∗}}} · \frac{Φ_{p}(x)}{F (x)}] ⩾

⩾ (lim inf_{x→∞} \frac{f(x)}{ϕ_{p}(x)})^{p^{∗}} · \frac{1}{lim sup_{x→∞} \frac{F (x)}{Φ_{p}(x)}} = \frac{b^{p^{∗}}}{A} .

Annak igazolása, hogy E^{1/p^{∗}} ⩽ \frac{B}{a^{1/p^{∗}}} teljesen hasonló az előzőhöz, ezt nem részletezzük. ■

2.2. p-konvex függvényekre vonatkozó eredmények

Ebben a szakaszban végig feltesszük, hogy p ⩾ 2, és f ∈ C^{1}(ℝ_{+}), majd bevezetjük a p-konvex, illetve szigorúan p-konvex függvény fogalmát. A megoldásszámra – f-ről még több simaságot feltételezve – teljes klasszifikációt nyerünk. Látni fogjuk, hogy legtöbbször véges sok megoldás létezését tudjuk igazolni. Az alapprobléma ebben a szakaszban kicsit más lesz, mint az eddigiekben, mert most a megoldást origóra szimmetrikus intervallumon keressük. Pontosabban most a következő peremértékprobléma megoldásszámára szeretnénk következtetni:

\begin{matrix}(ϕ_{p}(u′))′ + f(u) = 0 \\ u(−R) = u(R) = 0, u > 0(−R, R)-en. \end{matrix} \}  (ℛ)

Kezdetben megadjuk az általunk vizsgálni kívánt p-konvex függvények definícióját.

2.2. Definíció. Legyen p ⩾ 2 és f ∈ C^{1}(ℝ_{+}) olyan függvény, amelynek létezik abszolút minimuma. f-et p-konvexnek, illetve szigorúan p-konvexnek nevezzük, ha bármely α abszolút minimumhelyére teljesül, hogy a

k(u) := \frac{f′(u)}{|u − α|^{p−2}} ; u ∈ ℝ_{+}, u ≠ α

függvény monoton növő, illetve szigorúan monoton növő.

2.4. Megjegyzés. (1) Könnyen látszik, hogy a (szigorú) 2-konvexitás ekvivalens a (szigorú) konvexitással az olyan C^{1}(ℝ_{+})-beli függvények osztályán belül, amelyeknek létezik abszolút minimuma.

(2) Ha f (szigorúan) p-konvex, akkor f (szigorúan) konvex.

(3) Ha f szigorúan p-konvex, akkor az α ∈ [0, ∞) abszolút minimumhelye egyértelmű.

A megoldásszám és a time-map tulajdonságainak kapcsolatát szeretnénk vizsgálni. Ehhez először szükségünk van két halmaz definíciójára.

2.3. Definíció.

D_{−} := \{c > 0| ∃ε > 0, f|_{(c−ε,c)} > 0, ∫_{c−ε}^{c} \frac{1}{(F (c) − F (s))^{1/p}} < ∞\} .

D_{+} := \{c > 0| ∃ε > 0, f|_{(c,c+ε)} > 0, ∫_{c}^{c+ε}\frac{1}{(F (c) − F (s))^{1/p}} < ∞\} .

2.5. Megjegyzés. Bebizonyítható, hogy a következők teljesülnek:

f(c) > 0 ⟹ c ∈ D_{−}, c ∉ D_{+},
f(c) < 0 ⟹ c ∈ D_{+}, c ∉ D_{−},

f(c) = 0 és f balról lokálisan negatív ⟹ c ∉ D_{−},

f(c) = 0 és f jobbról lokálisan pozitív ⟹ c ∉ D_{+}.

Most kimondunk egy lemmát, amelynek segítségével kapcsolatot teremthetünk a megoldásszám és a time-map között.

2.2. Lemma. Tegyük fel, hogy az f függvény bármely β gyökére (amennyiben létezik) teljesül, hogy β ∉ D_{−} ∪ D_{+}. Ekkor a következő két állítás ekvivalens:

(i)

u > 0 megoldása (ℛ) − nek.

(ii) u szimmetrikus 0-ra és van olyan c ∈ D(T), amelyre T (c) = R és u minimális pozitív megoldása a (T) problémának.

Bizonyítás. A bizonyítás megtalálható a [2] cikkben. ■

2.5. Következmény. A 2.2. lemma feltételei mellett az (ℛ) probléma megoldásszáma azonos T^{−1}({R}) elemszámával. Ezért, amikor azt vizsgáljuk, hogy az (ℛ) problémának R-től függően hány megoldása van, akkor a time-map grafikonjáról leolvashatjuk a megoldásszámot: azt kell megvizsgálni, hogy adott R magasságban húzott vízszintes egyenes hányszor metszi T grafikonját.

Most kimondunk három lemmát bizonyítás nélkül, amelyek a klasszifikációs tételek bizonyításában lesznek alapvető fontosságúak.

2.3. Lemma. Legyen f ∈ C^{2}([0, ∞)) olyan szigorúan p-konvex függvény, amelynek létezik gyöke és α ⩾ 0 az abszolút minimumhelye. Ekkor T szigorúan monoton fogyó D(T) ∩ (α, ∞)-en.

Most vezessük be a

Π_{p} := 2 · ∫_{0}^{1} \frac{dt}{(1 − t^{p})^{1/p}}

jelölést.

2.6. Megjegyzés. Π_{p} = \frac{π_{p}}{(p−1)^{1/p}} , és belátható, hogy Π_{p} = \frac{2π}{p sin \frac{π}{p}} .

2.4. Lemma. Legyen 0 ∈ ∂D(T). Ekkor:

(i)

lim_{u→0} \frac{f(u)}{u^{p−1}} = ∞ ⟹ lim_{0} T = 0,

(ii)

lim_{u→0} \frac{f(u)}{u^{p−1}} = L ∈ (0, ∞) ⟹ lim_{0} T = (\frac{p − 1}{L})^{1/p} · \frac{Π_{p}}{2} ,

(iii)

lim_{u→0} \frac{f(u)}{u^{p−1}} = 0 ⟹ lim_{0} T = ∞.

2.5. Lemma. Egy c pozitív szám pontosan akkor van benne D(T)-ben, ha bármely s ∈ [0, c] esetén a következő két állítás közül az egyik teljesül:

(i) F (s) < F (c),

(ii) F (s) = F (c) és s ∈ (D_{−} ∪ {0}) ∩ (D_{+} ∪ {0}).

A következő tételek teljes klasszifikációt adnak bizonyos esetekben. Az első és a második tétel olyan eseteket ír le, amikor egyértelműség teljesül, a harmadik pedig olyat, amikor megsérül az egyértelműség, sőt akár végtelen sok megoldás is létezhet.

2.5. Tétel. Legyen f ∈ C^{2}(ℝ_{+}) szigorúan p-konvex, f(0) ⩽ 0, és lim_{u→∞} \frac{f(u)}{u^{p−1}} = ∞. Ekkor

(i) Ha f(0) = 0 és lim_{u→0} \frac{f(u)}{u^{p−1}} = 0, akkor minden R > 0-ra (ℛ)-nek létezik pontosan egy megoldása.

(ii) Legyen f(0) = 0 és lim_{u→0} \frac{f(u)}{u^{p−1}} = m ∈ (0, ∞). Legyen továbbá R_{0} := (\frac{p−1}{m})^{1/p} · \frac{Π_{p}}{2} . Ekkor (ℛ)−nek létezik pontosan egy megoldása R < R_{0}-ra és nincs megoldása R ⩾ R_{0}-ra.

(iii) Legyen f(0) = 0 és f′(0) < 0, vagy legyen f(0) < 0. Ekkor van olyan R_{1} > 0, amelyre (ℛ)−nek pontosan egy megoldása van R ⩽ R_{1} esetén és nincs megoldása R > R_{1}-re.

Bizonyítás. Csak röviden vázoljuk a bizonyítást. Belátható, hogy ∞ ∈ ∂D(T). A 2.3. következmény (iii) részéből a tétel lim_{u→∞} \frac{f(u)}{u^{p−1}} = ∞ feltétele miatt tudjuk, hogy lim_{∞} T = 0. (i)-(ii): Ekkor triviálisan teljesül, hogy f′(0) = 0, ezért f szigorú p-konvexitásából és u > 0 miatt kapjuk, hogy f(u) > 0, ezért D(T) = (0, ∞). A 2.3. lemma miatt T szigorúan monoton fogyó, a 2.4. lemma szerint pedig lim_{0} T = ∞. Ezért ebben az esetben T minden R > 0 értéket pontosan egyszer vesz fel, (ℛ) megoldása ekkor tehát egyértelmű bármely R > 0-ra. A (ii) eset hasonló, ekkor lim_{0} T = R_{0}, ezért ekkor T bármely 0 < R < R_{0} értéket pontosan egyszer vesz fel, azaz ilyenkor (ℛ) megoldása R < R_{0} esetén egyértelmű, és nincs megoldás R ⩾ R_{0} esetén. (iii): Ekkor az F integrálfüggvény először szigorúan monoton fogyó, majd szigorúan monoton növő módon tart ∞-hez. Így a 2.5. lemma szerint D(T) olyan intervallum, amelynek bal végpontjára β-ra F (β) > 0 teljesül, ezért β ∈ D(T). Nyilvánvaló, hogy β > α, ha α az f függvény abszolút minimumhelye, ezért a 2.3. lemma szerint T szigorúan monoton fogyó a [β, ∞) intervallumon. Így a tétel állítása azonnal adódik a R_{1} := T (β) jelölés bevezetésével. ■

2.6. Tétel. Legyen f ∈ C^{2}(ℝ_{+}) szigorúan p-konvex, f(0) ⩽ 0, és lim_{u→∞} \frac{f(u)}{u^{p−1}} = L ∈ (0, ∞).

Legyen R_{∞} := (\frac{p−1}{L})^{1/p} · \frac{Π_{p}}{2} . Ekkor:

(i) Ha f(0) = 0 és lim_{u→0} \frac{f(u)}{u^{p−1}} = 0, akkor (ℛ)-nek nincs megoldása , ha R ⩽ R_{∞} és egy megoldása van, ha R > R_{∞}.

