FK-terek és végtelen mátrixok

Írta: Rásonyi Miklós Témavezető: Dr.Czách László

1998.május Nem irom pennával…

Nem irom pennával, Fekete téntával, De szablyám élivel,

Ellenség vérivel Az én örök hiremet.

Zrínyi Miklós

TARTALOMJEGYZÉK

0.Bevezetés 2 0.0.A dolgozat témája 2 0.1.Elméleti háttér 2 1.Végtelen mátrixok szummációs problémái 6 1.0.Mátrixok 6 1.1.s-regularitás 11 1.2.Konzisztencia 14 1.3.Tartalmazási tételek 15 2.Eredmények a funkcionálanalízisből 17 2.0.Hellinger-Toeplitz–típusú tételek 17 2.1.Grothendieck tételei 18 2.2.Az Orlicz-Pettis tétel 21 2.3.Zárt gráf tételek 24 3.FK-terek 26 3.0.FK-terek konstrukciója 26 3.1.FK-terek összege 28 3.2.Koreguláris és konull FK-terek 31 4.Konzisztencia- és tartalmazási tételek 34 4.0.M szekvenciális teljessége 34 4.1.Tartalmazási tételek 39 4.2.A Mazur-Orlicz tétel 41 5.További eredmények a funkcionálanalízisből 43 5.0.Néhány topológiai megfontolás 43 5.1.Újabb tartalmazási tételek 43 5.2.Hordó-terek 46 6.Negatív eredmények 47 6.0.Mi lehet c_{A}? 47 6.1.Inkonzisztencia 47 7.Alkalmazások 49 7.0.Hardy terek 49 Forrásmunkák 51

0.Bevezetés

0.0.A DOLGOZAT TÉMÁJA

E dolgozat célja, hogy végtelen mátrixokkal kapcsolatos szummációs problémák ürügyén mutassa be a topologikus vektorterek elméletének néhány fontos eredményét.

Az 1.fejezetben főleg a Banach-terek elméletére támaszkodva igazolunk tételeket végtelen mátrixokról. A 2.fejezetben a funkcionálanalízis különböző fejezeteiből gyűjtöttünk egybe olyan tényeket, melyek a későbbiekben hasznosnak bizonyulnak. A 3.fejezetben ismertetjük az FK-tér struktúrát, mely legfontosabb eszközünk lesz majd arra, hogy az absztrakt terek elméletét a mátrixok (többé-kevésbé) konkrét világára alkalmazhassuk. A dolgozat leglényegesebb tételei a 4.fejezetben kerülnek bizonyításra. Az eredmények e fejezetbeli egységes megközelítése [KB1]-ből származik. Az 5.fejezet kibővíti az előzőt: újabb eszközökkel további eredményeket bizonyítunk. A 6.fejezet ellenpéldákat tartalmaz. A 7.fejezet pedig olyan alkalmazásokat mutat be, melyek nem a szummációelméletben gyökereznek.

A legfontosabb forrásmunkáim [Wi1],[BK1] és [Wi2] voltak; utóbbi átfogó képet ad a funcionálanalízis alkalmazhatóságáról a végtelen mátrixok szummációelméletében.

0.1.ELMÉLETI HÁTTÉR

A továbbiakban jelölések, definíciók és olyan eredmények következnek, melyek ismeretét a dolgozat hátralévő részében feltételezzük. Először felsoroljuk azokat a fogalmakat, melyeket a továbbiakban minden külön magyarázat nélkül használni fogunk. (Lásd [Cz3]- at, illetve [RR],[Sch],[Wi1] bevezető fejezeteit.)

Alapfogalmak: Topologikus vektortér (mostantól TVT); lokálisan konvex szeparált tér (mostantól LKT); félnorma fogalma; Banach-tér; Frèchet-tér (teljes metrikával metrizálható LKT); konvex, kiegyensúlyozott (‘balanced’), abszolút konvex, korlátos és elnyelő halmaz fogalma; halmaz konvex és abszolút konvex burka; hordó-tér; duális pár (mostantól d.p.); halmaz polárisa; kompatibilis topológia; TVT teljessǵe, szekvenciális teljessége; általánosított sorozat (‘net’).

Az irodalomban nem egységes definíció miatt most tisztázzuk, hogy mit értünk ebben a dolgozatban pszeudonorma alatt.

Pszeudonorma definíciója: Ha X egy vektortér, egy p : X → R_{+} függvényt pszeudonormának nevezzük,ha

(1) ∥x∥ = 0 ↔ x = 0,
(2) |λ| ≤ 1 → ∥λx∥ ≤ ∥x∥,
(3) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥,
(4) Ha x ∈ X, λ_{n} ∈ C, λ_{n} → 0, akkor∥λ_{n}x∥ → 0.

Megjegyezzük, hogy (1), (2), (3), (4) ekvivalens (1), (2), (3), (4′)-vel, ahol (4′) a következő:

(4′) Ha x_{n}, x ∈ X; t_{n}, t ∈ C; t_{n} → t; ∥x_{n} − x∥ → 0, akkor ∥t_{n}x_{n} − tx∥ → 0.

Jelölési konvenciók: Ha X, Y halmazok, f : X → Y egy függvény, akkor f[A] jelöli az A-beli elemek képeinek halmazát, f^{−1}[A] pedig a szokásos “visszahúzást”. Z ⊂ X esetén f|Z jelöli az f megszorítását Z-re. Ha r valamilyen, topológiát meghatározó objektum egy X halmazon/vektortéren (pl. metrika, norma, avagy a nyílt halmazok rendszere), akkor Y ⊂ X esetén r|Y jelöli az r által meghatározott topológia megszorítását. Ha X egy halmaz, akkor L_{∞}(X) jelöli az X-en korlátos függvények halmazát.

A nemnegatív egészek halmazát ω jelöli. A valós számok teste R, a kibővített számegyenest R̄ jelöli. C a komplex számok teste. Az összes komplex sorozatok (vagyis ω → C függvények) vektortere s. Ha x ∈ s, akkor x^{i}-vel az x i-edik koordinátáját jelöljük. Emellett i ∈ ω esetén T_{i} : s → C az i-edik koordinátafüggvény. x ∈ s esetén P_{n}(x) az a sorozat, melynek első n koordinátája megegyezik x megfelelő koordinátáival, a többi koordinátája 0. ϕ jelöli a azon sorozatok halmazát, melyeknek csak véges sok nemnulla koordinátájuk van. A ∑_{i} szimbólum a ∑_{i=0}^{∞} rövidítése. e ∈ s jelöli azt a sorozatot, melynek minden koordinátája 1, e_{i} ∈ s pedig azt a sorozatot, melynek i-edik koordinátája 1, a többi 0.

Most s néhány fontos topologizált alterét tekintjük:

(l_{∞}, ∥ · ∥_{∞}): A korlátos sorozatok tere a szuprémumnormával.

c, c_{0}: A konvergens sorozatok ill. nullsorozatok tere; ezeket mint l_{∞} (zárt) alterét tekintjük.

Legyen F_{p}(x) := ∑_{i} |x^{i}|^{p}; 0 < p < ∞; x ∈ s. Nyilván F_{p} : s → R̄.

l_{p} := {x ∈ s : F_{p}(x) < ∞}; 0 < p < ∞. Topologizáljuk ezeket a tereket p ≥ 1-re az x → (F_{p}(x))^{\frac{1}{p}} norma által, 0 < p < 1 esetén az x → F_{p}(x) pszeudonorma által.

l_{∞}, c, c_{0}, l_{p}; 1 ≤ p < ∞ Banach-terek az adott normákkal, l_{p}; 0 < p < 1 pedig Frèchetterek a pszeudonormából származtatott metrikával. Ez utóbbi terek nem lokálisan konvexek.

m ⊂ s a csak véges sok értéket felvevő sorozatok tere, azaz a 0 − 1 sorozatok lineáris burka. l_{∞} altereként tekintjük, a szuprémumnormával ellátva.

Ha X egy TVT, akkor a topológiai duálisa X′, az algebrai duálisa X^{#}. Ha H egy TVT-ben egy halmaz, akkor ac(H) jelöli a H abszolút konvex burkát. Egy duális párban egy A halmaz polárisát általában A^{∘} jelöli.

A későbbi hivatkozásokat megkönnyítendő pontokba szedtünk néhány fontos tényt: (0.1.0)(Landau-Toeplitz tétel) Ha x olyan sorozat, hogy minden f ∈ c_{0} esetén

∑_{i} f^{i}x^{i} konvergens, akkor x ∈ l_{1}.

(0.1.1)(Banach-Steinhaus tétel) Ha X egy hordó-tér, akkor X-en értelmezett operátorok pontonként korlátos halmaza egyenletesen folytonos. Emellett X-en értelmezett folytonos lineáris funkcionálok pontonkénti limesze is folytonos lineáris funkcionál. Speciálisan igazak az előző állítások ha X Frèchet-tér, avagy Banach-tér.

(0.1.2) c_{0}, c duálisai lineárisan izometrikusak l_{1}-el. c′ azonosítható a C · lim +l_{1} direkt összeggel, ahol lim a szokványos limeszfunkcionál c-n. Az e, e_{i}, i ∈ ω rendszer Schauder-bázis c-ben.

(0.1.3) bv := {x ∈ s| ∑_{i} |x^{i+1} − x^{i}| < ∞} bv_{0} := bv ∩ c_{0}

cs := {x ∈ s| ∑_{i} x^{i} konvergens}

∥x∥_{bv} := | lim x| + ∑_{i} |x^{i+1} − x^{i}|; x ∈ bv

bv-t ezzel a normával topologizáljuk. Azt, hogy ez ténylegesen egy (teljes) norma, az 1.1.részben fogjuk bizonyítani.

∥x∥_{cs} := sup_{k} | ∑_{i=0}^{k} x^{i}|; x ∈ cs.

cs-et pedig a fenti normával látjuk el (lásd az 1.1.részt).

(0.1.4) Mackey topológia definíciója: (X, Y) legyen egy duális pár. Jelölje τ(X, Y) az Y -beli σ(Y, X)-kompakt abszolút konvex halmazok polárisai alkotta additív rács generálta topológiát X-en. Ez a legerősebb kompatibilis topológia, melyet Mackey-topológiának hïvunk. Minden (X, T) metrizálható TVT-re T = τ(X, X′).

(0.1.5) Ha (X, Y) egy d.p., akkor X azonosítható Y^{#} egy alterével és viszont. σ(X, Y) jelöli a gyenge topológiát, vagyis a leggyengébb olyan topológiát, melyre Y ⊂ X^{#} minden eleme folytonos. Ha (X, T) egy LKT, akkor a σ(X′, X) topológiát néha gyenge-∗ topológiának hívjuk.

(0.1.6) Ha (X, Y) egy d.p., akkor egy A Y -beli σ(Y, X)-korlátos halmazokból álló rendszert poláris családnak mondunk, ha minden A ∈ A-hoz van olyan B ∈ A, hogy 2A ⊂ B. T_{A} jelöli azt a topológiát X-en, amit a A-beli halmazok polárisaiból álló additív rács generál. T_{A}-t a A generálta poláris topológiának hívjuk. Egy T topológia X-en megengedhető, ha valamely poláris családból származik és T ≥ σ(X, Y). A legerősebb megengedhető topológiát β(X, Y) jelöli, ezt az Y -beli összes σ(Y, X)-korlátos halmazból aĺló poláris család származtatja. Egy T_{A} topológia pontosan akkor megengedhető, ha ∪{A^{∘∘} : A ∈ A} = Y. Egy megengedhető topológia mindig származtatható olyan poláris családból, melynek elemei abszolút konvex és σ(Y, X)-zárt halmazok. Egy (X, Y) d.p.-ban λ(X, Y) jelöli azt a poláris topológiát X-en, melyet az Y -beli σ(Y, X)-kompakt halmazok poláris családja származtat.

(0.1.7) Egy (X, Y) d.p.-ra H ⊂ X pontosan akkor σ(X, Y)-korlátos, ha minden f ∈ Y esetén f[H] korlátos C-ben.

(0.1.8) Ha (X, Y) egy d.p., akkor minden A ⊂ X nemüres halmazra A^{∘∘} = \overline{ac}(A), ahol ¯ a σ(X, Y)-beli lezárásra utal.

(0.1.9) Teljes TVT-ek szorzata ill. zárt altere teljes TVT.

(0.1.10) Ha X, Y Frèchet-terek, akkor bármely X → Y zárt gráfú lineáris leképezés folytonos. Ha X TVT, Y Hausdorff TVT, akkor bármely X → Y folytonos leképezés zárt gráfú.

(0.1.11) Szeparációs tétel: Ha X egy LKT,akkor bármely A ⊂ X abszolút konvex halmazhoz és x ∉ Ā elemhez van olyan f ∈ X′, hogy |f(x)| > sup_{a∈A} |f(a)|.

(0.1.12) Banach-Alaoglu-tétel: Ha (X, Y) egy d.p., akkor minden U ⊂ X nullkörnyezetre U^{∘} σ(Y, X)-kompakt.

(0.1.13) Ha X egy szeparábilis LKT, akkor minden U ⊂ X nullkörnyezetre az U^{∘} ⊂ X′ halmaz metrizálható a σ(X′, X) topológiában. Ez azért igaz, mert tekintve egy F ⊂ X megszámlálható sűrű halmazt,

σ(X′, F)|U^{∘} ≤ σ(X′, X)|U^{∘},

ahol az első topológia Hausdorff, a második kompakt, ezért megegyeznek (lásd. (0.1.20)-at alább). Az első topológia viszont azonosítható megszámlálható sok számegyenes (metrikus tér) topologikus szorzatának egy alterével, ezért metrizálható.

(0.1.14) Ha egy X vektortéren két vektortopológia konvergens sorozatai ugyanazok, akkor ugyanazok a Cauchy-sorozataik is.

(0.1.15) s-et topologizáljuk az

s(x) = ∑_{i} \frac{1}{2^{i+1}} · \frac{|x^{i}|}{1 + |x^{i}|}

teljes pszeudonormával. A keletkezett topológiát τ_{s} jelöli. Ha egy r ∈ ϕ véges sorozathoz azt az s-en értelmezett lineáris funkcionált rendeljük, melyre

r(x) = ∑_{i} r^{i}x^{i},

akkor egy (s, ϕ) duális pár bilineáris formáját adtuk meg. Könnyen látható, hogy

τ_{s} = σ(s, ϕ).

(0.1.16) Ha egy TVT metrizálható, akkor pszeudonormálható. Ha teljesen metrizálható, akkor topológiája származtatható teljes pszeudonormából.

(0.1.17) Egy LKT zárt valódi alterén adott folytonos lineáris funkcionál kiterjed az egész térre, mint folytonos nemnulla funkcionál.

(0.1.18) Egy pszeudonormált tér pontosan akkor teljes, ha benne minden abszolút konvergens sor konvergens.

(0.1.19) Véges dimenziós Hausdorff TVT topológiája mindig származtatható Banachtér–struktúrából.

(0.1.20) Ha egy halmazon T ≤ S topológiák, ahol T Hausdorff, S kompakt; akkor T = S.

(0.1.21) Konvex halmazok lezárása ugyanaz bármely kompatibilis topológiában. (0.1.22) Ha T_{1}, T_{2} kompatibilis topológiák X-en egy (X, Y) d.p.-ben, akkor A ⊂ X

pontosan akkor T_{1}-korlátos, ha T_{2}-korlátos.

(0.1.23) Ha X egy normált tér, akkor β(X′, X) éppen a funkcionálnorma-topológia X′-n.

1.Végtelen mátrixok szummációs problémái

E fejezetben végtelen mátrixokkal kapcsolatos alapvető fogalmakat tisztázunk, bizonyos mátrixosztályokat karakterizálunk. Ezek után olyan klasszikus problémákat vázolunk föl, amelyeket a későbbi fejezetekben a funkcionálanalízis eszközeivel fogunk megoldani, legtöbbször lényeges általánosításokkal.

1.0.MÁTRIXOK

1.0.0.Definíció Egy A : ω × ω → C függvényt végtelen mátrixnak nevezünk. Az A(i, j), j ∈ ω sorozat a mátrix i-edik sora, A(i, j), i ∈ ω a j-edik oszlopa. Egy A mátrix háromszög, hogyha A(i, j) = 0, i < j és A(i, i) ≠ 0, i ∈ ω. Legyen x ∈ s egy sorozat. Ha minden i ∈ ω esetén a y^{i} := ∑_{j} A(i, j)x^{j} sor konvergens, akkor azt mondjuk, hogy A és x szorzata értelmes, és a szorzás eredménye az az y sorozat, melynek i-edik koordinátája éppen y^{i}. Ezt a sorozatot Ax-szel jelöljük. s_{A} azon s-beli elemek halmaza, melyeknek az A mátrixszal vett szorzata értelmes.Ez (nemüres) lineáris altér s-ben.

c_{A} := {x ∈ s_{A}|Ax ∈ c}. Ez is lineáris altér s-ben. Nyilvánvaló, hogy A : s_{A} → s egy lineáris operátort definiál, ez indokolja az Ax jelölést.

A végtelen mátrixok bevezetésének egyik célja az volt, hogy divergens sorozatokhoz valamiféle “limeszt” rendelhessünk. Valóban, minden x ∈ c_{A} esetén legyen

lim_{A}x := lim_{n→∞}(Ax)^{n}.

Ezzel egy lineáris funkcionált definiáltunk c_{A}-n. A kérdés már csak az, hogyan érhető el, hogy c_{A} “nagy” legyen és lim_{A} ne legyen triviális.

1.0.1.Példák Legyen A(i, j) := 0, i, j ∈ ω. Ekkor c_{A} = s a lehető legnagyobb, de lim_{A} azonosan 0. Legyen most Bx := (x^{1}, 0, x^{1}, x^{2}, 0, x^{1}, x^{2}, x^{3}, 0, ...) , minden x ∈ s-re, nyilvánvalóan van olyan B mátrix, mely éppen így hat s-en. Ha egy x sorozat valamely koordinátája 0-tól különböző r szám, akkor Bx-ben mind a 0, mind r végtelen sokszor előfordul, ezért c_{B} = \{0\}. Végül legyen M(i, j) := \frac{1}{i+1}, j ≤ i, M(i, j) := 0, j > i. Ezt a mátrixot Cesaro-mátrixnak nevezzük. Az elemi analízisből ismeretes, hogy egy konvergens sorozat Cesaro-közepeiből álló sorozat is konvergens, és limesze megegyezik az eredeti sorozat limeszével. Innen c ⊂ c_{M}, és lim_{M}|c = lim.

Most olyan feltételeket fogalmazunk meg, melyek teljesülése esetén ésszerű limeszfogalomhoz juthatunk.

1.0.2.Definíció Egy A mátrixot konzervatívnak mondunk, ha c ⊂ c_{A}. Ha emellett

lim_{A}|c = lim,

akkor az A mátrix reguláris.

1.0.3.Tétel A pontosan akkor konzervatív, ha sorai l_{1}-ben normakorlátos sorozatok, oszlopai konvergens sorozatok és e ∈ c_{A}. Ha A konzervatív, akkor minden x ∈ c-re

lim_{A}x = χ_{A} lim x + ∑_{j} α^{j}x^{j},

ahol α^{j} := lim_{i→∞} A(i, j), χ_{A} := lim_{A}e − ∑_{j} α^{j}.

Bizonyítás: Szükségesség: Ha c ⊂ c_{A}, akkor e, e_{i} ∈ c_{A}, i ∈ ω. Innen

lim_{j→∞}(Ae_{i})^{j} = lim_{j→∞} A(j, i)

létezik, ami éppen azt jelenti, hogy az oszlopok konvergens sorozatok. A (0.1.0) Landau-Toeplitz tétel miatt A sorai l_{1}-beliek, hisz minden i ∈ ω, g ∈ c_{0}-ra

(∗) ∑_{j} A(i, j)g^{j}

konvergens. Ugyanebből azonnal látjuk, hogy az A sorai, mint c_{0}-on (∗) szerint ható lineáris funkcionálok, pontonként korlátosak, hiszen a

{∑_{j} A(i, j)g^{j}}_{i=0}^{∞}

sorozat konvergens, tehát korlátos bármely g ∈ c_{0} esetén. Akkor a (0.1.1) Banach-Steinhaus tétel szerint A sorai normában is korlátosak.

