Prause István

Kvázikonform leképezések magasabb dimenzióban

SZAKDOLGOZAT

témavezető Halász Gábor

egyetemi tanár

ELTE-TTK

Tartalomjegyzék

Bevezetés 2 0.1. Jelölések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1. A modulus 4 1.1. Alaptulajdonságok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Becslések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Gyűrűk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Szimmetrizáció 14 2.1. Szférikus szimmetrizáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Kapacitás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3. Extremális gyűrűk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Kvázikonform leképezések 29 3.1. A definíció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2. Torzítási tételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3. Kiterjesztés a határra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.4. Konvergens sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Bevezetés

Konform leképezések számos tulajdonsága érvényben marad ha csak a kvázikonformitást követeljük meg – a gömbök infinitezimálisan olyan ellipszoidra képződjenek, amelyek nem nagyon lapulnak el (azaz a torzulás egyenletesen korlátos). Magasabb dimenzióban a konform leképezésekre nem igaz a Riemann alaptétel: Liouville tétele szerint n ≥ 3 dimenzióban alig van konform leképezés. Ezért magasabb dimenzióban még fontosabb szerepük van a kvázikonform leképezéseknek, helyettesíthetik a konformakat. Például egy golyó konform képe mindig golyó vagy féltér, míg kvázikonforman leképezhető egy olyan tartományra, aminek a külseje üres.

Grötzsch terület–ívhossz elvén alapul a modulus fogalma (másnéven az extremális hossz reciproka). Ezzel foglalkozunk általánosságban az első fejezetben és levezetünk néhány hasznos (kvalitatív) modulus becslést.

Éles becslésekhez nélkülözhetetlen a Gehring által bevezett szimmetrizáció technikája. A második fejezetben ezt tárgyaljuk Sarvas ([3]) alapján. Valamint két fontos speciális extremális gyűrű modulusára adunk becslést.

A harmadik fejezetben bevezetjük magát a kvázikonform leképezés fogalmát és az eddigi eredmények alapján vizsgáljuk néhány tulajdonságát: torzítás, kiterjesztés a határra, konvergencia.

A fő forrás Väisälä könyve ([1]) a témáról.

Ezúton is szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Halász Gábor tanár úrnak.

0.1. Jelölések

ℝ^{n} koordináta egységvektorait e_{1}, …, e_{n} jelöli, egy x pont koordinátáit x_{1}, …, x_{n}. Az euklideszi normát csak | · | jelöli. ℝ^{n−1} alatt, ha mást nem mondunk, az {x ∈ ℝ^{n} : x_{n} = 0} alteret értjük. Az ℝ^{n}-beli golyó, ill. a gömb jelölésére a szokásos B^{n} ill. S^{n−1}-t használjuk. ℝ̄^{n} = ℝ^{n} ∪ {∞} az ℝ^{n} tér egypontos kompaktifikációja.

Az n-dimenziós Lebesgue mérték m_{n}. Az S^{n−1} egységgömb felszínét ω_{n−1} jelöli. Egy differenciálható leképezés Jacobi determinánsa J_{f}(x) az f′(x) determinánsa.

Tartomány nyílt és összefüggő halmaz ℝ̄^{n}-ben, D (D′) mindig tartományt jelöl. Az f : D → D′ homeomorfizmus (kvázikonform leképezés) szituáció, azt jelenti hogy f homeomorfizmus (kvázikonform leképezés) a D és D′ tartományok között, azaz f D′-re képez. A tér dimenziójáról pedig hallgatólagosan mindig feltesszük, hogy legalább 2.

A görbe intervallum folytonos leképezése. Persze az intervallum átparaméterezésével keletkező görbét nem tekintjük különbözőnek. Egy görbe attól függően nyílt vagy zárt, hogy az intervallum nyílt vagy zárt.

Az ívhossz szerinti integrált ds-sel vagy | dx|-szel jelöljük. Zárt rektifikálható γ görbén egy ϱ : ℝ^{n} → ℝ ∪ {∞} nemnegatív Borel mérhető függvényre

∫_{γ} ϱ ds = ∫_{0}^{l(γ)} ϱ(γ_{0}(t)) dt,

ahol γ_{0} γ ívhossz szerinti reprezentációja. Lokálisan rektifikálható görbére pedig improprius integrálként definiáljuk.

Egy rektifikálható γ nyílt görbe egyértelműen kiterjeszthető γ^{∗} zárt görbévé: a rektifikálhatóság miatt létezik határértéke a végpontokban. Az ívhossz szerinti integrál ugyanaz marad: ∫_{γ} ϱ ds = ∫_{γ^{∗}} ϱ ds.

Felhasználunk néhány tételt.

0.1. tétel. Zárt rektifikálható γ : [a, b] → ℝ^{n} görbére az s ívhossz függvény pontosan akkor abszolút folytonos, ha γ az. Ekkor s′(t) = |γ′(t)| majdnem mindenütt és

∫_{0}^{l(γ)} ϱ(γ_{0}(t)) dt = ∫_{a}^{b} ϱ(γ(t))|γ′(t)| dt

minden nemnegatív ϱ Borel függvényre (γ_{0} az ívhossz szerinti reprezentáció).

0.2. tétel. Legyen f : U → ℝ^{m} folytonosan differenciálható leképezés. Legyen γ U-beli lokálisan rektifikálható görbe. Ekkor f ∘ γ is lokálisan rektifikálható, emellett

∫_{fγ} ϱ ds ≤ ∫_{γ} ϱ(f(x))∥f′(x)∥ | dx|

minden ϱ nemnegatív Borel függvényre.

Konform leképezés esetén itt egyenlőség van. Definíció. Legyenek D, D′ ⊂ ℝ^{n} tartományok. Egy f : D → D′ diffeomorfizmus konform leképezés ha |f′(x)h| = ∥f′(x)∥ |h| (h ∈ ℝ^{n}) minden x ∈ D-re. ℝ̄^{n}-beli tartományok közötti leképezésről pedig akkor mondjuk, hogy konform ha kihagyva ∞-t és ősképét konform. A deriváltra kirótt feltétel a síkon (irányítás-tartástól eltekintve) valóban a regularitást jelenti. A konformitás úgy is megfogalmazható, hogy ∥f′(x)∥^{n} = |J_{f}(x)| minden x ∈ D-re.

A legegyszerűbb konform leképezések a Möbius transzformációk. Ezek csoportját az eltolások, nyújtások, ortogonális leképezések, valamint a gömbre vonatkozó inverziók generálják. Liouville tétele szerint n ≥ 3 esetén nincs is más konform leképezés.

1. fejezet

A modulus

1.1. Alaptulajdonságok

Definíció. Legyen Γ görbesereg ℝ̄^{n}-ben. Erre nézve a ϱ : ℝ^{n} → ℝ ∪ ∞ nemnegatív Borelmérhető függvény megengedett, ha minden γ ∈ Γ lokálisan rektifikálható görbére ∫_{γ} ϱ ds ≥ 1. A görbesereg p-modulusa (p ≥ 1):

M_{p}(Γ) = inf_{ϱ} ∫_{ℝ^{n}} ϱ^{p} dm ,

ahol ϱ a megengedett függvényeken fut.

A megengedett függvényeket F (Γ)-val jelöljük. A legfontosabb p = n esetben elhagyjuk az n indexet a modulus jelölésében.

1.1. állítás. M_{p} külső mérték az ℝ̄^{n}-ben fekvő görbék terében, azaz

• M_{p}(∅) = 0

• Γ_{1} ⊂ Γ_{2} esetén M_{p}(Γ_{1}) ≤ M_{p}(Γ_{2})

• M_{p}(∪_{i=1}^{∞}Γ_{i}) ≤ ∑_{i=1}^{∞} M_{p}(Γ_{i})

Bizonyítás. Az első kettő nyilvánvaló, az üres görbeseregre nem jelent semmi feltételt a megengedettség, a tartalmazás esetén pedig a megengedettség a bővebb görbeseregre jelent erősebb feltételt. A harmadik tulajdonság igazolásához feltehetjük, hogy minden M_{p}(Γ_{i}) < ∞. ε > 0-hoz legyen ϱ_{i} ∈ F (Γ_{i}) olyan, hogy

∫ ϱ_{i}^{p} dm < M_{p}(Γ_{i}) + \frac{ε}{2^{i}}

Ekkor ϱ = (∑ ϱ_{i}^{p})^{\frac{1}{p}} ∈ F (Γ), ugyanis ϱ ≥ ϱ_{i}. Ezért

M_{p}(Γ) ≤ ∫ ϱ^{p} = ∑ ∫ ϱ_{i}^{p} dm < ε + ∑ M_{p}(Γ_{i})

ε → 0 adja az állítást.

Definíció. Legyenek Γ_{1} és Γ_{2} görbeseregek. Γ_{1} minorja Γ_{2}-nek (jelölésben Γ_{1} < Γ_{2}), ha minden γ ∈ Γ_{2} görbének van Γ_{1}-hez tartozó részgörbéje.

Azt mondjuk, hogy Γ_{2} kevesebb, de hosszabb, mint Γ_{1}. Modulusaikra M_{p}(Γ_{1}) ≥ M_{p}(Γ_{2}), hiszen a megengedett függvényekre fordított irányban áll fenn tartalmazási reláció. Γ_{1} ⊃ Γ_{2} esetén Γ_{1} < Γ_{2}. Definíció. Görbeseregek Γ_{1}, Γ_{2}, … sorozata szeparált, ha vannak olyan diszjunkt E_{i} Borelhalmazok, hogy γ ∈ Γ_{i} lokálisan rektifikálható görbére ∫_{γ}(1−χ_{i}) ds = 0, ahol χ_{i} az E_{i} halmaz karakterisztikus függvénye.

1.2. állítás. Legyen Γ_{1}, Γ_{2}, … szeparált görbesereg sorozat.

• ha Γ < Γ_{i} (minden i-re), akkor

M_{p}(Γ) ≥ ∑_{i=1}^{∞} M_{p}(Γ_{i})

• ha Γ_{i} < Γ (minden i-re), akkor p > 1 esetén

M_{p}(Γ)^{\frac{1}{1−p}} ≥ ∑_{i=1}^{∞} M_{p}(Γ_{i})^{\frac{1}{1−p}}

Bizonyítás. Legyenek E_{i}-k a szeparált görbesereghez tartozó diszjunkt Borel halmazok, χ_{i} karakterisztikus függvényekkel. ϱ ∈ F (Γ)-hoz definiáljuk ϱ_{i} = χ_{i}ϱ-t. Ezzel ϱ_{i} ∈ F (Γ_{i}), így

∑ M_{p}(Γ_{i}) ≤ ∑ ∫ ϱ_{i}^{p} dm = ∑ ∫_{E_{i}} ϱ^{p} dm ≤ ∫ ϱ^{p} dm

adja az első állítást.

A másodikhoz legyenek ϱ_{i} ∈ F (Γ_{i}) adottak. Ezekről feltehető, hogy mindegyik ϱ_{i} E_{i}-re koncentrált, ugyanis χ_{i}ϱ_{i} ∈ F (Γ_{i}) és χ_{i}ϱ_{i} ≤ ϱ_{i}. Tetszőleges a_{1}, a_{2}, …, ∑_{i=1}^{∞} a_{i} = 1 sorozatra ϱ = ∑ a_{i}ϱ_{i} ∈ F (Γ):

∫_{γ} ∑ a_{i}ϱ_{i} ds = ∑ a_{i} ∫_{γ} ϱ_{i} ds ≥ ∑ a_{i} ∫_{γ_{i}} ϱ_{i} ds ≥ ∑ a_{i} = 1 (γ ∈ Γ),

ahol γ_{i} ∈ Γ_{i} Γ_{i} < Γ-ből adódó részgörbéje γ-nak. Γ p-modulusára

M_{p}(Γ) ≤ ∫ ϱ^{p} dm = ∑ ∫_{E_{i}} ϱ^{p} dm = ∑ a_{i}^{p} ∫ ϱ_{i}^{p} dm

Innen kapjuk, hogy

M_{p}(Γ) ≤ ∑ a_{i}^{p}M_{p}(Γ_{i})  (1.1)

Feltehető, hogy M_{p}(Γ) > 0 (különben nincs mit bizonyítani), és így M_{p}(Γ_{i}) ≥ M_{p}(Γ) > 0 is. Valamint M_{p}(Γ_{i}) < ∞ is feltehető, mert az M_{p}(Γ_{i}) = ∞-nek megfelelő tagokoktól eltekinthetünk a bizonyítandó egyenlőtlenségben. Csak az első N tagot tekintve, feladatunk minimalizálni ∑_{i=1}^{N} a_{i}^{p}M_{p}(Γ_{i})-t a ∑_{i=1}^{N} a_{i} = 1 feltétel mellett. A Lagrange-féle multiplikátor elv alapján a_{i} = M_{p}(Γ_{i})^{\frac{1}{1−p}} S_{N}^{−1}-t célszerű választani, S_{N} = ∑_{i=1}^{N} M_{p}(Γ_{i})^{\frac{1}{1−p}}. Ekkor (1.1) szerint ezen a_{i}-kel (a_{i} = 0, i > N)

M_{p}(Γ) ≤ S_{N}^{−p} ∑_{i=1}^{N} M_{p}(Γ_{i})^{\frac{p}{1−p}} M_{p}(Γ_{i}) = ∑_{i=1}^{N} (M_{p}(Γ_{i})^{\frac{1}{1−p}} )^{1−p} ,

és N → ∞ igazolja az állítást.

Példák

Néhány speciális görbesereg modulusát könnyen ki tudjuk számítani. Vezessük be a következő jelölést: E, F és G ℝ̄^{n}-beli halmazokra Δ_{G}(E, F) jelölje az E-t F -fel G-ben összekötő görbék seregét (az egyik végpont E-ben a másik F -ben van, és különben a görbe G-ben halad).

A modulus felső becsléséhez csak egy megengedett függvényt kell találni, konstans függvény esetén

1.3. állítás. Tegyük fel, hogy egy Γ görbesereg görbéi a G Borel halmazban fekszenek, és hogy mindegyik hossza legalább h. Ekkor

M_{p}(Γ) ≤ \frac{m(G)}{h^{p}}

Az alsó becslés már lényegesebben nehezebb. A szokásos példákban a Hölder-egyenlőt-lenségből kaphatunk – felhasználva a Fubini-tételt – a megengedettségi feltételből becslést a modulusra.

Henger. Legyen E ⊂ {x ∈ ℝ^{n} : x_{n} = 0} Borel halmaz, h > 0. G = {x ∈ ℝ^{n} : (x_{1}, …, x_{n−1}, 0) ∈ E, 0 < x_{n} < h} egy henger E és F = E + he_{n} alapokkal. Modulusa az alapjait a hengerben összekötő görbesereg modulusa. Γ = Δ_{G}(E, F)

M_{p}(Γ) = \frac{m(G)}{h^{p}}

A felső becslést az előző állítás adja. Legyen most ϱ ∈ F (Γ) tetszőleges. Rögzített y ∈ E-re legyen γ_{y} ∈ Γ az y-ból kiinduló, E-t F -fel függőlegesen összekötő szakasz, γ_{y}(t) = y+te_{n} (0 ≤ t ≤ h). A Hölder-egyenlőtlenségből

1 ≤ (∫_{γ_{y}} ϱ ds)^{p} ≤ h^{p−1} ∫_{0}^{h} ϱ(y + te_{n})^{p} dt

y ∈ E-re integrálva Fubini tétele szerint

m_{n−1}(E) ≤ h^{p−1} ∫_{E} ∫_{0}^{h} ϱ(y + te_{n})^{p} dt dm_{n−1} = h^{p−1} ∫_{G} ϱ^{p} dm ≤ h^{p−1} ∫ ϱ^{p} dm

Ez minden ϱ megengedett függvényre igaz, így M_{p}(Γ) ≥ \frac{m_{n−1}(E)}{h^{p−1}} = \frac{m(G)}{h^{p}}.

Közönséges gyűrű. 0 < a < b < ∞, G = {x ∈ ℝ^{n} : a < |x| < b} közönséges gyűrű, amit E = S^{n−1}(a) és F = S^{n−1}(b) gömbfelszínek határolnak. Modulusa a Γ_{G} = Δ_{G}(E, F) görbesereg modulusa.

M(Γ_{G}) = ω_{n−1} log^{1−n}(\frac{b}{a})

y ∈ S^{n−1} egységvektorra legyen γ_{y} ∈ Γ_{G} az y irányú sugár G-be eső része, γ_{y}(t) = ty (a ≤ t ≤ b). Most a Hölder-egyenlőtlenség a következőt adja egy ϱ ∈ F (Γ_{G})-ra

1 ≤ (∫_{γ_{y}} ϱ ds)^{n} ≤ ∫_{a}^{b} ϱ^{n}(ty)t^{n−1} dt (∫_{a}^{b} t^{−1} dt)^{n−1} = log^{n−1}(\frac{b}{a}) ∫_{a}^{b} ϱ^{n}(ty)t^{n−1} dt

y ∈ S^{n−1} szerint integrálva

ω_{n−1} ≤ log^{n−1}(\frac{b}{a}) ∫ ϱ^{n} dm

adódik. ϱ(x) = _{\frac{1}{|x| log( \frac{b}{a})}}χ_{G} esetén egyenlőséggel. Ezen ϱ megengedett függvény, mert csak a sugár megváltozása szerinti integrálja γ ∈ Γ_{G} mentén már 1.

Az elfajult a = 0 esetben a Γ_{0} görbesereget tetszőleges a > 0 közönséges gyűrű minorálja (Γ_{G} < Γ_{0}), ezért

M(Γ_{0}) ≤ M(Γ_{G}) ≤ ω_{n−1} log^{1−n}(\frac{b}{a})

a → 0 adja, hogy M(Γ_{0}) = 0. Ugyanígy b = ∞ elfajult esetben.

Az előbbiekből kapjuk, hogy egy rögzített x_{0} ∈ ℝ̄^{n} ponton átmenő görbék Γ serege 0modulusú. Valóban álljon Γ_{i} az S(x_{0}, 1/i)-t (x_{0} = ∞ esetén S(0, i)-t) metsző Γ-beli görbékből. Ekkor Γ_{i}-t minorálja a megfelelő elfajult gömbgyűrű, M(Γ_{i}) = 0. Másrészt Γ = ∪Γ_{i}, M(Γ) ≤ ∑ M(Γ_{i}) = 0. Ebből az is látszik, hogy a nem korlátos görbék serege 0-modulusú, és minthogy a korlátos nem rektifikálható görbék serege is triviálisan az, kapjuk, hogy az n-modulus definíciójában elég a rektifikálható görbékre szorítkozni.