(ii) Legyen f(0) = 0 és lim_{u→0} \frac{f(u)}{u^{p−1}} = m ∈ (0, ∞). Legyen továbbá R_{0} := (\frac{p−1}{m})^{1/p} · \frac{Π_{p}}{2} . Ekkor (ℛ)-nek nincs megoldása R ⩽ R_{∞} , vagy R ⩾ R_{0} esetén és létezik pontosan egy megoldása, ha R_{∞} < R < R_{0}.

(iii) Legyen f(0) = 0 és f′(0) < 0, vagy legyen f(0) < 0. Ekkor van olyan R_{1} > 0, amelyre (ℛ)−nek pontosan egy megoldása van R_{∞} < R ⩽ R_{1} esetén és nincs megoldása, ha R ⩽ R_{∞}, vagy R > R_{1}.

Bizonyítás. A bizonyítás az előző tétel mintájára történik, most lim_{∞} T = R_{∞}-t használva. ■

A most következő tétel is az előzőhöz hasonló jellegű, de most f-ről azt fogjuk feltenni, hogy f(0) > 0, és létezik pozitív gyöke. Látni fogjuk, hogy ebben az esetben a megoldások viselkedése eltér az előző két tételben leírtaktól. Most az a jelenség is felléphet, hogy egyes részintervallumokon az u megoldás konstans lesz. Ebben az esetben nem érvényesek a 2.2. lemma feltételei, ekkor a megoldásszám nem egyezik meg T^{−1} ({R})elemszámával.

2.7. Tétel. Legyen f ∈ C^{2}(ℝ_{+}) szigorúan p-konvex, f(0) > 0, és lim_{u→∞} \frac{f(u)}{u^{p−1}} = ∞.

(i) Tegyük fel, hogy f-nek létezik egy α gyöke. Ha α ∉ D_{−}, akkor (ℛ)-nek bármely R > 0 esetén pontosan két megoldása létezik. Ha α ∈ D_{−}, akkor jelölje R_{α} :=

c_{p} · ∫_{0}^{α} \frac{1}{(F (α)−F (s)^{1/p}} ds. Ekkor (ℛ)-nek két megoldása van R < R_{α}-ra és egy megoldása

van R ⩾ R_{α}-ra.

(ii) Tegyük fel, hogy f-nek létezik két gyöke, melyekre α_{1} < α_{2}. Ekkor létezik pontosan egy olyan β > α_{1}, amelyre F (α_{1}) = F (β). Legyen R^{∗} := T (β). (Ekkor R^{∗} > T (α_{1}).) Ha R ⩽ R^{∗}, akkor (ℛ)-nek megszámlálhatónál több megoldása létezik, amelyek karakterizálhatóak bizonyos módon (lásd: [2] Theorem 3).

Az itt leírt eredmények a [2] cikkre épültek, itt a további részletek is megtalálhatók. Az előző klasszifikációs tételek nem jellemezték azt az esetet, amikor f szigorúan p-konvex, f(0) > 0, és f-nek nincs gyöke. Erre az esetre még nem ismert a pontos jellemzés a megoldásszámmal kapcsolatban. A 2.2. lemma feltétele ilyenkor nyilván teljesül, hiszen fnek nincs gyöke. Ezért a megoldások száma ilyenkor megadható T^{−1}({R}) elemszámával. így a time-map vizsgálatára vezethető vissza a megoldásszám megkeresése. Az utolsó fejezetben jellemezzük egy speciális f szigorúan p-konvex függvény esetén a time-map viselkedését, és ebből következtetünk a megoldásszámra. Látjuk majd, hogy a time-map alakja, és így a megoldások száma az előzőektől eltérő tulajdonságokat mutat.

Egy alkalmazás a maximum-elv és a degree segítségével

Ebben a fejezetben végig a kvázilineáris Dirichlet-féle peremérték problémával foglalkozunk. Eredményeink jórészt az [1] cikkre épülnek.

\begin{matrix}(ϕ_{p}(u′))′ + f(t, u) = 0 \\ u(a) = u(b) = 0 \end{matrix} \}  (P),

ahol ′ a t szerinti deriválást jelöli és (ϕ_{p}(·, ′))′ az egydimenziós p-Laplace operátor. (P) olyan u ∈ C^{1}([a, b], ℝ_{+}) megoldásait keressük, amelyekre u|_{(a,b)} > 0 , (ϕ_{p}(u′))′ abszolút folytonos és u kielégíti (P)-t. Az egzisztencia és a megoldások számának meghatározása a célunk. A fejezet első felében egy segédeszközt, a maximum-elv egy általánosított alakját tárgyaljuk, a második részben pedig a fejezet fő eredményét bizonyítjuk, mely egzisztenciatétel és a megoldásszámra is kapunk alsó becslést, legalább megszámlálhatóan végtelen sok megoldás létezését igazoljuk. A bizonyítás vázlata a következő: Tekintsük a

\begin{matrix}−(ϕ_{p}(u′))′ = h \\ u(a) = u(b) = 0 \end{matrix} \}  (D)

problémát, ahol h ∈ L^{1}((a, b), ℝ). Olyan u megoldásait keressük (D)-nek, amelyekre u ∈ C^{1}([a, b], ℝ), és ϕ_{p}(u′) abszolút folytonos. [5] eredményeiből következik, hogy

∀h ∈ L^{1}((a, b), ℝ) ∃! u,

amely kielégíti (D)-t. Ezáltal definiálhatunk egy

G : L^{1}((a, b), ℝ) → C^{0}([a, b], ℝ)

operátort, amelyet úgy értelmezünk, hogy adott h ∈ L^{1}((a, b), ℝ) esetén legyen u = G(h) az egyértelműen létező megoldás. A G operátor kompakt. Most tekintsük a (P) problémában szereplő f függvényt. Nem nehéz belátni, hogy az f-re tett feltétel mellett tudunk definiálni egy

F : C^{0}([a, b], ℝ) → L^{1}([a, b], ℝ)

operátort a következőképpen:

F(u)(t) := f(t, |u(t)|) mm.t ∈ (a, b) esetén.

Nem nehéz belátni, hogy F folytonos, és korlátos halmazt korlátos halmazba képez, azért a

G_{f} := G ∘ F : C^{0}([a, b], ℝ) → C^{0}([a, b], ℝ)

operátor kompakt. Így a (P) probléma egy (a,b)-n pozitív megoldásának megtalálása egyenértékű a

u = G_{f}(u)

operátor-egyenlet (a, b)-n pozitív megoldásainak megtalálásával. A most bevezetett jelölések a fejezet tételeinek leírásában alapvető fontosságúak lesznek, hivatkozás nélkül fogjuk használni őket.

A bizonyítás főbb lépései a következők: Először találunk egy (Ω_{1}, Ω_{2}) párt, ahol Ω_{i} ⊂ C^{0}([a, b], ℝ), és Ω_{i} korlátos nyílt halmaz a szuprémum norma szerint i=1,2 esetén, amelyekre 0 ∈ Ω_{1} ⊂ \overline{Ω_{1}} ⊂ Ω_{2} és a u = G_{f}(u) egyenletnek nincs megoldása u ∈ ∂Ω_{1} ∪ ∂Ω_{2} esetén. Ahhoz, hogy ezt bebizonyítsuk, a time-mapes becsléseket használjuk a (P) -hez kapcsolódó összehasonlító egyenlőtlenségekre. Majd megbecsüljük deg(I − G_{f}, Ω_{1}, 0)-t és deg(I − G_{f}, Ω_{2}, 0)-t és megmutatjuk, hogy különbözőek. Ez a bizonyítás egyik kulcsfontosságú lépése. Az ilyen számolásokban felhasználjuk [4] eredményeit, figyelembe véve a nemlineáris tagra vonatkozó feltevéseket és az általánosabb differenciáloperátort. Végül legalább egy megoldást találunk Ω_{2}\Ω_{1}-en. Ebből következik a maximum-elven keresztül, hogy (P)-nek létezik legalább egy olyan u megoldása, amely pozitív (a, b)-n, feltéve, hogy Ω_{1} átmérője elég nagy. Ezt a gondolatmenetet követve kapjuk (Ω_{n}^{(1)}, Ω_{n}^{(2)}) korlátos, nyílt halmazokból álló pároknak egy sorozatát, amely bizonyítja egy olyan (u_{n}) sorozat létezését, amelynek minden tagja (a, b)-n pozitív megoldását adja (P)-nek és

lim_{n→∞} (max_{n∈ℕ}u_{n}) = ∞.

3.1. A maximum-elv általánosított alakja

Legyen φ : ℝ → ℝ páratlan, folytonos, szigorúan monoton növő bijekció. Ekkor persze az inverze is ilyen tulajdonságú. Legyen továbbá w : [a, b] → ℝ Lebesgue-integrálható függvény, és

W (t) = ∫_{a}^{t} w(s)ds.

