Mérték, kategória és szigma-porozitás

Sikolya Eszter

Diplomamunka

Témavezető: Dr. Petruska György

Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar Matematikus Szak

ii

Tartalomjegyzék

Bevezetés v

1 A szigma-porózus halmazokról 1 1.1 Porozitás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Cantor-típusú halmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 A különböző értelemben porózus halmazok tulajdonságai . . . . . 10 1.4 Tipikus kompakt halmazok és folytonos függvények a számegyenesen 20

2 Szigma-porózus halmazok Banach-terekben 23 2.1 Fréchet-differenciálhatóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Lokális kompaktság és szigma-porozitás . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Nullmértékű és első kategóriájú halmazok 29 3.1 Néhány érdekesség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Párhuzam és eltérés a szigma-porózus halmazok szigma-ideáljától 32

4 Példák és konstrukciók 39 4.1 Teljes metrikus terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2 Példa nullmértékű és első kategóriájú nem szigma-porózus halmazra 39

5 Fubini-jellegű tétel szigma-porózus halmazokra 45 5.1 A klasszikus Fubini és Kuratowski-Ulam tétel . . . . . . . . . . . 45

iv Tartalomjegyzék

5.2 A Tkadlec által konstruált mérték több dimenzióban . . . . . . . 46 Irodalomjegyzék 51 Index 54

Bevezetés

Az analízisben kitüntetett szerepük van azoknak a halmazoknak, amelyeket valamilyen értelemben „kicsinek” tekinthetünk. A sehol sem sűrű halmazokban például lyukak vannak, így ezek geometriai szempontból „elhanyagolhatóak”. A megszámlálható unióikból képezett első kategóriájú halmazok nem tartalmaznak ugyan lyukakat, viszont a bennük lévő hézagok (Baire-terekben) sűrű halmazt alkotnak. Ettől lényegesen különböző kishalmaz-fogalom ℝ^{n}-ben a (Lebesgue-) nullmértékűség. Az ilyen halmazok metrikus értelemben kicsik, „nincsen térfogatuk”.

Tetszőleges metrikus térben definálhatjuk a porózus halmaz fogalmát. Az ilyen halmazok azon túl, hogy sehol sem sűrűek (és ℝ^{n}-ben nullmértékűek), minden pontjukhoz tetszőlegesen közel tartalmaznak bizonyos értelemben „nagy” lyukakat. A számegyenes porózus részhalmazait és az azok megszámláható unióiból képzett σ-porózus halmazokat Dolženko [3] kezdte vizsgálni 1967-ben. Egyes kivételes halmazokról megmutatta, hogy azok nemcsak nullmértékűek és első kategóriájúak, hanem egy szűkebb családhoz, a σ-porózus halmazok σ-ideáljához is tartoznak. Belátható, hogy ez a σ-ideál valódi részosztálya a nullmértékű és első kategóriájú halmazok σ-ideáljának. Alaposabb vizsgálata azért is kapott fontos szerepet, mert gyakran könnyebb megmutatni egy halmazról, hogy σ-porózus, mint külön bizonyítást adni a kategóriára és külön a nullmértékűségre vonatkozóan.

vi Bevezetés

Jelen dolgozatban áttekintjük a σ-porózus halmazokkal kapcsolatos eddigi vizsgálatok eredményeit – kitérve a fent említett másik σ-ideál lényeges tulajdonságaira is –, majd vizsgálódásainkat a klasszikus Fubini-tétel σ-porózus halmazokra vonatkozó analógjára koncentrálva példát adunk ℝ^{n}-ben olyan Borel-mértékre, amely szinguláris a Lebesgue-mértékre és nullát vesz fel a σ-porózus halmazokon.

Ezúton is szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Petruska Györgynek, hogy ráirányította figyelmemet erre az érdekes témára, és mindig bizalommal fordulhattam hozzá segítségért.

A szigma-porózus halmazokról

1.1 Porozitás

A porozitás fogalmát tetszőleges (P, ρ) metrikus térben Zajiček [14], [24], Foran [5] és Zelený [29] a következőképpen definiálja (adott x ∈ P, r > 0 esetén a dolgozatban végig B (x, r) jelöli az x körüli r sugarú nyílt gömböt):

1.1.1 Definíció (porozitás) Legyen M ⊆ P, x ∈ P, R > 0. Jelölje

γ (x, R, M) = sup{r > 0 : ∃z ∈ P, B (z, r) ⊆ B (x, R) , B (z, r) ∩ M = ∅}. Azt mondjuk, hogy az M halmaz porózus x-ben, ha

lim sup_{R→0+} γ (x, R, M) /R > 0.

Ettől kissé eltérő, de a fentivel ekvivalens definíciót ad Preiss és Zajiček [15]:

1.1.2 Definíció (porozitás) (A fenti feltételekkel) M porózus x-ben, ha ∃c > 0, hogy ∀ε > 0 ∃y ∈ P és

∃r > c · ρ (x, y), hogy ρ (x, y) < ε és B (y, r) ∩ M = ∅.

Természetesen adódnak a következő definíciók:

1.1.3 Definíció (porózus halmaz) Az M ⊆ P halmazt porózus halmaznak nevezzük, ha minden pontjában porózus.

2 1. Fejezet: A szigma-porózus halmazokról

1.1.4 Definíció (σ-porózus halmaz) Egy M ⊆ P halmaz σ-porózus, ha előáll megszámlálható sok porózus halmaz uniójaként.

Az alábbi állításban a (σ-)porózus halmazok leglényegesebb tulajdonságait foglaljuk össze.

1.1.5 Állítás (i) Ha M ⊆ P porózus, akkor M sehol sem sűrű.

(ii) Ha M ⊆ ℝ porózus, akkor M Lebesgue-nullmértékű. (iii) Ha M ⊆ P σ-porózus, akkor M első kategóriájú. (iv) A σ-porózus halmazok σ-ideált alkotnak.

(v) A számegyenes σ-porózus halmazainak σ-ideálja része a nullmértékű és első kategóriájú halmazok σ-ideáljának, és tartalmazza a megszámlálható halmazokat.

Bizonyítás:

(i) és (iv) a definícióból nyilvánvaló, (i)-ből következik (iii) , (ii) és (iii)-ből következik (v) első része, a második rész pedig abból, hogy ℝ-en az egypontú halmazok nyilvánvalóan porózusak. A (ii) a Lebesgue-sűrűségi tételből könnyen látható. □

1.1.6 Megjegyzés Az állítás (v) pontjában megfogalmazott tartalmazás valódi, vagyis létezik olyan nullmértékű és első kategóriájú halmaz, amely nem-σ-porózus (a későbbiek során erre fogunk látni példát, ld. [21], [22], [24], [25] ).

Az alábbiakban tekintsük át a számegyenes nullmértékű és első kategóriájú valamint σ-porózus halmazai közötti legalapvetőbb hasonlóságokat ([6]):

1.1.7 Állítás A. Minden nullmértékű és első kategóriájú halmaz benne van egy nullmértékű és első kategóriájú G_{δσ}-ban. B. Létezik olyan nullmértékű és első kategóriájú halmaz, mely nincs benne első kategóriájú G_{δ}-ban. C. Létezik olyan nullmértékű és első kategóriájú halmaz, mely nincs benne nullmértékű F_{σ}-ban.

Bizonyítás: A. következik abból, hogy minden első kategóriájú halmaz benne van egy első

1.1 Porozitás 3

kategóriájú F_{σ}-ban, és minden nullmértékű halmaz benne van egy nullmértékű G_{δ}-ban. B.-re példa ℚ. C. belátásához tekintsünk egy pozitív mértékű C̃ Cantor-halmazt (ld. később, a Cantor-típusú halmazokról szóló fejezetben), mely metrikusan is sűrű, vagyis minden belemetsző nyílt intervallumban is pozitív mértékű; és vegyünk ebben egy nullmértékű sűrű G_{δ}-halmazt. Ez megfelel. Ugyanis ha le van fedve egy K = ∪_{n}F_{n} F_{σ}-halmazzal, akkor K is sűrű C̃-ban, sőt második kategóriájú C̃- ban (hiszen tartalmaz egy reziduális halmazt), tehát valamely n-re F_{n} is második kategóriájú C̃-ban. Ez az F_{n} sűrű valamely a, b ∈ ℝ esetén (a, b) ∩ C̃-ban, így F_{n} = cl ((a, b) ∩ C̃) , ahol a lezárást C̃-ban mint altérben értjük. Mivel a feltétel szerint (a, b) ∩ C̃ pozitív mértékű, azért F_{n}, így K is pozitív mértékű. □

1.1.8 Állítás A′. Minden σ-porózus halmaz benne van egy σ-porózus G_{δσ}-ban.

B′. Létezik olyan σ-porózus halmaz, mely nincs benne első kategóriájú G_{δ}-ban. C′. Létezik olyan σ-porózus halmaz, mely nincs benne nullmértékű F_{σ}-ban (így σ-porózus F_{σ}-ban sem).

Bizonyítás: A′. : Nyilván elég adott E porózus halmazra bizonyítani. Jelölje az (1.1.1) definícióval f_{k} (x) ≐ γ (x, 1/k, E). Ekkor f_{k} folytonos függvény. Legyen g_{k} (x) ≐ sup_{i≥k}{i · f_{i} (x)}, ez Baire-1 függvény, {g_{k}}_{k∈ℕ} korlátos, monoton fogyó függvénysorozat. A g (x) = lim_{k→∞} g_{k} (x) jelöléssel a kapott g (x) függvény Baire-2, E ⊆ g^{−1} (0, +∞) , ahol g^{−1} (0, +∞) G_{δσ}, így F ≐ g^{−1} (0, +∞) ∩ \overline{E} megfelel. B′.-re példa ℚ. C′. bizonyítása hosszadalmas, ezért itt nem térünk ki rá. □

1.1.9 Humke felveti azt a problémát is, hogy létezik-e olyan porózus halmaz, mely nincs benne σ-porózus G_{δ}-ban. Ezt Tkadlec [21] válaszolja meg pozitívan; arra pedig, hogy ez milyen eszközökkel látható be, a (3.2.5) megjegyzésben ki fogunk térni. A harmadik fejezetben konstruálunk egy olyan S perfekt halmazt, amely rendelkezni fog azzal a tulajdonsággal, hogy ha azon pontjait, melyekben porózus (P (S)-et) tartalmazza valamely U-val jelölt G_{δ}-halmaz, akkor U nem lehet σporózus. Ebből következik, hogy P (S) megfelel a kívánalmaknak.

4 1. Fejezet: A szigma-porózus halmazokról

1.2 Cantor-típusú halmazok

Zajiček [25] a fenti (1.1.1) definíciótól eltérően a

p (M, x) = lim sup_{R→0+} 2γ (x, R, M) /R

mennyiséget használja, így biztosítva, hogy a porozitás esetén pozitív p (M, x) szám (az M halmaz x pontbeli porozitása) ≤ 1 legyen, ha x ∈ \overline{M}. A továbbiakban mi is minden esetben ezt a számot fogjuk érteni az M halmaz x pontbeli porozitásán. Zajiček vezeti be a legismertebb perfekt nullmértékű halmaz, a Cantor-halmaz porozitásának vizsgálatához szükséges alábbi fogalmakat. M ⊆ ℝ, x ∈ ℝ esetén jelölje (az előbbit kissé átfogalmazva) p (M, x) ≐ lim sup_{h→0+} \frac{λ(M,(x−h,x+h))}{h}; p^{+} (M, x) ≐ lim sup_{h→0+} \frac{λ(M,(x,x+h))}{h}; p^{−} (M, x) ≐ lim sup_{h→0+} \frac{λ(M,(x−h,x))}{h}, ahol M ⊆ ℝ és tetszőleges I ⊆ ℝ intervallum estén λ (M, I) jelöli az I-ben fekvő legnagyobb, M-től diszjunkt részintervallum hosszát.

1.2.1 Megjegyzés Könnyen látható, hogy (i) 0 ≤ p^{+} (M, x) ≤ 1, 0 ≤ p^{−} (M, x) ≤ 1, és ha x ∈ \overline{M}, akkor 0 ≤ p (M, x) ≤ 1 (különben p (M, x) = 2), (ii) p (M, x) = p (\overline{M}, x) , p^{+} (M, x) = p^{+} (\overline{M}, x) , p^{−} (M, x) = p^{−} (\overline{M}, x)

1.2.2 Definíció (jobbról ill. balról porozitás) Azt mondjuk, hogy az M ⊆ ℝ halmaz jobbról (balról) porózus x-ben, ha (a fenti jelölésekkel) p^{+} (M, x) > 0 (p^{−} (M, x) > 0) .

1.2.3 Definíció (kétoldali porozitás) Az M ⊆ ℝ halmaz kétoldalian porózus x-ben, ha ott jobbról és balról is porózus.

1.2.4 Definíció (erős porozitás) Az M ⊆ ℝ halmaz (i) erősen porózus x-ben, ha p (M, x) ≥ 1, (ii) jobbról (balról) erősen porózus x-ben, ha p^{+} (M, x) = 1 (p^{−} (M, x) = 1) , (iii) kétoldalian erősen porózus x-ben, ha ott jobbról és balról is erősen porózus.

1.2 Cantor-típusú halmazok 5

1.2.5 Megjegyzés Az erősen porózus halmaz, a kétoldalian porózus halmaz, a kétoldalian erősen porózus halmaz, az erősen σ-porózus halmaz, a kétoldalian σ-porózus halmaz, a kétoldalian erősen σ-porózus halmaz fogalma a megfelelő módon értelmezhető.

1.2.6 Példa A Cantor-féle triadikus halmazról (a továbbiakban: C) könnyen látható, hogy ∀x ∈ C p (C, x) ≥ 1/2, tehát C porózus halmaz.

1.2.7 Ha C (α)-val jelöljük az α = (α_{n})_{n=1}^{∞} sorozathoz tartozó szimmetrikus perfekt, Cantor-típusú halmazt (amelyet tehát ugyanúgy konstruálunk, mint a Cantorhalmazt, azzal a kivétellel, hogy az n-edik lépésben a maradék 2^{n−1} zárt intervallum mindegyikéből a vele koncentrikus, α_{n}-szeres hosszúságú nyílt intervallumot töröljük), akkor könnyen látható, hogy C (α) pontosan akkor nullmértékű, ha ∑_{n=1}^{∞} α_{n} = ∞. (A továbbiakban az α = (α_{n})_{n=1}^{∞} sorozathoz tartozó halmazra a C (α) és a C (α_{n}) jelölést is használjuk.)

Könnyen igazolható a következő állítás:

1.2.8 Állítás Ha α_{n} → 0, akkor C (α) azon pontjai, amelyekben nem porózus, sűrűn vannak C (α)-ban.

Thomson [20] látja be az alábbi két általános tételt Cantor-típusú halmazokra:

1.2.9 Tétel A C (α) szimmetrikus perfekt halmaz pontosan akkor nem-σ-porózus, ha α_{n} → 0.

1.2.10 Következmény Az α_{n} = 1/ (n + 1) sorozatból képezett C (α) perfekt, nullmértékű halmaz nem-σ-porózus.

1.2.11 Tétel A C (α) szimmetrikus perfekt halmaz pontosan akkor nem erősen σ-porózus, ha lim sup α_{n} < 1.

Evans és Humke [4] tovább erősítik a fenti eredményeket. Bevezetnek egy újfajta porozitás-fogalmat:

1.2.12 Definíció (szimmetrikus porozitás) Adott M ⊆ ℝ, x ∈ ℝ, R > 0 esetén jelölje

λ (x, R, M) ≐ sup{h > 0 : ∃t > 0, t + h < R,

(x − t − h, x − t) ∪ (x + t, x + t + h) ⊆ M^{c}}.

Azt mondjuk, hogy az M halmaz szimmetrikusan porózus valamely x pontban, ha lim sup_{R→0+} λ (x, R, M) /R > 0. (A lim sup_{R→0+} λ (x, R, M) /R számot nevezzük a halmaz adott pontbeli szimmetrikus porozitásának.)

1.2.13 Megjegyzés A korábbiakhoz hasonlóan definiálható a szimmetrikusan porózus halmaz és a -szimmetrikusan σ-porózus halmaz fogalma.

Az említett szerzők belátják, hogy ez a fogalom nem esik egybe a kétoldali porozitás fogalmával:

1.2.14 Tétel Létezik olyan kétoldalian erősen porózus halmaz a számegyenesen, mely nem szimmetrikusan σ-porózus.

Bizonyítás: Legyen α_{n} = 1/ (4n + 3) , és jelölje E_{n} az E = C (α_{n}) konstrukciójában az n-edik lépésben kapott 2^{n} darab diszjunkt zárt intervallum uniójából képezett halmazt. Az n-edik lépésben kitörölt nyílt intervallumokat jelölje rendre (balról jobbra haladva) I_{n,1}, I_{n,2}, ..., I_{n,2^{n−1}}. Tetszőleges x ∈ E_{n} esetén legyen I_{n,j_{x}} az I_{n,1}, I_{n,2}, ..., I_{n,2^{n−1}} intervallumok közül az x-hez legközelebbi. Ha I_{n,j_{x}} intervallum x középpontú tükörképe belemetsz ∪_{m=1}^{n−1} ∪_{j=1}^{2^{m−1}} I_{m,j}-be, akkor szükségképpen 2 dist (x, I_{n,j_{x}}) + |I_{n,j_{x}}| ≥ \frac{4n+3−1}{2} |I_{n,j_{x}}| , tehát dist (x, I_{n,j_{x}}) ≥ n |I_{n,j_{x}}| , így

\frac{|I_{n,j_{x}}|}{dist (x, I_{n,j_{x}})} ≤ \frac{|I_{n,j_{x}}|}{n |I_{n,j_{x}}|} = 1/n,

amiből már következik, hogy E szimmetrikus porozitása minden pontjában 0. Egy, Thomson [20] könyvében is leírt, Denjoy-tól származó tétel szerint a számegyenes tetszőleges perfekt, sehol sem sűrű részhalmazának azon pontjai, melyekben kétoldalian erősen porózus, reziduálisak az adott halmazban. Legyen S az E azon pontjainak halmaza, melyekben E kétoldalian erősen porózus. Tegyük fel indirekt, hogy S szimmetrikusan σ-porózus, vagyis S = ∪_{n=1}^{∞}S_{n}, ahol minden S_{n}

1.2 Cantor-típusú halmazok 7

szimmetrikusan porózus. Mivel S reziduális halmaz E-ben, azért létezik I nyílt intervallum, n_{0} természetes szám, hogy I ∩ E nemüres és S_{n_{0}} sűrű I ∩ E-ben. Ha x ∈ S_{n_{0}} ∩ I ∩ E, akkor S_{n_{0}} szimmetrikus porozitása x-ben pozitív, míg E szimmetrikus porozitása x-ben 0, viszont S_{n_{0}} sűrű E ∩ I-ben, ezért ez ellentmondás. □

A Cantor-típusú halmazok szimmetrikus porozitásáról igen sokat tudunk mondani Evans és Humke [4] cikke nyomán. Tételeik bizonyításához szükségünk lesz a következő terminológia bevezetésére.

