Statisztikus fizikai eszközök az ergodelméletben

Járai Antal Szakdolgozat

Témavezető: Szász Domokos

MTA MKI Kihelyezett Fizikai Matematika Tanszék

Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest 1996. május Szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Szász Domokosnak,

a számtalan útbaigazításért és a nemszűnő figyelemért, amivel segítségemre volt ennek a nagyon sokszínű területnek a megismerésében.

Tartalomjegyzék

Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Az ergodelmélet néhány alapfogalma . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Keverés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Ergodikusság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Szimbólikus dinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Hiperbolikus rendszerek. Markov felbontás . . . . . . . . . . . . . 8

2 Statisztikus fizikai fogalmak és ergodelméleti alkalmazások . . . . . . . . 10 Rácsmodellek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Példa. Ising modell külső mágneses térben . . . . . . . . . . . . . . 11 Termodinamikai limesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Magas hőmérsékleti sorfejtés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Teljesen analitikus kölcsönhatások . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Polimersorfejtés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 A körvonal nyújtó leképezései . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Egydimenziós rendszerek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Variációs elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Végtelen dimenziós dinamikai rendszerek. . . . . . . . . . . . . . . . 28 Dinamikai rendszerek a statisztikus mechanikában . . . . . . . . . 28 Térbeli és időbeli káosz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Kapcsolt leképezésrács . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Történeti áttekintés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Leképezésrácsokra vonatkozó eredmények . . . . . . . . . . . . . 31 A körvonal leképezései. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Bizonyítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 A pék leképezésrácsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Irodalomjegyzék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Bevezetés

E dolgozatban olyan fogalmakat és eredményeket foglalunk össze, melyek a végtelen dimenziós dinamikai rendszerek egy speciális típusának, a kapcsolt leképezésrácsnak (coupled map lattice) az ergodelméleti vizsgálatához szükségesek, vagy kapcsolatban vannak vele.

Az első fejezetben az ergodelmélet néhány fogalmát, tételét és fontos példáját ismertetjük.

A második fejezetben az egyensúlyi statisztikus fizika matematikai apparátusából tekintünk át olyan fogalmakat és módszereket, melyek alkalmazhatóak a leképezésrácsok vizsgálatában: rácsmodellek, magas hőmérsékleti sorfejtés, polimersorfejtés. Másrészt vázoljuk az egydimenziós rácsmodellek elméletének alkalmazását a sima hiperbolikus dinamikai rendszerek vizsgálatában.

A harmadik fejezet nagyobb része a kapcsolt leképezésrácsokkal foglalkozik. Áttekintést adunk a probléma eredetéről és az ismert eredményekről. Egy konkrét bizonyítás ismertetésével illusztráljuk, hogyan alkalmazhatók a második fejezet eszközei. Bebizonyítunk egy struktúrális stabilitási állítást a pékleképezésből kapható rácsra. E fejezet elején rövid leírást adunk a végtelen dimenziós rendszerek egy másik típusáról, a statisztikus mechanika dinamikai rendszereiről.

1. Az ergodelmélet néhány alapfogalma

A dinamikai rendszerek elméletének egyik alapvető feladata annak vizsgálata, hogy egy teret önmagába képező transzformációt iterálva milyen egy “tipikus” trajektória viselkedése. Az ergodelmélet ezen belül a sztochasztikus tulajdonságok leírásával foglalkozik. Egyszerű példaként tekintsük a T : x → {x + α}, x ∈ [0, 1] leképezést, ahol α ∈ [0, 1] \ Q rögzített. Az x pont trajektóriája a T^{n}x = {x + nα} alakú pontokból áll, melyről ismert, hogy egyenletes eloszlású, azaz tetszőleges I ⊂ [0, 1] intervallumra lim_{n→∞} 1 ; n#{k : {x + kα} ∈ I} = λ(I), minden x-re (λ a Lebesgue-mérték). Azaz egy pont trajektóriájának aszimptotikusan λ(I)-ed része esik az I intervallumba.

Ehhez hasonló statisztikai állítások olyan leképezésekre is megfogalmazhatók, és bizonyíthatók, melyek szerkezete kevésbé áttekinthető vagy explicit. Az ergodelmélet egyik célja olyan feltételeket találni a dinamikát megadó leképezésre, melyek teljesülése előidézi a statisztikai törvényszerűségeket.

Nagyon általánosan szólva a dinamika instabilitása egy ilyen tulajdonság. Instabilitás alatt — nem pontos definícióval — azt értjük, hogy tetszőlegesen közeli pontok iteráltjai exponenciális sebességgel tudnak távolodni egymástól, vagyis a trajektória érzékenyen függ a kezdeti feltételektől. Várható, hogy ha a trajektóriák bizonyos idő után “elfelejtik” a kezdeti feltételt, akkor aszimptotikus viselkedésük valamilyen globális statisztikának fog eleget tenni. Egy nagyon egyszerű és szemléletes példa a kezdeti feltételektől való érzékeny függésre a pénzfeldobás, ahol éppen a jelenség instabilitása teszi lehetővé, hogy leírására valószínűségi modellt alkalmazzunk.

Definíció. Legyen (M, F) mérhető tér. Egy T: M ↦ M mérhető transzformációt endomorfizmusnak nevezünk. Ha T -nek létezik inverze és az is mérhető, akkor T automorfizmus. Az F σ-algebrán értelmezett μ valószínűségi mérték invariáns a T -re nézve, ha μ(T^{−1}A) = μ(A) minden A ∈ F-re.

Ha ν tetszőleges valószínűségi mérték, akkor a T^{∗}ν(A) = ν(T^{−1}A) képlet valószínűségi mértéket definiál, ez a ν T -vel való transzformáltja. ν pontosan akkor invariáns, ha fixpontja a T^{∗} operátornak.

Invariáns mérték létezéséről szóló klasszikus erdmény az alábbi

Tétel. (Krülov-Bogoljubov) [KB],[KH] Legyen M kompakt metrikus tér, és legyen T: M ↦ M folytonos leképezés. Ekkor létezik olyan Borel-mérték, mely invariáns a T -re nézve.

Egy lehetséges bizonyítás alapgondolata a következő. Vegyünk egy tetszőleges μ kezdeti mértéket, és tekintsük ennek a transzformáltjait. A

ν_{n} = 1 ; n(μ + T^{∗}μ + … (T^{∗})^{n−1}μ)

mértéksorozatból kiválasztható egy gyengén konvergens részsorozat, melynek limeszéről belátható, hogy invariáns.

Mutatunk négy jólismert példát invariáns mértékre.

1. Legyen m > 1 egész szám, és E_{m}: [0, 1] ↦ [0, 1], T (x) = {mx} (vagyis mx tört része). A Lebesgue mérték invariáns.

2. Legyen A d × d-es egész elemű, 1 determinánsú mátrix. Egy ilyen mátrix definiálja az S^{d} d-dimenziós tórusznak, ami csoport, egy lineáris automorfizmusát: T_{A}(x) ≡ Ax (mod Z^{d}). Könnyen látható, hogy T_{A}^{−1} = T_{A^{−1}}, és a linearitásból az is nyílvánvaló, hogy T_{A} diffeomorfizmus. Mivel det(A) = 1, a Lebesgue-mérték invariáns.

3. Tekintsünk egy Hamilton-rendszert:

q̇^{i} = ∂H ; ∂p^{i} , ṗ^{i} = −∂H ; ∂q^{i} .

A Liouville-tétel szerint a Hamilton-folyam invariánsan hagyja a Lebesgue-mértéket. Ha a rendszer teljesen integrálható, akkor az invariáns tóruszok kompaktsága miatt az ezeken indukált invariáns mérték 1-re normálható.

4. Legyen M = {1, …, m}^{Z}, vagyis az 1, …, m elemekből alkotott kétirányban végtelen sorozatok halmaza, a hengerhalmazok által generált σ-algebrával, T legyen a baleltolás, azaz (T x)_{i} = x_{i+1} minden i ∈ Z és minden x ∈ M esetén. Ha μ egy {1, …, m} állapotterű véletlen folyamat eloszlása, akkor μ pontosan invariáns T -re nézve, ha a folyamat stacionárius. Amennyiben a folyamat Markov, (M, T, μ)-t Markov automorfizmusnak nevezzük. Ha μ szorzat-mérték, akkor T Bernoulli-automorfizmus.

Tetszőleges (M′, F′, μ′) mértéktéren ható T′ automorfizmus definiál stacionárius folyamatokat a következőképpen. Legyen (C_{1}, …, C_{m}) az M′ tér egy partíciója mérhető halmazokra, és definiáljuk a ϕ: M′ ↦ M függvényt:

(ϕx)_{n} = k pontosan akkor, ha (T′)^{n}x ∈ C_{k}.

Mivel a C_{k} halmazok mérhetők, ϕ is mérhető. Továbbá μ′ invarianciája miatt a μ(A) = μ′(ϕ^{−1}A) mérték stacionárius.

Ha az M téren adott valamilyen egyéb struktúra, akkor olyan invariáns mértékeket szeretnénk találni, melyek ezzel a struktúrával valamilyen értelemben kompatibilisek. Például legyen M Riemann-sokaság, és T diffeomorfizmus. A Riemann-struktúra kijelöli a Borel-mértékeknek egy részosztályát, azokat, melyek abszolút folytonosak a térfogati formára nézve. Ez az osztály invariáns a diffeomorfizmusokra. Ezért természetes kérdés, hogy létezik-e abszolút folytonos invariáns mérték, és ha igen, milyenek az ergodikus tulajdonságai.

Rátérünk a bevezetőben említett aszimptotikus viselkedéssel kapcsolatos fogalmakra.

Keverés.

Definíció. Az (M, F, μ) mértéktér T endomorfizmusa keverő, ha A, B ∈ F esetén

lim_{n→∞} μ(T^{−n}A ∩ B) = μ(A)μ(B).

A formula azt fejezi ki, hogy az “n idő múlva A” és a “B” események aszimptotikusan függetlenek. A tulajdonság ekvivalens az M-en értelmezett függvények időbeli korreláció-lecsengésével:

lim_{n→∞} ∫_{M} f(T^{n}x)g(x) dμ − ∫_{M} f(x) dμ ∫_{M} g(x) dμ = 0,

minden f, g ∈ L^{2}(M, μ) esetén.

A keverési tulajdonság egyik fontos következménye, hogy biztosítja az invariáns mérték egyértelműségét a μ-re nézve abszolút folytonos mértékek körében. Sőt ennél több is igaz, teljesül az un. egyensúlyhoz való konvergencia. Legyen ν ≪ μ tetszőleges kezdeti eloszlás, g(x) a ν sűrűségfüggvénye. Ekkor

\begin{aligned}(T^{∗})^{n}ν(A) & = ∫_{T^{−n}A} g(x) dμ \\ & = ∫_{M} χ_{A}(T^{n}x)g(x) dμ ⟶^{n→∞} ∫_{M} χ_{A}(x) dμ ∫_{M} g(x) dμ = μ(A), \end{aligned}

minden A ∈ F esetén.

A Markov-láncok elméletéből ismert a következő állítás:

Állítás. Legyen (M, T, μ) Markov-lánc, mint a fenti 4. példában. Ha a μ-t definiáló A sztochasztikus mátrix tranzitív (azaz tetszőleges i, j-hez van olyan n, hogy A_{ij}^{n} > 0), akkor tetszőleges C, D hengerhalmazokhoz van olyan c > 0, α > 0, hogy

|μ(T^{n}C ∩ D) − μ(C)μ(D)| ≤ c exp(−αn).

Innen nem nehéz belátni, hogy T keverő. Speciálisan minden Bernoulli-automor-fizmus is keverő.

Ergodikusság.

Definíció. A T: M ↦ M leképezés ergodikus a μ invariáns mértékre nézve, ha T^{−1}A = A, A ∈ F esetén μ(A) = 0 vagy μ(A) = 1.

E tulajdonságot szokás metrikus felbonthatatlanságnak is nevezni, mert ekvivalens azzal, hogy M nem áll elő két diszjunkt pozitív mértékű invariáns halmaz egyesítéseként. Könnyen látható, hogy ez azzal is ekvivalens, hogy tetszőleges mérhető T -invariáns függvény μ-m.m. konstans.

Könnyen látható, hogy minden keverő leképezés ergodikus (B = A választással). E tulajdonságnak az aszimptotikus viselkedéssel való kapcsolatára a következő tétel világít rá, mely egyben az ergodelmélet egyik kiindulópontja volt.

Tétel. (Birkhoff ergodtétele) [CFS] Legyen T: (M, μ) ↦ (M, μ) mértéktartó leképezés, f ∈ L^{1}(M, μ). Ekkor

lim_{n→∞} 1 ; n ∑_{k=0}^{n−1} f(T^{k}x) =: f̄(x)

létezik μ-m.m. x-re, f̄ ∈ L^{1}(M, μ), f̄ T -invariáns, és megegyezik f-nek a T -invariáns halmazok σ-algebrájára vonatkozó feltételes várható értékével.

Ebből belátható, hogy T pontosan akkor ergodikus, ha minden f ∈ L^{1}(M, μ) esetén f̄(x) = ∫ f dμ m.m.

Szimbólikus dinamika. A fenti 1. példa rendelkezik a következő struktúrával. Tekintsük a C_{i} = ( i−1 ; m, i ; m) (i = 1, …, m) intervallumokat. A 4. példa után mondottakat kicsit módosítva ez a felbontás az E_{m}^{n}x ∈ C_{i} (n = 0, 1, …) relációk által definiál egy mértéket az {1, …, m}^{Z_{+}} sorozattéren, ahol Z_{+} a nemnegatív egészek halmaza. (Ez a mérték éppen a Bernoulli-mérték.) Több is igaz, a két mértéktér izomorf, vagyis létezik közöttük majdnem mindenütt definiált mértéktartó bijekció. A Bernoulli endomorfizmus keverő voltából tehát következik, hogy T keverő.

A T dinamikát tehát le tudtuk írni egy sokkal egyszerűbb szerkezetű téren. A dinamika megfelelő kódolása felhasználható invariáns mérték konstruálásához és ergodikus tulajdonságainak vizsgálatához.

Hiperbolikus rendszerek. Markov felbontás. A következőkben olyan általánosabb leképezéstípust mutatunk be, melyhez konstruálható szimbolikus dinamika. A [Bow] munkát követjük.

Definíció. Legyen M kompakt Riemann-sokaság, f : M → M diffeomorfizmus. A Λ ⊂ M zárt invariáns halmazt egyenletesen hiperbolikusnak mondjuk, ha tetszőleges x ∈ Λ pont fölötti érintőtérnek létezik egy T_{x}M = E_{x}^{s} ⊕ E_{x}^{u} direktösszegre bontása, ahol az E^{s}, E^{u} nyalábok rendelkeznek a következő tulajdonságokkal:

(1) Df(E_{x}^{s}) = E_{f(x)}^{s}, Df(E_{x}^{u}) = E_{f(x)}^{u};

(2) Léteznek c > 0, 0 < λ < 1 konstansok, hogy minden n ≥ 0 esetén

\begin{aligned}∥Df^{n}(v)∥ & ≤ cλ^{n}∥v∥, ha v ∈ E_{x}^{s}, \\ ∥Df^{−n}(v)∥ & ≤ cλ^{n}∥v∥, ha v ∈ E_{x}^{u}; \end{aligned}

(3) E^{s} és E^{u} folytonos nyalábok.

Definíció. f : M → M Anosov-diffeomorfizmus, ha M hiperbolikus.

Példa. A fenti 2. példa Anosov diffeomorfizmus, ha az A mátrixnak nincsen egységnyi abszolútértékű sajátértéke. Az E^{s} stabil nyaláb és E^{u} instabil nyaláb megegyezik az 1-nél kisebb és az 1-nél nagyobb abszolútértékű sajátértékekhez tartozó invariáns altereknek a tóruszra való vetületével az S^{d} = R^{d}/Z^{d} faktorizációnál.

A (2) tulajdonságból látható, hogy egy hiperbolikus halmaz dinamikája érzékenyen függ a kezdeti feltételektől.

A hiperbolikus struktúra egyik fontos következménye, hogy léteznek lokális stabil és instabil sokaságok minden x ∈ Λ pont kis környezetében. Ezek invariánsak, és érintőterük a stabil illetve az instabil nyaláb. Jelölje W_{ε}^{s}(x) illetve W_{ε}^{u}(x) az x körüli ε sugarú invariáns sokaságokat. Az érintőnyaláb direkt felbontása lokálisan átöröklődik M-re, vagyis a lokális stabil és instabil sokaságok transzverzálisan metszik egymást, és elég közeli x, y ∈ M pontokra W_{ε}^{s}(x)∩W_{ε}^{u}(y) egyelemű. E tulajdonság felhasználásával kiparkettázhatjuk M-et kis “paralelogrammákkal”.

Definíció. R paralelogramma, ha x, y ∈ R esetén W_{ε}^{s}(x) ∩ W_{ε}^{u}(y) ∈ R, és R =

int R.

A szimbolikus dinamikai leírást a következő fogalom, és a rá vonatkozó tétel teszi lehetővé.

Definíció. Az M sokaság paralelogrammákból álló R = {R_{1}, …, R_{m}} lefedése Markov-felbontás, ha

(1) int R_{i} ∩ int R_{j} = ∅, ha i ≠ j;

(2) x ∈ int R_{i}, fx ∈ int R_{j} esetén

\begin{aligned}f(W_{ε}^{u}(x) ∩ R_{i}) & ⊃ W_{ε}^{u}(fx) ∩ R_{j} \\ f(W_{ε}^{s}(x) ∩ R_{i}) & ⊂ W_{ε}^{s}(fx) ∩ R_{j}. \end{aligned}

Tétel. Tegyük fel, hogy az f : M → M Anosov-diffeomorfizmus topologikusan tranzitív, azaz tetszőleges U, V ⊂ M nyílt halmazokhoz van olyan n, hogy U^{n} ∩ V ≠ ∅. Ekkor létezik tetszőlegesen kis átmérőjű paralelogrammákból álló Markov-felbontás.