Legyen u : [a, b] → ℝ folytonos, (a, b)-n differenciálható, továbbá φ(u′) abszolút folytonos (a, b)-n és

−(φ(u′(t))′ ⩾ w(t) mm. t ∈ [a, b] esetén,  (3.1)
u(a) = u(b) = 0.  (3.2)

3.1. Lemma. (maximum-elv) A fenti feltételek mellett

∥u∥_{∞} > (b − a)φ^{−1}(2 · ∥W ∥_{∞}) ⟹ ∀t ∈ (a, b) : u(t) > 0.

Speciálisan, ha w(t) ⩾ 0 mm. t ∈ (a, b)-re, akkor u(t) ⩾ 0 minden t ∈ (a, b)-re. Továbbá, ha u ≢ 0, akkor u(t) > 0 minden t ∈ (a, b)-re.

Bizonyítás. Legyen ε > 0 olyan kicsi, hogy

∥u∥_{∞} > (b − a)φ^{−1} (2 · ∥W ∥_{∞} + 2ε (b − a)) := L

és w̃(t) := w(t) − ε ≢ 0. Jelölje

W̃(t) := ∫_{a}^{t} w̃(s)ds = W (t) − ε(t − a),

és (3.1)-et írjuk a következő alakba:

−[φ(u′(t)) + W̃(t)]′ ⩾ ε > 0 mm. t ∈ (a, b).

Legyen

y(t) :=^{def} φ(u′(t)) + W̃(t) ∀t ∈ (a, b).  (3.3)

Így y szigorúan monoton fogyó (a, b)-n és

u′(t) = φ^{−1} (y (t) − W̃ (t)) ∀t ∈ (a, b).

Legyen t_{0} ∈ (a, b) olyan, hogy |u(t_{0})| = ∥u∥_{∞} > L. Világos, hogy u′(t_{0}) = 0 és így (3.3)-ból azt kapjuk, hogy

|y(t_{0})| = |φ(0) + W̃(t_{0})| ⩽ ∥W̃∥_{∞}.

Legyen [t_{1}, t_{2}] ⊂ [a, b] a maximális olyan részintervallum, amely tartalmazza t_{0}-t és |y(t)| ⩽ ∥W̃∥_{∞} bármely t ∈ (t_{1}, t_{2}) esetén.

t ∈ (t_{1}, t_{2}) ⟹ |u′(t)| = |φ^{−1} (y (t) − W̃ (t))| ⩽ φ^{−1} (|y(t)| + |W̃(t)|) ⩽

⩽ φ^{−1} (∥W̃∥_{∞} + ∥W̃∥_{∞}) = φ^{−1} (2 · ∥W̃∥_{∞}) .

Így azt kapjuk, hogy

∥u∥_{∞} = |u(t_{0})| ⩽ |u(t)| + |∫_{t}^{t_{0}} u′(s)ds| ⩽ |u(t)| + (b − a) · φ^{−1}(2 · ∥W̃∥_{∞}) ⩽

⩽ |u(t)|+(b−a)φ^{−1}(2·∥W ∥_{∞}+2ε(b−a)) = |u(t)|+L ⟹ |u(t)| ⩾ ∥u∥_{∞}−L ∀t ∈ (t_{1}, t_{2}).

Most u folytonosságát felhasználva

|u(t)| ⩾ ∥u∥_{∞} − L ∀t ∈ [t_{1}, t_{2}].  (3.4)

Mivel u(a) = u(b) = 0 , azért (3.4)-ből kapjuk, hogy a < t_{1} ⩽ t_{2} < b és [t_{1}, t_{2}] maximalitását felhasználva kapjuk, hogy

y(t) > ∥W̃∥_{∞} ∀t ∈ (a, t_{1}),  (3.5)
y(t_{1}) = ∥W̃∥_{∞}, |y(t)| < ∥W̃∥_{∞} ∀t ∈ (t_{1}, t_{2}), y(t_{2}) = −∥W̃∥_{∞}  (3.6)
y(t) < −∥W̃∥_{∞} ∀t ∈ (t_{2}, b),  (3.7)

(ahol u|_{(a,b)} szigorú növekedését is használtuk). (3.5)-ből kapjuk, hogy

u′(t) = φ^{−1}(y(t) − W̃(t)) ⩾ φ^{−1}(y(t) − ∥W̃∥_{∞}) > 0 ∀t ∈ (a, t_{1}),

és (3.7)-ből u′(t) < 0 minden t ∈ (t_{2}, b)-re. Ezt és u folytonosságát felhasználva u szigorúan növő [a, t_{1}]-en és u szigorúan fogyó [t_{2}, b]-n. Tehát

\begin{matrix}u : [a, b] → ℝ folytonos, \\ u(a) = 0 \\ u_{|[a,t_{1}]} szigorúan növő \\ |u(t)| > 0 ∀t ∈ [t_{1}, t_{2}] \\ u_{|[t_{2},b]}szigorúan fogyó \\ u(b) = 0 \end{matrix} \} ⟹ u(t) > 0 ∀t ∈ (a, b).

3.1. Megjegyzés. Nem nehéz belátni, hogy φ páratlansága elhagyható. φ(0) = 0 elegendő annak bizonyításához, hogy

∥u∥_{∞} > (b − a) · max {φ^{−1} (2∥W ∥_{∞}) , |φ^{−1} (−2∥W ∥_{∞}) |} .

A 3.1. lemma bizonyításából u-ra több információt is nyerhetünk, ez következik most.

3.2. Lemma. Legyen u a (3.1) és (3.2) megoldása. Ekkor minden M ⩾ ∥W ∥_{∞} esetén igaz, hogy

∀t ∈ A_{M} := {s ∈ (a, b) | u(s) < ∥u∥_{∞} − K_{M}} esetén:
∥u∥_{∞} > K_{M} := (b − a) · φ^{−1}(2M) ⟹ |u′(t)| > φ^{−1}(M − ∥W ∥_{∞}).

Bizonyítás. Legyen ∥u∥_{∞} > K_{M}. A 3.1. lemmából tudjuk, hogy u(t) > 0 minden t ∈ (a, b)-re. Továbbá y(t) := φ(u′(t)) + W (t) monoton fogyó. Legyen t_{0} ∈ (a, b) olyan, hogy u(t_{0}) = u_{max} > K_{M}, és jelölje [τ_{M}, σ_{M}] ⊂ [a, b] a maximális olyan részintervallumot, amely tartalmazza t_{0}-t és |y(t)| ⩽ M minden t ∈ [τ_{M}, σ_{M}]-re. t ∈ (τ_{M}, σ_{M})-re ugyanúgy okoskodva, mint előbb, kapjuk, hogy

|u′(t)| ⩽ φ^{−1}(2M), így u(t) > u_{max} − K_{M} ∀t ∈ (τ_{M}, σ_{M}),

és így u(t) ⩾ u_{max} − K_{M} minden olyan t ∈ (τ_{M}, σ_{M}) esetén, amelyre [τ_{M}, σ_{M}] ⊂ (a, b). [τ_{M}, σ_{M}] maximalitásából következik, hogy |y(t)| > M bármely t ∈ (a, b) \ [τ_{M}, σ_{M}] esetén. Speciálisan y(t) > M (a, τ_{M})-en, y(t) < −M (σ_{M}, b)-n. Használva, hogy |u′(t)| = |φ′(y(t) − W (t))| > φ^{−1}(M − ∥W ∥_{∞}) minden t ∈ (a, τ_{M}) ∪ (σ_{M}, b)-re, és

(a, τ_{M}) ∪ (σ_{M}, b) ⊃ {t ∈ (a, b) | u(t) < u_{max} − K_{M}},

azért a bizonyítás kész. ■

3.3. Lemma. Legyen u a (3.1) és (3.2) olyan megoldása, hogy ∥u∥_{∞} > (b−a)φ^{−1}(2M) = K_{M} valamely M ⩾ ∥W ∥_{∞}-re, és tegyük fel, hogy w(t) > 0 mm. t ∈ ℬ_{M} esetén, ahol

ℬ_{M} := {s ∈ (a, b) | ∥u∥_{∞} − K_{M} ⩽ u(s) ⩽ ∥u∥_{∞}} .

Ekkor létezik pontosan egy olyan t^{∗} ∈ (a, b), amelyre u(t^{∗}) = ∥u∥_{∞}, továbbá u′(t) ≠ 0 minden t ∈ (a, b) \ {t^{∗}} esetén.

Bizonyítás. A 3.1. és a 3.2. lemma jelöléseit használva legyen (a, γ_{M}^{−}) a maximális olyan (a, t) intervallum, hogy

∀s ∈ (a, t) : u′(s) > 0,

(γ_{M}^{+}, b) pedig a maximális olyan (t, b) intervallum, amelyre

∀s ∈ (t, b) : u′(s) < 0.

A 3.2. lemmából (a, τ_{M}) ⊂ (a, γ_{M}^{−}) és (σ_{M}, b) ⊂ (γ_{M}^{+}, b). Így

[γ_{M}^{−}, γ_{M}^{+}] ⊂ [τ_{M}, σ_{M}] ⊂ ℬ_{M} és |u′(t)| > 0 ∀t ∈ (a, b) \ [γ_{M}^{−}, γ_{M}^{+}].

Jelölje t̃ := max{s ∈ (a, b) | u(s) = ∥u∥_{∞}}. Világos, hogy t̃ ∈ [γ_{M}^{−}, γ_{M}^{+}] és u′(t̃) = 0. Tekintsük az y(t) = φ(u′(t)) + W (t) monoton fogyó függvényt. Az előzőekből azt kapjuk, hogy γ_{M}^{−} ⩽ t ⩽ t̃ esetén

φ(u′(t)) + W (t) ⩾ φ(u′(t)) + W \binom{}{t̃} = φ(0) + W ( t̃) = W \binom{}{t̃} .

