A PCF DEF-je

(rövid bevezető a pcf-be és egy topológiai alkalmazás) Vizer Máté

2005 május

Témavezető : Komjáth Péter egyetemi tanár 1. Bevezetés

Dolgozatom első részében Menachem Kojman: The A,B,C of PCF : a companion to PCF theory, part1. című cikkét[3] követve mutatok egy lehetséges bevezetést a pcf-generátorok definiálásához és létezésük bizonyításához.

Majd ennek egy topológiai alkalmazásaként bizonyítom Shelah és Kojman egy tételét kis számosságú Dowker-tér létezéséről. Dowker-térnek olyan T_{4} teret hívunk, amelynek az egységintervallummal vett szorzata nem normális. 1971ben M.E. Rudin bizonyította ZFC-ben ilyen tér létezését, az ő példája ℵ_{ω}^{ℵ_{0}} nagyságú volt. Ez volt az egyedüli példa több, mint 20 éven keresztül, míg 1996-ban Balogh Zoltánnak sikerült 2^{ℵ_{0}} számosságú Dowker-teret konstruálni.

Kojman és Shelah cikkükben[4] ℵ_{ω+1} nagyságú pédát mutatnak,mely azért fontos, mert az előbbi két számosság hatványalakjuk miatt akármekkora lehet ZFC-ben(sőt, akár egyenlőek is).

Bár több, a pcf bevezetését szolgáló cikk jelent meg, melyek nagyobb anyagot fognak át, Kojman cikke mégis stílusa és precizitása miatt tökéletetes kedvcsinálónak is. A pcfről más stílusú, terjedelmében kb. ekkora nagyon jó anyagot találhatunk [1]-ben és [2]-ben.

Viszont az igazi "alapkönyv" a témában, bár nem bevezető jelleggel, Shelah monográfiája [6], melyért 2000-ben Bolyai-díjat kapott.

És ennyi ismerkedés után térjünk rá az A,B,C-re.

2. Club Guessing

2.1. Definíció. A rendszámok egy X halmazára jelöljük accX(vagy acc(X))-szel X akkumulációs pontjainak halmazát, azaz accX={α ∈On : α=supX∩α}. Legyen továbbá naccX=X\accX és clX=X∪accX.

2.2. Definíció. Jelölje c rendszámok egy halmazát és α egy rendszámot.Ezután bevezetjük a drop függvényt, melyre drop(α,c)=sup c∩α, ha c∩α ≠ ∅ és c∩α=∅ esetben nem definiáljuk.

Ha X és c rendszámok halmazai, jelöljük Drop(X,c)-vel a {drop(α ,c) :α ∈X} halmazt.

2.3. Lemma. Tegyük fel, hogy c és X a rendszámok halmazai, valamint α ∈On. Ekkor igazak a kövekező állítások:

1. drop(α,c) ≤ α vagy drop(α,c) nincs definiálva.Egyenlőség pontosan α ∈acc(c) esetben áll fenn.

2. ha drop(α,c) definiálva van, akkor drop(α,c)∈clc.

3. Drop(X,c)⊆clc.

4. ha α_{1} ≤ α_{2} rendszámok és drop(α_{1},c) definiált, akkor drop(α_{2},c) is, és drop(α_{1},c) ≤ drop(α_{2},c).

5. α ↦drop(α,c) rendezéstartó leképezés X egy végszeletén, így típ Drop(X,c)≤ típX.

6. ha c_{1} ⊆ c_{2} rendszámok részhalmazai, α ∈On valamint drop(α,c_{1}) definiált, akkor drop(α,c_{2}) is és drop(α,c_{1}) ≤ drop(α,c_{2}).

7. ha ⟨c_{i} : i < i(*)⟩ olyan, hogy c_{i} ⊆On és c_{i} ⊆ c_{j} ∀i ≤ j < i(∗) , akkor ∀α ∈On ∃ i(α)<i(*), melyre drop(α,c_{i}) stabilizálódik i(α)-nál, azaz drop(α,c_{i}) vagy nincs definiálva vagy pedig konstans i(α) ≤ i < i(*)-ra.

8. ha ⟨c_{i} : i <κ⟩ rendszámok részhalmazainak tartalmazásra nézve monoton csökkenő sorozata, κ egy reguláris számosság és X⊆On, melyre |X|<κ , akkor ∃ i(X)<κ úgy, hogy Drop(X,c_{i}) stabilizálódik i(X)-nél, azaz Drop(X,c_{i(X)})= Drop(X,C_{i}) ∀ i(X) ≤ i < κ-ra.

9. accDrop(X,c)=accX∩acc(c).

Bizonyítás: Az első állítás drop(α,c) definíciójából következik, a többiek - az utolsó kivételével - pedig az előzőekből illetve abból, hogy a rendszámok jól vannak rendezve.

Nézzük az utolsót: először a ⊆ irányt bizonyítjuk.Legyen β ∈ accDrop(X,c) és legyen ⟨drop(α_{i},c) : i < i(*)⟩ egy β-ban kofinális, szigorúan monoton növő rendszámsorozat, melyre α_{i} ∈X ∀ i < i(*)-re.Ugyanitt igaz az is, hogy α_{i} ≤ drop(α_{i+1},c), hiszen egyébként drop( α_{i},c)≥drop(α_{i+1},c), ami lehetetlen. Mivel ∀ i-re drop(α_{i},c)∈clc (2. pont), kapjuk, hogy β ∈ acc(acc(c)) = acc(c). Végül drop(α_{i},c)≤ α_{i} (1.pont) és α_{i} ≤ drop(α_{i+1},c) < β miatt, hogy β ∈accX.

A ⊇ irányhoz tegyük fel, hogy β ∈ accX∩acc(c).Legyen ⟨β_{i} :i < i(*) ⟩ ⊆ β∩c, β-ban nem korlátos sorozat.Mivel β ∈ accX, ∀i < i(*)-re definiálva van a következő rendszám α_{i} = min(β∩X\(β_{i}+1)).Így β_{i} ≤ drop(α_{i},c) < β és β ∈ acc Drop(X,c).

□

2.4. Tétel. Tegyük fel, hogy κ, λ reguláris, κ^{+} < λ valamint S ⊆ ⟨δ < λ :cf δ=κ⟩ λ egy stacionárius részhalmaza. Ekkor létezik egy C̄=(c_{δ} :δ ∈S) sorozat, amely teljesíti a következő két feltételt:

1. c_{δ} ⊆ δ δ-nak zárt részhalmaza.

2. bármely E ⊆ λ , λ-ban kofinális zárt halmazra N(E)=⟨δ ∈S :c_{δ} ⊆E∧ sup c_{δ}= δ∧típ c_{δ}=κ⟩ λ-nak egy stacionárius részhalmaza.

Bizonyítás: Két egyszerűsítési észrevétellel kezdjük.Először is, ha ⟨c_{δ} :δ ∈ S⟩ kielégíti a 2.feltételt, valamint hogy c_{δ} ⊆ δ, akkor ⟨clc_{δ} ∩ δ : δ ∈ S⟩ eleget tesz mindkét tételbeli követelménynek.Másodszor pedig, a tételnek megfelelő sorozatban minden egyes c_{δ}-t helyettesítve egy kofinális részhalmazával, szintén megfelelő sorozatot kapunk.

Ezután rátérünk a bizonyításra.Először transzfinit indukcióval "gyártunk" minden i < κ^{+}-ra egy C_{i} =⟨c_{δ}^{i} : δ ∈ S⟩ sorozatot és egy E_{i} ⊆ λ (λ-ban) kofinális zárt részhalmazt a következőképpen. Legyen E_{0}=λ és C_{0}=⟨c_{δ}^{0} : δ ∈ S⟩ olyan sorozat, melyre c_{δ}^{0} ⊆ δ κ típusú, δ-ban kofinális zárt halmaz. Két indukciós feltevésünk lesz: az első, hogy c_{δ}^{i}=Drop(c_{δ}^{0},E_{i}) δ-nak zárt részhalmaza , a második pedig, hogy ha j < i akkor E_{i} ⊆ E_{j}. i=0-ra mindkét feltétel fennáll.

Ha i < κ^{+} limeszrendszám és E_{j},C_{j} definiálva vannak minden j < i-re, legyen E_{i}=∩_{j<i}E_{j}. Mivel i < λ, a metszet λ-ban kofinális zárt. Legyen c_{δ}^{i}=Drop(c_{δ}^{0},E_{i}) minden δ ∈S-re. c_{δ}^{0} és E_{i} zárt halmazok, ezért az előző lemma 9. pontja szerint c_{δ}^{i} is az (és ⊆ δ). Az 5. pont szerint pedig típ c_{δ}^{0} ≤ κ.

Tehát feltehetjük, hogy i=j+1 < κ^{+} és E_{j}, C_{j} definiálva vannak.Ha létezik E ⊆ λ kofinális zárt, hogy ∀δ ∈ E ∩ S-re vagy c_{δ}^{i} nem kofinális zárt δ-ban vagy pedig c_{δ} ⊈ E, válasszuk E_{i}-t E_{j} ∩ E-nek.

Ha nem létezik E ⊆ λ a fenti tulajdonságokkal, akkor minden E⊆ λ kofinális zártra N^{j}(E)=⟨δ ∈S : δ = sup c_{δ}^{j} ∧ c_{δ}^{i} ⊆ E⟩ stacionárius λ-ban.Ugyanis, ha léteznének E, E′ ⊆ λ kofinális zártak, melyekre N^{j}(E)∩E′=∅ , azaz δ ∈ S ∩E′- ből következne, hogy c_{δ}^{j} ⊈ E, akkor E ∩ E′ λ olyan kofinális zárt részhalmaza lenne , amilyet E_{i} definíciójában akartunk.

Ebben az esetben c_{δ}^{i}= Drop(c_{δ}^{0}, E_{j}) az előző lemma 9. pontja szerint zárt, az 5.pontja szerint rendtípusa ≤ κ , tehát ha nem korlátos δ-ban, akkor rendtípusa pontosan κ.A fentivel együtt ekkor megvagyunk.

Végül legyen E_{i+1} definiálva minden i < κ^{+}-ra , ebből akarunk ellentmondásra jutni.Válasszuk E-t ∩_{i<κ^{+}}E_{i}-nak. Mivel κ^{+} < λ , E kofinális zárt λ-ban, és legyen δ ∈ accE∩S. Az előző lemma 8. pontja szerint a ⟨c_{δ}^{i} : i < κ^{+}⟩ sorozat stabilizálódik valamely i(δ) < κ^{+}-nál, hiszen ⟨E_{i} : i < κ^{+}⟩ monoton csökkenő és c_{δ}^{i} = Drop(c_{δ}^{0},E_{i}). Mivel δ ∈ acc(c_{δ}^{0}) ∩ acc(E_{i}) ∀i < κ^{+} esetén, a lemma 9.pontja szerint c_{δ}^{i} δ-ban kofinális zárt. Válasszunk egy j≥i(δ)-t.δ ∈ E_{j+1} vagy c_{δ}^{j} nem kofinális zártδ-ban vagy c_{δ} ⊈ E_{j+1}. Azonban c_{δ}^{j} δ-ban kofinális zárt, c_{δ}^{j} ⊈ E_{j+1}.De c_{δ}^{i+1} ⊆ clE_{j+1} ∩ λ=E_{j+1}, így c_{δ}^{i} ≠ c_{δ}^{j+1} , ellentmondásban a stabilizációval.

□

3. Az I[λ] ideál

Legyen λ = cfλ, λ > ℵ_{0}.Az I[λ] ideált a következőképpen definiáljuk.

3.1. Definíció. Legyen S ⊆ λ. S ∈ I[λ] ⟺ ∃P̄ = (P_{α} : α < λ) és egy λ-ban kofinális zárt E halmaz a következő tulajdonságokkal:

1. P_{α} ⊆ P (α) és | P_{α} |< λ.

2. δ ∈ E ∩ S ⇒ δ szinguláris és ∃c ⊆ δ, melyre δ=supc, típc < δ és ∀γ < δ c ∩ γ ∈ ∪_{β<δ}P_{β}.

3.2. Lemma. I[λ] normális ideál.

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy S_{α} ∈I[λ] ∀α < λ és legyenek E_{α} , P̄_{α} =(P_{β}^{α} : β< λ) a definícióban megadott tulajdonságú halmazok, amik bizonyítják, hogy S_{α} ∈ I[λ]. Az általánosság megszorítása nélkülfeltehetjük, hogy (P_{β}^{α} : β< λ) monoton növő.

Legyen E=▽_{α<λ}E_{α} , S=△_{α<λ}S_{α} és P_{α} = ∪_{β<α}P_{α}^{β}.

Válasszuk δ-t E∩S-belinek.S definíciója miatt van β< δ, melyre δ ∈ S_{β}. E definíciója miatt (hiszen E=⟨α : β < α ⇒ α ∈ E_{β}⟩) pedig δ ∈ E_{β}. Így δ ∈ S_{β} ∩ E_{β}, tehát δ szinguláris és létezik egy δ-ban kofinális zárt c halmaz, melyre c∩γ ∈ ∪_{ϵ<δ}P_{ϵ}^{β} minden γ < δ-ra.De ekkor készen vagyunk, hiszen P_{ϵ} definíciójából az ∪_{ϵ<δ}P_{ϵ}^{β} ⊆ ∪_{ϵ<δ}P_{ϵ} tartalmazás következik, azaz c∩γ ∈ ∪_{ϵ<δ}P_{ϵ}. Tehát S ∈ I[λ], ami ekvivalens a normalitással. □

3.3. Lemma. Ha λ = cfλ és λ > ℵ_{0} számosság, akkor S_{0}^{λ} = ⟨α < λ : cfλ = ℵ_{0}⟩ ∈ I[λ].

Bizonyítás: Legyen P_{α}=[α]^{<ℵ_{0}}. Ha δ ∈ S_{0}^{λ}, c ⊆ δ bármely α-ban kofinális részhalmaz, melyre típc =ω_{0}.Ha γ < δ, c ∩ γ véges, így P_{γ}-hoz tartozik.

