A Nottingham csoport részcsoportjai

Zábrádi Gergely, ELTE TTK matematikus szak

zger@cs.elte.hu

Témavezető: Hegedűs Pál,

vendégkutató

ELTE TTK, Algebra és Számelmélet Tanszék

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 2 1.1. Pro-véges- és pro-p csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. A Nottingham csoport és tulajdonságai 7 2.1. A Nottingham csoport megadása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2. Kommutátor-struktúra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3. Hatvány-struktúra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. A Lie-elméleti módszer és a Hausdorff dimenzió 12 3.1. A Hausdorff dimenzió és az index-részcsoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2. A Nottingham csoport Lie-algebrája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3. Nem-nyílt részcsoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.4. A Hausdorff spektrum becslése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4. Valószínűségi kérdések 26 4.1. A valószínűségi mező . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2. Szabad részcsoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5. Számelméleti kapcsolatok 31 5.1. Lokális testek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.2. Az elágazási részcsoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.3. Végtelen Galois-bővítések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.4. N aritmetikailag pro-véges részcsoportjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.5. p-edrendű elemek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.6. További számelméleti kapcsolatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1. fejezet

Bevezetés

A Nottingham csoportot az utóbbi időben egyre többet vizsgálják a matematikusok, csoportelméleti és számelméleti szempontból egyaránt. Ennek oka egyrészt az, hogy Camina belátta, hogy minden megszámlálható bázisú pro-p csoport beágyazható a Nottingham csoportba, tehát speciálisan minden véges p-csoport is. Másrészt a kommutátor-struktúrája – kissé leegyszerűsítve – viszonylag könnyen kezelhető, ezért a csoport vizsgálható Lie-elméleti, illetve pusztán kombinatorikus eszközökkel is. Továbbá a Nottingham csoport épp végtelen, azaz minden valódi (folytonos) homomorf képe véges. Ezek a csoportok a pro-p csoportok építőkövei, csakúgy mint a véges csoportok között az egyszerűek. Így a Nottingham csoport és részcsoportjai rendkívül fontos szerepet játszanak pro-p csoportokkal kapcsolatos sejtések tesztelésében.

A számelméletben a Nottingham csoport (a továbbiakban N) úgy volt ismert, mint egy lokális test vad automorfizmusainak csoportja. A csoportelméleti köztudatba Johnson [21] (akit Jennings [20] cikke inspirált) és tanítványa, York [40] hozta be 1988-ban. Ők a nottinghami egyetemen dolgoztak, innen ered a név. A Nottingham csoport megjelenítése mint formális hatványsorok a kompozícióra nézve, alkalmas volt arra, hogy a legtöbb csoportelméleti tulajdonságot belássák. Ezeket az eredményeket foglalom össze a második fejezetben.

A Hausdorff dimenzió fogalmát Barnea és Shalev [5], illetve Abercrombie [1] alkalmazta először algebrai struktúrákra. Ez a mennyiség rendkívül jól méri a részcsoportok méretét. Ahogy véges csoportok esetén érdekes tudni, hogy egy adott csoportnak milyen rendű részcsoportjai vannak, ugyanúgy fontos vizsgálni egy pro-véges csoport Hausdorff spektrumát, azaz azon 0 és 1 közötti valós számok halmazát, melyek előállnak egy részcsoport Hausdorff dimenziójaként. Az úgynevezett index-részcsoportok adják az eddig ismert legtöbb pontot a Nottingham csoport Hausdorff spektrumában. A további pontok meghatározásában a Nottingham csoport Lie-algebrája (a továbbiakban Lie(N)) segít: egy részcsoport Lie-algebrájának Hausdorff dimenziója megegyezik a részcsoportéval. A Lie-algebra pedig sokkal könnyebben kezelhető, mert a Lie-szorzáson kívül van rajta vektortér struktúra is. Ez az oka annak, hogy míg N Hausdorff spektrumára csak becsléseket tudunk, addig Lie(N)-é ismert. A maximális nem-nyílt részcsoportok fogalma új megvilágításba helyez néhány korábban is ismert állítást, de a rájuk vonatkozó eredmények újak. Ezek – bizonyos szempontból – a véges csoportok maximális részcsoportjainak általánosításai.

Valójában a maximális nem-nyílt részcsoportokat valószínűségi kérdések vizsgálatára vezettem be. Az ebbe a témakörbe tartozó problémák többsége Shalevtől [31], [32] ered. Aszimptotikus és valószínűségi módszereket véges csoportok vizsgálatára is használnak. Egy pro-p (vagy általánosabban egy pro-véges) csoporton a valószínűségi mező nem más, mint az 1-re normált Haar-mérték. Az ezzel a témakörrel foglalkozó fejezetben Szegedy Balázs egy eredményét tárgyalom, mely szerint a Nottingham csoportban két elem 1 valószínűséggel szabad részcsoportot generál. Ennek a problémának a „társsejtése”, hogy két elem 1 valószínűséggel nyílt részcsoportot generál (topologikusan). Ezt egyelőre nem sikerült bebizonyítani, de talán a maximális nem-nyílt részcsoportok további vizsgálata segíthet a kérdés megválaszolásában.

Ha a Nottingham csoportra úgy tekintünk, mint egy 𝔽_{q} véges test feletti formális Laurentsorok 𝔽_{q}((t)) testének azon automorfizmusainak csoportjára, melyek t-t fixen hagyják modulo t^{2}, akkor a részcsoportokat vizsgálhatjuk Galois-elméleti módszerekkel. Az ezzel foglalkozó fejezetben közlöm Fesenko bizonyítását Camina tételére. A módszernek fontos felhasználásai vannak: a mélyen elágazó bővítéseket alkalmazni lehet az Abel-féle varietások Kummerelméletében [8], [34]. Így a Nottingham csoport részcsoportjainak segítségével lehet választ kapni bizonyos számelméleti eredetű problémákra.

Ezúton is szeretném megköszönni témavezetőmnek, Hegedűs Pálnak az érdekes témát, a sok értékes megjegyzést, segítséget, illetve a p-adikus analitikus csoportokról szóló kurzust.

1.1. Pro-véges- és pro-p csoportok

A pro-véges csoportok a véges-, a pro-p csoportok a p-csoportok általánosításai. Ebben az alfejezetben alapvető tulajdonságaikat tekintem át, melyekre szükség lesz a későbbiekben.

1.1.1. Definíció. Egy G topologikus csoportot pro-véges csoportnak nevezünk, ha kompakt, Hausdorff, és az egységelemnek van nyílt részcsoportokból álló környezetbázisa.

1.1.2. Jelölés. Legyen G egy tetszőleges topologikus csoport! Ekkor egy H nyílt, illetve zárt részcsoportot rendre H ≤_{o} G-vel, illetve H ≤_{c} G-vel jelölök. Egy N nyílt (zárt) normálosztóra a jelölés N ◁_{o} G (N ◁_{c} G). Egy X ⊆ G halmaz lezártja \overline{X}.

1.1.1. Állítás. Legyen G egy pro-véges csoport! Ekkor igazak az alábbi kijelentések:

(i) G minden nyílt részcsoportja zárt, véges indexű, és tartalmaz egy nyílt normálosztót. Egy zárt részcsoport G-ben pontosan akkor nyílt, ha véges indexű. A nyílt részcsoportok metszete csak az egységelemből áll.

(ii) G egy részhalmaza pontosan akkor nyílt, ha nyílt részcsoportok szerinti mellékosztályok egyesítése.

(iii) Egy tetszőleges X ⊆ G részhalmazra

\overline{X} = ⋂_{N◁_{o}G}XN.

Ha X egy részcsoport, akkor

\overline{X} = ⋂\{K : X ≤ K ≤_{o} G\}.

(iv) Ha X és Y zárt részhalmazai G-nek, akkor az XY = {xy : x ∈ X, y ∈ Y } halmaz is az.

(v) Legyen H egy zárt részcsoportja G-nek! Ekkor H (az indukált topológiával) egy pro-véges csoport. H minden nyílt részcsoportja H ∩ K alakú, ahol K ≤_{o} G.

(vi) Legyen N egy zárt normálosztó G-ben! Ekkor G/N (a hányadostér topológiával) egy pro-véges csoport, és a természetes homomorfizmus egy nyílt és zárt folytonos leképezés.

(vii) Egy (g_{i}) ⊆ G sorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat, azaz ha minden N ◁_{o} G-re van olyan n = n(N), amelyre g_{i}^{−1}g_{j} ∈ N minden i, j ≥ n-re.

Bizonyítás. Az első két állításhoz vegyük észre, hogy a csoportelemekkel való eltolás folytonossága miatt egy nyílt részcsoport minden (bal- és jobb oldali) mellékosztálya nyílt, ezért egy nyílt részcsoport zárt is, a kompaktság miatt véges sok mellékosztály van, és egy tetszőleges elem környezetbázisát a nyílt részcsoportok megfelelő mellékosztályai alkotják. Egy nyílt részcsoportnak véges sok konjugáltja van, ezek metszete egy véges indexű nyílt normálosztó. Vegyük észre, hogy ebből az állításból következik, hogy a nyílt normálosztók is környezetbázisát alkotják az egységelemnek.

A (iii)-as állításnak elegendő az első felét belátni. Az hogy egy y ∈ G elem nincs benne X lezártjában azzal ekvivalens, hogy van olyan N ◁_{o} G nyílt normálosztó, melyre yN ∩ X = ∅, azaz y ∉ XN.

A (iv)-es állításhoz vegyük észre, hogy mivel G kompakt Hausdorff, ezért egy részhalmaz zártsága ekvivalens a kompaktságával. Tehát ha X és Y zárt, akkor X ×Y ⊆ G×G kompakt, továbbá a

G × G ⟶ G
(g_{1}, g_{2}) ⟼ g_{1}g_{2}

leképezés folytonos, tehát XY is zárt, hiszen egy kompakt halmaz folytonos képe.

Az (v)-ös és a (vi)-os állítás a definíció közvetlen következménye. A (vii)-es állításban egy konvergens sorozat nyilván Cauchy. A megfordításhoz legyen (g_{i}) ⊆ G egy Cauchy-sorozat. Ha a {g_{i} : i ∈ ℕ} halmaz véges, akkor a sorozat egy elég nagy indextől kezdve konstans, hiszen Cauchy. Ha viszont ez a halmaz végtelen, akkor mivel G kompakt és Hausdorff, ezért ennek a halmaznak van egy g ∈ G torlódási pontja. Most legyen N ◁_{o} G tetszőleges. Ekkor a gN környezet a (g_{i}) sorozat végtelen sok pontját tartalmazza, azaz van egy olyan i ≥ n(N), melyre g_{i} ∈ gN. Node ekkor minden j ≥ n(N)-re g_{j} ∈ g_{j}N = g_{i}N = gN, tehát g_{i} → g, ha i → ∞.

A pro-véges csoportok egy másik definíciója az inverz limesz fogalmán alapul. Ezt idézem most fel. Irányított halmazon egy (Λ, ≤) részbenrendezett halmazt értek azzal a tulajdonsággal, hogy minden λ, μ ∈ Λ esetén van egy olyan ν ∈ Λ, melyre ν ≥ λ és ν ≥ μ. Halmazok (vagy csoportok, gyűrűk, topologikus terek) Λ indexelésű inverz rendszerén halmazoknak egy (G_{λ})_{λ∈Λ} családját értem minden λ ≥ μ esetén a π_{λμ}: G_{λ} → G_{μ} leképezésekkel (homomorfizmusokkal, illetve folytonos függvényekkel) együtt, melyek teljesítik a természetes kompatibilitási feltételeket:

π_{λλ} = id_{G_{λ}}, és
π_{λμ}π_{μν} = π_{λν}, ha λ ≥ μ ≥ ν.

A \underleftarrow{lim} G_{λ} = \underleftarrow{lim}(G_{λ})_{λ∈Λ} inverz limesz az összes olyan (g_{λ}) „vektor”-ból álló részhalmaza (részcsoportja, stb.) a ∏_{λ∈Λ} G_{λ} direkt szorzatnak, melyekre g_{λ}π_{λμ} = g_{μ}, ha λ ≥ μ.

Ha a G_{λ} halmazok véges csoportok, akkor a diszkrét topológiával topologikus terek is, így \underleftarrow{lim} G_{λ} egy topologikus csoport lesz.

Ha Λ egy adott G csoport normálosztóinak egy családja, akkor Λ-t rendezhetjük a forditott tartalmazással. Így egy (G/N)_{N∈Λ} inverz rendszert kapunk a természetes G/N → G/M (N ≤ M) epimorfizmusokkal.

1.1.2. Állítás. Ha G egy pro-véges csoport, akkor G ≅ \underleftarrow{lim}(G/N)_{N◁_{o}G}. Megfordítva, véges csoportok egy inverz rendszerének inverz limesze egy pro-véges csoport.

Bizonyítás. Legyen Ĝ := \underleftarrow{lim}(G/N)_{N◁_{o}G}, továbbá

ι: G → ∏ G/N
gι = (gN)_{N◁_{o}G}

a természetes homomorfizmus. Mivel ⋂_{N◁_{o}G} N = 1, ezért ι injektív, és az is világos, hogy Gι ≤ Ĝ. A szürjektivitás igazolásához vegyünk egy (g_{N}N) ∈ Ĝ elemet. Ekkor a g_{N}N mellékosztályok közül bármely véges sok metszete nemüres, hiszen Λ-ban bármely véges sok elemnek van felső korlátja. Így

⋂_{N◁_{o}G}g_{N}N ≠ ∅,

mert ezek zárt részhalmazok egy kompakt térben. Ha g-t ebben a metszetben választjuk, akkor gι = (g_{N}N).

Mivel kompakt Hausdorff terek között egy folytonos bijekció mindig homeomorfizmus, ezért elég belátni, hogy ι folytonos. Egy M ◁_{o} G nyílt normálosztóra legyen

U(M) := ∏_{N≱M} G/N × ∏_{N≥M}{1} ≤ ∏_{N◁_{o}G}G/N!

Ekkor a U(M) ∩ Ĝ csoportok az egységelem egy környezetbázisát alkotják Ĝ-ban, és minden M-re U(M)ι^{−1} = M, ami nyílt G-ben. Tehát ι folytonos.

A megfordításhoz tekintsük véges csoportok egy G_{λ} inverz rendszerét, mindegyiket a diszkrét topológiával! Ekkor ∏_{λ∈Λ} G_{λ} Hausdorff, és Tyihonov tétele miatt kompakt. A szorzattopológia definíciójából következik, hogy az egységelem tetszőleges nyílt környezete tartalmaz egy

U(S) := ∏_{λ∉S} G_{λ} × ∏_{λ∈S}{1}

alakú részcsoportot valamilyen S ⊂ Λ véges halmazra. Tehát ∏_{λ∈Λ} G_{λ} egy pro-véges csoport, ezért csak azt kell belátnunk, hogy Ĝ := \underleftarrow{lim} G_{λ} egy zárt részcsoport. Most legyen g ∈ ∏ G_{λ} \ Ĝ! Ekkor van egy olyan ν > μ ∈ Λ, melyre g_{ν}π_{νμ} ≠ g_{μ}, ezért gU({ν, μ}) egy olyan nyílt környezete g-nek, melynek Ĝ-pal vett metszete üres. Tehát ∏ G_{λ} \ Ĝ nyílt, és készen vagyunk.

1.1.3. Definíció. Egy G pro-véges csoportot pro-p csoportnak nevezünk, ha minden nyílt normálosztójának indexe p-hatvány.

A definíció és az 1.1.2-es állítás egyszerű alkalmazása a következő eredmény:

1.1.3. Állítás. Egy G topologikus csoport pontosan akkor pro-p csoport, ha véges p-csoportok egy inverz limeszével topologikusan izomorf.

Generált részcsoporton (illetve részalgebrán) ezentúl mindig topologikus generátumot értek, azaz a hagyományos generátum lezártját – kivéve néhány esetben, ahol ezt hangsúlyozom.

1.1.4. Definíció. Legyen G egy végesen generált pro-p csoport! Ekkor a P_{1}(G) := G, P_{n}(G) := P_{n−1}(G)^{p}[P_{n−1}(G), G] filtrálást G alsó centrális p-láncának nevezzük.

1.1.5. Definíció. Legyen G végesen generált pro-p csoport! Ekkor

(i) G hatványteljes (powerful), ha G^{p} ≥ [G, G] és p > 2, vagy ha G^{4} ≥ [G, G] és p = 2.

(ii) G egyenletesen hatványteljes (uniformly powerful), vagy röviden egyenletes, ha hatványteljes, és az alsó centrális p-láncának P_{i}(G)/P_{i+1}(G) (i ≥ 1) szeletei mind egyenlő, p^{d} rendűek. G dimenziója ekkor definíció szerint d.

Az egyenletes pro-p csoportok azért fontosak, illetve viszonylag könnyen kezelhetők, mert bevezethető rajtuk egy ℤ_{p} feletti Lie-algebra struktúra. Az összeadás és a Lie-szorzás a csoportműveletből közvetlenül – és természetes módon – definiálható ([10] Chapter 4). A Lie-algebra dimenziója megegyezik az eredeti egyenletes csoport dimenziójával.

1.1.6. Definíció. Egy pro-p csoport rangja a zárt részcsoportjai minimális generátorszámának szuprémuma. Egy pro-p csoport véges rangú, ha ez a szuprémum véges.

1.1.7. Definíció. Legyen (τ) egy csoportelméleti tulajdonság. Egy G csoport virtuálisan (τ), ha van (τ) tulajdonságú véges indexű részcsoportja. Egy G topologikus csoport öröklődően (τ), ha minden nyílt részcsoportja (τ).

1.1.4. Tétel ([10]). Egy pro-p csoport pontosan akkor véges rangú, ha virtuálisan egyenletes.

A pro-p csoportok körében rendkívül fontos szerepet játszanak az úgynevezett p-adikus analitikus csoportok. Fontos alkalmazásaik vannak a számelméletben. A p-adikus egészek feletti csoportalgebrájukat (igazság szerint csak csoportgyűrű, mivel ℤ_{p} nem test) nevezik Iwasawa-algebráknak. Ezek moduluselmélete mostanában rendkívül gyorsan fejlődő ága az algebrának.

1.1.8. Definíció. Egy topologikus teret n-dimenziós p-adikus analitikus sokaságnak nevezünk, ha van olyan nyílt fedése, melyben a lefedő halmazok ℤ_{p}^{n} egy-egy nyílt részhalmazával homeomorfak, továbbá az áttérési függvények p-adikus értelemben analitikusak.

1.1.9. Definíció. Egy topologikus csoportot p-adikus analitikusnak hívunk, ha van rajta egy p-adikus analitikus sokaság struktúra, és a szorzás, illetve az invertálás művelete analitikus.

Megjegyzés: Egy p-adikus analitikus csoport nem feltétlenül pro-p csoport. Viszont igaz az alábbi – pusztán csoportelméleti tulajdonságaikkal való – jellemzés:

1.1.5. Tétel ([10]). Egy G topologikus csoport pontosan akkor p-adikus analitikus, ha nyílt részcsoportként tartalmaz egy véges rangú pro-p csoportot.

Ez a feltétel az 1.1.4-es tétel szerint ekvivalens azzal, hogy G-nek van egy nyílt, egyenletes pro-p részcsoportja. A p-adikus analitikus csoport dimenziója megegyezik ezen egyenletes részcsoport dimenziójával.

A Nottingham csoport és tulajdonságai

2.1. A Nottingham csoport megadása

2.1.1. Definíció. Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű! Az

f = t (1 + ∑_{k=1}^{∞} α_{k}t^{k}) ∈ R[[t]]

alakú alakú formális hatványsorok halmazát a kompozícióra nézve az R Notthingam csoportjának nevezzük, és N (R)-rel jelöljük.

Azt, hogy ez tényleg egy csoport, először S. Jennings [20] látta be. Ezzel ekvivalensen tekinthetjük N (R)-et úgy is, mint az R[[t]] gyűrű automorfizmuscsoportjának egy részcsoportját: (t)f := f, és ez már meghatározza R[[t]] egy folytonos automorfizmusát, amely R-et fixen hagyja. Könnyű ellenőrizni, hogy ez a leképezés csoporthomomorfizmus: (t)fg = ((t)f)g. Szakdolgozatomban azzal a speciális esettel foglalkozom, ha R egy 𝔽_{q} (q = p^{f}) véges test, és különösképp azzal, amikor q = p prím. Legyen A(𝔽_{q}) az

f = ∑_{k=1}^{∞} α_{k}t^{k} ∈ 𝔽_{q}[[t]] α_{1} ≠ 0

alakú hatványsorok csoportja a kompozícióra. Ekkor érvényes az alábbi tétel:

2.1.1. Tétel.

A(𝔽_{p}) ≅ Aut(𝔽_{p}[[t]]) ≅ Aut^{c}(𝔽_{p}((t))) ≅ Aut(𝔽_{p}((t))),

ahol Aut^{c} a folytonos automorfizmusok csoportját jelöli.

Bizonyítás. Egy σ gyűrűautomorfizmus nyilván kiterjed a hányadostestre:

σ ((∑_{k=0}^{∞} α_{k}t^{k})^{−1}) = (σ (∑_{k=0}^{∞} α_{k}t^{k}))^{−1} .

A visszafelé irányhoz használjuk azt a tényt, hogy 𝔽_{p}((t))-nek csak egyetlen olyan értékelése van, melyre nézve teljes, mégpedig a szokásos:

v ( ∑_{k=−n}^{∞} α_{k}t^{k}) = −n, ha α_{−n} ≠ 0.

Node, ha σ egy testautomorfizmus, akkor

v_{σ} ( ∑_{k=−n}^{∞} α_{k}t^{k}) := v (σ ( ∑_{k=−n}^{∞} α_{k}t^{k}))

is egy értékelése 𝔽_{p}((t))-nek, melyre nézve teljes, ezért v_{σ} = v, azaz σ megtartja az értékelést, tehát folytonos, és megszorítható 𝔽_{p}[[t]]-re.

Hasonlóan A(𝔽_{q}) megegyezik 𝔽_{q}((t)) azon folytonos automorfizmusainak a csoportjával, melyek 𝔽_{q}-t fixen hagyják.

Most definiálom A(𝔽_{q}) egy filtrálását: Legyen

N_{k}(𝔽_{q}) = {σ ∈ A(𝔽_{q}) : σ(t) − t ∈ t^{k+1}𝔽_{q}[[t]]}!

Ekkor N_{1} = N, és N_{n} ◁ A(𝔽_{q}), hiszen megegyezik a következő homomorfizmus magjával: Jelölje

A_{n}(𝔽_{q}) := {f : (t)f = ∑_{k=1}^{n} α_{k}t^{k}, ahol α_{k} ∈ 𝔽_{q} és α_{1} ≠ 0}

Aut(𝔽_{q}[[t]]/t^{n+1}𝔽_{q}[[t]]) egy (q − 1)q^{n−1}-rendű részcsoportját, és Φ_{n} a természetes vetítést:

Φ_{n}: A(𝔽_{q}) ⟶ A_{n}(𝔽_{q})
(f: t ↦ ∑_{k=1}^{∞} α_{k}t^{k}) ⟼ (f_{n}: t ↦ ∑_{k=1}^{n} α_{k}t^{k})!

Ekkor N_{n} = Ker(Φ_{n}), |A(𝔽_{q}) : N | = q − 1 és |N_{n} : N_{n+1}| = q. Könnyű látni, hogy N = \underleftarrow{lim}(N /N_{n}) egy pro-p csoport, mégpedig A(𝔽_{q}) (egyetlen) pro-p-Sylowja.

2.1.2. Definíció. Ha 1 ≠ g ∈ N, akkor létezik egy olyan n ∈ ℤ^{+} egész szám, hogy g ∈ N_{n}\N_{n+1}. Ezt az n-et nevezzük g mélységének, és D(g)-vel jelöljük. Az egységelem mélysége ∞.

2.1.3. Jelölés. Ha n ∈ ℤ^{+} és α ∈ 𝔽_{q}, akkor jelölje e_{n}[α] ∈ N_{n} azt az elemet, melyre (t)e_{n}[α] = t(1 + αt^{n})! Legyen továbbá q = p^{f}, és 𝔽_{q} egy bázisa 𝔽_{p} fölött γ_{1}, γ_{2}, …, γ_{f}.