és így

u′(t) ⩾ φ^{−1} (∫_{t}^{t̃} w(s)ds) .

Továbbá

w|_{ℬ_{M}} > 0 ⟹ u′(t) > 0 γ_{M}^{−} ⩽ t < t̃-re.

A (0, γ_{M}^{−}) intervallum maximalitásából t̃= γ_{M}^{−}. Teljesen hasonlóan a

t̂= min{s ∈ (a, b) | ∥u∥_{∞} = u(s)}

jelölés bevezetésével kapjuk, hogy t̂= γ_{M}^{+}. Ezért

t̃⩾ t̂⟹ γ_{M}^{−} = t̃= t̂= γ_{M}^{+},

amiből a lemma következik. ■

3.2. A fő eredmény

Ebben a részben bebizonyítjuk a fejezet főtételét, amelyben a tétel feltevései mellett végtelen sok megoldás létezését tudjuk garantálni. A tétel kimondása előtt bevezetünk egy definíciót.

3.1. Definíció. Egy f : [a, b] × ℝ_{+} → ℝ függvényt L^{1}-Caratheodory-függvénynek nevezünk, ha f(t, ·) folytonos mm. t ∈ [a, b]-re, f(·, u) folytonos mm. t ∈ [a, b]-re, f(·, u) mérhető bármely u ∈ ℝ_{+}-ra, és minden ϱ > 0-hoz létezik olyan h_{ϱ} ∈ L^{1}((a, b), ℝ_{+}), hogy |f(t, u)| ⩽ h_{ϱ}(t) minden u ∈ [0, ϱ] és mm. t ∈ [a, b]-re.

Ennek a fejezetnek a fő célja a következő tétel bizonyítása:

3.1. Tétel. Legyen f : [a, b] × ℝ_{+} → ℝ egy L^{1}-Caratheodory-függvény. Tegyük fel, hogy g, h : ℝ_{+} → ℝ két folytonos függvény, amelyekre g(s) > 0, h(s) > 0, ha s elég nagy és G(s) → ∞, H(s) → ∞, ha s → ∞, ahol

G(s) := ∫_{0}^{s} g(u)du és H(s) := ∫_{0}^{s} h(u)du.

Legyen d > 0 olyan, hogy

g(s) ⩽ f(t, s) ⩽ h(s) mm. t ∈ [a, b] és ∀s ⩾ d.  (3.8)

Végül tegyük fel, hogy

lim inf_{s→∞} T_{g}(s) < b − a < lim sup_{s→∞} T_{h}(s).  (3.9)

Ekkor a

\begin{matrix}(ϕ_{p}(u′))′ + f(t, u) = 0 \\ u(a) = u(b) = 0 \end{matrix} \}  (P)

problémának létezik egy olyan (u_{n})_{n∈ℕ} megoldássorozata, amelyre u_{n}(t) > 0 minden t ∈ (a, b)-re, és lim_{n→∞} (max u_{n}) = ∞.

3.2. Megjegyzés. A tétel (3.9) feltétele teljesül például akkor, ha g = d · ϕ_{p} – ekkor láttuk, hogy T_{g}(x) = 2c_{p} · \frac{1}{d^{1}/p} – és bármely s ∈ ℝ_{+} esetén 2c_{p} · \frac{1}{d^{1}/p} < b − a < T_{h}(s).

Végig ebben a részben legyen

X := {x ∈ C^{0}([a, b], ℝ) | x(a) = x(b) = 0} .

𝒫 ⊂ X jelölje az (a, b)-n pozitív függvények halmazát. A 3.1. tétel bizonyítása előtt bebizonyítunk egy lemmát. Legyen h : ℝ → ℝ^{+} folytonos és tekintsük az alábbi problémát:

\begin{matrix}(ϕ_{p}(u′))′ + h(u) = 0 \\ u(a) = u(b) = 0. \end{matrix} \}  (A)

Ez a probléma ekvivalens az

u = G_{h}(u)  (3.10)

egyenlettel, ahol G_{h} : X → X az előszóban definiált kompakt operátor. Továbbá a maximum-elvből G_{h}(X) ⊂ 𝒫.

3.4. Lemma. Legyen R > 0 és Ω = B(0, R) ⊂ X. Ekkor:

(i)

T_{h}(R) > b − a ⟹ deg(I − G_{h}, Ω, 0) = 1,

(ii)

T_{h}(R) < b − a ⟹ deg(I − G_{h}, Ω, 0) = 0.

3.3. Megjegyzés. Vegyük észre, hogy deg(I − G_{h}, Ω, 0) = ι̇_{𝒫}(G_{h}|_{𝒫}, Ω ∩ 𝒫), ahol ι̇_{𝒫} a 𝒫-hez tartozó fixpont-index.

Bizonyítás. (i) Vegyünk egy λ ∈ [0, 1] számot és tekintsük a

\begin{matrix}(ϕ_{p}(u′))′ + λh(u) = 0 \\ u(a) = u(b) = 0 \end{matrix} \}  (P_{λh})

problémát. Világos, hogy (P_{λh}) ekvivalens a következővel:

u = G_{λh}(u) = λ^{p^{∗}−1}G_{h}(u),  (3.11)

ahol G_{λh} : [0, 1] × X → X kompakt. Azt állítjuk, hogy deg(I − G_{λh}, Ω, 0) jól definiált. Tegyük fel, hogy nem, ekkor létezik olyan (λ^{∗}, u^{∗}) pár, amely (3.11)-et kielégíti, λ^{∗} > 0 és ∥u^{∗}∥_{∞} = R. A maximum-elvből következik, hogy u_{max}^{∗} = R és u^{∗}|_{(a,b)} > 0. Észrevéve, hogy

0 < λh(s) ⩽ h(s) ∀λ ∈ (0, 1], ∀s ∈ ℝ^{+} esetén,

a time-map tulajdonságaiból kapjuk, hogy

b − a = T_{λ^{∗}h}(R) ⩾ T_{h}(R) > b − a,

ami ellentmondás, tehát deg(I − G_{λh}, Ω, 0) jól definiált. A degree homotópia-invarianciá-jából következik, hogy

deg(I − G_{h}, Ω, 0) = deg(I, Ω, 0) = 1.

(ii) Legyen k > 0 olyan fix konstans, amelyre a T_{kΦ_{p}} time-map kielégíti a

T_{kϕ_{p}}(s) < b − a ∀s ∈ ℝ^{+}  (3.12)

egyenlőtlenséget. Emlékezzünk arra, hogy T_{kϕ_{p}} konstans ℝ^{+}-on. Válasszunk egy nagy L > 0 konstansot, amelyre

kϕ_{p}(s) + L > h(s) ∀s ∈ [0, R].
ĥ(s) := max{kϕ_{p}(s) + L, h(s)} s ∈ ℝ_{+}-ra,

és legyen h^{∗} : [0, 1] × ℝ → ℝ^{+} tetszőleges olyan folytonos függvény, amelyre

h^{∗}(λ, s) = λĥ(s) + (1 − λ)h(s) ∀s ⩾ 0.

Kapjuk, hogy

h^{∗}(λ, s) ⩾ h(s) ∀λ ∈ [0, 1] ∀s ∈ [0, ∞).

Így

T_{h^{∗}(λ,·)}(s) ⩽ T_{h}(s) ∀s ∈ ℝ^{+}.  (3.13)

Tekintsük a

\begin{matrix}(ϕ_{p}(u′))′ + h^{∗}(λ, u) = 0 \\ u(a) = u(b) = 0 \end{matrix} \}  (P_{h^{∗}})

problémát. Világos, hogy (P_{h^{∗}}) ekvivalens az u = G_{h^{∗}}(λ, u) egyenlőséggel, ahol

G_{h^{∗}} : [0, 1] × X → X

kompakt. Azt állítjuk, hogy deg(I − G_{h^{∗}}(λ, ·), Ω, 0) jól definiált. Ugyanis, ha nem lenne az, akkor létezne olyan (λ^{∗}, u^{∗}) ∈ [0, 1] × ∂Ω pár, amely kielégíti (P_{h^{∗}})−ot. Ekkor a maximum-elvből ∥u^{∗}∥_{∞} = u_{max}^{∗} = R,

u^{∗}|_{(a,b)} > 0 és T_{h}(u_{max}^{∗}) < b − a = T_{h^{∗}(λ^{∗},·)}(u_{max}^{∗}),

ami ellentmond (3.13)-nek, így deg(I − G_{h^{∗}}(λ, ·), Ω, 0) jól definiált. Most a degree homotópia-invarianciájából

deg(I − G_{h^{∗}}(0, ·), Ω, 0) = deg(I − G_{h^{∗}}(1, ·), Ω, 0),

amiből következik, hogy

deg(I − G_{h}, Ω, 0) = deg(I − G_{h^{∗}}(1, ·), Ω, 0).  (3.14)

Azt kellene belátnunk, hogy (3.14) jobb oldala 0. Tegyük fel ugyanis, hogy nem 0, ekkor létezik olyan u ∈ Ω, amelyre

\begin{matrix}(ϕ_{p}(u′))′ + ĥ(u) = 0 \\ u(a) = u(b) = 0. \end{matrix} \}

A maximum-elvből és u ∈ Ω−t használva kapjuk, hogy

0 < u(t) < R ∀t ∈ (a, b).