1.2.15 A továbbiakban az A ⊆ ℝ halmaz egydimenziós Lebesgue-mértékét λ (A)-val jelöljük, ha pedig A intervallum, akkor |A|-el. Jelölje Σ az összes véges 0−1 sorozatok halmazát, σ ∈ Σ hosszát |σ| és σ elemeit σ (1) σ (2) ...σ (n) . Ha 0 < α_{n} < 1 ∀n, akkor a C (α_{n}) konstrukciójában szereplő intervallumokat a következő módon jelölhetjük. Legyen I_{∅} = (1/2 − α_{1}/2, 1/2 + α_{1}/2) , J_{0} és J_{1} az I_{∅} komplementerének bal ill. jobb oldali komponense; I_{0} ill. I_{1} a J_{0}-ból ill. J_{1}-ből elhagyott α_{2} (1 − α_{1}) /2 hosszúságú intervallum, stb. Ekkor

C (α_{n}) = ⋂_{n=1}^{∞} ⋃_{|σ|=n} J_{σ},

és az I_{σ}-k alkotják ezen Cantor-típusú halmaz kiegészítő intervallumait. Megjegyezzük, hogy |J_{σ}| = ∏_{n=1}^{|σ|} \frac{1−α_{n}}{2} és |I_{σ}| = α_{|σ|+1} |J_{σ}| .

1.2.16 Állítás Ha 0 < α_{n} < 1, α = lim sup α_{n}, akkor C (α_{n}) szimmetrikus porozitása minden pontjában legfeljebb \frac{4α}{3α+1}.

Bizonyítás: Legyen σ ∈ Σ és |σ| = n. Ha x ∈ ℝ balra fekszik I_{σ}-tól, jelölje

s (x, σ) = sup{1 − δ : ∃h, (x + δh, x + h) ⊆ I_{σ} és
(x − h, x − δh) ⊆ I_{τ} valamely |τ| ≤ |σ|}.

Ha p a J_{σ0} középpontja, akkor

s (p, σ) ≤ \frac{|I_{σ}|}{dist (p, I_{σ}) + |I_{σ}|} = \frac{4α_{n+1}}{3α_{n+1} + 1}.

Ha x < p, akkor

s (p, σ) ≤ \frac{|I_{σ}|}{dist (x, I_{σ}) + |I_{σ}|} ≤ \frac{|I_{σ}|}{dist (p, I_{σ}) + |I_{σ}|} = \frac{4α_{n+1}}{3α_{n+1} + 1}.

8 1. Fejezet: A szigma-porózus halmazokról

Ha x > p, akkor

s (p, σ) ≤ \frac{|I_{σ}| − 2 (x − p)}{dist (x, I_{σ}) + |I_{σ}|} ≤ \frac{|I_{σ}| − 2 (x − p)}{dist (p, I_{σ}) − (x − p) + |I_{σ}|} ≤ \frac{4α_{n+1}}{3α_{n+1} + 1}.

Az I_{σ} jobb oldalán analóg módon definiálva s (x, σ)-t és a számolást elvégezve kapjuk, hogy C (α_{n}) szimmetrikus porozitása minden pontjában legfeljebb \frac{4α}{3α+1}. □

1.2.17 Következmény Ha 0 < α_{n} < 1, lim α_{n} = 0, akkor C (α) egyetlen pontjában sem szimmetrikusan porózus.

1.2.18 Tétel Ha lim sup α_{n} = 1, akkor C (α_{n}) erősen szimmetrikusan porózus.

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy α_{n_{k}} → 1. Legyen ε > 0 tetszőleges, σ pedig olyan, hogy |σ| = n_{k} −1, ahol \frac{1−α_{n_{k}}}{2α_{n_{k}}} < ε (ilyen azért létezik, mert elég nagy k-ra α_{n_{k}} > 1/ (2ε + 1)). Ekkor |J_{σ0}| = \frac{1−α_{n_{k}}}{2α_{n_{k}}} |I_{σ}| < ε |I_{σ}| . Legyen I_{τ} (|τ| < |σ|) egy J_{σ}-hoz csatlakozó intervallum, feltehető, hogy J_{σ}-tól balra fekvő. Tetszőleges A halmazra és x pontra jelölje

spr (A, x, h) = sup{1 − δ : (x − h, x − δh) ∪ (x + δh, x + h) ⊆ A^{c}}.

Könnyen látható, hogy az A halmaz x-beli szimmetrikus porozitása

sp (A, x) = lim sup_{h→0+} spr (A, x, h)

(Ha egyértelmű, milyen A halmazról van szó, az spr (x, h) ill. sp (x) jelölést alkalmazzuk.) Most két esetet különböztetünk meg:

1. Ha |I_{τ}| ≥ \frac{1}{\sqrt{ε}} |J_{σ0}| , akkor x ∈ J_{σ0} esetén L = min\{|I_{τ}| , |I_{σ}|\} jelöléssel

spr (x, h) ≥ \frac{L − 2 |J_{σ0}|}{L + |J_{σ0}|} ≥ min\{\frac{|I_{τ}| − 2\sqrt{ε} |I_{τ}|}{|I_{τ}| + \sqrt{ε} |I_{τ}|}, \frac{|I_{σ}| − 2ε |I_{σ}|}{|I_{σ}| + ε |I_{σ}|}\}
= min\{\frac{1 − 2\sqrt{ε}}{1 + \sqrt{ε}}, \frac{1 − 2ε}{1 + ε}\},

ugyanis |J_{σ0}| ≤ min\{\sqrt{ε} |I_{τ}| , ε |I_{σ}|\}, h-t pedig mérjük fel x-ből az I_{τ} és I_{σ} rövidebbikének x-től távolabb fekvő végpontjáig.

2. Ha |I_{τ}| < \frac{1}{\sqrt{ε}} |J_{σ0}| , akkor legyen J_{σ}′ az a J intervallum, mely balról csatlakozik

1.2 Cantor-típusú halmazok 9

I_{τ}-hoz, és |σ| = |σ′| . Ha x ∈ J_{σ0}, akkor h-t x-ből az I_{σ} jobb oldali végpontjáig felmérve kapjuk, hogy

spr (x, h) ≥ \frac{|I_{σ}| − |J_{σ0}| − |I_{τ}| − |J_{σ′1}|}{|I_{σ}| + |J_{σ0}|} ≥ \frac{|I_{σ}| − 2 |J_{σ0}| − \frac{1}{\sqrt{ε}} |J_{σ0}|}{|I_{σ}| + ε |I_{σ}|} ≥ \frac{1 − 2ε − \sqrt{ε}}{1 + ε}.

Mindkét esetben arra a következtetésre juthatunk, hogy sp (x) = 1, amivel a tételt beláttuk. □

1.2.19 Tétel Ha 0 < α = α_{n} < 1 ∀n, akkor C (α) szimmetrikus porozitása minden pontjában legalább \frac{2α}{1+α} (\frac{1−α}{2})^{ξ^{(α)}} , ahol ξ (α) jelöli a legkisebb olyan egész számot, melyre (\frac{1−α}{2})^{ξ^{(α)}} ≤ \frac{α}{2}.

Bizonyítás: Legyen σ ∈ Σ adott és definiáljuk k (σ) = σ011...1-t, ahol |k (σ)| − |σ| = ξ (α) . Ebből következik, hogy 2 |J_{k(σ)}| = 2 (\frac{1−α}{2})^{ξ^{(α)}} |J_{σ}| ≤ α |J_{σ}| = |I_{σ}| . Legyen I tetszőleges |I_{σ}| hosszúságú intervallum. Megmutatjuk, hogy I ∖ C (α) tartalmaz |I_{k(σ)}| hosszúságú intervallumot. Legyen τ olyan, hogy |τ| = |k (σ)| + 1. Ekkor

|J_{τ}| = (\frac{1 − α}{2})^{|k(σ)|+1} = (\frac{1 − α}{2}) |J_{k(σ)}| < \frac{|I_{σ}|}{2}.

Ha I metszi J_{τ}-t és J_{τ}′-t, ahol τ ≠ τ′ és |τ| = |τ′| = |k (σ)| + 1, akkor I nyilvánvalóan tartalmaz kívánt hosszúságú intervallumot. Ha legfeljebb egy ilyen J_{τ} intervallumot metsz, akkor I ∖ C (α) tartalmaz egy legalább \frac{|I|−|J_{τ} |}{2} hosszúságú intervallumot, és

\frac{|I| − |J_{τ}|}{2} = \frac{|I_{σ}| − |J_{τ}|}{2} = \frac{1}{2} (α (\frac{1 − α}{2})^{|σ|} − (\frac{1 − α}{2})^{|k(σ)|+1})
= \frac{1}{2}α (\frac{1 − α}{2})^{|k(σ)|} ((\frac{1 − α}{2})^{|σ|−|k(σ)|} − \frac{1 − α}{2α})
≥ \frac{1}{2} |I_{k(σ)}| (\frac{2}{α} − \frac{1 − α}{2α}) ≥ |I_{k(σ)}| .

Ebből a kívánt intervallum létezése következik. Legyen most x ∈ J_{σ0} és tekintsünk egy olyan x körüli I_{x} intervallumot, melyre |I_{x}| = |I_{σ}| és I_{x} ∩ (∪_{|τ|≤|k(σ)|}I_{τ}) tartalmaz |I_{k(σ)}| hosszúságú intervallumot. Ekkor létezik (x-től és σ-től függő) h és t, hogy (x + h, x + h + t) ∪ (x − h − t, x − h) ⊆ [0, 1] ∖ C (α) , és

\begin{matrix}| & (x + h, x + h + t) & | \\ | & (x, x + h + t) & | \end{matrix} ≥ \frac{|I_{k(σ)}|}{|J_{σ0}| + |I_{σ}|} = \frac{2α (\frac{1−α}{2})^{|k(σ)|−|σ|} |J_{σ}|}{(1 + α) |J_{σ}|} = \frac{2α}{α + 1} (\frac{1 − α}{2})^{ξ^{(σ)}} ,

10 1. Fejezet: A szigma-porózus halmazokról

amiből a tétel következik. □

1.3 A különböző értelemben porózus halmazok tulajdonságai

A fentiekben már láttuk, hogy (a számegyenesen) a közönséges porozitáson túl sokféle porozitás-fogalmat definiálhatunk (erős, (két)oldali, szimmetrikus stb.), amelyek segítségével még jobban karakterizálhatjuk a vizsgált halmaz tulajdonságait. A továbbiakban újabb porozitás-fogalmakkal ismerkedünk meg, kitérve ezek hasonlóságára-eltérésére. Minden esetben adott halmaz adott pontbeli porozitását definiáljuk, a megfelelő típusú porózus halmaz, σ-porózus halmaz stb. az eddigiekhez hasonlóan értelmezhető.

1.3.1 Először tetszőleges (P, ρ) metrikus térben értelmezzük a szimmetrikus porozitás analogonját és Vallin [23] cikke alapján megvizsgáljuk az ilyen tulajdonságú halmazok jellemzőit. Ehhez bevezetjük az következő jelölést: adott x ∈ P, 0 < r_{1} < r_{2} esetén legyen

S_{x} (r_{1}, r_{2}) = B (x, r_{2}) ∖ \overline{B (x, r_{1})}

az x pont körüli r_{1},r_{2} sugarú héj .

1.3.2 Definíció (héjszerű porozitás) Adott M ⊆ P, x ∈ P, R > 0 esetén jelölje

Λ (x, R, M) ≐ sup{h > 0 : ∃t > 0, t + h < R, S_{x} (t, t + h) ∩ M = ∅}

Azt mondjuk, hogy az M ⊆ P halmaz héjszerűen porózus x-ben, ha p^{s} (M, x) = lim sup_{R→0+} Λ (x, R, M) /R > 0.

1.3.3 Megjegyzés Könnyen látható, hogy P = ℝ, ρ (x, y) = |x − y| (x, y ∈ ℝ) esetén a héjszerű porozitás ekvivalens a szimmetrikus porozitással.

1.3.4 Könnyen igazolható, hogy ha egy metrikus teret egymással ekvivalens metrikákkal látunk el, a közönséges porozitás-fogalom nem függ attól, hogy a definícióban melyik ekvivalens metrikát használjuk. Az erős porozitás viszont függ a metrikától.

1.3.5 Példa Létezik a síkon olyan halmaz, mely a 0 pontban az euklideszi metrikát tekintve erősen porózus, a maximum-metrikában viszont nem erősen porózus.

1.3 A különböző értelemben porózus halmazok tulajdonságai 11

Bizonyítás: Legyen h_{n} = 1/n, r_{n} = (1 − h_{n}) /n, z_{n} = (0, h_{n}) , B_{n} = B (z_{n}, r_{n}) , és válasszunk a természetes számoknak egy olyan (n_{k}) részsorozatát, hogy B_{n_{j}} ∩ B_{n_{k}} = ∅ legyen, ha j ≠ k. Legyen E = ℝ^{2} ∖{∪_{j}B_{n_{j}}} . Ekkor (1.2) jelölésével az euklideszi metrikában

p (E; (0, 0)) = lim_{j→+∞} \frac{2r_{n_{j}}}{h_{n_{j}} + r_{n_{j}}} = lim_{n→+∞} \frac{2 (1 − 1/n)}{2 − 1/n} = 1,

ahol a legnagyobb „lyuk” a h_{n_{j}} + r_{n_{j}} sugarú környezetben a B_{n_{j}} gömb. A maximum-metrikában viszont

p_{m} (E; (0, 0)) = lim_{n→+∞} \frac{\sqrt{2} (1 − 1/n)}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}} (1 − 1/n)} = \frac{2}{1 + \sqrt{2}} < 1,

ugyanis a legnagyobb „lyuk” a h_{n_{j}} + r_{n_{j}} sugarú környezetben a B_{n_{j}} gömbbe írt \sqrt{2} (1 − 1/n) oldalú négyzet. □

Hasonlóan, a héjszerű porozitás fogalma is függ attól, milyen metrikában tekintjük a definícióban szereplő gömböt ill. héjat.

1.3.6 Példa Létezik a síkon olyan halmaz, mely a 0 pontban a maximum-metrikát tekintve héjszerűen porózus, az euklideszi metrikában viszont nem héjszerűen porózus.

Bizonyítás: Jelölje d a maximum-metrikát ℝ^{2}-en és legyen

E = \{x ∈ ℝ^{2} : \sqrt{2}/2^{k+1} ≤ d (0, x) ≤ 1/2^{k}, k ∈ ℕ\}

Ekkor a maximum-metrikában S_{(0,0)} (1/2^{k}, \sqrt{2}/2^{k}) ⊆ E^{c} ∀k, tehát

p_{m}^{s} (E; (0, 0)) = lim_{k→+∞} \frac{\sqrt{2}/2^{k} − 1/2^{k}}{\sqrt{2}/2^{k}} = 1 − \frac{1}{\sqrt{2}}.

Az euklideszi metrikában viszont nincs olyan héj, melyet a 0 körül E^{c}-be helyezhetünk, hiszen ∀k-ra a (0, \sqrt{2}/2^{k}) és az (1/2^{k}, 1/2^{k}) pont is rajta van az origó körüli \sqrt{2}/2^{k} sugarú gömb felszínén – ezért p^{s} (E; (0, 0)) = 0. □

1.3.7 További érdekesség, hogy ha (P_{1}, ρ_{1}) , (P_{2}, ρ_{2}) metrikus terek, M_{1} ⊆ P_{1}, x ∈ M_{1}, M_{2} ⊆ P_{2}, y ∈ M_{2} és az (1.2) jelöléseivel p (M_{1}, x) ≥ η, p (M_{2}, y) ≥ γ, akkor p (M_{1} × M_{2}, (x, y)) ≥ max{η, γ}, ha a szorzattérben a d ((x, y) , (u, v)) = max {ρ_{1} (x, u) , ρ_{2} (y, v)} metrikát tekintjük – azonban a héjszerű porozitás esetén ez nem teljesül.

12 1. Fejezet: A szigma-porózus halmazokról

1.3.8 Könnyen találhatunk példát olyan halmazra, mely (erősen) porózus és emellett összefüggő: tetszőleges egyenes a síkon megfelel. Az alábbi állításból az következik, hogy a héjszerűen porózus halmazok körében ez nem fordulhat elő:

1.3.9 Állítás Legyen E héjszerűen porózus a (P, ρ) metrikus térben, C ⊆ P pedig tetszőleges olyan összefüggő halmaz, melyre E ⊆ C. Ha a G nyílt halmaz esetén card (G ∩ E) ≥ 2, akkor G ∩ C-ben E nem sűrű.

Bizonyítás: Tegyük fel indirekt, hogy E sűrű G ∩ C-ben és legyen x, y ∈ G ∩ E. Mivel E héjszerűen porózus x-ben, azért léteznek 0 < r_{1} < r_{2} < ρ (x, y) számok úgy, hogy B (x, r_{2}) ⊆ G, S_{x} (r_{1}, r_{2}) ∩ E = ∅. Ekkor az indirekt feltevés szerint S_{x} (r_{1}, r_{2})∩C = ∅ is teljesül, ezért C = (B (x, r_{2}) ∩ C)∪((P ∖ \overline{B (x, r_{1})}) ∩ C) , ami ellentmond C összefüggőségének. □

1.3.10 Következmény Ha E legalább két pontból álló héjszerűen porózus halmaz a (P, ρ) metrikus térben, akkor E nem összefüggő.

