CSOPORTMENNYISÉGEK ASZIMPTOTIKUS KAPCSOLATA

PODOSKI KÁROLY

TÉMAVEZETŐ: PYBER LÁSZLÓ az MTA DOKTORA

Tartalomjegyzék

1. ELŐSZÓ 1

2. FONTOS CSOPORTOSZTÁLYOK 3 2.1. Jelölések és definíciók. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2. Alapvető összefüggések, példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1. Véges egyszerű csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2.2. Véges csoportok direkt szorzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.3. Extra-speciális csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.4. Egyéb példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. A felcserélhetőségi gráf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. VÉGESSÉGI TÉTELEK 12 3.1. Történeti áttekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2. A végességi tábla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4. VÉGES CSOPORTOK 15 4.1. Csoportok ultraszorzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2. A |G : Z(G)|, a(G) és az n(G) mennyiségek közötti kapcsolat . . . . . . . . . . 17 4.3. A |G′| és a bfc(G) kapcsolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.4. A |G′| és a bfc(G) kapcsolata a többi mennyiséggel . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.5. A |G : Z_{2}(G)| becslése a többi mennyiséggel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.6. Az eredmények ábrázolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5. VÉGTELEN CSOPORTOK 25 5.1. Különböző halmazelméleti módszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.2. a(G) és a |G : Z(G)| kapcsolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.3. A bfc(G) kapcsolata a többi mennyiséggel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.4. |G′| kapcsolata a |G : Z(G)|, |G : Z_{2}(G)|, és az a(G) mennyiségekkel . . . . . . 30 5.5. A kapcsolatok ábrázolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Kivonat

A dolgozat az alábbi fontos csoportmennyiségek egymással való nagyságrendi kapcsolatát vizsgálja:

• A konjugáltosztályok méreteinek szuprémuma bfc(G)

• Kommutátor részcsoport mérete |G′|

• Centrum indexe |G : Z(G)|

• Második centrum indexe |G : Z_{2}(G)|

• Abel-féle részcsoportfedések elemszámainak a minimuma a(G)

• Páronként fel nem cserélhető elemek halmazai számosságainak szuprémuma n(G) Számos esetben sikerül éles becslést adnunk, más esetekben a mennyiségek között pedig nincs, vagy csak bizonyos feltételek mellett van kapcsolat. Amellett, hogy áttekintjük az eddigi eredményeket ebben a témában először véges majd végtelen csoportokra, több eddig nyitott kérdésre is választ adunk.

1. fejezet

ELŐSZÓ

„Midőn ezt írtam, tiszta volt az ég. Zöld ág virított a föld ormain.”

(Vörösmarty Mihály: Előszó)

Bizonyos fontos csoportelméleti mennyiségek (lásd előző oldal) azt fejezik ki, hogy „a csoport milyen messze van az Abelségtől”, először ezek közül mutatjuk be a legfontosabbakat, valamint alapvető tulajdonságaikat. Természetes kérdés, miután mindegyik mennyiség hasonló dolgot fejez ki, hogy milyen kapcsolatok vannak közöttük. Az aszimptotikus csoportelmélet egy részterülete a köztük lévő nagyságrendi kapcsolatokat vizsgálja. Ez a részterület az 1900-as évek elején indult fejlődésnek, és a mai napig a csoportelmélet egy dinamikusan fejlődő ága, és még ma is sok nyitott kérdést tartalmaz. Először az 2. fejezetben különböző fontos csoportokra (egyszerű, direkt szorzat, extra-speciális, mátrix) meghatározzuk ezeket a mennyiségeket. A konkrét példákon kapott eredmények jó kiindulási pontokat adnak a köztük lévő, esetleg nem lévő, kapcsolatok feltérképezéséhez. A terület fejlődésével párhuzamosan a 3. fejezetben a végességi összefüggéseket tekintjük át, vagyis azt, hogy melyik mennyiség véges voltából következik valamelyik másik mennyiség végessége. A 4. fejezetben mennyiségeink összefüggése esetén vizsgáljuk a köztük lévő kapcsolatot, ekkor, mint látni fogjuk, elegendő lesz véges csoportokkal foglalkoznunk. A kombinatorikus halmazelmélet, partíciókalkulus, kifejlődésével (elsősorban Erdős Pál és Richard Rado [4] munkássága) vizsgálni kezdték a végtelen esetet, az ehhez kapcsolódó eredményeket az utolsó fejezetben tárgyaljuk. A dolgozat új eredményeket is tartalmaz. A legfontosabb az a(G) és a |G : Z(G)| közti kapcsolat vizsgálata, vagyis a |G : Z(G)| becslése felülről az a(G) mennyiség függvényében. Egy a csoporthoz kapcsolódó gráf, a felcserélhetőségi gráf, vizsgálata során Erdős Pál indította el ezt a problémakört.

Ha a(G) = n véges, az első eredmény 1954-ből való B. H. Neumann-tól, aki bebizonyította, hogy |G : Z(G)| ≤ c^{2^{n}} valamilyen c konstanssal, M. J. Tomkinson [20] lényegében n^{log_{2} n}-re javította ezt a becslést, és azt sejtette, hogy ez a korlát (n − 1)^{2}-ig csökkenthető. Szegedy Balázzsal közösen találtunk csoportokat (lásd [14]) melyek azt mutatják, hogy az n^{log_{2} n} becslés nem javítható.

Ha a(G) = κ végtelen számosság, V. Faber, R. Laver, R. McKenzie [5] találták az első korlátot 1978-ban megmutatva, hogy |G : Z(G)| ≤ 2^{2^{2^{κ}}}. Továbbá azt kérdezték, vajon javítható-e ez a becslés, és találtak olyan G csoportot, amelyre |G : Z(G)| = 2^{κ}. Tomkinson [19] 2^{2^{κ}}-ra javította a felső korlátot 1985-ben. Végül 1999 végén sikerült megadnom a végső választ erre a kérdésre (lásd [13]), mely szerint |G : Z(G)| ≤ 2^{κ}.

A második centrum indexének felső becslésében is több új eredményt sikerült Szegedy Balázzsal elérnünk, többek között a kommutátor részcsoport méretének függvényében (lásd [14]). 1961-ben I. D. Macdonald megmutatta, hogy minden véges csoportban |G : Z_{2}(G)| ≤ |G′|^{c log_{2}^{2} |G′|}. Ezt sikerült a |G : Z_{2}(G)| ≤ |G′|^{c log_{2} |G′|} becslésre javítanunk, és megmutattuk, hogy ez a becslés a c konstanstól eltekintve már nem javítható. Továbbá, ha |G′| = κ végtelen számosság bebizonyítottuk, hogy |G : Z_{2}(G)| ≤ 2^{κ} és egy példa mutatja, hogy ez a becslés éles.

A szakdolgozat új eredményeit a Tétel, Állítás, Lemma után zárójelben következő 2000 évszám jelzi.

Ezúttal is szeretnék köszönetet mondani Pyber Lászlónak, a szakdolgozat elkészítéséhez nyújtott sok, hasznos segítségért.

FONTOS CSOPORTOSZTÁLYOK

2.1. Jelölések és definíciók.

Legyen G csoport, akkor

• g ∈ G centralizátora C_{G}(g), és H ⊂ G-re C_{G}(H) = {x ∈ G | xh = hx ∀h ∈ H-ra}

g konjugáltosztálya Cl_{G}(g) = {x^{−1}gx | x ∈ G},

• bfc(G) = sup{|Cl_{G}(g) | g ∈ G}

• a, b ∈ G kommutátora [a, b] = a^{−1}b^{−1}ab, az A, B ⊂ G kommutátor részcsoportja [A, B] = ⟨[a, b] | a ∈ A, b ∈ B⟩ és G′ = [G, G],

• Z(G) = {z ∈ G | zg = gz ∀g ∈ G-re} a G centruma, Z_{2}(G) a G második centruma, vagyis Z_{2}(G) ≤ G és Z_{2}(G)/Z(G) = Z(G/Z(G)),

• G = ⋃_{γ∈Γ} A_{γ} Abel-fedés, ha A_{γ} Abel részcsoport ∀γ ∈ Γ-ra,

• a(G) = min{|Γ| | G = ⋃_{γ∈Γ} A_{γ} Abel-fedés},

• H ⊂ G nem-felcserélhető, ha a, b ∈ H és [a, b] = 1 esetén a = b,

• n(G) = sup{|H| | H ⊂ G nem-felcserélhető},

• {G_{γ} | γ ∈ Γ} csoportok komplett direkt szorzata a ∏_{γ∈Γ} G_{γ} csoport, melynek alaphalmaza G_{γ} csoportok Descartes-szorzata a (g_{γ}) vektorok, g_{γ} ∈ G_{γ} a csoportműveleteket koordinátánként végezzük (g_{γ})(h_{γ}) = (g_{γ}h_{γ}) és (g_{γ})^{−1} = (g_{γ}^{−1}) az egységelem az (1_{γ}),

• ⨁_{γ∈Γ} G_{γ} diszkrét direkt szorzatnak nevezzük a komplett direkt szorzat azon részcsoportját, melynek (g_{γ}) elemeire g_{γ} = 1_{γ} véges sok kivételtől eltekintve,

• Zn_{γ∈Γ}G_{γ} centrális szorzatot a következő módon definiáljuk, ha

Z(G_{1}) ≅ Z(G_{γ})) és adottak az f_{γ}: Z(G_{γ}) → Z(G_{1}) izomorfizmusok ∀γ ∈ Γ-ra , akkor

Zn_{γ∈Γ}G_{γ} = (⨁_{γ∈Γ} G_{γ})/N, ahol

N = {(g_{γ}) | g_{γ} ∈ Z(G_{γ}) és ∏_{γ∈Γ} f_{γ}(g_{γ}) = 1_{1}}.

Megjegyzés. A számosságok halmazai jól rendezettek, és számosságok bármely halmazának a szuprémuma is számosság, ezért értelmes az a(G) és az n(G) definíciója.

A továbbiakban elsősorban a bfc(G) , |G′|, |G : Z(G)|, |G : Z_{2}(G)|, a(G), n(G) mennyiségeket, és ezeknek egymáshoz való viszonyát vizsgáljuk, kezdjük ebben a fejezetben a nyilvánvaló egyenlőtlenségekkel, és kiszámoljuk konkrét csoportokra őket.

2.2. Alapvető összefüggések, példák

A későbbiekben szükségünk lesz a következő jól ismert tényekre:

• Ha A, B ≤ G akkor |G : A ∩ B| ≤ |G : A||G : B|

• |G| = |C_{G}(g)||Cl_{G}(g)|

• Ha H ⊂ G akkor C_{G}(H) = ⋂_{h∈H} C_{G}(h)

• Ha |G| = n, akkor létezik T generátorrendszere G-nek, amelyre |T | ≤ log_{2} n

• Ha H, K ≤ G akkor |HK : H| = |K : H ∩ K|

2.1 Állítás

bfc(G) ≤ |G′|  (2.1)
|G : Z_{2}(G)| ≤ |G : Z(G)|  (2.2)
n(G) ≤ a(G) ≤ |G : Z(G)| − 1  (2.3)
bfc(G) ≤ \frac{1}{2}|G : Z(G)|  (2.4)

Bizonyítás. g^{−1}Cl_{G}(g) ⊂ G′ ∀g ∈ G-re (2.1), Z(G) ≤ Z_{2}(G) (2.2), továbbá ha H nem felcserélhető és A ≤ G Abel részcsoport akkor |H ∩ A| = 1 ezért, ha G = ⋃_{γ∈Γ} A_{γ} Abelfedés akkor |H| ≤ |Γ|, és tekintsünk egy {1, g_{γ} | γ ≤ |G : Z(G)| − 1} Z(G) szerinti mellékosztály reprezentáns rendszert G-ben, akkor G = ⋃_{γ}⟨g_{γ}Z(G)⟩ egy Abel-fedés (2.3). Ha g ∈ G \ Z(G), akkor ⟨Z(G), g⟩ ≤ C_{G}(g) ezért |C_{G}(g) : Z(G)| ≥ 2 azaz |Cl_{G}(g)| = |G : C_{G}(g)| = \frac{|G:Z(G)|}{|C_{G}(g):Z(G)|} ≤ \frac{1}{2}|G : Z(G)| (2.4). □

Megjegyzés. Az előző állításban mindenhol állhatnak egyenlőségek, mint ezt látni fogjuk a következő példákban:

• bfc(G) = |G′| = 2, ha G extra-speciális 2-csoport (és ha G k darab ilyen csoport direkt szorzata, akkor bfc(G) = |G′| = 2^{k});

• Z_{2}(G) = Z(G) = 1, ha pl. G egyszerű;

• n(G) = a(G) = |G : Z(G)| − 1, és bfc(G) = \frac{1}{2}|G : Z(G)| = 2^{m−1} pl. ha G = T_{m} a szabad m elem által generált 4 exponensű, 2-nilpotens csoport, amelyben négyzet elemek centrálisak. (lásd [12])

T_{m} = ⟨x_{1}, x_{2}, … x_{m} | x_{i}^{4} = [x_{i}, x_{j}^{2}] = [x_{i}, x_{j}]^{2} = [[x_{i}, x_{j}], x_{k}] = 1 ahol 1 ≤ i, j, k ≤ m⟩ A konkrét példák vizsgálatához a következő jól használható becslést sikerült találnom:

2.2 Állítás (2000) Legyen A ≤ G Abel részcsoport, és (t_{i})_{i∈I} az A baloldali mellékosztály reprezentáns rendszere, akkor

a(G) ≤ ∑_{i∈I} |A : C_{A}(t_{i})|

Bizonyítás. Legyen (s_{ij}) a C_{A}(t_{i}) baloldali mellékosztàly reprezentáns rendszere A-ban

G = ⋃_{i∈I} ⋃_{j} t_{i}s_{ij}C_{A}(t_{i})

Ha a, b ∈ C_{A}(t_{i}) akkor [a, b] = [a, t_{i}] = [b, t_{i}] = [a, s_{ij}] = [b, s_{ij}] = 1 ezért [t_{i}s_{ij}a, t_{i}s_{ij}b] = 1 vagyis az ⟨t_{i}s_{ij}C_{A}(t_{i})⟩ csoportok G egy Abel-fedését adják. □

Megjegyzés. Pyber László (lásd [15]) megmutatta, hogy a(G) ≤ n(G)|G : A|. Figyelembe véve, hogy |A : C_{A}(t_{i})| ≤ |G : C_{G}(t_{i})| ≤ bfc(G) kapjuk, hogy a(G) ≤ bfc(G)|G : A|.

