up previous
Up: Home Previous: Folytonos

Kislexikon címszavak

Véletlen kísérleten értünk minden olyan megfigyelést, aminek több (egymást kizáró) eredménye lehet, ezeket kimeneteleknek vagy elemi eseményeknek nevezzük.

A kimenetelek halmazát eseménytérnek nevezzük (jelölése tex2html_wrap_inline118)

Esemény: tex2html_wrap_inline118 bizonyos részhalmaza (azon kimenetelek összességét, amelyek bekövetkezése maga után vonja az esemény bekövetkezését, azonosítjuk az eseménnyel).

Azt mondjuk, hogy egy A esemény bekövetkezik, ha a kimenetel eleme az A megfelelô részhalmaznak.

Biztos esemény (tex2html_wrap_inline118): A teljes tex2html_wrap_inline118 halmaz ( bármi is a kísérlet kimenetele, mindíg bekövetkezik).

Lehetetlen esemény (tex2html_wrap_inline128): Az üres halmaz (bármi is a kísérlet kimenetele, sohasem következik be).

Események közötti mûveletek:

Egy A esemény ellentéte (tex2html_wrap_inline130): az A halmaz komplementere ((tex2html_wrap_inline132) ( az az esemény, amely akkor és csak akkor következik be, ha az A nem következik be).

Események összege: a megfelelô halmazok uniója (akkor és csak akkor következik be, ha az események közül legalább egy bekövetkezik).

Események szorzata: a megfelelô halmazok metszete (akkor és csak akkor következik be, ha az események mindegyike bekövetkezik).

Azt mondjuk, hogy az A esemény maga után vonja a B eseményt, ha az A halmaz részhalmaza a B-nek (jele: tex2html_wrap_inline142).

Azt mondjuk, hogy az A és B események egymást kizárják, ha az A és B halmazok diszjunktak (tex2html_wrap_inline152).

Az A és B események különbsége (tex2html_wrap_inline158) akkor, és csak akkor következik be, ha A bekövertkezik, de B nem.

Az tex2html_wrap_inline164 események teljes eseményrendszert alkotnak, ha tex2html_wrap_inline166 (k=1,2,...), tex2html_wrap_inline168, ha tex2html_wrap_inline170, összegük a biztos esemény. (Ha ez utóbbi helyett csak azt tesszük fel, hogy az események valószínûségeinek összege 1, akkor azt mondjuk, hogy a fenti események tágabb értelemben teljes eseményrendszert alkotnak.

Egy tex2html_wrap_inline118 halmaz bizonyos részhalmazainak tex2html_wrap_inline174 összességét tex2html_wrap_inline176-algebrának (eseményalgebrának) nevezzük, ha
(1) tex2html_wrap_inline178,
(2) Ha tex2html_wrap_inline180, akkor tex2html_wrap_inline182
(3) Ha tex2html_wrap_inline184 (n=1,2,...), akkor az összegük is tex2html_wrap_inline174 -beli (ha ez utóbbit csak véges sok tagra követeljük meg).

Kísérleten egy tex2html_wrap_inline118 halmazt (kimenetelek halmaza) és ennek részhalmazaiból álló tex2html_wrap_inline176-algebrát (eseményalgebrát) értünk.
Egy kísérlettel kapcsolatos minden A eseményhez (tex2html_wrap_inline180) hozzárendelünk egy P(A) számot - az A esemény valószínûségét, amelyre a következô axiómákat tesszük fel:
(1) tex2html_wrap_inline198,
(2) tex2html_wrap_inline200,
(3) Egymást páronként kizáró (tex2html_wrap_inline174-beli) események összegének a valószínûsége legyen egyenlô a valószínûségek összegével.

Kolmogorov-féle valószínûségi mezônek (röviden: valószínûségi ezônek) nevezzük és tex2html_wrap_inline204-vel jelöljük az tex2html_wrap_inline206-val jellemzett kísérlet és az tex2html_wrap_inline174 elemein értelmezett P(A) valószínûség-függvény együttesét (ha ez a P(A) rendelkezik az (1)-(3) axiómákban megfogalmazott tulajdonságokkal.

Ha tex2html_wrap_inline118 véges, akkor véges valószínûségi mezôrôl beszélünk.

