.

Ugrácsok és a matroid parity SZAKDOLGOZAT

Készítette: Szabó Jácint Témavezető: Frank András egyetemi tanár 1. Bevezetés

A gráfok párosításai és a matroid metszet probléma a kombinatorikus optimalizálás két központi jelentőségű problémája. Sok közös tulajdonságuk van: megoldhatóak polinomiális időben, és számos alternáló utas algoritmusuk ismert. Metszetük szintén egy fontos és a kombinatorikus optimalizálást megalapozó probléma, a páros gráfok párosításainak témaköre. A párosítás és a matroid metszet probléma közös általánosítására több fogalom is született, kiemelkednek jelentőségükkel az ugrácsok, a matroid parity és a path-matching.

Az ugrácsokat Bouchet és Cunningham [3] vezették be 1995-ben a már meglévő delta-matroidok természetes továbbgondolásaként és a gráfok fokszámsorozatainak általánosításaként. Megmutatták, hogy az ugrácsok szoros kapcsolatban vannak a legbővebb poliéder osztállyal, amire működik a mohó algoritmus: a biszubmoduláris poliéderekkel. Úgy tűnik, hogy az ugrácsok túl általánosak ahhoz, hogy igazán mélyenszántó eredmények születhessenek róluk. A dolgozat első részében velük foglalkozunk, lényegében minden eddig született eredményt bemutatunk. Néhány megfigyelés és a biszubmoduláris függvények vizsgálata után rátérünk Lovász [22] szép elméletére, a tartalmazási problémára, ezután Tutte f-faktor tételének Geelen által való levezetését tárgyaljuk, majd az 5. fejezetben Frank András és Cunningham sejtéseit igazoljuk.

A Lawler által 1976-ban bevezetett matroid parity probléma teljes általánosságában NP-nehéz, de egy fontos speciális eset, a lineáris matroidok esete megoldható polinomiális időben, Lovász [18]. Bár a lineáris eset sok problémát tartalmaz, sajnos a matroid metszetet nem. Lovász formulát is adott a lineáris esetre [19], és elméletét alkalmazta a Mader-tétel bizonyítására, egy gráf maximális háromszög-kaktusza méretének meghatározására és csuklós szerkezetek merevségének vizsgálatára [20]. A dolgozatban tárgyaljuk az eddig született eredmények fontosabb részét. Alapvető definíciók és tételek után Lovász lineáris 2-polimatroidokról szóló elméletéről lesz szó, majd egy fejezet ezen elmélet kiterjesztésével, a teljes matroidokkal foglalkozik, végül leírjuk a Mader-tétel levezetését.

A harmadik közös általánosítással, a Cunningham és Geelen [7] által 1997-ben kitalált pathmatchinggel csak érintőlegesen foglalkozunk a 2.2. alfejezetben. E területen már nagyon sok kérdéses részlet tisztázva van (poliéderes leírás, struktúratételek), eddig a leglényegesebb nyitott kérdés egy tisztán kombinatorikus algoritmus volt, amit nemrég sikerült Pap Gyulának [24] megoldania.

A nem hivatkozott vagy más módon nem jelölt állítások saját eredmények.

Hálásan köszönöm témavezetőmnek, Frank Andrásnak a munkám során nyújtott önzetlen és felbecsülhetetlen segítségét.

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 2

2. Ugrácsok 4 2.1. Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2. Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3. A kompozíció művelete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Biszubmoduláris függvények 11 3.1. Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2. A mohó tulajdonság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3. A differenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.4. Az ugrácsok és a biszubmoduláris poliéderek kapcsolata . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4. A tartalmazási probléma 26 4.1. Zárt dobozok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2. Reguláris dobozok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.3. Szinguláris dobozok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.4. A Tutte-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5. Kizárt faktorok foksorozatai 37

6. A matroid parity probléma 41 6.1. A három alak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.2. A matroid parity probléma exponenciális rendű . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.3. Körök és virágok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.4. A 2-polimatroidok szerkezete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7. Lineáris 2-polimatroidok 50 7.1. Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 7.2. Lovász minimax formulája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 7.3. Egy struktúratétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8. Teljesség 56 8.1. Teljes matroidok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 8.2. Teljessé tehető matroidok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 8.3. Lineáris matroidok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 8.4. Algebrai matroidok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 8.5. A teljes gráf körmatroidja és a kaktuszok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

9. A Mader-tétel 62 9.1. A lineáris reprezentáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 9.2. A nemtriviális dupla körök feltérképezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 9.3. A bizonyítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2. Ugrácsok

2.1. Alapfogalmak

Az ugrácsokat, eredeti nevükön jump systemeket Bouchet és Cunningham [3] vezették be. Def.: Egy S véges halmazra X_{i∈S}I_{i}-t doboznak hívjuk, ha I_{i} ⊆ ℤ véges vagy végtelen intervallum.

e^{k} legyen k ∈ S egységvektora, azaz e_{k}^{k} = 1, e_{i}^{k} = 0 egyébként. x, y ∈ ℤ^{S} esetén

[x, y] := {z ∈ ℤ^{S}: min(x_{i}, y_{i}) ≤ z_{i} ≤ max(x_{i}, y_{i}) ∀i ∈ S},

az x, y pontok határolta doboz. Továbbá

d(x, y) := ∑_{i∈S} |x_{i} − y_{i}|,

vagyis az l_{1} normában mért távolság. Egy v pont x-től y-ig való lépés, ha v ∈ [x, y] és d(x, v) = 1.

Def.: J ⊆ ℤ^{S} ugrács, ha ∀x, y ∈ J-re és x-től y-ig való v lépésre vagy v ∈ J, vagy ∃ z ∈ J v-től y-ig való lépés.

Def.: A J ugrács fix összegű, ha x(S) = y(S) minden x, y ∈ J-re. Az ugrácsokon értelmezett alábbi műveletekről az összeg kivételével nyilvánvaló, hogy újra ugrá-

csot adnak. Az összegről az 9. oldalon igazoljuk, hogy ugrácsot ad.

• Eltolás: minden ponthoz adjunk hozzá egy a ∈ ℤ^{S} vektort.

• Tükrözés: i ∈ S mellett J-nek i-re való tükörképét úgy kapjuk, hogy J minden elemének i komponensét negáljuk.

• Vetítés: ha R ⊆ S, akkor J vetülete R-re az a halmaz, amit úgy kapunk, hogy J minden elemét megszorítjuk R-re.

• Szorzat: az S_{1}, S_{2} diszjunkt halmazokon adott J_{1}, J_{2} ugrácsok szorzata J_{1} × J_{2} := {(x_{1}, x_{2}): x_{1} ∈ J_{1}, x_{2} ∈ J_{2}}.

• Összeg: a közös S alaphalmazú J_{1}, J_{2} ugrácsok összege J_{1}+J_{2} := {x_{1}+x_{2} : x_{1} ∈ J_{1}, x_{2} ∈ J_{2}}.

• Dobozzal való metszet: Ha T egy doboz, akkor J ∩ T ugrács.

• Minor: Ha R ⊆ S és z ∈ ℤ^{R}, akkor J-t metszve {z} × ℤ^{S−R}-rel majd vetítve S − R-re kapjuk a z szerinti minort.

2.2. Példák

Lássunk néhány példát ugrácsokra:

Gráfok foksorozatai: Egy G irányítatlan gráf részgráfjainak fokszámsorozatai egy J_{G} ugrácsot alkotnak V (G)-n. A 9. oldalon erre több bizonyítást is fogunk látni. A foksorozatok azt mutatják, hogy az ugrácsok tartalmazási problémájának eldöntése nemtriviális is tud lenni, ebben az esetben egy f ∈ ℤ^{V (G)} vektorról annak eldöntése, hogy f ∈ J_{G} teljesül-e, az f-faktor probléma.

Delta-matroidok A delta-matroid olyan ugrács, amely része az egységkockának, azaz minden eleme egy 0,1 vektor. A delta-matroidokat Bouchet [2] vezette be, és azóta számos eredmény született róluk. A delta-matroid felfogható az S alaphalmaz olyan F részhalmazrendszerének, amely kielégíti a következő szimmetrikus kicserélési axiómát:

∀ F, G ∈ F, x ∈ F △G-hez ∃ y ∈ F △G, hogy F △{x, y} ∈ F.

A dolgozatban a delta-matroidokat az ugrácsokhoz hasonlóan vektorhalmaznak tekintjük.

Triviálisan a következő twist művelet delta-matroidot ad: az F delta-matroidra és R ⊆ S-re F△R := {F △R: F ∈ F}. A 2.1. alfejezet terminológiájával a twist megkapható egy tükrözéssel majd egy eltolással.

Könnyen látható, hogy a fix összegű delta-matroidok pontosan a matroidok bázishalmazai, ezért ezeket egyszerűen matroidoknak fogjuk hívni. A matroidok független halmazainak rendszere is deltamatroidot alkot, egy általános tételből pedig következni fog a 3.27 állítás, azaz hogy nemüres deltamatroid maximális részhalmazai egy matroid bázisait adják. Ez a megfigyelés jelenti a kapcsolatot a matroidelmélet és az ugrácsok között.

Egy G gráfra J_{G} ∩ [0, 1] a gráf matching delta-matroidja, azaz a párosításokkal fedhető csúcshalmazok karakterisztikus vektorainak halmaza. Fenti megjegyzésünk szerint a maximális párosítások fedte csúcshalmazok egy matroid bázisát adják, méghozzá a párosításmatroidét.

Maximális path-matching fokszámsorozatai A path-matching helyett egy általánosabb konstrukcióval kezdjük, a Pap Gyula által bevezetett alig szimmetrikus gráfokkal.

Def.: A G hurokél-mentes irányított gráf alig szimmetrikus, ha minden olyan élének a megfordítottja is szerepel a gráfban, amely él szerepel G egy irányított páratlan hosszú körében.

Def.: A G alig szimmetrikus gráf egy E′ ⊆ E(G) élhalmaza páros faktor, ha minden összefüggő komponense vagy egy irányított út, vagy egy páros hosszú irányított kör, vagy egy él és a megfordítottja alkotta kétpontú gráf. Egy páros faktor értéke a benne szereplő élek száma, azaz val = |E′|.

Cunningham [6] bebizonyítja, hogy a path-matchingek bizonyos módon értelmezett fokszámsorozatai ugrácsot alkotnak. Most Cunningham módszerével belátunk egy általánosabb tételt, miszerint a páros faktorok foksorozatai is ugrácsot alkotnak, ha egy irányított él mindkét végpontjába 1 fokszámot számít.

Ismert a következő állítás.

2.1 Állítás Legyen V′ és V′′ diszjunkt, T pedig egy V′ × V′′-s mátrix. Ekkor delta-matroidot alkotnak V′ ∪ V′′-n azon U ∪ W alakú halmazok, amikre T -nek az (U, W) részmátrixa reguláris.

Biz.: T mellé egy V′ × V′-s egységmátrixot téve T (U, W) pontosan akkor reguláris, ha az új T̃ mátrix W -hez és V′ − U-hoz tartozó oszlopai függetlenek, azaz ha W ∪ (V′ − U) a T̃ lineáris matroidjának egy bázisa. Most egy V′-n való twisteléssel kapjuk az állítást.

A kapott delta-matroid legyen Δ(T).

2.2 Tétel Egy G alig szimmetrikus gráfban a páros faktorok olyan foksorozatai, ahol egy irányított él mindkét végpontjába 1 fokszámot számít, ugrácsot alkotnak.

Biz.: Bevezetjük a G irányított gráf ún. Tutte-mátrixát: legyen a V (G) × V (G)-n definiált T mátrixra T_{u,v} = x_{uv}, ha \overrightarrow{uv} él G-ben, és T_{u,v} := 0 egyébként. Ha \overrightarrow{uv} és \overrightarrow{vu} is él G-ben, akkor legyen x_{uv} + x_{vu} = 0, de ezen összefüggéstől eltekintve az x-ek algebrailag legyenek függetlenek.

Nem nehéz meggondolni, hogy ha egy T (U, W) reguláris részmátrix determinánsának kifejtésében összevonás után van egy nemnulla együtthatójú tag, akkor az a tag az alig szimmetrikusság miatt megfelel egy olyan páros faktornak, amely éleinek tövei pontosan az U pontjai, fejei pedig W pontjai. Vissza, G minden páros faktorára az élek és a tövek U illetve W halmazaira T (U, W) reguláris.

Egy páros faktor szóban forgó foksorozata éppen χ_{U} + χ_{W} az élek és a tövek U illetve W halmazaira. A páros faktorok foksorozatainak halmazát tehát megkaphatjuk Δ(T)-ből úgy, hogy vesszük a χ_{U} + χ_{W} vektorokat minden U ∪ W ∈ Δ(T)-re, ha U ⊆ V (G) = V′, W ⊆ V (G) = V′′. A következő alfejezetben látni fogjuk, hogy ez épp a homomorf kép művelete, ami ugrácsból ugrácsot ad. (Itt a π partíció {(v′, v′′): v ∈ V (G)}.)

A bizonyításból az is következik, hogy a páros faktorok befoksorozatainak és kifoksorozatainak halmaza is delta-matroid.

2.3 Köv. A maximális értékű páros faktorok foksorozatai ugrácsot alkotnak.

Biz.: Egy E′ páros faktor értéke |E′| = deg_{E′}(V)/2, vagyis a maximális értékű páros faktorok értéke max(x(V)/2: x ∈ J), ahol J a páros faktorok foksorozatainak ugrácsa. 4.2 szerint pedig egy V alaphalmazú ugrács olyan x vektorai, amelyekre x(V) maximális, ugrácsot alkotnak.

Megjegyezzük, hogy 2.2 nem alig szimmetrikus gráfokra nem igaz, ha a páros faktor definícióját kiterjesztjük tetszőleges irányított gráfra. Nem túl nehéz ugyanis belátni, hogy az irányított 5-hosszú kör páros faktorainak foksorozatai nem adnak ugrácsot. Ez egyébként következik a 40. oldal azon megjegyzéséből is, miszerint az 5-hosszú körre az 5-kizárt ≤ 2-faktorok foksorozata nem ugrács. (A fogalmak értelmezését lásd a 37. oldalon.)

Térjünk rá a path-matchingek foksorozataira.

Def.: [7] G(V, E) irányítatlan gráf, T_{1}, T_{2} a G csúcsainak diszjunkt, stabil részhalmazai, R = V \ (T_{1} ∪ T_{2}). Egy F ⊆ E élhalmaz path-matching, ha minden összefüggő komponense egy olyan út T_{1} ∪ R-ből T_{2} ∪ R-be, aminek minden belső csúcsa R-ben van. A path-matching egy éle matching él, ha önmagában egy összefüggő komponenst alkot, és mindkét vége R-beli. A path-matching értéke, val(F) egyenlő az F éleinek számával plusz a matching élek számával.

Az érték esetleg mesterkéltnek tűnő definícióját a következő összefüggés világítja meg. Ha a G gráfot megirányítjuk úgy, hogy R minden feszített élét megirányítjuk mindkét irányban, egy T_{1} − (R ∪ T_{2}) élt T_{1}-ből kifelé irányítunk meg, a (T_{1} ∪ R) − T_{2} éleket pedig T_{2} felé irányítjuk meg, akkor látni fogjuk, hogy a kapott alig szimmetrikus \overrightarrow{G} gráf páros faktorai megfelelnek az eredeti gráf path-matchingjeinek.

2.2 bizonyításának módszerével Cunningham [6] javítható hibával bebizonyítja, hogy ha a pathmatchingek fokszámsorozatát úgy értjük, hogy minden nemmatching él, mint rendesen, 1-et számít mindkét végpontjának fokába, a matching élek pedig számíthatnak szimplán is és duplán is, azaz minden matching élről eldönthetjük, hogy az mindkét végpontjának fokába 1-et számít, avagy mindkét végpontjának fokába 2-t számít, és az összes így előálló foksorozatot tekintjük, akkor a path-matchingek foksorozatai ugrácsot alkotnak.

Cunninghamnek ezt az eredményét 2.2-ből és az imént leírt visszavezetésből bizonyítjuk be.

2.4 Tétel [6] Ha a G gráf path-matchingjeinek minden matching éléről eldönthetjük, hogy az mindkét végpontjának fokába 1-et számít, avagy mindkét végpontjának fokába 2-t számít, akkor tekintve az összes path-matching összes így előálló foksorozatát, egy ugrácsot kapunk.

Biz.: A fent leírt visszavezetés alig szimmetrikus \overrightarrow{G} gráfjának páros faktoraiban felejtsük el az irányítást. A páros körök minden második élét eltörölve és az esetleges párhuzamos élekből egyet eltörölve egy path-matchinget kapunk. Ha a path-matching 1-hosszú utakból kapott matching éleit számítjuk szimplán, a páros körök maradék élei és a párhuzamos élpárok megmaradó élei alkotta többi matching élet pedig duplán számítjuk, akkor a kapott foksorozat megegyezik a páros faktor foksorozatával.

Vissza, egy path-matching egy foksorozatából úgy kaphatunk egy vele azonos foksorozatú páros faktort, hogy a T_{1} ∪ R-ből T_{2} ∪ R-be vezető legalább 2-hosszú utakat ilyen irányban megirányítjuk, a T_{1} − T_{2} éleket is megirányítjuk T_{1}-ből T_{2}-be, a duplán számító matching éleket megirányítjuk oda-vissza, végül a szimplán számítókat csak egy irányba irányítjuk meg.

Ezért \overrightarrow{G} páros faktorainak foksorozatainak halmaza és G path-matchingjeinek szóban forgó foksorozatainak halmaza megegyezik.

Ha a path-matchingek fokszámsorozatait a val értékfüggvénynek megfelelő módon, azaz úgy értelmezzük, hogy minden matching él 2-t számít mindkét végpontjába, akkor nem kapunk ugrácsot, amit az az egy élből álló gráf mutat, amire T_{1}, T_{2} = ∅. Viszont a maximális értékű path-matchingek olyan foksorozatai, amelyekben minden matching él duplán számít, egy ugrácsot alkotnak 2.3 közvetlen következményeként.

2.3. A kompozíció művelete

Egy igen általános konstrukció következik, a kompozíció, amit Bouchet és Cunnigham vezetett be. 2.1 műveletei a kompozíciónak mind speciális esetei.

Def.: [3] Az S^{1}, S^{2} alaphalmazokon adott J^{1}, J^{2} ugrácsok kompozíciója az S^{1}△S^{2}-n értelmezett következő J^{1} ∧ J^{2} vektorhalmaz: J^{1} ∧ J^{2} = {x^{1} ∧ x^{2} : x^{1} ∈ J^{1}, x^{2} ∈ J^{2}}, ahol x^{1} ∧ x^{2} ∈ ℤ^{S^{1}△S^{2}} az a vektor, amire x_{i}^{1} = x_{i}^{2}, ha i ∈ S^{1} ∩ S^{2}, (x^{1} ∧ x^{2})_{i} = x_{i}^{j}, ha i ∈ S^{j}.

Bouchet és Cunnigham [3] bebizonyítják, hogy a kompozíció nem vezet ki az ugrácsok köréből. A dolgozatban egy új bizonyítást adunk a tételre.

2.5 Tétel [3] J^{1} ∧ J^{2} ugrács.

Biz.: Legyen x, y ∈ J^{1} ∧ J^{2}, valamint v lépés x-ből y-ba. x-et x^{1}, x^{2}-ből, y-t y^{1}, y^{2}-ből kapjuk. Tegyük fel, hogy v ∉ J^{1} ∧ J^{2}. Bebizonyítjuk, hogy ha adott egy olyan v = v^{1} ∧ v^{2} ∉ J^{1} ∧ J^{2} vektor, amire j = 1 vagy 2-re v^{j} ∈ J^{j}, v^{3−j} pedig egy lépés egy J^{3−j}-beli vektorból y^{3−j}-be, akkor létezik egy z ∈ J^{1} ∧ J^{2} lépés v-ből y-ba. Ezt d(\overline{v}^{1}, \overline{y}^{1}) = d(\overline{v}^{2}, \overline{y}^{2})-re vonatkozó indukcióval igazoljuk, ahol \overline{w}-sal egy w vektor S^{1} ∩ S^{2}-re való megszorítását értjük. Azért elég ezt igazolni, mivel v felírható a fentieknek megfelelő v^{1} ∧ v^{2} alakba. Feltehető, hogy v^{1} ∈ J^{1}, és v^{2} egy lépés egy J^{2}-beli vektorból y^{2}-be. v ∉ J^{1}∧J^{2}, így v^{2} ∉ J^{2}, vagyis létezik egy v^{2}±e^{k} ∈ J^{2} lépés v^{2}-ből y^{2}-be, feltehetjük, hogy ez a lépés v^{2} +e^{k}. Ha k ∈ S_{2} \S_{1}, akkor készen vagyunk, így tegyük fel, hogy k ∈ S_{1} ∩S_{2}. Most a ṽ^{1} := v^{1} + e^{k}, ṽ^{2} := v^{2} + e^{k} ∈ J^{2} választással az indukciós mennyiség csökkent, és a feltevés szerint létező v = ṽ^{1} ∧ ṽ^{2}-ből y-ba való z lépés jó lesz.

A kompozícióból minden fenti konstrukciót elegánsan le tudunk vezetni, és újakat is definiálhatunk. A kompozíció következményeként egy J ugrácsból kaphatunk úgy egy másikat, hogy az alaphalmaz minden i koordinátájára hat egy olyan f_{i} függvény, aminek a grafikonja ugrács. Például ilyenek a következő függvények: f_{a}(x) := f(x) + a, f^{−}(x) := −f(x), g(x) := x mod 2. Ha f egy ilyen tulajdonságú függény, akkor legyen J(f) az {(x, f(x)): x ∈ ℤ} ugrács. Most az alaphalmaz minden koordinátájára úgy hattathatunk egy függvényt, hogy S-et megduplázzuk: S, S′, majd J^{1} = J, S^{1} = S mellett S^{2} := S ˙∪S′, továbbá J^{2} := XJ(f_{i}) úgy, hogy J(f_{i}) alaphalmaza a rendezett (i, i′) pár. J^{1} ∧ J^{2}-vel a kívánt ugrácsot kapjuk. Ha f_{i} = f_{a_{i}}, akkor az a-val való eltolást kapjuk, ha f_{i} = f^{−}, i = j esetén, és f(x) = x egyébként, akkor a j koordinátára való tükrözést. Ha f_{i} = g minden i-re, akkor Payan [25] tételét, miszerint ha egy ugrács minden vektorát mod2 vesszük, egy delta-matroidot kapunk.

Az előbbi, függvényből kapott ugrácsokat általánosabbakkal is helyettesíthetjük. Például a J(f_{i}) := {(x, x): x ∈ I_{i} intervallum} definícióval az I = X_{i∈S}I_{i} dobozzal való metszetet kapjuk. J^{1} és J^{2} direkt szorzata egyszerűen J^{1} ∧ J^{2}, ha S^{1} és S^{2} diszjunktak, J-nek z ∈ ℤ^{R} szerinti minorját pedig az S^{2} = R, J^{2} = {z} választással kapjuk.

Érdekes következmény a Cunningham által bevezetett homomorf kép:

Def.: [6] Ha a J ugrács alaphalmaza S, és S-en adott egy π = {S_{1}, …, S_{k}} partíció, akkor J-nek e partíció szerinti homomorf képét, J_{π}-t úgy kapjuk, hogy J minden elemének egy partícióosztályba eső koordinátáinak komponenseit összeadjuk, azaz

J_{π} = {x ∈ ℤ^{k}: ∃ y ∈ J: x_{i} = ∑{y_{s}: s ∈ S_{i}}, 1 ≤ i ≤ k-ra} .

2.6 Tétel [6] J_{π} ugrács.

Biz.: Az S^{2} = S ˙∪{1, …, k} alaphalmazon értelmezett J^{2} ugrács legyen XJ_{i}, ahol J_{i} az S_{i} + i halmazon van értelmezve, és

J_{i} = {(x^{1}, x^{2}, …, x^{|S_{i}|}, x^{1} + x^{2} + … + x^{|S_{i}|}) : x^{1}, x^{2}, …, x^{|S_{i}|} ∈ ℤ} .

Nyilván J ∧J^{2} = J_{π}.

Partíció helyett hipergráfot már nem vehetünk, azaz ha a hiperélekre eső komponenseket összeadjuk, akkor a hiperéleken értelmezett vektorhalmaz nem lesz feltétlenül ugrács. Ezt az mutatja, hogy {0, 2} ugrács, de {(0, 0), (2, 2)} nem az. Azonban a matroidelméleti elempárhuzamozás nyíltszíni általánosítása működik, méghozzá úgy, hogy egy komponenst szétszedünk k-felé. Ez 2.5 bizonyításához hasonlóan látható, csak most a J_{i}-ket fordítva kell nézni, vagyis ha az i komponenst a T_{i} új komponens-halmazzá akarjuk szétszedni, és S = {1, …, n}, akkor az S^{2} = S ˙∪T_{1} ˙∪ … ˙∪T_{n} alaphalmazon kell definiálni a J^{2} ugrácsot, ami legyen XJ_{i}, ahol J_{i} az i + T_{i} halmazon van értelmezve, és J_{i} = {(x^{1} + x^{2} + … + x^{|T_{i}|}, x^{1}, x^{2}, …, x^{|T_{i}|}): x^{1}, x^{2}, …, x^{|T_{i}|} ∈ ℤ}. Ha a kapott J ∧ J^{2}-t elmetsszük [0, 1]-gyel, akkor a matroidelméleti párhuzamos-képzést kapjuk.

Tehát ugrács homomorf képe ugrács, és delta-matroid homomorf képe is ugrács. Ez vissza is igaz, nevezetesen:

2.7 Tétel Minden nemnegatív korlátos ugrács előáll delta-matroid homomorf képeként.

Biz.: J korlátos, ezért feltehetjük, hogy J ⊆ [0, M]. A fent leírt párhuzamosképzést |T_{i}| = Mmel elvégezve, majd a kapott ugrácsot a [0, 1] dobozzal metszve egy megfelelő delta-matroidot kapunk.

A homomorf képből következik, hogy az összeg is ugrácsot ad: J_{1} + J_{2}-t úgy kapjuk, hogy az egy pillanatra diszjunktnak tekintett S_{1} = S illetve S_{2} = S alaphalmazok unióján értelmezett J_{1} × J_{2} ugrácsnak vesszük a homomorf képét az {{s_{1}, s_{2}}: s ∈ S} partícióval. Az összegről először Sebő András igazolta, hogy ugrácsot ad, most leírunk egy a Sebő bizonyításához hasonló, közvetlen bizonyítást.

2.8 Tétel (Sebő András) A J^{1}, J^{2} ugrácsok J^{1} + J^{2} összege ugrács.

Biz.: Adott x, y ∈ J^{1} + J^{2} és egy v x-ből y-ba való lépés, x = x^{1} + x^{2}, y = y^{1} + y^{2}. d(x^{1}, y^{1}) + d(x^{2}, y^{2})-re vonatkozó indukcióval dolgozunk.

Feltehetjük, hogy v = x+e^{1} és x_{1}^{1} < y_{1}^{1}. x^{1}+e^{1} tehát egy lépés x^{1}-ből y^{1}-be, vagyis vagy x^{1}+e^{1} ∈ J^{1}, amikor v ∈ J^{1}+J^{2}, vagy létezik egy v′ = x^{1}+e^{1}±e^{i} ∈ J^{1} megengedett lépés x^{1}+e^{1}-ból y^{1}-be. Ha v′ + x^{2} lépés v-ből y-ba, akkor készen vagyunk, egyébként alkalmazhatjuk az indukciós feltevésünket d(v′, y^{1})+d(x^{2}, y^{2}) = d(x^{1}, y^{1})+d(x^{2}, y^{2})−2 miatt v′+x^{2}, y^{1}+y^{2}-re, és az x+e^{1} v′+x^{2}-ből y-ba való lépésre.

A kompozíció, és így a homomorf kép is következik az összegből, méghozzá úgy, hogy J^{1} ∧ J^{2} éppen J^{1} − J^{2}-nek S^{1}△S^{2}-n való minorja a 0 ∈ ℤ^{S^{1}∩S^{2}} vektor szerint.

Innen csak egy lépés, hogy gráfok J_{G} foksorozatai is ugrácsot alkotnak.

2.9 Tétel [3] A G irányítatlan gráf részgráfjainak foksorozatai ugrácsot alkotnak.

Biz.: J_{G} = ∑({0, e^{u}+e^{v}}: uv ∈ E(G)), és {0, e^{u}+e^{v}} ugrács.

Nézzük, hogyan igazolható közvetlenül, hogy J_{G} ugrács.

Biz.: Legyen x, y ∈ J_{G}, X, Y ⊆ E, deg_{X} = x, deg_{Y} = y, v pedig egy lépés x-ből y-ba. (v nem foksorozat, hiszen páratlan összegű.) |X ∩Y | szerinti indukcióval dolgozunk. Tegyük fel először, hogy v = x + e^{a} és x_{a} < y_{a}. a-ból egy tetszőleges Y \ X-beli ab élt behúzva b-nél vagy éppen a megfelelő irányba javítottunk, amikoris készen vagyunk, vagy x_{b} ≥ y_{b} volt, amikor ab ∈ Y \ X miatt létezik b-nek egy X \ Y -beli bc éle. Ha a z = deg_{X+ab−bc} foksorozatra z egy lépés v-ből y-ba, akkor készen vagyunk, egyébként az X + ab − bc, Y részgráfokra az indukciós mennyiség 1-gyel javult, így a z és y foksorozatokra, valamint a z + e^{c} = v z-ből y-ba való lépésre tudjuk, hogy létezik egy z′ ∈ J v-ből y-ba való lépés, ahonnan készen vagyunk. Az x_{a} > y_{a} esetben vegyünk G-hez egy extra s csúcsot és az sa élt, és legyen X′ = X, Y′ = Y +sa, v′ = x′+e^{s} = deg X′+e^{s}.

2.5 és 2.8 bizonyítása, valamint a legutolsó bizonyításunk mind a billentős technikával történt. A művelet legjobban a legutolsó bizonyításon látszik: itt egy, a b csúcsra illeszkedő élt billentünk át minden lépésben, ezzel X-et egyre inkább közelítve Y -hoz. Valójában az történik, hogy egy javítóúton megyünk végig, de mindig csak két lépést teszünk meg, amivel visszavezetjük a feladatot egy szerkezetében ugyanolyanra, amiben az indukciós mennyiség csökkent. A módszer hasznát látni fogjuk majd az 5. fejezetben.

A kompozíció közvetlen következményeként a matroidelméleti Rado-tételhez hasonlóan egy gráf segítségével is konstruálhatunk új ugrácsokat. Ha adott egy (V, W, E) páros gráf és V -n egy J ugrács, akkor a kompozíció következtében egy J′ ugrácsot kaphatunk W -n úgy, hogy x ∈ J′ ⇔ létezik egy F ⊆ E részgráf és egy y ∈ J, hogy deg_{F} = y a V -n, és deg_{F} = x a W -n. Ha a gráf komponensei megsokszorozott élű csillagok, akkor a homomorf képet kapjuk korlátos, nemnegatív ugrácsokra. Figyeljük meg, hogy ha J egy matroid függetlenjeinek karakterisztikus vektoraiból áll, akkor J′-t metszve a [0, 1] kockával a Rado-tételbeli matroidot kapjuk. Páros gráf helyett tetszőleges gráfot is tekinthetünk, és az éleken értelmezett {0, e^{u} + e^{v}} ugrácsok helyett más kétdimenziós ugrácsot is vehetünk.

A kompozíció műveletével be tudjuk bizonyítani, hogy a Mader-féle teljesen pontdiszjunkt A-utak végpontjai egy delta-matroidot alkotnak. Legyen ugyanis J^{1} az az ugrács V − A-n, aminek elemei az összes 0,2 vektor, J^{2} pedig legyen J_{G} elmetszve azzal a dobozzal, aminek oldalai A pontjain [0, 1], V − A pontjain pedig [0, 2]. Könnyen ellenőrizhetően J^{1} ∧ J^{2} a kívánt delta-matroid A-n.

Az éldiszjunkt eset egy variációja is kezelhető, ha olyan éldiszjunkt A-utakat nézünk, melyeknek végpontjai különböznek, akkor a végpontok A-n most is egy delta-matroidot alkotnak, mindössze J^{1}- et kell megváltoztatni, hogy az az ugrács legyen V −A-n, aminek elemei az összes páros komponensű vektor.

Ha a kompozíciót két foksorozatra alkalmazzuk, akkor egy érdekes állítást kapunk piros-kék gráf okra: egy piros-kék gráf egy olyan irányítatlan gráf, amelynek minden éle piros vagy kék. Ekkor az egyszínű csúcsokon ugrácsot adnak azok a foksorozatok, amelyeket G olyan részgráfjai adnak, amik minden tarka csúcsban ugyanannyi kék mint piros élt tartalmaznak. Ugyanezt J_{G} helyett a matching delta-matroidokra elmondva kapjuk [3], hogy az egyszínű csúcsok azon részhalmazai, amelyek összeköthetőek egymással pontdiszjunkt alternáló úttal, egy delta-matroidot alkotnak. Ha csak piros élek vannak, a matching delta-matroidot kapjuk vissza.

3. Biszubmoduláris függvények

3.1. Bevezetés

A biszubmoduláris függvények több matematikus munkája nyomán születtek meg a szubmoduláris függvények általánosításaként, nevezetesen Chandrasekaran, Kabadi, Nakamura és Qi révén. A belőlük származtatott biszubmoduláris poliédereket Dunstan és Welsh vezették be [9]. A biszubmoduláris poliéderek a szubmoduláris poliédereket, a bázispoliédereket, a polimatroidokat és a g-polimatroidokat is általánosítják, és nagyon szoros kapcsolatuk van az ugrácsokkal: minden ugrács konvex burka biszubmoduláris poliéder.

Def.: Az S alaphalmaz diszjunkt rendezett részhalmazpárjait jelöljük F(S)-sel, azaz F(S) := {(X, Y): X, Y ⊆ S, X ∩ Y = ∅}. (X_{1}, Y_{1}), (X_{2}, Y_{2}) ∈ F(S)-re legyen

(X_{1}, Y_{1}) ⊓ (X_{2}, Y_{2}) = (X_{1} ∩ X_{2}, Y_{1} ∩ Y_{2}) és

(X_{1}, Y_{1}) ⊔ (X_{2}, Y_{2}) = ((X_{1} ∪ X_{2}) \ (Y_{1} ∪ Y_{2}), (Y_{1} ∪ Y_{2}) \ (X_{1} ∪ X_{2})).

(X_{1}, Y_{1}) ⊑ (X_{2}, Y_{2}), ha X_{1} ⊆ X_{2} és Y_{1} ⊆ Y_{2}.

Def.: Az f: F(S) → ℝ ∪ {∞} függvény biszubmoduláris függvény, ha f(∅, ∅) = 0, és minden (X_{1}, Y_{1}), (X_{2}, Y_{2}) ∈ F(S)-re

f(X_{1}, Y_{1}) + f(X_{2}, Y_{2}) ≥ f((X_{1}, Y_{1}) ⊓ (X_{2}, Y_{2})) + f((X_{1}, Y_{1}) ⊔ (X_{2}, Y_{2})).

Def.: [9] Az F(S)-en értelmezett f biszubmoduláris függvény biszubmoduláris poliédere:

P (f) = {v ∈ ℝ^{S}: v(X) − v(Y) ≤ f(X, Y) ∀(X, Y) ∈ F(S)}.

Sok ismert poliéder biszubmoduláris, így a szubmoduláris poliéder, a bázispoliéder, a polimatroid és a Frank András által bevezetett g-polimatroid is. Most megadjuk az őket definiáló biszubmoduláris függvényt [3].

Def.: A b: P(S) → ℝ ∪ {∞} függvény szubmoduláris, ha minden X, Y ⊆ S halmazra b(X) + b(Y) ≥ b(X ∩ Y) + b(X ∪ Y), és b(∅) = 0. A p szubmoduláris függvény polimatroid függvény, ha véges, monoton nő és egészértékű. A b, h szubmoduláris függvények erős párt alkotnak, ha minden X, Y ⊆ S halmazra b(X) + h(Y) ≥ b(X − Y) + h(Y − X).

Ha b szubmoduláris függvény, p polimatroid függvény, h pedig b-vel erős párt alkotó szubmoduláris függvény, akkor könnyen ellenőrizhetően

S(b) = {v ∈ ℝ^{S}: v(X) ≤ b(X) ∀X ⊆ S} = P (f),

ahol f(X, ∅) = b(X) és f(X, Y) = ∞ egyébként.

B(b) = {v ∈ ℝ^{S}: v(X) ≤ b(X) ∀X ⊆ S, v(S) = b(S)} = P (f),

ahol f(X, Y) = b(X) + b(S − Y) − b(S).

P (p) = {v ∈ ℝ^{S}: v ≥ 0, v(X) ≤ p(X) ∀X ⊆ S} = P (f),

ahol f(X, Y) = p(X). Végül

Q(b, h) = {v ∈ ℝ^{S}: − h(X) ≤ v(X) ≤ b(X) ∀X ⊆ S} = P (f),

ahol f(X, Y) = b(X) + h(Y).