□

3.4. Tétel. Ha λ = cfλ és λ > ℵ_{0} számosság, akkor az S_{<λ}^{λ^{+}}=⟨α < λ^{+} : cfα< λ⟩ ∈ I[λ^{+}].

Bizonyítás: Az előző lemma bizonyítja az állítást λ = ω_{1}-re, így feltehetjük, hogy λ > ω_{1}.

Minden α < λ^{+}-hoz válasszunk α-nak zárt részhalmazaiból álló ⟨a_{ζ}^{α} : ζ < λ⟩ sorozatot a következők szerint:

1. ∀ζ < λ-ra a_{ζ}^{α} ⊆ α zárt és | a_{ζ}^{α} |< λ.

2. ζ_{1} < ζ_{2} ⇒ a_{ζ_{1}}^{α} ⊆ a_{ζ_{2}}^{α} és ha ζ limesz, akkor a_{ζ}^{α} = ∪_{ξ<ζ}a_{ξ}^{α}.

3. ∪_{ζ<λ}a_{ζ}^{α} = α.

Legyen P_{α}=⟨a_{ζ}^{β} ∩ γ : β ≤ α, ζ < λ, γ ≤ α⟩.A definícióból következik, hogy P_{α} ⊆ P (α) és | P_{α} |≤ λ < λ^{+}. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető δ ∈ S_{<λ}^{λ^{+}}, δ > λ. Azt kell megmutatnunk, hogy ∃ c⊆ δ kofinális zárt, melyre c ∩ γ ∈ ∪_{β<δ}P_{β} ∀γ < δ-ra. Válasszuk c ⊆ δ δ-ban kofinális zártnak, melynek rendtípusa = cfδ és min c > λ. ∀Θ ∈ c-re az E_{Θ}=⟨ζ < λ : a_{ζ}^{δ} ∩ Θ=a_{ζ}^{Θ}⟩ λ-ban kofinális zárt. Ezért E=∩_{Θ∈c}E_{Θ} is λ egy kofinális zárt részhalmaza.

A definíciók miatt léteznie kell egy ζ_{0} rendszámnak, amelyre c ⊆ a_{ζ_{0}}^{δ} .Vegyünk egy ζ(∗) ∈ E pontot, amire ζ(∗) > ζ_{0}. Tehát a_{ζ(∗)}^{δ} δ zárt részhalmaza, számossága < λ és mivel részhalmazként tartalmazza c-t, nem korlátos δ-ban. δ > λ ⇒típ a_{ζ(∗)}^{δ} < δ. Legyen γ < δ tetszőleges. Annak a belátásához, hogy a_{ζ(∗)}^{δ} ∩ γ ∈ ∪_{β<δ}P_{β} elég A_{ζ(∗)}^{δ} ∩ Θ ∈ P_{Θ} valamilyen Θ ∈ c-re, ami nagyobb, mint γ, hiszen P_{Θ} zárt a kezdőszeletképzésre.

Fixálva egy ilyen Θ-t, kapjuk a_{ζ(∗)}^{δ} ∩ Θ = a_{ζ(∗)}^{Θ}-t, mivel ζ(∗) ∈ E ⊆ E_{Θ} és így P_{Θ}-hoz tartozik.

□

3.5. Tétel. Ha κ, λ reguláris számosságok és κ^{+} < λ, akkor létezik S ⊆ S_{κ}^{λ} stacionárius I[λ]-ban.

Bizonyítás: Ha λ reguláris számosság rákövetkezője, akkor a tétel az előző következménye. Így az első λ > κ^{+} eset, amikor az előző tétel nem alkalmazható, κ^{+ω+1}.Tehát feltehetjük, hogy κ^{++} < λ.Ezután már az előző tétel miatt csak egy esettel kell foglalkoznunk: ha λ reguláris limesz.

Legyen C̄=⟨c_{α} : α ∈ S_{κ}^{κ^{++}}⟩, mint a 2.4. tételben.

Rögzítsünk egy ⟨H(χ), ∈⟩ elemi részmodelljeiből álló folytonos M̄=⟨M_{i} : i ≤ λ⟩ láncot, amely kielégíti a következőket:

∘ | M_{i} |< λ

∘ ⟨M_{j} : j ≤ i⟩ ∈ M_{i+1}, i ∈ M_{i} és i ⊆ M_{i}

∘ C̄, λ ∈ M_{0} és κ^{++} + 1 ⊆ M_{0}

Definiáljuk Q_{i}-t M_{i} ∩ P (i)-nek.Az első tulajdonság miatt | Q_{i} |< λ.

Legyen S ⊆ λ a következő halmaz: S = ⟨α < λ : cfα = κ ∧ ∃c α-ban kof. zárt, melyre [(∀γ < α)(c ∩ γ ∈ ∪_{i<α}Q_{i})]⟩.

A ⟨Q_{i} : i < λ⟩ sorozat bizonyíték S ∈ I[λ]-ra.Ezután már csak az van hátra, hogy megmutassuk, S stacionárius.

Rögzítsünk E ⊆ λ kofinális zártat és azt fogjuk belátni, hogy S-sel vett metszete nem üres.E-t csökkentve feltehetjük, hogy M_{i} ∩λ = i minden i ∈ E-re. Ez abból következik, hogy ⟨i < λ : M_{i} ∩ λ = i⟩ λ egy kofinális zárt részhalmaza.

Ezután definiálunk egy másik elemi részmodell láncot H(χ)-ban. N̄=⟨N_{ζ} : ζ ≤ κ^{++}⟩, mely kielégíti a következőket:

∘ M̄, E, λ, C̄ ∈ N_{0} és κ^{++} + 1 ⊆ N_{0}

∘ | N_{ζ} |= κ^{++}

∘ ⟨N_{ξ} : ξ ≤ ζ⟩ ∈ N_{ζ+1} ∀ζ < κ^{++}-ra

Definiáljuk f(ζ)-t sup(N_{ζ} ∩ λ)-nak. f : (κ^{++} + 1)→ θ monoton növő és folytonos. Jelöljük Θ-val f(κ^{++})-t.A fenti harmadik tulajdonság miatt láthatjuk, hogy f ↾ ζ ∈ N_{ζ+1} minden ζ < κ^{++}.

Vegyük észre, hogy minden ζ ≤ κ^{++}-ra az f(ζ) rendszám E-hez tartozik. Ez az elemiségből és abból következik, hogy E∈N_{ζ} minden ζ-ra: ha β ∈ N_{ζ} ∩ λ tetszőleges, akkor N_{ζ} ⊧ (∃γ ∈ λ)[γ ∈ E ∧ γ > β]. Ekkor létezik β < γ ∈ E ∩ N és ebből következően E nem korlátos f(ζ) alatt, amiből következik, hogy f(ζ) ∈E. Azaz ran f ⊆ E.

Ezután M_{Θ+1}-ben fogunk dolgozni.Abból, hogy Θ ∈ M_{Θ+1} és M_{Θ+1} elemisége miatt tudunk egy g: κ^{++} → Θ, g ∈ M_{Θ+1} függvényt választani, amely növekvő, folytonos és Θ=sup(ran(g)).

Mivel f és g is növekvő és folytonosak κ^{++}-on, képük kofinális Θ-ban, ebből következik, hogy létezik egy E⊆ κ^{++} kofinális zárt, amelyre f ↾ E=g ↾ E.

C̄ "club guessing" tulajdonsága miatt tudunk fixálni egy δ ∈ S_{κ}^{κ^{++}}-t, melyre c_{δ} ⊆ E, δ= sup c_{δ} és típ c_{δ}=κ. Legyen c=f[c_{δ}]=g[c_{δ}].

Tehát c ⊆ f(δ) egy κ rendtípusú kofinális zárt halmaz f(δ)-ban. Tudjuk, hogy f(δ) ∈ E és azt fogjuk megmutatni, hogy f(δ) ∈ S, mégpedig úgy, hogy belátjuk, c ∩ γ ∈ ∪_{i<Θ_{δ}}P_{i} minden γ < f(δ)-ra.

Legyen tehát X = c_{δ} ∩ ζ valamely ζ ∈ c_{δ}-ra c_{δ} egy kezdőszelete és Y = f[X] c egy megfelelő kezdőszelete. Mivel c_{δ} és ζ N_{0}-hoz tartozik, X ∈ N_{0} ⊆ N_{ζ+1} és mivel f ↾ ζ ∈ N_{ζ+1} a harmadik feltétel miatt, amit N̄ választásánál feltettünk.Ebből következik, hogy Y = f[X] ∈ N_{ζ+1}.

Ha tudnánk, hogy Y ∈ M_{i} valamilyen i < λ-ra, akkor készen vagyunk: tegyük fel, hogy H(χ)⊧ ∃i < λ [Y ∈ M_{i}]. Mivel Y, M̄, λ ∈ M_{ζ+1} és N_{ζ+1} ≺ H(χ), kapjuk, hogy N_{ζ+1} ⊧ ∃i < λ[Y ∈ M_{i}] az elemiség miatt. Így létezik i < f(ζ + 1) < f(δ), melyre Y ∈ P_{i}, ahogy akartuk.

De miért létezik i < λ?

X ∈ M_{0}, ám f nem biztos, hogy valamelyik M_{i}-hez tartozik.De f ↾ c_{δ} = g ↾ c_{δ}, ezért Y -t (Y = f[X]) definiálhatjuk g-vel f helyett. g∈ M_{Θ+1} , így Y definiálható M_{Θ+1}-ben és így Y ∈ M_{Θ+1}.

□

3.6. Tétel. S ∈ I[λ] ⟺ ∃E ⊆ λ kofinális zárt és egy ⟨c_{α} : α < λ⟩ sorozat, melyek kielégítik a következőket:

1. c_{α} ⊆ α és típ c_{α}< α.

2. β ∈ c_{α} ⇒ β rákövetkező rendszám és c_{α} ∩ β = c_{β}.

3. δ ∈ S ∩ E ⇒ δ szinguláris, típ c_{δ}=cf δ és δ= sup c_{δ}.

Bizonyítás:

Tegyük fel, hogy létezik E és egy fenti típusú sorozat.Legyen P_{α}=⟨c_{α}⟩. Ha δ ∈ S ∩ E, akkor c_{δ} ⊆ δ nem korlátos δ-ban és típc_{δ}=cfδ. γ< δ ⇒ c ∩ γ = c ∩ ϵ, ahol ϵ = min[c_{δ} \ (γ + 1)] és c_{δ} ∩ ϵ = c_{ϵ} ∈ P_{ϵ}. Azaz S ∈ I[λ].

Az állítás megfordításának bizonyításához vegyünk S ∈ I[λ]-t és legyen E ⊆ λ olyan kofinális zárt halmaz valamint ⟨P^{α} : α < λ⟩ olyan sorozat, melyek I[λ] definíciójában szerepelnek. Ezekből kell egy 1-3-at kielégítő E-t és ⟨c_{α} : α < λ⟩-t készítenünk. Először P_{α}-ra teszünk néhány kitételt, melyek nem fogják növelni | P_{α} |-t (amely < λ). Tegyük fel, hogy χ elegendően nagy reguláris számosság és α ∈ M ≺ H(χ), P_{α} = M ∩ P^{α}. Így tehát ha x ∈ P_{α}, akkor típ x is ∈ P_{α}, minden limesz rendszámra, melyre β ∈ P_{α} egy kofinális zárt e_{β} ⊆ β, melyre típ e_{β}=cf β is P_{α}-ban van, és P_{α} zárt a következő halmazműveletekere: kivonás, unió, metszet....

Ezután fixáljunk egy növő, folytotnos ⟨γ_{i} : i < λ⟩ sorozatot, melyre γ_{i} limeszrendszám minden i < λ-ra és γ_{i+1} \ γ_{i} ≥ | ∪_{α≤γ_{i}}P_{α} | + | γ_{i} | +ℵ_{0}. ⟨γ_{i} : i < λ⟩-t megritkítva feltehetjük, hogy γ_{i} ∈ E és ha γ_{i} ∈ S, akkor γ_{i} szinguláris.

Legyen F_{i} : ∪_{α≤γ_{i}}P_{α} × γ_{i} → (ζ + 1 : γ_{i} < ζ < γ_{i+1}) bijektív függvény, úgy, hogy elkódoljon minden (x, β) párt x ∈ ∪_{α≤γ_{i}}P_{α}, β ≤ γ_{i}-re egy (γ_{i}, γ_{i+1})-beli rákövetkező rendszámmal.

Ezután próbáljuk meg definiálni c_{α}-t α < λ-ra. 1.eset : α rákövetkező rendszám. Mivel minden γ_{i} limeszrendszám, létezik i, melyre γ_{i} < α < γ_{i+1} . Ha α ∉ ranF_{i}, legyen c_{α}=∅. Ha pedig α = F_{i}(x, β) valamely x ∈ ∪_{α≤γ_{j}}P_{α} és j < i-re, legyen c_{α} = ∅. A megmaradó esetben β < minx .Ha x ∈ ∪_{α≤γ_{j}}P_{α} valamely j < i-re, legyen

szintén c_{α} = ∅.

Egyébként pedig: c_{α} =⟨F_{j}(x ∩ ζ, β) :

1. ζ ∈ x és típ x ∩ ζ e_{β} -hoz tartozik

2. j < i a legkisebb, melyre x ∩ ζ ∈ ∪_{α≤γ_{j}}P_{α}

3. minden ξ ∈ x ∩ ζ -ra, melyre típ(x ∩ ζ) ∈ e_{β}, létezik k < j, hogy x ∩ ξ ∈ ∪_{α≤γ_{k}}P_{α}⟩ 2.eset : α limeszrendszám: Ha lehetséges, válasszunk egy c_{α} ⊆ α nem kor-

látos halmazt, melyre típ cf α < α , minden β ∈ c_{α} rákövetkező rendszám és c_{α} ∩ β = c_{β}. Egyébként legyen c_{α} = ∅.