Elégségesség: A feltételek szerint Ax értelmes minden x ∈ l_{∞} sorozatra, hiszen ha A(i, ·) ∈ l_{1}, akkor

| ∑_{j} A(i, j)x^{j}| ≤ ∑_{j} |A(i, j)| · sup_{j} |x^{j}|,

sőt, az egyenlőtlenség bal oldala tovább becsülhető a

sup_{i} ∥A(i, ·)∥_{1} · ∥x∥_{∞}

mennyiséggel, vagyis Ax ∈ l_{∞} és A : l_{∞} → l_{∞} folytonos lineáris operátor. Akkor

U := A^{−1}[c]

egy zárt altér (l_{∞}, ∥ · ∥_{∞})-ben. A feltevés szerint e ∈ U. Az oszloplimeszek létezése éppen azt jelenti, hogy e_{i} ∈ U, ahogyan azt a szükségesség igazolásánál már láttuk. A legkisebb olyan ∥ · ∥_{∞}-zárt altér l_{∞}-ben, mely e-t és az e_{i}, i ∈ ω sorozatokat tartalmazza, éppen c; tehát c ⊂ U = c_{A}. A lim_{A} funkcionálról elég belátni, hogy lim_{A} ∈ (c, ∥ · ∥_{∞})′, ekkor ugyanis c duálisának (0.1.2) jellemzéséből adódik a formula. Vegyük észre, hogy lim_{A} pontonkénti limesze az {A(i, ·)}_{i=0}^{∞} l_{1}-beli elemekből álló sorozatnak, midőn azt, mint c′ elemeit tekintjük. A (0.1.1) Banach-Steinhaus-tételből készen vagyunk. ♠

1.0.4.Definíció Ha A konzervatív, akkor A-t konullnak hívjuk, ha a fenti Tételben szereplő χ_{A} = 0, ellenkező esetben A koreguláris.

Mint majd látni fogjuk, a koreguláris és konull mátrixok viselkedése lényegesen különböző. (1.0.3)-ból már könnyű a reguláris mátrixok karakterizációja, Toeplitz nevezetes eredménye:

1.0.5.Tétel A pontosan akkor reguláris, ha sorai l_{1}-beli normakorlátos sorozatot alkotnak, oszlopai nullsorozatok és lim_{A}e = 1.

Bizonyítás: (1.0.3) alapján világos, hogy a feltételek szükségesek, hiszen

lim e = 1, lim e_{i} = 0, i ∈ ω

és A reguláris. Másrészt szintén (1.0.3)-ból kapjuk, hogy a feltételek teljesülése esetén

c ⊂ c_{A},

valamint

lim_{A}|c = lim,

mert lim_{A} = lim az e, e_{i}, i ∈ ω zárt rendszeren, ez az elégségességet igazolja. ♠

Reguláris mátrixra példa az identitásmátrix I(i, i) = 1, i ∈ ω, I(i, j) = 0, i ≠ j, valamint az (1.0.2)-ben szereplő Cesaro-mátrix.

1.0.6.Megjegyzés Az 1.0.3.Tételben voltaképpen azokat a mátrixokat karakterizáltuk, melyek c-t c-be képezik. Általánosan föltehető a kérdés: mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy egy mátrix X-et Y -ba képezze, ahol X, Y ⊂ s? Az ilyen tulajdonságú mátrixok halmazát [X, Y]-al jelöljük. Konkrét X, Y párokra számos ad hoc eredmény ismert. [Wi2] 8.fejezetében szerepel egy viszonylag általános módszer, mellyel a legismertebb sorozatterek (pl. c, s, bv, cs, l_{p}) közötti leképezésosztályok majd’ mindegyike meghatározható az e dolgozat 3.fejezetében vázolt elmélet segítségével. Mi csak érintjük ezt a témát, belátjuk Schur tételét, majd az 1.1 részben a [cs, cs] osztályt jellemezzük.

1.0.7.Lemma Legyen A egy valós értékkészletű mátrix, melynek sorai l_{1}-ben korlátos halmazt alkotnak, s melyre igaz, hogy minden x 0 − 1-sorozatra Ax ∈ c_{0}.Akkor

lim_{n→∞} ∥A(n, ·)∥_{1} = 0.

Sőt, a lemma akkor is igaz, ha nem tesszük fel , hogy a sorok l_{1}-beliek!

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz. Akkor valamely i(n) részsorozatra

∥A(i(n), ·)∥_{1} → t, n → ∞, 0 < t < ∞.

Legyen B az a mátrix, melyre B(i, j) = \frac{A(i(n),k)}{t}. Elég megmutatni, hogy nincs ilyen B. Láthatóan

lim_{n→∞} ∥B(n, ·)∥ = 1.

A lemma feltevéseit e_{i}, i ∈ ω-ra alkalmazva adódik, hogy

(∗) lim_{n→∞}(Be_{i})^{n} = lim_{n→∞} B(n, i) = 0, i ∈ ω.

Innen rögtön kapjuk az alábbi összefüggést:

(∗∗) lim_{n→∞} ∑_{k=m}^{∞} |B(n, k)| = 1, m ∈ ω.

Ezek után r(i), m(i) ∈ ω, i ∈ ω sorozatokat definiálunk. Legyenek r(0), m(0) olyanok, hogy

∥A(r(0), ·)∥_{1} ≥ \frac{1}{2}

∑_{k=0}^{m(0)} |A(r(0), k)| > \frac{1}{2}, ∑_{k=m(1)+1}^{∞} |A(r(0), k)| < \frac{1}{8}

teljesüljenek. (∗), (∗∗) miatt ilyen r(0), m(0) létezik. Ha már választottunk r(i), m(i) számokat i < n-re, akkor legyen r(n) > r(n − 1) olyan, hogy

∑_{k=0}^{m(n−1)} |A(r(n), k)| < \frac{1}{8}, ∑_{k=m(n−1)+1}^{∞} |A(r(n), k)| > \frac{1}{2},

m(n) > m(n − 1) pedig olyan, hogy

∑_{k=m(n−1)+1}^{m(n)} |A(r(n), k)| > \frac{1}{2}, ∑_{k=m(n)+1}^{∞} |A(r(n), k)| < \frac{1}{8}.

Ilyen r(n), m(n) létezik (∗), (∗∗) szerint. Most definiálunk egy x ∈ l_{∞} sorozatot:

x^{k} := sgn(A(r(0), k)), k = 0, ..., m(0),
x^{k} := sgn(A(r(h), k)), m(h − 1) + 1 ≤ k ≤ m(h), h ≥ 1.

Ez egy {−1, +1} értékkészletű sorozat, így az

y := \frac{(x + 1)}{2}

sorozat egy nullsorozat, x = 2y − e, tehát

Ax = 2Ay − Ae ∈ c_{0}.

Másrészt i ≥ 1-re,

|(Ax)^{r(i)}| = | ∑_{k=0}^{m(i−1)} A(r(i), k)x^{k} + ∑_{k=m(i−1)+1}^{m(i)} |A(r(i), k)| + ∑_{k=m(i)+1}^{∞} A(r(i), k)x^{k}| ≥

≥ \frac{1}{2} − ∑_{k=0}^{m(i−1)} |A(r(i), k)| − ∑_{k=m(i)+1}^{∞} |A(r(i), k)| > \frac{1}{2} − \frac{1}{8} − \frac{1}{8} = \frac{1}{4},

ami biztosítja, hogy Ax ∉ c_{0}, ez ellentmondás. Annak bizonyítása, hogy az A soraira vonatkozó feltétel elhagyható, megtalálható [Wi1] 253. oldalán, de elemi meggondolással is könnyen adódik.♠

1.0.8.Tétel(Schur) A ∈ [l_{∞}, c] pontosan akkor, ha oszlopai konvergensek, sorai l_{1}- beliek és

∑_{k} |A(i, k)|

i-ben egyenletesen konvergál.

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy A ∈ [l_{∞}, c]. Akkor konzervatív is, vagyis oszlopai konvergensek. Jelölje a azt a sorozatot, melyre a^{j} a j-edik oszlop limesze.A

∑_{k=0}^{m} |a^{k}| = lim_{n→∞} ∑_{k=0}^{m} |A(n, k)| ≤ sup_{n} ∥A(n, ·)∥_{1},

becslésből nyilvánvaló, hogy a ∈ l_{1}. Először tegyük fel, hogy a = 0 és A valós értékkészletű. Akkor az 1.0.7.Lemma szerint

∥A(n, ·)∥ → 0, n → ∞,

amiből elég nagy N-re,

∑_{j} |A(l, j)| < ϵ, l > N,

valamint alkalmas M küszöbszámra

∑_{j=g}^{∞} |A(s, j)| < ϵ, g > M, 0 ≤ s ≤ N,

ez pedig azt jelenti, hogy ∑_{j} |A(i, j)| i-ben egyenletesen konvergál. Ha most A még mindig valós, de a ≠ 0, akkor a B(i, j) := A(i, j)−a^{j} mátrixról könnyen látható, hogy B ∈ [l_{∞}, c], és B-re a fenti gondolatmenet elismételhető. Ha A tetszőleges (komplex) mátrix, akkor A = B + iC, B-re és C-re az előzőekből adódik az állítás, innen A-ra is.

Ha A-ra teljesülnek a feltételek, akkor az (l_{∞}, l_{1}) duális pár kanonikus bilineáris formájának alakjából (koordinátánkénti szorzás) adódik, hogy l_{∞} ⊂ s_{A}. Így egy korlátos x sorozatra

lim_{m→∞} ∑_{k=0}^{m} A(n, k)x^{k}

n-ben egyenletesen konvergál, tehát az n-el végtelenbe tartva a határátmenetképzés és a szummázás felcserélhető, vagyis a bizonyítás legelején bevezetett a ∈ l_{1}-re

lim_{A}x = ∑_{j} a^{j}x^{j}

adódik, Ax ∈ c, ahogyan akartuk. ♠

1.0.9.Definíció Ha A egy mátrix, akkor A^{∗}(i, j) := \overline{A(j, i)} az adjungáltja, itt ¯ komplex konjugálást jelöl. Ha A, B mátrixok, akkor ezek AB szorzata értelmes, ha minden i ∈ ω-ra A-nak és B i-edik oszlopának, b_{i}-nek szorzata értelmes. A szorzás eredménye az a mátrix, melynek i-edik oszlopa Ab_{i}. Hasonlóan értelmezhetők A hatványai, A^{k}, k ∈ ω.

Most érdekességként következzen néhány mondat [l_{p}, l_{r}]-ről. Általános (p, r) párra ma sem ismeretes szükséges és elegendő feltétel. Egészen a 70-es évekig még az [l_{2}, l_{2}] “legszebb” eset sem volt tisztázva! 1971-ben bizonyította Crone híres tételét:

1.0.10.Tétel A ∈ [l_{2}, l_{2}] pontosan akkor, ha az alábbi három feltétel teljesül:

(1) A sorai l_{2} − beliek,

(2) (A^{∗}A)^{n} értelmes minden n > 0 egészre,

(3) sup_{n} sup_{i} |[(A^{∗}A)^{n}](i, i)|^{\frac{1}{n}} < ∞

Bizonyítás: Megtalálható [Cro]-ban.♠

1.1.S-REGULARITÁS

Az alábbiakban egy igen általános szummációs eljárást definiálunk, majd teljesen karakterizáljuk ennek bizonyos értelemben vett regularitását. Ezek után alkalmazásokat mutatunk be a klasszikus analízis területéről, valamint belátjuk a Toeplitz-tétel sorokra vonatkozó analogonját.

1.1.0.Definíció Legyen (X, T) egy topologikus tér, x_{0} ∈ X egy rögzített pont, mely a topologikus térnek torlódási pontja(azaz minden környezetében van tőle különböző pont). Legyen X̄ := X − {x_{0}}, valamint legyen a ∈ s tetszőleges. Azt mondjuk, hogy egy u = u(t) = {u_{n}(t)}_{n=0}^{∞}, u_{n}(t) = u_{n} ∈ L_{∞}(X̄) sorozat szummációs sorozat az a-ra nézve, ha

(1) minden t ∈ X̄ esetén U(t, a) := ∑_{n} a^{n}u_{n}(t) konvergens,

(2) U(·, a) ∈ L_{∞}(X̄),

(3) létezik az u ∑ a := lim_{t→x_{0}} U(t, a) határérték.

Ekkor az utóbbi határértéket az a sorozat u-összegének nevezzük. Azon a ∈ s-ek halmazát, melyekre nézve egy adott u szummációs sorozat, u szummációs tartományának hívjuk, jele dom(u). Egy u sorozatot s − reguláris (sor-reguláris) szummációs sorozatnak mondunk, ha cs ⊂ dom(u), és minden a ∈ dom(u) esetén u ∑ a = ∑_{i} a^{i}, vagyis ha egy konvergens sor tagjaiból álló sorozat u-összege megegyezik a sor tényleges összegével.

1.1.1.Állítás bv, cs a (0.1.3)-ben megadott normákkal teljes normált terek. e_{i}, i ∈ ω egy zárt rendszer cs-ben. bv izometrikusan izomorf cs duális terével. b ∈ bv esetén a hozzárendelt b̂ lineáris funkcionálra

b̂(x) = ∑_{i} x^{i}b^{i},

ahol x ∈ cs tetszőleges. Ha valamely b ∈ s-re ∑_{i} x^{i}b^{i} konvergens minden x ∈ cs-re, akkor b ∈ bv.

Bizonyítás: Tekintsük azt az A : s → s operátort, melyre

(Ax)^{i} = ∑_{j=0}^{i} x^{i}.

Ez nyilván lineáris bijekció, így A^{−1}[c] = cs ellátva a ∥ · ∥_{∞} ∘ A|cs normával Banach-tér. Az e, e_{i}, i ∈ ω c-beli Schauder-bázis A^{−1}-képe:

A^{−1}(e) = e_{0},
A^{−1}(e_{i}) = e_{i} − e_{i+1}, i ∈ ω.

Láthatóan ezek a cs-beli elemek az e_{i}, i ∈ ω rendszer lineáris burkában vannak, így e_{i}, i ∈ ω valóban egy zárt rendszer cs-ben.

bv definíciójából rögtön látható, hogy bv ⊂ c. Innen bv = bv_{0} + C · e. Definiáljuk azt a B : s → s leképezést, melyre

(Bx)^{i} := x^{i} − x^{i+1}, i ≥ 1,

ez is lineáris operátor, mely lineaŕis bijekciót létesít bv_{0} és l_{1} között. Ekkor ∥ · ∥_{1} ∘ B|bv_{0} egy teljes norma. Innen már látszik, hogy a (0.1.3)-ban szereplő ∥ · ∥_{bv} egy teljes norma bv-n. Ismeretes c duálisának (0.1.2) szerinti azonosítása l_{1} + C · lim-el. Innen világos, hogy cs′ izometrikusan izomorf bv-vel. Ki kell még számolni, hogyan hat b ∈ bv esetén a hozzá tartozó b̂ ∈ cs′ lineáris funkcionál cs-en. Ha b = b^{0} · e + b_{1}, ahol b_{1} ∈ bv_{0}, b^{0} ∈ C, akkor x ∈ cs-re:

b̂(x) = b_{0} · A^{−1}(e) + ∑_{i}(Bb_{1})^{i}(Ax)^{i} = b^{0} · x^{0} + ∑_{i}(b_{1}^{i} − b_{1}^{i+1}) · ∑_{j=0}^{i} x^{j} =

= b^{0} · x^{0} + ∑_{j} x^{j} · ∑_{i≥j}(b_{1}^{i} − b_{1}^{i+1}) = ∑_{i} x^{i}b^{i},

tekintettel arra, hogy b_{1}^{0} = 0 és lim_{i→∞} b_{1}^{i} = 0.

Az utolsó állítás abból adódik, hogy ha

φ_{k}(x) := ∑_{i=0}^{k} b^{i}x^{i}

konvergens k → ∞ esetén minden x ∈ cs-re, akkor a φ_{k} funkcionálsorozat pontonként korlátos, tehát (0.1.1)-ből normában korlátos, azaz

∑_{i=0}^{k} |b^{i+1} − b^{i}| < M < ∞

valamely k-tól független M konstanssal. Ez azt jelenti, hogy b ∈ bv. ♠ A következő tételben teljesen karakterizáljuk az s-reguláris szummációs sorozatokat. 1.1.2.Tétel u pontosan akkor s-reguláris, ha

(I) {u_{n}(t)}_{n=0}^{∞} ∈ bv, t ∈ X̄,

(II) sup_{t∈X̄} ∥u(t)∥_{bv} < ∞

(III) lim_{t→x_{0}} u_{n}(t) = 1, n ∈ ω.

Bizonyítás: Elégségesség: Ha (I) igaz, akkor (1.1.1) szerint U_{t} = U(t, ·), t ∈ X̄ folytonos lineáris funkcionálok egy halmaza a cs téren. A sorösszegző funkcionál, l(x) := ∑_{i} x^{i}, x ∈ cs szintén egy folytonos lineáris funkcionál és U_{t} → l, t → x_{0} pontonként az e_{i}, i ∈ ω zárt rendszeren (III) szerint. (II) miatt K := sup ∥U(t, ·)∥_{bv} < ∞. Akkor bármely x ∈ cs esetén:

|U_{t}(x) − l(x)| ≤ |U_{t}(x) − U_{t}(y)| + |U_{t}(y) − l(y)| ≤ K|x − y| + \frac{ϵ}{3} + \frac{ϵ}{3} < ϵ,

ha y az e_{i}, i ∈ ω által kifeszített sűrű altér olyan eleme, mely x-hez elég közel van, valamint t a t_{0} egy alkalmasan kis környezetébe esik. Ez igazolja, hogy u s-reguláris.

Szükségesség: A szummációs sorozat definíciójából és (1.1.1)-ből adódik, hogy

u(t) ∈ bv, t ∈ X̄,

vagyis (I) igaz. Mivel az s-regularitás miatt U(t, ·) = U_{t} → l pontonként, (III) teljesül. Az U_{t}, t ∈ X̄ funkcionálhalmaz pontonként korlátos a 1.1.0.Definíció (2) pontja szerint, így a (0.1.1) Banach-Steinhaus tételből normakorlátos, ami éppen (II). ♠

1.1.4.Következmény(Riemann-tétel) Ha a ∑_{n} a^{n} numerikus sor konvergens, akkor

lim_{t→0} ∑_{n} a^{n}(\frac{sin(nt)}{nt})^{2} = ∑_{n} a^{n}.

Bizonyítás: Legyen X := [−1, 1] ⊂ R. x_{0} := 0. U(n, t) := u_{n}(t) := (\frac{sin(nt)}{nt})^{2}, t ∈ X̄ := X − {x_{0}}. Az elemi analízisből ismert, hogy

lim_{t→0} u_{n}(t) = 1,

valamint ∑_{i} \frac{1}{i^{2}} < ∞ miatt

sup_{t} ∥U(·, t)∥_{bv} < ∞,

ezért az 1.1.3.Tétel feltételei teljesülnek, azaz u_{n} s-reguláris szummációs sorozat; ami éppen azt adja, amit igazolni akartunk.♠

1.1.5.Következmény(Abel tétele) Legyen S := {z ∈ C : |z| < 1}. Ha ∑_{n} a^{n} konvergens numerikus sor, akkor

lim_{z_{k}→1} ∑_{n} a^{n}z_{k}^{n} = ∑_{n} a^{n},

ahol {z_{k}}_{k=0}^{∞} ⊂ S; föltéve, hogy z_{k} → 1 nem tangenciálisan, azaz van olyan δ > 0, hogy bármely k esetén a z_{k}-t 1-el összekötő szakasz δ-nál nagyobb szöget zár be az S 1-beli érintőjével.

Bizonyítás: Az előzőhöz hasonlóan itt is elemi meggondolások mutatják, hogy C egy alkalmas tartományán U(n, z) := z^{n} s-reguláris szummációs sorozat. ♠

Végül következzen a megigért alkalmazás végtelen mátrixokra:

1.1.6.Következmény A ∈ [cs, cs] akkor és csak akkor, ha A sorai bv-beliek és ott normakorlátos sorozatot alkotnak, valamint oszlopai 1-hez tartó konvergens sorozatok.

Bizonyítás: Jelölje X az ω diszkrét tér Alekszandrov -kompaktifikációját! x_{0} := ∞ Akkor egy szummációs sorozatot azonosíthatunk egy végtelen mátrixszal. (1.1.3)-at alkalmazva kapjuk állításunkat.♠

1.2.KONZISZTENCIA

Már láttunk példát arra, miképp rendelhetünk általánosított határértéket bizonyos sorozatokhoz. Egy A mátrix esetén minden x ∈ c_{A}-beli sorozathoz a lim_{A}x számot rendeltük. Természetesen merül föl a következő kérdés: Ha adott két mátrix, A és B, akkor x ∈ c_{A} ∩ c_{B} esetén igaz-e, hogy lim_{A}x = lim_{B}x? Sajnos, ez még reguláris mátrixokra sem igaz.

1.2.0.Példa Tekintsük azokat az A, B mátrixokat, melyeket a következő definíció értelmez:

A(i, 2i + 2) = 1, i ∈ ω, A(i, j) = 0 egyébként,
B(i, 2i + 1) = 1, i ∈ ω, B(i, j) = 0 egyébként.

Ezek mindketten regulárisak (1.1.3) szerint. Legyen x az a sorozat, melynek páros elemei 1-ek, páratlan elemei 0-k. Ekkor (Ax)^{n} = 1, (Bx)^{n} = 0, n ∈ ω, így lim_{B}x = 1, lim_{A}x = 0.

1.2.1.Definíció Legyenek A, B mátrixok.Ha

lim_{A}|(c_{A} ∩ c_{B}) = lim_{B}|(c_{A} ∩ c_{B}),

akkor e mátrixokat konzisztensnek mondjuk. Ha csak

lim_{A}|(c_{A} ∩ c_{B} ∩ l_{∞}) = lim_{B}|(c_{A} ∩ c_{B} ∩ l_{∞})

teljesül, akkor A, B korlátosan konzisztens.