Ekkor ĥ(u(t)) = kϕ_{p}(u(t)) + L és így u kielégíti a

\begin{matrix}(ϕ_{p}(u′))′ + ĥ(u) = 0 \\ u(a) = u(b) = 0 u|_{(a,b)} > 0 \\ max u < R \end{matrix} \}

rendszert. Így b − a = Tĥ(u_{max}). De: ĥ(s) > kϕ_{p}(s) minden s ∈ ℝ^{+}−ra. Ezért

Tĥ(u_{max}) < T_{kϕ_{p}}(u_{max}),

amiből következik, hogy b − a < T_{kϕ_{p}}(u_{max}), ez ellentmond (3.12)-nek. ■

A 3.1. tétel bizonyítása Feltehető, hogy g(s) > 0 és h(s) > 0 minden s ⩾ 0−ra, mert a time-map aszimptotikus viselkedése nem függ a kompakt intervallumokon való viselkedésétől. Vegyük észre, hogy (3.9)-ból találhatunk két pozitív számot, ε_{0}-t és ε_{1}-et és két szigorúan monoton növő sorozatot, (R_{n})-et és (S_{n})-et, amelyekre lim_{n→∞} R_{n} = lim_{n→∞} S_{n} = ∞, R_{n} ∈ (S_{n}, S_{n+1}), ha n ∈ ℕ, és a következő két tulajdonság teljesül:

T_{h}(R_{n}) > (b − a) + ε_{0}  (3.15)
T_{g}(S_{n}) < (b − a) − ε_{1},  (3.16)

és jelölje

Ω_{n}^{(1)} := {u ∈ X | ∥u∥_{∞} < R_{n}}

és

Ω_{n}^{(−1)} := {u ∈ X | ∥u∥_{∞} < S_{n}} .

Ω_{n}^{(1)}, Ω_{n}^{(−1)} korlátos halmazok X-ben és

0 ∈ Ω_{n}^{(−1)} ⊂ Ω_{n}^{(1)} ⊂ Ω_{n+1}^{(−1)} ⊂ Ω_{n+1}^{(1)} ∀n ∈ ℕ.

(3.15)-ből és a 3.4. lemmából következik, hogy

deg(I − G_{h}, Ω_{n}^{(1)}, 0) = 1 ∀n ∈ ℕ.  (3.17)

(3.16)-ből és a 3.4. lemmából

deg(I − G_{g}, Ω_{n}^{(−1)}, 0) = 0 ∀n ∈ ℕ,  (3.18)

ahol G_{g} a megfelelő kompakt operátor (3.10)-ban, és ahol az utóbbi egyenlőségben az (A) problémában szereplő h-t kicseréltük g-re. Most legyenek

f_{e}(t, s) := f(t, |s|)

f̂(t, s, λ) := (1 − λ^{2}) · f_{e}(t, s) + \frac{λ^{2}(1 − λ)}{2}g(s) + \frac{λ^{2}(1 + λ)}{2}h(s).

Megjegyezzük, hogy f̂(t, s, 1) = h(s), f̂(t, s, −1) = g(s), f̂(t, s, 0) = f_{e}(t, s), továbbá

g(s) ⩽ f̂(t, s, λ) ⩽ h(s) ∀s : |s| ⩾ d, mm. t ∈ (a, b) esetén

elég nagy d-re. Tekintsük a következő peremértékproblémát −1 ⩽ λ ⩽ 1 esetén:

\begin{matrix}(ϕ_{p}(u′))′ + f̂(t, u, λ) = 0 \\ u(a) = u(b) = 0. \end{matrix} \}  (Pf̂)

A (Pf̂) probléma −1 ⩽ λ ⩽ 1 esetén ekvivalens módon átírható az

u = Gf̂(λ, u)

alakba, ahol

Gf̂: [−1, 1] × X → X

kompakt operátor. Vegyük észre, hogy

Gf̂(1, ·) = G_{h}(·); Gf̂(−1, ·) = G_{g}(·); Gf̂(0, ·) = G_{f_{e}}(·).  (3.19)

Így (3.18)-(3.19)-ből kapjuk, hogy minden n ∈ ℕ-re

deg(I − Gf̂(1, ·), Ω_{n}^{(1)}, 0) = 1,  (3.20)
deg (I − Gf̂(−1, ·), Ω_{n}^{(−1)}, 0) = 0.  (3.21)

A következő célunk bebizonyítani,hogy λ ∈ [−1, 1]-re és elég nagy n ∈ ℕ-re

deg (I − Gf̂(λ, ·), Ω_{n}^{(1)}, 0) , deg (I − Gf̂(λ, ·), Ω_{n}^{(−1)}, 0)  (3.22)

mindegyike definiált. Először jegyezzük meg, hogy f tulajdonságaiból

∃w ∈ L^{1}([a, b], ℝ) : f̂(t, s, λ) ⩾ w(t) ∀s ∈ ℝ, ∀λ ∈ [−1, 1], mm. t ∈ [a, b].

Így (Pf̂) bármely u megoldására

− (ϕ_{p}(u′(t)))′ ⩾ w(t) mm. t ∈ (a, b).

A 3.1. lemmának megfelelően definiáljuk R̃-ot a következőképpen:

R̃ := (b − a)ϕ_{p^{∗}}(2∥W ∥_{∞}),

ahol

W (t) = ∫_{a}^{t} w(s)ds.

Jegyezzük meg, hogy ϕ_{p^{∗}} = (ϕ_{p})^{−1}. Most legyen u a (Pf̂) olyan megoldása, amelyre ∥u∥_{∞} = R > max{d, R̃} és tegyük fel, hogy R elég nagy, a későbbi gondolatmenetből majd látszani fog, hogy mekkorára érdemes választani R-et. Legelőször is a 3.1. lemmából arra következtethetünk, hogy

u(t) > 0 ∀t ∈ (a, b) és u_{max} = R.

Ezután a 3.2. lemmából könnyen ellenőrizhető, hogy |u′(t)| > 0 minden olyan t ∈ (a, b)-re, amelyre u(t) ⩽ d és léteznek olyan α_{r}, β_{R} konstansok, amelyekre a < α_{R} < β_{R} < b és

(∀t ∈ (a, α_{R}) ∪ (β_{R}, b)) (0 < u(t) < d)
u(α_{R}) = u(β_{R}) = d
(∀t ∈ [α_{R}, β_{R}]) (u(t) ⩾ d).

Továbbá

− (ϕ_{p}(u′(t)))′ ⩾ g(u(t)) ⩾ δ_{∗} ∀t ∈ [α_{R}, β_{R}],

ahol

δ_{∗} := min {g(s) | s ∈ [d, ∥u∥_{∞}]} > 0.

Világos, hogy u′|_{[α_{R},β_{R}]} szigorúan fogyó, ezért létezik pontosan egy olyan t̂ ∈ [α_{R}, β_{R}],

amelyre u′(t) = 0. Így u′(t) > 0, ha t ∈ [a, t̂) és u′(t) < 0, ha t ∈ (t̂, b]. Továbbá a 3.2. lemmából következik, hogy

α_{R} − a → 0, b − β_{R} → 0 ha R → ∞.

Most aszimptotikus becslést adunk β_{R} − α_{R}-re. A (Pf̂) problémát a következő rendszer alakjába írjuk

\begin{matrix}u′ = ϕ_{p^{∗}}(y) \\ y′ = −f̂(t, u, λ) \\ u(a) = u(b) = 0. \end{matrix} \}  (Ŝ_{λ})

Definiáljuk az E : [a, b] → ℝ függvényt a következőképpen:

E(t) := H(u(t)) + Φ_{p^{∗}}(y(t)), t ∈ [a, b].

(Ŝ_{λ})-ból és (3.8)-ből nyerjük, hogy

E(t) ⩽ E(t̂),  (3.23)

ha t ∈ (α_{R}, β_{R}). (3.23)-ból és (Ŝ_{λ}) első egyenletéből

|u′(t)| ⩽ \frac{1}{c_{p}} · (H (u \binom{}{t̂}) − H (u (t)))^{\frac{1}{p}} ,

és így

\frac{c_{p} · u′(t)}{(H (u \binom{}{t̂}) − H (u (t)))^{\frac{1}{p}}} ⩽ 1 ∀t ∈ (α_{R}, t̂).

Ezt az egyenlőtlenséget α_{R}-től t̂-ig integrálva és az u(t) = s helyettesítést alkalmazva kapjuk, hogy

c_{p} · ∫_{d}^{R} \frac{ds}{(H(R) − H(s))^{\frac{1}{p}}} ⩽ t̂− α_{R}.

Teljesen hasonló módon kapjuk, hogy

c_{p} · ∫_{d}^{R} \frac{ds}{(H(R) − H(s))^{\frac{1}{p}}} ⩽ β_{R} − t̂.

Ezért

β_{R} − α_{R} = β_{R} − t̂+ t̂− α_{R} ⩾ 2c_{p} · ∫_{d}^{R} \frac{ds}{(H(R) − H(s))^{\frac{1}{p}}} ,

és így

β_{R} − α_{R} ⩾ T_{h}(R) − I(R),  (3.24)

ahol

I(R) = 2c_{p} · ∫_{0}^{d} \frac{ds}{(H(R) − H(s))^{\frac{1}{p}}} .

Világos, hogy lim_{R→∞} I(R) = 0. Így adott ε > 0, ε < min{ε_{0}, ε_{1}} esetén létezik olyan R^{∗} > max{d, R}, hogy

0 < I(R) < ε ∀R ⩾ R^{∗}  (3.25)
α_{R} − a ⩽ \frac{ε}{2}, b − β_{R} < \frac{ε}{2}.  (3.26)

(3.24)-ből és (3.25)-ből következik, hogy R ⩾ R^{∗} esetén

T_{h}(R) ⩽ β_{R} − α_{R} + ε ⩽ b − a + ε.  (3.27)

Most definiáljuk az E : [a, b] → ℝ függvényt a következőképpen:

E(t) := G(u(t)) + Φ_{p^{∗}}(y(t)),

ahol

G(t) := ∫_{0}^{t} g(s)ds.

