Primitív éles permutációcsoportok

Birszki Bálint^{1} 1999

1Témavezető: Pyber László

Tartalomjegyzék

1. Alapfogalmak 3 1.1. Definíciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Csoporthatás-konstrukciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. A permutációkarakter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Éles permutációcsoportok 12 2.1. A definíció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2. Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3. Konstrukciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Primitív permutációcsoportok 19 3.1. Az O’Nan-Scott tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2. A minimálfok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3. Primitív csoportok mérete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4. A főtétel 24 4.1. A tétel és bizonyítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5. További eredmények 28 5.1. Szorzathatású csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.2. Diagonális hatású csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.3. Majdnem egyszerű csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.4. Kétszeresen tranzitív csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Bevezetés

Ez a dolgozat permutációcsoportokról szól.

A csoportelmélet talán a legrégibb modern matematikai elmélet, és ezen belül a permutációcsoportok elmélete a legősibb rész – első írásos említése 1832-ből származik: Évariste Galois a polinomegyenletek gyökjelekkel való megoldhatóságának problémájával kapcsolatos eredményeit foglalta össze a végzetes kimenetelű párbaját megelőző éjszakán Auguste Chevalier-nek írt levelében. A polinomegyenlet Galois-csoportja mai szemmel a felbontási test egy automorfizmuscsoportja, Galois eredeti felfogásában viszont a gyökök bizonyos permutációiból áll; ezen csoport absztrakt tulajdonságai adnak választ a fenti problémában felvetődő kérdésekre.

A széles matematikus közvélemény csak az 1840-es évek derekán értesült Galois munkásságáról; részben ennek hatására, részben Augustin Cauchynak Galois-tól független vizsgálatai nyomán kezdődött meg a csoportelmélet alapjainak lerakása. Érdekes módon a csoport axiomatikus definíciójához csak 1897-ben jutott el Weber. Az első eredmények olyan nagy nevekhez fűződnek, mint Cauchy, Lagrange, Jordan illetve Burnside és Frobenius; az elmélet első összefoglalása Camille Jordan 1870-ben megjelent műve, a Traité des substitutions et des équations algébrique.

A csoportelmélet kezdeti fejlődését az motiválta, hogy minden algebrai, geometriai, kombinatorikai stb. struktúra szimmetriáit egy csoport – az adott struktúra automorfizmuscsoportja (amely egy a struktúra alaphalmazán ható permutációcsoport) – írja le, és e csoport vizsgálatával sok minden tudható meg magáról a struktúráról is. Példaként gondoljunk Felix Klein „erlangeni program”-jára, amely csoportelméleti alapon osztályozta a különféle geometriákat. Később, Dickson, Burnside, Frobenius idejében már a csoportelmélet saját problémái kerültek előtérbe.

Az axiomatikus definíció elválasztotta a permutációcsoportok elméletét az absztrakt csoportelmélettől, de a két elmélet között fennmaradt az egyszerű tartalmazáson túlmutató szoros kölcsönhatás: a permutációcsoportokra alkalmazhatók az absztrakt eredmények, és a permutációreprezentációk segítségével bizonyíthatók absztrakt állítások.

A csoportelmélet igazi felvirágzása a XX. század második felére tehető, amikor is többszáz matematikus több évtizeden át végzett munkája nyomán 1980-ban elkészült a véges egyszerű csoportok klasszifikációja (CFSG, Classification of Finite Simple Groups). Ez egyben hatalmas előrelépést jelentett a permutációcsoportok elméletében is, ugyanis sok időközben belátott állítás a véges egyszerű csoportok vizsgálatára vezet vissza (absztrakt- illetve) permutációcsoportokkal kapcsolatos problémákat.

Dolgozatomban a szükséges legalapvetőbb tudnivalók összefoglalása után egy speciális problémában eddig elért eredményeimet foglalom össze. Közben egy nagyobb kitérőt téve példákkal illusztrálom az előző bekezdés állítását: a primitív permutációcsoportokról a klasszifikáció óta illetve következményeképpen kiderült tényeket, természetesen főleg azokat, amelyeket a későbbiekben felhasználok, ismertetem.

1. fejezet

Alapfogalmak

1.1. Definíciók

Tetszőleges Ω nemüres halmaznak egy x : Ω → Ω önmagára való bijekcióját Ω egy permutációjának nevezzük. Ω elemeit pontoknak is hívjuk. Megállapodás szerint az α ∈ Ω pont képét az x permutációnál nem x(α), hanem αx vagy α^{x} jelöli, és ezzel a jelöléssel összhangban a permutációk jelen szakdolgozatban jobbról hatnak. Ω összes permutációinak halmaza, a leképezések kompozíciójával mint művelettel, csoportot alkot, ennek neve az Ω-n értelmezett szimmetrikus csoport, jelölése Sym(Ω). Permutációcsoporton valamely szimmetrikus csoport egy részcsoportját értjük; azt is mondjuk, hogy G ≤ Sym(Ω) hat az Ω halmazon. Ω számossága a G permutációcsoport foka. A továbbiakban felteszem, hogy Ω véges halmaz, sőt, sokszor azt is, hogy Ω = n = {1, 2, …, n} valamely n pozitív egészre, mely utóbbi esetre bevezetem az S_{n} := Sym(n) jelölést – vagyis csak véges fokú permutációcsoportokkal foglalkozom.

Két permutációcsoport, G_{1} ≤ Sym(Ω_{1}) és G_{2} ≤ Sym(Ω_{2}) permutációizomorf, ha megadható egy φ : G_{1} → G_{2} csoportizomorfizmus és egy λ : Ω_{1} → Ω_{2} bijekció úgy, hogy minden g ∈ G_{1} és α ∈ Ω_{1} esetén

λ(α^{g}) = λ(α)^{φ(g)}.

Ez annyit jelent, hogy a G_{1} és G_{2} csoportok a λ-n keresztüli azonosítás után ugyanazokból a permutációkból állnak. Ha Ω_{1} = Ω_{2} = Ω, akkor ez ekvivalens azzal, hogy G_{1} és G_{2} konjugáltak Sym(Ω)-ban.

A G ≤ Sym(Ω) permutációcsoport g ∈ G elemei az α ∈ Ω pontokat számos más pontba képezhetik. Egy adott α pont képeinek halmaza az α G-orbitja (röviden orbitja):

α^{G} := {α^{g} | g ∈ G}.

Ezzel duális fogalom egy pont G-stabilizátora (röviden stabilizátora), azon g ∈ G permutációk halmaza, amelyek a pontot önmagába viszik:

G_{α} := {g ∈ G | α^{g} = α}.

1.1.1. Állítás. Tegyük föl, hogy a G csoport hat az Ω halmazon, és legyen α ∈ Ω.

(i) A G-orbitok Ω egy partícióját alkotják.

(ii) G_{α} ≤ G, továbbá G_{α^{x}} = G_{α}^{x} minden α ∈ Ω-ra és x ∈ G-re.

(iii) |α^{G}| = |G : G_{α}|.

Ha adott egy x ∈ Sym(Ω) permutáció, akkor egy (α_{1}, α_{2}, …, α_{k}) pont-k-ast x egy ciklusának nevezik, ha minden i = 1, 2, …, k − 1 esetén α_{i}x = α_{i+1} és α_{k}x = α_{1}. Az egyetlen pontból álló ciklus egyetlen elemét x fixpontjának hívják – x az ilyen pontokat nem mozgatja, fixen hagyja. A fixpontok halmaza

fix(x) := {α ∈ Ω | α^{x} = α},

ennek Ω-ra vonatkozó komplementere pedig x tartója:

supp(x) := {α ∈ Ω | α^{x} ≠ α}.

Ugyanezeket a fogalmakat értelmezhetjük tetszőleges X ⊆ Sym(Ω) részhalmazra is:

fix(X) := ⋂_{x∈X} fix(x) = {α ∈ Ω | α^{x} = α minden x ∈ X-re}
supp(X) := ⋃_{x∈X} supp(x) = {α ∈ Ω | α^{x} ≠ α valamely x ∈ X-re}

Továbbá, ha X részcsoport, akkor orbitjainak halmazát jelölje orb(X).

Az Ω halmazon ható G csoport tranzitív, ha egyetlen orbitja van, azaz α^{G} = Ω minden α ∈ Ωra. Ekvivalens megfogalmazásban, G tranzitív, ha minden α, β ∈ Ω pontpárra létezik x ∈ G, melyre α^{x} = β. G szemireguláris, ha minden α ∈ Ω-ra G_{α} = 1, tehát ha G-nek (az egységelemen kívül) minden eleme fixpontmentes. G reguláris, ha tranzitív és szemireguláris.

Egy G absztrakt csoport permutációreprezentációján egy φ : G → Sym(Ω) homomorfizmust értünk. Im φ egy Ω-n ható permutációcsoport; az α^{g} := α^{φ(g)} jelölés bevezetése után azt is szokás mondani, hogy G hat Ω-n. Ha ker φ = 1, azaz φ beágyazás, akkor a hatás hűséges. Mivel ez a legtöbb esetben nem fontos követelmény, ezért a továbbiakban csoportoknak halmazokon való hatásáról lesz szó.

G két permutációreprezentációja permutációekvivalens, ha lényegében ugyanazt a hatást valósítják meg lényegében ugyanazon a halmazon. Egy kicsit precízebben, a φ_{1} : G → Sym(Ω_{1}) és φ_{2} : G → Sym(Ω_{2}) ekvivalens permutációreprezentációk, ha valamely λ : Ω_{1} → Ω_{2} bijekcióval minden g ∈ G-re és α ∈ Ω_{1}-re

λ(α)^{φ_{2}(g)} = λ(α^{φ_{1}(g)}).

Nem teljesen triviális példát szolgáltat permutációreprezentációkra a következő tétel:

1.1.1. Tétel. (Cayley) Minden G absztrakt csoport izomorf egy permutációcsoporttal.

Bizonyítás. Minden g ∈ G-re tekintsük a következő két leképezést:

ϱ(g) : G → G, x^{ϱ(g)} := xg
λ(g) : G → G, x^{λ(g)} := g^{−1}x

Ezek könnyen láthatóan permutációi G-nek, továbbá a

ϱ : G → Sym(G), ϱ : g ↦ ϱ(g)
λ : G → Sym(G), λ : g ↦ λ(g)

leképezések homomorfizmusok és magjaik triviálisak, tehát mindketten megadnak egy kívánt izomorfizmust. Igaz továbbá, hogy Im ϱ illetve Im λ reguláris permutációcsoportok. ϱ neve jobboldali reguláris reprezentáció, λ-é pedig baloldali reguláris reprezentáció. □

A fenti tétel egyik fontos tanulsága, hogy tranzitív permutációcsoportok absztrakt szerkezetéről semmi speciálisat nem lehet állítani.

További, még kevésbé triviális, de sokkal érdekesebb és fontosabb példa permutációreprezentációra a (jobboldali) tranzitív reprezentáció. Tekintsünk egy tetszőleges G csoportot és annak egy H részcsoportját. A halmaz, amelyen G hat

Ω := (G : H) = {Hx | x ∈ G},

a H részcsoport jobboldali mellékosztályainak halmaza, és ezen egy g ∈ G elem hatása legyen

ϱ_{H}(g) : Hx ↦ Hxg.

Hxg = Hx ⇔ g ∈ H^{x} miatt a stabilizátorok H konjugáltjai, továbbá a hatás magja (a stabilizátorok metszete)

ker ϱ_{H} = ⋂_{x∈G} H^{x} = core_{G}H,

G-nek a H által tartalmazott legnagyobb normálosztója.

A tranzitív reprezentációnak a következő észrevétel adja a jelentőségét.

1.1.2. Állítás. Ha a G csoportnak ϱ : G → Sym(Ω) egy tranzitív permutációreprezentációja, akkor a H = G_{α} (α ∈ Ω) részcsoport szerinti ϱ_{H} permutációreprezentáció ekvivalens ϱ-val.

Bizonyítás. G_{α}g = G_{α}h ⇔ α^{g} = α^{h} és G (ϱ szerinti) tranzitivitása következtében bijekció van H = G_{α} jobboldali mellékosztályai és Ω elemei között:

λ : Ω_{H} → Ω, λ : Hg ↦ α^{g},

ami meg is adja a kívánt permutációekvivalenciát. □

Ez azt jelenti, hogy bármely csoportnak az összes különböző tranzitív hatását megkaphatjuk a fenti módon, másrészt hogy a hatás megadásához elegendő egyetlen stabilizátort megadni. A hatás reguláris, ha H normálosztó G-ben, és hűséges, ha core_{G}H = 1.

Természetes módon értelmezhetjük Ω részhalmazainak képét minden x ∈ G permutációnál: ha Γ ⊆ Ω, akkor

Γ^{x} := {γ^{x} | γ ∈ Γ}.

(Ez a fentiek értelmében egy hatását adja meg G-nek Ω hatványhalmazán.)

A pontstabilizátor fogalmát kétféleképpen is át lehet vinni részhalmazokra: Γ ⊆ Ω pontonkénti stabilizátora

G_{(Γ)} := {x ∈ G | γ^{x} = γ minden γ ∈ Γ-ra },

illetve Γ halmaz-stabilizátora

G_{{Γ}} := {x ∈ G | Γ^{x} = Γ}.

A Γ ⊆ Ω részhalmaz G-invariáns, ha minden x ∈ G-re Γ^{x} = Γ. Ez azzal ekvivalens, hogy Γ néhány G-orbit uniója. Ekkor megszoríthatjuk G elemeinek hatását Γ-ra: x ∈ G megszorítottját x^{Γ} jelöli. A G → Sym(Γ), x ↦ x^{Γ} leképezés valójában homomorfizmus, azaz permutációreprezentáció, melynek képe

G^{Γ} := {x^{Γ} | x ∈ G},

magja pedig G_{(Γ)}, tehát G^{Γ} ≃ G/G_{(Γ)}.

Legyen G ≤ Sym(Ω) permutációcsoport. Az Ω-n értelmezett ≈ ekvivalenciareláció egy Gkongruencia, ha invariáns G-re nézve, azaz

α ≈ β ⇔ α^{x} ≈ β^{x} minden x ∈ G esetén.

Triviális G-kongruenciák az egyenlőség és a „minden mindennel ekvivalens” reláció; G-t primitívnek nevezzük, ha más G-kongruencia nem létezik. Figyeljük meg, hogy ha G nem tranzitív, akkor az az ekvivalenciareláció, amelynek osztályai a G orbitjai, egy nemtriviális G-kongruencia; tehát primitív csoport feltétlenül tranzitív. A tranzitív de nem primitív csoportok neve imprimitív.

Egy G-kongruencia osztályait blokkoknak (vagy imprimitivitási tartományoknak) hívjuk, az osztályok halmazát pedig blokkok rendszerének. G természetesen hat blokkoknak minden rendszerén, lévén az G-invariáns részhalmaza Ω hatványhalmazának a részhalmazokon értelmezett hatást tekintve. Legyen most G tranzitív. Ekkor a blokkok azonos méretűek, mivel megkaphatók egymás eltoltjaiként, sőt:

1.1.3. Állítás. Δ ⊆ Ω blokk ⇔ minden x ∈ G-re vagy Δ^{x} = Δ, vagy Δ^{x} ∩ Δ = ∅.