Bizonyítás: Indirekt tegyük fel, hogy E összefüggő. Alkalmazzuk a fenti tételt E = C, G = P választással, ekkor azt kapjuk, hogy E nem sűrű P ∩ E = E-ben, ami ellentmondás. □

1.3.11 Megjegyzés Igazolható, hogy ha E zárt héjszerűen σ-porózus részhalmaza egy teljes metrikus térnek, akkor E teljesen széteső (vagyis csak egypontú összefüggőségi komponensei vannak).

1.3.12 E ⊆ ℝ^{n}, x ∈ ℝ^{m} (m < n) esetén jelölje Y_{x} = {y ∈ ℝ^{n−m} : (x, y) ∈ E}. Ha tekintjük a síkon az E = {(x, y) : x = c} halmazt (c tetszőleges szám), akkor E nyilván porózus, viszont az Y_{c} (= ℝ) szekció mint ℝ részhalmaza nem porózus. A héjszerűen porózus halmazok szekciói azonban mindig héjszerűen porózusak a megfelelő térben:

1.3.13 Állítás Legyen m < n és E ⊆ ℝ^{n} héjszerűen porózus halmaz. Ekkor minden x ∈ ℝ^{m} esetén Y_{x} héjszerűen porózus ℝ^{n−m}-ben.

1.3 A különböző értelemben porózus halmazok tulajdonságai 13

Bizonyítás: Ha Y_{x} = ∅, akkor az állítás nyilvánvaló. Ha Y_{x} ≠ ∅, akkor létezik y ∈ ℝ^{n−m}, hogy (x, y) ∈ E ⊆ ℝ^{n}. Mivel E héjszerűen porózus (x, y)-ban, azért létezik (r_{k})_{k∈ℕ} és (R_{k})_{k∈ℕ} sorozat, hogy 0 < r_{k} < R_{k}, R_{k} → 0, S_{(x,y)} (r_{k}, R_{k}) ∩ E = ∅, és \frac{R_{k}−r_{k}}{R_{k}} → η = p^{s} (E; (x, y)) > 0. Ebből következik, hogy ℝ^{n−m}-ben S_{y} (r_{k}, R_{k}) ∩ Y_{x} = ∅ ∀k, tehát p^{s} (Y_{x}; y) ≥ lim_{k→+∞} \frac{R_{k}−r_{k}}{R_{k}} = η > 0. □

Végül hasonlítsuk össze a héjszerű porozitást a hiperporozitás fogalmával – amit az alábbiakban definiálunk.

1.3.14 Definíció (hiperporozitás) Egy M ⊆ (P, ρ) halmaz hiperporózus az x ∈ P pontban, ha létezik olyan γ pozitív szám, hogy minden z ≠ x-hez található y, melyre ρ (x, y) + ρ (y, z) = ρ (x, z) és B (y, γρ (x, y)) ∩ M = ∅. Jelölje

p^{h} (M; x) = sup {γ : ∃y ρ (x, y) + ρ (y, z) = ρ (x, z) , B (y, γρ (x, y)) ∩ M = ∅} ,

amit az M halmaz x pontbeli hiperporozitásának nevezünk.

1.3.15 Példa Létezik olyan (P, ρ) lokálisan összefüggő izolált pont nélküli metrikus tér, E ⊆ P héjszerűen porózus halmaz, hogy E nem hiperporózus.

Bizonyítás: Legyen (P, ρ) az ℝ^{2} ∖ {(x_{1}, 0) : −1 < x_{1} < 1} halmaz ellátva az euklideszi metrikával, és E = {(1, 0)} egypontú halmaz. Tetszőleges R > 0, N > 1 esetén az S_{(1,0)} (R/N, R) héj E^{c}-ben fekszik, ezért E erősen héjszerűen porózus (tartsunk R-rel 0-hoz, N-nel +∞-hez). Azonban E nem hiperporózus (1, 0)-ban, mivel (−1, 0) ∈ P, de a (−1, 0) és az (1, 0) pontokat összekötő szakaszon nincs P -beli pont. □

1.3.16 Tétel Legyen (P, ρ) konvex metrikus tér, azaz ha x, z ∈ P, 0 < α < ρ (x, z), akkor létezik y ∈ P pont úgy, hogy ρ (x, y) = α, ρ (y, z) = ρ (x, z) − α. Ha E ⊆ P héjszerűen porózus az x ∈ P pontban, akkor E hiperporózus x-ben.

Bizonyítás: Legyen a feltételek szerint p^{s} (E; x) = η > 0. Ezért létezik (r_{n})_{n∈ℕ} és (R_{n})_{n∈ℕ} sorozat, hogy 0 < r_{n} < R_{n}, R_{n} → 0, S_{x} (r_{n}, R_{n}) ∩ E = ∅, és \frac{R_{n}−r_{n}}{R_{n}} → η. A hiperporozitás belátásához tekintsünk egy tetszőleges z ∈ P, z ≠ x pontot. Minden n

14 1. Fejezet: A szigma-porózus halmazokról

természetes számra definiáljunk egy y_{n}, az x-et és z-t összekötő szakaszon fekvő pontot úgy, hogy ρ (x, y_{n}) = R_{n} − \frac{R_{n}−r_{n}}{2} legyen. Ilyen y_{n} a tér konvexsége miatt létezik. Ekkor y_{n} ∈ S_{x} (r_{n}, R_{n}) , B (y_{n}, \frac{R_{n}−r_{n}}{2} ) ∩ E = ∅. Mivel

lim_{n→+∞} \frac{(R_{n} − r_{n}) /2}{ρ (x, y_{n})} = lim_{n→+∞} \frac{(R_{n} − r_{n}) /2}{R_{n} − (R_{n} − r_{n}) /2}
= lim_{n→+∞} \frac{(R_{n} − r_{n}) /R_{n}}{2 − (R_{n} − r_{n}) /R_{n}} = \frac{η}{2 − η} ,

azért p^{h} (E; x) ≥ \frac{η}{2−η} > 0, tehát E hiperporózus x-ben. □

Külön elmélete van az ún. porozitás-függvények segítségével definiálható porozitás-fogalmaknak. Az alábbiakban Zajiček [24] terminológiáját vezetjük be.

1.3.17 Definíció (porozitás-függvény) A g : ℝ → ℝ függvényt porozitás-függvénynek nevezzük, ha monoton növő, valamely h > 0 számra folytonos [0, h)-n és g (0) = 0. A porozitás-függvények halmazát G-vel jelöljük.

1.3.18 Definíció ((g)-porozitás) Legyen (P, ρ) metrikus tér, g ∈ G, M ⊆ P, x ∈ P, c > 0. Azt mondjuk, hogy az M halmaz (g)-porózus x-ben, ha az (1.1.1) jelöléseivel

lim sup_{R→0+} g (γ (x, R, M)) /R > 0.

Az x pont (g, c)-porozitási pontja M-nek, ha

lim sup_{R→0+} g (γ (x, R, M)) /R ≥ c.

1.3.19 Definíció (⟨g⟩-porozitás) Legyen (P, ρ) metrikus tér, g ∈ G, M ⊆ P, x ∈ P. Azt mondjuk, hogy az M halmaz ⟨g⟩-porózus x-ben, ha létezik B (s_{n}, r_{n}) gömböknek olyan sorozata, hogy s_{n} → x, B (s_{n}, r_{n}) ∩ M = ∅ és g (r_{n}) > ρ (x, s_{n}) . Legyen H ⊆ G. Az M halmazról azt mondjuk, hogy ⟨H⟩-porózus x-ben, ha ∀h ∈ H esetén ⟨h⟩-porózus x-ben.

Zajiček [24] számos érdekes tételt közöl, ezek közül csak a leglényegesebbeket említjük.

1.3.20 Tétel Legyen 0 < q < p < 1 és M egy metrikus tér részhalmaza. Ekkor M pontosan akkor (x^{q})-σ-porózus, ha (x^{p})-σ-porózus.

1.3 A különböző értelemben porózus halmazok tulajdonságai 15

A bizonyítás két, könnyen belátható lemmán és a belőlük következő állításon alapul:

1.3.21 Lemma Ha f ∈ G és x ∈ M ⟨f⟩-porozitási pontja M-nek, akkor egyben (2f, 1)-porozitási pontja is.

Bizonyítás: A feltétel szerint akármilyen kis h > 0 számhoz van y, hogy B (y, h) ∩ M = ∅ és f (y) > ρ (x, y) . Ha h elég kicsi, akkor f (γ (x, R, M)) > R/2, R = 2ρ (x, y) választással. □

1.3.22 Lemma Ha f ∈ G, és A (f)-σ-porózus, akkor A = ∪_{n=1}^{∞}A_{n}, ahol A_{n} (f, c_{n})-porózus valamilyen c_{n} > 0-ra.

Bizonyítás: Legyen A = ∪_{i=1}^{∞}B_{i}, ahol minden B_{i} (f)-porózus. Legyen B_{i,k} azon x ∈ B_{i} pontok halmaza, melyek (f, 1/k)-porozitási pontjai B_{i}-nek. Ekkor B_{i} = ∪_{k=1}^{∞}B_{i,k}, a B_{i,k} halmazokat pedig rendezzük egy (A_{n})_{n=1}^{∞} sorozatba. □

1.3.23 Állítás Ha h, f ∈ G és ∀B > 0-hoz létezik A > 0, δ > 0, r ∈ ℤ, hogy

\begin{matrix}\underbrace{(Ah) ∘ ... ∘ (Ah)} (x) ≥ Bf (x) 0 < x < δ, \\ r-szer \end{matrix}

akkor M (f)-σ-porozitásából következik (h)-σ-porozitása.

Az utóbbi állítás feltételei A = 1, h = x^{p}, f = x^{q} és olyan r ∈ ℤ-re teljesülnek, hogy p^{r} < q, ugyanis ekkor x^{p^{r}−q} ≥ B, ha x elég közel van a 0-hoz.

Az (f)-porozitás és a közönséges porozitás lényegi eltérését jól érzékelteti a következő tétel:

1.3.24 Tétel Legyen 0 < q < 1. Ekkor létezik perfekt, (x^{q})-porózus, pozitív Lebesgue-mértékű halmaz.

Bizonyítás: Jelölje I = (a − r, a + r) (r > 0) esetén x^{q} ∗ I az (a − r^{q}, a + r^{q}) intervallumot. A keresett D halmazt (D_{k})_{k=0}^{∞} zárt halmazok metszeteként állítjuk elő, ahol minden D_{k} 2^{k} darab zárt intervallum uniója. Legyen S_{0} = {[0, 1/2]}. Ha az

16 1. Fejezet: A szigma-porózus halmazokról

S_{k} = {I_{1}, ..., I_{2^{k}}} diszjunkt zárt intervallumokból álló halmaz már definiálva van, akkor j = 1, ..., 2^{k} esetén legyenek I′_{j} és I′′_{j} olyan diszjunkt zárt intervallumok, hogy x^{q} ∗ (I_{j} ∖ (I′_{j} ∪ I′′_{j})) = int I_{j} teljesüljön. Legyen S_{k+1} = {I′_{1}, I′′_{1}, ..., I′_{2^{k}}, I′′_{2^{k}}}. Ekkor D_{k} = ∪{I : I ∈ S_{k}}, D = ∩_{k=0}^{∞}D_{k} megfelel a kívánalmaknak. Ugyanis az L = I_{j} ∖ (I′_{j} ∪ I′′_{j}) intervallumra az kell teljesüljön, hogy 2 (|L| /2)^{q} = |I_{j}| , ebből

λ (I′_{j} ∪ I′′_{j}) = |I_{j}| (1 − 2^{1−1/q} |I_{j}|^{1/q−1}) .

Mivel |I_{j}| < 1/2^{k+1}, azért

λ (I′_{j} ∪ I′′_{j}) ≥ |I_{j}| (1 − 2^{(1−1/q)(k+2)}) .

Ha λ (D_{k}) = m_{k}, akkor a fentiekből

m_{n+1} ≥ m_{n} (1 − 2^{(1−1/q)(n+2)}) ≥ ... ≥ \frac{1}{2} ∏_{k=0}^{n} (1 − 2^{(1−1/q)(k+2)}) ,

tehát

λ (D) ≥ \frac{1}{2} ∏_{k=0}^{∞} (1 − 2^{(1−1/q)(k+2)}) > 0.

□

Az előbbiek mellett viszont belátható, hogy tetszőleges euklideszi térben létezik nem (x^{q})-σ-porózus halmaz (0 < q < 1).

A következő definíciót Humkenál [8] találjuk:

1.3.25 Definíció (globális porozitás) Legyen E ⊂ ℝ korlátos halmaz, r > 0. Ha E-nek van legalább két pontja, akkor jelölje a = inf E, b = sup E és legyen (a, b)∖\overline{E} = ∪_{n=1}^{∞}I_{n}, ahol az I_{n}-ek páronként diszjunkt (esetleg üres) nyílt intervallumok. Jelölje EP (N) az I_{1}, ..., I_{N−1} intervallumok végpontjait. Azt mondjuk, hogy E r-globálisan porózus, ha ∀N ∃N^{∗}, hogy E ∖ EP (N) ⊆ ∪_{n=N}^{N^{∗}} (r ∗ I_{n}) , ahol r ∗ I_{n} jelöli az I_{n}-nel koncentrikus, rszeres hosszúságú nyílt intervallumot. Ha E egypontú vagy üres halmaz, akkor definíció szerint legyen r-globálisan porózus. Egy halmazt globálisan porózusnak nevezünk, ha valamely r > 0-ra r-globálisan porózus.

1.3.26 Megjegyzés Nem igaz, hogy minden globálisan porózus halmaz minden részhalmaza is globálisan porózus (vö. (1.1.5)), csak „majdnem” teljesül az állítás:

1.3 A különböző értelemben porózus halmazok tulajdonságai 17

1.3.27 Állítás Legyen E r-globálisan porózus halmaz, [a, b] tetszőleges zárt intervallum, ε > 0. Ha \{I_{k}\}-val jelöljük (a − ε, b + ε) ∖ \overline{E} komponenseit, akkor minden K-hoz létezik K^{∗} > K, hogy (az (1.3.25) definíció jelöléseivel) (E ∖ EP (K)) ∩ [a, b] ⊆ ∪_{k=K}^{K^{∗}} (r ∗ I_{k}) .

Bizonyítás: Jelölje A = inf E, B = sup E és \{J_{n}\}_{n∈ℕ} az (A, B) ∖ \overline{E} halmaz komponenseit. Az ((A, B) ∩ (a − ε, b + ε)) ∖ \overline{E} minden I_{k} komponenséhez egyértelműen létezik n (k) , hogy I_{k} ⊆ J_{n(k)} (ha J_{n(k)}-nak sem a − ε sem b + ε nem eleme, akkor J_{n(k)} = I_{k}). Legyen N_{1} = max{n (k) : k < K}. Ha a − ε ∉ E (b + ε ∉ E) , akkor legyen N_{2} (N_{3}) az az index, melyre a − ε ∈ J_{N_{2}} (b + ε ∈ J_{N_{3}}) , különben legyen N_{2} (N_{3}) = 0. Létezik N_{4}, hogy minden n ≥ N_{4} esetén |J_{n}| < ε/r, amiből J_{n} ∩ (a − ε, b + ε) = ∅ esetén következik, hogy (r ∗ J_{n}) ∩ [a, b] = ∅. Végül jelölje N_{5} = max{N_{i} : i = 1, 2, 3, 4}. Mivel E globálisan porózus, létezik N_{5}^{∗∗}, hogy E ∖ EP (N_{5}) ⊆ ∪_{n=N_{5}}^{N_{5}^{∗∗}} (r ∗ J_{n}) . Az előbbi meggondolásból, ha K^{∗} = max{k : N_{5} ≤ n (k) ≤ N_{5}^{∗∗}}, akkor (E ∖ EP (K)) ∩ [a, b] ⊆ ∪_{k=K}^{K^{∗}} (r ∗ I_{k}) . □

A közönséges porozitás tulajdonságait tekintve figyelemreméltó az alábbi lemma és két következménye:

1.3.28 Lemma Ha E globálisan porózus, akkor \overline{E} is az.

Bizonyítás: Legyen r az E globális porozitása és s > r. Megmutatjuk, hogy \overline{E} s-globálisan porózus. Legyen N adott. Ekkor létezik N^{∗}, hogy E ∖ EP (N) ⊆ ∪_{n=N}^{N^{∗}} (r ∗ I_{n}) . Mivel a jobb oldalon lévő halmaz egy véges sok komponensből álló nyílt halmaz, azért ez \overline{E}-ból legfeljebb az r ∗ I_{n}-ek végpontjait nem fedi le. Tehát létezik s > r, hogy \overline{E} ∖ EP (N) ⊆ ∪_{n=N}^{N^{∗}} (s ∗ I_{n}) . □

1.3.29 Következmény Az E ⊂ ℝ korlátos halmaz pontosan akkor globálisan σ-porózus, ha benne van egy F_{σ} globálisan σ-porózus halmazban.

1.3.30 Következmény Létezik olyan σ-porózus halmaz, ami nem globálisan σ-porózus.

Bizonyítás: Az (1.1.8) állítás C′ pontjából következik. □

18 1. Fejezet: A szigma-porózus halmazokról

Humke vizsgálja az egyenletes porozitás tulajdonságait is:

1.3.31 Definíció (egyenletes porozitás) Az E halmaz egyenletesen porózus, ha ∃ε > 0, hogy ∀x ∈ E az (1.2) jelölésével p (E, x) > ε.

1.3.32 Példa Az S = \{±\frac{1}{n} : n = 1, 2, ...\} halmaz egyenletesen porózus, de nem globálisan porózus.

Bizonyítás: S nyilván egyenletesen porózus, hiszen minden pontjában 1 a porozitása (az 1/n pont 1/n − 1/ (n + 1) sugarú környezetébe egy ugyanekkora hosszúságú, S-től diszjunkt intervallum írható). Viszont nem globálisan porózus, mert a (1.3.25) definíció szerint létező r-re és N^{∗}-ra teljesülnie kellene, hogy

\frac{1}{2} (\frac{1}{N^{∗}} + \frac{1}{N^{∗} + 1}) < \frac{r}{2} (\frac{1}{N^{∗}} − \frac{1}{N^{∗} + 1}) ,

hogy S maradék részét a megfelelő véges sok intervallum lefedje, amiből r > 2N^{∗} + 1 minden N^{∗}-ra (hiszen N tetszőlegesen nagy lehet), ilyen r pedig nem létezik. □

1.3.33 Megjegyzés Könnyen látható, hogy minden porózus (így minden σ-porózus halmaz is) előáll egyenletesen porózus halmazok megszámlálható uniójaként, ld. (1.3.22) lemmát.