Most pedig leellenőrizzük, hogy ⟨c_{α}: α < λ⟩-ra fennállnak-e az előírt követelmények.

Az 1.: c_{α} ⊆ α és típ c_{α} < α. Limesz α-ra ez c_{α} választása miatt van így, ha α rákövetkező, akkor minden zárt részhalmazának rendtípusa < α.

A 2.: Tegyük fel, hogy γ ∈ c_{α}. Ekkor γ rákövetkező rendszám. Legyen Θ ∈ c_{α} ∩ γ. c_{α} definíciója miatt létezik ξ ∈ x, melyre típ x ∩ ξ ∈ e_{β} és az a k( < i) a legkisebb, hogy x ∩ ξ ∈ ∪_{α≤γ_{k}}P_{α}, melyre Θ = F_{k}(x ∩ ξ, β). (ezek a c_{α} definíciójabeli 1. és 2. kritériumok). c_{α} harmadik kritériuma alapján és mivel ξ ∈ x ∩ ζ, kapjuk, hogy létezik l < k, melyre x ∩ ξ ∈ ∪_{α≤γ_{k}}P_{α}.

Legyen y=x∩ζ, és γ = F_{j}(y, β) , β <miny és ξ ∈ y, úgy , hogy típ y ∩ξ= típ x ∩ ξ ∈ e_{β}. Ugyanígy, legyen k<j a legkisebb, melyre y ∩ ξ = x ∩ ξ ∈ ∪_{α≤γ_{k}}P_{α} és F_{k}(y ∩ ξ, β)=Θ.

Így c_{γ}-ra, ha y-t kicseréljük x-re, mindhárom definícióbeli követelmény fenn fog állni. Tehát Θ ∈ c_{γ}. A megfordítás szintén igaz, így kapjuk, hogy c_{α}∩γ = c_{γ}.

És végül a 3.: Azt kell megmondanunk, hogy mi legyen E′. Legyen E′ = ⟨γ(i) : i limesz⟩. Tegyük fel, hogy σ ∈ S ∩E′. Tudjuk, hogy σ szinguláris (mert ⟨γ_{i}: i< γ⟩ ⊆E) és hogy van x ⊆ δ, típ x < σ és ∀γ < σ x ∩ γ ∈ ∪_{α<σ}P_{α}. Feltehetjük, hogy x ∈ P_{σ}. Legyen β= típ x. Ekkor β ∈ P_{σ} és válasszuk β-t < min x-nek.

Legyen δ = sup⟨γ_{i} : i < i(∗)⟩, azaz δ = γ_{i(∗)}. e_{β} ⊆ β és típ e_{β}=cf x=cf σ.Ebből tudjuk, hogy e_{β} ∈ P_{β}.

Definiáljuk y-t ⟨ζ ∈ x: típ(x ∩ ζ) ∈ e_{β}⟩-nak. Ekkor típ y =típ e_{β}=cf δ és y ⊆ δ kofinális zárt halmaz δ-ban.

Legyen h(ζ)=min⟨j : x∩ζ ∈ ∪_{α≤γ_{j}}P_{α}⟩ valamilyen ζ ∈ y-ra. Szóval h: y → ⟨γ_{i} : i < λ⟩ és h nem csökkenő, mivel P_{γ_{i}} kezdőszeletre zárt minden i-re. Sőt, ∀ζ ∈ y-ra h(ζ)<γ_{i(∗)} = δ.

Legyen z=⟨ζ ∈ y : ∀ξ ∈ y ∩ ζ h(ξ)<h(ζ)⟩.

Valamint c=⟨F_{h(ζ)}(x ∩ ζ, β) : ζ ∈ z⟩.

c-ről akarjuk bizonyítani, hogy jó c_{δ}-nak.Nem korlátos δ-ban és a rendtípusa cf σ.Az egyedüli, amit ellenőriznünk kell, hogy γ ∈ c ⇒ β rákövetkező rendszám és c ∩ γ = c_{γ}.Azaz elég látnunk, ami igaz, hogy α = F_{h(ζ)}(x ∩ ζ, β) ζ ∈ z esetén j=h(ζ), és c_{α} = c ∩ α. Így készen vagyunk.

□

4. Egy kis bevezető a legkisebb felső korlátról

Ebben a fejezetben a rendszámfüggvényeken (melyek egy A végtelen halmazról a rendszámokba képeznek) adott<_{I}, ≤_{I}, ≰_{I} relációkat tárgyaljuk, ahol I egy A-n adott ideál.A legfontosabb eset most számunkra az lesz, amikor van egy rendszámfüggvénysorozatunk, amely valamelyik reláció szerint szigorúan monoton nő és kíváncsiak vagyunk a sorozat(vagy hogy egyáltalán létezik-e) legkisebb és egzakt felső korlátjára.(Ezeket a fogalmakat később fogom definiálni)

Tehát legyen A egy végtelen halmaz és I ⊆ P (A) egy ideál A-n.Jelöljük I^{∗}- gal a duális filtert,azaz az ⟨X ⊆A : A\X ∈ I⟩ részhalmazrendszert és I^{+}-szal a P(A)\I-t.Talán a legkönnyebb úgy elképzelni őket, hogy I-ben az A-n lévő "nullmértékű halmazok", I^{∗}-ban az "egymértékű halmazok", I^{+}-ban pedig a "pozitív mértékű halmazok" vannak.

Ezután definiálom a fent említett relációkat.Ha adott az A végtelen halmazról a rendszámokba képező 2 függvény f és g, akkor:

∘ f =_{I} g pontosan akkor, ha ⟨a ∈ A : f(a) ≠ g(a)⟩ ∈ I

∘ f ≤_{I} g pontosan akkor, ha ⟨a ∈ A : f(a) > g(a)⟩ ∈ I

∘ f <_{I} g pontosan akkor, ha ⟨a ∈ A : f(a) ≥ g(a)⟩ ∈ I

∘ f ⪇_{I} g pontosan akkor, ha f ≤_{I} g és ⟨a ∈ A : f(A) < g(a)⟩ ∈ I^{+}.

A következő jelöléseket is fogom használni:

∘ f ≤ g pontosan akkor, ha ∀a ∈A-ra [f(a)≤g(a)]

∘ f < g pontosan akkor, ha ∀a ∈A-ra [f(a)<g(a)]

∘ f ⪇ g pontosan akkor, ha f ≤ g és f≠g.

Hívjuk f_{α}:A→On függvények egy ⟨f_{α}:α < λ⟩ sorozatát növekvőnek <_{I}(≤_{I}...) szerint akkor és csak akkor, ha α < β < λ esetén f_{α} <_{I} f_{β}(f_{α} ≤_{I} f_{β}....).

A fejezet hátralevő részére rögzítsünk le A-t és a rajta levő I ideált.

4.1. Definíció. Tegyük fel, hogy F=⟨f_{α} : α < α(∗)⟩ rendszámfüggvények egy halmaza.Ekkor

• egy g:A→On függvény pontosan akkor felső korlátja F-nek, ha f_{α} ≤_{I} g minden α < α(∗)-ra.

• egy g:A→On függvény pontosan akkor legkisebb felső korlátja F-nek, ha g felső korlátja és g ≤_{I} g′ minden g′ felső korlátra.

• egy g:A→On függvény pontosan akkor egzakt felső korlátja F-nek, ha legkisebb felső korlátja és minden g′ <_{I} g-re létezik α < α(∗), hogy g′ < f_{I}α.

Ezután megpróbálunk megfelelő feltételeket keresni, melyek fennállása esetén tudjuk igazolni legkisebb ill egzakt felső korlát létezését egy f̄ monoton növő sorozathoz. De ehhez előbb definiálunk egy új fogalmat.

4.2. Definíció. Legyen C̄=⟨c_{α} : α < λ⟩ olyan sorozat, melyre c_{α} ⊆ α. Egy, az A halmazból a rendszámokba képező függvényekből álló sorozat, f̄ = ⟨f_{α} : α < λ⟩ pontosan akkor engedelmes C̄-nek, ha ∀α < λ-ra és ∀β ∈ c_{α}-ra [f_{β} < f_{α}].

A következő lemma azt állítja, hogy ha egy C̄ sorozat, melynek f̄ engedelmes "koherens", akkor f̄ tartalmaz monoton növő részsorozatot.

4.3. Lemma. Tegyük fel, hogy f̄=⟨f_{α} : α < λ⟩ engedelmes C̄ = ⟨c_{α} : α < λ⟩- nak. Ha C̄-re teljesül, hogy β ∈ c_{α} ⇒ c_{β} = c_{α} ∩ β, akkor minden α < λ-ra az ⟨f_{β} : β ∈ c_{α}⟩ sorozat < szerint monoton nő.

Bizonyítás: Legyenek β, γ ∈ c_{α} valamilyen α < λ-ra és tegyük fel, hogy β < γ. Mivel c_{α} ∩ γ = c_{γ}, a sorozat "koherenciájából" kapjuk, hogy β ∈ c_{γ}. f̄, engedelmességéből pedig f_{β} < f_{γ}.

□

A következőkben egy elégséges feltételt írunk le egzakt felső korlát létezésére <_{I} szerint monoton növekedő sorozatra.

4.4. Tétel. Tegyük fel, hogy | A |≤ κ és κ^{+} < λ = cfλ. Valamint, hogy S ⊆ S_{κ^{+}}^{λ} = ⟨δ < λ : cfδ = κ^{+}⟩ stacionárius, S ∈ I[λ] és C̄-re teljesülnek a következők:

1. C̄ = ⟨c_{α} : α < λ és cfα ≤ κ^{+}⟩

2. c_{α} ⊆ α , típ c_{α} < α

3. β ∈ c_{α} ⇒ β rákövetkező és c_{α} ∩ β = c_{β}

4. típ c_{δ} = κ^{+} és supc_{δ} = δ minden δ ∈ S-re Ha f̄ = ⟨f_{α} : α < λ⟩ (A-ból a rendszámokba képező) függvények <_{I} szerint

monoton növő sorozata engedelmes C̄-nek, akkor létezik egzakt felső korlátja.

Bizonyítás:

Először legkisebb felső korlát létezését bizonyítjuk, majd ezután belátjuk, hogy minden legkisebb felső korlát egzakt is.

Legkisebb felső korlátot "approximációval" fogunk keresni.Tehát veszünk egy felső korlátot és ahol lehet csökkentjük, persze hogy felső korlát maradjon. Limesz lépésekben fogjuk kihasználni, hogy f̄ engedelmeskedik C̄-nek, így produkálva kisebb felső korlátot.

Transzfinit indukcióval ζ(< κ^{+})-ra definiáljuk g_{ζ}, f̄-hez tartozó felső korlátok sorozatát, hogy a következő teljesüljön rá:

∘ ξ < ζ < κ^{+} ⇒ g_{ζ} ⪇_{I} g_{ξ} Legyen g_{0}(a)=sup⟨f_{α}(a) + 1 : α < λ⟩. Minden α < λ-ra g_{0} > f_{α} , így g_{0}

felső korlátja az f̄ sorozatnak.

Rákövetkező rendszámra, ha lehetséges, g_{ζ+1} elégítse ki a fentit.Ha nem, akkor g_{ζ} legkisebb felső korlát és az "approximációnk" véget ért.

Tegyük fel, hogy ζ < κ^{+} limesz.Azt kell persze belátnunk, hogy ha g_{ξ} definiálva van minden ξ < ζ-ra, akkor tudjuk definiálni g_{ζ}-t is.(tehát a transzfinit indukciónk nem állhat le < κ^{+} limeszrendszámnál.)

Szükségünk lesz az S_{ζ}(a) halmaz, h_{α}^{ζ} segédfüggvények és egy α_{ζ} < λ rendszám definícióira, hogy definiálhassuk g_{ζ}-t.

Tehát: ∘ a ∈ A-ra legyen S_{ζ}(a) = (g_{ξ}(a) : ξ < ζ) ∘ α < λ-ra h_{α}^{ζ}(a) = min(S_{ζ}(a) \ f_{α}(a)). A következő lemma h_{α}^{ζ} néhány tulajdonságát bizonyítja.

4.5. Lemma. 1. h_{α}^{ζ} ∈ Π_{a∈A}S_{ζ}(a) és h_{α}^{ζ} ≥ f_{α}.

2. f_{α}(a) ≤ f_{β}(a) ⇒ h_{α}^{ζ}(a) ≤ h_{β}^{ζ}(a) minden α, β < λ-ra.

3. fix ζ < κ^{+}-ra a ⟨h_{α}^{ζ} : α < λ⟩ sorozat monoton nő ≤_{I} szerint és f̄ bármely ⟨f_{α} : α ∈ c,c ⊆ λ⟩ részhalmazára, amely monoton nő < szerint, ⟨h_{α}^{ζ} : α ∈ c⟩ monoton nő ≤ szerint.

4. ha α, β < λ és h_{α}^{ζ}(a) < h_{β}^{ζ}(a), akkor h_{α}^{ζ}(a) < f_{β}^{ζ}(a).

5. ha ξ < ζ < κ^{+} és α < λ, akkor h_{α}^{ξ} ≥ h_{α}^{ζ}.

Bizonyítás: Az első állítás közvetlenül h_{α}^{ζ} definíciójából következik.

A másodikhoz legyen α, β < λ.Ha f_{α}(a) < f_{β}(a), akkor h_{α}^{ζ}(a) = min(S_{ζ}(a)\ f_{α}(a)) ≤ min(S_{ζ}(a) \ f_{β}(a)) = h_{β}^{ζ}.