Egy blokk mérete tehát osztója Ω méretének. Ha Δ ⊆ Ω blokk, akkor G_{{Δ}} tranzitív Δ-n. Blokkok kereséséhez használható tények:

1.1.4. Állítás. Legyen G tranzitív permutációcsoport Ω-n.

(i) Ha Δ ⊆ Ω egy blokk és α ∈ Δ, akkor Δ G_{α}-invariáns.

(ii) fix(G_{α}) ⊆ Ω blokk.

(iii) Egy N ◁ G normálosztó orbitjai blokkok.

1.1.5. Állítás. Ha G tranzitívan hat Ω-n és α ∈ Ω, akkor a Φ : H ↦ α^{H} leképezés rendezéstartó bijekciót létesít G-nek G_{α}-t tartalmazó részcsoportjai és az α-t tartalmazó blokkjai között. Φ inverze a Ψ : Δ ↦ G_{{Δ}} leképezés.

1.1.6. Állítás. Ha G tranzitívan hat a legalább kételemű Ω halmazon, akkor G primitív ⇔ a stabilizátorok maximális részcsoportjai G-nek.

Egy G ≤ Sym(Ω) permutációcsoport k-tranzitív, ha tranzitív az

Ω^{(k)} = {(α_{1}, …, α_{k}) | α_{i} ∈ Ω (i = 1, …, k) és α_{i} ≠ α_{j} ha i ≠ j}

halmazon az

(α_{1}, …, α_{k})^{g} := (α_{1}^{g}, …, α_{k}^{g})

hatásban; és k-homogén, ha tranzitív az

Ω^{{k}} = {Γ ⊆ Ω | |Γ| = k}

halmazon a részhalmazokon való, korábban már definiált hatásában. Magyarul: k-tranzitív, ha minden (különböző pontokból álló) rendezett k-ast minden rendezett k-asba, és k-homogén, ha minden rendezetlen k-ast minden rendezetlen k-asba el tud vinni. Ha ez egyértelműen tehető meg, ami azzal ekvivalens, hogy bármely k darab pont pontonkénti illetve halmaz-stabilizátora triviális, akkor a csoport élesen k-tranzitív illetve k-homogén. Természetesen az élesen 1-tranzitivitás azonos a regularitással.

Nyilván a k-tranzitivitás maga után vonja a (k−1)-tranzitivitást és a k-homogenitást. Továbbá:

1.1.7. Állítás. G 2-homogén ⇒ G primitív.

1.1.8. Állítás. G k-tranzitív ⇔ G tranzitív és stabilizátora (k − 1)-tranzitív.

Ugyanez az állítás igaz marad, ha éles többszörös tranzitivitást írunk mindkét oldalon.

A teljes Ω×Ω-n a fentihez hasonló módon definiált hatásban legalább két orbit van: a {(α, α) | α ∈ Ω} diagonális orbit, illetve maga Ω^{(2)}. Ha G tranzitív (Ω-n), akkor Ω × Ω-orbitjainak száma a G rangja. Nyilván G pontosan akkor 2-tranzitív, ha a rangja 2.

Az S_{n} szimmetrikus csoportnak van egy nyilvánvaló hatása a {x_{1}, x_{2}, …, x_{n}} halmazon, ami kiterjeszthető a ℤ[x_{1}, x_{2}, …, x_{n}] polinomgyűrűre is. Az F (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = ∏_{1≤i<j≤n}(x_{j} − x_{i}) polinomot az indexek minden permutációja önmagába vagy az ellentettjébe viszi (az (12) ∈ S_{n} transzpozíció megteszi az utóbbit), van tehát S_{n}-nek egy nemtriviális homomorfizmusa S_{2}-be, aminek a magja egy 2 indexű normálosztó S_{n}-ben – az (n-fokú) alternáló csoport, A_{n}.

1.1.9. Állítás. A_{n} egyszerű, ha n ≥ 5.

1.1.10. Állítás. S_{n}-nek egyetlen nemtriviális normálosztója A_{n}, hacsak n ≠ 4 (n = 4 esetén a reguláris elemi abel részcsoport is normálosztó).

1.1.11. Állítás. A_{n} automorfizmuscsoportja S_{n}, hacsak n ≠ 6 (n = 6 esetén |Aut A_{n} : S_{n}| = 2).

1.2. Csoporthatás-konstrukciók

Ebben a szakaszban azon módszereket részletezem, melyek segítségével sok kicsi permutációcsoportból egy nagyot lehet csinálni, illetve fordítva, egy nagy permutációcsoportot sok kicsire lehet bontani. Az előbbieknél külön kitérek a konstruált csoport elemei fixponthalmazának meghatározására; ennek okára is fény derül majd.

Csoporthatás indukálta csoporthatások

Vannak olyan esetek, amikor egy adott hatású csoportnak egy másik, ebből származtatható hatását vizsgáljuk. Például ha G hat Ω-n, akkor hat az előző szakaszban részletezett módokon az invariáns halmazain, blokkjain, a rendezett illetve rendezetlen pont-k-asokon is. Most csak az ezen hatások szerinti fixponthalmazokat határozom meg.

Ha Γ ⊆ Ω G-invariáns és g ∈ G, akkor

fix(g^{Γ}) = fix(g) ∩ Γ.

Az Ω^{k}-n illetve Ω^{(k)}-n indukált hatásban

(α_{1}, …, α_{k})g = (α_{1}, …, α_{k}) ⇔ α_{i} ∈ fix(g) minden i = 1, …, k-ra,

azaz minden koordinátában fix(g)-beli pontok állnak, tehát

fix_{Ω^{k}}(g) = fix_{Ω}(g)^{k} illetve fix_{Ω^{(k)}}(g) = fix_{Ω}(g)^{k} ∩ Ω^{(k)}.

Direkt szorzat unióhatása

Csoportok direkt szorzata a legelemibb csoportelméleti konstrukció. Ha a szorzat mindegyik tényezője hat egy halmazon, akkor a direkt szorzat természetesen hat ezen halmazok diszjunkt unióján illetve Descartes-szorzatán. Ezeket a hatásokat nevezzük unió- illetve szorzathatásnak.

Legyenek adottak a G_{i} (i = 1, …, n) csoportok valamely Ω_{i}-n való hatásukkal együtt. Ha föltesszük, hogy az Ω_{i} halmazok páronként diszjunktak, akkor a G := ×_{i=1}^{n}G_{i} csoport elemeinek hatása az Ω = ⋃_{i=1}^{n} Ω_{i} halmazon

α(g_{1}, …, g_{n}) := αg_{i}, ha α ∈ Ω_{i}

összefüggéssel definiálható. Ez a hatás természetesen nem tranzitív, hiszen az Ω_{i} ⊆ Ω halmazok G-invariánsak.

A fixpontokról: ha α ∈ Ω fixen marad egy g = (g_{i}) = (g_{1}, …, g_{n}) ∈ G elemnél, akkor αg_{i} = α azon i-re, melyre α ∈ Ω_{i}, és persze g minden ilyen pontot fixen hagy. Vagyis

fix(g) = ⋃_{i=1}^{n} fix(g_{i}).

A konstrukció megfordításához tekintsünk egy intranzitívan és hűségesen ható G csoportot, és nevezzük Ω_{i}-nek az orbitjait, majd tekintsük a keletkező G_{i} := G^{Ω_{i}} csoportokat, melyek az egyes Ω_{i} halmazokon hatnak.

1.2.1. Állítás. G permutációizomorf a G_{i} csoportok egy szubdirekt szorzatával annak unióhatásában.

Bizonyítás. A

φ : G → ×_{i=1}^{n}G_{i}, φ : g ↦ (g^{Ω_{1}}, …, g^{Ω_{n}})

λ : Ω → ⋃_{i=1}^{n} Ω_{i}, λ : α ↦ α

leképezések adják meg a permutációizomorfizmust (itt használom ki, hogy G hatása hűséges), és persze az egyes koordinátákra való vetítések epimorfizmusok az Ω_{i} csoportok definíciója miatt. □

Direkt szorzat szorzathatása

A G_{i} csoportok direkt szorzatának az Ω_{i} halmazok Descartes-szorzatán is definiálható hatása: a megfelelő koordináta a megfelelő koordinátán hat, azaz g = (g_{1}, …, g_{n}) ∈ G hatása Ω := ×_{i=1}^{n}Ω_{i}- n:

(α_{1}, …, α_{n})(g_{1}, …, g_{n}) := (α_{1}g_{1}, …, α_{n}g_{n}).

Egy α ∈ Ω pont akkor marad fixen egy g ∈ G elemnél, ha minden egyes koordinátája fixen marad, vagyis ha minden i = 1, …, n-re α_{i} ∈ fix(g_{i}). A fixpontok tehát

fix(g) = ×_{i=1}^{n}fix(g_{i}).

Könnyen látható, hogy a fenti két konstrukció „asszociatív” abban az értelemben, hogy a direkt szorzatot bármely módon „zárójelezve” azonos (permutációekvivalens) hatásokat kapunk.

Koszorúszorzat imprimitív hatása

A koszorúszorzat a permutációcsoportok elméletének mondhatni legfontosabb konstrukciója; mint látni fogjuk, mind az imprimitív, mind a primitív hatások vizsgálatához fontos segédeszköz.

Legyen adott két csoport, G és H, továbbá az utóbbinak egy hatása a Σ halmazon, és tekintsük a Σ-ból G-be képező függvények halmazát. A pontonkénti szorzással mint művelettel ez csoporttá tehető, amely izomorf G-nek |Σ| tényezős direkt hatványával; jelöljük ezt a csoportot B-vel (neve báziscsoport). A G wr H koszorúszorzat B ⋊ H szemidirekt szorzatként adódik, ahol H (a tetőcsoport) hatása B-n

(π^{−1}gπ)(σ) = g(σπ^{−1}) (g ∈ B, π ∈ H, σ ∈ Σ).

Tehát H a hatásának megfelelően permutálja a koordinátákat.

A könnyebb olvashatóság kedvéért gyakran élni fogok a Σ = n feltevéssel, és a B csoportot azonosítom ×_{i=1}^{n}G-vel, továbbá bevezetem a g_{i} := g(i), g = (g_{i}) = (g_{1}, …, g_{n}) (∈ B) jelöléseket.

Ha G is hat valamely Δ halmazon, akkor definiálható G wr H hatása a Δ × Σ halmazon:

gπ : (α, σ) ↦ (α^{g(σ)}, σ^{π}) (α ∈ Δ, σ ∈ Σ)

Annak belátása, hogy ez tényleg egy hatást ad meg, rutin számolási feladat.

Ha mind G, mind H tranzitív volt, akkor G wr H is tranzitív lesz, és könnyen látható, hogy ennek a megfordítása is igaz. Azonban sosem lesz primitív, hacsak Δ nem egyelemű, mivel az {Δ × {σ} | σ ∈ Σ} nyilván egy blokkrendszer – a kitüntetett blokkrendszer. Ezért nevezik ezt a hatást imprimitív hatásnak.

Adott gπ ∈ G wr H fixpontjainak halmaza a fenti definíció értelmében

fix(gπ) = {(α, σ) | σ ∈ fix(π), α ∈ fix(g(σ))} = ⋃_{σ∈fix(π)} fix(g(σ)) × {σ}.

Megfordítva, ha G ≤ Sym(Ω) imprimitív és Σ egy nemtriviális blokkrendszere, akkor G természetesen hat Σ-n, vagyis van egy G^{Σ} ≤ Sym(Σ) reprezentációja, másrészt bármely Δ ∈ Σ blokkon hat a G_{{Δ}} csoport.

1.2.2. Állítás. G permutációizomorf a G_{{Δ}} wr G^{Σ} koszorúszorzat egy részcsoportjával annak imprimitív hatásában.

Bizonyítás. G^{Σ} tranzitív Σ-n és Δ ∈ Σ stabilizátora G_{{Δ}}, ezért a tranzitív reprezentációkról szóló állítás szerint G_{{Δ}} mellékosztályai és Σ elemei között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. Legyen tehát {x_{σ} | σ ∈ Σ} egy (jobboldali) mellékosztályreprezentáns-rendszer. g^{Σ} ekkor a mellékosztályokon is hat:

g : G_{{Δ}}x_{σ} ↦ G_{{Δ}}x_{σ}g = G_{{Δ}}x_{σg^{Σ}}.

Azonosítsuk Ω-t és Δ × Σ-t a következőképpen:

λ : Ω → Δ × Σ, λ : αx_{σ} ↦ (α, σ).

Mivel g ∈ G hatása Ω-n

g : αx_{σ} ↦ αx_{σ}g = α(x_{σ}gx_{σg^{Σ}}^{−1})x_{σg^{Σ}},

ezért

φ(g) : (α, σ) ↦ (α(x_{σ}gx_{σg^{Σ}}^{−1}), σg^{Σ})

megadja a beágyazást, mivel x_{σ}gx_{σg^{Σ}}^{−1} ∈ G_{{Δ}} a fentiek szerint, és persze g^{Σ} ∈ G^{Σ}, továbbá a művelettartás és ker φ trivialitása is ellenőrizhető. □

Az imprimitív csoportot tehát két kisebb csoportra lehet „szétvágni”. Ha azok is imprimitívek, akkor az eljárás folytatható, végeredményben a csoportot elő lehet állítani primitív csoportokból ismételt koszorúszorzatképzéssel. Két nagy probléma ezzel az előállítással kapcsolatban, hogy nem egyértelmű, illetve hogy csak nagyon keveset őriz meg az eredeti csoport szerkezetéből.

Koszorúszorzat szorzathatása

A direkt szorzat unió- illetve szorzathatásával analóg módon létezik a koszorúszorzat imprimitívilletve szorzathatása. Számunkra az utóbbi az igazán fontos, ennek definíciója következik most.

Adott tehát az Δ-n ható G valamint a Σ-n ható H csoport. Az Ω = Δ^{Σ} = {α : Σ → Δ} halmazon gπ ∈ G wr H hatását az

(αgπ)(σ) := α(σπ^{−1})g(σπ^{−1})

összefüggés adja meg. (Ismét rövid számolással ellenőrizhető, hogy ez a hatás jóldefiniált.) Szemléletesen, a báziscsoport elemei a „koordináták” értékeit változtatják, H elemei pedig magukat a koordinátákat permutálják.

A következő tétel igazán figyelemreméltó.

1.2.1. Tétel. Ha G primitív, de nem reguláris, és H tranzitív, akkor G wr H primitív a szorzathatásban.

Bizonyítás. Az α ∈ Δ pontot tekintve, az \overline{α} ∈ Δ^{Σ}, \overline{α}(σ) = α pont stabilizátora G wr H-ban a G_{α} wr H részcsoport. Azt kell látnunk, hogy ez maximális részcsoportja G wr H-nak.

Legyen G_{α} wr H < X ≤ G wr H. H ≤ X, tehát a részcsoportok moduláris tulajdonsága miatt (X ∩ B)H = X ∩ BH = X. Legyen Y = X ∩ B, ekkor X = Y H és Y ◁ X, azaz H ≤ X ≤ N(Y), Y H-invariáns. Legyenek továbbá p_{σ} : B → G és i_{σ} : G → B a koordinátánkénti vetítések illetve beágyazások.