1.3.34 Következmény Az egyenletesen σ-porózus halmazok megegyeznek a σ-porózus halmazokkal, de nem egyeznek meg a globálisan σ-porózus halmazokkal.

A következőkben csak megemlítjük, hogy ℝ^{n} kvázikonform leképezéseinek elméletében használatosak még a következő definíciók:

1.3.35 Definíció (nagyon porózus) Ha (P, ρ) metrikus tér, M ⊆ P, x ∈ P, akkor azt mondjuk, hogy M nagyon porózus x-ben, ha (a (1.1.1) jelöléssel) lim inf_{R→0+} γ (x, R, M) /R > 0. Továbbá E nagyon erősen porózus x-ben, ha lim_{R→0+} 2γ (x, R, M) /R ≥ 1.

1.3.36 Definíció (globálisan, egyenletesen nagyon porózus) Ha (P, ρ) metrikus tér, M ⊆ P, x ∈ P, akkor azt mondjuk, hogy M globálisan nagyon porózus, ha létezik c > 0, hogy ((1.1.1) jelöléssel) γ (x, R, M) > cR

1.3 A különböző értelemben porózus halmazok tulajdonságai 19

minden x ∈ P és R > 0 mellett. M egyenletesen nagyon porózus, ha ∃c > 0, hogy lim inf_{R→0+} γ (x, R, M) /R > c ∀x ∈ M.

Az ún. sűrűségtopológiák vizsgálatánál játszanak fontos szerepet az alábbi típusú halmazok:

1.3.37 Definíció (szuperporozitás) Ha (P, ρ) metrikus tér, M ⊆ P, x ∈ P, akkor azt mondjuk, hogy M szuperporózus x-ben, ha minden olyan F halmazra, mely porózus x-ben, M ∪F is porózus x-ben.

Normált terekben vezethető be az iránymenti porozitás fogalma.

1.3.38 Definíció (iránymenti porozitás) Ha (P, ∥·∥) normált tér, V ⊆ P adott halmaz, akkor azt mondjuk, hogy az M ⊆ P halmaz V irányban porózus az x pontban, ha az (1.1.2) definícióban szereplő y pont minden esetben y = x + tv (t ≥ 0) alakúnak választható, ahol v ∈ V. Ha V = {v}, akkor M v irányban porózus x-ben.

Preiss és Zajiček [15] cikkében szereplő tételéből az következik, hogy szeparábilis normált terekben fekvő irány mentén porózus halmazok vizsgálatakor elegendő a megszámlálható sűrű halmaz elemeinek irányaira szorítkozni. Ehhez bevezetik az alábbi definíciót:

1.3.39 Definíció (megengedhető pár) Legyen (P, ∥·∥) normált tér, E, F ⊆ P adottak. Azt mondjuk, hogy E, F megengedhető pár, ha létezik η > 0, hogy ∀e ∈ E, ∀f ∈ F esetén ∥e + f∥ ≥ η max (∥e∥ , ∥f∥) .

A tétel a következő állításból adódik:

1.3.40 Állítás Legyen (P, ∥·∥) normált tér, E, F ⊆ P megengedhető pár. Ekkor ha A ⊆ P az E + F irányban σ-porózus halmaz, akkor A = A_{1} ∪ A_{2} alakban írható, ahol A_{1} az E irányban σ-porózus, A_{2} pedig F irányban σ-porózus.

1.3.41 Tétel Legyen (P, ∥·∥) szeparábilis normált tér, (v_{n})_{n=1}^{∞} teljes sorozat P -ben ( \overline{⟨(v_{n})_{n=1}^{∞}⟩} = P). Ha A ⊆ P valamely V irányban σ-porózus halmaz, akkor A = ∪_{n=1}^{∞} (A_{n}^{+} ∪ A_{n}^{−}) alakban írható, ahol A_{n}^{+} ill. A_{n}^{−} σ-porózusak v_{n} ill. −v_{n} irányban.

20 1. Fejezet: A szigma-porózus halmazokról

Bizonyítás: Nyilván elég a tételt porózus A esetére bizonyítani. Az alapgondolat az, hogy mivel feltehető, hogy a v_{n}-ek lineárisan függetlenek, azért minden n-re E = ⟨v_{1}, ..., v_{n−1}⟩ és F = ⟨v_{n}⟩ megengedhető pár. Továbbá A felírható A = ∪_{k,n=1}^{∞}A_{k,n} alakban, ahol A_{k,n} azon A-beli pontok halmaza, melyekben A 1/k-porózus és amelyekhez a porozitás miatt létező v_{x} (∥v_{x}∥ = 1) irányra

dist (v_{x}, ⟨v_{1}, ..., v_{n}⟩ ∩ {v ∈ P : ∥v∥ = 1}) < 1/k

. Innen némi számolással és az (1.3.40) állítás felhasználásával igazolható a tétel. □

A későbbiekben szükségünk lesz még néhány (pl. Banach-térbeli) porozitásfogalomra – ezeket a megfelelő helyen definiálni fogjuk.

1.4 Tipikus kompakt halmazok és folytonos függvények a számegyenesen

Ismert tény, hogy ha ℝ nem üres kompakt részhalmazait (jelöljük ezek összességét a továbbiakban 𝒞-vel) ellátjuk az ún. Hausdorff-metrikával, vagyis A, B ∈ 𝒞 esetén

ρ (A, B) ≐ max{ρ̄_{B}^{A}, ρ̄_{A}^{B}}, ahol ρ̄_{B}^{A} = inf{ε > 0 : B ⊆ ⋃_{x∈A} B (x, ε)},

akkor 𝒦 = (𝒞, ρ) teljes metrikus tér. A következőkben látni fogjuk, hogy az ebben a térben bizonyos értelemben tipikus halmaz porózus.

1.4.1 Legyen (az (1.2) jelölésével) P^{+} (α) ≐ {F ∈ 𝒦 : p^{+} (F, x) ≥ α ∀x ∈ F }. Hasonlóan értelmezhető P^{−} (α) , P (α) is. A definíciókból könnyen látható, hogy ha 0 < α < β ≤ 1, akkor

P^{+} (α) ⊇ P^{+} (β) ⊇ P^{+} (1)

és P^{+} (β) = ∩_{α<β}P^{+} (α) . Hasonló relációk érvényesek P^{−} (α)-ra, P (α)-ra is.

Larson [10] mutatta meg, hogy az erősen porózus halmazok tipikusak 𝒦-ban.

1.4.2 Tétel P^{+} (1) sűrű G_{δ} részhalmaz 𝒦-ban.

1.4 Tipikus kompakt halmazok és folytonos függvények a számegyenesen 21

Bizonyítás: A bizonyítás fő gondolata az, hogy a

P_{n}^{+} (η) ≐ {F ∈ 𝒞 : ∀x ∈ F ∃r ∈ (0, 1/n) és ∃I ⊆ (x, x + r) ∖ F

zárt intervallum, melyre |I| /r > η}

nyílt halmaz 𝒦-ban ∀η ∈ (0, 1) és ∀n ∈ ℕ esetén. Ebből

P^{+} (α) = ⋂_{n=1}^{∞} ⋂_{m=1}^{∞} P_{n}^{+} (α − 1/m) , P^{+} (1) = ⋂_{n=1}^{∞} P^{+} (1 − 1/n)

G_{δ} halmazt ad. □

1.4.3 Következmény A 𝒦-nak azon elemei, melyek erősen porózusak, sűrű G_{δ} – így reziduális – halmazt alkotnak 𝒦-ban.

1.4.4 Következmény A 𝒦-nak azon elemei, melyek σ-porózusak, reziduális halmazt alkotnak 𝒦-ban.

Bizonyítás: Következik abból, hogy minden erősen porózus halmaz σ-porózus. □

Vallin [23] bizonyította be, hogy egy tipikus kompakt halmaz erősen héjszerűen porózus is.

1.4.5 Tétel A 𝒦-nak azon elemei, melyek erősen héjszerűen porózusak (vagyis amelyekre az (1.3.2) definíció jelölésével lim sup_{R→0+} Λ (x, R, M) /R ≥ 1), sűrű G_{δ} halmazt alkotnak 𝒦-ban.

Bizonyítás: A bizonyítás hasonló, mint az (1.4.2) tétel esetén, azzal a különbséggel, hogy most az alábbi halmazról kell megmutatni, hogy nyílt 𝒦-ban ∀η ∈ (0, 1) és ∀n ∈ ℕ esetén:

\begin{aligned}P_{n} (η) = & \{F ∈ 𝒞 : ∀x ∈ F ∃R_{x} ∈ (0, 1/n) , h_{x} > 0, t_{x} > 0, \\ & hogy t_{x} + h_{x} ≤ R_{x}, h_{x}/R_{x} > η és S_{x} (t_{x}, t_{x} + h) ⊆ F^{c}\}. \end{aligned}

□

Mivel egy kompakt tartójú folytonos függvény szinthalmazai (az f^{−1} ({f (x)}) alakú halmazok) 𝒦-ban vannak, Larson felveti a kérdést, hogy a Thomson [19] által bizonyított, folytonos függvények szinthalmazaira vonatkozó állítások átfogalmazhatók-e a fenti eredmények tükrében, vagyis igazak-e az alábbiak:

1.4.6 Sejtés Ha f : [a, b] → ℝ sehol sem konstans folytonos függvény, akkor tipikus szinthalmaza tipikus; vagyis egy első kategóriájú halmaztól eltekintve minden y-ra f^{−1} (y) tipikus kompakt halmaz.

Zelený tud olyan sehol sem konstans, folytonos függvényről, melynek ráadásul egyetlen szinthalmaza sem σ-porózus.

1.4.7 Tétel Kompakt intervallumon értelmezett tipikus folytonos függvény minden szinthalmaza tipikus.

Bizonyítás: A tétel állítása következik abból, hogy tipikus folytonos függvény bármely monoton függvénnyel (így a konstans függvényekkel is) a számegyenes egy erősen porózus részhalmazán egyezhet meg, ld. [7]. □

1.4.8 Humke vetette fel azt a kérdést, hogy egy valós folytonos függvény grafikonja mindig σ-porózus-e. Foran [5] válaszolta meg a problémát negatívan 1985-ben, konstruálva egy olyan függvényt, amelynek grafikonja nem-σ-porózus. A grafikon Hausdorff-dimenziója 2. Akkor még nem volt ismert, hogy alacsonyabb dimenziójú valamint hogy korlátos változású ellenpélda létezik-e. Végül Zelený [28] 1999-ben konstruált olyan abszolút folytonos függvényt, melynek grafikonja nem-σ-porózus. Mivel ennek Fourier-sora egyenletesen konvergens, azért ez válasz Goffman 1995-ben felvetett kérdésére is, hogy létezik-e olyan függvény, melynek Fourier-sora egyenletesen konvergens és grafikonja nem-σ-porózus.

Szigma-porózus halmazok Banach-terekben

2.1 Fréchet-differenciálhatóság

Legyen (X, ∥·∥) valós Banach-tér, melynek duális tere szeparábilis, és legyen f az X-en értelmezett ℝ-be ható folytonos konvex függvény. Preiss és Zajiček [14] megmutatta, hogy azon pontok halmaza, melyekben f nem Fréchet-differenciálható, σ-porózus. (Egy f : X → ℝ függvény az x pontban Fréchet-differenciálható, ha létezik olyan a ∈ X^{∗}, hogy lim_{∥h∥→0} |f (x + h) − f (x) − (h, a)| / ∥h∥ = 0, ahol (h, a) jelenti az a X^{∗}-beli elem hatását h-n. Ekkor a-t nevezzük az f függvény x-beli Fréchet-deriváltjának.)

2.1.1 Tétel Legyen (X, ∥·∥) valós, szeparábilis duálissal rendelkező Banach-tér, f pedig folytonos és konvex függvény X-en. Ekkor azon pontok, melyekben f nem Fréchetdifferenciálható, σ-porózus halmazt alkotnak.

Bizonyítás: Jelölje A a szóban forgó halmazt és legyen x az f értelmezési tartományának egy belső pontja. Mivel f folytonos, ezért az f szubderivált-halmaza, vagyis a Df (x) (h) = lim_{t→0+} \frac{f(x+th)−f(x)}{t} jelöléssel a ∂f (x) = \{p ∈ X^{∗} : (h, p) ≤ Df (x) (h) ∀h ∈ X} halmaz nem üres, ld. [2] 4.2 tétel. Ha t_{1} ≤ t_{2}, akkor f konvexsége miatt

f (x + t_{1}h) = f (\frac{t_{1}}{t_{2}} (x + t_{2}h) + (1 − \frac{t_{1}}{t_{2}} ) x) ≤ \frac{t_{1}}{t_{2}} f (x + t_{2}h) + (1 − \frac{t_{1}}{t_{2}} ) f (x) ,

24 2. Fejezet: Szigma-porózus halmazok Banach-terekben

amiből \frac{f(x+t_{1}h)−f(x)}{t_{1}} ≤ \frac{f(x+t_{2}h)−f(x)}{t_{2}}. Tehát Df (x) (h) = inf_{t>0} \frac{f(x+th)−f(x)}{t}, ezért t = 1 választással Df (x) (h) ≤ f (x + h) − f (x) . Válasszunk minden x ∈ A esetén p^{x} ∈ X^{∗}-ot úgy, hogy f (x + h) − f (x) ≥ (h, p^{x}) ∀h ∈ X – ilyen az előbbiek alapján létezik. Legyen

A_{m} ≐ \{x ∈ A : lim sup_{h→0} (f (x + h) − f (x) − (h, p^{x})) / ∥h∥ > \frac{1}{m}\}.  (2.1)

Mivel X^{∗} szeparábilis, azért a benne lévő megszámlálható sűrű halmaz minden pontja köré írva egy \frac{1}{12m} sugarú gömböt, az így kapott gömbrendszer lefedi X^{∗}-ot. Tehát A_{m} előáll A_{m} = ∪_{k=1}^{∞}A_{m,k} alakban, ahol A_{m,k}-ra az teljesül, hogy minden x, y ∈ A_{m,k} esetén ∥p^{x} − p^{y}∥ < \frac{1}{6m} (vagyis álljon A_{m,k} az olyan A_{m}-beli pontokból, melyekhez tartozó p^{x} folytonos lineáris funkcionálok mind a k. gömbben vannak). Minden A-beli x-re lim sup_{h→0} (f (x + h) − f (x) − (h, p^{x})) / ∥h∥ > 0, ezért A = ∪_{m=1}^{∞}A_{m} = ∪_{m,k=1}^{∞}A_{m,k}, így elég megmutatni, hogy adott m, k esetén A_{m,k} porózus. Legyen tehát m, k és x ∈ A_{m,k} rögzített. Mivel f folytonos konvex függvény, azért lokálisan Lipschitz. Ennek belátásához nem jelent megszorítást, ha az x = 0, f (0) = 0 esetre szorítkozunk. Az f folytonossága miatt tetszőleges M > 0 számhoz létezik R > 0, hogy |f| ≤ M a B (0, R) gömbön. Indirekt tegyük fel, hogy léteznek x_{n} ∈ X, n ∈ ℕ pontok, melyekre ∥x_{n}∥ → 0, és |f (x_{n})| / ∥x_{n}∥ > n. Jelölje adott 0 < ρ < R esetén y_{n} = ρ · x_{n}/ ∥x_{n}∥ , ekkor y_{n} ∈ B (0, R) . Az f függvény konvexségéből következik, hogy ha n olyan nagy, hogy ∥x_{n}∥ < ρ, akkor

|f (x_{n})| = |f (\frac{∥x_{n}∥}{ρ} · y_{n} + (1 − \frac{∥x_{n}∥}{ρ}) · 0)| ≤ \frac{∥x_{n}∥}{ρ} |f (y_{n})| ≤ \frac{∥x_{n}∥}{ρ}M,

tehát minden elég nagy n-re n < |f (x_{n})| / ∥x_{n}∥ ≤ M/ρ volna, ami ellentmondás. Ezért tetszőleges m-hez és x-hez létezik R > 0, K > 1/m, hogy f Lipschitzkonstansa B (x, R)-en legfeljebb K. Ebből ∥p^{x}∥ ≤ K. A_{m,k} definíciójából és (2.1)- ből következik, hogy ∀r > 0 ∃h ∈ X, hogy

f (x + h) − f (x) > ∥h∥ /m + (h, p^{x}) és ∥h∥ < min (r, R/2) .

A_{m,k} x-beli porozitásához elég megmutatni, hogy ilyen h-ra

B (x + h, ∥h∥ /3Km) ∩ A_{m,k} = ∅.

Tegyük fel indirekt, hogy e halmaznak létezik y eleme. Ekkor f (x) − f (y) ≥ (x − y, p^{y}) . Ebből

f (x + h) − f (y) > (h, p^{x}) + (x − y, p^{y}) + ∥h∥ /m

2.2 Lokális kompaktság és szigma-porozitás 25

= ((x + h) − y, p^{x}) + (x − y, p^{y} − p^{x}) + ∥h∥ /m

Mivel ∥(x + h) − y∥ < ∥h∥ /3Km, ∥x − y∥ < 2 ∥h∥, ∥p^{x}∥ ≤ K és ∥p^{x} − p^{y}∥ < \frac{1}{6m} azért kapjuk, hogy f (x + h) − f (y) > ∥h∥ /3m. Másrészt x + h, y ∈ B (x, R) , ezért f (x + h) − f (y) ≤ K ∥(x + h) − y∥ < ∥h∥ /3m, ami ellentmondás. □

2.2 Lokális kompaktság és szigma-porozitás

Jelen fejezetben azt fogjuk megvizsgálni, hogyan jellemezhetők Banach-terek altereiben a (σ-)porózus halmazok. Ehhez szükségünk lesz a következő porozitásfogalmakra (a továbbiakban gömb alatt mindig nyílt gömböt értünk):

2.2.1 Definíció (gömbre nézve porózus) Legyen (X, ρ) metrikus tér, B ⊆ X, x ∈ B. Legyen S ⊆ X olyan gömb, melynek x a határán fekszik (azaz x ∈ \overline{S} ∖ S). Azt mondjuk, hogy B S-re nézve porózus x-ben, ha ∃γ > 0, hogy ∀ε > 0-hoz léteznek S_{1} ⊆ S_{2} ⊆ S gömbök úgy, hogy x ∈ \overline{S}_{2} ∖ S_{2}, S_{1} ∩ B = ∅, ε > diam S_{1} ≥ γ · (diam S_{2})

2.2.2 Definíció (totális porozitás) Legyen (X, ρ) metrikus tér, B ⊆ X, x ∈ B. A B halmaz totálisan porózus x-ben, ha minden olyan gömbre nézve porózus x-ben, melynek x a határán fekszik.