A harmadik a másodikból, a negyedik a definíciókból következik. Az ötödikhez legyen ξ < ζ < κ^{+}, amely esetben S_{ξ}(a) ⊆ S_{ζ}(a) minden

a ∈ A-ra és ebből persze h_{α}^{ζ}(a)= min(S_{ζ}(a) \ f_{α}(a))≤min(S_{ξ}(a) \ f_{α}(a))=h_{α}^{ξ}. □

Az α_{ζ} < λ "stabilizálódási korlát" létezése pedig a következő lemmából jön:

4.6. Lemma. Létezik α_{ζ} < λ, melyre α_{ζ} ≤ α < λ ⇒ h_{α}^{ζ} =_{I} h_{α_{ζ}}^{ζ}.

Bizonyítás:

Az előző lemma harmadik pontja szerint ⟨h_{α}^{ζ} : α < λ⟩ monoton nő≤_{I} szerint.Ha tehát h̄ = ⟨h_{α}^{ζ} : α < λ⟩ nem stabilizálódna (modulo I), akkor ∀α < λ ∃γ < λ[h_{α}^{ζ} ⪇ h_{γ}^{ζ}] és mivel h̄ monoton nő ≤_{I} szerint, létezik egy E, λ-beli kofinális zárt halmaz, melyre igaz, hogy ha β ∈ E ⇒ ∀α < β[h_{α}^{ζ} ⪇_{I} h_{β}^{ζ}]

Mivel S stacionárius, létezik δ ∈ S ∩ acc(E).

Ezután rögzítsünk egy c ⊆ c_{δ} halmazt, hogy bármely két c-beli pont között legyen E-beli.

A 4.3 lemma miatt az ⟨f_{α} : α ∈ c⟩ sorozat < szerint monoton növő és így a 4.5 lemma értelmében ⟨h_{α}^{ζ} : α ∈ c⟩ ≤ szerint nő monoton.Mivel c-t úgy választottuk, hogy bármely két eleme között legyen E-beli, a ⟨h_{α}^{ζ} : α ∈ c⟩ szigorúan monoton nő.f ≤ g és f ⪇_{I} g ⇒ f < (≠)g bármely két f,g:A→On -re. Tehát ebből következik, hogy ⟨h_{α}^{ζ} : α ∈ c⟩ szigorúan monoton nő.Ez azonban ellentmond annak, hogy | S_{ζ}(a) |≤ κ minden a ∈ A-ra, merthogy ⟨h_{α}^{ζ}(a) : a ∈ c⟩ monoton nő ≤ szerint és mivel | S_{ζ}(a) |≤ κ, stabilizálódik α_{a} < κ^{+}-nál. α-t sup(α_{a} : α ∈ A)(< κ^{+})-nak választva h_{α}^{ζ} = h_{α+1}^{ζ}-et kapunk, ellentmondásban a feltevéssel, mely szerint a sorozat szigorúan monoton nő.

□

Ezt a lemmát használva limeszrendszámokra(mondjuk ζ < κ^{+} − ra) létezik α_{ζ} < λ stabilizálódási rendszám és definiáljuk g_{ζ}-t h_{α_{ζ}}^{ζ}-nak.Bármely α_{ζ} < α < λ-ra persze g_{ζ} = h_{α}^{ζ}, ezért α_{ζ}-t esetleg növelhetjük is.

4.7. Lemma. g_{ζ} egy felső korlát f̄-re és g_{ζ} ⪇_{I} g_{ξ}(ξ < ζ).

Bizonyítás:

Legyen adott α < λ.(α-t esetleg megnövelve feltehetjük, hogy α ≥ α_{ζ}.) Ekkor f_{α} ≤ h_{α}^{ζ} =_{I} h_{α_{ζ}}^{ζ}, azaz g_{ζ} egy felső korlátja f̄-nek.

Ha ξ < ζ ⇒ f_{α_{ζ}} <_{I} g_{ξ}, mivel g_{ξ} felső korlát és f̄ monoton nő <_{I} szerint. Ez azt jelenti, hogy valamely 1 mértékű részhalmazára az A halmaznak g_{ξ}(a) > f_{α_{ζ}}(a). Mivel g_{ξ}(a) ∈ S_{ζ}(a), minden egyes a-ra tudjuk, hogy h_{α_{ζ}}^{ζ}(a) ≤ g_{ξ}(a). Ebből persze következik, hogy g_{ζ} ≤_{I} g_{ξ} bármely ξ < ζ-re.Mivel ζ limeszrendszám és g_{ξ} ⪈ g_{ξ+1} (ξ < ζ) kapjuk, hogy g_{ζ} ⪇ g_{ξ} (ξ < ζ).

□

A legkisebb felső korlát létezését persze úgy bizonyítjuk, hogy belátjuk, az indukció befejeződik κ^{+} előtt. Mivel limeszrendszámnál nem fejeződhet be, rákövetkező rendszámra fog, ami pont egy legkisebb felső korlátot jelent. És készen leszünk a legkisebb felső korlát létezésével.

4.8. Lemma. Valamely ζ < κ^{+}-ra g_{ζ+1} nincs definiálva.

Bizonyítás: Tegyük fel az állítással ellentétben, hogy indukciónk működik minden ζ < κ^{+}-ra.

Minden ζ < κ^{+} limeszrendszámra tudjuk, hogy g_{ζ} = h_{α_{ζ}}^{ζ} =_{I} h_{α}^{ζ} (α ≥ α_{ζ}). λ > κ^{+} regularitása miatt létezik α(∗) < λ úgy, hogy g_{ζ} =_{I} h_{α(∗)}^{ζ} minden limesz ζ < κ^{+}-ra.

A ⟨h_{α(∗)}^{ζ} : ζ ∈ acc(κ^{+})⟩ stabilizálódik valamely ζ(∗) ∈ acc(κ^{+}) rendszámnál a 4.5 lemma miatt. Legyen ζ > ζ(∗) limeszrendszám.Ekkor g_{ζ(∗)} ⪈ g_{ζ} = g_{ζ(∗)} ellentétben a stabilizálódással.

□

Készen vagyunk.

Miután meglett egy legkisebb felső korlát, belátjuk róla, hogy egzakt felső korlát is.

4.9. Lemma. Tegyük fel, hogy g egy legkisebb felső korlátja az f̄ sorozatnak.Ekkor ha g′ <_{I} g, akkor g′ <_{I} f_{α} valamely α < λ-ra.

Bizonyítás: Legyen B_{α} = ⟨a ∈ A : f_{α}(a) > g′(a)⟩. Ha α < β < λ , akkor B_{α} ⊆_{I} B_{β}, mert f_{α} <_{I} f_{β}. Ha B_{α}/I nem stabilizálódik, akkor létezik egy E ⊆ λ kofinális zárt, hogy α < β ∈ E ⇒ B_{α} ⊊_{I} B_{β}. Rögzítsünk δ ∈ S ∩ acc(E)-t,majd ezután egy kofinális c halmazt, hogy c bármely két eleme között legyen E-beli.

Mivel a választásunk folytán c bármely két eleme között van E-beli,a ⟨B_{α} : α ∈ c⟩ sorozat szigorúan monoton nő ⊆_{I} szerint. De ekkor a 4.3 lemma miatt az ⟨f_{α} : α ∈ c⟩ is szigorúan monoton nő < szerint, amiből az következik, hogy ⟨B_{α} : α ∈ c⟩ ⊆ szerint monoton nő. ⊊_{I} és ⊆ szerinti monoton növekedésből pedig következik a ⊊ szerinti monoton növekedés, amiből kapjuk, hogy ⟨B_{α} : α ∈ c⟩ A egy szigorúan monoton növő részhalmazsorozata, ami ellentmond annak, hogy | A |< κ.

Tehát tegyük fel, hogy B_{α}/I stabilizálódik valamely α(∗) < λ-nál. Ha B_{α(∗)} ∈ I^{∗} , akkor f_{α(∗)} >_{I} g′ és kész vagyunk. Ellenkező esetben minden α ≥ α(∗)-ra f_{α} ↾ (A \ B_{α(∗)}) ≤_{I} g′ ↾ (A \ B_{α(∗)}).

Ebből definiáljuk g′′ = g′ ↾ (A\B_{α}(∗))∪g ↾ B_{α(∗)}-ot. g′′ felső korlátja f̄-nek és g′′ ⪇ g, hiszen g′ <_{I} g és A \ B_{α(∗)} ∈ I^{∗}. Ez pedig ellentmond annak, hogy g legkisebb felső korlát.

□

befejeztük a tétel bizonyítását.

□

Ejtsünk pár szót I[λ] bizonyításbeli szerepéről. Abból, hogy f̄engedelmeskedik C̄-nek és C̄ koherenciájából a 4.3 lemma alapján következik, hogy f̄monoton nő "lokálisan", vagyis részsorozatokban, melyeket c_{δ} ∈ C̄-vel indexeltünk. Tudjuk, hogy ha h̄^{ζ} nem stabilizálódik modulo I , monoton nő ⪇_{I} szerint λ egy kofinális zárt részhalmazán. És azt is tudjuk, hogy lehetetlen h̄^{ζ} bármely κ^{+} hosszú részsorozatának ⪇ szerint monoton nőnie, hiszen h_{ζ}^{ζ} ∈ h̄^{ζ} képtere benne van ΠS_{ζ}(a)-ban.

Mivel azonban S ∈ I[λ] stacionárius, beletehetjük E egy akkumulációs pontját (δ-t) S-be és közrefogva c_{δ} E-beli pontokkal, találhatunk egy κ^{+} hosszú sorozatot, amely mindkét reláció szerint szigorúan monoton nő.

Ugyanez van megismételve a 4.9. lemmában: ha a B_{α} sorozat nem stabilizálódik modulo I, akkor egy kofinális zárt halmazon nő. Van S-ben minden kofinális zártnak akkumulációs pontja, ezért találhatunk κ^{+} hosszú részsorozatot, amelyen B_{α} nő mind ⊆, mind ⊊_{I} szerint.

A 4.4. tételbeli engedelmességo feltételt elhagyhatjuk, ha feltesszük hogy 2^{|A|} < λ.

Végül azt is megjegyezhetjük, hogy a későbbiekben arra lesz jó egy I[λ]-beli stacionárius halmaz, hogy elhagyhatunk 2^{|A|}-ről bármilyen feltételt.

5. A PCF elmélet alapfogalmai

Tehát ebben a fejezetben elkezdjük tárgyalni a PCF("possible cofinality"-ból jön a rövidítés)-et, lényegében reguláris számosságok egy kis halmazának egy, a halmazon lévő ideállal lefaktorizált szorzatával fogunk foglalkozni.

5.1. Definíció. Legyen⟨P, ≤⟩ egy részbenrendezett halmaz, azaz ≤ egy tranzitív és reflexív reláció P-n.(p<q-t írunk, ha p ≤ q, de q ≰ p)

• Egy D ⊆ P részhalmaz kofinális pontosan akkor, ha ∀p ∈ P ∃d ∈ D[p ≤ d]

• P kofinalitása (cfP) a legkisebb számosság, amekkora egy P-beli kofinális részhalmaz számossága lehet.

• Egy d̄ = ⟨d_{i} : i < λ⟩ , P elemeiből álló sorozat monoton növő és kofinális, ha < szerint monoton növő és kofinális.

• P-nek pontosan akkor létezik valódi kofinalitása, ha létezik egy monoton növő, kofinális d̄ részhalmaza.Ekkor P valódi kofinalitása (tcfP=true cofinality of P) a lekisebb számosság, amekkora egy monoton növő, kofinális részhalmaz lehet.

Minden részbenrendezett halmaznak van kofinalitása.De pl ha az (ω_{n} : n < ω) részbenrendezett halmazoknak vesszük a diszjunkt unióját, akkor ennek a kofinalitása ℵ_{ω} és nincs valódi kofinalitása.Így P kofinalitásának nem kell feltétlenül reguláris számosságnak lennie és nem is biztos, hogy van valódi kofinalitása.(de ha létezik tcfP, akkor reguláris és tcfP=cfP)

5.2. Definíció. Reguláris számosságok egy A halmazára legyen pcf A= ( tcf ΠA/I : I egy A-n lévő ideál és ΠA/I-nek létezik valódi kofinalitása)

A ≤_{I} reláció értelmezve volt bármely két, az A halmazból a rendszámokba menő függvényre, és persze alkalmazható bármely, a szorzatban lévő függvényre (hiszen képzelhetjük a szorzatot függvények halmazaként, azaz ΠA=⟨f : f egy függvény A-n,∀a ∈ A-ra [f(a)∈A]⟩. Tegyük fel, hogy ΠA/I-nek létezik valódi kofinalitása és rögzítsünk egy függvényekből álló monoton, kofinális sorozatot f̄=⟨f_{α} : α < tcfΠA/I⟩-t. Minden I′ ⊇ I ideálra persze f̄ monoton növő kofinális lesz, ezért tcf ΠA/I′=tcf ΠA/I. És végül mivel minden A fölötti ideált ki lehet terjeszteni egy duális ultaszűrővé, kapjuk a következő ekvivalens átfogalmazást:

5.3. Lemma. pcfA= ⟨ cfΠA/D : D ultrafilter A-n⟩

Bizonyítás:

□

A Los tétele miatt ΠA/D (ahol D ultrafilter) teljesen rendezett halmaz és így mindig létezik valódi kofinalitása.

Jegyezzük meg, hogy A ⊆ pcfA, az egy elem által generált ultrafilterek miatt.

Tehát most elkezdjük a szorzatok valódi kofinalitásainak vizsgálatát.

5.4. Definíció. Legyen A ⊆REG és tegyük fel, hogy | A |< minA.Reguláris λ-ra definiáljuk J_{<λ}[A]=⟨B ⊆ A : B ∈ D ⇒ cfΠA/D < λ minden A-n lévő D ultrafilterre⟩-t.

Mivel cfΠA/D mindig reguláris, az hogy μ szinguláris estén J_{<μ^{+}} = J_{<μ} , triviális.