(Ŝ_{λ})-ból és (3.8)-ből kapjuk, hogy

E(t) ⩾ E(t̂) ∀t ∈ (α_{R}, β_{R}).  (3.28)

Ezért (3.28)-ből és (Ŝ_{λ}) első egyenletéből azt kapjuk, hogy

\frac{c_{p} · |u′(t)|}{(G(u(t̂) − G(u(t)))^{1/p}} ⩾ 1 ∀t ∈ (α_{R}, t̂) ∪ (t̂, β_{R}).  (3.29)

(3.29)-t t szerint integrálva először az (α_{R}, t̂) majd a (t̂, β_{R}) intervallumon azt kapjuk, hogy

c_{p} · ∫_{d}^{R} \frac{ds}{(G(R) − G(s))^{\frac{1}{p}}} ⩾ t̂− α_{R},

c_{p} · ∫_{d}^{R} \frac{ds}{(G(R) − G(s))^{\frac{1}{p}}} ⩾ β_{R} − t̂.

Így

β_{R} − α_{R} ⩽ 2c_{p} · ∫_{d}^{R} \frac{ds}{(G(R) − G(s))^{\frac{1}{p}}} ⩽ T_{g}(R).  (3.30)

Most – esetleg részsorozatra áttérve – feltehetjük, hogy R_{n} > R^{∗} és S_{n} > R^{∗} bármely n természetes szám esetén. Azt állítjuk, hogy (Pf̂) bármely olyan u megoldására, amelyre u_{max} = R > R^{∗}, teljesül, hogy R ≠ R_{n}, R ≠ S_{n} minden n természetes számra. Ugyanis, ha ez nem így lenne, akkor R = R_{n} teljesülne valamely n-re, ekkor (3.27)-ból kapjuk, hogy

T_{h}(R_{n}) ⩽ b − a + ε,

ami ellentmond (3.15)-nek. Ha viszont R = S_{n} valamely n-re, akkor (3.30)-ből következik, hogy

b − a − ε ⩽ T_{g}(S_{n}),

ami ellentmond (3.16)-nek. Világos, hogy a fenti állításból következik, hogy a (3.22)-ben szereplő mindkét degree jól definiált. A degree homotópia-invarianciájából és (3.20)-ből kapjuk, hogy

deg(I − Gf̂(0, ·), Ω_{n}^{(1)}, 0) = deg(I − Gf̂(1, ·), Ω_{n}^{(1)}, 0) = 1,

és ezért

deg(I − G_{f_{e}}, Ω_{n}^{(1)}, 0) = 1  (3.31)

bármely olyan n ∈ ℕ-re, amelyre S_{n} > R^{∗}. Hasonlóan a homotópia-invarianciából és (3.21)-ból kapjuk, hogy

deg(I − Gf̂(0, ·), Ω_{n}^{(−1)}, 0) = deg(I − Gf̂(−1, ·), Ω_{n}^{(−1)}, 0) = 0,

és ezért

deg(I − G_{f_{e}}, Ω_{n}^{(−1)}, 0) = 0  (3.32)

bármely olyan n ∈ ℕ-re, amelyre S_{n} > R^{∗}. A degree additivitásából, kivágási tulajdonságából, (3.31)-ból és (3.32)-ből kapjuk, hogy

deg (I − G_{f_{e}}, Ω_{n+1}^{(−1)} \ \overline{Ω_{n}^{(1)}}, 0) = −1, és
deg (I − G_{f_{e}}, Ω_{n}^{(1)} \ \overline{Ω_{n}^{(−1)}}, 0) = 1.

Így léteznek u_{n}^{(1)} ∈ Ω_{n}^{(1)} \ \overline{Ω_{n}^{(−1)}} és u_{n}^{(2)} ∈ Ω_{n+1}^{(−1)} \ \overline{Ω_{n}^{(1)}} megoldásai a

\begin{matrix}(ϕ_{p}(u′))′ + f(t, |u|) = 0 \\ u(a) = u(b) = 0 \end{matrix} \}  (P_{e})

problémának. Továbbá u_{n}^{(1)}(t) > 0, u_{n}^{(2)}(t) > 0 minden t ∈ (a, b)-re, így u_{n}^{(1)} és u_{n}^{(2)} a (P) probléma megoldásai. Végül

S_{n} < max u_{n}^{(1)} < R_{n} < max u_{n}^{(2)} < S_{n+1}, ∀n ∈ ℕ.

Ezzel a bizonyítás kész.

■

Megemlítjük az általunk most bizonyított tételnek egy következményét:

Legyen f : ℝ_{+} → ℝ folytonos , lim_{∞} f = ∞ és legyen q : [a, b] × ℝ_{+} → ℝ L^{1}-Cara-theodory és L^{∞}-beli függvény. Tegyük fel, hogy

lim inf_{s→∞} T_{f}(s) < b − a < lim sup_{s→∞} T_{f}(s).

Ekkor a

\begin{matrix}(ϕ_{p}(u′))′ + f(u) = q(t, u) \\ u(a) = u(b) = 0 \end{matrix} \}

problémának végtelen sok pozitív megoldása létezik.

A time-map alkalmazása egy konkrét esetben

Ebben a fejezetben jellemezzük a time-map – és ezzel együtt a megoldásszám – viselkedését egy olyan f szigorúan p-konvex függvény esetén, amelyre a második fejezetben leírt klasszifikációs tételek nem adnak választ. Most is a második fejezetben megadott (ℛ) probléma megoldásait keressük. Az f függvény legyen a következő :

f(u) := u^{p} + b · u^{p−1} + c, u ∈ ℝ,

ahol p ⩾ 2, b > 0, c > 0. Most teljesülnek a 2.2. lemma feltételei, hiszen f-nek nincs gyöke, ugyanakkor f(0) > 0, ezért egyik klasszifikációs tétel sem alkalmazható. Mivel a 2.2. lemma miatt minden megoldás szimmetrikus az origóra, azért a megoldást elég egy [0, R] alakú intervallumon keresni, ahol R > 0. Tehát most elég a

\begin{matrix}(ϕ_{p}(u′))′ + f(u) = 0 \\ u(0) = u(R) = 0, u|_{(−R,R)} > 0. \end{matrix} \}  (ℛ′)

peremértékprobléma megoldását vizsgálni. Vezessük be a következő jelöléseket:

F (u) := ∫_{0}^{u} f(s)ds = \frac{u^{p+1}}{p + 1} + b · \frac{u^{p}}{p} + c · u,

S(α) := ∫_{0}^{α} \frac{ds}{(F (α) − F (s))^{1/p}} = \frac{1}{2c_{p}} · T (α).

Mivel most f abszolút minimumhelye a 0, f′(u) = p · u^{p−1} + b(p − 1)u^{p−2}, és

\frac{p · u^{p−1} + b(p − 1)u^{p−2}}{u^{p−2}} = p · u + b · (p − 1),

ami szigorúan monoton növő, azért f szigorúan p-konvex. A 2.4. lemma (i) része miatt lim_{0} T = 0, továbbá a 2.3. következmény (iii) része alapján lim_{∞} T = 0. A 2.4. lemma, illetve a 2.3. következmény feltételei most triviálisan teljesülnek, hiszen most az F integrálfüggvény szigorú monotonitása miatt a 2.5. lemma alapján D(T) = (0, ∞). Nyilván a time-map monotonitásának, konvexitásának vizsgálata egyenértékű a tőle csak konstans szorzóban eltérő S(α) függvény monotonitásának, konvexitásának vizsgálatával. Először kiszámoljuk S′(α)-t, ebből következtetünk a monotonitásra. S(α) definiáló képletében hajtsuk végre a t = \frac{s}{α} helyettesítést. Ekkor a következő előállítást kapjuk:

S(α) = ∫_{0}^{1} \frac{αdt}{(F (α) − F (αt))^{1/p}} .  (4.1)

Most S′(α) kiszámolásánál nyilván az integrandust elég deriválni, mivel a mostani átalakítás után már fix az intervallum és az integrandus α-szerint C^{2}-beli. Így, ha sikerül megmutatnunk, hogy az integrandus valamely α értékek és 0 ⩽ s ⩽ α esetén negatív, vagy pozitív, akkor az integrál is negatív, illetve pozitív lesz. Az integrandust deriválva S′(α)-ra a következő előállítás adódik:

S′(α) = ∫_{0}^{1} \frac{[F (α) − F (αt)]^{\frac{1}{p}} − \frac{α}{p} · [F (α) − F (αt)]^{\frac{1}{p} −1} · (f(α) − f(αt) · t)}{[F (α) − F (αt)]^{\frac{2}{p}}}dt.  (4.2)

A most kapott integrálban az integrandust [F (α) − F (αt)]^{\frac{1}{p} −1}-gyel egyszerűsítve adódik a következő formula:

S′(α) = ∫_{0}^{1} \frac{F (α) − F (αt) − \frac{α}{p} · [f(α) − f(αt) · t]}{[F (α) − F (αt)]^{\frac{1}{p} +1}}dt.  (4.3)

Most alkalmazzuk a s = αt helyettesítést, ezzel az imént kapott integrált újból átírjuk 0-tól α-ig terjedő integrállá. Egyszerű számolással adódik, hogy

S′(α) = \frac{1}{α} · ∫_{0}^{α} \frac{F (α) − F (s) − \frac{α}{p} · [f(α) − \frac{s}{α}f(s)]}{[F (α) − F (s)]^{\frac{1}{p} +1}}ds.  (4.4)

A most kapott képletben becsüljük meg az integrandus számlálóját. Jelöljük mostantól kezdve ezt a számlálót ℒ(α, s)-sel. Az f és a F függvény konkrét alakját felhasználva a számláló a következőképpen írható.