Speciálisan, ha tex2html_wrap_inline118 -nak n pontja van, tex2html_wrap_inline174 az összes részhalmazból áll és az egyelemû részhalmazok (elemi események) valószínûségei megegyeznek (mindegyiké tex2html_wrap_inline220), akkor egy tetszôleges esemény valószínûsége tex2html_wrap_inline222 alakú, ahol k az A eseményben szereplô elemi kimenetelek száma, amit az A eseményre nézve kedvezô esetek számának szoktak nevezni. Az ilyen valószínûségi mezôt klasszikus vagy kombinatorikus valószínûségi mezônek nevezzük.

Valószínûségek geometriai kiszámítási módjáról beszélünk, ha a véletlen kísérlet abban áll, hogy az n-dimenziós euklideszi tér valamely tex2html_wrap_inline118 tartományában találomra ("véletlenszerûen") válsztunk egy pontot, azaz feltesszük, hogy annak a valószínûsége, hogy a találomra választott pont beleesik a tartomány valamely A részhalmazába arányos az A köbtartalmával (jelöljük K(A)-val), tehát ha tex2html_wrap_inline236.

Poincaré-formula: tetszôleges események összegének valószínûségére. Legyen tex2html_wrap_inline238 (röviden tex2html_wrap_inline240) az tex2html_wrap_inline242 eseményekbôl képezhetô k-tényezôs eseményszorzatok valószínûségeinek összege, akkor tex2html_wrap_inline246.

Feltételes valószínûség: tex2html_wrap_inline204 egy valószínûségi mezô, tex2html_wrap_inline250, P(B)>0. Az A esemény B feltételre vonatkozó feltételes valószínûsége, amelyet P(A|B)-vel jelölünk: tex2html_wrap_inline260.

Teljes valószínûség tétele: Ha tex2html_wrap_inline262 teljes eseményrendszert alkot, akkor tetszôleges A esemény valószínûségét a tex2html_wrap_inline266 összefüggés alapján lehet kiszámítani.

Bayes tétele: Ha tex2html_wrap_inline262 teljes eseményrendszert alkot, akkor tetszôleges A eseményre (P(A)>0 esetén) és bármely i-re (I=1,2,...) tex2html_wrap_inline274

Függetlenség: Azt mondjuk, hogy az A és B események egymástól függetlenek, ha P(AB)=P(A)P(B).
Az tex2html_wrap_inline242 eseményekrôl azt mondjuk, hogy (teljesen) függetlenek, ha bárhogyan kiválasztva közülük k darabot, azok metszetének valószínûsége egyenlô az egyes események valószínûségének szorzatával (k=2,3,...n).

Tönkremenési probléma: Két játékos fej-írás játékot játszik: fej esetén EGYIK nyer 1 -et MÁSIK-tól, írás esetén pedig fordítva. EGYIKnek kezdetben x, MÁSIKNAK n-x vagyona van. A fej valószínûsége p (0<p<1). Addig játszanak, amig valamelyikük tönkremegy. Jelölje h(x,n,p) annak a valószínûségét, hogy ELSÔ megy tönkre. Akkor tex2html_wrap_inline294, míg p nem egyenlô tex2html_wrap_inline298 esetén tex2html_wrap_inline300, ahol q=1-p .

Eloszlásfüggvény: Az X valószínûségi változó eloszlásfüggvényének a valós számokra értelmezett F(x)= P(X<x) függvényt nevezzük.

Adott egy tex2html_wrap_inline204 valószínûségi mezô.
Valószínûségi változónak nevezzük egy tex2html_wrap_inline118 -án értelmezett valós értékû tex2html_wrap_inline312 függvényt, amelyre az tex2html_wrap_inline314
Ha X értékkészlete véges (vagy megszámlálhatóan végtelen), akkor X-et diszkrét valószínûségi változónak mondjuk.

Diszkrét valószínûségeloszláson a tex2html_wrap_inline320 (tex2html_wrap_inline322) számok összességét értjük, amelyekre tex2html_wrap_inline324

Hipergeometrikus eloszlás: tex2html_wrap_inline326 (k=0,...,n), ahol N,M,n nemnegatív egészek, tex2html_wrap_inline328, tex2html_wrap_inline330. (A visszatevés nélküli mintavétel modellje)

Poisson eloszlás: Az X valószínûségi változó tex2html_wrap_inline334 paraméterû Poisson eloszlású (tex2html_wrap_inline336 eloszlású), ha értékkészlete a nemnegatív egészek halmazaés tex2html_wrap_inline338 (k=0,1,...).

r-edrendû negatív bináris eloszlás (Várakozás egy p valószínûségû esemény r-edik bekövetkezésére (r természetes szám) független kísérletekben): tex2html_wrap_inline342, (k=0,1,2,...)