H tranzitív, ezért a p_{σ}(Y) ≤ G részcsoportok mind egyenlőek, és mind tartalmazzák G_{α}-t, továbbá van olyan σ ∈ Σ, hogy ez a tartalmazás szigorú. G primitivitása miatt ekkor minden σ-ra p_{σ}(Y) = G. Y ∩ i_{σ}(G) ◁ Y és p_{σ}(Y ∩ i_{σ}(G)) = Y ∩ i_{σ}(G) miatt Y ∩ i_{σ}(G) ◁ i_{σ}(G). G_{α} nem normálosztó G-ben, mivel G nem reguláris, ezért Y ∩ i_{σ}(G) = i_{σ}(G), azaz Y ≥ i_{σ}(G) minden σ ∈ Σ-ra, vagyis Y ≥ B és X ≥ BH. □

A fenti konstrukciót szokás angolul blow-upnak, felfújásnak nevezni; általában a G wr H szorzathatású csoport minden (primitív) részcsoportját a G felfújásának nevezik.

A fixpontok meghatározása nem teljesen triviális. αgπ = α azzal ekvivalens, hogy α(σπ^{−1}) = α(σ)g(σπ^{−1})^{−1}, amiből indukcióval

α(σπ^{−d}) = α(σ)g(σπ^{−1})^{−1} … g(σπ^{−d})^{−1},

és ez σπ^{d} = σ esetén azt jelenti, hogy γ(σ) := g(σ) … g(σπ^{d−1}) fixen hagyja α(σ)-t. Ha tehát π minden orbitjából választunk egy σ_{i} ∈ Σ reprezentánst, akkor az α fixpontot meg tudjuk választani a σ_{i} helyeken, a többi helyen pedig a feltétel szabja meg α értékét:

fix(gπ) = {α ∈ Ω | α(σ_{i}) ∈ fix(γ(σ_{i})) és α(σπ^{−1}) = α(σ)g(σπ^{−1})^{−1}}.

1.3. A permutációkarakter

Az absztrakt csoportok másik fontos ábrázolási módja valamely vektortér invertálható lineáris leképezéseiként tekinteni őket: a G csoport egy lineáris reprezentációján egy φ : G → GL(V) homomorfizmust értünk, ahol V egy vektortér valamely F test felett. Legtöbbször V = ℂ^{n}, ahol n pozitív egész, neve a reprezentáció foka.

A lineáris reprezentációkkal egy hatalmas elmélet, a reprezentációelmélet foglalkozik; én itt csak a jelen szakdolgozat szempontjából fontos tényeket foglalom össze.

A φ : G → GL_{n}(ℂ) reprezentációhoz tartozó karakter a

χ : G → ℂ, χ(g) = tr φ(g)

leképezés. A reprezentáció foka leolvasható a karakterről, ugyanis χ(1) = tr φ(id_{V}) = n. Általánosított karakternek nevezzük két karakter (pontonkénti) különbségét.

Egy φ reprezentáció illetve a hozzá tartozó χ karakter irreducibilis, ha az Im φ ≤ GL_{n}(ℂ) lineáris csoportnak nincsen nemtriviális invariáns altere.

Karakterekre néhány példa:

(i) A triviális karakter: ez a φ : G → ℂ, φ(g) = 1 reprezentációhoz tartozó karakter. 1_{G}(g) = 1 minden g ∈ G-re.

(ii) A permutációkarakter: ha G hat az n elemű Ω halmazon, akkor legyen φ : G → ℂ^{n} az a reprezentáció, melyre minden g ∈ G-re φ(g) a g hatása szerint permutálja a ℂ^{n} vektortér egy rögzített bázisát. A mátrixokkal való felírásból könnyen látszik, hogy az ehhez tartozó karakter π(g) = |fix(g)| minden g ∈ G-re.

(iii) A reguláris karakter: ϱ_{G} a G csoport (jobboldali) reguláris reprezentációjához tartozó permutációkarakter.

ϱ_{G}(g) = \{ \begin{matrix}|G| , & ha g = 1 \\ 0, & egyébként \end{matrix}

1.3.1. Állítás. χ_{1} és χ_{2} két G-karakter ⇒ χ_{1} + χ_{2} és χ_{1}χ_{2} is G-karakter.

Bizonyítás. Ha a két karakternek megfelelő reprezentációk φ_{1} : G → V_{1} illetve φ_{2} : G → V_{2}, akkor a (kézenfekvő módon definiált) φ_{1} × φ_{2} : G → GL(V_{1} × V_{2}) és φ_{1} ⊗ φ_{2} : G → GL(V_{1} ⊗ V_{2}) reprezentációkhoz tartozó karakterek éppen χ_{1} + χ_{2} és χ_{1}χ_{2}. □

Természetesen ugyanez az állítás igaz, ha karakter helyett mindenütt általánosított karaktert mondunk.

Egy karakter nyilván konstans a csoport konjugáltosztályain, mivel

χ(x^{−1}gx) = tr φ(x^{−1}gx) = tr φ(x)^{−1}φ(g)φ(x) = tr φ(g) = χ(g)

minden x, g ∈ G-re. A hasonló tulajdonsággal bíró ψ : G → ℂ leképezéseket osztályfüggvényeknek nevezzük. Az osztályfüggvények egy ℂ-vektorteret alkotnak, melynek dimenziója a G csoport konjugáltosztályainak száma.

Két osztályfüggvény „skalárszorzatát” a következőképpen definiáljuk:

[ψ_{1}, ψ_{2}] := \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} ψ_{1}(g)\overline{ψ_{2}(g)}.

Ez valóban egy pozitív definit hermitikus sesquilineáris függvény, amint az közvetlenül látható.

1.3.2. Állítás. Az irreducibilis karakterek az osztályfüggvények terének egy ortonormált bázisát alkotját a fent definiált skalárszorzatra nézve. Egy osztályfüggvény pontosan akkor karakter, ha az irreducibilis karakterekkel vett skalárszorzatai nemnegatív egész számok.

Például, a ϱ_{G} reguláris karakterre [ϱ_{G}, ψ] = ψ(1) ha ψ tetszőleges osztályfüggvény, speciálisan ϱ_{G} = ∑_{χ∈Irr G} χ(1)χ. Az is következményként adódik, hogy abel-csoportnak minden irreducibilis karaktere lineáris.

1.3.3. Állítás. Ha G egy permutációcsoport Ω-n, akkor

[π, 1_{G}] = |orb(G)|,

ahol π a permutációkarakter.

Bizonyítás. Azt kell bizonyítani, hogy ∑_{g∈G} π(g) = |G| |orb(G)|. Az {(g, α) | g ∈ G, α ∈ fix(g)} halmaz számossága egyrészt egyenlő a baloldallal, ha csoportelemenként számoljuk össze, másrészt a stabilizátorok rendjeinek összegével, ha a pontokra összegzünk. Minden orbiton a stabilizátorok rendje azonos, indexük az orbit hossza, e kettő szorzata éppen |G|. □

1.3.4. Állítás. Ha G tranzitív Ω-n, akkor tartalmaz fixpontmentes elemet.

Bizonyítás. Az előző állítás szerint G elemeinek átlagosan 1 fixpontja van. Az egységelemnek ennél több is van, ezért lesz olyan elem is , aminek ennél kevesebb. □

1.3.5. Állítás. Ha G egy tranzitív permutációcsoport Ω-n, akkor

[π, π] = rk(G).

Bizonyítás. A rang a G-orbitok száma Ω × Ω-n, a fixpontok száma pedig, tudjuk, |fix_{Ω×Ω}(g)| = |fix_{Ω}(g)|^{2}. Használjuk az 1.3.3. Állítást. □

1.3.6. Állítás. Ha a G csoport egy χ általánosított karaktere konstans az egységelemen kívül, azaz ha van olyan c ∈ ℂ, hogy minden 1 ≠ g ∈ G-re χ(g) = c, akkor valamely a, b ∈ ℤ számokkal

χ = aϱ_{G} + b1_{G}.

Bizonyítás. Egy χ = tr φ karakter értékei algebrai egészek, ugyanis egy lineáris transzformáció nyoma a sajátértékeinek összege, és minden g ∈ G-re φ(g) sajátértékei mind gyökei az x^{|G|} − 1 főpolinomnak (lévén φ(g)^{|G|} = id_{V}), tehát algebrai egészek, és az algebrai egészek halmaza zárt az összeadásra.

A ϱ_{G} reguláris karakterrel skalárszorozva

[χ, ϱ_{G}] = \frac{1}{|G|}χ(1)|G|

az 1.3.2. Állítás szerint egész szám, azaz χ_{1} egész. A triviális karakterrel skalárszorozva

[χ, 1_{G}] = \frac{1}{|G|} (χ(1) + (|G| − 1)c) ∈ ℤ

amiből

c = \frac{|G|[χ, 1_{G}] − χ(1)}{|G| − 1} ∈ ℚ

de c egy karakter értéke, tehát algebrai egész, ezért egész.

Legyen b := c; a χ − b1_{G} általánosított karakterre

[χ − b1_{G}, 1_{G}] = \frac{χ(1) − b}{|G|} =: a ∈ ℤ

vagyis a χ − b1_{G} karakter az egységelemen kívül azonosan 0, az egységelemen felvett értéke pedig χ(1) − b = a|G|, vagyis χ − b1_{G} megegyezik a reguláris karakter a-szorosával, ezzel a bizonyítás kész. □

Éles permutációcsoportok

2.1. A definíció

H. Blichfeldt alábbi századeleji eredményét [5] M. Kiyota [14] fedezte föl újra 1979-ben.

2.1.1. Lemma. Ha G ≤ S_{n} egy véges permutációcsoport, akkor

|G| | ∏_{l∈L(G)}(n − l) ,  (2.1)

ahol L(G) = {|fix(g)| | g ∈ G, g ≠ 1}.

Bizonyítás. Az L(G) halmaz a π(g) = |fix(g)| permutációkarakter G \ {1}-en felvett értékeit tartalmazza. Ha az

f_{L(G)}(x) := ∏_{l∈L(G)}(x − l)

polinomba behelyettesítjük π-t, akkor (az 1.3.1. állítás szerint) egy általánosított karaktert kapunk, amely az egységelemen kívül azonosan 0. Az 1.3.6. állítás alapján ebből következik, hogy f_{L(G)}(π) a ϱ reguláris karakter (nyilván pozitív) egész számú többszöröse, illetve végeredményben

|G| = ϱ_{G}(1) |f_{L(G)}(π(1)) = f_{L(G)}(n) = ∏_{l∈L(G)}(n − l)

□

2.1.1. Definíció. A G permutációcsoport éles, ha a (2.1) egyenletben az oszthatóság egyenlőséggel teljesül.

Mielőtt bármi érdemlegeset bebizonyítanék éles csoportokkal kapcsolatban, néhány példát adok illusztrációképpen.

2.2. Példák

A fenti definíció meglehetősen légbőlkapottnak tűnhet, ezért legelőször azt mutatom meg, hogy néhány régebbről ismert és vizsgált csoportosztály része az éles csoportok osztályának.

Egy-két egyszerű, de alapvető megállapítás következik.

2.2.1. Állítás. Ha G éles, akkor G tranzitív ⇔ 0 ∈ L(G).

Bizonyítás. Ha G tranzitív, akkor van benne fixpontmentes elem. Megfordítva, ha G éles és 0 ∈ L(G), akkor tetszőleges G_{α} stabilizátorra L(G_{α}) ⊆ L(G) \ {0}, továbbá (2.1) miatt fennáll f_{L(G)}(n) = |G| = |G : G_{α}| · |G_{α}| ≤ |G : G_{α}| f_{L(G_{α})}(n), így n ≤ |G : G_{α}|. □

2.2.2. Állítás. Ha G tranzitív, akkor G éles ⇔ G_{α} éles.

Bizonyítás. Legyen G tranzitív. A „csak akkor” irányhoz elég látnunk, hogy L(G_{α}) = L(G)\{0}. Minden 0 ≠ l ∈ L(G) fixpontszámhoz van g ∈ G úgy, hogy |fix(g)| = l, és ezt az elemet G tranzitív volta miatt G_{α}-ba konjugálhatjuk, így ezt az irányt beláttuk.

A fenti két állítás alapján indukcióval az is belátható, hogy ha G éles, akkor G k-tranzitív ⇔ L(G) ⊇ {0, 1, …, k − 1}.

Ha G tranzitív és G_{α} éles, akkor |G| = n · |G_{α}| = n · f_{L(G_{α})}(n), és a fentiek miatt ez egyenlő f_{L(G)}(n)-vel. □

2.2.3. Állítás. Minden k pozitív egész számra az élesen k-tranzitív csoportok élesek.

Bizonyítás. Ha G reguláris (élesen 1-tranzitív), akkor G éles, és mivel G élesen k-tranzitív ⇔ G tranzitív és G_{α} élesen (k − 1)-tranzitív, így az állítás k-ra vonatkozó teljes indukcióval és a 2.2.2. Állítás felhasználásával bizonyítható. □

Tehát az élesen tranzitív permutációcsoportok mind élesek. (Ez persze magyarázatot ad az elnevezésre is.) Az élesen tranzitív csoportok teljes listája ismert, a reguláris csoportoktól egészen S_{n}-ig és A_{n}-ig, melyek rendre élesen n- illetve élesen (n − 2)-tranzitívak. Az élesen 2- illetve 3-tranzitív csoportok klasszifikációja megtalálható Huppert–Blackburn: Finite groups III című könyvében [11, Chapter XII,§3,§9]. Végül a közbülső esetekről szól az alábbi tétel:

2.2.1. Tétel. (Jordan, 1873) Ha G egy n-fokú, élesen k-tranzitív permutációcsoport, ahol n > k + 2 > 5, akkor vagy k = 4, n = 11, G = M_{11}, vagy k = 5, n = 12, G = M_{12}.

A fent bizonyított két állítás némiképp általánosítható, ha észrevesszük, hogy a 2.1.1. Definícióban illetve f_{L(G)}(n)-ben nem a fixponthalmaznak, hanem a tartónak a mérete a lényeges: n − |fix(g)| = |supp(g)|. Tehát a G összes eleme által fixen hagyott pontok nem számítanak az élesség szempontjából.

2.2.1. Definíció. A G permutációcsoport ∗-tranzitív, ha a tartóján tranzitív, és élesen ∗-tranzitív, ha minden tartóbeli pont stabilizátora triviális. A többszörös ∗-tranzitivitás illetve többszörös élesen ∗-tranzitivitás az 1.1.8. Állítás mintájára indukcióval definiálható.

Ezek után

2.2.4. Állítás. Minden k pozitív egész számra az élesen k-∗-tranzitív csoportok élesek.

Bizonyítás. A 2.2.2. Állítás bizonyítása elmondható ∗-tranzitív G csoportokra is, ezért a 2.2.3. Állítás bizonyítása most is alkalmazható. □

2.2.2. Definíció. A G ≤ Sym(Ω) permutációcsoportot geometriai csoportnak nevezzük, ha bármely Δ ⊆ Ω-ra G_{(Δ)} tranzitív a tartóján, supp(G_{(Δ)})-n.

2.2.5. Állítás. G élesen k-∗-tranzitív valamely k pozitív egész számra ⇔ G geometriai.