N (𝔽_{q}) úgy is ismert a számelméletben, mint 𝔽_{q}((t)) vad automorfizmusainak a csoportja. Erre még visszatérek az 5. fejezetben.

2.2. Kommutátor-struktúra

2.2.1. Állítás. Legyen (t)a = t(1 + ∑_{k=n}^{∞} α_{k}t^{k}), és (t)b = t(1 + ∑_{j=l}^{∞} β_{j}t^{j}) két tetszőleges elem a Nottingham csoportból! Ekkor (t)[a, b] = t(1 + (n − l)α_{n}β_{l}t^{n+l} + …).

Bizonyítás.

(t)ab = (t)b (1 + ∑_{k=n}^{∞} α_{k}((t)b)^{k}) = t (1 + ∑_{j=l}^{∞} β_{j}t^{j}) (1 + ∑_{k=n}^{∞} α_{k}t^{k} (1 + ∑_{j=l}^{∞} β_{j}t^{j})^{k}) ≡

≡ t (1 + ∑_{k=n}^{n+l} α_{k}t^{k} + ∑_{j=l}^{n+l} β_{j}t^{j} + (n + 1)α_{n}β_{l}t^{n+l}) (mod t^{n+l+2}𝔽_{q}[[t]]).

Hasonlóan

(t)ba ≡ t (1 + ∑_{j=l}^{n+l} β_{j}t^{j} + ∑_{k=n}^{n+l} α_{k}t^{k} + (l + 1)α_{n}β_{l}t^{n+l}) (mod t^{n+l+2}𝔽_{q}[[t]]).

Legyen most s ∈ N olyan, hogy (t)s = t(1 + (n − l)α_{n}β_{l}t^{n+l})! Ekkor

(t)bas ≡ (t)s (1 + ∑_{j=l}^{n+l} β_{j}((t)s)^{j} + ∑_{k=n}^{n+l} α_{k}((t)s)^{k} + (l + 1)α_{n}β_{l}((t)s)^{n+l}) ≡

≡ t (1 + (n − l)α_{n}β_{l}t^{n+l}) (1 + ∑_{j=l}^{n+l} β_{j}t^{j} + ∑_{k=n}^{n+l} α_{k}t^{k} + (l + 1)α_{n}β_{l}t^{n+l}) ≡

≡ t (1 + ∑_{j=l}^{n+l} β_{j}t^{j} + ∑_{k=n}^{n+l} α_{k}t^{k} + (l + 1)α_{n}β_{l}t^{n+l} + (n − l)α_{n}β_{l}t^{n+l}) ≡

≡ t (1 + ∑_{j=l}^{n+l} β_{j}t^{j} + ∑_{k=n}^{n+l} α_{k}t^{k} + (n + 1)α_{n}β_{l}t^{n+l}) ≡ (t)ab (mod t^{n+l+2}𝔽_{q}[[t]]),

mert

((t)s)^{i} = t^{i} (1 + (n − l)α_{n}β_{l}t^{n+l})^{i} ≡ t^{i} (mod t^{n+l+1}𝔽_{q}[[t]]),

ha i ≥ 1. Node ekkor tetszőleges f ∈ 𝔽_{q}[[t]]-re

(f)bas ≡ (f)ab (mod t^{n+l+2}𝔽_{q}[[t]]),

speciálisan f = (t)a^{−1}b^{−1}-re is:

(t)[a, b] = (t)a^{−1}b^{−1}ab = t(1 + (n − l)α_{n}β_{l}t^{n+l} + …),

ahogy állítottam.

2.2.2. Következmény. Legyen a, b ∈ N! Ekkor

D([a, b]) = D(a) + D(b), ha D(a) ≢ D(b) (mod p)
D([a, b]) > D(a) + D(b), ha D(a) ≡ D(b) (mod p).

2.2.3. Következmény. Ha p > 2, akkor

[N_{n}, N_{m}] = \overline{[N_{n}, N_{m}]} = \begin{cases}N_{n+m}, ha n ≢ m (mod p) \\ N_{n+m+1}, ha n ≡ m (mod p). \end{cases}

Bizonyítás. Legyen l ≥ n + m, ha n ≢ m, és l > n + m, ha n ≡ m (mod p). Ekkor van olyan r ≥ n és s ≥ m, melyre r ≢ s, és r + s = l. Ha α ∈ 𝔽_{q} tetszőleges, akkor

(t)[e_{n}[1], e_{m}[α]] = t(1 + αt^{l} + …),

azaz [N_{n}, N_{m}]-ben van l mélységű, α főegyütthatójú elem, ezért

\overline{[N_{n}, N_{m}]} = \begin{cases}N_{n+m}, ha n ≢ m (mod p) \\ N_{n+m+1}, ha n ≡ m (mod p). \end{cases}

Node egy pro-véges csoportban bármely két zárt részcsoport kommutátora is zárt, azaz [N_{n}, N_{m}] = \overline{[N_{n}, N_{m}]}.

2.2.1. Definíció. Egy pro-p csoportot épp végtelennek (just infinite) nevezünk, ha minden nemtriviális zárt normálosztója nyílt, vagy ekvivalensen ha minden valódi homomorf képe véges. Egy pro-p csoport öröklődően épp végtelen (hereditarily just infinite), ha minden nyílt részcsoportja épp végtelen.

A pro-p csoportok építőkövei az épp végtelenek, hasonló szerepet játszanak, mint a véges csoportok körében az egyszerűek.

2.2.4. Állítás. Legyen p > 2, és 1 ≠ g ∈ N tetszőleges, D(g) = n! Ekkor

\overline{⟨g⟩^{N}} = \begin{cases}⟨g, N_{n+1}⟩, ha n ≢ 1 (mod p) \\ ⟨g, N_{n+2}⟩, ha n ≡ 1 (mod p), \end{cases}

így mindenképpen nyílt, azaz N épp végtelen.

Bizonyítás. Ha m > n (illetve n ≡ 1 (mod p) esetén m > n+1), akkor ismételt kommutálással elő tudunk állítani g-ből egy adott főegyütthatójú, m mélységű elemet.

2.2.5. Tétel. N öröklődően épp végtelen.

Bizonyítás. Csak p > 2-re bizonyítom. Legyen H ≤_{o} N egy tetszőleges nyílt részcsoport! Ekkor van olyan n ∈ ℤ^{+}, hogy N_{n} ≤ H. Ha 1 ≠ g ∈ H, D(g) = m, akkor \overline{⟨g⟩^{H}} ≥ N_{m+2n+2p−2}, hiszen ha m + n ≤ k ≢ 2m (mod p), akkor g-t egy megfelelő N_{n}-beli elemmel kommutálva egy t ↦ t(1 + αt^{k} + …) alakú elemet kapunk, ha pedig m + 2n + 2p − 2 ≤ k ≡ 2m, akkor kommutálhatunk két lépésben. Tehát H minden nemtriviális zárt részcsoportja nyílt, azaz H épp végtelen.

Megjegyzés: A 2 karakterisztikájú eset Hegedűs Pál [16] eredménye.

2.3. Hatvány-struktúra

A Nottingham csoport hatvány-struktúrájának vizsgálatához bevezetek egy végtelen M(g) mátrixot minden g ∈ N -re [40]. Mégpedig legyen M(g) = {m_{ij}}, ahol

m_{ij} = t^{j} együtthatója (t^{i})g-ben.

Ezt úgy is interpretálhatjuk, hogy g egy lineáris transzformációja a t𝔽_{p}[[t]] topologikus vektortérnek, melynek (topologikus) bázisa t, t^{2}, t^{3}, … Világos, hogy M(g) = I + U(g), ahol I az identitás, U(g) pedig egy szigorúan felső háromszögmátrix. Mivel char(𝔽_{q}) = p, ezért M(g^{p}) = (I + U(g))^{p} = I + U(g)^{p}.

2.3.1. Lemma. Ha D(g) = n, akkor

D(g^{p}) = np, ha n ≡ 0 (mod p), és
> np, ha n ≢ 0 (mod p).

Bizonyítás. Legyen h ∈ 𝔽_{q}[[t]] egy tetszőleges formális hatványsor, amely főtagja

h ≡ αt^{j} (mod t^{j+1}𝔽_{q}[[t]])

valamilyen α ∈ 𝔽_{q}-ra! Tegyük fel továbbá, hogy (t)g = t(1 + ∑_{k=n}^{∞} β_{k}t^{k})! Ekkor

hM(g) ≡ αt^{j} (1 + ∑_{k=n}^{∞} β_{k}t^{k})^{j} ≡ αt^{j} + jαβ_{n}t^{n+j} (mod t^{n+j+1}𝔽_{q}[[t]]), ezért
hU(g) ≡ jαβ_{n}t^{n+j} (mod t^{n+j+1}𝔽_{q}[[t]]), és így
hU(g)^{p} ≡ j(j + n)(j + 2n) … (j + (p − 1)n)αβ_{n}^{p}t^{pn+j} (mod t^{pn+j+1}𝔽_{q}[[t]]).

Ha ez utóbbit alkalmazzuk h = t-re, akkor a kívánt állítást kapjuk.

Megjegyzések:

1. Ha D(g) osztható p-vel, akkor g végtelen rendű. Persze a Nottingham csoportban vannak véges rendű elemek is, sőt, ahogy az 5. fejezetben látni fogjuk, minden véges p-csoport beágyazható N -be.

2. Világos, hogy N_{n}^{p} ≤ \overline{N_{n}^{p}} ≤ N_{np} illetve p > 2 esetén N_{np} ≤ N_{2n+1} = [N_{n}, N_{n}]. Így N_{n} Frattini részcsoportja

Φ(N_{n}) = [N_{n}, N_{n}]N_{n}^{p} = [N_{n}, N_{n}] = N_{2n+1},

tehát d(N_{n}) = (n + 1)f, azaz N_{n} végesen generált minden n-re. Speciálisan N = N_{1} egy 2f generátorszámú pro-p csoport és

N = \overline{⟨e_{1}[γ_{i}], e_{2}[γ_{i}] : 1 ≤ i ≤ f⟩}.

3. Az előző megjegyzés és a 2.2.1-es állítás miatt:

Φ(N (𝔽_{2^{f}})_{n}) ≤ N (𝔽_{2^{f}})_{2n}.

4. N nem p-adikus analitikus, hiszen az előző két megjegyzés szerint nem véges a rangja.

2.3.2. Tétel. Ha p páratlan, és n ≡ 0 (mod p), akkor N_{n}^{p} = \overline{N_{n}^{p}} = N_{np}.

Bizonyítás. A 2.3.1-es lemma miatt N_{n}^{p} ≤ N_{np}, sőt a bizonyításból az is látszik, hogy

e_{n}[α]^{p} ≡ e_{np}[α^{p}] (mod N_{np+1}).

A 2.2.4-es állítás tétel szerint

N_{np} = \overline{⟨e_{n}[γ_{i}]^{p} : 1 ≤ i ≤ f⟩^{N}} ≤ \overline{N_{n}^{p}} = N_{n}^{p},

hiszen N_{n} egy végesen generált pro-p csoport, ezért N_{n}^{p} zárt. (Martinez tétele: [10], p. 34)

Vegyük észre, hogy g^{p} felcserélhető g-vel, tehát ha D(g) = n, akkor D(g^{p}) ≡ D(g) a 2.2.2-es következmény szerint, és ezért D(g^{p}) ≥ np + n̄, ahol n ≡ n̄ (mod p) és 0 ≤ n̄ ≤ p − 1. Gondosabb számolással belátható a következő tétel [7]:

2.3.3. Tétel. Ha p páratlan, akkor N_{n}^{p} = \overline{N_{n}^{p}} = N_{np+n̄}, ahol n ≡ n̄ (mod p) és 0 ≤ n̄ ≤ p−1.

A Lie-elméleti módszer és a Hausdorff dimenzió

3.1. A Hausdorff dimenzió és az index-részcsoportok

3.1.1. Definíció. Egy pro-véges csoportra azt mondjuk, hogy megszámlálható bázisú, ha az egységelemnek létezik megszámlálható környezetbázisa.

3.1.2. Definíció. Legyen G egy megszámlálható bázisú pro-véges csoport, és {G_{n}} egy rögzített filtrálása, D a hozzá tartozó mélység! Ekkor megadhatunk egy metrikát G-n, mint topologikus téren: ha g_{1}, g_{2} ∈ G, akkor távolságuk d(g_{1}, g_{2}) = 1/D(g_{1}^{−1}g_{2}).

Ez valóban metrika, sőt ultrametrika hiszen

1. Szimmetrikus: D(g_{1}^{−1}g_{2}) = D((g_{1}^{−1}g_{2})^{−1}) = D(g_{2}^{−1}g_{1})

2. d(g_{1}, g_{2}) = 0 ⇔ D(g_{1}^{−1}g_{2}) = ∞ ⇔ g_{1} = g_{2}

3. Nemcsak a háromszögegyenlőtlenség, hanem az ultrametrikus egyenlőtlenség is teljesül:

d(g_{1}, g_{3}) = 1/D(g_{1}^{−1}g_{3}) ≤ max(1/D(g_{1}^{−1}g_{2}), 1/D(g_{2}^{−1}g_{3})) = max(d(g_{1}, g_{2}), d(g_{2}, g_{3})).

Így G egy kompakt, teljes metrikus tér, hiszen minden Cauchy-sorozat konvergens, és a topológia megegyezik G eredeti topológiájával. Egy H ⊆ G zárt részhalmaz Hausdorff dimenzióját értelmezhetjük a valós függvénytanból megismert módon. Ha H részcsoport is, akkor dimenziója kiszámolható az alábbi formulával:

hdim(H) = hdim_{G}(H) = lim inf_{n→∞} \frac{log |HG_{n} : G_{n}|}{log |G : G_{n}|} = lim inf_{n→∞} \frac{log |H : H ∩ G_{n}|}{log |G : G_{n}|}.

Tulajdonságok:

1. Egy zárt részcsoport Hausdorff dimenziója tehát egy 0 és 1 közötti valós szám.

2. Ha H_{1} ≤ H_{2}, akkor hdim(H_{1}) ≤ hdim(H_{2}).

3. H pontosan akkor nyílt, ha hdim(H) = 1.

4. Ha H véges, akkor hdim(H) = 0. 3.1.3. Definíció. Egy G pro-véges csoport Hausdorff spektruma a [0, 1] intervallum egy részhalmaza: hspec(G) := {hdim(H) : H ≤_{c} G}. A Nottingham csoport Hausdorff spektrumának meghatározásában fontos szerepet játszanak az ún. index-részcsoportok, melyeket Barnea és Klopsch definiált épp erre a célra [3]: 3.1.4. Definíció. Egy I ⊆ ℤ^{+} részhalmazhazhoz értelmezzük

N [I] := {t (1 + ∑_{i∈I} a_{i}t^{i})}

zárt részhalmazát N -nek. Ha N [I] ≤ N egy részcsoport, akkor I-t megengedett indexhalmaznak, N [I]-t pedig (az I-hez tartozó) indexrészcsoportnak nevezzük.

A következő elemi lemma a későbbi példákban lesz fontos: 3.1.1. Lemma. Legyen i, n ∈ ℤ^{+} pozitív egészek p-es számrendszerbeli alakja i = ∑_{m=0}^{∞} i_{m}p^{m} illetve n = ∑_{m=0}^{∞} n_{m}p^{m}! Ekkor p ∤ \binom{i}{n} akkor és csak akkor, ha minden m ∈ ℕ-re i_{m} ≥ n_{m}. Bizonyítás. Közismert állítás, hogy k! prímtényezős felbontásában p a

[\frac{k}{p}] + [\frac{k}{p^{2}} ] + ⋯ + [\frac{k}{p^{j}} ] + ⋯ = ∑_{j=1}^{∞} [\frac{k}{p^{j}} ] -edik

kitevőn szerepel, ahol a szögletes zárójel az egészrészt jelöli. Tehát \binom{i}{n} = \frac{i!}{n!(i−n)!}-ban p a

∑_{j=1}^{∞} ([\frac{i}{p^{j}} ] − [\frac{n}{p^{j}} ] − [\frac{i − n}{p^{j}}]) -edik

hatványon szerepel. Viszont [a] + [b] ≤ [a + b], és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha \{a\} + \{b\} < 1 (ahol a kapcsos zárójel a törtrészt jelöli). Tehát p ∤ \binom{i}{n} ekvivalens azzal, hogy \{\frac{n}{p^{j}} \} + \{\frac{i−n}{p^{j}}\} < 1 minden j ≥ 1 egész számra. Ez pedig könnyen láthatóan ekvivalens az állításban szereplő feltétellel. 3.1.2. Lemma. Legyen G egy pro-véges csoport, és H egy zárt részfélcsoportja! Ekkor H részcsoportja is G-nek. Bizonyítás. Ha h ∈ H, akkor lim_{s→∞} h^{p^{s}−1} = h^{−1} ∈ H. 3.1.3. Tétel. I ⊆ ℤ^{+} pontosan akkor megengedett indexhalmaz, ha minden i ∈ I és 1 ≤ n ≤ i + 1, \binom{i+1}{n} ≢ 0 (mod p)-re \{i + nj : j ∈ I\} ⊆ I. Bizonyítás. Egyik irány: Ha I megengedett indexhalmaz, és i, j ∈ I, akkor e_{i}[1]e_{j}[1] ∈ N [I], azaz

(t)e_{i}[1]e_{j}[1] = t + t^{j+1} + (t + t^{j+1})^{i+1} = t + t^{j+1} + ∑_{n=0}^{i+1} \binom{i + 1}{n}t^{i+nj+1} miatt

\binom{i+1}{n} ≢ 0 (mod p) esetén i + nj ∈ I. Másik irány: Tegyük fel, hogy I kielégíti a feltételt! Legyen H := N [I],

S := {e_{i}[a] : i ∈ I, a ∈ 𝔽_{q}} ⊆ H,

és az S által generált részfélcsoport

Ŝ := {f_{1}f_{2} … f_{r} : r ∈ ℕ és f_{m} ∈ S, ha 1 ≤ m ≤ r}!

Elég belátni, hogy \overline{Ŝ} = H, mert részfélcsoport lezártja szintén részfélcsoport, sőt a 3.1.2-es lemma szerint részcsoport is. Állítás: \overline{Ŝ} ⊆ H. Bizonyítás. Mivel H zárt, ezért elég belátni, hogy Ŝ ⊆ H, sőt S ⊆ H miatt azt kell megmutatni, hogy HS ⊆ H. Tehát legyen (t)h = t(1 + ∑_{i∈I} h_{i}t^{i}) ∈ H és (t)f = t(1 + at^{j}) ∈ S. Ekkor

(t)hf = t + at^{j+1} + ∑_{i∈I} h_{i}(t + t^{j+1})^{i+1} = t + at^{j+1} + ∑_{i∈I} h_{i} ∑_{n=0}^{i+1} \binom{i + 1}{n}a^{n}t^{i+nj+1} ∈ H,

azaz az állítást beláttuk.

A bizonyításból az is látszik, hogy (H ∩N_{n})/N_{n+1} = (Ŝ∩N_{n})/N_{n+1} és így HN_{n+1}/N_{n+1} = ŜN_{n+1}/N_{n+1} minden n ∈ ℤ^{+}-re. Tehát H = \overline{Ŝ}.

3.1.4. Példa. Néhány fontos index-részcsoportja a Nottingham csoportnak:

1. 𝔄_{s} := N [sℤ^{+}], ahol s ∈ ℤ^{+};

2. 𝔅_{r,s} := N [p^{r}ℤ^{+} ∪ (p^{s}ℤ^{+} − 1)], ahol r, s ∈ ℤ^{+}, és r ≥ s;

3. ℭ_{s} := N [p^{s}ℤ^{+} − 1], ahol s ∈ ℤ^{+};

4. 𝔇 := N [{p^{n} − 1 : n ∈ ℤ^{+}}].

Bizonyítás. Használjuk a 3.1.3-as tétel feltételét a megengedett indexhalmazokra! Ebből az könnyen látszik, hogy 𝔄_{s} és 𝔇 index-részcsoport. 𝔅_{r,s}-hez és ℭ_{s}-hez legyen előszor i ≡ −1 (mod p^{s}) és n ∈ ℤ^{+} olyan, hogy p ∤ \binom{i+1}{n}! Ekkor a 3.1.1-es lemma miatt n ≡ 0 (mod p^{s}), tehát tetszőleges j-re i + nj ∈ p^{s}ℤ^{+} − 1 ⊆ p^{r}ℤ^{+} ∪ (p^{s}ℤ^{+} − 1), így a 3-ast már be is láttuk. A 2-es fennmaradó részéhez legyen most i ≡ 0 (mod p^{r})! Ekkor a 3.1.1-es lemma szerint 3 eset van:

(i) Ha n ≡ 0 (mod p^{r}), akkor i + nj ≡ 0 (mod p^{r}).

(ii) Ha n ≡ 1 (mod p^{r}) és j ≡ −1 (mod p^{r}), akkor r ≥ s-ből következik, hogy i + nj ≡ nj ≡ j ≡ −1 (mod p^{s}).

(iii) Ha n ≡ 1 (mod p^{r}) és j ≡ 0 (mod p^{r}), akkor i + nj ≡ 0 (mod p^{r}).

Tehát mindhárom esetben i + nj ∈ p^{r}ℤ^{+} ∪ (p^{s}ℤ^{+} − 1), és épp ezt akartuk.

Megjegyzések:

1. Ha s és p relatív prímek, akkor 𝔄_{s} ≅ 𝔄_{1} = N, sőt, 𝔄_{sp^{r}} ≅ 𝔄_{p^{r}}.

2. Ha p | s, akkor a 2.3.1-es lemma szerint 𝔄_{s} torziómentes. I. Fesenko belátta, hogy 𝔄_{p^{r}} öröklődően épp végtelen [13]. Erre még visszatérek az 5. fejezetben.

3.2. A Nottingham csoport Lie-algebrája

3.2.1. Definíció. Legyen

L(N) := ⨁_{i=1}^{∞} N_{i}/N_{i+1}!

Ez természetes módon egy 𝔽_{q} feletti vektortér, melynek (topologikus) generátorain megadhatunk egy Lie-szorzást az alábbi módon: Ha D(g) = i, és D(h) = j, akkor [gN_{i+1}, hN_{j+1}] := [g, h]N_{i+j+1}. Az így kapott fokszámozott Lie-algebrát nevezzük az N Nottingham csoport (kongruencia filtrálásra vonatkozó) diszkrét Lie-algebrájának. A részalgebrák miatt kényelmesebb lesz L(N)-et csak 𝔽_{p}, és nem 𝔽_{q} feletti Lie-algebraként tekinteni.

A 2.2.1-es állítás szerint L(N (𝔽_{q})) izomorf a Witt algebra pozitív részével:

W^{+} = Der^{+}𝔽_{q}[t] = ⨁_{i=1}^{∞} 𝔽_{q}e_{i}-vel,

ahol e_{i} = t^{i+1}∂_{t}, és [e_{i}, e_{j}] = (j − i)e_{i+j}. Egy izomorfizmust megadhatunk az alábbi módon:

LT: t(1 + αt^{n} + …)N_{n} ↦ αe_{n}.

3.2.2. Definíció. Tegyük teljessé L(N)-et az {L^{n}} filtrálásra nézve, ahol L^{n} = ⨁_{k=n}^{∞} 𝔽_{q}e_{k}, a kapott Lie-algebrát jelöljük Lie(N)-nel, és nevezzük a Nottingham csoport (teljes) Liealgebrájának.

Ekkor Lie(N)-et interpretálhatjuk úgy is, mint az 𝔽_{q}[[t]] pronilpotens gyűrű pronilpotens deriválásainak a pozitív része (Der^{+}(𝔽_{q}[[t]])): minden u ∈ Lie(N) felírható u = f∂_{t} alakban, ahol f ∈ t^{2}𝔽_{q}[[t]], és [f∂_{t}, g∂_{t}] = (f∂_{t}g − g∂_{t}f)∂_{t}. Így ezen a Lie-algebrán természetes módon hat a Nottingham csoport: ha u ∈ Der^{+}(𝔽_{q}[[t]]) egy deriválás, és g ∈ N (𝔽_{q}), akkor

(gu)(r) := u(rg)g^{−1}.

