Véletlen mátrixok sajátértékei

Szakdolgozat

Készítette: Réffy Júlia
Témavezető: Michaletzky György

Valószínűségelméleti és Statiszikai Tanszék

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 3

2. Wigner mátrixok 5 2.1. Sztochasztikus és 1 valószínűségű konvergencia . . . . . . . . . 5 2.2. Wigner mátrixok legnagyobb sajátértékeinek aszimptotikus vi-

selkedése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3. A sajátértékekből képzett tapasztalati eloszlásfüggvény vár-

ható értékének konvergenciasebessége . . . . . . . . . . . . . . 25

3. Kovariancia típusú mátrixok 35 3.1. Konvergencia \frac{p}{n} → 0 esetén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2. 1 valószínűségű és sztochasztikus konvergencia \frac{p}{n} → y ∈ (0, ∞)

esetén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3. A legnagyobb sajátérték aszimptotikus viselkedése . . . . . . . 44 3.4. A várható érték konvergenciasebessége . . . . . . . . . . . . . 47

4. Nem szimmetrikus mátrixok 55

5. 1. Függelék 57 5.1. Gráfelméleti segédeszközök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.2. A Stieljes-transzformált és tulajdonságai . . . . . . . . . . . . 61 5.3. Még két fontos lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6. 2. Függelék 67

1. Bevezetés

A többváltozós statisztikai módszerek alkalmazása során gyakran hasznos a véletlen mátrixok sajátértékeinek ismerete. Ezen módszerek n elemű p dimenziós mintákkal foglalkoznak, és mivel egy mátrix determinánsa a sajátértékek szorzata, nyoma pedig a sajátértékek összege, így független azonos eloszlású normális mintaelemek esetén az együttes sűrűségfüggvény is egyeértelműen meghatározható sajátértékek segítségével

Nézzünk most néhány példát az alkalmazásokra. Egy X_{1}, …, X_{n} p dimenziós n elemű minta esetén ha az X_{i}-k dimenzióját szeretnénk csökkenteni, akkor ehhez a főkomponensek a kovarianciamátrix sajátértékenek összege alapján határozhatók meg, és ugyanezen sajátértékek ismerete szükséges a főkomponensek maximum-likelihood-becsléséhez. A változók kapcsolatát vizsgáló kanonikus korrelációanalízis során is szükségünk van a sajátértékekre az optimális kanonikus faktorok megkereséséhez. A kovarianciamátrixok legkisebb sajátértéke a lineáris modellben a megfelelő lineáris függvényre vonatkozó hipotézisvizsgálatban játszik szerepet, míg a legnagyobb sajátérték ismerete lehetővé teszi a legnagyobb sajátérték próba alkalmazását a többváltozós többszörös hipotézisvizsgálatban.

Ebben a dolgozatban a szimmetrikus véletlen mátrixoknak két csoportjával fogunk foglalkozni: Wigner mátrixokkal, melynek elemei független valószínűségi változók, melyek eloszlása a főátlón, és a főátló fölött megegyezik, illetve kovariancia típusú mátrixokkal. Bár az előző példákban többnyire normális valószínűségi változók szerepeltek, a továbbiakban nem tesszük fel, hogy a mátrixok elemei normális eloszlásúak. Mivel egy ilyen szimmetrikus A_{n} n × n-es mátrix sajátértékei valósak, definiálhatjuk a belőlük képzett tapasztalati eloszlásfüggvényt a következőképpen

F_{n}(x) = \frac{1}{n}#\{i : λ_{i} ≤ x\},

ahol λ_{1}, …, λ_{n} az A_{n} mátrix sajátértékei. Ezen eloszlásfüggvény várható értékének konvergenciájáról n → ∞ esetén Wigner 1967-es tétele volt az első eredmény, amelynek feltétele a mátrix elemeinek szimmetrikus eloszlása, illetve a momentumok végessége.

A 2. fejezetben Wigner tételének feltételeit gyengítve Wigner mátrixok sajátértékeiből képzett tapasztalati eloszlásfüggvény sztochasztikus és 1 valószínűségű konvergenciáját látjuk be, és emellett foglalkozunk a legnagyobb sajátérték viselkedésével, és vizsgáljuk a konvergencia sebességét is. Ezen tételek analógiájára a 3. fejezetben kovarianciamátrixokra mondunk ki hasonló tételeket. A 4. fejezet egy rövid kitekintés a nem szimmetrikus mátrixok sajátértékeinek eloszlására. Végül az utolsó két fejezetben találhatók a tételek bizonyításához használt segédeszközök, amelyek között sok gráfelméleti fogalom, és eloszlásfüggvények Stieljes-transzformáltjaira vonatkozó állítás mellett elemi valószínűségszámítási tételek is szerepelnek.

Végezetül szeretnék köszönetet mondani Michaletzky György tanár úrnak az érdekes témáért és a szakdolgozat írása során nyújtott sok segítségért.

2. Wigner mátrixok

2.1. Definíció. Egy A_{n} = (a_{ij}) n × n-es mátrixot Wigner mátrixnak nevezünk, ha a következők teljesülnek rá:

• a_{ij} = a_{ji}, ∀i, j = 1, …, n

• a főátló fölötti elemek független, azonos eloszlású valószínűségi változók

• a főátlón lévő elemek független, azonos eloszlású valószínűségi változók

• a főátlón lévő elemek függetlenek a főátló fölöttiektől

Ebben a fejezetben Wigner mátrixok sajátértékeiből képzett tapasztalati eloszlásfüggvényének, és legnagyobb sajátértékeinek aszimptotikus viselkedését fogjuk vizsgálni n → ∞ esetén. Szorozzuk be a mátrixot \frac{1}{\sqrt{n}}-nel, hiszen különben a sajátértékek akármilyen nagyok lehetnek.

2.1. Sztochasztikus és 1 valószínűségű konvergencia

Legyen A_{n} = (a_{ij}) egy n × n -es Wigner mátrix, ahol a főátló fölötti elemek közös eloszlásfüggvénye F, a főátlón lévőké pedig G, és tegyük fel, hogy

E(a_{ij}^{2}) = ∫ x^{2} dF = σ^{2} < ∞ ha i ≠ j.

Jelölje W (x) a Wigner-féle félköreloszlást, aminek sűrűségfüggvénye

w(x) = \frac{2}{π} \sqrt{1 − x^{2}}χ_{\{|x|≤1\}}.

Ekkor a B_{n} = \frac{1}{2σ\sqrt{n}}A_{n} mátrix sajátértékeiből képzett W_{n} tapasztalati el-

oszlásfüggvényre igaz az alábbi tétel.

2.2. Tétel (Arnold, 1967). Tegyük fel, hogy ∫ x^{2} dG < ∞, ∫ x^{4} dF < ∞, ∫ x dF = 0. Ekkor W_{n}(x) ⟶^{n→∞} W (x) sztochasztikusan. Ha ezenkívül az is igaz, hogy ∫ x^{4} dG < ∞, és ∫ x^{6} dF < ∞, akkor 1 valószínűségű konvergencia is teljesül.

Bizonyítás. A tételt a momentum módszerrel fogjuk bizonyítani, azaz belátjuk, hogy M_{k,n} = ∫ x^{k} dW_{n}(x) ⟶^{n→∞} ∫ x^{k} dW (x) = γ_{k}. Ha a momentumok egyértelműen meghatározzák az eloszlást, akkor ebből következik az W_{n} sorozat gyenge konvergenciája. A Wigner-eloszlás momentumai könnyen kiszámolhatók x = sin y behelyettesítéssel, és parciális integrálással, azaz

γ_{k} = \{ \begin{matrix}0, & ha k = 2m + 1, \\ \frac{1}{m+1} \binom{2m}{m}, & ha k = 2m. \end{matrix}

Ezek a momentumok egyértelműen meghatározzák a Wigner-féle félkörelosz-

lást, hiszen teljesül rájuk a ∑_{k=1}^{∞} γ_{k}^{− \frac{1}{k}} = ∞ feltétel. Ha B_{n} mátrix sajátértékei

λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{n}, akkor

M_{k,n} = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} λ_{i}^{k} = \frac{1}{n} tr(B_{n}^{k}) = \frac{1}{(2σ)^{k}n^{1+ \frac{k}{2}}} ∑_{i_{1}=1}^{n} ⋯ ∑_{i_{k}=1}^{n} (a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}} … a_{i_{k}i_{1}}) .

Legyen â_{ij} = a_{ij}χ_{\{|a_{ij}|<\sqrt{n}\}}, és lássuk be, hogy

lim EM̂_{k,n} = lim \frac{1}{(2σ)^{k}n^{1+ \frac{k}{2}}} ∑_{i_{1}=1}^{n} ⋯ ∑_{i_{k}=1}^{n} E (â_{i_{1}i_{2}}â_{i_{2}i_{3}} … â_{i_{k}i_{1}}) = γ_{k}.

A 2. Függelék 6.1. Lemmájából következik, hogy

∫_{|x|<\sqrt{n}} x dG ⟶^{n→∞} ∫ x dG = O(1), ∫_{|x|<\sqrt{n}} x^{r} dG = O (n^{\frac{r−1}{2}} ) r ≥ 2

∫_{|x|<\sqrt{n}} x dF = o (n^{− \frac{3}{2}} ) , ∫_{|x|<\sqrt{n}} x^{2} dF ⟶^{n→∞} σ^{2},  (1)

∫_{|x|<\sqrt{n}} x^{r} dF = O (n^{\frac{r−3}{2}} ) r ≥ 3.

Most összegezzük EM̂_{k,n}-t aszerint, hogy egy tagban hány különböző index van, azaz

EM̂_{k,n} = ∑_{m=1}^{k} S_{k,n}(m) = ∑_{m=1}^{k} \frac{1}{(2σ)^{k}n^{1+ \frac{k}{2}}} ∑_{|\{i_{1},...,i_{k}\}|=m} E (â_{i_{1}i_{2}}â_{i_{2}i_{3}} … â_{i_{k}i_{1}}) .

S_{k,n}(m) tagjainak a száma felülről becsülhető n^{m}-mel, így S_{k,n}(m) nagyságrendje O(n^{m−1− \frac{k}{2}} )-szer a tagok nagyságrendje. Nézzünk ezért most egy â_{i_{1}i_{2}}â_{i_{2}i_{3}} … â_{i_{k}i_{1}} szorzatot, ahol |{i_{1}, …, i_{k}}| = m. Konstruáljunk minden indexhalmazhoz egy gráfot amelynek a csúcsai az {i_{1}, …, i_{k}} számok, élei pedig az i_{1}i_{2}, i_{2}i_{3}, …, i_{k}i_{1} irányítatlan szakaszok. Jelölje a gráf i-szeres hurokéleinek számát h_{i}, i-szeres nem hurokéleinek számát e_{i}. Feltehetjük, hogy e_{1} = 0, mert különben a szorzat 0-hoz tart. Ekkor (1) miatt

S_{k,n}(m) = O (n^{m−1− \frac{k}{2} +^{\frac{∑{k \atop i=1}(i−1)h_{i}+∑{k \atop i=3}(i−3)e_{i}}{2}}} ) .

A gráf összefüggősége miatt

∑_{i=1}^{k} ih_{i} + ∑_{i=1}^{k} ie_{i} = k és ∑_{i=2}^{k} e_{i} ≥ m − 1.  (2)

Ebből következik, hogy

m − 1 − \frac{k}{2} + \frac{∑_{i=1}^{k}(i − 1)h_{i} + ∑_{i=3}^{k}(i − 3)e_{i}}{2} ≤ 0,

és egyenlőség csak akkor teljesül, ha minden él multiplicitása pontosan kettő, nincs benne hurokél, és az éleket multiplicitás nélkül véve a gráf fa. Ilyen gráf csak páros k, és m = \frac{k}{2} + 1 esetén van, és számuk az 1. Függelék 5.7. Lemmája miatt _{\frac{k!}{(\frac{k}{2})!(\frac{k}{2} +1)!}}. Így

EM̂_{k,n} = S_{\frac{k}{2} +1,k,n} = \frac{1}{n^{\frac{k}{2} +1}(2σ)^{2k}} \frac{n!}{(n − \frac{k}{2})!} \frac{(σ^{2})^{k}k!}{(\frac{k}{2})! (\frac{k}{2} + 1)!} ⟶^{n→∞} γ_{k}.

Most becsüljük M_{k,n} − EM̂_{k,n}-t

P (|M_{k,n} − EM̂_{k,n}| > ε) ≤ P (|M̂_{k,n} − EM̂_{k,n}| > ε) + P (M_{k,n} ≠ M̂_{k,n}) ≤
≤ ε^{−2}E(M̂_{k,n} − EM̂_{k,n})^{2} + ∑_{i≥j} P (a_{ij} ≠ â_{ij}). (3)

A momentumok sztochasztikus konvergenciájához azt kell belátni, hogy a jobboldalon álló két tag 0-hoz tart, az 1 valószínűségű konvergenciához pedig azt, hogy a jobboldal n szerinti összege konvergens.

D^{2}(M̂_{k,n}) = E(M̂_{k,n} − EM̂_{k,n})^{2} = EM̂_{k,n}^{2} − (EM̂_{k,n})^{2} =

= \frac{1}{(2σ)^{2k}n^{k+2}} ∑_{i_{1}=1}^{n} ⋯ ∑_{i_{k}=1}^{n} ∑_{j_{1}=1}^{n} ⋯ ∑_{j_{k}=1}^{n} (E (â_{i_{1}i_{2}} … â_{i_{k}i_{1}}â_{j_{1}j_{2}} … â_{j_{k}j_{1}}) −

− E (â_{i_{1}i_{2}} … â_{i_{k}i_{1}}) E (â_{j_{1}j_{2}} … â_{j_{k}j_{1}})) .

Készítsük el, a 3 indexhalmazhoz a megfelelő G, G_{I}, G_{J} gráfokat, és vezessük be az m, m_{I}, m_{J}, h_{i}, h_{Ii}, h_{Ji}, és e_{i}, e_{Ii}, e_{Ji} jelöléseket a különböző indexek, hurok- és nem hurokélek számára. Nyilván csak azokat a tagokat kell figyelembe venni, amikor G_{1}-nek és G_{2}-nek van közös éle, hiszen különben az a_{ij}-k függetlensége miatt a különbség 0. Ekkor G összefüggő, hiszen G_{1} és G_{2} is az, így a (2) összefüggései mindhárom gráfban teljesülnek. Ha valamelyik szorzathoz tartozó gráfban van egyszeres nem hurokél, akkor a tag 0-hoz tart o (n^{− \frac{3}{2}} ) nagyságrendben. Az első tag nagyságrendjében n kitevője

m − k − 2 + \frac{∑_{i=1}^{2k}(i − 1)h_{i} + ∑_{i=3}^{2k}(i − 3)e_{i}}{2} ≤ 0,

a második tagban pedig

m − k − 2 + \frac{∑_{i=1}^{k}(i − 1)(h_{Ii} + h_{Ji}) + ∑_{i=3}^{k}(i − 3)(e_{Ii} + e_{Ji})}{2},

ahol

m_{I} + m_{J} − k − 2 + \frac{∑_{i=1}^{k}(i − 1)(h_{Ii} + h_{Ji}) + ∑_{i=3}^{k}(i − 3)(e_{Ii} + e_{Ji})}{2} ≤ 0,

továbbá tudjuk, hogy

∑_{i=1}^{k}(e_{Ii} + e_{Ji}) = ∑_{i=1}^{k} e_{i} és ∑_{i=1}^{k}(h_{Ii} + h_{Ji}) = ∑_{i=1}^{k} h_{i}.

(a) Tegyük fel, hogy a közös él nem hurokél. Ekkor G_{1}-nek és G_{2}-nek legalább 2 közös csúcsa van, így m_{I} + m_{J} − 2 ≥ m, tehát a második tag nagyságrendje O(n^{−2}). Nézzük az első tagot.

- Ha G-ben van kör, akkor m ≤ ∑_{i=1}^{k} e_{i}.

- Ha nincs kör G-ben, akkor G_{1}-ben és G_{2}-ben sincs, tehát mindkét gráfban legalább 2 a közös él multiplicitása, így G-ben van legalább 4-szeres nem hurokél.

(b) Tegyük fel most, hogy a közös él hurokél. Ekkor az első tagban van többszörös hurokél, így egyrészt ∑_{i=1}^{k} e_{i} + ∑_{i=2}^{k} h_{i} ≥ m, másrészt m ≤ m_{I} + m_{J} − 1. Nézzük a második tagot.

- Ha G_{1}-ben vagy G_{2}-ben van többszörös hurokél, akkor ∑_{i=1}^{k} e_{Ii} + ∑_{i=2}^{k} h_{Ii} ≥ m_{I}, vagy ∑_{i=1}^{k} e_{Ji} + ∑_{i=2}^{k} h_{Ji} ≥ m_{J}.

- Ha egyikben sincs többszörös hurokél, akkor h_{I1} + h_{J1} ≥ 2.

Így minden tag nagyságrendje legfeljebb O(n^{−2}).

A (3) egyenlőtlenség másik tagjára

p_{n} = ∑_{i≥j} P (a_{ij} ≠ â_{ij}) = n(1 − G(\sqrt{n}) + G(−\sqrt{n} + 0))+

+\frac{n(n − 1)}{2}(1 − F (\sqrt{n}) + F (−\sqrt{n} + 0)),

és mivel

∫_{|x|≥\sqrt{n}} x^{2} dG ≥ n(1 − G(\sqrt{n}) + G(−\sqrt{n} + 0)),

és

∫_{|x|≥\sqrt{n}} x^{4} dF ≥ \frac{n(n − 1)}{2}(1 − F (\sqrt{n}) + F (−\sqrt{n} + 0)),

ezért

p_{n} ⟶^{n→∞} 0 ha ∫ x^{2} dG < ∞ és ∫ x^{4} dF < ∞

és a 6.3. Lemma miatt

∑_{n} p_{n} < ∞ ha ∫ x^{4} dG < ∞ és ∫ x^{6} dF < ∞.

Így beláttuk a momentumok 1 valószínűségű és sztochasztikus konvergenciáját. Az eloszlásfüggvények 1 vaószínűségi konvergenciája ebből már következik, a sztochasztikus konvergenciáról pedig annyit tudunk, hogy tetszőleges N_{1} ⊂ ℕ részsorozat esetén

∫ x^{k} dW_{n}(x) ⟶^{{n→∞ \atop n∈N_{1}}} ∫ x^{k} dW (x) sztochasztikusan,

így létezik olyan N_{2} ⊂ N_{1} részsorozat, hogy

∫ x^{k} dW_{n}(x) ⟶^{{n→∞ \atop n∈N_{2}}} ∫ x^{k} dW (x) 1 vsz-gel.

Ekkor W_{n}(x) ⟶^{{n→∞ \atop n∈N_{2}}} W (x) minden x-re közös 1 valószínűségű halmazon. Ebből már következik, hogy W_{n}(x) ⟶^{n→∞} W (x) minden x-re sztochasztikusan. Q.E.D.

A továbbiakban gyengíteni próbáljuk a 2.2. Tétel feltételeit, azaz megmutatjuk, hogy a konvergenciához elég alacsonyabb momentumok végessége, és a főátlóbeli elemekre nem szükséges semmilyen feltétel.

2.3. Tétel (Arnold, 1971). Legyen W_{n} az \frac{1}{\sqrt{n}}A_{n} mátrix sajátértékeiből

képzett tapasztalati eloszlásfüggvény, és

W (x, σ) = \frac{1}{2σ^{2}π} ∫_{−∞}^{x} \sqrt{2σ^{2} − y^{2}}χ_{[−2σ,2σ]}(y) dy

a Wigner-féle félköreloszlás.

(i) Ha σ^{2} < ∞, akkor

W_{n}(x) ⟶^{n→∞} W (x, σ) sztochasztikusan.

(ii) Ha ezenkívül Ea_{12}^{4} < ∞, akkor

W_{n}(x) ⟶^{n→∞} W (x, σ) 1 vsz-gel.

A bizonyításhoz először kimondjuk a tétel determinisztikus változatát.

Legyen H_{n} = (h_{ij}), 1 ≤ i, j ≤ n egy végtelen Hermite-mátrix n × n-es részmátrixa, és legyenek a λ_{1}^{(n)}, …, λ_{n}^{(n)} sajátértékeihez tartozó ortonormált sajátvektorok u_{1}^{(n)}, …, u_{n}^{(n)}. Definiáljuk

X_{n}(t) = \frac{1}{\sqrt{n(n − 1)}} ∑_{k=1}^{[(n−1)t]} |v_{n}^{T} u_{k}^{(n−1)}|^{2}, 0 ≤ t ≤ 1,  (4)

ahol v_{n}^{T} = (h_{n1}, …, h_{n,n−1}),és legyen W_{n}(x) a B_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}H_{n} sajátértékekből képzett tapasztalati eloszlásfüggvénye.

2.4. Tétel (Arnold, 1976). Tegyük fel, hogy

(i) lim_{n} \frac{1}{n}#\{k ≤ n : |h_{kk}| > \sqrt{n}|\} = 0

(ii) lim_{n} X_{n}(t) = ct, ahol 0 < c < ∞ és 0 ≤ t ≤ 1.

Ekkor

W_{n}(x) ⟶^{n→∞} W (x, c).

A bizonyítás [4]-ben található.

Legyen most A_{n} = (a_{ij}), 1 ≤ i, j ≤ n egy végtelen Wigner-mátrix n × nes részmátrixa, ahol a_{ii}-k közös eloszlásfüggvénye G, a_{ij}-k eloszlásfüggvénye pedig i ≠ j esetén F, és E(a_{ij}^{2}) = σ^{2}.

A 2.4. Tétel (i) feltétele 1 valószínűséggel teljesül, ugyanis ez ekvivalens azzal, hogy

Z_{n} = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} χ(|a_{kk}| > \sqrt{n}) ⟶^{n→∞} 0 1 vsz-gel,

ami következik a nagy számok erős törvényéből.

Az (ii) feltételhez 2 lemmát bizonyítunk. A továbbiakban használni fogjuk az M_{i} = Ea_{12}^{i} = ∫ x^{i} dF jelölést.

2.5. Lemma. Tekintsük az a_{ij} valószínűségi változókból (4) alapján képzett összeget.

(i) Akkor és csak akkor létezik c > 0 konstans, amire X_{n}(1) ⟶^{n→∞} c sztochasztikusan, ha M_{2} < ∞.

(ii) Ha M_{1} = 0 és σ^{2} < ∞, ekkor c = σ^{2}, és

X_{n}(t) ⟶^{n→∞} σ^{2}t sztochasztikusan, 0 ≤ t ≤ 1.

Bizonyítás. Mivel

X_{n}(1) = \frac{1}{\sqrt{n(n − 1)}} ∑_{k=1}^{n−1} a_{kn}^{2},

ezért a nagy számok gyenge törvénye szerint M_{2} végességéből következik X_{n}(1) sztochasztikus konvergenciája. Visszafelé, ha X_{n}(1) ⟶^{n→∞} c valamilyen c konstansra, akkor

\frac{∑_{k=1}^{n−1} a_{kn}^{2} − c(n − 1)}{n − 1} ⟶^{n→∞} 0 sztochasztikusan,

így a Feller-féle gyenge törvény szerint c = ∫_{{a_{12}^{2}≤n}} a_{12}^{2} dF + o(1). Mivel

a_{12}^{2} ≥ 0, ezért ∫_{{a_{12}^{2}≤n}} a_{12}^{2} dF monoton növő sorozat, ami egyrészt c-hez,

másrészt Ea_{12}^{2}-hez tart, így Ea_{12}^{2} = c < ∞. Ezzel (i)-t beláttuk.