Bizonyítás. Egy csoport pontosan akkor geometriai, ha minden pontstabilizátora geometriai, ezért az „akkor” irány k szerinti indukcióval látható be. A „csak akkor” irányhoz tekintsünk egy általános Δ ⊆ Ω részhalmazt és sorban stabilizáljuk az elemeit: amit kapunk az ∗-tranzitív vagy triviális, ami a bizonyítás végét jelenti. □

Az éles csoportok egy még nagyobb részosztályát tehát a geometriai csoportok alkotják, melyekről már teljes lista van: Zilber [22] az |L(G)| ≥ 7 feltételnek eleget tevő geometriai csoportokat klasszifikálta, Maund [18] pedig a 2 ≤ |L(G)| ≤ 6 esetet írta le.

Alábbiakban néhány konkrét példát mutatok geometriai csoportokra.

2.2.6. Állítás. A GL_{n}(q) lineáris csoport éles az 𝔽_{q}^{n} vektortéren értelmezett természetes hatásában.

Bizonyítás. Néhány pont stabilizátora az általuk generált alteret hagyja fixen, egy azon kívüli pontot viszont bárhová el lehet vinni a lineáris függetlenség miatt, tehát GL_{n}(q) geometriai, így éles. A fixpontszámok az alterek méretei, azaz L(GL_{n}(q)) = {1, q, q^{2} …, q^{n−1}}. □

A 2.2.2. Állítás szerint az AGL_{n}(q) affin csoport is éles (sőt geometriai), továbbá primitív. Egy nemtriviális eltolásnak nincs fixpontja, ezért L(AGL_{n}(q)) = {0, 1, q, …, q^{n−1}}.

2.2.7. Állítás. Minden n > 0 egész számra és G reguláris csoportra W (G, n) = G wr S_{n} az imprimitív hatásában éles.

Bizonyítás. n = 1-re az állítás triviális.

W (G, n)-ben egy pont stabilizátora nem mozdítja azt a kitüntetett blokkot, amelyben az adott pont fekszik, és G regularitása miatt pontonként is stabilizálja. Közben az összes többi kitüntetett blokkon tetszőlegesen hat, azaz fixpontjaitól eltekintve W (G, n)_{α} ≃ W (G, n − 1), így az állítás teljes indukcióval bizonyítható.

Ugyanebből az indukcióból a fixpontszámokra L(W (G, n)) = {0, m, 2m, …, (n−1)m} adódik, ahol m = |G|. □

2.2.8. Állítás. Ha G abel és n ≥ 2, akkor W^{∗}(G, n) := {(g_{i})π ∈ W (G, n) | g_{1}g_{2} … g_{n} = 1} ≤ W (G, n) éles.

Bizonyítás. |W^{∗}(G, n)| = \frac{1}{|G|}|W (G, n)|, mint az könnyen látható; az állítás következni fog, ha belátjuk, hogy L(W^{∗}(G, n)) = {0, m, 2m, …, (n − 2)m}.

L(W^{∗}(G, n)) ⊆ L(W (G, n)) \ {(n − 1)m}, mivel ha egy gπ elemnek ennyi fixpontja van, akkor π-nek legalább n − 1, vagyis π = 1, továbbá g = (g_{i}) legfeljebb egy helyen vehet föl nemtriviális értéket, de akkor a feltétel miatt mindenhol triviális, gπ = 1. A többi fixpontszám viszont valóban előfordul: adott 0 ≤ k ≤ n − 2-re legyen π ∈ S_{n} olyan, hogy |fix(π)| = k, ekkor π ∈ W^{∗}(G, n)-nek pontosan km fixpontja van.

Ez a csoport is geometriai, amit az előző állításhoz hasonlóan lehet bizonyítani. □

A harmadik itt említhető csoportosztály a particionálható csoportok. Egy G csoport partíciója részcsoportok egy olyan Π = {H_{i} ≤ G | i ∈ I} rendszere, melynek elemei páronként triviális metszetűek és uniójuk az egész G. G particionálható, ha van nemtriviális (nem egyelemű) partíciója. Ez ekvivalens egy nemtriviális normális partíció létezésével, azaz olyannal, amely minden részcsoporttal annak minden konjugáltját is tartalmazza: ugyanis partíció automorf képe is partíció (ezt úgy értve, hogy Π^{σ} = {H_{i}^{σ}}), és két partíció „közös finomítása” is partíció, vehetjük tehát egy partíciónak és az összes konjugáltjának a közös finomítását, az normális partíció lesz.

Iwahori és Kondo [13] 1965-ből származó, ideillő tétele ekvivalens átfogalmazásban így hangzik:

2.2.2. Tétel. A G véges csoport partícionálható ⇔ megadható G-nek egy olyan hűséges hatása, melyben |L(G)| = 1.

Bizonyítás. Először tegyük föl, hogy adott G-nek egy ilyen hatása az Ω halmazon; tehát minden 1 ≠ g ∈ G-re |fix(g)| = k. Π = {G_{(fix(g))} | 1 ≠ g ∈ G} ekkor egy (normális) nemtriviális partíciója G-nek, mivel e részcsoportok nyilván lefedik G minden elemét, továbbá bármely kettőnek a metszete triviális, lévén a metszet elemei pontonként fixálják két különböző k-elemű halmaz unióját, vagyis k-nál több pontot, márpedig ezt jelen esetben csak az egységelem teszi meg.

Megfordítva, ha adott G-nek egy Π nemtriviális partíciója, amiről a tétel előtti megjegyzés szerint feltehetem, hogy normális, akkor definiálnom kell egy megfelelő hatást.

Legyen Π′ = {H_{1}, …, H_{n}} egy reprezentánsrendszere a Π-beli részcsoportok konjugáltosztályainak. Jelölje m_{i} az |N_{G}(H_{i}) : H_{i}| indexet, és legyen k az m_{i} számok legkisebb közös többszöröse, valamint α_{i} = \frac{k}{m_{i}}. Minden i = 1, …, n-re vegyük a H_{i} szerinti tranzitív reprezentációt α_{i} példányban. Egy 1 ≠ g ∈ G elem fixpontszáma a H_{i} szerinti tranzitív reprezentációban 0, ha nincs benne H_{i} valamely konjugáltjában; ha benne van valamelyikben, akkor pontosan az egyikben (mivel ezek a részcsoportok triviális metszetűek, lévén a Π partíció elemei), tehát nincsen más fixpontja azokon kívül, amiket az egész részcsoport fixen hagy. Ezeknek száma |N_{G}(H_{i}) : H_{i}| = m_{i}. Minden 1 ≠ g ∈ G-re pontosan egy olyan H_{i} ∈ Π′ van, hogy az utóbbi eset teljesül, és így fix(g) = α_{i}m_{i} = k lesz, vagyis L(G) = {k}. □

G élességéhez annak kell teljesülnie, hogy az alaphalmaznak k + |G| darab pontja van. Rövid számolás mutatja, hogy |fix(1)| = k + l|G|, ahol k + l = ∑_{i=1}^{n} α_{i}. Nyilván nem feltétlenül l = 1, de az alábbi két konstrukcióban ez fennáll.

(i) Ha G Frobenius-csoport, akkor a Frobenius-mag és a Frobenius komplementumok egy normális partíciót adnak. Π′ = {N, G_{0}}, ahol N a Frobenius-mag, G_{0} pedig az egyik Frobeniuskomplementum (vagy stabilizátor); ekkor m_{1} = |G_{0}|, m_{2} = 1, k = |G_{0}|, α_{1} = 1, α_{2} = |G_{0}|. A hatás foka α_{1}|G : N| + α_{2}|G : G_{0}| = |G_{0}| + |N| · |G_{0}| = |G| + |G_{0}|.

(ii) Ha G elemi abel-csoport, G = Z_{p}^{d}, amit mint az 𝔽_{p}^{d} vektorteret tekintünk, ennek nyilván vannak (normális, alterekből álló) partíciói. G irreducibilis (lineáris) karakterei a pontonkénti szorzással egy G^{∗} csoportot alkotnak, amely izomorf G-vel. Legyen G^{∗}-nak egy partíciója Π = {H_{i} | i = 1, …, k}, ekkor a tetszőleges G csoportra teljesülő ϱ_{G} = ∑_{χ∈Irr G} χ(1)χ összefüggés miatt ∑_{χ∈H_{i}} χ = ϱ_{G/G_{i}}, ahol G_{i} = ∩_{χ∈H_{i}}ker χ. Speciálisan, abban a hatásban, melynek permutációkaraktere π = ∑_{i=1}^{k} ϱ_{G/G_{i}}, π = ϱ_{G} + (k − 1) · 1_{G}, vagyis a hatás éles és |L(G)| = 1.

Éles csoportok meghatározásával foglalkozott Ito és Kiyota [12] valamint Brozovic [6]. Eredményeik az alábbi tételekben foglalhatók össze.

2.2.3. Tétel. Legyen G éles csoport Ω-n, és L(G) = {l, l + 1, …, l + r − 1}, ahol r ≥ 2. Ekkor |fix(G)| = l és G élesen r-tranzitív Ω \ fix(G)-n.

2.2.4. Tétel. Legyen G éles csoport Ω-n, és L(G) = {l, l + 2}. Ekkor teljesül az alábbiak valamelyike:

(i) |fix(G)| = l, G tranzitív 3-rangú Ω \ fix(G)-n, továbbá G ≃ D_{4}, S_{4}, GL_{2}(3) vagy P SL_{2}(7), ahol rendre |Ω \ fix(G)| = 4, 6, 8, 14;

(ii) |fix(G)| = l − 1, G-nek két orbitja van Ω \ fix(G)-n, továbbá G ≃ S_{4} vagy P SL_{2}(7), ahol rendre |Ω \ fix(G)| = 7, 15.

Az (i) esetben S_{4}-nek két nemekvivalens 6-fokú éles reprezentációja is van.

2.2.5. Tétel. Legyen G éles csoport Ω-n, és L(G) = {l, l + 3}. Ekkor teljesül az alábbiak valamelyike:

(i) |fix(G)| = l, G tranzitív Ω \ fix(G)-n, továbbá G ≃ (Z_{3} × Z_{3}) ⋊ Z_{2}, (Z_{3} × Z_{3}) ⋊ S_{3}, (Z_{3} × Z_{3} × Z_{3}) ⋊ S_{4}, Z_{3} × P SL_{2}(4) vagy Z_{3} × P SL_{2}(7), ahol rendre |Ω \ fix(G)| = 6, 9, 27, 15, 24;

(ii) |fix(G)| = l−2, G-nek három orbitja van Ω\fix(G)-n, és G ≃ (Z_{3} ×Z_{3})⋊Z_{2}, |Ω\fix(G)| = 8.

Minden szemidirekt szorzat egyértelműen meghatározott, kivéve (Z_{3} × Z_{3}) ⋊ S_{3}-t, amelynek két nemekvivalens éles reprezentációja van; az egyik centruma triviális, a másik centrumának rendje 2.2.6. Tétel. Legyen G egy primitív éles permutációcsoport, melyre |L(G)| = 2 (természetesen 0 ∈ L(G)). Ha G nem élesen 2-tranzitív, akkor a következő esetek lehetségesek:

(i) G majdnem egyszerű;

(ii) G ≃ ASO_{3}(q) az 𝔽_{q}^{3}-on értelmezett természetes hatásában, ahol q páratlan prímhatvány.

Megjegyzendő, hogy ASO_{3}(3) ≃ (Z_{3} × Z_{3} × Z_{3}) ⋊ S_{4} kétszer is szerepel a fenti listákban. Egyetlen további példát említenék még meg:

2.2.9. Állítás. ⟨(12)(34), (1357)(2468)⟩ ≤ S_{8} éles.

Ez a csoport azért érdekes, mert p-csoport (a rendje 32 = 2^{5}), és az általam ismert éles pcsoportok mind elemi abel-csoportok ennek az egynek a kivételével.

2.3. Konstrukciók

2.3.1. Állítás. G = ×_{i=1}^{m}G_{i} neméles az unióhatásban.

Bizonyítás. Legyenek L(G_{i}) elemei α_{1}^{(i)} < … < α_{d_{i}}^{(i)}, ekkor (2.1) szerint |G_{i}| ≤ ∏_{j=1}^{d_{i}}(n_{i} −α_{j}^{(i)}), ahol persze n_{i} = |Ω_{i}|. Válasszuk a g_{i} ∈ G_{i} elemeket úgy, hogy

|fix(g_{i})| = \{ \begin{matrix}n_{i}, & 1 ≤ i < k \\ α_{j}^{(k)}, & i = k \\ α_{1}^{(i)}, & k < i \end{matrix} (k = 1, …, m, j = 1, …, d_{k})

fennálljon. Ekkor a g = (g_{1}, g_{2}, …, g_{m}) ∈ G elem fixpontszáma ∑_{i=1}^{k−1} n_{i} + α_{j}^{(k)} + ∑_{i=k+1}^{m} α_{1}^{(i)}. Ezek az értékek különbözőek, ugyanis ha két ilyen elemre |fix(g)| = |fix(g′)| és feltehetően k′ > k, akkor láthatóan minden i = 1, …, m-re |fix(g_{i})| = |fix(g′_{i})| teljesül, tehát az összeadandóknak is külön-külön egyenlőeknek kell lenniük.

Ezzel, ha G éles lenne,

∏_{i=1}^{m} |G_{i}| = |G| ≥ ∏_{k=1}^{m} ∏_{j=1}^{d_{k}} ((n_{k} − α_{j}^{(k)}) + ∑_{i=k+1}^{m}(n_{i} − α_{1}^{(i)})) >

> ∏_{k=1}^{m} ∏_{j=1}^{d_{k}}(n_{k} − α_{j}^{(k)}) ≥ ∏_{k=1}^{m} |G_{k}|,

ami ellentmondás; a szigorú egyenlőtlenség azért teljesül, mert m ≥ 2 és n_{m} − α_{1}^{(m)} > 0. □

2.3.2. Állítás. G = ×_{i=1}^{m}G_{i} éles a szorzathatásban ⇒ G_{i} reguláris.

Bizonyítás. Amiatt, hogy a direkt szorzat „zárójelezhető”, továbbá mert G × H pontosan akkor reguláris a szorzathatásban, ha G és H is reguláris, az állítást elegendő m = 2-re bebizonyítani.

Legyen tehát G × H éles. Érvényes a |fix((g, h))| = |fix(g)| |fix(h)| összefüggés. Ha G foka n és L(G) elemei α_{1} < α_{2} < … < α_{r−1}, α_{r} := n, valamint H foka m és L(H) elemei β_{1} < β_{2} < … < β_{s−1}, β_{s} := m, akkor (2.1) és a feltétel alapján

|G| ≤ ∏_{i=1}^{r−1}(n − α_{i}), |H| ≤ ∏_{j=1}^{s−1}(m − β_{j}) és |G × H| ≥ ∏_{i,j}′(mn − α_{i}β_{j})

ahol a harmadik esetben csak a különböző értékű tényezőket szorozzuk össze.

Feltehetően r ≥ s. Könnyen látható, hogy ekkor az α_{1}β_{1}, α_{2}β_{2}, …, α_{s−1}β_{s−1}, α_{s}m, …, α_{r−1}m szorzatok páronként különbözőek. Mivel mn − α_{i}β_{j} = n(m − β_{j}) + β_{j}(n − α_{i}), a harmadik egyenlőtlenség így írható:

|G × H| ≥ ∏_{i=1}^{s−1}(n(m − β_{i}) + β_{i}(n − α_{i})) · ∏_{i=s}^{r−1} m(n − α_{i}) ≥

≥ n^{s−1} ∏_{i=1}^{s−1}(m − β_{i}) · m^{r−s} ∏_{i=s}^{r−1}(n − α_{i}) ≥ m^{r−s} ∏_{j=1}^{s−1}(m − β_{j}) ∏_{i=1}^{r−1}(n − α_{i}) ≥

≥ m^{r−s}|G||H|.