A következőkben fontos csoportosztályokra tekintjük át a vizsgált mennyiségeket, ezáltal információkat kapunk arról is (mind véges, mind végtelen esetben is), hogy mely mennyiségek között érdemes, és melyek között nem, kapcsolatot keresni.

2.2.1. Véges egyszerű csoportok

Egy G csoportot egyszerű csoportnak nevezünk, ha nincs valódi normálosztója. Az egyszerű csoportok leírása, osztályozása a kutatásoknak ma is nagyon fontos területe. A véges egyszerű csoportok vizsgálatánál két fontos eredményt jól fogunk tudni használni. Az első az egyszerű csoportok klasszifikációjának fontos következménye, a másik egy új eléggé meglepő eredmény, melyre M. Muzychuk egy szép egyszerű bizonyítást adott.

2.3 Tétel Minden véges egyszerű csoport generálható 2 elemmel.

2.4 Tétel (M. Muzychuk) Legyen G véges csoport A ≤ G Abel részcsoport és |G : A| = n, ekkor létezik olyan B Abel normálosztója G-nek, hogy |G : B| ≤ n^{2}.

Bizonyítás. Tekintsük a G csoport L(G) részcsoporthálóján értelmezett következő φ függvényt:

φ: L(G) → ℤ^{+}, ahol φ(H) = |H||C_{G}(H)| H ≤ G

Először megmutatjuk, hogy φ szupermoduláris jellegű: φ(H)φ(K) ≤ φ(⟨H, K⟩)φ(H ∩ K). Ez néhány nyilvánvaló egyenlőtlenségből következik.

|H||K| = |HK||H ∩ K| ≤ |⟨H, K⟩||H ∩ K|,
|C_{G}(H)||C_{G}(K)| = |C_{G}(H) ∩ C_{G}(K)||C_{G}(H)C_{G}(K)| ≤ |C_{G}(⟨H, K⟩)||C_{G}(H ∩ K)|.

Legyen m = max{φ(H) | H ≤ G} (φ véges függvény), és legyen M = {H ≤ G | φ(H) = m}. A φ függvény szupermodularitása miatt, ha H, K ∈ M, akkor ⟨H, K⟩ ∈ M, H ∩ K ∈ M, valamint figyelembe véve, hogy H ≤ C_{G}(C_{G}(H)) azt kapjuk, hogy C_{G}(H) ∈ M.

Mivel M véges háló, ezért N = ⟨⋃ M⟩ ∈ M, és C_{G}(N) ∈ M. Figyelembe véve, hogy a φ függvény invariáns a konjugálásra nézve azaz φ(x^{−1}Hx) = φ(H), az N normálosztó G-ben. Következésképpen mivel C_{G}(N) ≤ N ezért B = C_{G}(N) = Z(N) Abel normálosztó G-ben. Ekkor |A|^{2} ≤ |A||C_{G}(A)| = φ(A) ≤ φ(N) = |N||Z(N)|. Innen

|G : B| = |G : Z(N)| ≤ |G : Z(N)||G : N| ≤ |G : A|^{2} = n^{2}
□

Megjegyzés. Annak ellenére, hogy ebben a G csoportban találtunk n^{2} indexű Abel normálosztót, a |G : Z(G)|-re csak n^{log_{2} n} nagyságrendű becslés adható, mint azt a 4.8–4.10 Tételek mutatják.

• Az előző tételt végtelen csoportokra is be tudjuk bizonyítani, ha φ függvényt módosítjuk, hogy φ(H) = |G : H||G : C_{G}(H)| (ez szubmoduláris jellegű)

• A B Abel normálosztó nem feltétlenül része A-nak, ugyanis legyen

A = \{(\begin{matrix}I & X \\ 0 & I \end{matrix}) | ahol I az n × n egységmátrix, az X n × n-es 𝔽_{p} feletti mátrix\}

és legyen G = A ⋉ Z_{p}^{2n}, ahol A természetes módon hat a 2n dimenziós 𝔽_{p} vektortéren, ekkor A nem tartalmazza Abel normálosztóját a G csoportnak.

• Ha az A ≤ G Abel részcsoportra |G : A| = κ, akkor csak 2^{κ} indexű B Abel normálosztó garantálható, mint azt a 2.13 Állítás mutatja.

Most már kimondhatjuk az egyszerű csoportokra vonatkozó állításunkat:

2.5 Állítás Legyen G nem Abel véges egyszerű csoport, ekkor

|G|^{\frac{1}{2}} ≤ bfc(G) ≤ 4n^{2}(G), G = G′, |G : Z(G)| = |G : Z_{2}(G)| = |G|  (2.5)
|G| ≤ (a(G) − 1)^{2}, |G| ≤ 27n^{3}(G)  (2.6)

Bizonyítás. Az első tétel szerint G = ⟨x, y⟩. Legyen |C_{G}(x)| ≤ |C_{G}(y)|, akkor 1 = Z(G) = C_{G}(x) ∩ C_{G}(y) ezért |G| = |G : C_{G}(x) ∩ C_{G}(y)| ≤ |G : C_{G}(x)||G : C_{G}(y)| ≤ |G : C_{G}(x)|^{2} = |Cl_{G}(x)|^{2} ≤ (bfc(G))^{2}. Pyber László [15] megmutatta, hogy minden véges csoportra bfc(G) ≤ 4n^{2}(G) (2.5). Tekintsük a G csoport egy a(G) darab Abel részcsoporttal való fedését, ekkor a fedésből kiválasztható egy A ≤ G Abel részcsoport, melyre |G : A| ≤ a(G) − 1, erre az előző tételt alkalmazva (B = 1) kapjuk, hogy |G : B| ≤ (a(G) − 1)^{2}, az utolsó E. A. Bertram [1] eredménye. □

2.2.2. Véges csoportok direkt szorzata

Számunkra a véges csoportok végtelen diszkrét direkt szorzata lesz érdekes:

2.6 Állítás Legyen G = ⨁_{γ<λ} G_{γ} λ ≥ ω, ahol mindegyik G_{γ} nem Abel véges csoport, akkor

|G| = λ, bfc(G) = ω, |G′| = |G : Z(G)| = λ  (2.7)
a(G) = min{κ | λ ≤ 2^{κ}}  (2.8)
n(G) = ω  (2.9)

Bizonyítás. Legyen g ∈ G és {γ_{1}, γ_{2}, …, γ_{n}} azok a koordináták, melyekre g_{γ_{i}} ≠ 1. Mivel a konjugálás kordinátánként történik, ezért |Cl_{G}(g)| = ∏_{i=1}^{n} |Cl_{G}(g_{γ_{i}})|, tehát 2^{n} ≤ |Cl_{G}(g)| < ω, ahol n tetszőlegesen nagy természetes szám, így bfc(G) = ω. Könnyen ellenőrizhető, hogy G′ = ⨁_{γ<λ} G′_{γ}, és Z(G) = ⨁_{γ<λ} Z(G_{γ}), továbbá G′_{γ} > 1 és |G_{γ} : Z(G_{γ})| > 1 ∀γ < λ esetén, innen adódik a (2.7). A (2.8)-t az 5. fejezetben bizonyítjuk (5.3 Állítás). Hátra van még a (2.9) bizonyítása. Először is megmutatjuk, hogy n(G) ≥ ω, ez a bizonyítás egyszerűbb része. Mivel G_{γ} nem Abel, ezért ∃a_{γ}, b_{γ}, hogy [a_{γ}, b_{γ}] ≠ 1. Legyenek a g^{(n)} elemek a következők: g_{γ}^{(n)} = a_{γ}, ha γ < n; g_{n}^{(n)} = b_{n}; g_{γ}^{(n)} = 1, ha γ > n. Ekkor H = {g^{(n)} | n < ω} halmaz nem-felcserélhető, tehát n(G) ≥ |H| = ω. Most jön a nehezebb rész, annak belátása, hogy n(G) ≤ ω. Tegyük fel, hogy n(G) > ω. Ekkor ∃H ⊂ G nem-felcserélhető halmaz, melyre |H| = ω^{+}. Definiáljuk a t: H → P(λ) leképezést t(h) := {γ < λ | g_{γ} ≠ 1}, ezt nevezzük a h ∈ H elem tartójának. Mivel G diszkrét direkt szorzat |t(h)| < ω ∀h ∈ H-ra, és H = ⋃_{i<ω}{h ∈ H | t(h) = i}. Mivel |H| = ω^{+}, ezért ∃k < ω, hogy a H_{k} = {h ∈ H | t(h) = k} halmaz számossága |H_{k}| = ω^{+}. A nem-felcserélhetőség miatt t(g) ∩ t(h) ≠ ∅ ∀g, h ∈ H esetén. Tekintsük a Γ teljes gráfot, melynek csúcsai a H_{k} elemei, és egy (g, h) él színe r, ha |t(g) ∩ t(h)| = r (1 ≤ r ≤ k). A klasszikus végtelen Ramsey-tétel (5.1) szerint ∃r és Γ_{r} ⊂ Γ teljes részgráf melyben minden él színe r, csúcshalmaza K_{r}, hogy |K_{r}| ≥ ω. Világos, hogy tetszőleges g, h ∈ K_{r} esetén |t(g)| = |t(h)| = k, és |t(g)∩t(h)| = r. Legyen g ∈ K_{r} rögzített. Mivel t(g)-nek csak véges sok r elemű részhalmaza van, és |K_{r}| ≥ ω ezért ∃T_{r} ⊂ t(g) és K̂ ⊂ K_{r} végtelen halmaz, hogy |T_{r}| = r továbbá ∀h ∈ K̂-re T_{r} = t(g) ∩ t(h). Viszont minden h, h′ ∈ K̂ esetén |t(h) ∩ t(h′)| = r ezért |t(h)∩t(h′)| = T_{r}. Mivel ∏_{γ∈T_{r}} G_{γ} véges, és K̂ végtelen, ezért ∃h, h′ ∈ K̂, hogy h ↾_{T_{r}}= h′ ↾_{T_{r}}. Tehát h, h′ megegyeznek a tartóik közös részén, következésképpen h, h′ felcserélhetőek, ami ellentmondás. (Pilisszentlászló, 1999. okt.) □

2.7 Állítás Legyenek κ ≤ λ tetszőleges végtelen számosságok, ekkor választhatunk olyan {G_{γ} | γ < λ} véges nem Abel csoportokat, hogy a G = ⨁_{γ<λ} G_{γ} csoportra |G : Z_{2}(G)| = κ.

Bizonyítás. Mivel Z_{2}(G) = ⨁_{γ<λ} Z_{2}(G_{γ}), ezért legyen G_{γ} véges nem kommutatív egyszerű csoport, ha γ < κ, és legyen G_{γ} 2-nilpotens (pl. kvaterniócsoport), ha γ ≥ κ. □

2.2.3. Extra-speciális csoportok

Egy G csoportot extra-speciális csoportnak ([16]) nevezzük, ha G′ = Z(G) prímrendű ciklikus. A továbbiakban legyen ⟨c⟩ = C = G′ = Z(G). Ha x, g ∈ G, akkor [x, g^{p}] = [x, g]^{p} = 1, tehát g^{p} ∈ C, következésképpen V = G/C elemi Abel p-csoport, és V tekinthető egy vektortérnek 𝔽_{p} fölött. Világos, hogy ha x, y ∈ G az [x, y] csak az u = xC, v = yC mellékosztályoktól függ, a továbbiakban [x, y] = c^{f(u,v)}. Ekkor az f: V × V → 𝔽_{p} egy jól definiált függvény, és minthogy [xx_{1}, y] = [x, y][x_{1}, y] és [x, y]^{−1} = [y, x] ezért f egy szimplektikus bilineáris függvény. Ha f(u, v) = 0 ∀v esetén, akkor [x, y] = 1 ∀y ∈ G-re, tehát u = xC = C = 0_{V} azaz f nem-elfajuló.

Ha G véges, akkor V is véges és létezik V = V_{1} ⊕ V_{2} ⊕ ⋯ ⊕ V_{n} felbontása 2 dimenziós alterek (hiperbolikus párok) ortogonális összegére, ahol {u_{i}, v_{i}} a V_{i} bázisa, és f(u_{i}, v_{i}) = 1, és f(u_{i}, v_{j}) = 0, ha i ≠ j, továbbá f(u_{i}, u_{j}) = 0 = f(v_{i}, v_{j}) ∀i, j-re. Megfordítva, ha u_{i} = x_{i}C és v_{i} = y_{i}C, akkor G_{i} = ⟨x_{i}, y_{i}⟩ egy p^{3} rendű nem Abel csoport. Világos, hogy C < G_{i} < G és G = G_{1}G_{2} … G_{n}, ahol G/C = ⨁_{i=1}^{n} G_{i}/C és [G_{i}, G_{j}] = 1 továbbá C = Z(G_{i}) = Z(G) tehát G = Zn_{i≤n}G_{i} és |G| = p^{2n+1}.

Ha G csoport végtelen, akkor a V 𝔽_{p}-vektortér is végtelen, és nem biztos, hogy létezik a V -nek a fenti felbontása, azonban ha mégis V = ⨁_{γ<λ} V_{γ} az előzőhöz hasonlóan, akkor G = Zn_{γ<λ}G_{i}, ahol mindegyik G_{γ} p^{3} rendű nem Abel csoport.

A G csoport maximális Abel részcsoportjai és a V vektortér maximális önmerőleges alterei kölcsönösen egyértelműen megfelelnek egymásnak.

2.8 Állítás Legyen G = Zn_{i≤n}G_{i} extra-speciális 2-csoport, ahol mindegyik G_{i} 1 ≤ i ≤ n izomorf a kvaternió csoporttal, akkor

|G| = 2^{2n+1}, G′ = Z(G) ≃ Z_{2}, és G 2 − nilpotens  (2.10)
bfc(G) = |G′| = 2, |G : Z(G)| = 2^{2n}, |G : Z_{2}(G)| = 1  (2.11)
Ha A ≤ G maximális Abel részcsoport, akkor |A| = 2^{n+1}  (2.12)
2^{n} + 1 ≤ a(G) ≤ 2^{n+1} − 1  (2.13)
n(G) = 2n + 1  (2.14)

Bizonyítás. (2.12) Mivel f nem-elfajuló bilineáris függvény, ezért ha B ≤ V altér, akkor dim V = dim B + dim B^{⊥}. Következésképpen, ha B maximális önmerőleges altér (B = B^{⊥}), akkor dim B = dim B^{⊥} = n. Tehát az A ≤ G maximális Abel részcsoportra dim_{𝔽_{p}}(A/Z(G)) = n vagyis A = 2^{n+1}.