Legyen â_{kn} = a_{kn}χ_{\{|a_{kn}|≤\sqrt{n−1}\}}, és X̂_{n}(t) az ezekből (4) alapján képzett sztochasztikus folyamat. Ha belátjuk, hogy P (|X_{n}(t) − EX̂_{n}(t)| > ε) ⟶^{n→∞} 0 és EX̂_{n}(t) ⟶^{n→∞} σ^{2}t, bebizonyítottuk a lemmát.

P (|X_{n}(t) − EX̂_{n}(t)| > ε) ≤ P (|X̂_{n}(t) − EX̂_{n}(t)| > ε) + P (X_{n}(t) ≠ X̂_{n}(t)).

Itt Ea_{12}^{2} = σ^{2} < ∞ miatt

P (X_{n}(t) ≠ X̂_{n}(t)) ≤ ∑_{k=1}^{n−1} P (|a_{kn}|^{2} > n − 1) ⟶^{n→∞} 0,

A másik tagra a Csebisev-egyenlőtlenségből következik:

P (|X̂_{n}(t) − EX̂_{n}(t)| > ε) ≤ \frac{EX̂_{n}(t)^{2} − (EX̂_{n}(t))^{2}}{ε^{2}}

Tehát elég belátni, hogy EX̂_{n}(t) → σ^{2}t, és EX̂_{n}(t)^{2} → σ^{4}t^{2}. Legyen

r_{ij} = r_{ij}(t) = ∑_{k=1}^{[(n−1)t]} u_{ik}^{(n−1)}u_{jk}^{(n−1)},

ekkor nyilván |r_{ij}| ≤ 1, és teljesülnek a következők:

∑_{i=1}^{n−1} r_{ii} ≡ [(n − 1)t], ∑_{{j=1 \atop j≠i}}^{n−1} |r_{ij}|^{p} ≤ \frac{1}{4} p ≥ 2,

(5)

| ∑_{{j=1 \atop j≠i}}^{n−1} r_{ij}| ≤ \frac{\sqrt{n}}{2}, ∑_{i=1}^{n−1} ∑_{j=1}^{n−1} r_{ij}^{2} ≡ [(n − 1)t],

Bevezetve az M̂_{k} = Eâ_{in}^{k} jelölést, kapjuk:

EX̂_{n}(t) = \frac{1}{\sqrt{n(n − 1)}} ∑_{i=1}^{n−1} ∑_{j=1}^{n−1} E(â_{in}â_{jn})E(r_{ij}) =

= \frac{1}{\sqrt{n(n − 1)}} ([(n − 1)t](M̂_{2} − M̂_{1}^{2}) + M̂_{1}^{2} ∑_{i=1}^{n−1} ∑_{j=1}^{n−1} E(r_{ij})) . (6)

Itt M̂_{2} → σ^{2} < ∞ miatt használhatjuk a Függelék 6.1 Lemmáját, azaz M̂_{1} = o (n^{− \frac{1}{2}} ), és így az ∑ ∑ Er_{ij} ≤ (n − 1)^{2} triviális becslést és (5)-öt alkalmazva kapjuk, hogy EX̂_{n}(t) → σ^{2}t. Másrészt

EX̂_{n}(t)^{2} = \frac{1}{n(n − 1)} ∑_{i_{1}=1}^{n−1} ⋯ ∑_{i_{4}=1}^{n−1} E(â_{i_{1}n}â_{i_{2}n}â_{i_{3}n}â_{i_{4}n})E(r_{i_{1}i_{2}}r_{i_{3}i_{4}}).

Itt a (6)-hoz hasonló módon vizsgálhatjuk az azonos indexek elhelyezkedésének 7 különböző esetét, azaz

EX̂_{n}(t)^{2} = \frac{1}{n(n − 1)}(M̂_{4} ∑_{i_{1}=1}^{n−1} E(r_{i_{1}i_{1}}^{2}) + 4M̂_{3}M̂_{1} ∑_{i_{1}=1}^{n−1} ∑_{{i_{2}=1 \atop i_{2}≠i_{1}}}^{n−1} E (r_{i_{1}i_{1}}r_{i_{1}i_{2}}) +

+M̂_{2}^{2} ∑_{i_{1}=1}^{n−1} ∑_{{i_{2}=1 \atop i_{2}≠i_{1}}}^{n−1} E (r_{i_{1}i_{1}}r_{i_{2}i_{2}}) + M̂_{2}^{2} ∑_{i_{1}=1}^{n−1} ∑_{{i_{2}=1 \atop i_{2}≠i_{1}}}^{n−1} E (r_{i_{1}i_{2}}^{2}) +

+4M̂_{1}^{2}M̂_{2} ∑_{i_{1}=1}^{n−1} ∑_{{i_{2}=1 \atop i_{2}≠i_{1}}}^{n−1} ∑_{{i_{3}=1 \atop i_{3}≠i_{1},i_{2}}}^{n−1} (E (r_{i_{1}i_{2}}r_{i_{1}i_{3}}) + E (r_{i_{1}i_{1}}r_{i_{2}i_{3}})) +

M̂_{1}^{4} ∑_{i_{1}=1}^{n−1} ∑_{{i_{2}=1 \atop i_{2}≠i_{1}}}^{n−1} ∑_{{i_{3}=1 \atop i_{3}≠i_{1},i_{2}}}^{n−1} ∑_{{i_{4}=1 \atop i_{4}≠i_{1},i_{2},i_{3}}}^{n−1} E (r_{i_{1}i_{2}}r_{i_{3}i_{4}}) )

= o(1) + \frac{1}{n(n − 1)} ([(n − 1)t]^{2}M̂_{2}^{2} − (M̂_{4} − M̂_{2}^{2}) ∑_{i_{1}=1}^{n−1} E(r_{i_{1}i_{1}}^{2})) ⟶^{n→∞} σ^{4}t^{2},

hiszen a 6.1. Lemma miatt M̂_{3} = o (n^{\frac{1}{2}} ), és M̂_{4} = o(n), r_{ij}-k becslésére pedig megint használhatjuk (5)-öt. Q.E.D.

2.6. Lemma. Az előző lemma jelöléseit alkalmazva

(i) X_{n}(1) ⟶^{n→∞} c 1 vsz-gel valamilyen c > 0 konstansra akkor és csak akkor, ha M_{4} < ∞.

(ii) Ha M_{1} = 0 és M_{4} < ∞, ekkor c = σ^{2}, és

X_{n}(t) ⟶^{n→∞} σ^{2}t 1 vsz-gel, 0 ≤ t ≤ 1.

Bizonyítás. Az előző lemmából látszik, hogy ha X_{n}(1)-nek létezik 1 valószínűségű határértéke, akkor az csak σ^{2} lehet. Tehát a Borel-Cantelli lemma miatt X_{n}(1) sorozat 1 valószínűségű konvergenciája ekvivalens azzal, hogy

az S_{n−1} = \frac{1}{n − 1} ∑_{k=1}^{n−1}(a_{kn}^{2} − σ^{2}) sorozatra igaz:

∑_{n=1}^{∞} P (|S_{n}| > ε) < ∞ ∀ε > 0,

ami a [2] cikkben szereplő 2. Tétel szerint akkor és csak akkor teljesül, ha

∑_{n=1}^{∞} nP (|a_{12}^{2} − σ^{2}| > n) < ∞ és ∫_{|x|<n}(x^{2} − σ^{2}) dH → 0.

Itt az első feltétel következik a_{12} negyedik momentumának végességéből és a 6.3. Lemmából, a második pedig σ^{2} végességéből. Ezzel a tétel első felét beláttuk.

A második részhez be kell látnunk, hogy ∑ P (|X_{n}(t) − σ^{2}t| > ε) < ∞. Ismét csonkítani fogjuk az a_{kn} valószínűségi változókat, azaz legyen â_{kn} = a_{kn}χ_{\{|a_{kn}|≤(n−1)^{\frac{γ}{2}} \}}, ahol γ ∈ (\frac{3}{4}, 1). A 6.1. Lemma utáni megjegyzés-

ből következik, hogy

M̂_{1} = o (n^{− \frac{3γ}{2}} )
M̂_{i} → M_{i} i = 2, 3, 4  (7)
M̂_{r} = o (n^{γ(\frac{r}{2} −2)}) r ≥ 5

Ekkor

P (|X_{n}(t) − σ^{2}t| > ε) ≤ P (|X_{n}(t) − X̂_{n}(t)| > \frac{ε}{2}) + P (|X̂_{n}(t) − σ^{2}t| > \frac{ε}{2}) .

Nézzük először az egyenlőtlenség első tagját. Az előző lemma bizonyításához hasonlóan ismét felírhatjuk X_{n}(t)-t és X̂_{n}(t)-t az r_{ij}(t) valószínűségi változókkal.

X_{n}(t) = \frac{1}{\sqrt{n(n − 1)}} ∑_{i=1}^{n−1} ∑_{j=1}^{n−1} a_{in}a_{jn}r_{ij}(t),

és

X̂_{n}(t) = \frac{1}{\sqrt{n(n − 1)}} ∑_{i=1}^{n−1} ∑_{j=1}^{n−1} â_{in}â_{jn}r_{ij}(t).

Ennek alapján

|X_{n}(t) − X̂_{n}(t)| = \frac{1}{\sqrt{n(n − 1)}} |∑_{i=1}^{n−1} ∑_{j=1}^{n−1}(a_{in}a_{jn} − â_{in}â_{jn})r_{ij}(t)| .

Ekkor a kövekező események valószínűségének összegével becsüljük felülről P (|X_{n}(t) − X̂_{n}(t)| > \frac{ε}{2})-t - Minden a_{in} ≤ (n − 1)^{\frac{γ}{2}} , azaz a_{in} = â_{in} ∀i. Ekkor X_{n}t − X̂_{n}(t) = 0, így

ezzel az esettel a továbbiakban nem foglalkozunk.

- Létezik legalább 2 különbözö k és l index, hogy a_{kn} > (n − 1)^{\frac{γ}{2}} , és a_{ln} > (n − 1)^{\frac{γ}{2}} .

- Létezik pontosan egy k index, hogy a_{kn} > (n − 1)^{\frac{γ}{2}} . Ekkor i ≠ k esetén a_{in} = â_{in}, így elég az összegnek azon tagjait tekinteni, amelyekben a_{kn} szerepel, azaz

X_{n}(t) − X̂_{n}(t) = \frac{1}{\sqrt{n(n − 1)}}( ∑_{i=1}^{n−1} a_{in}a_{kn}r_{ik} + ∑_{{j=1 \atop j≠k}}^{n−1} a_{kn}a_{jn}) =

= \frac{1}{\sqrt{n(n − 1)}}(a_{kn}^{2} + 2a_{kn}Ŝ_{kn}(t)),

ahol

Ŝ_{kn}(t) = ∑_{{i=1 \atop i≠k}}^{n−1} â_{in}r_{ik}(t).

A harmadik esetben tovább bonthatjuk az \{X_{n}(t) − X̂_{n}(t) > \frac{ε}{2}\} esemény valószínűségét, azaz

- vagy a_{kn}^{2} > \frac{ε\sqrt{n(n − 1)}}{4}, ekkor feltehetjük, hogy |a_{kn}| > \frac{\sqrt{ε(n − 1)}}{2}, hiszen

P (a_{kn}^{2} > \frac{ε\sqrt{n(n − 1)}}{4}) ≤ P (|a_{kn}| > \frac{\sqrt{ε(n − 1)}}{2}) ,

- ha ez nem teljesül, azaz |a_{kn}| ≤ \frac{\sqrt{ε(n − 1)}}{2}, akkor

2 |a_{kn}Ŝ_{kn}(t)| > \frac{ε\sqrt{n(n − 1)}}{4} ⇒ |Ŝ_{kn}(t)| > \frac{\sqrt{εn}}{4}.

Így az eddigieket a következő alakban összegezhetjük.

P (|X_{n}(t) − σ^{2}t| > ε) ≤ P (∃k ≤ n − 1 : |a_{kn}| > \frac{\sqrt{ε(n − 1)}}{2}) +

+P (∃k, l ≤ n − 1, k ≠ l : |a_{kn}| > (n − 1)^{\frac{γ}{2}} , |a_{ln}| > (n − 1)^{\frac{γ}{2}} ) +

+P (∃k ≤ n − 1 : |Ŝ_{kn}(t)| > \frac{\sqrt{εn}}{4}) + P (|X̂_{n}(t) − σ^{2}t| > \frac{ε}{2}) =

= p_{1n} + p_{2n} + p_{3n} + p_{4n}. Tehát elég ∑_{n} p_{in} végességét vizsgálni, i = 1, 2, 3, 4-re.

1. Használjuk 6.3. Lemmát, és azt, hogy M_{4} < ∞, így

∑_{n} p_{1n} ≤ ∑_{n} nP (|a_{1n}| > \frac{\sqrt{εn}}{2}) < ∞,

2. Az a_{kn}-ek függetlensége miatt

p_{2n} ≤ (n − 1)^{2}P (|a_{12}| > (n − 1)^{\frac{γ}{2}} )^{2} .

M_{4} < ∞, ezért n^{2γ}P (|a_{12}| > n^{\frac{γ}{2}} ) → 0, és mivel γ > \frac{3}{4}, így

∑_{n} (nP (|a_{12}| > n^{\frac{γ}{2}} ))^{2} = ∑_{n} o (n^{2−4γ}) < ∞

3. Legyen ε_{1} = \frac{\sqrt{ε}}{4}, és alkalmazzuk a Csebisev-egyenlőtlenséget:

p_{3n} ≤ ∑_{k=1}^{n−1} P (|Ŝ_{kn}(t)| > \frac{ε_{1}}{\sqrt{n}}) ≤ \frac{1}{ε_{1}^{6}n^{3}} ∑_{k=1}^{n−1} EŜ_{kn}^{6}(1).

Az előző lemma bizonyításához hasonlóan EŜ_{kn}^{6} tagjai (5) és (7) segítségével a következőképpen becsülhetők

- M̂_{6} ∑_{i_{1}=1}^{n−1} Er_{i_{1}k}^{6} = o (n^{γ});

- M̂_{5}M̂_{1} ∑_{i_{1}=1}^{n−1} ∑_{i_{2}=1}^{n−1} E (r_{i_{1}k}^{5}r_{i_{2}k}) = \frac{1}{4} \frac{\sqrt{n}}{2}o (n^{\frac{γ}{2} − \frac{3γ}{2}} ) = o (n^{\frac{1}{2} −γ});

- M̂_{4}M̂_{2} ∑_{i_{1}=1}^{n−1} ∑_{i_{2}=1}^{n−1} E (r_{i_{1}k}^{4}r_{i_{2}k}^{2}) = O(1);

- M̂_{4}M̂_{1}^{2} ∑_{i_{1}=1}^{n−1} ∑_{i_{2}=1}^{n−1} ∑_{i_{3}=1}^{n−1} E (r_{i_{1}k}^{4}r_{i_{2}k}r_{i_{3}k}) = o (n^{1−3γ});

- M̂_{3}^{2} ∑_{i_{1}=1}^{n−1} ∑_{i_{2}=1}^{n−1} E (r_{i_{1}k}^{3}r_{i_{2}k}^{2}) = O(1);

- M̂_{3}M̂_{2}M̂_{1} ∑_{i_{1}=1}^{n−1} ∑_{i_{2}=1}^{n−1} ∑_{i_{3}=1}^{n−1} E (r_{i_{1}k}^{3}r_{i_{2}k}^{2}r_{i_{3}k}) = o (n^{\frac{1−3γ}{2}} );

- M̂_{3}M̂_{1}^{3} ∑_{i_{1}=1}^{n−1} ∑_{i_{2}=1}^{n−1} ∑_{i_{3}=1}^{n−1} ∑_{i_{4}=1}^{n−1} E (r_{i_{1}k}^{3}r_{i_{2}k}r_{i_{3}k}r_{i_{4}k}) = o (n^{\frac{3−9γ}{2}} );

- M̂_{2}^{3} ∑_{i_{1}=1}^{n−1} ∑_{i_{2}=1}^{n−1} ∑_{i_{3}=1}^{n−1} E (r_{i_{1}k}^{2}r_{i_{2}k}^{2}r_{i_{3}k}^{2}) = O(1);

- M̂_{2}^{2}M̂_{1}^{2} ∑_{i_{1}=1}^{n−1} ∑_{i_{2}=1}^{n−1} ∑_{i_{3}=1}^{n−1} ∑_{i_{4}=1}^{n−1} E (r_{i_{1}k}^{2}r_{i_{2}k}^{2}r_{i_{3}k}r_{i_{4}k}) = o (n^{1−3γ});

- M̂_{2}M̂_{1}^{4} ∑_{i_{1}=1}^{n−1} ∑_{i_{2}=1}^{n−1} ∑_{i_{3}=1}^{n−1} ∑_{i_{4}=1}^{n−1} ∑_{i_{5}=1}^{n−1} E (r_{i_{1}k}^{2}r_{i_{2}k}r_{i_{3}k}r_{i_{4}k}r_{i_{5}k}) = o (n^{2−6γ});

- M̂_{1}^{6} ∑_{i_{1}=1}^{n−1} ∑_{i_{2}=1}^{n−1} ∑_{i_{3}=1}^{n−1} ∑_{i_{4}=1}^{n−1} ∑_{i_{5}=1}^{n−1} ∑_{i_{6}=1}^{n−1} E (r_{i_{1}k}r_{i_{2}k}r_{i_{3}k}r_{i_{4}k}r_{i_{5}k}r_{i_{6}k}) = o (n^{3−9γ}),

ahol i_{1}, i_{2}, i_{3}, i_{4}, i_{5}, i_{6} egymástól és k-tól különböző indexeket jelölnek. Így EŜ_{kn}(1) = o(γ), tehát

∑_{n} p_{3n} ≤ ∑_{n} o(1)n^{1+γ−3} < ∞

4. Ismét alkalmazzuk a Csebisev egyenlőtlenséget:

p_{4n} ≤ (\frac{2}{ε})^{4} E((X̂_{n}(t) − σ^{2}t)^{4}),

továbbá

E(X̂_{n}(t) − σ^{2}t)^{4} ≤ 8E(X̂_{n}(t) − EX̂_{n}(t))^{4} + 8(EX̂_{n}(t) − σ^{2}t)^{4}.

Az előző lemma bizonyításából látható, hogy EX̂_{n}(t) − σ^{2}t = o(n^{−γ}), tehát ∑(EX̂_{n}(t) − σ^{2}t)^{4} konvergens. ∑ E(X̂_{n}(t) − EX̂_{n}(t))^{4} végességének bizonyításához

E(X̂_{n}(t) − EX̂_{n}(t))^{4} =

= E(X̂_{n}(t))^{4} − 4E(X̂_{n}(t))^{3}EX̂_{n}(t) + 6 (EX̂_{n}(t)^{2})^{2} − 3(EX̂_{n}(t))^{4}

miatt E(X̂_{n}(t))^{4} − σ^{8}t^{4}, és E(X̂_{n}(t))^{3} − σ^{6}t^{3} nagyságrendjét kell még becsülnünk, hiszen azt az előző lemma bizonyításában láttuk, hogy EX̂_{n}(t) − σ^{2}t = o (n^{2−3γ}), és EX̂_{n}(t)^{2} − σ^{4}t^{2} = o (n^{−γ}). A szükséges számolásokból már ízelítőt kaphattunk az előző lemma bizonyításában és Ŝ_{kn}(1) nagyságrendjének meghatározásakor. Itt E(X̂_{n}(t))^{3}-hoz 22, E(X̂_{n}(t))^{4}-hez pedig 68 esetet kell vizsgálnunk, hogy a keresett nagyságrendeket megkapjuk.

Q.E.D.

A 5.13. Lemma miatt az Ea_{12} = 0 feltétel is kiküszöbölhető, hiszen Ea_{12} = a esetén E_{n}-nel jelölve azt az n × n-es mátrixot, melynek minden helyén 1 áll az A_{n} és A_{n} − aE_{n} sajátértékeiből képzett tapasztalati eloszlásfüggvények Stieljes-transzformáltjainak különbsége minden z-re 0-hoz tart.

2.2. Wigner mátrixok legnagyobb sajátértékeinek aszimptotikus viselkedése

Az előző fejezetben a 2.2. és 2.3. Tétel megmutatta, hogy a sajátértékek aszimptotikusan lefedik a [−2σ, 2σ] intervallumot, de ez még nem zárja ki azt, hogy az intervallumon kívül is legyen legfeljebb o(n) darab sajátérték. Most azt bizonyítjuk, hogy az intervallumon kívül 1 valószínűséggel nincsenek sajátértékek.

Jelölje az n × n-es A mátrix sajátértékeit

λ_{max}(A) = λ_{1}(A) ≥ ⋯ ≥ λ_{n}(A) = λ_{min}(A).

2.7. Tétel (Bai, Yin 1988). Ha teljesülnek a következő feltételek:

• E(a_{11}^{+})^{2} < ∞, ahol a_{11}^{+} = a_{11}χ_{{a_{11}≥0}},

• Ea_{12}^{4} < ∞,

• σ^{2} = Ea_{12}^{2},

• Ea_{12} ≤ 0,

akkor λ_{max} (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}) ⟶^{n→∞} 2σ 1 vsz-gel.

Először lássuk be a következő tételt:

2.8. Tétel (Bai, Yin 1988). Ha Ea_{12} = 0, Ea_{12}^{2} = σ^{2}, Ea_{12}^{4} < ∞, és a_{ii} ≡ 0, akkor

λ_{max} (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}) ⟶^{n→∞} 2σ és λ_{min} (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}) ⟶^{n→∞} −2σ 1 vsz-gel.

Bizonyítás. A szimmetria miatt elég csak λ_{max}-ra belátni a tételt. A 5.14. és 5.15. Lemmát r = \frac{1}{2}-re alkalmazva feltehetjük, hogy |a_{ij}| ≤ \sqrt{n}δ, és nyilván az is feltehető, hogy σ = 1. Ekkor a 2.3. Tételből következik, hogy lim inf λ_{max} ≥ 2 1 vsz-gel, így elég belátni, hogy lim sup λ_{max} ≤ 2 1 vsz-gel. Mivel tetszőleges k-ra

λ_{max} (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n})^{2k} ≤ tr (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n})^{2k}

így elég találni olyan k = k(n) pozitív egész számokból álló monoton növő sorozatot, hogy tetszőleges z > 2-re teljesüljön, hogy

∑_{n=1}^{∞} \frac{E tr (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n})^{2k(n)}}{z^{2k(n)}} < ∞

Belátjuk, hogy k(n)-t, és δ_{n}-t úgy választva, hogy

\frac{k(n)}{log n} ⟶^{n→∞} ∞, δ_{n} log n ⟶^{n→∞} ∞, és \frac{\sqrt[3]{δ_{n}}k(n)}{log n} ⟶^{n→∞} 0,  (8)

véges összeget kapunk.