Egy R Markov-felbontás definiál egy átmeneti mátrixot:

A_{ij} = \{ \begin{matrix}1, & ha int R_{i} ∩ f^{−1} int R_{j} ≠ ∅; \\ 0, & egyébként. \end{matrix}

Tekintsük az S = {1, …, m} elemekből képezhető alábbi sorozatokat:

Σ_{A} = {(s_{i})_{i∈Z}: A_{s_{i}s_{j}} = 1 minden i ∈ Z esetén}.

Σ_{A} zárt S^{Z}-ben (a szorzat-topológiában), és invariáns a σ baleltolásra. A következő tétel áll fenn a szimbolikus dinamika létezéséről:

Tétel. Tetszőleges s ∈ Σ_{A} esetén ∩_{j∈Z}f^{−j}R_{s_{j}} egyelemű. Jelölje a metszet elemét π(s). Ekkor π : Σ_{A} → M folytonos szürjekció, π ∘ σ = f ∘ π, és π egy-egyértelmű egy reziduális halmazon.

2. Statisztikus fizikai fogalmak és ergodelméleti alkalmazások

A statisztikus fizika nagyon sok kölcsönható részből álló rendszerek leírásával foglalkozik. Célja, hogy az elemi részek közötti kölcsönhatások tulajdonságainak ismeretében a rendszert makroszkópikus paraméterekkel jellemezze, mint hőmérséklet, nyomás, és arról kvalitatív állításokat mondjon, mint például fázisátmenet jelenléte vagy hiánya.

A statisztikus fizika matematikai modelljeiben végtelen sok részecske szerepel, mert a fontos jelenségek, mint például fázisátmenet, a végtelen sok részecskéből álló rendszerekre fogalmazhatók meg matematikailag. Mivel az egyes részecskék pontos viselkedése nem lényeges a makroszkópikus jelenségek szempontjából, a rendszert érdemes sztohasztikus modellekkel leírni.

A nemegyensúlyi statisztikus mechanika modelljeiben a rendszer viselkedését általában egy Markov-folyamat írja le. Az alapvető kérdések között szerepel az egyensúlyhoz való konvergencia, a határeloszlások és a stacionárius (időben nem változó) eloszlások elemzése.

Az egyensúlyi statisztikus fizikai leírás gondolatmenete a következő. Egyszerű fizikai elvek alapján egy véges rendszer egyensúlyi eloszlása felírható, és az ezt jellemző fizikai mennyiségek számolhatók. Ezek után vagy azt vizsgáljuk meg, hogy ezek a menynyiségek limeszben hogyan viselkednek, vagy olyan végtelen rendszert tekintünk, melyben tetszőleges véges részrendszer feltételes eloszlása az egyensúlyi. E gondolat valószínűségelméleti megfogalmazása — mely lehetővé tette például a fázisátmenetek precíz tárgyalását — R. L. Dobrushintól származik [Dob].

Rácsmodellek. Olyan modellekre fogunk szorítkozni, melyben a részecskék egy szabályos rács pontjaiban helyezkedhetnek el. Az elmélet itt következő bemutatásában nagyrészt a [Rue] munkát követjük.

Legyen d pozitív egész, a modell dimenziója. A részecskék a Z^{d} rács pontjaiban helyezkednek el. Legyen S véges halmaz, mely egy részecske lehetséges állapotait reprezentálja, ezeket spineknek hívjuk. (Itt a végesség nem feltétlenül szükséges, az elmélet ugyanúgy felépíthető, ha S kompakt metrikus tér.) A rendszer konfigurációs tere Ω = {(s_{i})_{i∈Z^{d}}: s_{i} ∈ S} = S^{Z^{d}}. X ⊂ Z^{d} esetén egy X-beli konfigurációt vagy egy s konfiguráció X-re való megszorítását s_{X} jelöli. Az X-beli konfigurációk összességét Ω_{X} = {(s_{i}): i ∈ X} jelöli. s_{X} ∈ Ω_{X}, s′_{Y} ∈ Ω_{Y}, X ∩ Y ≠ ∅ esetén s_{X} ∨ s′_{Y} jelöli az együttes konfigurációt X ∪ Y -ban. |X| jelöli X elemszámát. Z^{d}-n bevezetjük a következő metrikát: |i| = max_{α} |i_{α}|, (1 ≤ α ≤ d). Ω illetve Ω_{X} a szorzattopológiával kompakt metrizálható terek. Minden mérték, amiről szó lesz az alaphalmaz Borel-féle σ-algebráján értelmezett.

Kölcsönhatás alatt egy Φ = (Φ_{X}) családot értünk, ahol X a Z^{d} véges részhalmazain fut végig, és Φ_{X} : Ω_{X} ↦ R. Legyen ∥Φ_{X}∥ = sup_{s_{X}} |Φ_{X}(s_{X})|. Rögzítsünk egy Λ ⊂ Z^{d} véges halmazt és egy s′_{Λ^{c}} ∈ Ω_{Λ^{c}} peremfeltételt a Λ komplementerében. Megadjuk a Λ-beli konfigurációk eloszlását, feltéve, hogy kívül (Λ^{c}-ben) s′ a konfiguráció. Legyen

H(s_{Λ}|s′_{Λ^{c}}) = − ∑_{X∩Λ≠∅} Φ_{X}(s_{X∩Λ} ∨ s′_{X∩Λ^{c}})

a rendszer Hamilton-függvénye a Λ véges dobozban s′ peremfeltétel mellett. Ez az s_{Λ} konfiguráció energiája. Ha Φ_{X} tetszőlegesen nagy X-ek esetén is felvesz 0-tól különböző értéket, akkor fel kell tenni, hogy ∥Φ_{X}∥ elég gyorsan csökken, ahogy X nő, ahhoz, hogy a H-t definiáló összeg abszolút konvergens legyen. A következőkben mindig teljesülni fog az alábbi feltétel:

∥Φ∥_{i} = ∑_{X∋i} ∥Φ_{X}∥ < +∞ minden i ∈ Z^{d} esetén.

A H(· |s′_{Λ^{c}})-hez tartozó Gibbs-eloszlás a

ν(s_{Λ}|s′_{Λ^{c}}) = Z^{−1}(Λ|s′_{Λ^{c}}) exp(−H(s_{Λ}|s′_{Λ^{c}}))

valószínűségi mérték Ω_{Λ}-n, ahol

Z(Λ|s′_{Λ^{c}}) = ∑_{s_{Λ}} exp(−H(s_{Λ}|s′_{Λ^{c}}))

normáló tényező. Z-t partíciófüggvénynek nevezzük. Tekintsük még a

H(s_{Λ}) = − ∑_{X⊂Λ} Φ_{X}(s_{X})

szabad peremfeltétel melletti Hamilton-függvényt, és a hozzá tartozó Gibbs-eloszlást jelölje ν_{Λ}, azaz

ν_{Λ}(s_{Λ}) = Z^{−1}(Λ) exp(−H(s_{Λ})).

A megfelelő várható értékeket jelölje ⟨·⟩_{Λ,s′}, illetve ⟨·⟩_{Λ}.

Példa. Ising modell külső mágneses térben. Mágneses anyag klasszikus leírására használt modell a következő. Legyen S = {−1, 1} (a részecskék kétfajta mágnesezettséggel rendelkezhetnek), X = {i} esetén Φ_{X} = hs_{i}, ahol h egy valós paraméter (külső mágneses tér), X = {i, j}, |i − j| = 1 esetén Φ_{X} = −Js_{i}s_{j} (a szomszédos spinek kölcsönhatási energiája a J > 0 paraméterrel arányos), egyéb X-ekre Φ_{X} = 0. Tehát

H(s_{Λ}) = −h ∑_{i∈Λ} s_{i} − J ∑_{⟨i,j⟩} s_{i}s_{j},

ahol a második összegzés szomszédos párokra történik. Az előbbiektől való kis eltéréssel legyen

ν(s_{Λ}) = 1 ; Z(β, h) exp(−βH(s_{Λ})),

ahol 1 ; β = T fizikai jelentése hőmérséklet.

A fent bevezetett Gibbs-eloszlás a következő variációs elv segítségével is definiálható. Legyenek E_{1}, …, E_{n} egy rendszer energiájának lehetséges értékei az egyes állapotokban, p_{1}, …, p_{n} pedig egy valószínűségeloszlás. Az S = ∑_{i=1}^{n} −p_{i} log p_{i} menynyiséget az eloszlás entrópiájának nevezzük, U = ∑_{i=1}^{n} p_{i}E_{i} az átlagos energia. Keressük azt az eloszlást, mely az F = U − 1 ; β S szabad energiát minimalizálja. Ez éppen

p_{i} = 1 ; Z(β) exp(−βE_{i}).

Termodinamikai limesz. Vizsgáljuk a Λ → Z^{d} határátmenetet.

Definíció. A Λ_{n} ⊂ Z^{d} véges részhalmazokból álló sorozatra azt mondjuk, hogy Λ_{n} → Z^{d}, ha tetszőleges A ⊂ Z^{d} véges halmazhoz van olyan n_{0}(A) index, hogy Λ_{n} ⊃ A minden n ≥ n_{0} esetén. Ha Λ_{n} monoton bővülő, akkor a Λ_{n} ↗ Z^{d} jelölést is használjuk. Jelölje Pr_{Λ} : Ω ↦ Ω_{Λ} a természetes projekciót, hasonlóan értelmezzük M ⊃ Λ esetén a Pr_{ΛM} : Ω_{M} ↦ Ω_{Λ} projekciót.

Definíció. Legyen ν_{n} valószínűségi mérték Ω_{Λ_{n}}-en, ahol Λ_{n} → Z^{d}. Az Ω téren értelmezett ρ valószínűségi mértéket a ν_{n} sorozat egy termodinamikai limeszének nevezzük, ha létezik egy Λ_{n_{k}} részsorozat, hogy minden Λ ⊂ Z^{d} véges halmazra

lim_{n→∞} Pr_{ΛM_{n_{k}}}^{∗} ν_{n_{k}} = Pr_{Λ}^{∗}ρ.

Tétel. Tetszőleges mértéksorozathoz mindig létezik legalább egy termodinamikai limesz.

Bizonyítás. Rögzített Λ esetén található olyan részsorozat, melyre

lim_{n→∞} Pr_{ΛM_{n_{k}}}^{∗} ν_{n_{k}} = ρ_{Λ}

létezik, ugyanis Ω_{Λ} kompakt (sőt véges). Mivel Z^{d}-nek megszámlálható sok véges részhalmaza van, átlós eljárást alkalmazva feltehető, hogy a fenti limesz minden Λra létezik. Könnyen látható, hogy Pr_{ΛM}^{∗}ρ_{M} = ρ_{Λ} teljesül, így tetszőleges A ∘ Pr_{Λ} (A ∈ C(Ω_{Λ})) alakú véges tartójú függvényre a ρ(A ∘ Pr_{Λ}) = ρ_{Λ}(A) definíció korrekt. Mivel a véges tartójú függvények sűrűn vannak C(Ω)-ban, ezért ρ egyértelműen kiterjed egy pozitív és 1 normájú funkcionállá, melyre Pr_{Λ}^{∗}ρ = ρ_{Λ}.

Definíció. 1. Az Ω-n értelmezett μ mérték Gibbs-mérték, ha tetszőleges Λ ⊂ Z^{d} véges halmazon vett feltételes eloszlása a véges Gibbs-eloszlás, vagyis

μ(s_{Λ}|s_{Λ^{c}} = s′_{Λ^{c}}) = ν(s_{Λ}|s′_{Λ^{c}}).

Ezzel ekvivalens definíció:

2. Tetszőleges Λ ⊂ Z^{d} véges halmazhoz létezik egy μ_{Λ^{c}} valószínűségi mérték Ω_{Λ^{c}}-en, amire

Pr_{Λ}^{∗}μ(s_{Λ}) = ∫_{Ω_{Λ^{c}}} ν(s_{Λ}|s′_{Λ^{c}})μ_{Λ^{c}}(ds_{Λ^{c}}),

ahol ν a véges Gibbs-eloszlás Λ-ban.

A definíció fontosságára az alábbi tétel mutat rá.

Tétel. Rögzítsünk egy Φ kölcsönhatást. Minden Λ-hoz rögzítsünk egy tetszőleges s′_{Λ^{c}} peremfeltételt. Tekintsük a ν_{Λ} és a ν(·|s′_{Λ}) Gibbs-eloszlásokat. Ekkor

(a) ν_{Λ} tetszőleges termodinamikai limesze Gibbs-mérték.

(b) ν(·|s′_{Λ^{c}}) tetszőleges termodinamikai limesze Gibbs-mérték.

(c) A (b) pont alatt kapott Gibbs-mértékek konvex burkának lezártja megegyezik az összes Gibbs-mértékek G_{Φ} halmazával.

(d) G_{Φ} ≠ ∅; G_{Φ} konvex és kompakt.

A (c) pont szerint ahhoz, hogy megkapjuk a Gibbs-mértékeket, azt kell megvizsgálni, hogy különböző peremfeltételek esetén milyen termodinamikai limeszeket kapunk. Speciálisan, ha a termodinamikai limesz nem függ a peremfeltételektől, akkor egyetlen Gibbs-mérték van.

Abban az esetben, amikor a Gibbs-mérték nem egyértelmű, azt mondjuk, hogy fázisátmenet történik.

Annak céljából, hogy ezt a jelenséget egy másik oldalról is megvilágítsuk, térjünk vissza az Ising-modellhez. (E résszel kapcsolatban lásd [T].) A rendszer makroszkopikus viselkedését bizonyos fizikai mennyiségek termodinamikai limeszben való viselkedése árulja el. Jelölje Z_{Λ}(β, h) a partíciófüggvényt, és legyen

p_{Λ}(β, h) = 1 ; β|Λ| ln Z_{Λ}(β, h),

melynek fizikai jelentése nyomás vagy szabad energia. Ebből egyszerűen meghatározhatók különböző fizikai mennyiségek, mint például az átlagos mágnesezettség:

m_{Λ}(β, h) = ⟨∑_{i∈Λ} s_{i}⟩_{Λ} ; |Λ| = 1 ; β|Λ|Z_{Λ} ∂Z_{Λ} ; ∂h (β, h) = ∂p_{Λ} ; ∂h (β, h),

ahol ⟨·⟩_{Λ} a Gibbs-eloszlásra vonatkozó várhatóértéket jelöli. Belátható, hogy a

p(β, h) = lim_{Λ↑Z^{d}} p_{Λ}(β, h) és m(β, h) = lim_{Λ↑Z^{d}} m_{Λ}(β, h)

limeszek léteznek, ha Λ az előbbinél szűkebb értelemben, bizonyos elfajulásokat kizárva tart Z^{d}-hez.

d ≥ 2 esetén a β paraméter függvényében (ami a hőmérséklet reciproka) a következő — a fizikai tapasztalattal jól megegyező — viselkedést látjuk. Létezik egy β_{c} kritikus paraméterérték, hogy

(1) β < β_{c} esetén (T > T_{c}, magas hőmérsékleten) h → p(β, h) sima (analitikus), és lim_{h→0} m(β, h) = m(β, 0) = 0. (Magas hőmérsékleten az anyag elveszti mágnesezettségét.)

(2) β > β_{c} esetén (alacsony hőmérsékleten) a h → m(β, h) függvény szakad h = 0ban: m(β, 0+) > 0, m(β, 0−) < 0. (Spontán mágneseződés.) Mivel itt a nyomás függvény első deriváltja szakad, ezt elsőrendű fázisátmenetnek hívják.

Belátható, hogy elég kis β esetén mindig egyetlen Gibbs-állapot van, elég nagy β esetén pedig h = 0-nál legalább két Gibbs-állapot létezik. Általános tény, hogy a Gibbs-állapotok egyértelműsége és a termodinamikai függvények simasága összefügg.

Rátérünk a magas hőmérsékleti tartományban használt technikák ismertetésére. Az Ising-modellben β = 0 esetén (nincs kölcsönhatás), a véges Gibbs-eloszlások

mind szorzat-mértékek (ugyanígy tetszőleges modellben, ha minden X-re Φ_{X} ≡ 0). Az is könnyen belátható, hogy ekkor egyetlen Gibbs-mérték létezik: a szorzatmérték, a spinek értékei független, azonos eloszlású változók. Kis β esetén (általánosan kis ∥Φ_{X}∥ esetén) az egyértelműség megmarad, és habár a spinek nem függetlenek, a távoliak korrelációja kicsi. Teljesül továbbá, hogy a P = lim_{Λ→Z^{d}} ln Z(Λ)/|Λ| szabadenergia létezik és analitikus függvénye h-nak. Az analitikusság tetszőleges kölcsönhatás esetén is megfogalmazható (lásd később: teljes analiticitás).

Az egyértelműség igazolásához

⟨F ⟩_{Λ,s} − ⟨F ⟩_{Λ,s′},

a korrelációlecsengéséhez

⟨F G⟩_{Λ} − ⟨F ⟩_{Λ}⟨G⟩_{Λ}

alakú kifejezéseket kell becsülni, ahol F, G véges tartójú függvények, s, s′ peremfeltételek. Analiticitás igazolásához P -t kell analitikus függvények egyenletesen konvergens sorösszegeként előállítani.

Magas hőmérsékleti sorfejtés. A módszert bemutatjuk a legegyszerűbb esetben, majd kitérünk a lehetséges általánosításokra.