Technikai szempontból hasznos lesz néha Δ_{G}(E, F) helyett a nyílt görbékből álló végig G-ben futó Δ_{G}^{0}(E, F) görbéket tekinteni. Azt, hogy E-et és F -et összekötik, úgy értjük, hogy a görbe (mint képhalmaz) lezártja tartalmaz E és F -beli pontot is. A következő állítás szerint ezt valóban megtehetjük.

1.4. állítás. M(Δ_{G}^{0}(E, F)) = M(Δ_{G}(E, F))

Bizonyítás. Legyen Γ = Δ_{G}(E, F) és Γ_{0} = Δ_{G}^{0}(E, F). M(Γ_{0}) ≥ M(Γ), mert Γ_{0} < Γ. A fordított egyenlőtlenség bizonyításához felhasználjuk, hogy a teljes Γ_{0} helyett vehetjük csak a rektifikálható görbékből álló Γ′_{0} részét. Egy γ ∈ Γ_{0} rektifikálható görbe γ^{∗} zárt kiterjesztése metszi mind E-t, mind F -t, így van Γ-beli γ′ ⊂ γ^{∗} részgörbe. Ezért ϱ ∈ F (Γ)-ra

∫_{γ} ϱ ds = ∫_{γ^{∗}} ϱ ds ≥ ∫_{γ′} ϱ ds ≥ 1

Ami azt mutatja, hogy F (Γ) ⊂ F (Γ′_{0}), M(Γ_{0}) = M(Γ′_{0}) ≤ M(Γ).

Annak köszönhetően, hogy konform leképezés esetén a térfogat-torzítás az ívhossz-torzítás n-edik hatványa, az n-modulus konform invariáns.

1.1. tétel. f : D → D′ konform leképezésre és Γ D-ben fekvő görbeseregre

M(Γ) = M(fΓ)

Bizonyítás. Az előbbiek szerint feltehető, hogy sem Γ, sem fΓ nem tartalmaz ∞-n átmenő görbét. ϱ′ ∈ F (fΓ)-hoz definiáljuk ϱ(x) = ϱ′(f(x))∥f′(x)∥ x ∈ D, különben 0-nak. ϱ megengedett: ∫_{γ} ϱ ds = ∫_{fγ} ϱ′ ds ≥ 1 (γ ∈ Γ)

M(Γ) ≤ ∫ ϱ^{n} dm = ∫_{D} ϱ′(f(x))^{n}|J_{f}(x)| dm(x) = ∫_{D′} ϱ^{′n} dm ≤ ∫ ϱ^{′n} dm

Mert ∥f′(x)∥^{n} = |J_{f}(x)| abszolútértékben a Jacobi-determináns. Tehát M(Γ) ≤ M(fΓ), és fordítva is ezt f^{−1}-re alkalmazva.

1.2. Becslések

Az alábbiakban bizonyos szituációkban modulus becsléseket adunk, melyek hasznosak lesznek kvázikonform leképezések torzításának, határra való kiterjeszthetőségük vizsgálatára. Szükségünk lesz a Hardy–Littlewood–Pólya egyenlőtlenségre, először ezt tekintsük át.

Hardy–Littlewood–Pólya egyenlőtlenség

Legyen f : ℝ → ℝ korlátos, nemnegatív, mérhető függvény. Jelölje M(y) az [f ≥ y] nívóhalmaz mértékét. Az f szimmetrizáltja az f^{∗} : ℝ → ℝ f^{∗}(x) = inf{y : M(y) ≤ 2x} (x ≥ 0), f^{∗}(x) = f^{∗}(−x) (x < 0) definiált függvény. Mivel M : (0, ∞) → ℝ ∪ ∞ monoton fogy, és előbb-utóbb 0-vá válik, f^{∗} véges, nemnegatív és csökkenő (x ≥ 0). Látható, hogy f ≤ g-ből f^{∗} ≤ g^{∗} következik, ha pedig f(x) szigorúan fogy (x ≥ 0), folytonos és szimmetrikus, akkor f^{∗} = f.

Ha egy mérhető E halmaz karakterisztikus függvényét tekintjük, akkor χ_{E}^{∗} a (−\frac{m(E)}{2}, \frac{m(E}{2} ) intervallum karakterisztikus függvénye. Általánosabban legyen f egy lépcsős függvény, diszjunkt előállítása: f = ∑_{i=1}^{k} a_{i}χ_{A_{i}} (0 < a_{1} < a_{2} < … < a_{k}). A b_{i} = a_{i} − a_{i−1}, b_{1} = a_{1} és B_{i} = ∪_{j=1}^{k}A_{j} definicíókkal

f = ∑_{i=1}^{k} b_{i}χ_{B_{i}}

A szimmetrizáció f-et szimmetrikusan csökkenő sorrendbe rendezi, így

f^{∗} = ∑_{i=1}^{k} b_{i}χ_{A_{i}}^{∗}

1.2. tétel. Legyenek f és g korlátos, nemnegatív, mérhető függvények. Ekkor

∫_{ℝ} fg dm ≤ ∫_{ℝ} f^{∗}g^{∗} dm

Bizonyítás. f = χ_{E}, g = χ_{F} karakterisztikus függvényekre

∫ fg dm = m(E ∩ F) ≤ m(E) = ∫ f^{∗}g^{∗} dm

feltéve, hogy m(E) ≤ m(F).

Most tekintsünk lépcsős függvényeket. Legyen f = ∑ a_{i}f_{i} fenti alakú előállítás, ahol tehát f_{i} karakterisztikus függvény és f^{∗} = ∑ a_{i}f_{i}^{∗}. Hasonlóan állítsuk elő g-t, g = ∑ b_{i}g_{i}.

∫ fg dm = ∑ a_{i}b_{j} ∫ f_{i}g_{j} dm ≤ ∑ a_{i}b_{j} ∫ f_{i}^{∗}g_{j}^{∗} dm = ∫ f^{∗}g^{∗} dm

az előbbi eset szerint.

Általában pedig legyen (f_{i}) és (g_{i}) lépcsős függvények sorozata, melyek f_{i} ↗ f és g_{i} ↗ g. Ekkor

∫ fg dm = lim_{i→∞} ∫ f_{i}g_{i} dm ≤ lim sup_{i→∞} ∫ f_{i}^{∗}g_{i}^{∗} dm ≤ ∫ f^{∗}g^{∗} dm

Gömbsapka egyenlőtlenség

Általánosítjuk a modulus fogalmát hiperfelületeken fekvő görbeseregekre. Csak a gömb és a hipersík esetére lesz szükségünk. Jelölje ezt S. Definíció. Ha Γ S-en fekvő görbesereg, akkor ugyanúgy azon ϱ : S → ℝ ∪ ∞ nemnegatív Borel függvényeket hívjuk megengedettnek, amelyekre ∫_{γ} ϱ ds ≥ 1 (γ ∈ Γ lokálisan rektifikálható). Γ S-re vonatkozó p-modulusa

M_{p}^{S}(Γ) = inf_{ϱ} ∫_{S} ϱ^{p} dm_{n−1},

ahol ϱ a megengedett függvényeken fut, és m_{n−1} a felszíni integrál.

Gömbsapkán a gömb egy nyílt féltérrel vett metszetét értjük.

1.3. tétel. Legyen K az S r sugarú gömb egy sapkája. E és F diszjunkt, nemüres részhalmazai K̄-nak. Γ = Δ_{K}(E, F), ekkor

M_{n}^{S}(Γ) ≥ \frac{b_{n}}{r} ,

ahol b_{n} = 2^{−(n+1)}ω_{n−2} (∫_{0}^{∞} t^{− \frac{n−2}{n−1}} (1 + t^{2})^{− \frac{1}{n−1}} dt)^{1−n}, b_{2} = \frac{1}{2π} konstans.

Bizonyítás. Az n = 2 esetben K az S^{1}(x_{0}, r) egy íve, és van egy γ részíve, ami Γ-hoz tartozik. Egy ϱ megengedett függvényre, így

1 ≤ (∫_{γ} ϱ ds)^{2} ≤ ∫_{γ} ϱ^{2} ds ≤ 2πr ∫_{S} ϱ^{2} dm_{1}

a Cauchy–Schwarz egyenlőtlenség alapján. Tehát M_{2}^{S}(Γ) ≥ \frac{1}{2πr} = \frac{b_{2}}{r}.

Most tegyük fel, hogy n ≥ 3. Feltehető, hogy S = S^{n−1}(e_{n}/2, 1/2) és e_{n} ∈ E, mert az egyenlőtlenség invariáns a hasonlósági transzformációkra. Legyen f az S^{n−1}(e_{n}, 1)-re vonatkozó inverzió. Ennek segítségével átírjuk a feladatot ℝ^{n−1}-re. f S-et sztereografikusan leképezi ℝ̄^{n−1}-re, S \ K képe zárt golyó vagy zárt féltér (vagy üres). Még azt is feltehetjük, hogy a = αe_{1} ∈ f(F) (α ≥ 0). Van egy G n − 2 dimenziós nyílt félgömb, hogy a + ty ∈ f(K) (y ∈ G, t > 0). Legyen γ_{y}(t) = f(a + ty) ∈ S (0 ≤ t ≤ ∞). γ_{y} ∈ Γ (y ∈ G), ezért

1 ≤ ∫_{γ_{y}} ϱ ds = ∫_{0}^{∞} \frac{ϱ(f(a + ty))}{1 + |a + ty|^{2}} dt

Felhasználva, hogy ∥f′(x)∥ = \frac{1}{1+|x|^{2}} . Integrálva y ∈ G-re

\frac{ω_{n−2}}{2} ≤ ∫_{H} \frac{ϱ(f(x))}{|x − a|^{n−2}(1 + |x|^{2})} dm_{n−1}(x),

ahol H egy féltér ℝ^{n−1}-ben. A Hölder-egyenlőtlenségből

(\frac{ω_{n−2}}{2} )^{n} ≤ ∫_{H} \frac{ϱ(f(x))^{n}}{(1 + |x|^{2})^{n−1}} dm_{n−1}(x) (∫_{H} |x − a|^{− \frac{n(n−2)}{n−1}} (1 + |x|^{2})^{− \frac{1}{n−1}} dm_{n−1}(x))^{n−1}

Az első integrál

∫_{H} \frac{ϱ(f(x))^{n}}{(1 + |x|^{2})^{n−1}} dm_{n−1}(x) = ∫_{f(H)} ϱ^{n} dm_{n−1} ≤ ∫_{S} ϱ^{n} dm_{n−1}  (1.2)

A második I integrál becsléséhez H helyett az egész ℝ^{n−1}-en integrálva

I ≤ ∫_{ℝ^{n−2}} ∫_{−∞}^{∞} |z + (u − α)e_{1}|^{− \frac{n(n−2)}{n−1}} (1 + |z + ue_{1}|^{2})^{− \frac{1}{n−1}} du dm_{n−2}(z),

ahol ℝ^{n−2} = {x : x_{1} = x_{n} = 0} ⊂ ℝ^{n−1}. Rögzített z ∈ ℝ^{n−2}-re felülről becsüljük a belső integrált a Hardy–Littlewood–Pólya szimmetrizáció alapján. Az f_{z}(u) = |z + (u − α)e_{1}|^{− \frac{n(n−2)}{n−1}} , g_{z}(u) = (1 + |z + ue_{1}|^{2})^{− \frac{1}{n−1}} függvények — z ≠ 0 esetén — nemnegatív, korlátos, folytonos függvények. g_{z} szimmetrikus az origóra és tőle jobbra szigorúan monoton fogy, f_{z}-vel is ez a helyzet az origó helyett u = α-val. Szimmetrizáltjaik tehát f_{z}^{∗}(u) = |z + ue_{1}|^{− \frac{n(n−2)}{n−1}} , g_{z}^{∗}(u) = g_{z}(u).

I ≤ ∫_{ℝ^{n−2}} ∫_{−∞}^{∞} f_{z}^{∗}g_{z}^{∗} dm_{1} dm_{n−2}(z) = ∫_{ℝ^{n−1}} |z|^{− \frac{n(n−2)}{n−1}} (1 + |z|^{2})^{− \frac{1}{n−1}} dm_{n−1}(z) =
= ω_{n−2} ∫_{0}^{∞} t^{− \frac{n−2}{n−1}} (1 + t^{2})^{− \frac{1}{n−1}} dt

Ezt az (1.2) egyenlőtlenséggel összevetve

∫_{S} ϱ^{n} dm_{n−1} ≥ 2b_{n},

minden megengedett ϱ-ra, így M_{n}^{S}(Γ) ≥ 2b_{n} = \frac{b_{n}}{r}.

A K = S esetben élesíthetjük az egyenlőtlenséget:

1.4. tétel. Legyenek E és F diszjunkt, nemüres részhalmazai S = S^{n−1}(x_{0}, r)-nek. Γ = Δ_{S}(E, F)-val

M_{n}^{S}(Γ) ≥ \frac{c_{n}}{r} ,

ahol c_{n} = 2^{n}b_{n}. Két átellenes pont esetén egyenlőséget kapunk.

Bizonyítás. Az előző bizonyításban a G félgömb helyett vehetjük az egészet, ez adja a 2^{n} szorzót.

Az élességet pedig S = S^{n−1}(e_{n}/2, 1/2), E = {0}, F = {e_{n}} esetén a

ϱ(f(x)) = a_{n}|x|^{− \frac{n−2}{n−1}} (1 + |x|^{2})^{\frac{n−2}{n−1}}

függvény bizonyítja (a_{n} alkalmas konstans, f az előző bizonyításbeli sztereografikus projekció).

1.5. tétel. Tegyük fel, hogy E és F diszjunkt halmazok metszik S^{n−1}(t)-t (a < t < b). G tartalmazza a {x : a < |x| < b} gömbgyűrűt. Ekkor Γ = Δ_{G}(E, F)-vel

M(Γ) ≥ c_{n} log \frac{b}{a}

Bizonyítás. a < t < b-re legyen Γ_{t} = Δ_{S(t)}(E ∩S(t), F ∩S(t)). Tetszőleges ϱ ∈ F (Γ) függvény ϱ|_{S(t)} leszűkítése megengedett Γ_{t}-re nézve. Az előző tétel alapján

∫ ϱ^{n} dm ≥ ∫_{a}^{b} ∫_{S(t)} ϱ^{n} dm_{n−1} dt ≥ ∫_{a}^{b} M_{n}^{S(t)}(Γ_{t}) dt ≥ c_{n} log \frac{b}{a}

1.3. Gyűrűk

Definíció. Egy R ⊂ ℝ̄^{n} tartomány gyűrű ha kétszeresen összefüggő, azaz ℝ̄^{n}-re vonatkozó komplementumának pontosan két összefüggőségi komponense van. Ha a két komponens C_{0} és C_{1}, akkor a gyűrűt így jelöljük R(C_{0}, C_{1}). R-en, mint ponthalmazon a tartományt értjük.

Legegyszerűbb példa gyűrűre a közönséges gömbgyűrű. Ismeretes, hogy a síkon a közönséges gyűrűk konform ekvivalencia erejéig minden gyűrűt reprezentálnak. Sugaraik hányadosa a gyűrű konform invariánsa. Ez magasabb dimenzióban nincs így, de a modulus segítségével itt is definiálhatunk konform invariánst. Definíció. Egy R = R(C_{0}, C_{1}) gyűrű modulusa, a Γ_{R} = Δ_{R}(C_{0}, C_{1}) görbesereg modulusa

M(A) = M(Δ_{R}(C_{0}, C_{1}))

Láttuk, hogy a közönséges a < |x| < b gyűrű modulusa ω_{n−1} log^{1−n}(b/a). Egy gyűrű határának is két komponense van, nevezetesen B_{0} = C_{0} ∩R̄ és B_{1} = C_{1} ∩R̄. Ezeket összekötő görbesereggel is definiálhattuk volna a gyűrű-modulust.

1.5. állítás. Legyen R = R(C_{0}, C_{1}) gyűrű B_{0} és B_{1} határkomponensekkel. Ekkor M(R) megegyezik a következő görbeseregek modulusával

Γ_{1} = Δ_{R}(B_{0}, B_{1}) Γ_{2} = Δℝ̄^{n}(B_{0}, B_{1}) Γ_{3} = Δ_{ℝ^{n}}(B_{0}, B_{1})
Γ_{4} = Δ_{R}^{0}(B_{0}, B_{1}) Γ_{5} = Δℝ̄^{n}(C_{0}, C_{1}) Γ_{6} = Δ_{ℝ^{n}}(C_{0}, C_{1})

Bizonyítás. Egyszerűen Γ_{1} = Γ_{R}. Γ_{1} ⊂ Γ_{2} > Γ_{1} és Γ_{R} ⊂ Γ_{5} > Γ_{R} miatt M(Γ_{1}) = M(Γ_{2}) és M(Γ_{R}) = M(Γ_{5}). A végtelenen átmenő görbéktől eltekinthetünk (3,6). Az 1.4 állítás szerint pedig M(Γ_{4}) = M(Γ_{1}).

1.6. állítás. Legyenek R = R(C_{0}, C_{1}) és R′ = R′(C′_{0}, C′_{1}) gyűrűk. Ha R bővebb R′-nél, ami alatt azt értjük, hogy C_{0} ⊂ C′_{0} és C_{1} ⊂ C′_{1}, akkor M(R) ≤ M(R′).

Bizonyítás. Az előző 5-ös görbesereggel Γ_{R}^{5} ⊂ Γ_{R′}^{5}.

1.7. állítás. Egy R gyűrűre M(R) mindig véges.

Bizonyítás. Legyen R = R(C_{0}, C_{1}), feltehető, hogy C_{0} korlátos. h < d(C_{0}, C_{1})-val definiáljuk ϱ-t C_{0} h sugarú környezetén azonosan 1/h-nak, különben pedig ϱ legyen 0. ϱ ∈ F (Γ_{R}), így M(R) ≤ ∫ ϱ^{n} dm < ∞.

A következő fejezetben – a Teichmüller gyűrű extremalitása folytán – látni fogjuk, hogy minden olyan R = R(C_{0}, C_{1}) gyűrűre, amelyre 0, a ∈ C_{0} és b, ∞ ∈ C_{1}, ahol |a| = 1, |b| = r, M(R) ≥ τ_{n}(r).

1.6. tétel. τ_{n} : (0, ∞) → ℝ a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

• τ_{n} monoton fogy

• lim_{r→∞} τ_{n}(r) = 0

• lim_{r→0} τ_{n}(r) = ∞

• τ_{n}(r) > 0 (r > 0)

Szférikus metrika. Mivel nem akarjuk megkülönböztetni a ∞-t, vezessünk be metrikát az egész ℝ̄^{n}-en a sztereografikus projekció segítségével. Majd erre fogalmazzuk át erre az iménti modulus becslést.