Agronsky és Bruckner [1] az altér lokális kompaktsága és az altérben kompakt halmazok porozitása közötti alábbi összefüggést mutatták meg:

2.2.3 Tétel Legyen (X, ∥·∥) szeparábilis Banach-tér, A ⊆ X legalább két elemű konvex részhalmaz. A-nak pontosan akkor létezik B kompakt, nem porózus részhalmaza, ha A lokálisan kompakt. Ha A lokálisan kompakt, akkor B sehol sem sűrűnek és nem-σ-porózusnak is választható. Ha A nem lokálisan kompakt, akkor A minden kompakt részhalmaza totálisan porózus.

A fenti (2.2.3) tételben és a fejezet során végig az (A ⊆ X) altérben lévő halmazok topológiai és metrikus (gömb, porozitás) tulajdonságai alatt mindig az altérre megszorított topológiában tekintett megfelelő tulajdonságokat értjük. A tétel bizonyításához szükségünk lesz Banach és Mazur következő eredményére, melynek bizonyítása megtalálható pl. [11]-ban (az egyszerűség kedvéért jelölje a továbbiakban C a [0, 1] intervallumon folytonos függvények terét, ellátva a szokásos normával, I_{0} = [0, 1]):

26 2. Fejezet: Szigma-porózus halmazok Banach-terekben

2.2.4 Tétel (Banach-Mazur) Ha X tetszőleges szeparábilis Banach-tér, akkor létezik ϕ lineáris izometria X-ről C egy zárt alterébe.

Agronsky és Bruckner eredményét két tételben bizonyítjuk. Az elsőhöz felhasználjuk az alábbi könnyen igazolható állítást:

2.2.5 Állítás Ha A konvex, zárt részhalmaza az X szeparábilis Banach-térnek, és A tartalmaz kompakt gömböt, akkor A-ban minden zárt gömb kompakt.

2.2.6 Tétel Legyen (X, ∥·∥) szeparábilis Banach-tér, A ⊆ X zárt, nem lokálisan kompakt konvex részhalmaz, melynek legalább két pontja van. Ha B ⊆ A kompakt, akkor B totálisan porózus.

Bizonyítás: A (2.2.4) Banach-Mazur tétel miatt feltehető, hogy X = C. Legyen g ∈ B, S olyan gömb, melynek g a határán fekszik, S középpontja u. Feltehető, hogy diam S < 1. Legyen ε > 0. A (2.2.5) állítás miatt \overline{S} nem kompakt. Ezért létezik olyan β > 0, hogy ∀δ > 0-hoz ∃f ∈ S és x, y ∈ I_{0}, |x − y| < δ, hogy |f (x) − f (y)| ≥ β. Legyen v = αu + (1 − α) g az u-nak és g-nek olyan konvex kombinációja, hogy ∥v − g∥ = α ∥u − g∥ < ε/2 (α-t elég kicsinek választva ez elérhető). Igazolható, hogy S_{2} = S (v, ∥v − g∥) ⊆ S, és g az S_{2} határán fekszik. Megadunk egy olyan S_{1} ⊆ S_{2} gömböt, melyre S_{1} ∩B = ∅, diam S_{1} > \frac{β}{12} ·diam S_{2}. Legyen ω B-nek folytonossági modulusa. Ekkor α = ∥v − g∥ /2, δ = ω^{−1} (\frac{αβ}{6} ) jelöléssel léteznek x, y ∈ I_{0}, h ∈ S_{2}, hogy |x − y| < δ, |h (x) − h (y)| > 5ω (δ) és ∥h − v∥ < α. Legyen S_{1} = S (h, ω (δ)) . Ekkor S_{1} ⊆ S_{2}, mivel ω (δ) = \frac{αβ}{6} < α. Az S_{1} ∩B = ∅ belátásához vegyük észre, hogy ha f ∈ A∩S_{1}, akkor |f (x) − f (y)| > |h (x) − h (y)| − |f (x) − h (x)| − |f (y) − h (y)| > 2ω (δ) , tehát f ∉ B. Mivel ∥v − g∥ < ε/2, azért ε > diam S_{1} = \frac{αβ}{3} = \frac{β}{12}4α = \frac{β}{12} (diam S_{2}) , és ezzel beláttuk, hogy B totálisan porózus. □

A következő tétel arról szól, hogy fent kompakt részhalmaz helyett nem vehetünk sehol sem sűrűt. (Ha minden sehol sem sűrű halmaz is totálisan porózus volna, akkor nem lokálisan kompakt terekben az első kategóriájú halmazok megegyeznének a σ-porózusakkal.)

2.2 Lokális kompaktság és szigma-porozitás 27

2.2.7 Tétel Legyen (X, ∥·∥) szeparábilis Banach-tér, A ⊆ X konvex részhalmaz, melynek legalább két eleme van. Ha S ⊆ A tetszőleges gömb, akkor létezik B ⊆ S zárt, sehol sem sűrű, nem-σ-porózus részhalmaz.

Bizonyítás: Ismét felhasználva a (2.2.4) Banach-Mazur tételt, feltehető, hogy X = C. Legyenek f, g ∈ S, f ≠ g tetszőlegesek, x_{0} ∈ I_{0}, f (x_{0}) < g (x_{0}) (feltehető, hogy ilyen létezik). Tkadlec [21]-ban közölt tétele alapján létezik E ⊆ (f (x_{0}) , g (x_{0})) zárt, sehol sem sűrű, nem-σ-porózus részhalmaz. Legyen B ≐ {s ∈ S : s (x_{0}) ∈ E}. Megmutatjuk, hogy ez jó. Könnyen látható, hogy B sehol sem sűrű és zárt Aban. Tegyük fel, hogy B = ∪_{k=1}^{∞}B_{k}. Belátjuk, hogy valamelyik B_{k} nem porózus valamely h ∈ B_{k} pontjában. Legyen E_{k} ≐ {y ∈ E : ∃s ∈ B_{k} s (x_{0}) = y}. Ekkor E = ∪_{k=1}^{∞}E_{k}, mivel S konvex. Tehát ∃k, ∃z ∈ E_{k}, hogy E_{k} nem porózus z-ben. Az f és g függvények megfelelő konvex kombinációját képezve kaphatunk olyan h ∈ S-et, melyre h (x_{0}) = z. Megmutatjuk, hogy B nem porózus h-ban. Legyen ε > 0 olyan, hogy f (x_{0}) < h (x_{0}) − ε < h (x_{0}) + ε < g (x_{0}) . Némi számolással belátható, hogy ha valamely v ∈ A-ra S (v, δ) ⊆ S (h, ε) , és γ_{1} = \frac{∥g−h∥+ε}{g(x_{0})−h(x_{0})−ε}, γ_{2} = \frac{∥f−h∥+ε}{h(x_{0})−ε−f(x_{0})}, akkor ∀y ∈ [v (x_{0}) , v (x_{0}) + \frac{δ}{γ_{1}} ] ∃w ∈ S (v, δ) ∩ A, hogy w (x_{0}) = y, és ∀u ∈ [v (x_{0}) − \frac{δ}{γ_{2}} , v (x_{0})] ∃l ∈ S (v, δ) ∩ A, l (x_{0}) = u. Jelölje γ = max\{γ_{1}, γ_{2}\}. Legyen adva η > 0. Mivel E_{k} nem porózus h (x_{0})-ban, az (1.1.2) definíció alapján létezik 0 < ε_{1} < ε, hogy ha I ⊆ (h (x_{0}) − ε_{1}, h (x_{0}) + ε_{1}) , |I| ≥ ηε_{1}, akkor I∩E_{k} ≠ ∅. Tegyük fel, hogy M ⊆ A olyan gömb, melynek h a határán fekszik és diam M < ε_{1}. Ha S (v, δ) ⊆ M, akkor (v (x_{0}) − δ, v (x_{0}) + δ) ⊆ (h (x_{0}) − ε_{1}, h (x_{0}) + ε_{1}) , ezért ha \frac{δ}{γ} ≥ ηε_{1} is teljesül, akkor mivel γ > 1, létezik y ∈ (v (x_{0}) − \frac{δ}{γ} , v (x_{0}) + \frac{δ}{γ} )∩E_{k}. Viszont γ definíciója alapján ∃w ∈ S (v, δ) ∩ A, hogy w (x_{0}) = y. Tehát w ∈ B_{k}, S (v, δ) ∩ B_{k} ≠ ∅. Így beláttuk, hogy ∃ε_{1}, hogy ∀η > 0-ra, minden M gömbre, melynek h a határán fekszik, és minden S ⊆ M gömbre, melyre ε_{1} > diam S > 2γη diam M, teljesül, hogy S ∩B_{k} ≠ ∅, tehát B_{k} nem 2γη-porózus h-ban ∀η > 0ra, így B_{k} nem porózus h-ban. □

2.2.8 Következmény (A (2.2.3) állítás másik iránya) Ha X szeparábilis Banach-tér, A ⊆ X lokálisan kompakt, konvex részhalmaz, melynek legalább két eleme van, akkor A-ban minden zárt gömb tartalmaz kompakt, sehol sem sűrű nem-σ-porózus részhalmazt.

28 2. Fejezet: Szigma-porózus halmazok Banach-terekben

Nullmértékű és első kategóriájú halmazok

A továbbiakban a számegyenesre mint alaphalmazra szorítkozva azt fogjuk vizsgálni, milyen párhuzam vonható a nullmértékű és első kategóriájú valamint a σ-porózus halmazok között, ill. miben különböznek egymástól ezek a halmazcsaládok.

3.1 Néhány érdekesség

Jelen fejezetben Oxtoby [13] segítségével áttekintjük a nullmértékű és az első kategóriájú halmazok néhány érdekes tulajdonságát.

3.1.1 Mindkét halmaztulajdonság – mint azt a bevezetőben is említettük – egyfajta „kicsiség”-et jelent. Az első kategóriájú halmazok esetén ez például azt jelenti, hogy megszámlálható sok belőlük nem tölthet ki egy intervallumot. Másrészről, ha egy intervallumban véletlenszerűen választunk ki egy pontot, akkor annak adott részintervallumba esésének valószínűsége a részintervallum hosszával arányos, egy nullmértékű halmazba esésének valószínűsége pedig 0. Az, hogy egyik halmazcsalád sem tartalmazza a másikat, következik az alábbi tételből:

3.1.2 Tétel A számegyenes felbontható A és B diszjunkt halmazokra úgy, hogy A első kategóriájú, B pedig nullmértékű.

30 3. Fejezet: Nullmértékű és első kategóriájú halmazok

Bizonyítás: Legyen r_{1}, r_{2}, ... a racionális számok (vagy tetszőleges sűrű megszámlálható halmaz) egy felsorolása, I_{i,j} ≐ (r_{i} − 1/2^{i+j}, r_{i} + 1/2^{i+j}) . Legyen G_{j} = ∪_{i=1}^{∞}I_{i,j} minden j-re és B = ∩_{j=1}^{∞}G_{j}. Ekkor tetszőleges ε > 0-hoz létezik j, hogy 1/2^{j} < ε, és mivel B ⊆ ∪_{i}I_{i,j} és ∑_{i} |I_{i,j}| = ∑_{i} 1/2^{i+j} = 1/2^{j} < ε, azért B nullmértékű. Másrészt G_{j} sűrű nyílt (∀j), ezért G_{j}^{c} sehol sem sűrű, így A ≐ B^{c} = ∪_{j}G_{j}^{c} első kategóriájú. □

3.1.3 Megjegyzés Az előbbi tételben a számegyenes tetszőleges nullmértékű sűrű G_{δ} részhalmaza választható B-nek.

3.1.4 Lemma A számegyenes tetszőleges nem-megszámlálható G_{δ} részhalmaza tartalmaz sehol sem sűrű, zárt, nullmértékű részhalmazt, mely folytonosan ráképezhető a [0, 1]-re.

Bizonyítás: Cantor-jellegű konstrukcióval belátható. □

Konstruálható olyan (B-vel jelölt) ún. Bernstein-halmaz, melyre B és B^{c} is metszi a számegyenes minden nem-megszámlálható zárt részhalmazát.

3.1.5 Tétel Tetszőleges B Bernstein-halmaz nem mérhető és nem Baire-tulajdonságú ( Bairetulajdonságúnak nevezünk egy halmazt, ha van olyan nyílt halmaz, mellyel vett szimmetrikus differenciája első kategóriájú). Sőt, B és B^{c} minden mérhető halmaza nullmértékű és minden Baire-tulajdonságú részhalmaza első kategóriájú.

Bizonyítás: A mértékre vonatkozó állítás következik abból, hogy a Lebesgue-mérték belülről kompakt reguláris. Könnyen látható, hogy ha A ⊆ B Baire-tulajdonságú, akkor A előáll E ∪ P alakban, ahol E G_{δ}, P első kategóriájú. A (3.1.4) lemma miatt itt E csak megszámlálható lehet. Ezért A első kategóriájú. □

3.1.6 Következmény Minden pozitív külső mértékű halmaz tartalmaz nem-mérhető részhalmazt. Minden második kategóriájú halmaz tartalmaz nem Baire-tulajdonságú részhalmazt.

Bizonyítás: Az adott halmazt A-val jelölve, A ∩ B vagy A ∩ B^{c} valamelyike megfelel. □

3.1 Néhány érdekesség 31

3.1.7 A nullmértékű halmazok és az első kategóriájú halmazok családja között sok hasonlóság van. Mindkét halmazcsalád σ-ideál, mely tartalmazza a megszámlálható halmazokat. Mindkettő tartalmaz kontinuum számosságú halmazokat is. Mindkettő számossága 2^{c}. Egyiknek sem eleme egyetlen intervallum se, mindkét ideál tetszőleges elemének komplementere sűrű. Mindkét halmazcsalád eltolásinvariáns. Tetszőleges nullmértékű ill. tetszőleges első kategóriájú halmazt tartalmaz a megfelelő σ-ideál egy-egy Borel eleme (sőt G_{δ} ill. F_{σ} eleme).

Erdős és Sierpinski nevéhez fűződik a két σ-ideál közötti, a fentiekből (is) sejthető párhuzam pontos megfogalmazása, az ún. dualitási elv, mely tisztán halmazelméleti alapon bizonyítható:

3.1.8 Tétel (Dualitási elv) Legyen P tetszőleges olyan állítás, mely a „nullmértékű” és az „első kategóriájú” kifejezéseken túl csak tisztán halmazelméleti fogalmakat tartalmaz. Legyen P^{∗} az az állítás, melyet úgy kapunk P -ből, hogy a „nullmértékű” és az „első kategóriájú” kifejezéseket mindenütt felcseréljük egymással. Ekkor, ha feltesszük a kontinuumhipotézist, P és P^{∗} ekvivalens egymással.

A dualitási elv alapján sok hasznos és érdekes állítást fogalmazhatunk meg (a számegyenesre vonatkozóan). Példának okáért álljon itt néhány (az első kettő kivételével mindenütt szükséges feltenni a kontinuum-hipotézist):

3.1.9 Állítás Tetszőleges nullmértékű halmaz komplementerében van kontinuum számosságú nullmértékű halmaz.

Bizonyítás: Minden nullmértékű halmaz komplementerében van nem-megszámlálható zárt halmaz, ami (3.1.4) miatt tartalmaz (zárt) kontinuum számosságú nullmértékű halmazt. □

3.1.10 Állítás (duális) Tetszőleges első kategóriájú halmaz komplementerében van kontinuum számosságú első kategóriájú halmaz.

Bizonyítás: Minden első kategóriájú halmaz komplementere tartalmaz egy nem-megszámlál-

32 3. Fejezet: Nullmértékű és első kategóriájú halmazok

ható G_{δ}-halmazt. A (3.1.4) lemma miatt ez tartalmaz egy kontinuum számosságú sehol sem sűrű részhalmazt. □

3.1.11 Állítás Minden második kategóriájú halmaz tartalmaz egy kontinuum számosságú részhalmazt úgy, hogy annak minden nem-megszámlálható részhalmaza második kategóriájú. (Ez a részhalmaz az ún. Lusin-halmaz.)

Bizonyítás: A dualitási elvhez használt (tisztán halmazelméleti) meggondolással belátható. □

3.1.12 Állítás (duális) Minden pozitív külső mértékű halmaz tartalmaz egy kontinuum számosságú részhalmazt úgy, hogy annak minden nem-megszámlálható részhalmaza pozitív külső mértékű.

3.1.13 Állítás Ha E második kategóriájú, akkor tartalmaz kontinuum sok diszjunkt második kategóriájú részhalmazt.

Bizonyítás: Legyen f kölcsönösen egyértelmű leképezés ℝ^{2} és E egy Lusin-részhalmaza között. Az állítás következik abból, hogy a síknak van kontinuum sok diszjunkt nemmegszámlálható részhalmaza. □

3.1.14 Állítás (duális) Minden pozitív külső mértékű halmaz tartalmaz kontinuum sok diszjunkt pozitív külső mértékű részhalmazt.

Az utolsó két állításról látni fogjuk, hogy σ-porózus megfelelője is igaz, vagyis a számegyenes tartalmaz kontinuum sok páronként diszjunkt nem-σ-porózus (perfekt) halmazt (ld. [16]).