(2.13) Tekintsük a G egy Abel fedését G = ∪_{i=1}^{k}A_{i} nyilván G \ Z(G) = ∪_{i=1}^{k}(A_{i} \ Z(G)), tehát 2^{2n+1} − 2 = |G \ Z(G)| ≤ ∑_{i=1}^{k} |A_{i} \ Z(G)| ≤ k(2^{n+1} − 2) ezért 2^{n} + 1 ≤ k. Másfelől, alkalmazzuk a 2.2 Állítást, figyelembe véve, hogy ha A maximális Abel részcsoport, akkor x ∈ G \ A esetén |A : C_{A}(x)| = 2, kapjuk, hogy a(G) ≤ ∑_{i=1}^{2^{n}} |A : C_{A}(t_{i})| = 1 + (2^{n} − 1)2 = 2^{n+1} − 1.

(2.14) Mivel G véges extra-speciális csoport, ezért G = G_{1}G_{2} … G_{n}, ahol G_{i} = ⟨x_{i}, y_{i}⟩ és [x_{i}, y_{i}] ≠ 1. Legyenek p_{0} = 1, p_{i} = x_{1}x_{2} … x_{i} (1 ≤ i ≤ n) ekkor a H = {p_{0}y_{1}, p_{n}y_{n}, p_{n}, p_{i}y_{i}, p_{i}y_{i+1} (1 ≤ i ≤ n−1)} nem-felcserélhető, |H| = 2n+1 így n(G) ≥ 2n+1.

Másfelől, ha H ⊂ G nem-felcserélhető, akkor L = {hC | h ∈ H} ⊂ V elemeire, ha u ≠ v ∈ L akkor f(u, v) = 1. Tekintsük az M = {m_{1}, m_{2}, …, m_{k}} maximális független (mint vektorok) halmazt L-ben (k ≤ 2n). Ha v ∈ L \ M, akkor v = ∑_{i=1}^{k} a_{i}m_{i}, ahol a_{i} = 0, 1. Ha S = ∑_{i=1}^{k} a_{i}, akkor 1 = f(v, m_{i}) = S + a_{i}, ha i = 1, 2, …, k. Mivel v ≠ 0, ezért a_{i} = 1 (1 ≤ i ≤ k), azaz v = ∑_{i=1}^{k} m_{i}, ami azt jelenti, hogy |L \ M| ≤ 1, azaz |H| = |L| ≤ 2n + 1.

□

2.9 Állítás Legyen G = Zn_{γ<λ}G_{i} extra-speciális 2-csoport, ahol mindegyik G_{γ} 1 ≤ γ ≤ λ izomorf a kvaternió csoporttal, akkor

|G| = λ, G′ = Z(G) ≃ Z_{2}, és G 2 − nilpotens  (2.15)
bfc(G) = |G′| = 2, |G : Z(G)| = λ, |G : Z_{2}(G)| = 1  (2.16)
a(G) = min{κ | λ ≤ 2^{κ}}  (2.17)
n(G) = ω  (2.18)

Bizonyítás. A (2.15), (2.16) triviális. A (2.17) V. Faber, R. Laver és R. McKenzie [5] eredményéből következik (lásd 5.3 Állítás), a (2.18) pedig analóg módon megy, mint a (2.9) bizonyítása, felhasználva, hogy a centrális szorzat a diszkrét direkt szorzat faktora. □

Most nézzünk egy olyan extra-speciális csoportot amely nem centrális szorzat: Legyen G = ∏_{γ<λ} G_{γ},ahol minden G_{γ} izomorf a kvaternió csoporttal, ekkor Z(G) = ∏_{γ<λ} Z(G_{γ}) ≃ ∏_{γ<λ} Z_{2,γ} komplett direkt szorzat tekinthető egy 𝔽_{2} vektortérnek. Ebben a {g ∈ Z(G) | ∃γ < λ g_{γ} ≠ 1_{γ}, g_{δ} = 1_{δ}, ha δ ≠ γ} (ez Z(G) egységelemének a projekciói az egyes koordinátákra) halmaz független vektorokból áll, ezt kibővíthetjük Z(G) egy B = {b_{γ} | γ ≤ 2^{λ}} bázisává (Zorn lemma), így Z(G) = ⨁_{γ≤2^{λ}}⟨b_{γ}⟩ ≃ ⨁_{2^{λ}} Z_{2}. Álljon N azon Z(G)-beli vektorokból amelyek mindegyike páros sok B-beli elem szorzata. Világos, hogy N < Z(G), |Z(G) : N| = 2, N ◁ G. Az S = G/N csoportra kimondhatjuk a következő állítást:

2.10 Állítás (2000) Az előbb definiált S csoport extra-speciális 2-csoport, Zn_{γ<λ}G_{γ} < S

|S| = 2^{λ}, bfc(S) = |S′| = |Z(S)| = 2, |S : Z_{2}(S)| = 1  (2.19)
|S : Z(S)| = 2^{λ} a(S) ≥ n(S) ≥ λ  (2.20)

Bizonyítás. Ha G_{γ} = ⟨i_{γ}, j_{γ}⟩, akkor legyen H = {s^{(γ)} | γ < λ}, ahol

s_{δ}^{(γ)} := \{ \begin{matrix}i_{δ}, & ha δ < γ \\ j_{γ}, & ha δ = γ \\ 1_{δ}, & ha δ > γ \end{matrix}

Ekkor H nem-felcserélhető, így n(S) ≥ λ. □

1987-ben S. Shelah és J. Stepräns [18] mutatott „kicsi” maximális Abel részcsoporttal rendelkező extra-speciális csoportokat:

2.11 Állítás (S. Shelah, J. Stepräns [18]) Létezik λ végtelen számosságoknak egy olyan C osztálya (amely minden reguláris számosságot tartalmaz) , hogy minden λ ∈ C számossághoz lehet konstruálni 2^{λ} nem izomorf extra-speciális p-csoportot, amelyek nem tartalmaznak λ számosságú Abel részcsoportot.

Megjegyzés. Ha S_{h} = {g_{α} | α < λ} egy fenti típusú extra-speciális csoport, akkor ha λ = (2^{κ})^{+} legyen s: [λ]^{2} → 2

s(\{α, β\}) := \{ \begin{matrix}0, & ha [g_{α}, g_{β}] = 1 \\ 1, & ha [g_{α}, g_{β}] ≠ 1 \end{matrix}

Az (5.2) Tétel (Erdős, Rado) szerint (2^{κ})^{+} ⟶ ((2^{κ})^{+}, κ^{+})^{2} és egy S_{h} csoportban nincs (2^{κ})^{+} nagyságú Abel részcsoport, ezért ∃H ⊂ S_{h} amelyre s(H) = {1} azaz H nem-felcserélhető, és (κ)^{+} = |H| ≤ n(S_{h}).

Az előző példák után továbbra is kérdés, hogy

1 Probléma Tetszőleges végtelen λ számossághoz létezik-e olyan S extra-speciális csoport amelyre |S| = n(S) = λ?

2.2.4. Egyéb példák

2.12 Állítás Legyen T test és M_{T} = \{(\begin{matrix}1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & c \end{matrix}) | a, b, c ∈ T \} mátrixcsoport, akkor ha

|T | = t

|M_{T} | = t^{3}, Z(M_{T}) = M′_{T} ≃ T^{+}, bfc(M_{T}) = |M′_{T} | = t  (2.21)
|M_{T} : Z(M_{T})| = t^{2}, |M_{T} : Z_{2}(M_{T})| = 1, a(M_{T}) = n(M_{T}) = t + 1  (2.22)

Megjegyzés. Ha T = 𝔽_{p} véges prímtest, akkor M_{T} egy p^{3} rendű extra-speciális p-csoport.

Bizonyítás. Először is Z(M_{T}) = M′_{T} = \{(\begin{matrix}1 & 0 & c \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) | c ∈ T \}, és egy mátrix konjugál-

tosztálya M_{T} -ben: \{(\begin{matrix}1 & a & −ay + bx + c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) | x, y ∈ T \}, tehát ha m ∈ M_{T} \ Z(M_{T}), akkor

|Cl_{M_{T}} (m)| = t. Mivel egy Abel részcsoport rendje legfeljebb t^{2}, ezért ha M_{T} = ⋃_{i=1}^{k} A_{i} Abel-fedés, akkor t^{3} − t = |M_{T} \ Z(M_{T})| ≤ ∑_{i=1}^{k} |A_{i} \ Z(M_{T})| ≤ k(t^{2} − t), vagyis t + 1 ≤ k. Másrészt t + 1 Abel részcsoporttal le is fedhető az M_{T} csoport, legyen ugyanis A_{λ} =

\{(\begin{matrix}1 & x & y \\ 0 & 1 & λx \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) | x, y ∈ T \}, ∀λ ∈ T -re és A_{t+1} = \{(\begin{matrix}1 & 0 & y \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) | x, y ∈ T \}, akkor M_{T} =

⋃_{i=1}^{t+1} A_{i} Abel-fedés, tehát a(G) = t + 1. Világos, hogy egyfelől n(G) ≤ a(G) ≤ t + 1, másfelől

ha a, c ∈ T rögzített nem nulla elemek, akkor a H = \{(\begin{matrix}1 & a & c \\ 0 & 1 & λa \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & 0 & c \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) | λ ∈ T \}

elemek egy nem-felcserélhető halmazt alkotnak, tehát n(G) = t + 1. □

A következő állítás fogja mutatni az 5.5, 5.17 és 5.18 Tételek élességét:

2.13 Állítás (2000) Tetszőleges κ végtelen számosságra létezik olyan G csoport, melyben bfc(G) = |G′| = κ és |G| = |G : Z(G)| = |G : Z_{2}(G)| = 2^{κ} továbbá a(G) = n(G) = κ, és a G csoport nem tartalmaz valódi Abel normálosztót.

Bizonyítás. Legyenek Y = X × {0, 1}, ahol X egy κ számosságú halmaz és Sym(Y) az Y halmaz összes permutációinak csoportja. Tekintsük a Sym(Y) következő két részcsoportját: Alt(Y) ◁ Sym(Y) álljon Y páros permutációiból, továbbá legyen A = {π ∈ Sym(Y) | ∀(x, t) ∈ Y π(x, t) ∈ {x} × {0, 1}. Világos, hogy A Abel részcsoport és |A| = 2^{κ}. Tekintsük a következő G csoportot: G = ⟨Alt(Y), A⟩ = Alt(Y)A. Mivel az összes hármas ciklus konjugált, bfc(G) ≥ κ, és mivel Alt(Y) egyszerű csoport ezért G′ = Alt(Y) így |G′| = κ. Világos, hogy mivel C_{Sym(Y)}(Alt(Y)) = 1 így Z(G) = 1 ezért |G : Z_{2}(G)| = |G| = |Alt(Y)||A| = 2^{κ}. A 2.2 Állítás szerint a(G) ≤ bfc(G)|G : A| = κ, valamint H = {π ∈ G | π = (abx) hármas ciklus, ahol a,b rögzítettek, de x ∈ Y tetszőleges} nemfelcserélhető halmaz. Így κ ≤ n(G) ≤ a(G) ≤ κ. Most tegyük fel, hogy létezik 1 ≠ B ◁ G Abel normálosztó. Világos, hogy A ∩ B ≠ 1. Legyen a ∈ A ∩ B és x ∈ Alt(Y), hogy 1 ≠ [a, x] ∈ B ∩ Alt(Y). Tehát a véges sok elemet mozgató [a, x] permutáció összes konjugáltja felcserélhető egymással, ami lehetetlen. □

Az előző fontos példákra, melyek segítettek kijelölni a kutatás irányvonalát, még sokszor fogunk hivatkozni illetve visszautalni. A következő fejezetekben áttekintjük lényegében időrendi sorrendben ezen terület kutatásának eredményeit.

2.3. A felcserélhetőségi gráf

Egy G csoporthoz definiálhatunk egy, a felcserélhetőségi struktúrát jól tükröző, Γ = Γ(G) gráfot a következőképpen:

Γ csúcsai a G elemei, a g, h csúcsokat pontosan akkor köti össze él, ha [g, h] ≠ 1. Világos, hogy Γ minden üres részgráfja G egy Abel részhalmazának, egy teljes részgráfja pedig a csoport egy nem-felcserélhető részhalmazának felel meg. Ennélfogva a Γ gráf kromatikus száma χ(Γ) = a(G) és a teljes részgráfok méreteinek szuprémuma n(G).

Erdős Pál ennek a gráfnak a vizsgálata kapcsán tette fel a következő kérdéseket, melyekkel jelentősen előre lendítette a kutatásokat:

1. Ha a G csoport Γ(G) nem tartalmaz végtelen teljes részgráfot, akkor létezik-e véges korlát a teljes részgráfok méretére?

2. Ha n(G) = n véges, akkor milyen korlátot lehet adni χ(Γ)-ra?

3. Ha χ(G) = κ, és κ végtelen számosság, akkor létezik-e korlát a centrum indexére?

Ezeket a kérdéseket mind megválaszolták, az elsőt B. H. Neumann [10] 1976-ban, a másodikat Pyber László [15] 1985-ben, a harmadik kérdésre V. Faber, R. Laver és R. McKenzie [5] adott választ 1978-ban. Ezeket a későbbiekben még részletesen áttekintjük.

VÉGESSÉGI TÉTELEK

3.1. Történeti áttekintés

Az 1900-as évek elejétől kezdve tanulmányozták, hogy a vizsgált mennyiségeink valamelyikének végessége a többi mennyiségek közül melyek végességét vonja maga után. Először áttekintjük a XX. század első felének eredményeit, majd az összes kapcsolatot tisztázzuk, és ábrázoljuk egy végességi táblában.

A legelső eredmény az 1902-ből származó, transzfer használatával bizonyítható Schur-tétel.

3.1 Tétel (Schur [16]) Ha a G csoportra |G : Z(G)| véges, akkor a G′ is véges.

Ennek a tételnek a megfordítása nem igaz, mint azt az előző fejezetben az extra-speciális csoportok mutatták(2.9, 2.10 Állítás). Azonban bizonyos fordított jellegű állítás kimondható, amelynek egy bizonyítását is bemutatjuk, ugyanis ezt a gondolatmenetet még használni fogjuk a későbbiekben.