Újrafogalmazva kérdésünket, milyen A, B-re tett megkötések garantálják azok korlátos konzisztenciáját? Az ilyen irányú vizsgálódások gyümölcsözőnek bizonyultak, 1927-ben Mazur az alábbi eredményéért megkapta a lembergi egyetem matematikai díját:

1.2.2.Tétel Ha A, B olyan reguláris háromszögek, hogy c_{A} ∩ l_{∞} ⊂ c_{B}, akkor A és B korlátosan konzisztensek. ♠

Figyelemreméltó, hogy Mazur bizonyítása a Banach-terek akkor még újdonságnak számító elméletét használta. Ennek a tételnek lényegesen általánosabb változatát fogjuk belátni a 4.fejezetben.

1.3.TARTALMAZÁSI TÉTELEK

Ezzel a névvel eredmények egy igen széles körét illetjük. A szakirodalomban ezek többnyire ‘bigness theorems’ illetve ‘inclusion theorems’ címkék alatt szerepelnek. Hahn 1922-ben már ismerte a következő tényt:

1.3.0.Tétel Egy mátrix konvergenciatartománya pontosan akkor tartalmazza az összes 0 − 1-sorozatot, ha minden korlátos sorozat benne van.♠

Ezt, és a most következő tételt is lényegesen erősebb formában fogjuk bizonyítani a későbbi fejezetekben.

1.3.1.Tétel Egy koreguláris mátrix konvergenciatartománya nem tartalmazhatja az összes korlátos sorozatot.♠

A fenti eredmények egy következményét igazoljuk az alábbiakban, előrebocsátva egy definíciót és egy ahhoz kapcsolódó tételt, melyek mintha csak tévedésből kerültek volna ide:

1.3.2.Definíció Ha (X, T) egy topologikus tér, akkor egy X-en értelmezett függvényt akkor hívunk Baire-1–függvénynek, ha előáll valamely, folytonos függvényekből álló sorozat pontonkénti limeszeként.

1.3.3.Tétel(Baire) Ha X egy lengyel tér, f egy rajta értelmezett Baire-1–függvény, akkor van olyan x ∈ X pont, amelyben f folytonos.

Bizonyítás: Sokkal több igazolható, mi ezt most nem tesszük meg. Lásd pl. [Kur]

301. oldalát.♠ 1.3.4.Tétel Ha A reguláris mátrix, akkor konvergenciatartománya nem tartalmazhat-

ja az összes 0 − 1-sorozatot.

Bizonyítás: Tekintsük a X = 2^{ω} halmazt a szorzattopológiával(a 2 halmazon persze a diszkrét topológiát vettük). Ez egy lengyel tér, és tegyük fel indirekte, hogy A értelmezhető X-en és minden x ∈ X esetén Ax ∈ c. Ekkor

(Ax)^{n} = lim_{n→∞} ∑_{i=0}^{n} A(n, i)x^{i},

vagyis (Ax)^{n} olyan függvények pontonkénti határértéke, melyek koordináták véges lineáris kombinációi, s mint ilyenek, folytonosak. Mi több, a ∑_{i} |A(n, i)| numerikus sor szeletei majorálják az (Ax)^{n}-et előállító sor szeleteit, A regularitása miatt pedig sorai l_{1}-beliek, tehát a Weierstrass-kritérium alapján ez a konvergencia x-ben egyenletes. Ezért x ↦ (Ax)^{n} egy folytonos függvény X-en. lim_{A}x = lim_{n→∞}(Ax)^{n}, tehát lim_{A} egy Baire-1–függvény, így folytonos egy x_{0} pontban.Ekkor

lim_{n→∞}(P_{n}(x_{0}) + e − P_{n}(e)) = x_{0} és

lim_{n→∞}P_{n}(x_{0}) = x_{0}

az X topológiája szerint. Innen A regularitása és x_{0}-beli folytonossága miatt lim_{A}x_{0} = 1 és lim_{A}x_{0} = 0 adódnak, hiszen a két fenti x_{0}-hoz tartó sorozat véges sok tagtól eltekintve 1-ekből illetve 0-kból áll. Ez pedig lehetetlen.♠

Ha egy x sorozat benne van egy mátrix konvergenciatartományában, ezt néha úgy szokás kifejezni, hogy az adott mátrix szummázza x-et. Befejezésképp még három jellemző eredményt elmítünk meg.

1.3.5.Tétel Ha egy konzervatív mátrix szummáz korlátos divergens sorozatot, akkor szummáz nemkorlátos sorozatot is.♠

1.3.6.Tétel Egy konull mátrix szummáz korlátos divergens sorozatot.♠

1.3.7.Tétel Ha A, B mátrixokra c_{A} ∩ l_{∞} ⊂ c_{B} és A konull,akkor B konull.♠

2.Eredmények a funkcionálanalízisből

2.0.HELLINGER-TOEPLITZ–TÍPUSÚ TÉTELEK

Az elkövetkezőkben bevezetjük a duális operátor fogalmát és belátjuk néhány egyszerű tulajdonságát. Ezek után definiáljuk a Hellinger-Toeplitz topológiákat, és példákat mutatunk rájuk.

2.0.0.Definíció Legyenek (X, Y), (U, V) duális párok, a : X → U lineáris operátor. Föltehető (0.1.5) miatt, hogy Y ⊂ X^{#}, V ⊂ U^{#}, és a duális párhoz tartozó bilineáris függvényt a vektortér és algebrai duálisának egymáson való kanonikus hatása adja meg. Ekkor a^{#} : U^{#} → X^{#}-t értelmezzük úgy, hogy (a^{#}(t))(x) = t(a(x)), minden x ∈ X, t ∈ U^{#}. Ha ran(a^{#}|V) ⊂ Y, akkor azt mondjuk, hogy a-nak létezik duális operátora, a′ : V → Y, és a′ := a^{#}|V.

2.0.1.Állítás a-nak pontosan akkor van duális operátora, ha a : σ(X, Y) → σ(U, V)- folytonos.

Bizonyítás: Először tegyük föl, hogy a^{#} : V → Y. Legyen x_{δ} egy általánosított sorozat X-ben, x_{δ} → 0 (σ(X, Y)). Legyen v ∈ V.Akkor

v(a(x_{δ})) = (a^{#}(v))(x_{δ}) → 0,

hiszen a^{#}(v) = a′(v) ∈ Y. Vagyis a gyengén folytonos. A másik irány igazolásához elég megmutatni, hogy minden v ∈ V -re a^{#}(v) σ(X, Y)-folytonos lineáris funkcionál. Az előző részben bevezetett x_{δ} általánosított sorozattal

(a^{#}(v))(x_{δ}) = v(a(x_{δ})) → 0,

mert a(x_{δ}) → 0 (σ(U, V)) az a gyenge folytonosságából.♠

2.0.2.Lemma a^{#} : U^{#} → X^{#} σ(U^{#}, U) → σ(X^{#}, X)-folytonos.Ha létezik a′, akkor σ(V, U) → σ(Y, X)-folytonos.

Bizonyítás: A második állítás az elsőnek triviális folyománya. Ha x_{δ} → 0 (σ(U^{#}, U)), akkor bármely k ∈ X-re

(a(k))(x_{δ}) = x_{δ}(a(k)) = a^{#}(x_{δ})(k) = k(a^{#}(x_{δ})) → 0,

ami éppen azt jelenti, hogy a^{#}(x_{δ}) → 0 (σ(X^{#}, X)).♠

Vegyük észre, hogy (2.0.1) egyik iránya lényegében ugyanaz, mint (2.0.2) (egymás duálisai).

2.0.3.Lemma Ha a korábbi jelölésekkel a : X → Y gyengén folytonos, akkor A ⊂ V esetén a^{−1}[A^{∘}] = (a′[A])^{∘}.

Bizonyítás: Legyen x ∈ a^{−1}[A^{∘}], y ∈ a′[A]. Akkor valamely v ∈ A-ra y = a′(v), és

|y(x)| = |(a′(v))(x)| = |v(a(x))| ≤ 1,

vagyis a^{−1}[A^{∘}] ⊂ (a′[A])^{∘}. Ha pedig x ∈ (a′[A])^{∘}, v ∈ A, akkor

|v(a(x))| = |(a′(v))(x)| ≤ 1,

így a(x) ∈ A.♠

2.0.4.Definíció Tekintsünk egy olyan α(X, Y) topológiát, mely “egyöntetűen” van definiálva minden (X, Y) duális párra. α-t Hellinger-Toeplitz-topológiának mondjuk, ha igaz a következő:

Bármely két (X, Y), (U, V) duális párra és bármely T_{X}, T_{U} kompatibilis topológiákra ha L : X → U lineáris operátor T_{X} → T_{U} folytonos, akkor α(X, Y) → α(U, V) folytonos.

2.0.5.Megjegyzés Lehetséges jelöltek pl.a σ, τ topológiák, ezeket ugyanaz a formula értelmezi minden duális párra (azaz megadhatók halmazelméleti operációként, ami a fenti definíció “egyöntetű” kifejezésének precíz megfogalmazása). Az alábbiakban kiderül, hogy mindkét fenti topológia valóban Hellinger-Toeplitz–féle.

2.0.6.Tétel A (2.0.0) definícióban szereplő jelölésekkel legyen a : (X, T) → (U, S) folytonos, ahol T, S kompatibilis topológiák. Akkor az a operátor σ(X, Y) → σ(U, V) folytonos.

Bizonyítás: A 2.0.1.Állítás szerint elég igazolni, hogy a^{#} : V → Y. Legyen

v ∈ V = (U, S)′.

Akkor a^{#}(v) = v ∘ a egy T → S-folytonos leképezés és egy S-folytonos funkcionál kompozíciója, így maga is T-folytonos funkcionál, s mint ilyen Y -ban van. Ez éppen azt jelenti, hogy a^{#}(v) = a′(v) ∈ Y.♠

2.0.7.Következmény σ egy HT-topológia. ♠

2.0.8.Tétel τ egy HT-topológia.

Bizonyítás: Ha, mint az előző tételben, a : (X, T) → (U, S) egy folytonos leképezés, akkor a fentiek miatt gyengén folytonos. Legyen N ⊂ U egy τ(U, V)-nullkörnyezet. Föltehető, hogy N = A^{∘}, ahol A ⊂ V egy abszolút konvex σ(V, U)-kompakt halmaz. Legyen H := a′[A]. Ez utóbbi halmaz a 2.0.2.Lemma miatt A-nak σ(V, U) → σ(Y, X)- folytonos képe, s mint ilyen, abszolút konvex és σ(Y, X)-kompakt. Ekkor a 2.0.3.Lemma szerint

M := a^{−1}[N] = (a′[A])^{∘} = H^{∘}.

A τ(X, Y) topológia poláris családdal való (0.1.4) előállításából adódik, hogy M egy τ(X, Y)-nullkörnyezet, vagyis az a operátor τ(X, Y) → τ(U, V)-folytonos.♠

2.0.9.Tétel Egy a : X → U lineáris operátor pontosan akkor σ(X, Y) → σ(U, V)- folytonos, ha τ(X, Y) → τ(U, V)-folytonos.

Bizonyítás: σ, τ mindeketten HT-topológiák.♠

2.0.10.Megjegyzés Más HT-topológiák is ismeretesek. A fentiekhez hasonlóan igazolható például, hogy β, az erős topológia Hellinger-Toeplitz-féle. Ez lényegesen különbözik σ-tól és τ-tól abban, hogy nem feltétlenül kompatibilis. (Pontosan akkor kompatibilis egy adott párra nézve, ha a páron van kompatibilis hordó-topológia.)

2.1.GROTHENDIECK TÉTELEI

2.1.0.Definíció Legyen X egy TVT. Akkor egy A ⊂ X halmaz (X, X^{#}) duális párbeli polárisát A^{♣} jelöli.

2.1.1.Lemma Legyenek T_{1}, T_{2} megengedhető topológiák X-en az (X, Y) duális párban melyekre T_{1} ≤ T_{2}. Ha {x_{δ}}_{δ∈Δ} ⊂ X olyan T_{2}-Cauchy általánosított sorozat mely T_{1}-konvergens, akkor T_{2}-konvergens.

Bizonyítás: A hosszadalmas érvelést elhagyjuk, vázlata megtalálható például [Wi1] 122.oldalán az 5.feladatban. ♠

2.1.2.Tétel Legyen (X, Y) egy duális pár, T egy megengedhető topológia X-en, A pedig egy, a T-t származtató poláris család Y -ban. Legyen

G := {f ∈ Y^{#} : f|A σ(Y, X)|A folytonos minden A ∈ A − ra}.

Akkor G egy alkalmas topológiával (X, T) teljessé tétele, azaz olyan teljes lokálisan konvex tér, melybe (X, T) sűrű altérként beágyazható. Tehát X pontosan akkor teljes, ha minden f ∈ G funkcionálra f ∈ X.

Bizonyítás: X-et mint Y^{#} alterét tekintjük, ez (0.1.5) szerint jogosult. Mivel definíció szerint minden x ∈ X σ(Y, X)-folytonos Y -on, X ⊂ G. Most igazoljuk, hogy az (Y, G) duális párban A egy poláris család. Ehhez csak azt kell belátni, hogy bármely A ∈ A σ(Y, G)-korlátos. Feltehető, hogy A elemei abszolút konvex, zárt halmazok (0.1.6). Legyen

f ∈ G, {a_{n}}_{n=0}^{∞} ⊂ A.

Akkor \frac{1}{n}a_{n} → 0 (σ(Y, X)), hiszen A σ(Y, X)-korlátos. Tehát

\frac{1}{n}f(a_{n}) = f(\frac{1}{n}a_{n}) → 0,

vagyis f[A] ⊂ C korlátos halmaz, ez minden f ∈ G-re igaz, így A σ(Y, G)-korlátos (0.1.7) szerint. Legyen T̄ az A-ból származtatott poláris topológia G-n. T̄|X = T, hiszen

A^{♣} ∩ G ∩ X = A^{♣} ∩ X = A^{∘}

a poláris definíciójából, itt ∘ az (Y, G)-beli polárisképzésre utal.

Ezután bizonyítjuk, hogy X sűrű (G, T̄)-ban. Legyen v ∈ (G, T̄)′, v|X = 0. Akkor

A^{♣} ∩ G ⊂ {f ∈ G : |v(f)| ≤ 1}

valamely A ∈ A-ra. A-t mint G′ részhalmazát tekintve látjuk, hogy v A-nak a (G, G′) duális párbeli bipolárisához tartozik, ami A abszolút konvexitása és a (0.1.8) bipoláris tétel miatt éppen A lezárása σ(G′, G)-ben. Legyen most a_{δ} → v (σ(G′, G)) egy A-ban haladó általánosított sorozat. Ekkor x ∈ X-re a_{δ}(x) → v(x) = 0, hiszen v = 0 az X-en. Ez azt jelenti, hogy a_{δ} → 0 (σ(Y, X)). Bármely f ∈ G esetén

v(f) = lim a_{δ}(f) = lim f(a_{δ}) = 0,

mert f σ(Y, X)-folytonos A-n. Vagyis v = 0 az egész G-n. Ez azt jelenti, hogy X sűrű.

Végül igazoljuk, hogy (G, T̄) teljes TVT. Ha f_{δ} egy Cauchy-féle általánosított sorozat T̄ szerint, akkor f_{δ} σ(G, Y)-Cauchy is, mert ez egy gyengébb topológia. Így f_{δ} → f ∈ (Y^{#}, σ(Y^{#}, Y)) mert ez utóbbi TVT teljes, hisz a C^{Y} zárt altere, márpedig C teljes és teljes terek szorzata, valamint zárt altere teljes (0.1.9). Elég f ∈ G-t bizonyítani, mert σ(G, Y) ≤ T̄ megengedhetők, és ekkor a 2.1.1.Lemmát alkalmazva T̄ teljessége adódik. Legyen most A ∈ A és a_{γ} egy σ(Y, X)-konvergens általánosított sorozat A-ban. Feltehetjük, hogy a_{γ} → 0, hiszen a_{γ} → b esetén (0.1.6) szerint az a_{γ} − b általánosított sorozat A valamelyik elemében benne foglaltatik, és az alábbi érvelés elmondható. Legyen ϵ > 0.Akkor létezik ξ, hogy α ≥ ξ, β ≥ ξ esetén

(∗) (f_{α} − f_{β}) ∈ ϵ(G ∩ A^{♣}),

valamint bármely γ-ra:

|f(a_{γ})| ≤ |f(a_{γ}) − f_{ξ}(a_{γ})| + |f_{ξ}(a_{γ})| = lim_{α}|f_{α}(a_{γ}) − f_{ξ}(a_{γ})| + |f_{ξ}(a_{γ})| ≤ ϵ + |f_{ξ}(a_{γ})|.

f_{ξ} ∈ G miatt lim_{γ} f_{ξ}(a_{γ}) = 0 a (∗) miatt, tehát lim sup_{γ} |f(a_{γ})| ≤ ϵ , azaz f(a_{γ}) → 0, vagyis f σ(Y, X)-folytonos az A-n. ♠

2.1.3.Lemma Legyen (X, Y) egy duális pár. Ha A ⊂ X, B ⊂ Y, B ⊂ F +A^{∘} valamely F ⊂ Y halmazra, valamint A − A ⊂ F^{∘}; akkor A − A ⊂ 3B^{∘}.

Bizonyítás: Legyen x ∈ \frac{B}{3} . Ekkor a feltételek szerint 3x = f + t valamely f ∈ F és t ∈ A^{∘} elemekre, vagyis x = \frac{f}{3} + \frac{t}{3}. Így tetszőleges a_{1}, a_{2} ∈ A elemekre

|x(a_{1} −a_{2})| = |\frac{1}{3}f(a_{1} −a_{2})+ \frac{1}{3}t(a_{1} −a_{2})| ≤ \frac{1}{3}|(a_{1} −a_{2})(f)|+ \frac{1}{3}|t(a_{1})|+ \frac{1}{3}|t(a_{2})| ≤ 3· \frac{1}{3} = 1,

ami éppen azt jelenti, hogy A − A ⊂ (\frac{B}{3} )^{∘} = 3B^{∘}; ez a lemma állítása. ♠

2.1.4.Lemma Legyen X egy TVT, S ⊂ X egy halmaz. S pontosan akkor teljesen korlátos, ha minden V nullkörnyezethez létezik olyan U_{0}, ..., U_{n(V)} rendszer, melyre ∪_{i}U_{i} = S és (U_{i} − U_{i}) ⊂ V, i = 0, ..., n(V).

Bizonyítás: Ha S teljesen korlátos, akkor legyen V + V ⊂ U.Valamely véges F halmazra S ⊂ F + V, legyen

S_{x} = S ∩ (x + V), x ∈ F.

Nyilván S_{x}, x ∈ F egy, a lemma kimondásában szereplő véges rendszer.

A másik irány: Legyen V egy nullkörnyezet, S = ∪_{i}U_{i} a feltételben szereplő felbontás, vagyis U_{i} − U_{i} ⊂ V. Feltehető, hogy U_{i} nem üres, mondjuk u_{i} ∈ U_{i}. Akkor U_{i} − u_{i} ⊂ U_{i} − U_{i} ⊂ V, vagyis

S ⊂ ∪_{i}(u_{i} + V),

ami éppen azt jelenti, hogy S teljesen korlátos. ♠

2.1.5.Lemma Legyen(X, Y) egy duális pár. Ha A ⊂ X σ(X, Y)-korlátos, akkor σ(X, Y)-teljesen korlátos.

Bizonyítás: A teljes korlátosság feltételét elég egy környezetbázison ellenőrizni. Legyen ϵ > 0,

V := {x ∈ X|f_{i}(x) < ϵ, f_{i} ∈ Y, i = 0, ..., n}.

Jelölje ×_{i}f_{i} azt a C^{n}-be képező függvényt, melynek i-edik koordinátafüggvénye f_{i}. Mivel A korlátos, nyilván (×_{i}f_{i})[A] ⊂ C^{n} egy korlátos halmaz, mely persze teljesen is korlátos, legyen S_{k}, k = 0, ..., N egy ϵ-gömbökből álló fedése, s_{k} az k-adik gömb középpontja. Akkor

A ⊂ ∪{(×f_{i})^{−1}(s_{k}) + V |k = 0, ..., N},

ahogyan akartuk. ♠

2.1.6.Tétel(Grothendieck felcserélési tétele) Legyen (X, Y) egy duális pár, A, B Xben illetve Y -ban lévő poláris családok, melyek megengedhető topológiákat származtatnak. Akkor az alábbiak ekvivalensek:

(x) minden A ∈ A T_{B}-teljesen korlátos,

(y) minden B ∈ B T_{A}-teljesen korlátos,

ahol T_{A}, T_{B} a poláris családokból származtatott topológiák.