Definíció. a, b ∈ ℝ̄^{n} gömbi távolsága q(a, b) = |f(a) − f(b)|, ahol f : ℝ̄^{n} → S^{n}(e_{n+1}/2, 1/2) ⊂ ℝ^{n+1} sztereografikus projekció:

f(x) = e_{n+1} + \frac{x − e_{n+1}}{|x − e_{n+1}|^{2}}

Természetesen ez a topológiát nem változtatja meg. Mindig teljesülnek a q(a, b) ≤ |a − b|, q(a, b) ≤ 1 egyenlőtlenségek. A metrika konkrétan a, b ∈ ℝ^{n}-re

q(a, b) = |a − b|(1 + |a|^{2})^{− \frac{1}{2}} (1 + |b|^{2})^{− \frac{1}{2}} q(a, ∞) = (1 + |a|^{2})^{− \frac{1}{2}}

Azon Möbius transzformációkat melyek megőrzik a q metrikát szférikus izometriának hívjuk. Ezek tranzitívan hatnak ℝ̄^{n}-en, tetszőleges pontot elvihetünk egy előírtba, ugyanis ezt az S^{n}-en egy forgatással megtehetjük.

Adott 0 < r ≤ 1-re tekintsük azon R = R(C_{0}, C_{1}) gyűrűket, melyre q(C_{0}) ≥ r, q(C_{1}) ≥ r. Ezekre a gyűrűkre véve az infimumot legyen κ_{n}(r) = inf M(R).

1.7. tétel. κ_{n} : (0, 1] → ℝ rendelkezik a következő tulajdonságokkal:

• κ_{n} monoton nő

• lim_{r→0} κ_{n}(r) = 0

• κ_{n}(r) > 0 (0 < r ≤ 1)

Bizonyítás. Az első két tulajdonság triviális: r < s esetén kevesebbet kötünk ki a gyűrűkről. A második meg csak annyit mond, hogy van olyan nem elfajult gyűrű (azaz komplementumának egyik komponense sem egyelemű), amelyik modulusa tetszőlegesen kicsi. Választhatunk pl. ilyen közönséges gyűrűt.

A harmadik bizonyításához legyen R = R(C_{0}, C_{1}) olyan, hogy alkalmas a, b ∈ C_{0} és c, d ∈ C_{1} pontokkal q(a, b) ≥ r és q(c, d) ≥ r. Egy szférikus izometria alkalmazásával feltehetjük, hogy d = ∞. Ekkor az 1.6 tétel szerint M(R) ≥ τ_{n}(\frac{|c−a|}{|b−a|}). Azt kell még belássuk, hogy \frac{|c−a|}{|b−a|} nem lehet akármilyen nagy. Feltéve, hogy |a| ≤ |b|

r ≤ q(a, b) = |a − b|(1 + |a|^{2})^{− \frac{1}{2}} (1 + |b|^{2})^{− \frac{1}{2}} ≤ \frac{|a − b|}{1 + |a|^{2}}

és

r ≤ q(c, ∞) = (1 + |c|^{2})^{− \frac{1}{2}} ≤ \frac{1}{|c|}

Vagyis valóban

\frac{|c − a|}{|b − a|} ≤ \frac{1 + r|a|}{r^{2}(1 + |a|^{2})} ≤ u(r) = max_{0≤t} \frac{1 + rt}{r^{2}(1 + t^{2})} < ∞

Most még kössük ki azt is az R = R(C_{0}, C_{1}) gyűrűre, hogy q(C_{0}, C_{1}) ≤ t a q(C_{0}) ≥ r, q(C_{1}) ≥ r feltételek mellett. Ekkor jelölje az infimumot κ_{n}(r, t) = inf M(R). Tehát κ_{n}(r, 1) = κ(r).

1.8. tétel. A κ_{n}(r, t) (0 < r, t ≤ 1) függvény rendelkezik a következő tulajdonságokkal:

• r-ben monoton növő

• t-ben monoton fogy

• κ_{n}(r, t) ≥ κ_{n}(r) > 0

• lim_{t→0} κ_{n}(r, t) = ∞ minden r-re

Bizonyítás. Az első kettő triviális, a harmadik pedig a monotonitásból és az előző tételből következik. Az utolsó állítás bizonyításához tegyük fel, hogy t < r/4 és vegyünk egy (r, t) -hez tartozó R = R(C_{0}, C_{1}) gyűrűt. Először vegyünk a ∈ C_{0}-t és c ∈ C_{1}-et, hogy q(a, c) ≤ t, majd b ∈ C_{0}-t és d ∈ C_{1}-t, hogy q(a, b) ≥ r/2 és q(c, d) ≥ r/2. Megintcsak feltehetjük, hogy d = ∞. Ekkor M(R) ≥ τ_{n}(\frac{|c−a|}{|b−a|}).

1/|c| ≥ q(c, ∞) ≥ r/2 és 1/|a| ≥ q(a, ∞) ≥ q(c, ∞) − q(a, c) ≥ r/2 − t ≥ r/4,

|c − a| = q(a, c)(1 + |a|^{2})^{\frac{1}{2}} (1 + |c|^{2})^{\frac{1}{2}} ≤ t (1 + \frac{16}{r^{2}})

Másrészt |b − a| ≥ q(a, b) ≥ r/2, vagyis

M(R) ≥ τ_{n} (\frac{2t}{r} (1 + \frac{16}{r^{2}}))

Ami azt jelenti, hogy κ_{n}(r, t) ≥ τ_{n}(\frac{2t}{r}(1+ \frac{16}{r^{2}})) (t < r/4). Az állítás adódik a lim_{s→0} τ_{n}(s) = ∞ határértékből.

Szimmetrizáció

A modulus fontos tulajdonsága, hogy gyűrűk bizonyos szimmetrizációja során nem nő. Az első ilyen eredményeket szférikus, és pont szimmetrizációra Gehring adta [2]. Mi az 1-dimenziós szférikus szimmetrizációra bizonyítjuk ezt be Sarvas cikke alapján [3]. Ehhez a gyűrű–modulus egy ekvivalens – kapacitásnak nevezett – definíciójával dolgozunk.

Ebben a fejezetben gyűrű alatt olyan gyűrűt értünk, ami ⊂ ℝ^{n}, azaz a végtelent nem tartalmazza. Az R = R(C_{0}, C_{1}) jelölésen pedig azt, hogy ℝ̄^{n} \ R korlátos komponense C_{0}, míg a másik C_{1} ∪ {∞}.

2.1. Szférikus szimmetrizáció

A Steiner szimmetrizációhoz analóg módon definiáljuk a szférikus szimmetrizációt. Csak 1dimenziós szférikus szimmetrizációval foglalkozunk. Csupán szimmetrizáció alatt is ezt értjük.

Legyen T ⊂ ℝ^{n} hipersík, T_{s} egy zárt félhipersíkja, J legyen T_{s} határa T -re vonatkozóan. A következő körökön fogunk szimmetrizálni

K(z, r) = \{ \begin{matrix}\{z\} & ha r = 0, \\ S^{n−1}(z, r) ∩ M(z) & különben \end{matrix}

ahol M(z) a z-n átmenő J-re merőleges sík. Egy A ⊂ ℝ^{n} nyílt vagy zárt halmazra definiáljuk Ã szimmetrizáltját. K(z, r) ∩ Ã legyen K(z, r) olyan K(z, r) ∩ T_{s} középpontú íve, amelyre m_{1}(K(z, r) ∩ Ã) = m_{1}(K(z, r) ∩ A. Az ív attól függően legyen nyílt vagy zárt, hogy A nyílt vagy zárt. Ezentúl K(z, r)∩Ã akkor és csak akkor legyen az egész kör vagy üres, ha K(z, r)∩A az.

A szimmetrizált Ã szimmetrikus T -re. Világos, hogy a szimmetrizáció monoton halmazfüggvény és megtartja a korlátos halmazokat. J-t hívjuk a szimmetrizáló tengelynek.

2.1. állítás. Az 1-dimenziós szférikus szimmetrizáció kívülről és belülről is folytonos. Vagyis monoton növő G_{i} nyílt halmazokból álló sorozatra és monoton fogyó F_{i} zárt halmazokból álló sorozatra

˜∪G_{i} = ∪G̃_{i},  ˜∩F_{i} = ∩F̃_{i}

Bizonyítás. Az állítás a mérték folytonosságából következik. Legyen G = ∪G_{i}. Azt kell igazolnunk, hogy minden K szimmetrizáló körre K∩G̃ = K∩(∪G̃_{i}). Feltehető, hogy K∩G ≠ ∅ és K ⊄ G, vagyis K ∩ G̃ ≠ K nyílt ív és minden K ∩ G̃_{i} egy koncenrtikus nyílt részíve. Azaz K ∩(∪G̃_{i}) is egy ilyen koncentrikus nyílt részív. Nem valódi részív, mert hosszuk megegyezik:

m_{1}(K ∩ G̃) = m_{1}(K ∩ G) = lim m_{1}(K ∩ G_{i}) = lim m_{1}(K ∩ G̃_{i}) = m_{1}(K ∩ (∪G̃_{i})

Hasonlóan bizonyítható a kívülről való folytonosság is.

2.1. lemma. Legyen F zárt halmaz. Ekkor minden q > 0-ra

F̃ + qB̄^{n} ⊂ { \atop F + qB̄^{n}}

Bizonyítás. Egy K(z_{0}, r_{0}) kör (mérhető) részhalmazain legyen φ a szögmérték, φ(A) = \frac{m_{1}(A)}{r_{0}}. Jelöljük egy A ⊂ K halmaz θ szögű környezetét p_{θ}(A)-val (θ ≤ π):

p_{θ}(A) = {x ∈ K : ∃y ∈ A, hogy x − z_{0} és y − z_{0} közti szög ≤ θ}

Tekinstünk tehát egy 1-dimenziós szférikus szimmetrizációt, J tengellyel. Legyen x_{0} ∈ F̃ tetszőleges. K(z_{0}, r_{0}) (z_{0} ∈ J, r_{0} ≥ 0) a szimmetrizáló kör x_{0}-n keresztül.

A = K(z_{0}, r_{0}) ∩ F, A^{∗} = K(z_{0}, r_{0}) ∩ F̃

jelölésekkel elegendő igazolnunk, hogy A^{∗} + qB̄^{n} ⊂ { \atop A + qB̄^{n}}. Természetesen feltehető, hogy r_{0} > 0. Tekintsünk most egy K(z, r) (z ∈ J, r ≥ 0) szimmetrizáló kört. Ekkor tehát

I = K(z, r) ∩ { \atop (A + qB̄^{n})}, I^{∗} = K(z, r) ∩ (A^{∗} + qB̄^{n})

(esetleg elfajult) zárt ívekkel I^{∗} ⊂ I a bizonyítandó. Mivel koncentrikusak, ez annyit jelent, hogy φ(I^{∗}) ≤ φ(I). Feltehető, hogy r > 0 és az is hogy |z − z_{0}|^{2} + |r − r_{0}|^{2} ≤ q^{2}, különben I = I^{∗} = ∅.

Képezzük le K(z_{0}, r_{0})-t K(z, r)-re hasonlósági transzformációval:

f(x) = z + \frac{r}{r_{0}} (x − z_{0}) (x ∈ K(z_{0}, r_{0}))

Világos, hogy φ(f(A)) = φ(A), p_{θ}(f(A)) = f(p_{θ}(A)). K(z, r) ∩ (A + qB̄^{n}) pedig f(A) egy θ szögű környezete K(z, r)-ben. Nevezetesen θ = \frac{1}{2}φ(K(z, r) ∩ B̄^{n}(x_{0}, q)). Ezek alapján

φ(I) = φ(K(z, r)∩{ \atop A + qB̄^{n}}) = φ(K(z, r)∩(A+qB̄^{n})) = φ(p_{θ}(f(A)) = φ(f(p_{θ}(A)) = φ(p_{θ}(A))

Hasonlóan

φ(I^{∗}) = φ(K(z, r) ∩ (A^{∗} + qB̄^{n})) = φ(p_{θ}(A^{∗}))

Itt a szimmetrizáció definíciója alapján A^{∗} egy zárt ív és φ(A^{∗}) = φ(A). A bizonyítandó φ(I^{∗}) ≤ φ(I) következik tehát a következő állításból.

2.2. állítás. Legyen A ⊂ K zárt halmaz (K egy kör). I_{A} legyen egy zárt ív, melyre φ(I_{A}) = φ(A). Ekkor

φ(p_{θ}(I_{A})) ≤ φ(p_{θ}(A))

Bizonyítás. Az A = K eset triviális, különben K \ A megszámlálható sok diszjunkt nyílt I_{1}, I_{2}, … ívből áll. Ha mindegyik φ(I_{i}) ≤ 2θ, akkor p_{θ}(A) = K; az állítás teljesül. Ha pedig egy ívre φ(I_{i}) > 2θ, akkor – φ(A) = φ(I_{A}) < 2π − 2θ figyelembevételével – p_{θ}(A) mértéke legalább, míg p_{θ}(I_{A})-é pontosan 2θ-val nő.

φ(p_{θ}(A)) ≥ φ(A) + 2θ = φ(p_{θ}(I_{A}))

2.3. állítás. A szimmetrizáció nyílt és zárt leképezés, azaz nyílt halmaz szimmetrizáltja nyílt, zárt halmazé zárt.

Bizonyítás. Legyen G ≠ ∅ nyílt. Állítsuk elő korlátos nyílt G_{1}, G_{2}, … halmazok uniójaként, hogy Ḡ_{i} ⊂ G. A belülről való folytonosság szerint G̃ = ∪G̃_{i}. Legyen x ∈ G̃. Létezik olyan G_{i} és r > 0 szám, hogy x ∈ G̃_{i} és Ḡ_{i} + rB̄^{n} ⊂ G. A 2.1 lemma szerint

G̃ ⊃ { \atop G_{i} + rB̄^{n}} ⊃ G̃_{i} + rB̄^{n} ⊃ \{x\} + rB̄^{n}

A szimmetrizáció valóban nyílt leképezés.

Egy szimmetrizáció komplementer leképezése szintén szimmetrizáció, ugyanazzal a tengellyel és T hipersíkkal, csak T_{s} a másik félhipersík. Ezt nevezzük a komplementer szimmetrizációnak. Azaz A^{c} szimmetrizáltjának komplementerét A-nak a komplementer szimmetrizációnál vett szimmetrizáltja adja. Az előzőekben beláttuk, hogy minden szimmetrizáció nyílt, ezek szerint minden szimmetrizáció zárt is.

2.4. állítás. Ha A összefüggő, akkor Ã is. Ha ℝ̄^{n} \ A összefüggő, akkor ℝ̄^{n} \ Ã is.

Bizonyítás. Legyen a szimmetrizáció a T_{s} félhipersíkkal megadva. x ∈ ℝ^{n}-re jelöljük K(x)- szel az x-n átmenő szimmetrizáló kört. Definiáljuk az f : ℝ^{n} → T_{s} folytonos leképezést, f(x) legyen a K(x) ∩ T_{s} pont. Legyen a ∈ A-ra S_{a} = (K(a) ∩ Ã) ∪ f(A). Ha A összefüggő akkor f(A) is, mivel K(a)∩Ã is, és metszetük nemüres (K(a)∩Ã∩f(A) = {f(a)}) kapjuk, hogy S_{a} is összefüggő. Ã is összefüggő, mert összefüggő halmazok uniója, melyek közös része nemüres: Ã = ∪_{a∈A}S_{a}, ∩_{a∈A}S_{a} = f(A).

A másik esetben a komplementer szimmetrizációt tekintjük. Ügyelnünk kell arra is, hogy a komplementer képzéshez hozzá kell vennünk a ∞-t.

ℝ̄^{n} \ Sym(A) = {∞} ∪ (Sym(A))^{c} = {∞} ∪ Sym_{c}(A^{c})

Ahol most Sym-mel jelöltük az eredeti szimmetrizációt és Sym_{c}-vel a komplementer szimmetrizációt. A T′_{s} = \overline{T \ T_{s}} a Sym_{c}-t definiáló félhipersík. A szimmetrizáló K(x) körök ugyanazok, mint előbb. Definiáljuk most az f_{c} : ℝ^{n} → ℝ^{n} folytonos leképezést a következőképp:

{f_{c}(x)} = K(x) ∩ T′_{s} (x ∈ ℝ^{n}), f_{c}(∞) = ∞

ℝ̄^{n} \ A összefüggőségéből f_{c}(ℝ̄^{n} \ A) = {∞} ∪ f_{c}(A^{c}) összefüggő. Ugyanúgy mint az imént kapjuk, hogy S′_{a} = (K(a) ∩ Sym_{c}(A^{c})) ∪ f_{c}(ℝ̄^{n} \ A) (a ∈ A^{c}) összefüggő. ℝ̄^{n} \ Sym(A) = ∪_{a∈A^{c}}S′_{a} ugyancsak összefüggő, ahogyan az előbb.

Gyűrű, függvény szimmetrizáltja

Egy R = R(C_{0}, C_{1}) gyűrű R^{∗} szimmetrizáltját a következőképp definiáljuk: R^{∗} = { \atop R ∪ C_{0}}\C̃_{0}. Mivel a szimmetrizáció nyílt és zárt leképezés, R^{∗} nyílt, a 2.4 állítás szerint komplementerének pontosan két összefüggő komponense van. Valójában R^{∗} gyűrű, de R^{∗} összefüggőségét a továbbiakban – a szimmetrizációs egyenlőtlenség bizonyításához – nem fogjuk felhasználni.

Legyen u : ℝ^{n} → ℝ folytonos függvény. F_{a} = [u ≤ a], G_{a} = [u < a] nívóhalmazok. Az u függvény szimmetrizáltja u^{∗} : ℝ^{n} → ℝ, u^{∗}(x) = inf{a ∈ ℝ : x ∈ F̃_{a}} (az infimum véges).

2.2. lemma. Minden a ∈ ℝ-re

[u^{∗} ≤ a] = F̃_{a}, [u^{∗} < a] = G̃_{a}

Bizonyítás. Legyen F_{a}^{∗} = [u^{∗} ≤ a], F̃_{a} ⊂ F_{a}^{∗} u^{∗} definíciója folytán. Tegyük fel, hogy x ∈ F_{a}^{∗}, azaz u^{∗}(x) ≤ a, x ∈ F̃_{b} (b > a). Egy monoton fogyó a-hoz tartó b_{i} sorozattal a kívülről való folytonosság alapján

x ∈ ∩F̃_{b_{i}} = ˜∩F_{b_{i}} = F̃_{a}

A fordított F_{a}^{∗} ⊂ F̃_{a} tartalmazás is teljesül. A belülről való folytonosság alapján egy monoton növő a-hoz tartó b_{i} sorozatra

G̃_{a} = { \atop ∪G_{b_{i}}} ∪ G̃_{b_{i}} = ∪F̃_{b_{i}} = ∪[u^{∗} ≤ b_{i}] = [u^{∗} < a]

Ez alapján u^{∗} folytonos. Megmutatjuk, hogy Lipschitz folytonos függvény szimmetrizáltja is Lipschitz.