3.2 Tétel (P. Hall [16]) Ha a G csoportra G′ véges, akkor |G : Z_{2}(G)| véges.

Bizonyítás. A (2.1) szerint ha g ∈ G akkor |G : C_{G}(g)| véges, és minden x ∈ G′ \Z(G) elemhez ∃g_{x}, hogy x ∉ C_{G}(g_{x}). Legyen H = ∪Cl_{G}(g_{x}), ekkor H véges, mivel véges sok véges halmaz uniója. H teljes konjugáltosztályok uniója, ezért az N = C_{G}(H) normálosztó, és |G : N| = |G : ⋂_{h∈H} C_{G}(h)| ≤ ∏_{h∈H} |G : C_{G}(h)|, ez pedig véges. [N, G] ⊂ N ∩ G′ ⊂ Z(G) mivel H definíciója miatt N ∩ (G′ \ Z(G)) = ∅. Ennélfogva N ≤ Z_{2}(G), és |G : Z_{2}(G)| ≤ |G : N| tehát véges. □

A 2.12 Állítás mutatja, hogy P. Hall tételének megfordítása nem igaz bizonyos mátrixcsoportokra. Már a második fejezet elején (2.1 Állítás) láttuk, hogy ha G′ véges, akkor a bfc(G) is véges, azonban igaz ennek a megfordítása is.

3.3 Tétel (B. H. Neumann [16]) Ha G csoport, a bfc(G) véges pontosan akkor, ha G′ véges.

Nyilvánvaló a 2.1 Állításból, hogy ha |G : Z(G)| véges, akkor az a(G), továbbá az n(G) is véges, viszont ezek megfordítása már korántsem triviális.

3.4 Tétel (Baer [11]) Ha a(G) véges, akkor a |G : Z(G)| véges.

A következő eredmény megválaszolja Erdős Pál első kérdését a felcserélhetőségi gráffal kapcsolatban.

3.5 Tétel (B. H. Neumann [10]) A G csoportra, ha n(G) végtelen, akkor ∃H ⊂ G végtelen nem felcserélhető halmaz ha n(G) véges, akkor |G : Z(G)| véges

Az előző fejezet példái mutatják, hogy a |G : Z_{2}(G)| végességéből nem következik a(G) és n(G) végessége.

Az előző tételek bizonyításához (3.4, 3.5) a következő két eredmény ad segítséget:

3.6 Tétel (B. H. Neumann) Ha a G csoport le van fedve véges sok részcsoportjával G = ⋃_{i=1}^{n} H_{i}, és H_{r} nem hagyható el a fedésből azaz H_{r} ⊈ ⋃_{i≠r} H_{i}, akkor |G : H_{r}| < ∞.

Bizonyítás. Legyen h ∈ H_{r} \ ⋃_{i≠r} H_{i}. Tegyük fel, hogy |G : H_{r}| = ∞ és legyen {t_{i} | i ∈ I} egy mellékosztály reprezentáns rendszere. Legyen Γ végtelen teljes gráf, melynek a csúcsai: V (Γ) = {t_{i} | i ∈ I}. A gráf éleit n színnel színezzük a következőképpen: a i < j-re a (t_{i}, t_{j}) él színe s = min{l ≤ n | t_{i}t_{j}^{−1} ∈ H_{l}h^{−1}}. Mivel a Γ végtelen teljes gráf éleit n színnel színeztük, a klasszikus végtelen Ramsey tétel (lásd 5.1 Tétel) egy triviális esete szerint vannak olyan i < j < k, hogy a (t_{i}, t_{j}), (t_{j}, t_{k}), (t_{i}, t_{k}) élek ugyanolyan s színűek, t_{i}t_{j}^{−1}, t_{j}t_{k}^{−1}, t_{i}t_{k}^{−1} ∈ H_{s}h^{−1}. Ezeknek alapján h = (t_{j}t_{k}^{−1}h)(t_{i}t_{k}^{−1}h)^{−1}(t_{i}t_{j}^{−1}h) ∈ H_{r}, ami ellentmondás. □

Megjegyzés. A tétel a részcsoportok helyett mellékosztályokat véve is ugyanígy igaz. Az 5.4 Tétel bizonyítása ezzel teljesen analóg az 5.2 Erdős, Rado Tétel a (2^{κ})^{+} ⟶ (3)_{κ}^{2} alkalmazásával.

3.7 Tétel (M. J. Tomkinson [20]) Ha egy G csoportban n(G) = n < ∞ és H = {x_{1}, x_{2}, …, x_{n}} maximális nem-felcserélhető halmaz, akkor

Z(G) = ⋂_{i=1}^{n} C_{G}(x_{i})

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy a ∈ ⋂_{i=1}^{n} C_{G}(x_{i}) \ Z(G). Ekkor van olyan b ∈ G amelyre [a, b] ≠ 1. Legyen

y_{i} := \{ \begin{matrix}x_{i} & ha [x_{i}, b] ≠ 1 \\ ax_{i} & ha [x_{i}, b] = 1 \end{matrix}

Ekkor az {y_{1}, y_{2}, …, y_{n}, b} egy n + 1 elemű nem-felcserélhető halmaz, ami ellentmond n maximalitásának. □

Megjegyzés. Ha H ⊂ G egy maximális nem-felcserélhető halmaz, akkor a G = ⋃_{h∈H} C_{G}(h) fedés irredundáns (semelyik tag nem hagyható el a fedésből).

3.2. A végességi tábla

A vizsgált mennyiségek segítségével elkészíthetünk egy 6 × 6-os táblázatot:

A táblázat sorainak ill. oszlopainak megfeleltetjük a mennyiségeinket, és a táblázat i-dik sorának j-dik oszlopába 1-t írunk, ha a j-dik oszlop mennyiségének végességéből következik az i-dik sor mennyiségének végessége, és 0-t írunk, ha ez nem teljesül.

bfc(G) |G′| |G : Z(G)| |G : Z_{2}(G)| a(G) n(G)
bfc(G)  1  1  1  0  1  1
|G′|  1  1  1  0  1  1
|G : Z(G)|  0  0  1  0  1  1
|G : Z_{2}(G)|  1  1  1  1  1  1
a(G)  0  0  1  0  1  1
n(G)  0  0  1  0  1  1

Ebből a táblázatból kitűnik, hogy a legerősebb a |G : Z(G)| végessége, ugyanis ebből az összes többi mennyiség végessége is következik, a leggyengébb pedig a |G : Z_{2}(G)| végessége, mert ez bármelyik másik mennyiség végességéből következik, valamint, ha |G : Z_{2}(G)| véges, a többi mennyiség mindegyike lehet végtelen (akár egyszerre is, ha pl. G = M_{T}, ahol T egy végtelen test (lásd 2.12 állítás). Továbbá még azt is láthatjuk, hogy a bfc(G), |G′| ill. a |G : Z(G)|, a(G), n(G) mennyiségek ebből a szempontból ekvivalensek egymással.

VÉGES CSOPORTOK

Ebben a fejezetben azt az esetet vizsgáljuk, amikor a mennyiségeink végesek, ehhez (mint láttuk az előző fejezetben) elegendő feltennünk, hogy a |G : Z(G)| véges. Először megmutatjuk, hogy elegendő a véges csoportok vizsgálatára szorítkoznunk

4.1 Állítás (I. D. Macdonald [9]) Ha a G csoportra |G : Z(G)| véges, akkor létezik olyan G_{0} véges csoport, amelyre G/Z(G) ≃ G_{0}/Z(G_{0}), továbbá G/Z_{2}(G) ≃ G_{0}/Z_{2}(G_{0}), és G′ = G′_{0} valamint bfc(G) = bfc(G_{0} ), a(G) = a(G_{0}), és n(G) = n(G_{0})

Bizonyítás.(Vázlat) A következő két egyszerű észrevételt fogjuk használni:

1. Ha a G és H csoportokra léteznek {t_{1}, t_{2}, …, t_{k}} ⊂ G, {u_{1}, u_{2}, …, u_{k}} ⊂ H melyek Z(G) illetve Z(H) mellékosztály reprezentáns rendszerek, és a

φ(t_{i}) = u_{i} 1 ≤ i ≤ k

leképezés kiterjeszthető Φ izomorfizmussá

Φ: ⟨t_{1}, t_{2}, …, t_{k}⟩ → ⟨u_{1}, u_{2}, …, u_{k}⟩

akkor G/Z(G) ≃ H/Z(H), G/Z_{2}(G) ≃ H/Z_{2}(H), és G′ = H′ valamint bfc(G) = bfc(H), a(G) = a(H), és n(G) = n(H).

2. Ha N ≤ Z(G) és N ∩ G′ = 1, akkor a G és a H = G/N csoportokra is teljesülnek az előző egyenlőségek.

Ezek után legyen először Ĝ = ⟨t_{1}, t_{2}, …, t_{k}⟩, ahol {t_{1}, t_{2}, …, t_{k}} egy Z(G) mellékosztály reprezentáns rendszer. Mivel |Ĝ : Z(Ĝ)| = |G : Z(G)| < ω, ezért Z(Ĝ) is végesen generált (lásd [16]), tehát Z(Ĝ) = P × F, ahol P véges Abel, F egy szabad Abel csoport. A Ĝ′ végessége miatt Ĝ′ ∩ F = 1 így az előző két észrevétel alapján látjuk, hogy a G_{0} = Ĝ/F csoport teljesíti a feltételeket. □

Időrendi sorrendben áttekintve a következő kapcsolatokat vizsgáljuk:

1. A |G : Z(G)|, a(G) és az n(G) mennyiségek közötti kapcsolat

2. A |G′| és a bfc(G) kapcsolata egymással és a többi mennyiséggel

3. A |G : Z_{2}(G)| becslése a tőbbi mennyiséggel

Felvetődik a kérdés, hogy ha a végességi tábla szerint következik egyik mennyiségünk végességéből egy másik végessége, és az egyik mennyiségünk n, akkor egyáltalán korlátozható-e a másik mennyiség egy f(n) függvénnyel. Erre a matematikai logika eszközeivel, az ultraszorzat segítségével, pozitív válasz adható.

4.1. Csoportok ultraszorzata

Legyen I egy nem üres halmaz ekkor egy ∅ ≠ F ∈ P(I) halmazrendszer egy I-n értelmezett

• szürő, ha A_{1}, A_{2}, …, A_{m} ∈ F, akkor ∅ ≠ A_{1} ∩ A_{2} ∩ ⋯ ∩ A_{m} ∈ F, továbbá A ∈ F és A ⊂ B esetén B ∈ F

• ultraszűrő, ha szűrő, és tetszőleges X ⊂ I esetén X ∈ F vagy I \ X ∈ F

• főszűrő, ha F_{a} = {X ⊂ I | a ∈ X}

Minden maximális szűrő ultraszűrő (Zorn lemma), valamint ha |I| = λ ≥ ω van olyan U ultraszűrő amely nem főszűrő és minden A ∈ F elemére |A| = λ (ezt az F = {X | |I \X| < λ} szűrő kiterjesztésével kaphatjuk). Az U a továbbiakban egy ilyen típusú ultraszűrőt jelent.

1 Definició A G_{γ} (γ ∈ I) csoportok ∏_{γ∈I} G_{γ}/U ultraszorzatán a komplett direkt szorzat következő faktorát értjük:

ḡ, h̄ ∈ ∏_{γ∈I} G_{γ}/U ḡ = h̄ ⟺ {γ ∈ I | g_{γ} = h_{γ}} ∈ U

Az ultraszorzatok alaptételét jól fogjuk tudni használni:

4.2 Tétel A ϕ formulára ∏_{γ∈I} G_{γ}/U ⊧ ϕ ⟺ {γ ∈ I | G_{γ} ⊧ ϕ} ∈ U.

Megjegyzés. Csoportok esetében egy ϕ formula megalkotásánál használt függvényjelek a {·,^{−1}} csoportműveletek és az {=} relációjel.

Ezek után már nem nehéz megmutatnunk, hogy ha egyik mennyiségünk véges és következik egy másik mennyiségünk végessége (lásd végességi tábla), akkor az első mennyiség valamilyen függvénye korlátozza felülről a második mennyiséget. Ezt egy esetre bebizonyítjuk, a többi esetben a bizonyítás analóg módon végezhető.

4.3 Állítás Létezik olyan f függvény, hogy ha egy G csoportban bfc(G) = n akkor |G′| ≤ f(n).

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy nem létezik megfelelő f függvény, akkor tekintsünk olyan G_{i} (i < ω) csoportokat melyekre bfc(G_{i}) = n és |G′_{i}| → ∞. Tekintsük a G = ∏_{i<ω} G_{i}/U ultraszorzatot. Legyenek ϕ_{1}, ϕ_{2} a következő formulák:

ϕ_{1} := ∀y, x_{1}, x_{2}, …, x_{n+1} ( ⋁_{1≤i<j≤n+1}(x_{i}^{−1}yx_{i} = x_{j}^{−1}yx_{j}))

ϕ_{2} := ∀x_{i,j}, y_{i,j}, 1 ≤ i, j ≤ m + 1 ( ⋁_{1≤i<j≤m+1}( ∏_{k=1}^{m+1}[x_{i,k}, y_{i,k}] = ∏_{k=1}^{m+1}[x_{j,k}, y_{j,k}]))

A ϕ_{1} formula azt fejezi ki, hogy a bfc(G) ≤ n, a ϕ_{2} pedig azt, hogy |G′| ≤ m. Mivel G_{i} ⊧ ϕ_{1} ∀i < ω ezért G ⊧ ϕ_{1} így bfc(G) ≤ n. A Schur-tétel (3.1) szerint ekkor |G′| < ω így m = |G′| választással G ⊧ ϕ_{2} tehát {i < ω | |G′_{i}| ≤ m} ∈ U. Mivel U minden eleme végtelen halmaz, ez azt jelenti, hogy |G′_{i}| ≤ m végtelen sok i-re, ami ellentmondás. □

4.2. A |G : Z(G)|, a(G) és az n(G) mennyiségek közötti kapcsolat

Az (1.3) szerint n(G) ≤ a(G) ≤ |G : Z(G)| − 1. A legelső fordított irányú becslés:

4.4 Tétel (B. H. Neumann [11]) Ha G csoport és a(G) = a, akkor |G : Z(G)| ≤ c^{2^{n}} valamilyen c konstansra.

Majd egy újabb eredményéből n(G)-re egy jobb korlát adódott:

4.5 Tétel (B. H. Neumann [10]) Ha G csoport és n(G) = n, akkor |G : Z(G)| ≤ c^{n^{2}} valamilyen c konstansra.

1974-ben I. M. Isaacs javította ezt az eredményt:

4.6 Tétel (I. M. Isaacs [8]) Ha egy G csoportra n(G) = n, akkor |G : Z(G)| ≤ (n!)^{2}.

Végül 1985-ben Pyber László megadta a nagyságrendileg legjobb becslést:

4.7 Tétel (L. Pyber [15]) Ha egy G csoportra n(G) = n, akkor |G : Z(G)| ≤ c^{n} valamilyen c konstansra.

Nagyságrendileg ez már nem javítható, mivel az extra-speciális 2-csoport esetén (lásd 2.8 Állítás) |G : Z(G)| = 2^{n−1}. Viszont a Pyber László által megadott konstans igen nagy 2^{2^{25}} körüli. Tehát továbbra is kérdés, hogy mennyire javítható ez a konstans, az extra-speciális csoport példája alapján, talán c = 2 a legjobb konstans.