Ez a hatás megadható az alábbi formulával is, és könnyű ellenőrizni, hogy hű:

g(p(t)∂_{t}) = \frac{p(tg)}{∂_{t}(tg)}∂_{t}.

Ebből az is látszik, hogy N hatása nem tartja meg a fokszámot, de az {L^{n}} = {∏_{i=n}^{∞} 𝔽_{q}e_{i}} filtrálást igen, hiszen ha u ∈ L(N) ⊂ Lie(N) egy homogén elem, akkor g(u) = u + [LTg, u]+ magasabb fokú tagok.

Most definiálom néhány természetes részalgebráját Lie(N)-nek.

3.2.3. Definíció. Ha s ∈ ℤ^{+}, 0 < r < p^{s}/2, és p ∤ r, továbbá H ≤ N, akkor legyen

Lie_{s}(N) := ∏_{i=1}^{∞} 𝔽_{q}e_{si},
𝔮(s, r) := ∏_{n≡0,±r (p^{s})} 𝔽_{q}e_{n},

LT(H) := \overline{⟨LT(h) : h ∈ H⟩} = ∏_{n=1}^{∞}(H ∩ N_{n})N_{n+1}/N_{n+1}!

Megjegyzések:

1. Ha Lie(N)-et 𝔽_{q} és nem 𝔽_{p} feletti Lie-algebrának tekintenénk, akkor LT(H) nem feltétlenül lenne részalgebra.

2. LT(N_{n}) = L^{n}.

3. Ha (s, p) = 1, akkor Lie_{s}(N) ≅ Lie(N).

A Hausdorff dimenzió fogalma analóg módon kiterjeszthető a Lie-algebra részalgebráira is:

3.2.4. Definíció. Legyen K egy teljes Lie-algebra az K^{n} véges kodimenziós részalgebrákból álló filtrálásra nézve, és L ≤ K egy zárt részalgebra! Ekkor L Hausdorff dimenziója

hdimL = hdim_{K}L := lim inf_{n→∞} \frac{dim((L + K^{n})/K^{n})}{dim(K/K^{n})}.

Speciálisan ha K = Lie(N), és a filtrálás a szokásos L^{n} = ∏_{i=n}^{∞} 𝔽_{q}e_{i}, akkor

hdim_{Lie(N)} = lim inf_{n→∞} \frac{dim((L + L^{n})/L^{n})}{dim(Lie(N)/L^{n})} = lim inf_{n→∞} \frac{log |(L + L^{n})/L^{n}|}{log |Lie(N)/L^{n}|}.

Az alábbi állítás összekapcsolja a részalgebrák Hausdorff dimenzióját a részcsoportok Hausdorff dimenziójával.

3.2.1. Állítás. Ha H ≤ N, akkor hdimH = hdim_{Lie(N)}LT(H), sőt minden n ∈ ℤ^{+}-re

\frac{log |HN_{n}/N_{n}|}{log |N /N_{n}|} = \frac{log |(LT(H) + L^{n})/L^{n}|}{log |Lie(N)/L^{n}|}.

Bizonyítás. Legyen H ≤ N egy tetszőleges zárt részcsoportja a Nottingham csoportnak! Elég belátni, hogy dim((LT(H) + L^{n})/L^{n}) = k esetén |HN_{n} : N_{n}| = p^{k}. Mivel (LT(H) + L^{n})/L^{n} egy homogén elemek által generált részalgebra Lie(N)/L^{n}-ben, ezért vehetjük egy homogén elemekből álló (𝔽_{p} feletti) bázisát. Rendezzük sorba a bázis elemeit úgy, hogy a nagyobb mélységű elem legyen hátrébb (az azonos mélységű elemeket egymás között bárhogy rendezhetjük):

D(u_{1}) ≤ D(u_{2}) ≤ ⋯ ≤ D(u_{k}).

Ekkor minden 1 ≤ i ≤ k-ra van olyan h_{i} ∈ H, hogy LT(h_{i}) = u_{i}. Vegyük tehát a

π : (LT(H) + L^{n})/L^{n} ⟶ HN_{n}/N_{n}
π(λ_{1}u_{1} + λ_{2}u_{2} ⋯ + λ_{k}u_{k}) = h_{1}^{λ_{1}}h_{2}^{λ_{2}} … h_{k}^{λ_{k}}N_{n}

leképezést (ahol 0 ≤ λ_{i} ≤ p − 1), és legyen D(h_{1}^{λ_{1}}h_{2}^{λ_{2}} … h_{k}^{λ_{k}}) = D(u_{r}) < D(u_{r+1}) (valójában ez esetben D(u_{1}) = D(u_{2}) = ⋯ = D(u_{r}))! Ekkor

LT(h_{1}^{λ_{1}}h_{2}^{λ_{2}} … h_{k}^{λ_{k}}) = λ_{1}u_{1} + ⋯ + λ_{r}u_{r} ≠ 0,

hiszen a nagyobb mélységű tagok nem számítanak az LT függvénynél. Ha belátom, hogy π kölcsönösen egyértelmű, akkor kész a bizonyítás, mert |(LT(H) + L^{n})/L^{n}| = p^{k}. Injektivitás: Tegyük fel indirekten, hogy valamely (0 ≤ λ_{i}, μ_{j} ≤ p − 1)-re

h_{1}^{λ_{1}}h_{2}^{λ_{2}} … h_{k}^{λ_{k}}N_{n} = h_{1}^{μ_{1}}h_{2}^{μ_{2}} … h_{k}^{μ_{k}}N_{n}!

Vegyük azt az ellenpéldát, melyre az első nem nulla együttható a legnagyobb indexű! Node

λ_{1}u_{1} + ⋯ + λ_{r}u_{r} = LT(h_{1}^{λ_{1}}h_{2}^{λ_{2}} … h_{k}^{λ_{k}}) = LT(h_{1}^{μ_{1}}h_{2}^{μ_{2}} … h_{k}^{μ_{k}}) = μ_{1}u_{1} + ⋯ + μ_{s}u_{s},

ezért r = s, és 1 ≤ i ≤ r esetén λ_{i} = μ_{i}, azaz az első nem nulla tagok megegyeznek, ami ellentmondás, mert egyszerűsíthetünk velük. Szürjektivitás: Tegyük fel indirekten, hogy π nem szürjektív, és vegyük a legnagyobb mélységű hN_{n} elemet, mely nem áll elő képként! Ekkor LT(h) = λ_{r_{1}}u_{r_{1}} + λ_{r_{1}+1}u_{r_{1}+1} + ⋯ + λ_{r_{2}}u_{r_{2}} egy homogén elem (LT(H) + L^{n})/L^{n}-ben, melyre

D(u_{r_{1}−1}) < D(h) = D(u_{r_{1}}) = ⋯ = D(u_{r_{2}}) < D(u_{r_{2}+1}).

Vegyük h_{r_{2}}^{−λ_{r_{2}}} … h_{r_{1}}^{−λ_{r_{1}}}hN_{n}-et. Ennek mélysége nagyobb, mint D(h), tehát előáll

h_{r_{2}}^{−λ_{r_{2}}} … h_{r_{1}}^{−λ_{r_{1}}}hN_{n} = h_{r_{2}+1}^{λ_{r_{2}+1}} … h_{k}^{λ_{k}}N_{n}

alakban, ahol az első szorzótényező azért csak h_{r_{2}+1}^{λ_{r_{2}+1}}, mert egy elem előállításában nem szerepelhetnek kisebb mélységű elemek. Ez viszont ellentmondás, mert h_{r_{2}}^{λ_{r_{2}}} … h_{r_{1}}^{λ_{r_{1}}}-nel átszorozva hN_{n} egy előlállítását kapjuk.

3.3. Nem-nyílt részcsoportok

Ebben és a következő alfejezetben legyen q = p ≥ 5 prím, és N = N (𝔽_{p})!

3.3.1. Lemma. Legyen L ≤ Lie(N) index-részalgebra a Nottingham csoport Lie-algebrájá-ban. Ekkor ha L nem nyílt, akkor részalgebrája valamely p′ ≠ p prímre Lie_{p′}(N)-nek, vagy valamely 0 < r < p-re 𝔮(1, r)-nek.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy L ≰ 𝔮(1, r) semmilyen 0 < r < p egészre. Ekkor léteznek olyan a, b ∈ L elemek, melyekre

D(a), D(b) ≢ 0 és D(a) ≢ ±D(b) (mod p).

Legyen s = (D(a), D(b)) a mélységek legnagyobb közös osztója! Azt állítom, hogy ekkor minden elég nagy m ∈ ℤ egészre van L-ben ms mélységű elem. Ehhez definiálom egy pozitív egész szám megengedhető partícióját. Egy {b_{i}}_{i=1}^{t} sorozatot m_{0} ∈ ℤ^{+} pozitív egész szám megengedhető partíciójának nevezünk, ha az alábbi feltételek teljesülnek:

(i) minden b_{i} D(a)-val vagy D(b)-vel egyenlő,

(ii) ha s_{k} = ∑_{i=1}^{k} b_{i}, akkor s_{k} ≢ b_{k+1} (mod p),

(iii) s_{t} = m_{0}.

Először belátom, hogy létezik olyan M és l, hogy minden m > M-re ms-nek van egy (i)- et és (iii)-at kielégítő partíciója, melyre |u − v| ≤ l, ahol u a D(a)-val, v pedig a D(b)-vel egyenlő b_{i}-k száma. Mivel (D(a), D(b)) = s, ezért minden elég nagy, s-sel osztható számot elő tudunk állítani uD(a) + vD(b) alakban, sőt, u-t D(b)-vel csökkentve (növelve), és v-t D(a)- val növelve (csökkentve) ugyanannak a számnak a partícióját kapjuk, tehát elérhető, hogy |u − v| ≤ D(a) + D(b) legyen. Így l-et választhatjuk D(a) + D(b)-nek.

Ha megvan ez a partíciója ms-nek, akkor meg tudjuk konstruálni ms-nek egy megengedhető partícióját is. Vegyük D(a)-knak és D(b)-knek egy sorozatát úgy, hogy (i) és (ii) teljesüljön, és amikor csak lehet, válasszunk D(a)-t! Ekkor minden D(b) után következik legalább két D(a):

D(a), D(b), D(a), D(a), …, D(b), D(a), D(a), …

Tehát korlátos sok lépés után épp (u − v)-vel több D(a) van a sorozatban, mint D(b). Mivel (u−v) korlátos m-től függetlenül, ezért feltehetjük, hogy a b_{i}-k összege kisebb, mint ms. Most egészítsük ki a sorozatot váltakozó D(a)-kkal és D(b)-kkel úgy, hogy közben (ii)-t figyelmen kívül hagyjuk, és az összeg ms legyen. Végül cseréljük meg a szomszédos D(a)-kat és D(b)- ket a párokon belül úgy, hogy (ii) teljesüljön. Ezt megtehetjük, hiszen ha x ≡ D(a) vagy x + D(a) ≡ D(b) (mod p), akkor x ≢ D(b) és x + D(b) ≢ D(a) (mod p).

Tehát van egy olyan N ∈ ℕ, hogy N < ms esetén ms-nek van megengedhető partíciója. Mivel a 2.2.1-es következmény szerint D(x) ≢ D(y) esetén D([x, y]) = D(x) + D(y), ezért L-ben van ms mélységű elem minden ilyen m-re. Most ha L ≰ Lie_{p′}(N) semmilyen p′ ≠ p prímre, akkor van L-ben s-sel nem osztható mélységű elem, sőt (s, p) = 1 miatt (esetleg további kommutátorképzéssel) olyan is, aminek mélysége p-vel sem osztható, és az előbbi módszer ismételt alkalmazásával látható, hogy minden elég nagy m-re L-ben van m mélységű elem is, azaz L nyílt.

3.3.2. Következmény. Lie(N) maximális nem-nyílt index-részalgebrái pontosan a Lie_{p′}(N) és a 𝔮(1, r) alakú részalgebrák.

Bizonyítás. A 3.3.1-es lemma bizonyításából az is látszik, hogy ezek a részalgebrák maximálisak a nem-nyíltak között.

3.3.3. Következmény. Ha L ≤ Lie(N) egy nem-nyílt részalgebra, akkor minden ε > 0-ra létezik olyan n_{0} ∈ ℤ^{+}, melyre n_{0} < n esetén

\frac{log |(L + L^{n})/L^{n}|}{log |Lie(N)/L^{n}|} ≤ max (\frac{3}{p} + ε, \frac{1}{2}) .

Bizonyítás. Alkalmazzuk a 3.3.1-es lemmát, és vegyük észre, hogy

lim_{n→∞} \frac{log |(Lie_{p′}(N) + L^{n})/L^{n}|}{log |Lie(N)/L^{n}|} = \frac{1}{q} − 0 ≤ \frac{1}{2}, és

lim_{n→∞} \frac{log |(𝔮(1, r) + L^{n})/L^{n}|}{log |Lie(N)/L^{n}|} = \frac{3}{p}.

3.3.4. Következmény. Legyen H ≤ N egy nem-nyílt részcsoportja a Notthingam csoportnak! Ekkor minden ε > 0 pozitív számra létezik olyan n_{0} ∈ ℤ^{+}, melyre n_{0} < n esetén

\frac{log |HN_{n}/N_{n}|}{log |N /N_{n}|} ≤ max (\frac{3}{p} + ε, \frac{1}{2}) .

Bizonyítás. Legyen H Lie-algebrája LT(H)! Ekkor LT(H) ≤ Lie(N) egy nem-nyílt részalgebra, tehát a 3.3.3-as következmény és a 3.2.1-es állítás szerint ha n elég nagy, akkor

\frac{log |HN_{n}/N_{n}|}{log |N /N_{n}|} = \frac{log |(LT(H) + L^{n})/L^{n}|}{log |Lie(N)/L^{n}|} ≤ max (\frac{3}{p} + ε, \frac{1}{2}) ,

ahogy állítottam.

3.3.5. Tétel. A Nottingham csoport minden nem-nyílt részcsoportja benne van egy maximális nem-nyílt részcsoportban.

Bizonyítás. Legyen H ≤ N egy nem-nyílt részcsoportja a Notthingam csoportnak! Ekkor H Hausdorff dimenziója hdimH ≤ max(\frac{3}{p}, \frac{1}{2}), sőt, minden n_{0}(ε) < n pozitív egész számra

\frac{log |HN_{n}/N_{n}|}{log |N /N_{n}|} ≤ max (\frac{3}{p} + ε, \frac{1}{2})

a 3.3.4-es következmény szerint. Alkalmazzuk a Zorn-lemmát a H-t tartalmazó nem-nyílt részcsoportokra! Azt kell ellenőrizni, hogy ha {H_{i}|i ∈ I} egy felszálló lánca (H-t tartalmazó) nem-nyílt részcsoportoknak, akkor ∪_{i∈I}H_{i} is egy nem-nyílt részcsoport. Ez a feltétel teljesül, hiszen ∪_{i∈I}H_{i} triviálisan részcsoport, és

\frac{log |H_{i}N_{n}/N_{n}|}{log |N /N_{n}|} ≤ max (\frac{3}{p} + ε, \frac{1}{2})

minden n_{0} < n pozitív egészre és i ∈ I-re, tehát

\frac{log |(∪_{i∈I}H_{i})N_{n}/N_{n}|}{log |N /N_{n}|} ≤ max (\frac{3}{p} + ε, \frac{1}{2})

is teljesül, azaz ∪_{i∈I}H_{i} sem lehet nyílt, mert a Hausdorff dimenziója

hdim(∪_{i∈I}H_{i}) = lim inf_{n→∞} \frac{log |(∪_{i∈I}H_{i})N_{n}/N_{n}|}{log |N /N_{n}|} ≤ max (\frac{3}{p}, \frac{1}{2}) < 1.

3.3.6. Állítás. Minden maximális nem-nyílt részcsoport megegyezik a normalizátorával.

Bizonyítás. Legyen H < N egy maximális nem-nyílt részcsoport! Ekkor nyilván H ≤ N_{N} (H), tehát ha H ≠ N_{N} (H), akkor H maximalitása miatt N_{N} (H) nyílt lenne. De N öröklődően épp végtelen (2.2.5-ös tétel), ezért N_{N} (H) is épp végtelen, ami azt jelenti, hogy minden zárt normálosztója – speciálisan H is – nyílt.

3.3.7. Tétel ([6]). Ha p ≥ 5, akkor N (𝔽_{p}) alsó rangja 2, azaz N (𝔽_{p})-ben van az egységelemnek két elemmel (de eggyel nem) generált részcsoportokból álló környezetbázisa.

Bizonyítás. Mivel N_{n} nem kommutatív, ezért N alsó rangja nagyobb, mint 1. Ha H egy nyílt részcsoportja N -nek, akkor H ≥ N_{n} valamilyen p | n-re. Ekkor H ≥ \overline{⟨e_{n+1}, e_{n+2}⟩}. Node LT(\overline{⟨e_{n+1}, e_{n+2}⟩}) nyílt a 3.3.1-es lemma miatt, hiszen (n + 1, n + 2) = 1, és sem nullával, sem egymással, sem egymás ellentettjével nem kongruensek modulo p, tehát LT(\overline{⟨e_{n+1}, e_{n+2}⟩}) nincs benne egyik maximális nem-nyílt részalgebrában sem. Így \overline{⟨e_{n+1}, e_{n+2}⟩} is nyílt.

1. Ha p = 3, akkor 𝔮(1, r) = Lie(N), ezért nem maximális részalgebra. Viszont a 3.4.1-es tétel bizonyításában levő gondolatmenet működik, tehát minden nem-nyílt részalgebra részalgebrája Lie^{+}(N)-nek, Lie^{−}(N)-nek, vagy valamely p′ ≠ 3 prímre és 0 ≤ r < p′-re Lie_{p′,r}(N)-nek ahol

Lie^{+}(N) := ∏_{i≡0,1 (3)} 𝔽_{3}e_{i},
Lie^{−}(N) := ∏_{i≡0,−1 (3)} 𝔽_{3}e_{i}, illetve
Lie_{p′,r}(N) := ∏_{\begin{matrix}3p′|i vagy \\ 3∤i≡r (p′) \end{matrix}} 𝔽_{3}e_{i}.

Ezek a maximális nem-nyílt részalgebrák, így a 3.3.3-as és a 3.3.4-es következmény érvényben marad, csak max (\frac{3}{p} + ε, \frac{1}{2}) helyett (\frac{2}{3} + ε)-nal.

2. A 3.3.5-ös tétel minden kitétel nélkül érvényes p = 3-ra is.

3. A Nottingham csoport alsó rangja p = 2 és 3 esetén is 2 [17]. A p = 3 eset igazolásához \overline{⟨e_{n+1}, e_{n+2}⟩} helyett \overline{⟨e_{n+1}, g⟩}-t kell tekinteni, ahol D(g) = n + 2 és D(g^{3}) = 3n + 8 (Hegedűs Pál). Ilyen g létezik a 2.3.3-as tétel szerint.

3.4. A Hausdorff spektrum becslése

3.4.1. Tétel. A Nottingham csoport Lie-algebrájának Hausdorff spektruma:

hspecLie(N) = [0, \frac{2}{p}] ∪ \{\frac{3}{p}\} ∪ \{\frac{1}{s} : s ∈ ℤ^{+}\} .

Bizonyítás. Egyik irány: hspecLie(N) ⊇ [0, \frac{2}{p}] ∪ \{\frac{3}{p}\} ∪ \{\frac{1}{s} : s ∈ ℤ^{+}\}. A definícióból nyilvánvaló, hogy hdimLie_{s}(N) = \frac{1}{s} és hdim𝔮(1, r) = \frac{3}{p}. Másrészt ha I ⊆ pℤ^{+} tetszőleges, és J = I ∪ (pℤ^{+} + 1), akkor

Lie(N)[I] := ∏_{i∈I} 𝔽_{p}e_{i}, illetve
Lie(N)[J] := ∏_{j∈J} 𝔽_{p}e_{j}

index-részalgebrái Lie(N)-nek, hiszen két tetszőleges modulo p kongruens mélységű homogén elem Lie-szorzata 0 (speciálisan Lie(N)[I] kommutatív Lie-algebra), egyébként pedig a mélység összeadódik, ezért a szorzás nem vezet ki Lie(N)[J]-ből sem. Ha I-t megfelelően választjuk, akkor hdimLie(N)[I] tetszőleges [0, \frac{1}{p}]-beli, hdimLie(N)[J] pedig tetszőleges [\frac{1}{p}, \frac{2}{p}]-beli lehet.

Másik irány: hspecLie(N) ⊆ [0, \frac{2}{p}] ∪ \{\frac{3}{p}\} ∪ \{\frac{1}{s} : s ∈ ℤ^{+}\}. Elég index-részalgebrákra belátni az állítást, mert ha L_{1} ≤ Lie(N) tetszőleges, akkor minden L_{1}-beli elem helyett a legkisebb fokú nem-0 homogén részét véve egy L ≤ Lie(N) indexrészalgebrát kapunk. Viszont ha egy L zárt index-részalgebra nem nyílt (azaz hdimL < 1), akkor a 3.3.1-es lemma szerint részalgebrája valamilyen p′ ≠ p prímre Lie_{p′}(N)-nek, vagy valamely 0 < r < p-re 𝔮(1, r)-nek.

1. eset: L ≤ Lie_{p′}(N). Legyen s az a legnagyobb egśz szám, melyre (s, p) = 1 és L ≤ Lie_{s}(N). Ekkor mivel Lie_{s}(N) ≅ Lie(N) és s választása miatt nincs olyan p′′ ≠ p, melyre L ≤ Lie_{p′′s}(N), ezért a 3.3.1-es lemmát ismét alkalmazva azt kapjuk, hogy vagy L ≤_{o} Lie_{s}(N) és így hdimL = \frac{1}{s}, vagy L ≤ Lie_{s}(N) ∩ 𝔮(1, r) valamilyen 0 < r < p-re, azaz hdimL ≤ \frac{3}{ps} ≤ \frac{3}{2p} < \frac{2}{p}.

2. eset: L ≤ 𝔮(1, r). Tegyük fel, hogy hdimL > \frac{2}{p}. Ha belátom, hogy ez esetben hdimL = \frac{3}{p}, akkor kész a tétel bizonyítása. Ehhez vegyük észre, hogy L-ben kell lennie modulo p 0-val, r-rel, és (−r)-rel kongruens mélységű elemnek is, mert elég nagy n-re

\frac{log |(L + L^{n})/L^{n}|}{log |Lie(N)/L^{n}|} ≥ lim inf_{k→∞} \frac{log |(L + L^{k})/L^{k}|}{log |Lie(N)/L^{k}|} − ε > \frac{2}{p},

tehát az L-beli mélységek nem lehetnek csak kétféle modulo p mellékosztályból. Sőt,

hdim(L ∩ Lie(N)[pℤ^{+}]) = hdim(L ∩ Lie(N)[pℕ + r]) = hdim(L ∩ Lie(N)[pℤ^{+} − r]),

mert ha

u_{0} ∈ L ∩ Lie(N)[pℤ^{+}],
u_{r} ∈ L ∩ Lie(N)[pℕ + r], és
u_{−r} ∈ L ∩ Lie(N)[pℤ^{+} − r], akkor
[u_{r}, L ∩ Lie(N)[pℤ^{+}]] ⊆ L ∩ Lie(N)[pℕ + r];
[u_{r}, L ∩ Lie(N)[pℤ^{+} − r]] ⊆ L ∩ Lie(N)[pℤ^{+}];
[u_{−r}, L ∩ Lie(N)[pℤ^{+}]] ⊆ L ∩ Lie(N)[pℤ^{+} − r];
[u_{−r}, L ∩ Lie(N)[pℕ + r]] ⊆ L ∩ Lie(N)[pℤ^{+}].