3.2 Párhuzam és eltérés a szigma-porózus halmazok szigma-ideáljától

Zajiček ([25]) vetette fel a kérdést 1987-ben, hogy rendelkeznek-e a nem-σ-porózus Borel-halmazok azzal a pozitív külső mértékű halmazokra jellemző tulajdonság-

3.2 Párhuzam és eltérés a szigma-porózus halmazok szigma-ideáljától 33

gal, mely szerint ezek tartalmaznak ugyanolyan tulajdonságú zárt részhalmazt. A választ 4 évvel később Zelený adta meg ([29]) a következő formában:

3.2.1 Tétel Teljes metrikus tér nem-σ–porózus Szuszlin részhalmaza tartalmaz zárt nem-σ-porózus részhalmazt.

A bizonyítás igen bonyolult és hosszadalmas, ezért itt nem közöljük.

Zajiček nevéhez fűződik az az eredmény, mely a σ-porózus halmazok nullmértékű halmazokkal való hasonlóságát mutatja. Egy nullmértékű halmaz lefedhető megszámlálható sok akármilyen kis összhosszúságú intervallummal. Egy σ-porózus halmazra pedig az igaz, hogy 0 < c < 1/2 esetén előáll megszámlálható sok (x, c)-porózus halmaz uniójaként (a definíciót ld. (1.3.18)).

3.2.2 Tétel Legyen (P, ρ) metrikus tér, M ⊆ P σ-porózus halmaz, 0 < c < 1/2. Ekkor M egyben (x, c)-σ-porózus is.

Bizonyítás: Könnyen látható, hogy létezik M = ∪_{k=1}^{∞}B_{k} előállítás, ahol B_{k} (x, 1/k)-porózus (ld. (1.3.22) lemma). Ezért a tételt elég belátni arra az esetre, ha M (x, a)-porózus valamely 0 < a ≤ 1-re. Az (1.3.18) és (1.3.19) definíciókból rögtön következik, hogy ekkor M egyben ⟨2x/a⟩-porózus is. Ha f = 2x/a, h = x/2c, akkor h^{(n)} (x) = h∘...∘h (x) ≥ f (x) elég nagy n-re, amiből belátható, hogy következik M ⟨x/2c⟩- σ-porozitása, így (1.3.21) alapján M (x, c)-σ-porózus is. □

A σ-porózus halmazok is rendelkeznek az első kategóriájú halmazokra jellemző azon tulajdonsággal, hogy akárhány nyílt halmazt véve közülük az azokból képezett unió megőrzi a megfelelő tulajdonságot. Első kategóriájú halmazokra ez az ún. Banach-kategória-tétel, melyet Oxtoby [13] is közöl.

3.2.3 Tétel (Banach-kategória) Tetszőleges topologikus térben akárhány nyílt első kategóriájú halmaz uniója is első kategóriájú.

Bizonyítás: Legyen G a 𝒢 nem üres, nyílt, első kategóriájú halmazokból álló halmazrendszer uniója. Legyen ℱ = {U_{α} : α ∈ A} nem üres diszjunkt nyílt halmazok maximális rendszere azzal a tulajdonsággal, hogy mindegyikük benne van valamelyik 𝒢-beli halmazban. Ekkor \overline{G} ∖ ∪ℱ sehol sem sűrű zárt halmaz, ugyanis

34 3. Fejezet: Nullmértékű és első kategóriájú halmazok

ha int (\overline{G} ∖ ∪ℱ) = W ≠ ∅ volna, akkor W ∩ G ≠ ∅ is teljesülne, tehát W ∩ G-nek 𝒢 alkalmas elemébe metsző részét hozzávehetnénk ℱ-hez, ami ellentmond ℱ maximalitásának. Minden U_{α} felírható U_{α} = ∪_{n=1}^{∞}N_{α,n} alakban, ahol N_{α,n}, α ∈ A, n ∈ ℕ sehol sem sűrű. Legyen N_{n} = ∪_{α∈A}N_{α,n}. Ha egy U nyílt halmaz belemetsz N_{n}-be, akkor valamelyik N_{α,n}-be is belemetsz, ezért létezik V nem üres nyílt halmaz, melyre V ⊆ (U ∩ U_{α}) ∖ N_{α,n}, következésképpen V ⊆ U ∖ N_{n} – vagyis N_{n} sehol sem sűrű. Ezért

G ⊆ (\overline{G} ∖ ∪ℱ) ∪ ( ⋃_{α∈A} U_{α}) = (\overline{G} ∖ ∪ℱ) ∪ (⋃_{n=1}^{∞} N_{n})

első kategóriájú. □

3.2.4 Tétel Tetszőleges metrikus térben akárhány nyílt σ-porózus halmaz uniója is σ-porózus.

Bizonyítás: Azt fogjuk felhasználni, hogy minden metrikus tér parakompakt (ld. például [18], [9]), amiből következik, hogy a tér tetszőleges nyílt fedésének van olyan finomítása, mely előáll megszámlálható sok, nyílt halmazokból álló olyan halmazcsalád egyesítéseként, melyek mindegyike lokálisan véges. Belátható, hogy a lokálisan végesség helyett azt is megkövetelhetjük, hogy minden pontnak létezzék olyan környezete, mely a halmazcsaládnak csak egy elemébe metsz bele, vagyis hogy létezzék σ-diszkrét finomítás. Ekkor ha 𝒰 = (U_{α})_{α∈A} a tételbeli nyílt σ-porózus halmazok rendszere, akkor az uniójukra megszorítva a metrikát egy olyan metrikus teret kapunk, amelynek 𝒰 egy nyílt fedése. Alkalmazva a fentieket kapjuk ennek egy 𝒲 = ∪_{n∈ℕ}𝒲_{n}, (szintén) nyílt σ-porózus halmazokból álló σ-diszkrét finomítását, ahol tehát a 𝒲_{n} halmazcsaládok diszkrétek. Megmutatjuk, hogy adott n esetén ∪{W : W ∈ 𝒲_{n}} σ-porózus. Legyen tehát n rögzített és jelölje (W_{β})_{β∈B} a 𝒲_{n}-beli halmazok összességét. Ekkor ∀β ∈ B a W_{β} halmaz felírható W_{β} = ∪_{k=0}^{∞}P_{β,k} alakban, ahol ∀k-ra P_{β,k} porózus. Megmutatjuk, hogy minden k ∈ ℕ esetén P_{k} = ∪_{β∈B}P_{β,k} is porózus. Legyen x ∈ P_{k} tetszőleges. Ekkor elég kis ε > 0 esetén B (x, ε) pontosan egy β ∈ B esetén metsz bele P_{β,k}-ba, így P_{k} x-beli porozitása P_{β,k} porozitásából következik. Mivel ∪{W : W ∈ 𝒲_{n}} = ∪{W_{β} : β ∈ B} = ∪_{k=0}^{∞}P_{k}, azért a halmaz σ-porózus, és ezt akartuk belátni. □

3.2 Párhuzam és eltérés a szigma-porózus halmazok szigma-ideáljától 35

3.2.5 Tkadlec [21] cikkében az első kategóriájú és nullmértékű halmazok (𝒜-val jelölt) σ-ideáljának következő tulajdonságait vizsgálta meg a σ-porózus halmazok esetére:

(i) Ha A az 𝒜-hoz nem tartozó Borel-halmaz, akkor A + A tartalmaz intervallumot; (ii) 𝒜-hoz nem tartozó Borel-halmazok diszjunkt családja csak megszámlálható lehet. Az állítások analógja már a σ-porózus perfekt halmazok körében sem igaz. A bizonyítás Tkadlecnek egy olyan konstrukcióján alapul, mely általános módszert nyújt perfekt nem-σ-porózus halmaz megadására. A konstruált S halmaz rendelkezni fog azzal a tulajdonsággal, hogy ha azon pontjait, melyekben porózus (ezeket P (S)-sel jelöljük), tartalmazza egy U G_{δ}-halmaz, akkor U nem lehet σporózus. Ebből következik, hogy S sem σ-porózus (ui. perfekt, tehát G_{δ}); valamint az is, hogy létezik olyan porózus halmaz, mely nincs benne σ-porózus G_{δ}-ban – ami pozitív válasz Humke korábban felvetett (1.1.9) problémájára.

3.2.6 A konstrukcióhoz szükségünk lesz természetes számoknak egy olyan nemcsökkenő (k_{n})_{n=1}^{∞} sorozatára, melyre lim_{n→+∞} k_{n} = +∞; valamint minden R zárt intervallum és n pozitív egész esetén R zárt részintervallumainak adott véges 𝒟_{n} (R) rendszerére. Ezután tetszőleges R zárt intervallum és n pozitív egész szám esetén definiáljuk R egymásba nem nyúló zárt részintervallumainak ℛ_{n} (R) rendszerét. A továbbiakban tetszőleges D zárt intervallum, r > 0 szám esetén jelölje r ∗ D a D-vel koncentrikus, r-szeres hosszúságú zárt intervallumot. Legyen E a 2^{k} ∗ D, k = 0, ..., k_{n}, D ∈ 𝒟_{n} (R) alakú intervallumok azon végpontjainak halmaza, melyek int R-be esnek. Ezek tehát R-et 1+card E egymásba nem nyúló (nem-elfajult) zárt részintervallumra osztják. Legyen ℛ_{n} (R) ezen intervallumok közül azok összessége, melyek nem részei egyetlen 𝒟_{n} (R)-beli intervallumnak sem. Ha [a, b] adott zárt intervallum, akkor definiáljuk indukcióval minden n pozitív egészre az ℛ_{n} egymásba nem nyúló zárt intervallumokból álló rendszert: ℛ_{0} = {[a, b]}, ℛ_{n} = ∪{ℛ_{n} (R) : R ∈ ℛ_{n−1}}.

3.2.7 Tétel Tegyük fel, hogy minden pozitív egészre és minden R zárt intervallumra 𝒟_{n} (R) rendelkezik a következő tulajdonságokkal: (F 1) Ha D ∈ 𝒟_{n} (R) , akkor 2^{k_{n}+1} ∗ D ⊆ R; (F 2) Ha valamely k ∈ {0, ..., k_{n}}, D_{1}, D_{2} ∈ 𝒟_{n} (R) esetén (2^{k} ∗ D_{1})∩(2^{k} ∗ D_{2}) ≠

36 3. Fejezet: Nullmértékű és első kategóriájú halmazok

∅, akkor létezik D ∈ 𝒟_{n} (R) , hogy (2^{k} ∗ D_{1}) ∪ (2^{k} ∗ D_{2}) ⊆ 2^{k} ∗ D. Ekkor az

S = ⋂_{n=0}^{∞} ∪{R : R ∈ ℛ_{n}}  (3.1)

halmaz perfekt, sehol sem sűrű, és ha U ⊇ P (S) G_{δ}, akkor U nem-σ-porózus; következésképpen S nem-σ-porózus halmaz.

Most térjünk rá a (3.2.5)-ban említett (i) tulajdonság vizsgálatára, ha 𝒜 a σ-porózus halmazok σ-ideálja.

3.2.8 Tétel Létezik olyan S perfekt, nem-σ-porózus halmaz, hogy tetszőleges (c_{1}, ..., c_{i}) véges sorozatra a ∑_{j=1}^{i} c_{j}S halmaz nullmértékű, vagyis tetszőleges C megszámlálható halmazra a

{∑_{j=1}^{i} c_{j}s_{j} : i ∈ ℕ, c_{j} ∈ C, s_{j} ∈ S}

halmaz nem tartalmaz intervallumot.

Bizonyítás: Az S halmazt a fenti (3.2.6) konstrukcióval adjuk meg. Legyen adva R = [c, d], n ∈ ℕ^{+}. Ekkor minden N pozitív egészhez hozzárendeljük R zárt részhalmazainak egy 𝒟_{n} (R, N) rendszerét úgy, hogy |R ∖ ∪𝒟_{n} (R, N)| ≤ n·3^{−N} ·|R| , valamint definiálunk egy (R-től és N-től független) P_{n} egyváltozós polinomot. Ehhez legyen d_{m}, m = 0, ±1, ..., ±N, N + 1 R-beli pontok egy olyan véges sorozata, hogy [d_{0}, d_{1}] = \frac{1}{2} ∗ [c, d]; d_{−m} − c = \frac{1}{3} (d_{−m+1} − c) , m = 1, ..., N; d − d_{m} = \frac{1}{3} (d − d_{m−1}) , m = 2, ..., N + 1. Ekkor |(c, d_{−N})| = |(d_{N+1}, d)| = \frac{1}{4}·3^{−N} ·|R| , tehát vehetünk minden (d_{m}, d_{m+1}) intervallumban (m = 0, ±1, ..., ±N) egy-egy zárt részintervallumot úgy, hogy ezek összességét 𝒟_{1} (R, N)-nek definiálva |R ∖ ∪𝒟_{1} (R, N)| ≤ 3^{−N} · |R| . P_{1} (N) ≐ 2N + 1, 𝒟_{1} (R, N) elemeinek száma. Legyen n > 1 tetszőleges. Tegyük fel, hogy minden R′ zárt intervallumra és N pozitív egészre 𝒟_{n−1} (R′, N)-et már definiáltuk. Osszuk fel 𝒟_{1} (R, N) minden D elemét a 2^{−k} ∗ D, k = 0, ..., n − 1 intervallumok végpontjaival 2n − 1 darab egymásba nem nyúló zárt részintervallumra. Álljon 𝒟_{n} (R, N) az ilyen I intervallumokból létrehozott 𝒟_{n−1} (I, N) intervallumok rendszeréből, hozzávéve még

3.2 Párhuzam és eltérés a szigma-porózus halmazok szigma-ideáljától 37

a 2^{−n−1} ∗ D, D ∈ 𝒟_{1} (R, N) alakú intervallumokat. Ekkor

|R ∖ ∪𝒟_{n} (R, N)| ≤ (3^{−N} + (n − 1) 3^{−N}) · |R| = n · 3^{−N} · |R| ,
P_{n} (N) ≐ card 𝒟_{n} (R, N) = (2N + 1) (1 + (2n − 1) P_{n−1} (N)) .

Az S közvetlen, (3.2.6)-beli konstrukciójához szükséges intervallumrendszerekre legyen 𝒟_{n} (R) = 𝒟_{n} (R, N_{n}) , ahol N_{n} ∈ ℕ olyan, hogy (card ℛ_{n})^{n} · |∪ℛ_{n}| ≤ 1/n minden pozitív n-re. (Ilyet azért lehetséges választani, mert ha k_{n} = n − 1, akkor (card ℛ_{n})^{n} · |∪ℛ_{n}| ≤ ((2nP_{n} (N_{n}) + 1) card ℛ_{n−1})^{n} · n · 3^{−N_{n}} · |∪ℛ_{n−1}|). A (3.2.7) állítás alapján a (3.1) módon definiált S halmaz nem-σ-porózus. Az előbbiek szerint

|∑_{j=1}^{i} c_{j}S| ≤ |∑_{j=1}^{i} c_{j} (∪ℛ_{n})| = | ⋃_{R_{1}∈ℛ_{n}} ... ⋃_{R_{i}∈ℛ_{n}} ∑_{j=1}^{i} c_{j}R_{j}|
≤ ∑_{R_{1}∈ℛ_{n}} ... ∑_{R_{i}∈ℛ_{n}} ∑_{j=1}^{i} |c_{j}| · |R_{j}| ≤
≤ i · max{|c_{j}| : j = 1, ..., i} · (card ℛ_{n})^{i} · |∪ℛ_{n}|
≤ \frac{i}{n} · max\{|c_{j}| : j = 1, ..., i\} · (card ℛ_{n})^{i−n} ,

tehát |∑_{j=1}^{i} c_{j}S| = 0. □

A (3.2.5)-beli (ii) tulajdonság sem teljesül a σ-porózus halmazok σ-ideáljára. Ezt az alábbi tétel egy következményeként kapjuk:

3.2.9 Tétel Legyen K első kategóriájú halmaz. Ekkor létezik K-tól diszjunkt S perfekt, nullmértékű, nem-σ-porózus halmaz.

Bizonyítás: Elegendő azt megmutatni, hogy minden F_{σ}, teljes mértékű K első kategóriájú halmazhoz létezik tőle diszjunkt S perfekt, nem-σ-porózus halmaz. Legyen K = ∪_{m=1}^{∞}F_{m}, ahol F_{m} (m = 1, 2, ...) sehol sem sűrű zárt. Először adott n pozitív egészhez, R zárt intervallumhoz, melyre K ∩ ∂R = ∅, adunk meg minden m pozitív egészre egy 𝒟_{n} (R, m), az R zárt részintervallumaiból álló véges rendszert úgy, hogy F_{m} ∩ R ⊆ ∪{int D : D ∈ 𝒟_{n} (R, m)}. Mivel F_{m} ∩ ∂R = ∅ és F_{m} sehol sem sűrű zárt, azért létezik R nem-elfajult zárt részintervallumainak olyan 𝒟_{1} (R, m) véges, diszjunkt rendszere, melyre az előbbi teljesül és 2 ∗ D ⊆ R, ha

38 3. Fejezet: Nullmértékű és első kategóriájú halmazok

D ∈ 𝒟_{1} (R, m) . Mivel K első kategóriájú, azért 𝒟_{1} (R, m)-et úgy is megválaszthatjuk, hogy K ∩ [∪{∂ (2^{k} ∗ D) : k ∈ ℤ, D ∈ 𝒟_{1} (R, m)}] = ∅ legyen. Legyen n > 1 tetszőleges. Tegyük fel, hogy minden R′ zárt intervallumra, melyre K ∩ ∂R′ = ∅ és m pozitív egészre 𝒟_{n−1} (R′, m)-et már definiáltuk. Osszuk fel 𝒟_{1} (R, m) minden D elemét a 2^{−k} ∗ D, k = 0, ..., n − 1 intervallumok végpontjaival 2n − 1 darab egymásba nem nyúló zárt részintervallumra, I_{j} (D)- kre, j = 0, ..., 2n − 2, ahol I_{0} (D) = 2^{−n+1} ∗ D. Álljon 𝒟_{n} (R, m) az I_{j} (D) , j = 1, ..., 2n − 2 intervallumokból képezett 𝒟_{n−1} (I_{j} (D) , m) intervallumok rendszeréből, hozzávéve még a 2^{−n+1} ∗ D, D ∈ 𝒟_{1} (R, m) alakú intervallumokat. Legyen k_{n} = n − 1, 𝒟_{n} (R) = 𝒟_{n} (R, n) ∀n ∈ ℕ^{+}, ha K ∩ ∂R = ∅. Az S halmazt ismét (3.1) alapján konstruáljuk meg, tetszőleges R = [a, b], K ∩ ∂R = ∅ intervallumból kiindulva. A (3.2.7) tétel (F 1) és (F 2) feltételei és hogy ∀n ∈ ℕ^{+} (∪ℛ_{n+1}) ∩ F_{n} = ∅, könnyen ellenőrizhetők. Ezért S ∩ K = ∅ és a (3.2.7) tétel miatt S perfekt és nem-σ-porózus. □

3.2.10 Következmény A számegyenesen létezik nem-megszámlálhatóan sok, diszjunkt, perfekt, nem-σ-porózus halmaz.

Bizonyítás: Transzfinit indukcióval következik a fenti tételből. □

3.2.11 Megjegyzés Az előbbi következményben nem-megszámlálható helyett kontinuumot is írhatunk (ld. [16]).

Bizonyítás: Tkadlec fentiekben bizonyított (3.2.8) tétele alapján létezik ℝ-nek olyan S nemσ-porózus perfekt részhalmaza, hogy S − S első kategóriájú (ugyanis mivel S perfekt, azért S − S is az, és a tétel szerint nullmértékű, tehát sehol sem sűrű.) Ezért létezik G sűrű G_{δ}-halmaz, melyre G ∩ (S − S) = ∅. Ekkor G ∪ {0} is sűrű G_{δ}. Mycielski [12]-ban közölt tétele alapján létezik D ⊆ ℝ perfekt halmaz, hogy D − D ⊆ G ∪ {0}. Így (D − D) ∩ (S − S) = {0}, tehát minden t, w ∈ D, t ≠ w esetén (t + S) ∩ (w + S) = ∅. Mivel D szükségképpen kontinuum számosságú, a tétel ebből következik. □

Példák és konstrukciók

4.1 Teljes metrikus terek

Zajiček [27] azt vizsgálta, hogy az alábbi állítás milyen X terekre igaz:

4.1.1 Állítás Létezik F ⊆ X sehol sem sűrű, zárt, nem-σ-porózus halmaz.