E tr (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n})^{2k} = \frac{1}{n^{k}} ∑ E (a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}} … a_{i_{2k}i_{1}}) .

Itt az összegzést olyan indexekre nézzük, ahol az i_{1}, … i_{2k} számok az {1, …, n} halmaz elemei, és i_{1} ≠ i_{2}, i_{2} ≠ i_{3}, … i_{2k} ≠ i_{1}. Megkonstruálva az indexhalmazoknak megfelelő gráfokat, feltehetjük, hogy minden él legalább 2-szeres (különben a szorzat 0-hoz tart), és azt hogy a gráfban nincs hurokél, hiszen i_{1} ≠ i_{2}, i_{2} ≠ i_{3}, … i_{2k} ≠ i_{1}. Ezeket a gráfokat W -gráfoknak nevezzük. A 5.1. fejezetben a W gráfok éleit 3 csoportra osztjuk: i_{m}i_{m+1} ∈ Ω_{1}, ha i_{m+1} ∉ {i_{1}, …, i_{m}}, i_{m}i_{m+1} ∈ Ω_{2}, ha létezik pontosan egy l < m, hogy i_{l}i_{l+1} megegyezik i_{m}i_{m+1}-gyel , és ez az i_{l}i_{l+1} él Ω_{1} él. Az összes többi él Ω_{3} él. Egy W -gráf kanonikus, ha i_{m} + 1 ≤ max{i_{1}, …, i_{m}} + 1. A kanonikus W -gráfok számára a 5.1. fejezetben adunk felső becslést, úgy, hogy előre rögzítjük, hogy a 2k darab él közül melyik Ω_{1}, Ω_{2}, illetve Ω_{3} él. Ha |{i_{1}, …, i_{2k}}| = l + 1, akkor ehhez az indexhalmazhoz tartozó W -gráfok száma felülről becsülhető n^{l+1}-szer a kanonikus W -gráfok számával. Becsüljük most az összeg egy tagját. Legyen a Ω_{1} élek száma l, a különböző Ω_{3} élek száma pedig t. Jelöljük μ-vel azon Ω_{3} élek számát, amelyek megegyeznek egy Ω_{1} éllel, és n_{i} ezek közül az i-edik éllel megegyezők számát. Végül legyen j = 1, …, t − μ -re m_{j} a többi, egymással megegyező i_{m}i_{m+1} ∈ Ω_{3} él száma. Ekkor

E (a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}} … a_{i_{2k}i_{1}}) = (Ea_{12}^{2})^{l−μ} ∏_{i=1}^{μ} E(a_{12}^{n_{i}+2}) ∏_{j=1}^{t−μ} Ea_{12}^{m_{j}},

ahol 2(l − μ) + ∑_{i=1}^{μ}(n_{1} + 2) + ∑_{i=1}^{t−μ} m_{i} = 2k, és μ ≤ t. A 6.1. Lemmát használva

E|a_{12}|^{l} ≤ C(\sqrt{n}δ)^{l−3} ha l ≥ 3, ahol C = E|a_{12}|^{3}, így fenti szorzatra

|E (a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}} … a_{i_{2k}i_{1}}) | ≤ C^{μ}(\sqrt{n}δ)^{2k−2l−t} ≤ k^{t}(\sqrt{n}δ)^{2k−2l−t}

Összegezzük a tagokat:

E tr (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n})^{2k} ≤

≤ \frac{1}{n^{k}} ∑_{l=1}^{k} \binom{2k}{l}\binom{2k − l}{l}n^{l+1} ∑_{t=0}^{2(k−l)} \binom{k^{2}}{t}t^{2(k−l)}(t + 1)^{4(k−l)}k^{t}(\sqrt{n}δ)^{2k−2l−t} ≤

≤ ∑_{l=1}^{k} n\frac{(2k)!}{l!l!(2k − 2l)!} ∑_{t=0}^{2(k−l)} k^{2t}(t + 1)^{6(k−l)}k^{t}δ^{2k−2l}(\sqrt{n}δ)^{−t} =

= ∑_{l=1}^{k} n\binom{2k}{2l}\binom{2l}{l} ∑_{t=0}^{2(k−l)} (\frac{k^{3}}{\sqrt{n}δ} )^{t} (t + 1)^{6(k−l)}δ^{2(k−l)}.

Tekintsük t > 0-ra a következő függvényt:

g(t) = a^{t}(t + 1)^{b} 0 < a < 1, 0 < b.

Ekkor a derivált tulajdonságaiból adódik, hogy

g(t) ≤ \{ \begin{matrix}(\frac{b}{| log a|})b & ha b ≥ | log a| \\ 1 & ha b < | log a|, \end{matrix}

azaz

g(t) ≤ max (\frac{b}{| log a|}, 1)^{b} .

Most ezt a becslést a = \frac{k^{3}}{\sqrt{n}δ}-ra, és b = 6(k − l)-re alkalmazzuk.

E tr (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n})^{2k} ≤ ∑_{l=1}^{k} n\binom{2k}{2l}\binom{2l}{l} ∑_{t=0}^{2(k−l)} max (\frac{6(k − l)}{log \frac{\sqrt{n}δ}{k^{3}}} \sqrt[3]{δ}, \sqrt[3]{δ})^{6(k−l)} ≤

≤ 2k ∑_{l=1}^{k} n\binom{2k}{2l}2^{2l}Δ_{n}^{2(k−l)} ≤ 2k (n^{\frac{1}{2k}} (2 + Δ_{n}))^{2k} ,

ahol bevezettük a Δ_{n} = max (\frac{18k\sqrt[3]{δ}}{log n} , \sqrt[3]{δ})^{3} jelölést. Az utolsó egyenlőtlenség a binomiális tétel következménye. Ha δ_{n}-t és k(n)-t (8) szerint választjuk meg, akkor Δ_{n} ⟶^{n→∞} 0 így

∑_{n} \frac{E (λ_{max} (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}))^{2k}}{z^{2k}} ≤ ∑_{n} 2k \frac{(n^{\frac{1}{2k}} (2 + Δ_{n}))^{2k}}{z^{2k}} =

= ∑_{n} 2ke^{2k log(n^{\frac{1}{2k}} \frac{2+Δn}{z} )} = ∑_{n} 2kn^{2L_{n} log(n^{\frac{1}{2k}} \frac{2+Δn}{z} )}.

Ez az összeg z > 2 esetén konvergens, mert k(n) és δ_{n} megválasztása miatt

k ≤ log^{2} n, L_{n} = \frac{k}{log n} ⟶^{n→∞} ∞, és n^{\frac{1}{2k}} = e^{\frac{log n}{2k}} ⟶^{n→∞} 1. Q.E.D.

A 2.7. Tétel bizonyítása. Próbáljuk az A_{n} mátrixot olyan alakra hozni, hogy alkalmazhassuk a 2.8. Tételt.

1. Legyen M > 0 olyan, hogy P (a_{11} ≤ −M) < \frac{1}{2}, és definiáljuk \overline{a}_{ii} = a_{ii}χ_{\{a_{ii}≤−M\}} -et. Mivel E(a_{11}^{+})^{2} < ∞, így

∑_{i} P ((a_{ii} − \overline{a}_{ii})^{2} ≥ iε) < ∞ ∀ε > 0.

Tehát

lim_{n} \frac{1}{\sqrt{n}} max_{1≤i≤n} |a_{ii} − \overline{a}_{ii}| = 0 1 vsz-gel.

Azaz, ha \overline{A}_{n} = (\overline{a}_{ij}), ahol i ≠ j esetén \overline{a}_{ij} = a_{ij}, akkor

|λ_{max} (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}) − λ_{max} (\frac{1}{\sqrt{n}}\overline{A}_{n})| ≤ sup_{∥x∥=1} |x^{T} \frac{1}{\sqrt{n}}(A_{n} − \overline{A}_{n})x| =

= \frac{1}{\sqrt{n}} sup_{∥x∥=1} |∑_{i=1}^{n}(a_{ii} − \overline{a}_{ii})x_{i}^{2}| ≤ \frac{1}{\sqrt{n}} max_{1≤i≤n} |a_{ii} − \overline{a}_{ii}| → 0 1 vsz-gel.

Így elég a tételt az \overline{A}_{n} mátrixokra igazolni.

2. Ha Ã_{n} = (ã_{ij}), ahol

ã_{ij} = \{ \begin{matrix}\overline{a}_{ij} − E\overline{a}_{ij} = a_{ij} − Ea_{ij}, & ha i ≠ j \\ 0, & ha i = j \end{matrix}

akkor ∥x∥ = 1-re

x^{T} \frac{1}{\sqrt{n}}\overline{A}_{n}x = x^{T} \frac{1}{\sqrt{n}}Ã_{n}x + \frac{2}{\sqrt{n}}Ea_{12} ∑_{i,j} x_{i}x_{j} + \frac{1}{\sqrt{n}} ∑_{i} \overline{a}_{ii}x_{i}^{2} ≤

≤ x^{T} \frac{1}{\sqrt{n}}Ã_{n}x + \frac{1}{\sqrt{n}}Ea_{12} (∑_{i} x_{i})^{2} + \frac{|Ea_{12}|}{\sqrt{n}} ≤ x^{T} \frac{1}{\sqrt{n}}Ã_{n}x + \frac{|Ea_{12}|}{\sqrt{n}},

hiszen Ea_{12} ≤ 0, és \overline{a}_{ii} ≤ 0. Ã_{n}-re már alkalmazhatjuk az előző tételt, azaz az 1. pont felhasználásával

lim sup λ_{max} (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}) ≤ 2 1 vsz-gel.

3. Legyen k a nem 0 diagonális elemek száma \overline{A}_{n}-ben. Ekkor k ∼Binom(n, p), ahol p = P (\overline{a}_{11} ≠ 0) < \frac{1}{2}. Legyen továbbá

V = ⟨ x = (x_{1}, …, x_{n})^{T} | ∑_{i=1}^{n} x_{i} = 0, és \overline{a}_{ii} ≠ 0 ⇒ x_{i} = 0 ⟩

egy n − k − 1 dimenziós vektortér.

λ_{max} (\frac{1}{\sqrt{n}}\overline{A}_{n}) ≥ sup_{{x∈V \atop ∥x∥=1}} x^{T} (\frac{1}{\sqrt{n}}\overline{A}_{n}) x = sup_{{x∈V \atop ∥x∥=1}} x^{T} (\frac{1}{\sqrt{n}}Ã_{n}) x+

+\frac{1}{\sqrt{n}} ∑_{i=1}^{n}(a_{ii} − Ea_{12})x_{i}^{2} ≥ sup_{{x∈V \atop ∥x∥=1}} x^{T} (\frac{1}{\sqrt{n}}Ã_{n}) x ≥ λ_{k+2} (\frac{1}{\sqrt{n}}Ã_{n}) .

A 6.4. Lemma miatt:

P (\frac{k}{n} − p ≥ p) ≤ e^{− \frac{pn}{4}} ∀n.

Így P (k ≥ 2np végtelen sokszor) = 0, azaz nagy n-re

λ_{max} (\frac{1}{\sqrt{n}}\overline{A}_{n}) ≥ λ_{[2pn]+2} (\frac{1}{\sqrt{n}}Ã_{n}) 1 vsz-gel.

Ekkor a 2.3. Tételből következik hogy

λ_{[2pn]+2} (\frac{1}{\sqrt{n}}Ã_{n}) → W^{−1}(1 − 2p) = ν_{p} 1 vsz-gel,

és ezért tetszőleges p < \frac{1}{2} számra

lim inf_{n→∞} λ_{max} (\frac{1}{\sqrt{n}}\overline{A}_{n}) ≥ ν_{p} 1 vsz-gel.

Mivel p → 0 esetén ν_{p} → 2, ezért

lim_{n→∞} λ_{max} (\frac{1}{\sqrt{n}}\overline{A}_{n}) = 2 1 vsz-gel,

és így megint felhasználva az 1. pontot A_{n} mátrixra is teljesül, hogy lim_{n→∞} λ_{max} (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}) = 2 1 vsz-gel.

Q.E.D.

Megjegyzés. A 2.7. Tétel feltételei szükségesek a konvergenciához, azaz ha valamelyik feltétel nem teljesül, akkor

P (lim sup λ_{max} (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}) = ∞) = 1.

2.3. A sajátértékekből képzett tapasztalati eloszlásfüggvény várható értékének konvergenciasebessége

Az előző fejezetek során beláttuk, hogy a sajátértékekből képzett tapasztalati eloszlásfüggvény 1 valószínűséggel tart a Wigner- féle félköreloszláshoz. Most a konvergencia sebességét vizsgáljuk.

2.9. Tétel (Bai 1993). Legyen A_{n} egy olyan Wigner mátrix, aminek elemeire teljesülnek az alábbiak:

• Ea_{ij} = 0, minden 1 ≤ i ≤ j ≤ n esetén;

• Ea_{ij}^{2} = 1, minden 1 ≤ i < j ≤ n esetén;

• Ea_{ii}^{2} = σ^{2}, minden 1 ≤ i ≤ n esetén;

• sup_{n} sup_{1≤i≤j≤n} Ea_{ij}^{4} ≤ M < ∞.

Ha W_{n} jelöli \frac{1}{\sqrt{n}}A_{n} sajátértékeinek tapasztalati eloszlásfüggvényét, akkor

∥EW_{n} − W ∥ = O(n^{− \frac{1}{4}} )

ahol W (x) = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{x} \sqrt{4 − y^{2}}χ_{[−2,2]}(y) dy.

A bizonyításhoz először a következő tételt lássuk be:

2.10. Tétel (Bai 1993). A fenti tétel feltételei mellett:

∥EW_{n} − W ∥ = O(n^{− \frac{1}{6}} ).

Bizonyítás. A tételt a 5.10. Tétel felhasználásával fogjuk bizonyítani, azaz a Stieljes-traszformáltak különbségének integráljára próbálunk megfelelő becslést adni. Számoljuk ki EW_{n} Stieljes-transzformáltját.

s_{n}(z) = ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{x − z} dEW_{n}(x) = \frac{1}{n}E tr (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n} − zI_{n})^{−1}  (9)

A 6.5. Lemma miatt ezt továbbírhatjuk a következő alakban:

s_{n}(z) = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} E \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{n}}a_{kk} − z − \frac{1}{n}α^{T} (k) (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(k) − zI_{n−1})^{−1} α(k)} =

= \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} E \frac{1}{ε_{k} − z − s_{n}(z)} = −\frac{1}{z + s_{n}(z)} + δ,  (10)

ahol α^{T} (k) = (a_{1k}, …, a_{k−1,k}, a_{k+1,k}, …, a_{nk}), A_{n}(k) az a mátrix, amit A_{n}-ből a k-adik sor, és k-adik oszlop elhagyásával kapunk, továbbá

ε_{k} = \frac{1}{\sqrt{n}}a_{kk} − \frac{1}{n}α^{T} (k) (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(k) − zI_{n−1})^{−1} α(k) + s_{n}(z) (11)

δ = δ_{n} = −\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} E \frac{ε_{k}}{(z + s_{n}(z))(z + s_{n}(z) − ε_{k})}  (12)

Oldjuk meg a (10) egyenletet s_{n}(z)-re. Ekkor két megoldást kapunk, de mivel a keresett Stieljes transzformáltra tetszőleges z = u + iv, v > 0 esetén

Im(z + s_{n}(z)) = v (1 + E ∫ \frac{1}{(x − u)^{2} + v^{2}} dW_{n}(x)) ≥ v  (13)

miatt teljesülnie kell annak, hogy

|z + s_{n}(z)|^{−1} ≤ v^{−1},  (14)

és a definícióból látszik, hogy

|s_{n}(z)| ≤ v^{−1}  (15)

EW_{n} Stieljes-transzformáltjára kapjuk:

s_{n}(z) = −\frac{(z − δ) − \sqrt{(z + δ)^{2} − 4}}{2}  (16)

Legyen s(z) = \frac{z − \sqrt{z^{2} − 4}}{2}, azaz a Wigner-féle félköreloszlás 5.2. fejezetben kiszámolt Stieljes-transzformáltja. Ekkor

|s_{n}(z) − s(z)| ≤ \frac{1}{2}|δ| (1 + \frac{|2z + δ|}{|\sqrt{z^{2} − 4} + \sqrt{(z + δ)^{2} − 4}|}) .  (17)

Most a jobboldalon álló szorzat tagjaira próbálunk felső becslést adni.

1. Kezdjük δ becslésével.

2.11. Állítás. Alkalmas v választásával

|δ| < \frac{2M + 6}{nv^{5}}.

Az Állítás bizonyítása. A δ definíciójában szereplő (z + s_{n}(z) − ε_{k})^{−1} felülről becsülhető v^{−1}-el, ugyanis

Im (\frac{1}{\sqrt{n}}a_{kk} − z − \frac{1}{n}α^{T} (k) (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(k) − zI_{n−1})^{−1} α(k)) ≤

≤ v (1 + \frac{1}{n}α^{T} (k) ((\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(k) − uI_{n−1})^{2} + v^{2}I_{n−1})^{−1} α(k)) .

Ekkor (12) és (14) miatt:

|δ| ≤ \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} (\frac{|Eε_{k}|}{|z + s_{n}(z)|^{2}} + E |\frac{ε_{k}^{2}}{(z + s_{n}(z))^{2}(z + s_{n}(z) − ε_{k})}|) ≤  (18)

≤ (z + s_{n}(z))^{−2} (\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} (|Eε_{k}| + \frac{1}{v}E|ε_{k}^{2}|)) ≤ \frac{1}{nv^{2}} (∑_{k=1}^{n} |Eε_{k}| + \frac{1}{v} ∑_{k=1}^{n} E|ε_{k}^{2}|) .

Itt s_{n}(z) (9)-beli alakjából a 6.6. Lemma alkalmazásával kapjuk, hogy

|Eε_{k}| = \frac{1}{n} |E [ tr (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n} − zI_{n})^{−1} − tr (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(k) − zI_{n−1})^{−1}]| ≤ \frac{1}{nv} ,

hiszen az a_{ij}-k függetlenek és 0 várható értékűek. A másik tagot összeg alakban írjuk fel.

E|ε_{k}|^{2} = |E(ε_{k})|^{2} + E|ε_{k} − Eε_{k}|^{2} = |E(ε_{k})|^{2} + \frac{σ^{2}}{n} +

+E |\frac{1}{n}α_{k}^{T} (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(k) − zI_{n−1})^{−1} α_{k} − \frac{1}{n} tr (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(k) − zI_{n−1})^{−1}|^{2} +

+E |\frac{1}{n} tr (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(k) − zI_{n−1})^{−1} − \frac{1}{n}E tr (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(k) − zI_{n−1})^{−1}|^{2}(19)

Itt azt használtuk, hogy ugyancsak a függetlenség miatt

Eα_{k}^{T} (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(k) − zI_{n−1})^{−1} α_{k} = E tr (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(k) − zI_{n−1})^{−1} .

Becsüljük az összeg tagjait.

(a) |Eε_{k}|^{2} ≤ \frac{1}{n^{2}v^{2}}

(b) Jelöljük az R_{k} = (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(k) − zI_{n−1})^{−1} mátrix elemeit r_{ij}(k)-val, ekkor kihasználva, hogy r_{ij}(k) független a_{ik}-tól

E |\frac{1}{n}α_{k}^{T} (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(k) − zI_{n−1})^{−1} α_{k} − \frac{1}{n} tr (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(k) − zI_{n−1})^{−1}|^{2} =

= E |\frac{1}{n} ∑_{j,l} r_{jl}(k)(a_{jk}a_{lk} − E(a_{jk}a_{lk}))|^{2} ≤ \frac{2M}{n^{2}} ∑_{i,j} E|r_{ij}^{2}(k)| =

= \frac{2M}{n^{2}} E tr ((\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(k) − uI_{n−1})^{2} + v^{2}I_{n−1})^{−1} ≤ \frac{2M}{nv^{2}}

(c) A negyedik tag becsléséhez bevezetjük a következő jelöléseket. Legyen A(d, k) az a mátrix, amit A_{n}-ből az k-adik és d-edik sor illetve oszlop elhagyásával kapunk, α(d, k) A_{n} d-edik oszlopa elhagyva a d-edik és k-adik elemet, E_{d} pedig jelölje az {a_{ij}, d+1 ≤ i ≤ j ≤ n} szerint vett feltételes várható értéket. Legyen továbbá

σ_{d}(k) = tr (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(k) − zI_{n−1})^{−1} − tr (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(d, k) − zI_{n−2})^{−1} ,

γ_{k}(k) = 0, d ≠ k esetén pedig

γ_{d}(k) = E_{d−1}tr (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(k) − zI_{n−1})^{−1}− E_{d}tr (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(k) − zI_{n−1})^{−1}=
= E_{d−1}σ_{d}(k) − E_{d}σ_{d}(k).

Ekkor mivel a 6.6. Lemma miatt |σ_{d}(k)| ≤ v^{−1}, ezért

E |\frac{1}{n} tr (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(k) − zI_{n−1})^{−1} − \frac{1}{n}E tr (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(k) − zI_{n−1})^{−1}|^{2} ≤

≤ \frac{1}{n^{2}} ∑_{d=1}^{n} E|γ_{d}^{2}(k)| ≤ \frac{1}{nv^{2}} .

A tagonkénti becsléseket összegezve, elég nagy n-re kapjuk:

E|ε_{k}|^{2} ≤ \frac{σ^{2}}{n} + \frac{2M}{nv^{2}} + \frac{1}{nv^{2}} + \frac{1}{n^{2}v^{2}} < \frac{2M + 5}{nv^{2}}.  (20)

Végül n > 2M + 6 esetén legyen v = (\frac{2M+6}{n})^{\frac{1}{6}} , és ezt behelyettesítve (18) egyenlőtlenségbe megkapjuk a keresett felső korlátot. Q.E.D.

A továbbiakban feltesszük, hogy n olyan nagy, hogy v < \frac{1}{3}.

2. Most nézzük a szorzat második tagjának becslését.

(a) Ha v < |u| ≤ 4, akkor mivel |u| > v, ezért \sqrt{z^{2} − 4} és \sqrt{(z + δ)^{2} − 4} valós és képzetes részének előjele megegyezik, így a nevező alulról becsülhető \sqrt{z^{2} − 4} valós részével, azaz

|s_{n}(z) − s(z)| ≤ \frac{1}{2}|δ| (1 + \frac{2|u| + 3v}{\sqrt{|u^{2} − v^{2} − 4|}}) .

(b) Ha |u|>4, akkor az is igaz, hogy \frac{2|u|+3v}{\sqrt{|u^{2}−v^{2}−4|}} < 3, ami az előző

egyenlőtlenséggel együtt azt jelenti, hogy

|s_{n}(z) − s(z)| ≤ 2|δ|.