Bizonyítás: Elég (y) → (x)-t igazolni, a másik irány ugyanúgy jön ki. Legyen B ∈ B tetszőleges, A ∈ A rögzített, F ⊂ Y olyan véges halmaz, hogy B ⊂ F + A^{∘}. Mivel A σ(X, Y)-korlátos, ezért A σ(X, Y)-teljesen korlátos a 2.1.5.Lemmából. A 2.1.4.Lemma szerint tehát F^{∘}-re, mely σ(X, Y)-nullkörnyezet, létezik U_{0}, ..., U_{n} ⊂ X rendszer, melyre A = ∪_{i}U_{i} és (U_{i} − U_{i}) ⊂ F^{∘}, i = 0, ..., n. A 2.1.3.Lemma szerint A véges uniója olyan U_{i} halmazoknak, melyekre U_{i} − U_{i} ⊂ 3B^{∘}. Minden B ∈ B-re alkalmazva az okoskodást és megint (2.1.4)-re hivatkozva kapjuk, hogy A T_{B}-teljesen korlátos, hiszen ha B^{∘}, B ∈ B környezetbázis, akkor 3B^{∘}, B ∈ B is az.♠

2.2.AZ ORLICZ-PETTIS TÉTEL

Előrebocsátunk egy eredményt, melyre a későbbiekben többször hivatkozunk.

2.2.0.Tétel Legyen (X, T) egy LKT, melyre ϕ ⊂ X ⊂ s. Tegyük fel továbbá, hogy τ_{s}|X ≤ T. Akkor X egy részhalmaza pontosan akkor kompakt, ha szekvenciálisan kompakt ( T- ben). Következésképp ha T_{1}, T_{2} olyan, a fenti feltételeknek eleget tevő topológiák X-en, hogy konvergens sorozataik megegyeznek, akkor kompakt halmazaik is ugyanazok.

Bizonyítás: Itt nem térünk ki rá, megtalálható [Gar]-ban.♠

2.2.1.Lemma σ(l_{1}, m), σ(l_{1}, l_{∞}) és ∥·∥_{1} ugyanazokat a konvergens sorozatokat, kompakt halmazokat és Cauchy- sorozatokat definiálják l_{1}-en.

Bizonyítás: Elég a sorozatokra vonatkozó részt igazolni, tekintetbe véve az előző tételt és (0.1.14)-et. Nyilván σ(l_{1}, m) ≤ σ(l_{1}, l_{∞}) ≤ ∥ · ∥_{1}, ezért azt kell megmutatni, hogy ha x_{n} → x (σ(l_{1}, m)), akkor ∥x_{n}−x∥_{1} → 0. Ez könnyen adódik az 1.0.7.Lemmából, figyelembe véve, hogy m a 0 − 1-sorozatok lineáris burka (ld.m definícióját a 0.1.részben). ♠

2.2.2.Lemma Egy K ⊂ l_{1} halmaz pontosan akkor ∥ · ∥_{1} relatív kompakt, ha korlátos és

(∗) lim_{n→∞} ∑_{j=n}^{∞} |x^{j}| = 0

x ∈ K-ban egyenletesen.

Bizonyítás: Először legyen K olyan, hogy (∗) teljesül. Mivel ∥ · ∥_{1} egy teljes metrikus topológia, elég K teljesen korlátos voltát igazolni. E célból rögzítsünk egy ϵ > 0 számot, és azt az N(ϵ) küszöbindexet, melyre k > N, x ∈ K esetén

∑_{j=k}^{∞} |x_{j}| < \frac{ϵ}{4}

igaz. Mivel K korlátos, a

J := sup_{d∈K} ∥d∥_{∞} ≤ sup_{d∈K} ∥d∥_{1}

mennyiség véges. Legyen L ⊂ K egy olyan véges halmaz, melyre igaz, hogy minden x ∈ K esetén van olyan l ∈ L, hogy

(#) max_{i≤N} |x^{i} − l^{i}| ≤ \frac{ϵ}{2N} .

Ilyen halmazt kapunk pl.a következő módon: legyen s ∈ ω, s > \frac{2NJ}{ϵ}, minden

(∗∗) t(·), −s ≤ t(i) ≤ s, t(i) ∈ Z, i ∈ 0, ..., N

függvényhez választunk olyan g(t) ∈ L elemet, melyre

\frac{t(i)}{s} ≤ g(t)^{i} ≤ \frac{t(i) + 1}{s},

ha ilyen nincs, legyen g(t) tetszőleges. Akkor

L := {g(t)|t − re igaz (∗∗)}

megfelelő választás.Ha x ∈ K, akkor valamely l ∈ L-re (#) teljesül. Így

∥l − x∥_{1} ≤ N max_{i≤N} |x^{i} − l^{i}| + ∑_{k>N}(|x^{i}| + |l^{i}|) ≤ \frac{ϵ}{2} + 2\frac{ϵ}{2} = ϵ,

vagyis az L elemei köré vont ϵ-gömbök tanúsítják K teljes korlátosságát.

Megfordítva, legyen K relatív kompakt, akkor teljesen korlátos. Válasszunk \frac{ϵ}{2}-höz alkalmas véges fedő gömbrendszert, legyenek a gömbök középpontjai d_{i}, i = 0, ..., N. Akkor tetszőleges x ∈ K-ra:

∑_{j=m}^{∞} |x_{j}| ≤ ∑_{j=m}^{∞} |x^{j} − d_{i}^{j}| + ∑_{j=m}^{∞} |d_{i}^{j}| ≤ \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2},

hogyha d_{i} egy, az x-et tartalmazó gömb középpontja, m pedig olyan nagy, hogy i = 0, ..., Nre

∑_{j=m}^{∞} |d_{i}^{j}| ≤ \frac{ϵ}{2}.

Ez éppen a lemmában szereplő feltétel teljesülését jelenti. ♠

2.2.3.Megjegyzés Az elemi analízisből ismeretes Riemann-tétel szerint (lásd pl. [Csá] idevágó fejezetét) ha egy valós numerikus sor feltételesen konvergens, de nem abszolút konvergens, akkor bármilyen t ∈ R̄ értékhez létezik a sornak olyan átrendezése, mely t-hez konvergál. Hasonló érveléssel könnyen adódik , hogy ha egy valós numerikus sor tagjai sorozatának bármely részsorozatából alkotott sor konvergens, akkor a sor abszolút konvergens. Ez utóbbi igazolható komplex numerikus sorokra is.

2.2.4.Tétel(Orlicz-Pettis) Ha (X, Y) egy duális pár, {x_{j}}_{j=0}^{∞} ⊂ X egy olyan sorozat, melyre igaz, hogy minden {x_{n(k)}} részsorozatra ∑_{k} x_{n(k)} sor konvergál σ(X, Y)-ban, akkor a ∑_{j} x_{j} sor konvergál λ(X, Y)-ban.

Bizonyítás: Bármely f ∈ Y esetén a ∑_{k} f(x_{n(k)}) numerikus sor konvergens, így a tétel előtti megjegyzés szerint

∑_{j} |f(x_{j})| < ∞.

Definiáljuk most a T : Y → l_{1} operátort a

(T f)^{k} := f(x_{k})

összefüggéssel. Legyen θ ∈ m egy 0 − 1-sorozat. Akkor

∑_{j} θ^{j}(T f)^{j} = ∑_{j} θ^{j}f(x_{j}) = f(∑_{j} θ^{j}x_{j}),

mert a tétel feltételei miatt ∑_{j} θ^{j}x_{j} konvergál σ(X, Y)-ban. Ez éppen azt jelenti, hogy a T operátor σ(X, Y) → σ(l_{1}, m)-folytonos, mert a 0 − 1-sorozatok kifeszítik m-et. Legyen K ⊂ Y egy σ(Y, X)-kompakt halmaz. Akkor T (K) ⊂ l_{1} σ(l_{1}, m)-kompakt, tehát (2.2.1) szerint ∥ · ∥_{1}-kompakt. Alkalmazva a 2.2.2.Lemmát, adódik, hogy

lim_{n→∞} sup_{f∈K} ∑_{k=n}^{∞} |f(x_{k})| = 0,

amiből nyilván

lim_{n→∞} sup_{f∈K} sup_{m≥n} | ∑_{k=n}^{m} f(x_{k})| = 0.

Ez utóbbi képlet azt fejezi ki, hogy a sor szeletei Cauchy-sorozatok abban a topológiában (X-en), ami a σ(Y, X)-kompakt halmazokon való egyenletes konvergencia. Ez definíció szerint λ(X, Y). Összefoglalva: a ∑_{j} x_{j} sor σ(X, Y)-konvergens, és az erősebb λ(X, Y) megengedhető topológiában Cauchy. (2.2.1) szerint tehát λ(X, Y)-konvergens. ♠

Befejezésül megemlítjük, hogy Riemann tétele nem marad érvényben végtelen dimenziós Banach-terek esetén, amint azt az alábbi tétel mutatja:

2.2.5.Tétel(Dvoretzky-Rogers) Ha X egy végtelen dimenziós Banach-tér, akkor létezik olyan {x_{n}}_{n=0}^{∞} ⊂ X sorozat, mely feltétel nélkül konvergens ( azaz bármely átrendezése konvergens), de nem abszolút konvergens.

Bizonyítás: Megtalálható például [Sch]-ben.♠

2.3.ZÁRT GRÁF TÉTELEK

Ebben a részben a (0.1.10) zárt gráf tétel három lehetséges erősítését fogalmazzuk meg. Egyikük a későbbiekben kulcsszerepet fog játszani.

2.3.0.Definíció Legyen (X, T) egy LKT. Egy H ⊂ Y′ halmazt majdnem zártnak (röviden m-zártnak) nevezünk, ha minden U X-beli nullkörnyezetre az U^{∘} ∩ H ⊂ X′ halmaz σ(X′, X)-zárt.

Egy X LKT-t egészen teljesnek hívunk, ha X′ bármely m-zárt lineáris altere σ(X′, X)- zárt.

Legyenek X, Y LKT-ek, L : X → Y lineáris leképezés. Ekkor D := (L^{#})^{−1}[X′] ∩ Y′. 2.3.1.Lemma Ha L(lásd a definíciót fentebb) zárt gráfú, akkor D sűrű (Y′, σ(Y′, Y))-

ban.

Bizonyítás: Először megmutatjuk, hogy D elválaszt Y felett, vagyis y ∈ Y esetén ha minden d ∈ D-re d(y) = 0, akkor y = 0. Legyen y ∈ Y rögzített pont, y ≠ 0. Ekkor (0, y) ∉ graph(L), így vannak olyan V, W nullkörnyezetek X-ben ill. Y -ban, hogy

(0, y) + V × W ∩ graph(L) = ∅,

hiszen a gráf zárt. Tehát bármely v ∈ V, w ∈ W esetén

(v, y + w) = (0, y) + (v, w) ∈ (0, y) + V × W,

azaz (v, y + w) ∉ graph(L), vagyis y + w ≠ L(v), így y + W ∩ L[V] = ∅, y ∉ \overline{L[V]}. A szeparációs tételből (0.1.11) létezik g ∈ Y′ úgy, hogy |g(y) > 1, |g(t)| ≤ 1, t ∈ L[V]. Most g ∈ D-t kell bizonyítanunk.

|(L′g)(v)| = |g(L(v))| ≤ 1, v ∈ V, de akkor L′(g) ∈ X′, hiszen korlátos egy 0környezeten. Vagyis g ∈ D, ahogyan akartuk. (Y′, σ(Y′, Y)) egy szeparált LKT, és duálisa azonosítható Y -al. Ahhoz, hogy D sűrűségét belássuk, elég megmutatni, hogy f ∈ X esetén f|D = 0-ból f = 0 következik. Vagyis f(d) = d(f) = 0 minden d ∈ D-re maga után vonja, hogy f = 0. Ez éppen azt jelenti, hogy D elválaszt Y felett, amit fentebb igazoltunk.♠

2.3.2.Lemma Ha (X′, σ(X′, X)) szekvenciálisan teljes, Y pedig szeparábilis, akkor D m-zárt.

Bizonyítás: Először igazoljuk, hogy D σ(X′, X) szekvenciálisan zárt. Legyen

g_{n} ∈ D, n ∈ ω, g_{n} → g ∈ Y′ (σ(Y′, Y)).

A 2.0.2.Állítás szerint L^{#} : Y^{#} → X^{#} σ(Y^{#}, Y) → σ(X^{#}, X)-folytonos, akkor

L^{#}(g_{n}) → L^{#}(g) ∈ (X^{#}, σ(X^{#}, X)).

Mivel X′ szekvenciálisan teljes, L^{#}(g) ∈ X′, vagyis g ∈ D, ami a szekvenciális zártságot igazolja. Ha most U egy Y -beli nullkörnyezet, akkor U^{∘} σ(Y′, Y)-kompakt a (0.1.12)

Banach-Alaoglu tétel szerint. Mivel Y szeparábilis, σ(Y′, Y)|U^{∘} metrizálható (0.1.13)! D ∩ U^{∘} egy metrizálható topológiájú zárt halmaz szekvenciálisan zárt részhalmaza, így zárt, azaz D m-zárt.♠

2.3.3.Tétel(Kalton) Legyen (X, T) egy Mackey-tér, melyre (X′, σ(X′, X)) szekvenciálisan teljes. Legyen továbbá (Y, S) szeparábilis és egészen teljes. Akkor bármely L : X → Y zárt gráfú operátor folytonos.

Bizonyítás: Az előző Lemmákból látható, hogy D ⊂ Y′ σ(Y′, Y)-sűrű és m-zárt. Mivel Y egészen teljes, D = Y′. Ez azt jelenti, hogy L′ : Y′ → X′, ami (2.0.1) miatt maga után vonja L σ(X, X′) → σ(Y, Y′)-folytonosságát. A 2.0.9.Tétel értelmében L τ(X, X′) = T → τ(Y, Y′)-folytonos, tehát T → S-folytonos, hiszen S ≤ τ(Y, Y′). ♠

A fenti Tétel alkalmazhatóságához szükséges, hogy példákat adjunk egészen teljes terekre. Ez a következő állítás tartalma.

2.3.4.Állítás Minden Fréchet-tér egészen teljes. Bizonyítás: Megtalálható [Sch] 152.oldalán.♠ További két példát mutatunk zárt gráf tételekre, Pták nevezetes eredményét és a

kevésbé ismert McIntosh-féle tételt. Ezeket nem bizonyítjuk, mert nem lesz rájuk szükség a későbbiekben.

2.3.5.Tétel(Pták) Ha X hordó-tér, Y pedig egészen teljes, akkor minden X → Y zárt gráfú lineáris leképezés folytonos.♠

2.3.6.Tétel(McIntosh) Ha X egy LKT, (X′, σ(X′, X)) szekvenciálisan teljes, Y pedig egy reflexív Banach-tér, akkor bármely X → Y zárt gráfú lineáris leképezés folytonos.

2.3.7.Megjegyzés Röviden rámutatunk a tételek egymáshoz való viszonyára. Ismeretes, hogy minden hordó-tér Mackey-tér, és duálisa gyenge-∗ szekvenciálisan teljes. Másrészt minden Banach-tér (2.3.4) miatt egészen teljes. Innen látszik, hogy Kalton és McIntosh tételeikben gyöngítették az X-re vonatkozó föltevést, azon az áron, hogy így Y -ra kellett szigorúbb kikötést tenniük. A zárt gráf tételek irodalma igen gazdag, mi itt csak néhány forrásra utalunk:[Wi1], [Sch], [RR].

Most egy olyan példát mutatunk, mely rávilágít arra , hogy bizonyos esetekben nem használható a (korábbról származó) Pták-féle tétel, míg Kalton 1971-es eredménye igen. A 4.fejezetben látjuk majd, hogy éppen az alábbi ellenpéldához kísértetiesen hasonló terekre kell alkalmaznunk (2.3.3)-at; és hogy néha milyen fáradságos a duális szekvenciális teljességének igazolása.

2.3.8.Példa (X, τ) := (l_{∞}, τ(l_{∞}, l_{1})) nem hordó tér, de σ(X′, X) szekvenciálisan teljes. σ(X′, X) éppen l_{1} a gyenge topológiájával. (2.2.1) miatt ugyanazok a konvergens sorozatok, mint a normatopológiában, így (0.1.14) szerint ugyanazok a Cauchy-sorozatok. A normatopológia szekvenciálisan teljes, így σ(X′, X) is az. Másfelől legyen D l_{∞} zárt egységgömbje (a normatopológiában), akkor D abszolút konvex és τ-zárt, mert l_{1} egységgömbjének polárisa az (l_{1}, l_{∞}) duális párban. Így D egy hordó τ-ban. Nem lehet viszont nullkörnyezet, mert ekkor τ = ∥ · ∥_{∞} = τ(l_{∞}, l′_{∞}) állna fenn, vagyis l_{1} kanonikus módon azonosulna (l_{∞}, ∥ · ∥_{∞})′-vel, más szavakkal l_{1} egy reflexív Banach-tér lenne, ami nagyon nem igaz.

3.FK-terek

3.0.FK-TEREK KONSTRUKCIÓJA

A továbbiakban egy igen speciális stuktúraosztályt definiálunk s bizonyos alterein. Kiderül majd, hogy bármely végtelen mátrix értelmezési- illetve konvergenciatartománya felruházható az említett struktúrával.

3.0.0.Definíció Legyen (X, T) Fréchet-tér, melyre X ⊂ s teljesül. Ha továbbá fönnál, hogy T erősebb, mint τ_{s} megszorítása X-re, akkor azt mondjuk, hogy (X, T) egy FK-tér.

3.0.1.Példa Tekintsük (s, τ_{s})-et. Ez nyilván példa FK-térre.

3.0.2.Lemma Legyen (Y, S) egy Fréchet-tér, (X, T) pedig egy FK-tér.Legyen A : Y → X egy lineáris, S → τ_{s}|X folytonos leképezés. Akkor A S → T folytonos.

Bizonyítás: Figyelembe véve (0.1.10)-et, elég belátni, hogy az A leképezés S → T zárt gráfú. Ehhez vegyük észre, hogy A gráfja S × τ_{s}|X zárt, szintén (0.1.10) miatt. Mivel definíció szerint τ_{s}|X ≤ T, így A gráfja nyilván S × T zárt.♠

3.0.3.Következmény Legyenek (X, T), (Y, S) FK-terek, Y ⊂ X.Akkor T|Y ≤ S, egyenlőség pontosan akkor áll fönn, ha Y zárt X-ben. Egy FK-téren pontosan egy FKtopológia adható meg.

Bizonyítás: Alkalmazzuk az előző Lemmát i : Y → X beágyazó leképezésre, ebből az első állítás rögtön adódik. X = Y esetén i és i^{−1} mutatják, hogy az FK-topológia egyértelmű. Ha Y zárt X-ben, akkor (Y, T|Y) egy FK-tér, így az egyértelműségből T|Y = S. Másrészt T|Y = S esetén Y teljes, így zárt részhalmaza X-nek.♠

A fenti Következmény miatt a továbbiakban FK-terek esetében a topológiát nem tüntetjük föl, valahányszor ez nem okoz kétértelműséget. Az X egy FK-tér kifejezés tehát azt jelenti, hogy X ⊂ s egy olyan altér, mely ellátható (egyértelműen) FK-tér struktúrával.

3.0.4.Megjegyzés A fenti állításokból az is kitűnik, hogy

l_{p} ⊂ l_{r} ⊂ c_{0} ⊂ c ⊂ l_{∞} ⊂ s, 1 ≤ p < r < ∞

mind FK-terek. Mindegyiküket teljes pszeudonorma adja meg. Könnyen ellenőrizhető, hogy s(x) ≤ ∥x∥_{∞}, x ∈ l_{∞}, ahol s a τ_{s}-et megadó pszeudonorma (0.1.15). Még azt kellene megmutatni, hogy 1 ≤ p < ∞ esetén ∥ · ∥_{∞}|l_{p} ≤ ∥ · ∥_{p}. Metrikus topológiákról lévén szó, elég sorozatokat, éspedig nullsorozatokat tekinteni. Legyen ∥x_{n}∥_{p} → 0, n → ∞. Akkor |x_{n}^{j}| ≤ ∥x_{n}∥_{p}; n, j ∈ ω. Következésképp sup_{j∈ω}|x_{n}^{j}| ≤ ∥x_{n}^{j}∥_{p}, n ∈ ω. Vagyis ∥x_{n}∥_{∞} → 0.

3.0.5.Megjegyzés Az FK-tér definíciójában nem feltétlenül szükséges a lokális konvexitást megkövetelni. Az elmélet minden alapvető eredménye és bizonyítása szóról-szóra átvihető nem lokálisan konvex terek esetére. Ebben a tágabb értelemben például az l_{p}, 0 < p < 1 terek is FK-terek. Mivel a későbbiekben mi csak lokálisan konvex FKterekkel foglalkozunk, ezért ezt a tulajdonságot már a definícióban előírtuk.

A fentebb említett terek jó része Banach-tér volt. Bevezetjük ezért a következő fogalmat:

3.0.6.Definíció Ha egy X FK tér topológiája teljes normából származtatható, akkor X-et BK-térnek (is) nevezzük.

3.0.7.Definíció Legyen E ⊂ s. Ha létezik olyan t ∈ s, hogy minden x ∈ E-re x^{n} = O(t^{n}), akkor azt mondjuk,hogy az E halmaznak létezik növekedési sorozata.

Most a BK-terek egy “belső” jellemzését adjuk.