Nem meglepő, hogy a biszubmoduláris poliédereknek sok szép tulajdonságuk van, ezek nagyrészt a szubmoduláris függvényeknél látott eredmények analógiái. Például:

Def.: Ha egy x ∈ P (f) pontra x(X) − x(Y) = f(X, Y), akkor (X, Y)-t az x-re nézve szorosnak mondjuk.

3.1 Állítás Szoros halmazpárok metszete és uniója is szoros.

Biz.: Ha (X_{1}, Y_{1}), (X_{1}, Y_{2}) szoros halmazpárok, akkor

x(X_{1}) − x(Y_{1}) + x(X_{2}) − x(Y_{2}) = f(X_{1}, Y_{1}) + f(X_{2}, Y_{2}) ≥
≥ f((X_{1}, Y_{1}) ⊓ (X_{2}, Y_{2})) + f((X_{1}, Y_{1}) ⊔ (X_{2}, Y_{2})) ≥
≥ x(X_{1} ∩ X_{2}) − x(Y_{1} ∩ Y_{2}) + x((X_{1} ∪ X_{2}) \ (Y_{1} ∪ Y_{2})) − x((Y_{1} ∪ Y_{2}) \ (X_{1} ∪ X_{2})) =
= x(X_{1}) − x(Y_{1}) + x(X_{2}) − x(Y_{2}).

Frank Andrásnak a szubmoduláris függvényekre kidolgozott technikájával egy füst alatt bebizonyíthatjuk, hogy az f véges, egész biszubmoduláris függvényre a P (f)-et definiáló rendszer TDI, P (f) ≠ ∅, és hogy működik rá tetszőleges súlyfüggvénnyel a mohó algoritmus.

Def.: [2],[3] Mohó algoritmus alatt azt az eljárást értjük, amely a következőképpen maximalizál egy korlátos P ⊂ ℝ^{n} ponthalmazon egy c célfüggvényt. Tegyük fel, hogy |c_{1}| ≥ |c_{2}| ≥ … ≥ |c_{k}| > |c_{k+1}| = … = |c_{n}| = 0. Legyen P_{0} = P. Ha i < k, akkor P_{i+1}-et úgy kapjuk P_{i}-ből, hogy vesszük P_{i}-nek a maximális i + 1 koordinátájú pontjait, ha c_{i+1} pozitív, és a minimálisakat, ha negatív. Az algoritmus kimenete legyen P_{k}, vagy P_{k} egy pontja. A P korlátos ponthalmazon a mohó algoritmus helyesen működik, ha max(cx: x ∈ P) = max(cx: x ∈ P_{k}).

Először szükségünk van a következő nem túl nehéz megfigyelésre:

3.2 Állítás Ha f egy biszubmoduláris függvény S-en, és R ⊆ S, akkor P (f)-et tükrözve R-re a kapott poliéder ismét biszubmoduláris, éspedig megegyezik P (f′)-vel, ahol

f′(X, Y) = f((X \ R) ∪ (Y ∩ R), (Y \ R) ∪ (X ∩ R).

3.3 Tétel Ha az f biszubmoduláris függvény véges, akkor P (f) ≠ ∅, működik tetszőleges súlyfüggvénnyel a mohó algoritmus, és ha f egész is, akkor a P (f)-et definiáló rendszer TDI.

Biz.: Legyen c ∈ ℝ^{S} tetszőleges célfüggvény. Tükrözéssel és a koordináták cseréjével feltehető, hogy c_{1} ≥ … ≥ c_{n} ≥ 0, ha S = {1, …, n}. Legyen S_{i} = {1, …, i}. Definiáljuk az x ∈ ℝ^{S} vektort a következőképpen: x_{1} := f(S_{1}, ∅), x_{i} := f(S_{i}, ∅) − f(S_{i−1}, ∅), i ≥ 2-re. Először belátjuk, hogy x(X) ≤ f(X, ∅) minden X ⊆ S-re. Legyen m(X) = i a legnagyobb szám, amire i ∈ X. m-re vonatkozó indukcióval dolgozunk, az m(X) = 1 eset világos. Nagyobb m-re:

f(X, ∅) ≥ f(X ∩ S_{i−1}, ∅) + f(X ∪ S_{i−1}, ∅) − f(S_{i−1}, ∅) ≥

≥ x(X ∩ S_{i−1}) + f(S_{i}, ∅) − f(S_{i−1}, ∅) = x(X).

Legyenek most X, Y ⊆ S, X ∩ Y ≠ ∅ tetszőleges halmazok:

x(X) − x(Y) − f(X, Y) = x(X) − x(Y) − f(X, Y) + x(S) − f(S, ∅) ≤

≤ x(S − Y) − f(S − Y, ∅) + x(X) − f(X, ∅) ≤ 0,

vagyis x ∈ P (f). Következik az is, hogy a biszubmoduláris poliéder nemüres.

Hogy x optimális vektor P (f)-ben, azt úgy látjuk be, hogy konstruálunk egy duális optimális vektort: y(S, ∅) := c_{n}, y(S_{i}, ∅) := c_{i} − c_{i+1}, i = 1, …, n − 1-re és y := 0 egyébként. Most

cx = ∑_{i=1}^{n} c_{i} (f(S_{i}, ∅) − f(S_{i−1}, ∅)) = ∑_{i=1}^{n−1}(c_{i} − c_{i+1})f(S_{i}, ∅) + c_{n}f(S, ∅) = ∑_{(X,Y)∈F(S)} y(X, Y)f(X, Y),

ahonnan x primál, y duál optimum, és ha f egész, akkor a rendszer TDI.

3.4 Tétel Ha az f biszubmoduláris függvény véges, és a c célfüggvényre |c| minden komponense különböző pozitív szám, akkor a cx-et maximalizáló P (f)-beli pont egyértelmű.

Biz.: Tükrözéssel és a koordináták cseréjével feltehető, hogy c_{1} > … > c_{n} > 0. Tegyük fel, hogy a P (f)-en cx-et maximalizáló mohó algoritmus v ∈ P (f)-et adja kimenetként. A mohó algoritmus helyessége miatt v szimultán maximalizálja P (f)-en w_{i}x-et, ahol w_{i} = e^{1}+…+e^{i}. Vagyis ha egy y ∈ P (f) pontra cy = cv = max(cx: x ∈ P (f)), akkor y is szimultán maximalizálja w_{i}x-et, vagyis w_{i}y = w_{i}v, 1 ≤ i ≤ n-re és így y = v.

Biszubmoduláris függvényeken is lehet kikeresztezni, a technikát azzal illusztráljuk, hogy a Farkas-lemmával is bebizonyítjuk, hogy P (f) ≠ ∅ tetszőleges f-re.

3.5 Tétel Az f biszubmoduláris függvényre P (f) ≠ ∅.

Biz.: Legyen |S| = n. Tegyük fel, hogy P (f) = ∅, ekkor a Farkas-lemma szerint, y(X, Y)-t 0-nak választva amennyiben f(X, Y) = ∞: minden (X, Y) ∈ F(S)-hez létezik 0 ≤ y(X, Y) ∈ ℝ, hogy y(X, Y) = 0, ha f(X, Y) = ∞,

∑_{(X,Y)∈F(S)} y(X, Y)f(X, Y) < 0 és minden i ∈ S-re: ∑_{i∈X} y(X, Y) = ∑_{i∈Y} y(X, Y).

Fixáljuk le β = ∑{y(X, Y)f(X, Y): (X, Y) ∈ F(S)} < 0 értékét, és jelöljük ∑_{i∈S} ∑_{i∈X} y(X, Y) értékét az aktuális y duális változóra γ-val. Ha γ > 0, akkor létezik egy olyan (X_{1}, Y_{1}) ∈ F(S) halmazpár, hogy X_{1} ≠ ∅ és y(X_{1}, Y_{1}) ≥ γ/(n3^{n−1}). Legyen i ∈ X_{1}. ∑_{i∈X} y(X, Y) = ∑_{i∈Y} y(X, Y) miatt létezik (X_{2}, Y_{2}) ∈ F(S), hogy i ∈ X_{1} ∩ Y_{2} és y(X_{2}, Y_{2}) ≥ y(X_{1}, Y_{1})/3^{n−1}. Legyen α = min(y(X_{1}, Y_{1}), y(X_{2}, Y_{2})) ≥ γ/(n3^{2n−2}). y(X_{1}, Y_{1}), y(X_{2}, Y_{2}) értékét csökkentsük α-val, y((X_{1}, Y_{1}) ⊓(X_{2}, Y_{2})), y((X_{1}, Y_{1}) ⊔ (X_{2}, Y_{2})) értékét pedig növeljük α-val. f(X_{1}, Y_{1}) és f(X_{2}, Y_{2}) végesek, így f((X_{1}, Y_{1})⊓(X_{2}, Y_{2})), f((X_{1}, Y_{1})⊔(X_{2}, Y_{2})) is végesek, vagyis a kapott y továbbra is duális megoldás, mivel

∑_{(X,Y)∈F(S)} y(X, Y)f(X, Y) ≤ β < 0.

γ legalább α ≥ γ/(n3^{2n−2})-nel csökkent. Az eljárást folytassuk addig, míg γ < |β|/(M3^{n}) nem lesz, ahol M = max{|f(X, Y)|: f(X, Y) véges}. Most f(∅, ∅) = 0 miatt

|∑{y(X, Y)f(X, Y): (X, Y) ∈ F(S)}| <

< M |∑{y(X, Y): (X, Y) ∈ F(S), (X, Y) ≠ (∅, ∅)}| ≤ M3^{n}γ < |β|,

ami ellentmondás ∑{y(X, Y)f(X, Y): (X, Y) ∈ F(S)} ≤ β < 0 miatt.

3.2. A mohó tulajdonság

A biszubmoduláris poliéderek további vizsgálatához szükségünk van a következő definícióra:

Def.: [3] Egy P ⊆ ℝ^{S} ponthalmazra és (X, Y) ∈ F(S)-re v ∈ P (X, Y)-maximális, ha minden olyan w ∈ P pontra, amire w ≥ v az X-en és w ≤ v az Y -on, teljesül, hogy v|_{X∪Y} = w|_{X∪Y} .

3.6 Állítás Ha P (f) biszubmoduláris poliéder és v ∈ P (f) (X, Y)-maximális, akkor v(X)−v(Y) = f(X, Y) = max(x(X) − x(Y): x ∈ P (f)).

Biz.: Tükrözéssel feltehetjük, hogy Y = ∅. Fixáljuk le i ∈ X-et. Azért nem tudjuk v_{i}-t növelni, mert létezik egy olyan v-szoros (A, B) halmazpár, hogy i ∈ A. Minden j ∉ X-re létezik egy olyan vszoros (A_{j}^{−}, B_{j}^{−}) halmazpár, amire i ∈ A_{j}^{−}, j ∉ A_{j}^{−}, ugyanis minden pozitív ε-ra v+εe^{i} −εe^{j} ∉ P (f), így létezik egy olyan v-szoros (A′_{j}, B′_{j}) halmazpár, hogy vagy i ∈ A′_{j}, j ∉ A′_{j}, vagy i ∉ B′_{j}, j ∈ B′_{j}. Az első esetben legyen (A_{j}^{−}, B_{j}^{−}) = (A′_{j}, B′_{j}), a másodikban pedig (A_{j}^{−}, B_{j}^{−}) := (A′_{j}, B′_{j}) ⊔ (A, B). Továbbá minden j ≠ i-re létezik egy olyan v-szoros (A_{j}^{+}, B_{j}^{+}) halmazpár, amire i ∈ A_{j}^{+}, j ∉ B_{j}^{+}, ugyanis minden pozitív ε-ra v + εe^{i} + εe^{j} ∉ P (f), így létezik egy olyan v-szoros (A′_{j}, B′_{j}) halmazpár, hogy vagy i ∈ A′_{j}, j ∉ B′_{j}, vagy j ∈ A′_{j}, i ∉ B′_{j}. Az első esetben legyen (A_{j}^{+}, B_{j}^{+}) = (A′_{j}, B′_{j}), a másodikban pedig (A_{j}^{+}, B_{j}^{+}) := (A′_{j}, B′_{j}) ⊔ (A, B). Mint láttuk, szoros halmazpárok metszete is szoros, vagyis az öszes fenti halmazpár metszete, (X_{i}, ∅) is v-szoros, és X_{i}-re i ∈ X_{i} ⊆ X áll. Minden i ∈ X-re az (X_{i}, ∅) halmazpárok uniója éppen (X, ∅), vagyis v(X) = f(X, ∅). Innen az is következik, hogy f(X, ∅) = max(x(X): x ∈ P (f)).

A következő tételre egy, az eredetitől eltérő bizonyítást adunk 3.6 segítségével:

3.7 Tétel [3] Ha f biszubmoduláris, akkor minden (X, Y) halmazpárra f(X, Y) = sup(x(X) − x(Y): x ∈ P (f)).

Biz.: Ha sup(x(X) − x(Y): x ∈ P (f)) = ∞, akkor persze f(X, Y) = ∞, így feltehetjük, hogy a szuprémum véges. P (f) zárt, így sup(x(X) − x(Y): x ∈ P (f)) = max(x(X) − x(Y): x ∈ P (f)). Ha x-en vétetik fel a maximum, akkor x nyilván (X, Y)-maximális, így az előző tételből x(X) − x(Y) = f(X, Y).

3.8 Köv. [3] A biszubmoduláris poliéder egyértelműen meghatározza az őt adó f biszubmoduláris függvényt.

3.9 Köv. P (f) pontosan akkor korlátos, ha f véges.

A 3.7 tétel véges f-re következik 3.3 bizonyításából is. Most belátjuk, hogy ha f(X, Y) véges, akkor a biszubmoduláris poliéder azon pontjai, amelyekre (X, Y) szoros, szintén egy biszubmoduláris poliédert alkotnak. Következésképpen van ilyen pont, vagyis egy harmadik bizonyítást is látunk 3.7re.

Def.: Ha f(X, Y) véges, akkor a P (f) biszubmoduláris poliéder (X, Y)-hoz tartozó lapját azon v pontjai alkotják, amelyekre v(X) − v(Y) = f(X, Y).

Def.: Egy P ⊆ ℝ^{S} ponthalmaznak F ⊆ P oldala, ha létezik egy olyan c ∈ ℝ^{S} vektor, hogy F pontosan a cx célfüggvényt P -n maximalizáló pontokból áll.

3.10 Tétel Biszubmoduláris poliéder lapja is biszubmoduláris poliéder, és ha a poliéder definiáló függvénye egész, akkor a lapot definiáló függvény is egész.

Biz.: Legyen f(X, Y) véges, belátjuk, hogy P (f)-nek (X, Y)-hoz tartozó lapja is egy biszubmoduláris poliéder. Tükrözéssel feltehető, hogy Y = ∅. Legyen

g(A, B) = f(A ∩ X, ∅) + f(X \ B, ∅) + f(A ∪ X, B \ X) − 2f(X, ∅).

A képlet a (már ismert) max(x(X)−x(Y): x ∈ P (f)) = f(X, Y) összefüggésből és a mohó algoritmus vizsgálatából sejthető meg. g biszubmoduláris, mivel g(∅, ∅) = 0, definíció szerint

f(A_{1} ∪ X, B_{1} \ X) + f(A_{2} ∪ X, B_{2} \ X) ≥

≥ f((A_{1} ∩ A_{2}) ∪ X, (B_{1} ∩ B_{2}) \ X) + f(((A_{1} ∪ A_{2}) \ (B_{1} ∪ B_{2})) ∪ X, ((B_{1} ∪ B_{2}) \ (A_{1} ∪ A_{2})) \ X), és a fennmaradó egyenlőtlenség a definícióból következő alábbi három egyenlőtlenség összege:

f(A_{1} ∩ X, ∅) + f(A_{2} ∩ X, ∅) ≥ f((A_{1} ∩ A_{2}) ∩ X, ∅) + f((A_{1} ∪ A_{2}) ∩ X, ∅),

f(X \ B_{1}, ∅) + f(X \ B_{2}, ∅) ≥ f(X \ (B_{1} ∩ B_{2}), ∅) + f(X \ (B_{1} ∪ B_{2}), ∅),

f((A_{1} ∪ A_{2}) ∩ X, ∅) + f(X \ (B_{1} ∪ B_{2}), ∅) ≥

≥ f(((A_{1} ∪ A_{2}) \ (B_{1} ∪ B_{2})) ∩ X, ∅) + f(X \ ((B_{1} ∪ B_{2}) \ (A_{1} ∪ A_{2})), ∅).

Most már csak az kell, hogy P (g) épp a megfelelő pontokat adja: kétszer alkalmazva f definiáló egyenlőtlenségét, egyszerűen kapjuk, hogy g ≤ f és g(∅, X) = −f(X, ∅), így minden P (g)-beli pontra (X, ∅) szoros, másrészt ha x ∈ P (f)-re x(X) = f(X, ∅), akkor

x(A) − x(B) = x(A ∩ X) + x(X \ B) + x(A ∪ X) − x(B \ X) − 2x(X) ≤

≤ f(A ∩ X, ∅) + f(X \ B, ∅) + f(A ∪ X, B \ X) − 2f(X, ∅) = g(A, B).

Végül ha f egész, akkor g is az.

3.11 Köv. Biszubmoduláris poliéder oldala is biszubmoduláris poliéder, és ha a biszubmoduláris poliéder definiáló függvénye egész, akkor az oldalt definiáló függvény is egész.

Biz.: Világos, hogy P (f) minden oldala megkapható egymás utáni lap-képzéssel.

Felmerül a kérdés, hogy mit mondhatunk két biszubmoduláris poliéder metszetéről. Általában a metszet nem biszubmoduláris, amit a következő példa mutat: S = {1, 2, 3}-ra f_{1}(X, Y) := 0, ha (X, Y) := (∅, ∅), ({1, 3}, ∅), (∅, {1, 3}), f_{1} legyen ∞ egyébként; és f_{2}(X, Y) := 0, ha (X, Y) := (∅, ∅), ({1, 2}, ∅), és f_{2} legyen ∞ egyébként. Ekkor P (f_{1}) = {x ∈ ℝ^{3} : x_{1} + x_{3} = 0}, P (f_{2}) = {x ∈ ℝ^{3} : x_{1} + x_{2} ≤ 0}, de P (f_{1}) ∩ P (f_{2}) nem biszubmoduláris, mint az könnyen ellenőrizhető 3.7 felhasználásával. (P (f_{1}) ∩ P (f_{2}) arra is példa hogy nem minden olyan poliéder biszubmoduláris, amit 0, ±1 normálisú félterek metszeteként kapunk.)

Biszubmoduláris poliéder dobozzal való nemüres metszete viszont újra biszubmoduláris poliéder, mint azt be is bizonyítjuk.

3.12 Tétel Ha a P (f) biszubmoduláris poliéder és a T = {x ∈ ℝ^{S}: x_{1} ≤ u} doboz metszete nemüres, akkor a metszet megegyezik a P (g) biszubmoduláris poliéderrel, ahol

g(X, Y) = min(f(X, Y), f(X, Y + 1) + u), ha 1 ∉ X ∪ Y,

g(X, Y) = min(f(X, Y), f(X − 1, Y) + u, f(X − 1, Y + 1) + 2u), ha 1 ∈ X és

g(X, Y) = f(X, Y), ha 1 ∈ Y.

Biz.: Egyszerű esetszétválasztással könnyű látni, hogy g biszubmoduláris: g(X_{1}, Y_{1}) + g(X_{2}, Y_{2}) ≥ g((X_{1}, Y_{1}) ⊓ (X_{2}, Y_{2})) + g((X_{1}, Y_{1}) ⊔ (X_{2}, Y_{2})) igazolásánál a bal oldali minimumok minden lehetséges értékéhez van a jobboldalon egy-egy olyan tag, hogy azok összege kisebb-egyenlő, mint a bal oldal, továbbá g(∅, ∅) = 0 a metszet nemüressége miatt.

g ≤ f és x ∈ P (g)-re x_{1} ≤ u, vagyis P (g) ⊆ P (f) ∩ T. Másrészt ha egy y ∈ P (f) pontra y_{1} ≤ u, akkor

• 1 ∉ X∪Y esetén y(X)−y(Y) ≤ f(X, Y), y(X)−y(Y) = y(X)−y(Y +1)+y_{1} ≤ f(X, Y +1)+u,

• 1 ∈ X esetén y(X) − y(Y) ≤ f(X, Y), y(X) − y(Y) = y(X − 1) − y(Y) + y_{1} ≤ f(X − 1, Y) + u és y(X) − y(Y) = y(X − 1) − y(Y + 1) + 2y_{1} ≤ f(X − 1, Y + 1) + 2u,

• 1 ∈ Y esetén y(X) − y(Y) ≤ f(X, Y),

vagyis minden (X, Y) ∈ F(S)-re y(X)−y(Y) ≤ g(X, Y).

Tetszőleges dobozra a következő tételt kapjuk:

3.13 Tétel A P (f) biszubmoduláris poliéder és a X_{i∈S}[l_{i}, u_{i}], (l_{i} ≤ u_{i}), doboz metszete a P (g) biszubmoduláris poliéder, ahol

g(X, Y) = min_{(A,B)∈F(S)} (f(A, B) + u(X \ A) + u(B \ Y) − l(A \ X) − l(Y \ B)) ,

ha a metszet nemüres.

3.14 Tétel P (f) pontosan akkor egész poliéder, ha f egész.

Biz.: Legyen f egész biszubmoduláris függvény és F a P (f) egy oldala. Tegyük fel, hogy a T = [l, u] dobozra l, u véges és egész, valamint hogy T elég nagy ahhoz, hogy T ∩ F ≠ ∅ legyen. Ekkor 3.13 szerint T ∩ P (f) megegyezik egy P (g) biszubmoduláris poliéderrel, ahol g egész és véges, így 3.3 miatt T ∩ P (f) egész poliéder, vagyis a T ∩ F oldalának van egész pontja, és így F -nek is van egész pontja.

Ha P (f) egész, akkor 3.7 következtében f is az.

Most bebizonyítunk egy meglepő kapcsolatot korlátos biszubmoduláris poliéderek és a mohó algoritmus között. Látni fogjuk, hogy pontosan a biszubmoduláris poliéderekre működik helyesen a mohó algoritmus minden c célfüggvény mellett, ha a poliéder korlátos. Ezen állítást a következő tétel segítségével igazoljuk, ami szerint nemkorlátos poliéderekre a mohó algoritmus helyessége a következő tulajdonságba megy át:

Def.: Egy P poliéder mohó tulajdonságú, ha minden (X, Y)-maximális v pontjára v(X)−v(Y) = max(x(X) − x(Y): v ∈ P).

3.15 Tétel Nemüres poliéder pontosan akkor mohó tulajdonságú, ha biszubmoduláris.

Biz.: Legyen P mohó tulajdonságú. Definiáljuk az f függvényt a következőképpen: f(X, Y) := sup(x(X) − x(Y): x ∈ P). Belátjuk, hogy f biszubmoduláris. Legyen (A_{1}, B_{1}), (A_{2}, B_{2}) ∈ F(S). Legyen x_{1}, …, x_{n}, … ∈ P egy olyan sorozat, amire x_{n}(A_{1} ∩ A_{2}) − x_{n}(B_{1} ∩ B_{2}) → f(A_{1} ∩ A_{2}, B_{1} ∩ B_{2}), n → ∞. Minden n-re készítsük el x_{n}-ből y_{n}-et úgy, hogy x_{n}-et (A_{1}△A_{2})\(B_{1} ∪B_{2})-n növeljük, (B_{1}△B_{2}) \ (A_{1} ∪ A_{2})-n pedig csökkentjük annyira, hogy y_{n}((A_{1} ∪ A_{2}) \ (B_{1} ∪ B_{2})) − y_{n}((B_{1} ∪ B_{2}) \ (A_{1} ∪ A_{2})) → f((A_{1}, B_{1}) ⊔ (A_{2}, B_{2})), n → ∞. Ezt a poliéder mohó tulajdonsága miatt tehetjük meg. Ekkor x_{n} = y_{n} az (A_{1} ∩ A_{2}) ∪ (B_{1} ∩ B_{2}) halmazon. Azt kapjuk, hogy

f(A_{1}, B_{1}) + f(A_{2}, B_{2}) ≥ x_{n}(A_{1}) − x_{n}(B_{1}) + x_{n}(A_{2}) − x_{n}(B_{2}) =
= y_{n}(A_{1} ∩ A_{2}) − y_{n}(B_{1} ∩ B_{2}) + y_{n}((A_{1} ∪ A_{2}) \ (B_{1} ∪ B_{2})) − y_{n}((B_{1} ∪ B_{2}) \ (A_{1} ∪ A_{2})) →
→ f((A_{1}, B_{1}) ⊓ (A_{2}, B_{2})) + f((A_{1}, B_{1}) ⊔ (A_{2}, B_{2})), n → ∞,

amivel beláttuk, hogy f biszubmoduláris.

Nyilván P ⊆ P (f), tegyük fel, hogy létezik c ∈ ℝ^{S} és y ∈ P (f), hogy cy > cx minden x ∈ P - re. Tükrözéssel és c komponenseinek perturbációjával feltehetjük hogy c_{1} > c_{2} > … > c_{n} > 0, ha S = {1, …, n}. Legyen F = {v ∈ P (f): v(S) = f(S, ∅)}. Ha v ∈ P maximalizálja P -n cx-et, akkor v (S, ∅)-maximális, így v ∈ P ∩ F, vagyis P ∩ F ≠ ∅. Most futtassuk le P ∩ F -re a mohó algoritmust, azaz legyen P_{0} = P ∩ F, P_{i+1} pedig P_{i}-nek az i + 1-edik komponenst maximalizáló pontjai. Vegyük észre, hogy P_{i+1} definíciója értelmes, mivel ha az i + 1-edik komponensek halmaza nem volna korlátos felülről P_{i}-n, akkor cx sem volna korlátos P -n, figyelembe véve, hogy P_{i} minden x elemére x(S) megegyezik. A végül kapott x ∈ P pontra P mohó tulajdonságából x(S_{i}) = f(S_{i}, ∅), ahol S_{i} = {1, …, i}. Továbbá y-ra y(S_{i}) ≤ f(S_{i}, ∅) = x(S_{i}), így

cy = ∑_{i=1}^{n} c_{i}(y(S_{i}) − y(S_{i−1})) = ∑_{i=1}^{n−1}(c_{i} − c_{i+1})y(S_{i}) + c_{n}y(S_{n}) ≤

≤ ∑_{i=1}^{n−1}(c_{i} − c_{i+1})x(S_{i}) + c_{n}x(S_{n}) = cx,

ami ellentmondás, vagyis P = P (f), és az egyik iránnyal készen vagyunk.

Vissza, ha f biszubmoduláris, és v ∈ P (f) (X, Y)-maximális, akkor 3.6 szerint v(X) − v(Y) = max(x(X)−x(Y): x ∈ P (f)).

3.16 Tétel Egy korlátos P poliéderre pontosan akkor működik helyesen a mohó algoritmus minden c célfüggvény mellett, ha P biszubmoduláris poliéder.

Biz.: Belátjuk, hogy ha P -re működik a mohó algoritmus, akkor P mohó tulajdonságú. Előző tételünk szerint ekkor P biszubmoduláris.

Legyen w = χ_{X} − χ_{Y} és legyen v ∈ P (X, Y)-maximális. Tegyük fel, hogy wv = v(X) − v(Y) < max(x(X) − x(Y): x ∈ P) = max(wx: x ∈ P). Ha π: {1, …, |X ∪ Y |} ↔ X ∪ Y egy sorrendje X ∪ Y -nak, akkor legyen y_{π} az a vektor, amit a mohó algoritmus ad, ha a π(1), …, π(|X ∪ Y |) sorrendben optimalizáljuk a w célfüggvényt. Legyen C = conv{y_{π}: π egy sorrendje X ∪ Y -nak} és legyen T = v + ((ℝ_{0}^{+})^{X} × (ℝ_{0}^{−})^{Y} × ℝ^{S−X−Y}). C ∩ (v + ({0}^{X∪Y} × ℝ^{S−X−Y})) = ∅, mivel a mohó algoritmus helyessége miatt y ∈ C-re wy = max(wx: x ∈ P), de z ∈ v + ({0}^{X∪Y} × ℝ^{S−X−Y})-ra wz = wv < max(wx: x ∈ P). Ha C ∩ T ≠ ∅, akkor tehát létezik y ∈ C ⊆ P, hogy y|_{X} ≥ v|_{X}, y|_{Y} ≤ v|_{Y} , y|_{X∪Y} ≠ v|_{X∪Y}, ami ellentmondás v (X, Y)-maximalitása miatt. Vagyis létezik egy c ∈ ℝ^{S} vektor, hogy cz > cy minden y ∈ C, z ∈ T -re. Nyilván c|_{X} ≥ 0, c|_{Y} ≤ 0, c|_{S−X−Y} = 0. Ekkor azonban a c-t optimalizáló mohó algoritmus futhat úgy, hogy egy y_{π}-t adjon optimumként, azaz cy_{π} ≥ cv, ellentmondás.

A másik irány 3.3 és 3.9 következménye.

Egy érdekes következmény:

3.17 Tétel Az f_{1}, f_{2} biszubmoduláris függvényekre P (f_{1}) + P (f_{2}) = P (f_{1} + f_{2}).

Biz.: P (f_{1}) + P (f_{2}) ≠ ∅, belátjuk, hogy mohó tulajdonságú. Legyen v ∈ P (f_{1}) + P (f_{2}) (X, Y)- maximális. v = v_{1} + v_{2}, v_{i} ∈ P (f_{i}). Nyilván v_{i} is (X, Y)-maximális P (f_{i})-ben, így v(X) − v(Y) = v_{1}(X) − v_{1}(Y) + v_{2}(X) − v_{2}(Y) = max(x_{1}(X) − x_{1}(Y): x_{1} ∈ P (f_{1})) + max(x_{2}(X) − x_{2}(Y): x_{2} ∈ P (f_{2})) = max(x(X)−x(Y): x ∈ P (f_{1})+P (f_{2})). Vagyis P (f_{1})+P (f_{2}) biszubmoduláris poliéder 3.15 miatt. Tegyük fel, hogy a g biszubmoduláris függvény definiálja. 3.7 szerint g(X, Y) = sup(x(X) − x(Y): x ∈ P (f_{1}) + P (f_{2})) = sup(x_{1}(X) − x_{1}(Y): x_{1} ∈ P (f_{1})) + sup(x_{2}(X) − x_{2}(Y): x_{2} ∈ P (f_{2})) = f_{1}(X, Y) + f_{2}(X, Y).

3.3. A differenciál

Fujishige vezette be [11] egy b szubmoduláris függvény differenciálját: v ∈ ∂(X), ha X minimalizálja b(X) − v(X)-et. A fogalom általánosítható biszubmoduláris függvényekre is, és érdekes eredmények igazolhatóak a segítségével.

Def.: Az f biszubmoduláris függvényre és (X, Y) ∈ F(S)-re ∂(X, Y) := {v ∈ ℝ^{S}: f(X, Y)− −v(X)+v(Y) ≤ f(A, B)−v(A)+v(B) ∀(A, B) ∈ F(S)} az f biszubmoduláris függvény (X, Y)-hoz tartozó differenciálja.

3.18 Tétel Ha f(X, Y) = ∞, akkor ∂(X, Y) = ∅, egyébként

∂(X, Y) = (P (f)-nek (X, Y)-hoz tartozó lapja) + ((ℝ_{0}^{+})^{X} × (ℝ_{0}^{−})^{Y} × {0}^{S−X−Y}).

Biz.: Az első állítás triviális. Ha f(X, Y) véges, akkor legyen α ∈ (ℝ_{0}^{+})^{X} × (ℝ_{0}^{−})^{Y} × {0}^{S−X−Y}, v ∈ P (f), v(X) − v(Y) = f(X, Y). x = v + α-ra:

f(X, Y) − x(X) + x(Y) = −α(X) + α(Y) = − ∑ |α_{i}| ≤

≤ −α(A) + α(B) ≤ −α(A) + α(B) + f(A, B) − v(A) + v(B) = f(A, B) − x(A) + x(B).

Vissza, tegyük fel, hogy x ∈ ∂(X, Y). Tükrözéssel feltehető, hogy Y = ∅, azaz hogy f(X, ∅) − x(X) = min(f(A, B)−x(A)+x(B): (A, B) ∈ F(S)). X elemeit valamilyen sorrend szerint véve csökkentsük x megfelelő komponensét addig, míg ezt megtehetjük az egyenlőség sértése nélkül. Amikor ezt X minden elemére elvégeztük, nyilván a kapott v = x − α semely komponense nem csökkenthető az egyenlőség megsértése nélkül. Következésképp minden i ∈ X-re létezik egy (A_{i}, B_{i}) ∈ F(S) halmazpár, hogy i ∉ A_{i} és f(X, ∅) − v(X) = f(A_{i}, B_{i}) − v(A_{i}) + v(B_{i}). Az ilyen (A_{i}, B_{i}) párt feszesnek hívjuk. Könnyen ellenőrizhetően feszes párok metszete és uniója is feszes, továbbá (X, ∅) is feszes. Ezeket mind összemetszve kapjuk, hogy (∅, ∅) is feszes, vagyis f(X, ∅) − v(X) = 0. Ezért minden (A, B) ∈ F(S) halmazpárra f(A, B)−v(A)+v(B) ≥ f(X, ∅)−v(X) = 0, így v eleme P (f) (X, ∅)-hez tartozó lapjának. Azaz az eredeti x vektorunkat felírtuk egy (ℝ_{0}^{+})^{X} ×(ℝ_{0}^{−})^{Y} ×{0}^{S−X−Y} -beli és egy az (X, Y)-hoz tartozó lap vektorának összegeként.

Vegyük észre, hogy ha f egész és x ∈ ∂(X, Y) is egész, akkor a tételbeli x = v + α felbontásban v és α is választható egésznek, hiszen a bizonyítás által megadott α épp ilyen lesz.

A differenciálok szép szerkezetét mutatja a következő tétel.

Def.: Az f biszubmoduláris függvényre és (X, Y) ∈ F(S)-re ∂′(X, Y) := {x ∈ ∂(X, Y): ∀ (A, B) ⊑ (X, Y), (A, B) ≠ (X, Y)-ra x ∉ ∂(A, B)}.

3.19 Tétel ℝ^{S} = ˙⋃{∂′(X, Y): (X, Y) ∈ F(S)} és

∂′(X, Y) = (P (f)-nek (X, Y)-hoz tartozó lapja) + ((ℝ^{+})^{X} × (ℝ^{−})^{Y} × {0}^{S−X−Y}).

Biz.: Ha x ∈ ∂(X_{1}, Y_{1}) ∩ ∂(X_{2}, Y_{2}), akkor f biszubmodularitása miatt könnyen ellenőrizhetően x ∈ ∂((X_{1}, Y_{1}) ⊓ (X_{2}, Y_{2})) ∩ ∂((X_{1}, Y_{1}) ⊔ (X_{2}, Y_{2})), így létezik egy ⊑-legkisebb (X, Y) halmazpár, amire x ∈ ∂′(X, Y).

Legyen f(X, Y) véges, α ∈ (ℝ^{+})^{X} × (ℝ^{−})^{Y} × {0}^{S−X−Y} , v ∈ P (f), v(X) − v(Y) = f(X, Y), x = v + α. Már láttuk, hogy x ∈ ∂(X, Y). Legyen (A, B) ⊑ (X, Y), azaz A ⊆ X, B ⊆ Y, de (A, B) ≠ (X, Y). Ekkor az előző bizonyításhoz hasonlóan

f(X, Y) − x(X) + x(Y) = −α(X) + α(Y) < −α(A) + α(B) ≤ f(A, B) − x(A) + x(B).

Vissza, tegyük fel, hogy x ∈ ∂′(X, Y). Tükrözéssel feltehetjük, hogy Y = ∅. Ha i ∈ X-re x_{i}-t nem lehet szigorúan csökkenteni, akkor létezik egy (A, B) ∈ F(S) halmazpár, hogy i ∉ A és f(X, ∅) − v(X) = f(A, B) − v(A) + v(B). Mint láttuk az előző bizonyításban, feszes párok metszete és uniója is feszes, vagyis f(A ∩ X, B ∩ Y) − x(A ∩ X) + x(B ∩ Y) = min(f(U, V) − x(U) + x(V): (U, V) ∈ F(S)), i ∉ A ∩ X miatt ellentmondva x ∈ ∂′(X, Y)-nek. Vagyis minden i ∈ X-re x_{i}-t csökkenthetjük szigorúan az f(X, ∅) − x(X) = min(f(U, V) − x(U) + x(V): (U, V) ∈ F(S)) egyenlőség megsértése nélkül, és így létezik egy ε > 0 szám, hogy x − εχ_{X}-re is igaz az egyenlőség, azaz x − εχ_{X} ∈ ∂(X, Y). Innen az előző bizonyítás gondolatmenetével kapunk egy α ∈ (ℝ^{+})^{X} × (ℝ^{−})^{Y} ×{0}^{S−X−Y} vektort, hogy x = v+α egy olyan v ∈ P (f) pontra, ami az (X, Y)-hoz tartozó lap pontja.

Fujishige bebizonyít egy érdekes minimax tételt biszubmoduláris poliéderekre. 3.18-ból a Fujishige-tétel egyszerűen következik, d az l_{1}-norma szerinti távolságot jelenti.