Diszkrét egyenletes eloszlás: Az X valószínûségi változó egyenletes eloszlású a 0,1,...,n számokon (illetve az 1,2,...,n számokra), ha tex2html_wrap_inline346 (i=0,1,...,n) (illetve tex2html_wrap_inline348, i=1,2,...,n).

Ha az X valószínûségi változó eloszlásfüggvénye olyan, hogy tex2html_wrap_inline352 akkor azt mondjuk, hogy az X abszolút folytonos (röviden folytonos) eloszlású és az f(t) függvényt az X valószínûségi változó sûrûségfüggvényének nevezzük. tex2html_wrap_inline360 és tex2html_wrap_inline362.
Nevezetes példák folytonos eloszlásokra (ezeket sûrûségfüggvényeikkel adjuk meg):

Egyenletes eloszlás: X egyenletes eloszlású az (a,b) intervalumon (a<b) (jele: X U(a,b) eloszlású), ha tex2html_wrap_inline370, ha a<x<b és f(x) = 0 egyébként.

Exponenciális eloszlás: X tex2html_wrap_inline378 paraméterû exponenciális eloszlású (tex2html_wrap_inline334), ha tex2html_wrap_inline382, ha x>0, és f(x) = 0 egyébkent.

Normális eloszlás: Az X valószínûségi változó m és tex2html_wrap_inline176 paraméterû normális eloszlású (m tetszôleges valós, tex2html_wrap_inline396) (jele: tex2html_wrap_inline398 - eloszlású), ha tex2html_wrap_inline400 (tex2html_wrap_inline402). Az m=0, tex2html_wrap_inline176=1 paraméterû normális eloszlást standard normális eloszlásnak nevezzük (a sûrûségfüggvény jelölésére ekkor tex2html_wrap_inline406-et használunk).
Egy X valószínûségi változó standardizáltja az tex2html_wrap_inline410 valószínûségi változó.

Legyenek az X,Y diszkrét valószínûségi változók lehetséges értékei tex2html_wrap_inline416 illetve tex2html_wrap_inline418 Az X,Y valószínûségi változók együttes eloszlásán a tex2html_wrap_inline424 valószínûségek összességét értjük (melyeknek összege természetesen 1).

Azt mondjuk, hogy az X és Y (diszkrét) valószínûségi változók függetlenek, ha minden i,j-re tex2html_wrap_inline430
Tetszôleges X,Y valószínûségi változókat akkor nevezük függetleneknek, ha tetszôlegesvalós x,y-ra P(X<x,Y<y) = P(X<x)P(Y<y)

Várható érték: Ha X diszkrét valószínûségi változó, lehetséges értékei tex2html_wrap_inline444 akkor X várható értékén (jele E(X)) az értékek tex2html_wrap_inline450 úgynevezett súlyozott átlagát értjük.
Ha u olyan kétváltozós függvény, hogy az u(X,Y) egy újabb valószínûségi változó, akkor tex2html_wrap_inline454 , ahol tex2html_wrap_inline456.
Ha X sûrûségfüggvénye f, akkor tex2html_wrap_inline462

Legyen P(B)>0 és az X diszkrét valószínûségi változó lehetséges értékei tex2html_wrap_inline416 akkor az X valószínûségi változó B-re vonatkozó feltételes várható értékén a tex2html_wrap_inline474 mennyiséget értjük, és E(X|B)-vel jelöljük.

Teljes várható érték tétele: Ha az X valószínûségi változó lehetséges értékei: tex2html_wrap_inline416, és tex2html_wrap_inline262 teljes eseményrendszer, akkor tex2html_wrap_inline484

Szórásnégyzet, szórás: Az X valószínûségi változó szórásnégyzete (jele tex2html_wrap_inline488 ): tex2html_wrap_inline490. Ennek pozitív négyzetgyöke a szórás (D(X)).

Fennáll a tex2html_wrap_inline494 összefüggés.

Momentumok: Az X valószínûségi változó k-adik momentuma: tex2html_wrap_inline498.
Ha X sûrûségfüggvénye f, akkor tex2html_wrap_inline504

Az X és Y valószínûségi változók kovarianciáján a cov(X,Y) = E((X-E(X))(Y-E(Y)) várható értéket értjük.
Fennáll: cov(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y)

Korrelációs együttható: Ha X és Y egyike sem konstans, akkor X és Y korrelációs együtthatóján az tex2html_wrap_inline522 mennyiséget értjük. Ha a változók közül valamelyik konstans, akkor legyen R(X,Y) =0.