A következő tétel a későbbiekben elég használhatónak bizonyuló információt ad azokkal az ideálokkal faktorizált szorzatról, ahol az ideál kiterjeszti J_{<λ}-t. Tehát:

5.5. Tétel. Ha minA >| A | , akkor ΠA/J_{<λ} λ-irányított.

Bizonyítás: Transzfinit indukcióval μ < λ-ra bizonyítjuk, hogy bármely F⊆ ΠA-nek , melyre | F |= μ, van felső korlátja ΠA/J_{<λ}-ban.

Tehát legyen adva F ⊆ ΠA és tegyük fel, hogy | F |= μ.

1. eset: ha μ szinguláris.

Az indukciós hipotézist használva az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy F=⟨f_{α} : α < μ⟩ monoton nő <_{J_{<λ}} szerint.Válasszunk ki ebből egy kofinális sorozatot ⟨f_{α_{ζ}} : ζ < cfμ⟩-t.

Mivel cfμ < μ, az indukciós hipotézis ad egy g ∈ ΠA/J < λ felső korlátot az ⟨f_{α_{ζ}} : ζ < cfμ⟩ sorozathoz, ami persze felső korlátja F-nek is.

2. eset: μ reguláris és | μ ∩ A |< ℵ_{0}. Legyen g(a)=sup(f(a) : f∈F) minden a≥ μ-re A-ban és g(a)=0, ha a ∈ A ∩ μ. Mivel A∩μ véges, A ∩ μ ∈ J_{<λ} és g ∈ ΠA F egy felső korlátja.

3. eset: μ reguláris és A ∩ μ végtelen.Legyen κ=| A |^{+}. Mivel | A |< minA, tudjuk, hogy κ^{+} < μ. A 3.5 tétel miatt találhatunk egy S ⊆ S_{κ^{+}}^{μ} stacionárius halmazt, ahol S ∈ I[μ]. Soroljuk fel F-et :⟨f_{α} : α < μ⟩. Az indukciós hipotézis használatával definiáljuk transzfinit indukcióval α < μ-re a következő ⟨h_{α} : α < μ⟩ sorozatot, amely eleget tesz az alábbi kívánalmaknak:

1. h_{α} >_{I} f_{β} és h_{α} >_{I} h_{β} minden β < α-ra.

2. h̄ = ⟨h_{α} : α < μ⟩ engedelmeskedik C̄-nek.

A feltételekből adódóan az α-adik lépésnél tudunk definiálni egy g_{α} ∈ ΠA felső korlátot a ⟨h_{β} : β < α⟩ ∪ ⟨f_{β} : β < α⟩ halmaznak. és ezután legyen h_{α}(a) = max(⟨g_{α}(a)⟩ ∪ ⟨h_{β}(a) : β ∈ c_{α}⟩) minden a ∈ A \ κ^{+}-ra és válasszuk h_{α}(a)-t α-nak , ha a ∈ A ∩ κ^{++}.

Az előző fejezet 4.4 tételéből következően találhatunk egy g egzakt felső korlátot ≤_{J_{<λ}} szerint h̄-hoz. Mivel h_{α}(a) < a minden a ∈ A \ κ^{++} ∈ J_{<λ}-ra, az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy g(a)≤a minden a ∈Ara.Legyen B=⟨a ∈ A : g(a) = a⟩.

5.6. Lemma. B ∈ J_{<λ}.

Bizonyítás: Ha B ∉ J_{<λ}, akkor tudunk találni egy olyan B-t tartalmazó D ultrafiltert A-n, amelyre D ∩ J_{<λ}=∅. D duálisa kiterjeszti J_{<λ}-t, tehát h̄=⟨h_{α} : α < μ⟩ egy monoton növő sorozat<_{D} szerint is. Minden f ∈ F -re legyen f′ az a függvény, melyet f-ből úgy kapunk, hogy (A \ B)-n kicseréljük a konstans 0-ra. Mivel B ∈ D, f=_{D} f′, és mivel f′ <_{J_{<λ}} g és g egzakt felső korlát, létezik olyan α < μ, hogy f′ <_{J_{<λ}} h_{α}. Mivel D kiterjeszti J_{<λ}^{∗}-t, f =_{D} f′ <_{D} h_{α}.Így h̄ monoton növő, kofinálisΠA/D-ben, bizonyítva hogy cfΠA/D =μ < λ.Ezután J_{<λ} definíciójából levonhatjuk, hogyB ∈ J_{<λ}. □

Tudjuk, hogy B ∈ J_{<λ} és definiáljuk át g-t B-n nullának, amitől még egzakt felső korlátja marad h̄-nak ≤_{J<λ} szerint. (de így már ΠA-hoz fog tartozni). h̄ definíciója miatt g F egy felső korlátja.

□

Ezután bizonyítom a λ-irányítottság néhány következményét.

5.7. Tétel. Ha D egy A-n lévő ultrafilter , akkor cfΠA/D = min⟨λ : D ∩ J_{<λ^{+}} ≠ ∅⟩.

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy D egy ultrafilter A-n és legyen λ a legkisebb számosság, melyre D ∩ J_{<λ^{+}} ≠ ∅ J_{<λ^{+}} definíciója miatt ekkor cfΠA/D ≤ λ.

Visszafelé, D kiterjeszti J_{<λ}^{∗}-t, hiszen D ∩ J_{<λ^{+}} = ∅ és ekkor természetesen ≤_{D} kiterjeszti ≤_{J_{<λ}}-t. A 5.5 tétel miatt a ΠA/J_{<λ}λ^{+} irányított, tehát a ΠA/D is az, és ebből következően a kofinalitása legalább λ.

□

5.8. Tétel. Ha μ limesz számosság, akkor J_{<μ} = ∪_{λ<μ}J_{<λ}.

Bizonyítás: Legyen J=∪_{λ<μ}J_{<μ} valamelyμ limesz számosságra. J⊆ J_{<μ}, ami J_{<μ} definíciójából nyílvánvaló.

Visszafelé, ha B ∉ J , akkor létezik egy B ∈ D ultrafilter A-n, melyre D ∩ J = ∅. Mivel D kiterjeszti J_{<λ}-t minden λ < μ-re, az 5.7. tételből kapjuk, hogy cfΠA/D ≥ λ. Ebből pedig, hogy cfΠA/D ≥ μ és B ∉ J_{<μ}.

□

5.9. Tétel. Minden B ⊆ A halmazra létezik egyértelműen egy reguláris λ számosság, melyre B ∈ J_{<λ^{+}} \ J_{<λ}.

Bizonyítás: Mivel cf ΠA/D <| ΠA |^{+} bármely A-n lévő D ultrafilterre, minden B ⊆ A halmazra létezik legkisebb μ, melyre B ∈ J_{<λ}.Az előző tételből tudjuk, hogy μ nem lehet limesz, ebből következően μ = λ^{+} és B ∈ J_{<λ^{+}} \ J_{<λ}. Mivel J_{<μ} monoton növő μ-ben, λ egyértelmű. És nyilvánvaló, hogy λ reguláris.

□ 5.10. Tétel. pcfA-nak létezik legnagyobb eleme.

Bizonyítás: Az előző tétel biztosít egy egyértelmű reguláris λ számosságot, melyre A ∈ J_{<λ^{+}} \ J_{<λ}. Ebből következően cfΠA/D ≤ λ minden A fölötti D ultrafilterre tehátλ ≥ sup pcfA.

A másik irányú becsléshez legyen D egy A fölötti ultrafilter , melyre D ∩ J_{<λ} = ∅. Ilyen D biztosan létezik, hiszen A ∉ J_{<λ}. A cfΠA/D kofinalitás legalább λ, hiszen D kiterjeszti J_{<λ}^{∗}-t és így az előző bekezdéssel együtt megkaptuk, hogy λ ∈pcfA.

Tehát λ=maxpcfA.

□

5.11. Tétel. Ha | A |< minA, akkor | pcfA |≤ 2^{|A|}.

Bizonyítás: Az 5.3 lemma miatt 1-1 értelmű kapcsolat van pcfA elemei és a ⟨J_{<λ} : λ ∈ pcfA⟩ növő ideálsorozat tagjai közt. Ám egy ilyen növő ideállánc hossza legfeljebb 2^{|A|} lehet.

□

Vizsgáljuk most pcf-et, mint egy operációt a reguláris rendszámok részhalmazain. Tudjuk, hogy A⊆pcfA, illetve nyilvánvaló, hogy pcf A∪B= pcfA∪pcfB. Ha még azt is tudnánk, hogy pcfpcfA=pcfA, akkor ez az operáció kielégítené a topológiai lezárás axiómáit. És persze most ez érdekel minket, hogy mikor.A válasz a kérdésre pedig, hogy egy olyan modelljében a halmazelméletnek, ahol nincsenek elérhetetlen számosságok, igaz.De a valódi állítás az, hogy ha nincsen elérhetetlen számosság acc(pcfA)-ban, akkor is igaz. Ezt fogjuk most bizonyítani...

5.12. Tétel. Tegyük fel, hogy B ⊆ pcfA és | B |< minB. Ekkor pcfB ⊆ pcfA.

Ennek a tételnek a következménye a fent említett állítás, azaz

5.13. Tétel. Tegyük fel, hogy nincs elérhetetlen számosság acc(pcfA)-ban. Ekkor pcfpcfA=pcfA.

Bizonyítás: Legyen λ_{0}=sup pcfA.Ekkor λ_{0} vagy nem elérhetetlen vagy nem akkumulációs pontja pcfA-nak. Mindkét esetben λ_{1}=| pcfA |< λ_{0}.Legyen B_{0} = pcfA ∩ (λ_{1}, λ_{0}]. Mivel min B_{0} >| B_{0} |, használhatjuk az 5.12. tételt, amiből következik, hogy pcfB_{0} ⊆ pcfA.

Indukciót használva definiálhatjuk λ_{n+1} = cf | pcfA ∩ (λ_{n} + 1) |-t és legyen B_{n} = pcfA ∩ (λ_{n+1}, λ_{n}]. Mivel a ⟨λ_{n} : n < ω⟩ sorozat szigorúan monoton csökken, véges sok lépés után befejeződik az indukció(azaz B_{n+1} = ∅ és λ_{n+1} = 0 valamely n-re) és ez pcfA véges sok részre bontását adja (B_{l} : l ≤ n) részekre, melyekre igaz, hogy pcfB_{l} ⊆pcfA minden l ≤ n-re. Mivel minden A-n lévő ultrafilter valamelyik B_{l}-re "koncentrálódik" (azaz B_{l}-lel metszve az ultrafilter elemeit B_{l}-en ultrafiltert kapunk), kapjuk, hogy pcfpcfA⊆pcfA. □

Most pedig rátérünk az 5.12. tétel bizonyítására:

Bizonyítás:

Tegyük fel, hogy B ⊆ pcfA, minB>| B | és legyen az I_{λ} ideál A-n olyan, hogy tcfΠA/I_{λ}=λ minden λ ∈ B-re.(Legyen λ(∗) ∈ pcfB és hozzá tartozó I(∗) ideál olyan, hogy tcfΠB/I(∗) = λ(∗))

Legyen I=⟨X ⊆ A : (λ ∈ B : X ∉ I_{λ}) ∈ I(∗)⟩ megmutatjuk, hogy I ideál A fölött és tcf ΠA/I = λ(∗).

Annak az ellenőrzése, hogy valóban ideált kaptunk, egyszerű.

Minden egyes λ ∈ B-re rögzítsünk egy kofinális növő sorozatot, f̄^{λ} = ⟨f_{α}^{λ} : α < λ⟩-t ΠA/I_{λ}-ban.

Minden egyes g ∈ ΠB függvényhez definiáljunk egy G(g) ∈ ΠA függvényt a következők szerint: mivel ΠA/J_{<|B|^{+}} | B |-irányított, a 4.4. tétel szerint létezik f ∈ ΠA/J_{<|B|^{+}} felső korlátja az ⟨f_{g(λ)}^{λ} : λ ∈ B⟩ halmaznak. Legyen G(g) egy ilyen felső korlát.

Megint rögzítsünk egy ⟨g_{α} : α < λ(∗)⟩ monoton növő kofinális sorozatot ΠB/I(∗)-ban. Belátjuk, hogy minden egyes f ∈ ΠA-hoz létezik β < λ(∗), melyre f <_{I} G(g_{α}) minden α ∈ (β, λ(∗)). Legyen adva f ∈ ΠA.Definiáljuk F(f)-et a következőképp F(f)(λ)= min(α < λ : f <_{I_{λ}} f_{α}^{λ}) λ ∈ B-re. Ez jól definiált, mert ⟨f_{α}^{λ} : α < λ⟩ monoton növő kofinális ΠA/I_{λ}-ban (λ ∈ B). Legyen β ∈ λ(∗) a legkisebb, melyre F(f)<_{I(∗)} g_{β}. Ha α ∈ (β, λ(∗)), akkor F(f)<_{I(∗)} g_{α} és ebből következően f <_{I_{λ}} f_{g_{α}(λ)}^{λ}. Egy I(*)-beli halmaz kivételével az összes λ ∈ B-re. Ez pedig azt jelenti, hogy f<_{I} G(g_{α}) I definíciója szerint.

A fentiekből kövekezik, hogy ⟨G(g_{α}) : α < λ(∗)⟩ kofinális ΠA/I-ben és valamely E ⊆ λ(∗) kofinális zárt részhalmazra a ⟨G(g_{α}):α ∈ E⟩ sorozat monoton növő <_{I} szerint.Ezzel befejeztük annak a bizonyítását, hogy tcfΠA/I=λ(∗).

Azaz pcfB ⊆ pcfA és készen vagyunk.