3.20 Tétel [12] Az f biszubmoduláris függvényre

min(f(A, B): (A, B) ∈ F(S)) + d(P (f), 0) = 0,

sőt ha f egészértékű, akkor létezik egy olyan egész x_{0} pont, amire ∥x_{0}∥_{1} = min(∥x∥_{1} : x ∈ P (f)) = d(P (f), 0).

Biz.: ⋃ ∂(X, Y) = ℝ^{S}, így feltehetjük, hogy 0 ∈ ∂(X, Y). Ekkor 3.18 szerint 0 = v + α, ahol v ∈ P (f), v(X) − v(Y) = f(X, Y) és α ∈ (ℝ_{0}^{+})^{X} × (ℝ_{0}^{−})^{Y} × {0}^{S−X−Y}, továbbá (X, Y) adja f minimumát. Ezért

d(v, 0) = α(X) − α(Y) = −v(X) + v(Y) = −f(X, Y) ≤ d(x, 0) minden x ∈ P (f)-re.

Innen d(P (f), 0) = d(v, 0) = −f(X, Y) = − min(f(A, B): (A, B) ∈ F(S)).

Ha f egész, akkor a 3.18 tétel utáni észrevétel szerint v is választható egésznek.

Fujishige tételét általánosítani is tudjuk 3.17 felhasználásával:

3.21 Tétel Az f_{1}, f_{2} biszubmoduláris függvényekre

min(f_{1}(A, B) + f_{2}(B, A): (A, B) ∈ F(S)) + d(P (f_{1}), P (f_{2})) = 0.

Biz.: A Fujishige-tétel szerint

d(P (f_{1}), P (f_{2})) = d(0, P (f_{1}) − P (f_{2})) = d(0, P (f_{1}) + (−P (f_{2}))) =
− min(f_{1}(A, B) + f_{2}(B, A): (A, B) ∈ F(S)),

hiszen −P (f_{2})-t az (A, B) ↦ f_{2}(B, A) biszubmoduláris függvény definiálja.

Itt már nem igaz, hogy egész f_{1}, f_{2} esetén a P (f_{1}) és a P (f_{2}) távolságát adó két pont választható egésznek, ugyanis legyen P (f_{1}) = conv{(0, 0), (1, 1)}, P (f_{2}) = conv{(1, 0), (0, 1)}, ezek egész biszubmoduláris poliéderek, és P (f_{1}) ∩ P (f_{2}) = {(1/2, 1/2)}.

3.22 Köv. Az f biszubmoduláris függvényre és a T = X_{i∈S}[l_{i}, u_{i}], (l_{i} ≤ u_{i}), dobozra

min(f(A, B) − l(A) + u(B): (A, B) ∈ F(S)) + d(P (f), T) = 0.

Szükségünk lesz az alábbi megfigyelésre:

3.23 Tétel Ha x ∈ ∂′(A, B), α ∈ (ℝ_{0}^{+})^{A} × (ℝ_{0}^{−})^{B} × ℝ^{S−A−B} és (A, B) ⋢ (X, Y), akkor x + α ∉ ∂(X, Y).

Biz.: Legyen g(U, V) = f(U, V)−x(U)+x(V). g biszubmoduláris, így minden (U, V) ∈ F(S)-re

g ((A, B) ⊔ (U, V)) + g ((A, B) ⊓ (U, V)) ≤ g(A, B) + g(U, V).

Ha egy (U, V) halmazpárra (A, B) ⋢ (U, V), akkor (A, B) ⊓ (U, V) ⊑ (A, B), de (A, B) ⊓ (U, V) ≠ (A, B), ezért x ∈ ∂′(A, B)-ből g ((A, B) ⊓ (U, V)) > g(A, B), ahonnan g ((A, B) ⊔ (U, V)) < g(U, V). (A, B) ⋢ (X, Y), vagyis g ((A, B) ⊔ (X, Y)) < g(X, Y). Ha (A, B) ⊑ (A, B) ⊔ (X, Y), akkor (X′, Y′) := (A, B) ⊔ (X, Y) = (A, B) ⊔ ((A, B) ⊔ (X, Y)), egyébként g ((A, B) ⊔ ((A, B) ⊔ (X, Y))) < g ((A, B) ⊔ (X, Y)), ekkor legyen (X′, Y′) = (A, B) ⊔ ((A, B) ⊔ (X, Y)). (A, B) ⊑ (X′, Y′), vagyis f(X′, Y′) − x(X′) + x(Y′) < f(X, Y) − x(X) + x(Y) és így

f(X′, Y′) − x(X′) − α(X′) + x(Y′) + α(Y′) < f(X, Y) − x(X) − α(X) + x(Y) + α(Y),

mivel α|_{A} ≥ 0, α|_{B} ≤ 0 és (X′, Y′) = (A, B) ⊔ ((A, B) ⊔ (X, Y)). Vagyis x + α ∉ ∂(X, Y).

3.4. Az ugrácsok és a biszubmoduláris poliéderek kapcsolata

Bouchet és Cunningham [3] írták le az ugrácsok és a biszubmoduláris függvények ezen alfejezetben tárgyalt kapcsolatát.

3.24 Tétel Ugrács konvex burka mohó tulajdonságú.

Biz.: A J ugrácsra legyen v ∈ conv(J) (X, Y)-maximális. Tükrözéssel feltehető, hogy Y = ∅. Tegyük fel, hogy v(X) < max(x(X): x ∈ conv(J)) = max(x(X): x ∈ J).

Először legyen v ∈ J és legyen y ∈ J egy olyan pont, amire y(X) > v(X) és amire d(v, y) minimális. v (X, ∅)-maximalitása miatt létezik i ∈ X, hogy v_{i} > y_{i}. Az y + e^{i} y-ból v-be való lépésre viszont sem y +e^{i}, sem egy y +e^{i} ±e^{j} lépés nem lehet J-ben, mivel mindkettő ellentmondana y választásának.

Ha v ∈ conv(J), akkor v = ∑ α^{i}v^{i}, ahol α^{i} > 0, ∑ α^{i} = 1 és v^{i} ∈ J. Nyilván v^{i} is (X, ∅)- maximális minden i-re, vagyis v(X) = ∑ α^{i}v^{i}(X) = ∑ α^{i} max(x(X): x ∈ J) = max(x(X): x ∈ J), azaz conv(J) mohó tulajdonságú.

Következik Bouchet és Cunningham két tétele. Az eltérő felépítés miatt bizonyításaink is eltérnek az eredetiektől.

3.25 Tétel [3] Nemüres J ugrács konvex burka egy P (f) biszubmoduláris poliéder, ahol

f(X, Y) = sup(x(X) − x(Y): x ∈ J).

Biz.: A tétel 3.7, 3.15 és az előző tétel következménye.

3.26 Tétel [3] Ha a nemüres J ugrácsra conv(J) korlátos, akkor J-n helyesen működik a mohó algoritmus, és ha |c| minden komponense különböző pozitív szám, akkor az optimális pont egyértelmű.

Biz.: A tétel 3.3, 3.4 és 3.9 következménye.

Ezek szerint delta-matroid konvex burka is biszubmoduláris poliéder, vagyis delta-matroid (S, ∅)- maximális elemei fix összegűek a biszubmoduláris poliéderek mohó tulajdonsága miatt. Könnyen ellenőrizhető továbbá, hogy egy delta-matroid (S, ∅)-maximális elemei szintén delta-matroidot alkotnak, ahonnan kapjuk a közvetlenül is könnyen bizonyítható állítást:

3.27 Állítás Nemüres delta-matroid olyan x elemei, amelyek maximalizálják x(S)-et, egy matroid bázisait alkotják.

3.28 Köv. Az alaphalmaz részhalmazrendszereként adott nemüres delta-matroid pontosan akkor egy leszálló halmazrendszer, ha egy matroid független halmazainak rendszere.

3.24 fordítva is igaz, az eredeti bizonyítás következik:

3.29 Tétel [3] Minden f egész biszubmoduláris függvényre J = P (f) ∩ ℤ^{S} ugrács.

Biz.: Legyenek x, y ∈ J tetszőleges pontok, v = x ± e^{1} pedig egy lépés x-ből y-ba. Feltehető, hogy x ≤ y, v = x + e^{1}. Legyen R ⊆ S \ {1} azon i koordináták halmaza, amelyekre x_{i} < y_{i}. Ha v ∉ J, akkor létezik egy (A, B) x-szoros halmazpár, amire 1 ∈ A. Válasszuk (A, B)-t az összes ilyen x-szoros halmazpár metszetének.

Tegyük fel, hogy B ∩ R ≠ ∅, és legyen j ∈ B ∩ R. (A, B) választása miatt minden olyan x-szoros (X, Y) halmazpárra, amire 1 ∈ X, teljesül, hogy j ∈ B ⊆ Y. Tegyük fel, hogy x+e^{1}+e^{j} = v+e^{j} ∉ J. Ekkor vagy létezik egy olyan (X, Y) x-szoros halmazpár, amire 1 ∈ X, j ∉ Y, ami nem lehet (A, B) választása miatt, vagy létezik egy olyan (X, Y) x-szoros halmazpár, amire j ∈ X, 1 ∉ Y, viszont ekkor (X, Y) ⊔ (A, B) mond ellent (A, B) választásának. Még az is lehet, hogy létezik egy olyan (X, Y) halmazpár, amire x(X) − x(Y) = f(X, Y) − 1 és 1, j ∈ X. Ekkor könnyen láthatóan vagy (X, Y) ⊔ (A, B), vagy (X, Y) ⊓ (A, B) x-szoros, és amelyik x-szoros, az ellentmond (A, B) választásának.

Ha B ∩R = ∅, akkor y(A)−y(B) > x(A)−x(B) = f(A, B), ami ellentmondás.

A tételben az f egészértékűségére vonatkozó kikötés nem hagyható el, amit a következő példa mutat: a [0, 1] ⊆ ℝ^{3} kockának mint biszubmoduláris poliédernek változtassuk meg úgy a definiáló biszubmoduláris függvényét, hogy az (∅, {1, 2, 3}) és az ({1, 2, 3}, ∅) halmazpárok kivételével minden olyan (X, Y) halmazpár értékét csökkentsük le egy picit, amelyekre X ∪ Y = {1, 2, 3}. A kapott poliéder biszubmoduláris - például 3.15 miatt -, de a benne levő egész pontok a 0 és az 1, amelyek nem alkotnak ugrácsot.

Def.: [3] A J ugrács konvex, ha conv(J) ∩ ℤ^{S} = J. x ∈ conv(J) ∩ ℤ^{S} lyuk, ha x ∉ J.

3.30 Állítás Konvex ugrács oldala is egy konvex ugrács.

Biz.: 3.11 és 3.14 szerint egész biszubmoduláris poliéder oldala is egész biszubmoduláris poliéder, így 3.29 figyelembevételével kapjuk az állítást.

Az előzőek szerint konvex ugrácsok lyukait betömve újra ugrácsot kapunk:

3.31 Állítás [3] Ha J ugrács, akkor conv(J)∩ℤ^{S} is az.

A fix összegű ugrácsok konvex burkáról többet is mondhatunk.

3.32 Tétel Korlátos fix összegű ugrács konvex burka g-polimatroid.

Biz.: Tegyük fel, hogy az S = {1, …, n} alaphalmazon adott J fix összegű ugrácson a mohó algoritmussal maximalizáljuk a w 0, ±1 vektorral adott wx célfüggvényt az 1, …, n sorrendben, ahol w_{i} = ±1, i ≤ m-re és w_{i} = 0, i > m-re. Tegyük fel, hogy kimenetként az F ponthalmazt kapjuk. i ≤ m-re legyen α_{i} = v_{i} minden v ∈ F -re. Azt állítjuk, hogy ha w_{j} = 1, w_{j+1} = −1, akkor ha az 1, …, j −1, j +1, j, j +2, …, n sorrendben maximalizáljuk wx-et, egy olyan F′ ponthalmazt kapunk kimenetként, amire F′ = F. i ≤ m-re legyen α′_{i} = v′_{i} minden v′ ∈ F′-re. Világos, hogy i < j-re α_{i} = α′_{i}. Mivel az (α_{1}, …, α_{j−1}) vektor szerinti minor is fix összegű, feltehetjük, hogy j = 1. F′ = F - hez pedig elég látni, hogy α′_{1} = α_{1}, α′_{2} = α_{2}, más szóval, hogy max(x_{1} : x ∈ J) = max(x_{1} : x ∈ J, x_{2} = min(y_{2} : y ∈ J)), valamint hogy min(y_{2} : y ∈ J) = min(y_{2} : y ∈ J, y_{1} = max(x_{1} : x ∈ J)). A szimmetria miatt elég belátni az első állítást.

Legyen tehát v ∈ J olyan pont, amire v_{2} = min(y_{2} : y ∈ J), és ezen belül v_{1} maximális. Ha v_{1} = max(x_{1} : x ∈ J), akkor készen vagyunk, egyébként legyen z ∈ J egy olyan pont, amire z_{1} = max(x_{1} : x ∈ J). A v′ = v + e^{1} v-ből z-be való lépésre létezik egy v′′ := x + e^{1} − e^{i} v′-ből z-be való J-beli lépés. i ≠ 2, mivel v_{2} = min(y_{2} : y ∈ J), így a v′′ pontra v′′_{1} > v_{1} ellentmondva v választásának. Vagyis valóban, F′ = F.

A tétel bizonyításához azt kell belátnunk, hogy minden (X, Y) ∈ F(S) halmazpárra max(x(X)− x(Y): x ∈ J) = max(x(X): x ∈ J) + max(−x(Y): x ∈ J). Legyen w = χ_{X} − χ_{Y}, és tegyük fel, hogy X = {1, …, k}, Y = {k + 1, …, k + l}. A wx-et az 1, …, n sorrendben maximalizáló mohó algoritmus kimenete legyen az F ponthalmaz, a k + 1, …, k + l, 1, …, k, k + l + 1, …, n sorrendben maximalizálóé pedig F′. i ≤ k + l-re legyen α_{i} = v_{i} minden v ∈ F -re, α′_{i} = v′_{i} minden v′ ∈ F′-re. Az előbb igazoltuk, hogy α_{i} = α′_{i} minden i ≤ k + l-re, vagyis a mohó algoritmus helyessége miatt

max_{x∈J}(x(X) − x(Y)) = ∑_{i=1}^{k+l} α_{i} = ∑_{i=1}^{k} α_{i} + ∑_{i=k+1}^{k+l} α′_{i} = max_{x∈J} x(X) + max_{x∈J}(−x(Y)).

Vizsgáljuk meg, hogy az ugrácsok műveleteire nézve hogyan változik a konvex burkot definiáló f biszubmoduláris függvény.

• Eltolás: Nyilván f′(X, Y) = f(X, Y) + a(X) − a(Y).

• Tükrözés: Mint már láttuk 3.2-ben, J-nek R ⊆ S-re való tükörképének konvex burkát az f′(X, Y) = f((X \ R) ∪ (Y ∩ R), (Y \ R) ∪ (X ∩ R)) függvény adja meg.

• Vetítés: Ha J-t R ⊆ S-re vetítjük, akkor az új f′ biszubmoduláris függvényre f′ = f|_{F(R)}. Elég bebizonyítani, hogy az állítás igaz minden biszubmoduláris poliéderre és R = S \ {1}-re, azaz ha φ-vel jelöljük a vetítést és f′-vel f|_{F(R)}-et, akkor φ(P (f)) = P (f′). φ(P (f)) ⊆ P (f′) nyilvánvaló. Legyen x′ ∈ P (f′). Ahhoz, hogy egy x_{1} ∈ ℝ számra (x_{1}, x′) ∈ P (f) álljon, az kell, hogy minden (X, Y) ∈ F(R)-re

x′(X) − x′(Y) + x_{1} ≤ f(X + 1, Y) és

x′(X) − x′(Y) − x_{1} ≤ f(X, Y + 1)

álljon. Ilyen x_{1} pedig létezik, mivel minden (X_{1}, Y_{1}), (X_{2}, Y_{2}) ∈ F(R)-re

x′(X_{1}) − x′(Y_{1}) + x′(X_{2}) − x′(Y_{2}) =

= x′(X_{1} ∩ X_{2}) − x′(Y_{1} ∩ Y_{2}) + x′((X_{1} ∪ X_{2}) \ (Y_{1} ∪ Y_{2})) − x′((Y_{1} ∪ Y_{2}) \ (X_{1} ∪ X_{2})) ≤

≤ f(X_{1} ∩ X_{2}, Y_{1} ∩ Y_{2}) + f((X_{1} ∪ X_{2}) \ (Y_{1} ∪ Y_{2}), (Y_{1} ∪ Y_{2}) \ (X_{1} ∪ X_{2})) ≤

≤ f(X_{1} + 1, Y_{1}) + f(X_{2}, Y_{2} + 1).

Megjegyezzük, hogy a vetületre nyert fenti összefüggésből egy újabb bizonyítást kaptunk arra, hogy a biszubmoduláris poliéderek nemüresek, ugyanis |S| = 1-re ez triviálisan igaz, majd alkalmazhatunk indukciót.

Nyilván egész f és x′ esetén egész x_{1}-et is találunk, ahonnan következik, hogy konvex ugrács vetülete is konvex. Ugyanez konvex ugrácsok homomorf képére nem igaz, mivel minden korlátos nemnegatív ugrács előáll a konvex delta-matroidok homomorf képeként. Egy gráf foksorozata is példa arra, hogy konvex ugrácsok összege nem feltétlenül konvex.

• Szorzat: Az S_{1}, S_{2} diszjunkt halmazokon adott J_{1}, J_{2} ugrácsok szorzatának konvex burkát nyilván f(X, Y) = f_{1}(X ∩ S_{1}, Y ∩ S_{1}) + f_{2}(X ∩ S_{2}, Y ∩ S_{2}) adja.

• Összeg: A közös S alaphalmazon definiált J_{1}, J_{2} ugrácsokra conv(J_{1} + J_{2}) = conv(J_{1}) + conv(J_{2}) = P (f_{1}) + P (f_{2}) = P (f_{1} + f_{2}) 3.17-ből.

• Dobozzal való metszet: Az egész T = X_{i∈S}[l_{i}, u_{i}] dobozzal való metszetet nyilván csak konvex ugrácsokra írhatjuk fel f és T segítségével, amikor is 3.13-ból

f′(X, Y) = min_{(A,B)∈F(S)}(f(A, B) + u(X \ A) + u(B \ Y) − l(A \ X) − l(Y \ B)).

• Minor: A minor a dobozzal való metszet speciális esete, nem részletezzük.

• Homomorf kép: A J ugrács π = {S_{1}, …, S_{k}} partíció szerinti J_{π} homomorf képének konvex burkát az f′(X, Y) = f(⋃ X, ⋃ Y), (X, Y) ∈ F(π) biszubmoduláris függvény adja meg 3.7 következtében.

Egy M matroid függetlenjeinek delta-matroidját F -fel jelölve, M homomorf képében pontosan akkor lesz I ⊆ π független, ha χ_{I} ∈ F_{π}, azaz ha minden (X, Y) ∈ F(π)-re |I ∩ X| − |I ∩ Y | ≤ f′(X, Y) = f(⋃ X, ⋃ Y) = r(⋃ X) az M rangfüggvényével. Vagyis I pontosan akkor független, ha minden X ⊆ π-re |I ∩ X| ≤ r(⋃ X), mint ismert.

Nyilván két ugrács metszete nem feltétlenül lesz ugrács, sőt a 16. oldali megjegyzésünk szerint ez két konvex ugrácsra is így van.

Def.: Az S alaphalmazú D delta-matroidot g-matroidnak hívjuk, ha létezik az S ˙∪Z halmazon egy olyan B bázishalmazú M matroid, amire D = {B ∩ S: B ∈ B}.

A kompozíció miatt g-matroid k-elemű halmazai egy matroidot alkotnak, sőt ha Z-n adott egy N matroid, akkor ha nemüres, D_{N} = {B ∩ S: B ∈ B, B ∩ Z bázis N-ben} is egy matroid, hiszen D_{N} egy fix összegű delta-matroid.

Def.: Az S alaphalmazú M_{1}, M_{2} matroidokra M_{1} projekciója M_{2}-nek, ha r_{2} − r_{1} monoton nő.

Bizonyítás nélkül megemlítjük a következő tételt, amit g-matroidokról írtak le.

3.33 Tétel Legyenek M_{1}, M_{2} S alaphalmazú matroidok. Ekkor a következők ekvivalensek:

1. D := {X ⊆ S: létezik M_{i}-nek B_{i} bázisa, hogy B_{1} ⊆ X ⊆ B_{2}} g-matroid,

2. M_{1} az M_{2} projekciója,

3. M_{1} minden zárt halmaza M_{2}-ben is zárt,

4. r_{1}(X) + r_{2}(Y) ≥ r_{1}(X ∪ Y) + r_{2}(X ∩ Y),

5. r_{2}(X) − t_{1}(Y) ≥ r_{2}(X \ Y) − t_{1}(Y \ X),

6. minden X, Y ⊆ D, x ∈ X −Y -ra vagy X −x ∈ D, vagy létezik y ∈ Y −X, hogy X −x+y ∈ D és minden X, Y ⊆ D, x ∈ X −Y -ra vagy Y +x ∈ D, vagy létezik y ∈ Y −X, hogy Y +x−y ∈ D.

Innen a következő karakterizációt kapjuk:

3.34 Tétel A g-matroidok pontosan azon delta-matroidok, amelyeknek konvex burka egy g-poli-matroid.

Biz.: Minden matroidra igaz, hogy az alaphalmazának diszjunkt X, Y halmazaira létezik egy olyan B bázisa, hogy |B ∩ X| = r(X), |B ∩ Y | = t(Y). Ez tehát speciálisan a D-t adó matroidra is igaz, ahonnan max(x(X)−x(Y): x ∈ D) = r(X)−t(Y) = max(x(X): x ∈ D)+max(−x(Y): x ∈ D), ami azt jelenti, hogy a b(X) = r(X) = max(x(X): x ∈ D), h(Y) = −t(Y) = max(−x(Y): x ∈ D) jelöléssel conv(D) = P (f), ahol f(X, Y) = b(X) + h(Y), b, h nyilván erős pár. Vagyis minden g-matroid konvex burka egy g-polimatroid.

Ha egy D delta-matroid konvex burka g-polimatroid, azaz conv(D) = P (f), ahol f(X, Y) = g(X)+h(Y) a b, h erős párra, akkor legyen M_{b} a b rangú matroid S-en, M_{h} pedig a −h korangú matroid S-en. b, h erős pár, így előző tételünk 5. pontja szerint M_{b}-nek projekciója M_{h} és nyilván D = {X ⊆ S: létezik M_{h}-nak B_{h} és M_{b}-nek B_{b} bázisa, hogy B_{h} ⊆ X ⊆ B_{b}}.

4. A tartalmazási probléma

4.1. Zárt dobozok

A tartalmazási probléma kidolgozása Lovásztól [22] származik: Adott egy J ugrács és egy p ∈ ℝ^{S} pont, határozzuk meg d(J, p)-t. Az első természetesen felmerülő kérdés az, hogy hogyan adott egy ugrács. Az alkalmazásokban általában J kisméretű ugrácsok összegeként adott, ezért a felépítést erre a feltételezésre szabjuk. Az az általánosabbnak tűnő feladat, hogy egy T dobozra kell meghatároznunk d(J, T) értékét, valójában ekvivalens a tartalmazási problémával, hiszen d(J − T, 0) = d(J, T). Az alkalmazások szempontjából hasznosabb ezt a problémát, a dobozoktól való távolságot vizsgálni.

Lássunk néhány példát. Az f-faktor probléma adott G gráf és f ∈ ℝ^{V (G)} vektor esetén annak eldöntése, hogy f ∈ J_{G} teljesül-e. Geelen [15] nyomán az f-faktor probléma megoldását levezetjük a 4.4. alfejezetben.

Az S alaphalmazú J_{1}, J_{2} ugrácsokra pontosan akkor lesz J_{1} ∩J_{2} ≠ ∅, ha 0 ∈ J_{1} −J_{2}. Speciálisan, ha M_{1}, M_{2} matroidok S-en, akkor pontosan akkor van közös bázisuk, ha 0 ∈ M_{1} − M_{2}. Ez utóbbi megfigyelésből be fogjuk bizonyítani Edmonds matroid metszet tételét [22].

A matroid parity is speciális esete a tartalmazási problémának [22]. Ha adott egy párbaállított elemekből álló M matroid egy páros elemszámú S alaphalmazon, akkor G-vel jelölve ezen párosítást mint gráfot, pontosan akkor létezik M-nek teljesen párokból álló bázisa, ha J_{G} ∩ M ≠ ∅. Ez a példa azt mutatja, hogy a tartalmazási problémának vannak polinomiálisan nem megoldható esetei is.

A fejezetben ha egy T dobozról azt állítjuk, hogy T = [l, u], akkor hallgatólagosan feltesszük, hogy l ≤ u. Adott tehát egy T = [l, u] doboz és egy J ugrács az S alaphalmazon.

Def.: J_{T} := {x ∈ J: d(x, T) = d(J, T)}.

4.1 Tétel [22] J_{T} ugrács.

Biz.: Legyen x, y ∈ J_{T} és v = x ± e^{1} egy lépés x-ből y-ba. Feltehetjük, hogy v = x + e^{1}. d(x, y)- ra vonatkozó indukcióval dolgozunk. Vagy v ∈ J, vagy létezik egy z ∈ J lépés v-ből y-ba, az első esetben legyen z = v. Ha z ∉ J_{T}, akkor persze d(v, T) ≥ d(x, T), és így d(y_{1}, [l_{1}, u_{1}]) ≥ d(x_{1}, [l_{1}, u_{1}]). Mivel d(z, T) > d(x, T), létezik egy i ∈ S, amire d(z_{i}, [l_{i}, u_{i}]) > d(x_{i}, [l_{i}, u_{i}]), továbbá mivel z_{i} az x_{i} és az y_{i} között van: d(y_{i}, [l_{i}, u_{i}]) > d(x_{i}, [l_{i}, u_{i}]).

Tegyük fel, hogy egy i > 1-re d(y_{i}, [l_{i}, u_{i}]) > d(x_{i}, [l_{i}, u_{i}]). Feltehető, hogy y_{i} > x_{i}. Most d(y − e^{i}, T) < d(y, T), így y − e^{i} ∉ J, de létezik egy y′ ∈ J lépés y − e^{i}-ből x-be. Persze y′ ∈ J_{T} és y′_{1} = y_{1} > x_{1}. Vagyis v egy lépés x-ből y′-be, továbbá y′ ∈ [x, y] és d(x, y) > d(x, y′), ahonnan az állítás indukciós feltevésünkből következik.

Most tegyük fel, hogy minden i > 1-re d(y_{i}, [l_{i}, u_{i}]) ≤ d(x_{i}, [l_{i}, u_{i}]). Ekkor tehát d(x_{1}, [l_{1}, u_{1}]) < d(y_{1}, [l_{1}, u_{1}]), és mivel d(x, T) = d(y, T), létezik egy i > 1 index, amire d(x_{i}, [l_{i}, u_{i}]) > d(y_{i}, [l_{i}, u_{i}]). Feltehetjük, hogy y_{i} > x_{i}, ekkor x + e^{i} egy lépés x-ből y-ba. x + e^{i} ∉ J, de létezik egy x′ ∈ J lépés x + e^{i}-ből y-ba. x′ ∈ J_{T} és mivel minden i > 1-re d(y_{i}, [l_{i}, u_{i}]) ≤ d(x_{i}, [l_{i}, u_{i}]), ezért x′_{1} = x_{1} + 1 = v_{1}. Vagyis x′ ∈ J_{T} egy lépés v-ből y-ba.

4.2 Köv. Ugrács (X, Y)-maximális elemei ugrácsot alkotnak.

Biz.: Legyenek x, y ∈ J (X, Y)-maximálisak, vagyis pl. x olyan, hogy minden olyan w ∈ J vektorra, amire w ≥ x az X-en és w ≤ x az Y -on, teljesül, hogy x|_{X∪Y} = w|_{X∪Y} . Legyen M = max(|x_{i}|, |y_{i}|: i ∈ X ∪ Y) + 1, és legyen l_{i} = M, u_{i} = ∞, ha i ∈ X, l_{i} = −∞, u_{i} = −M, ha i ∈ Y és [l_{i}, u_{i}] = ℤ, ha i ∈ S − (X ∪ Y). Legyen J′ a J_{T} ∩ [x, y] ⊆ J ugrács. Belátjuk, hogy J′ minden eleme (X, Y)-maximális, és hogy x, y ∈ J′. Ebből következik, hogy minden v x-ből y-ba való lépésre vagy v ∈ J (X, Y)-maximális, vagy egy v′ v-ből y-ba való lépésre lesz v′ ∈ J (X, Y)- maximális, ami igazolja az állítást. Az világos, hogy J′ minden eleme (X, Y)-maximális. Tegyük fel, hogy x ∉ J′, és legyen z ∈ J_{T} egy olyan pont, amire d(x, z) minimális. Feltehetjük, hogy Y = ∅. x (X, ∅)-maximális, így egy i ∈ X-re z_{i} < x_{i} < l_{i}. A z + e^{i} lépés nincs J-ben z ∈ J_{T} , z_{i} < l_{i} miatt, így egy z′ = z + e^{i} − e^{j} lépés lesz J-ben. z′ ∈ J_{T} és d(x, z′) < d(x, z), ami ellentmondás.

4.3 Köv. [15] Ugrács oldala (azaz egy lineáris célfüggvényt maximalizáló pontjai) ugrács.

Biz.: Az előző következmény szerint ugrács lapja ugrács, és minden oldal megkapható egymás utáni lap-képzéssel.

4.4 Lemma [22] A T_{1} ⊆ T_{2} ⊆ … ⊆ T_{k} dobozokra J_{1} ∩ J_{2} ∩ … ∩ J_{k} ≠ ∅, ahol J_{i} = J_{T_{i}}.

Biz.: Indukcióval dolgozunk, k ≥ 2. Legyen x ∈ J_{1} ∩ J_{2} ∩ … ∩ J_{k−1}, y ∈ J_{k}, T_{k} = [l, u]. Ha x ∉ J_{k}, akkor egy j ∈ S-re d(y_{j}, [l_{j}, u_{j}]) < d(x_{j}, [l_{j}, u_{j}]). Feltehetjük, hogy x_{j} < y_{j}, ekkor x_{j} < l_{j}. A v = x + e^{k} lépésre vagy v ∈ J, vagy egy z v-től y-ig való lépés lesz J-ben. Az első esetben legyen z = v. Minden 1 ≤ i ≤ k-ra d(x, T_{i}) > d(v, T_{i}), ezért d(x, T_{i}) ≥ d(z, T_{i}). Tehát 1 ≤ i ≤ k − 1re z ∈ J_{i} és persze d(z, y) < d(x, y). Ha z ∉ J_{k}, akkor ismételjük meg a fenti lépést, végül egy J_{1} ∩ J_{2} ∩ … ∩ J_{k}-beli pontot kapunk.

4.4 következménye a mohó algoritmus helyessége korlátos ugrácsokra [22]. Feltehető ugyanis, hogy c ∈ ℝ^{S} olyan, hogy c_{1} ≥ c_{2} ≥ … ≥ c_{k} > c_{k+1} = … = c_{n} = 0 és hogy J ⊆ [−M, M]. Legyen T_{i} = [M, ∞]^{{1,... ,i}} × ℤ^{{i+1,... ,n}}, ha i ≤ k. T_{1} ⊃ T_{2} ⊃ … ⊃ T_{k}, így J_{T_{1}} ∩ J_{T_{2}} ∩ … ∩ J_{T_{k}} ≠ ∅. x ∈ J_{T_{i}} pontosan akkor, ha x maximalizálja J-n w^{i}x-et, ahol w^{i} = e^{1} + … + e^{i}. Vagyis minden J_{T_{1}} ∩ J_{T_{2}} ∩ … ∩ J_{T_{k}}-beli pont szimultán maximalizálja w^{i}x-et J-n i = 1, …, k-ra, következésképpen J_{T_{1}} ∩ J_{T_{2}} ∩ … ∩ J_{T_{k}} maximalizálja J-n cx-et.

Def.: [22] A T dobozra és a J ugrácsra legyen

A = A_{T} (J) = {i ∈ S: ∃ x ∈ J_{T} : x_{i} > u_{i} és ∀ x ∈ J_{T} : x_{i} ≥ l_{i}},
B = B_{T} (J) = {i ∈ S: ∃ x ∈ J_{T} : x_{i} < l_{i} és ∀ x ∈ J_{T} : x_{i} ≤ u_{i}},
C = C_{T} (J) = {i ∈ S: ∀ x ∈ J_{T} : l_{i} ≤ x_{i} ≤ u_{i}},
D = D_{T} (J) = {i ∈ S: ∃ x ∈ J_{T} : x_{i} > u_{i} és ∃ x ∈ J_{T} : x_{i} < l_{i}}.

Figyeljük meg, hogy ha egy G gráf Gallai-Edmonds felbontását A_{G}, C_{G}, D_{G}-vel jelöljük, akkor J_{G}-re A_{{1}}(J_{G}) = A_{G}, B_{{1}}(J_{G}) = D_{G} egyelemű komponensei, C_{{1}}(J_{G}) = C_{G}, D_{{1}}(J_{G}) = D_{G} nem egyelemű komponensei.

Def.: [22] A T doboz lezártja legyen \overline{T} := [\overline{l}, \overline{u}], ahol

\overline{l}_{i} = \{ \begin{matrix}l_{i}, & ha i ∈ B_{T} (J) ∪ D_{T} (J), \\ −∞, & különben, és \end{matrix}

\overline{u}_{i} = \{ \begin{matrix}u_{i}, & ha i ∈ A_{T} (J) ∪ D_{T} (J), \\ ∞, & különben. \end{matrix}

4.5 Lemma [22] \overline{T} a tartalmazásra nézve maximális olyan T -t tartalmazó doboz, aminek a távolsága J-től d(J, T).

Biz.: i ∈ A ∪ D-re d(J, [l, u + e^{i}]) < d(J, [l, u]) és i ∈ B ∪ D-re d(J, [l − e^{i}, u]) < d(J, [l, u]), így ha T′ egy olyan T -t tartalmazó doboz, amire d(J, T′) = d(J, T), akkor T′ ⊆ \overline{T}. T ⊆ \overline{T}, ezért létezik egy x ∈ J_{T} ∩J\overline{T} pont. x-re nyilván d(x, T) = d(x, \overline{T}), ahonnan d(J, \overline{T}) = d(J, T).

Def.: Egy T doboz (J-re nézve) zárt, ha \overline{T} = T.

Belátjuk, hogy valóban egy lezárásoperátort definiáltunk.

4.6 Állítás Zárt dobozok nemüres metszete zárt.

Biz.: Legyenek Z^{1}, Z^{2} zárt dobozok, Z = [l, u] = Z^{1} ∩ Z^{2} ≠ ∅. Z^{1} := [l′, u′]. Tegyük fel, hogy u_{i} véges, és u_{i} = u′_{i}. Ekkor Z ⊆ Z^{1} ⊂ [l′, u′+e^{i}], vagyis létezik egy y ∈ J_{Z} ∩J_{Z^{1}} ∩J_{[l′,u′+e^{i}]} pont. y_{i} > u_{i}, különben d(J, [l′, u′ + e^{i}]) = d(J, Z^{1}) állna, ami nem lehet Z^{1} zártsága miatt. Vagyis y ∈ J_{Z} miatt d(J, [l, u+e^{i}]) < d(J, Z). Ha tehát u_{i} véges, akkor d(J, [l, u+e^{i}]) < d(J, Z), hasonlóan, ha l_{i} véges, akkor d(J, [l−e^{i}, u]) < d(J, Z), ahonnan Z zárt.

4.7 Lemma Ha a T dobozra és i ∈ A ∪ D-re l_{i} < u_{i}, akkor minden x ∈ J_{T} -re x_{i} ≥ u_{i}.

Biz.: Tegyük fel, hogy egy x ∈ J_{T} -re x_{i} < u_{i}. Legyen T′ = [l, u − e^{i}]. d(x, T) = d(x, T′), vagyis d(J, T) = d(J, T′). Nyilván J_{T′} = \{y ∈ J_{T} : y_{i} < u_{i}\}. Ezek szerint i ∉ A_{T′} ∪D_{T′}, ahonnan \overline{T′} ⊈ \overline{T}, ellentmondás.

Lemmánkból következik ez a rövid, de igen fontos tétel:

4.8 Tétel [22] Ha a T = [l, u] dobozra i ∈ A, akkor minden x ∈ J_{T} -re x_{i} ≥ u_{i}. Ha a T = [l, u] dobozra i ∈ D, akkor l_{i} = u_{i}.

Biz.: Az első esetben J_{T} ⊆ J\overline{T}, így feltehetjük, hogy T zárt, azaz l_{i} = −∞. A második állítás világos 4.7-ből.

Def.: [22] A T dobozra és a J ugrácsra legyen X_{T}^{i} = {x_{i}: x ∈ J_{T} }.

4.9 Tétel [22] i ∈ A ∪ B-re X^{i} egy intervallum, i ∈ D-re pedig X^{i} = {u_{i} − 1, u_{i} + 1}, vagy X^{i} = {u_{i} − 1, u_{i}, u_{i} + 1}.