2.3. lemma. Legyen u : ℝ^{n} → ℝ Lipschitz folytonos: |u(x_{1}) − u(x_{2})| ≤ M|x_{1} − x_{2}| (x_{1}, x_{2} ∈ ℝ^{n}). Ekkor u^{∗} is Lipschitz, ugyanazzal a konstanssal,

|u^{∗}(x_{1}) − u^{∗}(x_{2})| ≤ M|x_{1} − x_{2}| (x_{1}, x_{2} ∈ ℝ^{n})

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy u^{∗}(x_{2}) ≥ u^{∗}(x_{1}) = a. Azt kell bebizonyítanunk, hogy u^{∗}(x_{2}) ≤ a+Md, ahol d = |x_{1}−x_{2}| > 0. u Lipschitz folytonossága szerint [u ≤ a+Md] ⊃ [u ≤ a]+dB̄^{n}. Ekkor az előző és a 2.1 lemma szerint

[u^{∗} ≤ a + Md] = { \atop [u ≤ a + Md]} ⊃ { \atop [u ≤ a] + dB̄^{n}} ⊃ { \atop [u ≤ a]} + dB̄^{n} = [u^{∗} ≤ a] + dB̄^{n}

Az utóbbi halmaznak eleme x_{2}, így az állítás teljesül.

2.2. Kapacitás

Definíció. Egy u : U → ℝ (U ⊂ ℝ^{n} nyílt) függvény vonalakon abszolút folytonos (ACL), ha folytonos, és minden Q ⊂ U kompakt n-intervallumra u Q majdnem minden koordinátatengelyekkel párhuzamos szakasza mentén abszolút folytonos.

2.5. állítás. Egy u : U → ℝ ACL függvénynek majdnem mindenütt létezik a parciális deriváltja, és ∂_{i}u Borel mérhető.

Bizonyítás. Rögzített i-re legyen E azon x ∈ U pontok halmaza, ahol ∂_{i}u(x) nem létezik. Ez Borel halmaz, ugyanis az hogy létezik a parciális derivált azt jelenti, hogy az összes parciális Dini derivált megegyezik és véges; folytonos függvény Dini deriváltjai mérhetőek.

Elegendő megmutatni, hogy minden Q ⊂ U n-intervallumra m(E ∩Q) = 0. Jelöljük P_{i}-vel az [x_{i} = 0] altérre vett merőleges vetítést. Fubini tétele szerint

m(E ∩ Q) = ∫_{P_{i}Q} m_{1}(P_{i}^{−1}(x) ∩ E ∩ Q) dm_{n−1}(x)

Ha u abszolút folytonos a P_{i}^{−1}(x) ∩ Q szakaszon, akkor itt ∂_{i}u majdnem mindenütt létezik, m_{1}(P_{i}^{−1}(x) ∩ E ∩ Q) = 0. Mivel u ACL az integrandus m_{n−1}-majdnem mindenütt 0, m(E ∩ Q) = 0. ∂_{i}u Borel mérhető, mert a Dini derivált Borel mérhető.

Definíció. Egy R = R(C_{0}, C_{1}) gyűrű (R lehet akár nem összefüggő) p-kapacitása (p ≥ 1)

p-cap(R) = inf_{u} ∫_{ℝ^{n}} |∇u|^{p} dm,

ahol u a következő megengedett függvényeken fut. u : ℝ^{n} → ℝ ACL, 0 ≤ u ≤ 1 mindenütt és C_{0} ⊂ [u = 0], C_{1} ⊂ [u = 1], valamint \overline{[u < 1]} ⊂ R ∪ C_{0} kompakt.

A kapacitás invariáns az ortogonális transzformációkra, ortogonális f-re |∇(u ∘ f)(x)| = |∇u(f(x))| ott ahol az utóbbi létezik. Valamint monoton: R ⊂ R′ – úgy hogy, C_{0} ⊃ C′_{0} és C_{1} ⊃ C′_{1} – esetén p-cap(R) ≥ p-cap(R′).

Mint a bevezetőben említettük a szimmetrizációs egyenlőtlenséget a kapacitásra fogjuk bebizonyítani. Azt, hogy ez tényleg megegyezik a gyűrű-modulussal csak érzékeltetjük.

2.1. tétel.

M_{p}(R) = p-cap(R)

Bizonyításvázlat. Legyen u megengedett R-re nézve. Álljon Γ Δ_{R}(C_{0}, C_{1}) rektifikálható görbéiből. M_{p}(R) ≤ p-cap(R) bizonyításához feltehető, hogy |∇u| ∈ L_{p}. Fuglede tétele ([8],[1]) szerint eltekinthetünk azon görbéktől, melyeken u nem abszolút folytonos. Γ_{0} = {γ ∈ Γ : u nem abszolút folytonos γ egy zárt részgörbéjén} görbeseregre M_{p}(Γ_{0}) = 0. γ ∈ Γ \ Γ_{0} görbére pedig γ_{0} : [0, α] → ℝ^{n} normál reprezentációjával

1 = u(γ_{0}(α)) − u(γ_{0}(0)) ≤ ∫_{0}^{α} |(u ∘ γ_{0})′(t)| dt ≤ ∫_{0}^{α} |(∇u ∘ γ_{0})(t)| |γ′_{0}(t)| dt = ∫_{γ} |∇u| ds

a 0.1 tétel szerint. Ez azt jelenti, hogy |∇u| ∈ F (Γ \ Γ_{0}), vagyis

M_{p}(R) = M_{p}(Γ) = M_{p}(Γ \ Γ_{0}) ≤ ∫ |∇u|^{p} dm

Ez tetszőleges megengedett u-ra igaz, kapjuk M_{p}(R) ≤ p-cap(R).

Most legyen adva egy ϱ ∈ F (Γ). A kérdéses u-t a következőképp konstruáljuk

u(x) = inf_{γ_{x}} ∫_{γ_{x}} ϱ ds,

ahol γ_{x} C_{0}-t és x ∈ R̄-et összekötő rektifikálható görbéken fut. Ha tudnánk, hogy u ACL és |∇u| ≤ ϱ majdnem mindenütt R-ben, akkor kész lennénk.

p-cap(R) ≤ ∫_{R} |∇u|^{p} dm ≤ ∫_{R} ϱ^{p} dm

Azonban itt technikai nehézségek merülnek fel. Teljes bizonyítás található Ziemer [6] cikkében.

A kapacitás definíciójában valójában számos szűkebb függvény-osztályra vehető volna az infimum. A szimmetrizációs egyenlőtlenség bizonyítása pont azon alapszik, hogy egy speciális, egyszerűbb szerkezetű függvényekre vezetjük vissza. Ezt több lépésben végezzük el. Először intergál-átlagolás segítségével folytonosan differenciálható függvényekre.

2.4. lemma. Jelölje W = W (R) azon folytonosan differenciálható függvények halmazát, melyre 0 ≤ w ≤ 1 (w ∈ W), w 0 C_{0}-n, 1 C_{1}-en, és ∇w eltűnik R egy kompakt részhalmazán kívűl. Ekkor

p-cap(R) = inf_{w∈W} ∫ |∇w|^{p} dm

Bizonyítás. Mivel szűkebb függvény-osztályt veszünk, az infimum csak nőhetne. Azt kell belátni, hogy egy megengedett u-hoz, van olyan w ∈ W, aminek p-normája tetszőlegesen megközelíti az u függvényét.

Rögzített 0 < ε < 1/2-ra legyen

v = \{ \begin{matrix}0 & ha u < ε, \\ \frac{u−ε}{1−2ε} & ha ε ≤ u ≤ 1 − ε, \\ 1 & ha 1 − ε < u \end{matrix}

A [ε ≤ u ≤ 1 − ε] egy kompakt halmaz ⊂ R, d távolságra ∂R-től. Legyen U az {y : |y| < c} golyó (c < b), és

w(x) = \frac{1}{m(U)} ∫_{U} v(x + y) dm(y)

Ez folytonosan differenciálható, megfelelő értékekkel C_{0}-n és C_{1}-en. Eleve feltehető, hogy ∇u ∈ L_{p}, amiből következik, hogy kompakt halmazon L_{1}-beli, így v is. Ezért be lehet deriválni w definíciójában:

∇w(x) = \frac{1}{m(U)} ∫_{U} ∇v(x + y) dm(y)

A Jensen-egyenlőtlenség alapján (és az integrálok felcserélésével)

∫ |∇w(x)|^{p} dm(x) ≤ \frac{1}{m(U)} ∫_{U} ∫ |∇v(x + y)|^{p} dm(x) dm(y)

A belső integrált felülről becsüli (1 − 2ε)^{−p} ∫ |∇u|^{p} dm,

∫ |∇w|^{p} dm ≤ (1 − 2ε)^{−p} ∫ |∇u|^{p} dm

és ε → 0 szerint valóban teljesül a kívánt összefüggés.

Egy w ∈ W függvényre a [0 < w < 1] halmaz korlátos, és d > 0 távolságra van R^{c}-től. Trianguláljuk a teret c < d átmérőjű szimplexekkel, véges sok metszi a fenti kompakt halmazt. Ezek uniója megad egy szimplicális komplexust, melynek teste P poliéder ⊂ R (magát a komplexust is P -vel jelöljük). Definiáljunk egy új u függvényt, P -n legyen szimpliciális – azaz a szimplexeken belül lineáris – a csúcsokon pedig w értékeit vegye föl, a P komplementerének komponenseiben pedig, megintcsak w-nek megfelelően azonosan 0-t vagy 1-et. Elég finom triangulációval (c → 0) ∫ |∇u|^{p} dm → ∫ |∇w|^{p} dm. Ez vezet a következő definícióhoz.

Definíció. Egy R = R(C_{0}, C_{1}) gyűrűhöz egyszerű megengedett függvényeknek nevezzük, azokat az u megengedett függvényeket, amelyekhez van olyan P ⊂ R szimpliciális komplexus, hogy erre nézve u szimpliciális, P komplementerének komponenseiben azonosan 0 vagy 1. Emellett rendelkezzen a következő tulajdonsággal. Jelölje a_{1}, …, a_{k} a csúcsokban felvett értékeket. Minden a ∈ (0, 1) \ {a_{1}, …, a_{k}}-ra [u = a] olyan (n − 1)-dimenziós szimplexekből álljon, melyek normálvektorai ∉ ℝ^{n−2} = [x_{n−1} = 0, x_{n−2} = 0]. Itt ℝ^{n−2} a vizsgált szimmetrizációnk tengelye lesz.

Az egyszerű megengedett függvények halmazát W_{s}(R)-rel jelöljük.

2.5. lemma. A kapacitás definíciójában a megengedett függvények helyett elegendő az egyszerű megengedett függvényeket tekinteni.

Bizonyítás. A definíció előtti megállapítások szerint csak az utolsó feltételt kell biztosítanunk. Világos, hogy a ∈ (0, 1) \ {a_{1}, …, a_{k}}-ra [u = a] véges sok (n − 1)-dimenziós szimplex uniója, legyenek a fellépő normálvektorok p_{1}, …, p_{m}. Alkalmas f ortogonális transzformációval elérhető, hogy semelyik f(p_{i}) ∉ ℝ^{n−2} és |f(x) − x| < d(P, R^{c}) (x ∈ P).

Ekkor u_{0} = u ∘ f^{−1}-gyel, |∇u_{0}| = |∇u|, az u_{0}-hoz tartozó f(P) poliéder is ⊂ R, valamint az új normálvektorok, f(p_{i})-k, megfelelőek: u_{0} ∈ W_{s}(R).

2.6. lemma. Ha u ∈ W_{s}(R), akkor u^{∗} megengedett R^{∗}-ra nézve.

Bizonyítás. Világos, hogy 0 ≤ u^{∗} ≤ 1. C_{0} ⊂ [u ≤ 0] miatt C̃_{0} ⊂ [u^{∗} ≤ 0] (2.2 lemma). Valamint R ∪ C_{0} ⊂ [u < 1] miatt { \atop R ∪ C_{0}} ⊂ [u^{∗} < 1].

Az u függvény Lipschitz, ezért a 2.3 lemma alapján u^{∗} is, mindenesetre u^{∗} ACL. Végül

[u^{∗} < 1] = { \atop [u < 1]} ⊂ ; \overline{[u < 1]} ⊂ { \atop R ∪ C_{0}}. S minthogy kompakt halmaz szimmetrizáltja kompakt u^{∗} megengedettségének minden feltétele teljesül.

Ezen előkészületek után térjünk rá a szimmetrizációs egyenlőtlenség bizonyítására.

2.2. tétel. Minden R gyűrűre fenn áll a

p-cap(R^{∗}) ≤ p-cap(R)

egyenlőtlenség.

Bizonyítás. Az előzőek szerint csak azt kell megmutatnunk, hogy u ∈ W_{s}(R) függvényre

∫ |∇u|^{p} dm ≥ ∫ |∇u^{∗}|^{p} dm

Mivel a p-kapacitás hasonlósági transzformációkra invariáns feltehető, hogy a {x ∈ ℝ^{n} : x_{n−1} ≥ 0, x_{n} = 0} félhipersík definiálja a szimmetrizációt. Ekkor a szimmetrizáló tengely az x_{1}, …, x_{n−2} által kifeszített ℝ^{n−2}. Az utolsó két koordináta-tengely meghatározta síkon pedig bevezetve az (r, φ) polárkoordinátákat, minden K(z, r) (z ∈ ℝ^{n−2}, r ≥ 0) szimmetrizáló kör {(r, φ, z) : 0 ≤ φ < 2π} alakú.

Legyen P az u-hoz tartozó poliéder. A csúcsokban felvett értékek legyenek 0 = a_{0} < a_{1} < … < a_{m} = 1, D_{i} = [a_{i−1} < u < a_{i}], D_{i}^{∗} = [a_{i−1} < u^{∗} < a_{i}]. Mivel az [u^{∗} = a_{i}] halmazokon majdnem mindenütt ∇u^{∗} = 0 – ugyanis majdnem minden pont sűrűségi pont – elegendő belátnunk, hogy rögzített i-re m_{n−1}-majdnem minden (r_{0}, z_{0})-ra (r_{0} ≥ 0, z_{0} ∈ ℝ^{n−2})

∫_{K(z_{0},r_{0})∩D_{i}} |∇u|^{p} dm_{1} ≥ ∫_{K(z_{0},r_{0})∩D_{i}^{∗}} |∇u^{∗}|^{p} dm_{1}  (2.1)

Ehhez feltehetjük, hogy K = K(z_{0}, r_{0}) nem metszi P (n − 2)-vázát, és természetesen azt is, hogy K ∩ D_{i} ≠ ∅. D_{i} ∩ K olyan ívekből áll melyeken u szigorúan monoton φ szerint, \frac{∂u}{∂φ} folytonos és nem tűnik el. Itt u szimpliciális volta mellett felhasználtuk, hogy minden [u = a] (a_{i−1} < a < a_{i}) szinthalmazt K csak véges sok pontban metsz az egyszerű megengedett függvény definíciója alapján. Ezen ívek végpontjaiban u a t_{1} < t_{2} < … < t_{L} értékeket vegye fel. Tehát [t_{k} < u < t_{k+1}] páros sok nyílt ívből áll, melyeken u szigorúan monoton φ szerint. Legyenek ezek az ívek φ koordinátájuk szerint (α_{j}, β_{j}), (j = 1, 2, … 2M), ahol 0 ≤ α_{1} < β_{1} ≤ α_{2} < β_{2} ≤ … ≤ α_{2M} < β_{2M} ≤ 2π, és például (−1)^{j+1} \frac{∂u}{∂φ}(r_{0}, φ, z_{0}) > 0 (α_{j} < φ < β_{j}).

Másrészt az u^{∗} függvény szimmetrikus ℝ^{n−1}-re, és φ szerint monoton nő (0 ≤ φ ≤ π), illetve monoton fogy (π ≤ φ ≤ 2π). Így [t_{k} < u < t_{k+1}] ∩ K két szimmetrikus ívből áll, legyen ezek közül a felső féltérbe eső (α, β) (0 ≤ α < β ≤ π). Itt u szigorúan monoton, mert m_{1}(K ∩ [u^{∗} = t]) = m_{1}(K ∩ [u = t]) = 0 (t_{k} < t < t_{k+1}). Ezek alapján a (2.1)-hez elegendő

∑_{j=1}^{2M} ∫_{α_{j}}^{β_{j}} G(φ) dφ ≥ 2 ∫_{α}^{β} G^{∗}(φ) dφ,  (2.2)

ahol G(φ) = r_{0} |∇u(r_{0}, φ, z_{0})|^{p} = r_{0} [(\frac{∂u}{∂r})^{2} + \frac{1}{r_{0}^{2}} (\frac{∂u}{∂φ})^{2} + ∑_{i=1}^{n−2} (\frac{∂u}{∂z_{i}} )^{2}]^{p/2}, és G^{∗}(φ) ugyanez

u^{∗}-ra.

Legyen τ_{j} : (α_{j}, β_{j}) → (t_{k}, t_{k+1}) homeomorfizmus, amit u ad meg, φ_{j} jelölje az inverzét. Hasonlóan τ^{∗} : (α, β) → (t_{k}, t_{k+1}) homeomorfizmus, amit u^{∗} ad, és legyen φ^{∗} az inverze. A függvény szimmetrizálása alapján

φ^{∗}(t) = \frac{1}{2r_{0}} m_{1}(K ∩ [u ≤ t]) = \frac{1}{2} (2π − ∑_{j=1}^{2M}(−1)^{j}φ_{j}(t)) , és  (2.3)

φ′_{j}(t) = [\frac{∂u}{∂φ}(r_{0}, φ_{j}(t), z_{0})]^{−1} = (−1)^{j+1}|φ′_{j}(t)|,

φ^{∗}′(t) = [\frac{∂u^{∗}}{∂φ} (r_{0}, φ^{∗}(t), z_{0})]^{−1} = \frac{1}{2} ∑_{j=1}^{2M}(−1)^{j+1}φ′_{j}(t) > 0

φ-t a φ_{j} és φ^{∗} függvényekkel paraméterezve a (2.2)-beli integrálok

∑_{j=1}^{2M} ∫_{α_{j}}^{β_{j}} G(φ) dφ = ∫_{t_{k}}^{t_{k+1}} ∑_{j=1}^{2M} G(φ_{j}(t))|φ′_{j}(t)| dt

∫_{α}^{β} G^{∗}(φ) dφ = ∫_{t_{k}}^{t_{k+1}} G^{∗}(φ^{∗}(t))|φ^{∗}′(t)| dt

az előzőekben megállapított előjeleket is figyelembevéve.