Másrészt mint vektorterek

𝔮(1, r) = Lie(N)[pℤ^{+}] ⊕ Lie(N)[pℕ + r] ⊕ Lie(N)[pℤ^{+} − r], és így
L = L ∩ Lie(N)[pℤ^{+}] ⊕ L ∩ Lie(N)[pℕ + r] ⊕ L ∩ Lie(N)[pℤ^{+} − r], tehát
hdimL = hdim(L ∩ Lie(N)[pℤ^{+}]) + hdim(L ∩ Lie(N)[pℕ + r]) +
+ hdim(L ∩ Lie(N)[pℤ^{+} − r]) = 3hdim(L ∩ Lie(N)[pℤ^{+}]).

Ha L∩Lie(N)[pℤ^{+}]-ben az elemek mélységének legnagyobb közös osztója p-nél nagyobb lenne, akkor hdimL = 3hdim(L ∩ Lie(N)[pℤ^{+}]) ≤ 3\frac{1}{2p} < \frac{2}{p} lenne, ami ellentmondás, azaz léteznek olyan u_{0}^{(1)}, …, u_{0}^{(r)} ∈ L∩Lie(N)[pℤ^{+}] homogén elemek, melyek mélységének legnagyobb közös osztója: (D(u_{0}^{(1)}), …, D(u_{0}^{(r)})) = p. Ez pedig azt jelenti, hogy minden elég nagy p-vel

osztható egész szám előáll ∑_{j=1}^{r} n_{j}D(u_{0}^{(j)}) alakban alkalmas n_{j} ∈ ℕ számokkal. Node

[u_{0}^{(j)}, L ∩ Lie(N)[pℕ + r]] ⊆ L ∩ Lie(N)[pℕ + r]

miatt így minden elég nagy, p-vel osztva r maradékot adó n egész számra ismételt kommutálással kaphatunk egy n mélységű (homogén) elemet L ∩ Lie(N)[pℕ + r]-ben. Ebből pedig látszik, hogy hdimL = 3hdim(L ∩ Lie(N)[pℕ + r]) = \frac{3}{p}, és épp ezt kellett bizonyítani.

3.4.2. Következmény. hspecN ⊆ [0, \frac{2}{p}] ∪ \{\frac{3}{p}\} ∪ \{\frac{1}{s} : s ∈ ℤ^{+}\}.

Bizonyítás. Ha H ≤_{c} N, akkor LT(H) ≤ Lie(N) egy index-részalgebra, melyre hdimH = hdimLT(H).

A Nottingham csoport spektrumának másik irányú becsléséhez részcsoportokat kell konstruálni. Az index-részcsoportok többé-kevésbé megfelelnek erre a célra:

3.4.3. Tétel (Barnea és Klopsch, [3]). Tetszőleges c ∈ [0, \frac{1}{p}]-re van olyan H ≤ ℭ_{1} ≤ N index-részcsoport, melynek Hausdorff dimenziója hdimH = c. Továbbá hdim𝔄_{s} = \frac{1}{s}, és hdim𝔅_{r,s} = \frac{1}{p^{r}} + \frac{1}{p^{s}}.

Így [0, \frac{1}{p}]∪\{\frac{1}{p^{r}} + \frac{1}{p^{s}} : r, s ∈ ℤ^{+}\}∪\{\frac{1}{s} : s ∈ ℤ^{+}\} ⊆ hspecN. Tehát hiányzik még – néhány

pont kivételével – az (\frac{1}{p}, \frac{2}{p}) intervallum, és a \frac{3}{p} pont. Ha egy H részcsoport Hausdorff dimenziója ebbe a hiányzó halmazba esik, akkor hdimLT(H) is, és a 3.4.1-es tétel bizonyításából könnyen látható, hogy ekkor LT(H) ≤ 𝔮(1, r) valamilyen 0 < r < p-re. Ezen Lie-algebrák vizsgálatával jutott Ershov a következő eredményre:

3.4.4. Tétel (Ershov, [11]). Legyen Q(s, r) ≤ N az a részcsoportja a Nottingham csoportnak, ami a

t ↦ \sqrt[r]{\frac{at^{r} + b}{ct^{r} + d}}

alakú elemekből áll, ahol a, b, c, d ∈ 𝔽_{p}[[t^{p^{s}}]] formális hatványsorok, melyek konstans tagjaira teljesül, hogy a_{0} = d_{0} = 1 és b_{0} = 0. Ekkor Q(s, r) teljesíti az alábbi tulajdonságokat:

(i) Q(s, r) = Stab_{N} (𝔮(s, r)) = {φ ∈ N : φ(𝔮(s, r)) = 𝔮(s, r)}.

(ii) LT(Q(s, r)) = 𝔮(s, r).

Bizonyítás. Először ellenőrizzük, hogy Q(s, r) részcsoport:

\sqrt[r]{\frac{a_{2}t^{r} + b_{2}}{c_{2}t^{r} + d_{2}}} ∘ \sqrt[r]{\frac{a_{1}t^{r} + b_{1}}{c_{1}t^{r} + d_{1}}} = (\frac{a′_{2} · \frac{a_{1}t^{r}+b_{1}}{c_{1}t^{r}+d_{1}} + b′_{2}}{c′_{2} · \frac{a_{1}t^{r}+b_{1}}{c_{1}t^{r}+d_{1}} + d′_{2}} )^{1/r} = \sqrt[r]{\frac{(a′_{2}a_{1} + b′_{2}c_{1})t^{r} + (a′_{2}b_{1} + b′_{2}d_{1})}{(c′_{2}a_{1} + d′_{2}c_{1})t^{r} + (c′_{2}b_{1} + d′_{2}d_{1})}},

ahol a′_{2} = a_{2} ∘ \sqrt[r]{\frac{a_{1}t^{r}+b_{1}}{c_{1}t^{r}+d_{1}}} , stb. Mivel a_{2} ∈ 𝔽_{p}[[t^{p^{s}}]], ezért a_{2} ∘ w ∈ 𝔽_{p}[[t^{p^{s}}]] minden w ∈ 𝔽_{p}[[t]]-re, tehát Q(s, r) egy félcsoport. Ugyanakkor zárt is, tehát a 3.1.2-es lemma miatt Q(s, r) ≤ N.

Most megmutatjuk, hogy Q ≤ K, ahol K = Stab_{N} (𝔮(s, r)):

\sqrt[r]{\frac{at^{r} + b}{ct^{r} + d}}(e_{i}) = \sqrt[r]{\frac{at^{r} + b}{ct^{r} + d}}(t^{i+1}∂_{t}) = \frac{(\frac{at^{r}+b}{ct^{r}+d})(i+1)/r}{∂_{t} (\sqrt[r]{\frac{at^{r}+b}{ct^{r}+d}})} ∂_{t} =

= (\frac{at^{r} + b}{ct^{r} + d})^{(i+1)/r+1−1/r} \frac{(ct^{r} + d)^{2}}{t^{r−1}(ad − bc)}∂_{t} =
= \frac{(at^{r} + b)^{i/r+1}}{(ct^{r} + d)^{i/r−1}} \frac{t^{1−r}}{ad − bc}∂_{t},

hiszen a′ = b′ = c′ = d′ = 0. Most ha i = kp^{s} − r, akkor

\sqrt[r]{\frac{at^{r} + b}{ct^{r} + d}}(e_{i}) = (ct^{r} + d)^{2} · t^{1−r} · R · ∂_{t},

ahol R ∈ 𝔽_{p}[[t^{p^{s}}]]. A jobb oldal viszont

∑_{n≡1,1+r,1−r (p^{s})} λ_{n}t^{n}∂_{t} = ∑_{n≡0,±r (p^{s})} λ_{n+1}e_{n}

alakú, azaz eleme 𝔮(s, r)-nek. Az i = kp^{s} és az i = kp^{s} + r esetek hasonlóan kezelhetők. Most azt állítom, hogy LT(Q(s, r)) ≥ 𝔮(s, r). Ez világos, hiszen

LT (\sqrt[r]{t^{r} + t^{kp^{s}}}) = \frac{1}{r}e_{kp^{s}−r}, LT (t (1 + t^{kp^{s}})) = e_{kp^{s}},

LT (\frac{t}{\sqrt[r]{1 − t^{kp^{s}+r}}} ) = \frac{1}{r}e_{kp^{s}+r}.

Végül belátjuk, hogy 𝔮(s, r) ≥ LT(K). Vegyünk ugyanis egy tetszőleges φ ∈ K-t, és legyen u = LTφ! Mivel tetszőleges homogén x ∈ Lie(N)-re φ(x) = x + [u, x]+magasabb fokú tagok, ezért [u, 𝔮(s, r)] ⊆ 𝔮(s, r), és így u ∈ 𝔮(s, r), mert 𝔮(s, r) nyilván megegyezik a normalizátorával. Tehát LT(K) ≤ 𝔮(s, r). Így azt kaptuk, hogy LT(K) ≤ 𝔮(s, r) ≤ LT(Q(s, r)), és Q(s, r) ≤ K. Ezekből pedig következik a tétel állítása.

3.4.5. Következmény.

[0, \frac{1}{p}] ∪ \{\frac{3}{2p}\} ∪ \{\frac{3}{p}\} ∪ \{\frac{1}{s}\}_{s=1}^{∞} ∪ \{\frac{1}{p} + \frac{1}{p^{r}} \}_{r=1}^{∞} ⊆ hspecN ⊆ [0, \frac{2}{p}] ∪ \{\frac{3}{p}\} ∪ \{\frac{1}{s}\}_{s=1}^{∞} .

Bizonyítás. A hiányzó két pont: hdimQ(1, r) = \frac{3}{p}, illetve mivel 𝔄_{2} ≅ N, ezért vehetjük ennél az izomorfizmusnál a Q(1, r)-nek megfelelő Q_{2}(1, r) részcsoportot, melynek Hausdorff dimenziója hdimQ_{2}(1, r) = hdim_{N} 𝔄_{2} · hdim_{𝔄_{2}}Q_{2}(1, r) = \frac{1}{2} · \frac{3}{p} = \frac{3}{2p}.

Megjegyzés: Ez az eddig ismert legjobb eredmény a Nottingham csoport Hausdorff spektrumára. Az (\frac{1}{p}, \frac{2}{p}) intervallum betöltésére esetleg alkalmas lehet további stabilizátorok meghatározása. Az csak véletlen, hogy a fenti esetben Q(s, r) megegyezik a Lie-algebrája stabilizátorával. Konjugált részcsoportok Lie-algebrája például azonos, hiszen a konjugálás nem változtat az elemek főtagján, de a Lie-algebrának legfeljebb egyik konjugált lehet csak a stabilizátora, sőt általában egyik sem. Az alábbi példa mutatja, hogy egy részalgebra stabilizátorának Lie-algebrája nem feltétlenül egyezik meg az eredeti részalgebrával:

3.4.6. Példa. Legyen 𝔭_{r} ≤ Lie(N) a modulo p r-rel kongruens mélységű homogén elemek által kifeszített (kommutatív) részalgebra:

𝔭_{r} := ∏_{i≡r (p)} 𝔽_{p}e_{i}!

Ekkor 𝔭_{r} stabilizátora:

Stab_{N} (𝔭_{r}) = \{t\sqrt[r]{\frac{1 + t^{p}a}{1 + t^{r}b}} : a, b ∈ 𝔽_{p}[[t^{p}]]\}, ha 1 ≤ r ≤ p − 1, illetve
Stab_{N} (𝔭_{0}) = 𝔄_{p}.

Továbbá LT(Stab_{N} (𝔭_{1})) = ∏_{i≡0,1 (p)} 𝔽_{p}e_{i}, tehát LT(Stab_{N} (𝔭_{1})) ≠ 𝔭_{1}.

Bizonyítás. Vizsgáljuk meg, hogy egy adott g ∈ N elem hová viszi t^{i+1}∂_{t} = e_{i}-t. A 3.2-es alfejezetben található képlet szerint:

g(t^{i+1}∂_{t}) = \frac{((t)g)^{i+1}}{∂_{t}((t)g)} .

Először legyen 1 ≤ r ≤ p − 1. Ekkor i = kp + r választással ha g stabilizálja 𝔭_{r}-et, akkor

\frac{((t)g)^{kp+r+1}}{∂_{t}((t)g)} = t^{kp+r+1}(1 + t^{p}f(t^{p}))

alakú, ahol f ∈ 𝔽_{p}[[t]] tetszőleges. Ezt átrendezve

\frac{1}{t^{kp+r+1}(1 + t^{p}f(t^{p}))} = \frac{∂_{t}((t)g)}{((t)g)^{kp+r+1}} , és integrálva
\frac{−r}{t^{kp+r}(1 + t^{p}f(t^{p}))} = \frac{−r}{((t)g)^{kp+r}} + h(t^{p}),

hiszen ha egy formális hatványsor deriváltja 0, akkor h(t^{p}) alakba írható. Mivel r ≢ 0 (mod p), ezért leoszthatunk vele. Ha r-edik gyököt vonunk és felhasználjuk, hogy ((t)g)^{kp} csak p-vel osztható kitevőjű tagokat tartalmaz, akkor (t)g-nek épp egy kívánt előállítását kapjuk. Másrészt ha (t)g = \sqrt[r]{\frac{1+t^{p}a}{1+t^{r}b}}, akkor könnyű számolás mutatja, hogy

\frac{((t)g)^{kp+r+1}}{∂_{t}((t)g)} = t^{r+1}((t)g)^{kp}(1 + t^{p}a) ∈ t^{r+1}𝔽_{p}[[t^{p}]].

Mivel r = 1 esetén nem kell gyököt vonni, ezért könnyű ellenőrizni, hogy a stabilizátorban csak nullával és eggyel kongruens mélységű tagok szerepelnek.

A második állításhoz legyen (t)g = t(1 + ∑_{j=1}^{∞} a_{j}t^{j})! Az előzőekhez hasonlóan azt kapjuk, hogy g pontosan akkor stabilizálja 𝔭_{0}-t, ha

\frac{(t)g}{∂_{t}((t)g)} ∈ t𝔽_{p}[[t^{p}]], azaz ha
1 + ∑_{j=1}^{∞} a_{j}t^{j} = (1 + ∑_{j=1}^{∞}(j + 1)a_{j}t^{j}) h(t^{p}),

ahol h ∈ 𝔽_{p}[[t]]. Tegyük fel az állítással ellentétben, hogy g ∉ 𝔄_{p}! Most ha k az a legkisebb p-vel nem osztható szám, melyre a_{k} ≠ 0, akkor a két oldalt összehasonlítva azt kapjuk, hogy a_{k} = (k + 1)a_{k}, ami ellentmondás. A visszafelé irány – miszerint 𝔄_{p} stabilizálja 𝔭_{0}-t – triviális.

1. Könnyű igazolni, hogy ez a stabilizátor r = p − 1 esetén nem más, mint 𝔅_{1,1}.

2. A bizonyításból látható, hogy a stabilizátor nem változik, ha 𝔭_{r} helyett 𝔭_{r} ∩ L^{n}-et vesszük.

A következő példára az 5.5-ös alfejezetben lesz szükség:

3.4.7. Példa. Az egydimenziós homogén részalgebrák stabilizátora:

Stab_{N} (𝔽_{p}e_{n}) = \begin{cases}\{t\sqrt[n]{\frac{1}{1+t^{n}a}} : a ∈ 𝔽_{p}[[t]]\} , & ha n ≢ 0 (mod p) \\ \{id\}, & ha n ≡ 0 (mod p). \end{cases}

Bizonyítás. Legyen először n ≢ 0 (mod p)! Ekkor egy (t)g ∈ N elem pontosan akkor stabilizálja 𝔽_{p}e_{n}-et, ha

t^{n+1}∂_{t} = e_{n} = ge_{n} = \frac{((t)g)^{n+1}}{∂_{t}((t)g)} ∂_{t}, és átrendezve
∂_{t} \frac{1}{((t)g)^{n}} = ∂_{t} \frac{1}{t^{n}} .

Az előző példához hasonlóan integrálva és átrendezve a kívánt állítást kapjuk.

Ha n ≡ 0 (mod p), akkor tegyük fel, hogy egy adott (t)g = t(1 + ∑_{i=1}^{∞} g_{k}t^{k}) ∈ N elem stabilizálja 𝔽_{p}e_{n}-et! Ekkor

t^{np+1} = \frac{t^{np+1} (1 + ∑_{k=1}^{∞} g_{k}t^{k})^{np+1}}{1 + ∑_{k=1}^{∞}(k + 1)g_{k}t^{k}}, és átrendezve

1 + ∑_{k=1}^{∞}(k + 1)g_{k}t^{k} = (1 + ∑_{k=1}^{∞} g_{k}t^{k}) (1 + ∑_{k=1}^{∞} g_{k}t^{kp})^{n}

∑_{k=1}^{∞} kg_{k}t^{k} = (1 + ∑_{k=1}^{∞} g_{k}t^{k}) ((1 + ∑_{k=1}^{∞} g_{k}t^{kp})^{n} − 1)

Ez pedig azt jelenti, hogy az utolsó egyenletben mindkét oldal 0, azaz (t)g = t, mert a bal oldalon nincsen p-vel osztható fokú tag, a jobb oldalon viszont a legkisebb fokú tag p-vel osztható fokú.

Megjegyzés: A fenti két példa állítása igaz marad, ha 𝔽_{p}-t mindenütt egy másik p-karakte-risztikájú véges testre, 𝔽_{q}-ra cseréljük.

Valószínűségi kérdések

4.1. A valószínűségi mező

4.1.1. Definíció. Legyen G egy pro-véges csoport! Ekkor G Borel halmazain megadhatunk egy eltolásinvariáns valószínűségi mértéket, mégpedig a normált Haar-mértéket. Egy részhalmaz mértéke nem más, mint a nyílt normálosztók szerinti faktorokban levő képei mértékének a limesze. A faktorokon a mérték pedig a normált számláló mérték, hiszen azok véges halmazok.

Speciálisan a Nottingham csoporton az így megadott valśzínűségi mérték olyan, hogy (t)g minden együtthatója egymástól függetlenül minden 𝔽_{q}-beli értéket \frac{1}{q} valószínűséggel vesz fel. Az ebben a fejezetben vizsgált kérdéseket A. Shalev vetette fel [32]. Egy adott G provéges csoport esetén jelöljük Q(G, k)-val azt a valószínűséget, hogy k véletlen elem G-ben nyílt részcsoportot generál. Mann [27] belátta, hogy Q(G, k) = 1 valamilyen k-ra, ha G-ben a részcsoportnövekedés polinomiális. Ez utóbbi feltétel pro-p csoportokra azzal ekvivalens, hogy a csoport p-adikus analitikus [10], ezért egy p-adikus analitikus csoportban elég sok (rögzített számú) elem 1 valószínűséggel nyílt részcsoportot generál. A megfordítás már nem igaz: SL_{d}^{1}(𝔽_{p}[[t]]) ellenpélda [4], ahol ez a csoport SL_{d}(𝔽_{p}[[t]]) első kongruencia részcsoportja, tehát modulo M_{d}(t𝔽_{p}[[t]]) az identitással kongruens mátrixokból áll.

4.1.1. Tétel (Barnea és Larsen, [4]). Legyen G egy egyszeresen összefüggő egyszerű algebrai csoport egy F p-karakterisztikájú nem-arkhimédeszi lokális test fölött. Ha p ≥ 5, és Γ egy kompakt, nyílt részcsoportja G(F)-nek, akkor Q(Γ, 2) = 1.

Ez az eredmény felfogható úgy is, mint Dixon sejtésének (ami azóta már tétel) a lokális testekre vonatkozó analogonja, mely szerint két véletlen eleme egy egyszerű csoportnak 1-hez tartó valószínűséggel generálja az egész csoportot, ha a csoport rendje tart végtelenhez (lásd: [9], [22], [26]). Így természetes a kérdés, hogy vajon a Nottingham csoportban két (vagy esetleg több) véletlen elem nyílt részcsoportot generál-e. Ezt eddig nem sikerült megválaszolnom, de esetleg a maximális nem-nyílt részcsoportok további vizsgálata segíthet. Ugyanis ha sikerülne (konjugált osztály erejéig) osztályozni a maximális nem-nyílt részcsoportokat, akkor (ha – ahogy sejthető – csak megszámlálható sok osztály van), akkor elég lenne megvizsgálni, hogy két elem mekkora valószínűséggel esik egy adott maximális nem-nyílt részcsoport ugyanazon konjugáltjába.

4.2. Szabad részcsoportok

Ebben az alfejezetben azt fogom belátni, hogy 2 véletlen elem N -ben 1 valószínűséggel egy (absztrakt) szabad csoportot generál. Itt természetesen nem topologikus generátumot értek, hiszen a szabad csoport nem pro-p csoport. Ez Szegedy Balázs eredménye [33], az ő bizonyítását közlöm. Az egyszerűség kedvéért legyen q = p prím!

4.2.1. Lemma. Ha g ∈ N és h ∈ N_{n}, akkor

(t)g^{−1}hg ≡ t + \frac{(t)hg − (t)g}{∂_{t}((t)g)} (mod t^{2n+2}𝔽_{p}[[t]]).

Bizonyítás. Legyen f = g^{−1}hg! Ekkor (t)hg = (t)gf. Node felírva a Taylor-formulát:

g(t + (f(t) − t)) = g(t) + (f(t) − t)g′(t) + O((f(t) − t)^{2}), és más jelöléssel
(t)gf ≡ (t)g + ((t)f − t)∂_{t}((t)g) (mod t^{2n+2}𝔽_{q}[[t]]).

Ezt átrendezve épp az állítást kapjuk.

4.2.1. Definíció. Ha A egy elemi Abel (nem feltétlenül véges) p-csoport, melyen hat egy G csoport, akkor ez a hatás kiterjed az 𝔽_{p}G csoportalgebrára, és ezért tekinthetjük A-t mint 𝔽_{p}G feletti modulust. Ezen a nyelven u = ∑_{i=1}^{k} λ_{i}g_{i} hatása A-n:

v^{u} = ∑_{i=1}^{k} λ_{i}v^{g_{i}}.

A sűrűségi tétel következménye a következő állítás ([28], Chapter IV, (15.7) Theorem, p. 155):

4.2.2. Állítás. Legyen X egy metrikus tér, és P_{n} partícióinak egy sorozata úgy, hogy P_{n} Borel halmazokból áll, P_{n} egy finomítása P_{n−1}-nek, és P_{n} halmazainak az átmérője legfeljebb d_{n}, ahol d_{n} tart 0-hoz. Ekkor minden E ⊂ X Borel halmazra, és minden véges μ Borel mértékre

lim_{n→∞} \frac{μ(E ∩ H_{n})}{μ(H_{n})} = 1 majdnem minden x ∈ E-re,

ahol x ∈ H_{n} ∈ P_{n}.

Ezt alkalmazva kapjuk, hogy

4.2.3. Következmény. Legyen G egy pro-p csoport a G_{n} filtrálással, E ⊆ G egy Borel halmaz, és μ a (normált) Haar-mérték! Ekkor majdnem minden x ∈ E-re

lim_{n→∞} \frac{μ(E ∩ xG_{n})}{μ(xG_{n})} = 1.

Megjegyzés: Majdnem minden x ∈ E azt jelenti, hogy a kivételek halmaza nulla mértékű. Ha μ(E) = 0, akkor az állítás nem mond semmit. Az eredményt csak abban a formában fogom használni, hogy ha μ(E) ≠ 0, akkor létezik ilyen x.

4.2.4. Lemma. Legyen G egy pro-p csoport, G_{i} és M_{i} nyílt normálosztói (i ∈ ℤ^{+}), melyekre az alábbi négy állítás teljesül:

(i) A G_{i} sorozat G egy filtrálása,

(ii) G_{i} > M_{i} minden i ∈ ℤ^{+}-ra,

(iii) a G_{i}/M_{i} faktorok elemi Abel p-csoportok minden i ∈ ℤ^{+}-ra,

(iv) a csoportelemek képei lineárisan függetlenek minden k ∈ ℤ^{+}-ra az alábbi természetes leképezéseknél:

G ⟶ End_{𝔽_{p}} (⨁_{i=k}^{∞} G_{i}/M_{i})
g ⟼ ((v_{k}, v_{k+1}, …) ↦ (v_{k}^{g}, v_{k+1}^{g}, …)).

Ekkor G két véletlen eleme 1 valószínűséggel szabad részcsoportot generál (absztrakt módon).