(c) Ha |u| ≤ v, akkor |δ| < v miatt |\sqrt{(z + δ)^{2} − 4} − 2i| ≤ \frac{9}{2}v^{2}, és |\sqrt{z^{2} − 4} − 2i| ≤ 2v^{2}, ezért a nevező mindkét tagját 2i-vel közelítjük, így

|s_{n}(z) − s(z)| ≤ \frac{1}{2}|δ| (1 + \frac{5v}{4 − 7v^{2}} ) ≤ 2|δ|.

|s_{n}(z) − s(z)| ≤ \{ \begin{matrix}\frac{1}{2}|δ| (1 + \frac{2|u|+3v}{\sqrt{|u^{2}−v^{2}−4|}}) , & ha v < |u| ≤ 4, \\ 2|δ|, & különben. \end{matrix}

3. A különbség integráljának becsléséhez szükségünk van még ∫_{−∞}^{∞} |δ| du becslésére. Az Állítás és (18) miatt az s_{n}(z) = −\frac{1}{z+s_{n}(z)} + δ egyenletből

∫_{−∞}^{∞} |δ| du ≤ \frac{2M + 6}{nv^{3}} ∫_{−∞}^{∞} |z + s_{n}(z)|^{−2} du ≤

≤ \frac{4M + 12}{nv^{3}} (∫_{−∞}^{∞} |s_{n}(z)|^{2} du + v ∫_{−∞}^{∞} |δ| du) .

Használva, hogy 0 < a, x, y, 0 < b < 1 esetén

y ≤ ax + by ⇒ ax + by ≤ \frac{a}{1 − b}x,  (21)

olyan nagy n-re, amelyre teljesül, hogy nv^{2} > (2M + 7)(4M + 12) kapjuk, hogy

∫_{−∞}^{∞} |δ| du ≤ \frac{4M + 12}{nv^{3} (1 − \frac{4M+12}{nv^{2}})} ∫_{−∞}^{∞} |s_{n}(z)|^{2} du ≤

≤ \frac{4M + 14}{nv^{3}}E ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{(x − u)^{2} + v^{2}} du dW_{n}(x) ≤ \frac{4M + 14}{nv^{4}} ≤ 2v^{2}.

4. Most rakjuk össze az 1., 2. és 3. pontban kiszámolt becsléseket.

∫_{−∞}^{∞} |s_{n}(z) − s(z)| du = ∫_{{|u|≤v}} |s_{n} − s| du + ∫_{{v<|u|≤4}} |s_{n} − s| du+

+ ∫_{\{|u|>4\}} |s_{n} − s| du ≤ 2 ∫_{−∞}^{∞} |δ| du + 4 ∫_{−4}^{4} |δ|\frac{1}{\sqrt{|u^{2} − v^{2} − 4|}} du ≤

≤ 4v^{2} + ηv,

ahol

η = 4 sup_{v<1} ∫_{−4}^{4} \frac{1}{\sqrt{|u^{2} − v^{2} − 4|}} du.

Most már használhatjuk a 5.10. Tételt. Q.E.D.

A 2.9. Tétel bizonyítása. Tudjuk, hogy a konvergenciasebesség Δ = Cn^{− \frac{1}{6}} valamilyen C ≥ 1 konstansra. Legyen most v = Dn^{− \frac{1}{4}} , ahol a D pozitív konstans értékét később határozzuk meg, és legyen n olyan nagy, hogy v < Δ. A bizonyítás hasonló lesz az előzőhöz, szeretnénk minél jobb felső becslést találni ∫ |δ|-ra.

2.12. Állítás.

|δ| ≤ \frac{12π^{2}(2M + 1)Δ^{3}}{nv^{5}} < v  (22)

Bizonyítás. A Stieljes-transzformáltak különbségét megint a (18) egyenlőtlenséggel becsüljük. Ennek tagjaira egyrészt (31),(36) és (10) miatt

|z + s_{n}(z)|^{−2} ≤ 3|s(z)|^{2} + 3|δ|^{2} + 3|s_{n}(z) − s(z)|^{2} ≤ 3|δ|^{2} + \frac{4π^{2}Δ^{2}}{v^{2}} ,

másrészt E|ε_{k}| ≤ \frac{1}{nv}, E|ε_{k}|^{2}-t pedig ugyanúgy írjuk fel összeg alakban, mint

a 2.11. Állítás bizonyításában.

1. A harmadik tag új becsléséhez idézzük fel az előző bizonyításban használt r_{ij}(k) valószínűségi változókat, és alkalmazzuk az \frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(k) mátrix

sajátértékeinek W_{n−1}^{(k)} tapasztalati eloszlásfüggvényére a 6.7. Lemmát:

\frac{1}{n} ∑_{i,j} E|r_{ij}^{2}(k)| = \frac{n − 1}{n} ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{(x − u)^{2} + v^{2}} dEW_{n−1}^{(k)}(x) ≤

≤ ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{(x − u)^{2} + v^{2}} dW (x) + |∫_{−∞}^{∞} \frac{2(x − u)(EW_{n}(x) − W (x))}{((x − u)^{2} + v^{2})^{2}} dx| +

+ |∫_{−∞}^{∞} \frac{2(x − u)E (\frac{n−1}{n}W_{n−1}^{(k)}(x) − W_{n}(x))}{((x − u)^{2} + v^{2})^{2}} dx| ≤

≤ \frac{1}{π} ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{(x − u)^{2} + v^{2}} dx + (Δ + \frac{1}{n}) ∫_{−∞}^{∞} \frac{2|x − u|}{((x − u)^{2} + v^{2})^{2}} dx =

= \frac{1}{v} + 2 (Δ + \frac{1}{n}) \frac{1}{v^{2}} < \frac{4Δ}{v^{2}}

elég nagy n-re.

2. A negyedik tag becsléséhez vizsgáljuk megint E|γ_{d}^{2}(k)|-t, ahol γ_{d}(k)-t és σ_{d}(k)-t ugyanúgy definiáljuk, mint az előző bizonyításban, továbbá A_{n}(d, k)-ból és α(d, k)-ból R_{k}-hoz, s_{n}(z)-hez és ε_{k}-hoz hasonlóan képezzük R_{d}(k)-t, s_{nd(k)}-t, és ε_{d}(k)-t, azaz

R_{d}(k) = (\frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(d, k) − zI_{n−2})^{−1} , s_{nd(k)}(z) = \frac{1}{n}E ( tr(R_{d}(k))) ,

ε_{d}(k) = \frac{1}{\sqrt{n}}a_{dd} − α^{T} (d, k)R_{d}(k)α(d, k) + s_{nd(k)}(z).

A 6.5. Lemma segítségével felírva σ_{d}(k)-t kapjuk:

σ_{d}(k) = −\frac{1 + \frac{1}{n}α^{T} (d, k)R_{d}(k)^{2}α(d, k)}{z + s_{nd(k)}(z) − ε_{d}(k)} =

−\frac{1 + \frac{1}{n} trR_{d}^{2}(k)}{z + s_{nd(k)}(z)} − \frac{ε_{d}(k) (1 + \frac{1}{n}α^{T} (d, k)R_{d}^{2}(k)α(d, k))}{(z + s_{nd(k)})(z + s_{nd(k)} − ε_{d}(k))} −

− \frac{\frac{1}{n}α^{T} (d, k)R_{d}^{2}(k)α(d, k) − \frac{1}{n} trR_{d}^{2}(k)}{z + s_{nd(k)}}

|\frac{1 + \frac{1}{n}α^{T} (d, k)R_{d}^{2}(k)α(d, k)}{z + s_{nd(k)}(z) − ε_{d}(k)}| = |σ_{d}(k)| ≤ \frac{1}{v}

Ez alapján R_{d}^{2}(k) mátrix elemeit a ρ_{ij}(d, k) jelölve felírhatjuk:

E|γ_{d}^{2}(k)| ≤ \frac{2E|ε_{d}(k)|^{2}}{v^{2}|z + s_{nd(k)}(z)|^{2}} + \frac{4M ∑_{i,j} E|ρ_{ij}(d, k)|^{2}}{n^{2}|z + s_{nd(k)}(z)|^{2}} .

Itt

- ε_{k} (20)-beli becsléséhez hasonlóan E|ε_{d}^{2}(k)| ≤ \frac{2M + 5}{nv^{2}}

- ∑ |r_{ij}^{2}(k)|^{2} becsléséhez hasonlóan

\frac{1}{n} ∑_{i,j} |ρ_{ij}^{2}(d, k)| ≤ \frac{1}{v^{4}} .

- A nevező becsléséhez a (31)-t, és a 6.7. Lemmát alkalmazzuk az \frac{1}{\sqrt{n}}A_{n}(d, k) mátrix sajátértékeinek W_{n−2,d,k} tapasztalati eloszlásfüggvényére, így

|s_{nd(k)} − s_{n}(z)| ≤ \frac{2π}{nv}

ezért (31) ,(36), és (14) felhasználásával elég nagy n-re

|z + s_{nd(k)}(z)|^{−2} ≤ 4 [|\frac{s_{n}(z) − s_{nd(k)}(z)}{(z + s_{n}(z))(z + s_{nd(k)}(z))}|^{2} +

+ |\frac{1}{z + s_{n}(z)} + s_{n}(z)|^{2} + |s_{n}(z) − s(z)|^{2} + |s(z)|^{2}] ≤

≤ 4 [\frac{4π^{2}}{n^{2}v^{4}} |z + s_{nd(k)}(z)|^{−2} + |δ^{2}| + \frac{π^{2}Δ^{2}}{v^{2}} + 1] ≤

≤ 5 (|δ|^{2} + \frac{π^{2}Δ^{2}}{v^{2}} ) .

Ezeket összerakva kapjuk, hogy

E|γ_{d}^{2}(k)| ≤ \frac{40M + 50}{nv^{4}} (|δ|^{2} + \frac{π^{2}Δ^{2}}{v^{2}} ) .

Tehát az E|ε_{k}|^{2}-re felírt összeg tagjaira kapott becslésekből elég nagy n-re

E |ε_{k}|^{2} ≤ \frac{σ^{2}}{n} + \frac{8MΔ}{nv^{2}} + \frac{40M + 50}{n^{2}v^{4}} (|δ|^{2} + \frac{π^{2}Δ^{2}}{v^{2}} ) + \frac{1}{n^{2}v^{2}} ≤

≤ \frac{40M + 60}{n^{2}v^{4}}|δ|^{2} + \frac{(8M + 3)Δ}{nv^{2}}.

Végül helyettesítsük be a (18) egyenlőtlenségbe az eddigieket

|δ| ≤ |z + s_{n}(z)|^{−2} (\frac{40M + 50}{n^{2}v^{5}}|δ|^{2} + \frac{(8M + 4)Δ}{nv^{3}}) ≤

≤ (\frac{40M + 50}{n^{2}v^{5}}|δ|^{2} + \frac{(8M + 4)Δ}{nv^{3}}) (3|δ|^{2} + \frac{4π^{2}Δ^{2}}{v^{2}} ) .

Mivel (14) és (15) miatt |δ| ≤ \frac{2}{v}, ezért ebből

|δ| ≤ (\frac{250(4M + 5)}{D^{8}} + \frac{24(2M + 1)Δ}{D^{4}} + \frac{80(4M + 5)π^{2}Δ^{2}}{n^{2}v^{6}} ) +

+\frac{6π^{2}(2M + 1)Δ^{3}}{nv^{5}} ≤ \frac{300(4M + 5)}{D^{8}}|δ| + \frac{6π^{2}(2M + 1)Δ^{3}}{nv^{5}} .

Most válasszuk meg D-t úgy, hogy \frac{300(4M+5)}{D^{8}} ≤ \frac{1}{2} legyen, ekkor

|δ| ≤ \frac{12π^{2}(2M + 1)Δ^{3}}{nv^{5}} < v,

és az állítást beláttuk. Q.E.D.

A bizonyítás menete ugyanúgy folytatódik, mint a 2.10. Tételé. Ismerve az s(z) és s_{n}(z) Stieljes-transzformáltakat, az állításból következik, hogy elég nagy n-re:

|s_{n}(z) − s(z)| = |s(z + δ) − s(z) + δ| ≤ 2 + v ≤ 3.

Most tehát újra elérkeztünk ∫ |δ| du becsléséhez.

∫_{−∞}^{∞} |δ| du ≤ \frac{(8M + 5)Δ}{nv^{3}} ∫_{−∞}^{∞} |z + s_{n}(z)|^{−2} du ≤

≤ 3\frac{(8M + 5)Δ}{nv^{3}} (∫_{−∞}^{∞} |s_{n}(z) − s(z)|^{2} du + ∫_{−∞}^{∞} |s(z)|^{2} du + ∫_{−∞}^{∞} |δ|^{2} du) ≤

≤ 3\frac{(8M + 5)Δ}{nv^{3}} (∫_{−∞}^{∞} |s_{n}(z) − s(z)|^{2} du + 2π + v ∫_{−∞}^{∞} |δ| du) ≤

≤ 3\frac{(8M + 6)Δ}{nv^{3}} (2π + 3 ∫_{−∞}^{∞} |s_{n}(z) − s(z)| du) ,

s(z)-re használva 5.12. Lemmát. Most idézzük föl az előző tétel bizonyításának végét, és használjuk ki, hogy az 2.12 Állítás miatt |δ| < v

∫_{−∞}^{∞} |s_{n}(z) − s(z)| du ≤ 2 ∫_{−∞}^{∞} |δ| du ≤

≤ (η + \frac{12πΔ(8M + 6)}{D^{4}}) v + 18\frac{(8M + 6)Δ}{nv^{3}} ∫_{−∞}^{∞} |s_{n}(z) − s(z)| du ≤

≤ 2 (η + \frac{12πΔ(8M + 6)}{D^{4}}) v.

A bizonyítás befejezéséhez megint a 5.10. Tételt alkalmazzuk. Q.E.D.

3. Kovariancia típusú mátrixok

A továbbiakban úgynevezett kovariancia típusú mátrixokkal fogunk foglalkozni, azaz legyen X_{p} egy p×n-es mátrix, amelynek elemei x_{ij}, i = 1, …, p, j = 1, …, n független, azonos eloszlású valószínűségi változók, és tekintsük az

\frac{1}{2\sqrt{np}}X_{p}X_{p}^{T}

mátrixot. Az így kapott mátrixok sajátértékeinek viselkedését vizsgáljuk n = n(p) ⟶^{p→∞} ∞, és \frac{p}{n} konvergenciája esetén.

3.1. Konvergencia \frac{p}{n} → 0 esetén

Legyen X_{p} az X végtelen véletlen mátrix p × n -es szubmátrixa, ahol

n = n(p) és \frac{p}{n} ⟶^{p→∞} 0.

3.1. Tétel (Bai, Yin 1988). Ha E|x_{11}|^{4} ≤ M < ∞, D^{2}(x_{11}) = 1, és F^{A_{p}} az

A_{p} = \frac{1}{\sqrt{np}}(X_{p}X_{p}^{T} − nI_{p})

mátrix sajátértékeiből kapott tapasztalati eloszlásfüggvény, akkor

F^{A_{p}} ⟶^{p→∞} W (x) = \frac{2}{π} ∫_{−∞}^{x} \sqrt{1 − u^{2}}χ_{[−1,1]}(u) du 1 vsz-gel.

A bizonyítás első lépéseként lássuk be a következő segédtételt.

3.2. Tétel. Legyen Y_{p} = (x_{ijp}) egy p×n-es véletlen mátrix, amelynek elemei olyan független, azonos eloszlású valószínűségi változók, melyekre

(i) Ex_{11p} = 0,

(ii) Ex_{11p}^{2} = 1 + ξ_{p} ⟶^{p→∞} 1,

(iii) |x_{11p}| ≤ ε_{p}\sqrt[4]{n}, ahol ε_{p} > 0,ε_{p} ⟶^{p→∞} 0, de ε_{p}\sqrt[4]{p} ⟶^{p→∞} ∞,

és definiáljuk a B_{p} = (Z_{ijp}) p × p -es mátrixot:

Z_{ijp} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2\sqrt{np}} ∑_{l=1}^{n} x_{ilp}x_{jlp}, & ha i ≠ j, \\ 0 & ha i = j \end{matrix}

Ekkor

F^{B_{p}} ⟶^{p→∞} W (x) 1 vsz-gel.

Bizonyítás. A tételt momentum módszerrel fogjuk belátni, azaz jelölje a B_{p} mátrix k-adik momentumát M_{k} = M_{k}(p). Bizonyítani fogjuk, hogy

1. EM_{k} ⟶^{p→∞} ∫ x^{k} dW (k);

2. ∑_{p=1}^{∞} D^{2}(M_{k}) < ∞.

EM_{k} = \frac{1}{p}E trB_{p}^{k} = \frac{1}{p(2\sqrt{pn})^{k}} ∑_{i_{l}≠i_{l+1}} E(x_{i_{1}j_{1}}x_{i_{2}j_{1}}x_{i_{2}j_{2}}x_{i_{3}j_{2}} … x_{i_{k}j_{k}}x_{i_{1}j_{k}}),

A fenti összeg minden tagjához vegyük az indexhalmazához konstruált páros gráfot. Összegezzük a tagokat a különböző i és j indexek száma szerint, azaz legyen

S_{k,n}(r, c) = \frac{1}{p(2\sqrt{pn})^{k}} ∑_{{|\{i_{1},...,i_{k}\}|=r \atop |\{j_{1},...,j_{k}\}|=c} ; i_{1}≠i_{2}≠···≠i_{k}≠i_{1}} E(x_{i_{1}j_{1}}x_{i_{2}j_{1}}x_{i_{2}j_{2}}x_{i_{3}j_{2}} … x_{i_{k}j_{k}}x_{i_{1}j_{k}}).

Jelöljük ν_{m}-mel az m-szeres élek számát. Elég azokat a gráfokat tekinteni, amelyekben ν_{1} = 0, különben a szorzat értéke 0.

(a) 2ν_{2} + 3ν_{3} + … 2kν_{2k} = 2k.

(b) Mivel a gráf összefüggő, ezért r + c ≤ 2k + 1. Sőt, minden él legalább kétszeres, így r + c ≤ k + 1.

(c) Mivel i_{1} ≠ i_{2}, i_{2} ≠ i_{3}, … i_{k} ≠ i_{1}, ezért az (i_{1}, j_{1}, i_{2}, j_{2}, …, i_{k}, j_{k}) sorozatban minden j index legalább 2-szer szerepel, azaz 2c ≤ k.

Egy ilyen gráfra

|E (x_{i_{1}j_{1}}x_{i_{2}j_{1}}x_{i_{2}j_{2}}x_{i_{3}j_{2}} … x_{i_{k}j_{k}}x_{i_{1}j_{k}})| ≤ |Ex_{11}^{2}|^{ν_{2}} … |E(x_{11}^{2k}|^{ν_{2k}} ≤

≤ (1 + |ξ_{p}|)^{ν_{2}+···+ν_{2k}} (ε_{p}\sqrt[4]{n})^{(3−2)ν_{3}+···+(2k−2)ν_{2k}} ≤
≤ (1 + |ξ_{p}|)^{ν_{2}+···+ν_{2k}} (ε_{p}\sqrt[4]{n})^{2k−2(r+c−1)} ,

elég nagy n-re. Ekkor mivel S_{k,n}(r, c) tagjainak a száma legfeljebb p^{r}n^{c}r^{k}c^{k}, így

|S_{k,n}(r, c)| ≤ \frac{1}{p(2\sqrt{np})^{k}} p^{r}n^{c}(ε_{p}\sqrt[4]{n})^{2k−2(r+c−1)} (1 + |ξ_{p}|)^{k} r^{k}c^{k} =

= ε_{p}^{2(k−c−r+1)}p^{r− \frac{k}{2} −1}n^{\frac{c}{2} − \frac{r}{2} + \frac{1}{2}} 2^{−k} (1 + |ξ_{p}|)^{k} r^{k}c^{k}.

Így \frac{p}{n} → 0 miatt ha r > \frac{k}{2} +1, akkor |S_{k,n}(r, c)| → 0. Másrészt legyenek a különböző j indexeket tartalmazó élek multiplicitásai n_{b1}, …, n_{bs}, b = 1, …, c,

s ≥ 2 függ b-től, és ∑_{b=1}^{c} ∑_{a=1}^{s} n_{ab} = 2k.

|E(x_{i_{1}j_{1}}x_{i_{2}j_{1}}x_{i_{2}j_{2}}x_{i_{3}j_{2}} … x_{i_{k}j_{k}}x_{i_{1}j_{k}})| = ∏_{b=1}^{c}(Ex_{11}^{n_{b1}} … Ex_{11}^{n_{bs}}) ≤

≤ ∏_{b=1}^{c}(ε_{p}\sqrt[4]{n})^{∑_{a} n_{ba}−2s} (1 + |ξ_{p}|) ≤ ε_{p}(\sqrt[4]{n})^{2k−4c} (1 + |ξ_{p}|)^{k} ,

azaz

|S_{k,n}(r, c)| ≤ \frac{1}{p(2\sqrt{np})^{k}} p^{r}n^{c}(ε_{p}\sqrt[4]{n})^{2k−4c} (1 + |ξ_{p}|)^{k} =

= ε_{p}^{2k−4c}p^{r−1− \frac{k}{2}} 2^{−k} (1 + |ξ_{p}|)^{k} r^{k}c^{k},

amiből következik, hogy ha r < \frac{k}{2} + 1, vagy ha r = \frac{k}{2} + 1, de c < \frac{k}{2}, akkor |S_{k,n}(r, c)| → 0. Tehát elég a k = 2m, r = m + 1, c = m esetet nézni, ekkor minden él kétszeres. Azt kell még kiszámolnunk, hogy hány ilyen gráf van. Ehhez a 5.7. Lemmát alkalmazzuk, ugyanis i_{l} ≠ i_{l} + 1 miatt i_{l}j_{l} ∈ Ω_{1} pontosan akkor, ha i_{l+1}j_{l} ∈ Ω_{1}, azaz elég az új j indexeket tartalmazó innovációkat kijelölni, és ezek egyértelműen meghatározzák a gráfot. A gráf csúcsait \frac{p!}{(p−m)!} \frac{n!}{(n−m+1)!} féleképpen választhatjuk ki. Végül kapjuk, hogy

EM_{k} → \frac{1}{2^{2m}} \frac{1}{m + 1}\binom{2m}{m} = ∫ x^{k} dW (x).

D^{2}(M_{k}) = EM_{k}^{2} − (EM_{k})^{2} =

= \frac{1}{p^{2}(4np)^{k}} (∑ E(x_{i_{1}j_{1}}x_{i_{2}j_{1}} … x_{i_{1}j_{k}}x_{i_{k+1}j_{k+1}}x_{i_{k+2}j_{k+1}} … x_{i_{2k}j_{2k}}x_{i_{k+1}j_{2k}}) −

− ∑ E(x_{i_{1}j_{1}}x_{i_{2}j_{1}} … x_{i_{1}j_{k}})E(x_{i_{k+1}j_{k+1}}x_{i_{k+2}j_{k+1}} … x_{i_{2k}j_{2k}}x_{i_{k+1}j_{2k}})) ,

ahol az összegzést olyan (i_{1}, …, i_{2k}, j_{1}, …, j_{2k}) indexekre végezzük, amelyekre i_{1} ≠ i_{2}, …, i_{k} ≠ i_{1}, i_{k+1} ≠ i_{k+2}, …, i_{2k} ≠ i_{1} továbbá az (i_{1}, j_{1}, …, i_{k}, j_{k}) és (i_{k+1}, j_{k+1}, …, i_{2k}, j_{2k}) sorozatok által meghatározott gráfoknak van közös élük, különben a függetlenség miatt a szorzat várható értéke megegyezik a várható értékének szorzatával, tehát a különbség 0. Készítsük el a G, G_{1} és G_{2} gráfokat a három indexhalmazhoz, és definiáljuk mindegyikre az S_{k,n}(r, c), S_{k,n}(r_{1}, c_{1}), S_{k,n}(r_{2}, c_{2}) mennyiségeket. Ezekre ugyanúgy kiszámolhatók a fenti becslések, és tudjuk, hogy mivel G_{1}-nek és G_{2}-nek van közös éle, ezért r ≤ r_{1} + r_{2} − 2, és c ≤ c_{1} + c_{2} − 2, amiből

D^{2}(M_{k}) ≤ Cp^{− \frac{3}{2}}

miatt

∑_{p=1}^{∞} D^{2}(M_{k}) < ∞.