Biz.: Legyen i ∈ A, a, b ∈ X^{i}, u_{i} ≤ a < b. Belátjuk, hogy b − 1 ∈ X^{i}. Legyenek v, w ∈ J_{T} olyan pontok, amelyekre v_{i} = a, w_{i} = b. w′ = w − e^{i} ∉ J egy lépés v-be, így létezik egy w′′ ∈ J lépés w′-ből v-be, w′′ ∈ J_{T}. Ha w′_{i} = b − 2, akkor d(w′′, T) < d(w, T), így w′′_{i} = b − 1. Az i ∈ B eset bizonyítása analóg.

Legyen most i ∈ D, és tegyük fel, hogy egy v ∈ J_{T} -re v_{i} ≥ u_{i} + 2. Legyen T′ = [l − e^{i}, u], T′′ = [l − e^{i}, u + 2e^{i}]. Egy w ∈ J_{T} ∩ J_{T′} ∩ J_{T′′} pontra w_{i} < l_{i} = u_{i}, i ∈ D miatt, így d(J, T′′) = d(w, T′′) = d(w, T) − 1 = d(J, T) − 1. Azonban v miatt d(J, T′′) ≤ d(v, T′′) = d(v, T) − 2 = d(J, T) − 2, ellentmondás.

Def.: A T dobozra legyen T_{J} = {z ∈ T: d(J, z) = d(J, T)}.

4.10 Tétel T_{J} ⊆ (\overline{T} )_{J}. Minden x ∈ T_{J}-re \overline{T} = \overline{\{x\}} = \{x\}+((ℤ_{0}^{−})^{A_{T}} ×(ℤ_{0}^{+})^{B_{T}} ×ℤ^{C_{T}} ×\{0\}^{D_{T}}), A\overline{T} =

A_{T} = A_{\{x\}}, …, D\overline{T} = D_{T} = D_{\{x\}}. i ∈ S \ C_{T} -re Xi ; \overline{T} = X_{T}^{i} = X_{\{x\}}^{i}. T_{J} ugrács és ˙⋃\{Z_{J}: Z zárt\} =

ℤ^{S}, (ℤ^{S})_{J} = J.

Biz.: T_{J} ⊆ (\overline{T} )_{J} triviális.

Világos, hogy minden x ∈ T_{J} pont olyan, hogy x_{i} = l_{i} = u_{i}, i ∈ D_{T} -re, x_{i} = u_{i}, i ∈ A_{T} -re, x_{i} = l_{i}, i ∈ B_{T} -re és x = z a C_{T} -n egy z ∈ J_{T} pontra, továbbá hogy ⋃{X_{{x}}^{i}: x ∈ T_{J}} = X_{T}^{i} minden i ∈ S-re. Belátjuk, hogy minden x, y ∈ T_{J}-re X_{{x}}^{i} = X_{{y}}^{i} minden i ∈ S \ C_{T} -re.

Először legyen 1 ∈ A_{T}, és tegyük fel, hogy X_{{x}}^{1} = [a, b] < c ∈ X_{{y}}^{1}. Válasszuk v ∈ J_{{x}}, w ∈ J_{{y}}-t olyannak, hogy v_{1} = b, w_{1} = c álljon, és d(v, w) minimális legyen. Teljesül, hogy v|_{C_{T}} = x|_{C_{T}} , w|_{C_{T}} = y|_{C_{T}}. d(v_{1}, x_{1}) < d(w_{1}, y_{1}), így egy i ∈ S \ C_{T} -re d(v_{i}, x_{i}) > d(w_{i}, y_{i}). i ∈ S \ C_{T} -re x_{i} = y_{i}. Feltehető, hogy v_{i} > w_{i}. A v′ = v − e^{i} pontra d(v′, x) = d(v, x) − 1, vagyis v′ ∉ J, de létezik egy v′′ ∈ J lépés v′-ből w-be. v′′|_{C} = v′|_{C}, mivel különben d(v′′, T) = d(v′, T) = d(v, T) − 1 állna, így vagy v′′_{1} > b vagy d(v′′, w) < d(v, w), ami ellentmondás.

Ha 1 ∈ D_{T}, akkor tegyük fel, hogy X_{{x}}^{1} = {u_{1} − 1, u_{1} + 1}, X_{{y}}^{1} = {u_{1} − 1, u_{1}, u_{1} + 1}, és legyen v ∈ J_{{x}}, w ∈ J_{{y}} olyan, hogy v_{1} = u_{1} − 1, w_{1} = u_{1}. A v′ = v + e^{1} lépésre v′ ∉ J, de egy v′′ v′-ből w-be való lépésre v′′ ∈ J_{{x}} és v′′_{1} = u_{1}, ellentmondás.

Vagyis minden i ∈ S \ C_{T} -re és x, y ∈ T_{J}-re x_{i} = y_{i} és X_{{x}}^{i} = X_{{y}}^{i}, továbbá nyilván C_{{x}} ⊇ C_{T} és ⋃\{X_{\{x\}}^{i}: x ∈ T_{J}\} = X_{T}^{i}, ahonnan minden x ∈ T_{J}-re A_{\{x\}} = A_{T} = A\overline{T} , …, D_{\{x\}} = D_{T} = D\overline{T} és X_{\{x\}}^{i} = X_{T}^{i} minden i ∈ S \ C_{T} -re. Innen \overline{T} = \overline{\{x\}} = \{x\} + ((ℤ_{0}^{−})^{A_{T}} × (ℤ_{0}^{+})^{B_{T}} × ℤ^{C_{T}} × \{0\}^{D_{T}}).

T_{J} ugrács, mivel T_{J} = u|_{A_{T}} ×l|_{B_{T}} ×(J_{T} vetülete C_{T} -re)×u|_{D_{T}}. (ℤ^{S})_{J} = J, ℤ^{S} = ˙⋃{Z_{J}: Z zárt} triviális.

Vagyis a Z zárt dobozokra a Z_{J}-k ℤ^{S} ugrácsokra való partícióját adják.

4.2. Reguláris dobozok

Def.: A T doboz reguláris, ha D = D_{T} (J) = ∅, és szinguláris egyébként. z ∈ ℤ^{S} reguláris/szinguláris, ha \overline{\{z\}} reguláris/szinguláris. Halmazuk R/S.

4.10 miatt T pontosan akkor reguláris, amikor \overline{T} és amikor T_{J} tetszőleges pontja, továbbá S = ˙∪{Z_{J}: Z szinguláris zárt doboz}, R = ˙∪{Z_{J}: Z reguláris zárt doboz}.

4.11 Tétel Ha T reguláris, akkor T_{J} ⊆ ∂′(B_{T} , A_{T}), T ∩ ⋃{∂(X, Y): (B, A) ⋢ (X, Y)} = ∅, ahol a differenciál conv(J)-re vonatkozik. J_{T} ⊆ (conv(J) (B_{T} , A_{T})-hez tartozó lapja).

Biz.: Legyen A = A_{T} , B = B_{T} , C = C_{T}. 4.10 és J_{T} ⊆ J\overline{T} alapján feltehetjük, hogy T = [l, u] zárt. Feltehetjük azt is, hogy A = ∅, ekkor S = B ∪ C. Tehát minden i ∈ Bre u_{i} = ∞, és minden i ∈ C-re l_{i} = −∞, u_{i} = ∞. 4.8 miatt J_{T} pontosan azon pontokból áll, amelyek maximalizálják J-n χ_{B}y-t, így J_{T} ⊆ (conv(J) (B, ∅)-hez tartozó lapja), a biszubmoduláris poliéderek mohó tulajdonsága következtében. Minden x ∈ T_{J}-hez létezik egy olyan y ∈ J_{T}, hogy x = y + α, ahol α ∈ (ℤ_{0}^{+})^{B} × {0}^{C}, ezért x ∈ ∂(B, ∅). Ha B′ ⊂ B, akkor legyen T′ = [l′, u′] a következő doboz: l′_{i} = l_{i}, u′_{i} = u_{i}, i ∈ B′-re és [l′_{i}, u′_{i}] = ℤ egyébként. Egy y ∈ J_{T} ∩ J_{T′} vektorra l(B′) − y(B′) = d(J, T′) < d(J, T) = l(B) − y(B) a T zártsága miatt. Az f(X, Y) = max(x(X) − x(Y): x ∈ J) jelöléssel f(B′, ∅) = y(B′) és f(B, ∅) = y(B), vagyis minden B′ ⊂ B, x ∈ J_{T} -re f(B, ∅) − x(B) = y(B) − l(B) < y(B′) − l(B′) = f(B′, ∅) − x(B′), ahonnan x ∈ ∂′(B, ∅).

T ∩ ⋃{∂(X, Y): (B, A) ⋢ (X, Y)} = ∅ a T_{J} ⊆ ∂′(B, A) összefüggésnek, 3.23-nak és 4.10-nek a következménye.

4.11 segítségével finomíthatjuk 4.6-ot:

4.12 Tétel Az egymást metsző Z_{1}, Z_{2} zárt dobozok metszete pontosan akkor reguláris, ha Z_{1}, Z_{2} mindegyike reguláris.

Biz.: Ha Z_{i} szinguláris, akkor Z_{1} ∩ Z_{2} is az. Tegyük fel, hogy Z_{1}, Z_{2} regulárisak, és Z_{1} ∩ Z_{2} nem az. Ez csak úgy lehetséges, ha A_{Z_{1}} ∩ B_{Z_{2}} ≠ ∅, vagy B_{Z_{1}} ∩ A_{Z_{2}} ≠ ∅. Tegyük fel, hogy i ∈ A_{Z_{1}} ∩ B_{Z_{2}}. 4.11 szerint Z_{i} ⊆ ⋃{∂(X, Y): (B_{Z_{i}}, A_{Z_{i}}) ⊑ (X, Y)}, ahol a differenciál conv(J)-re vonatkozik. Ezért x ∈ Z_{1} ∩ Z_{2}-re x ∈ ∂(X_{1}, Y_{1}) ∩ ∂(X_{2}, Y_{2}), ahol (B_{Z_{i}}, A_{Z_{i}}) ⊑ (X_{i}, Y_{i}). Következik, hogy x ∈ ∂(X_{1} ∩ X_{2}, Y_{1} ∩ Y_{2}). i ∈ A_{Z_{1}} ⊆ Y_{1}, ezért i ∉ X_{1}, vagyis i ∉ X_{1} ∩ X_{2}, azaz B_{Z_{2}} ⊈ X_{1} ∩ X_{2}, ami ellentmondás T ∩ ⋃{∂(X, Y): (B, A) ⋢ (X, Y)} = ∅ miatt.

Az alábbi tétellel reguláris dobozokra megoldjuk a tartalmazási problémát. A tételre egy, az eredetitől kissé eltérő bizonyítást adunk.

4.13 Tétel [22] Ha T reguláris, akkor T_{J} ∩ (conv(J) \ J) = ∅, továbbá

d(J, T) = d(conv(J), T) ≥ − max_{x∈J} wx + min_{x∈T} wx,

minden w ∈ ℝ^{S} vektorra. \overline{w} = χ_{B} − χ_{A}-ra pedig egyenlőség áll.

Biz.: Feltehetjük, hogy A = ∅. 4.8 miatt y ∈ J_{T} -re \overline{w}y = max(\overline{w}x: x ∈ J). Minden v ∈ T_{J} pontra v_{i} = l_{i}, ha i ∈ B, vagyis \overline{w}v = min(\overline{w}x: x ∈ T). v-t válasszuk olyannak, hogy d(y, T) = d(y, v) álljon. Ezért d(conv(J), T) ≤ d(J, T) = d(y, T) = d(y, v) = \overline{w}(v − y) = min(\overline{w}x: x ∈ T) − max(\overline{w}x: x ∈ J) ≤ d(conv(J), T). Tehát d(J, T) = d(conv(J), T) = − max(\overline{w}x: x ∈ J) + min(\overline{w}x: x ∈ T) Tetszőleges w-re az egyenlőtlenség triviális. Innen az is következik, hogy T_{J} ∩ (conv(J) \ J) = ∅.

4.14 Köv. S ⊇ (conv(J)∩ℤ^{S})\J.

4.11 szerint tehát reguláris dobozokra, speciálisan olyan T = [l, u] dobozokra, amelyekre l < u, pontosan akkor lesz J ∩ T = ∅, amikor conv(J) ∩ T = ∅.

4.15 Tétel [22] Minden fix összegű J ugrács konvex, és ha v ∉ J, akkor vagy x(S) ≠ v(S) minden x ∈ J-re, vagy létezik egy R ⊆ S halmaz, hogy minden x ∈ J-re x(R) < v(R).

Biz.: Legyen v ∈ conv(J) ∩ ℤ^{S}, T pedig legyen {v} + (ℤ_{0}^{+})^{S}, T reguláris. 4.13 szerint ha T metszi conv(J)-t, akkor metszi J-t is. J fix összegű, így T csak v-ben metszheti, vagyis v ∈ J.

Ha v ∉ J, és x(S) = v(S) minden x ∈ J-re, akkor az imént definiált T reguláris dobozra T ∩J = ∅. 4.13 szerint tehát (A_{T} , D_{T} = ∅) χ_{B_{T}} x < χ_{B_{T}} y minden x ∈ J, y ∈ T -re. Vagyis R = B_{T} -vel x(R) < v(R) minden x ∈ J-re.

Innen a matroid metszet tétel is következik [22]: ha M_{1}, M_{2} k-rangú matroidok, akkor pontosan akkor van közös bázisuk, ha 0 ∈ M_{1} − M_{2}. M_{1} − M_{2} fix összegű, tehát ha nincs közös bázisuk, akkor létezik egy R ⊆ S halmaz, hogy M_{i} minden B_{i} bázisára |R ∩ B_{1}| > |R ∩ B_{2}|. Ez ekvivalens azzal, hogy r_{2}(R) + r_{1}(S \ R) < k.

Fix összegű ugrácsok összege is fix összegű, és így konvex. Ezen megfigyelésen alapul a következő tétel [15], Edmonds bázispoliéderek metszetéről szóló tételének általánosítása.

4.16 Tétel [15] Ha J_{1}, J_{2} fix összegű ugrácsok, akkor conv(J_{1} ∩ J_{2}) = conv(J_{1}) ∩ conv(J_{2}).

Biz.: Mivel J_{1}, J_{2} konvexek, elég belátni, hogy conv(J_{1}) ∩ conv(J_{2}) minden oldalán van egész pont. Legyen L egy nemüres oldala conv(J_{1})∩conv(J_{2})-nek. L = L_{1}∩L_{2}, ahol L_{i} oldala conv(J_{i})-nek. 4.3. szerint ugrács oldala is ugrács, és esetünkben fix összegű is, így feltehető, hogy conv(J_{i}) = L_{i}. Elég tehát belátni, hogy ha conv(J_{1})∩conv(J_{2}) nemüres, akkor tartalmaz egész pontot. Ha conv(J_{1})∩ conv(J_{2}) ≠ ∅, akkor 0 ∈ conv(J_{1}) − conv(J_{2}) = conv(J_{1} − J_{2}), vagyis 0 ∈ J_{1} − J_{2}, vagyis létezik egy egész v pont, hogy v ∈ J_{1}∩J_{2} ⊆ conv(J_{1})∩conv(J_{2}).

4.3. Szinguláris dobozok

Most áttérünk a szinguláris pontok tartalmazási problémájának vizsgálatára. A_{{0}}, …, D_{{0}}, J_{{0}}-t röviden A_{0}, …, D_{0}, J_{0}-lal fogjuk jelölni.

4.17 Tétel [22] Ha i ∈ D_{0} és v ∈ J_{0}, akkor v′ ∈ J_{0}, ahol

v′_{j} = \{ \begin{matrix}−v_{j}, & ha j = i, és \\ v_{j} & különben. \end{matrix}

Biz.: Feltehetjük, hogy v ≥ 0. Ha v_{i} = 0, akkor v′ = v, így legyen v_{i} > 0. Legyen T = [−e^{i}, 0], T′ = [−e^{i}, v]. Létezik egy y ∈ J_{0} ∩ J_{T} ∩ J_{T′} pont. i ∈ D_{0}, így y_{i} < 0. v ∈ T′, így y ∈ T′, ahonnan y_{i} = −1 és j ≠ i-re 0 ≤ y_{j} ≤ v_{j}. v ∈ J_{0} miatt itt egyenlőség áll, azaz v′ = y ∈ J_{0}.

A tételből a szinguláris pontok egy karakterizációját kapjuk:

4.18 Állítás J ⊆ R, (conv(J) ∩ ℤ^{S}) \ J ⊆ S, S = ⋃ \{\overline{\{v\}}: v ∈ (conv(J) ∩ ℤ^{S}) \ J\} . J pontosan akkor konvex, ha S = ∅.

Biz.: J ⊆ R triviális, (conv(J)∩ℤ^{S})\J ⊆ S-et már láttuk 4.14-ben. Legyen y ∈ \overline{\{v\}} = [l, u], v ∈ (conv(J) ∩ ℤ^{S}) \ J, i ∈ D_{\{v\}} ≠ ∅. \{y\} ⊆ \overline{\{v\}} ⊆ [l, u + e^{i}] és \overline{\{v\}} zárt, ezért létezik egy z ∈ J_{\{y\}}, hogy z_{i} > v_{i} = y_{i}. Ugyanígy olyan z ∈ J_{{y}} is létezik, amire z_{i} < y_{i}. Vagyis i ∈ D_{{y}}, és így y ∈ S.

Vissza, legyen y ∈ S, ekkor d(J, y) ≥ 1. Ha d(J, y) > 1 és A_{{y}} ∪ B_{{y}} ≠ ∅, akkor tegyük fel, hogy i ∈ A_{{y}}, és legyen y′ = y +e^{i}. Könnyen ellenőrizhetően y′-re az A, B, C, D halmazok legfeljebb annyit változtak, hogy i az A_{{y}}-ból C_{{y′}}-be került. Végül egy olyan y′ pontot kapunk, amire vagy S = C_{{y′}} ˙∪D_{{y′}}, vagy d(J, y′) = 1.

Az első esetben a 4.17 tétel miatt egy tetszőleges x ∈ J_{{y′}} pontra x′ ∈ J_{{y′}} szintén, ahol x′_{i} = −x_{i}, i ∈ D_{{y′}}-re. Mivel x_{i} = x′_{i} = y′_{i}, i ∈ C_{{y′}}-re, ezért y′ = 1/2(x + x′).

A második esetben d(J, y′) = 1. Létezik egy olyan x ∈ J_{{y′}} pont, amire x = y′ + e^{i} egy i ∈ D_{{y′}}-re. Most a 4.17 tételből x′ = y′ − e^{i} is J_{{y′}}-ban van, vagyis y′ = 1/2(x + x′).

Mindkét esetben tehát y′ ∈ (conv(J) ∩ ℤ^{S}) \ J, az eredeti y-ra pedig y ∈ \overline{\{y′\}} amiatt, hogy A_{{y}} ⊆ A_{{y′}} ∪ C_{{y′}}, B_{{y}} ⊆ B_{{y′}} ∪ C_{{y′}}.

Innen következik, hogy J pontosan akkor konvex, ha S = ∅.

Ha x ∉ conv(J), akkor a tartalmazás eldöntése könnyebb, csak egy elválasztó hipersíkot kell megadnunk. Érdekesebb az az eset, amikor x ∈ conv(J). Láttuk, hogy most x pontosan akkor szinguláris, ha x ∉ J. Ezt az esetet vizsgáljuk a továbbiakban. Végig az x = 0 feltevéssel fogunk élni.

4.19 Tétel [28] Ha 0 ∈ conv(J), akkor létezik egy y ∈ J_{0}, hogy y_{i} = 0 az S \ D_{0}-on.

Biz.: Legyen T = (ℤ_{0}^{−})^{A_{0}} ×(ℤ_{0}^{+})^{B_{0}} ×ℤ^{C_{0}∪D_{0}}. 0 ∈ T, így létezik egy y ∈ J_{0}∩J_{T} pont. T reguláris és metszi conv(J)-t, így J-t is, azaz y ∈ T. Definíció szerint minden J_{0}-beli pont ≥ 0 az A_{0}-on, ≤ 0 a B_{0}-on és 0 a C_{0}-on, így y_{i} = 0, ha i ∈ S \ D_{0}.

A következő tétel szerint minden conv(J)-beli pont legfeljebb két J-beli pont konvex kombinációjaként is felírható.

4.20 Tétel [28] Ha 0 ∈ conv(J), akkor létezik y^{1}, y^{2} ∈ J_{0}, hogy y_{1} + y_{2} = 0.

Biz.: Az előző tétel szerint létezik egy y^{1} ∈ J_{0}, hogy y_{i}^{1} = 0 az S \D_{0}-on, 4.17 szerint pedig y^{2} = −y^{1} ∈ J_{0} szintén.

Sebő [28] bebizonyítja, hogy conv(J)-nek (X, Y) szerinti lapját (azaz J azon x pontjait, amelyek x(X) − x(Y)-t maximalizálják) X ∪ Y -ra vetítve konvex ugrácsot kapunk, hogy conv(J_{1}) ∩ conv(J_{2}) mindig fél-egész, és hogy ha 1 ∈ conv(J) + conv(J), akkor létezik x_{1}, …, x_{4} ∈ J, hogy x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 2. Ezen tételek közül az utolsó kettő bizonyítását átvesszük.

4.21 Tétel [28] Két egész biszubmoduláris poliéder metszete fél-egész.

Biz.: Elég belátni, hogy ha két egész biszubmoduláris poliéder metszete nemüres, akkor tartalmaz fél-egész pontot, ugyanis a metszet minden oldala az eredeti két poliéder egy-egy oldalának metszete, és 3.11, 3.14 szerint egész biszubmoduláris poliéder oldala is egész biszubmoduláris poliéder. J_{i} := P (f_{i}) ∩ ℤ^{S} ugrács, i = 1, 2. Most P (f_{1}) ∩ P (f_{2}) ≠ ∅ ⟺ conv(J_{1}) ∩ conv(J_{2}) ≠ ∅ ⟺ 0 ∈ conv(J_{1}) − conv(J_{2}) = conv(J_{1} − J_{2}). A 4.20 tétel miatt létezik x, y ∈ J_{1} − J_{2}, hogy x + y = 0. x = x_{1} − x_{2}, y = y_{1} − y_{2}, x_{i}, y_{i} ∈ J_{i}, így (x_{1} + y_{1})/2 = (x_{2} + y_{2})/2 ∈ P (f_{1}) ∩ P (f_{2}).

4.22 Tétel [28] Ha a J ugrácsra 1 ∈ conv(J) + conv(J), akkor létezik x_{1}, …, x_{4} ∈ J, hogy x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 2.

Biz.: 1 ∈ conv(J)+conv(J) = conv(J+J), így 4.20 miatt létezik x, y ∈ J+J, hogy (x+y)/2 = 1. Az x = x_{1} +x_{2}, y = y_{1} +y_{2}, x_{i}, y_{i} ∈ J jelöléssel x_{1} +x_{2} +x_{3} +x_{4} = 2.

Visszatérve a szinguláris dobozok vizsgálatára, először azt az esetet nézzük, amikor D_{0} = S. Azon szinguláris dobozok esetét, amelyekre D_{0} ≠ S, erre fogjuk majd visszavezetni.

Def.: [22] J kritikus, ha D_{0} = S, azaz ha {0} zárt doboz.

A 4.9 és a 4.17 tételek miatt J_{0} minden eleme 0, ±1 vektor, és ha az y 0, ±1 vektorra y pontosan ott nemnulla, ahol x, akkor y ∈ J_{0}. Vagyis J_{0} szép szimmetriával rendelkezik.

Def.: [22] M := J_{0}∩[0, 1]. M fix összegű delta-matroid, így M egy matroid, a J lokális matroidja.

Világos, hogy minden hurokmentes matroid előáll lokális matroidként. A lokális matroid az egész ugrácsról sokat elárul. Legyen ugyanis R ⊆ S-re T_{R} = [0, 1]^{R} × {0}^{S\R}, T′_{R} = ℤ^{R} × {0}^{S\R}.

4.23 Tétel [15] d(M, T_{R}) = d(J, T′_{R}).

Biz.: 0 ∈ T_{R} ⊆ T′_{R}, így létezik egy x ∈ J_{0} ∩ J_{T_{R}} ∩ J_{T′_{R}} pont. A konstrukció miatt y = (|x_{1}|, …, |x_{n}|) ∈ J_{0} ∩ J_{T_{R}} ∩ J_{T′_{R}} szintén. 0 ≤ y ∈ J_{0}, így y ∈ M, vagyis d(M, T_{R}) = d(J, T_{R}) = d(y, T_{R}) = d(y, T′_{R}) = d(J, T′_{R}).

4.24 Tétel [22] Ha R az M matroid egy zárt halmaza, és J′ a J vetülete S \R-re, akkor J′ kritikus, és lokális matroidja M/R.

Biz.: T := ℤ^{R} × {0}^{S\R}. J_{T} ∩ J_{0} azon J_{0}-beli pontokból áll, melyek tartója a lehető legtöbbet, azaz r_{M}(R)-et metszenek R-be. R zártsága miatt J_{T} ∩ J_{0} pontjainak tartói fedik S \ R-et, továbbá nyilván (J′)_{0} = (J_{T})′, vagyis S \ R = D_{0}(J′), azaz J′ kritikus. Ha v′ ∈ (J′)_{0} és v′-t v ∈ J vetületeként kaptuk, akkor J_{0} ∩ J_{[0,v]} ≠ ∅, vagyis egy x ∈ J_{0} ∩ J_{[0,v]} pontra v ∈ [0, v] miatt x ∈ [0, v]. Így d(J′, 0) = r_{M}(S)−r_{M}(R) miatt x|_{S\R} = v|_{S\R}, ahonnan (J′)_{0} minden elemét megkaphatjuk egy J_{T} ∩ J_{0}-beli pont vetületeként, és így J′ lokális matroidja M/R.

Elérkeztünk oda, hogy visszavezessük a szinguláris dobozok esetét kritikus ugrácsokra.

4.25 Tétel [22] Egy, a w 0, ±1 vektor szerinti wx célfüggvényt a J ugrácson maximalizáló mohó algoritmus kimenete legyen az F ponthalmaz. Tegyük fel, hogy w_{i} = 0, i ∈ R ⊆ S-re. Legyen α az optimumérték, és F projekciója R-re F_{R}. Ekkor

d(J, 0) ≥ d(F_{R}, 0) − α.

Ha w = χ_{B_{0}} − χ_{A_{0}}, akkor itt R = D_{0}-ra egyenlőség áll, és F_{D_{0}} kritikus.

Biz.: Feltehetjük, hogy w = e^{1} + … + e^{p}, és hogy a mohó algoritmus az 1, …, p sorrendben maximalizál, azaz J^{0} = J, és α_{i} = max(x_{i}: x ∈ J^{i−1})-gyel J^{i} = {x ∈ J^{i−1} : x_{i} = α_{i}}. Most F = J^{p} és α = ∑_{i=1}^{p} α_{i}. Legyen α_{i}^{+} = max(α_{i}, 0), α^{+} = ∑{α_{i}^{+} : i ≤ p}. U := S \ (R ∪ {1, …, p}).

T_{1} := [α_{1}^{+}, ∞) × … × [α_{p}^{+}, ∞) × {0}^{R∪U},

T_{2} := [α_{1}, ∞) × … × [α_{p}, ∞) × {0}^{R} × ℤ^{U},

T_{3} := [α_{1}, ∞) × … × [α_{p}, ∞) × ℤ^{R∪U}.

Minden y ∈ J-re d(y, T_{1}) ≤ ∑{|y_{i} − α_{i}^{+}|: i ≤ p} + ∑{|y_{i}|: i > p} ≤ ∑{α_{i}^{+} : i ≤ p} + ∑{|y_{i}|: i ∈ S} = α^{+} + d(y, 0). y ∈ J_{0}-ra tehát d(J, 0) = d(y, 0) ≥ d(y, T_{1}) − α^{+} ≥ d(J, T_{1}) − α^{+}. T_{1} ⊆ T_{2} ⊆ T_{3}, így legyen x ∈ J_{T_{1}} ∩J_{T_{2}} ∩J_{T_{3}}. A mohó algoritmus miatt J_{T_{3}} = F = T_{3} ∩J, vagyis x_{i} = α_{i}, i ≤ p-re. Ezért

d(J, 0) ≥ d(J, T_{1}) − α^{+} = d(x, T_{1}) − α^{+} = d(x, T_{2}) − α = d(F, T_{2}) − α = d(F_{R}, 0) − α.

Az egyenlőség bizonyításához feltehetjük, hogy A_{0} = ∅. Ekkor B_{0} = {1, …, p}. Az előző jelölésekkel T_{1} ⊆ \overline{\{0\}}, így egy y ∈ J_{0} ∩ J_{T_{1}} pontra y_{i} ≤ 0, i ∈ B_{0} = \{1, …, p\}-re. d(J, T_{1}) = d(y, T_{1}) = ∑{|y_{i}|: i ∈ S} + ∑{α_{i}^{+} : i ∈ B_{0}} = d(y, 0) + α^{+} = d(J, 0) + α^{+}. Vagyis x ∈ J_{T_{1}} ∩ J_{T_{2}} ∩ J_{T_{3}}-ra d(J, 0) = d(J, T_{1}) − α^{+} = d(F_{D_{0}}, 0) − α.

Végül belátjuk, hogy F_{D_{0}} kritikus. Legyen i ∈ D_{0}, és alkalmazzuk az előző egyenlőtlenséget a J − [0, e^{i}] ugrácsra és R = D_{0}-ra:

d(F_{D_{0}}, [0, e^{i}]) = d(F_{D_{0}} − [0, e^{i}], 0) = d((F − [0, e^{i}])_{D_{0}}, 0) ≤
≤ d(J − [0, e^{i}], 0) + α = d(J, [0, e^{i}]) + α < d(J, 0) + α = d(F_{D_{0}}, 0).

Ugyanígy J +[0, e^{i}]-re, ahonnan kapjuk, hogy D_{F} ⊇ D_{0}, vagyis F_{D_{0}} kritikus.

d(J, T) = d(J − T, 0), A_{T} (J) = A_{0}(J − T), …, D_{T} (J) = D_{0}(J − T), ezért az előző tételt általánosabban is kimondhatjuk:

4.26 Tétel [15] Egy, a w 0, ±1 vektor szerinti wx célfüggvényt a J ugrácson maximalizáló mohó algoritmus kimenete legyen az F ponthalmaz, ahol w_{i} = 0, i ∈ R ⊆ S-re. Legyen α az optimumérték, F projekciója R-re F_{R}, a T dobozé pedig T_{R}. Ekkor

d(J, T) ≥ d(F_{R}, T_{R}) + min_{x∈T} wx − max_{x∈J} wx.

Ha w = χ_{B_{T}} −χ_{A_{T}}, akkor itt R = D_{T} -re egyenlőség áll, és F_{D_{T}} −T_{D_{T}} kritikus.

4.4. A Tutte-tétel

Lovász [21] akkor nevezi egy G gráf egy H részgráfját az f ≤ g ∈ ℤ^{V (G)} függvényekre (f, g)- faktornak, ha minden v ∈ V (G) csúcsra f(v) ≤ deg_{H}(v) ≤ g(v). Az (f, g)-faktorokra kidolgozott elméletéből levezeti Tutte f-faktor tételét [21]. Később ezen elmélet mintájára építette fel az ugrácsokra vonatkozó fent tárgyalt tartalmazási problémát. Lovász [22]-ban megjegyzi, hogy nyilvánvalóan a tartalmazási probléma elméletéből levezethető Tutte f-faktor tétele. Ezt Geelen [15] teszi meg, a fejezet levezetése tehát Geelen munkája.

Def.: Ha G gráf és X, Y ⊆ V (G), akkor e(X, Y) := |{xy ∈ E(G): x ∈ X, y ∈ Y }|.

Def.: Ha G gráf és f ∈ ℤ^{V (G)}, akkor odd(G, f) a G olyan összefüggő komponenseinek száma, amelyekre f(V (G)) páratlan.

4.27 Tétel (Tutte) Legyen G = (V, E) gráf és f ∈ ℤ^{V}. V -nek X, Y diszjunkt részhalmazaira legyen f^{X,Y} = f − ∑{e^{u}: uv ∈ E, u ∈ V \ (X ∪ Y), v ∈ Y }. Ekkor

d(J_{G}, f) ≥ f(Y) − f(X) − e(Y, V \ (X ∪ Y)) − 2e(Y, Y) + odd(G[V \ (X ∪ Y)], f^{X,Y} |_{V \(X∪Y)}),

és X = A_{{f}}(J_{G}), Y = B_{{f}}(J_{G})-re egyenlőség áll.

Biz.: [15] Legyenek X, Y ⊆ V diszjunkt csúcshalmazok. Legyen H egy olyan részgráfja Gnek, amire d(deg_{H}, f) = d(J_{G}, f), és tegyük fel, hogy X és Y közt H-ban e_{1} él fut, valamint hogy V \(X∪Y) és Y közt e_{2} él fut. Ekkor deg_{H} és f l_{1}-távolsága X-en legalább e_{1}−f(X) és Y -on legalább f(Y) − e_{1} − e_{2} − 2e(Y, Y). V \ (X ∪ Y) egy K összefüggő komponensére f^{X,Y} (K) = f(K) − e(K, Y), ezért deg_{H} és f l_{1}-távolsága V \ (X ∪ Y)-on legalább e_{2} − e(Y, V \ (X ∪ Y)) + odd(G[V \ (X ∪ Y)], f^{X,Y} |_{V \(X∪Y)}), ugyanis V \(X∪Y)-nak legalább ennyi olyan K komponense van, amire f^{X,Y} (K) páratlan és amire H minden K és Y közti élt használ, és így K-ban az l_{1}-távolság legalább 1.

Legyen A = A_{{f}}(J_{G}), …, D = D_{{f}}(J_{G}). Belátjuk, hogy X = A, Y = B-re egyenlőség áll.

4.28 Lemma A J ugrácsra J + {0, e^{i}} nem kritikus.

Biz.: i ∉ D_{[−e^{i},0]}(J) 4.8 miatt. Könnyen ellenőrizhető továbbá, hogy F = A/B/C-re i ∈ F_{[−e^{i},0]}(J) esetén i ∈ F_{0}(J + {0, e^{i}}). Vagyis J + {0, e^{i}} nem lehet kritikus.

4.29 Lemma Ha a G(V, E) gráfra és f ∈ ℤ^{V} -re J_{G} − f kritikus, akkor d(J_{G}, f) = odd(G, f).

Biz.: Legyenek X_{1}, …, X_{k} a J_{G} − f lokális matroidjának 1-rangú zárt halmazai. A matroidelmélet szerint X_{1}, …, X_{k} egy partícióját adja V -nek. Legyen J′ a J_{G} − f projekciója V \ X_{1}-re, f megszorítása V \ X_{1}-re pedig legyen f′. Világos, hogy

J′ = ∑ ({0, e^{i} + e^{j}}: ij ∈ E, i, j ∉ X_{1}) + ∑ ({0, e^{i}}: ij ∈ E, i ∉ X_{1}, j ∈ X_{1}) − f′.

4.24 szerint J′ kritikus, vagyis 4.28 szerint e(X_{1}, V − X_{1}) = 0, azaz X_{1} a gráf összefüggő komponenseiből áll. G minden összefüggő K komponensére és x ∈ J_{G} pontra x(K) páros, továbbá X_{1} 1-rangú zárt halmaz, ezért minden v ∈ X_{1} csúcsra létezik egy olyan x_{v} ∈ J_{G} pont, hogy d(x_{v}(v), f(v)) = 1 és x_{v}(w) = f(w), w ∈ X_{1} − v-re. Vagyis X_{1} egy olyan összefüggő komponens, amire f(X_{1}) páratlan, így odd(G, f) = k. Továbbá nyilván d(J_{G}, f) = ∑_{i=1}^{k} d(J_{G[X_{i}]}, f|_{X_{i}}) = ∑_{i=1}^{k} 1 = k.

Legyen w = χ_{B} − χ_{A}. Tegyük fel, hogy a wx-et J_{G}-n maximalizáló olyan mohó algoritmus, ami először A, majd B pontjain optimalizál, kimenetként az F halmazt adja. Világos, hogy

F = ∑ ({0, e^{i} + e^{j}}: ij ∈ E, i, j ∈ C ∪ D) + ∑ (e^{i} + e^{j}: ij ∈ E, i ∈ B, j ∈ V \ A) .

F -nek D-re való vetülete:

F_{D} = ∑ ({0, e^{i} + e^{j}}: ij ∈ E, i, j ∈ D) +

+ ∑ ({0, e^{i}}: ij ∈ E, i ∈ D, j ∈ C) + ∑ (e^{j}: ij ∈ E, i ∈ B, j ∈ D) .

4.25 szerint F_{D} − f|_{D} kritikus, vagyis 4.28 szerint C és D közt nem fut él G-ben. Tehát F_{D} − f|_{D} = J_{G[D]} − f^{A,B}|_{D} kritikus, így 4.29 szerint

d(F_{D}, f|_{D}) = d(J_{G[D]}, f^{A,B}|_{D}) = odd(G[D], f^{A,B}|_{D}) ≤ odd(G[C ∪ D], f^{A,B}|_{C∪D}).