Tekintsük az Ising-modellt h = 0 és kis β mellett. A 0 és a k rácspontban lévő spinek korrelációja:

⟨s_{0}s_{k}⟩_{Λ} = ∑_{s_{Λ}} s_{o}s_{k} exp(−βH(s_{Λ})) ∑_{s_{Λ}} exp(−βH(s_{Λ})).  (1)

(h = 0 és a szabad peremfeltétel miatt a rendszer szimmetrikus a + ↔ − cserére, így ⟨s_{0}⟩_{Λ} = ⟨s_{k}⟩_{Λ} = 0.)

exp(−βH(s_{Λ})) = exp(βJ ∑_{⟨ij⟩} s_{i}s_{j}) = ∏_{⟨ij⟩⊂Λ}(cosh(βJs_{i}s_{j}) + sinh(βJs_{i}s_{j})) =

= ∏_{⟨ij⟩⊂Λ} cosh βJ(1 + s_{i}s_{j} tanh βJ) =

= (cosh βJ)^{|B(Λ)|} ∏_{⟨ij⟩⊂Λ}(1 + s_{i}s_{j} tanh βJ),

(2)

ahol B(Λ) a Λ-ba eső szomszédos rácspont-párok halmazát jelöli. Írjuk be (2)-t (1)-be, és fejtsük ki a szorzatot. Akkor a számláló:

(cosh βJ)^{|B(Λ)|} ∑_{s_{Λ}} s_{0}s_{k} ∑_{X ⊂B(Λ)} ∏_{⟨i_{1}i_{2}⟩∈X} s_{i_{1}}s_{i_{2}} tanh βJ =

(cosh βJ)^{|B(Λ)|} ∑_{X ⊂B(Λ)}(tanh βJ)^{|X |} ∑_{s_{Λ}} s_{0}s_{k} ∏_{⟨i_{1}i_{2}⟩∈X} s_{i_{1}}s_{i_{2}}.

(3)

Az s_{Λ}-ra való összegzés eredménye 0 minden olyan esetben, mikor a szereplő indexek bármelyike páratlan sokszor szerepel. Egyébként az összeg 2^{|Λ|}. Hasonló alakú a nevező is. Vezessük be a

∂X = {i: i páratlan sokszor szerepel X -ben}

jelölést. Ekkor a fentiek alapján

⟨s_{0}s_{k}⟩_{Λ} = ∑_{X:∂X ={0,k}}(tanh βJ)^{|X |} ∑_{X:∂X =∅}(tanh βJ)^{|X |} .  (4)

(A (cosh βJ)^{|B(Λ)|}2^{|Λ|} közös faktor kiesik.) A becslés kulcsa a következő észrevétel: a ∂X = {0, k} feltételből következik, hogy létezik egy X ⊃ P = {⟨i_{t}i_{t+1}⟩}_{t=0}^{n−1} út X -ben, melyre i_{0} = 0 és i_{n} = k, és az X′ = X \ P halmazra ∂X′ = ∅. Rögzítsünk minden előforduló X -hez egy ilyen P -t.

∑_{X:∂X =\{0,k\}}(tanh βJ)^{|X |} = ∑_{P:0→k}(tanh βJ)^{|P |} \begin{matrix}∑ & P \\ X′:∂X′=∅ \end{matrix}(tanh βJ)^{|X′|},

ahol ∑^{P} olyan X′-kön fut, amikhez P -t választottuk. Mivel minden tag nemnegatív, a belső szummát felülről becsülhetjük ⟨s_{0}s_{k}⟩_{Λ} nevezőjével, így

⟨s_{0}s_{k}⟩_{Λ} ≤ ∑_{P:0→k}(tanh βJ)^{|P |}.

A jobb oldalon álló kifejezést egy |k| szerint haladó geometriai sor farokszeletével fogjuk becsülni. Azon P -k száma, melyek hossza |P | = n felülről becsülhető (2d)^{n}-nel. Az összes ilyen P -k hozadéka tehát legfeljebb (2d tanh βJ)^{n}. Legyen tehát β olyan kicsi, hogy 2d tanh βJ < 1. Felhasználva, hogy P: 0 → k esetén |P | ≥ |k|:

⟨s_{0}s_{k}⟩_{Λ} ≤ ∑_{n≥|k|}(2d tanh βJ)^{n} ≤ C exp(−m|k|)

valamilyen m > 0 és C < ∞ konstansokkal, melyek nem függenek Λ-tól. Így a Gibbsmértékre vonatkozó korreláció exponenciálisan cseng le a változók távolságának függvényében.

A következő irányokban általánosítható az előbbi gondolatmenet.

1. Legyenek F és G olyan függvények, melyek csak az A, illetve B véges halmazokba eső változóktól függenek, és jelölje d(A, B) az A és B halmazok távolságát (Z^{d} metrikája szerint). Ekkor

|⟨F G⟩_{Λ} − ⟨F ⟩_{Λ}⟨G⟩_{Λ}| ≤ C∥F ∥∥G∥ exp(−m d(A, B)).  (5)

2. Legyen F olyan függvény, mely csak az A véges halmazba eső változóktól függ, és s, s′ két peremfeltétel. Ekkor

|⟨F ⟩_{Λ,s} − ⟨F ⟩_{Λ,s′}| ≤ C∥F ∥ exp(−m d(A, Λ^{c})),

amiből következik, hogy a termodinamikai limesz nem függ a peremfeltételektől, vagyis egyetlen Gibbs-állapot létezik. Ha ⟨·⟩ jelöli az erre vonatkozó várható értéket, akkor erre

|⟨F G⟩ − ⟨F ⟩⟨G⟩| ≤ C∥F ∥∥G∥ exp(−m d(A, B)).  (6)

3. Vezessük be az eltolásinvariáns kölcsönhatások terén a

∥Φ∥_{γ} = ∑_{0∈X} e^{γd(X)}∥Φ_{X}∥,

normát, ahol γ > 0 rögzített. Ekkor minden γ > 0-hoz létezik ε_{0} > 0, C < ∞, m > 0, hogy ∥Φ∥_{γ} ≤ ε_{0} esetén a (6) korreláció-lecsengés érvényes, és egyetlen Gibbs-mérték van.

A fenti állítás perturbatív jellegű. A 0 kölcsönhatás bizonyos tulajdonságai megmaradnak kis perturbáció esetén. Hasonló perturbatív állítás mondható a 0 helyett más olyan kölcsönhatásokra, melyek elég szépen viselkednek.

4. Az egyik ilyen osztály az egydimenziós véges sugarú kölcsönhatások osztálya.

Tétel. Legyen Φ = Φ^{0} + Φ^{1}, ahol Φ^{0} olyan kölcsönhatás Z × Z^{d}-n, mely csak az első koordináta irányában csatol, azaz Φ_{X}^{0} ≠ 0 csak akkor, ha X ⊂ Z × {i} valamely i ∈ Z^{d}-re. Tegyük fel továbbá, hogy Φ_{X}^{0} ≡ 0, ha diam(X) > R. Ekkor minden γ > 0 esetén létezik ε > 0, m > 0, C < ∞, hogy ∥Φ^{1}∥_{γ} ≤ ε esetén Φ-re nézve egyetlen μ Gibbs-mérték van, és tetszőleges F ∈ C(Ω_{A}), G ∈ C(Ω_{B}) esetén

|⟨F G⟩ − ⟨F ⟩⟨G⟩| ≤ C∥F ∥∥G∥ exp(−m d(A, B)).

Abban, hogy a sorfejtést itt is el lehet végezni, fontos szerepe van a következő faktorizációs tulajdonságnak.

Állítás. Legyen Φ^{0} olyan eltolásinvariáns kölcsönhatás Z-n, melyre Φ_{Y}^{0} = 0, ha diam(Y) > R. Ekkor ha J = [t, t + lR] intrevallum (l ∈ N), akkor a partíciófüggvény a következő alakba írható:

Z^{0}(J|s) = λ^{l}W (s_{−})W (s_{+})(1 + g_{J}(s_{−}, s_{+})),

ahol s_{+} = s_{(t+lR,t+(l+1)R)}, s_{−} = s_{(t−R,t)} a peremfeltételek a jobb és baloldalon, λ konstans és g_{J} exponenciálisan kicsi:

|g_{J}(s_{−}, s_{+})| ≤ Ce^{−γ |J| ; R} .

A fenti előállítás azt mutatja, hogy egy R méretű skálán a rendszer hasonló egy magas-hőmérsékletű rendszerhez, és a partíciófüggvény közel megegyezik a komponensek partíciófüggvényeinek szorzatával. (Gondoljunk arra, hogy végtelen hőmérsékleten a partíciófüggvény tisztán hatvány.)

A fenti alakú Φ-k a csatolt leképezések vizsgálatában használhatók. Itt megengedhető — sőt általános dinamikai rendszerek vizsgálatában szükséges is —, hogy az Ω = Z^{d+1} állapotteret a következőképpen általánosítsuk. Ha a spinek S halmaza n elemű, akkor legyen A n × n-es 0-1 elemű mátrix, és csak olyan s konfigurációkat engedjünk meg, melyekre A(s_{(t,i)}, s_{(t+1,i)}) = 1 minden t ∈ Z, i ∈ Z^{d} esetén.

Egy másik osztály, mely körül a perturbációt el lehet végezni, a teljesen analitikus kölcsönhatások osztálya.

Teljesen analitikus kölcsönhatások (lásd [DS]). Tekintsünk véges sugarú eltolásinvariáns kölcsönhatásokat, vagyis tegyük fel, hogy Φ_{X} ≡ 0, ha diam(X) > r. Az ilyen kölcsönhatások a ∥Φ∥ = sup_{X,s_{X}} |Φ_{X}(s_{X})| normával egy véges-dimenziós A_{r} Banach-teret alkotnak . A Z_{Λ}(Φ|s_{Λ^{c}}) partíciófüggvény akkor is definiálható, ha kölcsönhatásnak komplex értékű függvényt engedünk meg. Jelölje e kölcsönhatások terét A_{r}^{C}. Jelölje továbbá Ã_{r}^{C} a nem feltétlenül eltolásinvariáns komplex kölcsönhatások (végtelen dimenziós) Banach terét. Ha Z_{Λ} nem tűnik el, akkor ln Z_{Λ}-t definiáljuk a valós logaritmus folytatásával.

Az A_{r} osztályban vannak olyan kölcsönhatások, melyekre az egyértelműségen és az unicitáson kívül belátható, hogy a szabad energia analitikus a Φ egy környezetében, mint többváltozós komplex függvény. Ezt a részosztályt az teszi érdekessé, hogy több különböző ekvivalens definíció adható rá; Dobrushin és Shlosman [DS] 10-et adnak meg. Az egyik ezek közül:

Definíció. Φ teljesen analitikus, ha létezik olyan C < ∞ és ε > 0, hogy minden Λ-ra és s_{Λ^{c}} peremfeltételre Z_{Λ}(Φ̃|s_{Λ^{c}}) nemeltűnő holomorf függvény az

O_{ε}(Φ) = {Φ̃ ∈ Ã_{r}^{C}: ∥Φ − Φ̃∥ < ε}

tartományban és | ln Z_{Λ}(Φ̃|s_{Λ^{c}})| < C|Λ| minden Φ̃ ∈ O_{ε}(Φ) esetén.

Egy másik ekvivalens definíció azt mutatja, hogy a teljes analitikusság tulajdonsága már egy véges kockában lévő Gibbs-eloszlás tulajdonságai alapján is — algoritmikusan — ellenőrizhető.

Egy példa teljesen analitikus rendszerre az Ising ferromágnes alacsony hőmérsékleten, erős külső térben;

Φ_{X}(s_{X}) = \{ \begin{matrix}hs_{i}, & ha X = \{i\}; \\ J_{i−j}s_{i}s_{j}, & ha X = \{i, j\} (J_{k} ≥ 0 minden k-ra); \\ 0, & egyébként, \end{matrix}
β > β_{0},
|h| > ∑_{k≠0} J_{k}.

A fenti kitérő után kimondhatjuk az ötödik lehetséges általánosítást:

5. A 4. pont állításai akkor is teljesülnek, ha Φ^{0} teljesen analitikus.

6. Végül technikai jellegűek az alábbi kiterjesztések, melyekre a 3. fejezetben lesz szükség.

(a) Az eltolásinvariancia feltétele gyengíthető. Ha Φ^{1} nem feltétlen eltolásinvariáns, és a ∥ · ∥_{γ} normát a

∥Φ∥_{γ} = sup_{i∈Z^{d}} ∑_{X:i∈X} e^{γ d(X)}∥Φ_{X}∥

definíció szerint módosítjuk, akkor a 4. pont állításai érvényben maradnak. A rács belső struktúrája sem játszik lényeges szerepet, és érvényben marad az eredmény speciálisan a Z_{+} × Z^{d} rácsra is.

(b) A spinek véges halmaz helyett tetszőleges kompakt metrikus térben is felvehetnek értékeket, melyen rögzítve van egy a-priori valószínűségi mérték (a nem kölcsönható eloszlás). Ez például lehet a [0, 1] intervallum a Lebesgue-mértékkel. Különböző spinek különböző halmazokban is felvehetnek értékeket. A kölcsönhatásról kikötjük, hogy folytonosan függjön a spinek értékétől, és ekkor a termodinamikai limeszre vonatkozó állítások ugyanúgy bizonyíthatók, mint a véges esetben. A sorfejtés a fizikai menynyiségek folytonosságát nem használja fel, így a 4. pont alatti Tételben tetszőleges F ∈ L^{∞}(Ω_{A}) (|A| < ∞) függvényre létezik lim_{Λ→Z^{d}}⟨F ⟩_{Λ} = ⟨F ⟩.

(c) A Φ kölcsönhatás “gyengén” függhet Λ-tól is, a következő értelemben. Legyen adva kölcsönhatásoknak egy Φ_{Λ} = Φ_{Λ}^{0} + Φ_{Λ}^{1} családja, mely kielégíti a 4. pontban kirótt feltételeket Λ-ban egyenletesen, és emellett

∥Φ_{Λ}_{X} − Φ_{Λ′}_{X}∥ ≤ εe^{−γ d(X,∂Λ)}

minden X ⊂ Λ ⊂ Λ′ esetén, vagyis Φ_{X} = lim_{Λ→Z^{d}} Φ_{Λ}_{X} létezik. Ekkor Φ-re teljesülnek a 4. pontban kimondottak, továbbá a hozzátartozó μ Gibbs-mérték megegyezik a Φ_{Λ} kölcsönhatásokhoz tartozó ν_{Λ} mértékek termodinamikai limeszével, azaz lim_{Λ→Z^{d}} ∫ F dν_{Λ} = ∫ F dμ minden F ∈ L^{∞}(Ω_{A}) függvényre (|A| < ∞).

(d) A 4. pont alatti Tétel kimondásában ε függ a Φ^{0} kölcsönhatástól. A két alkalmazásban, amit bemutatunk, a Φ^{0} + Φ^{1} felbontás szabadon választható, és így Φ^{0} nem független ε-tól. Amire valójában szükség van, az az, hogy R^{d+1}ε elég kicsi legyen.

Ha analiticitási tulajdonságokat szeretnénk bizonyítani, akkor a magas hőmérsékleti sorfejtésnél erősebb módszerre van szükség, mely nem használja fel, hogy a kölcsönhatás valós. Ehhez Φ-nek egy erősebb normában kell kicsinek lenni. Ez a norma

∥Φ∥_{γ}^{∗} = ∑_{0∈X} e^{γ|X|}∥Φ_{X}∥.

A bizonyítás a polimersorfejtés nevű technikán alapul, mely absztrakt alakjában az itt említett kérdéseken kívül más statisztikus fizikai problémákra is alkalmazható.

Polimersorfejtés. (Lásd [GJ].) Legyen P megszámlálható halmaz, melynek elemeit polimereknek nevezzük. Legyen adott P×P-n egy reflexív és szimmetrikus reláció, melyet metszésnek nevezünk. Jelölje γ_{1} ∩ γ_{2} ≠ ∅ azt, hogy γ_{1} és γ_{2} relációban állnak egymással, egyébként γ_{1} ∩ γ_{2} = ∅. Legyenek minden γ ∈ P-re definiálva a következők:

z(γ) komplex szám, a γ aktivitása

|γ| ≥ 0, a γ mérete.

Nevezzük k-polimernek a P_{k} = P × ⋯ × P k-szoros Descartes-szorzat elemeit. A metszési reláció tetszőleges X = (γ_{1}, …, γ_{k}) ∈ P_{k} k-polimeren definiál egy gráfot (γ_{i} és γ_{j} össze van kötve, ha metszik egymást). Jelölje D_{k} azon k-polimerek halmazát, melyek az üres gráfot definiálják, ezeket nevezzük széteső k-polimereknek, és jelölje C_{k} azon k-polimerek halmazát, melyek összefüggő gráfot definiálnak, ezeket összefüggő k-polimereknek hívjuk. Legyen D = ∪_{k}D_{k} és C = ∪_{k}C_{k}.

Példa. Legyen Λ a Z^{d} részhalmaza, és legyen B(Λ) a Λ-ba eső szomszédos rácspontok közötti élek halmaza. Álljon P a B(Λ) összefüggő részhalmazaiból. Két polimer messe egymást, ha tartalmaznak olyan éleket, melyek egyik végpontja közös. |γ| legyen a γ-ban szereplő rácspontok száma.

A z aktivitásfüggvényt terjesszük ki P_{k}-ra, X = (γ_{1}, …, γ_{k}) esetén legyen

z^{X} = ∏_{i=1}^{k} z(γ_{i}),

és legyen megállapodás szerint ∅ ∈ D_{0}, z(∅) = 1. Definiáljuk a Z absztrakt partíciófüggvényt:

Z = ∑_{X∈D} 1 ; |X|!z^{X} = ∑_{k=0}^{∞} 1 ; k! ∑_{(γ_{1},...,γ_{k})∈D_{k}} z(γ_{1}) ⋯ z(γ_{k}).

Némi kombinatorikát felhasználva ln Z-re az alábbi formális hatványsor kifejtés adható:

Tétel. (Formális polimersorfejtés) ln Z, mint a z(γ)-k formális hatványsora a következő képlettel adható meg:

Z = exp( ∑_{X∈C} n(X) ; |X|!z^{X}).