Q.E.D.

A 3.1. Tétel bizonyítása. Válasszunk egy olyan ε_{p} > 0 sorozatot, hogy

ε_{p} ⟶^{p→∞} 0, ε_{p}\sqrt[4]{p} ⟶^{p→∞} ∞, és P (|x_{ij}| ≥ ε_{p}\sqrt[4]{n}) < \frac{ε_{p}}{n}. Ilyen ε_{p} sorozat létezik

Ex_{ij}^{4} < ∞ miatt. Vezessük be a x̂_{ij} = x_{ij}χ_{\{|x_{ij}|<ε_{p} \sqrt[4]{n}\}} és x̃_{ij} = x̂_{ij} − Ex̂_{ij} valószínűségi változókat, és jelöljük a belőlük alkotott p × n-es mátrixo-

kat X̂_{p}-vel illetve X̃_{p}-vel. Legyen továbbá Â_{p} = \frac{1}{\sqrt{np}} (X̂_{p}X̂_{p}^{T} − nI_{p}), és

Ã_{p} = \frac{1}{\sqrt{np}} (X̃_{p}X̃_{p}^{T} − nI_{p}). Ekkor

sup_{x} |F^{A_{p}}(x) − F Ã_{p}(x)| = sup_{x} |F^{X_{p}X_{p}^{T}} (x) − F^{X̃_{p}X̃_{p}^{T}} (x)| ≤ \frac{1}{p}rk (X_{p} − X̃_{p}) =

= \frac{1}{p}rk (X_{p} − X̂_{p}) ≤ ∑_{i=1}^{p} ∑_{j=1}^{n} η_{ij},

ahol η_{ij} = χ(x_{ij} ≠ x̂_{ij}). Ekkor P (η_{ij} = 1) = q_{p} < \frac{ε_{p}}{n}, és 6.4. Lemmát alkalmazva kapjuk:

P (sup_{x} |F^{A_{p}}(x) − F Â_{p} | ≥ δ) ≤ P (\frac{1}{p} ∑_{i=1}^{p} ∑_{j=1}^{n} η_{ij} ≥ δ) ≤

≤ exp (−nph (\frac{δ}{n} − q_{p} − q_{p}h)) ≤ exp (−nph (\frac{δ}{n} − (1 + h)\frac{ε_{p}}{n} )) ≤

≤ exp (−p\frac{δh}{2}) ,

ha ε_{p} < \frac{δ}{3}. Ekkor

sup_{x} |F^{A_{p}}(x) − F Ã_{p}(x)| ⟶^{p→∞} 0 1 vsz-gel.

Az x_{ijp} = x̃_{ij} valószínűségi változókra már teljesülnek az előző tétel feltételei. Mivel a gyenge konvergencia a Lévy metrikával metrizálható, így elég belátni, hogy az x_{ijp}-ből kapott B_{p} mátrixra L (F Ã_{p}, F^{B_{p}}) ⟶^{p→∞} 0. A 6.10. Lemma miatt

L^{2}(F Ã_{p}, F^{B_{p}}) ≤ ∫ |F Ã_{p}(x) − F^{B_{p}}(x)| dx = \frac{1}{p} ∑_{i=1}^{p} |λ_{i} − μ_{i}|,

ahol λ_{1} ≤ ⋯ ≤ λ_{n} és μ_{1} ≤ ⋯ ≤ μ_{n} az Ã_{p} illetve a B_{p} mátrix sajátértékei. Itt

(\frac{1}{p} ∑_{i=1}^{p} |λ_{i} − μ_{i}|)^{2} ≤ \frac{1}{p} ∑_{i=1}^{p}(λ_{i} − μ_{i})^{2} ≤ \frac{1}{p} tr (Ã_{p} − B_{p})^{2} =

= \frac{1}{4np^{2}} ∑_{i=1}^{p} (∑_{l=1}^{n} (x̃_{il} − 1))^{2} ≤ \frac{1}{2np^{2}} ∑_{i=1}^{p} (∑_{l=1}^{n} (x̃_{il}^{2} − Ex̃_{il}^{2}))^{2} + \frac{n}{2p} (1 − Ex̃_{11}^{2})^{2} .

Kihasználva, hogy Ex̃_{11}^{4} ≤ \frac{(Ex_{11}^{4})^{2}}{nε_{p}^{4}} a második tagra nagy p esetén kapjuk,

hogy

\frac{n}{2p} (1 − Ex̃_{11}^{2})^{2} = \frac{n}{2p} (Ex_{11}^{2} − Ex̃_{11}^{2})^{2} ≤ \frac{n}{2p} \frac{4}{nε_{p}^{4}} (Ex_{11}^{4})^{2} ⟶^{p→∞} 0.

Az első tagot 2 részre bontjuk:

\frac{1}{2np^{2}} ∑_{i=1}^{p} (∑_{l=1}^{n} (x̃_{il}^{2} − Ex̃_{il}^{2}))^{2} = S_{1p} + S_{2p}.

S_{1p} = \frac{1}{2np^{2}} ∑_{i=1}^{p} ∑_{l=1}^{n} (x̃_{il}^{2} − Ex̃_{il}^{2})^{2} ≤ \frac{1}{2np^{2}} ∑_{i=1}^{p} ∑_{l=1}^{n} (x̃_{il}^{4} + (Ex̃_{il}^{2})^{2}) ≤

≤ \frac{1}{2np^{2}} ∑_{i=1}^{p} ∑_{l=1}^{n} (x̃_{il}^{4} − Ex̃_{il}^{4}) + \frac{K}{p} Ex_{11}^{4} = Δ_{p} + \frac{K}{p} Ex_{11}^{4},

valamilyen K > 0 konstansra. Itt

∑_{p=1}^{∞} EΔ_{p}^{2} = ∑_{p=1}^{∞} \frac{1}{4n^{2}p^{4}} ∑_{i=1}^{p} ∑_{l=1}^{n} (x̃_{il}^{4} − Ex̃_{il}^{4})^{2} ≤ ∑_{p=1}^{∞} \frac{K^{2}}{4np^{3}} (ε_{p}\sqrt[4]{n})^{4} Ex_{11}^{4} < ∞,

ezért S_{1p} ⟶^{p→∞} 0 1 vsz-gel. Másrészt

S_{2p} = \frac{1}{2np^{2}} ∑_{i=1}^{p} ∑_{l_{1}≠l_{2}} (x̃_{il_{1}}^{2} − Ex̃_{il_{1}}^{2}) (x̃_{il_{2}}^{2} − Ex̃_{il_{2}}^{2}) ,

és mivel

∑_{p=1}^{∞} ES_{2p}^{2} = ∑_{p=1}^{∞} \frac{1}{4n^{2}p^{4}} ∑_{i=1}^{p} 2n(n − 1) (E (x̃_{11}^{2} − Ex̃_{11}^{2})^{2})^{2} ≤ ∑_{p=1}^{∞} \frac{1}{2p^{3}} (Ex_{11}^{4})^{2} < ∞,

így S_{2p} ⟶^{p→∞} 0 1 vsz-gel. Ezzel beláttuk a 3.1. Tételt. Q.E.D.

3.2. 1 valószínűségű és sztochasztikus konvergencia \frac{p}{n} → y ∈ (0, ∞) esetén

3.3. Tétel (Jonsson 1982). Legyenek x_{ij}, i = 1, …, p, j = 1, …, n független, azonos eloszlású valószínűségi változók, amelyekre Ex_{ij} = 0, D^{2}x_{ij} = 1, legyen X_{p} = (x_{ij}) p×n-es mátrix, A_{p} = \frac{1}{n}X_{p}X_{p}^{T}, továbbá jelölje F_{p} a A_{p} mátrix sajátértékeinek tapasztalati eloszlásfüggvényét, és F_{y} a Marcsenkó-Pastur eloszlásfüggvényt, azaz

F_{y}(x) = (1 − \frac{1}{y}) χ_{\{y>1\}} + ∫_{−∞}^{x} \sqrt{4y − (u − y − 1)^{2}}χ_{[(1−\sqrt{y})^{2},(1+\sqrt{y})^{2}]}(u) du.

(i) Ha Ex_{ij}^{4} < ∞, akkor F_{p}(x) ⟶^{p→∞} F_{y}(x) sztochasztikusan minden x-re.

(ii) Ha ezenkívül Ex_{ij}^{6} < ∞, akkor a konvergencia 1 valószínűségű.

Bizonyítás. A bizonyítás menete ugyanaz, mint a 2.2. Tétel esetében, azaz megint a momentum módszert fogjuk alkalmazni. A Marcsenkó-Pastur eloszlás momentumait a β (\frac{3}{2}, \frac{3}{2}) eloszlás momentumai szerint számolhatjuk ki:

γ_{k}(y) = ∑_{r=0}^{k−1} \frac{1}{r + 1}\binom{k}{r}\binom{k − 1}{r}y^{r},

és ezekre a momentumokra is teljesül, hogy

∑_{k=1}^{∞} γ_{k}(y)^{− \frac{1}{k}} = ∞,

tehát egyértelműen meghatározzák az eloszlást.

Elég az y ≤ 1 esettel foglalkozni, hiszen ha n < p, akkor X_{p}^{T} X_{p} mátrix nem 0 sajátértékei megegyeznek az X_{p}X_{p}^{T} mátrix sajátértékeivel, így egyrészt

F^{X_{p}X_{p}^{T}} (x) = \frac{n}{p}F^{X_{p}^{T} X_{p}} + \frac{p − n}{p}.

másrészt a megfelelő Marcsenkó-Pastur eloszlásfüggvényekre

f_{y}(x) = \frac{1}{2πxy} \sqrt{4y − (x − y − 1)^{2}}χ_{[(1−\sqrt{y})^{2},(1+\sqrt{y})^{2}]}(x) =

= \frac{1}{2xπ} \sqrt{\frac{4}{y} − (\frac{x}{y} − \frac{1}{y} − 1)^{2}}χ_{[y(1− \frac{1}{\sqrt{y}})^{2},y(1+ \frac{1}{\sqrt{y}})^{2}]}(x) = f_{\frac{1}{y}} (\frac{x}{y}) ,

azaz

F_{y}(x) = 1 − \frac{1}{y} + ∫_{−∞}^{x} f_{y}(u) du = 1 − \frac{1}{y} + ∫_{−∞}^{x} f_{\frac{1}{y}} (\frac{u}{y}) du = 1 − \frac{1}{y} + \frac{1}{y}F_{\frac{1}{y}} (x).

Csonkítsuk a valószínűségi változókat, és legyen megint x̂_{ij} = x_{ij}χ_{\{x_{ij}<\sqrt{n}\}}. Először belátjuk, hogy

EM̂_{k} = \frac{1}{p}E trÂ_{p}^{k} =

= \frac{1}{pn^{k}} ∑_{i_{1}=1}^{n} ⋯ ∑_{i_{k}=1}^{n} ∑_{j_{1}=1}^{p} ⋯ ∑_{j_{k}=1}^{p} E (x̂_{i_{1}j_{1}} x̂_{i_{2}j_{1}} x̂_{i_{2}j_{2}} … x̂_{i_{k}j_{k}} x̂_{i_{1}j_{k}}) ⟶^{p→∞} γ_{k}(y).

Most az összegzést aszerint végezzük el, hogy hány különböző i és j index szerepe a szorzatban, azaz legyen

S_{k,n}(r, c) = \frac{1}{pn^{k}} ∑_{{|\{i_{1},...,i_{k}\}|=r \atop |\{j_{1},...,j_{k}\}|=c}} E (x̂_{i_{1}j_{1}} x̂_{i_{2}j_{1}} x̂_{i_{2}j_{2}} … x̂_{i_{k}j_{k}} x̂_{i_{1}j_{k}}) .

Megint S_{k,n}(r, c) tagjainak nagyságrendjét vizsgáljuk a tagoknak megfelelő páros gráfok segítségével. Az indexeket \frac{p!}{(p−r+1)!} \frac{n!}{(n−c+1)!} ⟶^{p→∞} p^{r}n^{c} féleképpen jelölhetjük ki.

- Ha r + c > k + 1, akkor a gráfban van egyszeres él, így a 6.2. Lemma szerint a tag 0-hoz tart.

- Ha r + c < k + 1, akkor a gráfban van legalább háromszoros él, így S_{k,n}(r, c) ≤ o(1).

Tehát elég azokat a tagokat vizsgálni, amelyekben r + c = k + 1, és minden él kétszeres. Ekkor a szorzat várható értéke 1, és az ilyen tagok száma a 5.8. Lemma miatt \frac{1}{r+1} \binom{k}{r}\binom{k−1}{r}. Így

lim_{p} EM̂_{k} = ∑_{r=1}^{k} \frac{p!}{(p − r + 1)!} \frac{n!}{(n − k)!} \frac{1}{pn^{k}} \frac{1}{r + 1}\binom{k}{r}\binom{k − 1}{r} ⟶^{p→∞} γ_{k}(y).

Kell még M_{k,n} − EM̂_{k,n} becslése.

P (|M_{k,n} − EM̂_{k,n}| > ε) ≤ P (|M̂_{k,n} − EM̂_{k,n}| > ε) + P (M_{k,n} ≠ M̂_{k,n}) ≤

≤ ε^{−2}E(M̂_{k,n} − EM̂_{k,n})^{2} + ∑_{i≥j} P (a_{ij} ≠ â_{ij}).

A két tag becsléséhez elismételhetjük a 2.2. Tétel bizonyításának második részét, azaz a szórásnégyzetről a tagokhoz tartozó gráfok vizsgálatával belátható, hogy O (p^{\frac{3}{2}} ) nagyságrendű, és az x_{ij}-k közös H eloszlásfüggvényére

p_{n} = ∑_{i=1}^{p} ∑_{j=1}^{n} P (x_{ij} ≠ x̂_{ij}) = ∑_{i=1}^{p} ∑_{j=1}^{n} P (x_{ij} ≥ \sqrt{n}) ≤

≤ n^{2} (1 − H(\sqrt{n} − 0) + H(−\sqrt{n})) ≤ ∫_{|x|≥\sqrt{n}} x^{4} dH(x),

azaz p_{n} → 0, ha Ex_{ij}^{4} < ∞, és ∑ p_{n} < ∞, ha Ex_{ij}^{6} < ∞. Q.E.D.

Megjegyzés. Az y = 1 esetben F_{1}(x) a [0, 2] intervallumba eltolt Wignerféle félköreloszlás.

3.3. A legnagyobb sajátérték aszimptotikus viselkedése

A Wigner mátrixokra bizonyítottakhoz hasonlóan most is be szeretnénk látni, hogy a [(1−\sqrt{y})^{2}, 1+\sqrt{y})^{2}] intervallumon kívül nincsenek sajátértékek.

3.4. Tétel (Bai, Yin, Krishnaiah 1988). Legyenek {x_{ij}, i, j = 1, 2 … } független, azonos eloszlású valószínűségi változók, amelyekre Ex_{11} = 0, és

Ex_{11}^{4} < ∞, továbbá \frac{p}{n} ⟶^{p→∞} y > 0. Ekkor

lim_{p→∞} λ_{max} (\frac{1}{n}X_{p}X_{p}^{T} ) = (1 + \sqrt{y})^{2}Ex_{11}^{2} 1 vsz-gel.

Bizonyítás. A bizonyítás pontosan úgy megy, mint a 2.8. Tétel bizonyítása. Tehát föltehetjük, hogy x_{ij}-k független, azonos eloszlású valószínűségi változók, Ex_{ij} = 0, Ex_{ij}^{2} ≤ 1, és Ex_{ij}^{2} ⟶^{n→∞} 1, |x_{ij}| ≤ \sqrt{n}δ, valamilyen δ = δ_{n} sorozatra, és így a 6.1. Lemma miatt E|x_{ij}|^{l} ≤ (\sqrt{n}δ)^{l−1} ha l ≥ 2, és E|x_{ij}|^{l} ≤ C(\sqrt{n}δ)^{l−3}, ha l ≥ 3. Tudjuk továbbá, hogy

lim inf_{n→∞} λ_{max} (\frac{1}{n}X_{p}X_{p}^{T} ) ≥ (1 + \sqrt{y})^{2} 1 vsz-gel.

Most z > (1 + \sqrt{y})^{2}-re akarjuk belátni, hogy

∑_{n=1}^{∞} E (\frac{λ_{max} (\frac{1}{n}X_{p}X_{p}^{T} )}{z})^{k} (n) ≤ ∑_{n=1}^{∞} E ( \frac{tr (\frac{1}{n}X_{p}X_{p}^{T} )}{z})^{k} (n) < ∞,

ahol k = k(n)-re, és δ = δ_{n} -re teljesül, hogy

\frac{k(n)}{log n} → ∞ és \frac{δ^{\frac{1}{6}} k(n)}{log n} → 0.

Írjuk fel most is összeg alakban a mátrix nyomának várható értékét, és használjuk a páros W -gráfokra a 5.1. fejezetben kiszámolt becslést. Nyilván nem elég csak a kanonikus W -gráfokra összegezni, de ha |{i_{1}, …, i_{k}}| = r + 1, és |{j_{1}, …, j_{k}}| = l − r, akkor ezen indexekhez konstruált páros W -gráfok száma felülről becsülhető p^{r+1}n^{l−r}-szer az indexhalmazhoz tartozó kanonikus W -gráfok számával.

E tr (\frac{1}{n}X_{p}X_{p}^{T} )^{k} ≤ \frac{1}{n^{k}} ∑ E (x_{i_{1}j_{1}}x_{i_{2}j_{1}}x_{i_{2}j_{2}} … x_{i_{k}j_{k}}x_{i_{1}j_{k}}) ≤

≤ p ∑_{l=1}^{k} ∑_{r=1}^{l} \binom{k}{r}\binom{k}{l − r}\binom{2k − l}{l} (\frac{p}{n})^{r} ∑_{t=0}^{2(k−l)} (\frac{k^{3}}{\sqrt{n}δ} )^{t} (t + 1)^{6(k−l)}δ^{2(k−l)}

Vonjuk össze a 2.2. fejezetben definiált g(t) függvény becslését, azaz g(t) ≤ a^{−1} (\frac{b}{| log a|})^{b}, így elég nagy n-re

∑_{t=0}^{2(k−l)} (\frac{k^{3}}{\sqrt{n}δ} )^{t} (t + 1)^{6(k−l)} ≤ 2k (\frac{\sqrt{n}δ}{k^{3}} ) (\frac{6(k − l)}{log \frac{\sqrt{n}δ}{k^{3}}})^{6(k−l)} ≤ 2n (\frac{18k}{log n})^{6(k−l)} .

Ezt és a 6.9. Lemmát használva nagy n-re

E tr (\frac{1}{n}X_{p}X_{p}^{T} )^{k}≤ 2np ∑_{l=1}^{k} ∑_{r=1}^{l}(1 + δ)^{2k}\binom{k}{l}\binom{2l}{2r} (\frac{p}{r})^{r} (\frac{18δ^{\frac{1}{6}} k}{log n} )^{6(k−l)} ≤

≤ ((2np)^{\frac{1}{k}} (1 + \sqrt{δ})^{2} ((1 + \sqrt{\frac{p}{n}})^{2} + (\frac{18δ^{\frac{1}{6}} k}{log n} )^{6}))^{k} .

Itt kétszer alkalmaztuk a binomiális tételt, ugyanis

∑_{r=1}^{l} \binom{2l}{2r} (\frac{p}{n})^{r} ≤ (1 + \sqrt{\frac{p}{n}})^{2l} ,

és

∑_{l=1}^{k} \binom{k}{l} (1 + \sqrt{\frac{p}{n}})^{2l} (\frac{18δ^{\frac{1}{6}} k}{log n} )^{6(k−l)} ≤ ((1 + \sqrt{\frac{p}{n}})^{2} + (\frac{18δ^{\frac{1}{6}} k}{log n} )^{6})^{k} .

δ_{n} és k(n) megválasztása miatt - \frac{k}{log n} → ∞, és \frac{p}{n} → y, ezért lim(2np)^{\frac{1}{k}} = lim(2n^{2}y)^{\frac{1}{k}} = lim e^{2 \frac{log n}{k}} = 1;

- (1 + \sqrt{δ})^{2} → 1, mert δ → 0;

- (1 + \sqrt{\frac{p}{n}})^{2} → (1 + \sqrt{y})^{2};

- (\frac{δ^{\frac{1}{6}} k}{log n})^{6} → 0, mert \frac{δ^{\frac{1}{6}} k}{log n} → 0,

így valamilyen (1 + \sqrt{y})^{2} < η < z konstansra E tr (\frac{1}{n}X_{p}X_{p}^{T} )^{k} ≤ η^{k}. Q.E.D.

Megjegyzés. Az y > 0 feltételt a 5.14. Lemma alkalmazásánál használtuk ki. Megjegyzés. A negyedik momentum végessége szükséges az 1 valószínűségű konvergenciához.

Ha y ≤ 1, akkor érdemes a legkisebb sajátértéket is vizsgálni.

3.5. Tétel (Bai, Yin 1993). Az előző tétel feltételei mellett

lim λ_{min} (\frac{1}{n}X_{p}X_{p}^{T} ) = (1 − \sqrt{y})^{2} 1 vsz-gel.

A részletes bizonyítás a [9]-ben található. Alapja a következő egyenlőtlenség:

−2\sqrt{y} ≤ lim inf λ_{min} (\frac{1}{n}X_{p}X_{p}^{T} − (1 + y)I_{p}) ≤

≤ lim sup λ_{max} (\frac{1}{n}X_{p}X_{p}^{T} − (1 + y)I_{p}) ≤ 2\sqrt{y} 1 vsz-gel.

3.4. A várható érték konvergenciasebessége

Legyen A_{p} = (a_{ij}(n)) = \frac{1}{n}X_{p}X_{p}^{T} egy p × p-es véletlen mátrix , ahol

X_{p} = (x_{ij}) = (x_{ij}(n), i = 1, …, p, j = 1, …, n), és \frac{p}{n} → y. Tegyük fel, hogy az x_{ij} valószínűségi változókra teljesülnek a következő feltételek:

• x_{ij}-k függetlenek;

• Ex_{ij} = 0 minden 1 ≤ i ≤ p esetén;

• Ex_{ij}^{2} = 1 minden 1 ≤ i ≤ p esetén;

• sup_{n} sup_{i,j} Ex_{ij}^{4}χ_{{|x_{ij}|≥M}} → 0 M → ∞ esetén;

Jelölje F_{p} a A_{p} sajátértékeinek tapasztalati eloszlásfüggvényét, F_{y} pedig a Marcsenkó-Pastur eloszlásfüggvényt.