1987-ig az a(G) mennyiségre is ez volt a legjobb becslés, ekkor M. J. Tomkinson bebizonyította, hogy

4.8 Tétel (M. J. Tomkinson [20]) Ha G nem Abel csoport és a(G) = a, akkor

|G : Z(G)| ≤ max{(a − 1)^{2}, (a − 2)^{log_{2}(a−2)}}

Továbbá Tomkinson sejtette, mint ezt számos példa mutatja (pl. ha G egyszerű vagy extraspeciális /lásd 2.fejezet/), hogy ez a korlát (a − 1)^{2}-ig csökkenthető.

Szegedy Balázzsal közösen megmutattuk, hogy nem igaz ez a sejtés, sőt több különböző csoportosztályban (2-nilpotens, triviális centrumú) találtunk példákat, melyek mutatják, hogy a Tomkinson által adott felső korlát lényegében, kitevőbeli konstanstól eltekintve, nem javítható.

4.9 Tétel (2000) Létezik olyan H_{n} 2-nilpotens csoportsorozat, melyre |H_{n} : Z(H_{n})| → ∞, továbbá |H_{n} : Z(H_{n})| > a(H_{n})^{c log_{2} a(H_{n})} ahol c pozitív konstans.

4.10 Tétel (2000) Létezik olyan G_{n} csoportsorozat, melyre Z(G_{n}) = 1 és |G_{n}| → ∞ továbbá |G_{n}| > a(G_{n})^{c log_{2} a(G_{n})} ahol c pozitív konstans.

Most tekintsük ezen tételek bizonyítását:

Bizonyítás. Először megkonstruáljuk a G_{n} csoportokat : Legyen V egy n^{2} dimenziós vektor tér a 3 elemű 𝔽_{3} test felett és {e_{i} | 1 ≤ i ≤ n^{2}} egy bázisa V -nek. Tekintsük a blokk-diagonális F(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) ⊂ GL(V) mátrixok M halmazát (az {e_{i} | 1 ≤ i ≤ n^{2}} bázisban felírva), ahol x_{i} ∈ 𝔽_{3} 1 ≤ i ≤ n, x_{n} ≠ 0 és

F(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = (\begin{matrix}X & 0 & 0 & … & 0 \\ 0 & X & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & X & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & X \end{matrix}) és X = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & … & x_{1} \\ 0 & 1 & 0 & … & x_{2} \\ 0 & 0 & 1 & … & x_{3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & x_{n} \end{matrix})

Könnyen ellenőrizhető, hogy M a GL(V) részcsoportja. Legyen G_{n} = M ⋉ V^{+} (V^{+} a V additív csoportja), ahol az M elemei természetes módon hatnak a V^{+}-on, G_{n} = {(m, v) | m ∈ M, v ∈ V^{+}}. Világos, hogy |G_{n}| = |V^{+}||M| = 2 · 3^{n^{2}+n−1}.

Ha a G_{n} csoportsorozat konstrukciójában az 𝔽_{3} testet az 𝔽_{2}-re cseréljük, kapjuk a H_{n} csoportsorozatot. Hasonlóan az előzőkhöz kapjuk, hogy |H_{n}| = 2^{n^{2}+n−1}.

4.11 Lemma Z(G_{n}) = 1.

Bizonyítás. Ha g = (m, v) ∈ Z(G_{n}) akkor minden w ∈ V^{+} esetén

(1, w)(m, v) = (m, v)(1, w) tehát m(w) = w.

Ebből következőleg m = id_{V} és g ∈ V^{+}. Tekintsünk egy tetszőleges nem nulla v ∈ V^{+} vektort. Válasszunk egy i (1 ≤ i ≤ n^{2}) számot, melyre a v vektor i-dik koordinátája nullától különböző és legyen i ≡ r (mod n), 1 ≤ r ≤ n. Ha r ≠ n akkor F(0, …, 0, 1_{⌣}_{r}, 0, …, 0, 1) ∉ C_{G_{n}}(v). Ha

r = n akkor F(0, 0, …, 0, −1) ∉ C_{G_{n}}(v). Következésképpen g = (id_{V} , 0) ezért Z(G_{n}) = 1.

□

4.12 Lemma |Z(H_{n})| = 2^{n} és H_{n}/Z(H_{n}) Abel csoport, így H_{n} 2-nilpotens.

Bizonyítás. Ugyanúgy, mint az előző lemmában, ha h ∈ Z(H_{n}), akkor h ∈ V^{+}. Tekintsünk egy tetszőleges nem nulla v ∈ V^{+} vektort. Válasszunk egy i (1 ≤ i ≤ n^{2}) számot, melyre a v vektor i-dik koordinátája nullától különböző és legyen i ≡ r (mod n), 1 ≤ r ≤ n. Ha r ≠ n akkor F(0, …, 0, 1_{⌣}_{r}, 0, …, 0, 1) ∉ C_{H_{n}}(v). Ebből következik, hogy Z(H_{n}) ≤ ⟨e_{nk} | 1 ≤ k ≤ n⟩.

A fordított tartalmazás nyilvánvaló, ezért |Z(H_{n})| = |⟨e_{nk} | 1 ≤ k ≤ n⟩| = 2^{n}. Mivel [V^{+}, M] ≤ Z(H_{n}) és V^{+}, M Abel részcsoportjai H_{n}-nek, ezért a H_{n}/Z(H_{n}) is Abel csoport.

□

4.13 Lemma Ha m = F(0, 0, …, 0, −1) ∈ M ≤ G_{n} then |C_{M}(m)| = 2 akkor |C_{V^{+}}(m)| = 3^{n^{2}−n}, továbbá bfc(G_{n}) = |G′_{n}| = 3^{2n−1}

Bizonyítás. Legyen K = {F(x_{1}, x_{2}, …, x_{n−1}, 1) | x_{i} ∈ 𝔽_{3}}. Most K ≤ M és |M : K| = 2, K elemi Abel 3-csoport és minden k ∈ K-ra és m^{−1}km = k^{−1}. Következésképpen C_{M}(m)∩K = 1. Ez azt jelenti, hogy |C_{M}(m)| = 2. Továbbá

C_{V^{+}}(m) = {v ∈ V^{+} | m(v) = v} = ker(m − id_{V}) = ⟨e_{i} | 1 ≤ i ≤ n^{2}, n ∤ i⟩,

azaz |C_{V^{+}}(m)| = 3^{n^{2}−n}. Mivel m ∈ M kapjuk, hogy C_{G_{n}}(m) = C_{M}(m) ⋉ C_{V^{+}}(m). Innen láthatjuk, hogy |C_{G_{n}}(m)| = 2 · 3^{n^{2}−n} tehát |Cl_{G_{n}}(m)| = 3^{2n−1} vagyis bfc(G_{n}) ≥ 3^{2n−1}. Legyen A = ⟨e_{nk} | k = 1, 2, … n⟩ ◁ G_{n}. Minthogy [V^{+}, M] ≤ A és M′ ≤ K láthatjuk, hogy G_{n}/A = V^{+}/A ⊕ MA/A így G′_{n}A/A = M′A/A. Ennélfogva |G′_{n}| ≤ |M′||A| ≤ |K||A| = \frac{1}{2}|M||A| = 3^{2n−1}. Mindezeket összegezve 3^{2n−1} ≤ bfc(G_{n}) ≤ |G′_{n}| ≤ 3^{2n−1} tehát a bizonyítást befejeztük. □

Most megmutatjuk, hogy a most definiált G_{n} és H_{n} csoportok rendelkeznek a 4.9 és 4.10 Tételekben megkívánt tulajdonságokkal.

4.14 Állítás (2000) a(G_{n}) ≤ 2 · 3^{2n−1} − 3^{n} + 1 ezért

|G_{n}| > a(G_{n})^{\frac{1}{4} log_{3} a(G_{n})}.

Bizonyítás. Használjuk a 2.2 Állítást az A = V^{+} és a (t_{i})_{i∈I} = M szereposztással. Kapjuk, hogy

a(G_{n}) ≤ ∑_{m∈M} |V^{+} : C_{V^{+}}(m)|

Ha id_{V} ≠ m ∈ M akkor C_{V^{+}}(m) = {v ∈ V^{+} | m(v) = v} = ker(m − id_{V}). Könnyen ellenőrizhető, hogy dim_{V} ker(m−id_{V}) = n^{2}−n, így |C_{V^{+}}(m)| = 3^{n^{2}−n} és |V^{+} : C_{V^{+}}(m)| = 3^{n} azaz a(G_{n}) ≤ 3^{n}(2 · 3^{n−1} − 1) + 1. □

4.15 Állítás (2000) a(H_{n}) ≤ 2^{2n} − 2^{n} + 1 és |H_{n} : Z(H_{n})| > a(H_{n})^{\frac{1}{4} log_{2} a(H_{n})}.

A bizonyítás teljesen analóg az előző állítás bizonyításával, ezért nem részletezzük. □

Az a(G) felső korlátait vizsgálva az n(G) mennyiség függvényében a 4.7 Tételből láthatjuk, hogy a(G) ≤ |G : Z(G)| ≤ c^{n(G)}, és az extra-speciális 2-csoport mutatja, hogy ez a becslés nagyságrendileg már nem javítható.

4.3. A |G′| és a bfc(G) kapcsolata

A (2.1) szerint bfc(G) ≤ |G′|. A fordított becslés kedvelt vizsgálódási területe a csoportelmélettel foglalkozó kutatóknak. 1956-ban Wiegold sejtette, hogy ha bfc(G) = n, akkor

|G′| ≤ n^{\frac{1}{2} (1+log_{2} n)}

Továbbá bebizonyította, hogy

4.16 Tétel (Wiegold [22]) Ha egy G csoportra bfc(G) = n, akkor |G′| ≤ n^{\frac{1}{2} n^{4}(log_{2} n)^{3}}

A következő eredmény 1961-ből származik I. D. Macdonald-tól:

4.17 Tétel (I. D. Macdonald [9]) Ha egy G csoportra bfc(G) = n, akkor |G′| ≤ n^{6n(log_{2} n)^{3}}

Wiegold sejtését Vaughan-Lee bebizonyította nilpotens csoportokra 1974-ben (lásd [21]). 1975ben P. M. Neumann és M. R. Vaughan-Lee két újabb eredményt ért el:

4.18 Tétel (P. M. Neumann, M. R. Vaughan-Lee [12]) Ha egy G csoportra bfc(G) = n, akkor

|G′| ≤ n^{\frac{1}{2} (3+5 log_{2} n)}
|G′| ≤ n^{\frac{1}{2} (5+log_{2} n)}, ha G feloldható

Továbbá megadták a T_{m} csoportokat (lásd 2.1 Állítás utáni megjegyzés), amelyek mutatják a Wiegold-sejtés élességét. M. Cartwright [2] a véges egyszerű csoportok klasszifikációját használva megmutatta, hogy

4.19 Tétel (M. Cartwright [2]) Ha egy G csoportra bfc(G) = n, akkor |G′| ≤ n^{\frac{1}{2} (41+log_{2} n)}

Majd ezt tovább javította D. Segal és A. Shalev 1999-ben

4.20 Tétel (D. Segal, A. Shalev [17]) Ha egy G csoportra bfc(G) = n, akkor |G′| ≤ n^{\frac{1}{2} (13+log_{2} n)}

Ez utóbbi a jelenleg ismert legjobb eredmény.

Megjegyzés. M. R. Vaughan-Lee és P. M. Neumann [12] azt sejtették, hogy

Ha a G csoport különböző prímekhez tartozó Sylow részcsoportjai P_{1}, P_{2}, …, P_{t} akkor bfc(P_{1})bfc(P_{2}) … bfc(P_{t}) ≤ bfc(G).

Ebből a sejtésből következett volna, hogy ha bfc(G) = n, akkor |G′| ≤ n^{\frac{1}{2} (5+log_{2} n)}. Azonban 2000-ben J. Cossey és T. Hawkes [3] ∀ε > 0-ra mutattak olyan 3 feloldhatósági hosszú csoportokat melyekre ε (bfc(P_{1})bfc(P_{2}) … bfc(P_{t})) ≥ bfc(G).

4.4. A |G′| és a bfc(G) kapcsolata a többi mennyiséggel

Az extra-speciális 2-csoportok (2.8 Állítás) példája mutatja, hogy csak ezen mennyiségek felső becslésével érdemes próbálkoznunk, a bfc(G)-t becsüljük felülről, majd Segal és Shalev tételét alkalmazva, kapjuk |G′| becslését. Valószínű, hogy néhány esetben ennél jobb eredmény is elérhető, de ez ma még megoldatlan. Először is a (2.4) és a (4.20) ad egy becslést a |G′|-re a |G : Z(G)| mennyiséggel. Azonban erre Wiegold [23] megadta a pontos becslést (Schurmultiplikátor használatával), hogy

4.21 Tétel (Wiegold [23]) Ha egy G csoportra |G : Z(G)| = p_{1}^{α_{1}}p_{2}^{α_{2}} … p_{k}^{α_{k}}, akkor |G′| ≤ p_{1}^{β_{1}}p_{2}^{β_{2}} … p_{k}^{β_{k}}, ahol β_{i} ≤ \frac{1}{2}α_{i}(α_{i} + 1) i = 1, 2, …, k

Megjegyzés. Ebből azonnal adódik, hogy ha |G : Z(G)| = n, akkor |G′| ≤ n^{\frac{1}{2} log_{2} n}, és a T_{m} [12] 2-csoportok mutatják, hogy ez a legkisebb felső korlát.