3.0.8.Tétel Egy E ⊂ s halmaznak pontosan akkor létezik növekedési sorozata, ha van olyan X BK-tér, hogy E ⊂ X.

Bizonyítás: Nekünk nem lesz szükségünk erre a tényre, megtalálható [Wi2]-ben.♠ A továbbiakban néhány módszert mutatunk arra, hogyan lehet ismert FK-terekből

újabbakat készíteni. Mostantól föltesszük, hogy a szóban forgó FK-terek topológiája valamely teljes pszeudonorma által adott. (0.1.16) miatt ez nem jelent korlátozást.

3.0.9.Tétel Ha X_{n}, n ∈ ω FK-terek egy sorozata, akkor X := ∩_{n∈ω}X_{n} FK-tér. Bizonyítás: Legyenek p_{n}, n ∈ ω az FK-terekhez tartozó pszeudonormák. Akkor

p := ∑_{n} \frac{1}{2^{n+1}} \frac{p_{n}}{p_{n} + 1}

szintén egy pszeudonorma, mely a sup_{n} p_{n} topológiát szolgáltatja X-en. Így csak az a kérdéses, hogy teljes-e ez a tér. E célból legyen x_{m}, m ∈ ω egy Cauchy-sorozat (X, p)- ben. Akkor Cauchy-sorozat lesz bármely X_{n}-ben, tehát x_{m} → d_{n} (p_{n}), m → ∞. Mivel mindegyik X_{n} FK-tér, ezért x_{m} → d_{n} (τ_{s}), n ∈ ω. Akkor d_{n} = d, n ∈ ω valamilyen d-re, hiszen τ_{s} ≤ p_{n} Hausdorff topológia. Ebből d ∈ ∩_{n∈ω}X_{n} = X, és x_{n} → d (p).♠

3.0.10.Lemma Legyenek (X, p) és (Y, q) FK-terek, A : X → s folytonos és lineáris. Legyen Z := A^{−1}[Y]. Akkor Z egy FK-tér.

Bizonyítás: Z-n definiáljuk a topológiát az r := p + q ∘ A pszeudonorma által. p ≤ r miatt az így kapott topológia erősebb, mint a p|Z, így persze erősebb, mint τ_{s}|Z. Legyen x_{n} ∈ Z, n ∈ ω egy r-Cauchy sorozat X-ben. Akkor nyilván p-Cauchy is, és x_{n} → a ∈ X (p). Hasonlóan x_{n} q ∘ A-Cauchy is X-ben, tehát Ax_{n} q-Cauchy Y -ban, Ax_{n} → b ∈ Y (q). A folytonosságából Ax_{n} → Aa (τ_{s}). Mivel Y egy FK-tér, Ax_{n} → b (τ_{s}), és mivel τ_{s} szeparált, b = Aa. Ebből a ∈ Z, és x_{n} → a (r), hiszen x_{n} → a (p) és Ax_{n} → Aa (q).♠

3.0.11.Lemma Legyen A egy mátrix, (X, p), Y FK-terek úgy, hogy X ⊂ s_{A} és Ax ∈ Y minden x ∈ X-re. Akkor A : X → Y (mint lineáris operátor) folytonos.

Bizonyítás: A 3.0.2.Lemmát figyelembe véve elég igazolni, hogy A : X → s p → τ_{s} folytonos. τ_{s} (0.1.15) definíciója szerint ez ekvivalens azzal, hogy minden i ∈ ω-ra T_{i} ∘ A : X → C folytonos lineáris funkcionál. Definíció szerint

T_{i} ∘ A(x) = (Ax)^{i} = lim_{m→∞} ∑_{k=0}^{m} A(i, k)x^{k}.

A limesz mögötti összeg az 0, ..., m-edik koordináta-függvények lineáris kombinációja, ami folytonos, hiszen X egy FK-tér. Minden Fréchet-tér hordó, így folytonos funkcionálsorozat pontonkénti határértéke is folytonos a Banach-Steinhaus-tétel (0.1.1) általános alakjából. Ezzel igazoltuk az állítást.♠

Most beváltjuk igéretünket, és megmutatjuk, hogy bármely mátrix értelmezési- illetve konvergenciatartománya FK-tér. Elöljáróban megjegyezzük, hogy cs a (3.0.10) szerint egy FK-tér, hiszen a c BK-tér visszahúzottja az (1.1.1)-ben szereplő A operátor szerint.

3.0.12.Tétel Ha M egy mátrix, akkor s_{M} egy FK-tér, c_{M} egy szeparábilis FK-tér. Bizonyítás: Legyen M k-adik sora a_{k} ∈ s. Definiáljuk a B_{k} segédmátrixot a következő

módon:

B_{k}(n, n) := a_{k}^{n}, n ∈ ω, B_{k}(l, m) := 0, l ≠ m, l, m ∈ ω.

Láthatóan B_{k} értelmezési tartománya az egész s. Alkalmazzuk a 3.0.10.Lemmát az A = B_{k}, X = s és Y = cs szereposztással. Ez valóban megtehető a 3.0.11.Lemma miatt, így kapunk egy Z_{k} FK-teret. Minden k-ra elvégezve a konstrukciót, legyen Z := ∩_{k}Z_{k}, mely megint csak FK-tér a 3.0.9.Lemmából. Vegyük észre, hogy Z azonos az

{x ∈ s| ∑_{i} x^{i}a_{k}^{i} létezik, k ∈ ω}

halmazzal, ami az a_{k}-k definícióját figyelembe véve éppen s_{M}. Ezek után alkalmazzuk ismét a 3.0.10.Lemmát, ezúttal A = M, X = s_{M}, Y = c szereposztással, így kapjuk, hogy c_{M} is FK-tér. Azt, hogy c_{A} szeparábilis, az 5.0.3.Tételben fogjuk igazolni. ♠

Mostantól valahányszor említésre kerül c_{M} vagy s_{M}, hallgatólagosan föltesszük, hogy már el vannak látva (egyértelműen) FK-topológiával. Következzen még néhány hasznos észrevétel:

3.0.13.Állítás Ha X ⊂ Y ⊂ Z FK-terek, X zárt Z-ben, akkor X zárt Y -ban.

Bizonyítás: A feltevésből X zárt (Y, τ_{Z}|Y)-ban, akkor (3.0.3) miatt (Y, τ_{Y})-ban is, itt τ_{Z}, τ_{Y} a Z ill. Y FK-topológiái.♠

3.0.14.Tétel Legyen A egy mátrix. Akkor f ∈ c′_{A} esetén

f(x) = μ · lim_{A}x + ∑_{i} a^{i}x^{i} + ∑_{i} t^{i}(Ax)^{i},

ahol t ∈ l_{1}, a ∈ s rögzített sorozatok, μ egy komplex szám, úgy, hogy az első szumma minden x ∈ c_{A}-re értelmes. Ha A konzervatív, akkor van olyan g ∈ s, hogy minden x ∈ c_{A} ∩ l_{∞}-re

f(x) = μ · lim_{A}x + ∑_{i} g^{i}x^{i}.

Bizonyítás: A terjedelmes bizonyítást elhagyjuk. Megtalĺható [Wi2] 66. illetve 68. oldalán.♠

3.1.FK-TEREK ÖSSZEGE

A dolgozat 4.fejezetében FK terek összegei lépnek föl. Fontos lesz számunkra az a tény, hogy ezek maguk is FK-terek. Megjegyezzük, hogy direkt összeg esetén az alábbi konstrukció lényegesen egyszerűbben elvégezhető.

3.1.0.Tétel Ha X, Y FK-terek, akkor Z := X + Y (komplexusösszeg) egy FK-tér.

Bizonyítás: Legyenek p, q az X, Y topológiáit szolgáltató pszeudonormák. Definiálja az r : Z → R függvényt a következő formula:

r(z) := inf{p(x) + q(y)|x ∈ X, y ∈ Y, x + y = z}.

Állítjuk, hogy r egy pszeudonorma. Csak a skalárral való szorzás folytonossága és a szubadditivitás nem triviális. Először legyen z_{i} ∈ Z, i = 1, 2. Válasszunk z_{i}^{x} ∈ X, z_{i}^{y} ∈ Y elemeket úgy, hogy z_{i} = z_{i}^{x} + z_{i}^{y}, p(z_{i}^{x}) + q(z_{i}^{y}) < r(z_{i}) + ϵ Ekkor

r(z_{1} + z_{2}) ≤ p(z_{1}^{x} + z_{2}^{x}) + q(z_{1}^{y} + z_{2}^{y}) ≤ p(z_{1}^{x}) + p(z_{2}^{x}) + q(z_{1}^{x}) + q(z_{2}^{y}) < r(z_{1}) + r(z_{2}) + 2ϵ,

és ϵ → 0 igazolja a szubadditivitást. A skalárral való szorzás folytonosságának bizonyításához elegendő az alábbi két állítást belátni:

(1) Ha r(z_{k}) → 0, t_{k} → t, akkor r(t_{k}z_{k}) → 0, k → ∞.
(2) Ha t_{k} → 0, akkor r(t_{k}z) → 0, k → ∞.

Itt t_{k}, t ∈ C; z_{k}, z ∈ Z. Valóban, ekkor t_{k} → t, r(z_{k} − z) → 0 esetén

r(t_{k}z_{k} − tz) ≤ r(t_{k}(z_{k} − z)) + r((t_{k} − t)z) → 0,

amit igazolni akartunk. (1)-hez válasszunk z_{k}^{x}, z_{k}^{y} sorozatokat úgy, hogy

z_{k} = z_{k}^{x} + z_{k}^{y}, p(z_{k}^{x}) + q(z_{k}^{y}) < r(z_{k}) + \frac{1}{k^{2}} .

Ekkor a feltétel miatt z_{k}^{x} → 0 (p), z_{k}^{y} → 0 (q). Viszont p, q pszeudonormák, így tehát p(t_{k}z_{k}^{x}), q(t_{k}z_{k}^{y}) → 0.

(∗) r(t_{k}z_{k}) ≤ p(t_{k}z_{k}^{x}) + q(t_{k}z_{k}^{y}) → 0,

tehát (1) igaz. (2)-höz alkalmazzuk (∗)-ot a z_{k} := z konstans sorozatra.

A következő lépésben megmutatjuk, hogy (Z, r) lokálisan konvex. Elsőként vegyük észre, hogy r|X és r|Y gyengébbek, mint e terek eredeti topológiái. Ez nyilvánvaló abból, hogy pl.x ∈ X esetén r(x) ≤ p(x)+q(0) = p(x). Legyen most U tetszőleges r-nullkörnyezet Z-ben. Válasszunk egy V kiegyensúlyozott r-környezetet úgy, hogy V +V +V +V ⊂ U. Az előbbi megállapításból valamint X, Y lokális konvexitásából van olyan W_{X} X-beli és W_{Y} Y - beli abszolút konvex nullkörnyezet, hogy W_{1} ⊂ V, W_{2} ⊂ V. Tekintve a H := ac(W_{X} ∪W_{Y}) halmazt, nyilván H+H ⊂ V +V +V +V ⊂ U, kellene még, hogy H+H r-nullkörnyezet (az, hogy konvex, világos). Legyenek ϵ_{X}, ϵ_{Y} > 0 olyan számok, hogy a W_{X}, W_{Y} tartalmaznak ϵ_{X}-sugarú p-gömböt illetve ϵ_{Y} -sugarú q-gömböt. Akkor H+H tartalmaz ϵ := min(ϵ_{X}, ϵ_{Y})- sugarú r-gömböt, hiszen r(z) < ϵ esetén ha valamely z = x + y felbontásra p(x), q(y) < ϵ, akkor x ∈ W_{X}, y ∈ W_{Y}, s így x + y ∈ W_{X} + W_{Y} ⊂ H + H.

Most rátérünk (Z, r) teljességének bizonyítására. (0.1.18) alapján elég megmutatni, hogy az abszolút konvergens sorok konvergensek. Legyen z_{k} ∈ Z, k ∈ ω olyan sorozat, hogy ∑_{k} r(z_{k}) véges. Válasszunk ugyanolyan z_{k}^{x}, z_{k}^{y} sorozatokat, mint fentebb, (1) bizonyításában. Ekkor ∑_{k} z_{k}^{x}, ∑_{k} z_{k}^{y} abszolút konvergensek (X, p)-ben illetve (Y, q)-ban, tehát létezik összegük, mondjuk z^{x}, z^{y}. Így

∑_{k=0}^{l} z_{k} = ∑_{k=0}^{l}(z_{k}^{x} + z_{k}^{y}) → z^{x} + z^{y} (r), l → ∞

hiszen egy korábbi észrevétel szerint r|X, r|Y gyengébbek, mint X, Y eredeti topológiái.

Végül belátjuk, hogy τ_{s}|Z ≤ r. Legyen r(z_{k}) → 0, z_{k} ∈ Z, k ∈ ω. Akkor az (1)-es igazolásánál használt z_{k}^{x}, z_{k}^{y} sorozatokra nyilván z_{k}^{x} → 0 (p) illetve z_{k}^{y} → 0 (q). Így bármely T_{i} kordináta-funkcionálra

T_{i}(z_{k}) = T_{i}(z_{k}^{x}) + T_{i}(z_{k}^{y}) → 0

teljesül, hiszen X, Y -on az FK-tér definíciója szerint folytonos a T_{i}. Ezzel tételünket teljesen beláttuk.♠

3.1.1.Következmény Ha a fenti tétel feltételei mellett igaz, hogy X, Y szeparábilisak, akkor ez fönnáll Z-re is.

Bizonyítás: Legyenek S_{X}, S_{Y} megszámlálható sűrű halmazok (X, p), (Y, q)-ban. Tekintsük az S_{X} + S_{Y} ⊂ Z halmazt. Legyen z ∈ Z, U pedig egy r-környezete. Akkor valamely ν-re {d ∈ Z|r(z, d) < ν} ⊂ U.Ha most z = x + y, x ∈ X, y ∈ Y, akkor alkalmas s_{x} ∈ S_{X}, s_{y} ∈ S_{y} elemekre p(s_{x} − x) < ν, q(s_{y} − y) < ν, így

r((s_{x} + s_{y}) − z) ≤ p(s_{x} − x) + q(s_{y} − y) < 2ν,

innen S_{X} + S_{Y} egy megszámlálható sűrű halmaz (Z, r)-ben.♠

3.1.2.Megjegyzés Tüzetesebben szemügyre véve a 3.1.0.Tétel bizonyítását, kitűnik, hogy tulajdonképpen az alábbi általános állítást igazoltuk:

Véges sok lokálisan konvex teljes pszeudonormált tér induktív limesze lokálisan konvex teljes pszeudonormált tér.

3.1.3.Tétel Ha Z = X + Y két FK-tér direkt összege, akkor X, Y zártak Z-ben ( ha azt a (3.1.0) konstrukció szerint létező FK-topológiával látjuk el).

Bizonyítás: Direkt összeg esetében a Z topológiáját generáló r pszeudonorma a következő alakot ölti:

r(z) = p(x) + q(y),

ahol z = x+y a z egyértelműen létező fölbontása X és Y -beli komponensekre. Ebből X Ztől örökölt relatív topológiáját r(x) = p(x)+q(0), x ∈ X szolgáltatja, vagyis ez megegyezik X eredeti topológiájával. A 3.0.3.Következmény szerint X zárt Z-ben. Y -ra ugyanez az okoskodás.♠

3.1.4.Következmény Ha Z egy olyan FK-tér, mely felbomlik Z = X + Y alakban valamely X, Y vektortér-altereire úgy, hogy X ∩ Y = {0}; valamint igaz az, hogy X és Y elláthatók FK-topológiával, akkor X, Y zártak Z-ben.

Bizonyítás: Az előző tétel szerint Z ellátható olyan FK-topológiával, hogy X, Y zárt alterei legyenek. Másrészt az FK-topológia egyértelmű (3.0.3)-ból, így X, Y zártak Zben.♠

3.1.5.Következmény Legyenek X ⊂ Z FK-terek, X véges kodimenziós Z-ben.Akkor X zárt Z-ben.

Bizonyítás: A feltételből X-nek létezik egy Y véges dimenziós algebrai komplementuma. τ_{s} megszorítása Y -ra egy Hausdorff vektortopológia egy véges dimenziós téren, mely egy ismert eredmény (0.1.19) szerint Banach-tér struktúrával fölruházható. Így Y egy BK-tér, és az előző Következmény alkalmazható.♠

3.2.KOREGULÁRIS ÉS KONULL FK-TEREK

Ebben a részben bizonyos mátrixtulajdonságok megfelelőit keressük meg FK-terekre. Legyen (P) egy mátrixtulajdonság (pl.nem szummáz korlátos divergens sorozatot), és tegyük föl, hogy sikerül valamely, az alábbihoz hasonló tételt igazolnunk:

A pontosan akkor rendelkezik (P)-vel, ha c_{A}(vagy s_{A}, vagy A : X(A) → Y (A) mint lineáris operátor, ahol X(A), Y (A) A-ból definiált FK-terek) rendelkezik (Q)-val.

Itt (Q) valamely tulajdonság (az említett példában c_{A} ∩ l_{∞} ⊂ c). Ez esetben elfeledkezhetünk a mátrixokról, és nekikezdhetünk az FK-terek és köztük értelmezett lineáris operátorok vizsgálatának valamely (Q) szempont szerint. Ha sikerül bizonyítani, hogy (Q1)→(Q2) valamely FK-terekkel kapcsolatos tulajdonságokra, akkor azonnal konstatálhatjuk, hogy (P1)→(P2), ahol (P1), (P2) a (Q1), (Q2)-nek megfelelő mátrixtulajdonságok. Emellett jóleső érzéssel nyugtázhatjuk, hogy többet bizonyítottunk, hiszen számos olyan FK-tér van, melyeket nem mátrixokból származtatunk. Némi szerencsével kiderülhet, hogy a (Q1)→(Q2) implikációnak a szummációelméleten kívüli alkalmazásai is vannak. A dolgozat későbbi fejezeteiben látni fogjuk, hogy ténylegesen ez a helyzet; számos, mátrixokra ismert eredmény átvihető FK-terekre. Az alábbiakban néhány egyszerű összefüggést adunk meg a mátrixok és a sorozatterek világa között.

3.2.0.Definíció Egy X FK-teret konzervatívnak mondunk, ha c ⊂ X.

3.2.1.Tétel A pontosan akkor konzervatív, ha c_{A} konzervatív.

Bizonyítás: Ez nyilvánvaló.♠

3.2.2.Definíció Egy X konzervatív FK-térről azt mondjuk, hogy konull, ha P_{n}(e) → e gyengén (azaz (σ(X, X′))). X koreguláris, ha nem konull.

3.2.3.Tétel Ha A egy konzervatív mátrix, c_{A} pontosan akkor konull, ha A konull. Bizonyítás: Ha c_{A} konull, akkor bármely f ∈ c_{A}′ esetén

f(e) = ∑_{i} f(e_{i}).

Speciálisan (1.0.3) figyelembevételével

0 = lim_{A}(e) − ∑_{i} lim_{A}(e_{i}) = χ_{A},

azaz A konull.

Megfordítva, a (3.0.14)-ben szereplő előállítást használva

(∗) f(e) − ∑_{i} f(e_{i}) = μ · lim_{A}e + ∑_{i} t^{i}(Ae)^{i} + ∑_{k} a^{k}−

− ∑_{k}(μ · lim Ae_{k} + ∑_{i} t^{i}(Ae^{k})^{i} + a^{k}) = μ · χ(A) + ∑_{i} ∑_{k} t^{i}A(i, k) − ∑_{k} ∑_{i} t^{i}A(i, k) = 0,

mert ∑_{k} ∑_{i} |t^{i}A(i, k)| ≤ ∥t∥_{1} · sup_{n} ∥A(n, ·)∥_{1} < ∞, hiszen A konzervatív és abszolút konvergens sorok esetén szabad szummát cserélni. ♠

3.2.4.Tétel Legyenek X ⊂ Y FK-terek. Ha X konull, akkor Y konull. Ha X koreguláris és zárt Y -ban, akkor Y is koreguláris.

Bizonyítás: Az X → Y beágyazó leképezés folytonos (3.0.3) szerint. (2.0.6) miatt gyengén (σ(X, X′) → σ(Y, Y′)) is folytonos. Innen a konullitás definícióját figyelembe véve az első állítás adódik. Ha X zárt Y -ban,akkor a beágyazás homeomorfizmus (3.0.3) szerint, akkor inverze folytonos, tehát gyengén folytonos, így ha Y konull, akkor X is az.♠

3.2.5.Következmény Ha c ⊂ X zárt valamely X FK-térben akkor X koreguláris, speciálisan l_{∞} koreguláris.

Bizonyítás: c = c_{I}, az identitásmátrix pedig koreguláris, másrészt c zárt l_{∞}-ben.♠ 3.2.6.Tétel Egy Z konull FK-tér tartalmaz végtelen sok olyan nemkorlátos sorozatot,

melyek bármely nemtriviális lineáris kombinációja nemkorlátos.