Itt n(X) az X-hez tartozó gráf összefüggő feszítő részgráfjainak előjeles száma, vagyis

n(X) = ∑_{G⊂X}(−1)^{e(G)},

ahol az összegzés összefüggő feszítő részgráfokon fut, e(G) a G éleinek száma.

Megadható egy elégséges feltétel az ln Z-t definiáló összeg abszolút konvergenciájához. A feltétel megfogalmazása érdekében többet teszünk fel a polimerek struktúrájáról. Tegyük fel, hogy minden γ ∈ P-hez hozzá van rendelve egy supp(γ) ⊂ Z^{d} halmaz, és |γ| = |supp(γ)|. Jelölje N(x, a) az x ∈ Z^{d} pontot metsző a méretű polimerek számát. Tetszőleges Λ ⊂ Z^{d} esetén szorítkozhatunk Λ-beli polimerekre:

P(Λ) = {γ: γ ⊂ Λ} = {γ: supp(γ) ⊂ Λ},

és definiálhatjuk a Z(Λ) partíciófüggvényt. A konvergencia vizsgálatához a következő két fajta becslést használjuk:

(∗)  sup_{x∈Z^{d}} N(x, |γ|) ≤ e^{c|γ|}

valamilyen c > 0 konstatnssal, és

(∗∗)  |z(γ)| ≤ e^{−E|γ|},

valamilyen E konstanssal. Vezessük még be a

vol(X) = ∑_{γ_{i}∈X} |γ_{i}|,

és a

C^{a} = {X ∈ C: vol(X) ≥ a}

jelöléseket.

Tétel. (Konvergens polimersorfejtés) Tegyük fel, hogy E ≥ c + 5 és (*), (**) teljesülnek. Ekkor az

ln Z(Λ) = ∑_{X∈C(Λ)} n(X) ; |X|!z^{X}

sor abszolút konvergens. Ha a sort vol(X) szerint haladó összegként írjuk fel, akkor ln Z(Λ)/|Λ| sora |Λ|-ban egyenletesen konvergál. Továbbá ξ = e^{−(E−c−4)} jelöléssel tetszőleges x ∈ Z^{d} és a ∈ N esetén

∑_{{X∈C^{a}(Λ) \atop x∈X}} |n(X)z^{X}| ; |X|! ≤ ξ^{a}.

Másrészt az abszolútérték nélkül vett sorok Λ → Z^{d} esetén konvergálnak, és a limesz ξ^{a}-val korlátos.

Ha a sor rögzített vol(X) értékhez tartozó részletösszegei analitikus függvényei valamely paramétereknek, akkor az egyenletes konvergencia miatt a sorösszeg is analitikus.

A tétel bizonyítása az alábbi két kombinatorikai állítást használja.

Állítás. Jelölje τ(X) az X feszítő fáinak számát. Ekkor

0 ≤ (−1)^{k−1}n(X) ≤ τ(X).

Állítás. (Cayley tétele) Az {1, …, k} szögpontokon megadható, d_{1}, …, d_{k} fokszámokkal rendelkező fák száma

τ(k, {d_{i}}) = (k − 2)! ; ∏_{i=1}^{k}(d_{i} − 1)!.

Megmutatjuk a magas hőmérsékletű Ising-modell példáján, hogyan alkalmazható a fenti tétel.

A polimerek álljanak Z^{d} összefüggő élhalmazaiból, supp(γ) álljon azon rácspontokból, melyek előfordulnak γ-ban. Legyen

z(γ) = ∑_{s_{supp(γ)}} ∏_{⟨ij⟩∈γ}[exp(βs_{i}s_{j}) − 1] ∏_{i∈γ}[exp(hs_{i})/(2 cosh h)].

Ekkor a partíciófüggvény

Z_{Λ}(β, h) = ∑_{s_{Λ}} ∏_{⟨ij⟩⊂Λ}[exp(βs_{i}s_{j}) − 1 + 1] ∏_{i∈Λ} exp(hs_{i}) =

= ∑_{s_{Λ}} ∑_{V ⊂B(Λ)} ∏_{⟨ij⟩∈V} [exp(βs_{i}s_{j}) − 1] ∏_{i∈Λ}[exp(hs_{i})2 cosh h 2 cosh h] =

= (2 cosh h)^{−|Λ|} ∑_{V ⊂B(Λ)} ∑_{s_{suppV}} ∏_{⟨ij⟩∈V} [exp(βs_{i}s_{j}) − 1] ∏_{i∈suppV} exp hs_{i} ; 2 cosh h.

Minden előforduló V szétesik valahány összefüggő komponensre. Ha k darabra esik szét, akkor V -hez hozzá tudjuk rendelni D_{k}-nak pontosan k! darab elemét, és a belső szumma k tényezős szorzatra bomlik. Így kapjuk, hogy

Z_{Λ}(β, h) = (2 cosh h)^{−|Λ|} ∑_{X∈D(Λ)} z^{X} ; |X|!.

A (∗), (∗∗) becslések ellenőrzése után azt kapjuk, hogy P (β, h) = lim ln Z_{Λ}(β, h)/|Λ| létezik és analitikus kis β és kis imaginárius részű h esetén.

E fejezet befejezéséül két példát mutatunk statisztikus fizikai eredmények ergodelméleti alkalmazására. Az első példa a magas hőmérsékleti sorfejtéssel kapott tételt alkalmazza. A harmadik fejezetben bebizonyítunk egy tételt, mely ezen a gondolatmeneten alapul. A második példa klasszikusnak számít az ergodelméletben, és lényegében arra épül, hogy az egydimenziós rendszerek szerkezete jól leírható.

A körvonal nyújtó leképezései. Az alábbi jólismert tételnek a szokásostól eltérő bizonyítását vázoljuk. ([BK1])

Tétel. Legyen F : S^{1} → S^{1} irányítástartó C^{1+δ}-leképezés, melynek foka k > 1. Tegyük fel, hogy f′(x) > λ^{−1}, ahol 0 < λ < 1. Akkor (1) Létezik egyetlen F -re nézve invariáns abszolút folytonos μ mérték.

(2) Tetszőleges ν abszolút folytonos mértékre és G folytonos függvényre

∫ G ∘ F^{n} dν ⟶^{n→∞} ∫ G dμ.

(3) Létezik C < ∞, m > 0, hogy minden G ∈ L^{∞}(S^{1}), H ∈ C^{δ}(S^{1})

|∫ G ∘ F^{n}H dμ − ∫ G dμ ∫ H dμ| ≤ C∥G∥_{∞}∥H∥_{δ} exp(−mn),

ahol

∥H∥_{δ} = ∥H∥_{∞} + sup_{x,y} |H(x) − H(y)| ; |x − y|^{δ}.

Bizonyítás. Tekintsük az ú.n. Perron-Frobenius operátort, melyet az

∫ (G ∘ F)H dm = ∫ G(P H) dm

képlet értelmez, ahol G ∈ L^{∞}(S^{1}, m), H ∈ L^{1}(S^{1}, m) (m a Lebesgue-mérték). Korábbi jelölésünkkel P Hdm = F^{∗}(Hdm), vagyis az invariáns sűrűség P fixpontja. P explicit módon felírható. A jelölések egyszerűsítése érdekében a függvények R-re való felemeltjeivel dolgozunk, és P hatását az 1-szerint periódikus függvényeken írjuk fel. Legyen f az F egyik felemeltje R-re, és jelölje s = 0, …, k −1 esetén f_{s}^{−1}(x) ≡ f^{−1}(x+s). Ekkor

P h(x) = ∑_{s} h(f^{−1}(x + s)) ; f′(f^{−1}(x + s)) = ∑_{s} h(f_{s}^{−1}(x) ; f′(f_{s}^{−1}(x)).

A formulából látható, hogy P : L^{1} → L^{1}, és ∫_{S^{1}} P H dm = ∫_{S^{1}} H dm. Tekintsük a Lebesgue-mérték iteráltjait, melyek sűrűségfüggvénye

(P^{N}1)(x) = ∑_{s_{1},...,s_{N}} ∏_{t=1}^{N}[f′(f_{s_{t}}^{−1} ∘ ⋯ f_{s_{1}}^{−1}(x))]^{−1}.  (∗)

Legyen Ω = ×_{t∈Z_{+}}Ω_{t}, ahol Ω_{t} = {0, …, k − 1}, ha t > 0, és Ω_{0} = [0, 1]. Az s = (x, s_{1}, …, s_{N}) ∈ Ω_{[0,N]} jelöléssel írjuk (∗)-ot

(P^{N}1)(x) = ∑_{s_{1},...,s_{N}} exp(−H_{N}(s))

alakba. Itt s_{1}, …, s_{N} megegyezik a szimbolikus dinamikában x-hez rendelt jelsorozat első N elemével. Egy pillanatra tegyük fel, hogy P^{N}1dm → dμ. Ekkor

∫_{[0,1]} g(x) dμ = lim_{N→∞} ∫_{[0,1]} g(x)(P^{N}1)(x) dx = lim_{N→∞} ∑_{s_{1},...,s_{N}} ∫_{[0,1]} g(x) exp(−H_{N}(s)) dx.

A fenti egyenlőségekből látható, hogy a keresett μ mérték a H Hamilton-függvényhez tartozó Gibbs-mértéknek az első koordinátára, vagyis [0, 1]-re vett megszorítása. Másrészt a (2) pontban kívánt limeszt korreláció lecsengés alakjában lehet felírni. Legyen ugyanis

dν = h_{ν}(x)dx, h_{ν}(s) = h_{ν}(f_{s_{N}}^{−1} ∘ ⋯ f_{s_{1}}^{−1}(x)),

ekkor a kívánt limesz

0 = lim_{N→∞}(∫_{[0,1]} gP^{N}h_{ν} dx − ∫_{[0,1]} gP^{N}1 dx)

= lim_{N→∞}⟨g(x)h_{ν}(s)⟩_{Ω_{[0,N]}} − ⟨g(x)⟩_{Ω_{[0,N]}}⟨h_{ν}(s)⟩_{Ω_{[0,N]}}.

(4)

Hasonló megfigyelés érvényes a (3) pont alatti limeszre.

A statisztikus fizikai apparátus alkalmazásához H_{N}-et egy kölcsönhatással fogjuk kifejezni. Megmutatjuk, hogy ez megtehető úgy, hogy a kölcsönhatás egy véges sugarú, és egy ∥ · ∥_{γ} normában kicsi kölcsönhatás összege legyen. (Megjegyezzük, hogy egydimenziós esetben ∥ · ∥_{γ} ekvivalens a ∥ · ∥_{γ}^{∗} normával.) A bizonyítandó (4) egyenlőségből látható, hogy szembe kell nézni egy technikai problémával: h_{ν}(s) az összes Ω_{[0,N]}-beli spintől függ.

A Hamilton-függvény

H_{N} = ∑_{t=1}^{N} V_{t}  (5)

alakba írható, ahol

V_{t}(s) = log(f′(f_{s_{t}}^{−1} ∘ ⋯ ∘ f_{s_{1}}^{−1}(x))).  (6)

A V_{t} kifejezést tovább bontjuk, hogy legyenek olyan tagok, melyek csak a 0-tól távoli spinektől függenek:

V_{t}(s) = ∑_{l=0}^{t} Φ_{[l,t]}(s) + V_{t}(0_{[0,t]}),  (8)

ahol l ≠ 0, t esetén

Φ_{[l,t]}(s) = V_{t}(s_{[l,t]} ∨ 0_{[0,l−1]}) − V_{t}(s_{[l+1,t]} ∨ 0_{[0,l]}),  (9)

és 0_{[0,l]} az azonosan 0 konfigurációt jelöli. Ennek felhasználásával

H_{N}(s) = ∑_{t=1}^{N} ∑_{l=0}^{t} Φ_{[l,t]}(s) + C,  (10)

ahol C konstans, így elhagyása nem változtat a Gibbs-eloszláson.

Állítás. Létezik egy C < ∞ konstans, amivel

|Φ_{[l,t]}(s)| ≤ Cλ^{δ(t−l)}.  (11)

Bizonyítás. Könnyen adódik az f′ > 1/λ összefüggésből és log f′ Hölder-folyto-nosságából.

Legyen R a legkisebb olyan egész, melyre

λ^{δR ; 2} < ε.  (12)

Definiáljuk a Φ^{0} és a Φ^{1} kölcsönhatásokat: Φ^{0} gyűjtse össze azokat a tagokat, melyekre t − l ≤ R, Φ^{1} álljon a többiből. (11)-ből könnyen adódik (tetszőleges t ∈ Z_{+} esetén) a

∑_{X:X∋t} e^{γ d(X)}∥Φ_{X}^{1}∥ ≤ Cε  (13)

becslés elegendően kis γ-val (például e^{γ} ≤ λ^{δ/2}). R választásából látható, hogy elég kis ε esetén R^{d+1}ε is tetszőlegesen kicsi, így a fejezet első felében, a (d) pontban említettek miatt alkalmazható a 4. pontbeli Tétel. Következik tehát a lim_{N→∞} P^{N}1 dm = dμ limesz létezése.

A (4) alatti korrelációlecsengés igazolásához feltehetjük, hogy a h_{ν}(x) sűrűségfüggvény Hölder-folytonos. Ugyanis tetszőleges h_{ν} sűrűségfüggvény L^{1}-normb́an approximálható Hölderfolytonos függvénnyel, és N-ben egyenletesen teljesül az alábbi becslés:

|∫ G ∘ F^{N}h_{ν} dx − ∫ G ∘ F^{N} h̄_{ν} dx| ≤ ∥G∥_{∞}∥h_{ν} − h̄_{ν}∥_{1}.  (14)

Ezekután az előbb látott teleszkópos átírást alkalmazva legyen

h_{ν}(s) = ∑_{l=0}^{N} h_{ν}_{[l,N]}(s) + h_{ν}(0_{[0,N]}).  (15)

A Hölder-folytonosságból ismét

|h_{ν}_{[l,N]}(s)| ≤ Cλ^{δ(N−l)}.  (16)

Alklamazzuk a korrelációlecsengést a (15) jobb oldalán szereplő összeg minden egyes tagjára. Az egyes becsléseket összeadva,

∑_{l=0}^{N} e^{−ml}λ^{δ(N−l)} ≤ Ce^{−m′N}

felhasználásával adódik (2). Nem Hölder-folytonos sűrűségfüggvények esetén a konvergencia általában nem exponenciális. (3) hasonlóan látható be.

Ebben a formában a bizonyítás természetesen sokkal körülményesebb, mint más ismert technikával ([KH]). A módszer viszont könnyen általánosítható leképezésrácsokra, melyekről a következő fejezetben lesz szó.

Egydimenziós rendszerek. Az első fejezet végén láttuk, hogy egy Markovfelbontással rendelkező f hiperbolikus diffeomorfizmus dinamikája szemikonjugált egy σ : Σ_{A} → Σ_{A} eltolással. Így σ-invariáns mértékekből kaphatunk f-re nézve invariáns mértékeket.

Kiderül, hogy szoros analógia van a Σ_{A}-típusú rendszerek Gibbs-mértékei, és egy tetszőleges (X, T) topologikus dinamikai rendszer (X kompakt metrikus tér, T homeomorfizmus) invariáns mértékeinek egy meghatározott részosztálya, az ú.n. egyensúlyi mértékek között. Ez az analógia a hiperbolikus leképezések esetében felhasználható abszolút folytonos invariáns mérték létezésének vizsgálatához is. Felvázoljuk az ehhez szükséges apparátust.

Tekintsünk egy Φ eltolásinvariáns kölcsönhatást a Σ_{A} rácsmodellen, melyben csak párkölcsönhatások szerepelnek. Ezt a

Φ^{1} = Φ^{1}(s) és a Φ^{2} = Φ^{2}(i − j; s_{i}, s_{j}) = Φ^{2}(j − i; s_{j}, s_{i})

függvények definiálják. Tekintsük a 0 rácspont energiajárulékát:

ϕ^{∗}(s) = Φ^{1}(s_{0}) + ∑_{j≠0} 1 2Φ^{2}(j; s_{j}, s_{0}),

(feltesszük, hogy a sor konvergens). Be lehet látni, hogy a

∑_{k=1}^{∞} k∥Φ^{2}(k; ·, ·)∥ < ∞

feltétel teljesülése esetén a ϕ^{∗} nem véges tartójú kölcsönhatás a Φ-hez tartozóval ekvivalens rendszert definiál (ugyanazok a Gibbs-mértékek). A továbbiakban tehát ϕ : Σ_{A} → R függvényeket tekintünk kölcsönhatásnak.

Vezessük be a

var_{k}ϕ = sup{|ϕ(x) − ϕ(y)|: x_{i} = y_{i}, |i| ≤ k}

jelölést. Legyen

F_{A} = {ϕ : var_{k}ϕ ≤ bα^{k} valamely b > 0, 0 < α < 1 konstansokkal}.

F_{A} azon függvényekből áll, amik Hölder-folytonosak a

d_{β}(x, y) = β^{N}, N = max{n: x_{i} = y_{i} |i| < n}

metrikában. Az α kitevővel Hölder-folytonos függvények Banach-terét jelölje

K_{α} = {f : ∥f∥_{α} = ∥f∥_{∞} + sup_{k≥0}(α^{−k}var_{k}f) < ∞}.

Tegyük fel, hogy van olyan M > 0 egész, hogy az A^{M} mátrix minden eleme pozitív, vagyis a legalább M hosszú A szerint megengedett sorozatok elején és végén minden jelpár előfordulhat. (Ez azzal is ekvivalens, hogy σ topologikusan keverő.) Ekkor a következő tételt lehet belátni, mely mutatja, hogy egydimenziós rendszerekben nincs fázisátmenet.