Szóval elegendő az integrandusok közötti H(t) ≥ 2H^{∗}(t) (t_{k} < t < t_{k+1}) egyenlőtlenséget bizonyítani. Annak köszönhetően, hogy K nem metszi P (n−2)-vázát és u ∈ W_{s}(R), rögzített t-re a (2.3) egyenlet kiterjed (r_{0}, z_{0}) egy környezetére. Azaz egy ε > 0-ra C_{j} = [u = t] ∩ B^{n}(p_{j}, ε), p_{j} = (r_{0}, φ_{j}(t), z_{0}) egy (n − 1)-dimenziós nyílt golyó, és (r_{0}, z_{0}) ε-környezetében

Φ^{∗}(r, z) = \frac{1}{2} (2π − ∑_{j=1}^{2M}(−1)^{j}Φ_{j}(r, z)) ,  (2.4)

ahol Φ^{∗}(r, z) a K(z, r) ∩ [u^{∗} = t] ∩ {x ∈ ℝ^{n} : x_{n} > 0} pont φ-koordinátája, Φ_{j}(r, z) pedig K(z, r) ∩ C_{j}-é. Tehát ebben a környezetben

u(r, Φ_{j}(r, z), z) = u^{∗}(r, Φ^{∗}(r, z), z) = t

Valamint Φ_{j}(r_{0}, z_{0}) = φ_{j}(t) és Φ^{∗}(r_{0}, z_{0}) = φ^{∗}(t). Parciálisan differenciálva r és z_{1}, …, z_{n−2} szerint u ezen parciálisaira kapunk kifejezéseket, amelyekkel

H(t) = ∑_{j=1}^{2M} F [(1 + ∑_{ν=0}^{n−2} a_{jν}^{2})^{1/2} b_{j}^{−1}] b_{j}

H^{∗}(t) = \frac{1}{2}F \{[1 + ∑_{ν=0}^{n−2} (\frac{1}{2} ∑_{j=1}^{2M}(−1)^{j+1}a_{jν})^{2}]^{1/2} (\frac{2}{∑_{j=1}^{2M} b_{j}} )\} ∑_{j=1}^{2M} b_{j}

ahol F (t) = t^{p} (t ≥ 0) a p-hatványra emelés, és

a_{j0} = r_{0} \frac{∂Φ_{j}}{∂r} (r_{0}, ϕ_{j}(t), z_{0}) a_{jν} = r_{0} \frac{∂Φ_{j}}{∂z_{ν}} (r_{0}, ϕ_{j}(t), z_{0}) (1 ≤ ν ≤ n − 2)
b_{j} = r_{0}|φ′_{j}(t)| = r_{0}(−1)^{j+1}φ′_{j}(t)

H^{∗}(t) kifejezésében felhasználva (2.4)-t is.

Az ((−1)^{j+1}, a_{j0}, a_{j1}, …, a_{jn−2}) (j = 1, 2, …, 2M) vektorokra alkalmazzuk a Minkowskiegyenlőtlenséget, nevezetesen, (−1)^{j+1} szerinti előjeles összegükre a ∥ · ∥_{2} norma háromszögegyenlőtlenségét.

[(2M)^{2} + ∑_{ν=0}^{n−2} (∑_{j=1}^{2M}(−1)^{j+1}a_{jν})^{2}] ≤ ∑_{j=1}^{2M} (1 + ∑_{ν=0}^{n−2} a_{jν}^{2})^{1/2}

Ebből – felhasználva még, hogy F monoton nő és konvex – kapjuk a kívánt egyenlőtlenséget.

2H^{∗}(t) ≤ F {[∑_{j=1}^{2M} (1 + ∑_{ν=0}^{n−2} a_{jν}^{2})^{1/2}] (∑_{j=1}^{2M} b_{j})^{−1}} ∑_{j=1}^{2M} b_{j} ≤

∑_{j=1}^{2M} F [(1 + ∑_{ν} a_{jν}^{2})^{1/2} b_{j}^{−1}] b_{j} = H(t)

2.3. Extremális gyűrűk

A szimmetrizációs egyenlőtlenség lehetőséget ad, hogy szimmetrikus feltételekkel kitűzött feladatokra megadjuk az extremális megoldást. Például a Grötzsch és Teichmüller gyűrűk nemcsak a síkon, de magasabb dimenzióban is extremálisak.

Grötzsch és Teichmüller gyűrűk. A következő R = R(C_{0}, C_{1}) gyűrűk közül keressük a legkisebb modulusút

• (Grötzsch feladat) C_{0} az egységgolyó és se_{1}, ∞ ∈ C_{1} (s > 1), a Grötzsch gyűrű (jel. R_{G,n}(s)) az, amelyre C_{1} az [se_{1}, ∞] sugár.

• (Teichmüller feladat) 0, −e_{1} ∈ C_{0} és P, ∞ ∈ C_{1}, ahol |P | = s (s > 0). A Teichmüller gyűrű (jel. R_{T,n}(s)) esetén C_{0} = [−e_{1}, 0] és C_{1} = [se_{1}, ∞] az e_{1} tengely szakaszai.

2.3. tétel. A Grötzsch és Teichmüller gyűrűk extremálisak – a maguk feladatára nézve.

Bizonyítás. Sorra (n − 1)-szer alkalmazzunk 1-dimenziós szférikus szimmetrizációt az e_{1} tengelyen átmenő {e_{1}, …, e_{n}}\{e_{i}} (i > 1) által kifeszített (n−1)-dimenziós alterekre. Végül olyan gyűrűket kapunk, melyek továbbra is teljesítik a kitűzött feltételeket, és a megadott speciális gyűrűk részei. Mivel a szimmetrizáció során a modulus csak csökkent, ez a kívánt extremalitást biztosítja.

Szoros kapcsolat van a két gyűrű modulusa között. A síkon ez könnyen látható, ehhez képezzük le konform módon a Grötzsch gyűrűt egy közönséges gyűrűre. Ezt tükrözve az egységkörre olyan konform leképezést kapunk, ami egy Teichmüller típusú gyűrűt képez a kétszer olyan széles körgyűrűre.

A kapcsolat kifejtéséhez vezessük be a következő függvényeket

γ_{n}(s) = M(R_{G,n}(s)) = ω_{n−1} log^{1−n} Φ(s)
τ_{n}(s) = M(R_{T,n}(s)) = ω_{n−1} log^{1−n} Ψ(s)

A Φ ill. Ψ függvények közönséges {x : a < |x| < b} gömbgyűrű esetén b/a-t adnának.

2.6. állítás. Fennáll a következő függvény-egyenlet

Ψ(s − 1) = Φ(\sqrt{s})^{2} (s > 1), másszóval
γ_{n}(s) = 2^{n−1}τ_{n}(s^{2} − 1) (s > 1)

Bizonyítás. Tekintsük a T Teichmüller típusú gyűrűt, amit C_{0} = [0, \frac{1}{s}e_{1}] és C_{1} = [se_{1}, ∞] definiál. Ez az R_{T,n}(s^{2} − 1)-hez hasonló, így modulusa τ_{n}(s^{2} − 1). Az egységgömb két s paraméterű Grötzsch gyűrűre vágja (G = R_{G,n}(s)), amelyek egymás inverzió általi képei. Ezek görbeseregei szeparáltak, és minorálják T görbeseregét, ezért az 1.2 állítás szerint τ_{n}(s^{2}− 1) ≤ 2^{1−n}γ_{n}(s). A másik irány igazolásához legyen ϱ megengedett T görbeseregére nézve. Jelöljük az inverziót x̃ = \frac{x}{|x|^{2}} -vel. A σ(x) = ϱ(x) + \frac{ϱ(x̃)}{|x|^{2}} (itt \frac{1}{|x|^{2}} az inverzió deriváltjának normája) megengedett a G gyűrűre nézve, ugyanis legyen γ az egységgömböt [se_{1}, ∞]-vel összekötő görbe, ekkor γ + γ̃ T komplementerének két komponensét köti össze (γ̃ γ inverzió általi képe),

∫_{γ} σ ds = ∫_{γ} ϱ(x) ds + ∫_{γ} \frac{ϱ(x̃)}{|x|^{2}} ds = ∫_{γ+γ̃} ϱ(x) ds ≥ 1

Természetesen a megengedettséghez feltehető, hogy σ G-re koncentrált, azaz ∫_{G} σ^{n}(x) dmet kell vizsgálnunk, azonban ez átírható az egész téren vett integrállá: σ definíciója alapján σ(x̃) = |x|^{2}σ(x), ∫_{ℝ}^{n} σ^{n}(x) dm = 2 ∫_{G} σ^{n}(x) dm. Továbbá a Minkowski-egyenlőtlenség szerint

(∫ σ^{n}(x) dm)^{\frac{1}{n}} ≤ (∫ ϱ^{n}(x) dm)^{\frac{1}{n}} + (∫ \frac{ϱ(x̃)}{|x|^{2}} dm)^{\frac{1}{n}} = 2 (∫ ϱ^{n}(x) dm)^{\frac{1}{n}}

Ez adja a még hiányzó M(G) ≤ 2^{n−1}M(T) egyenlőtlenséget.

A következőkben γ_{n}(s), τ_{n}(s) aszimptotikáját vizsgáljuk (s → ∞) Φ(s) illetve Ψ(s) nyelvén. Természetesen mind γ_{n} és τ_{n} monoton fogy. Először is jegyezzük meg a

lim_{s→1+} γ_{n}(s) = ∞,  lim_{s→∞} γ_{n}(s) = 0
lim_{s→0+} τ_{n}(s) = ∞,  lim_{s→∞} τ_{n}(s) = 0

határértékeket. A két függvény közti kapcsolat alapján elegendő az egyikkel foglalkozni. A ∞-beli határérték egyszerűen adódik abból, hogy R_{G,n}(s)-t minorálja a {x : 1 < |x| < s} gömbgyűrű (ez Φ-re azt jelenti, hogy Φ(s) ≥ s). A 0-beli határérték pedig az 1.5 tételből következik: az S^{n−1}(t) gömb metszi R_{T,n}(s) komplementumának mindkét komponensét (s < t < 1), τ_{n}(s) ≥ c_{n} log(1/s).

2.7. lemma. \frac{Φ(s)}{s} monoton nő.

Bizonyítás. Legyenek 1 < t < s. Az R = R_{G,n}(s) gyűrűt a t sugarú S(t) gömb egy közönséges gömbgyűrűre ([1 < |x| < t]) és egy Grötzsch típusú gyűrűre vágja (s/t paraméterű). Megintcsak az 1.2 állítás szerint log Φ(s) ≥ log t + log Φ(s/t), azaz log Φ(s) − log s ≥ log Φ(s/t) − log(s/t), Φ(s)/s valóban monoton nő.

Ezek szerint létezik a következő határérték log λ_{n} = lim_{s→∞} Φ(s)/s, λ_{n}-et Grötzsch gyűrű konstansnak nevezzük. A későbbiekben megmutatjuk, hogy ez véges. Ez adja a Φ(s) ≤ λ_{n}s felső becslést. A függvényegyenlettel és a korábbi triviális s ≤ Φ(s)-sel együtt,

2.8. lemma. A λ_{n} Grötzsch gyűrű konstanssal

s ≤ Φ(s) ≤ λ_{n}s  (s > 1)
s + 1 ≤ Ψ(s) ≤ λ_{n}^{2}(s + 1)  (s > 0)

A Grötzsch gyűrű konstans becslése

A gyűrű e_{1} tengely körüli szimmetriájának köszönhetően visszavezetjük a feladatot egy síkbeli feladatra – ahol már konform leképezéssel áttérhetünk közönséges körgyűrűre.

2.4. tétel. λ_{2} = 4, 4 ≤ λ_{n} ≤ 4ec̄_{n}, ahol

c̄_{n} = \frac{ω_{n−2}}{ω_{n−1}} ∫_{0}^{π} ∫_{0}^{1} \frac{sin^{n−2} φ}{t} [(\frac{\sqrt{1 + t^{4} − 2t^{2} cos(2φ)}}{1 − t^{2}})^{\frac{n−2}{n−1}} − 1] dt dφ

Bizonyítás. Valamivel egyszerűbbek lesznek a számolások, ha inkább a Grötzsch gyűrű invertáltját vizsgáljuk, ez G az egységgolyó bemetszve a [0, se_{1}] szakasszal (0 < s < 1), M(G) = γ_{n}(1/s).

Az e_{1}-n átmenő (2-dimenziós) síkokat S^{n−2} ⊂ ℝ^{n−1} paraméterezi (ℝ^{n−1} = {x : x_{1} = 0} az e_{1} tengely ortogonális kiegészítője), eltekintve attól, hogy két átellenes pont ugyanazt a síkot adja. Vezessük be ℝ^{n−1}-en az r (a sugár, amit most negatívnak is megengedünk – ezért a kétszeres multiplicitás), v ∈ S^{n−2} polárkoordinátákat. Ezzel a térfogat szerinti integrál így írható

2 ∫_{ℝ^{n}} ϱ^{n} dm_{n} = ∫_{−∞}^{∞} ∫_{S^{n−2}} ∫_{−∞}^{∞} |r|^{n−2}ϱ^{n}(x_{1}, rv) dr dv dx_{1} =
∫_{S^{n−2}} ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} |r|^{n−2}ϱ^{n}(x_{1}, rv) dr dx_{1} dv

G-re megengedett ϱ-val – csak e_{1} átmenő síkon haladó görbékre alkalmazva a megengedettséget – a belső kettős integrál legalább M, kapjuk, hogy ∫ ϱ^{n} dm ≥ \frac{ω_{n−2}}{2} M. Itt M-mel a következő síkbeli feladat megoldását jelöljük

M = inf_{ϱ} ∫ |y|^{n−2}ϱ^{n}(x, y) dm_{2},  (2.5)

ϱ a síkbeli {z : |z| < 1}\[0, s] Grötzsch gyűrű megengedett függvényein fut. A síkot a komplex síknak képzeljük (z = x + iy). Tehát M(G) ≥ \frac{ω_{n−2}}{2} M.

Másrészt megmutatjuk, hogy itt valójában egyenlőség áll. Vegyünk egy ϱ függvényt a síkbeli feladatból, ezt terjesszük ki v-től függetlenül, n-edik hatványának térfogat-integrálja a fentiek szerint \frac{ω_{n−2}}{2} M ∫ |y|^{n−2}ϱ^{n}(x, y) dm_{2}. Csak azt kell belássuk, az n-dimenziós térre kiterjesztett függvény megengedett G-re nézve. Azaz azt, hogy egy, a G komplementumának két komponensét összekötő görbe mentén, az ívhossz szerinti integrálja legalább 1. No de v megváltozásától eltekintve is, az integrál már legalább 1.

Tekintsük a k(z) = \frac{z}{(1+z)^{2}} Koebe-függvényt, ez az egységkört konforman képezi le az [1/4, +∞]-nel bemetszett síkra. Emellett k(0) = 0, k′(0) = 1, így origó körüli kört infinitezimálisan origó körüli körbe visz a sugár megtartásával. Még alkalmazva a reciprok függvényt és s/4-szeres nagyítást, a [0, s] szakasszal bemetszett síkra képez. A kompozíció f(z) = \frac{s}{4} \frac{(1+z)^{2}}{z} az R gyűrűt a kívánt síkbeli Grötzsch gyűrűre képezi, ahol R = {z : |z| < 1} \ k^{−1}({w : |w| ≤ s/4}). A k-nál vett őskép majdnem az origó körüli s/4 sugarú körlap, úgy értve, hogy tartalmazza B̄(0, Δ_{1})-et, és belefoglalható B̄(0, Δ_{2})-be, és mind Δ_{1} = Δ_{1}(s), Δ_{2} = Δ_{2}(s) aszimptotikusan s/4 (s → 0). Valójában ez mutatja, hogy λ_{2} = 4.

A fenti f konform leképezés segítségével átírjuk a (2.5) feladatot az R gyűrűre. Egy (2.5)-beli ϱ-nak áttérve R-re ϱ̃(z) = ϱ(f(z))|f′(z)| felel meg, ezekre ugyanazt jelenti a megengedettség a két gyűrűn. Az integráltranszformáció

∫ |ℑ(w)|^{n−2}ϱ^{n}(w) dm_{2} = ∫ |ℑ(f(z))|^{n−2} ϱ^{n}(f(z))|f′(z)|^{2} dm_{2} = ∫ |\frac{ℑ(f(z))}{f′(z)}|^{n−2} ϱ̃^{n}(z) dm_{2}

alapján feladatunk tehát az M = inf_{ϱ} ∫ h^{n−2}(z)ϱ^{n}(z) dm_{2} (ϱ megengedett R-re nézve) becs-

lése, h(z) = |\frac{ℑ(f(z))}{f′(z)} |. Számítsuk ki h(z)-t, z = te^{iφ}-vel

\frac{4}{s}|ℑf(z)| = | sin φ| (\frac{1}{t} − t) , \frac{4}{s}|f′(z)| = |1 − \frac{1}{z^{2}} | = \sqrt{1 + \frac{1}{t^{4}} − \frac{2}{t^{2}} cos(2φ)}

Innen

h(z) = h_{φ}(t) = | sin φ|t\frac{1 − t^{2}}{\sqrt{1 + t^{4} − 2t^{2} cos(2φ)}}

Először alsó becslést adunk a kérdéses infimumra. Legyen ϱ megengedett az R gyűrűre, ekkor méginkább megengedett a bővebb B(0, 1) \ B̄(0, Δ_{1}) gyűrű görbeseregére. Ezt is csak ezen közönséges gyűrű sugár irányú görbéire alkalmazzuk. Rögzített φ ∈ [0, 2π) szögű sugáron tekintve a megengedettségből a Hölder-egyenlőtlenség a következőt adja

1 ≤ (∫_{Δ_{1}}^{1} ϱ_{φ}(t) dt)^{n} ≤ ∫_{Δ_{1}}^{1} th_{φ}^{n−2}(t)ϱ_{φ}^{n}(t) dt (∫_{Δ_{1}}^{1} \frac{1}{t^{\frac{1}{n−1}} hφ^{\frac{n−2}{n−1}} (t)} dt)^{n−1}  (2.6)

A jobb oldal második integráljából a | sin φ| tényezőt ki lehet emelni, a maradék

∫_{Δ_{1}}^{1} \frac{1}{t} (\frac{\sqrt{1 + t^{4} − 2t^{2} cos(2φ)}}{1 − t^{2}})^{\frac{n−2}{n−1}} dt

logaritmikusan tart ∞-hez: ≤ log \frac{1}{Δ_{1}} + c_{φ}. Ahol

c_{φ} = ∫_{0}^{1} \frac{1}{t} [(\frac{\sqrt{1 + t^{4} − 2t^{2} cos(2φ)}}{1 − t^{2}})^{\frac{n−2}{n−1}} − 1] dt

véges pozitív konstans. Az, hogy véges – ha máshogy nem – későbbi számításainkból látszódni fog. A (2.6)-ben alkalmazva ezeket, majd átosztva

\frac{| sin φ|^{n−2}}{(c_{φ} − log Δ_{1})^{n−1}} ≤ ∫_{Δ_{1}}^{1} th_{φ}^{n−2}(t)ϱ_{φ}^{n}(t) dt

adódik. Most integráljunk φ ∈ [0, 2π) szerint, így a jobb oldalon a becsülni kívánt mennyiség jelenik meg. Míg a bal oldalt tovább becsülhetjük a konvex x^{−(n−1)} (x > 0) függvényre és a sin φ sűrűségfüggvényű mértékre alkalmazván a Jensen-egyenlőtlenséget.