Bizonyítás: Az előző Következményből tudjuk, hogy c nem zárt X-ben. Tegyük fel, hogy az állítás hamis. X = Z ∩ l_{∞} egy FK-tér, mely (3.1.5) és az indirekt föltevés miatt zárt Z-ben. Ekkor c ⊂ X ⊂ l_{∞}, s (3.0.13) szerint c zárt X-ben. Innen zárt Z-ben is, ellentmondásra jutottunk.♠

A fenti tétel (1.3.6) erős általánosítása.

3.2.7.Definíció Egy X konzervatív FK-teret tökéletesnek mondunk, ha c̄ = X, ahol ¯ az X-beli lezárás. A c̄ ⊂ X halmaz az FK-tér tökéletes része.

3.2.8.Tétel Ha A koreguláris, akkor c_{A} tökéletes része tartalmazza az összes c_{A}-beli korlátos sorozatot.

Bizonyítás: Legyen f ∈ c_{A}′,f|c = 0. Akkor a 3.2.3.Tétel (∗) egyenlősége szerint μ = 0, (3.0.14)-ből pedig

f(x) = ∑_{i} g^{i}x^{i}, x ∈ l_{∞} ∩ c_{A}.

Innen g^{i} = f(e_{i}) = 0, vagyis f|(l_{∞} ∩ c_{A}) = 0. A (0.1.17) Hahn-Banach-féle kiterjesztési tételből tehát l_{∞} ∩ c_{A} ⊂ c̄. ♠

3.2.9.Következmény Ha egy konzervatív mátrix szummáz korlátos divergens sorozatot,akkor szummáz nemkorlátos sorozatot.

Bizonyítás: Ha c_{A} ⊂ l_{∞}, akkor (3.0.13) miatt c zárt c_{A}-ban, hisz c ⊂ c_{A} ⊂ l_{∞} és c zárt l_{∞}-ben. (3.2.5) és (3.2.8) szerint c sűrű is c_{A}-ban, így c_{A} = c. Tehát ha egy konzervatív mátrix nem szummáz nemkorlátos sorozatot, akkor nem szummázhat korlátos divergens sorozatot sem.♠

Ezzel beláttuk (1.3.5)-öt. Befejezésül megemlítjük Berg,Crawford és Whitley tételét, mely jellemzi azon konzervatív mátrixokat, melyek nem szummáznak korlátos divergens sorozatot.

3.2.10.Tétel Egy A konzervatív mátrixra c_{A}∩l_{∞} = c pontosan akkor, ha az A : c → c operátor értékkészlete zárt, magja pedig véges dimenziós.

Bizonyítás: Megtalálható [GW]-ben.♠

4.Konzisztencia- és tartalmazási tételek

4.0.M SZEKVENCIÁLIS TELJESSÉGE 4.0.0.Definíció Ha (X, T) egy FK-tér, akkor

W_{X} := {x ∈ X|P_{n}(x) → x (σ(X, X′))},
J_{X} := {x ∈ X|P_{n}(x) → x (T)},
M_{X} := W_{X} ∩ l_{∞}.

Ha x_{n}, x ∈ X ∩ l_{∞}, x_{n} → x (γ) pontosan akkor,ha

x_{n} → x (T) és sup_{n}∥x_{n}∥_{∞} < ∞.

Ezzel egy γ konvergenciastruktúrát definiáltunk.

Ha X egy FK-tér, akkor ρ_{X} (vagy ha X rögzített, egyszerűen ρ) az a topológia l_{1}-en, amit az M_{X}-beli λ(M_{X}, l_{1})-teljesen korlátos halmazok poláris családja generál a (l_{1}, M_{X}) duális párban. (A bilineáris függvény a “kanonikus” koordinátánkénti szorzás.)

4.0.1.Állítás Legyen (X, T) egy FK-tér, melyre ϕ ⊂ X. Akkor az alábbi két kijelentés ekvivalens:

(a) c_{0} ⊂ X

(b) ∑_{i} |f(e_{i})| véges minden f ∈ X′ − re.

Bizonyítás: (a) → (b) A (3.0.3) gondolatmenetét alkalmazva a normatopológia c_{0}- on erősebb, mint T|c_{0}. E szerint f ∈ X′ folytonos (c_{0}, ∥ · ∥_{∞})-n. c_{0} duálisának (0.1.2) karakterizációjából adódik az állítás.

(b) → (a) Legyen i : ϕ → X a természetes beágyazás. (b) szerint f ∈ X′ l_{1} valamely elemével azonosítható. σ(X, X′) szokásos környezetbázisának i-ősképét tekintve világos, hogy i σ(ϕ, l_{1}) → σ(X, X′)-folytonos. (2.0.9)-ből τ(ϕ, l_{1}) → τ(X, X′)-folytonos is. τ(c_{0}, l_{1})|ϕ metrizálható, így szükségképpen megegyezik a τ(ϕ, l_{1}) Mackey-topológiával (0.1.4). Így τ(c_{0}, l_{1}) éppen τ(ϕ, l_{1}) teljessé tétele (ami egyébként közvetlen számolással is igazolható lett volna). Ha i kiterjesztése a teljessé tett térre továbbra is az identitásleképezés, akkor készen vagyunk. Jelölje e kiterjesztést is i. x_{n} → x (τ(c_{0}, l_{1})) esetén x_{n} → x (τ_{s}|c_{0}), persze i(x_{n}) → i(x) (T), de akkor i(x_{n}) → i(x) (τ_{s}|X), és τ_{s} Hausdorff, innen i(x) = x. ♠

Mostantól rögzítünk egy X FK-teret, melyre c_{0} ⊂ X. M_{X} helyett egyszerűen M-et, J_{X} helyett J-t, W_{X} helyett W -t írunk.

4.0.2.Állítás c_{0} ⊂ J ⊂ W

Bizonyítás: A (0.1.10) Frèchet-terek közti zárt gráf tétel szerint az i : c_{0} → X beágyazás ∥ · ∥_{∞} → τ folytonos, mert a (3.0.2) gondolatmenete szerint zárt gráfú; vagyis c_{0} ⊂ J bizonyításáshoz elég belátni, hogy P_{n}(x) → x, x ∈ c_{0} (∥ · ∥_{∞}). Ez a nullsorozat fogalmából nyilvánvaló. J ⊂ W a definíciókból világos. ♠

4.0.3.Állítás Ha x_{n} → x (γ), akkor x_{n} → x (σ(l_{∞}, l_{1})).

Bizonyítás: Legyen B_{r} = {y ∈ l_{∞}| ∥y∥_{∞} ≤ r}. Akkor B_{r} σ(l_{∞}, l_{1})-kompakt a Banach-Alaoglu tételből (0.1.12). Így B_{r}-en ez a topológia megegyezik a gyengébb σ(l_{∞}, ϕ) Hausdorff-topológiával (0.1.20) szerint. Ha x_{n} → x (γ), akkor x_{n} ∈ B_{r}, n ∈ ω valamely r > 0-ra. x_{n} → x (σ(l_{∞}, ϕ)), hisz X egy FK-tér és így koordinátafüggvények véges lineáris kombinációi (vagyis a tekintett duális párokban ϕ elemei) folytonosak a T-re nézve. Mivel σ(l_{∞}, ϕ)|B_{r} = σ(l_{∞}, l_{1})|B_{r}, x_{n} → x (σ(l_{∞}, l_{1})) következik. ♠

4.0.4.Tétel Az alábbi három állítás ekvivalens bármely x ∈ X-re:

(a) x ∈ W ∩ l_{∞}

(b) V an olyan x_{n} ∈ ϕ, n ∈ ω, hogy ∥x_{n}∥_{∞} ≤ ∥x∥_{∞}, és x_{n} → x (τ)

(c) V an olyan x_{n} ∈ c_{0}, n ∈ ω sorozat, hogy x_{n} → x (γ).

Bizonyítás:(a) → (b) Legyen C = {P_{n}(x)|n ∈ ω}. Legyen C a C konvex burka. W definíciója folytán x a C gyenge lezárásában van. Ez ugyanaz, mint a T-lezárás, hiszen konvex halmazról van szó (0.1.21), emellett T metrizálható, ezért van olyan {x_{n}} ⊂ C sorozat, melyre x_{n} → x(τ). P_{n} és a konvex burok lezárásának definíciójából világos, hogy ∥x_{n}∥_{∞} ≤ ∥x∥_{∞}

(b) → (c) Ez triviális.

(c) → (a) A (c) feltételből minden f ∈ (X, T)′-re f(x) = lim_{n→∞} f(x_{n}). A 4.0.2.Állításból f(x_{n}) = ∑_{i} x_{n}^{i}f(e_{i}). A 4.0.3. illetve 4.0.1.Állítások felhasználásával

lim_{n→∞} ∑_{i} x_{n}^{i}f(e_{i}) = ∑_{i} x^{i}f(e_{i}).

Innen x ∈ W;x ∈ l_{∞}, hiszen a (γ)-t úgy definiáltuk. ♠

4.0.5.Definíció Legyen (θ) egy konvergenciastruktúra valamely X vektortéren. Tegyük fel, hogy léteznek olyan μ ≥ μ^{∗} lokálisan konvex vektortopológiák X-en, hogy μ-nek létezik μ^{∗}-zárt halmazokból álló környezetbázisa. Azt mondjuk,hogy θ egy bitopologikus konvergencia, hogyha x_{n} → x (θ) pontosan akkor, ha x_{n} → x (μ^{∗}) és x_{n} egy μ-korlátos sorozat.

4.0.6.Állítás T|M ≤ ∥ · ∥_{∞}|M és γ egy bitopologikus konvergencia.

Bizonyítás: Ha p egy T-folytonos félnorma X-en, akkor a c_{0} → X beágyazás (4.0.2) bizonyítása szerint folytonos, így

p(x) ≤ K∥x∥_{∞}, x ∈ c_{0},

ahol K az x-től független konstans. Ha x ∈ M, akkor (4.0.4) szerint van olyan x_{n} ∈ ϕ, n ∈ ω sorozat, hogy x_{n} → x (T) és ∥x_{n}∥_{∞} ≤ ∥x∥_{∞}. Innen

p(x) = lim_{n→∞} p(x_{n}) ≤ K sup_{n} ∥x_{n}∥_{∞} ≤ K∥x∥_{∞},

vagyis p ∥ · ∥_{∞}-folytonos M-en, T|M ≤ ∥ · ∥_{∞} rögtön adódik. Tekintettel γ definíciójára, elég lenne belátni, hogy a B_{r} ∩ M halmazok T|M-zártak. Először igazoljuk, hogy B_{r} τ_{s}-zárt s-ben. τ_{s} = σ(s, ϕ), tehát (0.1.7) miatt csak azt kell ellenőrizni, hogy T_{i}[B_{r}] ⊂ C zàrt, i ∈ ω, ami triviális. Ezek után X ∩ B_{r} τ_{s}|X-zárt, ahonnan T-zárt, mert ez egy FK-topológia. Akkor persze B_{r} ∩ M T|M-zárt, ahogyan akartuk.♠

4.0.7.Állítás β(M, l_{1}) = ∥ · ∥_{∞}|M

Bizonyítás: β definíciója szerint azt kell igazolni, hogy σ(l_{1}, M) ugyanazokat a korlátos halmazokat definiálja l_{1}-en, mint ∥ · ∥_{∞}. Mivel (4.0.2) szerint c_{0} ⊂ M, elég belátni, hogy σ_{1} := σ(l_{1}, c_{0}) korlátos halmazai σ_{2} := σ(l_{1}, l_{∞})-korlátosak, hiszen a korlátosság fogalma (0.1.22) szerint ugyanaz bármely kompatibilis topológiában. Tegyük fel, hogy F σ_{1}-korlátos, de nem σ_{2}-korlátos. Akkor alkalmas a_{n} ∈ l_{1}, n ∈ ω sorozatra és d ∈ l_{∞} elemre {d(a_{n}) : n ∈ ω} nem korlátos C-ben. Másképpen fogalmazva, az a_{n} ∈ c′_{0} = l_{1} sorozat c_{0}-on korlátos, de az a_{n}(d), n ∈ ω halmaz nem korlátos. A Banach-Steinhaus tétel szerint a_{n} normakorlátos, ám ekkor bármely d ∈ l_{∞} esetén:

sup_{n} |a_{n}(d)| ≤ ∥d∥_{∞} · sup_{n} ∥a_{n}∥_{1},

ami ellentmondás az előzőekkel. ♠

A következő lemma kimondása előtt megjegyezzük, hogy a benne szereplő λ topológia definíciója (0.1.6)-ban található.

4.0.8.Lemma Ha x_{n} ∈ ϕ, n ∈ ω és x_{n} → x (γ), akkor x_{n} → x (λ(M, l_{1})).

Bizonyítás: A 4.0.4.Tétel szerint x ∈ M. Tegyük most föl, hogy az állítás hamis. Akkor létezik olyan sorozat, hogy y_{n} ∈ ϕ, n ∈ ω, y_{n} → x(γ), valamint x-nek egy olyan U λ-környezete, hogy y_{n} ∉ U, n ∈ ω. Legyen sup_{n}∥y_{n}∥_{∞} = M. Mivel y_{n} → x (τ) és τ erősebb, mint a koordinátánkénti konvergencia (ami éppen τ_{s} megszorítását indukálja), fönnáll y_{n}^{j} → x^{j}. Akkor létezik egész számoknak olyan szigorúan növő n_{k}, k ∈ ω sorozata, hogy

|y^{j} − y_{n_{k}}| < \frac{1}{k} , 1 ≤ j ≤ k, k ∈ ω.

Most definiáljuk a z_{n} ∈ ϕ, n ∈ ω sorozatot a következő módon:

z_{0} = 0
1 ≤ j ≤ k : z_{k}^{j} := x^{j}
j > k : z_{k}^{j} = y_{n_{k}}^{j}, k ∈ ω.

Nyilván z_{k} − y_{n_{k}} → 0 (∥ · ∥_{∞}). A 4.0.7.Állításból tudjuk, hogy ∥ · ∥_{∞}|M = β(M, l_{1}). A 4.0.6.Állításból következik, hogy z_{k} − y_{n_{k}} → 0(τ) és a z_{k} konstrukciójából látszik sup_{k}∥z_{k}∥_{∞} ≤ M, tehát z_{k} → x(γ). Az is nyilvánvaló, hogy z_{k} semmilyen részsorozata sem tarthat x-hez λ-ban, mert akkor λ ≤ β miatt y_{n} valamely részsorozata x-hez tartana λ-ban, ami feltevéseink szerint nem lehetséges. Mivel (X, T) Frèchet-tér, topológiáját egy p_{n} monoton nv̈ő félnormacsaládból származtathatjuk. Most definiálunk egy ω-beli szigorúan monoton növő sorozatot:

m_{0} := 0 z_{m_{k}}^{i} = 0, m_{k+1} ≤ i

p_{k}(z_{r} − z_{s}) < \frac{1}{2^{k}}

Ilyen m_{k}, k ∈ ω létezik, hiszen z_{k} ∈ ϕ és z_{k} τ-konvergens, tehát τ-Cauchy.

u_{k} := z_{m_{k+1}} − z_{m_{k}}-t tekintve

∑_{k} p_{n}(u_{k}) < ∞, n ∈ ω.

adódik. (X, T) teljes, vagyis u_{k} bármely v_{k} rśzsorozatára ∑_{k} v_{k} T- konvergens. Az alábbi becslśből kapjuk, hogy a sor γ-ban is konvergens:

| ∑_{k=0}^{n} v_{k}^{i}| ≤ ∑_{k} |u_{k}^{i}| == |z_{m_{j}}^{i}| + |z_{m_{j+1}}^{i} − z_{m_{j}}^{i}| ≤ 3M, ha m_{j} ≤ i < m_{j+1}.

A 4.0.4.Tételből ∑_{k} v_{k} ∈ M. Sőt, ∑_{k} v_{k} σ(M, l_{1})-ben is konvergál a 4.0.3.Lemma szerint. Az Orlicz-Pettis tétel (2.2.4) biztosítja, ∑_{k} u_{k} konvergál λ-ban. Ismét a 4.0.3.Lemmára hivatkozva ∑_{k=0}^{n} u_{k} = z_{m_{k}} → x(σ(M, l_{1})). Akkor a ∑ u_{k} összeg szükségszerűen x a λ topológiában, azaz z_{m_{k}} → x (λ), ami ellentmond z_{n} választásának.♠

4.0.9.Állítás Ha f egy γ-szekvenciálisan folytonos lineáris funkcionál, azaz

{x_{n}}_{n=0}^{∞} ⊂ ϕ, x_{n} → x (γ)

esetén f(x_{n}) → f(x) áll fönn; akkor

f(x) = ∑_{k} l^{k}x^{k}, x ∈ M,

valamely l ∈ l_{1} sorozatra.

Bizonyítás: Legyen l^{i} := f(e_{i}). A 4.0.2.Állítás szerint P_{n}(x) → x (γ) minden x ∈ c_{0}- ra, vagyis ∑_{i} x^{i}f(e_{i}) konvergál. Innen l ∈ l_{1}, a Landau-Toeplitz tétel (0.1.0) változatából. Ha x ∈ M, akkor létezik x_{n} ∈ ϕ, n ∈ ω, x_{n} → x (γ) sorozat, ez a 4.0.4.Tétel tartalma. A 4.0.3.Lemma szerint

f(x) = lim_{n→∞} f(x_{n}) == lim_{n→∞} ∑_{k=0}^{∞} l^{k}x_{n}^{k} = ∑_{k} l^{k}x^{k},

ahogyan akartuk. Megjegyezzük, hogy az utolsó lépésben fölhasználtuk, hogy ϕ elemeinek csak véges sok nemnulla koordinátája van.♠

4.0.10.Állítás (l_{1}, ρ(l_{1}, M)) teljes TVT.

Bizonyítás: Legyen f egy lineáris funkcionál M-en, aminek a λ(W ∩ l_{∞}, l_{1})-teljesen korlátos halmazokra való megszorításai λ-folytonosak. Grothendieck teljességi tétele (2.1.2) szerint elég megmutatni, hogy f megfeleltethető valamely l ∈ l_{1}-nek, ahol l_{1}-et mint M algebrai duálisának alterét tekintjük. A 4.0.8.Lemma szerint f(x_{n}) → f(x) valahányszor x_{n} ∈ ϕ, n ∈ ω és x_{n} → x (γ). A 4.0.9.Állításból készen vagyunk.♠

4.0.11.Tétel (l_{1}, σ(l_{1}, M)) szekvenciálisan teljes.

Bizonyítás: Legyen K ⊂ l_{1} σ(l_{1}, M)-kompakt. ρ definíció szerint a λ-teljesen korlátos halmazok generálta poláris topológia, így Grothendieck felcserélési tétele (2.1.6) és λ definíciója miatt K ρ-teljesen korlátos. A 4.0.10.Állításból tudjuk, hogy ρ teljes, ezért K ρ-relatív kompakt. σ ≤ ρ miatt ρ|K̄ = σ|K̄ (0.1.20) szerint, ahol K̄ a K ρ-lezárása. Tekintsünk most egy σ-konvergens sorozatot, u_{n}, n ∈ ω-t. Az {u_{n}|n ∈ ω} ∪ {lim u_{n}} halmaz nyilván σ-kompakt, így a korábbiak szerint u_{n} ρ-konvergens. (0.1.14)-ből ρ és σ Cauchy-sorozatai is ugyanazok. Innen a tétel állítása adódik.♠

4.0.12.Állítás M ≠ c

Bizonyítás: Azt igazoljuk, hogy ν := σ(l_{1}, c) nem szekvenciálisan teljes. e_{i} ∈ l_{1}, i ∈ ω és bármely d ∈ c-re d(e_{i}) = d^{i} konvergens. Tehát e_{i} ν-Cauchy. Nyilván e_{i} → 0 (σ(l_{1}, c_{0})), hisz ekkor d^{i} → 0 minden d ∈ c_{0} esetén. Tételezzük fel, hogy e_{i} → u (ν) valamely u ∈ Mre. Akkor a fenti észrevétel szerint u nem lehet más, mint 0, hiszen a σ(l_{1}, c_{0}) Hausdorfftopológia gyengébb, mint ν. Ekkor azonban e(e_{i}) = 1 → 0, i → ∞, ami képtelenség.♠

4.0.13.Tétel M-en az alábbi három konvergenciastruktúra megegyezik:

(1) (γ)
(2) (τ(M, l_{1}))
(3) (λ(M, l_{1})).

Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy ebben a bizonyításban kivételesen szakítunk egyik konvenciónkkal, és x_{n}^{m}-el nem az x_{n} m-edik koordinátáját jelöljük. Definíció szerint τ ≤ λ. Másrészt Wiweger egy tétele szerint ( lásd.[Wiw]-ben) minden bitopologikus konvergenciához van olyan lokálisan konvex topológia, melynek éppen ő a konvergenciastruktúrája. Legyen a γ-t származtató topológiák egyike γ̄. (4.0.9) szerint e topológia duális tere szűkebb l_{1}-nél, így γ̄ ≤ τ(M, l_{1}). Nyilván készen leszünk, ha megmutatjuk, hogy a γkonvergens sorozatok nincsenek többen,mint a λ-konvergens sorozatok. E célból tegyük fel indirekte, hogy valamely {x_{n}}_{n=0}^{∞} ⊂ M sorozatra. x_{n} → x (γ), de valamely U abszolút konvex λ-környezetre a sorozat az x+U halmazon kívül halad. Válasszunk olyan, a (4.0.4) szerint létező x_{n}^{m} ∈ ϕ sorozatokat,hogy

x_{n}^{m} → x_{n} (γ), m → ∞, x_{n}^{m} ∈ ϕ, n, m ∈ ω

sup_{m} ∥x_{n}^{m}∥_{∞} ≤ ∥x_{n}∥_{∞}.