ℒ(α, s) = \frac{α^{p+1} − s^{p+1}}{p + 1} +b\frac{α^{p} − s^{p}}{p} +c(α−s)− \frac{α}{p} ·[α^{p} + bα^{p−1} + c − \frac{s}{α}s^{p} − \frac{s}{α}bs^{p−1} − \frac{s}{α}c] .

Egyszerűbb alakra hozva:

ℒ(α, s) = (α^{p+1} − s^{p+1}) (\frac{1}{p + 1} − \frac{1}{p}) + c (α − s) (1 − \frac{1}{p}) .  (4.5)

A fenti formulából (α − s)-et kiemelve, és közös nevezőre hozva:

ℒ(α, s) = \frac{α − s}{p(p + 1)} · [c(p^{2} − 1) − \frac{α^{p+1} − s^{p+1}}{α − s} ] .  (4.6)

Ebből adódik, hogy

S′(α) < 0 ⟺ \frac{α^{p+1} − s^{p+1}}{α − s} > c(p^{2} − 1).  (4.7)

Most használjuk ki azt, hogy 0 ⩽ s ⩽ α esetén nyilvánvalóan teljesül, hogy \frac{α^{p+1}−s^{p+1}}{α−s} ⩾ α^{p}. Ezért amikor olyan α-t keresünk, amelyre S′(α) < 0, akkor elegendő olyan α-t keresni, amelyre α^{p} > c · (p^{2} − 1). Ebből adódik a következő eredmény:

α > [c(p^{2} − 1)]^{\frac{1}{p}} esetén S′(α) < 0.  (4.8)

Vezessük be a α_{1} := [c(p^{2} − 1)]^{\frac{1}{p}} jelölést. A további vizsgálathoz szükség van S′′(α)-ra is.

S′′(α) kiszámításához most térjünk vissza S′(α) (4.3)-es előállításához. A (4.3)-as képletben az integrandust deriválva adódik a következő előállítás S′′(α)-ra:

S′′(α) = ∫_{0}^{1} \frac{A_{1}(α, t) + B_{1}(α, t)}{[F (α) − F (αt)]^{\frac{2}{p} +2}} ,  (4.9)

ahol a A_{1}(α, t), illetve a B_{1}(α, t) függvények a következők:

A_{1}(α, t) := [f(α) − t · f(αt) − \frac{1}{p}f(α) − \frac{α}{p}f′(α) + \frac{t}{p}f(αt) + \frac{αt^{2}}{p} f′(αt)] ·

· [F (α) − F (αt)]^{\frac{1}{p} +1} .

B_{1}(α, t) := − (\frac{1}{p} + 1) · [F (α) − F (αt)]^{\frac{1}{p}} · [f(α) − tf(αt)] ·

· [F (α) − F (αt) − \frac{α}{p}f(α) + t\frac{α}{p}f(αt)] .

Most a (4.9)-as képletben az integrandust a [F (α) − F (αt)]^{\frac{1}{p}} tényezővel egyszerűsítve a következő képletet kapjuk S′′(α)-ra:

S′′(α) = ∫_{0}^{1} \frac{A_{2}(α, t) + B_{2}(α, t)}{[F (α) − F (αt)]^{\frac{1}{p} +2}} dt ,  (4.10)

ahol az A_{2}(α, t), és B_{2}(α, t) függvények definiáló egyenlősége a következő:

A_{2}(α, t) := [f(α) − t · f(αt) − \frac{1}{p}f(α) − \frac{α}{p}f′(α) + \frac{t}{p}f(αt) + \frac{αt^{2}}{p} f′(αt)] · [F (α) − F (αt)] ,

B_{2}(α, t) := − (\frac{1}{p} + 1) · [f(α) − tf(αt)] · [F (α) − F (αt) − \frac{α}{p}f(α) + t\frac{α}{p}f(αt)] .

Most A_{2}(α, t) és B_{2}(α, t) képletébe beírva az f és F függvény konkrét alakját a következőket kapjuk:

A_{2}(α, t) = [α^{p} + bα^{p−1} + c − tα^{p}t^{p} − tbα^{p−1} − tc − \frac{1}{p}α^{p} − \frac{b}{p}α^{p−1} − \frac{c}{p} − \frac{α}{p}α^{p−1}p−

−\frac{α}{p}b(p − 1)α^{p−2} + \frac{t}{p}α^{p}t^{p} + \frac{t}{p}bα^{p−1}t^{p−1} + \frac{t}{p}c + \frac{αt^{2}}{p} pt^{p−1}α^{p−1} + \frac{αt^{2}}{p} b(p − 1)α^{p−2}t^{p−2}] ·

· [\frac{α^{p+1}}{p + 1} − \frac{α^{p+1}t^{p+1}}{p + 1} + b · \frac{α^{p} − α^{p}t^{p}}{p} + c(α − αt)] ,

B_{2}(α, t) = − (\frac{1}{p} + 1) · [α^{p} + bα^{p−1} + c − tα^{p}t^{p} − tbα^{p−1}t^{p−1} − tc] · [\frac{α^{p+1} − α^{p+1}t^{p+1}}{p + 1} +

b · \frac{α^{p} − α^{p}t^{p}}{p} + c(α − αt) − \frac{α}{p}α^{p} − \frac{α}{p}bα^{p−1} − \frac{α}{p}c + \frac{tα}{p}α^{p}t^{p} + \frac{tα}{p}bα^{p−1}t^{p−1} + \frac{tα}{p}c] .

A fenti képleteket egyszerűbb alakra hozva:

A_{2}(α, t) = [−\frac{1}{p}α^{p} + \frac{1}{p}α^{p}t^{p+1} + c − ct − \frac{c}{p} + \frac{ct}{p}] ·

· [\frac{α^{p+1} − α^{p+1}t^{p+1}}{p + 1} + b\frac{α^{p} − α^{p}t^{p}}{p} + cα(1 − t)] ,

B_{2}(α, t) = −(\frac{1}{p} + 1) · [α^{p} + bα^{p−1} + c − α^{p}t^{p+1} − bt^{p}α^{p−1} − ct] ·

· [\frac{−α^{p+1}}{p(p + 1)} + cα(1 − \frac{1}{p}) + cαt(\frac{1}{p} − 1) + \frac{α^{p+1}t^{p+1}}{p(p + 1)} ] .

Most írjuk be ezeket a (4.10) formulába, majd hajtsuk végre a s = αt helyettesítést az integrálban. Az így kapott integrál egyszerűsítések után a következő alakban írható fel:

S′′(α) = \frac{1}{α^{2}} · ∫_{0}^{α} \frac{(A_{1}(α, s) + B_{1}(α, s))ds}{(F (α) − F (s))^{\frac{1}{p} +2}},  (4.11)

ahol A_{1}(α, s), illetve B_{2}(α, s) a következők:

A_{1}(α, s) = [−\frac{α^{p+1} − s^{p+1}}{p} + c (α − s) (1 − \frac{1}{p})] · [\frac{α^{p+1} − s^{p+1}}{p + 1} + b\frac{α^{p} − s^{p}}{p} + c(α − s)] ,

B_{1}(α, s) = [α^{p+1} − s^{p+1} + b (α^{p} − s^{p}) + c (α − s)] · [\frac{α^{p+1} − s^{p+1}}{p^{2}} + c (\frac{1}{p^{2}} − 1) (α − s)] .

Helyettesítsük be ezeket a formulákat S′′(α) (4.11)-es képletébe, majd (α−s)^{2}-t emeljünk ki. Ekkor a következőt kapjuk:

S′′(α) = \frac{(α − s)^{2}}{α^{2}} · ∫_{0}^{α} \frac{(A_{2}(α, s) + B_{2}(α, s))ds}{(F (α) − F (s))^{\frac{1}{p} +2}},

ahol az A_{2}(α, s) és B_{2}(α, s) függvények a következők:

A_{2}(α, s) = [−\frac{1}{p} · \frac{α^{p+1} − s^{p+1}}{α − s} + c (1 − \frac{1}{p})] · [\frac{α^{p+1} − s^{p+1}}{(p + 1)(α − s)} + \frac{b}{p} · \frac{α^{p} − s^{p}}{α − s} + c] ,

B_{2}(α, s) = [\frac{α^{p+1} − s^{p+1}}{α − s} + b · \frac{α^{p} − s^{p}}{α − s} + c] · [\frac{1}{p^{2}} · \frac{α^{p} − s^{p}}{α − s} + c (\frac{1}{p^{2}} − 1)] .

Most vezessük be a következő jelöléseket:

x := \frac{α^{p+1} − s^{p+1}}{α − s} , y := \frac{α^{p} − s^{p}}{α − s} ,

ahol α = s esetén s → α szerinti határértékként, (p + 1)α^{p}-nek definiáljuk őket. Ezekkel a jelölésekkel – egyszerűsítések után – azt nyerjük, hogy:

A_{2}(α, s) + B_{2}(α, s) = [\frac{1}{p^{2}} − \frac{1}{p(p + 1)}] x^{2} + c [\frac{p − 1}{p(p + 1)} − \frac{1}{p} + \frac{1}{p^{2}} − 1 + \frac{1}{p^{2}} ] x+

bc [\frac{p − 1}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2}} − 1] y + c^{2} [\frac{1}{p^{2}} − \frac{1}{p}] .