4.26 szerint

d(J_{G}, f) = d(F_{D}, f|_{D}) + wf − max(wx: x ∈ J_{G}) ≤

≤ odd(G[C ∪ D], f^{A,B}|_{C∪D}) + (f(B) − f(A)) − (e(B, C ∪ D) + 2e(B, B)),

ami igazolja a tételbeli egyenlőséget.

5. Kizárt faktorok foksorozatai

Def.: ≤ 2-faktornak olyan részgráfot hívunk, aminek minden foka legfeljebb 2. Egy ≤ 2-faktor k-kizárt, ha nem tartalmaz ≤ k-hosszú kört.

Def.: A k-kizárt ≤ 2-faktor-probléma meghatározni, hogy hány éle van egy maximális méretű k-kizárt ≤ 2-faktornak.

Cunningham [6] veti fel a kapcsolatot az ugrácsok és a k-kizárt ≤ 2-faktorok között. Papadimitriou mutatta meg, hogy a k-kizárt ≤ 2-faktor-probléma k ≥ 5-re NP-teljes. Hartvigsen eredménye [16], hogy a probléma P-beli k = 3-ra, a k = 4 esetet pedig Cunningham P-belinek sejti Russell javító utas tétele és Király Zoltán eredménye alapján [17], aki minimax formulát adott egy páros gráfban lévő maximális méretű 4-kizárt ≤ 2-faktor élszámára. Frank András [10] később ezt a minimax formulát általánosította páros gráfok olyan részgráfjaira, amelyek nem tartalmaznak K_{t,t} részgráfot, és amelyeknek minden foka legfeljebb t.

Cunningham felteszi a kérdést, hogy mely k-kra adnak a k-kizárt ≤ 2-faktorok foksorozatai ugrácsot. Azt sejti, hogy pontosan azon k-kra, amelyekre a k-kizárt ≤ 2-faktor-probléma polinomiális. Belátja, hogy k = 3-ra a foksorozatok ugrácsot alkotnak, k ≥ 5-re pedig nem. A k ≥ 5 esetre adott ellenpéldáját a későbbiekben egyszerűsíteni fogjuk. A k = 4 esetről azt sejti, hogy a foksorozatok ugrácsot alkotnak. Következő eredményünkből ez a sejtés következni fog.

Def.: Egy H gráfosztályra a G gráf egy részgráfja H-kizárt, ha nem tartalmaz H-beli gráfot részgráfként. Ha H = {H}, akkor egyszerűen H-kizárt részgráfról beszélünk. A részgráf ≤ t-faktor, ha minden foka legfeljebb t.

Belátjuk, hogy tetszőleges G gráfban a K_{t,t}-kizárt ≤ t-faktorok, a K_{t+1}-kizárt ≤ t-faktorok és a {K_{t,t}, K_{t+1}}-kizárt ≤ t-faktorok foksorozatai is ugrácsot alkotnak. Az ezirányú kutatást Frank András javasolta, azt sejtve, hogy páros gráfban a K_{t,t}-kizárt ≤ t-faktorok foksorozatai ugrácsot alkotnak. Az eredmény magában foglalja mind Cunningham sejtését, miszerint a {C_{3}, C_{4}} = {K_{3}, K_{2,2}}-kizárt ≤ 2-faktorok foksorozatai ugrácsot alkotnak, mind Cunningham C_{3} = K_{3}-mentes ≤ 2-faktorok foksorozatairól szóló tételét. Ez utóbbit Cunningham úgy igazolja, hogy egy egész javítóutat figyelemmel kísér. Bizonyításunkban egy javítóútnak egyszerre csak két élét tekintjük, ezért nyílik lehetőség arra, hogy a tételt általánosabban belássuk.

5.1 Tétel Tetszőleges G egyszerű gráfban t ≥ 2-re a K_{t,t}-kizárt ≤ t-faktorok, a K_{t+1}-kizárt ≤ tfaktorok és a {K_{t,t}, K_{t+1}}-kizárt ≤ t-faktorok foksorozatai ugrácsot alkotnak.

Biz.: Legyen H = {K_{t,t}, K_{t+1}}. A három állítást párhuzamosan bizonyítjuk, a kizárt faktor elnevezés egyszerre vonatkozik K_{t,t}/K_{t+1}/H-kizárt ≤ t-faktorokra.

Legyen E_{d}, E_{c} ⊆ E = E(G) két kizárt faktor, a d illetve c foksorozatokkal. Tegyük fel, hogy d′ = d ± e^{u} egy lépés d-ből c-be.

Először tegyük fel, hogy d_{u} < c_{u}, ekkor d′ = d + e^{u}. Fixáljuk le E_{c}-t. Indukcióval belátjuk, hogy ha egy Ẽ kizárt faktorra és egy w csúcsra, a kezdőpontra a d̃ = degẼ jelöléssel d̃_{w} < c_{w}, akkor a d′ = d̃+ e^{w} d̃-ból c-be való lépésre létezik egy olyan kizárt faktor, aminek a foksorozata egy lépés d′-ből c-be. Az indukció |Ẽ ∩ E_{c}|-re, ezen belül a kezdőpontra illeszkedő Ẽ ∩ E_{c}-beli élek számának −1-szeresére vonatkozik. Ha az indukciós állítást Ẽ = E_{d}-re alkalmazzuk, kapjuk a tételt.

5.2 Lemma Legfeljebb egy olyan u-ra illeszkedő E_{c} \ E_{d}-beli él van, amit E_{d}-hez véve K_{t,t}/K_{t+1} részgráf keletkezik.

Biz.: Tegyük fel, hogy uv, uw ∈ E_{c} \ E_{d} és E_{d} + uv, E_{d} + uw mindegyikében van

1. K_{t,t} részgráf: E_{d} + uv K_{t,t} részgráfjának színosztályai legyenek A_{v}, B_{v}, E_{d} + uw részgráfjáé pedig A_{w}, B_{w}. u ∈ A_{v} ∩A_{w}, v ∈ B_{v}, w ∈ B_{w}. Most t−1 ≥ d_{u} ≥ t−1+t−1−|B_{v} ∩B_{w}|, vagyis |B_{v} ∩B_{w}| ≥ t−1 ≥ 1. Nyilván v, w ∉ B_{v} ∩B_{w}, így B_{v} ∩B_{w} egy x csúcsára t ≥ d_{x} ≥ t+t−|A_{v} ∩ A_{w}|, ahonnan A_{v} = A_{w}. Vagyis A_{v} egy u-tól különböző y csúcsára t ≥ d_{y} ≥ t + t − |B_{v} ∩ B_{w}|, azaz B_{v} = B_{w}, ami nem lehet v ∈ B_{v}, v ∉ B_{w} miatt.

2. K_{t+1} részgráf: E_{d} +uv K_{t+1} részgráfjának csúcshalmaza legyen C_{v}, E_{d} +uw részgráfjáé pedig C_{w}, u ∈ C_{v} ∩ C_{w}. Most t − 1 ≥ d_{u} ≥ t − 1 + t − 1 − (|C_{v} ∩ C_{w}| − 1), vagyis |C_{v} ∩ C_{w}| ≥ t ≥ 2. v, w ∉ C_{v} ∩C_{w}, vagyis C_{v} ∩C_{w} egy x ≠ u csúcsára d_{x} ≥ t+t−(|C_{v} ∩C_{w}|−1) ≥ t+1, ami nem lehet.

5.3 Lemma t ≥ 3-ra legfeljebb egy olyan u-ra illeszkedő E_{c}\E_{d}-beli él van, amit E_{d}-hez véve H-beli részgráf keletkezik. Ha a t = 2 esetben léteznek olyan uv, uw ∈ E_{c}\E_{d} élek, hogy E_{d}+uv-ben egy K_{2,2} részgráf szerepel, E_{d} +uw-ben pedig egy K_{3} részgráf szerepel, akkor létezik egy z ∈ V (G)−{u, v, w} csúcs, hogy uz, zw, wv ∈ E_{d} \ E_{c}, uv, uw ∈ E_{c} \ E_{d}.

Biz.: Tegyük fel, hogy uv, uw ∈ E_{c} \ E_{d}, és E_{d} + uv, E_{d} + uw mindegyikében van egy H-beli részgráf. Azt már megvizsgáltuk, amikor E_{d} + uv és E_{d} + uw mindegyike ugyanazt a részgráfot tartalmazza, így feltehetjük, hogy E_{d} + uv-ben egy K_{t,t} részgráf szerepel A_{v}, B_{v} színosztályokkal, E_{d} + uw-ben pedig egy K_{t+1} részgráf szerepel a C_{w} csúcshalmazzal, u ∈ A_{v} ∩ C_{w}. Nyilván v, w ∉ B_{v} ∩ C_{w}. Most t − 1 ≥ d_{u} ≥ t − 1 + t − 1 − |B_{v} ∩ C_{w}|, vagyis |B_{v} ∩ C_{w}| ≥ t − 1 ≥ 1. B_{v} ∩ C_{w} egy x csúcsára t ≥ d_{x} ≥ t + t − |A_{v} ∩ C_{w}|, vagyis |C_{w}| ≥ |A_{v} ∩ C_{w}| + |B_{v} ∩ C_{w}| ≥ t + t − 1 > t + 1, t ≥ 3 esetén, ami nem lehet.

A t = 2 esetben csak úgy nem jutunk ellentmondásra, ha |B_{v} ∩ C_{w}| = 1 és |A_{v} ∩ C_{w}| = 2. Legyen B_{v} ∩ C_{w} = {z}, ekkor A_{v} = {u, w}, C_{w} = {u, w, z}, és szükségképpen B_{v} = {v, z}, azaz a lemmában leírt eset áll fenn.

Ha egy E_{c} \ E_{d}-beli uv élt E_{d}-be véve nem keletkezik K_{t,t}/K_{t+1}/H-beli részgráf, akkor d_{v} < c_{v} esetén E_{d} + uv egy olyan kizárt faktor, aminek foksorozata egy lépés d′-ből c-be, vagyis készen vagyunk. Ha d_{v} ≥ c_{v}, akkor létezik egy vz ∈ E_{d} \ E_{c} él. Most az Ẽ := E_{d} − uv + vz kizárt faktor foksorozata vagy egy lépés d′-ből c-be, vagy az Ẽ kizárt faktorra és a z kezdőpontra alkalmazhatjuk indukciós feltevésünket, ugyanis degẼ(z) < c_{z} és az indukciós mennyiség nőtt, mivel Ẽ ∩E_{c} nőtt. Így létezik egy olyan kizárt faktor, aminek a foksorozata egy lépés degẼ +e^{z}-ből c-be, de degẼ +e^{z} = d′, így készen vagyunk.

Tegyük fel, hogy nincs ilyen él, azaz minden E_{c}\E_{d}-beli uv élre E_{d}+uv-ben szerepel K_{t,t}/K_{t+1}/Hbeli részgráf.

5.4 Lemma Az uv ∈ E_{c} \ E_{d} élre legfeljebb egy K_{t,t}/K_{t+1}/H-beli részgráfja van E_{d} + uv-nek.

Biz.: Külön tárgyaljuk a három esetet:

1. Tegyük fel, hogy E_{d} + uv-ben két K_{t,t} részgráf is van, színosztályaik legyenek A_{1}, B_{1} és A_{2}, B_{2}, u ∈ A_{1} ∩ A_{2}, v ∈ B_{1} ∩ B_{2}. Most t − 1 ≥ d_{u} ≥ t − 1 + t − 1 − (|B_{1} ∩ B_{2}| − 1), vagyis B_{1} = B_{2}. B_{1} ∩ B_{2} egy x ≠ v csúcsára t ≥ d_{x} ≥ t + t − |A_{1} ∩ A_{2}|, ahonnan A_{1} = A_{2}, ellentmondás.

2. Tegyük fel, hogy E_{d} +uv-ben két K_{t+1} részgráf is van, csúcshalmazaik C_{1} és C_{2}, u, v ∈ C_{1} ∩C_{2}. Most t − 1 ≥ d_{u} ≥ t − 1 + t − 1 − (|C_{v} ∩ C_{w}| − 2), vagyis C_{v} = C_{w}, ellentmondás.

3. Tegyük fel, hogy E_{d} +uv-ben két H-beli részgráf is van, az előzőek alapján feltehető, hogy ezek egy A, B színosztályú K_{t,t} részgráf és egy C csúcshalmazú K_{t+1} részgráf, u ∈ A∩C, v ∈ B ∩C. Most t − 1 ≥ d_{u} ≥ t − 1 + t − 1 − (|B ∩ C| − 1), vagyis |B ∩ C| ≥ t. B ∩ C egy x ≠ v csúcsára t ≥ d_{x} ≥ t + t − |A ∩ C|, vagyis |C| ≥ |A ∩ C| + |B ∩ C| ≥ t + t > t + 1, ellentmondás.

Tegyük fel, hogy a H-kizárt ≤ 2-faktor esetében léteznek olyan v, w, z csúcsok, hogy uz, zw, wv ∈ E_{d}\E_{c}, uv, uw ∈ E_{c}\E_{d}, és emiatt E_{d}+uv-ben egy K_{2,2} részgráf szerepel, E_{d}+uw-ben pedig egy K_{3} részgráf szerepel. Ekkor vw ∉ E_{c}, mivel E_{c}-ben nem szerepel K_{3} részgráf, így az Ẽ = E_{d} + uv − vw jelöléssel Ẽ H-kizárt ≤ 2-faktor, mivel előző lemmánk szerint E_{d} + uv-ben legfeljebb egy H-beli részgráf szerepel. Most az Ẽ kizárt faktor foksorozata vagy egy lépés d′-ből c-be, vagy Ẽ-ra és a w kezdőpontra alkalmazhatjuk indukciós feltevésünket, ugyanis degẼ(w) < c_{w} és az indukciós mennyiség nőtt, mivel Ẽ ∩ E_{c} nőtt. Így létezik egy olyan kizárt faktor, aminek a foksorozata egy lépés degẼ +e^{w}-ből c-be, de degẼ +e^{w} = d′, így készen vagyunk.

Lemmáink alapján feltehető, hogy u-nak egy kivételével minden E_{c}-beli éle E_{d}-ben is szerepel, és ezen uv ∈ E_{c} \ E_{d} élre E_{d} + uv-ben szerepel egy K_{t,t}/K_{t+1}/H-beli részgráf. Következik, hogy x_{u} + 1 = y_{u} = t.

1. E_{d} + uv-ben egyetlen K_{t,t} részgráf szerepel, színosztályai legyenek A, B, u ∈ A, v ∈ B. Ha létezik z ∈ A, hogy zv ∈ E_{d} \ E_{c}, akkor legyen Ẽ = E_{d} + uv − vz. Az Ẽ kizárt faktor foksorozata vagy egy lépés d′-ből c-be, vagy Ẽ-ra és a z kezdőpontra alkalmazhatjuk indukciós feltevésünket, ugyanis degẼ(z) < c_{z} és az indukciós mennyiség nőtt, mivel Ẽ ∩ E_{c} nőtt. Mint már láttuk, degẼ +e^{z} = d′, így készen vagyunk.

Egyébként feltehetjük, hogy zv ∈ E_{c} minden z ∈ A csúcsra. Mivel E_{c} kizárt faktor, létezik egy z ∈ A − u és egy w ∈ B − v csúcs, hogy zw ∈ E_{d} \ E_{c}. Legyen Ẽ = E_{d} + uv − vz. Az Ẽ kizárt faktor foksorozata vagy egy lépés d′-ből c-be, vagy Ẽ-ra és a z kezdőpontra alkalmazhatjuk indukciós feltevésünket, ugyanis degẼ(z) < c_{z} és az indukciós mennyiség nőtt, mivel Ẽ ∩ E_{c} ugyan változatlan, de a z kezdőpontra illeszkedő Ẽ ∩ E_{c}-beli élek száma legfeljebb t − 2, míg ugyanez az érték u-nál E_{d} ∩ E_{c}-re t − 1 volt, így készen vagyunk.

2. E_{d} + uv-ben egyetlen K_{t+1} részgráf szerepel, ponthalmaza legyen C, u, v ∈ C. Ha létezik z ∈ C, hogy zv ∈ E_{d} \ E_{c}, akkor legyen Ẽ = E_{d} + uv − vz. Az Ẽ kizárt faktorra ugyanúgy alkalmazzuk indukciós feltevésünket, mint fent, most Ẽ ∩ E_{c} nőtt.

Egyébként feltehetjük, hogy zv ∈ E_{c} minden z ∈ C csúcsra. Mivel E_{c} kizárt faktor, léteznek z, w ∈ C − {u, v} csúcsok, hogy zw ∈ E_{d} \ E_{c}. Legyen Ẽ = E_{d} + uv − vz. Az Ẽ kizárt faktorra ugyanúgy alkalmazzuk indukciós feltevésünket, mint fent, most Ẽ ∩ E_{c} ugyan változatlan, de a z kezdőpontra illeszkedő Ẽ ∩ E_{c}-beli élek száma legfeljebb t − 2, míg ugyanez az érték u-nál E_{d} ∩ E_{c}-re t − 1 volt.

3. A H-kizárt esetben az előző két meggondolás egyike alkalmazható.

Hátramaradt az az eset, amikor d_{u} > c_{u}. Ekkor egy extra s csúcsot vegyünk hozzá a gráfhoz, és E(G′) := E(G)+su, V (G′) := V (G)+s, Ẽ_{c} := E_{c} +su. E_{d}, Ẽ_{c} kizárt faktorok, és a d = deg_{E_{d}}, c̃ = degẼ_{c} jelöléssel d_{s} = 0 < 1 = c̃_{s}, így már tudjuk, hogy a d′ := d + e^{s} lépésre létezik egy olyan E′ kizárt faktor G′-ben, aminek foksorozata egy lépés d′-ből c̃-ba. deg_{E′}(s) = 1, így su ∈ E′ és könnyen ellenőrizhető, hogy az E′ − su ⊆ E kizárt faktor foksorozata egy lépés d − e^{u}-ból c-be.

A tételt bebizonyítottuk.

Felmerül a kérdés, hogy mely H gráfokra alkotnak a H-kizárt ≤ Δ(H)-faktorok foksorozatai ugrácsot, illetve hogy mely H gráfokra alkotnak a H-kizárt részgráfok foksorozatai ugrácsot. A második kérdésre teljes választ tudunk adni, míg az elsőre csak részlegeset.

Def.: A G gráf teljes k-részes gráf, ha V (G) = V_{1} ˙∪ … ˙∪V_{k}, V_{i} ≠ ∅ és E(G) = {uv: u ∈ V_{i}, v ∈ V_{j}, i ≠ j}.

5.5 Állítás Ha a H összefüggő egyszerű gráf nem egy teljes k-részes gráf, akkor a H-kizárt ≤ Δ(H)- faktorok foksorozatai nem alkotnak ugrácsot.

Biz.: Belátjuk, hogy már H-nak H-kizárt ≤ Δ(H)-faktorainak foksorozatai sem alkotnak ugrácsot. A teljes k-részes gráfok pontosan azon gráfok, amelyekben a nemszomszédság reláció tranzitív, a feltétel tehát azt jelenti, hogy létezik három olyan {u, v, w} csúcs H-ban, hogy uv, uw ∉ E = E(H), vw ∈ E. H összefüggő, így létezik egy u-val szomszédos z csúcs, e := zu. Legyen E_{d} = E − e, E_{c} = (u szomszédainak csillagai), foksorozataik rendre d és c. Feltevésünk szerint vw ∉ E_{c}, így E_{d}, E_{c} H-kizárt ≤ Δ(H)-faktorok. A d′ = d + e^{z} d-ből c-be való lépés nem foksorozat, tegyük fel, hogy létezik egy olyan Ẽ H-kizárt ≤ Δ(H)-faktor, aminek d̃ foksorozata egy lépés d′-ből c-be. Ekkor vagy d̃= d+e^{z}+e^{u} = deg_{H}, ami nem lehet, mivel Ẽ = H állna, vagy d̃= d+e^{u}−e^{x}, ahol x nemszomszédos u-val, de ilyen foksorozatú részgráfja nincsen H-nak.

Állításunk következménye, hogy a C_{k}-kizárt ≤ 2-faktorok foksorozatai sem alkotnak ugrácsot k ≥ 5-re, sőt a fejezet elején bevezetett terminológiával ez a k-kizárt ≤ 2-faktorokra is igaz, hiszen a k-hosszú kör nem tartalmaz részgráfként rövidebb kört. Vagyis Cunningham ellenpéldájánál egy jóval egyszerűbb ellenpéldát adhatunk, a lehető legegyszerűbbet: C_{k} bizonyítja, hogy a k-kizárt ≤ 2-faktorok foksorozatai nem alkotnak ugrácsot k ≥ 5-re.

Most teljes választ adunk arra a kérdésre, hogy mely H gráfokra alkotnak a H-kizárt részgráfok foksorozatai ugrácsot.

5.6 Tétel A H-kizárt részgráfok foksorozatai pontosan akkor alkotnak ugrácsot tetszőleges gráfban, ha H egy csillag.

Biz.: Az előző állításban bebizonyítottuk, hogy ha H nem egy teljes k-részes gráf, akkor H-nak H-kizárt ≤ Δ(H)-faktorainak foksorozatai nem alkotnak ugrácsot. H minden részgráfja ≤ Δ(H)- faktor, ezért H-ban a H-kizárt részgráfok foksorozatai sem alkotnak ugrácsot, amennyiben H nem egy teljes k-részes gráf.

Ha H egy teljes k-részes gráf és k ≥ 3, akkor tegyük fel, hogy |V_{1}| ≤ … ≤ |V_{k}|. A G gráfra legyen V (G) = V (H) + s, E(G) = E(H) + {xs: x ∈ V_{i}, i < k}. Legyen u ∈ V_{1}, v ∈ V_{2}, z_{1}, z_{2} ∈ V_{k} + s. E_{d} := E(G) − uv, E_{c} := E(G) − {uz_{1}, uz_{2}}, foksorozataik d illetve c. E_{d} és E_{c} könnyen ellenőrizhetően H-kizárt részgráfok. A d′ = d + e^{v} d-ből c-be való lépésre egy d′′ d′-ből c-be való lépés a következők valamelyike lehet: d′′ = d + e^{v} − e^{u} = deg_{G} −2e^{u}, d′′ = d + e^{v} − e^{z_{i}}, i = 1, 2. Az első esethez nem tartozik részgráf, a második pedig az E(G) − uz_{i} részgráfhoz tartozik, amely viszont tartalmaz egy H részgráfot, G[V (G) − z_{i}]-t.

Ha H = K_{a,b} egy nemcsillag teljes páros gráf, akkor a, b > 1. A G = (V, E) gráfra legyen V = A_{1} ˙∪ A_{2} ˙∪ B_{1} ˙∪ B_{2} ˙∪ {u, v}, E := {xy: x ∈ A_{1} + u, y ∈ B_{1} + v} ˙∪ {xy: x ∈ A_{2} + u, y ∈ B_{2} + v}, ahol |A_{1}| = |A_{2}| = a − 1, |B_{1}| = |B_{2}| = b − 1. E_{d} := E − uv, E_{c} := {uy: y ∈ B_{1} ∪ B_{2}} ∪ {xv: x ∈ A_{1} ∪ A_{2}} + uv, foksorozataik d illetve c. E_{d} és E_{c} könnyen ellenőrizhetően H-kizárt részgráfok. A d′ = d + e^{u} d-ből c-be való lépésre egy d′′ d′-ből c-be való lépés a következők valamelyike lehet: d′′ = d + e^{u} + e^{v} = deg_{G}, d′′ = d + e^{u} − e^{z} = deg_{G} −e^{v} − e^{z}, z ∈ A_{1} ∪ A_{2}-re, tegyük fel, hogy z ∈ A_{1}. Az első foksorozat csak G-é lehet, ami viszont tartalmaz egy K_{a,b} részgráfot. A második foksorozat pedig a G − vz részgráfhoz tartozik, amelyben az (A_{2} + u) ∪ (B_{2} + v) csúcshalmaz egy K_{a,b} részgráfot feszít.

Ha H egy k-élű csillag, akkor a H-kizárt részgráfok éppen a legfeljebb k −1-fokú részgráfok, amelyeknek foksorozatai tetszőleges G gráfban ugrácsot alkotnak, hiszen az ilyen foksorozatok halmaza J_{G} ∩[0, k − 1].

6. A matroid parity probléma

6.1. A három alak

A dolgozatban a matroid parity problémát párhuzamosan három ekvivalens megfogalmazásra építjük fel. Az ugrácsoktól eltérően sok egymáshoz nagyon közeli probléma van, amelyek mind triviálisan ekvivalensek a matroid parity problémával, ennek ellenére az egyikről szóló tételt vagy struktúrát néha nem egyszerű a másikra átvinni. Az is előfordul, hogy az egyikről szóló tételnek a másikra való puszta átfogalmazásánál több is mondható. Mivel bizonyos alkalmazásokat más és más egymással ekvivalens alakra kényelmes visszavezetni, ezért a fő tételeket és definíciókat három kiválasztott probléma mindegyikére kimondjuk, kivéve akkor, ha az átfogalmazás semmi gondot nem okoz, vagy ha definíció esetén az átfogalmazás értelemszerű. Ez a három ekvivalens alak a matroid parity, a polimatroid parity és az általános matroid parity.

Def.: A b: P(S) → ℝ ∪ {∞} függvény szubmoduláris, ha minden X, Y ⊆ S-re b(X) + b(Y) ≥ b(X ∩ Y) + b(X ∪ Y) és b(∅) = 0. Egy szubmoduláris függvény polimatroid függvény, ha véges, monoton nő és egészértékű. A b polimatroid függvény k-polimatroid függvény, ha b(X) ≤ k|X|.

Az 1-polimatroid függvények éppen a matroid rangfüggvények. A matroid parity probléma 2polimatroid függvényekről szól:

Def.: Az (A, p) párt 2-polimatroidnak hívjuk, ha p egy 2-polimatroid függvény a véges A halmazon. M ⊆ A matching, ha p(M) = 2|M|. ν(A, p) := max{|M|: M matching}.

Def.: A matroid parity probléma adott (A, p) 2-polimatroid esetén a maximális matching méretének, azaz ν(A, p)-nek a meghatározása.

A polimatroid parity probléma ezzel analóg tetszőleges polimatroid függvényekre.

Def.: A véges T halmaz részhalmazain adott ϱ polimatroid függvény polimatroidja P (T, ϱ) = {v ∈ ℝ^{T} : v ≥ 0, v(X) ≤ ϱ(X) ∀X ⊆ T }. Az x ∈ ℤ^{T} vektor páros, ha minden komponense egy páros egész szám. Az m ∈ ℤ^{T} páros vektor matching, ha m ∈ P (T, ϱ). ν(T, ϱ) := max{m(T)/2: m matching}.

Def.: A polimatroid parity probléma adott P (T, ϱ) polimatroid esetén ν(T, ϱ)-nak a meghatározása.

P (T, ϱ) egész vektorai a 12. oldali megjegyzés és 3.29 szerint ugrácsot alkotnak, de erre nem lesz szükségünk.

Az általánosított matroid parity problémában egy matroid elemeiből alkotott párokból akarunk maximálisan sok diszjunktat kiválasztani, hogy a párok uniója független legyen.

Def.: Az M = (S, r) matroid alaphalmazán adott egy olyan E élhalmaz, amire (S, E) egy egyszerű, irányítatlan gráf. Egy F ⊆ E élhalmaz matching, ha r(⋃ F) = 2|F |. ν(M, E) := ν(S, r, E) := max{|F |: F matching}.

Def.: Az általános matroid parity probléma adott M = (S, r) matroid és E élhalmaz esetén ν(M, E) = ν(S, r, E)-nek a meghatározása.

Bevezetünk egy jelölést a polimatroid parityre.

Def.: Az y ∈ ℝ^{T} , y ≥ 0 vektorra ϱ(y) := min(ϱ(R) + y(T \ R): R ⊆ T).

6.1 Állítás max(x(T): x ∈ P (T, ϱ), x ≤ y) = min(ϱ(R) + y(T \ R): R ⊆ T) = ϱ(y), és ha y egész, akkor létezik olyan egész x, amin a bal oldali maximum felvétetik.

Biz.: A 12. oldalon láttuk, hogy P (T, ϱ) = P (f), ahol f(X, Y) = ϱ(X) biszubmoduláris függvény. 3.13 szerint {x ∈ P (T, ϱ): x ≤ y} = P (g), ahol g(X, Y) = min(f(A, B) + y(X \ A) + y(B \ Y)+∞·|A\X|+∞·|Y \B|: (A, B) ∈ F(S)) = min(ϱ(A)+y(X \A)+y(B \Y): A ⊆ X, Y ⊆ B) = min(ϱ(A)+y(X \A): A ⊆ X). (Ez csak X-től függ, vagyis {x ∈ P (T, ϱ): x ≤ y} is egy polimatroid.) Vagyis 3.6 szerint max(x(T): x ∈ P (T, ϱ), x ≤ y) = g(T, ∅) = min(ϱ(R) + y(T \ R): R ⊆ T) = ϱ(y).

Ha y egész, akkor g is az, vagyis 3.14 szerint P (g) is egész, így létezik egy olyan egész x, amin a maximum felvétetik.

6.2 Köv. ϱ(y) = y(T) ekvivalens y ∈ P (T, ϱ)-val.

Nézzük, hogyan alakítható át egymásba ez a három alak. A matroid parity egyszerűen a polimatroid parity speciális esete. Világos, hogy M ⊆ A pontosan akkor matching, ha 2χ_{M} ∈ P (A, p), azaz ha a 2χ_{M} páros vektor matching polimatroid parity értelemben. Továbbá P (A, p) minden matchingje 2χ_{M} alakú, hiszen p egy 2-polimatroid függvény.

A polimatroid parity a következő ismert konstrukcióval vezethető vissza az általános matroid parityre. Legyen az S_{i}, i ∈ T diszjunkt halmazokra S = ˙⋃_{i}S_{i}, |S_{i}| = ϱ({i}), ϱ_{S} pedig legyen a következő polimatroid függvény S-en: X ⊆ S-re ϱ_{S}(X) := ϱ({i ∈ T: X ∩ S_{i} ≠ ∅}). P (ϱ_{S}) ∩ {0, 1}^{S} egy olyan nemüres delta-matroid, amely egy leszálló részhalmazrendszer karakterisztikus vektoraiból áll, így 3.28 szerint P (ϱ_{S}) ∩ {0, 1}^{S} egy matroid. Legyen a rangfüggvénye r.

Def.: Az I ⊆ S halmazra w_{i}^{I} := |I ∩ S_{i}|, i ∈ T -re.

6.3 Állítás I ⊆ S-re ϱ(w^{I}) = r(I) = min(ϱ_{S}(X) + |I \ X|: X ⊆ I).

Biz.: r(I) = max(x(S): x ∈ P (ϱ_{S}) ∩ {0, 1}^{S}, x ≤ χ_{I}) = max(x(S): x ∈ P (ϱ_{S}), x ≤ χ_{I}) = min(ϱ_{S}(X) + χ_{I}(S \ X): X ⊆ S) = min(ϱ_{S}(X) + |I \ X|: X ⊆ I) 6.1 szerint és amiatt, hogy {x ∈ P (ϱ_{S}): x ≤ χ_{I}} egész 3.13 és 3.14 szerint. Ha X-en vétetik fel a minimum, akkor X nyilván ˙⋃{S_{i}: i ∈ R} alakú, vagyis r(I) = min(ϱ(R)+w^{I}(T \R): R ⊆ T) = ϱ(w^{I}).

Def.: A kapott M = (S, r) matroidot hívjuk ϱ ősmatroidjának.

6.4 Állítás A ϱ polimatroid függvény M = (S, r) ősmatroidja a legnagyobb rangú olyan matroid S-en, amire r(⋃{S_{i}: i ∈ R}) = ϱ(R) minden R ⊆ T -re.

Biz.: Ha az M̃ = (S, r̃) matroidra és X′ ⊆ S-re r̃(X′) > r(X′), akkor létezik egy olyan X ⊆ S halmaz is, hogy X független M̃-ban és függő M-ben. Vagyis χ_{X} ∉ P (ϱ_{S}), azaz egy Z ⊆ S halmazra |X ∩ Z| > ϱ_{S}(Z). Legyen R = {i ∈ T: S_{i} ∩ Z ≠ ∅} és Z̃ = ⋃{S_{i}: i ∈ R}. Most |X ∩ Z̃| ≥ |X ∩ Z| > ϱ_{S}(Z) = ϱ_{S}(Z̃), vagyis r̃(⋃{S_{i}: i ∈ R}) = r̃(Z̃) > ϱ_{S}(Z̃) = ϱ(R), vagyis a feltétel nem teljesül M̃-ra.

Gyakran hasznos, ha megvizsgáljuk egy polimatroid ősmatroidját.

Végül az E = {st: s ≠ t és létezik i ∈ T, hogy s, t ∈ S_{i}} jelöléssel nyilvánvaló, hogy ν(M, E) = = ν(T, ϱ).

Már csak egy visszavezetés maradt hátra: az általános matroid parity egy M = (S, r) példányára legyen A = E, p(X) = r(⋃ X), X ⊆ A-ra. Világos, hogy ν(A, p) = ν(M, E).

Alapvető alak az általános matroid parity azon speciális esete is, amikor az (S, E) gráf egy teljes párosítás. A „matroid parity” elnevezést is innen kapta Lawlertől. Az általános matroid parityt úgy vezethetjük vissza erre az alakra, hogy minden s ∈ S elem deg_{E}(s) párhuzamos példányát vesszük. Ennek az alaknak megvan az a szép tulajdonsága, hogy az (S, r) matroid (S, r^{∗}) duálisára ν(S, r, E) − ν(S, r^{∗}, E) = \frac{r(S)−r^{∗}(S)}{2} = r(S) − |S|.

6.2. A matroid parity probléma exponenciális rendű

Felvetődik a kérdés, hogy mit értünk a fenti problémák polinomiális megoldásán. Az ekvivalencia miatt elég a matroid parityről szólnunk. Lényeges kérdés, hogy hogyan adott egy 2-polimatroid. Már magának p-nek a tárolásához is |A|-ban exponenciális tár szükséges, és az adatok végigolvasásával egyben ν-t is meghatározhatjuk. Ezért azzal a feltételezéssel élünk, hogy adott egy rangorákulum, aminek a működéséről semmit nem tudunk, az algoritmus pusztán arra használhatja az orákulumot, hogy A tetszőleges X részhalmazaira megkérdezze p(X)-et, amit az orákulum egységnyi idő alatt kiszámít. A másik két megfogalmazásunkban ennek megfelelően azt tesszük fel, hogy ϱ-ra illetve r-re adott egy orákulum, és hogy E-t explicite ismerjük.

Lovász bebizonyította, hogy ezen feltételezés mellett a matroid parity probléma nem oldható meg polinomiálisan:

6.5 Állítás [18] Tetszőleges 2-polimatroidra a matroid parity probléma exponenciális rendű, ezért nem létezik olyan polinomiális algoritmus, amely minden 2-polimatroidra meghatározza ν(A, p)-t.

Biz.: Legyen A egy n-elemű alaphalmaz. Az alább definiált p függvények k ≈ n/2-re könnyen ellenőrizhetően mind 2-polimatroid függvények:

p(X) = \{ \begin{matrix}2|X|, & ha |X| < k, \\ 2k − 1 vagy 2k, & ha |X| = k, \\ 2k, & ha |X| > k. \end{matrix}

Az orákulum szerepét játszva az algoritmus kérdéseire válaszoljunk p iménti definíciója szerint, és ha az algoritmus egy k méretű halmaz rangját kérdezi, válaszoljunk 2k − 1-et! Ha nem kérdezi végig az összes k-méretű halmaz rangját, akkor nem tudhatja, hogy létezik-e olyan k-elemű halmaz, aminek a rangja 2k, márpedig éppen ettől függ, hogy ν = k teljesül-e.

Az ötletet, hogy ilyen típusú 2-polimatroidokat vizsgáljon, a legkisebb semmilyen test felett nem reprezentálható matroid, a V_{8} Vamos-Higgs matroid adta Lovásznak. V_{8} alaphalmaza {a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}, d_{1}, d_{2}}, legyen A = {a_{1}, a_{2}}, B = {b_{1}, b_{2}}, C = {c_{1}, c_{2}}, D = {d_{1}, d_{2}}. Minden háromelemű részhalmaz független, minden ötelemű függő, és a négyeleműek közül a következők függőek: A ∪ B, A ∪ C, A ∪ D, B ∪ C, B ∪ D. V_{8} nem reprezentálható semmilyen test felett, és önduális. Ha E_{V} = {a_{1}a_{2}, b_{1}b_{2}, c_{1}c_{2}, d_{1}d_{2}}, akkor F ⊆ E_{V} -re:

p(∪F) = \{ \begin{matrix}0, & ha |F | = 0, \\ 2, & ha |F | = 1, \\ 3, & ha |F | = 2, és F ≠ \{c_{1}c_{2}, d_{1}d_{2}\} \\ 4, & ha |F | ≥ 3, vagy ha F = \{c_{1}c_{2}, d_{1}d_{2}\}. \end{matrix}

(V_{8}, E_{V})-ről még lesz szó az 53. és az 58. oldalakon. Lovász ezt a példát csak azután találta meg, hogy megalkotta a formulát és az algoritmust a lineáris esetre. Szerencsére hogy így volt, mivel – mint állítja – különben nem is foglalkozott volna tovább a lineáris esettel.