3.6. Tétel (Bai, 1993). Ha y_{p} = \frac{p}{n} ∈ (θ, Θ), ahol 0 < θ < Θ < 1, vagy 1 < θ < Θ < ∞, akkor

∥EF_{p} − F_{y_{p}}∥ = O (n^{− \frac{1}{4}} ) .

3.7. Tétel (Bai, 1993). Ha 0 < θ ≤ y ≤ Θ < ∞, akkor

∥EF_{p} − F_{y_{p}}∥ = O (n^{− \frac{5}{48}} ) .

A továbbiakban y_{p} helyett y-t írunk, mert y_{p} konvergenciája akármilyen lassú lehet, így ∥EF_{p} − F_{y}∥ konvergenciasebességéről csak akkor tudunk valamit, ha ismerjük y_{p} konvergenciasebességét.

A bizonyításhoz most a 5.11. Tételt alkalmazzuk. Először tegyük fel, hogy |x_{ij}| < \sqrt{n}δ, egy δ = δ_{p} → 0, és m = m_{p}, \frac{m}{log n} → ∞ sorozatra. Ekkor a 5.10. Tételben szereplő egyenlőtlenség jobboldalának második tagja nem befolyásolja a konvergenciasebességet, mert egyrészt F_{p}(x) = F (x) = 0 ha x < 0, másrészt a 3.4. Tétel szerint E(λ_{max})^{k} ≤ ((1 + \sqrt{y})^{2} + δ)^{k}, és így ha B = (1 + \sqrt{y})^{2} + 1

∫_{B}^{∞} |EF_{p}(x) − F (x)| dx ≤ ∫_{B}^{∞} P (λ_{max} ≥ x) dx ≤ ∫_{B}^{∞} (\frac{(1 + \sqrt{y})^{2} + δ}{x} )^{k} dx =

= O ((\frac{(1 + \sqrt{y})^{2} + δ}{B} )^{k−1}) = o(n^{−t}),

tetszőleges, rögzített t > 0 esetén. Így az |x_{ij}| ≤ \sqrt{n}δ_{n} feltevés mellett elég s_{p}(z) − s_{y}(z)-t becsülni olyan z = u + iv esetén, ahol v > 0, |u| < A, és A-t a 5.11. Tétel szerint választjuk meg. Számoljuk ki a A_{p} = \frac{1}{n}X_{p}X_{p}^{T} = (a_{ij}) mátrix sajátértékeiből képzett F_{p} tapasztalati eloszlásfüggvényének Stieljestranszformáltját , ahol X = (x_{ij}) p × n -es mátrix. (9)-t másképpen is továbbírhatjuk, és újradefiniálhatjuk ε_{k}-t, és δ-t:

s_{p}(z) = \frac{1}{p} ∑_{k=1}^{p} E \frac{1}{ε_{k} + 1 − z − y − yzs_{p}(z)} = −\frac{1}{y + z − 1 + yzs_{p}(z)} + δ, (23)

ahol

ε_{k} = \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n}(x_{kj}^{2} − 1) + y + yzs_{p}(z) − α(k)^{T} (A_{p}(k) − zI_{p−1})^{−1}α(k),  (24)

δ = δ_{p} = \frac{1}{p} ∑_{k=1}^{p} E \frac{ε_{k}}{(z + y − 1 + yzs + p(z))(z + y − 1 + yzs_{p}(z) − ε_{k})},  (25)

amiből következik, hogy

s_{p}(z) = −\frac{1}{2yz} (z + y − 1 − yzδ − \sqrt{(z + y − 1 + yzδ)^{2} − 4yz}) . (26)

Továbbá hasonlóan az előző ponthoz:

\frac{1}{|z + y − 1 + yzs_{p}(z)|} ≤ \frac{1}{v} és |s_{p}(z)| ≤ \frac{1}{v}  (27)

Először a következő tételt lássuk be:

3.8. Tétel. Tegyük fel, hogy |x_{ij}| ≤ \sqrt{n}δ_{n}, és legyen v = (\frac{10C_{0}(A + 1))}{n})^{\frac{1}{6}}

Ekkor

∫_{−A}^{A} |s_{p}(z) − s_{y}(z)| du ≤ Cv,

ahol C > 0 konstans.

Bizonyítás.

|s_{p}(z) − s_{y}(z)| ≤ |\frac{δ}{2}| (1 + \frac{|2(z + y − 1) − yzδ|}{|\sqrt{(z + y − 1)^{2} − 4yz} + \sqrt{(z + y − 1 + yzδ)^{2} − 4yz}|}) . (28)

A továbbiakban minden konstanst C-vel jelölünk. Megint |δ| becslésével kezdjük a bizonyítást.

3.9. Állítás.

|δ| ≤ \frac{C_{0}}{nv^{5}} .

Az Állítás bizonyítása. Mivel

\frac{1}{|z + y − 1 + yzs_{p}(z) − ε_{k}|} ≤ \frac{1}{v},

ezért δ definíciója miatt

|δ| ≤ \frac{1}{p} ∑_{k=1}^{p} (\frac{|Eε_{k}|}{|z + y − 1 + yzs_{p}(z)|^{2}} +

+ E |\frac{ε_{k}^{2}}{(z + y − 1 + yzs_{p}(z))^{2}(z + y − 1 + yzs_{p}(z) − ε_{k})}|) ≤

≤ \frac{1}{p} ∑_{k=1}^{p}(|Eε_{k}| + v^{−1}E|ε_{k}^{2}|)(|z + y − 1 + yzs_{p}(z)|)^{−2}.

Vezessük be a következő jelöléseket: Legyen X_{p}(k) az a mátrix, amit X_{p}-ből a k-adik sor elhagyásával kapunk, x(k) = (x_{k1}, …, x_{kn}), és jelölje E^{(k)} az \{x_{ij}, i ≠ k\} szerinti feltételes várható értéket. Ekkor α(k) = \frac{1}{n}X_{p}(k)x(k) és A_{p}(k) = \frac{1}{n}X_{p}(k)X_{p}^{T} (k) miatt |u| ≤ A, és C = A + 1 esetén

E|ε_{k}| = \frac{|z|}{n} |E ( tr(A_{p}(k) − zI_{p−1})^{−1} − tr(A_{p} − zI_{p})^{−1})| + \frac{1}{n} ≤ \frac{C}{nv} ,

és

E|ε_{k}^{2}| ≤ \frac{M}{n} + Γ_{1} + Γ_{2} + |Eε_{k}|^{2},

ahol Γ_{1} = E |α^{T} (k)(A_{p}(k) − zI_{p−1})^{−1}α(k) − E^{(k)} (α^{T} (k)(A_{p}(k) − zI_{p−1})^{−1}α(k))| , és

Γ_{2} = \frac{|z|^{2}}{n} E | tr(A_{p}(k) − zI_{p−1})^{−1} − E tr(A_{p}(k) − zI_{p−1})^{−1}|^{2} .

Becsüljük az egyenlőtlenséget tagonként.

Jelölje most r_{ij}(k) az R_{k} = \frac{1}{n}X_{p}^{T} (k)(A_{p}(p) − zI_{p−1})^{−1}X_{p}(k) mátrix elemeit.

Γ_{1} ≤ \frac{2M}{n^{2}} ∑_{i,j} E|r_{ij}^{2}(k)| = \frac{2M}{n^{2}} E tr (A_{p}^{2}(k) ((A_{p}(k) − uI_{p−1})^{2} + v^{2}I_{p−1})^{−1}) ≤

≤ \frac{4M}{n^{2}} (p − 1 + |u|^{2}E tr ((A_{p}(k) − uI_{p−1})^{2} + v^{2}I_{p−1})^{−1}) ≤ \frac{M}{n} + \frac{4MA^{2}}{nv^{2}} ≤ \frac{C}{nv^{2}} ,

ahol C = 4M(A^{2}+1). Γ_{2} esetében ismét használjuk a 2.3. fejezetben γ_{d}(k)-ra, és σ_{d}(k)-ra kapott becsléseket. Ezek alapján

Γ_{2} ≤ \frac{(A + 1)^{2}}{n^{2}} ∑_{d=1}^{p} E|γ_{d}^{2}(k)| ≤ \frac{C}{nv^{2}} .

A tagok becslését összerakva:

E|ε_{k}|^{2} ≤ \frac{C}{nv^{2}} ,

így valamilyen C_{0} konstansra

|δ| ≤ \frac{C_{0}}{nv^{5}} .

Kihasználva, hogy v = (\frac{10C_{0}(A + 1)}{n})^{\frac{1}{6}} kapjuk, hogy

|δ| ≤ \frac{v}{10(A + 1)^{2}} .

Most becsüljük |s_{p}(z) − s_{y}(z)|-t a (28) egyenlőtlenség alapján.

Ha |u−y −1| > \frac{y}{2(A + 1)}, akkor a négyzetgyök valós és képzetes részének előjelvizsgálatával elég nagy p-re a következő eredményre jutunk:

|s_{p}(z) − s_{y}(z)| ≤ \frac{|δ|}{2} [1 + \frac{2A + 2}{\sqrt{|(u + y − 1)^{2} − v^{2} − 4yu|}}] .

Ha |u − y − 1| ≤ \frac{y}{2(A + 1)}, akkor egyrészt

|\sqrt{(z − y − 1)^{2} − 4y} − 2i\sqrt{y}| ≤ \frac{1}{2\sqrt{y}} (\frac{y^{2}}{4(A + 1)^{2}} + v^{2}) ≤ \frac{y}{2},

másrészt

|\sqrt{(z + y − 1 + yzδ)^{2} − 4yz} − 2i\sqrt{y}| ≤ \frac{1}{\sqrt{y}} ((u − y − 1)^{2} + |v + yzδ|^{2} + 4y^{2}|zδ|) ≤

≤ \frac{1}{\sqrt{y}} (\frac{y^{2}}{4(A + 1)^{2}} + v^{2} (1 + \frac{1}{10(A + 1)})^{2} + \frac{4y^{2}v}{10(A + 1)}) ≤ \frac{y}{2},

így |\sqrt{(z + y − 1)^{2} − 4yz} + \sqrt{(z + y − 1 + yzδ)^{2} − 4yz}| ≥ 4\sqrt{y} − y > 2\sqrt{y}. Tehát

|s_{p}(z) − s_{y}(z)| ≤ \{ \begin{matrix}\frac{|δ|}{2} [1 + \frac{2A+2}{\sqrt{|(u+y−1)^{2}−v^{2}−4yu|}}] & ha |u − y − 1| > \frac{y}{2(A+1)} \\ C_{1}|δ| & ha |u − y − 1| ≤ \frac{y}{2(A+1)} \end{matrix}

∫ |δ|-t ugyanúgy becsüljük, ahogy a 2.3. fejezetben, tehát (21)-ből, és a 3.9. Állításból kapjuk, hogy

∫_{−A}^{A} |δ| du ≤ \frac{C}{nv^{3}} ∫_{−A}^{A} |s_{p}(z)|^{2} du ≤ \frac{C}{nv^{4}} ≤ Cv^{2}.

Végül ismét összerakhatjuk fenti becsléseinket, ugyanúgy, mint a 2.10. Tételben

∫_{−A}^{A} |s_{p}(z) − s(z)| du = ∫_{{|u−y−1|> \frac{y}{2(A+1)} \atop |u|≤A}} |s_{p} − s_{y}| du + ∫_{{|u−y−1|≤ \frac{y}{2(A+1)} \atop |u|≤A}} |s_{p} − s_{y}| du ≤

≤ Cv ∫_{−A}^{A} \frac{1}{\sqrt{|(u + y − 1)^{2} − v^{2} − 4yu|}} du + C ∫_{−A}^{A} |δ| du ≤ ηv + Cv^{2}

ahol most

η = C sup_{v<1} ∫_{−A}^{A} \frac{1}{\sqrt{|(u + y − 1)^{2} − v^{2} − 4yu|}} du.

Q.E.D.

A 3.6. Tétel bizonyítása A 3.8. Tételben beláttuk, hogy ∥EF_{p} − F_{y}∥ = O (n^{− \frac{1}{6}} ). Most ugyanúgy, mint a 2.9. Tétel esetén, legyen ∥EF_{p} − F_{y}∥ ≤ Δ = Cn^{− \frac{1}{6}} , valamilyen C > 1 konstansra. Tegyük fel, hogy Δ ≥ v ≥ n^{− \frac{1}{4}} .

Megint erősíteni próbáljuk a ∑_{i,j} E|r_{ij}^{2}(k)| -ra, és ∑_{d} γ_{d}(k)-ra tett becsléseinket, hogy v ilyen megválasztása mellett is igaz, hogy

δ ≤ \frac{v}{10(A + 1)^{2}} .

A hosszadalmas számolások során felhasználjuk a Marcsenkó-Pastur eloszlás Stieljes transzformáltjára vonatkozó felső korlátokat, továbbá, a 6.5. és 6.7. Lemmát. A számolás részletei a [11]-ben találhatók.

|s_{p}(z)−s_{y}(z)|-re a 3.8. Tétel bizonyításában kapott becslés itt is igaz, így ∫ |s_{p}(z) − s(z)|-t ugyanúgy összesíthetjük, mint az Állítás bizonyításában. Ebből az |x_{ij}| ≤ \sqrt{n}δ_{n} feltétel mellett a 3.6. Tétel következik, most már csak e feltétel kiküszöbölése van hátra. Legyen δ → 0 olyan, hogy

sup_{i,j} E|x_{ij}^{4}|χ_{\{|x_{ij}|≥\sqrt{n}δ_{n}\}} = o(δ^{2}),

és legyen

x̂_{ij} = \frac{x_{ij}χ_{\{|x_{ij}|≤\sqrt{n}δ_{n}\}} − Ex_{ij}χ_{\{|x_{ij}|≤\sqrt{n}δ_{n}\}}}{σ_{ij}} ,

ahol σ_{ij}^{2} = D^{2}(x_{ij}χ_{\{|x_{ij}|≤\sqrt{n}δ_{n}\}}). Azt már beláttuk, hogy az X̂_{p} = (x̂_{ij}) jelöléssel az \frac{1}{n} X̂_{p}X̂_{p}^{T} mátrix sajátértékeinek F̂_{p} tapasztalati eloszlásfüggvényére

igaz, hogy ∥EF̂_{p} − F_{y}∥ = O (n^{− \frac{1}{4}} ).

Tudjuk, hogy a Marcsenkó-Pastur eloszlás Stieljes transzformáltja

θ ≤ y ≤ Θ esetén korlátos, D = \frac{1 + 3\sqrt{y}}{\sqrt{y}(1 − y)} felső korláttal. Így a 6.10. Lemma

(ii) része szerint

∥EF_{p} − F_{y}∥ ≤ (D + 1)L(EF_{p}, F_{y}) ≤ (D + 1) (L(EF_{p}, EF̂_{p}) + ∥EF̂_{p} − F_{y}∥) ,

ahol ezúttal a 6.10. Lemma (i) része miatt

L^{2}(EF_{p}, EF̂_{p}) ≤ E ∫ |F_{p}(x) − F̂_{p}(x)| dx ≤ \frac{1}{p} ∑_{i=1}^{p} E|λ_{i} − λ̂_{i}| ≤

≤ (\frac{1}{np}E tr(X_{p} + X̂_{p})(X_{p} + X̂_{p})^{T} )^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{np}E tr(X_{p} − X̂_{p})(X_{p} − X̂_{p})^{T} )^{\frac{1}{2}} ≤

≤ C (sup_{i,j} Ex_{ij}^{2}χ_{\{|x_{ij}|≥\sqrt{n}δ_{n}\}}) = o (n^{− \frac{1}{2}} ) .

Q.E.D.

A 3.7. Tétel bizonyítása. Most tekintsük a 0 < Θ < y ≤ 1 esetet. Ekkor a sűrűségfüggvény nem korlátos, így a 5.11. Tételben szereplő egyenlőtlenség jobboldalának harmadik tagja nem O(v) nagyságrendű, hanem a következő becslést használjuk:

sup_{x} ∫_{|u|≤2va} |F_{y}(x + u) − F_{y}(x)| du ≤ Cv^{\frac{3}{2}} ,  (29)

ahol C = \frac{\sqrt{2a}(1 + \sqrt{y})}{πy}, és továbbra is használhatjuk a 3.8. Tételt.

Tehát most tegyük fel, hogy ∥EF_{p} − F_{y}∥ ≤ Δ = Cn^{− \frac{1}{12}} valamilyen C > 1 konstansra, és legyen Δ ≥ v > n^{− \frac{5}{24}} . Először megint feltesszük, hogy valamilyen δ → 0 sorozatra x_{ij} ≤ δ\sqrt{n}. Ekkor ugyanúgy, ahogy a 3.6. Tétel bizonyításában, itt is belátható, hogy

|δ| ≤ \frac{v}{10(A + 1)^{2}} ,

és továbbra is igaz az |s_{p}(z) − s_{y}(z)|-re kapott becslés, és az, hogy

∫_{−∞}^{∞} |δ| du ≤ Cv.

Így most is kapjuk, hogy

∫_{−A}^{A} |s_{p}(z) − s_{y}(z)| du ≤ Cv,

és végül (29) felhasználásával

∥EF_{p} − F_{y}∥ = O (n^{− \frac{5}{48}} ) .

Ha nem teljesül, hogy x_{ij} ≤ δ_{n}\sqrt{n}, akkor ismét vezessük be az x̂_{ij} valószínűségi változókat. Alkalmazzuk a 6.11. lemmát, G = F_{y}, F_{1} = EF_{p}, F_{2} = F̂_{p}, D = \frac{1+\sqrt{y}}{πy} és β = \frac{1}{2} választással. Ekkor

∥EF_{p} − F_{y}∥^{3} ≤ 2∥EF_{p} − F_{y}∥^{2}∥EF̂_{p} − F_{y}∥ + 2(2D)^{4} ∫ |EF_{p}(x) − EF̂_{p}(x)| dx.

A 3.6. Tétel bizonyításában beláttuk, hogy

∫ |EF_{p}(x) − EF̂_{p}(x)| dx = o (n^{− \frac{1}{2}} ) ,

és azt is tudjuk, hogy

∥EF̂_{p} − F_{y}∥ = O (n^{− \frac{5}{48}} ) ,

így

∥EF_{p} − F_{y}∥^{3} ≤ O (n^{− \frac{5}{48}} ) ∥EF_{p} − F_{y}∥^{2} + o (n^{− \frac{1}{2}} ) ,

és ezzel a tételt beláttuk. Q.E.D.

4. Nem szimmetrikus mátrixok

Az eddigi fejezetekben csak valós, szimmetrikus mátrixokkkal foglalkoztunk, Arnold azonban a [1]-ben megjegyezte, hogy a 2.2. Tétel igaz véletlen Hermite mátrixokra is. A kovariancia típusú mátrixokra vonatkozó tételek komplex esetre való általánosítására a Stieljes-transzformáltak konvergenciáját használjuk ki.

Legyen X_{p} = (x_{ij}) megint egy p×n-es mátrix, ahol az x_{ij}-k független, azonos eloszlású komplex értékű valószínűségi változók, Ex_{11} = 0,E|x_{11}|^{2} = 1, legyen továbbá T_{p} egy p × p-es pozitív szemidefinit Hermite mátrix, és Tp^{\frac{1}{2}} a T_{p} mátrix egy négyzetgyöke. Most a

B_{p} = \frac{1}{p}Tn^{\frac{1}{2}} X_{p}X_{p}^{T} T^{\frac{1}{2}}

mátrix sajátértékeiből képzett tapasztalati eloszlásfüggvény konvergenciáját vizsgáljuk n = n(p) ⟶^{p→∞} ∞, \frac{p}{n} ⟶^{p→∞} y ∈ (0, ∞) és F^{T} ⟶^{p→∞} H esetén. Silverstein 1995-ben bebizonyította, hogy F^{B_{n}} gyengén konvergál valamilyen F eloszlásfüggvényhez. F Stieljes-transzformáltjára a következő egyenletet írhatjuk fel:

s = ∫ \frac{1}{x(1 − y − yzs) − z} dH(x),

minden z = u + iv, v > 0 és s = s_{F} (z) esetén. Az egyenlet megoldása egyértelmű a \{s ∈ ℂ : Im (ys − \frac{1−y}{z}) > 0\} halmazon, de ezt az egyenletet csak kevés esetben tudjuk megoldani. Ha T = I, akkor a Marcsenkó-Pastur eloszlásfüggvény Stieljes-transzformáltja kielégíti az egyenletet. A Stieljestranszformáltak segítségével bizonyítható a következő tétel.

4.1. Tétel (Bai, Silverstein 1998). Ha E|x_{11}|^{4} < ∞, λ_{max}(T_{p}) < K < ∞, ∀p-re, és az [a, b], a > 0 intervallum elég nagy p-re nem metszi az F^{\frac{1}{p} X_{p}T_{p}X_{p}^{T}} eloszlásfüggvény tartóját, akkor

P (elég nagy p esetén B_{n}-nek nincs sajátértéke [a, b]-ben) = 1.

Legyen most A_{n} egy n × n-es nem szimmetrikus véletlen mátrix, melynek elemei független valós értékű standard normális eloszlású valószínűségi változók. Ekkor léteznek komplex sajátértékek is, így a komplex számok halmazán értelmezett sajátértékekből képzett tapasztalati eloszlásfüggvényt definiálunk, azaz z = u + iv esetén

F^{A_{n}}(z) = \frac{1}{n}#\{i : Reλ_{i} ≤ u, Imλ_{i} ≤ v\}.

4.2. Tétel. B_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}A_{n} mátrix sajátértékeiből képzett eloszlásfüggvény n → ∞ esetén 1 valószínűséggel konvergál az egységkörlapon egyenletes eloszláshoz, továbbá 1 valószínűséggel nincs sajátérték az egységkörlapon kívül.

5. 1. Függelék

5.1. Gráfelméleti segédeszközök

Legyenek az A = a_{ij} n × n-es mátrix sajátértékei λ_{1}, …, λ_{n}. Ekkor

∑_{i=1}^{n} λ^{2k} = trA^{2k} = ∑_{i_{1}=1}^{n} ⋯ ∑_{i_{2k}}^{n} a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}} … a_{i_{2k}i_{1}}.

A fenti összeg tagjainak vizsgálatához célszerű kimondani néhány gráfelméleti állítást.

W -gráfok

5.1. Definíció. Legyen {i_{1}, …, i_{2k}} egy olyan sorozat, ahol az i_{1}, …, i_{2k} számok az {1, …, n} halmaz elemei. Ekkor tekintsük azt a gráfot, amelynek csúcsai az i_{1}, …, i_{2k} számok, élei pedig az i_{1}i_{2}, …, i_{2k}i_{1} irányítatlan szakaszok. Egy ilyen gráfot W -gráfnak nevezünk, ha nincsen benne egyszeres él, és kanonikus W gráfnak, ha i_{m+1} ≤ max{i_{1}, …, i_{m}} + 1 ∀ m ≥ 2, és i_{1} = 1.