Bizonyítás. Elég megmutatni, hogy az F (x, y) szabad csoport egy tetszőleges w szavára a w(a, b) = 1 egyenlet 0 valószínűséggel teljesül G-ben. Ezt indirekten bizonyítom: tegyük fel az állítással ellentétben, hogy van egy olyan w ∈ F (x, y), melyre μ({(a, b) : w(a, b) = 1, a, b ∈ G}) > 0, de μ({(a, b) : s(a, b) = 1, a, b ∈ G}) > 0 minden s w-nél rövidebb nemtriviális szóra. (Itt μ a G × G csoport Haar-mértékét jelöli.) Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy a w szó x-szel kezdődik. Legyen

H := {(a, b) : w(a, b) = 1, a, b ∈ G} \ ⋃_{0<l(s)<l(w)}{(a, b) : s(a, b) = 1, a, b ∈ G},

ahol az l függvény a (redukált) szavak hosszát jelöli. Mivel μ(H) > 0, ezért a 4.2.3-as következmény szerint van egy olyan (c, d) ∈ H elem és egy pozitív egész k úgy, hogy

\frac{μ(H ∩ (cG_{i} × dG_{i}))}{μ(cG_{i} × dG_{i})} > \frac{1}{p}

minden i ≥ k-ra.

Legyen v ∈ G_{i}/M_{i} tetszőleges! Megszorozhatjuk c-t és d-t tetszőleges G_{i}/M_{i} faktorcsoportbeli elemekkel, és az eredmény szintén G_{i}/M_{i}-beli lesz. Könnyű számolás mutatja, hogy

w(cv, d) ≡ w(c, d)v^{λ_{1}g_{1}+λ_{2}g_{2}+···+λ_{t}g_{t}} (mod M_{i}),

ahol λ = ±1, és a g_{i} elemek úgy kaphatók, hogy w részszavaiba helyettesítjük c-t és d-t (lásd 4.2.1-es definíció). Ezek a részszavak w szerkezetétől függnek. Például, ha w = xyx^{−1}yyx, akkor

w(cv, d) ≡ w(c, d)v^{1−c^{−1}ddc+dc^{−1}ddc} (mod M_{i}).

Jelöljük a

λ_{1}g_{1} + λ_{2}g_{2} + ⋯ + λ_{t}g_{t} ∈ 𝔽_{p}G

elemet u-val! Mivel s(c, d) ≠ 1 semmilyen 0 < l(s) < l(w) szóra, ezért a g_{i} elemek különbözőek. Használva, hogy w x-szel kezdődik, azt kapjuk, hogy t ≥ 1, és így u ≠ 0. A lemma utolsó feltétele garantálja, hogy van egy olyan k_{2} ≥ k egész szám, melyre u természetes hatása G_{k_{2}}/M_{k_{2}}-n nem a nulla leképezés. Ebből következik, hogy a

φ: G_{k_{2}}/M_{k_{2}} × G_{k_{2}}/M_{k_{2}} ⟶ G_{k_{2}}/M_{k_{2}}
φ(v_{1}, v_{2}) = w(c, d)^{−1}w(cv_{1}, dv_{2})

𝔽_{p}-lineáris leképezés nem tűnik el mindenhol. Node ekkor a magja legalább p indexű részcsoport, azaz

\frac{μ(H ∩ (cG_{k_{2}} × dG_{k_{2}}))}{μ(cG_{k_{2}} × dG_{k_{2}})} ≤ \frac{1}{p}.

Ez pedig ellentmondás.

4.2.5. Tétel. Két véletlen elem N (𝔽_{p})-ben 1 valószínűséggel szabad részcsoportot generál (absztrakt módon).

Bizonyítás. A 4.2.4-es lemmát alkalmazzuk G = N, G_{i} = N_{i}, illetve M_{i} = N_{2i+1} választással. A 2.2.3-as következmény és a 2.3.1-es lemma miatt világos, hogy az első három feltétel teljesül. Tegyük fel, hogy egy 0 ≠ u ∈ 𝔽_{p}N elem nulla leképezést indukál a N_{i}/N_{2i+1} faktorokon minden i ≥ k-ra! Speciálisan ekkor u a hatásnál a t(1 + t^{i}) + N_{2i+1} ∈ N_{i}/N_{2i+1} alakú elemet t + N_{2i+1}-be képezi minden i ≥ k esetén. Írjuk u-t

u = λ_{1}g_{1} + λ_{2}g_{2} + ⋯ + λ_{t}g_{t}

formában, ahol g_{i}-k különböző csoportelemek, és λ_{i} ∈ 𝔽_{p}! A 4.2.1-es lemmát alkalmazva kapjuk az alábbi egyenletet:

(t + t^{i+1})^{u} ≡ t + ∑_{j=1}^{n} λ_{j} \frac{((t)g_{j})^{i+1}}{∂_{t}((t)g_{j})} ≡ t (mod t^{2i+2}𝔽_{p}[[t]]) minden i ≥ k-ra.

Vezessük be a μ_{j} := \frac{λ_{j}}{∂_{t}((t)g_{j})} ∈ 𝔽_{p}[[t]] jelölést! Azt kapjuk, hogy

∑_{j=1}^{n} μ_{j}((t)g_{j})^{i+1} ≡ 0 (mod t^{2i+2}𝔽_{p}[[t]]) minden i ≥ k-ra.

Most legyen s ≥ 0 rögzített természetes szám, továbbá legyen i = p^{α} + s − 1 ≥ k olyan, hogy p^{α} ≥ s − 1. Ezzel a jelöléssel

0 ≡ ∑_{j=1}^{n} μ_{j}((t)g_{j})^{i+1} ≡ ∑_{j=1}^{n} μ_{j}((t)g_{j})^{p^{α}+s} ≡ ∑_{j=1}^{n} μ_{j}((t)g_{j})^{s}((t)g_{j})^{p^{α}} (mod t^{2i+2}𝔽_{p}[[t]]).

Mivel (t)g_{j} ≡ t (mod t^{2}𝔽_{p}[[t]]), ezért ((t)g_{j})^{p^{α}} ≡ t^{p^{α}} (mod t^{2p^{α}}𝔽_{p}[[t]]). Tehát

0 ≡ ∑_{j=1}^{n} μ_{j}((t)g_{j})^{s}t^{p^{α}} (mod t^{2p^{α}}𝔽_{p}[[t]]), és

0 ≡ ∑_{j=1}^{n} μ_{j}((t)g_{j})^{s} (mod t^{p^{α}}𝔽_{p}[[t]]).

Node ez minden elég nagy p^{α}-ra teljesül rögzített s ≥ 0 mellett, ami azt jelenti, hogy

0 = ∑_{j=1}^{n} μ_{j}((t)g_{j})^{s} minden s ≥ 0-ra.

Ezt s = 0, 1, …, n − 1-re alkalmazva (λ_{1}, …, λ_{n})W = 0, ahol W ∈ 𝔽_{p}((t))^{n×n} az az n × nes Vandermonde mátrix, melynek elemei W_{ji} = ((t)g_{j})^{i−1}. Ez viszont ellentmondás, mert det(W) ≠ 0, hiszen a g_{j} elemek különbözőek, és (λ_{1}, …, λ_{n}) nem nulla vektor az 𝔽_{p}((t)) test feletti n dimenziós vektortérben.

Megjegyzés: Abért Miklós [2] belátta a 4.2.5-ös tétel analogonját pro-véges facsoportokra (branch groups).

4.2.6. Következmény. A Nottingham csoport tartalmaz egy két elemmel generált sűrű szabad részcsoportot.

Bizonyítás. Mivel N (𝔽_{p}) topologikusan generálható két elemmel, mégpedig (t)g = t(1+t)-vel és (t)h = t(1+t^{2})-tel, ezért két véletlen elem \frac{(p^{2}−1)(p−1)}{p^{3}} > 0 valószínűséggel sűrű részcsoportot generál N (𝔽_{p})-ben. Alkalmazva a 4.2.5-ös tételt készen vagyunk.

Számelméleti kapcsolatok

A Nottingham csoport a számelméletben úgy ismert, mint az 𝔽_{p}((t)) test úgynevezett vad automorfizmusainak csoportja. Az elágazási csoportok vizsgálatában fontos szerepet játszik, mert minden lokális test – melynek maradékteste 𝔽_{p} – tetszőleges teljesen elágazó bővítésésének Galois csoportja beágyazható N (𝔽_{p})-be a normák teste nevű funktor segítségével, feltéve, hogy az elágazási részcsoportok nyíltak a teljes Galois csoportban. Az ezzel a tulajdonsággal rendelkező testbővítéseket nevezik aritmetikailag pro-véges bővítéseknek. Ebben a fejezetben a Nottingham csoport számelméleti és csoportelméleti tulajdonságainak kapcsolatát igyekszem bemutatni.

5.1. Lokális testek

Ebben az alfejezetben felidézek néhány alapvető fogalmat lokális testekkel kapcsolatban.

5.1.1. Definíció. Legyen F egy test, és v: F^{∗} → ℤ egy a multiplikatív csoportból az egész számokba menő szürjektív homomorfizmus, melyre v(α+β) ≥ min(v(α), v(β)) minden α, β ∈ F^{∗}-ra! Továbbá legyen v(0) := ∞! Ekkor v-t F diszkrét értékelésének, F -et pedig diszkréten értékelt testnek hívjuk (discrete valuation field). Az egészek gyűrűje O := {α ∈ F : v(α) ≥ 0} és a maximális ideál M := {α ∈ F : v(α) > 0}. F topologikus test az M-adikus topológiával, melyben M hatványai alkotják a 0 egy környezetbázisát. Egy F diszkréten értékelt testet teljesnek hívunk (complete discrete valuation field), ha teljes az M-adikus topológiára nézve.

Be lehet látni, hogy egy teljes, diszkréten értékelt testnek az értékelése egyértelműen meg van határozva (lásd [14] Exercise 6 Section 2 Chapter II), tehát v_{F} -fel, O_{F} -fel, illetve M_{F} -fel jelöljük rendre az értékelést, az egészek gyűrűjét, illetve a maximális ideált. Az O_{F} /M_{F} faktortestet az F maradéktestének nevezzük. Mindig feltesszük, hogy a maradéktest egy pkarakterisztikájú tökéletes test. Egy teljes, diszkréten értékelt testet, melynek maradékteste véges, lokális testnek hívunk. A maximális ideál egy π = π_{F} generátorát F prímelemének nevezzük.

Jelölje v_{p}(n) a p kitevőjét egy n egész szám prímtényezős felbontásában. Erre az értékelésre nézve ℚ teljessé tettje a p-adikus számok teste, ℚ_{p}. Egy 𝔽 p-karakterisztikájú véges test feletti racionális törtfüggvények 𝔽(t) testének teljessé tettje a v(a_{n}t^{n} + magasabb fokú tagok) = n (a_{n} ≠ 0) értékelésre nézve 𝔽((t)), a „véges farkú” formális Laurent-sorok teste. Ez a két példa a legfontosabb osztálya a lokális testeknek.

Igazság szerint lényegében csak ez a két példa létezik. Nulla karakterisztikában minden lokális test ℚ_{p}-nek véges bővítése. Ugyanakkor pozitív karakterisztikában egy lokális test izomorf 𝔽((t))-vel, ahol 𝔽 a véges maradéktest. Általában t_{F} := t-vel jelöljük egy F p-karakterisztikájú lokális test prímelemét.

Ha L egy véges bővítése az F teljes, diszkréten értékelt testnek, akkor v_{F} egyértelműen kiterjed L egy v_{L} diszkrét értékelésévé, melyre nézve L teljes (lásd [14] Section 2 Chapter II). Persze ezt úgy kell érteni, hogy v_{L}|_{F} képe ℤ ≅ v_{L}(π_{F})ℤ ≤ ℤ = v_{L}(L^{∗}). Az e(L/F) := v_{L}(π_{F}) számot az L/F bővítés elágazási indexének (ramification index) nevezzük. A k_{F} maradéktest azonosítható k_{L} egy résztestével. A k_{L}/k_{F} bővítés fokát inerciafoknak (inertia degree) vagy maradékfoknak (residue degree) hívjuk, és f(L/F)-fel jelöljük. Ekkor, ha N_{L/F} a normaleképezés, akkor f(L/F) = v_{F} (N_{L/F} (π_{L})), és e(L/F)f(L/F) = (L : F), az eredeti bővítés foka.

Legyen F egy teljes, diszkréten értékelt test! Az e(F) := v_{F} (p) véges vagy végtelen számot F abszolút elágazási indexének (absolute ramification index) nevezzük. Egy véges L/F bővítést elágazásmentesnek (unramified) hívunk, ha e(L/F) = 1. Ez azt jelenti, hogy egy π_{F} prímelem a bővebb testben is prím marad. A másik extrém esetben – amikor f(L/F) = 1 – azt mondjuk, hogy az L/F bővítés teljesen elágazó (totally ramified). Ez pontosan akkor áll fenn, ha N_{L/F} (π_{L}) prím F -ben.

Rögzítsük most F -nek egy F_{s} szeparábilis lezártját! F összes elágazásmentes F_{s}-beli bővítésének a kompozícióját – F^{ur}-et – F maximális elágazásmentes bővítésének hívjuk. Ez egy diszkréten értékelt test, melynek maradékteste izomorf k_{F} szeparábilis lezártjával. Egy L/F szeparábilis bővítés esetén az L ∩ F̃ testet L/F inerciarésztestének (inertia subfield) nevezzük. Egy L/F (akár végtelen) szeparábilis bővítés – definíció szerint – elágazásmentes, illetve teljesen elágazó, ha az inerciarészteste megegyezik rendre L-lel, illetve F -fel. Ha L/F teljesen elágazó, akkor L = F (π_{L}), és O_{L}-et generálják mint O_{F} -modulust a {π_{L}^{j} : 0 ≤ j ≤ e(L/F)} elemek, azaz O_{L} = O_{F} [π_{L}]. Az inerciarésztestet pedig azonosíthatjuk az x^{q} − x polinom F feletti felbontási testével, ahol q = p^{f(L/F)}.

U_{F} = U_{0,F} -fel jelöljük az O_{F} gyűrű egységeinek csoportját. (Ezt gyakran F egységcsoportjának is hívják.) Ezen megadhatunk egy U_{i,F} := 1 + π_{F}^{i} O_{F} (i ≥ 1) filtrálást. Ezek az egységelem egy környezetbázisát alkotják U_{0,F} -ben az F által indukált topológiára nézve. Az izomorfizmus tételek alkalmazásával adódik az alábbi állítás:

5.1.1. Állítás. U_{0,F} = \underleftarrow{lim} U_{0,F} /U_{i,F}, továbbá

U_{i,F} /U_{i+1,F} ≅ \begin{cases}k_{F}^{∗}, ha i = 0, illetve \\ k_{F}^{+}, ha i ≥ 1. \end{cases}

Tehát az egységcsoport az U_{1,F} pro-p csoport véges bővítése.

A következő lemma meghatározza az U_{N,F} csoportok alsó centrális p-láncát (lásd 1.1.4es definíció), ha a karakterisztika nulla, és N elég nagy. Mivel U_{N,F} kommutatív, ezért az alsó centrális p-lánc meghatározásához elég megvizsgálni a p-edik hatványra emelés hatását a csoporton:

5.1.2. Lemma ([29]). Legyen n ≥ 1! Ekkor

(i) Ha n ≤ e(F)/(p − 1) vagy F karakterisztikája p, akkor U_{n}^{p} ≤ U_{np}.

(ii) Ha n > e(F)/(p − 1) és F karakterisztikája nulla, akkor az x ↦ x^{p} egy izomorfizmust definiál U_{n}-ből U_{n+e(F)}-re.

(iii) Ha N > e(F)/(p − 1) és F karakterisztikája nulla, akkor P_{n+1}(U_{N}) = U_{N+ne(F)}.

Bizonyítás. Legyen F prímeleme π = π_{F}, és 1 + zπ^{n} ∈ U_{n}! Ekkor

(1 + zπ^{n})^{p} = 1 + ∑_{i=1}^{p−1} \binom{p}{i}z^{i}π^{ni} + z^{p}π^{np}.

Ha charF = p, akkor készen vagyunk, hiszen a középső tagok eltűnnek. Legyen a továbbiakban tehát charF = 0! Ekkor v_{F} (\binom{p}{i}z^{i}π^{ni}) ≥ e(F) + ni és v_{F} (z^{p}π^{np}) ≥ np.

(i) Ebben az esetben (p − 1)n ≤ e(F) és így v_{F} (\binom{p}{i}z^{i}π^{ni}) ≥ (p − 1)n + n = np, azaz U_{n}^{p} ≤ U_{np}.

(ii) Azt akarjuk belátni, hogy ha pn > n + e(F), akkor minden y = 1 + aπ^{n+e(F)} ∈ U_{n+e(F)}-re egyértelműen létezik egy x = 1 + zπ^{n} ∈ U_{n} az x^{p} = y tulajdonsággal. Ebben az esetben pzπ^{n} határozza meg (1 + zπ^{n})^{p} viselkedését. Mivel charF = 0, ezért p-t felírhatjuk p = π^{e(F)}b alakban, ahol b egy egység. Válasszuk tehát z_{1}-et úgy, hogy z_{1}b = a legyen, és x_{1} := 1 + z_{1}π^{n} ∈ U_{n}. Ezt megtehetjük, hiszen b egység. Ekkor y_{1} := yx_{1}^{−p} ∈ U_{n+e(F)+1}. Ezt folytatva mindig találhatunk egy olyan x_{j+1} ∈ U_{n+j}-et, melyre y_{j+1} := y_{j}x_{j+1}^{−p} ∈ U_{n+e(F)+j+1}. Tehát x := ∏_{j=1}^{∞} x_{j} ∈ U_{n} választással y = x^{p}, és a szorzat konvergens F teljessége miatt.

A (iii)-as állítás már indukcióval könnyen következik a (ii)-esből.

5.1.3. Következmény. Nulla karakterisztikában N > e(F)/(p − 1) esetén U_{N} egy egyenletes pro-p csoport, melynek dimenziója

log_{p} |U_{N} : U_{N+e(F)}| = log_{p} |k_{F} |^{e(F)} = deg(F/ℚ_{p}).

Így, mivel U_{N} kommutatív, U_{N} ≅ ℤ_{p}^{deg(F/ℚ_{p})}.

Megjegyzés: Pozitív karakterisztikában ez nincs így. Az U_{1} = 1 + t · 𝔽[[t]] csoport még csak nem is végesen generált, hiszen Frattini-részcsoportja Φ(U_{1}) = U_{1}^{p}[U_{1}, U_{1}] = U_{1}^{p} = 1 + t^{p}𝔽[[t^{p}]] nem véges indexű.

5.2. Az elágazási részcsoportok

Legyen L/F lokális testeknek egy Galois-bővítése, és G := Gal(L/F) a Galois csoport! Ebben az alfejezetben definiálok egy természetes filtrálást G-n, melyet David Hilbert és tanitványai vezettek be körülbelül 90 évvel ezelőtt. Legyen σ ∈ G. Ekkor minden n ≥ 0-ra a σ testautomorfizmus indukál egy gyűrűautomorfizmust:

σ_{n}: O_{L}/(M_{L})^{n+1} → O_{L}/(M_{L})^{n+1},

mert, ahogy a 2.1.1-es tétel bizonyításából látható, egy lokális test minden automorfizmusa folytonos, sőt megtartja az értékelést. Tehát vannak σ ↦ σ_{n} homomorfizmusaink G-ből az O_{L}/(M_{L})^{n+1} gyűrűk automorfizmuscsoportjába.

5.2.1. Definíció. Jelöljük G[n]-nel a σ ↦ σ_{n} homomorfizmus magját:

G[n] := {σ ∈ G : σ(x) ≡ x (mod (M_{L})^{n+1}) minden x ∈ O_{L}-re} .

A G[n] (n ≥ 1) csoportokat az alsó számozású elágazási csoportoknak (ramification groups in the lower numbering) hívjuk. Ezt a definíciót kiterjeszthetjük valós számokra is:

G[x] := {σ ∈ G : v_{L}(σ(α) − α) ≥ x + 1 minden α ∈ O_{L}-re}.

Ekkor G[x] megegyezik G[i]-vel, ahol i a legkisebb olyan egész szám, melyre i ≥ x. A G[1] csoport az L/F bővítés vad automorfizmusainak csoportja (group of wild automorphisms).

Ez a filtrálás természetesen nemcsak a G csoporttól függ, hanem az L testtől is. Előfordulhat, hogy a G csoport különböző bővítések Galois-csoportjaként is előáll, és ezek különböző filtrálást indukálnak.

5.2.1. Állítás.

(i) A G[n] sorozat normálosztókból áll, melyekre G[−1] = G, és G[m] = 1 elég nagy m-re.

(ii) G[0] = Gal(L/F_{0}), ahol F_{0} az L/F bővítés inerciarészteste.

(iii) Ha F ⊂ M ⊂ L és H = Gal(L/M), akkor H[n] = H ∩ G[n].

(iv) Minden n ≥ 0-ra a σ ↦ (σ(π_{L})/π_{L})U_{n+1,L} leképezés egy injektív

G[n]/G[n + 1] → U_{n,L}/U_{n+1,L}

homomorfizmust indukál.

Bizonyítás. (i) Ha σ ≠ 1, akkor van olyan x ∈ O_{L}, amelyre σ(x) ≠ x, és ezért elég nagy m-re σ(x) ≢ x (mod (M_{L})^{n+1}), azaz σ ∉ G[m]. Mivel G véges, ezért elég nagy m-re G[m] = 1. A másik két állítás nyilvánvaló.

(ii) Jelölje F_{0} maradéktestét k_{0}! Ekkor kommutatív az alábbi diagram:

Gal(L/F) ⟶^{α} Gal(k_{L}/k_{F})
β↓  ^{γ}↓
Gal(F_{0}/F) ⟶^{δ} Gal(k_{0}/k_{F}).

A vízszintes leképezéseket a σ ↦ σ_{0} indukálja. Ez értelmes, hiszen σ_{0} fixen hagyja k_{F} -et. A függőleges leképezések pedig legyenek a megszorítások. Mivel L/F_{0} teljesen elágazó, ezért k_{L} = k_{0}, és γ izomorfizmus. Továbbá F_{0} nem más, mint az x^{p^{f(L/F)}} − x polinom felbontási teste F felett, így δ is izomorfizmus (lásd [18] Proposition 2.11). Tehát

G[0] = Ker(α) = Ker(β) = Gal(L/F_{0}).

(iii) Ez világos G[n] definíciójából.

(iv) Legyen π egy tetszőleges prímeleme L-nek. Ekkor σ ∈ G[n]-ből következik, hogy σ(π)π^{−1} ≡ 1 (mod M_{L}^{n}), azaz σ(π)π^{−1} ∈ U_{n,L}. Másrészt ha π_{1} egy másik prímelem, akkor ππ_{1}^{−1} egység, ezért σ(π)π^{−1} ≡ σ(π_{1})π_{1}^{−1} (mod U_{n+1,L}). Tehát a

φ: G[n] ⟶ U_{n,L}/U_{n+1,L}
σ ⟼ σ(π)π^{−1} (mod U_{n+1,L})

leképezés jóldefiniált. Továbbá ha π prím, akkor σ(π) is az, ezért φ homomorfizmus:

σ_{1}σ_{2}(π)π^{−1} = (σ_{1}(σ_{2}(π))(σ_{2}(π))^{−1}) (σ_{2}(π)π^{−1}) .

Másrészt φ magja

Ker(φ) = {σ ∈ G[n] : σ(π) ≡ π (mod M_{L}^{n+1}) minden π prímre} = G[n + 1],

mert prímek szorzatainak hányadosaként minden egész elem előáll (a nulla kivételével).

Ezt az állítást a 5.1.2-es lemmával összevetve G = Gal(L/F) csoportelméleti tulajdonságairól kapunk információt:

5.2.2. Következmény.

(i) G/G[0] egy f(L/F)-rendű ciklikus csoport.

(ii) G[0]/G[1] szintén ciklikus, és rendje osztja (p^{f(L/F)} − 1)-et.

(iii) Ha n ≥ 1, akkor G[n]/G[n + 1] egy elemi Abel p-csoport, melynek rangja legfeljebb f(L/F).