Ebből azonnal r = s, azaz

|G × H| ≥ n^{r−1} ∏_{j=1}^{s−1}(m − β_{j}) ≥ |G| |H| ,

és emiatt r = 1 és α_{1} = 0. Ugyanezt G és H szerepének felcserélésével végigjátszva (ezt szabad, mert most már tudom, hogy s ≥ r) s = 1, β_{1} = 0 is adódik, tehát G és H szemiregulárisak. Végül az élesség miatt |G × H| ≥ (mn − α_{1}β_{1}) = mn, tehát G és H regulárisak. □

2.3.3. Állítás. G wr H éles az imprimitív hatásban ⇒ G reguláris, H szimmetrikus.

Bizonyítás. Legyen G foka n, H foka m. Azt bizonyítom be, hogy ha G^{m} ≤ X ≤ G wr H éles, akkor G reguláris, H = S_{m} és X = G wr H.

Legyenek L(G) elemei α_{1} < α_{2} < … < α_{r−1}, α_{r} := n. A fenti 2.3.1. Állítás bizonyítása alkalmazható B = G^{m}-re, így L(X)-ben vannak az (k − 1)n + α_{j} + (m − k)α_{1} (k = 1, …, m, j = 1, …, r − 1) páronként különböző fixpontszámok. Ezzel

|G wr H| ≥ |X| ≥ ∏_{k=1}^{m} ∏_{j=1}^{r−1}(mn − (k − 1)n − α_{j} − (m − k)α_{1}) =

= ∏_{k=1}^{m} ∏_{j=1}^{r−1}((n − α_{j}) + (m − k)(n − α_{1})) ≥ m! ∏_{k=1}^{m} ∏_{j=1}^{r−1}(n − α_{j}) ≥ |H| |G|^{m} .

(Az utolsóelőtti becslésnél a j = 1 tényezőkből kiemeltem (m − k + 1)-et, a többinél az (m − k)(n − α_{1}) ≥ 0 becslést alkalmaztam.) Azonnal adódik, hogy H = S_{m}, G éles és X = G wr H. Ha m ≥ 2 és r − 1 ≥ 2, akkor a k = 2, j = 2 tényezőt szigorúan csökkentem a fenti becsléssel, így r−1 = |L(G)| = 1. Ha α_{1} ≠ 0, akkor tekintek egy π ∈ H = S_{m} elemet úgy, hogy |fix(π)| = 0; ekkor |fix((1, …, 1)π)| = 0, és ez a fixpontszám nem szerepel a fenti szorzatban, pedig (1, …, 1)π ∈ X, ez ellentmondás. Tehát α_{1} = 0, |G| = n, azaz G reguláris. □

2.3.4. Állítás. G^{m} ≤ X ≤ G wr S_{m} éles a szorzathatásban ⇒ G ≤ S_{n} szemireguláris.

Bizonyítás. A korábban elvégzett vizsgálat azt mutatta, hogy

|fix(gπ)| = ∏_{orb(π)} |fix(γ(σ_{i}))| ,

vagyis az elvileg lehetséges értékek ∏_{i=1}^{orb(π)} |fix(γ_{i})| ahol γ_{i} ∈ G és π ∈ S_{m}.

Legyenek (0 = α_{0} <) α_{1} < α_{2} < … α_{d} < n a G-beli fixpontszámok, és tegyük föl, hogy d ≥ 1, azaz G nem szemireguláris. Tekintsük a g1 ∈ G^{m} elemek fixpontszámait: |fix(g1)| = ∏_{i=1}^{m} |fix(g_{i})|, és itt minden tényező vagy 0 (ez nem érdekes), vagy α_{i}, vagy n, de nem mind n (mert az nem is számít). Biztosan szerepelnek és különböznek tehát a következők, a 2.3.1. Állítás analógiájára: α_{1}^{i}α_{j}n^{m−i−1} (0 ≤ i ≤ m − 1, 1 ≤ j ≤ d), melyeket felülről becsülve α_{1}^{i}α_{j}n^{m−i−1} ≤ α_{d}^{i+1}n^{m−i−1}. Ezzel

|X| ≥ ∏_{gπ∈X}′(n^{m} − |fix(gπ)|) ≥ ∏_{g∈G^{m}}(n^{m} − |fix(g1)|) ≥

≥ (n^{m})(n^{m} − α_{d}n^{m−1})^{d}(n^{m} − α_{d}^{2}n^{m−2})^{d} … (n^{m} − α_{d}^{m})^{d}

= (n^{m})n^{(m−1)+...+1}(n − α_{d})^{d}(n^{2} − α_{d}^{2})^{d} … (n^{m} − α_{d}^{m})^{d}

≥ (n^{m})n^{\frac{m(m−1)}{2}} (n − α_{d})^{md}(2α_{d})^{d} … (mα_{d}^{m−1})^{d}
= (n^{m})n^{\frac{m(m−1)}{2}} (m!)^{d}(n − α_{d})^{md}α_{d}^{d \frac{m(m−1)}{2}} .

Mivel α_{d} ≤ n − 2, és így (n − α_{d})α_{d} ≥ n − 1 ≥ n − α_{i}, továbbá ha föltesszük, hogy m ≥ 3, amikor is α_{d} kitevője legalább m, akkor

∏_{gπ∈X}′(n^{m} − |fix(gπ)|) ≥ (n^{m})(m!)^{d}n^{\frac{m(m−1)}{2}} ∏_{i=1}^{d}(n − α_{i})^{m},  (2.2)

és itt n kitevője 1-nél nagyobb; másrészt

|X| ≤ |G wr S_{m}| = |G|^{m}|S_{m}| ≤ (n^{m})m! ∏_{i=1}^{d}(n − α_{i})^{m}.

Mindkét becslésben az n^{m} tényező pontosan akkor szerepel, ha 0 ∈ L(G). Tehát m ≥ 3 esetén az állítás igaz.

m = 2 esetén a szorzat legalább

(n^{2})(n^{2} − α_{1}n) … (n^{2} − α_{d}n) = (n^{2})n^{d} ∏_{i=1}^{d}(n − α_{i}) > (n^{2}) ∏_{i=1}^{d}(n − α_{i})^{2} ≥ |G|^{2},

és szerepel még az n^{2} − α_{1}^{2} = (n − α_{1})(n + α_{1}) > 2n faktor, így a szorzat nagyobb mint 2|G|^{2} = |G wr S_{2}|, kész. □

Primitív permutációcsoportok

3.1. Az O’Nan-Scott tétel

Az O’Nan-Scott tétel egyik ekvivalens alakjában a szimmetrikus csoport maximális részcsoportjai szerepelnek. Az első, triviális megállapítás ebben a témakörben a következő:

3.1.1. Állítás. Legyen G ≤ S_{n} maximális részcsoport. Az alábbiak valamelyike teljesül:

(i) G intranzitív, G ≃ S_{k} × S_{n−k} az unióhatással valamely 1 ≤ k < \frac{n}{2}-re;

(ii) G imprimitív, G ≃ S_{a} wr S_{b} az imprimitív hatással, ahol ab = n, a > 1, b > 1;

(iii) G primitív.

Az O’Nan-Scott-tétel sokak (Michael Aschbacher, Peter Cameron, Martin Liebeck, Cheryl Praeger, Jan Saxl és mások) által átdolgozott és javított változata a fenti harmadik esetet bontja tovább osztályokra. Így végeredményben a primitív permutációcsoportok klasszifikációját kapjuk.

A mondott klasszifikáció a csoport talpát használja segédeszközül. Egy G absztrakt csoport talpa a minimális normálosztói által generált részcsoport, ennek jele Soc G. Ez nyilván karakterisztikus részcsoportja G-nek (azon felül, hogy normálosztó).

Két minimális normálosztó mindig centralizálja egymást: egyrészt [N, K] ≤ N ∩ K, mivel n^{−1}k^{−1}nk = k^{−n}k = n^{−1}n^{k}, másrészt N ∩ K normálosztó G-ben, ami N és/vagy K minimalitása miatt csak triviális lehet. Indukcióval ki lehet választani néhány minimális normálosztóját G-nek, hogy a talp azok direkt szorzata legyen.

Egy N ◁ G minimális normálosztó nem tartalmaz nemtriviális karakterisztikus részcsoportot, tehát karakterisztikusan egyszerű. Ekkor N ≃ ×_{i=1}^{k}T_{i}, ahol a T_{i} csoportok izomorfak és egyszerűek, k pozitív egész. Ha N abel, akkor T_{i} ≃ Z_{p} valamely p prímre és N elemi abel p-csoport.

3.1.2. Állítás. Legyen G primitív permutációcsoport, és N ◁ G minimális normálosztó. Ekkor az alábbiak valamelyike teljesül:

(i) N reguláris elemi abel-csoport, Soc G = N;

(ii) N reguláris nemabel, C_{G}(N) ≃ N és Soc G = N × C_{G}(N);

(iii) N nemabel, C_{G}(N) = 1 és Soc G = N.

Bizonyítás. Normálosztó centralizátora is normálosztó, tehát C := C_{G}(N) ◁ G. Primitív csoport nemtriviális normálosztója tranzitív, tehát N tranzitív. Ekkor C szemireguláris; ha C ≠ 1, akkor reguláris is, de akkor N ≤ C_{G}(C) miatt N is szemireguláris, tehát reguláris. Ha most N ∩ C ≠ 1, akkor ez egy nemtriviális normálosztó az N minimális normálosztóban, amiből végső soron N ≤ C következik. C reguláris normálosztó volt, ezért valódi része nem lehet tranzitív és így normálosztó sem, vagyis N = C, N abel. Ha N ∩ C = 1, akkor N × C ≤ Soc G, mivel C is minimális normálosztó a fentiek miatt. Végül ha K ◁ G egy másik minimális normálosztó, akkor [N, K] ≤ N ∩ K = 1 miatt K ≤ C, ezzel a bizonyítás kész. □

Megjegyzendő, hogy ugyanennek az állításnak a 2-tranzitív csoportokra vonatkozó, Burnside által a századelőn bizonyított analogonja sokkal nagyobb megszorítást jelent a 2-tranzitív csoportoknak mind absztrakt, mind permutációelméleti szerkezetére.

3.1.1. Tétel. (Burnside) Legyen G 2-tranzitív csoport. Ekkor G-nek egyetlen minimális normálosztója van (ami így megegyezik a talppal), továbbá a következők egyike teljesül:

(i) Soc G reguláris elemi abel-csoport;

(ii) Soc G primitív nemabel egyszerű csoport.

Most rátérek a primitív csoportok fentebb említett osztályainak leírására.

Affin csoportok. Itt S reguláris elemi abel, S ≃ Z_{p}^{d}. Reguláris csoport normalizátora, melyet a csoport holomorfjának is neveznek, stabilizátorként tartalmazza a csoport teljes automorfizmuscsoportját. Jelen esetben, mivel S felfogható egy 𝔽_{p} fölötti d dimenziós vektortérnek, automorfizmusai a nemelfajuló lineáris leképezések, azaz GL_{d}(p) elemei. S elemei eltolásként hatnak ezen a vektortéren, így a normalizátor AGL_{d}(p) a természetes hatásában. Az X ≤ AGL_{d}(p) csoport affin típusú primitív, ha tartalmazza az eltolások csoportját (azaz S-t), továbbá az origó stabilizátora, X_{0} = X ∩ GL_{d}(p) irreducibilisen hat a vektortéren.

Majdnem egyszerű csoportok. Ha S ≃ T egy nemabel egyszerű csoport, akkor szükségszerűen megegyezik X egyetlen minimális normálosztójával. Tehát a 3.1.2. Állítás (iii) esete forog fenn. X konjugálással hat S-en, mely hatásnak a magja C_{X}(S), ami most triviális, vagyis X beágyazódik Aut S-be. Megbocsátható pongyolasággal írható S ≤ X ≤ Aut S. Megköveteljük továbbá, hogy S nem reguláris, vagyis X_{0} ∩ S ≠ 1.

Diagonális hatású csoportok. Legyen T egy véges egyszerű csoport, A = Aut T, k ≥ 2, és tekintsük a

W = {πg | π ∈ S_{k}, g_{i}g_{j}^{−1} ∈ T minden 1 ≤ i, j ≤ k-ra} ≤ A wr S_{k}

csoportot. W talpa S = Soc W = T^{k}, és W ≃ T^{k}.(Out T × S_{k}). A hatást definiálandó megadom a stabilizátort:

W_{0} = {πg | π ∈ S_{k}, g_{i} = g_{j} minden 1 ≤ i, j ≤ k-ra}

Ekkor W_{0} ≃ A × S_{k}, és a hatás foka n = |T |^{k−1}.

Az X ≤ W részcsoport diagonális hatású primitív, ha S ≤ X és az X által az S koordinátáin létesített P ≤ S_{k} hatásra (vagyis P = {π | πg ∈ X} ≤ S_{k}, és így X ≤ T^{k}.(Out T × P)) vagy (i) P primitív, vagy (ii) k = 2 és P = 1 teljesül.

Az (i) esetben X egyetlen minimális normálosztója T^{k}, a (ii) esetben X ≃ T^{2}, két minimális normálosztója van és mindkettő hatása reguláris – ezek valójában ϱ(T) és λ(T), a jobb- illetve baloldali reguláris reprezentációi T -nek.

Szorzathatású csoportok. Legyen G egy m fokú, majdnem egyszerű vagy diagonális hatású primitív csoport, és tekintsük a W = G wr S_{k} koszorúszorzatot annak szorzathatásában. W talpa S = Soc W = (Soc G)^{k} ≤ G^{k}. Az X ≤ W részcsoport szorzathatású primitív, ha tartalmazza S-t, és tranzitívan hat annak (Soc G-vel izomorf) minimális normálosztóin.

Ekkor X-nek ugyanannyi minimális normálosztója van, mint G-nek, tehát legfeljebb kettő, és ha pontosan kettő (ez akkor áll fenn, ha G diagonális hatású és a fenti (ii) eset teljesül), akkor mindkettő reguláris.

Csavart koszorúhatású csoportok. Az O’Nan-Scott tétel első verziójából kimaradt a reguláris nemabel talp esete. Ilyenkor az X primitív csoport egy T twr_{φ}P csavart koszorúszorzat, amit most vázlatosan definiálok.

Legyen adva a T egyszerű csoport, a P csoport és annak egy Q ≤ P részcsoportja, melynek indexe |P : Q| = k, valamint egy φ : Q → Aut T homomorfizmus, melyre Im φ ≥ Inn T. A

B := {f : P → T | f(pq) = f(p)^{φ(q)} ha p ∈ P, q ∈ Q}

halmaz a függvények pontonkénti szorzásával csoporttá tehető, mely csoport izomorf T^{k}-val. Legyen P hatása B-n

f^{p}(x) = f(px) (p, x ∈ P),

ekkor X = T twr_{φ}P := B ⋊ P szemidirekt szorzat. X hatását úgy definiálom, hogy megadom a stabilizátort: legyen X_{0} = P. A hatás foka n = |T |^{k}, B az egyetlen minimális normálosztója X-nek és a hatása reguláris.