Generátorfüggvény: Legyenek az X valószínûségi változó lehetséges értékei nemnegatív egész számok és legyen tex2html_wrap_inline528 (k=0,1,2,..). X generátorfüggvényének a tex2html_wrap_inline532 függvényt nevezzük.

Markov egyenlôtlenség: Legyen X pozitív valószínûségi változó véges E(X) várható értékkel és legyen tex2html_wrap_inline538 tetszôleges, akkor tex2html_wrap_inline540 illetve, ha tex2html_wrap_inline542, tex2html_wrap_inline334, akkor tex2html_wrap_inline546.

Csebisev - egyenlôtlenség: Legyen X tetszôleges véges várható értékû és szórású valószínûségi változó és tex2html_wrap_inline538, akkor tex2html_wrap_inline552 illetve, ha tex2html_wrap_inline554, akkor tex2html_wrap_inline556 (tex2html_wrap_inline334).

Azt mondjuk, hogy az tex2html_wrap_inline560 valószínûségi változók sorozata sztochasztikusan konvergál az X valószínûségi változókhoz (jele tex2html_wrap_inline564), ha tetszôleges, rögzített tex2html_wrap_inline538 esetén tex2html_wrap_inline568.

A nagy számok Bernoulli - féle (gyenge) tôrvénye: Jelôlje tex2html_wrap_inline570 egy p valószínûségû esemény gyakoriságát n független kísérletben (n=1,2,...). Ekkor tex2html_wrap_inline572.

A centrális határeloszlástétel egy speciális esete. Tegyük fel, hogy az tex2html_wrap_inline560 valószínûségi változók függetlenek, azonos eloszlásúak, véges a várható értékük tex2html_wrap_inline576 és a szórásuk tex2html_wrap_inline578. Ekkor az tex2html_wrap_inline580 standardizáltjának eloszlásfüggvénye konvergál a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényéhez, ha tex2html_wrap_inline582.

Irányított gráfokon való bolyongás: Bizonyos véletlen folyamatokat egy irányított gráfon való bolyongással (egymás utáni lépésekkel) szemléltethetjük. A gráf szögpontjai a folyamat lehetséges állapotai, az állapotok közül eggyesek irányított éllel vannak összekötve. Az élekre ráírjuk azt a valószínûséget, amivel a ( nyíl irányába haladva) következô (szomszédos) állapotba el lehet jutni (átmenetvalószínûség). Az állapotokat megszámozhatjuk az 1,2,...,n számokkal. Ha az i állapotból egy lépésben eljuthatunk a k állapotba, akkor ezt i-bôl k-ba mutató nyillal jelöljük, a megfelelô átmenetvalószínûséget pedig tex2html_wrap_inline594-val.
Például addig dobálunk egy szabályos érmét, amíg az FF vagy IF sorozat valamelyike meg nem jelenik.

Az elnyelôdés valószínûsége: Ha egy állapot olyan, hogy onnan nem indul ki nyíl, akkor ezt nyelônek nevezzük. A többi állapotot belsô állapotnak. Minden i állapothoz hozzárendeljük azt a tex2html_wrap_inline598 (feltételes) valószínûséget,amivel egy adott nyelôbe (nyelôkbe) ezen az állapoból kiindulva eljuthatunk egymáshoz kapcsolódó nyilak mentén (úton). Nyilvánvaló, hogy ha tex2html_wrap_inline598 jelöli annak a feltételes valószínûségét, hogy egy belsô i állapotból indulva eljutunk egy adott nyelô állapotba, akkor tex2html_wrap_inline604. Ez a teljes valószínûség tételének átfogalmazása.

Az elnyelôdéshez szükséges lépésszám várható értéke: Jelöljük tex2html_wrap_inline606-vel az elnyelôdéshez (bármely nyelôben) szükséges lépésszám (feltételes) várható értékét, ha i-bôl indulunk. Akkor tex2html_wrap_inline610 minden i belsô állapotra, tex2html_wrap_inline614, ha i nyelô állapot. Ez a teljes várható érték tételének átfogalmazása.


up previous
Up: Home Previous: Folytonos