Általában feltesszük, hogy a gráfban nincs hurokél. A továbbiakban az ilyen W -gráfok számára keresünk felső becslést. Ehhez a következő jelöléseket vezetjük be. Egy i_{m}i_{m+1} él

- Ω_{1} él vagy innováció ha i_{m+1} ∉ {i_{1}, …, i_{m}};

- Ω_{2} él, ha egy Ω_{1} él utáni első vele egybeeső él;

- Ω_{3} él különben.

Tegyük fel, hogy |Ω_{1}| = |{i_{1}, …, i_{2k}}|−1 = l, ekkor |Ω_{2}| = l, és |Ω_{3}| = 2k−2l. Rögzítsük most, hogy a 2k él közül melyik Ω_{1}, Ω_{2}, illetve Ω_{3} él, és sorra véve az éleket nézzük meg, hogy hányféleképpen mehetünk tovább. Ha a soron következő él Ω_{2}, akkor annyiféleképpen választhatjuk meg ezt az élt, ahány olyan innováció van előtte, ami még csak egyszer szerepelt, és aminek egyik csúcsa megegyezik azzal a csúccsal, amiből Ω_{2} éllel szeretnénk továbblépni. Azokat a Ω_{2} éleket, amelyekre ezen Ω_{1} élek száma legalább 2, reguláris Ω_{2} éleknek nevezzük.

5.2. Lemma. A reguláris Ω_{2} élek száma ≤ 2|Ω_{3}|.

A lemmát 3 lépésben bizonyítjuk.

5.3. Állítás. Ha i_{m}i_{m+1} ∈ Ω_{1}, i_{l} ∈ {i_{1}, i_{2} …, i_{m}} valamilyen l > m + 1-re, és i_{m}i_{m+1} nem szerepel újra i_{l}-ig, akkor i_{m} és i_{l} között van Ω_{3} él.

Bizonyítás. (l −m)-re vonatkozó teljes indukcióval látjuk be az állítást. Ha l − m = 2, akkor i_{m+1}i_{m+2} = i_{m+1}i_{l} ∈ Ω_{3}.

Tegyük fel, hogy i_{l−1}i_{l} ∉ Ω_{3}, ekkor i_{l−1}i_{l} ∈ Ω_{2}, azaz van vele egybeeső i_{n−1}i_{n} Ω_{1} él, így i_{l−1} = i_{n−1} vagy i_{l−1} = i_{n}.

Ha n ≥ m + 1, akkor az i_{m}i_{m+1} és i_{n−1} vagy i_{n}, ha pedig n < m + 1, akkor az i_{m}i_{m+1} és i_{l−1} kielégítik a tétel feltételeit, és mivel n − m < l − m, továbbá l − 1 − m < l − m, alkalmazhatjuk az indukciós feltevést. Q.E.D.

5.4. Következmény. Egy i_{m}i_{m+1} reguláris Ω_{2} élhez tartozó Ω_{1} élek száma legfeljebb eggyel nagyobb az i_{m} előtti Ω_{3} élek számánál.

Definiáljuk a következő Φ leképezést. Legyen i_{m}i_{m+1} egy reguláris Ω_{2} él, és vegyünk a hozzá tartozó innovációk közül kettőt: i_{a}i_{a+1}, i_{b}i_{b+1}, a < b. Ezeket meg tudjuk választani úgy, ha i_{m_{1}}i_{m_{1}+1}, i_{m_{2}}i_{m_{2}+1} ∈ Ω_{2}, de i_{m_{1}}i_{m_{1}+1} ≠ i_{m_{2}}i_{m_{2}+1}, akkor i_{b_{1}}i_{b_{1}+1} ≠ i_{b_{2}}i_{b_{2}+1}.

- Ha i_{a} és i_{b} között van Ω_{3} él, akkor i_{m}i_{m+1}-re azt mondjuk, hogy második típusú, (ekkor az előző állítás miatt i_{a+1} = i_{b},) és legyen Φ(i_{m}i_{m+1}) az i_{b}i_{b+1} és i_{m}i_{m+1} közötti első Ω_{3} él. Az állítás miatt létezik ilyen.

- Különben i_{m}i_{m+1} első típusú, és ekkor Φ(i_{m}i_{m+1}) = i_{l−1}i_{l}, ahol i_{l} az első csúcs i_{b} után, amire i_{l} = i_{b}.

5.5. Állítás. Minden i_{m}i_{m+1} reguláris Ω_{2} él esetén Φ(i_{m}i_{m+1}) ∈ Ω_{3}.

Bizonyítás. Az állítást csak az első típusú élekre kell belátni. Tegyük fel, hogy i_{l−1}i_{l} ∈ Ω_{2} (Ω_{1} él nem lehet), ekkor legyen a vele megegyező Ω_{1} él i_{c−1}i_{c}, ekkor tehát i_{c−1} = i_{b}, vagy i_{c} = i_{b}. Mivel i_{a+1} = i_{b}, ezért a + 1 < c, hiszen i_{a}i_{a+1} ∈ Ω_{1}, így i_{a+1} ott szerepel először. Másrészt c < b, mert különben lenne i_{b} és i_{l} között i_{b}-vel megegyező él. Alkalmazva az előző állítást azt kapjuk hogy i_{c−1} és i_{b} között van Ω_{3} él, ami ellentmondás. Q.E.D.

5.6. Állítás. Φ legfeljebb 2 reguláris Ω_{2} élt képezhet ugyanarra a Ω_{3} élre.

Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy két első típusú él képe nem lehet ugyanaz.

Legyen i_{a_{1}}i_{a_{1}+1}, i_{b_{1}}i_{b_{1}+1} és i_{a_{2}}i_{a_{2}+1}, i_{b_{2}}i_{b_{2}+1} az i_{m_{1}}i_{m_{1}+1} és i_{m_{2}}i_{m_{2}+1} második típusú élekhez tartozó Ω_{1} élek. Tegyük fel, hogy b_{1} < b_{2}.

Ha a_{2} + 1 ≤ b_{1}, akkor i_{b_{2}} ∈ {i_{1}, … i_{b_{1}}}, tehát ismét az első állítás miatt van T − 4 él i_{b_{1}} és i_{b_{2}} között. Ha a_{2} + 1 > b_{1}, akkor mivel i_{a_{2}} és i_{b_{2}} között van Ω_{3} él, tehát i_{b_{1}} és i_{b_{2}} között is van. Mindkét esetben Φ(i_{m_{1}}i_{m_{1}+1}) i_{b_{1}} és i_{b_{2}} között van, Φ(i_{m_{2}}i_{m_{2}+1}) pedig i_{b_{2}} után, így nem egyezhetnek meg. Q.E.D.

A 3 állításból már következik a lemma.

Mivel legfeljebb k^{2} különböző indexpár van, ebből \binom{k^{2}}{t} féleképpen választhatjuk ki a t darab különböző Ω_{3} élt, és ezeket t^{2(k−l)} féleképpen helyezhetjük el, és ugyanígy a legfeljebb (t+1) darab reguláris Ω_{2} élt legfeljebb (t+1)^{4(k−l)} féleképpen.

Így a fentiekből 𝒲-vel jelölve a kanonikus W -gráfok halmazát:

|𝒲| ≤ ∑_{l=1}^{k} \binom{2k}{l}\binom{2k − l}{l} ∑_{t=1}^{2(k−l)} \binom{k^{2}}{t}t^{2(k−l)}(t + 1)^{4(k−l)}.

A következő lemma egy speciális esetben adja meg a W -gráfok számát.

5.7. Lemma. Tekintsük azokat a {i_{1}, …, i_{2k}} indexhalmazokat, amelyekben a különböző indexek száma k + 1, és jelölje 𝒢 azon kanonikus W - gráfok halmazát, amelyekben minden él kétszeres. Az összefüggőség miatt az éleket multiplicitás nélkül nézve a minden 𝒢 -beli gráf fa. Ekkor

|𝒢| = \binom{n}{k + 1}\frac{1}{k + 1}\binom{2k}{k}.

Bizonyítás. Az indexeket \binom{n}{k+1} féleképpen választhatjuk ki. A 𝒢-beli gáfoknak pontosan k darab Ω_{1} és k darab Ω_{2} élük van. Ha kiválasztottuk, hogy melyek legyenek az Ω_{1} élek, akkor egyértelműen meghatároztuk, hogy egy az i_{m} csúcsból hogyan léphetünk tovább.

- Ha i_{m}i_{m+1} ∈ Ω_{1}, akkor i_{m+1} új index, ami egyértelmű, hiszen a gráf kanonikus.

- Ha i_{m}i_{m+1} ∈ Ω_{2} , akkor i_{m+1} = i_{m−1}, hiszen különben lenne kör a gráfban.

Így minden gráf megfelel egy ε_{l}, i = l, …, 2k sorozatnak, ahol

ε_{l} = \{ \begin{matrix}1, & ha i_{l}i_{l+1} ∈ Ω_{1} \\ −1, & ha i_{l}i_{l+1} ∈ Ω_{2}. \end{matrix}

Az Ω_{1} és Ω_{2} élek definíciója alapján

∑_{i+1}^{l} ε_{i} ≥ 0, l = 1, … 2k − 1 ∑_{i+1}^{2k} ε_{i} = 0,

tehát |𝒢| megegyezik a szimmetrikus bolyongásban azon 2k hosszú utak számával, amelyek a 0-ban végződnek, és nem járnak a negatív félsíkban, ami éppen \frac{1}{k+1} \binom{2k}{k}. Q.E.D.

Legyen A = XX^{T}, ahol X = (x_{ij}) p × n-es mátrix, akkor

∑_{i=1}^{n} λ^{k} = trA^{k} = ∑_{i_{1}=1}^{p} ∑_{j_{1}}^{n} ⋯ ∑_{i_{k}=1}^{p} ∑_{j_{k}=1}^{p} a_{i_{1}j_{1}}a_{i_{2}j_{1}}a_{i_{2}j_{2}} … a_{i_{k}j_{k}}a_{i_{1}j_{k}}.

Páros W -gráfok

Ha a csúcsok a {i_{1}, j_{1}, …, i_{k}, j_{k}} számok, ahol az i_{1}, …, i_{k} számok az {1, …, p}, a j_{1}, …, j_{k} számok az {1, …, n} halmaz elemei, az élek pedig az i_{1}j_{1}, j_{1}i_{2}, i_{2}j_{2}, …, i_{k}j_{k}, j_{k}i_{1} irányítatlan szakaszok, továbbá egy i_{l} indexet, és egy j_{m} indexet akkor is különbözőnek tekintünk, ha i_{l} = j_{m}, akkor az előbbi konstrukcióval páros gráfot kapunk. Ismét feltesszük, hogy a gráfban nincs egyszeres él. Egy páros W gráf kanonikus, ha i_{m+1} ≤ max{i_{1}, …, i_{m}} + 1, j_{m+1} ≤ max{j_{1}, …, j_{m}} + 1 ∀ m ≥ 2, és i_{1} = 1, j_{1} = 1. Azok az állítások, amiket az előbb bebizonyítottunk, most is igazak lesznek, de most az új i indexeket tartalmazó innovációk száma r, így az előbbi becslés a páros W - gráfok 𝒲_{p} halmazára

|𝒲_{p}| ≤ ∑_{l=1}^{k} ∑_{r=1}^{l} \binom{k}{r}\binom{k}{l − r}\binom{2k − l}{l} ∑_{t=1}^{2(k−l)} \binom{k^{2}}{t}t^{2(k−l)}(t + 1)^{4(k−l)}.

A 5.7. Lemmához hasonló állítást fogalmazhatunk meg a páros W -gráfok esetén.

5.8. Lemma. Tekintsünk most egy olyan {i_{1}, j_{1}, …, i_{k}, j_{k}} indexhalmazt, ahol |{i_{1}, …, i_{k}}| = r + 1 és |{j_{1}, …, j_{k}}| = k − r, és jelölje 𝒢_{p}(r) ezen indexhalmazhoz tartozó kanonikus páros gráfokat, amelyekben minden él kétszeres. Ekkor

|𝒢_{p}(r)| = \binom{p}{k + 1}\binom{n}{k − r}\frac{1}{r + 1}\binom{k}{r}\binom{k − 1}{r}.

A bizonyítás hasonlít a 5.7. Lemma bizonyításához, azaz megint a szimmetrikus bolyongásra vezethetjük vissza az állítást.

5.2. A Stieljes-transzformált és tulajdonságai

5.9. Definíció. Egy korlátos változású F függvény Stieljes-transzformáltját a következőképpen definiáljuk:

s(z) = ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{x − z} dF (x),  (30)

ahol z = u + iv komplex változó.

Tulajdonságok:

1. Inverziós formula: Az F függvény tetszőleges x_{1} ≤ x_{2} folytonossági pontjaira

F (x_{2}) − F (x_{1}) = lim_{v↓0} \frac{1}{π} ∫_{x_{1}}^{x_{2}} Im(s(u + iv)) du

2. Differenciálhatóság: Az inverziós formula alapján, ha Im(s(z)) folytonos a z = x+i0 pontban , akkor F differenciálható x-ben, és deriváltja:

F′(x) = \frac{1}{π} Im(s(x + i0)).

3. Folytonossági tétel: F_{n}, F függvényekre és s_{n}, s Stieljes transzformáltjaikra teljesül F_{n} →_{w} F akkor és csak akkor, ha s_{n}(z) → s(z) minden z = u + iv, v > 0 esetén.

4. Az F_{1}, F_{2} eloszlásfüggvények s_{1}, s_{2} Stieljes-transzformáltjaikra parciális integrálással kapjuk:

|s_{1}(z) − s_{2}(z)| ≤ \frac{π∥F_{1} − F_{2}∥}{v},  (31)

ahol ∥F_{1} − F_{2}∥ = sup_{x} |F_{1}(x) − F_{2}(x)|.

5. Egy V (F) < ∞ totális variációjú F függvény s(z) Stieljestranszformáltjára teljesül, hogy

∫ |s(z)|^{2} du ≤ \frac{2π}{v} V (F)∥F ∥.  (32)

A karakterisztikus függvényekre vonatkozó Berry-Esséen egyenlőtlenséghez hasonló állítások mondhatók ki a Stieljes-transzformáltra, azaz eloszlásfüggvények és Stieljes-transzformáltjaik közelségének kapcsolatáról szól a következő két tétel:

5.10. Tétel. Legyen F egy eloszlásfüggvény, és G egy korlátos változású függvény, jelöljük Stieljes-transzformáltjukat s_{F} (z)-vel és s_{G}(z)-vel. Ekkor:

∥F − G∥ ≤

≤ \frac{1}{π(2γ − 1)} [∫_{−∞}^{∞} |s_{F} (z) − s_{G}(z)| du + \frac{1}{v} sup_{x} ∫_{|y|≤2va} |G(x + y) − G(x)| dy] ,

ahol z = u + iv, v > 0, és az a és γ konstansokra igaz, hogy:

γ = \frac{1}{π} ∫_{|u|<a} \frac{1}{u^{2} + 1} du > \frac{1}{2}.

5.11. Tétel. Az előző tétel feltételei mellett

∥F − G∥ ≤ \frac{1}{π(1 − κ)(2γ − 1)} [∫_{−A}^{A} |s_{F} (z) − s_{G}(z)| du+

+ \frac{2π}{v} ∫_{|x|>B} |F (x) − G(x)| dx + \frac{1}{v} sup_{x} ∫_{|y|<2va} |G(x + y) − G(x)| dy] ,

ahol 0 < B < A konstansok, és

κ = \frac{4B}{π(A − B)(2γ − 1)} < 1.

A két tétel bizonyítása [10]-ban található.

5.12. Lemma. Legyen f(x) kompakt tartójú valószínűségi sűrűségfüggvény, és tegyük fel, hogy |f(x)| ≤ M_{f} < ∞. Ekkor

∫_{−∞}^{∞} |s(z)|^{2} du < 2π^{2}M_{f},  (33)

ahol s(z) az f Stieljes-transzformáltja.

Számoljuk ki most néhány sűrűségfüggvény Stieljes-transzformáltját. A továbbiakban \sqrt{z} azt a négyzetgyököt jelöli, amelynek képzetes része pozitív.

1. A Wigner-féle félköroszlás sűrűségfüggvénye:

w(x) = \frac{1}{2π} \sqrt{4 − x^{2}}χ_{[−2,2]}(x)  (34)

s(z) = \frac{1}{2π} ∫_{−2}^{2} \frac{\sqrt{4 − x^{2}}}{x − z} dx = \frac{1}{π} ∫_{0}^{π} \frac{sin^{2} θ}{cos θ − \frac{1}{2}z} dθ =

= \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} \frac{sin^{2} θ}{cos θ − \frac{1}{2}z} dθ = −\frac{1}{4πi} ∫_{|ζ|=1} \frac{(ζ^{2} − 1)^{2}}{ζ^{2}(ζ^{2} − ζz + 1)} dζ

x = 2 cos θ illetve ζ = exp(iθ) behelyettesítésekkel. Ebből a reziduum tétel segítségével kapjuk, hogy

s(z) = \frac{z − \sqrt{z^{2} − 4}}{2}  (35)

Mivel itt |s(z)| megegyezik az egyik egységkörön belüli szingularitással, ezért:

|s(z)| ≤ 1.  (36)

2. A Marcsenkó - Pastur eloszlás sűrűségfüggvénye:

f_{y}(x) = \frac{1}{2xyπ} \sqrt{4y − (x − y − 1)^{2}}χ_{[(1−\sqrt{y})^{2},(1+\sqrt{y})^{2}]}(x)

és F_{y}(0) = 1− \frac{1}{y} ha y > 1. Ekkor a fentihez hasonlóan kapjuk a Stieljestranszformáltra:

s_{y}(z) = −\frac{y + z − 1 − \sqrt{(1 + y − z)^{2} − 4y}}{2yz}  (37)

Erre a függvényre a következő felső becsléseket adhatjuk

|s_{y}(z)| ≤ \frac{1 + \sqrt{y}}{|z|\sqrt{y}}  ∀ z,  (38)

és

|s_{y}(z)| < \{ \begin{matrix}\frac{1+3\sqrt{y}}{\sqrt{y}(1−y)}, & ha 0 < θ ≤ y ≤ Θ < 1 \\ \frac{2}{\sqrt{yv}}, & ha Θ ≤ y ≤ 1 \end{matrix}  (39)

5.13. Lemma. Legyen A egy n × n-es Hermite mátrix, E az az n × n-es mátrix, aminek minden helyén 1 áll, Jelölje s_{n}(z), és s_{n}^{a}(z) (z = u + iv) az A és az A + aE sajátértékeiből képzett tapasztalati eloszlásfüggvényének Stieljes-transzformáltját. Ekkor

|s_{n}(z) − s_{n}^{a}(z)| ≤ \frac{1}{nv} .

5.3. Még két fontos lemma

5.14. Lemma. Legyen r ∈ [\frac{1}{2}, 2] és \{w_{ij}, i, j = 1, 2, … \} független, azonos eloszlású valószínűségi változók halmaza, ahol Ew_{11} = 0 és E|w_{11}|^{2/r} < ∞. Minden n-re definiáljunk egy W_{n} = (w_{ij}) p × n-es mátrixot, ahol p = p(n) és \frac{p}{n} → y ∈ (0, ∞) n → ∞ esetén. Ekkor létezik olyan δ_{n}, hogy

(a) δ_{n} → 0 ha n → ∞

(b) P (W_{n} ≠ Ŵ_{n}végtelen sokszor) = 0,

ahol Ŵ_{n} = (ŵ_{ij}) p × n -es mátrix, és ŵ_{ij} = w_{ij}χ_{[|w_{ij}|<δ_{n}n^{r}]}.

Bizonyítás. Mivel E|w_{11}|^{2/r} < ∞, ezért tetszőleges ε > 0-ra

∑_{m=1}^{∞} 2^{2m}P (|w_{11}| ≥ ε2^{mr}) < ∞

Mivel ε tetszőleges, így létezik ε = ε_{m} pozitív számsorozat, hogy

(a) ε_{m} → 0 ha m → ∞

(b) ∑_{m=1}^{∞} 2^{2m}P (|w_{11}| ≥ ε_{m}2^{mr}) < ∞

Legyen δ_{n} = 2^{r}ε_{m}, ahol 2^{m−1} ≤ n < 2^{m}, ekkor δ_{n} ⟶^{n→∞} 0, és definiáljuk Ŵ_{n}-t ezzel a δ_{n}-nel. Mivel \frac{p}{n} → y ∈ (0, ∞), így elég nagy n-re p ≤ 2yn. Így

P (W_{n} ≠ Ŵ_{n}végtelen sokszor) ≤ lim_{k→∞} ∑_{m=k}^{∞} P ( ⋃_{2^{m−1}≤n≤2^{m}} ⋃_{i=1}^{p} ⋃_{j=1}^{n}(|w_{ij}| ≥ δ_{n}n^{r})) ≤

≤ lim_{k→∞} ∑_{m=k}^{∞} P ( ⋃_{2^{m−1}≤n≤2^{m}} ⋃_{i=1}^{2y2^{m}} ⋃_{j=1}^{2^{m}}(|w_{ij}| ≥ ε_{m}2^{mr})) =

= lim_{k→∞} ∑_{m=k}^{∞} P ( ⋃_{i=1}^{2y2^{m}} ⋃_{j=1}^{2^{m}}(|w_{ij}| ≥ ε_{m}2^{mr})) ≤ lim_{k→∞} 2y2^{2m} ∑_{m=k}^{∞} P (|w_{11}| ≥ ε_{m}2^{mr}) = 0

Q.E.D.

Vegyük észre, hogy ha valamilyen δ_{n} sorozatra teljesülnek a tétel feltételei, akkor tetszőleges lassabban 0-hoz tartó sorozatra is teljesülnek.

5.15. Lemma. Tegyük fel, hogy teljesülnek 5.14. Lemma feltételei r = \frac{1}{2}-re. 1. Ha W_{n} p × n-es mátrix, akkor

|λ_{max} (\frac{1}{n}W̃_{n}W̃_{n}^{T} ) − λ_{max} (\frac{1}{n}Ŵ_{n}Ŵ_{n}^{T} )| → 0 1 vsz-gel,

ahol W̃_{n} elemei w̃_{ijn} = ŵ_{ijn} − Eŵ_{ijn}.

2. Ha W_{n} = (w_{ijn}), w_{iin} ≡ 0 n × n-es mátrix, akkor

|λ_{max} (\frac{1}{\sqrt{n}}W̃_{n}) − λ_{max} (\frac{1}{\sqrt{n}}Ŵ_{n})| → 0 1 vsz-gel.