X csavart koszorúhatású primitív csoport, ha primitív, azaz ha P ≤ X maximális részcsoport. Erre szükséges és elégséges feltételeket valamint egy általános konstrukciót R. Baddeley [4] adott.

Az O’Nan-Scott tétel így hangzik:

3.1.2. Tétel. (O’Nan-Scott) Ha G egy primitív permutációcsoport, akkor permutációizomorf a fenti öt osztályba eső X csoportok valamelyikével.

Annak oka, hogy a szorzathatású csoportokat csak majdnem egyszerű illetve diagonális típusú csoportokra értelmezik, abban rejlik, hogy affin illetve csavart koszorúhatású csoport minden felfújása is affin, illetve csavart koszorúhatású.

Az O’Nan-Scott tétel információt szolgáltat a primitív csoportok szerkezetéről és hatásáról, a (nemabel) egyszerű csoportok tulajdonságainak függvényében. Ha egy permutációcsoportokra vonatkozó kérdést vissza tudunk vezetni tranzitív illetve primitív csoportokra, akkor az O’Nan-Scott tétel az egyszerű csoportok vizsgálatára redukálja a problémát, amelyet így a Klasszifikáció alkalmazásával lehet megoldani. Számos régi kérdésben ilyen módszerrel értek el új eredményeket a közelmúltban.

3.2. A minimálfok

Adott G permutációcsoportban szeretnénk információt kapni a g ∈ G elemek fixpontszámairól illetve tartóméretéről. A felső becslés triviális, ha G tranzitív, mert ekkor biztosan van fixpontmentes elem. Az alsó becslés viszont messzire vezet.

3.2.1. Definíció. A G permutációcsoport minimálfoka μ(G) := min{|supp(g)| | 1 ≠ g ∈ G}.

Az éles csoportok esetében a minimálfokot a következő becslésben lehet hasznosítani: mivel a 2.1.1. Definíció értelmében |G| = ∏_{l∈L(G)}(n − l), itt n ≥ n − l ≥ μ(G), tehát

n^{|L(G)|} ≥ |G| ≥ μ(G)^{|L(G)|}  (3.1)

(A felső becslés természetesen neméles csoportokra is teljesül.) Ez egy összefüggést ad az éles csoport mérete és a fixpontszám-halmaza mérete között. Ha a μ(G) minimálfok helyett az n fok valamely függvénye szerepelne az egyenlőtlenség jobb oldalán, akkor egy |G|-re vonatkozó becslésből |L(G)|-re vonatkozó becslést tudunk nyerni és viszont. Ehhez a minimálfokot a fok függvényében kell alulról becsülni.

Nyilván minden (nem túl kicsi) n-re μ(S_{n}) = 2 és μ(A_{n}) = 3. Ha G tranzitív, akkor ennél jobbat nem is tudunk mondani, amint azt a W (Z_{2}, k) csoport példája mutatja. Ha viszont G primitív, akkor igen:

3.2.1. Állítás. Ha G ≤ S_{n} primitív és μ(G) = 3, akkor G ≥ A_{n}, és ha μ(G) = 2, akkor G = S_{n}.

Ez természetesen még elég messze van a foktól való függéstől. A továbbiakhoz szükség van a következő definícióra.

3.2.2. Definíció. Az Ω-n ható G csoportnak Σ ⊆ Ω egy bázisa, ha G_{(Σ)} = 1. Jelölje b(G) a legkisebb előforduló bázisméretet.

3.2.2. Állítás. Fennállnak az alábbi egyenlőtlenségek:

(i) n^{b(G)} ≥ n(n − 1) … (n − b + 1) ≥ |G| ≥ 2^{b(G)}

(ii) Ha G tranzitív, akkor n ≤ b(G)μ(G)

Fentiek miatt a b(G)-re adott minden felső becslés ad egy alsó becslést a minimálfokra (és egy felső becslést G rendjére).

Babai László egy kombinatorikus átfogalmazást alkalmazva vezette le az alábbi eredményt [2]:

3.2.1. Tétel. (Babai, 1981) Ha G ≤ S_{n} primitív, nem 2-tranzitív csoport, akkor μ(G) ≥ \frac{1}{2} \sqrt{n}.

A klasszifikáció segítségével pontosítani lehet a konstanst, μ(G) ≥ 2(\sqrt{n} − 1 is teljesül minden primitív G-re.

Martin Liebeck és Jan Saxl az O’Nan-Scott tételt használva a kitevőt is növelni tudta [17]:

3.2.2. Tétel. (Liebeck–Saxl, 1991) Minden G ≤ S_{n} primitív csoportra teljesül a következők valamelyike:

(i) μ(G) ≥ \frac{n}{3};

(ii) G felfújása egy olyan majdnem egyszerű primitív csoportnak, melynek talpa valamely alternáló csoport a k-részcsoportokon való hatásában valamely k-ra.

Ez a becslés lényegében helyesen mutatja a szituációt: a legtöbb primitív csoportnak minden eleme a pontoknak legalább konstans hányadát mozgatja. Számítógépes eszközökkel a konstans hányadot is növelni lehetett, habár ekkor további kivételek jelentek meg [10]:

3.2.3. Tétel. (Guralnick–Magaard, 1998) Ismert kivételektől eltekintve minden G ≤ S_{n} primitív csoportra μ(G) ≥ \frac{n}{2}.

A (javított) Babai-féle becslésből a következők vezethetők le:

n^{\frac{1}{2} |L(G)|} ≤ |G| ≤ n^{|L(G)|} illetve \frac{log |G|}{log n} ≤ |L(G)| ≤ 2\frac{log |G|}{log n}  (3.2)

3.3. Primitív csoportok mérete

A minimálfok segítségével erős alsó becslés nyerhető a primitív éles csoportok rendjére illetve a fixpontszám-halmaz méretére. A primitív csoportok rendjére vonatkozó felső becsléseket alkalmazva lehet egyes esetekben a nemélességet megállapítani.

Az első, klasszikus becslés mintegy száz évvel az O’Nan-Scott tétel előttről származik.

3.3.1. Tétel. (Bochert, 1889) Minden G ≤ S_{n} valódi (azaz A_{n}-et nem tartalmazó) primitív csoportra b(G) ≤ \frac{n}{2}, és így |G| ≤ n(n − 1) … (n − ⌊\frac{n}{2}⌋ + 1).

Ez a becslés még elég durva: log |G| főtagja cn log n, amely aszimptotikusan nem ad jobb eredményt, mint a triviális |G| ≤ n! becslés. Helmut Wielandt [21] eredménye lényegesen jobb:

3.3.2. Tétel. (Wielandt, 1969) Ha G ≤ S_{n} primitív, nem 2-tranzitív csoport, akkor |G| ≤ C^{n} valamely C > 0 konstanssal (C = 24 választható).

Ezt a becslést Cheryl Praeger és Jan Saxl [19] javította tovább:

3.3.3. Tétel. (Praeger–Saxl, 1980) Ha G ≤ S_{n} valódi (A_{n}-et nem tartalmazó) primitív csoport, akkor |G| ≤ 4^{n}.

Legfőbb előnye ennek a becslésnek, hogy egyszerű, és minden primitív csoportra érvényes. Azonban még ennél többet is lehet mondani, Babai László kombinatorikus módszere az alábbi eredményt adja:

3.3.4. Tétel. (Babai, 1981) Legyen G ≤ S_{n} primitív, nem 2-tranzitív csoport. Ekkor b(G) ≤ 4\sqrt{n} log n, és így |G| ≤ exp(4\sqrt{n}(log n)^{2}).

2-tranzitív csoportokra Pyber László javította meg Babai László egy másik eredményét (lásd [3] illetve [20]).

3.3.5. Tétel. (Pyber, 1993) Ha G ≤ S_{n} valódi 2-tranzitív csoport, akkor b(G) ≤ 72(log n)^{2}, amiből |G| ≤ exp(72(log n)^{3}).

Az utóbbi két becslést összefoglalva, található olyan C > 0 konstans, hogy minden G valódi primitív csoportra |G| ≤ exp(C\sqrt{n} log^{2} n).

Martin Liebeck [15] az O’Nan-Scott tétel és a klasszifikáció alkalmazásával a következő, még erősebb becslést vezette le:

3.3.6. Tétel. (Liebeck, 1984) Minden G ≤ S_{n} primitív permutációcsoportra teljesül a következők valamelyike:

(i) b(G) < \frac{9}{log 2} log n;

(ii) G felfújása egy olyan majdnem egyszerű primitív csoportnak, melynek talpa valamely alternáló csoport a k-részcsoportokon való hatásában valamely k-ra.

Azonnal adódnak a μ(G) > \frac{log 2}{9} \frac{n}{log n} illetve |G| ≤ n^{\frac{9}{log 2} log n} becslések a fenti (ii) pontban szereplő csoportok kivételével minden primitív csoportra. Érdekes, hogy itt is ugyanazok a kivételek lépnek fel, mint a 3.2.2. Tételben. Ez a tény azt tükrözi, hogy az alternáló csoportok és a Lie-típusú egyszerű csoportok jól elkülönülnek az aszimptotikus tulajdonságaik tekintetében (a sporadikus csoportok véges számuk miatt ebben a megfontolásban nem játszanak szerepet).

A főtétel

4.1. A tétel és bizonyítása

Az éles permutációcsoportok leírásához részeredményt szolgáltatna a primitív éles permutációcsoportok meghatározása. Ahhoz, hogy egy G csoport élességét el lehessen dönteni, szükség van a L(G) fixpontszám-halmazra, ezért hasznos lenne a szóbajöhető halmazok családját korlátozni. A primitív permutációcsoportok rendjére vonatkozó felső becslések a már látott módon korlátot adnak a fixpontszám-halmaz méretére, ha a vizsgált csoport éles, így kézenfekvő, hogy legelőször ezt a méretet kellene felülről becsülni. A végső cél a konstans méret lenne, ami biztosan elérhetetlen, ha nem teszünk kivételt, hiszen |L(AGL_{d}(q))| = d + 1, és d a hatás fokának, q^{d}-nek a logaritmusával arányos. Ez a növekedési ütem viszont elérhető:

4.1.1. Tétel. Ha az X ≤ S_{n} primitív csoport éles, akkor |L(X)| ≤ C log n valamely C > 0 konstanssal.

A (3.2) egyenlőtlenségek, illetve a 3.3.6. Tételnek a primitív csoportok méretére vonatkozó következménye miatt elegendő a kivételes alternáló csoportokra bebizonyítani, hogy a korlát ott is fennáll.

4.1.1. Állítás. Ha az X ≤ S_{n} primitív éles csoport felfújása egy olyan G majdnem egyszerű primitív csoportnak, melynek talpa egy alternáló csoport a k-részhalmazokon való hatásában valamely k-ra, akkor |X| ≤ n^{C log n}, és a C konstans választható \frac{log 16}{16 log^{2} \frac{5}{4}} ≈ 3.49-nak.

Bizonyítás. Adott tehát a G wr S_{m} szorzathatású csoport, ahol A_{r} ≤ G ≤ Aut A_{r}, és itt A_{r} a k-részhalmazokon hat (1 ≤ k < \frac{r}{2}). Továbbá X ≤ G wr S_{m} és X tartalmazza a csoport talpát, A_{r}^{m}-et. X foka n = \binom{r}{k}^{m}. X méretére felső becslés:

|X| ≤ |Aut A_{r}|^{m}m! ≤ (2r!)^{m}m!.

Az alsó becsléshez felhasználjuk a (2.2) egyenlőtlenséget. Bár a 2.3.4. Állítás feltétele az volt, hogy X tartalmazza a teljes G^{m} csoportot, valójában csak annyit használtunk ki, hogy ennek egy H^{m} részét tartalmazza, ahol H ≤ G, és hogy az α_{1}, …, α_{d} ennek a H csoportnak a fixpontszámai; ezért, ezeket a feltételeket megkövetelve jelen helyzetben is hasznát vehetjük.

Legyenek tehát az A_{r} csoport k-részhalmazokon való hatásában a fixpontszámok 0 = α_{0} < α_{1} < … < α_{d}, és most d ≥ 1, mivel a hatás nem reguláris, viszont tranzitív, tehát a 0 fixpontszám valóban előfordul. (2.2) értelmében

|X| ≥ n^{\frac{m(m−1)}{2}} m!^{d} ∏_{i=0}^{d}(n − α_{i})^{m}.

Fennáll továbbá (2.1) miatt

|A_{r}| = \frac{r!}{2} ≤ ∏_{i=0}^{d}(n − α_{i}).

A fenti három becslés összevetésével

n^{\frac{m(m−1)}{2}} m!^{d} ∏_{i=0}^{d}(n − α_{i})^{m} ≤ 2^{m}r!^{m}m! ≤ 4^{m}m! ∏_{i=0}^{d}(n − α_{i})^{m}

n^{\frac{m(m−1)}{2}} m!^{d−1} ≤ 4^{m}

Az m ≥ 3 helyettesítéssel n ≤ 4 adódik, azaz r ≤ 4, amikor is A_{r} nem egyszerű (vagy abel). A m = 2 esetről az 5.1.1. Állítás bizonyításában kiderül, hogy nem éles. Feltehetjük tehát a továbbiakban, hogy m = 1, azaz nem is történik koszorúszorzás.

Az A_{r} ≤ X ≤ Aut A_{r} csoportot vizsgáljuk tovább. Az r ≥ 7 feltevéssel megint csak véges sok esetet zárunk ki; viszont ekkor már igaz, hogy Aut A_{r} = S_{r}, vagyis X = A_{r} vagy S_{r}, |X| ≤ r!, és k < \frac{r}{2}.

Most meghatározok néhány fixpontszámot. Legyen először π = (12 … 2i + 1) ∈ A_{r}, ahol tehát 3 ≤ 2i + 1 ≤ r. A π által fixen hagyott k-részhalmaz vagy teljes egészében π fixpontjaiból áll, vagy tartalmazza az egész 2i + 1-ciklust és még néhány fixpontot. Ezzel

|fix\binom{r}{k}(π)| = \binom{r − 2i − 1}{k} + \binom{r − 2i − 1}{k − 2i − 1}

Ha k < 2i + 1, akkor a második binomiális együttható eltűnik, és ha r − 2i − 1 < k, akkor az első is; k < 2i + 1 ≤ r − k esetén tehát csak az első taggal kell számolni.

Másodszor legyen π = (12)(3 … 2j) ∈ A_{r} (4 ≤ 2j ≤ r). A helyzet hasonló, csak valamivel bonyolultabb, mint előbb,

|fix\binom{r}{k}(π)| = \binom{r − 2j}{k} + \binom{r − 2j}{k − 2} + \binom{r − 2j}{k − 2j + 2} + \binom{r − 2j}{k − 2j}

k+2 < 2j esetén eltűnik az utolsó két tag, r−k < 2j esetén az első kettő is, vagyis k+2 < 2j ≤ r−k esetén csak az első két tagot kell figyelembe venni.