□

6. PCF-generátorok létezése

Ebben a fejezetben azt fogjuk belátni, hogy minden λ ∈ pcfA, A ⊆ Reg-re, ahol minA>| A |, létezik B_{λ} ⊆ A halmaz, amely generálja J_{<λ^{+}} ideált J_{<λ}- ból.Ezen B_{λ}-kat fogjuk pcfA generátorainak hívni. B_{λ}-k J_{λ} erejéig egyértelműen definiáltak. A tételt, amely kimondja a generátorok létezését hívjuk pcf tételnek. Kezdjük el a bizonyítást.

6.1. Lemma. Ha λ ∈ pcfA és B ∈ J_{<λ^{+}} \ J_{<λ}, akkor tcfΠB/J_{<λ} = λ.

Bizonyítás: Először jegyezzük meg, hogy ha A∩λ véges, akkor készen vagyunk, hiszen J_{<λ^{+}} = A∩λ^{+} és J_{<λ} = A∩λ, azaz J_{<λ^{+}} \J_{<λ} = ⟨λ⟩. Tehát feltehetjük, hogy λ >| A |^{++} és válasszunk egy S⊆ S_{|A|^{+}}^{λ} halmazt I[λ]-ban egy C̄ sorozattal együtt, amely bizonyítja ezt.

Legyen J = J_{<λ} ∪ ⟨B ∈ J_{<λ^{+}} \ J_{<λ} : tcfB_{J_{<λ}} = λ⟩.

6.2. Lemma. J ideál.

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy B_{1} és B_{2} ∈ J_{<λ^{+}} \ J_{<λ} J-ben vannak és rögzítsünk monoton növekvő kofinális f̄^{1}, f̄^{2} sorozatokat ΠB_{1}/J_{<λ} és ΠB_{2}/J_{<λ}-ban, amelyek ezt bizonyítják. Legyen f_{α} = max(f_{α_{1}}, f_{α_{2}}) . A f̄ sorozat monoton növő ≤_{J_{<λ}} szerint és kofinális B_{1} ∪ B_{2}-n és ez elegendő arra, hogy B_{1} ∪ B_{2} ∈ J legyen. Ha csak az egyik B_{i} tartozik J_{<λ}-hoz, rögtön készen vagyunk.

□

Ha J = J_{<λ^{+}}, készen vagyunk.Tegyük tehát fel, hogy létezik B ∈ J_{<λ^{+}} \ J és ebből kell ellentmondásra jutnunk.

Vegyünk egy B ∈ D ultrafiltert A-n ,melyre J ∩ D = ∅. A 5.7. tétel miatt tudjuk, hogy cfΠA/D = λ. Ezután rögzítsünk egy monoton növő kofinális sorozatot, ⟨f_{α} : α < λ⟩-t ΠA/D-ben. α < λ-ra való indukcióval válasszunk h_{α} ∈ ΠB-t, hogy ⟨h_{α} : α < λ⟩ monoton növő <_{J_{<λ}} szerint és h_{α} >_{J_{<}λ} f_{β} minden β < α-ra. Ez, mint a korábbiakban már láttuk, J_{<λ} λ-irányítottságának következménye.

Sőt, válasszuk úgy h̄-t, hogy engedelmeskedjen C̄-nek.

Legyen g egzakt felső korlátja h̄-nak , melyre g(a)≤a teljesül minden a ∈ Ara és legyen B_{g} = ⟨a ∈ A : g(a) = a⟩. Mivel h̄ monoton növő és kofinális g alatt, az egzakt felső korlát definíciójából következik, hogy tcfΠB_{g}/J_{<λ} = λ és ebből adódik, hogy B_{g} ∈ J. Másrészről, ha B_{g} nem volna D-ben, akkor A\B_{g} ∈ D.Mivel g ↾ (A\B_{g})∪0 ↾ B_{g} ∈ ΠA, kapjuk hogy h̄, és ebből következően f̄ korlátos ΠA/D-ben, ami ellentmondás.Tehát B_{g} ∈ D. Ez pedig a D ∩ J = ∅- nak mond ellen.

□

Egy generátor maximális halmaz ⊆_{J_{<λ}} szerint. Hogy a létezését bizonyítsuk, az alábbiakban fogunk konstruálni egy monoton növő sorozatot ⊊_{J_{<λ}} szerint. Hogy fel tudjuk használni I[λ]-t akkor is, amikor egyszerre használjuk ⊆-t és ⊊_{J_{<λ}}-t egy speciális engedelmes sorozatot, amelyet "szerényen" engedelmesnek nevezünk.

6.3. Definíció. Legyen λ ∈ pcf(A\ | A |^{+++}) és legyen C̄ , amely bizonyítja, hogy a stacionárius S ⊆ S_{κ^{+}}^{λ} I[λ]-ban van. Egy f̄ = ⟨f_{α} : α < λ⟩ "szerényen" engedelmeskedik C̄-nek pontosan akkor, ha f̄ monoton nő <_{J_{<λ}} szerint, f̄ engedelmeskedik C̄-nek és f_{δ} = sup(f_{β} : β ∈ c_{δ}) minden δ ∈ S-re.

A C̄-nek való engedelmesség azt jelenti, hogy f_{α} ≥ sup(f_{β} : β ∈ c_{α}). Ezzel szemben az szerény engedelmesség azt, hogy δ ∈ S ⇒ f_{δ} = sup(f_{β} : β ∈ c_{δ}) azaz f_{δ} a legkisebb függvény, amely meg van engedve f̄ engedelmessége miatt, ha δ ∈ S. Jegyezzük meg, hogy míg az engedelmesség definiálva volt minden sorozatra, a "szerény" engedelmességet csak a monoton növő, λ hosszú, ΠA/J_{<λ} sorozatokra definiáltuk.

A "szerény" engedelmes sorozatok egy valódi részosztályt alkotnak az engedelmes sorozatok körében. Hogy nem üres ez a részosztály, azt az mutatja, hogy minden monoton növő f̄ sorozathoz tudunk találni egy szerényen engedelmes h̄-t, amely azokat majorálja, amiket f̄.

Rögzítsük a fejezet hátralevő részére λ ∈ pcf(A\ | A |^{+++}), S és C̄ legyen, ahogyan azt a definícióban megadtuk.

6.4. Lemma. Minden f̄=⟨f_{α} : α < λ⟩ sorozatra, amelyik <_{J_{<λ}} szerint monoton növő, létezik "szerényen" engedelmes h̄ = ⟨h_{α} : α < λ⟩ sorozat, mely szintén monoton növő <_{J_{<λ}} szerint és f_{α} ≤ h_{α} minden α ∈ λ \ S-re.

Bizonyítás: α < λ -ra való transzfinit indukcióval definiáljuk h_{α}-t.Ha α ∈ S, akkor legyen h_{α} = sup(h_{β} : β ∈ c_{δ}). Ha α ∈ λ \ S, kihasználva a λirányítottságot, találhatunk egy g_{α} ∈ ΠA korlátot ⟨f_{β} : β < α⟩ ∪ ⟨h_{β} : β < α⟩-nak és legyen h_{α}(a)=sup⟨(g_{α}(a)) ∪ (f_{α}(a)) ∪ (h_{β}(a) + 1 : β ∈ c_{α})⟩.

□

Ezután egy részbenrendezést fogunk bevezetni a "szerényen" engedelmes sorozatokon.

6.5. Definíció. Ha f̄^{1}, f̄^{2} "szerényen" engedelmes sorozatokra f̄^{1} ≤ f̄^{2}, pontosan akkor, ha f_{α}^{1} ≤ f_{α}^{2} fennáll minden α < λ-ra.

6.6. Lemma. Ha f̄^{1}, f̄^{2} "szerényen" engedelmes sorozatok, akkor f̄^{1} ≤ f̄^{2} pontosan akkor, ha f_{α}^{1} ≤ f_{α}^{2} fennáll minden α ∈ λ \ S-re.

Bizonyítás: Az egyik irány abból következik, hogy λ \ S ⊆ λ.

A másik irányhoz tegyük fel, hogy f_{α}^{1} ≤ f_{α}^{2} minden α ∈ λ\S-re, és rögzítsünk egy legkisebb δ ∈ S-et, amelyre f_{δ}^{1} ≰ f_{δ}^{2}. Mivel minden β ∈ c_{δ}-ra tudjuk, hogy f_{β}^{1} ≤ f_{β}^{2} és f_{β}^{2} = sup(f_{β} : β ∈ c_{δ}), illetve f_{δ}^{1} = sup(f_{β}^{1} : β ∈ c_{δ}), ellentmondásra jutottunk.

□

Mivel mindegyik "szerényen" engedelmes sorozat egy <_{I_{<λ}} szerint monoton növő engedékeny sorozata rendszámfüggvényeknek, a 4.4. tétel miatt létezik egzakt felső korlátja. Válasszunk gf̄ felső korlátot minden f̄ "szerényen" engedékeny sorozathoz, amelyről feltehetjük, hogy gf̄(a) ≤ a minden a ∈ A-ra. Ezután jelöljük Bf̄-fel a következő halmazt: ⟨a ∈ A : gf̄(a) = a⟩. Mivel f̄ kofinális g alatt, kapjuk, hogy tcfBf̄/J_{<λ}=λ és ezért Bf̄ ∈ J_{<λ^{+}} \ J_{<λ} minden "szerényen engedelmes" f̄ sorozatra.

Megmutatjuk, hogy minden B ∈ J_{<λ^{+}} \ J_{<λ} ekvivalens (modulo J_{<λ}) egy Bf̄ halmazzal, ahol f̄ "szerényen" engedelmes sorozat, és f̄^{1} ≤ f̄^{2} esetén Bf̄^{1} ≤_{J<λ} Bf̄^{2}. Azaz

6.7. Lemma. 1.Tegyük fel, hogy B ∈ J_{<λ^{+}} \J_{<λ}. Ekkor létezik egy "szerényen" engedelmes f̄ sorozat, melyre B =_{J_{<λ}} Bf̄.

2.Ha f̄^{1} ≤ f̄^{2}, akkor Bf̄^{1} ⊆_{J_{<λ}} Bf̄^{2}.

Bizonyítás: Egészítsük ki a J_{<λ} ideált az A \ B halmazzal.Így elértük, hogy ΠA/J_{<λ} helyett dolgozhatunk ΠB/J_{<λ}-ban is.

Használva az 5.5. tételt, rögzítsünk egy λ hosszú kofinális sorozatot ΠB/J_{<λ}- ban ,amit cseréljünk ki egy "szerényen" engedelmes f̄ sorozatra, amely létezik a 5.7. tétel miatt. Legyen g egzakt felső korlátja f̄-nek és Bf̄ = B_{g}= ⟨a ∈ A : g(a) = a⟩. Mivel feltettük, hogy f̄ konstans nulla B-n kívül, feltehetjük ugyanezt g-ről is, amiből következik, hogy B_{g} ⊆ B. Legyen ezután C = B \ B_{g} = ⟨a ∈ B : g(a) ∈ a⟩. A ⟨f_{α} ↾ C:α < λ⟩ sorozat monoton növő és kofinális ΠC/J_{<λ}-ban, tehát g ↾ C <_{J_{<λ}} f_{α} valamely α < λ-ra. Mivel f_{α} <_{J_{<λ}} g, levonhatjuk a következtetést, hogy C ∈ J_{<λ}.

Tehát B =_{J_{<λ}} B_{g}

A második állítás bizonyításához vegyük észre, hogy mivel f_{α}^{1} ≤ f_{α}^{2} minden α < λ-ra és f̄^{1} kofinális ΠBf̄^{1}/J_{<λ}-ban, f̄^{2} ↾ Bf̄^{1} szintén kofinális ΠBf̄^{1}/J_{<λ}-ban és ezért Bf̄^{1} ⊆_{J_{<λ}} Bf̄^{2}.

□

Ha létezik J_{<λ^{+}}-nak J_{<λ} fölött generátora B_{λ}, akkor J_{<λ^{+}}/J_{<λ} Boole algebra, melynek maximális eleme B_{λ} és minden κ-ra κ-irányított. A következő lemma, mely a pcf tétel bizonyításához kell majd, egy bizonyos κ-ra (κ=| A |^{+}- ra) állítja J_{<λ^{+}}/J_{<λ} κ-irányítottságát. ( Igazából egy kicsit többet állít: mégpedig, hogy ≤ a "szerényen" engedelmes sorozatokon | A |^{+}-irányított.)

6.8. Tétel. Tegyük fel,hogy ζ(∗) <| A |^{+}. Ekkor

1. Ha ⟨f̄^{ζ} : ζ < ζ(∗)⟩ "szerényen" engedelmes sorozatok egy halmaza, akkor létezik egy f̄ "szerényen" engedékeny sorozat úgy, hogy f̄^{ζ} ≤ f minden ζ ≤ ζ(∗)-ra.

2. Ha ⟨B_{ζ} : ζ < ζ(∗)⟩ ⊆ J_{<λ^{+}}, akkor létezik egy B ∈ J_{<λ^{+}}, melyre B_{ζ} ⊆_{J_{<λ}} B.

Bizonyítás: Mivel minden B ∈ J_{<λ^{+}} ekvivalens egy Bf̄-fel valamilyen "szerényen" engedelmes f̄ sorozatra és f̄_{ζ} ≤ f̄-ből következik, hogy Bf̄^{ζ} ⊆_{J_{<λ}} Bf̄ és Bf̄ ∈ J_{<λ^{+}} \ J_{<λ} ,azaz elegendő az 1. pontot bizonyítani.

Tegyük fel tehát, hogy ⟨f̄^{ζ} : ζ < ζ(∗)⟩ sorozatok "szerényen" engedelmesek és ζ(∗) <| A |^{+}. Definiáljunk α < λ-ra való indukcióval egy <_{J_{<λ}} szerint monoton növő "szerényen" engedelmes sorozatot ⟨f_{α} : α < λ⟩-t, melyre f_{α}^{ζ} ≤_{J_{<λ}} f_{α} minden ζ < ζ(∗), α < λ. Indukciós lépésben ugyanazt kell csinálnunk, mint a 6.4. tétel bizonyításában annyi különbséggel, hogy most a g_{α} felső korlátot ζ(∗) × α darab függvényre kell venni.