4.1.2 Megmutatta, hogy ha g tetszőleges porozitás-függvény (ld. (1.3.17)), akkor minden izolált pont nélküli teljes metrikus térben létezik F sehol sem sűrű zárt, nem σ-⟨g⟩-porózus részhalmaz. Ha X szeparábilis, akkor F -et választhatjuk nullmértékűnek is tetszőleges, előre adott lokálisan véges Borel-mértékre nézve. Ha X = ℝ, akkor azt is megkövetelhetjük, hogy F Hausdorff-dimenziója 0 legyen.

4.2 Példa nullmértékű és első kategóriájú nem szigma-porózus halmazra

A σ-porózus halmazok σ-ideáljának alaposabb ismeretéhez nélkülözhetetlen, hogy lássuk, nem azonos egyetlen közismert halmazcsaláddal sem.

4.2.1 Nem-σ-porózus Borel halmazt könnyen konstruálhatunk a következőképpen (Zajiček [25]): x ∈ (0, 1)-et írjuk fel x = 0, a_{1}a_{2}... alakban, ahol x = ∑_{i=1}^{∞} a_{i} · 10^{−i}, és ha kétféle felírás is létezik, akkor a 0-kat használjuk 9-esek helyett. Ha a ∈

40 4. Fejezet: Példák és konstrukciók

{0, 1, ..., 9} számjegy, akkor legyen

d (a, x) = lim_{n→∞} \frac{card\{k : 1 ≤ k ≤ n, a_{k} = a\}}{n}.

4.2.2 Állítás Legyen a ∈ {1, ..., 8}, 0 < d < 1. Ekkor az A_{d} = {x : d (a, x) = d} halmaz nem-σ-porózus Borel.

4.2.3 Foran már említett [5] cikkében olyan folytonos függvényt ad meg, melynek grafikonja nem-σ-porózus. Ez is tehát példa nem-σ-porózus Borel-halmazra.

4.2.4 Egy Cantor-típusú C (α) halmaz esetén részletesen áttekintettük, mikor lesz a halmaz nullmértékű (ha ∑_{n=1}^{∞} α_{n} = ∞, ld. (1.2.7)), mikor nem-σ-porózus (ha α_{n} → 0, ld. (1.2.9)), és mivel a konstrukcióból adódóan sehol sem sűrű, ezért pl. α_{n} = 1/ (n + 1) esetén C (α) nem-σ-porózus, nullmértékű és első kategóriájú halmaz, amint azt már a (1.2.10) következményben is említettük.

4.2.5 Zajiček a [25] írásában említést tesz Konjaginnal való személyes értekezéséről, mely során Konjagin az E = {x : ∑_{n=1}^{∞} |sin (n!πx)| /n ≤ 1} halmazról mutatta meg, hogy nullmértékű, zárt, és nem-σ-porózus.

4.2.6 A korábbiakban Tkadlec segítségével mutattunk példát S perfekt, sehol sem sűrű halmazra, mely nem-σ-porózus (ld. (3.2.6) konstrukciót és (3.2.7) tételt). Erre a konstrukcióra épül a szintén Tkadlecnél [22] található példa nullmértékű és első kategóriájú, nem-σ-porózus halmazra. Legyen (k_{n})_{n=1}^{∞} pozitív egészek nemcsökkenő sorozata, melyben minden m pozitív egész pontosan 2^{m}-szer szerepel. Tetszőleges R korlátos és zárt intervallum valamint n pozitív egész esetén legyen P_{n} (R) azon pontok összessége, melyek az R intervallumot 2^{k_{n}+2} egyenlő hosszúságú zárt intervallumra bontják fel. Jelölje ℛ_{n} (R) ezen részintervallumok rendszerét, kivéve azokat, melyek tartalmazzák R középpontját. Az ℛ_{n} intervallumrendszereket teljes indukcióval definiáljuk: ℛ_{0} = {[0, 1]}, ℛ_{n} = ∪{ℛ_{n} (R) : R ∈ ℛ_{n−1}}.

4.2.7 Állítás A fentiekben definiált ℛ_{n} zárt intervallumrendszerekből képzett

S = ⋂_{n=0}^{∞} ∪{R : R ∈ ℛ_{n}}

halmaz Lebesgue-nullmértékű, sehol sem sűrű és nem-σ-porózus.

4.2 Példa nullmértékű és első kategóriájú nem szigma-porózus halmazra 41

Bizonyítás: A sehol sem sűrűség a konstrukcióból közvetlenül adódik. S Lebesgue-mértékére

|S| = ∏_{n=1}^{∞} (1 − 2^{−k_{n}−1}) = 0,

mert ∑_{n=1}^{∞} 2^{−k_{n}−1} = ∑_{m=1}^{∞} 2^{m} · 2^{−m−1} = ∞. Ha a (3.2.6) konstrukciót a 𝒟_{n} (R) = P_{n} (R) ∪ {2^{−k_{n}−1} ∗ R} intervallumrendszerekre alkalmazzuk, akkor épp a (4.2.6)-beli ℛ_{n}-ekhez ill. a tételbeli S halmazhoz jutunk. Könnyen ellenőrizhető, hogy az így definiált 𝒟_{n} (R) halmazrendszerek kielégítik a (3.2.7) tétel (F 1) és (F 2) feltételeit, ezért S nem-σ-porózus. □

Tkadlec [22] cikkében a fenti S halmazt abból a célból hozza létre, hogy megadjon egy olyan véges Borel-mértéket, mely eltűnik a σ-porózus halmazokon és szinguláris a Lebesgue-mértékre (a mérték tartója S lesz). Ilyen mérték létezése azért érdekes, mert ha egy véges Borel-mérték nulla az első kategóriájú és Lebesgue-nullmértékű halmazokon, akkor ebből következik, hogy abszolút folytonos a Lebesgue-mértékre. Ugyanis mivel egy valós Borel-mérték reguláris, elég azt igazolni, hogy a Lebesgue-nullmértékű zárt halmazokon eltűnik. Ez pedig következik abból, hogy ha egy zárt halmaz Lebesgue-nullmértékű, akkor első kategóriájú. Ezek szerint Tkadlec mértékének létezéséből is következik az, hogy a σ-porózus halmazok σ-ideálja valódi része a nullmértékű és első kategóriájú halmazok σ-ideáljának. A fenti tulajdonságú mérték létrehozásához egy Preiss által megfogalmazott lemmát használ fel:

4.2.8 Lemma Legyen μ véges Borel-mérték a számegyenes egy S részhalmazán és tegyük fel, hogy μ-re teljesülnek a következők:

(1) Létezik d > 0, hogy ∑ μ (d ∗ I) < ∞, ha az összegzés \overline{S} korlátos kiegészítő intervallumain fut;

(2) Létezik c > 1, C > 0 és δ > 0, hogy μ (c ∗ I) ≤ Cμ (I) , ha |I| < δ és I középpontja S-ben van;

(3) A megszámlálható halmazok μ-nullahalmazok. Ekkor minden σ-porózus P halmazra μ (P) = 0.

Bizonyítás: Számolás. □

42 4. Fejezet: Példák és konstrukciók

4.2.9 A keresett mértéket indukcióval definiáljuk a (4.2.7)-beli S halmazon, (4.2.6) jelöléseit használva. Először a következő τ : ∪_{n=0}^{∞}ℛ_{n} → [0, 1] leképezést adjuk meg. τ ([0, 1]) = 1. Ha R ∈ ℛ_{n} és R ⊆ R′, ahol R′ ∈ ℛ_{n−1}, akkor

τ (R) ≐ \{ \begin{matrix}2^{−2k_{n}−1} · τ (R′) , & ha R ⊆ 2^{−k_{n}} ∗ R′; \\ 3 · 2^{−k_{n}−k−2} · τ (R′) , & \begin{matrix}ha int R ⊆ (2^{−k+1} ∗ R′) ∖ (2^{−k} ∗ R′) \\ és k ∈ \{1, ..., k_{n}\} \end{matrix} \end{matrix}

ahol adott R zárt intervallum, r > 0 szám esetén r∗R jelöli az R-rel koncentrikus, r-szeres hosszúságú zárt intervallumot. Mivel ∑_{{R∈ℛ_{n}:R⊆R′}} τ (R) = τ (R′) ∀R′ ∈ ℛ_{n−1}, azért létezik olyan μ Borel-mérték, melyre supp μ = S és μ (I) = τ (I) , ha I ∈ ∪_{n=0}^{∞}ℛ_{n}.

4.2.10 Tétel A számegyenesen létezik olyan véges Borel-mérték, mely nullát vesz fel a σ-porózus halmazokon és nem abszolút folytonos a Lebesgue-mértékre nézve.

Bizonyítás: A (4.2.9)-ben definiált véges Borel-mértékre μ (S) = 1, supp μ = S és a (4.2.7) állítás alapján S Lebesgue-nullmértékű. Tehát elegendő belátnunk, hogy a (4.2.8) lemma feltételei teljesülnek. Mivel μ a megszámlálható halmazokon nyilván eltűnik, azért (3) teljesül. Vegyük észre, hogy

∑_{n=1}^{∞} ∑_{R∈ℛ_{n−1}} μ (2 ∗ (2^{−k_{n}−1} ∗ int (R))) = ∑_{n=1}^{∞} ∑_{R∈ℛ_{n−1}} 2^{−2k_{n}}μ (R)
= ∑_{n=1}^{∞} 2^{−2k_{n}} = ∑_{m=1}^{∞} 2^{m} · 2^{−2m} = 1 < ∞,

tehát (1) d = 2 választással teljesül. Tegyük fel, hogy J olyan intervallum, melynek x középpontja S-ben van és |J| < 2. Legyen n a legkisebb olyan pozitív egész, melyre léteznek R′ ∈ ℛ_{n}, R ∈ ℛ_{n−1} intervallumok, hogy x ∈ R′ ⊆ J ∩ R. Legyen Q = J ∩ ∪_{k=0}^{k_{n}+1}∂ (2^{−k} ∗ R) . Két esetet különböztetünk meg:

(i) card Q ≤ 1. Ekkor J ∩ (2^{−k_{n}−1} ∗ R) = ∅. Legyen K a J által tartalmazott ℛ_{n}-beli intervallumok száma, ekkor S ∩(2 ∗ J)-t 2K +5 darab R_{n}-beli intervallum fedi le, melyek μ-mértéke legfeljebb kétszerese μ (S ∩ (2 ∗ J))-nak. Tehát

\begin{matrix}μ & (2 ∗ J) \\ μ & (J) \end{matrix} ≤ \frac{2 (2K + 5)}{K} ≤ 14.

4.2 Példa nullmértékű és első kategóriájú nem szigma-porózus halmazra 43

(ii) card Q ≥ 2. Legyen k ∈ {1, ..., k_{n} + 1} a legkisebb olyan egész, hogy J ∩ ∂ (2^{−k+1} ∗ R) ≠ ∅. Ekkor μ (J) ≥ \frac{1}{2}μ ((2^{−k+1} ∗ R) ∖ (2^{−k} ∗ R)) és mivel 2 ∗ J ⊆ 2^{−k+3} ∗ R, azért

μ (2 ∗ J) ≤ μ ((2^{−k+3} ∗ R) ∖ (2^{−k+2} ∗ R)) + μ ((2^{−k+2} ∗ R) ∖ (2^{−k+1} ∗ R))
+μ ((2^{−k+1} ∗ R) ∖ (2^{−k} ∗ R)) + μ (2^{−k} ∗ R)
≤ (4 · 4 + 2 · 2 + 1 + 1) μ ((2^{−k+1} ∗ R) ∖ (2^{−k} ∗ R)) .

Az (i)-t és (ii)-t összevetve kapjuk, hogy

\begin{matrix}μ & (2 ∗ J) \\ μ & (J) \end{matrix} ≤ 44,

tehát (2) c = 2, C = 44, δ = 2 választással teljesül. Így μ valóban nulla a σ-porózus halmazokon. □

Felmerül a kérdés, hogy létezik-e a fenti (4.2.10) tételbeli tulajdonságokkal rendelkező mérték ℝ^{n}-en, tetszőleges n pozitív egész esetén. Az előbbiekben ismertetett konstrukciót még két dimenzióba sem sikerült közvetlenül átvinni – az eljárás igen erősen kihasználja a számegyenes sajátosságait. Viszont, mint a következőkben látni fogjuk, a Fubini-tétel σ-porózus halmazokra vonatkozó analógja segítségével, melyet Zajiček közölt 1998-ban ([15]), bebizonyítható ilyen mérték létezése.

44 4. Fejezet: Példák és konstrukciók

Fubini-jellegű tétel szigma-porózus halmazokra

5.1 A klasszikus Fubini és Kuratowski-Ulam tétel

A klasszikus Fubini-tételt Rudin [17] megfogalmazásában mondjuk ki. Ha f az X × Y szorzattéren értelmezett függvény, akkor x ∈ X esetén jelölje f_{x} azt az Y -on értelmezett függvényt, melyre f_{x} (y) = f (x, y) , y ∈ Y; hasonlóan, adott y ∈ Y esetén f^{y} (x) = f (x, y) , x ∈ X.

5.1.1 Tétel (Fubini) Legyenek (X, 𝒮, μ) és (Y, 𝒯, ν) σ-véges mértékterek, f az X × Y -on értelmezett (𝒮 × 𝒯)-mérhető függvény. Ha f ≥ 0, és ϕ (x) = ∫_{Y} f_{x}dν, ψ (y) = ∫_{X} f^{y}dμ, akkor ϕ 𝒮-mérhető, ψ 𝒯-mérhető és

∫_{X} ϕdμ = ∫_{X×Y} fd (μ ⊗ ν) = ∫_{Y} ψdν.

A Fubini tétel azon következményének, amely szerint tetszőleges E síkbeli Lebesgue-nullmértékű halmaz E_{x} = {y : (x, y) ∈ E} metszetei majdnem minden x ∈ ℝ esetén a számegyenes nullmértékű részhalmazai, kategória-duálisa is igaz ([13]-ben megtalálható), mégpedig tetszőleges olyan X ×Y szorzattérre, ahol X akármilyen, Y pedig M_{2} topologikus tér:

5.1.2 Tétel (Kuratowski-Ulam) Ha E ⊆ X × Y első kategóriájú, ahol X tetszőleges, Y M_{2} topologikus tér, akkor E_{x} is első kategóriájú X egy első kategóriájú részhalmaza kivételével. Sőt, ha E

46 5. Fejezet: Fubini-jellegű tétel szigma-porózus halmazokra

sehol sem sűrű, akkor E_{x} is sehol sem sűrű X egy első kategóriájú részhalmaza kivételével.

Bizonyítás: A tétel két állítása lényegében ekvivalens egymással. Az első azért következik a másodikból, mert ha E = ∪E_{i}, akkor E_{x} = ∪_{i} (E_{i})_{x} . A második is következik az elsőből, mert ha E sehol sem sűrű, akkor \overline{E} is az, és mivel (\overline{E})_{x} első kategóriájú, azért E_{x} sehol sem sűrű, hiszen \overline{E_{x}} ⊆ (\overline{E})_{x} és ebből int \overline{E_{x}} = ∅. Tehát elegendő a második állítást bizonyítani E sehol sem sűrű zárt halmazra. Legyen {V_{n}} az Y egy megszámlálható bázisa, G = (X × Y) ∖ E. Ekkor G sűrű nyílt. Adott n pozitív egészre legyen G_{n} = {x : (x, y) ∈ G valamely y ∈ V_{n} esetén}. Ha x ∈ G_{n}, y ∈ V_{n}, (x, y) ∈ G, akkor léteznek U ⊆ X, V ⊆ Y nyílt halmazok úgy, hogy x ∈ U, y ∈ V ⊆ V_{n} és U ×V ⊆ G, tehát U ⊆ G_{n}, így G_{n} nyílt. Sőt, G_{n} sűrű nyílt halmaz X-ben (∀n), mert tetszőleges U ⊆ X nyílt halmazra G ∩ (U × V_{n}) nemüres, tehát U ∩ G_{n} ≠ ∅. Ebből következik, hogy ∩_{n∈ℕ}G_{n} egy X-beli első kategóriájú halmaz komplementere. Tetszőleges x ∈ ∩_{n∈ℕ}G_{n} esetén G_{x} tartalmaz pontot V_{n}-ből ∀n. Tehát G_{x} ⊆ Y sűrű nyílt, ezért E_{x} = Y ∖ G_{x} sehol sem sűrű zárt. Így valóban egy első kategóriájú halmaz kivételével E_{x} sehol sem sűrű. □

5.2 A Tkadlec által konstruált mérték több dimenzióban

Az alábbiakban Zajiček [15] eredményére támaszkodva megmutatjuk azt, hogy a (4.2.10) tételbeli mértékből képezett egyszerű szorzatmérték ℝ^{n}-ben megőrzi a kívánt tulajdonságokat – vagyis minden σ-porózus halmazon nullát vesz fel és szinguláris a Lebesgue-mértékre.