A két esetben összesen r − 2k − 1 fixpontszám keletkezik: a megfelelő 2i + 1 illetve 2j alakú számok száma eggyel nő, ha r-et növelem, kettővel csökken, ha k-t növelem, a −1 konstans empirikusan határozható meg. Fennáll viszont az egyenlőség veszélye, tehát hogy

\binom{r − 2i − 1}{k} = \binom{r − 2j}{k} + \binom{r − 2j}{k − 2} = \binom{r − 2j + 2}{k} − 2\binom{r − 2j}{k − 1}

(A második egyenlőség a Pascal-háromszögben érvényes \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1} összefüggésből vezethető le.) Azonnal adódik, hogy ekkor r − 2j ≤ r − 2i − 1 ≤ r − 2j + 2, amiből 2i + 1 = 2j − 1. A fenti egyenlőségek ennek tükrében így festenek:

\binom{r − 2j + 1}{k} = \binom{r − 2j}{k} + \binom{r − 2j}{k − 1} = \binom{r − 2j}{k} + \binom{r − 2j}{k − 2},

tehát az r − 2j-edik sorban két egymás melletti binomiális együttható egyenlő, ami csak akkor lehetséges, ha ezek pont a sor közepén állnak. Vagyis (k − 1) + (k − 2) = r − 2j ⇔ 2j = r − 2k + 3 (és r páratlan). Tehát minden (r, k) esetén legfeljebb egy egybeesés lehetséges.

Van tehát legalább r−2k−2 darab különböző fixpontszámom, amik nem nagyobbak \binom{r−2}{k}-nál: csökkentve i-t illetve j-t a fixpontszámokra kapott kifejezések értéke nyilván növekszik, és

\binom{r − 3}{k} ≤ \binom{r − 2}{k}, \binom{r − 2}{k} − 2\binom{r − 4}{k − 1} ≤ \binom{r − 2}{k}

Egy később bizonyítandó állítás szerint A_{r} ≤ X ≤ Aut A_{r} neméles a 2-részhalmazokon való hatásában, vagyis feltehetően k ≤ 3. Ennek figyelembevételével

\binom{r}{k} − |fix\binom{r}{k}(π)| ≥ \binom{r}{k} − \binom{r − 2}{k} = \binom{r − 1}{k − 1} + \binom{r − 2}{k − 1} ≥

≥ \binom{r − 1}{2} + \binom{r − 2}{2} = (r − 2)^{2}

Kaptuk tehát, hogy

r! ≥ |X| ≥ (r − 2)^{2(r−2k−2)}

Az s = r − 2 jelöléssel ebből

(s + 2)! ≥ s^{2s−4k}
2 log(s + 2) + s log s − s + \frac{1}{2} log s + 1 ≥ (2s − 4k) log s
2 log(s + 2) + (4k + \frac{1}{2}) log s + 1 ≥ s log s + s
(4k + \frac{5}{2}) log s + 2 ≥ s log s + s
4k + \frac{5}{2} ≥ s + \frac{s − 2}{log s}

(Itt egy helyen alkalmaztam a log(s + 2) ≤ log s + \frac{1}{2} egyenlőtlenséget, ami s ≥ 4-re igaz.) Ha s ≥ 14, akkor \frac{s−2}{log s} ≥ \frac{9}{2}; ebből

r ≥ 16 ⇒ 4k ≥ r(≥ 2k)

Az r ≤ 15 feltételnek eleget tevő csoportok nem élesek, amint az egyszerű számítással ellenőrizhető; feltehető tehát, hogy \frac{r}{4} ≤ k ≤ \frac{r}{2}. Az ennek a feltételnek eleget tevő \binom{r}{k} binomiális együtthatók alulról becsülhetők r-nek egy exponenciális függvényével: mivel ilyen k-kra \binom{r}{k} ≥ \binom{r}{⌈\frac{r}{4}⌉}, azt

kell csak látni, hogy r-et növelve \binom{r}{⌈\frac{r}{4}⌉} egy (1-nél nagyobb) konstanssal szorzódik.

\binom{4a + 1}{a + 1} = \binom{4a}{a} · \frac{4a + 1}{a + 1}
\binom{4a + b}{a + 1} = \binom{4a + b − 1}{a + 1} · \frac{4a + b}{3a + b} (b = 1, 2, 3)

a ≥ 3 esetén \frac{4a+b}{3a+b} = 1 + \frac{1}{3+ \frac{b}{a}} ≥ 1 + \frac{1}{4}, tehát a konstans választható \frac{5}{4}-nek; r = 16-ra \binom{16}{4} ≥ (\frac{5}{4})^{16},

ezért minden r ≥ 16-ra és \frac{r}{4} ≤ k ≤ \frac{r}{2}-re \binom{r}{k} ≥ (\frac{5}{4})^{r}.

Végül, elegendően nagy C > 0 konstanssal

C log^{2} n = C log^{2} \binom{r}{k} ≥ C log^{2} ((\frac{5}{4})^{r}) =

= C log^{2} (\frac{5}{4}) · r^{2} ≥ r log r ≥ log |S_{r}| ≥ log |X|.

Ezt kellett bizonyítani. □

A konstans alsó becsléséhez vegyük figyelembe, hogy

|G| ≤ n^{C log n} ⇔ C ≥ \frac{log |G|}{log^{2} n}

4. FEJEZET. A FŐTÉTEL 27 amit ha az AGL_{d}(q) csoportokra alkalmazunk, aszimptotikusan C ≥ \frac{1}{log q} az eredmény, tehát kis q-ra érdemes a korlátot meghatározni. Az (S_{3}-mal permutációizomorf) AGL_{1}(3) csoportra C ≥ 1.48. Mivel \frac{9}{log 2} > 9 > 2 · 3.49, így végeredményben a 4.1.1. Tételbeli konstans választható \frac{9}{log 2}-nek.

További eredmények

5.1. Szorzathatású csoportok

5.1.1. Állítás. Ha az X ≤ S_{N} primitív csoport egy majdnem egyszerű primitív csoport felfújása és éles, akkor |X| ≤ N^{C}, és a C konstans választható 3 + \frac{log 6}{log 125} ≈ 3.38-nak.

Bizonyítás. Legyen a majdnem egyszerű csoport G, hatásának foka n, talpa S = Soc G (ekkor S egyszerű és G ≤ Aut S), és S^{m} ≤ X ≤ G wr S_{m}. Nyilván |X| ≤ |G|^{m}m! és N = n^{m}.

A felső becsléshez felhasználom Aschbacher és Guralnick alábbi eredményét (lásd [1]):

5.1.2. Állítás. Ha S nemabel egyszerű csoport és H < S, akkor |Out S| < |S : H|.

Ha ezt H = G_{α}-ra alkalmazom, akkor, lévén G/S ≤ Out S, |G : S| < n, vagyis |G| < n|S|. Ezzel

|X| ≤ |G|^{m}m! ≤ |S|^{m}n^{m}m!

Az alsó becsléshez újból a (2.2) egyenlőtlenséget használom föl, az S egyszerű csoportra vonatkoztatva:

|X| ≥ n^{\frac{m(m−1)}{2}} m!^{d} ∏_{i=0}^{d}(n − α_{i})^{m}

Természetesen |S| ≤ ∏_{i=0}^{d}(n − α_{i}). Az utolsó három egyenlőtlenség összevonásával

n^{\frac{m(m−1)}{2}} m!^{d} ∏_{i=0}^{d}(n − α_{i})^{m} ≤ ∏_{i=0}^{d}(n − α_{i})^{m} · n^{m}m!

azaz

n^{\frac{m(m−3)}{2}} m!^{d−1} ≤ 1

Feltehetően d ≥ 1 (S hatása nem reguláris), m ≥ 2 és n ≥ 5. m ≥ 4 esetén fenn kell álljon n^{2} · 24^{d−1} ≤ 1, ami láthatóan sosem igaz; tehát m = 2 vagy m = 3.

Ha m = 3, akkor 6^{d−1} ≤ 1 kell teljesüljön, amiből d = 1. (2.1) miatt ekkor |S| ≤ n(n−1) < n^{2}, |G| < n|S| < n^{3} és |X| < (n^{3})^{3} · 6 ≤ N^{C} alkalmas C > 0 konstanssal.

Ha m = 2, akkor a (2.2) egyenlőtlenség helyett pontosabb becslést alkalmazunk. S fixpontszámai 0 = α_{0}, α_{1}, …, α_{d}, ezért X-nek fixpontszámai lesznek 0, α_{1}^{2}, α_{1}α_{2}, …, α_{1}α_{d}, α_{1}n, …, α_{d}n.

n^{2} ∏_{i=1}^{d}(n^{2} − α_{1}α_{i}) ∏_{i=1}^{d}(n^{2} − α_{i}n) ≤ |X| ≤ 2|G|^{2} ≤ 2|S|^{2}n^{2} ≤ 2n^{2} ∏_{i=1}^{d}(n − α_{i})^{2}

Az n^{2} − α_{i}n = n(n − α_{i}) ≥ (n − α_{i})^{2} becsléssel ebből

∏_{i=1}^{d}(n^{2} − α_{1}α_{i}) ≤ 2

ami sosem teljesül, mivel α_{i} ≤ α_{d} ≤ n − 2, és így n^{2} − α_{1}α_{i} ≥ n^{2} − (n − 2)^{2} = 4(n − 1) ≥ 16. □

Ez az állítás azt aknázza ki, hogy egy majdnem egyszerű csoport talpának (a fokhoz képest) kicsi az indexe. A diagonális hatású csoportokban a talp fölött egy teljes szimmetrikus csoport is lehet, melynek rendje faktoriális, miközben a fok csak exponenciálisan nő; ezért a több esetben oly hasznos (2.2) ebben az esetben nem alkalmazható.

5.2. Diagonális hatású csoportok

Először meghatározandók a W csoportbeli πg elemek fixpontszámai. Ehhez össze kell számolni azon σa elemeket, amelyekre

W_{0}(σa) = W_{0}(σa)(πg) ⇔ W_{0} ∋ (σa)(πg)(σa)^{−1},

mivel ezek |W_{0}| = |A| · k!-szor annyian vannak, mint a fixpontok. Persze σ(a_{i})σ^{−1} = (a_{iσ}), ezzel

σ(a_{i})π(g_{i})σ^{−1}(a_{iσ}^{−1}) = σ(a_{i})πσ^{−1}(g_{iσ})(a_{iσ}^{−1}) =
= σπσ^{−1}(a_{iσπ^{−1}})(g_{iσ})(a_{iσ}^{−1}) = σπσ^{−1}(a_{iσπ^{−1}}g_{iσ}a_{iσ}^{−1}) ∈ W_{0}.

Itt σ ∈ S_{k} a W_{0} definíciója miatt tetszőleges, ezért k! eltűnik a fenti szorzatból, és a feltétel

(a_{iπ^{−1}}g_{i}a_{i}^{−1}) ∈ W_{0}

lesz, azaz minden i, j ∈ k-ra

a_{iπ^{−1}}g_{i}a_{i}^{−1} = a_{jπ^{−1}}g_{j}a_{j}^{−1}.

Szorítkozzunk hirtelenjében π-nek csak egyetlen {i, iπ, …, iπ^{d−1}} orbitjára. A feltétel szerint

a_{iπ^{−1}}g_{i}a_{i}^{−1} = a_{i}g_{iπ}a_{iπ}^{−1} ⇔ a_{i}^{−1}a_{iπ^{−1}}g_{i} = g_{iπ}a_{iπ}^{−1}a_{i},

ami a_{i}^{∗} := a_{i}^{−1}a_{iπ^{−1}}(∈ T) definíció után

a_{i}^{∗}g_{i} = g_{iπ}a_{iπ}^{∗}

alakot ölt. (Ezzel a_{i} ∈ A értéke is érdektelenné vált, lévén nem szerepel a feltételben.) Ebből számítható a_{iπ^{m}}^{∗} értéke a_{i}^{∗} függvényében, speciálisan

a_{i}^{∗} = a_{iπ^{d}}^{∗} = (g_{iπ} … g_{iπ^{d}})^{−1}a_{i}^{∗}(g_{i} … g_{iπ^{d−1}})

kell hogy teljesüljön. A γ_{i} := g_{i} … g_{iπ^{d−1}} újabb definícióval ez

(g_{i}^{−1}γ_{i}g_{i})^{−1}a_{i}^{∗}γ_{i} = a_{i}^{∗} ⇔ [g_{i}a_{i}^{∗}, γ_{i}] = 1 ⇔ [a_{i}^{∗}g_{i}, γ_{iπ}] = 1.

Az is szükséges továbbá, hogy a_{iπ^{d−1}}^{∗} … a_{i}^{∗} = 1 legyen, azaz

(g_{iπ} … g_{iπ^{d−1}})^{−1}a_{i}^{∗}(g_{i} … g_{iπ^{d−2}})(g_{iπ} … g_{iπ^{d−2}})^{−1}a_{i}^{∗} … (g_{iπ}^{−1}a_{i}^{∗}g_{i})a_{i}^{∗} = 1 ⇔
⇔ (g_{i}g_{iπ} … g_{iπ^{d−1}})^{−1}(g_{i}a_{i}^{∗})^{d} = 1 ⇔ (g_{i}a_{i}^{∗})^{d} = γ_{i} ⇔ (a_{i}^{∗}g_{i})^{d} = γ_{iπ}.

Látszik, hogy az előző feltétel ennek következménye. Tehát minden orbiton szükséges (a_{i}^{∗}g_{i})^{d} = γ_{iπ}, ahol d az orbit hossza, i pedig egyik (bármelyik) eleme.

Namármost két különböző orbit között kell még (és ezzel figyelembe veszünk majd minden feltételt)

a_{iπ^{−1}}g_{i}a_{i}^{−1} = a_{jπ^{−1}}g_{j}a_{j}^{−1} ⇔ a_{i}a_{i}^{∗}g_{i}a_{i}^{−1} = a_{j}a_{j}^{∗}g_{j}a_{j}^{−1} ⇔
⇔ (a_{i}^{∗}g_{i})^{a_{i}^{−1}a_{j}} = (a_{j}^{∗}g_{j}).

Még egy definíció: δ_{i} := a_{1}^{−1}a_{i}(∈ G) (i egy orbit reprezentánsa), amivel a feltétel (a_{1}^{∗}g_{1})^{δ_{i}} = (a_{i}^{∗}g_{i}). Ezt kombinálva az előző bekezdéssel

(a_{1}^{∗}g_{1})^{d} = γ_{iπ}^{δ_{i}^{−1}}

az i által reprezentált orbitra. Találni kell tehát egy olyan a_{1}^{∗} ∈ G-t, amire (a_{1}^{∗}g_{1})^{d} ∼ γ_{iπ} egyszerre teljesülnek; ezután δ_{i} (i ≠ 1) szabadon választható C_{G}(γ_{iπ})-ből.

Fenti a_{1}^{∗} létezése (ami ekvivalens fix(πg) ≠ ∅-val) csak a G egyszerű csoport (illetve Aut G) szerkezetétől függ. Ha viszont π-nek van fixpontja, vagyis feltehetően 1π = 1, akkor a_{1}^{∗} = 1 lesz, és így, hacsak a g_{1}^{d} ∼ γ_{iπ} követelmények teljesülnek, |fix(πg)| = ∏ |C_{G}(g_{1}^{d})| (d a ciklushosszakon fut végig, a kiszemelt fixpontot kihagyva). Speciálisan ha π = (1) és a g_{i}-k konjugáltak, akkor |fix(1g)| = |C_{G}(g_{1})|^{k−1}.

Ezek után

5.2.1. Állítás. Ha a G ≤ S_{n} diagonális hatású primitív csoport éles, akkor |G| < n^{C} valamely C > 0 konstanssal.