□

6.9. Lemma. Ha f̄^{1} ≤ f̄^{2} "szerényen" engedelmes sorozatok, és B = Bf̄^{1} ∈ J_{<λ^{+}}\J_{<λ}, akkor létezik egy E ⊆ λ kofinális zárt, melyre δ ∈ S∩E ⇒ f_{δ}^{1} ↾ B =_{J_{<λ}} f_{δ}^{2} ↾ B

Bizonyítás: A f̄^{1} monoton növő kofinális J_{<λ} szerint B-n B definíciója szerint. Ezért minden α < λ-ra létezik β(α) < λ, melyre f_{α}^{2} <_{J_{<λ}} f_{β(α)}^{1}. Legyen E egy kofinális zárt halmaz, ami zárt az α ⟶ β(α)leképezésre(azaz, δ ∈ E és α < δ ⇒ β(α) < δ). Tegyük fel, hogy δ ∈ E ∩ S. Meg fogjuk mutatni, hogy f_{δ}^{1} ↾ B =_{J_{<λ}} f_{δ}^{2} ↾ B. Már tudjuk, hogy f_{δ}^{2} ≥ f_{δ}^{1}.

Az állítással ellentétben legyen C = ⟨a ∈ B : f_{δ}^{1}(a) < f_{δ}^{2}(a)⟩.

Minden a ∈ A-ra tudjuk, hogy f_{δ}^{2}(a) = sup(f_{α}^{2}(a) : α ∈ c_{δ}) és ezért minden a ∈ C-hez rögzíteni tudunk egy α_{a} ∈ c_{δ} rendszámot, melyre f_{α_{a}}^{2}(a) > f_{δ}^{1}(a). Egy ilyen indexnek léteznie kell, hiszen f_{δ}^{2}(a) = sup(f_{α}(a) : a ∈ c_{δ}) > f_{δ}^{1}(a). Mivel típc_{δ}=| A |^{+}, és | C |≤| A |, találhatunk egy γ ∈ nacc(c_{δ})-t, amelyik nagyobb, mint α_{a} minden a ∈ C-re. A sorozat γ-beli koherenciája miatt f_{γ}^{2}(a) > f_{α}^{2}(a) > f_{δ}^{1}(a) minend a ∈ C-re. De mivel δ ∈ E, létezik β < δ, melyre f_{γ}^{2} <_{J_{<λ}} f_{β}^{1}. C′ = ⟨a ∈ A : f_{γ}^{2}(a) < f_{β}^{1}(a) < f_{δ}^{1}(a)⟩ diszjunkt C-től, hiszen a ∈ C ∩ C′ ⇒ f_{γ}^{2}(a) < f_{β}^{1}(a) < f_{δ}^{1} < f_{γ}^{2}(a), ami lehetetlen. Mivel C′ ∪ A \ B "1 mértékű", ebből következik, hogy C ∈ J_{<λ} és f_{δ}^{2} ↾ B =_{J_{<λ}} f_{δ}^{1} ↾ B.

□

Jön az utolsó tétel, a pcf generátorok létezéséről.

6.10. Tétel. Tegyük fel, hogy A ⊆ REG egy végtelen halmaz és | A |< minA. Ekkor minden λ ∈ pcfA-ra létezik egy B_{λ} ⊆ A halmaz, melyre J_{<λ^{+}} = J_{<λ}+B_{λ}.

Bizonyítás:

Mivel minden λ ∈ pcfA-ra, melyre λ ∩ A véges, a tétel állítása egyszerűen annyi, hogy λ^{+} ∩ A = λ ∩ (A ∪ ⟨λ⟩), a tétel igaz ezen λ-kra.

Tegyük fel, hogy λ ∈ pcf(A\ | A |^{++}) és rögzítsünk egy stacionárius S ⊆ S_{κ^{+}}^{λ} halmazt I[λ]-ban és egy C̄ halmazt, amely ezt bizonyítja.Ezután egy generátort kell találnunk, amely J_{<λ^{+}}-t generálja J_{<λ}-ból.

Transzfinit indukcióval ζ <| A |^{+}-ra definiáljunk "szerényen" engedelmes f̄^{ζ} sorozatokat, melyekre és a hozzájuk tartozó B_{ζ} = Bf̄^{ζ} halmazokra igaz, hogy

∘ ξ < ζ <| A |^{+}⇒ f̄^{ξ} ≤ f̄^{ζ}

∘ ξ < ζ <| A |^{+}⇒ B_{ξ} ⊊_{J_{<λ}} B_{ζ}

Tegyük fel, hogy ζ <| A |^{+} és hogy f̄^{ξ} és B_{ξ} = Bf̄^{ξ} definiálva vannak minden ξ < ζ-ra és kielégítik a fenti feltételeket.Az | A |^{+}-irányítottság miatt létezik olyan B ∈ J_{<λ^{+}} halmaz, melyre B_{ξ} ⊆_{J_{<λ}} B minden ξ < ζ-ra. Ha B generálja J_{<λ^{+}}-t, készen vagyunk.

Egyébként létezik B′, melyre B ⊊_{J_{<λ}} B′ ∈ J_{<λ^{+}}. A 6.7. lemma szerint ekkor van olyan "szerényen" engedelmes f̄ sorozat, melyre B′ = Bf̄. Legyen f̄^{ζ} a 6.8.tételből kapott sorozat, melyre f̄ ≤ f̄^{ζ} és f̄^{ξ} ≤ f̄^{ζ} minden ξ < ζ-re. Ekkor persze B_{ξ} ⊊_{J_{<λ}} B_{ζ} minden ξ < ζ-ra.

Tegyük fel az állítással ellentétben, hogy f̄^{ζ} és B_{ζ} definiálva vannak minden ζ <| A |^{+}-ra és teljesítik azt, hogy f̄^{ζ} monoton nő ≤ szerint , B_{ζ} pedig ⊊_{J_{<λ}} szerint.

Minden egyes ξ < ζ <| A |^{+} rendszámpárra a 6.9.lemma miatt létezik E_{ξ,ζ} ⊆ λ kofinális zárt halmaz, melyre δ ∈ S ∩ E_{ξ,ζ} ⇒ f_{δ}^{ξ} ↾ B_{ξ} =_{J_{<λ}} f_{δ}^{ζ} ↾ B_{ξ}. Mivel f̄^{ζ} kofinális, monoton növő B_{ζ} \ B_{ξ}-ben és g_{ξ} ↾ (B_{ζ} \ B_{ξ}) ∈ Π(B_{ζ} \ B_{ξ}) , B_{ξ} definíciója miatt létezik α < λ, melyre g_{ξ} ↾ (B_{ζ} \ B_{ξ}) <_{J_{<λ}} f_{α}^{ζ}. Ezután kivonva α-t E_{ξ,ζ}-ból, kapjuk, hogy f_{δ}^{ξ} ↾ (B_{ζ} \ B_{ξ}) <_{J_{<λ}} f_{δ}^{ζ} minden δ < λ-ra és ζ ∈ E-re.

Legyen E = ∩_{ξ<ζ<|A|^{+}}E_{ζ,ξ}. Mivel | A |^{+}< λ, E kofinális zárt lesz λ-ban. Legyen δ ∈ S ∩ E. Tehát minden ξ < ζ <| A |^{+}-ra tudjuk, hogy

f_{δ}^{ζ} ↾ B_{ξ} =_{J_{<λ}} f_{δ}^{ξ} ↾ B_{ξ} és f_{δ}^{ξ} ↾ (B_{ζ} \ B_{ξ}) <_{J_{<λ}} f_{δ}^{ζ} ↾ (B_{ζ} \ B_{ξ})

Minden a ∈ A-ra a ⟨f_{δ}^{ζ}(a) : ζ <| A |^{+}⟩ monoton növő ≤ szerint, mert a ⟨f̄_{ζ} : ζ <| A |^{+}⟩ monoton növő ≤ szerint. Ebből következik, hogy minden a ∈ A-ra létezik C_{a} ⊆| A |^{+} kofinális zárt halmaz, amelyen a ⟨f_{δ}^{ζ}(a) : ζ <| A |^{+}⟩ halmaz vagy konstans vagy monoton növő.

Legyen C = ∩_{a∈A}C_{a}. Mivel | A |<| A |^{+}, C kofinális zárt | A |^{+}-ban.

Válasszunk ξ < ρ-t C-ben és ζ = ζ(ξ) < ρ-t. Mivel δ ∈ E ⊆ E_{ζ,ξ}, tudjuk, hogy f_{δ}^{ζ}(a) = f_{δ}^{ρ}(a) minden a ∈ B_{ζ}-re egy nullmértékű halmaz kivételével. Egyébként pedig a ⟨α ∈ B_{ζ} \ B_{ξ} : f^{ξ}(a) < f^{ζ}(a)⟩ halmaz pozitív mértékű. Emiatt találhatunk a ∈ B_{ζ} \ B_{ξ}-t, melyre mindkét reláció teljesül, azaz f_{δ}^{ξ}(a) < f_{δ}^{ζ}(a) = f_{δ}^{ρ}(a). Ez azonban lehetetlen, hiszen, mert ξ, ζ, ρ ∈ C ⊆ C_{a} és ezért ξ < ζ < ρ miatt f_{δ}^{ξ}(a) = f_{δ}^{ζ}(a) = f_{δ}^{ρ}(a) vagy f_{δ}^{ξ}(a) < f_{δ}^{ζ}(a) < f_{δ}^{ρ}(a).

□

7. A Dowker-tér konstukció

Legyen X^{R} = {h ∈ Π_{n>1}(ℵ_{n} + 1) : ∃m∀n[ℵ_{0} < cfh(n) < ℵ_{m}]}.

X^{R} az úgynevezett Rudin-tér, melyen a következő T_{2} topológia van: legyenek a bázisnyíltak f < g ∈ Π_{n>1}(ℵ_{n} + 1) esetben (f,g]= {h ∈ X^{R} : f < h ≤ g}. Ismert, hogy egy normális T_{2} tér pontosan akkor megszámlálhatóan parakompakt, ha zárt halmazok bármely csökkenő ⟨D_{n} : n < ω⟩ sorozatához, melyre ∩_{n<ω}D_{n} = ∅ léteznek U_{n} ⊇ D_{n} nyílt halmazok, melyekre szintén∩_{n<ω}U_{n} = ∅.

Legyen ezután D_{n} = {h ∈ X^{R} : ∃m ≥ n[h(m) = ℵ_{m}]}.

7.1. Definíció. Egy X topologikus tér kollektíven normális, ha bármely páronként diszjunkt zárt halmazokból álló ⟨U_{i} : U_{i} ⊆ Xi < i(∗)⟩ halmazhoz található szintén diszjunkt ⟨V_{i} : V_{i} ⊆ X⟩ nyíltak rendszere, hogy V_{i} ⊇ U_{i}.

Rudin vezette be a fenti zárt halmazokat [6]-ban és bizonyította róluk a következő tételt:

7.2. Tétel. 1. X^{R} kollektíven normális.

2. Ha U_{n} ⊆ X^{R} nyíltak és ha D_{n} ⊆ U_{n} minden n>1 esetén ∩_{n>1}U_{n} nem üres.

□

Ebből látta be Rudin (felhasználva Dowker cikkében lévő állításokat), hogy X^{R} Dowker-tér.

7.3. Lemma. Létezik olyan ℵ_{ω+1} rendtípusú, Π_{n>1}ℵ_{n}-ban kofinális f̄ = ⟨f_{α}:α < ℵ_{ω+1}⟩ függvénysorozat, melyre igaz, hogy minden δ < ℵ_{ω+1}-re ha cfδ>ℵ_{0} és f̄ ↾ δ-nak létezik legkisebb felső korlátja, akkor f_{δ} egy ilyen legkisebb felső korlát.

Bizonyítás: Először vegyünk egy tetszőleges ℵ_{ω+1} rendtípusú kofinális sorozatot Π_{n>1}ℵ_{n}-ben, ḡ = ⟨g_{α}:α < ℵ_{ω+1}⟩-t, amely a 6.10. tétel szerint létezik. (Valójában a 6.10. tétel szerint csak egy Π_{n∈B}ℵ_{n}-beli kofinális sorozatunk van, de mivel B végtelen, feltehetjük , hogy B=ω.)Ezután definiáljuk f_{α}-t α < ℵ_{ω+1}- re való transzfinit indukcióval:

∘ α rákövetkező vagy megszámlálható kofinalitású limesz, legyen f_{α}=g_{β}, ahol β ∈ (α, ℵ_{ω+1}) az első olyan rendszám, melyre g_{β} >^{∗} f_{γ} minden γ < α-ra.

∘ α kofinalitása nem megszámlálható, g_{α} legyen a legkisebb felső korlátja az f̄ ↾ α=⟨f_{β} : β < α⟩-nak, ha létezik. Egyébként definiáljuk, mint az előző esetben.

Az így kapott sorozat jó.

□

Legyen f̄ = ⟨f_{α}:α < ℵ_{ω+1}⟩ a fenti sorozat és válasszuk X-et a következő halmaznak {h ∈ X^{R} : ∃α < ℵ_{ω+1}[h =^{∗} f_{α}]}.(ahol a továbbiakban f =^{∗} g , f ≤^{∗} g , f <^{∗} g.... jelentése a továbbiakban: {n : f(n) ≠ g(n)},.... véges)

Mivel | {h ∈ X^{R} : h =^{∗} f_{α}} |= ℵ_{ω} minden α < ℵ_{ω+1}-re, nyílvánvaló, hogy | X |= ℵ_{ω+1}.

Mivel f̄ <^{∗} szerint teljesen rendezett, minden h∈ X-ra létezik egyértelműen α < ℵ_{ω+1}, melyre h =^{∗} f_{α}. Ebből következően X teljesen részbenrendezett <^{∗} szerint, azaz h, k ∈ X ⇒ [h <^{∗} k ∨ k <^{∗} h ∨ h =^{∗} k].