Erre R. M. Guralnick [6] 1975-ben egy szép egyszerű bizonyítást adott:

Bizonyítás. Előszőr két lemmát bizonyítunk:

4.22 Lemma Legyen P Sylow részcsoportja a G véges csoportnak. Ekkor P ∩ G′ ∩ Z(G) = P′ ∩ Z(G).

Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy P′ ∩ Z(G) ≤ P ∩ G′ ∩ Z(G). A fordított tartalmazást transzfer segítségével bizonyítjuk. Legyen φ: P → P/P′ természetes homomorfizmus, és τ: G → P/P′ az ehhez tartozó transzfer, világos, hogy G′ ≤ ker τ. Tekintsük a τ ↾_{P ∩Z(G)} homomorfizmust, P ∩G′ ∩Z(G) ≤ ker τ ↾_{P ∩Z(G)}. Másfelől a transzfer a centrumra megszorítva egyszerű alakban írható: τ ↾_{P ∩Z(G)} (x) = φ(x^{|G:P |}). Mivel p ∤ |G : P | ezért P′ ∩ Z(G) = ker φ ↾_{P ∩Z(G)}= ker τ ↾_{P ∩Z(G)}≥ P ∩ G′ ∩ Z(G). □

4.23 Lemma Ha G p-csoport és |G : Z(G)| = p^{α}, akkor |G′| ≤ p^{\frac{α(α−1)}{2}} .

Bizonyítás. Teljes indukcióval bizonyítunk. Ha α < 2 a lemma triviális. Feltehetjük, hogy α ≥ 2. Legyen a ∈ Z_{2}(G) \ Z(G). Mivel H = [G, a] ⊂ Z(G) ezért H = {[x, a] | x ∈ G} így |H| = |G : C_{G}(a)| ≤ p^{α−1}. Az indukciós feltevés szerint |G′/H| ≤ p^{\frac{(α−1)(α−2)}{2}} , ennélfogva |G′| = |G′/H||H| ≤ p^{\frac{α(α−1)}{2}} . □

Ezek után legyen S egy p_{i}-Sylow részcsoportja G-nek. Alkalmazva az előző két lemmát kapjuk, hogy |S ∩ G′ ∩ Z(G)| = |S′ ∩ Z(G)| ≤ |S′| ≤ p_{i}^{\frac{1}{2} α_{i}(α_{i}−1)}. Tehát p_{i}^{β_{i}} = |S ∩ G′| =

|S ∩ G′ : S ∩ G′ ∩ Z(G)||S ∩ G′ ∩ Z(G)| ≤ |S : S ∩ Z(G)||S ∩ G′ ∩ Z(G)| ≤ p_{i}^{α_{i}}p_{i}^{\frac{1}{2} α_{i}(α_{i}−1)} =

p_{i}^{\frac{1}{2} α_{i}(α_{i}+1)}.

□

A bfc(G) mennyiségre az n(G) mennyiséggel Pyber László [15] adott egy felső becslést 1985-ben megmutatva, hogy

4.24 Állítás (L. Pyber [15]) Ha G csoportra n(G) = n, akkor bfc(G) ≤ 4n^{2}.

Ebből Segal és Shalev tételét alkalmazva azonnal adódik, hogy

4.25 Következmény Ha G csoportra n(G) = n, akkor |G′| ≤ (2n)^{15+2 log_{2} n}.

Pyber László kérdezte (szóbeli közlés), hogy

2 Probléma Igaz-e, hogy egy G véges csoportban bfc(G) ≤ a(G)?

Azonban csak annyit sikerült megmutatnom, hogy

4.26 Állítás (2000) Ha G nem Abel csoportra a(G) = a, akkor bfc(G) ≤ \frac{1}{2}(a − 1)^{2}.

Bizonyítás. Tekintsük a G csoport egy, a darab Abel részcsoportjával történő fedését. Ekkor van olyan A Abel részcsoport a fedésből, amelyre |G : A| ≤ a − 1. Megmutatjuk, hogy

∀g ∈ G |A : C_{A}(g)| ≤ a − 1.

Feltehetjük, hogy g ∉ A. Legyen T a C_{A}(g) egy mellékosztály reprezentáns rendszere Aban. Legyenek t, u ∈ T, hogy [tg, ug] = 1. Ekkor mivel [u, t] = 1 ezért ut^{−1}g = gut^{−1} azaz uC_{G}(g) = tC_{G}(g) így u = t. Tehát T g egy nem-felcserélhető halmaz. Mivel, ha g ∉ A akkor T g ∩ A = ∅ tehát a T g halmaz le van fedve a(G) − 1 darab Abel részcsoporttal, ezért |A : C_{A}(g)| = |T | = |T g| ≤ a − 1. Ebből következik, hogy |Cl_{G}(g)| = |G : C_{G}(g)| = \frac{|C_{A}(g)|}{|C_{G}(g)|}|G : C_{A}(g)| ≤ \frac{1}{2}|G : A||A : C_{A}(g)| ≤ \frac{1}{2}(a − 1)^{2}. Nyilvánvaló, hogy ha g ∈ A akkor |Cl_{G}(g)| = |G : C_{G}(g)| ≤ |G : A| ≤ a − 1. Tehát bebizonyítottuk, hogy bfc(G) ≤ \frac{1}{2}(a − 1)^{2}.

□

4.27 Következmény A G nem Abel csoportra a(G) = a, akkor |G′| ≤ (\frac{1}{2}(a − 1)^{2})^{6+log_{2}(a−1)}, tehát aszimptotikusan |G′| ≤ a^{c log_{2} a}, ahol c > 1 konstans.

Megjegyzés. Az előző bizonyításból figyelembe véve, hogy |G : A| ≤ a − 1, és |A : C_{A}(g)| ≤ a − 1 ∀g ∈ G esetén valamint, hogy G = ⟨A, x_{1}, x_{2}, … x_{t}⟩, ahol t ≤ log_{2}(a − 1) kapjuk, hogy

|G : Z(G)| = |G : ⋂_{i=1}^{t}(C_{G}(x_{i}) ∩ A)| ≤ |G : A| ∏_{i=1}^{t} |A : C_{A}(x_{i})| ≤ (a − 1)^{1+log_{2}(a−1)}

Az így kapott becslés nagyságrendileg megegyezik Tomkinson becslésével (4.8 Tétel).

4.5. A |G : Z_{2}(G)| becslése a többi mennyiséggel

Mint a második fejezet példái mutatják, csak a |G : Z_{2}(G)| felső becslésére van esély. Az első ezzel kapcsolatos eredmény 1961-ből származik

4.28 Tétel (I. D. Macdonald [9]) Ha egy G csoportra |G′| = n, akkor

|G : Z_{2}(G)| ≤ n^{(1+log_{2} n) log_{2} n}

A bizonyítás lényegében tartalmazza a következőt:

4.29 Állítás Ha egy G csoportban bfc(G) = k, és |G′| = n, akkor

|G : Z_{2}(G)| ≤ k^{(1+log_{2} k) log_{2} n}

Ezt a Szegedy Balázzsal közösen sikerült megjavítanunk:

4.30 Tétel (2000) Ha egy G csoportban bfc(G) = k, és |G′| = n, akkor

|G : Z_{2}(G)| ≤ k^{2 log_{2} n} ≤ n^{2 log_{2} n}

Bizonyítás. Válasszunk olyan {x_{i} | 1 ≤ i ≤ k} elemeket a G csoportban, amelyekre

C_{G′}(x_{i}) ⋂ C_{G′}({x_{j} | j < i}) ⊊ C_{G′}({x_{j} | j < i}) 1 ≤ i ≤ k,

és C_{G′}({x_{i} | 1 ≤ i ≤ k}) = G′ ∩ Z(G). Ezen x_{i} elemek száma k ≤ log_{2} |G′|. Legyen T egy minimális generátorrendszere G′-nek, így |T | ≤ log_{2} |G′|. Tehát a H = {x_{i} | 1 ≤ i ≤ k} ∪ T halmaz elemszámára kapjuk, hogy |H| ≤ 2 log_{2} |G′|. Mivel G′ ≤ ⟨H⟩ ezért ⟨H⟩ normálosztó G-ben, tehát C_{G}(H) = C_{G}(⟨H⟩) is normálosztó G-ben. Most

[C_{G}(H), G] ≤ G′ ∩ C_{G}(H) ≤ C_{G′}({x_{i} | 1 ≤ i ≤ k}) ≤ Z(G)

azaz C_{G}(H) ≤ Z_{2}(G). Innen következik, hogy

|G : Z_{2}(G)| ≤ |G : C_{G}(H)| ≤ ∏_{h∈H} |G : C_{G}(h)| ≤ bfc(G)^{|H|} ≤ bfc(G)^{2 log_{2} |G′|}.

Végül felhasználva, hogy bfc(G) ≤ |G′| (2.1) kapjuk, hogy |G : Z_{2}(G)| ≤ |G′|^{2 log_{2} |G′|}. □

A G_{n} csoportok mutatják, hogy ez a becslés kitevőbeli konstanstól eltekintve nem javítható (lásd 4.10–4.14 Tételek ), hiszen |G_{n}| = 2·3^{n^{2}+n−1} és |G′_{n}| = 3^{2n−1}, tehát |G_{n}| > |G′_{n}|^{\frac{1}{4} log_{3} |G′_{n}|}

Az eredményünkből, ha alkalmazzuk a Segal és Shalev tételét (4.20) és az előző fejezet eredményeit, kapjuk, hogy

4.31 Következmény Ha egy G csoportban bfc(G) = k, és n(G) = n, akkor

|G : Z_{2}(G)| ≤ k^{(13+log_{2} k) log_{2} k}
|G : Z_{2}(G)| ≤ (2n)^{4(1+log_{2} n)(15+2 log_{2} n)}

A fenti egyenlőtlenségek nem feltétlenül a legjobb korlátok (aszimptotikusan), hiszen nem sikerült olyan csoportokat találnunk, ahol nagyságrendileg egyenlőség lenne, tehát továbbra is probléma, hogy

3 Probléma Igaz-e, hogy |G : Z_{2}(G)| ≤ bfc(G)^{c log_{2} bfc(G)} valamilyen pozitív c konstansra?

A |G : Z_{2}(G)| felső becslése az a(G) mennyiséggel ugyanaz, mint Tomkinson eredménye a |G : Z(G)| becslésére, és a G_{n} csoportok mutatják, hogy ez a becslés aszimptotikusan már nem javítható (hiszen a 4.11 Lemma szerint Z(G_{n}) = Z_{2}(G_{n}) = 1).

4.6. Az eredmények ábrázolása

A vizsgált mennyiségek segítségével elkészíthetünk ismét egy 6 × 6-os táblázatot hasonlóan, mint az első fejezetben. A táblázat sorainak ill. oszlopainak megfeleltetjük a mennyiségeinket és a táblázat i-dik sorának j-dik oszlopába írt a_{ij} elemet a következőképpen definiáljuk: Legyenek c > 1, C > 2^{2^{25}} konstansok

a_{ij} := \{ \begin{matrix}f(n) & ha a j-dik oszlop n, akkor az i-dik sor legfeljebb f(n) elég nagy n-re \\ 0, & ha az i-dik sor nem becsülhető felülről a j-dik oszloppal \end{matrix}

bfc(G) |G′| |G : Z(G)| |G : Z_{2}(G)|  a(G)  n(G)
bfc(G)  n  n  \frac{1}{2}n  0  \frac{1}{2}(n − 1)^{2}∗ 4n^{2}
|G′|  n^{\frac{1}{2} c log_{2} n}  n  n^{\frac{1}{2} log_{2} n}  0  n^{2c log_{2} n} n^{2c log_{2} n}
|G : Z(G)|  0  0  n  0  n^{log_{2}n}  C^{n}
|G : Z_{2}(G)| n^{clog_{2}^{2}n}∗ n^{2log_{2}n}  n  n  n^{log_{2}n}  n^{clog_{2}^{2}n}
a(G)  0  0  n − 1  0  n  C^{n}
n(G)  0  0  n − 1  0  n  n

A táblázatban lévő nagyságrendi becslések ismertek jelenleg. A vastag betűvel szedett értékek önálló eredmények. Néhánynál nem ismert példa a feltüntetett nagyságrend élességére. A csillaggal jelölt helyeken a szerző úgy véli jobb becslések után kutatni.

VÉGTELEN CSOPORTOK

Ebben a fejezetben vizsgáljuk, hogy milyen kapcsolat van a mennyiségeink között, ha valamelyik mennyiség végtelen. Itt bizonyos esetekben kombinatorikus halmazelméleti eszközök is alkalmazhatóak, mint partíciókalkulus, végtelen Ramsey-tételek [7]. Ez a terület fejlődött ki legkésőbb, valamennyire párhuzamosan haladt a halmazelmélet egy ágának fejlődésével. Az első fejezet példái és a második fejezet eredményei alapján a következő kapcsolatokat szükséges vizsgálnunk:

1. a(G) és |G : Z(G)| kapcsolata.

2. A bfc(G) kapcsolata a többi mennyiséggel.

3. |G′| kapcsolata a |G : Z(G)|, |G : Z_{2}(G)|, és az a(G) mennyiségekkel.

Mielőtt elkezdenénk ezeket vizsgálni, áttekintjük az ezen a területen használható halmazelméleti tételeket.

5.1. Különböző halmazelméleti módszerek

F. P. Ramsey 1930-ban bebizonyította klasszikus tételét, amelynek transzfinit általánosítása a halmazelmélet fontos ágát hozta létre, melyet Erdős Pál és Richard Rado [4] munkássága nyomán partíciókalkulusnak nevezünk. Ahhoz, hogy be tudjuk mutatni a számunkra fontos ide tartozó eredményeket, célszerű bevezetnünk egyfajta jelölésrendszer a partíció relációkra.

2 Definició Legyen X egy halmaz [X]^{κ} = { Y ≤ X | |Y | = κ } és (γ_{α} | α < λ) számosságok egy rendszere, akkor azt írjuk, hogy

κ ⟶ (γ_{α} | α < λ)^{n},

ha [κ]^{n} = ∪_{α<λ}X_{α} (f: κ^{n} → λ) esetén létezik olyan α < λ és Y ∈ [κ]^{γ_{α}}, hogy [Y]^{n} ⊆ X_{α} (f([Y]^{n}) = {α}). Ha γ_{α} = γ ∀α < λ, akkor azt írhatjuk, hogy κ ⟶ (γ)_{λ}^{n}. Ha az előzőek nem teljesülnek, akkor azt írjuk, hogy κ −̸→ (γ_{α} | α < λ)^{n}.