Tétel. Minden ϕ ∈ F_{A}-hoz létezik egyetlen μ_{ϕ} Gibbs-mérték. Rögzített 0 < α < 1 Hölder-kitevő mellett vannak olyan (α-tól függő) D < ∞, 0 < γ < 1 konstansok, hogy minden f, g ∈ K_{α} és tetszőleges n ≥ 0 esetén:

|∫ g ∘ σ^{n}f dμ − ∫ g dμ ∫ f dμ| ≤ D∥f∥_{α}∥g∥_{α}γ^{n}.

Azt kaptuk tehát, hogy a Gibbs-mérték keverő, sőt, bizonyos simaságú függvényekre a konvergencia gyorsasága exponenciális.

Variációs elv. A Gibbs-mértékek kielégítik a véges Gibbs-eloszlásoknál említett variációs elv általánosítását. Ennek megfogalmazásához a μ mérték entrópiáját kell definiálni.

Entrópia. Legyen C = {C_{1}, …, C_{k}} az X tér egy mérhető partíciója. A C felbontás entrópiáján a

H_{μ}(C) = ∑_{i=1}^{k} −μ(C_{i}) log μ(C_{i})

(nemnegatív) számot értjük. A C és D felbontások közös finomítását jelölje

C ∨ D = {C_{i} ∩ D_{j}: C_{i} ∈ C, D_{j} ∈ D}.

Legyen most T : X → X endomorfizmus. Szubadditivitás alapján könnyen látható, hogy létezik a

H_{μ}(T, D) = lim_{m→∞} 1 ; mH_{μ}(D ∨ T^{−1}D ∨ ⋯ ∨ T^{−n+1}D)

limesz. μ T -re vonatkozó entrópiájának a

h_{μ}(T) = sup_{D} H_{μ}(T, D)

számot nevezzük.

A nyomás (szabad energia) definíciójával már találkoztunk:

P (ϕ) = lim_{m→∞} Z_{[−m,m]}(ϕ) ; 2m.

Most már kimondhatjuk a következő tételt:

Tétel. (variációs elv)

(1) Tetszőleges ϕ ∈ C(Σ_{A}) és μ σ-invariáns mérték esetén

h_{μ}(σ) + ∫ ϕ dμ ≤ P (ϕ).

(2) Legyen ϕ ∈ F_{A}, (Σ_{A}, σ) keverő. Ekkor az egyetlen olyan σ-invariáns mérték, melyre

h_{μ}(σ) + ∫ ϕ dμ = P (ϕ),

a μ = μ_{ϕ} Gibbs-mérték.

Az entrópia és a nyomás tetszőleges topolgikus dinamikai rendszer esetén definiálhatók. Ebben az esetben a variációs egyenlőségnek eleget tevő mértékeket egyensúlyi állapotoknak nevezik.

Térjünk vissza a hiperbolikus rendszerekhez, legyen f : M → M egy Anosovdiffeomorfizmus. Ekkor a konjugálás segítségével belátható, hogy tetszőleges ϕ : M → R Hölder-folytonos függvényre nézve egyetlen μ_{ϕ} egyensúlyi állapot létezik, és ez éppen a ϕ^{∗} = π ∘ ϕ függvényhez tartozó Gibbs-mérték π általi képe. Speciálisan a ϕ^{(u)} = − log(det(Df|_{E_{x}^{u}})) függvényt tekintve kapható az abszolút folytonos invariáns mértékek alábbi karakterizációja.

Tétel. Legyen f egy topologikusan tranzitív C^{2} Anosov-diffeomorfizmus. Ekkor ekvivalensek:

(1) f-re nézve létezik μ = hdm abszolút folytonos invariáns mérték, ahol h Hölderfolytonos,

(2) f-re nézve létezik abszolút folytonos invariáns mérték,

(3) Tetszőleges T^{n}x = x periódikus pont esetén Df^{n} : T_{x}M → T_{x}M Jacobi-determi-nánsa 1.

3. Végtelen dimenziós dinamikai rendszerek

Ha végtelen sok szabadsági fokkal rendelkező rendszer dinamikáját akarjuk leírni, akkor a fázistér nem választható véges-dimenziós sokaságnak, (mint pl. Hamiltonrendszerek esetében), és ez sok technikai problémát okozhat. A Gibbs-mértékek definiálása során már találkoztunk a végtelen sok szabadsági fok problémájával.

Két típusát mutatjuk be végtelen szabadsági fokú dinamikai rendszernek: statisztikus mechanikai rendszereket, és kapcsolt leképezésrácsokat.

Dinamikai rendszerek a statisztikus mechanikában. (Lásd [CFS].) Egy R^{d}- ben mozgó szabad részecske mozgását φ^{t}(x, v) = (x + tv, v) függvény írja le, ahol x ∈ R^{d} a hely, v ∈ R^{d} a sebesség. Tetszőleges dρ = dx · f(v)dv alakú mérték invariáns erre a transzformációcsoportra nézve. A statisztikus mechanikában általában f(v) = const e^{−β(v,v)}, β > 0. Most leírunk egy végtelen sok nemkölcsönható részecskéből álló egyensúlyi rendszert. Az M fázistér álljon az Y = (X, V) alakú párokból, ahol X ⊂ R^{d} megszámlálható, V : X → R^{d}, és az {(x, V (x))} ⊂ R^{2d} halmaz lokálisan véges. Korlátos B ⊂ R^{2d} Borel-halmazokra jelölje κ_{B}(Y) az Y ∩ B elemszámát. Tekintsük M-en a

C_{B,k} = {Y ∈ M : κ_{B}(Y) = k}

alakú halmazok által generált S σ-algebrát, ahol B ⊂ R^{2d} korlátos Borel-halmaz, k ≥ 0 egész. Definiáljuk a ρ-hoz tartozó μ Poisson-mértéket S-en:

μ(C_{B,k}) = [ρ(B)]^{k} ; k! e^{−ρ(B)},

és diszjunkt B_{1}, B_{2} esetén κ_{B_{1}} és κ_{B_{2}} legyenek függetlenek, azaz:

μ(C_{B_{1},k_{1}} ∩ C_{B_{2},k_{2}}) = μ(C_{B_{1},k_{1}})μ(C_{B_{2},k_{2}}),

majd tegyük teljessé az S σ-algebrát μ-re nézve. Ezek után definiáljuk M-en a T^{t} folyamot: Y = {(x_{1}, v_{1}), (x_{2}, v_{2}), …} esetén

T^{t}Y = {φ^{t}(x_{1}, v_{1}), φ^{t}(x_{2}, v_{2}), …}.

Belátható, hogy μ invariáns T^{t}-re nézve.

Technikailag jóval bonyolultabb olyan végtelen szabadsági fokú rendszerek definíciója, ahol a részecskék kölcsönhatnak. Az x és y pontban lévő részecskék között legyen F = −grad_{x}U(∥y − x∥) erejű kölcsönhatás. Ha U eleget tesz bizonyos feltételeknek, akkor az (X, V) konfigurációk terén definiálhatók a Gibbs-mértékek. A rácsmodellekkel analóg módon korlátos E ⊂ R^{d} halmazokon definiálhatók a feltételes Gibbs-eloszlások, ahol a nem-kölcsönható rendszerhez tartozó a-priori mérték szerepét az

f(v) = √(β/π)^{d}e^{−β∥v∥^{2}}

sűrűséghez tartozó Poisson-mérték veszi át. Meg lehet mutatni, hogy definiálható a T^{t} dinamika egy M′ ⊂ M halmazon úgy, hogy μ(M′) = 1 minden Gibbs-mértékre nézve, és a trajektóriák lényegében eleget tesznek a

\begin{aligned}dx ; dt & = v(x) \\ dv(x) ; dt & = − ∑_{y∈X,y≠x} grad_{x}U(∥y − x∥) \end{aligned}

Hamilton-egyenleteknek, habár

H(X, V) = 1 2 ∑_{x∈X}[v(x)]^{2} + ∑_{x,y∈X} U(∥y − x∥)

nem jól-definiált.

Térbeli és időbeli káosz. Tegyük fel, hogy olyan dinamikai rendszerünk van, mely rendelkezik a következő struktúrával. Az M fázistéren adott egy Z^{d+1} (vagy R^{d+1}) hatás, melyet a T^{t}, t ∈ Z időbeli és az S^{i}, i ∈ Z^{d} térbeli eltolások generálnak. Az ilyen rendszert nevezhetjük térbeli kiterjedéssel rendelkező dinamikai rendszernek. Az előző pontban említett rendszerek például ilyenek.

Definíció. (Lásd [PS].) Egy (M, T^{t}, S^{i}, μ) dinamikai rendszer tér-idő kaotikus, ha tetszőleges h_{1}, h_{2} ∈ L^{2}(μ) esetén

∫ h_{1}(T^{t}S^{i}x)h_{2}(x) dμ(x) ⟶^{|t|+|i|→∞} ∫ h_{1}(x) dμ(x) ∫ h_{2}(x) dμ(x).

Értelemszerű a csak térbeli és csak időbeli káosz definíciója.

Kapcsolt leképezésrács. Legyen (M, f, B) egy dinamikai rendszer, ahol B egy σ-algebra M-en. Legyen M = ×_{i∈Z^{d}}M_{i}. Az M téren hatnak a következő leképezések: az F = ×_{i∈Z^{d}}f_{i} direkt szorzat leképezés, valamint az S^{i} térbeli eltolások: (S^{i}x)_{j} = x_{j+i} (i ∈ Z^{d}). E leképezések mérhetőek a szorzat σ-algebrára nézve. Tekintsünk egy A : M → M csatoló leképezést, melyről föltesszük, hogy felcserélhető a térbeli eltolásokkal, és legyen T = A ∘ F. T ergodikus tulajdonságait szeretnénk vizsgálni olyan esetekben, mikor (M, f) viselkedése jól ismert.

Példák. 1. M Riemann-sokaság, B a Borel σ-algebra, és f diffeomorfizmus. Ha f egyenletesen hiperbolikus, akkor, mint az előző fejezet végén láttuk, jó leírás adható (M, f) invariáns mértékeiről ([Bow]).

2. M = S^{1} a körvonal, f : S^{1} → S^{1} C^{1+δ} leképezés, f′ ≥ 1/λ > 1.

3. M = [0, 1]^{2}, f a pék leképezése (baker’s map):

f(x, y) = \{ \begin{matrix}(2x, y/2), & ha 0 ≤ x ≤ 1/2 \\ (2x − 1, y/2 − 1/2), & ha 1/2 < x ≤ 1. \end{matrix}

(M, f, λ) metrikusan izomorf az (1/2, 1/2) típusú Bernoulli-automorfizmussal Z-n. f szakaszonként sima, de nem definiálható mindenütt folytonosan.

Történeti áttekintés. (Lásd [Kan].) A kapcsolt leképezés rácsok vizsgálatát a fizika inspirálta. A modellt 1983-ban K. Kaneko vezette be, mint olyan modellt, mely végtelen sok szabadsági fokkal rendelkezik, és tér-idő káoszt mutat. A tér-idő káosz megértése fontos különböző alkalmazott tudományok szempontjából (folyadék dinamika, szilárd test fizika, biológiai formakialakulás). Mivel a rácspontokba helyezett “lokális dinamika” folyonos paraméterű, ezért remélhető, hogy egy ilyen modell magasabb szinten képes leírni makroszkopikus jelenségeket, mint pl. a sejt-automaták. Másrészt a dinamikai rendszerek elméletében már vannak jól-kialakult fogalmak, melyek segítségével a lokális dinamika jellemezhető.

A modell parciális differenciálegyenletek numerikus megoldása szempontjából is érdekes. Ha egy u_{t} = F (u, u_{x}, …) alakú evolúciós egyenlet megoldására a térben és időben diszkrét sémát alkalmazunk, akkor egy u(t + 1) = T (u(t)) alakú leképezést használunk, ahol T_{i} általában u_{i}-től, és annak egy környezetében lévő koordinátáktól függ.

Egyszerű modellekkel végzett számítógépes szimulációk azt mutatták, hogy egy kapcsolt leképezésrács rendkívül sokféle viselkedést tud produkálni — már elég kis méretű rács esetén is.

Sokat vizsgált példa az egydimenziós kvadratikus család

f_{a}(x) = 1 − ax^{2} x ∈ [−1, 1], 0 ≤ a ≤ 2

által definiált rács. Ennek a családnak a bifurkációiról sokat tudunk, sőt a viselkedése bizonyos értelemben tipikus (lásd pl. [GH], 6.8 fejezet). A legegyszerűbb fajta csatolás a diffúzív csatolás, vagyis fenti jelöléseinkkel

A(x)_{i} = (1 − ε)x_{i} + ε ; 2d ∑_{|j−i|=1} x_{j}.

A diffúzió kiegyenlítő hatású, míg, ha a lokális dinamika kaotikus, annak hatása ezzel ellentétes, a koordináták egymástól függetlenül viselkednek. Ebből a versengésből származik a modell változatos viselkedése.

A modell kétdimenziós változatában megfigyelhető, hogy ha a a kaotikus tartományban van, akkor kis ε esetén a rendszer tér-idő kaotikus, míg ε > 0.35 esetén a tér bizonyos tartományaiban magas, másokban alacsony x értékek állandósulnak, és a tartományok határai mozognak. Ez utóbbi viselkedés hasonló a két-dimenziós nemegyensúlyi Ising-modell alacsony hőmérsékleti viselkedéséhez.

Láttuk, hogy a szimbolikus dinamika kapcsolatot teremt a dinamikai rendszerek és az egydimenziós rácsmodellek között. Azt is láttuk, hogy az egydimenziós modellekben nincs fázisátmenet. Az analógia azt sugallja, hogy egy d-dimenziós leképezésrács viselkedése egy d + 1-dimenziós rácsmodellével hozható kapcsolatba, és így a leképezésrácsok bizonyos jelenségei esetleg magyarázhatók fázisátmenetek jelenlétével illetve hiányával.

A közelmúlt matematikai vizsgálatait főleg ez — a statisztikus fizika eszközeinek alkalmazhatósága — inspirálta. Precíz eredmények abban az esetben vannak, amikor a csatolás gyenge, és a perturbáció lényegében nem rontja el a szétcsatolt rendszer direkt szorzat struktúráját. A csatolásról föl kell tenni, hogy diffeomorfizmus, és ez az egyszerű diffúzív csatolás esetét sem tartalmazza, mert ez nem ráképezés.

Leképezésrácsokra vonatkozó eredmények. A következőkben áttekintünk néhány fogalmat és eredményt az első két példa matematikai vizsgálatával kapcsolatban — főként a [Jia] és a [BK1],[BK2] dolgozatok alapján. Azután vizsgáljuk a 3. példából kapható rácsot, mely kívül esik az eddig vizsgált eseteken.

Első észrevételünk a következő

Állítás. Ha az (M, f, B) dinamikára nézve létezik egy μ keverő mérték, akkor a ν = ⊗_{Z^{d}}μ szorzat-mérték tér-idő kaotikus F -re nézve.

Bizonyítás. Világos, hogy ν invariáns. A térbeli keverés nyílvánvaló, mert (M, S^{i}, ν) Bernoulli. A tér-idő káoszhoz tehát elegendő az időbeli keverést belátni. Ehhez elégséges, hogy tetszőleges C és D hengerhalmazokra

ν(F^{t}C ∩ D) ⟶^{|t|→∞} ν(C)ν(D),

ugyanis a hengerhalmazok karakterisztikus függvényei sűrű alteret generálnak L^{2}(ν)- ben. Legyen

\begin{aligned}M_{A∪B} & = ×_{i∈A∪B}M, \\ ν_{A∪B} & = ⊗_{i∈A∪B}μ, \\ F_{A∪B} & = ×_{i∈A∪B}f_{i}. \end{aligned}

Az (M_{A∪B}, F_{A∪B}, ν_{A∪B}) dinamikai rendszer véges sok keverő rendszer direkt szorzata, ezért

ν(T^{t}C ∩ D) = ν_{A∪B}(T^{t}C ∩ D) ⟶^{|t|→∞} ν_{A∪B}(C)ν_{A∪B}(D) = ν(C)ν(D),

ahol C-t és D-t azonosítottuk M_{A∪B}-beli megfelelőjükkel. Ez éppen az időbeli keverés.

Természetes várakozás, hogy ha A közel van az identitáshoz, akkor T kvalitatív viselkedése megegyezik F -ével.

Tekintsük először az első példát. Két kérdés merül fel. Az egyik, hogy többféle topológia, és így többféle σ-algebra adható M-en. A másik, hogy a perturbáció kicsiségének méréséhez valamilyen metrika kell.

Tetszőleges 0 < q < 1 esetén a

ρ_{q}(x, y) = sup_{i∈Z^{d}} q^{|i|}d(x_{i}, y_{i})

metrika a szorzattopológiát generálja M-en, amivel M kompakt. E topológia nem származtatható sima struktúrából. Természetességét viszont mutatja, hogy a Borel σalgebra megegyezik a szorzat σ-algebrával.

Ha sima struktúrát akarunk definiálni M-en, akkor a

ρ(x, y) = sup_{i∈Z^{d}} d(x_{i}, y_{i})

supremum metrikát kell tekintenünk.

Állítás. ([Jia]) Legyen m az M dimenziója. M-en értelmezhető egy l^{∞}(Z^{d}, R^{m}) modellterű Banach-sokaság struktúra, és egy Finsler metrika, mely a supremum-metrikát származtatja.