A 4.0.8.Lemma szerint ekkor

lim_{m→∞} x_{n}^{m} = x^{n} (λ), n ∈ ω.

Ha az X FK-topológiáját adó (egyik) metrikát d jelöli,akkor van olyan szigorúan növő {m_{n}}_{m=0}^{∞} ⊂ ω sorozat,hogy

x_{n} − x_{n}^{m_{n}} ∈ \frac{1}{2}U,

d(x_{n}, x_{n}^{m_{n}}) ≤ \frac{1}{n},

Akkor nyilván d(x, x_{n}^{m_{n}}) → 0, hiszen d(x_{n}, x) → 0. Hasonlóan

sup_{n} ∥x_{n}^{m_{n}}∥_{∞} ≤ sup_{n,m} ∥x_{n}^{m}∥_{∞} ≤ ∥x_{n}∥_{∞} < ∞,

vagyis x_{n}^{m_{n}} → x (γ), a 4.0.8.Lemma miatt x_{n}^{m_{n}} → x (λ). Ekkor valamely k-ra:

x − x_{k}^{m_{k}} ∈ \frac{1}{2}U,

tehát x_{k} ∈ U, ami ellentmond feltevésünknek. ♠

4.1.TARTALMAZÁSI TÉTELEK

4.1.0.Lemma Az alábbi feltételek ekvivalensek:

(a) c_{0} zárt (X, T) − ben
(b) M = c_{0}.

Bizonyítás: (a) → (b) Definíció szerint W ⊂ ϕ̄ (X, T)-ben, így W ⊂ c_{0}, mert c_{0} zárt. Az ellenkező irányú tartalmazás a 4.0.2.Állítás. Innen (b) igaz. (Sőt, W = c_{0}.)

(b) → (a) Ekkor τ(M, l_{1}) = τ(c_{0}, l_{1}), ami a normatopológia c_{0}-on. A 3.0.3.Következmény szerint T megszorítása gyengébb, mint ez a normatopológia, és pontosan akkor egyenlőek, ha c_{0} zárt (X, T)-ben. Tegyük fel, hogy T|c_{0} < ∥ · ∥_{∞}. Akkor létezik olyan sorozat, u_{n} ∈ c_{0}, n ∈ ω, hogy u_{n} → 0 (T) de ∥u_{n}∥ = 1 minden n-re. Innen u_{n} → 0 (γ). Azonban a 4.0.13.Tétel szerint a γ-konvergencia M = c_{0}-on ugyanaz, mint (τ(M, l_{1})) , vagyis a normakonvergencia. Ez ellentmondás.♠

Mostantól nemcsak az X rögzített FK-térrel dolgozunk, ezért ismét kiírjuk az M, W halmazok alsó indexeit (ld. a 4.0.0.Definíciót).

4.1.1.Lemma Ha E, F FK-terek, E zárt E + F -ben, ahol az összeget (3.1.0) szerint topologizáltuk, akkor E ∩ F zárt F -ben.

Bizonyítás:A (3.1.0) igazolása során kiderült, hogy az i : F → E + F beágyazás folytonos. Jelölje \overline{E ∩ F}^{F} az E ∩ F F-beli lezárását. Akkor

\overline{E ∩ F}^{F} ⊂ \overline{E ∩ F}^{E+F} ∩ F ⊂ E ∩ F,

amiből a lemma állítása adódik. ♠

4.1.2.Tétel(Meyer-König—Zeller) Ha X egy FK-tér és c_{0} ∩X nem zárt X-ben, akkor X tartalmaz korlátos divergens sorozatot.

Bizonyítás: Az előző lemma szerint c_{0} nem zárt c_{0} +X-ben. Akkor a 4.1.0.Lemmából adódik, hogy c_{0} valódi részhalmaza W_{c_{0}+X} ∩ l_{∞}-nek. Ha belátjuk, hogy M nem lehet c, akkor készen vagyunk, hisz c_{0} 1-kodimenziós c-ben. Ez viszont éppen a 4.0.12.Állítás. ♠

4.1.3.Következmény Ha X egy konzervatív FK-tér és c nem zárt X-ben, akkor X tartalmaz korlátos divergens sorozatot.

Bizonyítás: c_{0} sem zárt X-ben, hiszen egy zárt és egy véges dimenziós altér összege zárt, s így c is zárt lenne. Így az előző tételből következik állításunk. ♠

(3.2.5) figyelembevételével kiderül,hogy egy konull FK-térben c nem lehet zárt. Ezért egy konull mátrix szummáz korlátos divergens sorozatot, igazoltuk (1.3.6)-ot. (3.2.9) szerint akkor szummáz nemkorlátos sorozatot is, amit már (3.2.6)-ban bizonyítottunk, méghozzá erősebb formában.

Sok más Meyer-König–Zeller-típusú eredmény létezik. Itt illusztrációként bemutatunk néhányat.

4.1.4.Tétel Legyen X egy FK-tér.Akkor

(1) X ∩ l_{∞} ⊂ c_{0} esetén X ∩ c_{0} zárt X−ben,

(2) X ∩ c_{0} ⊂ bv_{0} esetén X ∩ bv_{0} zárt X−ben,

(3) X ∩ cs ⊂ l_{1} esetén X ∩ l_{1} zárt X−ben,

(4) 1 ≤ p < q < ∞ és X ∩ l_{q} ⊂ l_{p} esetén X ∩ l_{p} zárt X−ben.

Bizonyítás: (1) éppen a 4.1.3.Következmény. (2), (3) és (4) közös általánosítása megtalálható [Sn1]-ben. ♠

4.1.5.Tétel Legyen (X, T) egy FK-tér mely tartalmazza c_{0}-t. Legyen (Y, S) egy szeparábilis FK-tér, melyre W_{X} ∩ l_{∞} ⊂ Y.Akkor W_{X} ∩ l_{∞} ⊂ W_{Y}.

Bizonyítás: Tekintsük az i : M_{X} → Y beágyazó leképezést. Ez nyilván folytonos, hogyha mindkét vektorteret τ_{s} megszorításával látjuk el. Akkor i szükségképpen τ_{s}|M_{X} → τ_{s}|Y zárt gráfú (0.1.10). Állítjuk, hogy i zárt gráfú ν := τ(M_{X}, l_{1}) → S, mivel ezek a topológiák erősebbek τ_{s}-nél. Ez S-re igaz, mert Y egy FK-tér, másrészt (0.1.15) szerint τ_{s} = σ(s, ϕ), ennek M_{X}-re vett leszűkítése durvább, mint ν, mert ϕ ⊂ l_{1} és egy Mackey topológia mindig erősebb, mint az ugyanazon duálishoz tartozó gyenge topológia. A 4.0.9.Tétel szerint (M_{X}, ν) duálisa gyenge-∗ szekvenciálisan teljes. (2.3.4) figyelembevételével (Y, S) egészen teljes. Emiatt Kalton zárt gráf tétele (2.3.3) alkalmazható; tehát i folytonos ezen topológiákra nézve. (2.0.6) szerint i gyengén folytonos. Vagyis ha P_{n}(x) → x (σ(M_{X}, l_{1})) M_{X}-ben, akkor P_{n}(x) → x (σ(Y, Y′)). W_{Y} definícióját szem előtt tartva készen leszünk, ha belátjuk, hogy P_{n}(x) → x (σ(M_{X}, l_{1})) minden x ∈ M_{X} esetén. Vagyis igazolandó, hogy bármely l ∈ l_{1}-re:

l(x − P_{n}(x)) = ∑_{i=n+1}^{∞} l^{i}x^{i} → 0, n → ∞.

Ez pedig magától értetődik, hiszen x korlátos sorozat.♠

4.1.6.Következmény Legyen X egy konull FK-tér, Y egy szeparábilis FK-tér. Ekkor X ∩ l_{∞} ⊂ Y esetén Y konull.

Bizonyítás: P_{n}(e) → e (σ(X, X′)), vagyis e ∈ W_{X}. Az előző tételből e ∈ W_{Y}, azaz P_{n}(e) → e (σ(Y, Y′)). ♠

4.1.7.Következmény Ha Y egy szeparábilis FK-tér, l_{∞} ⊂ Y, akkor Y konull. Bizonyítás: Az előző Következmény feltételei teljesülnek pl.X := s választással. ♠ (3.2.3) és (3.0.12) figyelembevételével a fenti Következmények általánosítják (1.3.1)-et

és (1.3.7)-et. 4.2.A MAZUR-ORLICZ TÉTEL 4.2.0.Lemma Legyen A egy mátrix,melyre c_{0} ⊂ c_{A}, x ∈ c_{A} ∩ l_{∞}. x ∈ W_{c_{A}} pontosan

akkor,ha lim_{A}x = ∑_{i} a^{i}x^{i},ahol a^{i} az A i-edik oszlopának limesze.

Bizonyítás: Az (1.0.3) bizonyítása szerint az oszlopok valóban konvergensek. Legyen x ∈ W = W_{c_{A}}, és alkalmazzuk W definícióját a lim_{A} funkcionálra, mely (3.0.14) szerint eleme c′_{A}-nak. Azt kapjuk, hogy

lim_{A}x = ∑_{k} x^{k}lim_{A}e_{k} = ∑_{k} x^{k}a^{k},

ahogyan akartuk. Megfordítva,ha

(∗) ∑_{k} x^{k}a^{k} = lim_{A}x,

akkor bármely f ∈ c′_{A} esetén (3.0.14) szerint

f(x) = χ · lim_{A}x + ∑_{k} g^{k}x^{k}

valamely g ∈ s-re. (∗) figyelembevételével:

f(x) = χ · ∑_{k} x^{k}a^{k} + ∑_{k} x^{k}g^{k} = ∑_{k} x^{k}(χa^{k} + g^{k}) == ∑_{k} x^{k}f(e_{k}),

ami azt jelenti, hogy x ∈ W. ♠

4.2.1.Tétel Legyenek A, B ∈ [c_{0}, c] mátrixok úgy, hogy M_{c_{A}} ⊂ c_{B}. Akkor igazak az alábbiak:

(i) lim_{B} σ := σ(M_{c_{A}}, l_{1}) − folytonos funkcionál.

(ii) lim_{B}x = ∑_{i} r^{i}x^{i}, x ∈ M_{c_{A}},

ahol r^{i} a B i-edik oszlopának limesze.

(iii) M_{c_{A}} ⊂ W_{c_{B}}.

Bizonyítás: (i) Legyen r_{i} a B i-edik sora. (4.0.2) szerint c_{0} ⊂ c_{B}, akkor a Landau-Toeplitz (0.1.0) tétel szerint r_{i} ∈ l_{1}. Mivel M_{c_{A}} ⊂ c_{B}, ezért r_{i}, i ∈ ω σ(l_{1}, M_{c_{A}})-Cauchy, és (4.0.11) szerint r_{i} → r (σ(l_{1}, M_{c_{A}})) valamely r ∈ l_{1}-re. Ekkor

lim_{B}x = lim_{i→∞} r_{i}(x) = r(x),

ami lim_{B} folytonosságát igazolja,hisz r ∈ l_{1}.

(ii) Az, hogy az r_{i}-k léteznek, (i) bizonyításából látszik, sőt, az is adódik, hogy lim_{B}x_{k} = ∑_{i} r^{i}x^{i}, hiszen l_{1} elemei éppen így hatnak M_{c_{A}}-n.

(iii) Ez (4.2.0) és (ii) közvetlen folyománya. ♠

Most belátjuk a Mazur-Orlicz tétel egy erős alakját, (1.2.2) általánosítását.

4.2.2.Tétel Ha A, B koreguláris mátrixok, lim_{A}|c = lim_{B}|c, valamint c_{A} ∩ l_{∞} ⊂ c_{B}, akkor A, B korlátosan konzisztensek.

Bizonyítás: Legyen z ∈ c_{A} ∩ l_{∞}. Előszor tekintsük azt az esetet, amikor lim_{A}z = ∑_{k} z^{k}a^{k}, ahol a^{k} az A k-adik oszlopának limesze,mely nyilván létezik, hisz A konzervatív. Ekkor z ∈ W_{c_{A}} (4.2.0) szerint. A (4.2.1) (iii) pontját felhasználva ismét csak (4.2.0)-ból adódik,hogy

lim_{B}z = ∑_{k} z^{k}b^{k}.

Azonban a^{k} = lim_{A}e_{k} = lim_{B}e_{k} = b^{k} a feltevések szerint,mert e_{k} ∈ c, k ∈ ω. Általános z esetén legyen

t(z) := \frac{lim_{A}z − ∑_{k} a^{k}z^{k}}{lim_{A}e − ∑_{k} a^{k}e^{k}} ,

ahol persze e^{k} = 1, k ∈ ω, mert e minden koordinátája 1. Ez utóbbi kifejezés értelmes, mert a nevezőben lévő szám éppen az a χ ami (1.0.3)-ban fellép, s a koregularitás az (1.0.4) definíció szerint éppen azt jelenti, hogy χ ≠ 0! Legyen y := z − t(z)e, erre persze

lim_{A}y = ∑_{k} a^{k}y^{k},

tehát az előző esetből lim_{A}y = lim_{B}y. Mivel a feltevések szerint A, B konzisztensek c-n és e ∈ c, ezért lim_{A}z = lim_{B}z, vagyis a tételt teljesen bebizonyítottuk. ♠

A 4.2.2.Tétel bizonyításban nyilvánvalóan használhattuk volna (4.2.1) (iii) pontja helyett az erősebb 4.1.5.Tételt, a fenti módon azonban elkerülhető a Kalton-tétel használata.

5.További eredmények a funkcionálanalízisből

5.0.NÉHÁNY TOPOLÓGIAI MEGFONTOLÁS

5.0.0.Lemma Megszámlálható sok szeparábilis topologikus tér topologikus szorzata szeparábilis. Egy szeparábilis metrikus tér bármely altere szeparábilis.

Bizonyítás: Lásd [Dug]-ot és [Be1] 199.oldalát.♠

5.0.1.Lemma Ha X_{n}, n ∈ ω LKT-k olyan sorozata, hogy minden i-re (X′_{i}, β(X′_{i}, X)) szeparábilis, akkor a Z := ×_{i}X_{i} topologikus szorzatra (Z′, β(Z′, Z)) szeparábilis.

Bizonyítás: Megtalálható [Be1] 200. oldalán. ♠

5.0.2.Lemma Legyen X olyan LKT, hogy (X′, β(X′, X)) szeparábilis. Akkor bármely Y ⊂ X alterére (Y′, β(Y′, Y)) szeparábilis.

Bizonyítás: Legyen G egy megszámlálható β(X′, X)-sűrű halmaz X′-ben. Ha f ∈ Y′, akkor legyen f̄ a (0.1.17) szerint létező (egyik) kiterjesztése X-re. Akkor valamely {g_{δ}, δ ∈ Δ} ⊂ G általánosított sorozatra g_{δ} → f̄ (β(X′, X)). Vagyis bármely H ⊂ X σ(X, X′)-korlátos halmazon g_{δ}|H → f̄|H egyenletesen. Egy H ⊂ Y halmaz azonban pontosan akkor σ(X, X′)-korlátos, ha σ(Y, Y′)-korlátos, megint csak (0.1.17) miatt! Tehát g_{δ}|Y → f̄ (β(Y′, Y)), vagyis a G_{Y} := {g|Y : g ∈ G} halmaz egy megszámlálható β(Y′, Y)- sűrű halmaz Y′-ben.♠

5.0.3.Tétel Bármely A mátrixra c_{A} egy szeparábilis FK-tér, melyre c′_{A} szeparábilis az erős topológiában.

Bizonyításvázlat: (3.0.12)-t és előzményeit figyelmesen végigkövetve látható, hogy c_{A} FK-topológiáját az alábbi félnormák családja generálja:

x → |x^{i}|, i ∈ ω,

x → sup_{n} | ∑_{j=0}^{n} A(i, j)x^{j}|, i ∈ ω,

x → ∥Ax∥_{∞}.

Mivel Ax ∈ c, x ∈ c_{A}, ezért az

x → (x, {∑_{j=0}^{n} A(0, j)x^{j}}_{n=0}^{∞}, {∑_{j=0}^{n} A(1, j)x^{j}}_{n=0}^{∞}, …, Ax)

leképezés egy lineáris homeomorfizmus c_{A} és az s × c^{ω} × c topologikus szorzat egy altere között. Így az (5.0.0),(5.0.1) és (5.0.2) eredményekből következik az állítás.♠

5.1.ÚJABB TARTALMAZÁSI TÉTELEK 5.1.0.Lemma Legyenek c_{0}, ..., c_{n} ∈ C; akkor

sup_{J∈N} | ∑_{i∈J} c_{i}| ≥ \frac{1}{6} · ∑_{i=1}^{n} |c_{i}|,

ahol N jelöli a {0, 1, 2, ..., n} halmaz összes részhalmazainak rendszerét.

Bizonyítás: Lásd [Wi1] 235.oldalát.♠

Emlékeztetünk arra, hogy a véges értékkészletű sorozatok vektorterét m-el jelöljük. 5.1.1.Tétel Ha X egy szeparábilis FK-tér, melyre ϕ ⊂ X és m ⊂ X + c_{0}, akkor

l_{∞} ⊂ X.

Bizonyítás: A feltevés szerint m ⊂ (X ∩ l_{∞}) + c_{0}, innen X ∩ l_{∞} sűrű l_{∞}-ben a normatopológia szerint. Most megmutatjuk, hogy σ(l_{1}, X∩l_{∞}) és ∥·∥_{1} konvergens sorozatai ugyanazok. Az utóbbi topológia erősebb, így elég megmutatni, hogy az

(∗) a_{n} → 0 σ(l_{1}, X ∩ l_{∞}), inf_{n} ∥a_{n}∥_{1} = 1

indirekt föltevés ellentmondásra vezet. Rekurzívan definiáljunk m^{k}, n^{k} ∈ ω, k ∈ ω sorozatokat úgy, hogy m_{k} < n_{k} < m_{k+1}, 1 ≤ k teljesüljön. Legyen m_{0} = n_{0} = 0 és tegyük fel, hogy n_{0}, n_{1}, ..., n_{k−1}, m_{0}, m_{1}, ..., m_{k}-t már megadtuk, legyen most n_{k} olyan, hogy

(∗∗) ∑_{i=1}^{m_{k}} |a_{n_{k}}^{i}| < \frac{1}{k} ,

ilyen létezik, hiszen legyen G azon sorozatok halmaza, melyeknek első m_{k} koordinátája egységnyi abszolút értékű komplex szám, többi koordinátája 0. G ⊂ ϕ ⊂ X ∩ l_{∞} nyilván igaz, így (∗)-ból, és abból, ahogyan G ⊂ l_{∞} elemei hatnak l_{1}-en, látható, hogy elég nagy n_{k}-ra (∗∗) tényleg igaz lesz. Ha k < 19, akkor legyen m_{k+1} > n_{k} tetszőleges, különben válasszunk olyan m_{k+1} > n_{k}-t, hogy

∑_{i=m_{k}+1}^{m_{k+1}} |a_{n_{k}}^{i}| > \frac{18}{19}∥a_{n_{k}}∥_{1}

fönnáljon, ez (∗), (∗∗) miatt elérhető. Vegyük észre, hogy a konstrukciót minden k-ra elvégezve, 19 ≤ k esetén

∑_{i=m_{k+1}+1}^{∞} |a_{n_{k}}^{i}| < \frac{1}{19}∥a_{n_{k}}∥_{1}.