(iv) G feloldható.

Ahhoz, hogy az elágazási részcsoportokat végtelen Galois-bővítésekre is értelmezni tudjuk, egy új filtrálást kell tekintenünk (vagyis ugyanezt a filtrálást egy másik számozással). A 5.2.1-es állítás (iii)-as pontjában láttuk, hogy G[n] jól viselkedik a részcsoportokra történő megszorításkor. Viszont faktorcsoportok esetén nem ez a helyzet. Általában ha H ◁ G egy normálosztó, akkor (G/H)[n] ≠ G[n]H/H.

Próbáljuk meg illusztrálni a problémát! Tegyük fel, hogy van egy L/K Galois-bővítésünk egy E normális közbülső testtel, és a Galois-csoportok: Gal(L/K) = G, Gal(L/E) = H illetve Gal(E/K) = G/H. Azt a speciális esetet fogjuk tekintetni, amikor a testek L = 𝔽_{p}((t_{L})), E = 𝔽_{p}((t_{E})) és K = 𝔽_{p}((t_{K})). Legyen φ ∈ G! Ekkor

φ(t_{L}) = t_{L} + ∑_{i≥i_{L}(φ)} c_{i}t_{L}^{i}

valamilyen i_{L}(φ) ≥ 1 egész számra, melyre c_{i_{L}(φ)} ≠ 0. Ez a szám határozza meg, hogy a φ automorfizmus melyik elágazási csoportban van benne: φ ∈ G[i_{L}(φ) − 1], de ε > 0 esetén φ ∉ G[i_{L}(φ) − 1 + ε]. Viszont a megszorított hatás E prímelemén lehet ettől különböző:

φ|_{E}(t_{E}) = t_{E} + ∑_{i≥i_{E}(φ|_{E})} d_{i}t_{E}^{i}.

Tegyük fel most, hogy L/E egy p-edfokú ciklikus szeparábilis bővítés! Ekkor t_{E}-t kifejezhetjük t_{L}-lel az alábbi módon:

t_{E} = ∑_{i=p}^{∞} a_{i}t_{L}^{i}, ahol a_{i} ∈ 𝔽_{p}, és a_{p} ≠ 0.  (5.1)

Jobban megérthetjük i_{L}(φ) és i_{E}(φ|_{E}) kapcsolatát, ha összehasonlítjuk a φ(t_{E})-re kapott kétféle kifejezést. Kezdjük először azzal a speciális esettel, amikor φ = g, a H = Gal(L/E) ciklikus csoport generátora. Ebben az esetben i_{E}(g|_{E}) = i_{E}(id_{E}) = ∞.

5.2.2. Definíció. Legyen L/E egy Galois-bővítés egy H = ⟨g⟩ p-edrendű ciklikus Galoiscsoporttal. Ekkor az s(L/E) := i_{L}(g) − 1 számot az L/E bővítés elágazási töréspontjának (ramification break) nevezzük.

Az elnevezés abból a tényből származik, hogy ez az a pont, ahol az elágazási filtrálás megtörik: H[s(L/E)] = H, viszont H[s(L/E) + ε] = 1 tetszőleges pozitív ε-ra. Ez egy fontos szám.

5.2.3. Lemma. Legyen a_{u} az első nem nulla együttható az (5.1)-es kifejezésben, melyre u ≢ 0 (mod p). Ekkor u = s(L/E)(p − 1) + p.

Bizonyítás. Először vegyük észre, hogy létezik ilyen u, hiszen egyébként t_{E} p-edik hatvány lenne L-ben, ami azt jelenti, hogy az L/E bővítés nem lenne szeparábilis. Mivel g(t_{E}) = t_{E}, ezért (5.1)-ből azt kapjuk, hogy

∑_{i=p}^{∞} a_{i}t_{L}^{i} = g (∑_{i=p}^{∞} a_{i}t_{L}^{i}) = ∑_{i=p}^{∞} a_{i} (t_{L} + ∑_{j≥i_{L}(g)} c_{j}t_{L}^{j})^{i} .

Végezzük el a jobb oldalon az i-edik hatványra emelést, és vegyünk el mindkét oldalból ∑_{i=p}^{∞} a_{i}t_{L}^{i}-t. Mivel a karakterisztika p, ezért

0 = a_{p}c_{i_{L}(g)}t_{L}^{pi_{L}(g)} + ua_{u}c_{i_{L}(g)}t_{L}^{u−1}t_{L}^{i_{L}(g)} + (magasabb fokú tagok).

Mivel a_{p}c_{i_{L}(g)} ≠ 0 és ua_{u}c_{i_{L}(g)} ≠ 0, ezért a két fenti tagnak ki kell ejtenie egymást, így fokaik megyeznek: u = (i_{L}(g) − 1)(p − 1) + p = s(L/E)(p − 1) + p.

Használva ezt a kapcsolatot u és s(L/E) között, most már meg tudjuk határozni i_{L}(φ)-t i_{E}(φ|_{E}) és s(L/E) segítségével. A jelölés egyszerűsítése végett legyen s := s(L/E), i_{L} := i_{L}(φ), illetve i_{E} := i_{E}(φ|_{E})!

5.2.4. Lemma.

(i) Ha i_{E} − 1 < s, akkor i_{L} = i_{E}.

(ii) Ha i_{E} − 1 ≥ s és i_{L} − 1 ≠ s, akkor i_{L} − 1 = s + p(i_{E} − 1 − s).

Bizonyítás. Ahogy az előző lemmában, tekintsük φ(t_{E}) kifejezését:

∑_{i=p}^{∞} a_{i}t_{L}^{i} + ∑_{j≥i_{E}} d_{j} (∑_{i=p}^{∞} a_{i}t_{L}^{i})^{j} = t_{E} + ∑_{j≥i_{E}} d_{j}t_{E}^{j}
= φ(t_{E})
= φ (∑_{i=p}^{∞} a_{i}t_{L}^{i})

= ∑_{i=p}^{∞} a_{i} (t_{L} + ∑_{l≥i_{L}} c_{l}t_{L}^{l})^{i} .

Ismét eltüntetjük az egyező ∑_{i=p}^{∞} a_{i}t_{L}^{i} tagokat mindkét oldalról, és a maradékot összehasonlítjuk. A bal oldalon az első tag d_{i_{E}}a_{p}t_{L}^{pi_{E}}. A jobb oldalon két lehetséges tag jön számításba: a_{p}c_{i_{L}}t_{L}^{pi_{L}} és a_{u}t_{L}^{u−1}uc_{i_{L}}t_{L}^{i_{L}}. Tehát vagy pi_{E} = min(pi_{L}, u − 1 + i_{L}) vagy pi_{L} = u − 1 + i_{L} ≤ pi_{E}. Mivel az előző lemma szerint u − 1 = (p − 1)(s + 1), ezért négy esetet különböztetünk meg:

1. eset: pi_{L} < u − 1 + i_{L}. Ekkor i_{L} − 1 < s és i_{E} = i_{L}. Ebben az estben i_{E} − 1 < s.

2. eset: pi_{L} > u − 1 + i_{L}. Ekkor i_{L} − 1 > s és

pi_{E} = u − 1 + i_{L} = (p − 1)(s + 1) + i_{L} > p(s + 1).

Ebből következik, hogy i_{L} − 1 = s + p(i_{E} − 1 − s) és hogy i_{E} − 1 > s.

3. eset: pi_{L} = u − 1 + i_{L} < pi_{E}. Ekkor i_{L} − 1 = s és i_{E} ≥ i_{L}, tehát i_{E} − 1 ≥ s.

4. eset: pi_{L} = u − 1 + i_{L} = pi_{E}. Ebben az esetben i_{E} − 1 = i_{L} − 1 = s. A lemma állítása következik, mert az (i)-es feltevés csak az első esetben, a (ii)-es feltevés pedig csak a második esetben áll fenn.

Megjegyzés: Ha s = i_{L}−1 és a két tag, a_{p}c_{i_{L}}t_{L}^{pi_{L}} és a_{u}t_{L}^{u−1}uc_{i_{L}}t_{L}^{i_{L}} kiejti egymást (a fenti bizonyítás harmadik esete), akkor a következtetés valójában hamis, hiszen i_{E} nagyobb értéket vesz fel, mint ami a lemma állításában szerepel. Például, ha φ a generátora a Gal(L/E) ciklikus csoportnak, akkor s(L/E) = i_{L}(φ) definíció szerint, ugyanakkor φ|_{E} = 1 miatt i_{E}(φ|_{E}) = ∞.

Az i_{L}(φ)−1 kifejezés megmondja, hogy φ melyik tagjában van a filtrálásnak. Tehát ha van egy E/K Galois-bővítésünk, akkor értelmezhetünk egy függvényt, mely megmondja, hogyan változik a filtrálás számozása, amikor áttérünk E/K-ról L/K-ra, ahol L egy p-edfokú teljesen elágazó bővítése E-nek:

h_{L/E}(x) := \begin{cases}x, ha x ≤ s(L/E) \\ s(L/E) + p(x − s(L/E)), ha x > s(L/E). \end{cases}

A 5.2.4-es lemma épp azt állítja, hogy ha G = Gal(L/K), H = Gal(L/E), G/H = Gal(E/K) és |H| = p, akkor

(G/H)[x] = G[h_{L/E}(x)]H/H.

Vegyük észre, hogy a h_{L/E} függvény deriváltja épp az elágazási töréspontban nem folytonos. Ez is indokolja az elnevezést.

Ezt általánosíthatjuk lokális testek tetszőleges Galois-bővítésére. Először legyen (L : E) = l prím!

h_{L/E}(x) := \begin{cases}x, ha L/E elágazásmentes, egyébként \\ lx, ha (l, p) = 1 \\ x, ha x ≤ s(L/E) és l = p \\ s(L/E) + p(x − s(L/E)), ha x > s(L/E) és l = p. \end{cases}

Egy tetszőleges L/K Galois-bővítésre vegyünk egy normális közbülső testekből álló

L = E_{m} > E_{m−1} > ⋯ > E_{1} > E_{0} = K

tornyot, melyre E_{i}/E_{i−1} prímfokú ciklikus bővítés, és legyen

h_{L/K} := h_{L/E_{m−1}} ∘ h_{E_{m−1}/E_{m−2}} ∘ ⋯ ∘ h_{E_{1}/K}!

Ezt megtehetjük, hiszen Gal(L/F) feloldható a 5.2.2-es következmény szerint. Ezt a

h_{L/F} : [−1, ∞) → [−1, ∞)

függvényt nevezzük a bővítés Hasse-Herbrand függvényének. Be lehet látni, hogy a definíció nem függ a közbülső testek választásától, szakaszonként lineáris és szigorúan monoton nő. Ez utóbbi két állítás triviális a definicióból, az elsőhöz viszont a Hasse-Herbrand függvénynek a normaleképezéssel való kapcsolatát kell megvizsgálni (lásd [14] Chapter III. Section 3). Továbbá

5.2.5. Tétel (Herbrand, [14]). Legyenek L ≥ E ≥ K lokális testek úgy, hogy mindegyik bővítés Galois, és G := Gal(L/K), illetve H := Gal(L/E)! Ekkor

(G/H)[h_{E/K}(x)] = G[h_{L/K}(x)]H/H.

Vegyük észre, hogy az állítás implicite tartalmazza azt a tényt, hogy i_{L}(φ) − 1 = s(L/E) esetén – melyet kizártunk az 5.2.4-es lemmában – van olyan ψ ∈ G, melyre ψ|_{E} = φ|_{E} és i_{L}(ψ) ≠ s(L/E) és így az előző lemma miatt i_{L}(ψ) − 1 = h_{L/E}(i_{E}(ψ|_{E}) − 1). Például amikor φ a generátora a ciklikus bővítésnek, akkor ψ = 1 vehető.

Használva ezt a függvényt átszámozhatjuk az elágazási részcsoportokat úgy, hogy megmaradjanak hányadosra való áttéréskor:

5.2.3. Definíció. Legyen G az L/K bővítés Galois-csoportja! Ekkor a felső számozású elágazási csoportokat az alábbi módon értelmezzük:

G(x) := G[h_{L/K}(x)].

5.2.6. Állítás. Legyen H ◁ G normálosztó a G Galois-csoportban. Ekkor (G/H)(x) = G(x)H/H.

Az alábbi következmény a definícióból közvetlenül levezethető:

5.2.7. Következmény. A Hasse-Herbrand függvény baloldali deriváltja |G(0) : G(x)|, jobb oldali deriváltja pedig szintén |G(0) : G(x)|, ha h_{L/K}(x) nem egész, és |G[0] : G[h_{L/K}(x) + 1]|, ha h_{L/K}(x) egész.

Megjegyzés: A Hasse-Herbrand függvényt úgy is lehet definiálni, mint a

φ_{L/K}(x) := ∫_{0}^{x} \frac{dt}{|G[0] : G[t]|}

függvény inverze.

5.3. Végtelen Galois-bővítések

Eddig véges testbővítésekkel foglalkoztunk. Most tekintsünk egy L/K végtelen Galoisbővítést, és írjuk fel L-et véges bővítések L = ⋃_{i∈I} K_{i} egyesítéseként. Ezt tetszőleges algebrai bővítés esetén megtehetjük. A Gal(L/K) Galois-csoportot egy pro-véges csoportnak definiáljuk: Gal(L/K) := \underleftarrow{lim} Gal(K_{i}/K). Az összekötő leképzések a természetes faktorleképezések. Ha úgy akarjuk értelmezni az elágazási részcsoportokat egy ilyen végtelen Galois-bővítésre, mint a véges részbővítések elágazási részcsoportjainak inverz limesze, akkor szükségünk van arra, hogy ezek az elágazási részcsoportok megmaradjanak a faktorleképezéseknél. Ezen a módon tehát csak felső számozású elágazási csoportokat tudunk értelmezni.

5.3.1. Definíció. Legyen L/K egy végtelen Galois-bővítése a K lokális testnek, és a Galoiscsoport G := Gal(L/K). Ekkor egy w ∈ [−1, ∞) valós számra a felső számozású elágazási részcsoportja G-nek

G(w) = \underleftarrow{lim} Gal(K_{i}/K)(w),

ahol L = ⋃_{i∈I} K_{i} a véges részbővítések egyesítése.

Megjegyzés: Ha L végtelen algebrai bővítése a K lokális testnek, akkor L-re kiterjeszthető K értékelése egy v_{L}: L^{∗} → ℚ homomorfizmussal, melyre v_{L}|_{K} = v_{K}: K^{∗} → ℤ. Tehát ez az értékelés nem lesz feltétlenül diszkrét, és L nem is lesz teljes az indukált topológiával. Viszont az egészek gyűrűjét, és annak maximális idálját, továbbá a maradéktestet hasonlóképpen értelmezhetjük: O_{L} := {x ∈ L : v_{L}(x) ≥ 0}, M_{L} := {x ∈ L : v_{L}(x) > 0}, és k_{L} := O_{L}/M_{L}. Továbbá L Hensel-féle test lesz – mely általánosítja a teljes, diszkréten értékelt test fogalmát: Ha f(x), g_{0}(x), h_{0}(x) ∈ O_{L}[x] olyan egész együtthatós polinomok, melyek főegyütthatója 1, és f(x) ≡ g_{0}(x)h_{0}(x) (mod M_{L}[x]), akkor léteznek olyan 1-főegyütthatós, egész együtthatós g, h polinomok, melyekre f(x) = g(x)h(x), g(x) ≡ g_{0}(x) (mod M_{L}[x]) és h(x) ≡ h_{0}(x) (mod M_{L}[x]).

5.3.1. Állítás. Ha G_{i}(w)-vel jelöljük Gal(K_{i}/K)(w) ősképét G-ben, akkor

G(w) = ⋂_{i∈I} G_{i}(w).

Bizonyítás. Mivel az inverz-limesz definíciójában a leképezések szürjektívek, ezért a

φ_{i}: G → Gal(K_{i}/K)

leképezések is szürjektívek, továbbá φ_{i}(G(w)) = Gal(K_{i}/K)(w). Tehát G_{i}(w) = G(w)Ker(φ_{i}), és így a 1.1.1-es állítás miatt

G(w) = \overline{G(w)} = ⋂_{i∈I} G(w)Ker(φ_{i}) = ⋂_{i∈I} G_{i}(w),

hiszen G(w) kompakt halmazok inverzlimesze, tehát kompakt, és mivel egy pro-véges csoport Hausdorff tér, ezért zárt is.

5.3.2. Definíció. Az L/K bővítés felső elágazási töréspontjainak (upper ramification breaks) B(L/K) halmaza azon x racionális számokból áll, melyekre van egy olyan véges M/K részbővítése L/K-nak, melyre

Gal(M/K)(x + ε) ≠ Gal(M/K)(x)

tetszőleges ε > 0 esetén. Az L/K bővítés vad automorfizmusai a Gal(L/K)(1)-beli automorfizmusok.

Megjegyzés: Ez a definíció különbözik az elágazási töréspontok szokásos definíciójától: azon x-ek halmaza, melyekre Gal(L/K)(x + ε) ≠ Gal(L/K)(x) tetszőleges ε > 0-ra. Ezek épp a felső elágazási töréspontok, és csökkenő sorozataik limeszei [23].

Bizonyítás. Vegyük észre, hogy adott ε > 0-ra Gal(L/K)(x + ε) ≠ Gal(L/K)(x) ekvivalens azzal, hogy valamely K_{i} véges részbővítésre Gal(K_{i}/K)(x + ε) ≠ Gal(K_{i}/K)(x).

5.3.3. Definíció. Egy L/F Galois-bővítést mélyen elágazónak (deeply ramified) nevezünk, ha a felső elágazási töréspontjainak halmaza nem korlátos. A bővítés aritmetikailag pro-véges (arithmetically profinite), ha a Gal(L/F)(x) felső elágazási csoportok nyíltak Gal(L/F)-ben.

Megjegyzés: A mélyen elágazó bővítéseket számos matematikus (többek között Tate és Iwasawa) munkája tette híressé. Coates és Greenberg [8] belátta, hogy ezek a bővítések jó általánosításai a ℤ_{p}-bővítéseknek. Speciálisan Tate eredményeit [34] is ki lehet terjeszteni, és alkalmazni lehet Abel-féle varietások Kummer-elméletében.

5.3.2. Állítás. Egy L/F Galois-bővítés pontosan akkor mélyen elágazó, ha tetszőleges x-re a Gal(L/F)(x) elágazási részcsoport nemtriviális.

Bizonyítás. Ha Gal(L/F)(x) triviális valamilyen x-re, akkor x felső korlátja a töréspontok halmazának. Megfordítva tegyük fel, hogy van egy ilyen x korlát. Ekkor Gal(L/F)(y) = Gal(L/F)(x) minden y ≥ x-re. De minden N nyílt normálosztóra Gal(L/F)(y)N = N elég nagy y-ra, ami azt jelenti, hogy Gal(L/F)(x)N = N minden N ◁_{o} Gal(L/F)-re, tehát Gal(L/F)(x) = 1.

5.3.3. Következmény. Egy aritmetikailag pro-véges bővítés mélyen elágazó.

5.3.4. Állítás. A következők ekvivalensek:

(i) L/F aritmetikailag pro-véges;

(ii) L/F inerciarészteste véges fokú F felett és minden x-re a h_{M/F} (x) sorozatnak van határértéke, ha M az L/F véges részbővítésin fut végig.

Bizonyítás. Jelöljük G := Gal(L/F)-fel a Galois-csoportot. Először is vegyük észre, hogy L/F inerciateste pontosan akkor véges fokú F felett, ha (G : G(0)) véges (azaz G(0) nyílt), hiszen G(0) = G[0] fixteste épp az inerciarésztest az 5.2.1-es állítás miatt. Egyik irány: (ii) ⇒ (i). Elég belátni, hogy G(x) nyílt G(0)-ban. Az 5.2.7-es következmény szerint h_{M/F} (x) grafikonjának meredeksége mindig egész szám, mert valamilyen elágazási részcsoport indexe. Írjuk fel L-et L_{i} véges fokú közbülső testek felszálló úniójaként! Mivel h_{L_{i}/F} (x)-nek van határértéke, ezért tetszőleges a > 0-ra van olyan j egész, hogy h_{L_{i}/L_{j}} (bal vagy jobb oldali) deriváltja minden x < h_{L_{j}/F} (a) és i > j esetén 1. Tehát h_{L_{i}/F} grafikonjának a alatti része nem változik. Tehát h_{L_{i}/F} (x) = h_{L_{j}/F} (x) minden i > j-re és x < a-ra. Most ha G_{i}(x)-szel jelöljük Gal(L_{i}/F)(x) ősképét, akkor G(x) = ⋂ G_{i}(x), és a 5.2.7-es következmény szerint G_{i}(x) indexe G(0)-ban állandó (mégpedig h_{L_{j}/F} bal oldali deriváltja x-ben). Tehát mivel G(0) véges indexű, ezért G(x) is, ami azt jelenti, hogy L/F aritmetikailag pro-véges.

Másik irány: (i) ⇒ (ii). Ha G(a) nyílt valamilyen a-ra, akkor valamilyen j egész számra G_{i}(x) = G(x) minden i > j és x < a esetén. Ebből következik, hogy h_{L_{i}/L_{j}} deriváltja 1 minden x < h_{L_{j}/F} (a)-ra. Tehát h_{L_{i}/F} (x) = h_{L_{j}/F} (x), ha i > j és x < a, ezért h_{L_{i}/F} (x)-nek van határértéke.

5.3.4. Definíció. Ilymódon értelmezhetjük egy L/F aritmetikailag pro-véges bővítés Hasse-Herbrand függvényét:

h_{L/F} (x) := lim h_{M/F} (x),

ahol M a véges fokú közbülső testeken fut végig. Továbbá az alsó számozású elágazási részcsoportok:

Gal(L/F)[x] := Gal(L/F)(h_{L/F}^{−1} (x)).

5.3.5. Következmény. Ha L/F aritmetikailag pro-véges, akkor a töréspontok diszkrét halmazt alkotnak.

Bizonyítás. Tetszőleges a > 0-ra az a alatti töréspontok pontosan az L_{j}/F véges bővítés töréspontjai, hiszen h_{L_{i}/F} grafikonja a alatt megegyezik h_{L_{j}/F} grafikonjával. Tehát a (0, a) intervallum csak véges sok töréspontot tartalmaz, azaz a töréspontok halmaza diszkrét.

5.3.6. Következmény. Ha L/F egy aritmetikailag pro-véges bővítés, akkor a p-hez relatív prím fokú részbővítések egyesítése véges fokú F felett, speciálisan Gal(L/F) virtuálisan pro-p csoport.

Bizonyítás. Láttuk, hogy az F_{0} inerciarésztest véges fokú F felett. Ha |M : F_{0}| relatív prím p-hez, akkor h_{M/F} (x) ≥ h_{M/F_{0}}(x) = |M : F_{0}|x, mert L/F_{0} teljesen elágazó. Node h_{M/F} (x) korlátos, tehát készen vagyunk.

A következő lemma és állítás Camina tételének bizonyításában játszik fontos szerepet, mely szerint minden megszámlálható bázisú pro-p csoport beágyazható a Nottingham csoportba.

5.3.7. Lemma. Legyen L = ⋃_{i≥1} 𝔽_{p}((t_{i})) p-karakterisztikájú lokális testek egy tornya úgy, hogy mindegyik közbülső test p-edfokú teljesen elágazó bővítése az előzőnek. Ha az s_{i} := s(𝔽_{p}((t_{i+1}))/𝔽_{p}((t_{i}))) elágazási töréspontok egy növekvő sorozatot alkotnak, akkor a felső elágazási töréspontok halmaza

B(L/𝔽_{p}((t_{1}))) = {s_{1} + (s_{2} − s_{1})p^{−1} + ⋯ + (s_{i} − s_{i−1})p^{−(i−1)} : i ≥ 1} .