5.1 Tétel (Ramsey [7]) Ha k, r véges számosságok, akkor

ω ⟶ (ω)_{r}^{k}.

Erdős és Rado tételeinek két fontos esete hasznos lesz számunkra:

5.2 Tétel (Erdős, Rado [4])

(2^{κ})^{+} ⟶ ((2^{κ})^{+}, κ^{+})^{2}  (5.1)
(2^{κ})^{+} ⟶ (κ^{+})_{κ}^{2}  (5.2)

Előfordul, hogy elég csak az (5.2) egy speciális esetét használnunk:

(2^{κ})^{+} ⟶ (3)_{κ}^{2}

Ennek egy alkalmazását fogjuk látni a következő állításban:

5.3 Állítás (V. Faber, R. Laver, R. McKenzie [5]) Legyen G = ⨁_{γ≤λ} G_{γ} véges nem Abel csoportok diszkrét direkt szorzata, ekkor a(G) = log λ = min{κ | λ ≤ 2^{κ}}

Bizonyítás. Először belátjuk, hogy a(G) ≥ log λ. Indirekten tegyük fel, hogy G = ⋃_{ϑ<κ} A_{ϑ}, ahol 2^{κ} < λ. Minden egyes G_{γ}-ban válasszunk két nem-felcserélhető x_{γ} és y_{γ} elemet. Minden α < β < κ esetén legyen s(α, β)_{γ} ∈ G_{γ} ahol

s(\{α, β\})_{γ} := \{ \begin{matrix}1, & ha γ ≠ α, β \\ x_{α}, & ha γ = α \\ y_{β}, & ha γ = β \end{matrix}

Minden {α, β} halmazhoz (α < β < λ) hozzárendelünk egy ϑ < κ rendszámot, amelyre s({α, β}) ∈ A_{ϑ}. Ekkor mivel λ ≥ (2^{κ})^{+}, és (2^{κ})^{+} ⟶ (3)_{κ}^{2} és (α, β < κ) ezért léteznek olyan α < β < γ és ϑ, hogy s({α, β}), s({β, γ}), s({α, γ}) ∈ A_{ϑ}, de [s({α, β}), s({β, γ})] = [x_{β}, y_{β}] ≠ 1 ez ellentmondás. Most megmutatjuk, hogy a(G) ≤ log λ. Tekintsük a log λ-nál kisebb rendszámokon értelmezett 0-1 függvényeket. Minden ilyen függvényhez egyértelműen tartozik egy út a log λ mélységű T bináris fában. Ezen utakat megcímkézzük a λ-nál kisebb rendszámokkal. Tekintsük a következő φ függvényeket: Álljon egy φ függvény D(φ) értelmezési tartománya a T fa csúcsainak egy olyan véges részhalmazából melynek semelyik 2 eleme nem összehasonlítható (nem esnek ugyanabba a megcímkézett útba), R(φ) értékkészlete pedig a sup a(G_{γ}) számosságnál kisebb véges számosságok egy véges részhalmaza. Ezen φ függvények száma log λ. Most legyen G_{γ} = ⋃_{ϑ<a(G_{γ})} A_{γ,ϑ}. Minden φ függvényhez definiálunk egy C_{φ} halmazt: Legyen g ∈ C_{φ} pontosan akkor, ha létezik ψ: D(φ) → {γ | g_{γ} ≠ 1} bijekció, amelyre a benne van a ψ(a)-val címkézett útban minden a ∈ D(φ)-re, továbbá g_{ψ(a)} ∈ A_{ψ(a),φ(a)}. Elegendő belátnunk, hogy C_{φ} Abel és G = ⋃_{φ} C_{φ}. Legyenek f, g ∈ G. Ha f_{γ}, g_{γ} ≠ 1, akkor mivel D(φ) összehasonlíthatatlan elemekből áll ezért egyértelműen létezik olyan a ∈ D(φ) amely a γ útba esik, így f_{γ}, g_{γ} ∈ A_{γ,φ(a)} vagyis [f_{γ}, g_{γ}] = 1 azaz [f, g] = 1. A befező rész bizonyításához vegyünk egy tetszőleges g ∈ G elemet, ekkor választhatunk egy olyan B a T csúcsaiból álló véges nem összehasonlítható halmazt, és ψ: B → {γ | g_{γ} ≠ 1} bijekciót, amelyre minden b ∈ B benne van a ψ(b) címkéjű útban. Most φ(b)-t b ∈ B esetén definiáljuk úgy, hogy g_{ψ(b)} ∈ A_{ψ(b),φ(b)}. Ekkor valóban g ∈ C_{φ}. □

5.2. a(G) és a |G : Z(G)| kapcsolata

A (2.3) szerint a(G) ≤ |G : Z(G)|, és egyenlőség áll fenn pl. ha G = M_{T}, ahol T egy végtelen test (lásd 2.12 állítás).

A másik irányú becslés már jóval bonyolultabb dolog, Erdős Pál a felcserélhetőségi gráffal kapcsolatos egyik kérdése nyomán kezdtek vele foglalkozni (lásd 2.3-ban a 3. kérdés), hogy ha a(G) = κ végtelen számosság, akkor létezik-e egyáltalán valamilyen korlát a |G : Z(G)|-re.

1978-ban V. Faber, R. Laver és R. McKenzie [5] erre pozitív választ adott, kombinatorikus halmazelméleti eszközök segítségével (többek között használva az 5.2 tételt), bebizonyította, hogy

|G : Z(G)| ≤ 2^{2^{2^{κ}}}

Ugyanakkor megmutatták, hogy ha a G csoport 2^{κ} véges nem Abel csoport diszkrét direkt szorzata, (lásd 5.3 állítás), akkor a(G) = κ és |G : Z(G)| = 2^{κ} ( egyébként ez az általunk a 2.13 Állítás bizonyításában megadott csoportokra is teljesül). A cikkük végén megkérdezték, hogy vajon lehet-e javítani a becslésüket akár 2^{κ}-ra. M. J. Tomkinson [19] megjavította a korlátukat 1985-ben bebizonyítva, hogy

|G : Z(G)| ≤ 2^{2^{κ}}

Továbbá megmutatta, hogy |G : Z(G)| ≤ 2^{κ}, ha G irredundánsan lefedhető κ Abel részcsoportjával (azaz G = ⋃_{γ<κ} A_{γ}, ahol egyik A_{γ} sem hagyható el a fedésből, A_{α} ⊈ ⋃_{γ≠α} A_{γ}). Ehhez a következő, önmagában is érdekes állítást bizonyította partíciókalkulus segítségével, melynek bizonyítása analóg a 3.6 tétel bizonyításával, csak a Ramsey tétel helyett a (2^{κ})^{+} ⟶ (3)_{κ}^{2} kerül alkalmazásra:

5.4 Tétel (Tomkinson[19]) Ha a G csoport irredundánsan le van fedve κ részcsoportjával G = ⋃_{γ<κ} H_{γ}, H_{α} ⊈ ⋃_{γ≠α} H_{γ}, akkor |G : H_{α}| ≤ 2^{κ}.

Ebből következőleg, ha G = ⋃_{γ<κ} A_{γ} irredundáns Abel-fedés, akkor |G : A_{α}| ≤ 2^{κ}, és mivel ⋂_{γ<κ} A_{γ} ⊂ Z(G), ezért |G : Z(G)| ≤ |G : ⋂_{γ<κ} A_{γ}| ≤ ∏_{γ<κ} |G : A_{γ}| ≤ (2^{κ})^{κ} = 2^{κ}. Azonban nem feltétlenül igaz, hogy a(G) = κ esetén G lefedhető irredundánsan legfeljebb κ Abel részcsoporttal.

És most itt az ideje, hogy bizonyítsuk a dolgozat legfontosabb önálló eredményét (lásd [13]):

5.5 Tétel (2000) Ha egy G csoportra az a(G) = κ végtelen számosság, akkor |G : Z(G)| ≤ 2^{κ}.

Bizonyítás. A bizonyítás teljesen elemi, nem használ semmilyen komoly segédeszközt. Mivel minden Abel részcsoport benne van egy maximális Abel részcsoportban, ezért az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy G-t lefedi maximális Abel részcsoportok K halmaza, azaz |K| = κ és ⋃ K = G. Ekkor C_{G}(A) = A minden A ∈ K-ra és Z(G) = ⋂ K. Először megmutatjuk, hogy elég bebizonyítanunk azt, hogy |A : A∩B| ≤ 2^{κ} minden A, B ∈ K esetén.

5.6 Lemma Ha |A : A ∩ B| ≤ 2^{κ} tetszőleges A, B ∈ K esetén, akkor |G : Z(G)| ≤ 2^{κ}.

Bizonyítás. A következő egyenlőtlenséget írhatjuk fel:

|A : Z(G)| = |A : ⋂ K| ≤ ∏_{B∈K} |A : A ∩ B| ≤ (2^{κ})^{κ} = 2^{κ}

|G : Z(G)| = | ⋃ K : Z(G)| ≤ ∑_{A∈K} |A : Z(G)| ≤ κ2^{κ} = 2^{κ}.

□

Legyenek A, B ∈ K, A ≠ B rögzítettek. Transzfinit rekurzióval definiáljuk sorrendben a b_{α} ∈ B (α < ν) elemeket oly módon, hogy

C_{A}(b_{α}) ∩ C_{A}({b_{β} | β < α}) ⫋ C_{A}({b_{β} | β < α})

egészen addig folytatva, míg az utóbbi nem ér le A ∩ B = C_{A}(B)-ig. Válasszunk továbbá a_{α} ∈ C_{A}({b_{β} | β < α}) \ C_{A}(b_{α}) elemeket. Ezen lánc ν hosszát meg tudjuk becsülni:

5.7 Lemma |ν| ≤ 2^{κ}.

Bizonyítás. Definiáljuk a K_{α} = {C ∈ K | ∃β : α < β < ν, a_{β}b_{α} ∈ C} halmazokat ∀α < ν esetén. Megmutatjuk, hogy ezek a halmazok páronként különbözőek. Legyenek ugyanis α < β < ν és C ∈ K olyanok, hogy a_{β}b_{α} ∈ C. A definicíó szerint C ∈ K_{α}. Ha γ-t úgy választjuk, hogy β < γ < ν, akkor [a_{β}b_{α}, a_{γ}b_{β}] = [a_{β}, b_{β}] ≠ 1, figyelembe véve, hogy [a_{β}, a_{γ}] = 1, [b_{α}, b_{β}] = 1, [b_{α}, a_{β}] = 1. Ezért a_{γ}b_{β} ∉ C, mivel C Abel, tehát C ∉ K_{β}. Innen |ν| ≤ |P(K)| ≤ 2^{κ} következik. □

Legyenek B̂ = {b_{α} | α < ν} és Â az A ∩ B egy baloldali mellékosztály reprezentáns rendszere az A részcsoportban. Minden C ∈ K Abel részcsoporthoz definiáljunk az Â × B̂ halmazon egy M_{C} mátrixot, melynek elemei a G ∪ {∅} halmazból valók. Először is legyenek Â_{C} = {a ∈ Â | aB̂ ∩ C ≠ ∅}, B̂_{C} = {b ∈ B̂ | Âb ∩ C ≠ ∅}. Most, ha a ∈ Â, b ∈ B̂ legyen

M_{C}(a, b) = \{ \begin{matrix}[b^{−1}, a], & ha a ∈ Â_{C}, b ∈ B̂_{C}; \\ ∅, & egyébként. \end{matrix}

A továbbiakban szükégünk lesz a következő technikai jellegű lemmára:

5.8 Lemma Ha a, a_{1}, b, b_{1} ∈ G és [a, a_{1}] = [b, b_{1}] = [a_{1}b, ab_{1}] = 1 akkor [b^{−1}, a] = [b_{1}^{−1}, a_{1}].

Bizonyítás. Mivel b^{−1}a_{1}^{−1}b_{1}^{−1}a^{−1}a_{1}bab_{1} = 1, ezért a_{1}^{−1}b_{1}^{−1}a_{1}a^{−1}[a^{−1}, a_{1}]ba = b_{1}^{−1}b[b, b_{1}^{−1}], vagyis b_{1}a_{1}^{−1}b_{1}^{−1}a_{1} · a^{−1}bab^{−1} = 1 és [b^{−1}, a] = [b_{1}^{−1}, a_{1}]. □

5.9 Lemma Az M_{C} mátrix különböző sorainak száma legfeljebb 1 + |B̂| ≤ 2^{κ}.

Bizonyítás. Ha a ∈ Â \ Â_{C}, akkor az a elemhez tartozó sor csupa ∅-t tartalmaz. Legyen a ∈ Â_{C} és b_{1} ∈ B̂ olyan elemek, hogy ab_{1} ∈ C. Tételezzük fel, hogy a^{∗} ∈ Â_{C} is egy olyan elem, amelyre a^{∗}b_{1} ∈ C szintén teljesül. Megmutatjuk, hogy az a és a^{∗} elemekhez tartozó sorok megegyeznek. Ha b ∈ B̂ \ B̂_{C} akkor M_{C}(a, b) = ∅ = M_{C}(a^{∗}, b).