Bizonyítás. Fedjük le M-et az (U_{1}, φ_{1}), …, (U_{k}, φ_{k}) térképekkel. Feltehető, hogy φ_{j} folytonosan kiterjed U_{j}-ra. Mivel M kompakt, létezik olyan r > 0 szám, hogy tetszőleges x ∈ M körüli r sugarú zárt gömb része valamelyik térképnek. Tetszőleges x = (x_{i}) ∈ M ponthoz vegyünk olyan U_{j_{x_{i}}} ⊂ M környezeteket, melyekre a B(x_{i}, r) gömb része U_{j_{x_{i}}} -nek, és legyen Φ_{x}(y) = (φ_{j_{x_{i}}} (y_{i}))_{i∈Z^{d}}. Mivel mindegyik φ_{j} az inverzével együtt egyenletesen folytonos és véges sokan vannak, Φ_{x} a B(x, r) gömböt l^{∞}(Z^{d}, R^{m})-be képezi, és homeomorfizmus. Tegyük most fel, hogy B(x, r)∩B(y, r) ≠ ∅. Ekkor B(x_{i}, r) ∩ B(y_{i}, r) ⊂ U_{j_{x_{i}}} ∩ U_{j_{y_{i}}} minden i ∈ Z^{d} esetén. Felhasználva, hogy a megfelelő átmeneti függvények (melyekből szintén véges sok van) deriváltjaikkal együtt egyenletesen folytonosak, kapjuk, hogy a {(Φ_{x}, B(x, r))} struktúra olyan sima, mint M struktúrája. Belátható, hogy az így definiált struktúra nem függ az atlasz választásától.

Tetszőleges v ∈ T_{x}M esetén legyen ∥v∥ = sup_{i∈Z^{d}} ∥v_{i}∥, ahol v_{i} a v-nek az i-edik komponensre való vetítésnél vett képe.

Ezek után leképezések között tekinthetjük a

dist_{C^{0}}(G, H) = sup_{x∈M} ρ(G(x), H(x))

és a

dist_{C^{1}}(G, H) = dist_{C^{0}}(G, H) + sup_{x∈M} ∥DG_{x} − DH_{x}∥

metrikákat.

Ha az f : M → M leképezés struktúrálisan stabil, akkor remélhetjük, hogy ez teljesül F : M → M-re is. Megmutatható ([Jia]), hogy ha f egyenletesen hiperbolikus egy Λ halmazon, akkor F is egyenletesen hiperbolikus a Δ = ⊗_{Z^{d}}Λ halmazon. Továbbá ha A az identitás kis C^{1}-perturbációja, akkor T konjugált a perturbálaltan leképezéssel, vagyis létezik egy h : Δ → M homeomorfizmus, mellyel h ∘ F = T ∘ h.

Felvetődik, hogy nem lehet-e az invariáns mértékek kérdését a h konjugálás segítségével elintézni. A h homeomorfizmus egy-egyértelmű megfeleltetést létesít az F -re és a T -re nézve invariáns mértékek között. Ha μ invariáns mérték F -re nézve, akkor ν(A) = μ(h^{−1}A), azaz ν = h^{∗}μ invariáns T -re nézve. (h^{−1})^{∗} adja az inverz megfeleltetést.

Megmutatjuk, hogy bizonyos kérdések eldöntéséhez ez a megfeleltetés nem elegendő. Tegyük fel, hogy (M, f) rendelkezik sima invariáns mértékkel, és olyan T -invariáns mértéket keresünk, melynek a véges-dimenziós marginálisai abszolút folytonosak a megfelelő Riemann-térfogatra nézve. (Például a szorzat-mérték ilyen a perturbálatlan leképezésre nézve.) Ekkor a h konjugálást csak akkor tudjuk használni, ha differenciálható. Ez azonban általában csak Hölder-folytonos.

Példa. Tekintsük [0, 1)-en az

f(x) = {2x}
a(x) = \{ \begin{matrix}3x/2, & ha 0 ≤ x < 1/3 \\ 3x/4 + 1/4, & ha 1/3 ≤ x < 1 \end{matrix}
t(x) = \{ \begin{matrix}3x, & ha 0 ≤ x < 1/3 \\ 3x/2 − 1/2, & ha 1/3 ≤ x < 1 \end{matrix}

leképezéseket. t(x) = f(a(x)), és a Lebesgue-mérték invariáns mind f-re, mind t-re nézve, azonban a két leképezés között megadható h konjugálás (mellyel th = hf), szinguláris függvény, és a Lebesgue-mértéket szinguláris mértékké transzformálja. h Hölder-folytonos log 3/ log 2 − 1 kitevővel. Az, hogy a nem sima, nem játszik lényeges szerepet, hasonló példa kapható a kisimításával. Megjegyezzük, hogy ha t(x) analitikus függvény, akkor a konjugálás is analitikus.

A körvonal leképezései. A 2. példa esetében a második fejezet végén vázolt módszert ki lehet terjeszteni a leképezésrács esetére. Vezessük be a körvonalon a z_{j} = e^{2πix_{j}} paraméterezést, x_{j} ∈ [0, 1), A_{j} = e^{2πia_{j}}.

Tétel. ([BK1]) Legyen F : S^{1} → S^{1} C^{1+δ} leképezés, F′ ≥ 1/λ > 1, és tekintsük az F -ből kapható leképezésrácsot. Tegyük fel, hogy az A csatolás mindegyik koordináta függvénye mindegyik változójában C^{1}, és exponenciálisan lecsengő a következő értelemben:

sup| ∂a_{i} ; ∂x_{j} − δ_{ij}| ≤ εe^{−β|i−j|},  (1)

valamilyen β > 0 konstanssal. Tegyük fel, hogy a parciális deriváltak Hölder-folytonosak δ kitevővel az alábbi értelemben:

| ∂a_{i} ; ∂x_{j} (x) − ∂a_{i} ; ∂x_{j} (y)| ≤ ε ∑_{k} e^{−β(|i−j|+|i−k|)}|x_{k} − y_{k}|^{δ}.  (2)

Ekkor elég kis ε esetén létezik T -re nézve egy μ invariáns mérték, melynek végesdimenziós marginálisai abszolút folytonosak a Lebesgue-mértékre nézve. Továbbá μ exponenciálisan keverő a következő értelemben: tetszőleges B, D ⊂ Z^{d}, |B|, |D| < ∞-hez létezik C(|B|, |D|) < ∞, m > 0, hogy minden G ∈ L^{∞}(M_{B}), H ∈ C^{δ}(M_{D}) esetén

|∫ G ∘ T^{n}H dμ − ∫ G dμ ∫ H dμ| ≤ C∥G∥_{∞}∥H∥_{δ} exp(−m(n + d(B, D))).

A bizonyításhoz a következő startégiát lehet követni. Tekintünk egy Λ ⊂ Z^{d} véges halmazt, és a T leképezést megszorítjuk erre. Ez úgy történhet, hogy Λ^{c}-ben a változókat mindig fix értéken tartjuk. Felírjuk a P_{Λ} Perron-Frobenius operátort erre a végesdimenziós rendszerre. P_{Λ}^{N}1-et most egy Λ × [0, N] téglában lévő spinrendszer segítségével lehet kifejezni. Az ehhez tartozó potenciál felírható két potenciál összegeként, melyek közül az egyik egydimenziós (csak idő irányú) és véges sugarú, a másik kicsi a

∥Φ^{Λ}∥_{γ} = sup_{α} ∑_{X:α∈X} e^{γd(X)}∥Φ_{X}^{Λ}∥

normában Λ-ban egyenletesen. A magas hőmérsékleti sorfejtésre vonatkozó tételből következik a Gibbs-mérték létezése, és az exponenciális korreláció lecsengés, melyből levezetjük a tétel állításait.

Bizonyítás. Vezessük be a T_{Λ} = A_{Λ} ∘ F_{Λ} levágott leképezést, ahol F_{Λ} definíciója értelemszerű, és

A_{Λ} = R_{Λ} ∘ A ∘ C_{Λ},  (1)

ahol C_{Λ} : M_{Λ} → M kiterjeszti a konfigurációt egy fix Λ^{c}-beli konfigurációval, például C_{Λ}(z)_{i} = 1, ha i ∉ Λ, R_{Λ} pedig a projekció M_{Λ}-ra.

1. Lemma. Létezik egy ε_{0} > 0, amelyre teljesül, hogy minden ε ≤ ε_{0} esetén az a_{Λ} : R^{Λ} → R^{Λ} leképezés C^{1+δ} diffeomorfizmus a következő tulajdonságokkal: léteznek csak ε_{0}-tól függő, (tehát Λ-tól független) β > 0, C < ∞ konstansok, amivel

(a) a_{Λ} 1 szerint periodikus minden változójában,

(b) Da_{Λ} = I + ε_{Λ} jelöléssel (I az identitás) az ε_{Λ} függvény is periódikus, és

\begin{aligned}|ε_{Λ}(x)_{ij}| & ≤ Cεe^{−β|i−j|} \\ |ε_{Λ}(x)_{ij} − ε_{Λ}(y))_{ij}| & ≤ Cε ∑_{k∈Λ} e^{−β(|i−j|+|i−k|)}|x_{k} − y_{k}|^{δ}, \end{aligned}  (2)

(c) ε_{Λ}(x)_{ij} = ε_{Λ′}(x ∨ 1_{Λ′\Λ}), ha i, j ∈ Λ ⊂ Λ′.

(d) Legyen x = R_{Λ}y, ahol y ∈ R^{Λ′}, és i, j ∈ Λ ⊂ Λ′. Ekkor

|ε_{Λ}(x)_{ij} − ε_{Λ′}(y)_{ij}| ≤ Cεe^{−β(|i−j|}e^{− 3β ; 2 d(i,∂Λ)}  (3).

Továbbá a_{Λ}^{−1} szintén kielégíti az (a)-(d) tulajdonságokat, esetleg más β, C konstansokkal.

Bizonyítás. (1. Lemma) a_{Λ}-ra vonatkozóan (2) csak a feltételek átfogalmazása (C = 1 megfelel), és (c) is triviális. (a) belátásához legyen a_{Λ}(x) = x + b(x), ahol x ∈ R^{Λ}. Megbecsüljük a |b_{i}(x) − b_{i}(y)| különbségeket. Soroljuk fel Λ pontjait: {i_{l} : l = 1, …, |Λ|}. Cseréljük ki x koordinátáit egyenként y koordinátáira, azaz legyen

w_{i_{l}}^{(r)} = \{ \begin{matrix}x_{i_{l}}, & ha l ≥ r; \\ y_{i_{l}}, & ha l < r, \end{matrix}

ahol r = 1, …, |Λ| + 1 Ekkor

\begin{aligned}|b_{i}(w^{(r)}) − b_{i}(w^{(r+1)})| & ≤ ∫_{0}^{1} |ε_{ii_{r}}((1 − t)w^{(r)} + tw^{(r+1)})| · |x_{i_{r}} − y_{i_{r}}| dt \\ & ≤ Cεe^{−β|i−i_{r}|}|x_{i_{r}} − y_{i_{r}}|. \end{aligned}

Ebből

|b_{i}(x) − b_{i}(y)| ≤ ∑_{r=1}^{|Λ|} |b_{i}(w^{(r}) − b_{i}(w^{(r+1)})| ≤ Cε ∑_{j∈Λ} e^{−β|i−j|}|x_{j} − y_{j}|.

Legyen most y = x+n, ahol n egységvektor. Ekkor látható, hogy van olyan ε_{1} konstans, hogy minden Λ-ra és minden n ∈ R^{Λ}, |n| = 1-re: |b(x) − b(x + n)| ≤ 1/3, így, mivel a_{Λ} egy függvény felemeltje, a_{Λ}(x + n) = a_{Λ}(x). Ez igazolja az 1 szerinti periodicitást.

Megmutatjuk, hogy (d) következik (b)-ből, és (c)-ből, esetleg tovább csökkentve ε-t.

|ε_{Λ}(x)_{ij} − ε_{Λ′}(y)_{ij}| ≤ Cε ∑_{k∈Λ′\Λ} e^{−β(|i−j|+|i−k|)} ≤ Cεe^{−β|i−j|} ∑_{k∈Λ^{c}} e^{−β|i−k|}

≤ Cεe^{−β|i−j|} ∑_{k:|i−k|≥d(i,∂Λ)} e^{−β|i−k|}.

A belső szumma nyílván felülről becsülhető egy Ce^{− 3β ; 2 d(i,∂Λ)} alakú kifejezéssel.

Fentebb láttuk, hogy az inverzre vonatkozó állításokhoz elég a (b) részt belátni. Az alábbi becslésekből az is következik, hogy az inverz létezéséhez az ε-ra kirótt feltétel Λ-ban egyenletes. Da_{Λ}^{−1} = 1 + ε̃_{Λ} = (1 + ε_{Λ})^{−1} alapján

|ε̃_{Λ}(x)_{ij}| ≤ ∑_{n=1}^{∞} |ε_{Λ}^{n}(a_{Λ}^{−1}(x))_{ij}| ≤ ∑_{n=1}^{∞} ∑_{i_{2},...,i_{n−1}} ∏_{r=1}^{n−1} |ε_{Λ}(a_{Λ}^{−1}(x))_{i_{r}i_{r+1}}|,

ahol i_{1} = i, i_{n} = j. Ebből (2) alapján, felhasználva, hogy ∑_{r=1}^{n−1} |i_{r} − i_{r+1}| ≥ |i − j|,

|ε̃_{Λ}(x)_{ij}| ≤ ∑_{n=1}^{∞} ε^{n} ∑_{i_{2},...,i_{n−1}} ∏_{r=1}^{n−1} e^{−β|i_{r}−i_{r+1}|}

≤ e^{− β ; 2 |i−j|} ∑_{n=1}^{∞} ε^{n} ∑_{i_{2},...,i_{n−1}} ∏_{r=1}^{n−1} e^{− β ; 2 |i_{r}−i_{r+1}|}

≤ e^{− β ; 2 |i−j|} ∑_{n=1}^{∞} ε(εC)^{n−1} ≤ Cεe^{− β ; 2 |i−j|}.

A másik egyenlőtlenség igazolása hasonló. A (c) állítás a levágott perturbáció definíciójából nyilvánvaló, amivel a lemma bizonyítása kész.

Használjuk az A_{Λ}, F_{Λ}, stb. függvények felemeltjeinek jelölésére a megfelelő kisbetűket. Az f_{Λ}^{−1} ∘ a_{Λ}^{−1} inverz ágaira vezessük be a

ψ_{Λ,s}(x)_{i} = f^{−1}(a_{Λ}^{−1}(x)_{i} + s_{i})  (4)

jelölést, ahol (s_{i}) = s ∈ {0, …, k − 1}^{Λ}. Ekkor az a_{Λ} ∘ f_{Λ}-hoz tartozó Perron-Frobenius operátor, (mely periódikus függvényekhez periódikus függvényeket rendel), a következő alakú:

P_{Λ}h(x) = det Da_{Λ}^{−1}(x) ∑_{s} h(ψ_{Λ,s}(x)) ; ∏_{i∈Λ} f′(ψ_{Λ,s}(x)_{i}).  (5)

Jelölje dm_{Λ} a Lebesgue-mértéket R^{Λ}-n. A T_{Λ}^{∗}^{N} dm_{Λ} transzformált mérték sűrűségfüggvénye

(P_{Λ}^{N}1)(x) = ∑_{s_{1},...,s_{N}} ∏_{t=1}^{N}[det Da_{Λ}^{−1}(ψ_{s_{t−1}} ∘⋯∘ψ_{s_{1}}(x)) ∏_{i∈Λ}(f′(ψ_{s_{t}} ∘⋯∘ψ_{s_{1}}(x)_{i}))^{−1}]. (6)

Bevezetünk egy kevert konfigurációs teret a Z_{+}^{d+1} = Z_{+} × Z^{d} rácson, ahol Z_{+} a nemnegatív egészeket jelöli. Az α = (t, i) ∈ Z × Z^{d} rácspontban lévő változó t ≠ 0 esetén a {0, …, k − 1} halmaz eleme, t = 0 esetén pedig a [0, 1) intervallumban van. Jelölje Λ_{N} = {0, …, N}×Λ. Λ_{N}-beli konfigurációkra az s = (x, s_{1}, …, s_{N}) jelölést használjuk. Ekkor (6) a következő alakba írható:

(P_{Λ}^{N}1)(x) = ∑_{s_{1},...,s_{N}} exp(−H_{Λ_{N}} (s)).  (7)

Felírjuk H_{Λ_{N}} -et potenciálokkal kifejezve. Elsőként det Da_{Λ}^{−1}-et írjuk át más alakra. Legyen a_{Λ}^{−1} = I + ε̃_{Λ}, ekkor

det Da_{Λ}^{−1} = det(I + ε̃_{Λ}) = exp( tr log(I + ε̃_{Λ})) = exp(− ∑_{i∈Λ} v_{Λ}_{i}),

ahol

v_{Λ}_{i}(x) = ∑_{n=1}^{∞} (−1)^{n} ; n (ε̃_{Λ}(x)^{n})_{ii}.  (8)

v_{Λ}_{i} (2) és (3) felhasználásával a következőképpen becsülhető (C különböző konstansokat jelöl):

|v_{Λ}_{i}(x)| ≤ ∑_{n=1}^{∞} |(ε̃_{Λ}(x)^{n})_{ii}| ; n ≤ ∑_{n=1}^{∞} (Cε)^{n} ; n ≤ Cε,

vagyis

∥v_{Λ}_{i}∥_{∞} ≤ Cε.  (9)

A |v_{Λ}_{i}(x) − v_{Λ}_{i}(y)| eltérés becsléséhez

|ε̃_{Λ}^{n}(x)_{ii} − ε̃_{Λ}^{n}(y)_{ii}| ≤ ∑_{i_{2},...,i_{n−1}}|∏_{r=1}^{n−1} ε̃_{Λ}(x)_{i_{r}i_{r+1}} − ∏_{r=1}^{n−1} ε̃_{Λ}(y)_{i_{r}i_{r+1}} |,  (10)

ahol i_{1} = i = i_{n}. Az 1. Lemma bizonyításának módszerével innen (8) alapján adódik, hogy

|v_{Λ}_{i}(x) − v_{Λ}_{i}(y)| ≤ Cε ∑_{k∈Λ} e^{− β ; 2 |i−k|}|x_{k} − y_{k}|^{δ}.  (11)

Hasonlóan látható be (3) alapján, hogy Λ ⊂ Λ′, x = R_{Λ}y, i ∈ Λ esetén

|v_{Λ}_{i}(x) − v_{Λ′}_{i}(y)| ≤ Cεe^{− β ; 2 d(i,∂Λ)}.  (12)

A konstansok mindenütt függetlenek Λ-tól. Most H_{Λ_{N}} a következő alakba írható:

H_{Λ_{N}} (s) = ∑_{α∈Λ_{N}} V_{Λ}_{α}(s),  (13

ahol α = (t, i) ∈ Λ_{N} esetén

V_{Λ}_{α}(s) = v_{Λ}_{i}(ψ_{s_{t−1}} ∘ ⋯ ∘ ψ_{s_{1}}(x)) + log f′((ψ_{s_{t}} ∘ ⋯ ∘ ψ_{s_{1}}(x))_{i}).  (14)

Itt V_{Λ}_{α} s|_{Λ_{t}}-től függ. Ez még nem felel meg a céljainknak, mert az f iterálásából származó járulék nem lesz kicsi a ∥ · ∥_{γ} normában. Viszont f′ ≥ λ > 1 miatt f exponeciális sebességgel felejt, így egy csak időirányú véges sugarú járulék levágásával a maradék már kicsi lesz. Másrészt a perturbáció járuléka szintén kicsi.