Bizonyítás. Először belátjuk, hogy ezek töréspontok. Legyen G_{i} := Gal(𝔽_{p}((t_{i+1}))/𝔽_{p}((t_{1}))) és helyettesítsünk x = s_{1} + (s_{2} − s_{1})p^{−1} + ⋯ + (s_{i} − s_{i−1})p^{−(i−1)}-et a

G_{i}(x)G_{i−1}/G_{i−1} = G_{i}[h_{𝔽_{p}((t_{i+1}))/𝔽_{p}((t_{1}))}(x)]G_{i−1}/G_{i−1}
= (G_{i}/G_{i−1})[h_{𝔽_{p}((t_{i}))/𝔽_{p}((t_{1}))}(x)]
= (G_{i}/G_{i−1})[s_{i}]

egyenletbe! Mivel s_{i} az elágazási töréspontja 𝔽_{p}((t_{i+1}))/𝔽_{p}((t_{1}))-nek, ezért G_{i}(x)G_{i−1} = G_{i}, de minden ε > 0-ra G_{i}(x + ε)G_{i−1} = G_{i−1}, azaz x ∈ B(L/𝔽_{p}((t_{1}))). Visszafelé alkalmazva az érvelést láthatjuk, hogy más töréspont nincs.

5.3.8. Állítás. Legyen L mint az előző lemmában. Ekkor a következők ekvivalensek:

(i) L/𝔽_{p}((t_{1})) aritmetikailag pro-véges;

(ii) L/𝔽_{p}((t_{1})) mélyen elágazó;

(iii) s_{1} + (s_{2} − s_{1})p^{−1} + ⋯ + (s_{i} − s_{i−1})p^{−(i−1)} → ∞, ha i → ∞.

Bizonyítás. Az előző lemma miatt (ii) és (iii) ekvivalenciája triviális, az 5.3.3-as következmény szerint pedig (i)-ből következik (ii). Továbbá

h_{𝔽_{p}((t_{j}))/𝔽_{p}((t_{1}))}(s_{1} + (s_{2} − s_{1})p^{−1} + ⋯ + (s_{j} − s_{j−1})p^{−(j−1)}) = s_{j} ≤ s_{i}

és h_{𝔽_{p}((t_{i+1}))/𝔽_{p}((t_{i}))}(x) = x, ha x < s_{i}. Tehát h_{𝔽_{p}((t_{i}))/𝔽_{p}((t_{1}))}(x) = h_{𝔽_{p}((t_{j}))/𝔽_{p}((t_{1}))}(x) minden x < s_{1}+(s_{2}−s_{1})p^{−1}+⋯+(s_{j} −s_{j−1})p^{−(j−1)} és i ≥ j-re, azaz h_{𝔽_{p}((t_{i}))/𝔽_{p}((t_{1}))}(x)-nek van határértéke, ha x < sup B(L/𝔽_{p}((t_{1}))).

A következő Fontaine-től és Wintenbergertől ([15] és [37]) származó konstrukció rávilágít az aritmetikailag pro-véges bővítések és a Nottingham csoport kapcsolatára. Ha L ≥ M_{1} ≥ M_{2} ≥ F, ahol M_{1} és M_{2} véges bővítések, akkor az N_{M_{1}/M_{2}} normaleképezés ad egy M_{1}^{∗}-ból M_{2}^{∗}- ba menő homomorfizmust. Ekkor értelmezhetjük a multiplikatív csoportok inverz limeszét:

N(L/F)^{∗} := \underleftarrow{lim} M^{∗},

ahol M a véges részbővítéseken fut végig, az összekötő leképezések pedig a normaleképezések. Ha L/F aritmetikailag pro-véges, akkor az N(L/F)^{∗}-ot nullával kiegészítve, a kapott halmazon megadhatunk egy összeadást is, amellyel N(L/F) := N(L/F)^{∗} ∪ {0} test lesz:

5.3.5. Definíció. Legyen a = (a_{M}) és b = (b_{M}) (a_{M}, b_{M} ∈ M^{∗}) két normakompatibilis sorozat N(L/F)^{∗}-ban! Ekkor a szorzást N(L/F)^{∗}-on komponensenként definiáljuk: a · b = (a_{M}b_{M}). A két elem összege pedig legyen (a_{M}) + (b_{M}) := (c_{M}), ahol c_{M} := lim_{E} N_{E/M}(a_{E} + b_{E}), és E az L/M bővítés véges fokú közbülső testein fut végig. Itt megengedjük a (0_{M}) normakompatibilis sorozatot is.

Az összeadás definíciója azon alapul, hogy egyre feljebb végezzük el a műveletet, és aztán levetítjük a kisebb résztestekre. Ez az egyenletes pro-p csoportokon definiált összeadásra emlékeztet, ahol

g + h := lim_{n→∞}(g^{p^{n}}h^{p^{n}})^{p^{−n}},

ha g és h a G egyenletes pro-p csoport két eleme.

5.3.9. Tétel. Legyen L/F egy aritmetikailag pro-véges bővítés!

(1) Ekkor az így definiált N(L/F) := N(L/F)^{∗} ∪ {0} egy teljes, diszkréten értékelt p-karakte-risztikájú test a v_{N}((a_{M})) := v_{K}(a_{K}) értékeléssel, ahol K egy olyan véges részbővítés, mely tartalmazza L/F inerciarésztestét. N(L/F) maradékteste izomorf L maradéktestével, és t_{N} = (π_{M}) egy prímelem, ha (π_{M}) egy prímekből álló normakompatibilis sorozat. Ilymódon az N(L/F) test izomorf az L maradékteste feletti formális Laurent-sorok testével.

(2) Ha L/F még teljesen elágazó bővítés, melynek minden véges részbővítése p-hatvány fokú, akkor L minden τ F -automorfizmusához hozzárendelhetünk egy σ vad automorfizmusát a normák testének: σ((π_{M})) := (τπ_{M}). A τ ↦ σ leképezés a Gal(L/F) Galois csoport beágyazása N(L/F) vad automorfizmusainak csoportjába.

5.3.6. Definíció. Az így kapott testet nevezzük az L/F bővítéshez tartozó normák testének (field of norms).

A bizonyítás az alábbi két (technikai) lemmán múlik ([14] Chapter III):

5.3.10. Lemma. Legyen L/F véges szeparábilis bővítés. Ekkor ε ∈ O_{L} esetén

h_{L/F} (v_{F} (N_{L/F} (ε) − 1)) ≥ v_{L}(ε − 1),

és ha α ∈ L, β ∈ F elemekre v_{L}(α − β) > 0, akkor

h_{L/F} (v_{F} (N_{L/F} (α) − β)) ≥ v_{L}(α − β).

5.3.11. Lemma. Legyen M′/M egy teljesen elágazó p-hatvány fokú bővítés! Ekkor

v_{M} (N_{M′/M}(α + β) − N_{M′/M}(α) − N_{M′/M}(β)) ≥ \frac{(p − 1)q(M′/M)}{p}

α, β ∈ O_{M′}-re. Ha α ∈ O_{M}, akkor létezik olyan β ∈ O_{M′}, melyre

v_{M} (N_{M′/M}(β) − α)) ≥ \frac{(p − 1)q(M′/M)}{p},

ahol q(M′/M) := sup{x ≥ 0 : h_{M′/M}(x) = x}.

Az 5.3.9-es tétel bizonyítása. Az 5.3.4-es állítás és az 5.3.6-os következmény miatt az állítást elég belátni teljesen elágazó bővítésekre, melyeknek minden részbővítése p-hatvány fokú. Ekkor L-et felírhatjuk L = ⋃_{i=0}^{∞} L_{i} alakban, ahol L_{i−1} ≥_{p} L_{i}, és L_{0} = F, továbbá ha (α_{L_{i}}) egy normakompatibilis sorozat, akkor – mivel a bővítések teljesen elágazóak – minden i, j ∈ ℕre v_{L_{i}}(α_{L_{i}}) = v_{L_{j}}(α_{L_{j}}). Először belátjuk, hogy az összeadás jóldefiniált, azaz rögzített j-re az N_{L_{i}/L_{j}}(α_{L_{i}} + β_{L_{i}}) sorozat konvergens. Először tegyük fel, hogy α_{F} , β_{F} ∈ O_{F}! Ekkor az 5.3.11-es lemma miatt ha i ≥ k, akkor

N_{L_{i}/L_{k}}(α_{L_{i}} + β_{L_{i}}) ≡ α_{L_{k}} + β_{L_{k}} (mod M_{L_{k}}^{a_{k}}),  (5.2)

ahol a_{k} = (p − 1)q(L/L_{k})/p ≤ (p − 1)q(L_{i}/L_{k})/p. Másrészt a Hasse-Herbrand függvény korlátossága miatt a_{k} → ∞, ha k → ∞, és így i ≥ k ≥ j esetén az 5.3.10-es lemma miatt

v_{L_{j}} (N_{L_{i}/L_{j}}(α_{L_{i}} + β_{L_{i}}) − N_{L_{k}/L_{j}}(α_{L_{k}} + β_{L_{k}})) ≥ h_{L_{k}/L_{j}}^{−1}(a_{k}) ≥ h_{L/L_{j}}^{−1}(a_{k}),

azaz az N_{L_{i}/L_{j}}(α_{L_{i}} + β_{L_{i}}) sorozat Cauchy, tehát konvergens. Az általános esethez először konstruálunk egy prímekből álló normakompatibilis sorozatot. Legyen k egy olyan index, melyre a_{k} > 1, és γ_{L_{k}} ∈ L_{k} egy prímelem. Ekkor az 5.3.11-es lemma alapján tudunk egy olyan γ_{L_{i}} ∈ L_{i} sorozatot konstruálni, melyre

v_{L_{i}}(N_{L_{i+1}/L_{i}}(γ_{L_{i+1}}) − γ_{L_{i}}) ≥ a_{i}.

Így indukcióval és alkalmazva (5.2)-t azt kapjuk, hogy

v_{L_{i}}(N_{L_{j}/L_{i}}(γ_{L_{j}}) − γ_{L_{i}}) ≥ a_{i}, ha j ≥ i ≥ k.

Ezért az 5.3.10-es és az 5.3.11-es lemma miatt

v_{L_{s}}(N_{L_{j}/L_{s}}(γ_{L_{j}}) − N_{L_{i}/L_{s}}(γ_{L_{i}})) ≥ h_{L_{i}/L_{s}}^{−1}(a_{i}) ≥ h_{L/L_{s}}(a_{i})

minden j ≥ i ≥ s ≥ k-ra. Mivel h_{L/L_{s}}^{−1}(a_{i}) → ∞, ha i → ∞, tehát létezik a δ_{L_{s}} := lim_{i→∞} N_{L_{i}/L_{s}}(γ_{L_{i}}) határérték, és ha j < k-ra δ_{L_{j}} := N_{L_{k}/L_{j}}δ_{L_{k}}-t vesszük. akkor egy (δ_{L_{i}}) ∈ N(L/F) elemet kapunk, melyre v_{N}((δ_{L_{i}})) = 1.

Most mivel egész elemekre már tudjuk, hogy az összeadást definiáló határérték létezik, ezért egy tetszőleges (α_{L_{i}}), (β_{L_{i}}) ∈ N(L/F) pár esetén leoszthatunk (δ_{L_{i}}) megfelelő, mondjuk min(v_{N}((α_{L_{i}})), v_{N}((β_{L_{i}})))-edik hatványával, és azt kapjuk, hogy az összeadás ezeken az elemeken is értelmes. A kommutativitás, az asszociativitás, és a disztributivitás nyilvánvaló, tehát N(L/F) test, melynek v_{N} egy diszkrét értékelése. Továbbá mivel 1 = (1_{L_{i}}), ezért p = (α_{L_{i}}), ahol

α_{L_{i}} = lim_{j→∞} N_{L_{j}/L_{i}}(p) = lim_{j→∞} p^{|L_{j}:L_{i}|} = 0,

tehát charN(L/F) = p.

A teljességhez vegyünk egy A^{(n)} = (α_{L_{i}}^{(n)} ∈ N(L/F)) Cauchy-sorozatot. Feltehetjük, hogy v_{N}(A^{(n)}) ≥ 0. A Cauchy tulajdonság azt jelenti, hogy van olyan n_{i}, melyre

v_{L_{i}}(α_{L_{i}}^{(n)} − α_{L_{i}}^{(m)}) ≥ a_{i}, ha n, m ≥ n_{i}.

Alkalmazva (5.2)-t azt kapjuk, hogy

v_{L_{i}}(N_{L_{j}/L_{i}}(α_{L_{j}}^{(n_{j})}) − α_{L_{i}}^{(n_{i})}) ≥ a_{i}.

Az 5.3.10-es és az 5.3.11-es lemma miatt

v_{L_{s}}(N_{L_{i}/L_{s}}(α_{L_{i}}^{(n_{i})}) − N_{L_{j}/L_{s}}(α_{L_{j}}^{(n_{j})})) ≥ h_{L/L_{s}}^{−1}(a_{i}) → ∞,

ha i ≥ j → ∞. Így α′_{L_{s}} := lim_{i→∞} N_{L_{i}/L_{s}}(α_{L_{i}}^{(n_{i})})-t véve egy olyan A′ = (α′_{L_{i}}) ∈ N(L/F) elemet kapunk, melyre A′ = lim A^{(n)}.

Mivel v_{N}((α_{L_{i}})) = v_{F} (α_{F}), ezért O_{N(L/F)}/M_{N(L/F)} ≅ O_{F} /M_{F} ≅ O_{L}/M_{L}, hiszen L/F - ről feltettük, hogy teljesen elágazó.

Végezetül a

Gal(L/F) ⟶ AutN(L/F)
τ ⟼ σ

homomorfizmus nyilván injektív. Node a (2)-es esetben Gal(L/F) egy pro-p csoport, és AutN(L/F) pro-p része pedig épp a vad automorfizmusok csoportja.

A definícióból közvetlenül következik az alábbi állítás:

5.3.12. Állítás.

(1) Egy aritmetikailag pro-véges bővítés minden végtelen részbővítése is aritmetikailag provéges.

(2) Ha egy M/K végtelen Galois-bővítésnek van olyan L/K aritmetikailag pro-véges részbővítése, melyre (M : L) < ∞, akkor M/K is aritmetikailag pro-véges.

Megjegyzés: Az aritmetikailag pro-véges bővítések fogalmát – komolyabb testelméleti eszközökkel – lehet általánosítani szeparábilis (nem feltétlenül Galois-) bővítésekre, és igaz marad a (2)-es állítás a következő formában is: Ha az L/F Galois-bővítés aritmetikailag pro-véges, akkor L tetszőleges véges szeparábilis M bővítésére M/K is aritmetikailag pro-véges.

5.3.7. Definíció. Ha L/F aritmetikailag pro-véges, és K egy Galois-bővítése L-nek, akkor N(K, L/F) legyen az összes olyan N(E/F) kompozíciója, ahol E/F végigfut K/F azon Galois részbővítésein, melyekre (E : L) < ∞. A W normák teste funktor egy L/F aritmetikailag pro-véges bővítéshez hozzárendeli N(L/F)-et, és L minden K Galois-bővítéséhez pedig N(K, L/F)-et, és Gal(K/L) ≅ Gal(N(K, L/F)/N(L/F)) ≤ Gal(N(K/F)/N(L/F))-et.

5.4. N aritmetikailag pro-véges részcsoportjai

Legyen L/F egy aritmetikailag pro-véges bővítés, melyre L maradékteste k_{L} = 𝔽_{q} véges test. Ekkor a normák teste vad automorfizmusainak csoportja épp a N (𝔽_{q}) Nottingham csoport. Tehát egy teljesen elágazó aritmetikailag pro-véges pro-p-bővítés Galois-csoportja a Nottingham csoportba ágyazódik be a „normák teste” funktor által. Érdekes tudni, hogy a Gal(L/F)(x) felső elágazási részcsoportok hová képződnek ennél a beágyazásnál. Az N_{i} részcsoportok analógok az alsó számozású elágazási részcsoportokhoz, ezért természetes a következő definíció:

5.4.1. Definíció. Ha G ≤_{c} N egy zárt részcsoport, akkor legyen G_{i} := G∩N_{i} és G_{y} := G_{⌈y⌉}! Bevezetjük a következő függvényt:

φ_{G}(x) := ∫_{0}^{x} \frac{dy}{|G : G_{y}|}.

Ekkor G-t a Nottingham csoport egy aritmetikailag pro-véges részcsoportjának nevezzük, ha, ha lim_{x→∞} φ_{G}(x) = +∞. Ebben az esetben legyen ψ_{G}(x) a φ_{G}(x) függvény inverze, és G(x) := G_{ψ_{G}(x)}. A ψ_{G}(x) függvény szakadási pontjait hívjuk a G részcsoport felső töréspontjainak.

5.4.1. Állítás. Legyen L/F egy teljesen elágazó aritmetikailag pro-véges pro-p-bővítés, és jelöljük G-vel a Gal(L/F) Galois-csoport képét N -ben. Ekkor minden x-re a Gal(L/F)(x) csoport képe G(x).

Bizonyítás. Írjuk fel először L-et véges Galois-bővítések L = ⋃_{i≥1} L_{i} felszálló uniójaként! Elég belátni, hogy tetszőleges n egész számra a Gal(L/F)[n] alsó elágazási csoport G_{n}-re képződik, hiszen ekkor Gal(L/F) = Gal(L/F)[0] miatt

h_{L/F}^{−1} (x) = ∫_{0}^{x} \frac{dy}{|Gal(L/F) : Gal(L/F)[y]|} = ∫_{0}^{x} \frac{dy}{|G : G_{y}|}.

Ez pedig nyilvánvaló, mert σ ∈ Gal(L/F)[n] pontosan akkor áll fenn, ha elég nagy i-re σ|_{L_{i}} ∈ Gal(L_{i}/F)[n], azaz ha α_{i} ∈ O_{L_{i}}-re v_{L_{i}}(σα_{i} −α_{i}) ≥ n+1. Node ez pedig épp azt jelenti,

hogy v_{N}((σα_{i}) − (α_{i})) = lim_{i→∞} v_{F} (N_{L_{i}/F} (σα_{i} − α_{i})) = lim_{i→∞} v_{L}(σα_{i} − α_{i}) ≥ n + 1, azaz a σ-hoz

tartozó τ benne van N_{n}-ben.

5.4.2. Állítás. Legyen G egy aritmetikailag pro-véges részcsoportja N -nek! Ekkor G Hausdorff dimenziója hdimG = 0.

Bizonyítás. Tegyük fel az állítással ellentétben, hogy ξ := hdimG > 0. Ekkor van egy olyan 0 < ε < ξ és egy N ∈ ℤ^{+}, melyre minden n ≥ N egész szám esetén

\frac{log |G : G_{n}|}{(n − 1) log p} = \frac{log |GN_{n} : N_{n}|}{log |N : N_{n}|} > ε.

Tehát

lim_{x→∞} φ_{G}(x) = lim_{x→∞} ∫_{0}^{x} \frac{dy}{|G : G_{y}|}
= lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{|G : G_{k}|}

= ∑_{k=1}^{∞} p^{− log |G:G_{k}|}

≤ ∑_{k=1}^{N−1} p^{− log |G:G_{k}|} + ∑_{k=N}^{∞} p^{−(k−1)ε log p}
< ∞.

Ez pedig ellentmondás.

Felvetődik a kérdés, hogy N mely aritmetikailag pro-véges részcsoportjai állnak elő a normák teste funktor képeként. Wintenberger belátta a következőt:

5.4.3. Tétel (Wintenberger, [36]). Minden G ≤ N kommutatív részcsoportra van olyan L/F aritmetikailag pro-véges bővítés, melyre W (Gal(L/F)) = G.

Megjegyzés: Speciálisan minden Abel-féle részcsoport aritmetikailag pro-véges, és 0 Hausdorff dimenziós.

5.4.4. Tétel (C. Leedham-Green, A. Weiss [6]). Minden véges p-csoport beágyazható az N Nottingham csoportba.

Bizonyítás. Az állítást elég belátni N = N (𝔽_{p})-re, hiszen ha q = p^{f}, akkor N (𝔽_{q}) ≤ N (𝔽_{p}). Legyen H egy véges p-csoport! Ekkor E. Witt eredménye [38] [39] szerint létezik egy teljesen elágazó K bővítése 𝔽_{p}((t))-nek, melyre H ≅ Gal(K/𝔽_{p}((t))). Mivel a bővítés teljesen elágazó, ezért K ≅ 𝔽_{p}((t)). Tehát H izomorf Aut(𝔽_{p}((t))) ≅ A(𝔽_{p}) egy részcsoportjával. És így |A(𝔽_{p}) : N (𝔽_{p})| = p − 1 miatt H izomorf N (𝔽_{p}) egy részcsoportjával.

5.4.5. Következmény ([6]). N nem lineáris semmilyen test felett sem.

Bizonyítás. Ez az előző tételből következik, hiszen rögzített dimenzióban egy feloldható lineáris csoport feloldható hossza korlátos [35].

Az 5.4.4-as tételt szeretnénk általánosítani megszámlálható bázisú pro-p csoportokra. A megfelelő Galois-elméleti eredmény a rendelkezésre áll. Vegyünk ugyanis egy G megszámlálható bázisú pro-p csoportot. Ekkor feltehetjük, hogy G = \underleftarrow{lim} G_{i}, ahol (G_{i})_{i∈ℕ} véges p-csoportok egy inverz rendszere, melyben a leképezések epimorfizmusok, és minden i-re a G_{i+1} → G_{i} epimorfizmusok magja p-elemű. Legyen F := 𝔽_{p}((t))! Tegyük fel, hogy valamilyen i-re találunk egy K_{i}/F teljesen elágazó bővítést, melyre G_{i} ≅ Gal(K_{i}/F). Ekkor Iwasawa [19] eredménye szerint a G_{i+1} csoportot előállíthatjuk egy teljesen elágazó K_{i+1}/F bővítés Galoiscsoportjaként, ahol F ≤ K_{i} ≤ K_{i+1}, és a Gal(K_{i+1}/F) → Gal(K_{i}/F) megszorítás megegyezik a megadott G_{i+1} → G_{i} leképezéssel. Így egy L = ⋃ K_{i} testet konstruálhatunk rekurzívan, melyre Gal(L/F) = \underleftarrow{lim} Gal(K_{i}/F) = G. Ha L ≅ 𝔽_{p}((t)) lenne, akkor G ≤ Aut(L) miatt G egy beágyazását kapnánk a Nottingham csoportba. De L általában nem lokális test, és nem is diszkrét az értékelése. Viszont ha el tudnánk érni, hogy L/F aritmetikailag pro-véges legyen, akkor G-t be tudnánk ágyazni a normák teste vad automorfizmusainak csoportjába, ami épp az N (𝔽_{p}) Nottingham csoport. Ez az ötlete Fesenko bizonyításának Camina tételére.

Jelöljük a megfelelő elágazási töréspontokat

s_{i} := s(K_{i+1}/K_{i})-vel!

Ekkor az 5.3.8-as állítás fényében csak azt kell elérni, hogy ezen s_{i} számok elég gyorsan nőjenek. Szükségünk lesz a következő közismert állításra:

5.4.6. Állítás. Minden p-edfokú L/K Galois-bővítése egy p-karakterisztikájú K testnek Artin-Schreier bővítés, azaz K(β) alakba írható, ahol β az

x^{p} − x − α

irreducibilis polinom gyöke valamilyen α ∈ K esetén.

Bizonyítás. Legyen σ ∈ Gal(L/K) a bővítés Galois-csoportjának generátoreleme. Ekkor L az 𝔽_{p}Gal(L/K) csoportalgebra feletti modulus természetes módon, és a csoportalgebrában (σ − 1)^{p} = σ^{p} − 1 = 0. Másrészt γ ∈ L esetén γ ∈ K pontosan akkor, ha (σ − 1)γ = 0. Tehát van olyan γ ∈ L, melyre (σ − 1)γ ≠ 0, de (σ − 1)^{2}γ = 0, azaz 0 ≠ δ = (σ − 1)γ ∈ K. Ekkor a β := γ/δ ∈ L elemre σβ = β + 1. Ebből látszik, hogy β minimálpolinomja invariánsan marad, ha az x változó helyére x + 1-et helyettesítünk. Könnyű ellenőrizni, hogy ekkor a minimálpolinom a kívánt alakú.