Def.: A b: P(B) → ℕ polimatroid függvényre nézve a B halmaz a B_{1}, …, B_{k} halmazok direkt összege, ha B = ˙⋃_{i}B_{i} és b(B) = ∑_{i} b(B_{i}). Ha B nem áll elő direkt összegként, akkor b-re nézve összefüggő.

6.6 Állítás Ha a B halmaz b-re nézve a B_{1}, …, B_{k} halmazok direkt összege, akkor b(⋃_{i} X_{i}) = ∑_{i} b(X_{i}) minden X_{i} ⊆ B_{i}-re.

Biz.: Az állítást nyilván elég k = 2-re belátni. Ekkor b(X_{1} ∪ X_{2}) + b(B_{2}) ≥ b(X_{2}) + b(X_{1} ∪ B_{2}) és b(X_{1} ∪ B_{2}) + b(B_{1}) ≥ b(X_{1}) + b(B), ahonnan b(X_{1} ∪ X_{2}) ≥ b(X_{1}) + b(X_{2}) ≥ b(X_{1} ∪ X_{2}).

Def.: Az (A, p) 2-polimatroidra X ⊆ A lezártja: sp(X) = {x ∈ A: p(X + x) = p(X)}. X feszíti Y -t, ha Y ⊆ sp(X).

p szubmodularitása és monotonitása miatt p(sp(X)) = p(X). sp(X) a legbővebb X-et tartalmazó p(X)-rangú halmaz.

Def.: A b: P(B) → ℕ polimatroid függvényre és B = B_{1} ˙∪B_{2}-re a b\B_{1} : P(B_{2}) → ℕ, X ↦ b(X) függvényt B_{1} ⊆ B törlésével, a b/B_{1} : P(B_{2}) → ℕ, X ↦ b(X ∪ B_{1}) − b(B_{1}) függvényt pedig B_{1} ⊆ B összehúzásával kapjuk.

Def.: A b, b′: P(B) → ℕ polimatroid függvényekre b′ projekciója b-nek, ha b − b′ monoton növő. A b′ projekció 1-projekció, ha b − b′ ≤ 1.

Projekciókra tehát b′(X) ≤ b(X) minden X ⊆ B-re. Ha x ∈ B és b({x}) > 0, akkor például a következő függvény projekció:

b′(X) := \{ \begin{matrix}b(X) − 1, & ha b(X + x) = b(X), és \\ b(X) & különben. \end{matrix}

Könnyű látni, hogy ha b ősmatroidja M = (S, r), és t ∈ S_{x}, akkor b′(X) = r_{M/{t}}(⋃{S_{i}: i ∈ X}). Ha adott a B ˙∪ Z alaphalmazon egy olyan b̃ polimatroid függvény, amire b̃|_{P(B)} = b, akkor b̃/Z

is b egy projekciója. Belátjuk, hogy minden projekció előáll összehúzásként.

6.7 Állítás A b: P(B) → ℕ polimatroid függvény b′ projekciójához létezik egy B ˙∪ Z alaphalmazon egy b̃ polimatroid függvény, amire b̃|_{P(B)} = b és b′(X) = b̃(X ∪ Z) − b̃(Z), X ⊆ B-re.

Biz.: Könnyen ellenőrizhető, hogy a b_{i}(X) := min(b′(X) + i, b(X)), 0 ≤ i ≤ k = b(B) − b′(B) polimatroid függvényekre b_{i} 1-projekciója b_{i+1}-nek, továbbá b_{0} = b′, b_{k} = b. Elég tehát a tételt 1-projekciókra belátni, hiszen (b/Y)/Z = b/(Y ∪ Z). Ha b′ 1-projekció, akkor legyen Z = {z}, X ⊆ B + z-re pedig

b̃(X) := \{ \begin{matrix}b(X), & ha z ∉ X, \\ 1 + b′(X − z), & ha z ∈ X. \end{matrix}

Ez nyilván jó lesz.

Lássunk még néhány a matroid parityvel ekvivalens problémát [21]:

Edmonds vezette be a matchoid problémát: adott egy esetleg hurokéleket is tartalmazó G gráf, és minden v pontjának csillagán egy M_{v} matroid. Egy M ⊆ E élhalmaz matchoid, ha minden v pontra a v-re illeszkedő M-beli élek független halmazt alkotnak M_{v}-ben. Hány éle van egy maximális méretű matchoidnak? Ha G egypontú és csak hurkokat tartalmaz, akkor visszakapjuk a matroid parity problémát. 8.5-ben egy minimax formulát adunk a problémára abban az esetben, ha minden vre M_{v} lineáris, valamint 8.3 második állításából is következik egy minimax formula bizonyos speciális M_{v} matroidok esetén.

A speciális k-matroid metszet probléma könnyen ellenőrizhetően ekvivalens a hurokél nélküli gráfok matchoid problémájával: adott egy E alaphalmaz és az M_{i} matroidok az E_{i} ⊆ E részhalmazokon úgy, hogy E minden eleme legfeljebb két matroid alaphalmazában szerepel. Mekkora a legnagyobb méretű olyan M ⊆ E halmaz, hogy M ∩ E_{i} független M_{i}-ben?

Minimális feszítőhalmaz keresése: Adott 2-polimatroidban keressünk egy minimális méretű az alaphalmazt feszítő halmazt! A probléma a következő tétel miatt ekvivalens a matroid parityvel [18].

Def.: Az (A, p) 2-polimatroidban ρ(A, p) := min{|N|: sp(N) = A}, a minimális feszítő részhalmaz mérete.

6.8 Tétel [18] ρ(A, p) + ν(A, p) = p(A).

Biz.: ≤: (A, p)-nek legyen M egy maximális matchingje, N pedig legyen egy maximális olyan halmaz, amire M ⊆ N és p(N) ≥ p(M) + |N − M|. Ilyen halmaz létezik, például M ilyen. N feszítő, különben egy a ∈ A elemre p(N + a) ≥ p(N) + 1, ami ellentmond N maximalitásának. Vagyis ρ(A, p) ≤ |N| ≤ p(N) − p(M) + |M| = p(A) − ν(A, p).

≥: Ha N egy minimális feszítő halmaz, akkor hagyjunk el elemeket N-ből, ha ezzel legfeljebb 1-gyel csökkentjük a rangot. Ha k lépés után bármely elem kihagyásával már 2-vel csökken a rang, akkor a kapott M halmaz egy matching, hiszen minden x elemére M az M − x és az {x} halmazok direkt összege p-re nézve. Vagyis |M| = |N| − k ≤ |N| − (p(N) − p(M)) = |N| − p(A) + 2|M|, ahonnan ν(A, p) ≥ p(A) − ρ(A, p).

A is feszítő halmaz, vagyis:

6.9 Köv. [18] Az (A, p) 2-polimatroidban ν(A, p) ≥ p(A)−|A|.

Def.: A G(V, E) gráf grafikus 2-polimatroidja az az (E, p) 2-polimatroid, amire p(F) = | ⋃ F |, F ⊆ E-re.

Nyilván ν(G) = ν(E, p). 6.8 grafikus polimatroidban pontosan a Gallai-tétel. Az állítás bizonyítása is analóg a gráfelméleti változat bizonyításával.

6.3. Körök és virágok

A 2-polimatroidok szerkezetének mélyebb tanulmányozásához Lovász bevezeti a következő fogalmakat [18]:

Def.: Az (A, p) 2-polimatroidban C ⊆ A kör, ha p(C) = 2|C| − 1 és p(C − x) = 2|C| − 2 minden x ∈ C-re.

A kör 1 híján nem matching, de minden valódi részhalmaza matching. Grafikus polimatroidban a kör két illeszkedő nem párhuzamos él. Kör ősmatroidja egy páros elemszámú kör matroid értelemben.

Def.: A P (T, ϱ) polimatroidra c ∈ ℕ^{T} kör, ha vagy c = 3e^{i} ∈ P (T, ϱ) egy i ∈ T -re, vagy c egy páros vektor, ϱ(c) = c(T) − 1 és ϱ(c − 2e^{i}) = c(T) − 2 minden olyan i ∈ T -re, amire c_{i} ≥ 2.

Def.: Az (A, p) 2-polimatroidban V ⊆ A virág, ha p-re nézve egy C kör és egy M matching direkt összege. V k-virág, ha |V | = k + 1.

6.10 Állítás [18] V ⊆ A pontosan akkor virág, ha p(V) = 2|V | − 1. Minden V virág egyetlen C kört tartalmaz, és c ∈ C-re V − c matching.

Biz.: Nyilván minden V virág rangja 2|V | − 1. Ha V ⊆ A-ra p(V) = 2|V | − 1, akkor tekintsük V -nek egy minimális olyan C részhalmazát, ami 2|C| − 1 rangú. C kör, hiszen minden részhalmaza matching a minimalitás miatt. V −C matching, különben p szubmodularitása miatt p(V) < 2|V |−1 állna, vagyis p(V) = p(C) + p(V − C), azaz (V, p) egy virág, mivel egy kör és egy matching direkt összege. A körök p-re nézve összefüggőek, ezért V minden D köre a direkt felbontás miatt vagy C-nek része, amikor C = D, vagy V − C-nek, ami nem lehet. p(V − c) = p(C − c) + p(V − C) = 2|V | − 2 minden c ∈ C-re, vagyis V − c egy matching.

A polimatroid parity problémában az állítás páros vektorokra vonatkozó speciális esete így szól:

6.11 Állítás A v ∈ ℕ^{T} páros vektor pontosan akkor virág, ha ϱ(v) = v(T) − 1. Minden páros v virágra létezik egy olyan i ∈ T koordináta, amire m = v−2e^{i} matching P (T, ϱ)-ban.

Grafikus polimatroidban a virág egy párosítás és három fedetlen ponton két illeszkedő nem párhuzamos él.

Def.: Az (A, p) 2-polimatroidban W ⊆ A dupla kör, ha p(W) = 2|W |−2 és p(W −x) = 2|W |−3 minden x ∈ W -re.

Egy dupla kör se nem matching, se nem virág, és minden valódi része matching vagy virág, de ez nem karakterizálja a dupla köröket.

6.12 Állítás [18] W pontosan akkor dupla kör, ha létezik egy W = W_{1} ˙∪ … ˙∪W_{k} partíció, hogy k ≥ 2, W − W_{i} kör, ez az összes kör W -ben, és

p(Y) = \{ \begin{matrix}2|Y | − 2, & ha Y pontosan k-t tartalmaz a W_{i}-kből, azaz Y = W, \\ 2|Y | − 1, & ha Y pontosan k − 1-et tartalmaz a W_{i}-kből és \\ 2|Y |, & ha Y legfeljebb k − 2-t tartalmaz a W_{i}-kből. \end{matrix}

A fenti partíció egyértelmű.

Biz.: Világos, hogy a tételben leírt W egy dupla kör. Ha W dupla kör, akkor minden x elemére W − x egy virág, így W − x-ben egyetlen kör van. Vagyis ha W összes köre C_{1}, … C_{k}, akkor W − C_{i} partícionálja W -t, így k ≥ 2. W minden valódi Y részének rangja 2|Y | vagy 2|Y |−1. Ha 2|Y |, akkor Y nem tartalmaz kört, ha pedig 2|Y |−1, akkor Y egy virág, és így pontosan egy kört tartalmaz, ahonnan kapjuk a rangokra vonatkozó állítást.

Def.: Ha k = 2, akkor a dupla kör triviális, egyébként nemtriviális. A W = W_{1} ˙∪ … ˙∪W_{k} partíció a W felbontása.

Grafikus polimatroidban a dupla kör három egy pontra illeszkedő él, amik közül semely kettő nem párhuzamos. A dupla kör könnyebb elképzeléséhez megadjuk az ősmatroidjának duálisát: a duális 2|W | elemű és 2-rangú, egy 2-elemű halmaz bázis, ha e két elem két különböző W_{i} ősében van.

Def.: Az (A, p) 2-polimatroidban D ⊆ A dupla virág, ha egy W dupla kör és egy M matching direkt összege. D k-dupla virág, ha p(D) = 2k + 2 és |D| = k + 2. A D dupla virág triviális, ha dupla köre az.

6.13 Állítás [18] Ha D ⊆ A-ra p(D) = 2|D| − 2, akkor D vagy dupla virág, vagy egy d ∈ D-re D − d matching.

Biz.: Ha létezik olyan d ∈ D elem, amire p(D − d) = 2|D| − 2, akkor D − d matching, egyébként vegyünk el D-ből addig elemeket, amíg 2-vel csökken a rang. Világos, hogy a kapott W halmazra D− W egy matching, W -re pedig p(W) = 2|W |−2 és p(W −x) = 2|W |−3 minden x ∈ W -re. Vagyis W egy dupla kör.

6.4. A 2-polimatroidok szerkezete

Ennyi előkészület után már adhatunk felső becslést ν-re.

6.14 Állítás Ha ϱ′ 1-projekciója ϱ-nak, akkor ν(T, ϱ′) ≥ ν(T, ϱ) − 1.

Biz.: Legyen m egy maximális matchingje P (T, ϱ)-nak. Nyilván ϱ′(m) ≥ m(T) − 1. Ha ϱ′(m) = m(T), akkor m P (T, ϱ′)-nek is matchingje 6.2 miatt, vagyis ν(T, ϱ′) = ν(T, ϱ). Ha ϱ′(m) = m(T)−1, akkor m egy virág P (T, ϱ′)-ben 6.11 szerint, így létezik P (T, ϱ′)-ben egy olyan m′ matching, amire m′(T) = m(T) − 2, vagyis ν(T, ϱ′) ≥ ν(T, ϱ) − 1.

6.15 Köv. [20] Ha p′ (r′) 1-projekciója p-nek (r-nek), akkor ν(A, p′) ≥ ν(A, p) − 1 (ν(S, r′, E) ≥ ν(S, r, E)−1).

6.16 Tétel [21] ϱ-nak minden ϱ′ projekciójára és T -nek π partíciójára:

ν(T, ϱ) ≤ ϱ(T) − ϱ′(T) + ∑_{T_{i}∈π} ⌊\frac{ϱ′(T_{i})}{2}⌋ .

Biz.: 6.7 bizonyításában láttuk, hogy minden projekció megkapható ϱ(T) − ϱ′(T) darab 1projekció kompozíciójaként, vagyis 6.14 szerint ν(T, ϱ) ≤ ϱ(T)−ϱ′(T)+ν(T, ϱ′). Továbbá ν(T, ϱ′) ≤ ∑_{T_{i}∈π} ν(T_{i}, ϱ′) ≤ ∑_{T_{i}∈π} ⌊\frac{ϱ′(T_{i})}{2}⌋ .

A maximális matchingre vonatkozó minimax formula bizonyításának lényeges lépése a következő tétel.

Def.: Az (A, p) 2-polimatroidra p-nek p′ projekciója összenyomja a W ⊆ A dupla kört, ha W minden C körére p′(C) < p(C).

6.17 Tétel [20] Ha az (A, p) 2-polimatroidra ν = ν(A, p), D egy ν-dupla virág W dupla körrel és a p′ 1-projekció összenyomja W -t, akkor ν(A, p′) = ν(A, p) − 1.

Biz.: Ha nem volna igaz az állítás, akkor létezne egy ν-méretű M matching (A, p′)-ben. Válasszuk M-et olyannak, hogy M ∩D maximális legyen. p′(D) ≥ p(D)−1 = 2ν +1 > 2ν = p′(M), így legyen d ∈ D \ sp′(M). Ekkor 2ν + 1 ≥ p(M + d) ≥ p′(M + d) ≥ 2ν + 1, ahonnan M + d (A, p)-ben is, (A, p′)-ben is egy virág. p − p′ monotonitása miatt p′(Y) = p(Y) minden Y ⊆ M + d-re, vagyis M + d-nek (A, p′)-beli C köre kör (A, p)-ben is. C ⊆ D, különben C \ D egy elemét kihagyhatnánk M + d-ből, hogy egy olyan ν-méretű M̃ matchinget kapjunk, amire |M̃ ∩ D| > |M ∩ D|. Azonban a feltétel szerint p′(C) < p(C), ellentmondás.

6.15 szerint pedig ν(A, p′) ≥ ν(A, p)−1.

A következő tétel központi jelentőségű, a dolgozatban tárgyalt két alkalmazás ezen alapszik, és Lovász minimax formuláját is 6.18-ból fogjuk levezetni.

6.18 Tétel [21] Legyen (A, p) egy 2-polimatroid, ν = ν(A, p). Ekkor a következők közül legalább egy teljesül:

1. p(A) = 2ν + 1,

2. A = A_{1} ˙∪A_{2}, ahol A_{i} ≠ ∅ és ν = ν(A_{1}, p) + ν(A_{2}, p),

3. létezik egy e ∈ A elem, hogy e ∈ sp(M) minden M maximális matchingre,

4. létezik egy D ⊆ A nemtriviális ν-dupla virág.

Biz.: Feltehetjük, hogy minden a ∈ A-ra p(a) = 2, különben az A_{1} = {a}, A_{2} = A−a partícióval 2. teljesül. Legyen H = (A, E) az a hipergráf, amiben a ν-virágok körei alkotják a hiperéleket.

6.19 Lemma Ha 3. nem teljesül, akkor H fedi A minden elemét.

Biz.: Ha 3. nem teljesül, akkor minden a ∈ A elemhez létezik egy olyan M maximális matching, hogy a ∉ sp(M), vagyis p(M + a) ≥ p(M) + 1, de p(M + a) = p(M) + 2 nem lehet, különben M + a matching volna. Vagyis M + a egy ν-virág, legyen C az egyetlen köre. C ⊈ M, ezért a ∈ C ∈ E.

6.20 Lemma Ha 3. nem teljesül és A = A_{1} ˙∪A_{2} egy olyan partíció, hogy A_{i} ≠ ∅ és H minden éle vagy A_{1}-nek, vagy A_{2}-nek része, akkor ν = ν(A_{1}, p) + ν(A_{2}, p).

Biz.: Legyen M_{i} egy maximális matching (A_{i}, p)-ben i = 1, 2-re, M pedig egy maximális matching (A, p)-ben. Válasszuk M, M_{1}, M_{2}-t olyannak, hogy maximalizálják |M ∩ M_{1}| + |M ∩ M_{2}|-t. Belátjuk, hogy M_{1} ⊆ M és M_{2} ⊆ M, amiből következik, hogy ν = ν(A_{1}, p) + ν(A_{2}, p).

Tegyük fel, hogy például M_{1} ⊈ M. Először tegyük fel, hogy M_{1} ⊈ sp(M), legyen a ∈ M_{1}\sp(M). Mint ahogy 6.19 bizonyításában láttuk, M + a egy ν-virág, legyen a köre C. Feltevésünk szerint a ∈ C ⊆ A_{1}. C ⊈ M_{1}, ezért legyen a′ ∈ C \ M_{1}. Ekkor M′ = M − a′ + a egy maximális matching (A, p)-ben, ellentmondva M választásának, hiszen |M′ ∩ M_{1}| > |M ∩ M_{1}| és M′ ∩ M_{2} = M ∩ M_{2}.

Feltehetjük tehát, hogy M_{1}, M_{2} ⊆ sp(M), de M_{1} ⊈ M. Legyen c ∈ M_{1} \ M. 6.19 szerint létezik (A, p)-ben egy olyan Z ν-virág, aminek a köre tartalmaza c-t. Ekkor N = Z −c egy olyan maximális matching (A, p)-ben, amire M_{1} \ M ⊈ sp(N), mivel c ∉ sp(N). Az eddigi feltételeket kielégítő M, M_{1}, M_{2} és N matchingeket válasszuk olyannak, hogy maximalizálják |M ∩ N|-et. N ⊈ sp(M), különben sp(N) = sp(M), de M_{1} ⊆ sp(M) és M_{1} ⊈ sp(N). Legyen ezért b ∈ N \ sp(M) és C az M + b ν-virág köre.

Tegyük fel, hogy C ⊆ A_{i}, i = 1-re vagy i = 2-re. Ha C − b ⊈ M_{i}, akkor legyen b′ ∈ C \ M_{i} − b. Ekkor M′ = M + b − b′ egy maximális matchingje (A, p)-nek, és M′ ∩ M_{1} = M ∩ M_{1}, M′ ∩ M_{2} = M ∩ M_{2}, de |M′ ∩ N| > |M ∩ N|, ami ellentmond M, M_{1}, M_{2} és N választásának. Ha C − b ⊆ M_{i}, akkor mivel minden kör legalább 2-elemű, legyen b′ ∈ C − b. Ekkor M′ = M + b − b′ egy maximális matchingje (A, p)-nek, M′_{i} = M_{i} +b−b′ pedig egy maximális matchingje (A_{i}, p)-nek. Legyen M′_{3−i} = M_{3−i}. |M′ ∩ M′_{1}| = |M ∩ M_{1}|, |M′ ∩ M′_{2}| = |M ∩ M_{2}|, M′_{1} \ M′ = M_{1} \ M ⊈ sp(N), de |M′ ∩ N| > |M ∩ N|, ami ellentmond M, M_{1}, M_{2} és N választásának.

6.21 Lemma Ha H összefüggő és 3. nem teljesül, akkor vagy 1. vagy 4. teljesül.

Biz.: Legyen F az (A, p) egy ν-virága. Ha sp(F) = A, akkor 1. teljesül, tegyük fel, hogy sp(F) ⊊ A. E_{1} álljon a H azon hiperéleiből, amelyeket tartalmaz egy olyan F_{1} ν-virág, amelyre sp(F_{1}) = sp(F), és legyen E_{2} = E \ E_{1}. E_{1}, E_{2} egyike sem üres, mivel E_{1} tartalmazza F körét, E_{2} pedig a H tetszőleges olyan hiperélét, amely belemetsz A \ sp(F)-be, 6.19 szerint ilyen létezik. H összefüggősége miatt léteznek olyan C_{i} ∈ E_{i} körök, amelyekre C_{1} ∩ C_{2} ≠ ∅. Legyen F_{i} olyan ν-virág, hogy C_{i} ⊆ F_{i}, sp(F_{1}) = sp(F) és |F_{1} ∩F_{2}| maximális. sp(F_{1}) ≠ sp(F_{2}), ezért legyen b ∈ F_{1} \sp(F_{2}).

Azt állítjuk, hogy F_{2} + b egy nemtriviális ν-dupla virág. b ∉ sp(F_{2}), ezért p(F_{2} + b) > p(F_{2}) = 2ν +1. Ha p(F_{2} +b) = 2ν +3, akkor F_{2} +b egy ν +1-virág, amiben létezik egy ν +1-méretű matching 6.10 szerint, ami nem lehet. Ha p(F_{2} + b) = 2ν + 2, akkor 6.13 szerint F_{2} + b vagy egy ν-dupla-virág, vagy létezik benne egy ν + 1-méretű matching, ami viszont nem lehet.

Tegyük fel, hogy az F_{2}+b ν-dupla-virág triviális. 6.12 szerint ekkor pontosan két kört tartalmaz, ezek közül az egyik persze C_{2}. A másik legyen D. D ∩ C_{2} = ∅, ezért D ≠ C_{1}, és mivel C_{1} az egyetlen kör F_{1}-ben, D ⊈ F_{1}. Legyen c ∈ D \ F_{1}. Ekkor F_{2} + b − c = F′ egy olyan ν-virág, ami tartalmazza C_{2}-t, de |F_{1} ∩ F′| > |F_{1} ∩ F_{2}|, ami ellentmond F_{1} és F_{2} választásának.

A tétel a polimatroid parity problémára a következő formában megy át.

6.22 Tétel Legyen P (T, ϱ) egy polimatroid, ν = ν(T, ϱ), ϱ-nak a 43. oldalon leírt ősmatroidja M = (S, r), E = {st: s ≠ t és létezik i ∈ T, hogy s, t ∈ S_{i}}. Ekkor a következők közül legalább egy teljesül:

1.’ ϱ(T) = 2ν + 1,

2.’ T = T_{1} ˙∪ T_{2}, ahol T_{i} ≠ ∅ és ν = ν(T_{1}, ϱ) + ν(T_{2}, ϱ),

3.’ létezik egy i ∈ T koordináta, hogy P (T, ϱ) minden m maximális matchingjére sp_{i}(m) = = ϱ({i}) ≥ 2,

4.’ létezik (M, E)-ben egy nemtriviális ν-dupla virág.

Biz.: 6.18 lemmáit alkalmazzuk a 43. oldalon leírt visszavezetés (A, p) 2-polimatroidjára. i.′ ekvivalens i.-vel i = 1, 3, 4-re. Világos, hogy p(a) = 2 minden a ∈ A-ra, ezért a lemmák érvényesek. Mint fent, legyen H = (A, E) az a hipergráf, amiben (A, p) ν-virágainak körei alkotják E hiperéleit. Tegyük fel, hogy 3.’ nem teljesül, ekkor H minden elemet fed 6.19 szerint.

6.3 szerint ha minden i ∈ T esetén |X ∩ S_{i}| = |Y ∩ S_{i}|, akkor r(X) = r(Y), X, Y ⊆ S-re. Ezért ha A = A_{1} ˙∪A_{2} egy olyan partíció, hogy A_{i} ≠ ∅ és H minden éle vagy A_{1}-nek, vagy A_{2}-nek része, akkor minden i ∈ T -re {st: s, t ∈ S_{i}} ⊆ A_{j}, j = 1 vagy j = 2-re, felhasználva azt is, hogy H minden elemet fed. Legyen T_{j} azon i ∈ T -k halmaza, amelyekre {st: s, t ∈ S_{i}} ⊆ A_{j}. Vagyis ha 3.’ nem teljesül és H nem összefüggő, akkor 6.20 szerint ν = ν(A_{1}, p) + ν(A_{2}, p) = ν(T_{1}, ϱ) + ν(T_{2}, ϱ).

Végül 6.21 szerint ha H összefüggő és 3. nem teljesül, akkor vagy 1. vagy 4. teljesül.

7. Lineáris 2-polimatroidok

7.1. Bevezetés

Def.: A b: P(B) → ℕ polimatroid függvény lineáris, ha létezik egy V vektortér és egy l függvény B-ből V altereibe úgy, hogy az l(X) = ∑_{y∈X} l(y) jelöléssel b(X) = dim l(X) minden X ⊆ B-re. l a lineáris polimatroid függvény egy reprezentációja.

Def.: A matroid parity, a polimatroid parity és az általános matroid parity alakok lineárisak, ha p, ϱ, illetve r lineáris polimatroid függvények.

A G = (V, E) gráfra a grafikus (E, p) 2-polimatroid lineáris, mivel l(xy) := {v ∈ ℝ^{V} : v_{i} = 0, ha i ≠ x, y} ≤ ℝ^{V} . Ha a V vektorteret egy általános helyzetű hipersíkkal metsszük, akkor lineáris alterek helyett affin alterekkel való reprezentációt kapunk. Ebben a reprezentációban x ∈ B képe egy b({x}) − 1-dimenziós affin altér. Ha b({x}) = 0, akkor x-nek nincs képe. Az affin reprezentációval a matroid parity alakban az a feladat, hogy válasszunk ki maximálisan sok olyan egyenest, amelyek együtt is affin függetlenek, azaz dimenziójuk épp a számuk kétszerese -1.

Megjegyezzük, hogy a 43. oldali visszavezetések a matroid parity probléma három vizsgált alakjára lineáris problémát lineárisba visznek. Lineáris matroid parity problémából triviálisan lineáris polimatroid parity problémát kapunk. A polimatroid parity visszavezetésénél azt kell látni, hogy ϱ-nak M = (S, r) ősmatroidja lineáris. ϱ-nak l lineáris reprezentációjában minden i ∈ T -re l({i})- ben vegyünk fel ϱ({i}) darab S_{i}-nek megfelelő pontot úgy, hogy S = ˙⋃_{i}S_{i} pontjai a lehető legáltalánosabban helyezkedjenek el. Világos, hogy a kapott vektorok által reprezentált N matroidra r_{N} ({ ˙⋃S_{i}: i ∈ R}) = dim l(R) = ϱ(R), R ⊆ T -re. 6.4 szerint ezért elég belátni, hogy ha I ⊆ S független az M ősmatroidban, akkor független N -ben is. X ⊆ S-re legyen T_{X} = {i ∈ T: S_{i} ∩X ≠ ∅}. S pontjait úgy választottuk, hogy minden olyan lineáris összefüggést elkerüljenek, amit csak el tudnak kerülni, továbbá 6.3 szerint minden X ⊆ I-re |X| ≤ ϱ(T_{X}) = dim l(T_{X}), ezért I vektorai függetlenek V-ben, és így N -ben.

Végül az általános matroid parity visszavezetésénél csak azt kell észrevennünk, hogy lineáris matroid párhuzamos bővítése is lineáris.

Lineáris polimatroidokban a 45. oldalon definiáltakon kívül is létezik egy természetesen adódó projekció: legyen K ≤ V altér, és b_{K}(X) := dim l(X) − dim(l(X) ∩ K) = dim(l(X)/(l(X) ∩ K)). b_{K} a K^{⊥} altérre való vetítésnek felel meg.

Def.: Ha a b: P(B) → ℕ polimatroid függvény lineáris, akkor b-nek b′ projekciója lineáris, ha létezik b-nek egy olyan l reprezentációja és egy olyan K ≤ V altér, hogy b′(X) = b_{K}(X) := dim(l(X)/(l(X) ∩ K)), X ⊆ B-re.

A következő tétel a kulcs ahhoz, hogy a lineáris matroid parity problémára létezzen minimax formula. A fejezetben egyedül itt van kikerülhetetlenül kihasználva a linearitás.

7.1 Tétel [19] Ha az (A, p) lineáris 2-polimatroidban W egy dupla kör, akkor a W = W_{1} ˙∪ … ˙∪W_{k} felbontásra dim ⋂{l(W − W_{i}): 1 ≤ i ≤ k} ≥ k − 2.

Biz.: Legyen l_{i} = l(W − W_{i}). i-re vonatkozó indukcióval belátjuk, hogy

minden i-re dim(l_{1} ∩ … ∩ l_{i}) ≥ ∑_{j=1}^{i} dim l_{j} − (i − 1) dim(l_{1} ∪ … ∪ l_{i}).

i = 1-re az állítás világos. Ha i ≥ 1, akkor dim(l_{1} ∩ … ∩ l_{i}) = dim(l_{1} ∩ … l_{i−1}) + dim l_{i} − dim((l_{1} ∩ … ∩ l_{i−1}) ∪ l_{i}), így

dim(l_{1} ∩ … ∩ l_{i}) ≥ ∑_{j=1}^{i} dim l_{j} − (i − 2) dim(l_{1} ∪ … ∪ l_{i−1}) − dim((l_{1} ∩ … ∩ l_{i−1}) ∪ l_{i}) ≥

≥ ∑_{j=1}^{i} dim l_{j} − (i − 1) dim(l_{1} ∪ … ∪ l_{i}).

Végül dim(l_{1} ∩ … ∩ l_{k}) ≥ ∑_{j=1}^{k}(2|W − W_{i}| − 1) − (k − 1)(2|W | − 2) = 2|W | − 2 ∑_{j=1}^{k} |W_{i}| + k − 2 = k − 2.

7.2 Állítás Ha az S halmaznak adott egy ˙⋃S_{i}, i ∈ T partíciója, és μ-vel jelöljük az M = (S, r) matroid legnagyobb méretű olyan független I halmazának méretét, amire |I ∩ S_{i}| páros minden i ∈ T -re, akkor μ = 2ν(T, ϱ), ahol ϱ(R) = r( ˙⋃{S_{i}: i ∈ R}), R ⊆ T -re.

Biz.: R ⊆ T -re legyen S_{R} = ˙⋃{S_{i}: i ∈ R}. Ha I olyan független halmaz, amire |I ∩ S_{i}| páros minden i ∈ T -re, akkor a w_{i}^{I} := |I ∩ S_{i}|, i ∈ T vektorra w^{I} matching P (T, ϱ)-ban, mivel R ⊆ T -re w^{I}(R) = |I ∩ S_{R}| ≤ r(S_{R}) = ϱ(R), vagyis μ ≤ 2ν(T, ϱ).

A másik irányhoz belátjuk, hogy ha m egy matching P (T, ϱ)-ban, akkor létezik M-nek egy olyan I független halmaza, amire |I ∩ S_{i}| = m_{i} minden i ∈ T -re. Legyen ugyanis N az a partíciós matroid S-en, amire X ⊆ S pontosan akkor független, ha |X ∩ S_{i}| ≤ m_{i}, i ∈ T -re. A matroid metszet tétel szerint M-nek és N -nek létezik m(T)-méretű közös független halmaza, ha m(T) ≤ r_{N} (X) + r_{M}(S \ X) áll minden X ⊆ S-re. Nyilván feltehető, hogy X = S_{R} egy R ⊆ T -re, ahonnan r_{N} (X) + r_{M}(S \ X) = r_{N} (S_{R}) + r_{M}(S_{T \R}) = m(R) + ϱ(T \ R) ≥ m(R) + m(T \ R) = m(T), vagyis μ ≥ 2ν(T, ϱ).

7.2. Lovász minimax formulája

A lineáris 2-polimatroidok maximális matchingjének méretére vonatkozó formula Lovász [19] nagyszerű eredménye. Az eredeti tétel és bizonyítás csekély változata következik, hogy 6.22 segítségével kicsit többet mondhassunk, nevezetesen azt, hogy a polimatroid parity esetben a partíció választható T szerint.

7.3 Tétel A P (T, ϱ) lineáris polimatroidra létezik ϱ-nak egy olyan lineáris ϱ′ = ϱ_{K} projekciója és T -nek egy olyan π partíciója, amire

ν(T, ϱ) = ϱ(T) − ϱ′(T) + ∑_{T_{j}∈π} ⌊\frac{ϱ′(T_{j})}{2}⌋ = dim K + ∑_{T_{j}∈π} ⌊\frac{dim(l(T_{j})/(l(T_{j}) ∩ K))}{2}⌋ .

Biz.: Válasszuk K ≤ V-t egy maximális olyan altérnek, hogy a ϱ′ = ϱ_{K} projekcióra ν(T, ϱ) = ϱ(T) − ϱ′(T) + ν(T, ϱ′) álljon. Ezen belül legyen π egy olyan legfinomabb partíció, amire ν(T, ϱ′) = ∑_{T_{j}∈π} ν(T_{j}, ϱ′). Azt állítjuk, hogy ekkor minden T_{j} ∈ π-re

ν(T_{j}, ϱ′) = ⌊\frac{ϱ′(T_{j})}{2}⌋ ,

amiből következik az állítás.

Legyen ϱ′ ősmatroidja M = (S, r), ahol S = ⋃{S_{i}: i ∈ T_{j}}. Legyen továbbá E = {st: s ≠ t és létezik i ∈ T_{j}, hogy s, t ∈ S_{i}}. Alkalmazzuk P (T_{j}, ϱ′)-re 6.22-t! 1.’ esetén készen vagyunk. 2.’ nem állhat, mert akkor egy finomabb partíciót kaphatnánk π-ből. 3.’ esetén legyen v az l(i)/(l(i)∩K) altér egy általános helyzetű nemnulla vektora. Ilyen létezik, mivel dim(l(i)/(l(i)∩K)) = ϱ′({i}) ≥ 2. Legyen ϱ′′ = ϱ_{K+v}. v általános helyzete miatt könnyen ellenőrizhetően R ⊆ T -re

ϱ′′(R) = \{ \begin{matrix}ϱ′(R) − 1, & ha ϱ′(R + i) = ϱ′(R), \\ ϱ′(R) & különben. \end{matrix}

Innen következik, hogy egy tetszőleges t ∈ S_{i} elemre r_{M/{t}}( ˙⋃{S_{i}: i ∈ R}) = ϱ′′(R), R ⊆ T -re. Tegyük fel, hogy létezik egy olyan m matching P (T_{j}, ϱ′′)-ben, amire m(T_{j}) = 2ν(T_{j}, ϱ′). Ekkor 7.2 szerint M/{t}-ben is létezik egy olyan 2ν(T_{j}, ϱ′)-méretű M független halmaz, hogy minden h ∈ T_{j}-re |S_{h}∩M| páros. M nyilván M-ben is független, így 3.’ miatt r(M +t) = r(M), ahonnan r_{M/{t}}(M) = r(M +t)−r(t) = r(M)−1 < |M|−1, ellentmondva feltevésünknek. Vagyis ν(T_{j}, ϱ′′) ≤ ν(T_{j}, ϱ′)−1, így 6.14 szerint ν(T_{j}, ϱ′′) = ν(T_{j}, ϱ′)−1, ahonnan ν(T, ϱ_{K+v}) = ν(T, ϱ_{K})−1. Vagyis K+v ellentmond K maximalitásának.

4.’ esetén reprezentáljuk M-nek r rangfüggvényét az 51. oldalon leírt módon ϱ′-nek l′(i) := l(i)/(l(i)∩K) reprezentációja alapján. 7.1 szerint a dupla virág nemtriviális W = W_{1} ˙∪ … ˙∪W_{k} dupla körére dim ⋂\{l′(W −W_{i}): 1 ≤ i ≤ k\} > 0, vagyis létezik egy 0 ≠ v vektor, hogy r′ := r\overline{v} egy olyan 1projekciója r-nek, ami összenyomja W -t. 6.17 és 7.2 szerint ν(T_{j}, ϱ_{K+v}) = ν(S, r′, E) = ν(S, r, E)− −1 = ν(T_{j}, ϱ′) − 1, vagyis ν(T, ϱ_{K+v}) = ν(T, ϱ_{K}) − 1, azaz K + v ellentmond K maximalitásának.