Ha b ∈ B̂_{C} elemre a_{1}b ∈ C, ahol a_{1} ∈ Â, akkor [ab_{1}, a_{1}b] = 1. Az előző lemma alapján [b^{−1}, a] = [b_{1}^{−1}, a_{1}]. Hasonlóan kapjuk, hogy [b^{−1}, a^{∗}] = [b_{1}^{−1}, a_{1}], tehát [b^{−1}, a^{∗}] = [b^{−1}, a], azaz M_{C}(a, b) = M_{C}(a^{∗}, b). Tehát az M_{C} mátrix különböző sorainak száma valóban legfeljebb 1 + |B̂|, és a 5.7 lemma szerint, |B̂| ≤ 2^{κ}. □

5.10 Lemma Ha a, a^{∗} ∈ Â, a ≠ a^{∗}, akkor van olyan C ∈ K, hogy az M_{C} mátrixban az a és a^{∗} elemekhez tartozó sorok különbözőek.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy M_{C}(a, b) = M_{C}(a^{∗}, b) minden C ∈ K, és b ∈ B̂ esetén. Vegyünk egy tetszőleges b ∈ B̂ elemet. Minthogy ⋃ K = G, ezért ∃C ∈ K, hogy ab ∈ C. Ekkor a ∈ Â_{C}, b ∈ B̂_{C} és M_{C}(a, b) = [b^{−1}, a]. Innen következik, hogy M_{C}(a^{∗}, b) ≠ ∅, tehát M_{C}(a^{∗}, b) = [b^{−1}, a^{∗}] = [b^{−1}, a]. Ez azt jelenti, hogy a^{−1}a^{∗} ∈ C_{A}(b). Ez teljesül minden b ∈ B̂ esetén, ezért a^{−1}a^{∗} ∈ C_{A}(B̂) = A ∩ B. Mivel Â az A ∩ B egy mellékosztály reprezentáns rendszere az A részcsoportban, azt kaptuk, hogy a = a^{∗}. □

Az előző két lemmából következik, hogy |A : A ∩ B| = |Â| ≤ (2^{κ})^{κ} = 2^{κ}, és ezt akartuk bizonyítani. □

5.3. A bfc(G) kapcsolata a többi mennyiséggel

A (2.1) szerint bfc(G) ≤ |G′|, és ha pl. G véges nem Abel csoportok diszkrét direkt szorzata (lásd 2.6 Álllítás), akkor a |G′| nem korlátozható felülről a bfc(G)-vel. A (2.4) szerint bfc(G) ≤ \frac{1}{2}|G : Z(G)|, fordított irányú becslés nem adható (lásd 2.9 Állítás). |G : Z_{2}(G)|-vel, az első fejezet példái alapján nincs kapcsolata bfc(G)-nek.

Viszont az a(G) és az n(G)-vel való kapcsolata jóval érdekesebb és nehezebb is. Faber, Laver és McKenzie [5] bizonyították a következőt:

5.11 Állítás (V. Faber, R. Laver, R. McKenzie [5]) Ha a(G) = κ végtelen számosság, akkor bfc(G) ≤ κ

A bizonyításhoz szükségünk lesz a következő egyszerű lemmára:

5.12 Lemma Legyenek x, g, h ∈ G. Ha [g, h] = 1 valamint [gx, hx] = 1, akkor gC_{G}(x) = hC_{G}(x).

Bizonyítás. Ha gh = hg, akkor a gxhx = hxgx egyenlőségből következik, hogy x = h^{−1}gxhg^{−1} = h^{−1}gxg^{−1}h. Ezért g^{−1}h ∈ C_{G}(x), azaz gC_{G}(x) = hC_{G}(x). □

Most nézzük az állítás bizonyítását:

Bizonyítás. Legyen x ∈ G és G = ⋃_{γ<κ} A_{γ} Abel-fedés, továbbá G = ⋃_{β∈T} x_{β}C_{G}(x). Tegyük fel, hogy |T | ≥ (κ)^{+}, ekkor létezik olyan α < κ és S ∈ [T]^{κ^{+}}, hogy x_{β} ∈ A_{α} ∀β ∈ S. Tekintsük a {x_{β}x | β ∈ S} halmazt. Világos, hogy lesz olyan R ∈ [S]^{κ^{+}} és γ < κ, amire x_{β}x ∈ A_{γ} ∀β ∈ R. Az előző lemma mutatja, hogy az {x_{β} |β ∈ T } nem lehet a C_{G}(x) mellékosztály reprezentáns rendszere, amiből már következik a bizonyítandó. □

Egyenlőség áll pl. ha G = M_{T}, ahol T végtelen test (lásd 2.10 Állítás), fordított irányú becslés nem lehetséges. Mostanra már csak a bfc(G) becslése felülről n(G)-vel van hátra. Sajnos ebben az esetben nem tudjuk, mi a legjobb becslés. Először bizonyítunk egy lemmát:

5.13 Lemma Ha λ^{+} ⟶ (κ^{+})_{2}^{2} és a G csoportra n(G) ≤ κ, ahol κ végtelen számosság, akkor bfc(G) ≤ λ.

Bizonyítás. Legyen x ∈ G és {x_{α} | α < λ^{+}} ⊂ G. Találni fogunk α ≠ β rendszámokat úgy, hogy x_{α}C_{G}(x) = x_{β}C_{G}(x). Az [{x_{α} | α < λ^{+}}]^{2} két részre osztható, a felcserélhető és a nem felcserélhető párok halmazára. Mivel λ^{+} ⟶ (κ^{+})_{2}^{2} és n(G) ≤ κ ezért van olyan S ∈ [λ]^{κ^{+}}, hogy [x_{α}, x_{β}] = 1 ∀α, β ∈ S valamint a n(G) ≤ κ miatt ∃α ≠ β ∈ S, hogy [x_{α}x, x_{β}x] = 1, tehát az előző lemma alapján x_{α}C_{G}(x) = x_{β}C_{G}(x). □

5.14 Állítás Ha n(G) = κ végtelen számosság, akkor bfc(G) ≤ 2^{κ}.

Bizonyítás. Az (5.1)-ből következik, hogy (2^{κ})^{+} ⟶ (κ^{+})_{2}^{2}, így λ = 2^{κ} választással az előző lemma adja a kívánt eredményt. □

Megjegyezzük, hogy Tomkinson (5.4 tétel) eredményéből is következik az előző állítás, ugyanis a Zorn-lemma szerint g ∈ G esetén ∃H ⊂ G maximális nem-felcserélhető halmaz, amelyre g ∈ H és ekkor G = ∪_{h∈H}C_{G}(h) irredundáns fedés, továbbá |H| ≤ n(G) = κ, ennélfogva |G : C_{G}(g)| ≤ 2^{κ}. Megoldatlan az a probléma, hogy mennyire élesíthető ez az eredmény:

4 Probléma Igaz-e, hogy ha n(G) = κ végtelen számosság, akkor bfc(G) ≤ κ?

Faber, Laver és McKenzie 1978-ban ezzel kapcsolatban kérdezték, hogy

5 Probléma Igaz-e, hogy ha G csoportban n(G) = κ limeszszámosság, de nincs κ számosságú nem-felcserélhető halmaz, akkor bfc(G) ≤ κ és nincs κ méretű konjugáltosztály?

5.4. |G′| kapcsolata a |G : Z(G)|, |G : Z_{2}(G)|, és az a(G) mennyiségekkel

Az második fejezet példái alapján csak a következő esetekben van esélyünk kapcsolatot találnunk, azaz valamelyik mennyiséget egy másikkal becsülni:

• |G′| felső becslése |G : Z(G)|-vel

• |G′| felső becslése a(G)-vel

• |G : Z_{2}(G)| felső becslése |G′|-vel 5.15 Állítás Ha G csoport és |G : Z(G)| = κ végtelen számosság, akkor |G′| ≤ κ.

A bizonyításhoz felhasználunk egy alapvető lemmát:

5.16 Lemma Ha G csoport, H ⊂ G és |H| = κ végtelen számosság, akkor a H által generált részcsoport számossága | ⟨H⟩ | = κ.

Bizonyítás. Legyen H = {x_{α} | α < κ} ekkor ⟨H⟩ = {x_{i_{1}}^{α_{1}}x_{i_{2}}^{α_{2}} … x_{i_{n}}^{α_{n}} | α_{j} < κ, i_{j} egész }. Definiáljuk az f injekciót: f ⟶ [κ]^{<ω} = ∪_{n<ω}[κ]^{n} úgy, hogy

f(x_{i_{1}}^{α_{1}}x_{i_{2}}^{α_{2}} … x_{i_{n}}^{α_{n}}) = (x_{i_{1}}, α_{1}, x_{i_{2}}, α_{2}, … x_{i_{n}}, α_{n})

Mivel |[κ]^{<ω}| = κ, következik, hogy | ⟨H⟩ | = κ. □

Most már egyszerű az állítás bizonyítása:

Bizonyítás. Legyen {x_{γ} | γ < κ} a Z(G) egy mellékosztály reprezentáns rendszere, ekkor a kommutátorok K halmaza K = {[x_{α}, x_{β}] | α, β < κ}, tehát |K| = κ^{2} = κ. Mivel κ végtelen számosság és G′ = ⟨K⟩ ezért az előző lemma szerint |G′| = κ. □

5.17 Állítás Ha G csoport és a(G) = κ, akkor |G′| ≤ 2^{κ}.

Bizonyítás. Azonnal adódik a 5.5 tételből és az előző állításból, azonkívűl Tomkinson is bebizonyította 1985-ben. □

5.18 Állítás (2000) Ha G csoport és |G′| = κ végtelen számosság, akkor |G : Z_{2}(G)| ≤ 2^{κ}

Bizonyítás. A bizonyítás gondolatmenete hasonló a P. Hall-féle tétel bizonyításához (3.2 tétel). A (2.1) szerint ∀g ∈ G-re |G : C_{G}(g)| ≤ κ, továbbá ∀x ∈ G′ \ Z(G)-re ∃g_{x}, hogy x ∉ C_{G}(x). Legyen H = ∪Cl_{G}(g_{x}), ekkor |H| ≤ ∑_{g_{x}} |Cl_{G}g_{x}| ≤ |G′|bfc(G) = κ^{2} = κ. H konjugáltosztályok uniója, ezért az N = C_{G}(H) normálosztó, és |G : N| = |G : ⋂_{h∈H} C_{G}(h)| ≤ ∏_{h∈H} |G : C_{G}(h)| ≤ κ^{κ} = 2^{κ}. [N, G] ⊂ N ∩ G′ ⊂ Z(G), mivel H definíciója miatt N ∩ (G′ \ Z(G)) = ∅. Ennélfogva N ≤ Z_{2}(G), vagyis |G : Z_{2}(G)| ≤ |G : N| ≤ 2^{κ}. □

A 2.6 ill. 2.13 állítások mutatják, hogy az előző két egyenlőtlenség éles.

5.5. A kapcsolatok ábrázolása

A vizsgált mennyiségek segítségével elkészíthetünk ismét egy 6 × 6-os táblázatot hasonlóan, mint az első fejezetben. A táblázat sorainak ill. oszlopainak megfeleltetjük a mennyiségeinket és a táblázat i-dik sorának j-dik oszlopába írt a_{ij} elemet a következőképpen definiáljuk: Jelöljön κ egy végtelen számosságot,

a_{ij} := \{ \begin{matrix}f(κ) & ha a j-dik oszlop κ, akkor az i-dik sor legfeljebb f(κ) \\ 0, & ha az i-dik sor nem becsülhető felülről a j-dik oszloppal \end{matrix}

bfc(G) |G′| |G : Z(G)| |G : Z_{2}(G)| a(G) n(G)
bfc(G)  κ  κ  κ  0  κ  2^{κ}∗
|G′|  0  κ  κ  0  2^{κ}  0
|G : Z(G)|  0  0  κ  0  2^{κ}  0
|G : Z_{2}(G)|  0  2^{κ}  κ  κ  2^{κ}  0
a(G)  0  0  κ  0  κ  0
n(G)  0  0  κ  0  κ  κ

A táblázatból kitűnik, hogy a |G : Z(G)| majorálja az összes mennyiséget, még az a(G)- vel is jól becsülhető felülről a többi. Legkevesebb információt a |G : Z_{2}(G)| és a bfc(G) adja, hiszen ezek egyet sem korlátoznak felülről a többi mennyiségből. Az n(G) ill. a |G′| mennyiségekből 1 ill. 2 másik mennyiségre adható felső korlát. A vastag betűvel szedett értékek önálló eredmények. A csillag a táblázatban azt jelenti, hogy elképzelhető, hogy jobb korlát is írható az illető helyre, ez azonban jelenleg nem ismert.

Irodalomjegyzék

[1] E. A. Bertram, Some applications of graph theory to finite groups, Discrete Math. 44 (1983) 31–43

[2] M. Cartwright, The order of the derived group of a BFC-group, J. London Math. Soc. (2) 30 (1984), 227–243

[3] J. Cossey, T. Hawkes, On the largest conjugacy class size in a finite group, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 103 (2000), 171–179

[4] P. Erdős, A. Hajnal, A. Máté, R. Rado, Combinatorical Set Theory: partition relations for cardinals.

[5] V. Faber, R. Laver and R. McKenzie, Coverings of groups by abelian subgroups, Canad. J. Math 30 (1978), 933–945.

[6] R. M. Guralnick, On a result of Schur, J. Algebra 59 (1979), 302–310

[7] A. Hajnal, P. Hamburger, Halmazelmélet

[8] N. Jacobson, Basic Algebra I (Freeman, San Fransisco, 1974).

[9] I. D. Macdonald, Some explicit bounds in groups with finite derived groups, Proc. London Math. Soc (3) 11 (1961) 23–56

[10] B. H. Neumann, A problem of Paul Erdős on groups, J. Austral. Math. Soc. 21 (1976), 467–472.

[11] B. H. Neumann, Groups covered by finitely many cosets, Publ. Math. Debrecen 3 (1954), 227–242.

[12] P. M. Neumann, M. R. Vaughan-Lee, An essay on BFC groups, Proc. London Math. Soc. (3) 35 (1977) 213–237

[13] K. Podoski, Groups covered by an infinite number of Abelian subgroups, Combinatorica (1) 21 (2001) 1–3.

[14] K. Podoski, B. Szegedy, Bounds in groups with finite Abelian coverings or with finite derived groups, (előkészületben)

[15] L. Pyber, The number of pairwise non–commuting elements and the index of the center in a finite group, J. London Math. Soc. (2) 35 (1987), 287–295.

[16] Derek J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, Springer–Verlag, New York (1982).

[17] D. Segal, A. Shalev, On groups with bounded conjugacy classes, Quart. J. Math. Oxford (2), 50 (1999), 505–516

[18] S. Shelah, J. Stepräns, Extraspecial p-groups, Annals of Pure and Applied Logic 34 (1987), 87–97

[19] M. J. Tomkinson, Groups covered by abelian subgroups, Proceedings of Groups—St. Andrews 1985, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 121, Cambridge University Press, 1986, 332–334.

[20] M. J. Tomkinson, Groups covered by finitely many cosets or subgroups, Communications in Algebra 15 (4) (1987), 845–859.

[21] M. R. Waughan-Lee, Breadth and commutatorsubgroups of p-group, J. Algebra 32 (1974), 278–285

[22] J. Wiegold, Groups with boundedly finite classes of conjugate elements, Proc. Roy. Soc. London Ser A 238 (1956), 389–401

[23] J. Wiegold, Multiplicators and groups with finite central factor-groups, Math. Z. 89 (1965), 345–347