\frac{∫_{0}^{2π} | sin φ|^{n−2} dφ}{(c̄ − log Δ_{1})^{n−1}} ≤ ∫_{0}^{2π} \frac{| sin φ|^{n−2}}{(c_{φ} − log Δ_{1})^{n−1}} dφ ≤ ∫_{B(0,1)\B̄(0,Δ_{1})} h^{n−2}(z)ϱ^{n} dm_{2}

c̄ = c̄_{n} a c_{φ}-k átlaga: c̄ = \frac{ω_{n−2}}{ω_{n−1}} ∫_{0}^{π} c_{φ} sin^{n−2} φ dφ, azt is felhasználva, hogy ∫_{0}^{π} sin^{n−2} dφ = \frac{ω_{n−1}}{ω_{n−2}} . Ez tehát az M-re kapott alsó becslés, ami M(G) = \frac{ω_{n−2}}{2} M figyelembevételével

\frac{ω_{n−1}}{(c̄ − log Δ_{1})^{n−1}} ≤ M(G) = γ_{n}(1/s) = \frac{ω_{n−1}}{log^{n−1} Φ(1/s)}

alsó becsléshez vezet. Φ-re a következő adódik

sΦ(1/s) ≤ s\frac{ec̄}{Δ_{1}} → 4e^{c} (s → 0)

Összevetve c̄ és c_{φ} definíciójával ez adja λ_{n}-re a felső becslést.

Az ellenkező irányú becsléshez elegendő az R gyűrűre felírt feladatban egy megengedett ϱ függvényt találni. Vegyük a szűkebb K = B(0, 1) \ B̄(0, Δ_{2}) közönséges körgyűrű extremális függvényét ϱ_{φ}(t) = log^{−1}(\frac{1}{Δ_{2}} )\frac{1}{t}χ_{K}, ez R-re nézve méginkább megengedett. Felhasználva a triviális h_{φ}(t) ≤ t| sin φ| becslést

∫ h^{n−2}(z)ϱ^{n}(z) dm_{2} = \frac{1}{log^{n} \frac{1}{Δ_{2}}} ∫_{0}^{2π} ∫_{0}^{1} th_{φ}^{n−2}(t)\frac{1}{t^{n}} dt dφ ≤ \frac{∫_{0}^{2π} | sin φ|^{n−2} dφ}{log^{n−1} \frac{1}{Δ_{2}}}

Ugyanúgy mint az imént – áttérve G modulusára – sΦ(1/s) ≥ s/Δ_{2} → 4 (s → 0), kapjuk λ_{n} ≥ 4.

Most a c̄-t definiáló integrált becsüljük meg, hogy explicit becslést kapjunk λ_{n}-re.

2.5. tétel. c̄_{n} ≤ n + \frac{1}{n} − \frac{3}{2} − log 2, így λ_{n} ≤ 2 exp(n + \frac{1}{n} − \frac{3}{2})

Bizonyítás. c̄ a c_{φ}-k átlaga, ezek közül c_{π/2} a legnagyobb (jelöljük most I_{n}-nel), először ezt becsüljük meg.

I_{n} = ∫_{0}^{1} \frac{1}{t} [(\frac{1 + t^{2}}{1 − t^{2}} )^{\frac{n−2}{n−1}} − 1] dt = ∫_{1}^{∞} \frac{u^{\frac{n−2}{n−1}} − 1}{u^{2} − 1} du

az u = \frac{1+t^{2}}{1−t^{2}} transzformációval. Csempésszünk be (n − 1)-et u^{− \frac{n}{n−1}} integráljaként.

I_{n} − (n − 1) = ∫_{1}^{∞} \frac{u^{− \frac{n}{n−1}} − 1}{u^{2} − 1} du ↗ ∫_{1}^{∞} \frac{u^{−1} − 1}{u^{2} − 1} du = − ∫_{1}^{∞} \frac{1}{u(u + 1)} du = − log 2

Integrálható majoráns az első tag (n = 2) abszolútértéke 1/u^{2}. Vagyis I_{n} ≤ n − 1 − log 2.

Most megnézzük, hogy c_{φ} mennyivel kisebb c_{π/2}-nél. Ehhez a^{α} − b^{α} típusú mennyiséget kell becsülnünk (a = 1 + 2t^{2} + t^{4}, b = 1 − 2t^{2} cos(2φ) + t^{4}, α = \frac{1}{2} \frac{n−2}{n−1}). Ezt megtehetjük a Lagrange középérték-tétel alapján: a^{α} − b^{α} ≥ αa^{α−1}(a − b) (a ≥ b, α < 1). Ez azért hasznos, mert így becsülve a c_{π/2} − c̄ különbséget adó kettős integrált, az felbomlik φ és t szerinti integrálokra, melyeket kiintegrálva kapjuk: c_{π/2} −c̄ ≥ 1/2−1/n. Összevetve c_{π/2} felső becslésével adódik az állítás.

A Grötzsch gyűrű konstansra kapott felső becslés megegyezik az [5]-belivel, ez az legjobb ismert korlát.

Megjegyezzük, hogy a síkbeli Grötzsch gyűrű extremalitásának egyszerű következménye a Koebe-1/4 tétel.

2.6. tétel. Legyen f konform az egységkörben, f(0) = 0, |f′(0)| = 1 normálással. Ekkor f felveszi a teljes {w : |w| < 1/4} kört.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy f kihagy egy w értéket. Ekkor a {z : s < |z| < 1} körgyűrű képe egy olyan R = R(C_{0}, C_{1}) gyűrű, amelyre C_{0} = f([|z| ≤ s]) és w ∈ C_{1}. C_{0} tartalmazza B̄(0, m(s))-t (m(s) = min{|f(z)| : |z| = s}). A normálásnak köszönhetően m(s) ∼ s (s → 0). A konform invariancia és a Grötzsch gyűrű extremalitása miatt

2π log^{−1}(1/s) = M(R) ≥ γ_{2}(\frac{|w|}{m(s)}) = 2π log^{−1} Φ (\frac{|w|}{m(s)})

Azaz \frac{1}{s} ≤ Φ (\frac{|w|}{m(s)}) ≤ λ_{2} \frac{|w|}{m(s)}, vagyis |w| ≥ 1/4\frac{m(s)}{s}, és s → 0 adja, hogy |w| ≥ 1/4. Az 1/4 konstans éles, mint azt a már fellépő Koebe-függvény bizonyítja.

Kvázikonform leképezések

3.1. A definíció

Legyen f : D → D′ homeomorfizmus. Megállapodásunk szerint beleértjük, hogy D, D′ ⊂ ℝ̄^{n} tartományok és f ráképezés. Belső és külső dilatációi mérik, hogy mennyire torzul a görbeseregek modulusa.

K_{I}(f) = sup \frac{M(fΓ)}{M(Γ)}, K_{O}(f) = sup \frac{M(Γ)}{M(fΓ)}

ahol Γ a D-beli görbeseregeken fut, kivéve azokat, melyekre M(Γ) és M(fΓ) egyszerre 0 vagy ∞. A konstans görbét tartalmazó görbeseregek tehát nem számítanak a dilatáció szempontjából, ezentúl eleve ki is zárjuk ezeket a görbesereg fogalmából. Definíció. f : D → D′ homeomorfizmus belső dilatációja K_{I}(f), külső dilatációja K_{O}(f) és maximális dilatációja K(f) = max{K_{I}(f), K_{O}(f)}. Ha K(f) ≤ K < ∞, akkor f Kkvázikonform, azaz ha

\frac{1}{K} M(Γ) ≤ M(fΓ) ≤ KM(Γ)

minden Γ D-beli görbeserege. f kvázikonform, ha alkalmas K-val K-kvázikonform, vagyis K(f) < ∞.

K_{I} vagy K_{O} legalább 1 (valójában mindkettő), így K ≥ 1. Konform f-re természetesen K(f) = K_{I}(f) = K_{O}(f) = 1, konform leképezés 1-kvázikonform. A megfordítás is igaz, nevezetesen teljesül a Liouville tétel általánosítása: csak a Möbius transzformációk 1kvázikonformak (n ≥ 3).

Számos más definíció létezik a kvázikonformanciára (analitikus, metrikus), pl. elegendő a modulus torzítást gyűrűkre megkövetelni.

A definíció azonnali következményei

3.1. állítás. • K_{I}(f^{−1}) = K_{O}(f), K_{O}(f^{−1}) = K_{I}(f), K(f^{−1}) = K(f)

• K_{I}(f ∘ g) ≤ K_{I}(f)K_{I}(g), K_{O}(f ∘ g) ≤ K_{O}(f)K_{O}(g), K(f ∘ g) ≤ K(f)K(g)

• f K-kvázikonform ⇒ f^{−1} K-kvázikonform

• f K_{1}-kvázikonform, g K_{2}-kvázikonform ⇒ f ∘ g K_{1}K_{2}-kvázikonform

Eszerint a tartományok közötti kvázikonform ekvivalencia valóban ekvivalencia reláció. Definíció. A ∈ GL(n) lineáris transzformációra definiáljuk rendre belső, külső és lineáris dilatációit

H_{I}(A) = \frac{| det A|}{ℓ(A)^{n}}, H_{O}(A) = \frac{∥A∥^{n}}{| det A|}, H(A) = \frac{∥A∥}{ℓ(A)}

ahol ℓ(A) = min{|Ax| : |x| = 1}.

Geometriai jelentésük a következő: A az egységgolyót egy E ellipszoidra képezi, legyenek B_{I} és B_{O} a beírt ill. köréírt golyók. Ekkor H_{I} = \frac{m(E)}{m(B_{I})}, H_{O} = \frac{m(B_{O})}{m(E)} és H^{n} = \frac{m(B_{O})}{m(B_{I})}. Ha E féltengelyeit a_{1} ≥ a_{2} ≥ … ≥ a_{n} jelöli, akkor ∥A∥ = a_{1}, ℓ(A) = a_{n}, | det A| = a_{1} … a_{n}, így

H = \frac{a_{1}}{a_{n}} , H_{I} = \frac{a_{1} … a_{n}}{a_{n}^{n−1}} , H_{O} = \frac{a_{1}^{n−1}}{a_{2} … a_{n}}

n = 2 esetén H_{I} = H_{O} = H, általában pedig

H^{n} = H_{I}H_{O}, H_{I} ≤ H_{O}^{n−1}, H_{O} ≤ H_{I}^{n−1}

Egyszerű tulajdonságok:

3.2. állítás. • H_{I}(A^{−1}) = H_{O}(A), H_{O}(A^{−1}) = H_{I}(A), H(A^{−1}) = H(A)

• H_{I}(AB) ≤ H_{I}(A)H_{I}(B), H_{O}(AB) ≤ H_{O}(A)H_{O}(B), H(AB) ≤ H(A)H(B)

Kvázikonform diffeomorfizmusok

Diffeomorfizmus esetén – a lineáris derivált leképezések segítségével – könnyen meghatározhatjuk a dilatációkat.

3.1. tétel. Legyen f : D → D′ diffeomorfizmus (D, D′ ⊂ ℝ^{n}). Ekkor dilatációi

K_{I}(f) = sup_{x∈D} H_{I}(f′(x)), K_{O}(f) = sup_{x∈D} H_{O}(f′(x))

Bizonyítás. Elegendő például a második egyenlőtlenséget bizonyítani, mert a másik következik ebből azt az inverz függvényre alkalmazva. K_{O}(f) ≤ sup H_{O}(f′(x)) igazolásához feltehető, hogy sup H_{O}(f′(x)) = K < ∞, vagyis M(Γ) ≤ KM(fΓ) a bizonyítandó tetszőleges D-beli Γ görbeseregre. Vigyünk át a szokásos módon egy ϱ′ ∈ F (fΓ) függvényt D-re: ϱ(x) = ϱ′(f(x))∥f′(x)∥ D-n, azonkívül 0. ϱ ∈ F (Γ) ugyanis egy γ ∈ Γ lokálisan rektifikálható görbére ∫_{γ} ϱ ds ≥ ∫_{fγ} ϱ′ ds ≥ 1 a 0.2 tétel szerint. Ebből

M(Γ) ≤ ∫ ϱ^{n} dm = ∫_{D} ϱ′^{n}(f(x))∥f′(x)∥^{n} dm(x) ≤ K ∫_{D} ϱ′^{n}(f(x))|J_{f}(x)| dm(x) = K ∫_{D′} ϱ′^{n} dm

Ez tetszőleges ϱ′ ∈ F (fΓ)-ra igaz, így M(Γ) ≤ KM(fΓ).

A másik irány igazolásához azt kell belássuk, hogy tetszőleges a ∈ D pontra H_{O}(f′(a)) = \frac{∥f′(a)∥^{n}}{|J_{f} (x)|} ≤ K_{O}(f). Az f függvény, csupán a-beli differenciálhatósága szerint, az a körüli golyó képe infinitezimálisan f(a) körüli ellipszoid. Az egyszerűség kedvéért feltehető, hogy a = 0, f(a) = 0 és f′(0)e_{i} = a_{i}e_{i}, ahol a_{1} ≥ a_{2} ≥ … ≥ a_{n} ≥ 0. Ekkor a bizonyítandó egyenlőtlenség

a_{1}^{n} ≤ K_{O}(f)a_{1} … a_{n}  (3.1)

Természetesen a_{1} > 0 feltehető, legyen 0 < ε < a_{1}/2 és Q = {x ∈ ℝ^{n} : 0 < x_{i} < δ} egy kocka, hogy Q̄ ⊂ D és |f(x) − f′(0)x| ≤ εδ (x ∈ Q̄). Legyen E és F Q két szemközti x_{1} = 0 és x_{1} = δ lapja. A kocka modulusa 1, Γ = Δ_{Q}(E, F)-vel M(Γ) = 1. Becsüljük meg M(fΓ)-t. f(E) az x_{1} = ±εδ hipersíkok között, míg f(F) az x_{1} = (a_{1} ± ε)δ hipersíkok között fekszik. Tehát minden γ ∈ fΓ görbe hossza legalább (a_{1} − 2ε)δ. Másrészt f(Q) része az {x : −εδ ≤ x_{i} ≤ (a_{i} + ε)δ} téglának. A modulus triviális felső becslése alapján (1.3 állítás) M(fΓ) ≤ (a_{1} + 2ε) … (a_{n} + 2ε)(a_{1} − 2ε)^{−n}, vagyis

(a_{1} − 2ε)^{n} ≤ \frac{M(Γ)}{M(fΓ)}(a_{1} + 2ε) … (a_{n} + 2ε)

\frac{M(Γ)}{M(fΓ)} ≤ K_{O}(f) és ε → 0-ból következik (3.1).

Néhány közvetlen következmény:

3.3. állítás. Egy f : D → D′ diffeomorfizmus pontosan akkor K-kvázikonform, ha

\frac{∥f′(x)∥^{n}}{K} ≤ |J_{f}(x)| ≤ Kℓ(f′(x))^{n} (x ∈ D)

3.4. állítás. Ha egy f kvázikonform differenciálható egy a pontban, akkor J_{f}(x) = 0 esetén f′(a) = 0.

3.5. állítás. Egy f : D → D′ diffeomorfizmusra

1 ≤ K_{I}(f) ≤ K_{O}(f)^{n−1}, 1 ≤ K_{O}(f) ≤ K_{I}(f)^{n−1}

Valójában az utóbbi tetszőleges homeorfizmusra is igaz.

Példák

Az előbbiek alapján néhány speciális leképezésre kiszámoljuk a dilatációkat.

Lineáris leképezés. A : ℝ^{n} → ℝ^{n} lineáris bijekcióra A′(x) = A (x ∈ ℝ^{n}), így K_{I}(A) = H_{I}(A) és K_{O}(A) = H_{O}(A). Azaz A kvázikonform.

Sugármenti leképezés. Legyen a ≠ 0 valós szám, f(x) = |x|^{a−1}x egy ℝ^{n} \{0} → ℝ^{n} \{0} diffeomorfizmus. Kiterjeszthető f^{∗} : ℝ^{n} → ℝ^{n} homeomorfizmussá: f^{∗}(0) = 0, f^{∗}(∞) = ∞ a > 0, illetve f^{∗}(0) = ∞, f^{∗}(∞) = 0 a < 0 esetén.

Az f′(x)-hez tartozó ellipszoid féltengelyei |a||x|^{a−1}, |x|^{a−1}, …, |x|^{a−1}. Vagyis

K_{I}(f) = |a|,  K_{O}(f) = |a|^{n−1}  ha |a| ≥ 1
K_{I}(f) = |a|^{1−n},  K_{O}(f) = |a|^{−1}  ha |a| ≤ 1

Tehát f kvázikonform. Mivel egy rögzített ponton átmenő görbék serege nulla modulusú, f^{∗} dilatációi megegyeznek f dilatációival, f^{∗} is kvázikonform.

Az a = −1 esetben konform leképezést kapunk, az egységgömbre vonatkozó inverziót.

Összehajtás. Legyen x = (r, φ, z) cilindrikus koordinátákkal, azaz r ≥ 0, 0 ≤ φ < 2π, z ∈ ℝ^{n−2} és

x_{1} = r cos φ,  x_{2} = r sin φ,  x_{i} = z_{i−2} (3 ≤ i ≤ n)

Egy 0 < α ≤ 2π szögre jelöljük a 0 < φ < α tartományt D_{α}-val. Két ilyen tartományt természetes módon egymásba hajt az f : D_{α} → D_{β} f(r, φ, z) = (r, \frac{β}{α}φ, z) diffeomorfizmus.