Zajiček a (5.1.1) Fubini tétel alábbi következményeit vizsgálta, hogy írhatunk-e bennük „nullmértékű” helyett „σ-porózust”:

5.2.1 Következmény (1) Ha M ⊆ ℝ^{2} Lebesgue-mérhető és Lebesgue-majdnem minden x ∈ ℝ esetén M_{x} Lebesgue-nullmértékű, akkor M is Lebesgue-nullmértékű.

5.2.2 Következmény (2) Ha M ⊆ ℝ^{2} Lebesgue-nullmértékű, akkor Lebesgue-majdnem minden x ∈ ℝ esetén M_{x} Lebesgue-nullmértékű.

5.2 A Tkadlec által konstruált mérték több dimenzióban 47

5.2.3 Következmény (3) Ha M ⊆ ℝ^{2} Lebesgue-nullmértékű Borel-halmaz, akkor M felírható M = A ∪ B alakban, ahol A, B ⊆ ℝ^{2} Borel-halmazok, és ∀x ∈ ℝ A_{x} = {y ∈ ℝ : (x, y) ∈ A} Lebesgue-nullmértékű és ∀y ∈ ℝ B_{y} = {x ∈ ℝ : (x, y) ∈ B} Lebesguenullmértékű.

Bizonyítás: Az (5.2.1) és (5.2.2) állítások a (5.1.1) tétel egyszerű következményei. A (5.2.3)- t elég nullmértékű G_{δ}-halmazra bizonyítani. Legyen tehát M = ∩_{n∈ℕ}G_{n}, ahol G_{n}-ek monoton fogyó nyíltak. Könnyen látható, hogy az x ↦ λ^{1} (G_{n})_{x} „szekciófüggvény” alulról félig folytonos (adott n esetén), ahol λ^{1} az egydimenziós Lebesgue-mértéket jelöli. Feltehető, hogy minden n-re λ^{2} (G_{n}) < 1/n^{3}, ahol λ^{2} a kétdimenziós Lebesgue-mérték. Az U_{n} = {x ∈ ℝ : λ^{1} (G_{n})_{x} > 1/n} nyílt halmazra λ^{1} (U_{n}) ≤ 1/n^{2}, tehát λ^{1} (∩_{N} ∪_{n=N}^{∞} U_{n}) = λ^{1} (lim sup U_{n}) = 0 a Borel-Cantelli lemma miatt. Ha x ∉ lim sup U_{n}, akkor ∃N x ∉ U_{n} minden n ≥ N esetén, tehát λ^{1} (M_{x}) ≤ λ^{1} ((G_{n})_{x}) ≤ 1/n ha n ≥ N, így λ^{1} (M_{x}) = 0. Ebből A = M ∩ [∪{{x} × ℝ : x ∉ lim sup U_{n}}], B = M ∖ A megfelel, mert ∪{{x} × ℝ : x ∉ lim sup U_{n}} síkbeli F_{σ} halmaz. □

Zajiček megállapítja, hogy érdekes módon épp ez az utóbbi, kevésbé ismert (5.2.3) következmény az egyetlen lehetséges általánosítása a Fubini-tételnek σporózus halmazokra.

5.2.4 Az (5.2.1) általánosítása nem igaz σ-porózus halmazokra. Foran már említett [5] példája f : ℝ → ℝ folytonos függvényre, melynek grafikonja nem-σ-porózus, ellenpéldát szolgáltat.

5.2.5 A (5.2.2) következmény csak abban a speciális esetben igaz, ha M = A × B alakú analitikus halmaz. Ugyanis megmutatható, hogy ha A, B nem-σ-porózus G_{δ}-halmazok a számegyenesen, akkor A × B nem-σ-porózus (ld. [26]) és hogy ℝ analitikus nem-σ-porózus részhalmaza tartalmaz zárt nem-σ-porózus részhalmazt (ld. [29]). Zajiček olyan ellenpéldát ad, mellyel igazolja, hogy a (5.2.2) következmény közvetlen analógja nem teljesülhet a σ-porózus halmazokra: megad egy M ⊆ ℝ^{2} σ-erősen porózus halmazt (definíciót ld. (1.2.4)), melyre {x ∈ ℝ : λ (ℝ ∖ M_{x}) = 0} reziduális.

48 5. Fejezet: Fubini-jellegű tétel szigma-porózus halmazokra

Most térjünk rá jelen dolgozat legfontosabb tételének bizonyítására. Ehhez szükségünk lesz (a továbbiakban rögzített) (X, ρ) , (Y, η) metrikus terekben az ún. iránymenti porozitás fogalmára.

5.2.6 Definíció (iránymenti c-porozitás) Legyen X × Y ellátva az ω metrikával, c > 0 szám. Azt mondjuk, hogy az A ⊆ X × Y halmaz az X irányban c-porózus az a = (a_{1}, a_{2}) ∈ X × Y pontban, ha minden ε > 0-hoz

létezik b ∈ X és létezik r > 0 melyekre  (✠)
ω (a, (b, a_{2})) < ε, r > c · ω (a, (b, a_{2})) és B ((b, a_{2}) , r) ∩ A = ∅.

Hasonlóan definiálható az Y irányban való c-porozitás is.

5.2.7 Definíció Legyenek (X × Y, ω) metrikus tér, A ⊆ X × Y, c, ε > 0 adottak. Jelölje R (A, c, ε) azon a = (a_{1}, a_{2}) ∈ X × Y pontokat, melyekre (✠) teljesül.

5.2.8 Lemma Legyen (X × Y, ω) metrikus tér, A ⊆ X × Y halmaz, c, ε > 0 számok adottak. Ekkor

(i) R (A, c, ε) nyílt halmaz (X × Y, ω)-ban. (ii) A pontosan akkor X irányban c-porózus egy a = (a_{1}, a_{2}) ∈ X × Y pontban, ha a ∈ ∩_{n=1}^{∞}R (A, c, 1/n) . (iii) Ha A az X irányban c-porózus, akkor létezik egy Ã ⊇ A G_{δ}-halmaz, mely az X irányban c-porózus. (iv) Ha A az X irányban c-σ-porózus, akkor létezik egy Ã ⊇ A G_{δσ}-halmaz, mely az X irányban c-σ-porózus.

Bizonyítás:

(i) és (ii) nyilvánvalóak. (iii)-ben Ã ≐ \overline{A}∩(∩_{n=1}^{∞}R (A, c, 1/n)) , ez (i) alapján G_{δ}. A (iv) következik (iii)-ből. □

5.2.9 Megjegyzés A fenti terminológiának megfelelően a továbbiakban akkor nevezünk egy halmazt egy pontban c-porózusnak, ha az (1.1.2) definíció ezen c szám esetén teljesül rá. Ez az (1.3.18) definícióbeli (x, c/2)-porozitásnak felel meg.

5.2.10 Lemma Lássuk el X × Y -t az ω = (ρ × η)_{s} összeg-metrikával (vagyis (a_{1}, a_{2}) , (x_{1}, x_{2}) ∈ X × Y esetén legyen ω ((a_{1}, a_{2}) , (x_{1}, x_{2})) = ρ (a_{1}, x_{1}) + η (a_{2}, x_{2})), és legyen 0 < α < 1/2 rögzítve. Ekkor

(i) Ha A ⊆ X × Y (1 − α)-porózus a = (a_{1}, a_{2}) ∈ X × Y -ban, akkor A vagy X vagy Y irányban (1 − 2α)-porózus a-ban. (ii) Ha A (1 − α)-porózus, akkor A = A_{1} ∪ A_{2} alakban írható, ahol A_{1} az X irányban (1 − 2α)-porózus, A_{2} az Y irányban (1 − 2α)-porózus.

Bizonyítás: Indirekt tegyük fel, hogy (i) nem teljesül. Ekkor ∃ε > 0, hogy

ha B ((x_{1}, a_{2}) , r_{1}) ∩ A = ∅ és ρ (a_{1}, x_{1}) < ε, akkor r_{1} ≤ (1 − 2α) ρ (a_{1}, x_{1}) (†)

és

ha B ((a_{1}, x_{2}) , r_{2}) ∩ A = ∅ és η (a_{2}, x_{2}) < ε, akkor r_{2} ≤ (1 − 2α) η (a_{2}, x_{2}) (‡)

A feltétel szerint létezik olyan x = (x_{1}, x_{2}) pont és r > 0 szám, hogy ω (a, x) < ε, B (x, r) ∩ A = ∅ és

r > (1 − α) ω (a, x) = (1 − α) (ρ (a_{1}, x_{1}) + η (a_{2}, x_{2})) .  (♮)

Legyen r_{1} = r − η (a_{2}, x_{2}) , r_{2} = r − ρ (a_{1}, x_{1}) . Ha r_{1} > 0, akkor B ((x_{1}, a_{2}) , r_{1}) ⊂ B (x, r) ⊆ (X × Y) ∖ A és ρ (a_{1}, x_{1}) < ε. Ezért (†)-ből következik, hogy r − η (a_{2}, x_{2}) ≤ (1 − 2α) ρ (a_{1}, x_{1}) . Hasonlóan, r − ρ (a_{1}, x_{1}) ≤ (1 − 2α) η (a_{2}, x_{2}) , amiből r ≤ (1 − α) (ρ (a_{1}, x_{1}) + η (a_{2}, x_{2})) kellene teljesüljön, ez pedig ellentmond (♮)-nek. Tehát (i)-t beláttuk. A (ii) igazolásához definiáljuk A_{1}-et (ill. A_{2}-t) azon A-beli pontok halmazaként, melyekben A az X (ill. Y) irányban (1 − 2α)-porózus. □

5.2.11 Állítás Lássuk el X × Y -t az ω = (ρ × η)_{s} összeg-metrikával. Legyen A ⊆ X × Y σporózus halmaz, 0 < c < 1 rögzített. Ekkor A előáll A = A_{1} ∪ A_{2} alakban, ahol A_{1} az X irányban c-σ-porózus, A_{2} az Y irányban c-σ-porózus.

Bizonyítás: Legyen ε > 0 olyan, hogy c < 1 − 2ε. A korábbiakban belátott (3.2.2) állításból következően, az (5.2.9) megjegyzés alapján, az A halmaz (1 − ε)-σ-porózus is. Ebből és a (5.2.10) lemma (ii)-ből kapjuk az állítást. □

50 5. Fejezet: Fubini-jellegű tétel szigma-porózus halmazokra

5.2.12 Megjegyzés · Ha A Borel, akkor a fenti állításban A_{1} és A_{2} Borelnek is választható. Ugyanis A = (A ∩ Ã_{1}) ∪ (A ∩ Ã_{2}) , ahol Ã_{1} és Ã_{2} a (5.2.8) lemma (iv) pontja szerint létező G_{δσ}-fedések. · Az A_{1} ill. A_{2} halmazoknak megvan az a tulajdonságuk, hogy minden (A_{1})^{y} ill. (A_{2})_{x} szekciójuk σ-porózus a megfelelő térben.

5.2.13 Definíció (abszolút folytonosság) Egy P metrikus tér részhalmazain definiált μ mértékre azt mondjuk, hogy abszolút folytonos a σ-porózus halmazokra nézve, ha μ (A) = 0 minden A ⊆ P σ-porózus halmaz esetén.

5.2.14 Tétel Legyen a μ ill. ν Radon-mérték az X ill. Y szeparábilis metrikus téren abszolút folytonos a megfelelő tér σ-porózus részhalmazaira nézve. Ekkor a μ ⊗ ν szorzatmérték is abszolút folytonos a az X × Y –beli σ-porózus halmazokra nézve.

Bizonyítás: A (5.2.11) állításból és a (5.1.1) Fubini-tételből következik, ha azt a szorzattérbeli A σ-porózus halmaz karakterisztikus függvényére alkalmazzuk (ilyenkor az ott szereplő jelölésekkel ϕ (x) = ν (A_{x}) , ψ (y) = μ (A^{y})). □

5.2.15 Következmény ℝ^{n}-en (n pozitív egész) létezik olyan mérték, mely abszolút folytonos a σ-porózus halmazokra nézve, de nem abszolút folytonos a Lebesgue-mértékre nézve.

Bizonyítás: A Tkadlec által konstruált (4.2.10) tételbeli mértéket μ-vel jelölve az n tényezős μ ⊗ ... ⊗ μ szorzatmérték az előbbi tétel alapján megfelel. □

Irodalomjegyzék

[1] S. J. Agronsky and A. M. Bruckner, Local compactness and porosity in metric spaces, Real Analysis Exchange, 11 (1985–86), pp. 365–379.

[2] J.-P. Aubin, Optima and Equilibria. An introduction to Nonlinear Analysis, Springer–Verlag, 1993.

[3] E. Dolženko, Boundary properties of arbitrary functions, Izvestia Akademii Nauk SSSR Ser. Mat., 31 (1967), pp. 3–14.

[4] M. J. Evans, P. D. Humke, and K. Saxe, A symmetric porosity conjecture of Zajicek, Real Analysis Exchange, 17 (1991–92), pp. 258–271.

[5] J. Foran, Continuous functions need not have σ-porous graphs, Real Analysis Exchange, 11 (1985–86), pp. 194–203.

[6] J. Foran and P. D. Humke, Some set theoretic properties of σ-porous sets, Real Analysis Exchange, 6 (1980–81), pp. 114–120.

[7] P. D. Humke and M. Laczkovich, Typical continuous functions are virtually nonmonotone, Proceedings of the American Mathematical Society, 94 (1985), pp. 244–248.

[8] P. D. Humke and T. Vessey, Another note on σ-porous sets, Real Analysis Exchange, 8 (1982–83), pp. 262–271.

52 Irodalomjegyzék

[9] J. L. Kelley, General Topology, D. Van Nostrand Company, 1957, pp. 127– 128.

[10] L. Larson, Typical compact sets in the Hausdorff metric are porous, Real Analysis Exchange, 13 (1987–88), pp. 116–118.

[11] L. A. Lusternik and W. I. Sobolew, Elemente der Funktionalanalysis, Mathematische Lehrbücher und Monographien, Akademie-Verlag, 1955, pp. 140–144.

[12] J. Mycielski, Independent sets in topological algebras, Fundamenta Mathematicae, Warszawa, 55 (1964), pp. 139–147.

[13] J. C. Oxtoby, Measure and Category, Graduate Texts in Mathematics, Springer–Verlag, 1971.

[14] D. Preiss and L. Zajiček, Fréchet differentiation of convex functions in a Banach space with a separable dual, Proceedings of the American Mathematical Society, 91 (1984), pp. 202–204.

[15] , Sigma-porous sets in products of metric spaces and sigma-directionally porous sets in Banach spaces, Real Analysis Exchange, 24 (1998–99), pp. 295–313.

[16] I. Recław, A note on the σ-ideal of σ-porous sets, Real Analysis Exchange, 12 (1986–87), pp. 455–457.

[17] W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill series in higher mathematics, McGraw-Hill Book Company, 2nd ed., 1966, pp. 145–153.

[18] H. Schubert, Topológia, Műszaki Könyvkiadó, 1986, pp. 95–103.

[19] B. S. Thomson, On the level set structure of a continuous function, 1985.

[20] , Real Functions, Lecture Notes in Mathematics, Springer–Verlag, 1985.

[21] J. Tkadlec, Constructions of some non-σ-porous sets on the real line, Real Analysis Exchange, 9 (1983–84), pp. 473–482.

[22] , Construction of a finite Borel measure with σ-porous sets as null sets, Real Analysis Exchange, 12 (1986–87), pp. 349–353.

Irodalomjegyzék 53

[23] R. W. Vallin, An introduction to shell porosity, Real Analysis Exchange, 18 (1992–93), pp. 294–320.

[24] L. Zajiček, Sets of σ-porosity and sets of σ-porosity (q), Casopis pro Pestování Matematiky, 101 (1976), pp. 350–359.

[25] , Porosity and σ-porosity, Real Analysis Exchange, 13 (1987–88), pp. 314–350.

[26] , Products of non-σ-porous sets and Foran systems, Atti del Seminario Matematico e Fisico dell’Università di Modena, 44 (1996), pp. 497–505.

[27] , Small non-σ-porous sets in topologically complete metric spaces, Colloquium Mathematicum, 77 (1998), pp. 293–304.

[28] M. Zelený, An absolutely continuous function with non-σ-porous graph. Preprint, 1999.

[29] M. Zelený and J. Pelant, The structure of the σ-ideal of σ-porous sets. Preprint, 1991.

Index

(g)-porózus, 14 ⟨H⟩-porózus, 14 ⟨g⟩-porózus, 14

abszolút folytonos mérték, 50

Baire-tulajdonság, 30 balról porózus, 4 Banach-kategória tétel, 33 Banach-Mazur tétel, 26 Bernstein-halmaz, 30

Cantor-halmaz, 4 Cantor-típusú halmaz, 5

dualitási elv, 31

egyenletesen nagyon porózus, 19 egyenletesen porózus, 18 erősen porózus, 4, 10, 12, 21, 47

Fréchet-differenciálható, 23 Fubini tétel, 45

gömbre nézve porózus, 25 globálisan nagyon porózus, 18 globálisan porózus, 16

héj, 10

héjszerűen porózus, 10–12, 21 hiperporózus, 13

iránymenti porozitás, 19, 48

jobbról porózus, 4

kétoldalian porózus, 4, 6 Kuratowski-Ulam tétel, 45

Lusin-halmaz, 32

megengedhető pár, 19, 20

nagyon erősen porózus, 18

nagyon porózus, 18

porózus, 1

porozitás-függvény, 14

szigma-porózus, 2, 21

szimmetrikusan porózus, 6, 7, 10

Index 55

szubderivált-halmaz, 23 szuperporózus, 19 totálisan porózus, 25