Legyen M egy konstans, amit majd később megválasztunk, és α′ = (t′, i′) esetén legyen

|α| = 1 ; M t′ + ∑_{r=1}^{d} |i′_{r}|.  (15)

Fix t mellett legyen {α_{l} : l = 0, 1, …} a {0, …, t} × Z^{d} halmaz pontjainak egy olyan sorozatbarendezése, melynél |α_{l}| nemcsökkenő.

V_{Λ}_{α}-t ( α = (t, i) ) a következőképpen osztjuk tovább. Legyen Y_{α}^{m} = {α−α_{l} ∈ Λ_{t} : 0 ≤ l ≤ m}, ( m = 0, 1, 2, …). Ezek a halmazok az α rácspontból kiindulva egyesével (monoton módon) kimerítik az összes olyan rácspontot, melytől V_{Λ}_{α} függ. |α_{m}| ≤ 1 esetén Y_{α}^{m} egy legfeljebb M hosszúságú egydimenziós intervallum az idő koordináta irányában. Legyen

Φ_{Y_{α}^{m}}(s) = V_{Λ}_{α}(s_{Y_{α}^{m}} ∨ 0_{(Y_{α}^{m})^{c}}) − V_{Λ}_{α}(s_{Y_{α}^{m−1}} ∨ 0_{(Y_{α}^{m−1})^{c}}),  (16)

ekkor

V_{Λ}_{α}(s) = ∑_{m≥0} Φ_{Y_{α}^{m}}(s) + V_{Λ}_{α}(0).  (17)

Tekintsük tehát a következő kölcsönhatást Z_{+} × Z^{d}-n: Φ_{X} = Φ_{Y_{α}^{m}}, ha X = Y_{α}^{m} valamilyen α-ra és m-re (legfeljebb egy ilyen α, m pár létezik), egyéb X-ekre Φ_{X} = 0. Φ_{X}(s) csak s_{X}-től függ. A kölcsönhatás függ Λ-tól is, Φ_{Y_{α}^{m}} = Φ_{Y_{α}^{m}}^{Λ} de ez nem játszik lényeges szerepet. (17) és (13) alapján tehát

H_{Λ_{N}} (s) = ∑_{X⊂Λ_{N}} Φ_{X}(s) + konstans,  (18)

ahol konstans = ∑_{α∈Λ_{N}} V_{Λ}_{α}(0). Legyen

Φ = Φ^{0} + Φ^{1},  (18)

ahol Φ^{0} az |α_{m}| ≤ 1 feltételnek eleget tevő egydimenziós tagokat tartalmazza, Φ^{1} pedig az összes többit. Ahhoz, hogy a második fejezetben említett tételt alkalmazhassuk, a következő két állítást igazoljuk.

1. Állítás. Léteznek ε_{2} > 0, C < ∞ konstansok, hogy minden ε < ε_{2} esetén

|Φ_{Y_{α}^{m}}^{Λ}(s)| ≤ \{ \begin{matrix}Cλ′^{t_{m}}, & ha α_{m} = (0, t_{m}); \\ Cε′λ′^{t_{m}}e^{−β′|i_{m}|}, & ha α_{m} = (i_{m}, t_{m}), és i_{m} ≠ 0, \end{matrix}  (19)

ahol λ′ = λ^{δ/2}, ε′ = ε^{δ}, β′ = βδ ; 3 , (δ a perturbáció Hölder-exponense). Másrészt tetszőleges Λ′ ⊃ Λ esetén

|Φ_{Y_{α}^{m}}^{Λ}(s) − Φ_{Y_{α}^{m}}^{Λ′}(s)| ≤ Cε′e^{−β′ d(Y_{α}^{m},∂Λ)}.  (20)

2. Állítás. Létezik γ > 0, ε_{3} > 0, C < ∞, hogy Λ-ban és α-ban egyenletesen minden ε < ε_{3}-ra

∑_{X:X∋α} e^{γ d(X)}∥Φ_{Λ}^{1}_{X}∥ ≤ Cε^{δ}.  (21)

Továbbá

|Φ_{Λ}^{1}_{X}(s) − Φ_{Λ′}^{1}_{X}(s)| ≤ Cε^{δ}e^{−γ d(X,∂Λ)}  (22)

minden X ⊂ Λ ⊂ Λ′ esetén.

Az állítások bizonyításához előbb belátunk három becslést a v_{Λ}_{i} argumentumában lévő kifejezésekről.

2. Lemma. Létezik egy B konstans, hogy a (4) képlet által definiált ψ_{Λ,s}-re

|ψ_{Λ,s}(x)_{i} − ψ_{Λ′,s′}(x′)_{i}| ≤ λ|x_{i} − x′_{i}| + Bε(∑_{j∈Λ} |x_{j} − x′_{j}|e^{−β|i−j|} + e^{− 3β ; 2 d(i,∂Λ)}) (23)

teljesül i ∈ Λ ⊂ Λ′, s = s′|_{Λ} esetén. Λ = Λ′ esetén az e^{− 3β ; 2 d(i,∂Λ)} tag nélkül igaz a becslés.

Bizonyítás. (2. Lemma) Az első lemma (a) részének bizonyításánál látott technikával kapható

|a_{Λ}^{−1}(x)_{i} − a_{Λ′}^{−1}(x′)_{i}| ≤ |x_{i} − x′_{i}| + Bε(∑_{j∈Λ} |x_{j} − x′_{j}|e^{−β|i−j|} + e^{− 3β ; 2 d(i,∂Λ}),

ahonnan adódik az állítás, felhasználva, hogy (f^{−1})′ < λ.

3. Lemma. A ψ_{s} ≡ ψ_{Λ,s}, ψ′_{s′} ≡ ψ_{Λ′,s′} rövidítést használva, létezik C < ∞ konstans (esetleg ε korlátjának csökkentésével), hogy

|ψ_{s_{tn}} ∘ ⋯ ∘ ψ_{s_{t_{1}}} (x)_{i} − ψ′_{s′_{tn}} ∘ ⋯ ∘ ψ′_{s′_{t_{1}}} (x′)_{i}|

≤ λ̃^{n}(|x_{i} − x′_{i}| + Cε ∑_{j∈Λ} e^{− β ; 2 |i−j|}|x_{j} − x′_{j}|) + Cεe^{− β ; 2 d(i∂Λ)}, (24)

ahol i ∈ Λ ⊂ Λ′, s = s′|_{Λ} és λ̃ = λ^{1/2}. Λ = Λ′ esetén az utolsó tag nélkülis teljesül a becslés.

Bizonyítás. (3. Lemma) Teljes indukcióval. n = 1 esetén az előző lemmát használhatjuk. Megmutatjuk, hogy elég nagy C esetén az indukciós lépés teljesül. Alkalmazva (23)-at, és (24)-et n − 1-re, kapjuk, hogy

|ψ_{s_{tn}} ∘ ⋯ ∘ ψ_{s_{t_{1}}} (x)_{i} − ψ′_{s′_{tn}} ∘ ⋯ ∘ ψ′_{s′_{t_{1}}} (x′)_{i}|

≤ λ|ψ_{n−1} ∘ ⋯ ψ_{1}(x)_{i} − ψ′_{n−1} ∘ ⋯ ∘ ψ′_{1}(x′)_{i}|+

Bε[∑_{j∈Λ} |ψ_{n−1} ∘ ⋯ ∘ ψ_{1}(x)_{j} − ψ′_{n−1} ∘ ⋯ ∘ ψ′_{1}(x′)_{j}|e^{−β|i−j|}] + Bεe^{− 3β ; 2 d(i,∂Λ)}

≤ λλ̃^{n−1}(|x_{i} − x′_{i}| + Cε ∑_{j∈Λ} e^{− β ; 2 |i−j|}|x_{j} − x′_{j}|) + λCεe^{− β ; 2 d(i,∂Λ)}+

Bε[∑_{j∈Λ}{λ̃^{n−1}(|x_{j} − x′_{j}| + Cε ∑_{k∈Λ} e^{− β ; 2 |j−k|}|x_{k} − x′_{k}|) + Cεe^{− β ; 2 d(j,∂Λ)}}e^{−β|i−j|}]+

Bεe^{− 3β ; 2 d(i,∂Λ)}.

(25)

A kettős szummát tartalmazó tagban megcserélve j és k szerepét, és a megfelelő tagok együtthatóit összegyűjtve kapjuk, hogy az indukciós lépés feltétele:

(1) λλ̃^{n−1} ≤ λ̃^{n},

(2) λCε + Bε + BCε^{2}D ≤ λ̃^{n}Cε.

(1) automatikusan teljesül λ̃ választása miatt. Másrészt ε korlátját esetleg tovább csökkentve (2) is teljesül elég nagy C-re.

Hasonlóan igazolható a következő lemma.

4. Lemma. Legyen az előző lemmától eltérően legyen Λ = Λ′, s ≠ s′. Ekkor

|ψ_{s_{tn}} ∘ ⋯ ∘ ψ_{s_{t_{1}}} (x)_{i} − ψ_{s′_{tn}} ∘ ⋯ ∘ ψ_{s′_{t_{1}}} (x′)_{i}|

≤ λ̃^{n}(|x_{i} − x′_{i}| + Cε ∑_{j∈Λ} e^{− β ; 2 |i−j|}|x_{j} − x′_{j}|)+

∑_{k=1}^{n} λ̃^{(n−k+1)}(|s_{(t_{k},i)} − s′_{(t_{k},i)}| + Cε ∑_{j∈Λ} e^{− β ; 2 |i−j|}|s_{(t_{k},j)} − s′_{(t_{k},j)}|).

(26)

Most belátjuk a két állítást.

Bizonyítás. (1. Álítás) Tekintsük a 0 < t_{m} < t, i_{m} ≠ 0 esetet. Legyen α = (t, i), és l = t − t_{m} + 1. Jelölje s̄_{k} (k = 1, …, t) azt a konfigurációt, mely Y_{α}^{m}-be eső rácspontokban megegyezik s_{k}-val, máshol 0. Jelölje továbbá s̄′_{t−t_{m}} = s̄′_{l−1} azt a konfigurációt, mely az Y_{α}^{m−1}-be eső pontokban egyezik meg s_{t−t_{m}}-mel. Felhasználva log f′ Hölder-folytonosságát, és a v_{Λ}_{i}-re vonatkozó (11) becslést:

|Φ_{Y_{α}^{m}}^{Λ}(s)| ≤ C|ψs̄_{t} ∘ ⋯ ∘ ψs̄_{l}(y)_{i} − ψs̄_{t} ∘ ⋯ ∘ ψs̄_{l}(y′)_{i}|^{δ}+

Cε ∑_{k∈Λ} e^{− β ; 2 |i−k|}|ψs̄_{t−1} ∘ ⋯ ∘ ψs̄_{l}(y)_{k} − ψs̄_{t−1} ∘ ⋯ ∘ ψs̄_{l}(y′)_{k}|^{δ}, (27)

ahol y = ψs̄_{l−1} ∘ ψs̄_{l−2} ∘ ⋯ ∘ ψs̄_{1}(z), y′ = ψs̄′_{l−1} ∘ ψs̄_{l−2} ∘ ⋯ ∘ ψs̄_{1}(z), z megyezik x-szel az Y_{α}^{m}-be eső koordinátákban, egyébként 0.

A 4. Lemmából kapjuk, hogy

|y_{j} − y′_{j}| ≤ \{ \begin{matrix}Cλ̃, & ha j = i − i_{m}; \\ Cελ̃e^{− β ; 2 |j−i+i_{m}|} & egyéb j ∈ Λ esetén. \end{matrix}

A 3. Lemmát alkalmazva (27)-ben, és beírva a fenti becsléseket kapjuk az állítást. A többi esetben hasonló a bizonyítás.

A (20) becslés igazolásához elegendő a

V_{Λ}_{α}(s_{Y_{α}^{m}} ∨ 0_{(Y_{α}^{m})^{c}}) − V_{Λ′}_{α}(s_{Y_{α}^{m}} ∨ 0_{(Y_{α}^{m})^{c}})  (28)

kifejezést becsülni a megadott módon. Ehhez legyen s̄_{k} mint fent, és legyen s̄′_{k} definíciója ugyanaz, Λ helyett Λ′-vel. Legyen z ugyanaz, mint fent. Ekkor

(28) ≤ C|ψs̄_{t} ∘ ⋯ ∘ ψs̄_{1}(z)_{i} − ψ′ ; s̄′_{t} ∘ ⋯ ∘ ψ′ ; s̄′_{l}(z)_{i}|^{δ}+

Cε ∑_{k∈Λ} e^{− β ; 2 |i−k|}|ψs̄_{t−1} ∘ ⋯ ∘ ψs̄_{1}(z)_{k} − ψ′ ; s̄′_{t−1} ∘ ⋯ ∘ ψ′ ; s̄′_{l}(z)_{k}|^{δ}. (29)

A 3. Lemmát használva csak a Cεe^{− β ; 2 d(i∂Λ)} tag hoz járulékot.

Legyen M a legkisebb egész, melyre

λ′^{M} < ε^{δ} = ε′.  (30)

Bizonyítás. (2. Állítás) Felhasználva, hogy

d(Y_{α}^{m}) ≤ c(t_{m} + |i_{m}|), |Y_{α}^{m}| ≤ C(t_{m} + |i_{m}|)^{2},

és a (30) definíciót, kapjuk, hogy

∑_{X:ω∈X} e^{γ d(X)}∥Φ_{Λ}^{1}_{X}∥ ≤ ∑_{{α,m:β=α−α_{m} \atop |α_{m}|≥1}} |Y_{α}^{m}|Cε^{′δ_{0im}} λ^{′t_{m}} exp(−β′|i_{m}| + γ d(Y_{α}^{m}))

≤ C ∑_{t_{m}≥M} |Y_{α}^{m}|λ^{′t_{m}} exp(cγt_{m}) + Cε′ ∑_{{α_{m}:|α_{m}|≥1 \atop i_{m}≠0}} |Y_{α}^{m}|λ^{′t_{m}} exp(−β′|i_{m}| + γ d(Y_{α}^{m}))

≤ Cε′( ∑_{t_{m}≥M} t_{m}^{2}λ^{′(t_{m}−M)} exp(cγt_{m}))+

Cε′( ∑_{{α_{m}:|α_{m}|≥1 \atop i_{m}≠0}}(t_{m} + |i_{m}|)^{2} exp\{(log λ′)t_{m} − β′|i_{m}| + cγ(t_{m} + |i_{m}|)\}).

(31)

Elég kicsi (M-től függő) γ-ra, a nagy zárójelben lévő kifejezések fix korlát alatt maradnak, így megkaptuk (21)-et. (22) nyílvánvaló (20) alapján.

Most megmutatjuk, hogy a Gibbs-mérték létezéséből és az exponenciális korelációlecsengésből hogyan adódnak a tétel állításai.

Tetszőleges B ⊂ Z^{d}, |B| < ∞, G ∈ L^{∞}(M_{B}), Λ ⊃ B esetén

∫_{M_{Λ}} G ∘ T_{Λ}^{N} dm_{Λ} = ∑_{(s_{i})_{1}^{N}} ∫_{C_{Λ}} G(x) exp(−H_{Λ_{N}} (s)) dx,  (32)

ahol C_{Λ} jelöli az egységkockát R^{Λ}-ban. Jelölje μ̄ a Gibbs-mértéket, és jelölje μ a megszorítását M-re, azaz a (0, i) alakú koordinátákra. Ekkor Λ → Z^{d}, N → ∞ esetén a baloldal limesze ∫_{M} G dμ. Tetszőleges i ∈ Z^{d} esetén Φ_{Λ+i}_{X}(τ_{i}s) = Φ_{Λ}_{X}(s), ahol τ_{i} jelöli az i-vel való eltolást. Így μ̄ invariáns a térkoordinátákbeli eltolásokra nézve, amiből következik, hogy μ eltolásinvariáns. Belátjuk, hogy μ T -invariáns is.

Legyen G ∈ C(M_{B}) véges tartójú folytonos függvény. Ekkor

lim_{Λ→Z^{d}} ∥G ∘ T_{Λ} − G ∘ T ∥_{∞} = 0.  (33)

Ennek felhasználásával:

∫ G ∘ T dμ = lim_{Λ→Z^{d}} ∫ G ∘ T_{Λ} dμ = lim_{Λ→Z^{d}} lim_{{Λ′→Z^{d} \atop N→∞}} ∫ G ∘ T_{Λ} ∘ T_{Λ′}^{N} dm_{Λ′}

= lim_{{Λ′→Z^{d} \atop N→∞}} ∫ G ∘ T_{Λ′}^{N+1} dm_{Λ′} = ∫ G dμ.