Tehát ha K_{i} már megvan, akkor K_{i+1} = K_{i}(β) alakú, ahol β^{p} − β = α ∈ K_{i}. Most tegyük fel, hogy c ∈ F, és E = K_{i}(β_{1}), ahol β_{1}^{p} − β_{1} = α + c. Ekkor minden τ ∈ Gal(K_{i+1}/F)-hez hozzárendelhetjük E/F -nek egy τ′ automorfizmusát, melyre τ|_{K_{i}} = τ′|_{K_{i}} és

τβ − β = τ′β_{1} − β_{1} =∈ K_{i},

hiszen ha σ-val jelöljük a Gal(E/K_{i}) generátorát, akkor σ ∈ Z(Gal(K_{i+1}/F)) centrumelem (ugyanis p-csoportban p-edrendű normálosztót generál), ezért

σ(τβ − β) = τσβ − σβ = τ(β + 1) − (β + 1) = τβ − β,

azaz τβ − β ∈ K_{i}. A kapott τ′ valóban automorfizmusa E-nek F felett, mert

τ′(β_{1}^{p} − β_{1}) = (τ′β_{1})^{p} − τ′β_{1}
= (β_{1} + τβ − β)^{p} − (β_{1} + τβ − β)
= β_{1}^{p} − β_{1} + (τβ)^{p} − τβ − (β^{p} − β)
= α + c + τ|_{K_{i}}α − α = τ′|_{K_{i}}α + c
= τ′(α + c).

Tehát kommutatív az alábbi diagram,

Gal(E/F) ⟶^{≃} Gal(K_{i+1}/F)
↘  ↙
Gal(K_{i}/F)

azaz K_{i+1}-et E = K_{i}(β_{1})-re cserélve ugyanannak a beágyazási problémának a megoldását kapjuk. Így annyi szabadságunk van, hogy α-hoz hozzáadhatunk egy c ∈ 𝔽_{p}((t)) alaptestbeli elemet. Látni fogjuk, hogy ilymódon el is érhető, hogy az elágazási töréspontok tetszőlegesen nagyok legyenek. Jelöljük t_{i}-vel K_{i} prímelemét, O_{i}-vel az egészeinek a gyűrűjét, és v_{i}-vel az értékelését, melyre v_{i}(t_{i}) = 1!

5.4.7. Lemma. Tegyük fel, hogy K_{i+1} = K_{i}(β_{1}), ahol β_{1} a β_{1}^{p} − β_{1} = α_{1} ∈ K_{i} egyenlet megoldása. Ekkor ha v_{i}(α_{1}) < 0 és nem osztható p-vel, akkor a K_{i+1}/K_{i} bővítés teljesen elágazó, továbbá elágazási töréspontja s_{i} = −v_{i}(α_{1}).

Bizonyítás. Mivel β_{1}^{p}−β_{1} = α_{1}, ezért v_{i}(β_{1}) = −n/p, ha kiterjesztjük az értékelést, és v_{i}(α_{1}) = n. Mivel n és p relatív prímek, ezért a bővítés teljesen elágazó. Továbbá léteznek olyan b, d ∈ ℤ egész számok, melyekre bp − dn = 1. Vegyük t_{i+1} := β_{1}^{d}t_{i}^{b}-t! Ekkor v_{i}(t_{i+1}) = 1/p és K_{i+1} = 𝔽_{p}((t_{i+1})). Feltehetjük, hogy Gal(K_{i+1}/K_{i}) = ⟨σ⟩, ahol σβ_{1} = β_{1} + 1, így

σt_{i+1} = σ(β_{1}^{d}t_{i}^{b})
= (β_{1} + 1)^{d}t_{i}^{b}
= t_{i+1} + dt_{i+1}/β_{1} + ⋯ + t_{i+1}/β_{1}^{d}.

Most v_{i}(t_{i+1}/β_{1}^{a}) = v_{i}(t_{i+1}) + an/p = (an + 1)/p mindegyik szóbanforgó a-ra. Mivel d ≢ 0 (mod p), ezért v_{i}(σt_{i+1} − t_{i+1}) = (n + 1)/p, ami épp azt jelenti, hogy s_{i} = n.

Ha azt szeretnénk, hogy s_{i} minél nagyobb legyen, akkor úgy tűnhet, hogy c-t csak meg kell választani olyannak, aminek minél nagyobb abszolútértékű negatív értékelése van. Azonban ha v_{i}(c) < v_{i}(α), akkor v_{i}(α_{1}) = v_{i}(α + c) = v_{i}(c), ami pedig osztható K_{i}/F fokával, hiszen a bővítés teljesen elágazó. Speciálisan v_{i}(α_{1}) ≡ 0 (mod p), és így az előző lemma nem alkalmazható. Tehát ennél ügyesebbnek kell lennünk. Legyen ℘(x) := x^{p} −x! Ekkor az 5.4.7-es lemma bizonyításából látszik, hogy a K(β) bővítésben ha ℘(γ) ∈ K valamilyen γ ∈ K(β) \ K-ra, akkor γ = kβ + δ alakú, ahol k ∈ 𝔽_{p}, illetve δ ∈ K, hiszen ez esetben σγ − γ ∈ 𝔽_{p}. Így az (F ↪ K_{i} beágyazás által indukált)

F/℘(F) → K_{i}/℘(K_{i})

homomorfizmus magja véges dimenziós 𝔽_{p} fölött, és ezért az

F/℘(F) → K_{i}/(℘(K_{i}) + t_{i}^{−k}O_{i})

leképezés sem a 0 leképezés. Tehát találhatunk egy olyan c ∈ F -et, amely nincs ℘(K_{i})+t_{i}^{−k}O_{i}- ben. Egy ilyen c elem felírható az alábbi összeg alakban:

5.4.8. Lemma. Tegyük fel, hogy c ∈ F, de c ∉ ℘(K_{i}) + t_{i}^{−k}O_{i}! Ekkor létezik olyan x, z ∈ K_{i}, melyre

c = ℘(z) + x, és p ∤ v_{i}(x) < −k.

Bizonyítás. Mivel v_{i}(c) osztható p-vel, ezért

c = c_{−pn}t_{i}^{−pn} + c_{−pn+1}t_{i}^{−pn+1} + ⋯ = ℘(c_{−pn}t_{i}^{−n}) + y

valamely v_{i}(y) > v_{i}(c)-re. Ezt folytathatjuk, amíg v_{i}(y) negatív és osztható p-vel. Tehát c = ℘(z) + x olyan x, z ∈ K_{i} elemekkel, melyekre v_{i}(x) ≥ 0, vagy v_{i}(x) negatív és relatív prím p-hez. Node c ∉ ℘(K_{i}) + t_{i}^{−k}O_{i}, tehát a második eset áll fenn, és p ∤ v_{i}(x) < −k.

Tegyük fel most, hogy elértük a K_{i+1} = K_{i}(β) szintet, ahol β^{p} − β = α ∈ K_{i}. Legyen k ≥ −v_{i}(α) egy nagy pozitív egész, válasszunk egy c ∈ F \ (℘(K_{i}) + t_{i}^{−k}O_{i}) elemet, és legyen β_{1} a β_{1}^{p} − β_{1} = α + c egyenlet megoldása! Legyen továbbá x, z mint az előző lemmában, és β_{2} := β_{1} − z! Ekkor β_{2}^{p} − β_{2} = α + x, ahol v_{i}(α + x) = v_{i}(x) < −k, és K_{i}(β_{2}) = K_{i}(β_{1}). Az 5.4.7-es lemma szerint

s_{i} = s(K_{i}(β_{1})/K_{i}) = s(K_{i}(β_{2})/K_{i}) = −v_{i}(α + x) > k.

Tehát K_{i+1}-et K_{i}(β_{1})-gyel helyettesítve elérhetjük, hogy s_{i} = s(K_{i+1}/K_{i}) tetszőlegesen nagy legyen. Speciálisan konstruálhatunk egy olyan (K_{i}) testbővítéssorozatot, melyre

s_{1} + (s_{2} − s_{1})p^{−1} + ⋯ + (s_{i} − s_{i−1})p^{−(i−1)}

szigorúan monoton nőve tart végtelenhez. A 5.3.8-as lemma alkalmazásával azt kapjuk, hogy

5.4.9. Tétel. Ha G egy megszámlálható bázisú pro-p csoport, akkor 𝔽_{p}((t))-nek van olyan L aritmetikailag pro-véges bővítése, melyre G ≅ Gal(L/𝔽_{p}((t))).

Ennek következménye a fő eredmény ebben a fejezetben:

5.4.10. Tétel (Camina, [6]). Minden megszámlálható bázisú pro-p csoport izomorf az N (𝔽_{p}) Nottingham csoport egy részcsoportjával.

Fesenko bizonyítása. Alkalmazzuk a W funktort az aritmetikailag pro-véges L/F bővítésre. Az 5.3.9-es tétel szerint ez egy G ↪ N (𝔽_{p}) beágyazást ad.

Megjegyzés: Camina eredeti bizonyítása szintén Galois-elméleti jellegű volt, de nem használta a normák teste funktort. Valójában mindkét konstrukció olyan részcsoportokat ad, melyek benne vannak a Nottingham csoport torziójának lezártjában.

5.5. p-edrendű elemek

Az előző fejezetben láttuk, hogy minden véges p-csoport beágyazható a Nottingham csoportba, de az a bizonyítás nem explicit: p^{2} rendű elemre nem is ismert explicit példa. Viszont Klopsch [24] osztályozta a p-edrendű elemeket konjugált osztály erejéig. Az ő második bizonyításának módszerét követem. Vegyük észre először, hogy a Nottingham csoportban egy torzióelem mélysége mindig relatív prím p-hez a 2.3.1-es lemma miatt.

5.5.1. Lemma. Legyen (t)f, (t)g ∈ N (𝔽_{q}) két p-edrendű elem a Nottingham csoportban, melyre

(t)f = t (1 + ∑_{j=k}^{∞} f_{j}t^{j}) , f_{k} ≠ 0

(t)g = t (1 + ∑_{j=n}^{∞} g_{j}t^{j}) , g_{n} ≠ 0.

Ekkor f és g pontosan akkor konjugáltak, ha n = k és f_{k} = g_{n}.

Bizonyítás. Az egyik irány triviális: ha f és g konjugáltak, akkor persze k = n, és f_{k} = g_{n}. A másik irányhoz legyen

(t)f := t (1 + ∑_{j=k}^{∞} f_{j}t^{j}) ,

(t)g := t (1 + ∑_{j=k}^{∞} g_{j}t^{j}) , f_{k} = g_{k} ≠ 0

két p-edrendű elem, H_{1} := ⟨f⟩, illetve H_{2} := ⟨g⟩, továbbá K_{i} := Fix(H_{i}) ≤ 𝔽_{q}((t)) a fixtestek (i = 1, 2)! Ekkor a 𝔽_{q}((t))/K_{i} bővítések Galois bővítések, melyek Galois-csoportja Gal(𝔽_{q}((t))/K_{i}) = H_{i}. Tehát ahhoz, hogy az f és a g elemek konjugáltak, elég belátni, hogy van olyan σ ∈ N (𝔽_{q}), melyre K_{1}σ = K_{2}, mert ez épp azt jelenti, hogy σ^{−1}H_{1}σ = H_{2}. Az 5.4.6-os állítás miatt a 𝔽_{q}((t))/K_{i} bővítés egy x^{p} − x − α_{i} alakú polinom gyökével való bővítés, ahol α_{i} ∈ K_{i}. Továbbá feltehetjük, hogy p ∤ v_{K_{i}}(α_{i}) < 0, mert α_{i}-t megváltoztatva tetszőleges ℘(K_{i})-beli elemmel ugyanazt a bővítést kapjuk, és minden pozitív értékelésű elem benne van ℘(K_{i})-ben, továbbá minden negatív, p-vel osztható mélységű elemmel van p-vel nem osztható mélységű, modulo ℘(K_{i}) kongruens elem. Ekkor a definíció és az 5.4.7-es lemma szerint az 𝔽_{q}((t))/K_{1} és az 𝔽_{q}((t))/K_{2} bővítés elágazási töréspontja megegyezik, azaz:

−v_{K_{1}}(α_{1}) = s(𝔽_{q}((t))/K_{1}) = D(f) = k = D(g) = s(𝔽_{q}((t))/K_{2}) = −v_{K_{2}}(α_{2}).

Most legyen β_{i} ∈ 𝔽_{q}((t)) az x^{p} − x = α_{i} egyenlet (egyik) gyöke (i = 1, 2)! Ekkor

v_{𝔽_{q}((t))}(β_{i}) = v_{𝔽_{q}((t))}(α_{i})/p = pv_{K_{i}}(α_{i})/p = −k.

Tehát ha β_{1} = ∑_{l=−k}^{∞} a_{l}t^{l}, és β_{2} = ∑_{l=−k}^{∞} b_{l}t^{l} a két hatványsor alak, akkor

c_{1} + ∑_{l=−k}^{∞} a_{l}t^{l} = β_{1}f = ∑_{l=−k}^{∞} a_{l}t^{l} (1 + ∑_{j=k}^{∞} f_{j}t^{j})^{l}, illetve

c_{2} + ∑_{l=−k}^{∞} b_{l}t^{l} = β_{2}g = ∑_{l=−k}^{∞} b_{l}t^{l} (1 + ∑_{j=k}^{∞} g_{j}t^{j})^{l}, ahol

0 ≠ c_{1}, c_{2} ∈ 𝔽_{p} ≤ 𝔽_{q}. Végezzük el az l-edik hatványra emeléseket (ahol kell, ott reciprokot is vegyünk), vonjuk ki mindkét egyenlet mindkét oldalából az egyező összeadandókat, és hasonlítsuk össze a konstans tagokat! Ekkor azt kapjuk, hogy c_{1} = −a_{−k}kf_{k}, illetve c_{2} = −b_{−k}kg_{k}. Mivel p ∤ k és f_{k} = g_{k}, ezért azt kapjuk, hogy \frac{a_{−k}}{b_{−k}} ∈ 𝔽_{p}, és így β_{2}-t lecserélve egy egészszám-szorosára elérhetjük, hogy a_{−k} = b_{−k} legyen. Vegyük észre, hogy a −k értékelésű elemeken a k-adik gyökvonás elvégezhető (és 𝔽_{q}-beli k-adik egységgyök szorzótól eltekintve egyértelmű), tehát van olyan gyök, melyre (β_{i}/a_{−k})^{−1/k} ∈ t(1 + t𝔽_{q}[[t]]). Továbbá mivel t(1 + t𝔽_{q}[[t]])-n tranzitívan hat a Nottingham csoport, ezért van olyan σ ∈ N, melyre (β_{1}/a_{−k})^{−1/k}σ = (β_{2}/a_{−k})^{−1/k}, és így β_{1}σ = β_{2}, sőt α_{1}σ = α_{2}. Ebből viszont következik, hogy K_{1}σ = K_{2}, mert csak azt kell ellenőrizni, hogy K_{1} valamelyik prímeleme K_{2} valamelyik prímelemébe megy σ-nál. Ezen prímelemeknek megfelel például α_{1} illetve α_{2} valamelyik −1/k-adik hatványa, hiszen p ∤ k és v_{K_{i}}(α_{i}) = −k (i = 1, 2) miatt a k-adik gyökvonás elvégezhető ezeken az elemeken.

Most már osztályozni tudjuk a p-edrendű elemeket:

5.5.2. Tétel. A Nottingham csoport p-edrendű elemeinek konjugált osztályai reprezentálhatók a

(t)F (n, λ) := t\sqrt[n]{\frac{1}{1 − λt^{n}}}

alakú elemekkel, ahol p ∤ n ∈ ℤ^{+} és λ ∈ 𝔽_{q}.

Bizonyítás. Könnyű ellenőrizni, hogy ezek valóban p-edrendű elemek, továbbá, hogy

(t)F (n, λ) = t(1 + nλt^{n} + magasabb fokú tagok),

ezért a lemma miatt készen vagyunk.

5.5.3. Következmény. Minden p-edrendű elem stabilizál egy egydimenziós részalgebrát Lie(N)-ben.

Bizonyítás. Az állítást elég belátni az F (n, λ) alakú elemekre. A 3.4.7-es példa szerint viszont F (n, λ) stabilizálja ⟨e_{n}⟩-et.

5.6. További számelméleti kapcsolatok

Camina munkájának egy következménye, hogy minden végesen generált pro-p csoport előállítható egy aritmetikailag pro-véges bővítés Galois-csoportjaként, ha a karakterisztika p. Továbbá Sen eredménye a következő:

5.6.1. Tétel (Sen, [30]). Egy 0-karakterisztikájú lokális test olyan teljesen elágazó bővítése, melynek Galois-csoportja p-adikus analitikus, mindig aritmetikailag pro-véges.

Sokáig ez volt az egyetlen eredmény 0 karakterisztikában. Megoldatlan volt, hogy létezike olyan aritmetikailag pro-véges, vagy akár csak mélyen elágazó bővítés, mely nem p-adikus analitikus, illetve nincs is végtelen p-adikus analitikus faktora (ami elegendő volna ahhoz, hogy a bővítés mélyen elágazó legyen). Fesenko [12] adott egy példát nem p-adikus analitikus aritmetikailag pro-véges bővítésre, bár ennek a példának vannak p-adikus analitikus faktorai.

Mivel – ahogy Coates és Greenberg [8] leírta – a mélyen elágazó bővítéseknek szép Kummerelmélete van, ezért felvetődött az alábbi kérdés:

5.6.2. Probléma (Coates és Greenberg). Van-e olyan teljesen és mélyen elágazó L/F bővítés, melyre F egy véges bővítése ℚ_{p}-nek, és Gal(L/F)-nek nincsenek végtelen p-adikus analitikus faktorai?

Fesenko [13] belátta, hogy a 3.1.4-es példában értelmezett 𝔄_{q} ≤ N részcsoport q = p^{r} esetén (is) öröklődően épp végtelen, továbbá

5.6.3. Tétel (Fesenko, [13]). Legyen q = p^{r} > p, és F egy legalább q-adfokú véges elágazásmentes bővítése ℚ_{p}-nek. Ekkor van olyan L/F teljesen elágazó aritmetikailag pro-véges – speciálisan mélyen elágazó – Galois bővítés, melynek Galois-csoportja 𝔄_{q}, és tetszőleges F ≤ M ≤ K ≤ L közbülső testekre Gal(K/M) nem p-adikus analitikus, ha (M : F) < ∞ és K/M egy végtelen Galois-bővítés.

Megjegyzés: Mivel 𝔄_{q} ≤ N Hausdorff dimenziója hdim𝔄_{q} = 1/q > 0, ezért az 5.4.2-es állítás szerint W (Gal(L/F)) ≠ 𝔄_{q}, viszont W (Gal(L/F)) ≅ 𝔄_{q}, azaz ez a csoport a normák teste funktor által egy másik, vele izomorf csoportra képződik.

Irodalomjegyzék

[1] J. L. Abercrombie, Subgroups and subrings of profinite rings, Math. Proc. Cambr. Phil. Soc. 116 (1994), 209–222.

[2] M. Abért, Group laws and free subgroups in topological groups, Bull. London Math. Soc., preprint

[3] Y. Barnea and B. Klopsch, Index Subgroups of the Nottingham Group, Adv. Math. 180 (2003), no. 1, 187–221.

[4] Y. Barnea and M. Larsen, Random generation in simple algebraic groups over local fields, J. Algebra 271 (2004), no. 1, 1–10.

[5] Y. Barnea and A. Shalev, Hausdorff dimension, pro-p groups and Kac-Moody algebras, Trans Amer. Math. Soc. 349 (1997), 5073–5091.

[6] R. Camina, Subgroups of the Nottingham group, J. Algebra 196 (1997) 101–113.

[7] R. Camina, The Notthingam Group, in: New Horizons in Pro-p Groups, in: Progr. Math., vol. 184, Birkhäuser Boston, Cambridge, MA, 2000, 205–221.

[8] J. Coates and R. Greenberg, Kummer theory for abelian varieties over local fields, Invent. Math. 124 (1996), 129–174.

[9] J. D. Dixon, The probability of generating the symmetric group, Math. Z. 110 (1969), 199–205.

[10] J. D. Dixon, M.P.F. du Sautoy, A. Mann and D. Segal, Analytic Pro-p Groups, 2nd edition, in: Cambridge Stud. Adv. Math. 61, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999.

[11] M. Ershov, New just-infinite pro-p groups of finite width and subgroups of the Nottingham group, J. Algebra 275 (2004) 419–449.

[12] I. Fesenko, On deeply ramified extensions, J. London Math. Soc. 57(2) (1998), 325–335.

[13] I. Fesenko, On just infinite pro-p-groups and arithmetically profinite extensions of local fields, J. Reine Angew. Math. 517 (1999) 61–80.

[14] I. Fesenko and S. Vostokov, Local Fields and Their Extensions, A.M.S., Providence, R.I., 1993.

[15] J.-M. Fontaine and J.-P. Wintenberger, Le “corps des normes” de certaines extensions algébriques de corps locaux, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 288 (1979), no. 6, A367– A370.

[16] P. Hegedűs, The Nottingham Group for p = 2, J. Algebra 246 (2001), 55–69.

[17] P. Hegedűs, Topics from Group Theory, Ph.D. thesis, University of Cambridge, 2001.

[18] K. Iwasawa, Local Class Field Theory, Oxford Mathematical Monographs O.U.P., 1986.

[19] K. Iwasawa, On solvable extensions of algebraic number fields, Ann. Math. 58 (1953), 548–572.

[20] S. A. Jennings, Substitution groups of formal power series under substitution, Canad. J. Math. 6 (1954), 325–340.

[21] D. L. Johnson, The group of formal power series under substitution, J. Austral. Math. Soc. 45 (1988), 296–302.

[22] W. M. Kantor and A. Lubotzky, The probability of generating a finite classical group, Geom. Ded. 36 (1990), 67–87.

[23] Y. Kawada, On the ramification theory of infinite algebraic extensions, Ann. Math. 58 (1953), 24–47.

[24] B. Klopsch, Automorphisms of the Nottingham group, J. Algebra 223 (2000), 37–56.

[25] B. Klopsch, Normal subgroups in substitution groups of the formal power series, J. Algebra 228 (2000), 91–106.

[26] M. W. Liebeck and A. Shalev, The probability of generating a finite simple group, Geom. Ded. 56 (1995), 103–113.

[27] A. Mann, Positively finitely generated groups, Forum Math. 8 (1996), 429–459.

[28] S. Saks, Theory of the Integral, Dover, 1964.

[29] M. P. F. du Sautoy and I. Fesenko, Where the Wild Things Are: Ramification Groups and the Nottingham Group, in: New Horizons in Pro-p Groups, in: Progr. Math., vol. 184, Birkhäuser Boston, Cambridge, MA, 2000, 287–328.

[30] Sh. Sen, Ramification in p-adic Lie extensions, Invent. Math. 17 (1972), 44–50.

[31] A. Shalev, Asymptotic group theory, Notices Amer. Math. Soc. 48 (2001), 383–389.

[32] A. Shalev, Lie Methods in the Theory of pro-p Groups, in: New Horizons in Pro-p Groups, in: Progr. Math., vol. 184, Birkhäuser Boston, Cambridge, MA, 2000, 1–54.

[33] B. Szegedy, Almost all finitely generated subgroups of the Nottingham group are free, Bull. London Math. Soc. 37 (2005), no. 1, 75–79.

[34] J. T. Tate, p-divisible groups, 1967 Proc. Conf. Local Fields (Driebergen, 1966), 158–183.

[35] B. A. F. Wehrfritz, Infinite Linear Groups, Springer Verlag, 1973.

[36] J.-P. Wintenberger, Extensions abéliennes et groupes d’automorphismes des corps locaux, C. R. Acad. Sci. série A, 290 (1980), 201–203.

[37] J.-P. Wintenberger, Le corps des normes de certaines extensions infinies de corps locaux; applications, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 16 (1983), no. 1, 59–89.

[38] E. Witt, Der Existenzsatz für abelsche Funktionenkörper, J. für Mathematik 173 (1935), 43–51.

[39] E. Witt, Konstruktion von galoisschen Körpern der Charakteristik p zu vorgegebener Gruppe der Ordnung p^{k}, J. für Mathematik 174 (1936), 237–245.

[40] I. O. York, The group of formal power series under substitution, Ph.D. thesis, Nottingham University, 1990.