A következő állításhoz felhasználunk egy, a legkisebb felső korlátra vonatkozó lemmát: Legyen f̄ = ⟨f_{α}:α < ℵ_{ω+1}⟩, mint 7.3. lemmában.

7.4. Lemma. Tegyük fel, hogy 0 < m ≤ k < ω és legyen ⟨α(ζ):ζ < ℵ_{m}⟩ szigrúan monoton növő, melyre sup{α(ζ):ζ < ℵ_{m}}=δ < ℵ_{ω+1}. Ha ⟨g_{ζ}:ζ < ℵ_{m}⟩ Π_{n>k}ℵ_{n}-beli < szerint monoton növő függvények sorozata és g_{ζ} =^{∗} f_{α(ζ)} minden ζ < ℵ_{m}-re, akkor:

• g =sup{g_{ζ}:ζ < ℵ_{m}} ∈ Π_{n>k}ℵ_{n} f̄ ↾ δ egy legkisebb felső korlátja

• cfg(n)=ℵ_{m} minden n > k-ra

• g=^{∗}f_{δ}

Bizonyítás: Következik a 6.10. tétel bizonyításából. □

7.5. Lemma. Tegyük fel, hogy 0 < m≤k < ω és hogy ⟨h_{ζ} : ζ < ℵ_{m}⟩ X pontjaiból álló olyan sorozat, melyre ⟨h_{ζ} ↾ (k, ω) : ζ < ℵ_{m}⟩ növekvő < szerint. Legyen g=sup{h_{ζ} : ζ < ℵ_{m}}. Ekkor létezik h ∈ X, melyre h=^{∗}g.

Bizonyítás: Minden ζ < ℵ_{m}-hez létezik egyértelműen α(ζ) < ℵ_{ω+1}, melyre h_{ζ} =^{∗} f_{α(ζ)}. Mivel ⟨h_{ζ} : ζ < ℵ_{m}⟩ monoton növő <^{∗} szerint, a ⟨α(ζ) : ζ < ℵ_{m}⟩ szigorúan monoton nő. Legyen δ = sup{α(ζ) : ζ < ℵ_{m}} . A 7.4 lemmából tudjuk, hogy cfg(n)=ℵ_{m} minden n∈ (k, ω)-ra és g=^{∗} f_{δ}.

Legyen h∈ Π_{n>1}(ℵ_{n} + 1) h(n)=ℵ_{n}-nek definiálva n≤k-ra és h(n)=g(n) n > k-ra. Ekkor h∈ X^{R} és h=^{∗} f_{δ}. Azaz h∈ X és h=^{∗} g, ahogy az nekünk kellett.

□

7.6. Tétel. X zárt altere X^{R}-nek.

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy t ∈clX és t ∈ X^{R}. Minden h ∈X-re legyen E(h, t) = {n > 1 : h(n) = t(n)}.

7.7. Lemma. Ha h ≤ t és h ∈ X, akkor E(h,t) véges vagy ko-véges.

Bizonyítás: Tegyük fel a lemma állításával ellntétben, hogy h ≤ t, h ∈ X és | E(h, t) |=| ω \ E(h, t) |= ℵ_{0}. Legyen, n > 1-re

f(n)={0,ha n ∈ E(h, t) és h(n),ha n ∈ (ω_{E}(h, t))}

Nyílvánvalóan f < t. Ezután belátjuk, hogy X ∩ (f, t] üres, ellentétben a t ∈ clX feltevéssel. Ha k∈X és k(n)>h(n) minden n ∈ (ω_{E}(h, t)), akkor k≮^{∗} h ∧ k ≠^{∗} h, hiszen ω \ E(h, t) végtelen és így h<^{∗}k a trichotómia miatt. Mivel E(h,t) végtelen és {n > 1 : k(n) ≤ h(n)} véges, létezik n ∈ E(h, t), melyre k(n) > h(n)=t(n) és ezért k ∉ (f, t].

□

Legyen W={w ⊆ ω : ∀f < t∃h ∈ (f, t][E(h, t) = w]}

Az előző állítás szerint ha w ∈ W, akkor w véges vagy kovéges.

7.8. Lemma. W≠ ∅

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy W üres. Az előző lemma szerint ez ekvivalens azzal, hogy egy véges vagy kovéges w ⊆ ω sincs W-ben. Minden véges vagy ko-véges w-re rögzítsünk egy f_{w} < t-t úgy, hogy h ∈ (f_{w}, t] ∩ X ⇒ E(h, t) ≠ w. Legyen f az f_{w}-k szuprémuma, ahol w végigfut ω összes véges és ko-véges részhalmazán. Mivel megszámlálhatóan sok f_{w} van, cft(n) > ℵ_{0} minden n > 1-re, amiből f < t következik.Ha h ≤ t X-ben és w=E(h,t), akkor h ∉ (f_{w}, t] és így h ∉ (f, t]. Tehát (f,t]∩X = ∅, ellentmondásban t ∈ clX-szel.

□

Jelöljük M_{m}-mel a {n > 1 : cft(n) = ℵ_{m}} halmazt. (M_{<m} = ∪_{1<i<m}M_{i})

7.9. Lemma. Ha létezik h ∈ X , melyre E(h,t) kovéges, akkor t ∈ X.

Bizonyítás: □

7.10. Lemma. Létezik h ∈ X, melyre E(h,t) kovéges

Bizonyítás: Szintén a 7.4. lemma miatt elég egy h ∈ X-et találni, amelyre E(h,t) végtelen. Legyen m a legkisebb egész, amelyre M_{m} végtelen.Mivel t ∈ X^{R}, ilyen m létezik.

Legyen w ∈ W fix. Ha w végtelen, készen vagyunk.Tehát tegyük fel, hogy véges és legyen k=max{M_{<m},maxw}.

Minden n ∈ M_{m}-re rögzítsünk egy ⟨γ_{ζ}^{n} : ζ < ℵ_{m}⟩ sorozatot, melynek a szuprémuma legyen t(n). Transzfinit indukcióval ζ < ℵ_{m}-re találhatunk ⟨h_{ζ} : ζ < ℵ_{m}⟩ sorozatot, melyre teljesülnek a következők:

1. h_{ζ} ≤ t X-ben van és E(h_{ζ},t)=w

2. ξ < ζ < ℵ_{m} ⇒ h_{ξ} ↾ (k, ω) < g és h_{ζ} ↾ (k, ω) < t ↾ (k, ω)

3. h_{ζ}(n) ≥ γ_{ζ}^{n} ∀n ∈ (k, ω) ∩ M_{m}-ra

ζ-nál az indukciós lépésben legyen f=sup{h_{ξ} ↾ (k, ω) : ξ < ζ}.Mivel minden ξ < ζ-re E(h_{ξ},t)=w-ből következik, hogy h_{ξ} ↾ (k, ω) < t ↑ (k, ω) és mivel cft(n)≥ ℵ_{m} minden n ∈ (k, ω)-ra, kapjuk, hogy f < t. w∈W definíciója miatt találhatunk h_{ζ} ≤ t-t X-ben, melyre E(h_{ζ},t)=w és h_{ζ} ↾ (k, ω) > f ↾ (k, ω). Az általánosság megszorítása nélkül választhatjuk h_{ζ}-t úgy, hogy h_{ζ}(n) > γ_{ζ}^{n} minden n≥k-ra M_{m}-ben.

A 7.4. lemmából tudjuk, hogy létezik h∈X, melyre h(n) =^{∗} sup{h_{ζ}(n) : ζ < ℵ_{m}}. Azaz h(n)=t(n) véges sok n≥k kivételével M_{m}-ben. Mivel M_{m} végtelen, E(h,t) is és készen vagyunk.

□

□ 7.11. Tétel. X kollektíven normális.

Bizonyítás: Világos a 7.1. és a 7.2. tételből. □

Ezután megmutatjuk, hogy X nem megszámlálhatóan parakompakt. Legyen D_{n}^{X} = {f ∈ X : ∃m ≥ n[f(m) = ℵ_{m}]} n > 1-re.Nyílvánvaló, hogy D_{n}^{X}zárt és ∩_{n}D_{n}^{X} = ∅.

Amit bizonyítani szeretnénk, nyílvánvalóan következik az X^{R}-re vonatkozó hasonló állításból és X zártságából. Ugyanis tegyük fel, hogy D_{n}^{X} ⊆ U_{n} ⊆ X^{R}, hogy U_{n} nyílt minden n-re D_{n} definíciója miatt V_{n} = U_{n} ∪ (X^{R} \ X) nyílt és tartalmazza D_{n}-t. Rudin bizonyítása mutatja, hogy ha D_{n} ⊆ V_{n} és V_{n} nyílt minden n-re, akkor létezik f ∈ Π_{n>1}ℵ_{n} úgy, hogy h ∈ ∩_{n}V_{n} minden h > f-re X^{R}-ben. Mivel minden ilyen f-hez létezik h ∈ X, melyre h>f, ∩_{n>1}U_{n} ∩ X nem üres.

Ezt most elemi részmodelleket használva fogjuk bebizonyítani.

7.12. Lemma. Ha U_{n} ⊆ X nyílt és D_{n}^{X} ⊆ U_{n} minden n>1-re, akkor ∩U_{n} nem üres.

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy U_{n} ⊇ D_{n}^{X} nyílt minden n-re és be kell látnunk, hogy ∩_{n}U_{n} nem üres.

Azt fogjuk belátni, hogy létezik f ∈ Π_{n>1}ℵ_{n}, melyre igaz, hogy minden h > f X-ben a metszethez tartozik.

Elég látni, hogy minden n > 1-re van f_{n} ∈ Π_{n>1}ℵ_{n}, melyre igaz, hogy ∀h ∈ X[h > f_{n} ⇒ h ∈ U_{n}], hiszen f=sup{f_{n} : 1 < n < ω} pont megfelelő számunkra.

Tegyük fel az állítással ellentétben, hogy m>1 rögzített esetén minden f ∈ Π_{n>1}ℵ_{n} esetén van h_{f}>f X \ U_{m}-ban. Mivel h_{f} ∉ D_{m}, tudjuk, hogy h_{f}(n) < ℵ_{n} minden n≥m-re.

Egy adott f-re legyen g_{f}= sup {h_{f′} ∈ Π_{n>1}ℵ_{n} ∧ (m, ω) ⊆ E(f′, f)} A szuprémum ℵ_{m} darab h_{f′} függvényen fut végig és a fentiekből következik, hogy g_{f}(n) < ℵ_{n} minden n>m-re. Az is nyílvánvaló, hogy g_{f}(i) = ℵ_{i} 1 < i≤m-re.

Legyen ⟨M_{ζ} : ζ < ω_{1}⟩ egy elemi részmodellekből álló folytonos sorozata H(Θ)-nak, melyre teljesül, hogy

∘f̄, X és f ↦ h_{f}, f ↦ g_{f} függvények M_{0}-hoz tartoznak.

∘M_{ζ} számossága ℵ_{1} és ⟨M_{ξ} : ξ < ζ⟩ ∈ M_{ζ+1} minden ζ < ω_{1}-re.

Minden ζ-ra legyen χ_{ζ}(n) = sup(M_{ζ} ∩ℵ_{n}) minden n>1-re. Mivel | M_{ζ} |= ℵ_{1}, χ_{ζ}(n) < ℵ_{n} minden n-re és ezért χ_{ζ} ∈ Π_{n>1}ℵ_{n}.

χ_{ξ} ∈ M_{ζ} minden ξ < ζ < ω_{1}-re, így az elemiség miatt h_{χ_{ξ}} és g_{χ_{ξ}} is M_{ζ}-hoz tartozik és ebből következően h_{χ_{ξ}}, g_{χ_{ξ}} < χ_{ζ}.

Tehát ha ξ < ζ < ω_{1}, akkor χ_{ξ} < h_{ξ} < χ_{ζ} < h_{χ_{ζ}} < χ_{ω_{1}}. Ebből következően ⟨h_{χ_{ζ}} : ζ < ω_{1}⟩ egy sorozat X-ben, < szerint monoton növő, melynek szuprémuma χ_{ω_{1}}. A 7.3. tétel szerint χ_{ω_{1}} ∈ X.

Legyen χ′ olyan, melyre χ′(n) = χ_{ω_{1}}(n) minden n>m-re és χ′(i) = ℵ_{i} 1 < i≤m. Így χ′ ∈ D_{m}^{X} ⊆ U_{m} és ezért (f,χ′] ⊆ U_{n} valamely f < χ′-re, hiszen U_{m} nyílt.

Ezután keressünk ζ < ω_{1}-et, melyre f ↾ (m, ω) < χ_{ζ} ↾ (m, ω). Legyen f′ = f ↾ (m + 1) ∪ χ_{ζ} ↾ (m, ω). g_{χ_{ζ}} definíciója miatt f′ < h_{f′} ≤ g_{χ_{ζ}} ≤ χ′ és persze h_{f′} ∉ U_{m}. Ez ellentmond h_{f′} ∈ (f, χ′] ⊆ U_{m}-nek.

□

Hivatkozások

[1] Benkő Pál pcf szakdolgozata(1995)

[2] Komjáth Péter honlapjáról letölthető pcf jegyzet

[3] Menachem Kojman: The A,B,C of PCF: A companion to PCF theory, 1 letölthető Kojman honlapjáról: www.math.bgu.ac.il/ kojman

[4] Menachem Kojman, Saharon Shelah: A ZFC Dowker space in ℵ_{ω+1}: an application of pcf theory to topology szintén megtalálható Kojman honlapján

[5] M.E. Rudin : A normal space X for which X × I is not normal, Fund.Math. 73(1971) 186-189

[6] Saharon Shelah: Cardinal Arithmetic , Oxford University Press 1994