Most azt szeretnénk megvizsgálni, hogy S′′(α) mely α értékek esetén lesz negatív. A fenti átalakítások után az, hogy S′′(α) integrandusa negatív, ekvivalens azzal, hogy a most kapott másodfokú polinom negatív. Most szorozzuk meg ezt a másodfokú polinomot p^{2}(p + 1)-gyel, és jelöljük az így kapott polinomot q(x, y)-nal. Összevonások után q(x, y)- ra a következőt kapjuk:

q(x, y) = x^{2} − [p^{3} + p^{2} − 2] cx + bcp [1 − p^{2}] y + c^{2} [1 − p^{2}] .  (4.12)

0 ⩽ s ⩽ α miatt x > 0 és y > 0. Először megvizsgáljuk, hogy q(x, y) mely x, illetve y értékek esetén lesz negatív. Csak elegendő feltétel keresünk q(x, y) < 0 fennállásához. y > 0, b > 0, c > 0 és 1 − p^{2} < 0 miatt q(x, y) < 0-hoz elegendő, hogy

x^{2} − [p^{3} + p^{2} − 2] cx + c^{2} [1 − p^{2}] < 0.

teljesüljön. A másodfokú egyenlet megoldóképlete a következő gyököket adja:

x_{1} = (\frac{p^{3} + p^{2} − 2 + \sqrt{(p^{3} + p^{2} − 2)^{2} − 4(1 − p^{2})}}{2}) c.

x_{2} = (\frac{p^{3} + p^{2} − 2 − \sqrt{(p^{3} + p^{2} − 2)^{2} − 4(1 − p^{2})}}{2}) c.

Egyszerűsítés után:

x_{1} = (\frac{p^{3} + p^{2} − 2 + \sqrt{p^{6} + 2p^{5} + p^{4} − 4p^{3}}}{2} ) c.

x_{2} = (\frac{p^{3} + p^{2} − 2 − \sqrt{p^{6} + 2p^{5} + p^{4} − 4p^{3}}}{2} ) c.

Könnyen látható, hogy x_{2} < 0, egyébként ehhez szükséges és elegendő feltétel, hogy p > 1. Ezért x > x_{2} és így q(x, y) < 0 ekvivalens azzal, hogy x < x_{1}. Most az x-re kapott becslésből szeretnénk α-ra becslést kapni. A Lagrange-féle középértéktétel szerint bármely 0 ⩽ s ⩽ α számokhoz létezik olyan ξ(α, s) ∈ (s, α), amelyre

\frac{α^{p+1} − s^{p+1}}{α − s} = (p + 1) · ξ(α, s)^{p}.

Ebből következik, hogy bármely 0 ⩽ s ⩽ α esetén:

\frac{α^{p+1} − s^{p+1}}{α − s} ⩽ (p + 1) α^{p}.

Ebből adódik a következő eredmény:

α < (\frac{p^{3} + p^{2} − 2 + \sqrt{p^{6} + 2p^{5} + p^{4} − 4p^{3}}}{2(p + 1)} · c)^{\frac{1}{p}} esetén S′′(α) < 0.

Vezessük be az

α_{2} := (\frac{p^{3} + p^{2} − 2 + \sqrt{p^{6} + 2p^{5} + p^{4} − 4p^{3}}}{2(p + 1)} · c)^{\frac{1}{p}}

jelölést. Most megmutatjuk, hogy α_{2} > α_{1}. A következő – egymással ekvivalens – átalakítások igazolják ezt:

α_{2} > α_{1} ⟺^{def} (\frac{p^{3} + p^{2} − 2 + \sqrt{p^{6} + 2p^{5} + p^{4} − 4p^{3}}}{2(p + 1)} · c)^{\frac{1}{p}} > [c(p^{2} − 1)]^{\frac{1}{p}} ⟺

⟺ \frac{p^{3} + p^{2} − 2 + \sqrt{p^{6} + 2p^{5} + p^{4} − 4p^{3}}}{2(p + 1)} > p^{2} − 1 ⟺

⟺ p^{3} + p^{2} − 2 + \sqrt{p^{6} + 2p^{5} + p^{4} − 4p^{3}} > (2p + 2)(p^{2} − 1) ⟺
⟺ p^{3} + p^{2} − 2 + \sqrt{p^{6} + 2p^{5} + p^{4} − 4p^{3}} > 2p^{3} − 2p + 2p^{2} − 2 ⟺
⟺ \sqrt{p^{6} + 2p^{5} + p^{4} − 4p^{3}} > p^{3} + p^{2} − 2p ⟺
⟺ p^{6} + 2p^{5} + p^{4} − 4p^{3} > p^{6} + p^{4} + 4p^{2} + 2p^{5} − 4p^{4} − 4p^{3} ⟺
⟺ 4p^{4} > 4p^{2} ⟺
⟺ p > 1,

ami viszont teljesül. Ezzel megmutattuk, hogy α_{2} > α_{1}, ami lényeges lesz a továbbiakban. A T (α) time-map a S(α) függvénytől csak konstansszorzóban különbözik, ezért a T time-map-ről a következő tulajdonságokat bizonyítottuk: Vannak olyan α_{1} és α_{2} pozitív számok, amelyekre α_{2} > α_{1}, T′|_{(α_{1},∞)} < 0, és T′′|_{(0,α_{2})} < 0. Azaz: T (α), α ∈ (0, ∞) szigorúan monoton fogyó, ha α > α_{1}, illetve T (α), α ∈ (0, ∞) konkáv, ha α < α_{2}. Ebből következik, hogy létezik pontosan egy olyan α_{3} < α_{1}, amelyre T′(α_{3}) = 0. Valóban:

T > 0 miatt T′(0) > 0, T′(α) < 0, ha α > α_{1}, ezért a Bolzano-tétel szerint létezik olyan α_{3} < α_{1}, amelyre T′(α_{3}) = 0. Az egyértelműséget indirekte bizonyítjuk: amennyiben léteznének α_{3}^{(1)} ≠ α_{3}^{(2)} számok, amelyekre T′ (α_{3}^{(1)}) = T′ (α_{3}^{(2)}) = 0 lenne, akkor a Rolle-

tétel miatt létezne olyan α_{4} ∈ (α_{3}^{(1)}, α_{3}^{(2)}), amelyre T′′(α_{4}) = 0 teljesülne, ami ellentmond annak, hogy α_{1} < α_{2}. Mivel T a 0-ban szigorúan lokálisan növő, azért ez a α_{3} érték lokális maximumhelye T -nek. Továbbá, mivel α > α_{1} esetén T szigorúan monoton fogyó, azért α_{3} egyúttal globális maximumhely is. Elemi meggondolásokkal kijön, hogy a (α_{3}, ∞) intervallumon T szigorúan monoton fogyó. Könnyen látható, hogy T a (0, α_{3}) intervallumon szigorúan monoton növő. A megoldásszám szempontjából a következő eredmény jött ki: Van olyan α_{0} > 0 szám, amelyre a következők teljesülnek:

Az (ℛ′) problémának nem létezik megoldása, ha R > T (α_{0}), pontosan egy megoldása létezik, ha R = T (α_{0}), és pontosan két megoldása létezik, ha R < T (α_{0}), ahol α_{3}-t átneveztük α_{0}-nak. Egyúttal becslést kaptunk α_{0}-ra, α_{0} < α_{1}, azaz

α_{0} < [c(p^{2} − 1)]^{1/p} .

A most leírt eredmény azt mutatja, hogy az egyértelműség nem teljesül olyan szigorúan p-konvex f függvény esetén, amely a 0-ban pozitív, és nincs gyöke. Lehetséges, hogy az ilyen típusú függvényekre a most leírt esetnek megfelelő a time-map viselkedése, de erre még nem ismert pontos válasz.

Irodalomjegyzék

[1] Manásevich, R., Zanolin, F., Time-mappings and multiplicity of solutions for the one dimensional p-Laplacian Nonlin.Anal. 21, 269-291 (1993)

[2] Karátson,J.,Simon, P.L., Exact multiplicity for degenerate two-point boundary value problems with p-konvex nonlinearity, előterjesztett

[3] Zeidler, Eberhard: Nonlinear functional analysis, and its applications, Berlin, New York, Springer-Verlag, QA321.5.745, 1985 1. kötet

[4] Njoku F. I. & Zanolin F., Positive solutions for two-point bvp’s: existence and multiplicity results, Nonlinear Analysis 13, 1329-1338 (1989)

[5] Del Pino M., Sobre un problema cuasilineal de segundo orden, Applied Math. Engineering Thesis, F.C.F.M. Universidad de Chile (1987)

[6] Hirsch W.M.,Hanish H.& Gabriel J.P., Differential equation models of some parasitic infections: methods for the study of asymptotic behavior, Communs pure appl. Math.38,733-753 (1985)

[7] Karátson, J., Simon, P.L., Bifurcations of semilinear elliptic equations with convex nonlinearity, Electron. J. Diff. Eqn. 1999, No. 43, 1-16 (1999).

9 (1996).

[8] Schaaf, R., Global Solution Branches of Two Point Boundary Value Problems, Springer Lect. Notes in Math. 1458 (1990).

[9] Schaaf, R., Global Solution Branches of Two Point Boundary Value Problems, Habilitationsschrift, Ruprecht-Karls Universitat, Heidelberg(1987).

[10] Smoller, J.A., Wassermann, A.G., On the monotonicity of the time-map, J. Diff. Eqn. 77, 287-303 (1989).