Bizonyítás. Jelöljük M_{n}-nel az a p × n-es mátrixot, aminek minden helyén Eŵ_{11n} áll.

|Eŵ_{11n}| ≤ E|w_{11}χ_{\{|w_{11}|≥δ\sqrt{n}\}}| ≤ E|w_{11}|^{4}n^{− \frac{3}{2}} δ^{−3},

ezért kihasználva, hogy W̃_{n}W̃_{n}^{T} = (Ŵ_{n} − M_{n})(Ŵ_{n} − M_{n})^{T} kapjuk

|λ_{max} (\frac{1}{n}W̃_{n}W̃_{n}^{T} ) − λ_{max} (\frac{1}{n}Ŵ_{n}Ŵ_{n}^{T} )| ≤ \frac{1}{n} (2 sup_{∥a∥=1} |a^{T} Ŵ_{n}M_{n}^{T} a| + sup_{∥a∥=1} |M_{n}a|^{2}) ≤

≤ \frac{1}{n} [2 sup ; ∑_{i=1}^{p} a_{i}^{2}=1 (∑_{i=1}^{p} |a_{i}|)^{2} |∑_{i=1}^{p} ∑_{j=1}^{n} ŵ_{ijn}Eŵ_{11n}| + n|Eŵ_{11n}|^{2} sup ; ∑_{i=1}^{p} a_{i}^{2}=1 (∑_{i=1}^{p} a_{i})^{2}] ≤

≤ \frac{1}{n} [2n (∑_{i=1}^{p} ∑_{j=1}^{n} w_{ijn}^{2})^{\frac{1}{2}} |Eŵ_{11n}| + n^{2} |Eŵ_{11n}|^{2}] ≤

≤ C [\frac{1}{δ^{3}n^{\frac{3}{2}}} (∑_{i=1}^{p} ∑_{j=1}^{n} w_{ij}^{2})^{\frac{1}{2}} + n\frac{1}{δ^{6}n^{3}} ] =

= C [\frac{1}{δ^{3}\sqrt{n}} (\frac{1}{n^{2}} ∑_{i=1}^{p} ∑_{j=1}^{n} w_{ij}^{2})^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{δ^{6}n^{2}} ] → 0 1 vsz-gel

felhasználva, hogy

\frac{1}{n^{2}} ∑_{i=1}^{p} ∑_{j=1}^{n} w_{ij}^{2} → Ew_{11}^{2} 1 vsz-gel.

A 2. esetben tetszőleges ∥a∥ = 1-re

|a^{T} (W̃_{n} − Ŵ_{n})a| ≤ ((∑_{i=1}^{n} a_{i})^{2} + 1) E|w_{12}|^{4}n^{− \frac{3}{2}} δ^{−3} ≤ (n + 1)E|w_{12}|^{4}n^{− \frac{3}{2}} δ^{−3}.

Q.E.D.

5.16. Következmény. A 5.15. Lemma feltételeinek eleget tevő mátrixokra igaz, hogy

λ_{max} (\frac{1}{n}W_{n}W_{n}^{T} ) − λ_{max} (\frac{1}{n}W̃_{n}W̃_{n}^{T} ) → 0 1 vsz-gel,

illetve

λ_{max} (\frac{1}{\sqrt{n}}W_{n}) − λ_{max} (\frac{1}{\sqrt{n}}W̃_{n}) → 0 1 vsz-gel.

6. 2. Függelék

6.1. Lemma. Legyen H egy tetszőleges eloszlásfüggvény. Ekkor

1. ∫ |x|^{k} dH(x) < ∞ esetén

∫_{|x|<\sqrt{n}} x^{r} dH(x) = o (n^{\frac{r−k}{2}} ) ∀ r ≥ k + 1

2. ∫ |x|^{k} dH(x) < ∞, ∫ x dH(x) = 0 esetén

∫_{|x|<\sqrt{n}} x dH(x) = o (n^{\frac{1−k}{2}} ) ∀ k ≥ 1

Bizonyítás. A lemma első feléhez két részre vágjuk a [−\sqrt{n}, \sqrt{n}] intervallumot:

∫_{|x|<\sqrt{n}} x^{r} dH(x) = ∫_{|x|< \sqrt[4]{n}} x^{r} dH(x) + ∫_{\sqrt[4]{n}≤|x|≤\sqrt{n}} x^{r} dH(x)

A két tagot külön becsüljük.

∫_{|x|< \sqrt[4]{n}} x^{r} dH(x) ≤ ∫_{|x|< \sqrt[4]{n}} |x|^{r−k}|x|^{k} dH(x) ≤ (\sqrt[4]{n})^{r−k} ∫ |x|^{k} dH(x) = O (n^{\frac{r−k}{4}} ) ,

∫_{\sqrt[4]{n}≤|x|≤\sqrt{n}} x^{r} dH(x) ≤ (\sqrt{n})^{r−k} ∫_{\sqrt[4]{n}≤|x|≤\sqrt{n}} |x|^{k} dH(x) = o (n^{\frac{r−k}{2}} ) ,

mert

∫_{\sqrt[4]{n}≤|x|≤\sqrt{n}} |x|^{k} dH(x) ⟶^{n→∞} 0.

A lemma második fele pedig következik abból, hogy

∫_{|x|<\sqrt{n}} x dH = ∫_{|x|≥\sqrt{n}} x dH(x) ≤ ∫_{|x|≥\sqrt{n}} \frac{|x|^{k}}{(\sqrt{n})^{k−1}} dH(x) = o (n^{\frac{1−k}{2}} ) .

Q.E.D.

Megjegyzés. A bizonyításból látszik, hogy tetszőleges γ ∈ (0, 1]-re is belátható, hogy

∫_{|x|<n^{\frac{γ}{2}}} x^{r} dH(x) = o (n^{γ \frac{r−k}{2}} ) ∀ r ≥ k + 1

és ∫ x dH(x) = 0 esetén

∫_{|x|<n^{\frac{γ}{2}}} x dH(x) = o (n^{γ \frac{1−k}{2}} ) ∀ k ≥ 1.

6.2. Lemma. Legyen H tetszőleges eloszlásfüggvény, és n = n(p), ahol

n ⟶^{p→∞} ∞, \frac{p}{n} ⟶^{p→∞} y ∈ (0, 1]. Ekkor

1. ∫ |x|^{k} dH(x) < ∞ esetén

∫_{|x|<\sqrt{n}} x^{r} dH(x) = o (p^{\frac{r−s−k}{2}} n^{\frac{s}{2}} ) ,

ha s = 1, 2, …, k − 1, minden k és r pozitív egész számra, melyekre r ≥ k + 1.

2. ∫ |x|^{k} dH(x) < ∞, ∫ x dH(x) = 0 esetén

∫_{|x|<\sqrt{n}} x dH(x) = o (p^{\frac{s+1−k}{2}} n^{− \frac{s}{2}} ) ,

ha s = 1, 2, …, k − 1, minden k pozitív egész számra. A bizonyítás ugyanúgy megy, mint a 6.1. Lemma bizonyítása. 6.3. Lemma. Legyen X egy valószínűségi változó.

(i) E(X^{4}) < ∞ ⇔ ∑_{n}nP (|X| ≥ \sqrt{n}) < ∞.

(ii) E(X^{6}) < ∞ ⇔ ∑_{n}n^{2}P (|X| ≥ \sqrt{n}) < ∞.

Bizonyítás. Az első részhez

∑_{n=1}^{∞} nP (|X| ≥ \sqrt{n}) = ∑_{k=1}^{∞} P (\sqrt{k} ≤ |X| < \sqrt{k + 1}) ∑_{n=1}^{k} n ≤

≤ ∑_{k=1}^{∞} k^{2}P (\sqrt{k} ≤ |X| ≤ \sqrt{k + 1}) ≤ ∫ X^{4} dP,

és ugyanígy

∫ X^{4} dP ≤ ∑_{k=1}^{∞} k^{2}P (\sqrt{k − 1} ≤ |X| < \sqrt{k}) ≤ \frac{1}{2} (1 + ∑_{n=1}^{∞} nP (|X| ≥ \sqrt{n})) .

Az (ii) rész bizonyításához azt használjuk, hogy

\frac{k^{3}}{3} ≤ ∑_{n=1}^{k} n^{2} = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} ≤ k^{3}.

Q.E.D.

6.4. Lemma. Legyenek X_{1}, X_{2} … független, azonos eloszlású valószínűségi változók, P (X_{1} = 1) = 1 − P (X_{1} = 0) = p. Ekkor

P (X_{1} + ⋯ + X_{n} − np ≥ nε) ≤ e^{−nh(ε−ph)},

minden ε > 0, és 0 ≤ h ≤ \frac{1}{2} esetén.

Bizonyítás. A Markov egyenlőtlenségből következik, hogy tetszőleges h ≥ 0 számra

P (∑_{i=1}^{n} X_{i} − np ≥ nε) = P (e^{h ∑_{i=1}^{n} X_{i}−np} ≥ e^{hnε}) ≤ e^{−hnε}E (e^{h ∑_{i=1}^{n} X_{i}−np}) .

Az X_{i}-k független, azonos eloszlású valószínűségi változók, így

E (e^{h ∑_{i=1}^{n} X_{i}−np}) = (Ee^{h(X_{1}−p)})^{n} ,

és

Ee^{h(X_{1}−p)} = pe^{(1−p)h} + (1 − p)e^{−ph}.

Az exponenciális függvényt hatványsorba fejtve kapjuk, hogy

Ee^{h(X_{1}−p)} = p ∑_{k=0}^{∞} \frac{((1 − p)h)^{k}}{k!} + (1 − p) ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−ph)^{k}}{k!} .

Az összeget tagonként becsülve

k = 0-ra p + 1 − p = 1,

k = 1-re p(1 − p)h + (1 − p)(−p)h = 0,

k = 2-re \frac{p(1 − p)^{2}h^{2} + (1 − p)p^{2}h^{2}}{2} ≤ \frac{h^{2}p}{2},

a többi tagra pedig h ≤ \frac{1}{2} esetén

∑_{k=3}^{∞} \frac{p (1 − p)h)^{k} + (1 − p) (−ph)^{k}}{k!} ≤ p ∑_{k=3}^{∞} \frac{h^{k}}{k!} ≤ \frac{h^{2}p}{2}.

Összesítve a tagokat Ee^{h(X_{1}−p)} ≤ 1 + h^{2}p ≤ e^{h^{2}p}, így

P (X_{1} + ⋯ + X_{n} − np ≥ nε) ≤ e^{−hnε}e^{nh^{2}p}.

Q.E.D.

6.5. Lemma. Legyen A = (a_{ij}) n × n-es nemszinguláris szimmetrikus mátrix, A_{k} az A k-adik sorának, illetve oszlopának elhagyásával kapott (n − 1) × (n − 1)-es mátrix, és α_{k} = (a_{k1}, …, a_{k,k−1}, a_{k,k+1}, … a_{kk}). Ekkor

(i) tr(A^{−1}) = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{a_{kk} − α_{k}^{T} A_{k}^{−1}α_{k}};

(ii) tr(A^{−1}) − tr(A_{k}^{−1}) = \frac{1 + α_{k}^{T} A_{k}^{−2}α_{k}}{a_{kk} − α_{k}^{T} A_{k}^{−1}α_{k}}.

Bizonyítás. Mivel tr (A^{−1}) = ∑_{k=1}^{n} \frac{det(A_{k})}{det(A)}, ezért (i) következik abból, hogy

tetszőleges nemszinguláris C mátrixra igaz, hogy

det ( \begin{matrix}C & D \\ E & F \end{matrix} ) = det(C) det(F − EC^{−1}D).

(ii) Ha egy szimmetrikus A mátrix tetszőleges partíciója

A = ( \begin{matrix}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} ) ,

akkor könnyen ellenőrizhető, hogy A^{−1} a következőképpen particionálható:

[ \begin{matrix}A_{11}^{−1} + A_{11}^{−1}A_{12}(A_{22} − A_{21}A_{11}^{−1}A_{12})^{−1}A_{21}A_{11}^{−1} & −A_{11}^{−1}A_{12}(A_{22} − A_{21}A_{11}^{−1}A_{12})^{−1} \\ −(A_{22} − A_{21}A_{11}^{−1}A_{12})^{−1}A_{12}A_{11}^{−1} & (A_{22} − A_{21}A_{11}^{−1}A_{12})^{−1} \end{matrix} ] ,

és ebből A_{11} = A_{k}, A_{12} = α_{k} = A_{21}^{T}, A_{22} = a_{kk} választással már következik a lemma második fele is. Q.E.D.

6.6. Lemma. Legyen z = u + iv, v > 0, és legyen A egy n × n-es valós szimmetrikus mátrix, A_{k} az a mátrix, amit A-ból a k-adik sor, és a k-adik oszlop elhagyásával kapunk. Ekkor:

| tr(A − zI_{n})^{−1} − tr(A_{k} − zI_{n−1})^{−1}| ≤ v^{−1}.

Bizonyítás. Használjuk az előző lemmát.

tr(A − zI_{n})^{−1} − tr(A_{k} − zI_{n−1})^{−1} = \frac{1 + α_{k}^{T} (A_{k} − zI_{n−1})^{−2}α_{k}}{a_{kk} − z − α_{k}^{T} (A − zI_{n−1})^{−1}α_{k}} .

A szimmetrikus, így A_{k} = U^{T} diag(λ_{1}, …, λ_{n−1})U valamilyen U valós unitér mátrixra. Vezessük be az α_{k}^{T} U^{T} = (y_{1}, …, y_{n−1}) jelölést, és becsüljük először a számlálót.

|1 + α_{k}^{T} (A_{k} − zI_{n−1})^{−2}α_{k}| = |1 + ∑_{l=1}^{n−1} y_{l}^{2}(λ_{l} − z)^{−2}| ≤

≤ 1 + ∑_{l=1}^{n−1} y_{l}^{2} ((λ_{l} − u)^{2} + v^{2})^{−1} = 1 + α_{k}^{T} ((A_{k} − uI_{n−1})^{2} + v^{2}I_{n−1})^{−1} α_{k}.

Másrészt a nevezőt alulról becsülhetjük a képzetes részével, azaz

Im (a_{kk} − z − α_{k}^{T} (A − zI_{n−1})^{−1}α_{k}) = v (1 + α_{k}^{T} ((A_{k} − uI_{n−1})^{2} + v^{2}I_{n−1})^{−1} α_{k}) ,

és ebből már következik a lemma. Q.E.D.

6.7. Lemma. Legyen W_{n} egy n × n-es szimmetrikus mátrix, és W_{n−1} egy (n − 1) × (n − 1) -es főminorja, és legyen ezek sajátértékeiből kapott tapasztalati eloszlásfüggvénye F_{n} és F_{n−1}. Ekkor:

∥nF_{n} − (n − 1)F_{n−1}∥ ≤ 1.

Bizonyítás. Jelöljék W_{n} sajátértékeit λ_{1} ≤ ⋯ ≤ λ_{n}, W_{n−1} sajátértékeit pedig μ_{1} ≤ ⋯ ≤ μ_{n−1}, ekkor a lemma állítása következik abból, hogy

λ_{1} ≤ μ_{1} ≤ λ_{2} ≤ ⋯ ≤ μ_{n−1} ≤ λ_{n}.

Q.E.D.

6.8. Lemma. Legyen A, B két p × p-es szimmetrikus mátrix λ_{1} ≤ ⋯ ≤ λ_{p} és μ_{1} ≤ ⋯ ≤ μ_{p} sajátértékekkel. Ekkor

∑_{i=1}^{p}(λ_{i} − μ_{i})^{2} ≤ tr(A − B)^{2}.

Bizonyítás. Ehhez A_{0} = diag(λ_{1}, …, λ_{p}), B_{0} = diag(μ_{1}, …, μ_{p}) jelölésekkel A = UA_{0}U^{T} és B = UV B_{0}V^{T} U^{T}, ahol U = (u_{ij}), és V = (v_{ij}) valós unitér mátrixok. Ekkor

tr(A − B)^{2} = tr(A_{0} − V B_{0}V^{T})^{2} = tr(A_{0}A_{0}^{T}) + tr(B_{0}B_{0}^{T}) − 2 ∑_{i,j} λ_{i}μ_{j}v_{ij}^{2}.

Mivel V unitér, ezért a W = (w_{ij}) = (v_{ij}^{2}) mátrix elemeire teljesül, hogy w_{ij} > 0, és ∑_{i} w_{ij} = ∑_{j} w_{ij} = 1. Az ilyen W sztochasztikus mátrixok a p^{2} dimenziós térben korlátos konvex poliédert alkotnak, amelynek extremális pontjai a permutáció mátrixok. Ezért a ∑_{i,j} λ_{i}μ_{j}w_{ij} lineáris függvény akkor

veszi fel a maximumát, ha W egy permutáció mátrix. Q.E.D.

6.9. Lemma. Tetszőleges δ > 0, és 1 ≤ r ≤ l ≤ k esetén

\binom{k}{r}\binom{k}{l − r}\binom{2k − l}{l}δ^{k−l} ≤ (1 + \sqrt{δ})^{2k}\binom{k}{l}\binom{2l}{2r}.

Bizonyítás. Definiáljuk a következő I(r) függvényt 0 ≥ r ≥ l-re.

I(r) = \begin{matrix}\binom{k}{r} & \binom{k}{l−r} \\ ( & {2l \atop 2r} & ) \end{matrix}.

Ekkor 0 ≥ r ≥ l − 1 esetén

\frac{I(r + 1)}{I(r)} = \frac{(2r + 1)(k − 1)}{(2(l − r) − 1) (k − (l − r) + 1)} ≥ 1 ha 2r ≥ l − 1,

mert (2r + 1)(k − 1) − (2(l − r) − 1) (k − (l − r) + 1) ≥ 0, ha 2r ≥ l − 1. Így az I(r) függvény maximuma I(0) = I(l) = \binom{k}{l}, tehát

\begin{matrix}\binom{k}{r} & \binom{k}{l−r} & \binom{2k−l}{l} \\ \binom{k}{l} & \binom{2l}{2r} \end{matrix}δ^{k−l} ≤ \binom{2k − l}{l}δ^{k−l} ≤ ∑_{l=0}^{k} \binom{2k − l}{l}δ^{k−l} =

= ∑_{l=0}^{k} \binom{k + l}{2l}δ^{l} ≤ ∑_{l=0}^{2k} \binom{2k}{l}δ^{\frac{l}{2}} = (1 + \sqrt{δ})^{2k} .

Q.E.D.

6.10. Lemma. Legyen L(F, G) az F és G eloszlásfüggvények Lévytávolsága. Ekkor

(i) L^{2}(F, G) ≤ ∫ |F (x) − G(x)| dx.

(ii) Ha sup_{x} |G(x + y) − G(x)| ≤ D|y| minden y-ra, akkor minden F elosz-

lásfüggvény esetén

L(F, G) ≤ ∥F − G∥ ≤ (D + 1)L(F, G).

Bizonyítás.

(i) Legyen r ∈ (0, L(F, G)), ekkor létezik olyan x, melyre F (x − r) − r > G(x) vagy F (x+r)+r < G(x). Feltehetjük, hogy F (x−r)−r > G(x), ekkor az (x − r, F (x − r) − r), (x, F (x − r) − r), (x − r, F (x − r)) és (x, F (x − r)) pontok által meghatározott négyzet F és G között van, így a két görbe közötti terület nagyobb, mint r^{2}.

(ii) Az első egyenlőtlenség bizonyításához legyen r = ∥F − G∥, ekkor

F (x − r) − r ≤ F (x) − r ≤ G(x) ≤ F (x) + r ≤ F (x + r) + r.

A második egyenlőtlenséghez legyen r ∈ (0, ∥F − G∥), és feltehetjük, hogy valamilyen x-re F (x) > G(x) + r. A G-re tett feltétel miatt

G (x + \frac{r}{D + 1}) + \frac{r}{D + 1} ≤ G(x) + r < F (x).

Ebből következik, hogy L(F, G) ≥ \frac{r}{D+1}, ahol r ∈ (0, ∥F − G∥) tetszőleges volt.

Q.E.D.

6.11. Lemma. Legyen F_{1}, F_{2} két eloszlásfüggvény, és G olyan, hogy

sup_{x} |G(x + u) − G(x)| ≤ D|u|^{β}

teljesüljön valamilyen 0 < β ≤ 1 esetén minden u-ra. Ekkor

∥F_{1} − G∥^{1+ \frac{1}{β}} ≤ 2∥F_{1} − G∥^{\frac{1}{β}} ∥F_{2} − G∥ + 2(2D)^{\frac{1}{β}} ∫ |F_{1}(x) − F_{2}(x)| dx.

Bizonyítás. Legyen 0 < r < ∥F_{1} − G∥, ekkor feltehetjük, hogy valamilyen x_{0}-ra F_{1}(x_{0}) − G(x_{0}) > r. A G-re tett feltétel miatt minden x ∈ [x_{0} − (\frac{r}{2D})^{\frac{1}{β}} , x_{0}]-ra |F_{1}(x) − G(x)| ≥ \frac{r}{2}. Tehát ezen az intervallumon minden x-re

\frac{r}{2} ≤ |F_{1}(x) − G(x)| ≤ ∥F_{2} − G∥ + |F_{1}(x) − F_{2}(x)| .

A fenti egyenlőtlenséget integrálva [x_{0} − (\frac{r}{2D})^{\frac{1}{β}} , x_{0}]-on kapjuk

\frac{r}{2} (\frac{r}{2D})^{\frac{1}{β}} ≤ (\frac{r}{2D})^{\frac{1}{β}} ∥F_{2} − G∥ + ∫ |F_{1}(x) − F_{2}(x)| dx,

amiből r-rel ∥F_{1} − G∥-hoz tartva következik a lemma. Q.E.D.

Irodalomjegyzék

[1] L. Arnold: On the asymptotic distribution of the eigenvalues of random matrices. J. Math Analysis Appl. 20, 262-268. (1967)

[2] C. C. Heyde, V. K. Rohatgi: A pair of complementary theorems on convergence rates in the law of large numbers. Proc. Cambridge philos. Soc. 63, 73-82. (1967)

[3] L. Arnold: On Wigner’s semicircle law for the eigenvalues of random matrices. Z. Wahrsch. verw. Gebiete 19, 191-198. (1971)

[4] L. Arnold: Deterministic version of Wigner’s semicircle law for the distribution of matrix eigenvalues. Linear Algebra and Appl. 13, 185-199. (1976)

[5] D. Jonsson: Some limit theorems for the eigenvalues of a sample covariance matrix. J. Multivariate Anal. 12, 1-38. (1982)

[6] Z. D. Bai, Y. Q. Yin: Convergence to the semicircle law. Ann. Probab. 16, 863-875. (1988)

[7] Z. D. Bai, Y. Q. Yin: Necessary and sufficient conditions for almost sure convergence of the largest eigenvalue of a Wigner matrix. Ann. Probab. 16, 1729-1741. (1988)

[8] Y. Q. Yin, Z. D. Bai, P. R. Krishnaiah: On the limit of the largest eigenvalue of the large dimensional sample covariance matrix. Probab. Th. Rel. Fields 78, 509-521. (1988)

[9] Z. D. Bai, Y. Q. Yin: Limit of the smallest eigenvalue of a large dimensional sample covariance matrix.Ann. Probab. 21, 1275-1294. (1993)

[10] Z. D. Bai: Convergence rate of expected spectral distributions of largedimensional random matrices: Part I. Wigner matrices. Ann. Probab. 21, 625-648. (1993)

[11] Z. D. Bai: Convergence rate of expected spectral distributions of largedimensional random matrices: Part II. Sample covariance matrices. Ann. Probab. 21, 649-672. (1993)

[12] A. Edelman: The probability that a random real Gaussian matrix has k real eigenvalues, related distributions, and the circular law. J. Multivariate Anal. 60, 203-232. (1997)

[13] Z. D. Bai, J. W. Silverstein: No eigenvalues outside the support of the limiting spectral distribution of large dimensional sample covariance matrices. Ann. Probab. 26, 316-345. (1998)