Most definiálunk egy x ∈ m sorozatot. Ha m_{k} < i ≤ m_{k+1}, akkor válasszuk meg x^{i}-t úgy, hogy

\frac{1}{6} ∑_{i=m_{k}+1}^{m_{k+1}} |a_{n_{k}}^{i}| ≤ | ∑_{i=m_{k}+1}^{m_{k+1}} x^{i}a_{n_{k}}^{i}|

teljesüljön, ez az 5.1.0.Lemma miatt lehetséges. x = y + z legyen egy olyan felbontás, melyre y ∈ X ∩ l_{∞}, z ∈ c_{0}, k pedig olyan, hogy |z^{j}| < \frac{1}{19}, m_{k} ≤ j. Akkor k > 19 esetén

|y(a_{n_{k}})| = | ∑_{i} y^{i}a_{n_{k}}^{i}| ≥ | ∑_{i=m_{k}+1}^{m_{k+1}} x^{i}a_{n_{k}}^{i}| − ∑_{i=0}^{m_{k}} |x^{i}a_{n_{k}}^{i}| − ∑_{i=m_{k+1}+1}^{∞} |x^{i}a_{n_{k}}^{i}|−

− ∑_{i=0}^{m_{k}} |z^{i}a_{n_{k}}^{i}| − ∑_{m_{k}+1}^{∞} |z^{i}a_{n_{k}}^{i}| ≥ \frac{1}{6} · \frac{18}{19}∥a_{n_{k}}∥_{1} − \frac{1}{k} − \frac{∥a_{n_{k}}∥_{1}}{19} − \frac{∥z∥_{∞}}{k} − \frac{∥a_{n_{k}}∥_{1}}{19} ,

vagyis

lim inf_{k→∞} |y(a_{n_{k}})| ≥ \frac{1}{19} > 0,

azaz (∗)-al ellentmondásra jutottunk. Most (0.1.14.) és Garling (2.2.0) tétele miatt a σ(l_{1}, X ∩ l_{∞}) és az ∥ · ∥_{1} topológiák Cauchy-sorozatai és kompakt halamazai ugyanazok. Ebből σ szekvenciálisan teljes. Ismeretes, hogy egy duális pár esetében a Mackey-topológia egy környezetbázisát a duális tér abszolút konvex és gyenge-∗ kompakt halmazainak polárisaként állíthatjuk elő. Tudjuk azt is, hogy σ(l_{1}, l_{∞})-ben és ∥ · ∥_{1}-ben a konvex halmazok lezárása ugyanaz (0.1.21)-ből, így

τ(X ∩ l_{∞}, l_{1}) = τ(l_{∞}, l_{1})|X ∩ l_{∞}.

A már ismert érvelés szerint az

i : (X ∩ l_{∞}, τ(X ∩ l_{∞}, l_{1})) → (X, T)

beágyazó leképezés zárt gráfú, így Kalton (2.3.3) tételéből folytonos. Mivel τ(l_{∞}, l_{1}) éppen τ(X ∩ l_{∞}, l_{1}) teljessé tétele, ezért i kiterjed l_{∞}-re. jelölje ezt a kiterjesztést ī. Ha ez még mindig az identitásleképezés, akkor készen leszünk, hiszen ekkor l_{∞} ⊂ X. Vegyük észre, hogy ī s bizonyos alterei közti lineáris operátor. Legyen v ∈ l_{∞}, v_{n} ∈ X ∩ l_{∞}, n ∈ ω és v_{n} → v (∥ · ∥_{∞}). Akkor v_{n} → v (τ_{s}). Másrészt ī(v_{n}) → ī(v) (T), s mivel T egy FK-topológia, ī(v_{n}) → ī(v) (τ_{s}). Mivel τ_{s} Hausdorff, ī(v) = v, ezt kellett bizonyítanunk.♠

5.1.2.Tétel Legyen Y egy szeparábilis FK-tér, melyre ϕ ⊂ Y. Tegyük fel, hogy Y ∩l_{∞} sűrű (l_{∞}, ∥ · ∥_{∞})-ben. Akkor l_{∞} ⊂ Y.

Bizonyítás: Legyen (X, T) := Y +c_{0}. A 3.1.1.Következmény szerint ez egy szeparábilis FK-tér, melyre X ∩ l_{∞} sűrű l_{∞}-ben. Megmutatjuk, hogy σ(l_{1}, X ∩ l_{∞}) és ∥ · ∥_{1} konvergens sorozatai ugyanazok. Ha ez nem így volna, létezne {a_{n}}_{n=0}^{∞} ⊂ l_{1} sorozat, melyre a_{n} → 0 (σ(l_{1}, X∩l_{∞})), de ∥a_{n}∥ ≥ 1, n ∈ ω. Nyilván a_{n} → 0 (σ(l_{1}, c_{0})), akkor a_{n}, n ∈ ω σ(l_{1}, c_{0})- korlátos, de akkor ∥ · ∥_{1}-korlátos is (4.0.7) érvelése szerint, F := sup_{n} ∥a_{n}∥. Legyen x ∈ l_{∞} tetszőleges.

∑_{i=N}^{K} a_{n}^{i}x^{i} = ∑_{i=N}^{K} a_{n}^{i}(x^{i} − u^{i}) + ∑_{i=N}^{K} a_{n}^{i}u^{i} < (\frac{ϵ}{2F} · F) + \frac{ϵ}{2} = ϵ

igaz akkor, ha u ∈ X∩l_{∞} olyan, hogy ∥u−x∥_{∞} < \frac{ϵ}{2F}, és N < K elég nagyok. Innen adódik, hogy a_{n} egy σ(l_{1}, l_{∞})-Cauchy sorozat, így (2.2.1) szerint ∥·∥_{1}-Cauchy, vagyis a_{n} → a (∥·∥_{1}) valamely a ∈ l_{1}-re. Akkor a_{n} → a (σ(l_{1}, X ∩ l_{∞})), mert ez egy gyengébb topológia. Azonban ϕ ⊂ X miatt ez utóbbi topológia szeparált, tehát a = 0, ami ellentmond feltevéseinknek. Az előző tétel bizonyításához hasonlóan (2.2.0) Tétel felhasználásával levonhatjuk a következtetést, hogy

τ(X ∩ l_{∞}, l_{1}) = τ(l_{∞}, l_{1})|X ∩ l_{∞},

valamint az l_{1} normatopológiájának teljessége miatt σ(l_{1}, X ∩ l_{∞}) szekvenciálisan teljes. Az

i : X ∩ l_{∞} → X

beágyazó leképezés a már többször használt érveléssel Kalton (2.3.3) zárt gráf tétele szerint τ(X ∩ l_{∞}, l_{1}) → T- folytonos. Ha most x ∈ l_{∞}, akkor elemi számolással

P_{n}(x) → x (τ(l_{∞}, l_{1})),

így P_{n}(x) τ(X ∩ l_{∞}, l_{1})-Cauchy, innen i(P_{n}(x)) = P_{n}(x) T-Cauchy X-ben, X teljes, így e sorozat tart valamihez, de ez nem lehet más, mint x. Azaz x ∈ X. Innen

l_{∞} ⊂ X = Y + c_{0},

tehát az 5.1.1.Tételből l_{∞} ⊂ Y. ♠ 5.1.3.Következmény Ha X egy szeparábilis FK-tér, melyre m ⊂ X, akkor l_{∞} ⊂ X. Bizonyítás: Azt kell csak észrevenni, hogy m sűrű (l_{∞}, ∥ · ∥_{∞})-ben.♠ Innen persze már következik (1.3.0) állítása.

5.2.HORDÓ TEREK

Ebben a részben a hordó-terek elméletének felhasználásával tetszőleges X FK-térre általánosítjuk (5.1.3)-at.

5.2.0.Tétel(G.Bennett és N.J.Kalton) Legyen (Y, p) egy Frèchet-tér, S egy sűrű altere. Akkor az alábbiak ekvivalensek:

(a) S hordó-tér a relatív topológiával.

(b) Bármely X ⊂ Y, (X, T) lokálisan konvex Frèchet-térre, melyre S ⊂ X és T ≥ p|X igazak; X = Y teljesül.

Bizonyítás: Megtalálható [Wi1] 253.oldalán.♠

5.2.1.Tétel Ha Y egy FK-tér, S pedig sűrű altere, akkor S pontosan akkor hordó-tér, ha bármely X FK-térre S ⊂ X-ből következik Y ⊂ X.

Bizonyítás: Elegendőség: Ha a feltétel teljesül, akkor speciálisan (5.2.0) (b) része is igaz, tehát (a) igaz, vagyis S hordó-tér.

Szükségesség: (3.0.9) szerint X ∩ Y egy FK-tér, (3.0.3) szerint topológiája erősebb, mint Y relatív topológiája. Ha S hordó-tér, akkor (5.2.0)-ban (a) teljesül, így (b) is, az előző észrevételek szerint tehát Y ⊂ X ∩ Y. Tehát még inkább Y ⊂ X. ♠

5.2.3.Tétel Ha egy X FK-tér tartalmazza m-et, akkor tartalmazza l_{∞}-t.

Bizonyítás: Tekintsük m ⊂ l_{∞}-t a relatív topológiával. Ez hordó-tér (lásd. [Wi1] 249.oldalát). Az 5.2.1.Tételből adódik állításunk.♠

Érdekes, hogy (m, ∥·∥_{∞}) olyan hordó- tér,mely önmagában első kategóriájú! Valóban, m a véges sok értéket felvevő sorozatok tere, így m = ∪_{i≥1}H_{i}, ahol H_{i} a pontosan i értéket felvevő sorozatok halmaza. Egyszerűen ellenőrizhető, hogy a H_{i}-k zártak, és int(H_{i}) = ∅, i ∈ ω.

6.Negatív eredmények

6.0.MI LEHET c_{A} ?

Az eddigi vizsgálódások nagyrészt a mátrixok konvergenciatartományaira irányultak. Gondosan kerültük azonban azt az alapvető kérdést, hogy ténylegesen mi lehet c_{A}?

s mely alterei állnak elő konvergenciatartományként? Egy FK-térre nézve mi a szükséges és elegendő feltétele annak, hogy ő c_{A} legyen valamely A mátrixra? Noha ezek az elmélet talán legizgalmasabb kérdései, a válaszok nem ismeretesek. Ebben a részben ezért arra mutatunk példát, mi nem lehet c_{A}.

6.0.0.Megjegyzés bv (1.1.1) szerint izometrikusan izomorf l_{1}-el, így duális tere l_{∞}- vel izometrikusan izomorf. Az, hogy BK-tér, a következő módon igazolható: (3.1.0) alapján elég belátni, hogy bv_{0} egy BK-tér, hiszen bv = bv_{0} + C · e. x ∈ bv_{0} esetén

x^{n} = ∑_{k=n}^{m}(x^{k} − x^{k+1}) + x^{m+1},

az egyenlet jobb oldala ∑_{k=n}^{∞}(x^{k} − x^{k+1})-hez tart, ezért az |x^{n}| ≤ ∥x∥_{bv} becslés érvényes. Innen a koordinátafüggvények folytonosak, ami (0.1.15) szerint biztosítja, hogy

∥ · ∥_{bv}|bv_{0} ≥ τ_{s}.

6.0.1.Tétel Nem létezik olyan A mátrix, melyre l_{1} vagy bv zárt altere lenne c_{A}-nak. Bizonyítás: Ezen normált terek duálisa l_{∞}-vel azonosítható, mely nem szeparábilis

a normatopológiában. Márpedig egy normált tér duális terén a normatopológia éppen az erős topológia (0.1.23). Ha bv vagy l_{1} valamely A-ra c_{A} zárt altere, akkor a relatív topológia (3.0.3) szerint megegyezik e terek eredeti BK-topológiájával. (5.0.2) és (5.0.3) szerint tehát nincs ilyen A mátrix. ♠

6.0.2.Tétel Sem l_{∞}, sem annak sűrű alterei nem lehetnek konvergenciatartományok. Bizonyítás: (5.0.3) szerint bármely mátrix konvergenciatartománya szeparábilis FK-

tér. Ha D ⊂ l_{∞} sűrű altérre és valamely A mátrixra D = c_{A}, akkor D ≠ l_{∞}, hiszen a korlátos sorozatok tere egy BK-tér (3.0.4), mely nem szeparábilis, az FK-topológia pedig (3.0.3) szerint egyértelmű. Ugyancsak (3.0.3) szerint D FK-topológiája erősebb, mint a l_{∞}-től örökölt altértopológia, tehát ha D szeparábilis lenne, akkor l_{∞} is szeparábilis lenne, ami nem lehet.♠

6.0.3.Megjegyzés Az, hogy l_{∞} ϕ-t tartalmazó valódi sűrű alterei nem lehetnek konvergenciatartományok, rögtön adódik (5.1.2)-ből.

6.0.4.Tétel 1 ≤ p ≤ ∞-re l_{p} nem lehet konvergenciatartomány zárt altere.

Bizonyítás: Megtalálható [Be2]-ben.♠

6.1.INKONZISZTENCIA

Ebben a rövid részben példát mutatunk arra, hogy a Mazur-Orlicz tétel (4.2.2) nem igaz konull mátrixokra.

6.1.0.Példa Legyen p_{k} := 2^{−k}, k ∈ ω. Definiáljuk a P mátrixot a következő módon:

P (0, ·) := (p_{1}, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, …)
P (1, ·) := (1, −1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, …)
P (2, ·) := (1, −1, p_{3}, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, …)
P (3, ·) := (1, −1, p_{3}, p_{4}, 0, 0, 0, 0, 0, 0, …)
P (4, ·) := (p_{1}, p_{2}, p_{3}, 1, −1, 0, 0, 0, 0, 0, …)
P (5, ·) := (p_{1}, p_{2}, p_{3}, 1, −1, p_{6}, 0, 0, 0, 0, …)
P (6, ·) := (p_{1}, p_{2}, p_{3}, 1, −1, p_{6}, p_{7}, 0, 0, 0, …)
P (7, ·) := (p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}, p_{5}, p_{6}, 1, −1, 0, 0, …)

és így tovább. Legyen Q az a mátrix, melynek minden sora a p_{k}, k ∈ ω sorozat. Azonnal látszik (1.0.3)-ból, hogy ezek konzervatív mátrixok. Ha x ∈ c, akkor

|(P x)^{k} − (Qx)^{k}| ≤ |x^{k−2} − x^{k−1}| + ∑_{i=k−2}^{∞} |x^{i}p_{i}| → 0, k → ∞,

azaz lim_{Q}|c = lim_{P} |c. Q definíciója folytán c_{Q} = l_{∞}, akkor nyilván c_{P}∩l_{∞} ⊂ c_{Q}. Legyen most

x := (1, −1, 0, 1, −1, 0, …).

Persze x ∈ l_{∞}, és könnyen látható, hogy lim_{P} x = 2 + ∑_{i} p_{i}x_{i}. Viszont lim_{Q}x = ∑_{i} p_{i}x_{i}, és a két mennyiség szemmel láthatóan különbözik.

7.Alkalmazások

Az FK-terek elmélete a végtelen mátrixokkal kapcsolatos szummációs problémák kezelésére fejlődött ki. A kifejlesztett módszerek azonban a matematika számos más területén is alkalmazhatónak bizonyultak. Dolgozatunk végén ezekből az alkalmazásokból nyújtunk ízelítőt.

7.0.HARDY TEREK

Az e részben igazolás nélkül említett tételek részletes hivatkozásai megtalálhatók [Be2]-ben és [BK2]-ben.

7.0.0.Definíció Legyen 0 < p < ∞. Jelölje H a komplex nyílt egységkörön analitikus függvények halmazát. Ezek után definiáljuk az F_{p} : H → R̄ függvényeket a következő módon:

F_{p}(f) := sup_{0<r<1} \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} |f(re^{iθ})|^{p}dθ, f ∈ H.

Legyen most

H_{p} := {f ∈ H|F_{p}(f) < ∞}.

Legyen továbbá

H_{∞} := {f ∈ H| sup_{|z|<1} |f(z)| < ∞}.

A H_{p} halmazt a p-edik Hardy-osztálynak hívjuk.

Legyen 0 < p < 1-re ∥ · ∥_{p} := F_{p}; 1 ≤ p < ∞-re ∥ · ∥_{p} := (F_{p})^{\frac{1}{p}}; végül legyen

∥f∥_{∞} := sup_{|z|<1} |f(z)|,

ha f ∈ H_{∞}.

7.0.1.Megjegyzés Ismeretes, hogy 1 ≤ p ≤ ∞-re (H_{p}, ∥ · ∥_{p}) Banach- tér, valamint hogy 0 < p < 1-re (H_{p}, ∥ · ∥_{p}) Frèchet- tér, melynek topológiája nem származtatható teljes normából. Definiálható viszont a

B_{p} := \{f ∈ H : \frac{1}{2π} ∫_{0}^{1}(1 − r)^{\frac{1}{p} −2}(∫_{0}^{2π} |f(re^{iθ})|dθ)dr < ∞\}

burkoló Banach- tér ( a norma éppen a definícióban szereplő mennyiség), melyre H_{p} ⊂ B_{p} sűrű altér. (Az is igazolható, hogy az altértopológia megegyezik a H_{p} pszeudonormájából származtatott topológiával.)

7.0.2.Definíció Legyen 0 < p < 1, E ⊂ s. Azt mondjuk, hogy az x ∈ s sorozat a H_{p}(ill.B_{p}) multiplikátora E szerint, hogyha minden f(z) = ∑_{i} a^{i}z^{i} ∈ H_{p}(ill.B_{p}) függvény esetén az x · f := {x^{i}a^{i}}_{i=0}^{∞} szorzatra x · f ∈ E teljesül.

A Hardy-tereken (0 < p < 1) végzett vizsgálatok arra mutattak, hogy H_{p} és B_{p} multiplikátorai mindig ugyanazok. Az FK-terek elméletének fölhasználásával G.Bennett 1973-ban igazolta a következőt:

7.0.3.Tétel Ha E egy FK-tér, akkor 0 < p < 1-re H_{p} és B_{p} E szerinti multiplikátorai ugyanazok.

Bizonyításvázlat: Azonosítva B_{p} elemeit 0-középpontú Taylor- soruk együtthatóival, B_{p}-t tekinthetjük sorozattérnek. Igazolható, hogy ez egy BK-tér. Megmutatható az is, hogy H_{p} a B_{p}-től örökölt altértopológiával hordó-tér. Szintén látható, hogy x ∈ s esetén

E_{x} := {y ∈ s|{x^{n}y^{n}}_{n=0}^{∞} ∈ E}

halmaz FK-tér. (5.2.1) szerint ez akkor és csak akkor tartalmazza H_{p}-t, ha B_{p}-t tartalmazza.♠

7.0.4.Definíció Legyen 1 ≤ p ≤ ∞. Egy z_{n} ∈ C, |z_{n}| < 1, n ∈ ω komplex sorozatot p-interpolálónak mondunk, ha minden x ∈ l_{∞} esetén

(∗) létezik f ∈ H_{p}, f(z_{i}) = x^{i}, i ∈ ω.

W.K.Heyman már 1958-ban belátta, hogy z_{i} pontosan akkor ∞-interpoláló, ha (∗) teljesül a minden x ∈ m-re. Kalton és Bennett 1972-ben igazolták a következőt:

7.0.5.Tétel Legyen 1 ≤ p ≤ ∞. Egy z_{i} sorozat pontosan akkor p-interpoláló, ha minden x ∈ m-re (∗) teljesül.

Bizonyításvázlat: Legyen

H^{p}({z_{n}}) := {x ∈ s|van olyan f ∈ H_{p}, hogy f(z_{n}) = x^{n}, n ∈ ω}.

Belátható, hogy H^{p}({z_{n}}) azonosítható a

H_{p}/{f ∈ H_{p}|f(z_{n}) = 0, n ∈ ω}

faktor–Banach-térrel, és ez egy BK-tér (lásd. [Sn2]-t). Ezek után (5.2.3)-at alkalmazva látható, hogy m ⊂ H^{p}({z_{n}}) esetén l_{∞} ⊂ H^{p}({z_{n}}). Ez pedig éppen a tétel állítása. ♠

Forrásmunkák

[Be1] G.Bennett: A representation theorem for summability domains;Proc. London Math. Soc. 24(1972)

[Be2] G.Bennett: Some inclusion theorems for sequence spaces;Pacific J. Math. 46(1973)

[BK1] G.Bennett, N.J.Kalton: FK spaces containing c_{0};Duke Math. J. 39(1972)

[BK2] G.Bennett, N.J.Kalton: Inclusion theorems for K-spaces;Canadian. J. Math. 25(1973)

[Cro] L.Crone: A characterization of matrix operators on l_{2};Math.Zeit. 128(1972) [Csá] Császár Á.: Valós analízis II. ;Tankönyvkiadó(1989)

[Cz1] Czách L.: Funkcionálanalízis(Jegyzet)

[Cz2] Czách L.: Szummációs módszerek(Kézirat)

[Cz3] Czách L.: Topologikus vektorterek(Jegyzet)

[Dug] J.Dugundji: Topology;Allyn and Bacon,Boston(1966)

[Gar] D.J.H.Garling: On topological sequence spaces ;Proc. Camb. Phil. Soc. 63(1967)

[GW] D.J.H.Garling, A.Wilansky: On a summability theorem of Berg, Crawford and Whitley;Proc. Camb. Phil. Soc. 71(1972)

[Kur] C.Kuratowski: Topologie, Volume I;Warszawa(1958)

[Mad] I.Maddox: Infinite Matrices of Operators;Springer-Verlag(1980)

[RR] A.P.Robertson, W.J.Robertson: Topological vector spaces;Cambr. Univ. Press(1964)

[Sch] Schaeffer: Topological vector spaces;Springer-Verlag(1971)

[Sn1] A.K.Snyder: An embedding property of sequence spaces...;Indiana Univ. Math. J. 35,number 3(1986)

[Sn2] A.K.Snyder: Sequence spaces and interpolation problems for analytic functions;Stud. Math. 39(1971)

[Wi1] A.Wilansky: Modern methods for topological vector spaces;McGraw-Hill(1978)

[Wi2] A.Wilansky: Summability through functional analysis;North-Holland(1984)

[Wiw] A.Wiweger: A topologization of Saks spaces;Bull. Acad. Sci. Sér. Sci. Math. Astr.

Phys. 5(1957)

[Zr] Zrínyi Miklós: Összes versei;Unikornis kiadó(1995)