Következik az eredeti alak:

7.4 Tétel [19] Ha az (A, p) lineáris 2-polimatroidnak l egy reprezentációja, akkor létezik egy olyan K ≤ V altér és A-nak egy olyan π partíciója, hogy ν(A, p) = dim K + ∑_{A_{j}∈π} ⌊\frac{dim(l(A_{j})/(l(A_{j})∩K))}{2}⌋ .

Nem ismert, hogy létezik-e minden (A, p) 2-polimatroidra p-nek olyan p′ projekciója és A-nak olyan π partíciója, amire 7.4 egyenlőséggel teljesül. Ha 7.4-et a 7.3 bizonyításában leírt módon tetszőleges 2-polimatroidokra akarnánk általánosítani, csak most 6.18 felhasználásával, akkor 3. esetén p′-nek

p′′(X) := \{ \begin{matrix}p′(X) − 1, & ha p′(X + e) = p′(X), \\ p′(X) & különben. \end{matrix}

1-projekciója megfelelő lenne, de 4. teljesülése esetén nem tudnánk garantálni 7.1 hiányában olyan 1-projekciót, ami összenyom egy nemtriviális X dupla kört. Vagyis ha igaz volna, hogy minden (A, p) 2-polimatroid minden nemtriviális ν-dupla virágához létezik p-nek egy olyan 1-projekciója, ami összenyomja a dupla körét, akkor ott is teljesülne a minimax formula. Nem tudjuk, hogy ez az állítás igaz-e, mindenesetre tetszőleges dupla körre nem az, mint azt Lovász megmutatta: a 44. oldalon leírt V_{8} Vamos-Higgs matroidra és E-re {a_{1}a_{2}, b_{1}b_{2}, c_{1}c_{2}} egy dupla kör, és könnyen ellenőrizhetően nem létezik őt összenyomó 1-projekció [20]. Sőt be lehet látni, hogy ha W egy nemtriviális ν-dupla virág dupla köre, akkor W nem része V_{8}-nak. Mivel (V_{8}, E_{V})-ben nem létezik ν-dupla virág, így ez nem ellenpélda a fenti állításra. Ha igaz is volna, hogy minden ν-dupla virág nemtriviális X dupla köréhez létezik őt összenyomó 1-projekció, akkor sem tudnánk egy ilyen projekciót hatékonyan megtalálni.

Algoritmus is létezik lineáris 2-polimatroidokra, feltéve hogy a 2-polimatroid reprezentált, nem csak reprezentálható. Először Lovász [18] írt le algoritmust, a jelenlegi legjobb Gabow és Stallmann O(p(A)^{2,5}|A|) idejű javítóutas algoritmusa [14]. Fujito [13] tetszőleges 2-polimatroidra adott egy 2/3approximációs algoritmust, Camerini és Maffioli [5] egy heurisztikus algoritmust adtak tetszőleges 2-polimatroidra, Camerini, Galbioli és Maffioli [4] pedig egy random pszeudo-polinomiális algoritmust adtak a lineáris esetre. A súlyozott esetről még nem született eredmény még a lineáris esetben sem, és a poliéderes leírás is várat magára.

Azért szükséges, hogy a 2-polimatroid függvény ne csak reprezentálható, hanem reprezentált is legyen, azaz adott legyen minden v ∈ A elemre l(v) egy bázisa, mivel algoritmikusan nem adható meg lineáris polimatroid függvény reprezentációja. Például lineáris matroid homomorf képe is lineáris, de a homomorf kép reprezentációja nem állítható elő az eredeti matroid reprezentációjából, többek között a transzverzális matroidokat sem tudjuk algoritmikusan reprezentálni. Ezen probléma kiküszöbölésére bemutatunk egy módszert, ami Iwata egy ötletének továbbfejlesztése. Legyen tehát M = (S, r) egy reprezentált lineáris matroid, és N az M homomorf képe az S = ˙⋃{S_{i}: i ∈ T } partíció szerint. Felhasználva azt, hogy M reprezentált, megmutatjuk, hogy ν(N , E) meghatározható tetszőleges E élhalmazra.

Duplázzuk meg T -t: T′, és legyen S′ = T ˙∪ T′ ˙∪ S. Az S′ alaphalmazon legyen M′ az M-nek és a T ˙∪T′ szabad matroidjának direkt összege, végül legyen E′ = E ∪ {ii′: i ∈ T } ∪ {i′s: s ∈ S_{i}, i′ ∈ T′}. M′ reprezentációja M-éből egyszerűen megkapható, és könnyű látni, hogy ν(N , E) + |T | = ν(M′, E′).

7.3. Egy struktúratétel

Vande Vate leír egy a 7.4-gyel kapcsolatos struktúratételt. A fejezet hátralévő részeire később nem lesz szükségünk. Ha V_{1}, V_{2} egy vektortér alterei, akkor V_{1}/V_{2}-vel jelöljük V_{1}/(V_{1} ∩ V_{2})-t.

Def.: Az (A, p) lineáris 2-polimatroidra és p-nek l reprezentációjára a (π, K) pár fedés, ha π partíciója A-nak, K ≤ V altér és ν(A, p) = dim K + ∑_{A_{j}∈π} ⌊\frac{dim(l(A_{j})/K)}{2}⌋ . A_{j} ∈ π páros/páratlan, ha

dim(l(A_{j})/K) páros/páratlan.

Def.: Ha M_{i} matching (A_{i}, p)-ben, akkor M_{i}

K-teljes matching, ha dim(l(M_{i})/K) = p(M_{i}) = dim(l(A_{i})/K),

K-hipomatching, ha dim(l(M_{i})/K) = p(M_{i}) = dim(l(A_{i})/K) − 1, és

K-hipermatching, ha dim(l(M_{i})/K) = p(M_{i}) − 1 = dim(l(A_{i})/K).

7.5 Tétel [31] Ha az (A, p) lineáris polimatroidnak (π, K) egy fedése, M ⊆ A maximális matching, és M_{i} = M ∩ A_{i}, akkor

1. minden páros A_{i}-re M_{i} K-teljes matching,

2. minden páratlan A_{i}-re M_{i} K-hipomatching, vagy K-hipermatching, és

3. pontosan dim K darab páratlan A_{i}-re lesz M_{i} K-hipermatching.

Biz.: Legyen a_{i}^{j} az M_{i} azon x elemeinek száma, amelyekre dim(l(x) ∩ K) = j , j = 0, 1, 2, továbbá a^{j} := ∑_{A_{i}∈π} a_{i}^{j}. Ekkor |M_{i}| = a_{i}^{0} + a_{i}^{1} + a_{i}^{2}. Nyilván

a^{1} + 2a^{2} ≤ dim K,

és 2a_{i}^{0} + a_{i}^{1} ≤ dim(l(A_{i})/K), ahonnan

a_{i}^{0} + ⌊\frac{a_{i}^{1}}{2} ⌋ ≤ ⌊\frac{dim(l(A_{i})/K)}{2}⌋ .

Összegezve:

a^{0} + a^{1} + ∑_{A_{i}∈π} ⌊\frac{a_{i}^{1}}{2} ⌋ + 2a^{2} ≤ dim K + ∑_{A_{i}∈π} ⌊\frac{dim(l(A_{i})/K)}{2}⌋ = |M| = a^{0} + a^{1} + a^{2},

vagyis a_{i}^{1} ≤ 1, a^{2} = 0, a^{1} = a^{1} + 2a^{2} = dim K, valamint a_{i}^{0} + ⌊\frac{a_{i}^{1}}{2} ⌋ = ⌊\frac{dim(l(A_{i})/K)}{2}⌋.

Ha A_{i} páros, akkor a_{i}^{1} = 0, így a_{i}^{0} = |M_{i}|, azaz dim(l(A_{i})/K) = 2a_{i}^{0} = 2|M_{i}| = p(M_{i}), és a_{i}^{1} = a_{i}^{2} = 0 miatt dim(l(M_{i})/K) = p(M_{i}).

Ha A_{i} páratlan, akkor a_{i}^{1} = 0 esetén M_{i} K-hipomatching, mivel dim(l(M_{i})/K) = p(M_{i}) és dim(l(A_{i})/K) = 2a_{i}^{0} + 1 = 2|M_{i}| + 1 = p(M_{i}) + 1. a_{i}^{1} = 1 esetén pedig M_{i} K-hipermatching: dim(l(M_{i})/K) = p(M_{i}) − 1 és dim(l(A_{i})/K) = 2a_{i}^{0} + 1 = 2|M_{i}| − 1 = p(M_{i}) − 1.

Végül a^{1} = dim K miatt pontosan dim K partícióosztályra lesz M_{i} K-hipermatching.

Grafikus polimatroidnál milyen felső becslést kapunk ν(G)-re 6.16-ból a π és K következő kézenfekvő választásával? K := {v ∈ ℝ^{V} : v_{i} = 0, ha i ∉ T }, ahol T ⊂ V. Ha G − T komponenseinek csúcshalmazai C_{1}, … C_{k}, akkor legyen π = {E_{1}, … E_{k}, i(T)}, ahol E_{i} = e(C_{i}). 6.16 szerint

ν(G) ≤ |V | − |V − T | + ∑_{i=1}^{k} ⌊\frac{|V (E_{i}) \ T |}{2}⌋ = |T | + ∑_{i=1}^{k} ⌊\frac{|C_{i}|}{2}⌋ ,

ami nyilvánvaló. Ha T egy gát, akkor könnyen láthatóan (π, K) fedés, és 7.5 a gráf maximális párosításainak elhelyezkedését írja le.

Def.: A lineáris (A, p) 2-polimatroid magja ker(A, p) := ⋂{l(M): M maximális matching}. (A, p) primitív, ha ker(A, p) = {0}.

7.6 Köv. [31] Minden (π, K) fedésre K ≤ ker(A, p) és minden páros A_{i}-re l(A_{i}) ≤ ker(A, p). Ha (A, p) primitív, akkor minden fedésben K a triviális altér és nincs nemnulla rangú páros osztály π-ben.

7.7 Állítás Grafikus polimatroid pontosan akkor primitív, ha a gráf faktorkritikus.

8. Teljesség

8.1. Teljes matroidok

7.3 bizonyítása alapján könnyű meggondolni, hogy az 53. oldal matroid parityre vonatkozó megjegyzése az általános matroid parityre is vonatkozik. Nevezetesen ahhoz, hogy (S, r, E)-re mindig létezzen r-nek egy olyan r′ projekciója és E-nek egy olyan π partíciója, amire ν(S, r, E) = r(⋃ E) − r′(⋃ E)+∑_{E_{j}∈π}⌊r′(⋃ E_{j})/2⌋ álljon, elegendő az, hogy r-nek minden r′ projekciójára és (S, r′, E)-nek minden W nemtriviális dupla köréhez létezzen r′-nek egy olyan r′′ 1-projekciója, ami összenyomja W -t. Nagyjából ezen matroidokat hívjuk „teljes”-nek (angolul „full”). Lovász észrevette, hogy ez a tulajdonság igaz teljes gráfok körmatroidjára és a transzverzális matroidokra is. Dress és Lovász [8] az algebrai matroidokra mutatták meg ezt a tulajdonságot, általánosítva Ingleton és Main lemmáját (1975). A teljesség hálóelméleti megközelítéséről ír Björner és Lovász [1]. A fejezetben ennek az elméletét tárgyaljuk.

Def.: Ha az S nem feltétlenül véges halmaz részhalmazain adott egy r: P(S) → ℕ 1-polimatroid függvény, akkor az M = (S, r) pár egy végtelen matroid. I ⊆ S független M-ben, ha r(I) = |I|.

Végtelen matroidokra lényegében ugyanazon állítások érvényesek, mint a végesekre, mivel minden független I halmaz véges, hiszen |I| = r(I) ≤ r(S) ∈ ℕ. Ezentúl matroid alatt végtelen matroidot értünk.

Def.: Az M = (S, r) matroid teljes, ha minden Z ⊆ S részhalmazra M/Z-nek minden olyan C_{1}, C_{2} körére, amelyekre C_{1} ∩C_{2} ≠ ∅ és r_{M/Z}(C_{1} ∪C_{2}) = |C_{1} ∪C_{2}|−2, létezik egy olyan c ∈ S elem, ami nem hurok M/Z-ben, és amire r_{M/Z}(C) = r_{M/Z}(C + c) az M/Z-nek minden C ⊆ C_{1} ∪ C_{2} körére.

8.1 Tétel [27] Ha M = (S, r) teljes és E egy véges élhalmaz S-en, akkor (S, r, E)-nek minden W ⊆ E nemtriviális dupla körére létezik egy olyan nemhurok w ∈ S elem, amire w ∈ \overline{⋃(W − W_{h})}, 1 ≤ h ≤ k-ra, ha W felbontása W_{1} ˙∪ … ˙∪W_{k}.

Biz.: Tegyük fel, hogy e, f ∈ W -re és w ∈ S-re w ∈ e ∩ f. W nemtriviális, így W ≠ {e, f}, vagyis {e, f} = W − W_{i} egy 1 ≤ i ≤ k-ra. Vagyis minden i-re w ∈ ⋃(W − W_{i}).

Egyébként W élei diszjunktak. 1 ≤ i ≤ k-ra r(⋃(W − W_{i})) = | ⋃(W − W_{i})| − 1, vagyis létezik egy C_{i} ⊆ ⋃(W − W_{i}) kör M-ben. i ≠ j-re C_{i} ≠ C_{j}, mivel különben C_{i} ⊆ ⋃(W − W_{i} − W_{j}), de W −W_{i}−W_{j} matching és így ⋃(W −W_{i}−W_{j}) független M-ben. Vagyis r(C_{i}∪C_{j}) = |C_{i}∪C_{j}|−2, mivel r(C_{i}∪C_{j}) ≤ |C_{i}∪C_{j}|−3 nem lehet r(⋃ W) ≤ | ⋃ W |−2 miatt. Ugyanezért 1 ≤ h ≤ k-ra C_{h} ⊆ C_{i}∪C_{j}, különben r(C_{h}∪C_{i}∪C_{j}) ≤ |C_{h}∪C_{i}∪C_{j}|−3 állna. Innen az is következik, hogy C_{i}∩C_{j} ≠ ∅. Vagyis M teljessége szerint létezik egy olyan nemhurok w ∈ S elem, hogy w ∈ \overline{C_{h}} ⊆ \overline{⋃(W − W_{h})}, 1 ≤ h ≤ kra.

Kapjuk az általánosabb Lovász-formulát:

8.2 Tétel A teljes M = (S, r) matroidra létezik egy olyan Z ⊆ S halmaz és E-nek egy olyan π partíciója, hogy

ν(M, E) = r(∪E) − r_{M/Z}(∪E) + ∑_{E_{j}∈π} ⌊\frac{r_{M/Z}(⋃ E_{j})}{2}⌋ .

Biz.: 7.3 bizonyítását követjük, 6.18-at használjuk. Válasszuk Z-t a legnagyobb olyan halmaznak, amire r′ := r_{M/Z}-vel ν(S, r, E) = r(⋃ E) − r′(⋃ E) + ν(S, r′, E). Ezen belül legyen π egy olyan legfinomabb partíció, amire ν(S, r′, E) = ∑_{E_{j}∈π} ν(S, r′, E_{j}). Belátjuk, hogy minden E_{j} ∈ π-re ν(S, r′, E_{j}) = ⌊r′(⋃ E_{j})/2⌋, amiből következik az állítás. Ha st = e ∈ E_{j}-re r′({s, t}) ≤ 1, akkor E_{j} = {e}, különben kihagyhatnánk e-t E_{j}-ből egy finomabb partíciót kapva.

Legyen p(F) = r′(⋃ F), F ⊆ E-re, és alkalmazzuk (E_{j}, p)-re 6.18-at! Ugyanúgy, mint 7.3 bizonyításánál, 1. esetén készen vagyunk, 2. nem állhat, mert egy finomabb partíciót kaphatnánk π-ből, 3. esetén létezik egy st = e ∈ E él, hogy (S, r′, E_{j})-nek minden F maximális matchingjére \{s, t\} ⊆ \overline{⋃ F}. Ekkor (S, r, E)-nek is minden F′ maximális matchingjére \{s, t\} ⊆ \overline{⋃ F′}, mivel F′ ∩ E_{j} maximális matching (S, r′, E_{j})-ben. Ekkor azonban Z + t ellentmond Z választásának, mivel r′′ := r_{M/{t}}-vel r′′(⋃ E) < r′(⋃ E) és így 6.14 miatt ν(S, r′′, E) = ν(S, r′, E) − 1.

Teljes matroid összehúzottja is teljes, ezért 4. esetén ha W = W_{1} ˙∪ … ˙∪W_{k} egy nemtriviális dupla kör (S, r′, E_{j})-ben, akkor 8.1 szerint létezik egy olyan w ∈ S elem, amire r′(w) = 1 és r′(⋃(W − W_{h})) = r′(⋃(W −W_{h})+w), 1 ≤ h ≤ k-ra. Ekkor a Z +w halmaz ellentmond Z választásának, mivel 6.14 miatt ν(S, r′′, E) = ν(S, r′, E)−1.

8.2. Teljessé tehető matroidok

Def.: Az M = (S, r) matroid teljessé tehető, ha létezik egy olyan teljes M̃ = (S̃, r̃) matroid, amire S ⊆ S̃ és r̃|_{P(S)} = r.

8.3 Köv. A teljessé tehető M = (S, r) matroidra létezik r-nek egy olyan r′ projekciója és E-nek egy olyan π partíciója, hogy

ν(S, r, E) = r(∪E) − r′(∪E) + ∑_{E_{j}∈π} ⌊\frac{r′(⋃ E_{j})}{2}⌋ .

Sőt, ha r-re nézve S az S_{1}, …, S_{k} halmazok direkt összege, akkor az r′ projekció választható olyannak, hogy S az r′-re nézve is az S_{1}, …, S_{k} halmazok direkt összege legyen.

Biz.: Rögtön az általánosabb második állítást igazoljuk.

Legyen 1 ≤ i ≤ k-ra a teljes M̃_{i} = (S̃_{i}, r̃_{i}) matroidra S_{i} ⊆ S̃_{i} és r̃_{i}|_{P(S_{i})} = r. Ilyen matroid létezik, például M̃. Feltehetjük, hogy az S̃_{i}-ok diszjunktak, és legyen S_{0} = ˙⋃{S̃_{i}: 1 ≤ i ≤ k}, r_{0}(X_{1} ˙∪ … ˙∪X_{k}) = ∑_{i=1}^{k} r̃_{i}(X_{i}), X_{i} ⊆ S̃_{i}-ra. M_{0} = (S_{0}, r_{0}) teljes, mivel S_{0} az r_{0}-ra nézve az S̃_{1}, …, S̃_{k} halmazok direkt összege, vagyis r_{M_{0}/Z} szerint is az Z ⊆ S_{0}-ra. Minden kör összefüggő, ezért ha M_{0}/Z-nek C_{1}, C_{2} olyan körei, amelyekre C_{1} ∩ C_{2} ≠ ∅ és r_{M_{0}/Z}(C_{1} ∪ C_{2}) = |C_{1} ∪ C_{2}| − 2, akkor C_{1} ∪ C_{2} ⊆ S̃_{i} egy 1 ≤ i ≤ k-ra, vagyis M̃_{i} teljessége miatt létezik egy olyan c ∈ S_{0} elem, amire r_{M_{0}/Z}(c) = 1 és r_{M_{0}/Z}(C) = r_{M/Z}(C + c) az M_{0}/Z-nek minden C ⊆ C_{1} ∪ C_{2} körére.

8.2 szerint ezért létezik egy olyan Z ⊆ S_{0} halmaz és E-nek egy olyan π partíciója, hogy

ν(S, r, E) = ν(S_{0}, r_{0}, E) = r_{0}(∪E) − r_{M_{0}/Z}(∪E) + ∑_{E_{j}∈π} ⌊\frac{r_{M_{0}/Z}(⋃ E_{j})}{2}⌋ ,

és nyilván r_{M_{0}/Z}|_{P(S)} az r-nek egy olyan projekciója, amire nézve S az S_{1}, …, S_{k} halmazok direkt összege.

Figyeljük meg, hogy a következmény második állítása egy matchoidokról szóló formulát eredményez.

Egyelőre nem ismert, hogy melyik fogalom hivatott betölteni azt a szerepet, ami behatárolja a P-beli matroid parity problémákat. Az egyik jelölt az, hogy a matroid teljessé tehető. Lovász szerint lehet, hogy ez a fogalom a V_{8}-minor mentesség, a 44. oldalon leírt V_{8} Vamos-Higgs matroidra. V_{8} nem tehető teljessé. Mindenesetre hasznos lenne egy struktúratétel a V_{8}-mentes matroidokra.

Könnyű meggondolni, hogy teljes matroid összehúzottja teljes, teljessé tehető matroid minorja is teljessé tehető, továbbá hogy teljes matroidok direkt összege teljes és teljessé tehető matroidok direkt összege is teljessé tehető, mint azt 8.3 bizonyításában is láttuk.

Lovász eredményei alapján mutatunk néhány teljessé tehető matroidosztályt.

8.3. Lineáris matroidok

7.1-ben valójában azt mutattuk meg, hogy a lineáris matroidok teljessé tehetőek. Ha a lineáris matroidot a V véges dimenziós vektortérben reprezentáltuk, akkor a matroid teljes bővítése például (V, dim). A lineáris matroidokat fontosságukra való tekintettel tárgyaltuk külön.

Részben az eddigiek összefoglalásaként leírunk egy tételt a lineáris általános matroid parity problémáról.

8.4 Tétel Ha az M = (S, r) matroid lineáris, E pedig egy olyan élhalmaz S-en, amire (S, E) egy egyszerű irányítatlan gráf, akkor létezik egy olyan r′ lineáris projekciója r-nek és E-nek egy olyan π partíciója, hogy

ν(S, r, E) = r(∪E) − r′(∪E) + ∑_{E_{j}∈π} ⌊\frac{r′(⋃ E_{j})}{2}⌋ .

Ha r-re nézve S az S_{1}, …, S_{k} halmazok direkt összege, akkor itt az r′ lineáris projekció választható olyannak, hogy S az r′-re nézve is az S_{1}, …, S_{k} halmazok direkt összege legyen.

Ha S-nek létezik egy olyan S = ˙⋃{S_{i}: i ∈ T } partíciója, hogy E = {st: s ≠ t és létezik i ∈ T, hogy s, t ∈ S_{i}}, akkor a ϱ(R) := r(⋃{S_{i}: i ∈ R}), R ⊆ T lineáris polimatroid függvénynek létezik egy olyan lineáris ϱ′ projekciója és T -nek egy olyan π_{T} partíciója, hogy

ν(S, r, E) = ϱ(T) − ϱ′(T) + ∑_{T_{j}∈π_{T}} ⌊\frac{ϱ′(T_{j})}{2}⌋ .

Biz.: Az első két állítás 8.3 következménye, ugyanis világos, hogy az ottani r′ projekció a jelen esetben lineáris.

Ha S-nek létezik egy olyan S = ˙⋃{S_{i}: i ∈ T } partíciója, hogy E = {st: s ≠ t és létezik i ∈ T, hogy s, t ∈ S_{i}}, akkor a ϱ polimatroid függvény lineáris, így 7.3 miatt létezik egy olyan lineáris projekciója és T -nek egy olyan π_{T} partíciója, hogy

ν(T, ϱ) = ϱ(T) − ϱ′(T) + ∑_{T_{j}∈π_{T}} ⌊\frac{ϱ′(T_{j})}{2}⌋ ,

és 7.2 szerint ν(S, r, E) = ν(T, ϱ).

A lineáris matchoid problémára, és így a lineáris speciális k-matroid metszet problémára a következő tételt kapjuk. A tételt hasonló alakban Fleiner Tamás sejtette.

8.5 Köv. Adott a G = (V, E) gráf minden v pontjának csillagán egy r_{v} rangfüggvényű lineáris M_{v} matroid. Ekkor minden v csúcsra létezik r_{v}-nek egy olyan r′_{v} lineáris projekciója és E-nek egy olyan π partíciója, hogy a maximális matchoid mérete

∑_{v∈V} r_{v}(E) − ∑_{v∈V} r′_{v}(E) + ∑_{E_{j}∈π} ⌊\frac{∑_{v∈V} r′_{v}(E_{j})}{2}⌋ .

8.4. Algebrai matroidok

Belátjuk, hogy az algebrai matroidok teljessé tehetőek.

Def.: Legyen K test és L a K-nek egy testbővítése. M := {I ⊆ L: I algebrailag független K felett}, az L algebrai matroidja K felett. S ⊆ L-re M\(L − S)-et algebrai matroidnak hívjuk.

Ismert, hogy valóban egy matroidot definiáltunk:

8.6 Állítás Ha K test és L egy bővítése, akkor {I ⊆ L: I algebrailag független K felett} egy matroid.

A 0-karakterisztikájú testek feletti algebrai matroidok lineárisak, de más karakterisztikánál nem feltétlenül. Tényleg megadtunk új teljessé tehető matroidokat, mivel:

8.7 Tétel [8] Az algebrai matroidok teljessé tehetőek.

Biz.: Elég belátni, hogy L-nek K feletti M algebrai matroidja teljes. Legyenek C_{1}, C_{2} az M-nek olyan körei, amelyekre C_{1} ∩ C_{2} ≠ ∅ és r(C_{1} ∪ C_{2}) = |C_{1} ∪ C_{2}| − 2 az M matroid r rangfüggényével. Belátjuk, hogy egy α ∈ span(K) elemre α ∈ span(C) minden C ⊆ C_{1} ∪ C_{2} körre.

Legyen D = C_{1} \C_{2}. D egy kör M/C_{2}-ben, mivel egyrészt D függő M/C_{2}-ben, másrészt minden valódi részhalmaza független, amihez elég megmutatnunk, hogy minden C ⊆ C_{1} ∪ C_{2}, C ≠ C_{2} kör tartalmazza D-t. Tegyük fel, hogy létezik egy s ∈ D \ C elem. C_{1} metszi D-t, ezért létezik egy t ∈ C_{2} \ C elem, amire C ⊆ (C_{1} ∪ C_{2}) − s − t. Azonban most (C_{1} ∪ C_{2}) − s − t feszíti C_{1} ∪ C_{2}-t és r(C_{1} ∪ C_{2}) = |C_{1} ∪ C_{2}| − 2, ahonnan (C_{1} ∪ C_{2}) − s − t független, ami nem lehet, mert tartalmazza a C kört.

Legyen D = {s_{1}, …, s_{n}}. Mivel D kör M/C_{2}-ben, létezik egy p ∈ span(C_{2})[x_{1}, …, x_{n}] irreducibilis polinom, amire p(s_{1}, …, s_{n}) = 0. Válasszuk p-t olyannak, hogy legalább egy együtthatója p-nek 1 legyen. D független M-ben, ezért p legalább egy együtthatója nincs span(K)-ban, legyen ez α. Ha tetszőleges C ⊆ C_{1} ∪ C_{2} körre megmutatjuk, hogy p ∈ span(C)[x_{1}, …, x_{n}], akkor készen vagyunk, hiszen következik, hogy α ∈ span(C).

Legyen a C ≠ C_{2} körre C ⊆ C_{1} ∪ C_{2}. Könnyű látni, hogy D kör M/(C ∩ C_{2})-ben is, így létezik egy q ∈ span(C ∩C_{2})[x_{1}, …, x_{n}] irreducibilis polinom, amire q(s_{1}, …, s_{n}) = 0. span(C ∩C_{2}) algebrailag zárt span(C_{2})-ben, ezért q irreducibilis span(C_{2})[x_{1}, …, x_{n}]-ben is egy algebrai tétel szerint. Szintén algebrai tétel, hogy ekkor p és q irreducibilis span(C_{2})(x_{1}, …, x_{n−1})[x_{n}] felett is. Ezért p(s_{1}, …, s_{n}) = q(s_{1}, …, s_{n}) = 0 miatt p a q-nak többszöröse span(C_{2})(x_{1}, …, x_{n−1})-ben, vagyis léteznek r, s ∈ span(C_{2})[x_{1}, …, x_{n−1}] polinomok, hogy rp = sq. Az egyértelmű faktorizációs tétel miatt p = λq, λ ∈ span(C_{2})-re. p-nek valamelyik együtthatója 1, így λ ∈ span(C ∩ C_{2}). Vagyis p ∈ span(C ∩ C_{2})[x_{1}, …, x_{n}].

A bizonyítás [27]-ből származik. 8.2 szerint tehát:

8.8 Tétel [8] Ha K test, L egy bővítése, M az L algebrai matroidja K felett, S ⊆ L-re (S, r) = M\(L − S) és E véges sok S-beli pár, akkor létezik K-nak egy olyan F ⊆ L bővítése és E-nek egy olyan π partíciója, amire

ν(S, r, E) = tr_{K}(F) + ∑_{E_{j}∈π} ⌊\frac{tr_{F} (⋃ E_{j})}{2}⌋ ,

ahol tr_{K}(E) jelöli E-nek a K test feletti transzcendencia fokát.

8.3-ból pedig

8.9 Tétel Ha az előző tétel feltételei mellett S az r-re nézve az S_{1}, …, S_{k} halmazok direkt öszege, akkor F választható olyannak, hogy tr_{F} (S) = tr_{F} (S_{1})+…+tr_{F} (S_{k}) álljon.

8.5. A teljes gráf körmatroidja és a kaktuszok

8.10 Tétel A K_{n} gráf körmatroidja teljes.

Biz.: Mivel a körmatroid minden összehúzottja előáll egy párhuzamos és hurokéleket is tartalmazó teljes gráf körmatroidjaként, elég belátni, hogy ha egy ilyen gráfban adott két közös élt használó olyan C_{1} és C_{2} kör, hogy C_{1} ∪ C_{2}-ből elvehető két él úgy, hogy egy fát kapjunk, akkor létezik egy olyan él, amelynek végpontjain C_{1} ∪ C_{2} minden köre átmegy. Ez pedig nyilvánvaló.

Nyilván azon matroidok is teljesek, amelyeket egy teljes gráf körmatroidjából kaphatunk párhuzamosképzéssel és hurokél hozzáadással. 8.2-ből ezért kapjuk Szigeti Zoltán tételét:

8.11 Tétel [30] Legyen G = (V, E) egy gráf és P az élpárok egy halmaza. Ekkor a legnagyobb méretű olyan F ⊆ E erdő, ami P-beli diszjunkt párokból áll

min (2|V | − 2|Q| + 2 ∑_{i=1}^{k} ⌊\frac{δ_{Q}(H_{i})}{2}⌋)  (1)

élből áll, ahol a minimum V -nek nemüres halmazokra való Q partícióira, és E-nek olyan H_{1}, …, H_{k} részhalmazain fut, hogy minden P-beli pár része egy H_{i}-nek. δ_{Q}(H_{i}) jelöli az olyan H_{i}-beli élek maximális számát, amelyek egy erdőt alkotnak abban a gráfban, amit Q osztályainak egy pontra való összehúzásával kapunk.

Biz.: Világos, hogy egy ilyen erdő legfeljebb ennyi élből áll.

A V csúcshalmaz teljes gráfjának élhalmaza legyen E′, a körmatroidjának rangfüggvénye r. Ekkor a legnagyobb méretű erdő nyilván 2ν(E′, r, P) élt tartalmaz. A 8.2 szerint létező Z ⊆ E′ halmaz és P-nek π partíciója választható olyanak, hogy Z zárt legyen. Ekkor létezik egy Q partíciója V -nek, hogy Z pontosan azon élekből áll, amelyek teljes egészében Q egy osztályában futnak. Ha most P_{i} ∈ π-re H_{i} a P_{i}-beli párok uniója, akkor

2ν(E′, r, P) ≥ 2|V | − 2|Q| + 2 ∑_{P_{j}∈π} ⌊\frac{δ_{Q}(H_{j})}{2}⌋ .

Következményként bebizonyítjuk Lovász tételét egy 3-uniform hipergráf maximális erdőjének méretéről, avagy egy gráf maximális háromszög-kaktuszának méretéről.

Def.: Egy hipergráf 3-uniform, ha minden hiperéle 3 csúcsból áll. Egy (V, E) hipergráf erdő, ha nem léteznek olyan v_{1}, …, v_{k} = v_{0} ∈ V csúcsok, hogy 0 ≤ i ≤ k − 1-re létezik egy olyan e ∈ E él, amire v_{i}, v_{i+1} ∈ e.

k-uniform hipergráfokban a maximális erdő méretének meghatározása k = 2-re nyilván polinomiális, ezen visszavezetés szerint k = 3-ra is az, de k ≥ 4-re már NP-teljes.

Def.: Egy (V, E) gráf egy F ⊆ E élhalmaza háromszög-kaktusz, ha minden összefüggő blokkja egy háromszög.

8.12 Tétel [20] A H = (V, E) 3-uniform hipergráf maximális erdője

min (|V | − |Q| + ∑_{E_{i}∈π} ⌊\frac{φ_{Q}(E_{i}) − 1}{2}⌋)  (2)

élből áll, ahol a minimum V -nek nemüres halmazokra való Q partícióira, és E-nek π partícióira fut. φ_{Q}(E_{i}) jelöli a Q azon osztályainak számát, amelyeket E_{i} metsz.

Biz.: 8.11-et használjuk. Minden e ∈ E élben válasszunk ki két gráfélt, e_{1}-et és e_{2}-t, ezek fogják alkotni a G = (V, E) gráf éleit, P := {{e_{1}, e_{2}}: e ∈ E}. Most a legnagyobb méretű olyan F ⊆ E erdő, ami P-beli diszjunkt párokból áll, éppen kétszer annyi élt tartalmaz, mint H maximális méretű erdője.

Világos, hogy (1) legfeljebb akkora, mint (2) kétszerese, hiszen δ_{Q}({{e_{1}, e_{2}}: e ∈ E_{i}}) ≤ φ_{Q}(E_{i})− −1. Másrészt, ha 8.11-ben a minimum a Q partícióin és E-nek H_{1}, …, H_{k} részhalmazain vétetik fel, akkor létezik E-nek olyan E_{1} ˙∪ … ˙∪E_{k} partíciója, hogy Q-ra és a H′_{i} := {{e_{1}e_{2}}: e ∈ E_{i}} részhalmazokra is felvétetik a minimum. 1 ≤ i ≤ k-ra legyenek az E_{i,j}-k az E_{i} összefüggő komponenseinek élhalmazai. Ekkor δ_{Q}(H′_{i}) = ∑_{j}(φ_{Q}(E_{i,j}) − 1), vagyis Q és az E_{i,j} partíció bizonyítja, hogy (2) kétszerese legfeljebb annyi, mint (1), ami bizonyítja a tételt.

8.11-re Szigeti Zoltán [30] egy kombinatorikus bizonyítást adott, ami nem használja Lovász matroid parity elméletét, csak a matroid metszet tételt. Szigeti először a 8.12 Lovász-tételt igazolta kombinatorikusan [29], majd észrevette, hogy módszere 8.11-re is működik.

Lovász megemlíti, hogy a transzverzális matroidok is teljesek [1]. Csak a definíciót írjuk le. Legyen S egy véges halmaz. Minden R ⊆ S-re legyen T_{R} egy megszámlálhatóan végtelen számosságú halmaz, T_{R} pontjait kössük össze R pontjaival. T := ˙⋃{T_{R}: R ⊆ S}. Ekkor a kapott páros gráf T szerinti transzverzális matroidja teljes. T′ ⊆ T tehát akkor független, ha létezik egy T′-t fedő párosítás.

9. A Mader-tétel

9.1. A lineáris reprezentáció

Def.: Adott egy G = (V, E) gráf és a csúcsoknak egy S = {S_{1}, … S_{k}}, S_{i} ⊂ V részpartíciója. S := ⋃_{i} S_{i}. A P út S-út, ha két végpontja az S_{i} illetve S_{j} halmazokban van i ≠ j-re, és két végpontján kívül más pontja nincs S-ben. π(G, S) a teljesen pontdiszjunkt S-utak maximális száma.

9.1 Tétel [23]

π(G, S) = min \{|U_{0}| + ∑_{i=1}^{m} ⌊\frac{|B_{i}|}{2}⌋\} ,

ahol a minimum V -nek olyan U_{0}, U_{1}, …, U_{m} partícióin fut, ahol minden S-út átmegy U_{0}-on vagy használ egy U_{i} által feszített élt. B_{i} ⊆ U_{i} azon csúcsok halmaza, amelyek vagy S-ben vannak, vagy van U_{0} ∪ U_{i}-n kívüli szomszédjuk.

A tétel Mader [23] eredménye. A lineáris matroid parityre való redukciót Lovász [20] dolgozta ki, ennek a korrigált változatát tárgyaljuk a fejezetben. Lovász visszavezetésének következménye az is, hogy π(G, S) polinomiális időben meghatározható. A tétel eddigi legrövidebb bizonyítása Schrijvertől származik [26].

Biz.: [20] Feltehetjük, hogy G összefüggő és S_{i} nem feszít élt 1 ≤ i ≤ k-ra, ugyanis egy S_{i} feszítette élt törölve a gráfból sem a pontdiszjunkt S-utak maximális száma, sem a minimum a jobb oldalon nem változik.