Bizonyítás. Az G ≤ T^{k}.(Out T × S_{k}) diagonális hatású csoportnak a foka |T |^{k−1}, rendje |T |^{k−1}|Aut T ||P |-nek osztója, ahol P egy k fokú primitív permutációcsoport.

Ha P nem tartalmazza A_{k}-t, akkor rendje legfeljebb exp(72 log^{3} k) illetve exp(4\sqrt{k} log^{2} k) attól függően, hogy 2-tranzitív-e vagy sem. Található tehát olyan D > 0 szám, hogy |P | < D^{k} = exp(log D · k); ekkor, mivel |T | ≥ 60, D^{k} = 60^{k log_{60} D} ≤ |T |^{k log_{60} D}, és |Aut T | < |T |^{2}, lesz C > 0 mellyel |X| < |T |^{C(k−1)} = n^{C}, vagyis X kicsi.

Ha P tartalmazza A_{k}-t és k ≥ 5, akkor \overline{G} = G/T^{k} ≤ Out T × S_{k} vetületei M ≤ Out T és P ≤ S_{k}, így \overline{G} ≤ M ×P szubdirekt szorzat. Out T a Schreier-sejtés miatt feloldható, tehát nincsen A_{k}-val izomorf sectionje. Fennáll viszont M/(M ∩ \overline{G}) ≃ P/(P ∩ \overline{G}), ami az előző megjegyzés miatt csak akkor következhet be, ha P ∩ \overline{G} ≥ A_{k}. Tehát G ≥ T^{k}.A_{k}. Vegyünk T -ből egy involúciót (ilyesmi létezik a Feit-Thompson tétel miatt), és nézzük a π(g, g, …, g) ∈ G elemek fixpontszámait, ahol π = (23 … 2i) ∈ A_{k} páratlan hosszú ciklus illetve i = 1 esetén az identikus permutáció. Ezek a fixpontszámok |C_{T} (g)|^{k−2i+1}, mind különböznek, pozitívak és számuk [\frac{k}{2} ]. Az elengedhetetlen 0-val együtt van tehát \frac{k}{2} -nél több különböző fixpontszámom. μ(G) > n^{\frac{1}{2}} és (2.1) miatt |T |^{k−1}|Aut T |k! ≥ |G| > μ(G)^{\frac{k}{2}} > n^{\frac{k}{4}} = |T |^{(k−1) \frac{k}{4}} , azaz, mivel |Aut T | < |T |^{2}, |T |^{\frac{1}{4} k^{2}− \frac{5}{4} k−1} < k!. Ez nyilván csak kis k értékekre teljesülhet, kis k-ra viszont, A_{k} egyszerű voltától függetlenül, k! korlátozható |T | egy konstans kitevőjű hatványával, és végeredményben |G| < n^{C} teljesül. □

5.3. Majdnem egyszerű csoportok

M. Liebeck [15] cikkében található az alábbi redukciós állítás:

5.3.1. Állítás. Legyen G ≤ S_{n} primitív majdnem egyszerű csoport. Ekkor a következők egyike teljesül:

(i) Soc G = A_{m}, amely vagy a k-elemű részhalmazokon (1 < k < \frac{m}{2}, n = \binom{m}{k}, vagy az a darab b-részhalmazból álló partíciókon (m = ab, a > 1, b > 1, n = \frac{m!}{b!^{a}a!}) hat;

(ii) Soc G egy klasszikus egyszerű csoport, amely a természetes modulusa altereinek, vagy, P SL_{n}(q) esetén, komplementer dimenziójú altér-pároknak valamely orbitján hat; (iii) |G| < n^{9}.

A fenti (i) és (ii) pontokban szereplő csoportok élességét megvizsgálva a diagonális hatású esetben fennállóhoz hasonló felső becslést lehetne nyerni a primitív éles csoportok rendjére. Az eredmények e tekintetben korántsem teljesek, mivel csak az (i) pontbeli csoportokra vonatkoznak; ideillik még az előző fejezet 4.1.1. Állítása.

5.3.2. Állítás. A_{m} ≤ G ≤ Aut A_{m} neméles a 2-elemű részhalmazokon való hatásában.

Bizonyítás. A π_{i} = (12 … 2i + 1) ∈ A_{m} (1 ≤ i < [\frac{m−1}{2}]) páratlan hosszú ciklusok pontosan azokat a 2-részhalmazokat hagyják fixen, melyeknek mindkét eleme fixpontjuk. Így |fix(π_{i})| = \binom{m−2i−1}{2}. Ezek nyilván különbözőek, tehát

\begin{aligned}[ & \frac{m−1}{2} & ] \\ & ∏ \\ & i=1 \end{aligned} [\binom{m}{2} − \binom{m−2i−1}{2}] = \begin{matrix}[ & \frac{m−1}{2} & ] \\ & ∏ \\ & i=1 \end{matrix}(2i + 1)(m − i − 1) = \begin{matrix}[ & \frac{m−1}{2} & ] \\ & ∏ \\ & i=1 \end{matrix}(2i + 1) \begin{matrix}[ & \frac{m−1}{2} & ] \\ & ∏ \\ & i=1 \end{matrix}(m − i − 1)

osztja f_{L(G)}(n)-et. A [\frac{m}{2}] és m − 2 közötti páratlan számok mindkét szorzatban szerepelnek tényezőként.

A Csebisev által 1850-ben bizonyított „Bertrand-posztulátum” szerint minden N > 3-ra létezik egy p prím az (N, 2N − 3] intervallumban. Ezt N = [\frac{m−1}{2}]-re alkalmazva kapjuk a keresett prímszámot, hacsak [\frac{m−1}{2}] > 3 azaz m ≥ 9. Az m = 5, 6, 7, 8 esetek közvetlen számolással ellenőrizhetők. □

5.3.3. Állítás. A_{m} ≤ G ≤ Aut A_{m} nem éles az a darab b-részhalmazból álló partíciókon való hatásában.

Bizonyítás. A hatás az a = 2, b = 2 esetben S_{3}-mal, az a = 2, b = 3 esetben P SL_{2}(9)- cel permutációekvivalens, tehát ezek a hatások 2-tranzitívak. Az a = 3, b = 2 eset közvetlen számolással ellenőrizhető. A továbbiakban tehát m ≥ 8 feltehető.

b = 2 esetén tekintsük a π = (12 … a)(a+1 … 2a) ∈ A_{m} permutációt. π két ciklusából egy-egy pontot véve, a kapott 2-részhalmaz π hatványai szerinti képei egy π által fixen hagyott partíciót adnak, és könnyen látható, hogy páratlan a esetén minden fixen hagyott partíció így kapható meg. Ha a páros, akkor π a \{ \{i, \frac{a}{2} + i\}, \{a + i, \frac{3a}{2} + i\} | 1 ≤ i < \frac{a}{2}\} partíciót is fixen hagyja és más partíciót nem. Tehát

|fix(π)| = \{ \begin{matrix}a, & a páratlan \\ a + 1, & a páros \end{matrix}

Speciálisan |fix(π)| mindig páratlan.

A hatás foka

n = \frac{(ab)!}{b!^{a}a!} = \frac{1}{b!^{a}a!} ∏_{i=1}^{a} \frac{(ib)!}{((i − 1)b)!} = \frac{1}{a!} ∏_{i=1}^{a} \frac{(ib)!}{b!((i − 1)b)!} =

= ∏_{i=1}^{a} \frac{1}{i}\binom{ib}{b} = ∏_{i=1}^{a} \binom{ib − 1}{b − 1}  (5.1)

jelen esetben n = ∏_{i=1}^{a}(2i − 1). Ebben szorzótényezőként szerepel f := |fix(π)|, ezért n − f = f(X − 1), ahol X bizonyos páratlan számok szorzata. Belátom, hogy X − 1-et osztja egy m-nél nagyobb prím, amiből a nemélesség már következik.

Ehhez elég látni, hogy X − 1 relatív prím n-hez és nem 2-hatvány. Utóbbi teljesül, ha 3 és 5 osztja X-et (lévén 2-hatvány sosem kongruens −1-gyel modulo 15), kis n-ekre pedig explicite kiszámolható. Ha f nem prím, akkor prímosztói mind szerepelnek X tényezői között, ilyenkor tehát minden 2a-nál kisebb prím osztja X-et, és kész vagyunk. Ha f prím és a páros, akkor \frac{n}{2} = a < a + 1 ≤ 2a = n egy olyan prím aminek a négyzete is osztja f_{L(G)}(n)-et, ami megintcsak bizonyítja a nemélességet. Végül ha f = p prím és a páratlan, akkor X ≡ (p − 1)! modulo p. A Wilson-tétel értelmében (p − 1)! ≡ −1 modulo p, amiből X − 1 ≡ −2, tehát X − 1 nem osztható p-vel, és nyilván a többi 2a-nál kisebb páratlan prímmel sem.

Legyen most b ≥ 3. A π = (123) ∈ A_{m} permutáció által fixen hagyott partíciókban az 1,2,3 pontok azonos osztályba kell essenek: egyébként három különböző osztályba esnének és további pontokat kellene mozgatni a partíció fixen hagyásához. Az ilyen partíciókat tehát úgy kapom, hogy az {1, 2, 3} halmazt b − 3 ponttal kiegészítem, és a többi pontból a − 1 darab b-részhalmazt formálok. Így (5.3) szerint |fix(π)| = \binom{ab−3}{b−3} ∏_{i=1}^{a−1} \binom{ib−1}{b−1}. Minden \frac{ab}{2} < p ≤ ab−3 prímszám osztja |fix(π)|-t és n-et, és ilyen prímszám a fent említett Csebisev-tétel alapján létezik. □

5.4. Kétszeresen tranzitív csoportok

A már említett, kétszeresen tranzitív csoportok szerkezetére vonatkozó Burnside-tételnek és a véges egyszerű csoportok osztályozásának következményeként 1981 óta ismert a véges 2-tranzitív csoportok (permutációizomorfizmus-osztályainak) listája, amint az Peter Cameron [7] cikkében megtalálható. Nevezetesen, a nem affin típusú 2-tranzitív csoportok az alábbiak:

fok  minimális normálosztó maximális tranzitivitás  megjegyzés
n  A_{n}  n  n ≥ 5
\frac{q^{d}−1}{q−1}  P SL_{d}(q)  2  d ≥ 3
q + 1  P SL_{2}(q)  3  q ≥ 5
q^{3} + 1  P SU_{3}(q^{2})  2  q ≥ 3
q^{2} + 1  Sz(q) = ^{2}B_{2}(q)  2  q = 2^{2k+1} ≥ 8
q^{3} + 1  Ree(q) = ^{2}G_{2}(q)  2  q = 3^{2k+1} ≥ 27
2^{2d−1} + 2^{d−1}  Sp_{2d}(2)  2  d ≥ 3
2^{2d−1} − 2^{d−1}  Sp_{2d}(2)  2  d ≥ 3
11  P SL_{2}(11)  2
11  M_{11}  4
12  M_{11}  3
12  M_{12}  5
15  A_{7}  2
22  M_{22}  3
23  M_{23}  4
24  M_{24}  5
28  P SL_{2}(8)  2
176  HS  2
276  Co_{3}  2

Az utolsó tizenegy kivételes példa élességének ellenőrzésére az ATLAS of finite groups [8] alkalmazható: a fenti majdnem egyszerű csoportok 2-tranzitív hatásának permutációkaraktere az 1.3.3. és az 1.3.5. Állítás szerint a triviális karakternek és egy ettől különböző irreducibilis karakternek az összege – találni kell tehát egy, a megadott foknál eggyel kisebb fokú, −1-nél nem kisebb egész értékű karaktert a csoport karaktertáblájában. Segíti ennek megtalálását, hogy a hatásbeli stabilizátor maximális részcsoportja a csoportnak, és mint ilyen, szintén szerepel az ATLAS-ban. Az egyszerű számítások azt mutatják, hogy a fenti csoportok közül pontosan M_{11} (11 ponton), M_{12} (12 ponton) és A_{7} (15 ponton) élesek.

Ismeretes, hogy a Suzuki-csoportok 2-tranzitív hatásában két pont stabilizátora szemiregulárisan, nemregulárisan hat a többi ponton (lásd például [11]), amiből következik, hogy a Suzukicsoportok nemélesek.

A többi végtelen sorozatra vonatkozóan jelenleg még nincsenek konkrét eredményeim.

Irodalomjegyzék

[1] M. Aschbacher és R. M. Guralnick: On Abelian quotients of primitive groups, Proc. Amer. Math. Soc. 107 (1989), 89–95.

[2] Babai L.: On the order of uniprimitive permutation groups, Annals of Math. 113 (1981), 553–568.

[3] Babai L.: On the order of doubly transitive permutation groups, Invent. Math. 65 (1982), 473–484.

[4] R. W. Baddeley: Primitive permutation groups with a regular non-abelian normal subgroup, Proc. London Math. Soc. 67 (1993) 547–595.

[5] H. W. Blichfeldt: A theorem concerning the invariants of linear homogeneous groups with some applications to substitution groups, Trans. Amer. Math. Soc. 5 (1904), 461–466.

[6] D. P. Brozovic: On primitive sharp permutation groups, Commun. Algebra 24 (1996), 3979–3994.

[7] P. J. Cameron: Finite permutation groups and finite simple groups, Bull. London Math. Soc. 13 (1981), 1–22.

[8] J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker és R. A. Wilson: An ATLAS of finite groups, Oxford University Press, 1985.

[9] J. D. Dixon és B. Mortimer: Permutation groups (Graduate Texts in Mathematics 163), Springer, 1996.

[10] R. Guralnick és K. Magaard: On the minimal degree of a primitive permutation group, J. Algebra 207 (1998), 127–145.

[11] B. Huppert és N. Blackburn: Finite groups III, Springer, 1982.

[12] T. Ito és M. Kiyota: Sharp permutation groups, J. Math. Soc. Japan 33 (1981), 435–444.

[13] N. Iwahori és T. Kondo: A criterion for the existence of a non-trivial partition of a finite group with applications to finite reflection groups, J. Math. Soc. Japan 17 (1965), 207–215.

[14] M. Kiyota: An inequality for finite permutation groups, J. Comb. Theory 27 (1979), 119.

[15] M. W. Liebeck: On minimal degrees and base sizes of primitive permutation groups, Arch. Math. 43 (1984), 11–15.

[16] M. W. Liebeck, C. E. Praeger és J. Saxl: On the O’Nan-Scott theorem for finite primitive permutation groups, J. Austral. Math. Soc. 44 (1988), 389–396.

[17] M. W. Liebeck és J. Saxl: Minimal degrees of primitive permutation groups with an application to monodromy groups of covers of Riemann surfaces, Proc. London Math. Soc. 63 (1991), 266–314.

[18] T. Maund: Bases for permutation groups, Oxford University (1989).

[19] C. E. Praeger és J. Saxl: On the order of primitive permutation groups, Bull. London Math. Soc. 12 (1980), 303–307.

[20] Pyber L.: The orders of doubly transitive permutation groups, elementary estimates, J. Combin. Theory 62 (1993), 361–366.

[21] H. Wielandt:Permutation groups through invariant relations and invariant functions, Lecture notes, Columbus, Ohio State University, 1969.

[22] B. Zilber: Finite homogeneous geometries, Proc. 6th Easter Model Theory Conference, Berlin, 1988.