Mivel a véges tartójú függvények sűrűn vannak C(M)-ben, az invariancia következik.

Mivel a termodinamikai limesz tetszőleges G ∈ L^{∞}(M_{B}) esetén is létezik, G-t Lebesgue-null-mértékű halmaz karakterisztikus függvényének választva látható, hogy μ véges-dimenziós marginálisai abszolút folytonosak a Lebesgue-mértékre nézve.

A tér-idő keverést elegendő akkor belátni, amikor G ∈ C(M_{B}), ugyanis tetszőleges G ∈ L^{∞}(M_{B}) tetszőleges jól közelíthető L^{1} normában folytonos függvénnyel. Ekkor

∫ G ∘ T^{n}H dμ − ∫ G dμ ∫ H dμ

= lim_{{Λ→Z^{d} \atop N→∞}}(∫ GP_{Λ}^{n}(HP_{Λ}^{N}1) dm_{Λ} − ∫ GP_{Λ}^{N+n}1 dm_{Λ} ∫ HP_{Λ}^{N+n}1 dm_{Λ}).

(34)

A h felemelt függvényre felírva a Perron-Frobenius operátor hatását:

P_{Λ}^{n}(hP_{Λ}^{N}1)(x) = ∑_{s_{1},...,s_{N+n}} e^{−H_{Λ_{N+n}} (s)}h(s),

ahol h(s) = h(ψ_{s_{n}} ∘ ⋯ ∘ ψ_{s_{1}}(x)). Itt nem alkalmazható közvetlenül a korrelációlecsengésről szóló állítás, mert h(s) az öszes Λ_{N+n}-beli spintől függ, és így g és h tartója még csak nem is diszjunkt. Felhasználva azonban h Hölder-folytonosságát, ezt a kifejezést ugyanúgy szétbonthatjuk, mint V_{Λ}_{α}-t az 1. Állításban. Legyen α = (i, n) valamely rögzített i ∈ D-vel, és legyen

h_{Y_{α}^{m}}(s) = h(s_{Y_{α}^{m}} ∨ 0_{(Y_{α}^{m})^{c}}) − h(s_{Y_{α}^{m−1}} ∨ 0_{(Y_{α}^{m−1})^{c}}).  (35)

Ekkor

h(s) = ∑_{m≥0} h_{Y_{α}^{m}}(s) + konstans.

(35)-ből az 1. Állítás bizonyításának módszerével kapjuk, hogy

|h_{Y_{α}^{m}}(s)| ≤ C∥H∥_{δ}λ^{′t_{m}}e^{−β′ d(i−i_{m},D)}.  (36)

Írjuk fel a korreláció-lecsengést g-re minden egyes h_{Y_{α}^{m}}-mel. g tartója {0} × B, h_{Y_{α}^{m}}-é Y_{α}^{m}. Látható, hogy a tétel igazolásához a

∑_{l≥0} exp(−m d(Y_{α}^{m}, {0} × B)λ^{′t_{l}}e^{−β′ d(i−i_{l},D)}  (37)

kifejezést kell becsülni. Belátható, hogy valamilyen (B-től és D-től független) c > 0 konstanssal

1 2t_{l} log λ′ − β′ ; 3 d(i − i_{l}, D) ≤ −cn,

és

−md(Y_{α}^{m}, {0} × B) − β′ ; 3 d(i − i_{l}, D) ≤ −c d(B, D).

Így

(37) ≤ exp(−c(n + d(B, D))) ∑_{l≥0} λ′^{1 2 t_{l}}e^{− β′ ; 3 d(i−i_{l},D)} ≤ C(|B|, |D|) exp(−c(n + d(B, D))).

Felvetődik a kérdés, hogy lehet-e a perturbációt szűkebb osztályból véve egyszerűsíteni a problémát.

Állítás. Ha A valódi csatolás, azaz létezik j ∈ Z^{d}, hogy ∂a_{0}/∂x_{j} ≢ 0, és eltolásinvariáns, akkor DA^{−1} diagonálistól különböző mátrixelemeire az exponenciálisan lecsengőnél jobb becslés (pl. vége sugarú) nincs, azaz lényegében ez a legkisebb természetes perturbáció osztály.

Bizonyítás. Tekintsünk egy A eltolásinvariáns lineáris operátort l^{∞}(Z^{d}, R)-en, melyre ∥I − A∥_{∞} < ε. A természetes Schauder-bázis elemeit indexeljük Z^{d} elemeivel. I − A minden mátrixeleme O(ε) ebben a bázisban. Ha I − A-nak van nem-0 eleme a diagonálison kívül, például a (0, i) mátrixelem nullától különböző, akkor az A^{−1}-et előállító sor n-edik tagjának (0, ni) mátrixelemében szerepelni fog a (0, i), (i, 2i), …, ((n−1)i, ni) mátrixelemek szorzata, ami — az eltolásinvariancia miatt — nemnulla, és (Cε)^{n} alakú rá a legjobb becslés.

A pék leképezésrácsa. A következőkben a pék leképezésből kapható rács kis perturbációit vizsgáljuk. A leképezés annyiban tér el az első példában említett esettől, hogy nem sima, és így az ottani bizonyítás nem alkalmazható közvetlenül.

A változókra x_{i}^{(σ)}, i ∈ Z^{d}, σ ∈ {1, 2} alakú indexelést használunk, ahol x_{i} = (x_{i}^{(1)}, x_{i}^{(2)}) ∈ Q = [0, 1]^{2}. Tehát A(x) = (a_{i}^{(σ)}(x))_{i,σ}. Az inverz koordinátafüggvényeit jelölje b_{i}^{(σ)}, azaz A^{−1}(x) = (b_{i}^{(σ)}(x))_{i,σ}. Az A csatolásról feltesszük, hogy mindegyik változójában C^{1}, továbbá, hogy az (1)-el analóg

sup|∂a_{i}^{(σ)} ; ∂x_{j}^{(τ)} − δ_{(i,σ)(j,τ)}| ≤ εe^{−β|i−j|},  (3)

becslés teljesül. Feltesszük még, hogy A fixen hagyja M peremét, azaz

A(x) = x, ha bármely k-ra x_{k} ∈ ∂Q.

A körvonal esetével teljesen analóg módon látható be a következő.

Állítás. Ha ε elég kicsi, akkor A invertálható, és A^{−1} = (b_{i}^{(σ)})_{i,σ} kielégíti a (3)-hoz hasonló

sup| ∂b_{i}^{(σ)} ; ∂x_{j}^{(τ)} − δ_{(i,σ)(j,τ)}| ≤ Cεe^{−β′|i−j|},  (4)

becslést valamilyen C, β′ (β-tól függő) konstansokkal.

Ezek után belátjuk az alábbi struktúrális stabilitási tételt, mely a [Jia] dolgozat 1.1 tételével analóg.

Tétel. Ha ε elég kicsi, akkor létezik egy h : M → M leképezés, mellyel h∘F = T ∘h. h Hölder-folytonos a supremum metrikában.

Bizonyítás. Legyen M′ (M′′) azon pontok halmaza, melyek F (T) szerinti trajektóriája elkerüli ∂M-t. h-t először M′-n fogjuk definiálni. A H^{(1)} = {x_{0}^{(1)} = 1/2}, H^{(2)} = {x_{0}^{(2)} = 1/2} “hipersíkok” négy részhalmazra vágják M-et. Ezeknek az S^{i}- kel vett eltoltjai együttesen egy Markov-felbontását adják M-nek F -re nézve. (Tulajdonképpen már az első típusú hipersík elegendő.) Jelölje ezt a felbontást ξ, és legyen ξ_{n} = F^{−n+1}ξ ∨ ⋯ ∨ F^{n−1}ξ. Tekintsük ξ megfelelőjét a T leképezésnél. Ez a H^{(1)} hipersíkkal, az A(H^{(2)}) hiperfelülettel és ezek eltoltjaival definiálható. Jelölje ezt a felosztást η, és legyen η_{n} = T^{−n+1} ∨ ⋯ ∨ T^{n−1}η. Megbecsüljük η_{n} méretét. Jelölje még ξ_{0} (ξ′_{0}) a H^{(1)} (H^{(2)}) hipersík eltoltjai által meghatározott felosztást.

A bizonyítás alapja az alábbi két becslés. a = a_{0}^{(2)}, b = b_{0}^{(1)} rövidítéssel:

\begin{aligned}|a(x) − a(y)| & ≤ |x_{0}^{(2)} − y_{0}^{(2)}| + ∑_{{i∈Z^{d} \atop σ∈\{1,2\}}} εe^{−β|i|}|x_{i}^{(σ)} − y_{i}^{(σ)}|, \\ |b(x) − b(y)| & ≤ |x_{0}^{(1)} − y_{0}^{(1)}| + ∑_{{i∈Z^{d} \atop σ∈\{1,2\}}} Cεe^{−β′|i|}|x_{i}^{(σ)} − y_{i}^{(σ)}|. \end{aligned}  (5)

Elég az első egyenlőtlenséget bizonyítani, a második bizonyítása hasonló. Tegyük fel először, hogy x és y csak véges sok koordinátában különböznek. Az egyszerűség kedvéért ezeket most jelölje u_{1}, …, u_{k}, ahol u_{1} tartozik az i = 0, σ = 2 indexpárhoz. Legyen x = w_{0}, w_{1}, …, w_{k} = y, ahol r = 1, …, k esetén

(w_{j})_{r} = \{ \begin{matrix}x_{r}, & ha r > j, \\ y_{r}, & ha r ≤ j, \end{matrix}

|a(x) − a(y)| ≤ ∑_{j=1}^{k} |a(w_{j−1}) − a(w_{j})| = ∑_{j=1}^{k}|∫_{0}^{1} ∂a ; ∂u_{j} (tw_{j−1} + (1 − t)w_{j})(x_{j} − y_{j}) dt|

≤ ∑_{j=1}^{k} sup| ∂a ; ∂u_{j} ||x_{j} − y_{j}| ≤ (1 + ε)|x_{1} − y_{1}| + ∑_{j=2}^{k} sup| ∂a ; ∂u_{j} ||x_{j} − y_{j}|,

ahonnan az a deriváltjaira vonatkozó becslések, és az indexek behelyettesítése után adódik az első egyenlőtlenség. Határátmenettel adódik az állítás arra az esetre, amikor x és y végtelen sok koordinátában különbözhetnek.

A fentiekből egyszerűen következik az alábbi két állítás.

1. Ha x, y ∈ M ξ_{0}-nak ugyanabba a komponensébe esnek, akkor

\begin{aligned}|(T x)_{0}^{(2)} & − T (y)_{0}^{(2)}| \\ & ≤ 1 2|x_{0}^{(2)} − y_{0}^{(2)}| + ∑_{i∈Z^{d}} εe^{−β|i|}(2|x_{i}^{(1)} − y_{i}^{(1)}| + 1 2|x_{i}^{(2)} − y_{i}^{(2)}|) \\ & ≤ 1 2|x_{0}^{(2)} − y_{0}^{(2)}| + ∑_{{i∈Z^{d} \atop σ∈\{1,2\}}} C′εe^{−β|i|}|x_{i}^{(σ)} − y_{i}^{(σ)}|. \end{aligned}  (6)

2. Ha A^{−1}(x), A^{−1}(y) ξ′_{0}-nek ugyanabba a komponensébe esnek, akkor

\begin{aligned}|(T^{−1}x)_{0}^{(1)} & − (T^{−1}y)_{0}^{(1)}| \\ & ≤ 1 2|x_{0}^{(1)} − y_{0}^{(1)}| + ∑_{i∈Z^{d}} Cεe^{−β′|i|}(1 2|x_{i}^{(1)} − y_{i}^{(1)}| + 1 2|x_{i}^{(2)} − y_{i}^{(2)}|) \\ & ≤ 1 2|x_{0}^{(1)} − y_{0}^{(1)}| + ∑_{{i∈Z^{d} \atop σ∈\{1,2\}}} C′′εe^{−β′|i|}|x_{i}^{(σ)} − y_{i}^{(σ)}|. \end{aligned} (7)

Az eltolásinvariancia miatt hasonló állítás igaz a j-edik koordináta függvényekre i helyett i − j-t írva. Belátjuk, hogy létezik egy 1/2 < κ < 1 konstans, hogy tetszőleges n, és C ∈ η_{n} esetén a supremum metrikában diam_{ρ}(C) ≤ √2κ^{n}.

Első lépésként tegyük fel, hogy C ∈ η_{1}, x, y ∈ C. Ekkor T^{−1}x, T^{−1}y-ra alkalmazható a (6) becslés, így kapjuk, hogy

sup_{x,y} |x_{j}^{(2)} − y_{j}^{(2)}| ≤ 1 2 + C′ε ∑_{i,σ} e^{−β|i−j|}.

Jelölje

κ = 1 2 + max{C′, C′′}ε ∑_{i,σ} e^{− min{β,β′}|i|}.

Elég kis ε esetén κ < 1. A

sup_{x,y} |x_{j}^{(1}) − y_{j}^{(2)}| = 1 2 ≤ κ

becslés triviális. Ezek után a (6), (7) becsléseket felhasználva teljes indukcióval belátjuk, hogy, tetszőleges C ∈ η_{n}, x, y ∈ C, esetén

sup_{j,σ} |x_{j}^{(σ)} − y_{j}^{(σ)}| ≤ κ^{n}.

Az n = 1 esetet már láttuk. Tegyük fel, hogy az állítás igaz n-re, és legyen x, y ∈ D ∈ η_{n+1}. Ekkor u = T^{−1}x, és v = T^{−1}y jelöléssel u, v ∈ C valamilyen C ∈ η_{n}-re. Alkalmazva (6)-ot u-ra és v, és felhasználva, hogy |u_{i}^{(σ)} − v_{i}^{(σ)}| ≤ κ^{n}, kapjuk, hogy

|x_{j}^{(2)} − y_{j}^{(2)}| ≤ κ^{n}(1 2 + C′ε ∑_{i,σ} e^{−β|i−j|}) ≤ κ^{n+1}.

Hasonlóan kapható |x_{j}^{(1)} − y_{j}^{(1)}| becslése (7)-et alkalmazva T x, T y-ra, ahonnan adódik az állítás.

d-vel jelölve [0, 1]^{2} szokásos metrikáját, a fentiekből C ∈ η_{n} esetén adódik, hogy

sup_{x,y∈C} sup_{j} d(x_{j}, y_{j}) = sup_{x,y∈C} ρ(x, y) = diam(C) ≤ √2κ^{n}.

Ha x ∈ M′, akkor létezik egyetlen monoton szűkülő C_{n} sorozat, melyre x ∈ C_{n} ∈ ξ_{n}. Tekintsük a C_{n}-eknek megfelelő D_{n} ∈ η_{n} komponenseket. A D_{n} halmazsorozat is szűkülő, és átmérője √2κ^{n} → 0, így, mivel M teljes a supremum metrikában, a h(x) = ∩_{n=1}^{∞}D_{n} definíció értelmes. Az M halmazon a konjugáltság, és a supremum metrikában való Hölder-folytonosság − log κ/ log 2 kitevővel könnyen belátható a definíciókból és a becslésekből. Az egyenletes folytonosság miatt h egyértelműen kiterjed M-re, és ott is Hölder-folytonos.

Irodalomjegyzék

[BK1] J. Bricmont, A. Kupiainen: Infinite dimensional SRB measures, preprint.

[BK2] J. Bricmont, A. Kupiainen: High Tempertaure Expansions and Dynamical Systems, preprint.

[Bow] R. Bowen, Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms, Lecture Notes in Mathematics, 470, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York (1975)

[BS] L. A. Bunimovich, Ya. G. Sinai: Spacetime chaos in coupled map lattices. Nonlinearity, 1 (1988) 491-516.

[CFS] I. P. Cornfeld, S. V. Fomin, Ya. G. Sinai: Ergodic Theory, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin (1982).

[Dob] R. L. Dobrushin: Prescribing a system of random variables by the help of conditional distributions. Theory of Probability and its Applications, 15, No. 3 (1970) 469-497.

[DS] R. L. Dobrushin, S. B. Shlosman: Completely analytical Gibbs fields. Statistical Physics and Dynamical Systems (Rigorous Results), Birkhäuser, Boston (1985) 371-403.

[GH] J. Guckenheimer, P. Holmes: Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Applied Mathematical Sciences, 42, Springer-Verlag, New-York-Berlin-Heidelberg-Tokyo (1983).

[GJ] J. Glimm, A. Jaffe: Quantum Physics, Springer-Verlag (1981, 1987).

[Jia] M. Jiang: Ergodic properties of coupled map lattices of hyperbolic type, PhD thesis, Pennsylvania State University, 1995.

[Kan] K. Kaneko (ed.): Theory and applications of coupled map lattices, Nonlinear science: theory and applications, J. Wiley (1993).

[KB] N. Kryloff, N. Bogoliouboff: La theorie générale de la mesure dans son application à l’étude des systèmes dynamiques de la méchanique non linéaire. Annals of Mathematics, 38 no. 1 (1937), 65-113.

[KH] A. Katok, B. Hasselblatt: Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems, Encyclopedia of Mathematics and its applications v. 54, Cambridge University Press (1995).

[PS] Ya. G. Pesin, Ya. G. Sinai: Space-time chaos in chains of weakly coupled hyperbolis maps, in Advances of Soviet Mathematics, Vol. 3., ed. Ya. G. Sinai, Harwood (1991).

[Rue] D. Ruelle, Thermodynamic Formalism, Addison-Wesley (1978).

[Sin] Ya. G. Sinai, Topics in Ergodic Theory, Princeton University Press (1994).

[T] Tóth Bálint: A statisztikus fizika matematikai alapjai, jegyzet. (1994)