A tétel max ≤ min iránya világos: ha egy S-út nem megy át egy U_{0}-beli ponton, akkor a B_{i}-kbe legalább kettőt számít.

A másik irány bizonyításához először konstruálunk egy 2-polimatroidot. Schrijver [27] megfogalmazását követjük. Az uv = e ∈ E élre

L_{e} := {x ∈ (ℝ^{2})^{V} : x_{w} = 0, ha w ≠ u, v és x_{u} + x_{v} = 0}.

Nyilván dim L_{e} = 2. Válasszunk különböző l_{1}, … l_{k} egyeneseket ℝ^{2}-ből, és legyen

K = {x ∈ (ℝ^{2})^{V} : x_{w} ∈ l_{i}, ha w ∈ S_{i} és x_{w} = 0, ha w ∉ S}.

dim K = |S|. Végül l(e) := L_{e}/K, ezzel megadtuk az (E, p) 2-polimatroid lineáris reprezentációját, dim l(e) ≤ 2. F ⊆ E-re p(F) = dim ∑_{e∈F} l(e).

9.2 Lemma Minden F ⊆ E élhalmazra

p(F) = ∑{f(Z_{i}): Z_{i} a (V, F) egy komponensének csúcshalmaza},

ahol egy Z ⊆ V csúcshalmazra

f(Z) = \{ \begin{matrix}2|Z| − 2, & ha Z ∩ S = ∅, \\ 2|Z| − |Z ∩ S| − 1, & ha Z egy S_{i}-be metsz, és \\ 2|Z| − |Z ∩ S|, & ha Z legalább két S_{i}-be metsz. \end{matrix}

Biz.: Világos, hogy p(F) = ∑{p(F_{i}): F_{i} a (V, F) egy komponensének élhalmaza}. Elég tehát azt belátni, hogy p(F) = f(Z), ha F élei összefüggő gráfot feszítenek a Z csúcshalmazzal. L := ∑(L_{e}: e ∈ F), ezzel

p(F) = dim l(F) = dim(L/(L ∩ K)) = dim L − dim(L ∩ K).

L-ben azon (ℝ^{2})^{V} -beli V −Z-n nulla vektorok vannak, amelyek összege Z-n 0, ezért dim L = 2(|Z|− 1). Ha Z nem metszi S-et, akkor persze dim(L ∩ K) = 0, egyébként legyen |Z ∩ S_{i}| = a_{i}. Ha Z csak egy S_{i}-be metsz, akkor dim(L ∩ K) = a_{i} − 1 = |Z ∩ S| − 1, ha pedig b darabba, ahol b ≥ 2, akkor dim(L ∩ K) = b − 2 + ∑_{a_{i}>0}(a_{i} − 1) = ∑ a_{i} − 2 = |Z ∩ S| − 2.

9.3 Lemma F ⊆ E pontosan akkor matching, ha F erdő, minden komponensének S-sel legfeljebb két közös pontja van, és minden S_{i}-vel legfeljebb egy.

Biz.: Az előző állítás szerint

p(F) = ∑{f(Z_{i}): (Z_{i}, F_{i}) a (V, F) egy komponense} ≤

≤ ∑{2|Z_{i}| − 2 : … } ≤ ∑{2|F_{i}| : … } = 2|F |.

Egyenlőség pontosan akkor van, ha minden komponens fa, és ha f(Z_{i}) = 2|Z_{i}| − 2 minden i-re. Ez utóbbi pontosan akkor áll, ha Z ∩S = ∅, vagy amennyiben Z egy S_{i}-be metsz, akkor csak egy ponttal, és amennyiben legalább két S_{i}-be metsz, akkor pontosan két ponttal.

9.4 Lemma π(G, S) = ν(E, p) − |V | + |S|.

Biz.: Legyen π = π(G, S) és ν = ν(E, p). Legyen F′ maximálisan sok pontdiszjunkt S-út éleinek halmaza. Egészítsük ki F′-t egy F erdővé úgy, hogy (V, F) minden komponense vagy egy S-utat tartalmaz, és akkor nem tartalmaz más S-beli pontot, vagy egyetlen pontja van S-ből. 9.3 szerint F matching és nyilván π + |V | − |S| éle van, ahonnan ν ≥ π + |V | − |S|. Vissza, legyen F egy ν-méretű matching. Legyen t az F erdő azon komponenseinek száma, amelyek S-et két pontban metszik. Könnyen látszik, hogy |F | ≤ t+|V |−|S|, és persze t ≤ π 9.3 miatt.

Bár a konstruált polimatroid lineáris, Lovász mégsem a 7.4 minimax-formulából vezette le a Mader-tétel minimax-formuláját, ugyanis a kettő között igen bonyolult a kapcsolat. Ehelyett π meghatározását visszavezetjük kisebb 2-polimatroidok ν-jének meghatározására, és így a Madertételt indukcióval be tudjuk bizonyítani.

9.2. A nemtriviális dupla körök feltérképezése

A Mader-tétel levezetéséhez sajnos meg kell határoznunk (E, p) összes nemtriviális dupla körét.

9.5 Lemma (E, p)-ben minden nemtriviális dupla kör az (W1) - (W9) típus valamelyike, jelöljük a dupla kör felbontását is. Az egyszerűség kedvéért az S_{1}, …, S_{4} halmazok különböző, tetszőleges S_{i}-ket jelölnek és mindegyik esetben a Q_{i} utaknak nincs közös belső pontjuk S-sel.

(W1) 3 nyíltan pontdiszjunkt Q_{i} út, amelyek egy b nem S-beli pontot kötnek össze 3 különböző S_{1}-beli ponttal, W_{i} = Q_{i}.

(W2) 3 nyíltan pontdiszjunkt Q_{i} út, amelyek egy a ∈ S_{1} pontot kötnek össze 3 különböző S_{2}-beli ponttal, W_{i} = Q_{i}.

(W3) 4 nyíltan pontdiszjunkt Q_{i} út úgy, hogy Q_{1} és Q_{2} egy b nem S-beli pontot kötnek össze az a_{1} ≠ a_{2} S_{2}-beli pontokkal, Q_{3} b-t köti össze egy a_{4} ∈ S_{1} ponttal, Q_{4} pedig a_{4}-et köti össze egy S_{2}-beli a_{1}, a_{2}-től különböző a_{3} ponttal, W_{1} = Q_{3} ∪ Q_{4}, W_{2} = Q_{1}, W_{3} = Q_{2}.

(W4) 4 nyíltan pontdiszjunkt Q_{i} út, amelyek egy b nem S-beli pontot kötnek össze a különböző a_{i} S-beli pontokkal, a_{1}, a_{2} ∈ S_{1}, a_{3} ∈ S_{2}, a_{4} ∈ S_{3}, W_{1} = Q_{3} ∪ Q_{4}, W_{2} = Q_{1}, W_{3} = Q_{2}.

(W5) 5 nyíltan pontdiszjunkt Q_{i} út, Q_{5} a b és c nem S-beli pont között fut, Q_{1} és Q_{2} b-t köti össze az a_{1} ≠ a_{2} S_{1}-beli pontokkal, Q_{3} c-t az a_{3} ∈ S_{2} ponttal, Q_{4} pedig c-t az a_{4} ∈ S_{3} ponttal. W_{1} = Q_{3} ∪ Q_{4} ∪ Q_{5}, W_{2} = Q_{1}, W_{3} = Q_{2}.

(W6) 3 nyíltan pontdiszjunkt Q_{i} út, Q_{1} és Q_{2} egy a ∈ S_{2} pontot köt össze az a_{1} ≠ a_{2} S_{1}-beli pontokkal, Q_{3} pedig a-t köti össze egy a_{3} ∈ S_{3} ponttal, W_{i} = Q_{i}.

(W7) 4 nyíltan pontdiszjunkt Q_{i} út, Q_{1} egy b nem S-beli pontot köt össze egy a_{3} ∈ S_{2} ponttal, Q_{2} a_{3}-at köti össze egy a_{4} ∈ S_{3} ponttal, Q_{3} és Q_{4} pedig b-t kötik össze az a_{1} ≠ a_{2} S_{1}-beli pontokkal, W_{1} = Q_{1} ∪ Q_{2}, W_{2} = Q_{3}, W_{3} = Q_{4}.

(W8) 4 nyíltan pontdiszjunkt Q_{i} út, amelyek egy b nem S-beli pontot kötnek össze az a_{i} különböző S_{i}-kbe tartozó pontokkal, W_{i} = Q_{i}.

(W9) 3 nyíltan pontdiszjunkt Q_{i} út, amelyek egy a ∈ S_{4} pontot kötnek össze az a_{i} ∈ S_{i} pontokkal i = 1, 2, 3-ra, W_{i} = Q_{i}.

Biz.: Először bizonyos típusú virágokat kell feltérképeznünk. Figyeljük meg, hogy a polimatroidunk minden H ⊆ E virágja egy erdő, hiszen a rang egyedül a komponensek csúcshalmazaitól függ, így ha H élei közt lenne egy kör, akkor a kör egy e élére nem volna igaz, hogy p(H − e) < p(H). Először határozzuk meg az összes olyan H ⊆ E virágot, amely grafikus értelemben egy fa és minden levele S-beli.

9.6 Lemma Minden olyan H ⊆ E virág, amely egy fa és minden levele S-beli, a következő alakú. Az S_{1}, S_{2}, S_{3} halmazok különböző, tetszőleges S_{i}-ket jelölnek, a Q_{i} utaknak nincs közös belső pontjuk S-sel, és C-vel jelöljük H körét.

(H1) Egy olyan Q út, amely két különböző S_{1}-beli pontot köt össze, C = H.

(H2) 3 nyíltan pontdiszjunkt Q_{i} út úgy, hogy Q_{1} egy b nem S-beli pontot köt össze egy a_{1} ∈ S_{1} ponttal, Q_{2} és Q_{3} pedig b-t köti össze az a_{2} ≠ a_{3} S_{2}-beli pontokkal, C = Q_{2} ∪ Q_{3}.

(H3) 2 nyíltan pontdiszjunkt Q_{i} út úgy, hogy Q_{i} egy a ∈ S_{1} pontot köt össze egy a_{i} ∈ S_{2} ponttal i = 1, 2-re, a_{1} ≠ a_{2}, C = H.

(H4) 2 nyíltan pontdiszjunkt Q_{i} út úgy, hogy Q_{1} két különböző a_{1} és a_{2} S_{1}-beli pontot köt össze, Q_{2} pedig a_{2}-t köti össze az a_{3} ∈ S_{2} ponttal, C = Q_{1}.

(H5) 2 nyíltan pontdiszjunkt Q_{i} út úgy, hogy Q_{1} az a_{1} ∈ S_{1} és az a_{2} ∈ S_{2} pontokat köti össze, Q_{2} pedig a_{1}-et köti össze az a_{3} ∈ S_{3} ponttal, C = H.

(H6) 3 nyíltan pontdiszjunkt Q_{i} út úgy, hogy Q_{i} egy b nem S-beli pontot köt össze az a_{i} ∈ S_{i} ponttal i = 1, 2, 3-ra, C = H.

Biz.: Legyen a H által fedett csúcsok halmaza Y, |Y | = |H| + 1. |Y ∩ S| ≥ 2, hiszen H minden levele S-beli, és |Y ∩S| ≤ 3, hiszen különben p(H) ≤ 2|Y |−|Y ∩S| = 2(|H|+1)−|Y ∩S| < 2|H|−1.

1. eset: |Y ∩ S| = 2. Ekkor H egy út, hiszen pontosan két levele van.

(a) eset: H egy S_{i}-be metsz. Ez a (H1) virág.

(b) eset: H két S_{i}-be metsz. Ekkor H egy matching volna.

2. eset: |Y ∩ S| = 3. Ekkor a H ⊆ E fának legfeljebb három levele lehet, így vagy egy út, aminek két végpontja és egy belső pontja S-beli, ez az (F1) fa, vagy egy háromlevelű (F2) fa úgy, hogy minden levele S-beli.

(a) eset: Y egy S_{i}-be metsz. Ez nem lehet, mivel p(H) = 2|Y |−|Y ∩S|−1 = 2(|H|+1)−3−1 < 2|H| − 1 állna.

(b) eset: Y legalább két S_{i}-be metsz. Ekkor p(H) = 2(|H| + 1) − 3 = 2|H| − 1, vagyis mindkét fa jó lesz, hiszen H pontosan akkor virág, ha 2|H| − 1 rangú. Ha H pontosan két S_{i}-be metsz, akkor (F2)-ből kapjuk (H2)-t, (F1)-ből pedig (H3)-at és (H4)-et, ha pedig H három S_{i}-be metsz, akkor (F1)-ből jön (H5), (F2)-ből (H6).

Térjünk rá a nemtriviális dupla körök meghatározására. Minden W nemtriviális dupla kör egy erdő, hiszen a rang egyedül a komponensek csúcshalmazaitól függ, így ha W -ben grafikus értelemben volna egy kör, akkor a kör egy e élére nem volna igaz, hogy p(W − e) < p(W). A nemtriviális dupla körök összefüggőek polimatroid értelemben 6.12 következtében. W tehát grafikusan is összefüggő, vagyis egy fa. E fa minden levele S-beli, ha ugyanis a gráf nem S-beli v csúcsa levél W -ben, akkor W p-re nézve a W − e és az {e} halmazok direkt összege, ha v az e élhez illeszkedik a W fában. W -nek bármely élét elvéve egy H′ virágot kapunk. A kapott erdőnek két komponense van, vagyis H′ előáll direkt összegként. p(H′) = 2|H′| − 1, ezért az egyik komponens egy matching, a másik pedig egy virág, aminek nem S-beli leveleit rendre kitörölve, és ezzel minden lépésben a rangot kettővel csökkentve egy olyan virágot kapunk, amely grafikus értelemben egy fa, és minden levele S-beli. Ezeket pedig már meghatároztuk.

Legyen Y a W által fedett csúcsok halmaza, ekkor |Y | = |W | + 1. |Y ∩ S| ≥ 3, különben amiatt, hogy Y metszi S-et p(W) ≥ 2(|W | + 1) − |Y ∩ S| − 1 > 2|W | − 2 állna. Másrészt |Y ∩ S| ≤ 4, különben p(W) ≤ 2|Y | − |Y ∩ S| ≤ 2(|W | + 1) − 5 < 2|W | − 2.

1. eset: |Y ∩ S| = 3. Ekkor a W fának legfeljebb három levele lehet. W vagy egy út, aminek két végpontja és egy belső pontja S-beli (ez az (F1) fa), vagy egy háromlevelű fa (F2) úgy, hogy minden levele S-beli.

(a) eset: W egy S_{i}-be metsz. Ekkor (F1) egy triviális dupla kört ad, (F2) pedig (W1)-et.

(b) eset: W legalább két S_{i}-be metsz. Ekkor p(W) = 2(|W | + 1) − 3 = 2|W | − 1, ez nem lehet.

2. eset: |Y ∩S| = 4. W olyan fa, amelynek minden levele S-beli. Ilyen fából 5 van (a nem említett csúcsok mind másodfokúak):

(F3) egy negyedfokú csúcs négy levéllel,

(F4) két harmadfokú csúcs négy levéllel,

(F5) egy harmadfokú csúcs, amely S-ben van, a három levél is S-ben van,

(F6) egy harmadfokú csúcs, amely nincs S-ben, a három levél S-ben van, plusz még valamelyik csúcs S-ben van,

(F7) egy út, aminek két vége S-beli, plusz még két csúcs S-beli.

(a) eset: W egy S_{i}-be metsz. Ez nem lehet, mivel p(W) = 2(|W | + 1) − 4 − 1 = 2|W | − 3 állna.

(b) eset: W két S_{i}-be metsz.

i. eset: |W ∩S_{1}| = 1, |W ∩S_{2}| = 3. Legyen W ∩S_{1} = {v}. v nem lehet levél, hiszen az ő élét kihagyva a másik komponens nem volna virág, mert három csúccsal metsz egy S_{i}-t. Vagyis (F1), (F2) nem jöhet szóba. (F3)-ból kapjuk (W2)-t, (F4)-ből (W3)-at, (F5)-ből pedig egy triviális dupla kört.

ii. eset: |W ∩ S_{1}| = 2, |W ∩ S_{2}| = 2. (F1)-ből és (F3)-ból egy-egy triviális dupla kört kapunk. A többi fából nem kapunk dupla kört, hiszen ezen fáknak létezik egy olyan élük, amelyet ha a fából kihagyunk és a nem S-beli leveleket rendre kitöröljük, akkor két olyan utat kapunk, amelyek két Y ∩ S-beli pontot kötnek össze. Könnyű látni, hogy ha ezen két út egyike matching, akkor a másik is, ami nem lehet.

(c) eset: W három S_{i}-be metsz. Ez csak úgy lehet, hogy |W ∩S_{1}| = 2 és |W ∩S_{i}| = 1, i = 2, 3ra. (F1)-ből kapjuk (W4)-et, (F2)-ből (W5)-öt, (F3)-ból kapunk egy triviálisat és (W6)-ot, (F4)-ből egy triviálisat és (W7)-et, végül (F5)-ből egy triviálisat.

(d) eset: W négy S_{i}-be metsz. (F1)-ből kapjuk (W8)-at, (F3)-ból pedig (W9)-et.

Def.: A (W2), (W6), (W9) típusú dupla köröket belső dupla köröknek hívjuk, fejük mindhárom esetben az a pont. A többi típus a külső dupla kör, ott a fej mind a hat esetben a b csúcs.

9.3. A bizonyítás

A következő lemma nem szerepel [20]-ben, levezetésünkben egy ottani gondolatmenet kijavítására szolgál.

9.7 Lemma Ha D egy nemtriviális ν-dupla virág (E, p)-ben, és W dupla köre belső a ∈ S_{1} fejjel, akkor π(G − a, S′) = π(G, S) − 1, ahol S′ = {S_{1} − a, S_{2}, …, S_{k}}.

Biz.: Legyen K′ ≤ (ℝ^{2})^{V} a következő altér:

K′ = {x ∈ (ℝ^{2})^{V} : x_{a} ∈ l_{1}^{⊥}, x_{v} = 0, ha v ≠ a} .

K′ + K = {x ∈ (ℝ^{2})^{V} : x_{a} ∈ ℝ^{2}, x_{v} = 0, ha v ∉ S, x_{v} ∈ l_{i}, ha v ∈ S_{i} és v ≠ a} .

F ⊆ E-re legyen L = ∑{L_{e}: e ∈ F }. p′(F) := dim(l(F)/(l(F) ∩ K′)) = dim(L/(L ∩ (K′ + K))) a p-nek egy 1-projekciója. 9.2 gondolatmenete szerint L ∩ (K′ + K) = L ∩ K, és így p′(F) = p(F), ha a-t nem fedi F, vagy ha F egyedül S_{1}-be metsz, továbbá dim(L ∩ (K′ + K)) = dim(L ∩ K) + 1, és így p′(F) = p(F) − 1, ha a-t fedi F és F legalább két S_{i}-be metsz. p′ összenyomja W -t, ugyanis W -nek köre legalább két S_{i}-be metsz és fedi a-t. 6.17 szerint ezért ν(E, p′) = ν(E, p) − 1.

Belátjuk, hogy a-t minden maximális S-útrendszer fedi. Legyen M tetszőleges maximális matchingje (E, p)-nek. M az (E, p′)-ben nem matching a fentiek szerint, vagyis p′(M) < p(M), és így létezik M-nek egy olyan összefüggőségi komponense, ami legalább két S_{i}-be metsz, és fedi a-t. Ez pedig azt jelenti, hogy a-t fedi minden maximális S-útrendszer. Tehát π(G − a, S′) < π(G, S), ahonnan π(G − a, S′) = π(G, S) − 1.

A tételt a lineáris reprezentáció ismerete nélkül is igazolhattuk volna, méghozzá úgy, hogy p′-t úgy definiáljuk, mint amit fent kaptunk rá, majd belátjuk, hogy tényleg projekció. Azért ezt az utat választottuk, mert jobban mutatja a reprezentációnk szerkezetét.

9.8 Lemma Tegyük fel, hogy 9.5 jelöléseit használva egy nemtriviális külső dupla kör feje b és a_{1} ∈ S_{1}. Ha S′ = {S′_{1}, …, S′_{k}}, ahol S′_{1} = S_{1} + b, és S′_{2} = S_{2}, i ≥ 2-re, akkor a p 2-polimatroid függvénnyel analóg módon a (G, S′) párból definiált p′ 2-polimatroid függvény olyan 1-projekciója p-nek, ami összenyomja a dupla kört.

Biz.: Világos, hogy p′ 1-projekciója p-nek. A másik állításhoz csak azt kell észrevennünk, hogy (E, p′) egy köre legfeljebb 3 darab S′_{i}-be metsz, ha egybe metsz, akkor 2 ponttal, ha kettőbe vagy háromba, akkor pedig 3 ponttal.

6.18-at nekünk megfelelő formára szabjuk:

9.9 Lemma (E, p)-ben a következők közül legalább egy teljesül, ν := ν(E, p):

(a) létezik egy E = E_{1} ˙∪ … ˙∪E_{t} partíció, hogy ν = ∑_{i=1}^{t} ⌊\frac{p(E_{i})}{2}⌋,

(b) létezik egy olyan e ∈ E él, hogy e ∈ sp(M) minden M maximális matchingre, (c) létezik egy W nemtriviális dupla kör (E, p)-ben.

Biz.: 6.18-at használjuk. Indukcióval bizonyítunk, feltesszük hogy F ⊂ E-re (F, p)-ben tudjuk az állítást.

Ha 1. teljesül, akkor az {E} partíció jó lesz (a)-hoz.

Ha 2. teljesül, akkor indukciós feltevésünk alapján (E_{1}, p)-re, (E_{2}, p)-re már tudjuk az állítást. Ha mindegyikre teljesül (a), akkor (E, p)-re is teljesül (a). Ha például (E_{1}, p)-re (b) áll, akkor az ottani e él most is jó lesz. Ha ugyanis M maximális matching (E, p)-ben, akkor M ∩ E_{1} maximális matching (E_{1}, p)-ben, ahonnan e ∈ sp_{1}(M ∩ E_{1}) ⊆ sp(M ∩ E_{1}) ⊆ sp(M). Ha például (E_{1}, p)-re (c) áll, akkor az ottani W nemtrivális dupla kör most is egy nemtrivális dupla kör.

3. azonos (b)-vel, 4.-ből pedig következik (c).

9.10 Lemma Az (a) esetben az E = E_{1} ˙∪ … ˙∪E_{t} partíció olyannak is választható, hogy

(i) minden i ≠ j-re p(E_{i} ∪ E_{j}) = p(E_{i}) + p(E_{j}), valamint

(ii) minden i-re p(E_{i}) < p(E′_{i}) + p(E′′_{i}), ha E_{i} = E′_{i} ˙∪ E′′_{i}, E′_{i}, E′′_{i} ≠ ∅.

Biz.: ∑ p(E_{i})-re vonatkozó indukcióval dolgozunk. Tegyük fel, hogy (ii) nem teljesül, azaz egy i-re p(E_{i}) = p(E′_{i}) + p(E′′_{i}), az E_{i} = E′_{i} ˙∪ E′′_{i}, E′_{i}, E′′_{i} ≠ ∅ partícióra. Ekkor E_{i}-t cseréljük ki E′_{i}-re és E′′_{i}-re. Tegyük ezt addig, amíg (ii) nem teljesül. Ha most (i) nem áll, azaz létezik i ≠ j, hogy p(E_{i} ∪ E_{j}) < p(E_{i}) + p(E_{j}), akkor olvasszuk össze E_{i}-t és E_{j}-t. Az eddigi műveletek során a ∑_{i=1}^{l} ⌊\frac{p(E_{i})}{2}⌋ összeget nem növeltük, nyilván nem is csökkenthettük, továbbá ∑ p(E_{i}) csökkent, ezért készen vagyunk.

Most már csak a két tételt kell alkalmazni. Felteszük, hogy 9.9 (a) partíciója a 9.10 lemmában szereplő tulajdonságú.

π(G, S) + |V − S| = ν(E, p)-re vonatkozó indukcióval dolgozunk. Feltettük, hogy G összefüggő, valamint hogy az S_{i} csúcshalmazok stabilak. Azt is feltesszük, hogy a gráf minden élét használja S-út, ez ugyanis ekvivalens azzal, hogy nem léteznek olyan V_{1}, V_{2} ⊂ V csúcshalmazok, hogy |V_{1} ∩ V_{2}| = 1, S ⊆ V_{1} és G minden élét vagy V_{1} vagy V_{2} feszíti. Ez esetben π(G, S) = π(G[V_{1}], S), és (G[V_{1}], S)-re az indukciós mennyiség kevesebb. Most V_{1} minimumot adó U_{0}, …, U_{m} partíciójából úgy csinálhatunk V -nek egy egyenlőséget adó partícióját, hogy v ∈ U_{0} esetén U_{m+1} := V_{2} − v, és v ∈ U_{i}, i ≥ 1 esetén U′_{i} := U_{i} ∪ V_{2}.

Egy x ∈ V csúcsra S′ legyen S, ha x ∉ S és {S_{1}, …, S_{i} − x, …, S_{k}}, ha x ∈ S_{i}. Ha egy x ∈ V -re π(G − x, S′) < π(G, S), akkor (G − x, S′)-re az indukciós mennyiség kevesebb. Most V − x minimumot adó U_{0}, …, U_{m} partíciójából az U′_{0} := U_{0} + x definícióval V -nek egy egyenlőséget adó partícióját kapjuk.

Ez esetekben tehát készen vagyunk. A továbbiakban F ⊆ E-re az F által fedett csúcsokat V (F)-fel jelöljük.

Mi következik 9.9-ből a 9.10 kiegészítéssel? Az (a) esetben p(E_{i}) < p(E′_{i}) + p(E′′_{i}) miatt E_{i} grafikusan összefüggő. Tegyük fel, hogy x ∈ V (E_{i}) − S. Ha x-re π(G − x, S′) < π(G, S), akkor az előző megfigyelés szerint készen vagyunk, így feltehetjük, hogy létezik egy x-et elkerülő maximális S-útrendszer. Legyen az x-re illeszkedő élek halmaza e(x). Tegyük fel, hogy e(x) ⊈ E_{i}. Az x-et elkerülő maximális S-útrendszert egészítsük ki (E − e(x), p) egy M_{0} maximális matchingjévé. G minden élét használja S-út, így G − x minden összefüggőségi komponense metszi S-et. Az M_{0} erdő tehát olyan, hogy π darab fája pontosan két csúccsal metszi S-et, a többi pedig eggyel. Vagyis x-et egy nem E_{i}-beli élen hozzákötve M_{0}-hoz (E, p)-nek egy maximális matchingjét kapjuk. Azonban ν ≤ ∑_{i=1}^{l} ν(E_{i}) ≤ ∑_{i=1}^{l} ⌊\frac{p(E_{i})}{2}⌋ = ν miatt (E, p) minden maximális M matcingjére M ∩ E_{i} maximális E_{i}-ben, és E_{i} maximális matchingje használ x-re illeszkedő élt.

Így V − S minden K összefüggőségi komponensére K élei egy E_{i}-ben vannak. G összefüggősége miatt minden E_{i} metszi S-et. Ha E_{h} és E_{j} legalább két S_{i}-be metsz, akkor V (E_{h}) diszjunkt V (E_{j})- től, ugyanis ha s ∈ S-et E_{h} és E_{j} is fedi, akkor p(E_{h} ∪ E_{j}) = 2|(V (E_{h}) ∪ V (E_{j})) \ S| + |(V (E_{h}) ∪ V (E_{j}))∩S| < 2|V (E_{h})\S|+|V (E_{h})∩S|+2|V (E_{j})\S|+|V (E_{j})∩S| = p(E_{h})+p(E_{j}), ellentmondva (i)-nek. Legyenek E_{1}, …, E_{s} azon halmazok, amelyek legalább két S_{i}-be metszenek, E_{s+1}, …, E_{t} pedig azok, amelyek egybe. Legyen U_{0} = ∅, U_{i} = V (E_{i}), 1 ≤ i ≤ s-re, a többi U_{j} partícióosztály pedig legyen egyelemű. Ezzel a választással:

π(G, S) = ν(E, p) − |V − S| = ∑_{i=1}^{t} (⌊\frac{p(E_{i})}{2}⌋ − |V (E_{i}) − S|) ≥

≥ ∑_{i=1}^{s} (⌊\frac{|V (E_{i})| + |V (E_{i}) − S|}{2}⌋ − |V (E_{i}) − S|) = ∑_{i=1}^{s} (⌊\frac{|V (E_{i}) ∩ S|}{2}⌋) =

= ∑_{i=1}^{s} ⌊\frac{|U_{i} ∩ S|}{2}⌋ = ∑_{i=1}^{s} ⌊\frac{|B_{i}|}{2}⌋ = ∑_{i=1}^{t} ⌊\frac{|B_{i}|}{2}⌋ .

A (b) esetben e := uv. Ha u vagy v benne van minden maximális S-útrendszerben, akkor készen vagyunk, így feltehetjük, hogy nem ez a helyzet.

Nem lehet az, hogy az (E, p) minden M maximális matchingjére u az M erdő egy olyan F_{u} fájának pontja, ami egy pontban metszi S-et, míg v az M egy olyan F_{v} fájának pontja, ami két pontban metszi S-et. Ekkor ugyanis

p(F_{u} + F_{v} + e) = 2|V (F_{u} + F_{v}) \ S| + |V (F_{u} + F_{v}) ∩ S| >
> (2|V (F_{u}) \ S| + |V (F_{u}) ∩ S| − 1) + (2|V (F_{v}) \ S| + |V (F_{v}) ∩ S|) = p(F_{u}) + p(F_{v})

állna, ellentmondva e ∈ sp(M)-nek.

Ha u ∈ S_{1}, v ∈ S_{2}, akkor egészítsünk ki egy olyan maximális S-útrendszert, ami nem használja u-t, maximális matchinggé. Ez az S-útrendszer persze használja v-t. A kapott erdőben u egy olyan fa pontja, ami egyedül u-ban metszi S-et, míg v egy olyan fáé, ami két pontban is metszi S-et, ami nem lehet.

Feltehetjük tehát, hogy u ∉ S. S′_{1} := S_{1} + u és π′ := π(G, S′). Ha π′ = π, akkor π′ + |V − S′| < π + |V − S| miatt (G, S′)-re már tudjuk Mader tételét. V partíciója (G, S)-re is jó lesz, mivel

|U_{0}| + ∑ ⌊\frac{|B_{i}|}{2}⌋ ≤ |U_{0}| + ∑ ⌊\frac{|B′_{i}|}{2}⌋ = π′ = π.

Ezért feltehető, hogy létezik π +1 teljesen pontdiszjunkt S′-út, azaz π darab P_{1}, …, P_{π} S-út és egy P u−c út, c ∈ S_{i}. Iménti megjegyzésünk következtében feltehetjük, hogy v a P úton van, sőt azt is, hogy e a P út éle. (G, S)-re tett feltevésünk szerint létezik egy olyan Q S-út, ami használja e-t. Q′ legyen Q-nak az a szakasza, aminek két vége kivételével más pontja nincs S-en vagy egy P_{i} úton, és tartalmazza e-t. P -n elindulva e felé, amikor Q′-be botlunk, menjünk tovább Q′-n arra, ahol e van. Így Q′-t egy olyan Q′′-vel helyettesítettük, ami ugyanazt tudja mint Q′: két vége kivételével más pontja nincs S-en vagy egy P_{i} úton, tartalmazza e-t, és ráadásul egyik vége c. Q′ másik vége egy P_{i} úton van, így a P_{1}, …, P_{π} S-útrendszert kiegészíthetjük úgy egy maximális matchinggé, hogy u és v egyike egy P_{i} út fáján van, vagyis két ponttal metszi S-et, másika pedig egy olyan fán, ami csak eggyel metszi S-et. Márpedig láttuk, hogy ebben az esetben e ∉ sp(M).

A (c) esetben ha a W nemtriviális dupla kör külső b fejjel, azaz (W1), (W3), (W4), (W5), (W7), vagy (W8) alakú, akkor 9.8 szerint S′_{1} := S_{1} + b-vel egy olyan p′ 1-projekciót definiáltunk, amire ν(E, p′) = ν(E, p) − 1. (G, S′)-re már tudjuk az állítást, és az ottani partíció most is jó lesz:

|U_{0}| + ∑ ⌊\frac{|B_{i}|}{2}⌋ ≤ |U_{0}| + ∑ ⌊\frac{|B′_{i}|}{2}⌋ = π(G, S′) = ν(E, p′) − |V − S′| = ν − |V − S| = π.

Ha W belső a fejjel, akkor 9.7 szerint π(G−a, S′) = π(G, S), vagyis találtunk egy olyan a csúcsot, amit kihagyva π csökken, és ekkor készen vagyunk.

Hivatkozások

[1] Björner, A.; Lovász, L. Pseudomodular lattices and continuous matroids. Acta Sci. Math. (Szeged) 51 (1987), no. 3-4, 295–308.

[2] Bouchet, André Greedy algorithm and symmetric matroids. Math. Programming 38 (1987), no. 2, 147–159.

[3] Bouchet, André; Cunningham, William H. Delta-matroids, jump systems, and bisubmodular polyhedra. SIAM J. Discrete Math. 8 (1995), no. 1, 17–32.

[4] Camerini, P. M.; Galbiati, G.; Maffioli, F. Random pseudo-polynomial algorithms for exact matroid problems. J. Algorithms 13 (1992), no. 2, 258–273.

[5] Camerini, P. M.; Maffioli, F. Heuristically guided algorithm for k-parity matroid problems. Discrete Math. 21 (1978), no. 2, 103–116.

[6] Cunningham, William H. Matching, matroids and extensions, elfogadva: Math. Programming B. (2001)

[7] Cunningham, William H.; Geelen, James F. The optimal path-matching problem. Combinatorica 17 (1997), no. 3, 315–337.

[8] Dress, A.; Lovász L. On some combinatorial properties of algebraic matroids. Combinatorica 7 (1987), no. 1, 39–48.

[9] Dunstan, F. D. J.; Welsh, D. J. A. A greedy algorithm for solving a certain class of linear programmes. Math. Programming 5 (1973), 338–353.

[10] Frank András Restricted t-matchings in bipartite graphs. EGRES Technical Report TR-2001-10, Budapest

[11] Fujishige, Satoru Theory of submodular programs: a Fenchel-type min-max theorem and subgradients of submodular functions. Math. Programming 29 (1984), no. 2, 142–155.

[12] Fujishige, Satoru A min-max theorem for bisubmodular polyhedra. SIAM J. Discrete Math. 10 (1997), no. 2, 294–308.

[13] Fujito, Toshihiro A 2/3-approximation of the matroid matching problem. Algorithms and computation (Hong Kong, 1993), 185–190, Lecture Notes in Comput. Sci., 762, Springer, Berlin, 1993.

[14] Gabow, H. N.; Stallmann, M. An augmenting path algorithm for linear matroid parity. Theory of computing (Singer Island, Fla., 1984). Combinatorica 6 (1986), no. 2, 123–150.

[15] Geelen James F. Lectures on jump systems, jegyzet

[16] Hartvigsen D. B. Extensions of Matching Theory. Ph. D. Tézis, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA [17] Király Zoltán C_{4}-free 2-factors in bipartite graaphs. EGRES Technical Report TR-2001-13,

Budapest

[18] Lovász L. The matroid matching problem. Algebraic methods in graph theory, Vol. I, II (Szeged, 1978), pp. 495–517, Colloq. Math. Soc. János Bolyai, 25, North-Holland, Amsterdam-New York.

[19] Lovász L. Selecting independent lines from a family of lines in a space. Acta Sci. Math. (Szeged) 42 (1980), no. 1-2, 121–131.

[20] Lovász L. Matroid matching and some applications. J. Combin. Theory Ser. B 28 (1980), no. 2, 208–236.

[21] Lovász L.; Plummer, M. D. Matching theory. North-Holland Mathematics Studies, 121. Annals of Discrete Mathematics, 29. North-Holland Publishing Co., Amsterdam; Akadémiai Kiadó (Publishing House of the Hungarian Academy of Sciences), Budapest, 1986.

[22] Lovász L. The membership problem in jump systems. J. Combin. Theory Ser. B 70 (1997), no. 1, 45–66.

[23] Mader, W. Über die Maximalzahl kreuzungsfreier H-Wege. Arch. Math. (Basel) 31 (1978/79), no. 4, 387–402.

[24] Pap Gyula, beküldve

[25] Payan, C., beküldve

[26] Schrijver, Alexander A short proof of Mader’s S-paths theorem. J. Combin. Theory Ser. B 82 (2001), no. 2, 319–321.

[27] Schrijver, Alexander készülő könyv

[28] Sebő András Gaps and jumps, jegyzet

[29] Szigeti Zoltán On a min-max theorem of cacti. Integer programming and combinatorial optimization (Houston, TX, 1998), 84–95, Lecture Notes in Comput. Sci., 1412, Springer, Berlin, 1998.

[30] Szigeti, Zoltán On the graphic matroid parity problem, beküldve

[31] Vande Vate, John H. Structural properties of matroid matchings. Discrete Appl. Math. 39 (1992), no. 1, 69–85.