Most az ellipszoid féltengelyei \frac{β}{α}, 1, …, 1. Feltéve, hogy α ≤ β

K_{I}(f) = β/α, K_{O}(f) = (β/α)^{n−1},

f kvázikonform. α = π, β = 2π esetből látható, hogy a féltér kvázikonform ekvivalens egy olyan tartománnyal aminek nincs külseje.

Kúpok. Legyen (R, φ, θ) szférikus koordináták ℝ^{3}-ban, azaz x ∈ ℝ^{3} (R ≥ 0, 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ θ ≤ π)

x_{1} = R sin θ cos φ x_{2} = R sin θ sin φ x_{3} = R cos θ

C_{α} = [θ < α] egy α szögű kúp (0 < α ≤ π). Két kúp közti természetes leképezés az f : C_{α} → C_{β} f(R, φ, θ) = (R, φ, \frac{β}{α}θ). Most az f′(x)-hez tartozó ellipszis féltengelyei

\frac{β}{α}, 1, \frac{sin(θ \frac{β}{α})}{sin θ}

Feltéve, hogy α ≤ β a dilatációk

K_{I}(f) = max(\frac{β^{2}}{α^{2}} , \frac{β sin^{2} α}{α sin^{2} β}), K_{O}(f) = \frac{β^{2} sin α}{α^{2} sin β}

Láthatjuk, hogy f kvázikonform, ha β < π. β = π esetén pedig más leképezés sem tud kvázikonform lenni: később belátjuk, hogy a féltér és egy sugár komplementere nem kvázikonform ekvivalens.

3.2. Torzítási tételek

A Teichmüller gyűrű extremalitása folytán

3.6. állítás. Tegyük fel, hogy az R = R(C_{0}, C_{1}) gyűrű olyan, hogy a, b ∈ C_{0} és c, ∞ ∈ C_{1}. Ekkor

M(R) ≥ τ_{n} (\frac{|c − a|}{|b − a|})

Ez alapján, ha C_{0} és C_{1} sem elfajult, akkor a modulus pozitív, másrészt az egy ponton átmenő összes görbék modulusa nulla, így:

3.7. állítás. R = R(C_{0}, C_{1}) gyűrű modulusa pontosan akkor nulla, ha C_{0} vagy C_{1} egyetlen pont.

3.2. tétel. Létezik olyan monoton növő Θ = Θ_{K,n} : (0, 1) → ℝ függvény, lim_{r→0} Θ(r) = 0, lim_{r→1} Θ(r) = ∞ határértékekkel, hogy a következő teljesül.

Legyen f : D → D′ K-kvázikonform leképezés a D, D′ ⊂ ℝ^{n} valódi résztartományok között. Ha x, y ∈ D olyanok, hogy 0 < |y − x| < d(x, ∂D), akkor

\frac{|f(y) − f(x)|}{d(f(x), ∂D′)} és \frac{|f(y) − f(x)|}{d(f(y), ∂D′)} mindegyike legfeljebb Θ ( \frac{|y − x|}{d(x, ∂D)})

Tehát d(f(x), ∂D′) csak úgy lehet kicsi, ha |f(y) − f(x)| is kicsi, azaz egy pont csak úgy kerülhet közel a határhoz, ha egy teljes – a ponttól független – környezete is közel kerül.

Bizonyítás. Rövidítsük a távolságokat következőképp: d = d(x, ∂D), d′ = d(f(x), ∂D′) és d′′ = d(f(y), ∂D′). A = {z : |y−x| < |z−x| < d} ⊂ D közönséges gömggyűrű képe R(C_{0}, C_{1}) gyűrű, C_{0} = f(B̄(x, |y − x|)) és C_{1}^{c} = f(B(x, d)). Itt C_{0} tartalmazza f(x)-t és f(y)-t, míg C_{1} ∞-t és olyan b′, b′′ ∈ ∂D′ pontokat, hogy |f(x) − b′| = d′ és |f(y) − b′| = d′′. Tehát a 3.6 állítás szerint M(fA) ≥ τ_{n}(d′/|f(x) − f(y)|), valamint M(fA) ≥ τ_{n}(d′′/|f(x) − f(y)|). Mivel f K-kvázikonform M(fA) ≤ KM(A),

τ_{n} (\frac{d′}{|f(x) − f(y)|}) ≤ Kω_{n−1} log^{1−n} (\frac{d}{|y − x|})

A monoton fogyó τ_{n} általánosított inverzével (τ_{n}^{−1}(t) = sup{r : τ_{n}(r) > t})

\frac{d′}{|f(x) − f(y)|} ≥ τ_{n}^{−1} (Kω_{n−1} log^{1−n} (\frac{d}{|y − x|}))

Azaz Θ(r) = 1/τ_{n}^{−1} (Kω_{n−1} log^{1−n}(1/r)) függvény megfelelő. Kvalitatív tulajdonságai τ_{n} tulajdonságaiból következnek. A másik egyenlőtlenséget ugyanígy kapjuk d′′-vel.

Az egységgolyóra specializálva kapjuk a „kvázikonform Schwarz-lemmát”

3.3. tétel. Létezik olyan monoton növő θ = θ_{K,n} : [0, 1) → [0, 1) függvény, lim_{r→0} θ(r) = 0, lim_{r→1} θ(r) = 1 határértékekkel, hogy minden f : B^{n} → B^{n}, f(0) = 0 K-kvázikonform leképezésre

|f(x)| ≤ θ(|x|), (x ∈ B^{n})

Bizonyítás. Az előző tételt alkalmazzuk x = 0-ra. Most d(f(y), ∂B^{n}) = 1 − |f(y)|, kapjuk |f(y)|/(1 − |f(y)|) ≤ Θ(|y|), vagyis

|f(y)| ≤ \frac{Θ(|y|)}{1 + Θ(|y|)} = θ(|y|)

3.4. tétel. Ha f : B^{n} → B^{n}, f(0) = 0 K-kvázikonform leképezés, akkor

|f(x)| ≤ λ_{n}|x|^{α},

ahol α = K^{\frac{1}{1−n}} és λ_{n} a Grötzsch gyűrű konstans.

Bizonyítás. Az {y : |x| < |y| < 1} közönséges gyűrű képe olyan gyűrű, ami komplementerének korlátos komponense tartalmazza 0 és f(x) pontokat, míg a másik komponens az egységgolyó komplementere. Tehát a képgyűrű modulusa legalább γ_{n}(1/|f(x)|), másrészt legfeljebb a közönséges gyűrű K-szorosa.

Kω_{n−1} log^{1−n} (\frac{1}{|x|}) ≥ γ_{n}(1/|f(x)|) = ω_{n−1} log^{1−n} Φ (\frac{1}{|f(x)|})

Ahonnan a Φ(s) ≤ λ_{n}s becslésből (2.8 lemma) a kívánt

|f(x)| ≤ λ_{n}|x|^{α}

állítás adódik.

A fenti Hölder folytonosság szerint f folytonosan kiterjed B̄^{n}-re. Hasonló kérdésekkel a következő részben foglalkozunk. Tetszőleges kvázikonform leképezésre is beláthatunk lokális Hölder folytonosságot.

Idézzük fel τ_{n} becslését (2.8 lemma): τ_{n}(s) = ω_{n−1} log^{1−n} Ψ(s), Ψ(s) ≤ λ_{n}^{2}(s + 1). Az {s ≥ 1} halmazon Ψ(s) ≤ a_{n}s. A 3.2 tétel bizonyításában szereplő mennyiségekre vezessük be a következő jelöléseket: r = |y − x|/d, s = |f(y) − f(x)|/d′. Elég kis r-re s ≤ Θ(r) ≤ 1, így

ω_{n−1} log^{1−n}(a_{n}/s) ≤ τ_{n}(1/s) ≤ Kω_{n−1} log^{1−n}(1/r)

Ahonnan s ≤ a_{n}r^{α}. Kapjuk, hogy kis r-re Θ(r) = a_{n}r^{α} választható.

3.3. Kiterjesztés a határra

Caratheodory tétele szerint síkbeli Jordan tartományok közötti konform leképezés folytonosan kiterjed a határra. Ebben a kvázikonformitás játssza a lényeges szerepet. Magasabb dimenzióban bonyolultabb a helyzet – nem ismert, hogy fennáll-e a Caratheodory tétel megfelelője – bizonyos feltételek mellett azonban belátjuk a kiterjeszthetőséget: például ha az egyik Jordan tartomány a golyó.

Definíció. Egy f : D → ℝ̄^{n} leképezésre b ∈ ∂D esetén jelöljük C_{f}(b)-vel azon pontokat, ahova f torlódhat b-ben.

C_{f}(b) = {lim f(x_{n}) : x_{n} → b}

Ez sohasem üres, hiszen ℝ̄^{n} kompakt. Az, hogy f-nek határértéke van b-ben azt jelenti, hogy C_{f}(b) egyetlen pont. Egy A ⊂ ∂D halmazra pedig így definiáljuk

C_{f}(A) = ⋃_{b∈A} C_{f}(b)

Természetesen egy f : D → D′ homeorfizmus esetén C_{f}(b) része ∂D′-nek. Izolált szingularitás megszüntethető:

3.5. tétel. Legyen f : D → D′ kvázikonform leképezés. Tegyük fel, hogy b ∈ ∂D a határ izolált pontja. Ekkor f-nek (b′) határértéke van b-ben, b′ ∂D′ izolált pontja, a kiterjesztett függvény f^{∗} : D∪{b} → D′∪{b′} kvázikonform. Továbbá a dilatációk sem változnak: K_{I}(f^{∗}) = K_{I}(f), K_{O}(f^{∗}) = K_{O}(f).

Bizonyítás. Legyen U b körüli golyó, hogy Ū ∩ ∂D = {b}. Az A = U \ {b} gyűrű modulusa nulla. Így az fA gyűrű – melynek határkomponensei f(∂U) és C_{f}(b) – modulusa szintén nulla. A 3.7 állítás szerint C_{f}(b) egyetlen b′ pontból áll. Mivel q(b′, ∂D′ \ {b′}) ≥ q(b′, f(∂U) > 0, b′ ∂D′ izolált pontja, D∪{b} tartomány. f^{∗} : D∪{b} → D′ ∪{b′} folytonos az inverzével együtt, homeomorfizmus. Egy ponton átmenő görbesereg modulusa nulla, ezért f és f^{∗} dilatációi megegyeznek, f^{∗} is kvázikonform.

Következményként kapjuk,

3.6. tétel. ℝ^{n} nem lehet kvázikonform ekvivalens valódi résztartományával.

Bizonyítás. Legyen f : ℝ^{n} → D′ ⊂ ℝ^{n} kvázikonform leképezés. Az előzőek szerint kiterjed f^{∗} : ℝ̄^{n} → D′ ∪ {b′} homeomorfizmussá. Azaz a D′ ∪ {b′} tartomány kompakt, csak ℝ̄^{n} lehet. Vagyis b′ = ∞, D′ = ℝ^{n}.

Definíció. A D ⊂ ℝ̄^{n} tartomány a b ∈ ∂D határpontban

• lokálisan összefüggő, ha b-nek van tetszőleges kis U környezete, hogy U ∩ D összefüggő

• végesen összefüggő, ha b-nek van tetszőleges kis U környezete, hogy U ∩ D-nek csak véges sok komponense van.

A második tulajdonság természetesen erősebb.

A Caratheodory tétel bizonyítása azon múlik, hogy a síkon a D Jordan tartomány rendelkezik a következő tulajdonsággal: két összefüggő E és F részhalmazára M(Δ_{D}(E, F)) = ∞, amennyiben Ē ∩ F̄ ≠ ∅. Ez magasabb dimenzióban nincs feltétlenül így, ezért nevezzük el P_{1} tulajdonságnak. Definíció. A D tartomány b határpontjában

• rendelkezik a P_{1} tulajdonsággal, ha M(Δ_{D}(E, F)) = ∞ minden E, F ⊂ D összefüggő halmazokra, hacsak b ∈ Ē ∩ F̄.

• rendelkezik a P_{2} tulajdonsággal, ha minden b_{1} ∈ ∂D b-től különböző határponthoz van F ⊂ D kompakt halmaz és δ > 0 konstans, hogy M(Δ_{D}(E, F)) ≥ δ, hacsak E olyan összefüggő része D-nek, hogy b, b′ ∈ Ē.

• lokálisan kvázikonforman gallérozott, ha van b-nek olyan U környezete és g : U ∩ D̄ → {x ∈ ℝ^{n} : |x| < 1, x_{n} ≥ 0} homeomorfizmus, hogy g|_{U∩D} kvázikonform. Topológiából tudjuk, hogy U ∩ ∂D a peremre, B^{n−1}-re képződik.

3.7. tétel. Ha D lokálisan kvázikonforman gallérozott b-ben, akkor itt lokálisan összefüggő és rendelkezik a P_{1} és P_{2} tulajdonságokkal is.

Bizonyítás. A b pont azon U környezete, amely a lokálisan kvázikonforman gallérozott tulajdonságban szerepel, tetszőlegesen kicsinek választható és az is feltehető, hogy g(b) = 0. Jelölje B_{+}^{n} = {x ∈ B^{n} : x_{n} > 0}. Mivel U homeomorf B_{+}^{n}-nel, D valóban lokálisan összefüggő b-ben.

A P_{1} és P_{2} tulajdonságokat pedig – áttérve a g leképezéssel – elegendő lesz igazolni a B_{+}^{n} tartományra és az origóra. Mindkettő alapja a gömbsapka egyenlőtlenség.

A P_{1} tulajonsághoz g kvázikonformanciája és a modulus monotonitása alapján valóban elegendő igazolni, hogy E, F ⊂ B_{+}^{n} összefüggő halmazokra 0 ∈ Ē ∩F̄ esetén M(Δ_{B_{+}^{n}}(E, F)) = ∞. Jelöljük a fellépő görbesereget Γ-val és legyen Γ_{t} = Δ_{S_{+}(t)}(E, F) (S_{+}(t) = S^{n−1}(t) ∩ B_{+}^{n}). Tegyük fel, hogy ϱ ∈ F (Γ), ekkor ϱ|_{S(t)} ∈ F (Γ_{t}). Egy ε > 0 számra mind E ∩ S_{+}(t) és F ∩ S_{+}(t) nemüres (0 < t < ε). Így az 1.3 tétel szerint

∫ ϱ^{n} dm ≥ ∫_{0}^{ε} ∫_{S(t)} ϱ^{n} dm_{n−1} dt ≥ ∫_{0}^{ε} M_{n}^{S(t)}(Γ_{t}) dt ≥ b_{n} ∫_{0}^{ε} \frac{1}{t} dt = ∞

Vagyis M(Γ) = ∞, amint állítottuk.

P_{2}: Legyen b_{1} ∈ ∂D, b_{1} ≠ b. Válasszuk U-t olyan kicsire, hogy b_{1} ∉ U. Megmutatjuk, hogy az F = g^{−1}J kompakt halmaz megfelelő a P_{2} tulajdonsághoz, ahol J = {x : x_{1}, …, x_{n−1} = 0, 1/4 ≤ x_{n} ≤ 1/2} szakasz. Legyen E olyan összefüggő halmaz, amelyre b, b_{1} ∈ Ē. M(Δ_{D}(E, F))-re kell alsó korlátot találnunk. Ezt megintcsak g kvázikonformitása és a modulus monotonitása miatt elegendő a Γ = Δ_{B_{+}^{n}}(g(E ∩ U), J) görbeseregre igazolni. Ugyanúgy a gömbsapka egyenlőtlenség szerint ϱ ∈ F (Γ)-ra

∫ ϱ^{n} dm ≥ ∫_{1/4}^{1/2} ∫_{S(t)} ϱ^{n} dm_{n−1} dt ≥ b_{n} log 2

Ami az M(Γ) ≥ b_{n} log 2 alsó korlátot adja.

3.8. tétel. Legyen D egy tartomány, b ∈ ∂D̄. Tegyük fel, hogy b-nek van olyan U környezete, hogy U ∩∂D egy (n−1)-dimenziós C^{1}-sokaság. Ekkor D lokálisan kvázikonforman gallérozott b-ben.

Bizonyítás. Legyen T ∂D érintőhipersíkja b-ben, és P : ∂D → T a merőleges vetítés T - re. P homeomorfizmus b egy ∂D-beli V környezetében. Jelölje e T normálvektorát. Ekkor g(x + te) = P (x) + te (x ∈ V, t ∈ ℝ) diffeomorfizmus b környezetében, és így kvázikonform egy kisebb környezetben. Található tehát egy U környezet, hogy g U ∩ D̄-t egy félgolyóra képezi. Hogy valóban csak a félgolyóra képezzen, ki kellett kössük b ∈ ∂D̄.

Az előző tételben fontos kikötés a határ simasága, mint azt a következő példa mutatja. A példából az is látható lesz, hogy egy Jordan tartomány nem feltétlen rendelkezik a P_{1} tulajdonsággal, mint már említettük.

Legyen D = {x ∈ ℝ^{3} : x_{1} > 0, |x_{3}| < x_{1}^{a}} tartomány (a > 1). Belátjuk, hogy D nem rendelkezik a P_{1} tulajdonsággal az x_{1} = x_{3} = 0 élen. A megfelelő E és F halmazok ezen él egy b pontjából kiinduló, az x_{3} = 0 síkon fekvő egységnyi hosszú szakaszok lesznek. Szögük legyen mondjuk derékszög. Ezek tehát b-ben érintkeznek, megmutatjuk, hogy mégis M(Δ_{D}(E, F)) véges. Nyugodtan feltehető, hogy b az origó.

Először tekintsük az egészet csak az x_{3} = 0 síkon. x_{1}, x_{2} mellett vezessük be az r, φ polárkoordinátákat. Itt megengedett a ϱ(x_{1}, x_{2}) = c/r (x_{1} > 0) függvény, ahol c = 2/π, ugyanis „ ds ≥ r dφ” szerint

∫_{γ} \frac{1}{r} ds ≥ ∫_{γ} 1 dφ ≥ \frac{π}{2}

a két szögszárat összekötő γ görbére. Mivel E és F egységnyi hosszúak, az is feltehető, hogy ϱ az {|r| < e}-re van koncentrálva ugyanis, ha γ elhagyja ezt a környezetet, akkor ∫_{γ} ϱχ_{{|r|<e}} ds ≥ ∫_{1}^{e} 1/r dr = 1. Legyen tehát ϱ(x_{1}, x_{2}) = c/r (x_{1} > 0, |r| < e).

Terjesszük ki ϱ-t most már a térre: ϱ̃(x_{1}, x_{2}, x_{3}) := ϱ(x_{1}, x_{2})χ_{D}. Ez megengedett függvény, mert ∫γ̃ ϱ̃ds ≥ ∫_{γ} ϱ ds, ahol γ̃ a két szögszárat D-ben összekötő görbe és γ az x_{3} = 0 síkra vetítettje. Vagyis a modulus legfeljebb

∫ ϱ̃^{3} dm = ∫ ∫ 2x_{1}^{a}ϱ^{3}(x_{1}, x_{2}) dx_{1} dx_{2} = ∫_{−π/2}^{π/2} ∫_{0}^{e} 2x_{1}^{a} \frac{c^{3}}{r^{3}} r dr dφ ≤ 2πc^{3} ∫_{0}^{e} r^{a−2} dr < ∞

3.9. tétel. Legyen f : D → D′ kvázikonform leképezés. Tegyük fel, hogy D P_{1} tulajdonságú b ∈ ∂D-ben. Ekkor C_{f}(b)-nek legfeljebb egy olyan pontja van, ahol D′ végesen összefüggő.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy D′ két különböző b′_{1}, b′_{2} ∈ C_{f}(b) pontban végesen összefüggő. Válasszunk a két ponthoz diszjunkt golyó környezeteket (U_{1}, U_{2}). Legyen az (x_{j}) ⊂ D sorozat olyan, hogy x_{j} → b, f(x_{j}) → b′_{1}, az (y_{j}) sorozat pedig ugyanilyen b′_{2}-höz.

A végesen összefüggőség miatt létezik b′_{1}-nek olyan V ⊂ U_{1} környezete, hogy V ∩ D′- nek véges sok komponense van. Kiválasztható hát – a b′_{1}-höz tartó – (f(x_{j})) sorozatból egy részsorozat, ami V ∩ D′ és méginkább U_{1} ∩ D′ egy komponensében halad.

Legyen tehát E_{1} U_{1} ∩D′-nek olyan komponense, amely tartalmazza az (f(x_{j})) egy részsorozatát. Hasonlóan E_{2} legyen U_{2} ∩D′ egy komponense, amely tartalmazza (f(y_{j})) egy részsorozatát.

Tekintsük a Γ = Δ_{D}(f^{−1}E_{1}, f^{−1}E_{2}) és fΓ = Δ_{D′}(E_{1}, E_{2}) görbeseregeket. Itt b ∈ \overline{f^{−1}E_{1}}∩ \overline{f^{−1}E_{2}}, a P_{1} tulajdonság szerint M(Γ) = ∞. Másrészt fΓ kevesebb, de hosszabb, mint Γ_{A} (fΓ > Γ_{A}), ahol Γ_{A} az A = R(Ū_{1}, Ū_{2}) gyűrűhöz tarozó görbesereg. Azaz M(fΓ) ≤ M(Γ_{A}) < ∞ véges, minthogy egy gyűrűmodulus mindig véges. Az ellentmondás f kvázikonformitásával bizonyítja a tételt.

Ha például ∂D′ a teljes határán végesen összefüggő, akkor f-nek limesze van b-ben. A következő tétel a P_{2} tulajdonságot kapcsolja össze a kiterjeszthetőséggel.

3.10. tétel. Legyen f : D → D′ kvázikonform leképezés. Tegyük fel, hogy D lokálisan összefüggő b ∈ ∂D-ben és hogy D′ P_{2} tulajdonságú C_{f}(b) egy pontjában. Ekkor f-nek határértéke van b-ben.

Bizonyítás. Legyen b′_{1} ∈ C_{f}(b) olyan pont, ahol D′ rendelkezik a P_{2} tulajdonsággal. Tegyük fel indirekt, hogy van egy másik b′_{2} ∈ C_{f}(b) pont is. A P_{2} tulajdonság definíciója alapján b′_{2}-hez rögzítsünk F kompakt halmazt és δ számot.

D lokálisan összefüggősége miatt, választhatunk b-nek olyan U_{1}, U_{2}, … környezeteit, hogy U_{j} ∩ D összefüggő és átmérőjük q(U_{j}) → 0. Tekintsük a Γ_{j} = Δ_{D}(U_{j} ∩ D, f^{−1}F) és fΓ_{j} = Δ_{D′}(f(U_{j}∩D), F) görbeseregeket. Mivel C_{f}(b) ⊂ \overline{f(U_{j} ∩ D)}, mind b′_{1}-t, mind b′_{2}-t tartalmazza \overline{f(U_{j} ∩ D)}. A P_{2} tulajdonság szerint M(fΓ_{j}) ≥ δ. Másrészt világos, hogy Γ_{j} minorálható olyan közönséges gyűrűvel, melynek belső sugara tart 0-hoz, a külső pedig rögzített. Vagyis M(Γ_{j}) → 0, ami ellentmond f kvázikonformitásának.

A két utóbbi tételt összerakva kapunk feltételt a homeomorfizmussá való kiterjeszthetőségre.

3.11. tétel. Legyen D_{0} lokálisan kvázikonforman gallérozott a határán. Tegyük fel, hogy D és D′ lokálisan összefüggőek a határaikon és kvázikonform ekvivalensek D_{0}-hoz. Ekkor minden f : D → D′ kvázikonform leképezés kiterjed f^{∗} : D̄ → D̄′ homeomorfizmussá.

Bizonyítás. Vezessük át f-et D_{0}-n: f = h ∘ g, ahol g : D → D_{0} és h : D_{0} → D′ kvázikonform leképezések. A 3.7 tétel szerint D_{0} rendelkezik mind a P_{1}, mind a P_{2} tulajdonsággal a teljes határán. Az utóbbi miatt alkalmazhatjuk a 3.10 tételt: g-nek határértéke van ∂D minden pontjában. Míg a P_{1} tulajdonság szerint alkalmazhatjuk a 3.9 tételt: h-nak határértéke van ∂D_{0} minden pontjában. Vagyis f-nek a határ minden pontjában létezik a limesze. Mindez f^{−1}-ről is elmondható. Innen már egyszerű topológiai megfontolás adja az állítást.

Definíció. Egy D ⊂ ℝ^{n} tartomány Jordan tartomány, ha ∂D homeomorf S^{n−1}-gyel.

Egy Jordan tartomány nem kell, hogy B^{n}-nel homeomorf legyen (n ≥ 3), s még ha homeomorf is nem feltétlenül kvázikonform ekvivalens. Mint a bevezetőben említettük, nem ismert, hogy két Jordan tartomány közötti kvázikonform leképezés automatikusan kiterjed-e a határra. Ha azonban az egyik a golyó, akkor igen:

3.12. tétel. Egy f : B^{n} → D′ kvázikonform leképezés pontosan akkor terjed ki f^{∗} : B̄^{n} → D̄′ homeomorfizmussá, ha D′ Jordan tartomány.

Bizonyítás. A szükségesség nyilvánvaló. Az elégségességhez az előző kiterjeszthetőségi tételt alkalmazzuk. Egyfelől B^{n} lokálisan kvázikonforman gallérozott. A másik feltételt pedig Wilder eredménye ([7]) biztosítja: minden Jordan tartomány lokálisan összefüggő a határán.

A síkon a fenti tételt két tetszőleges Jordan tartomány közti leképezésre is kimondhatjuk, tekintve, hogy mindegyik konform ekvivalens az egységkörrel. Beláttuk a „kvázikonform Caratheodory tételt”:

3.13. tétel. Ha D és D′ síkbeli Jordan tartományok, akkor minden f : D → D′ kvázikonform leképezés kiterjed f^{∗} : D̄ → D̄′ homeomorfizmussá.

A kiterjeszthetőségi tétel lehetőséget ad arra is, hogy számos tartományról bebizonyítsuk: nem lehet a golyóval kvázikonform ekvivalens. Ugyanis egy D, a határán lokálisan összefüggő tartományról az egységgolyóra képező kvázikonform leképezés a 3.11 tétel alapján kiterjed lezártjaik közti homeomorfizmussá – biztosan nem létezhet a leképezés, ha D nem Jordan tartomány. Az alábbiak mind erre példák:

• ℝ^{n} (ezt már láttuk korábban)

• B^{n} bemetszve egy sugárral (n ≥ 3)

• ℝ^{n} bemetszve egy félegyenessel (n ≥ 3)

• két párhuzamos sík közti tartomány (n = 3)

Befejezésül levezetünk egy érdekes síktopológiai tételt. Legyen D a sík egyszeresen összefüggő valódi résztartománya, és legyen lokálisan összefüggő a határán. A Riemann alaptétel szerint ez konform módon leképezhető az egységkörre és a 3.11 tétel szerint a leképezés a határok között is ad egy homeomorfizmust, azaz D Jordan tartomány. Összefoglalva: az jellemzi a Jordan tartományokat az egyszeresen összefüggő tartományok közt, hogy lokálisan összefüggők a határon.

3.4. Konvergens sorozatok

Ekvifolytonosság

A torzítási tételekből látható, hogy az f : D → D′ f(x_{0}) = y_{0} K-kvázikonform függvények családja (D, D′ ⊂ ℝ^{n} valódi résztartományok) ekvifolytonos x_{0}-ban, sőt x_{0} egy környezetében mindegyik Hölder folytonos egy univerzális konstanssal és K^{1/(1−n)} kitevővel.

Általánosabban,

3.14. tétel. Legyen D ⊂ ℝ̄^{n} tartomány. Legyen W olyan D-n értelmezett K-kvázikonform függvények családja, hogy minden f ∈ W kihagy két a_{f}, b_{f} értéket és q(a_{f}, b_{f}) ≥ r. Itt r > 0 f-től független, q a gömbi metrika ℝ̄^{n}-n.

Bizonyítás. Legyen x_{0} ∈ D, 0 < ε < r. Válasszunk x_{0}-nak olyan U és V golyó-környezeteit, hogy Ū ⊂ V ⊂ D. Ekkor az A = V \ Ū gömbgyűrű képe f(A) = R(C_{0}, C_{1}), C_{0} = f(Ū) és C_{1}^{c} = f(V). Vagyis q(C_{1}) ≥ q(a_{f}, b_{f}) ≥ r. Másrészt q(C_{0}) ≥ q(f(x), f(x_{0})) tetszőleges x ∈ U-ra. Az 1.7 tételbeli κ_{n} függvénnyel KM(Γ_{A}) ≥ M(Γ_{f(A)}) ≥ κ_{n}(t), ahol t = min{r, q(f(x), f(x_{0}))}. Ha U-t olyan kicsire választjuk, hogy KM(Γ_{A}) ≤ κ_{n}(ε), akkor κ_{n}(t) ≤ κ_{n}(ε), κ_{n} monotonitásából t ≤ ε. ε < r miatt q(f(x), f(x_{0})) = t ≤ ε minden x ∈ U és f ∈ W -re. Ami a W függvénycsalád ekvifolytonosságát jelenti x_{0}-ban.

3.15. tétel. Álljon W D tartományon értelmezett K-kvázikonform leképezésekből. A W függvénycsalád ekvifolytonos, ha az egyik feltétel teljesül

• Vannak olyan x_{1}, x_{2} ∈ D pontok és r > 0 szám, hogy mindegyik f ∈ W kihagy egy a_{f} értéket: q(a_{f}, f(x_{i})) ≥ r (i = 1, 2).

• Vannak olyan x_{1}, x_{2}, x_{3} ∈ D pontok és r > 0 szám, hogy mindegyik f ∈ W -re q(f(x_{i}), f(x_{j})) ≥ r (i ≠ j).

Bizonyítás. Az első: legyen D_{1} = D\{x_{1}}. Mindegyik f|_{D_{1}} kihagyja az a_{f} és f(x_{1}) értékeket. Az előző tétel szerint az f|_{D_{1}} függvények családja ekvifolytonos. Ez azt jelenti, hogy a W függvénycsalád ekvifolytonos az x_{1} pont kivételével mindenütt. Azonban x_{1}-ben is, mert a fentiek elmondhatók x_{2}-vel is.

A második: most D-ből két x_{i} pontot hagyunk ki. Megintcsak az előző tétel szerint kapjuk, hogy W függvénycsalád ekvifolytonos mindenütt kivéve esetleg a két kihagyott pontot. Mindhárom lehetséges módon kihagyva két pontot kapjuk, hogy valójában mindenütt ekvifolytonos.

Konvergencia

A 3.14 tétel szerint egy D tartomány K-kvázikonform leképezései, amelyek kihagynak két rögzített értéket, ekvifolytonosak. Az Arzela–Ascoli tétel szerint ezek közül kiválasztható lokálisan egyenletesen konvergens sorozat. Bebizonyítjuk, hogy a limesz-leképezés homeomorfizmus vagy konstans. Az első esetben valójában még az is igaz, hogy K-kvázikonform.

3.16. tétel. Legyen f_{j} : D → D_{j} K-kvázikonform leképezések sorozata, mely pontonként konvergál egy f : D → ℝ̄^{n} leképezéshez. Három lehetőség van:

• f homeomorfizmus D′ tartományra, a konvergencia lokálisan egyenletes

• f pontosan két értéket vesz fel, az egyiket csak egyszer, a konvergencia nem lokálisan egyenletes

• f konstans

Bizonyítás. Tegyük fel először, hogy f pontosan két értéket vesz fel: b_{1} = f(a_{1}), b_{2} = f(a_{2}). Ekkor q(f_{j}(a_{1}), f_{j}(a_{2})) ≥ r > 0. A 3.14 tétel szerint az {f_{j}} függvénycsalád ekvifolytonos D \ {a_{1}, a_{2}}-ben. Az Arzela–Ascoli tétel (bizonyítása) szerint f_{j} → f lokálisan egyenletesen D \ {a_{1}, a_{2}}-ben. Ezért f(D \ {a_{1}, a_{2}}) nem más, mint {b_{1}} vagy {b_{2}}. A konvergencia nem lehet lokálisan egyenletesen folytonos, mert f nem folytonos. Ez a második lehetőség.

Elegendő bebizonyítani, hogy ha f legalább három értéket felvesz, akkor az első alternatíva teljesül. Legyenek ezek b_{1} = f(a_{1}), b_{2} = f(a_{2}), b_{3} = f(a_{3}). Mivel q(f_{j}(a_{i}), f_{j}(a_{k})) ≥ r > 0 (i ≠ k) minden j-re a 3.15 tétel szerint az {f_{j}} függvénycsalád ekvifolytonos. Az Arzela– Ascoli tétel szerint a konvergencia lokálisan egyenletes, f folytonos. Topológiai okok miatt elegendő megmutatni, hogy f injektív.

Tegyük fel hát, hogy két különböző z_{1}, z_{2} ∈ D pontban f(z_{1}) = f(z_{2}). Először megmutatjuk, hogy z_{1} minden U környezete tartalmaz egy x_{0} ≠ z_{1} pontot, ahol f(z_{1}) = f(x_{0}). Legyen S ⊂ U gömb, ami szeparálja a z_{1} és z_{2} pontokat. Ekkor f(S) szeparálja f_{j}(z_{1})-t és f_{j}(z_{2})-t minden j-re. Van tehát x_{j} ∈ S, hogy q(f_{j}(x_{j}), f_{j}(x_{1})) ≤ q(f_{j}(z_{2}), f_{j}(z_{1})). Egy részsorozatra áttérve feltehető, hogy x_{j} → x_{0} ∈ S.

q(f_{j}(x_{j}), f(x_{0})) ≤ q(f_{j}(x_{j}), f_{j}(x_{0})) + q(f_{j}(x_{0}), f(x_{0})) → 0 (j → ∞)

felhasználva {f_{j}} ekvifolytonosságát x_{0}-ban. x_{j} választása alapján tehát q(f(x_{0}), f(z_{1})) ≤ q(f(z_{2}), f(z_{1})) = 0.

Most belátjuk, hogy minden x_{0} ∈ D-nek van olyan U környezete, hogy f|_{U} injektív vagy konstans. Ebből D összefüggősége alapján kapjuk az ellentmondást. Az ekvifolytonosság szerint létezik x_{0}-nak olyan U golyó-környezete, hogy q(f_{j}(x), f_{j}(x_{0})) < 1/2 hacsak x ∈ U, minden j-re. Ha U-n f nem lenne sem injektív sem konstans, akkor választhatnánk olyan különböző u_{1}, u_{2}, u_{3} ∈ U pontokat, hogy f(u_{1}) ≠ f(u_{2}) = f(u_{3}). Kössük össze u_{1}-t és u_{2}-t egy J_{0} ⊂ U ívvel. Valamint J_{1} ív (J_{0} ∩ J_{1} ≠ ∅) kösse össze u_{3}-t egy u_{4} ∈ ∂U határponttal U-ban (J_{1} \ U = {u_{4}}).

Legyen A = U \ (J_{0} ∪ J_{1}) gyűrű, képe f_{j}(A) = R(C_{0}^{j}, C_{1}^{j}), ahol C_{0}^{j} = f_{j}(J_{0}) és (C_{1}^{j})^{c} = f_{j}(U \ J_{1}). Itt

q(C_{0}^{j}) ≥ q(f_{j}(u_{1}), f_{j}(u_{2})), q(C_{1}^{j}) ≥ q((f_{j}(U))^{c}) ≥ 1 és q(C_{0}^{j}, C_{1}^{j}) ≤ q(f_{j}(u_{2}), f_{j}(u_{3}))

Az 1.8 tétel κ_{n}(r, t) függvényével kapjuk, hogy M(f_{j}(A)) ≥ κ_{n}(r_{j}, t_{j}), ahol r_{j} = q(f_{j}(u_{1}), f_{j}(u_{2})) → q(f(u_{1}), f(u_{2})) > 0 és t_{j} = q(f_{j}(u_{2}), f_{j}(u_{3})) → q(f(u_{2}), f(u_{3})) = 0. Az 1.8 tétel szerint M(f_{j}(A)) → ∞, viszont M(f_{j}(A)) ≤ KM(A) < ∞, ellentmondás.

Irodalomjegyzék

[1] J. Väisälä: Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings, Lecture Notes in Math., Vol. 229, Springer-Verlag, 1971.

[2] F. W. Gehring: Symmetrization of rings in space, Trans. Amer. Math. Soc. 101 (1961), 499–519.

[3] J. Sarvas: Symmetrization of condensers in n-space, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I. 522 (1972), 1–44.

[4] M. Vuorinen: Conformal geometry and quasiregular mappings, Lecture Notes in Math., Vol. 1319, Springer-Verlag, 1988.

[5] G. D. Anderson: Extremal rings in n-space for fixed and varying n Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I 575 (1976), 1–21.

[6] W. P. Ziemer: Extremal length and p-capacity, Michigan Math. J. 16 (1969), 43–51.

[7] R. L. Wilder: Topology of manifolds, Amer. Math. Soc. Colloquium Series 32, 1949.

[8] B. Fuglede: Extremal length and functional completion, Acta Math. 98 (1957), 171–219.