\magnification=\magstep1
\tolerance2000
\baselineskip13.2pt
\nopagenumbers
\let\ra\rightarrow
\let\ep\varepsilon
\def\rr{\hbox{\bf R}}

\centerline{\bf A Schweitzer Mikl\'os Matematikai Eml\'ekverseny}
\centerline{\bf feladatai (1995. okt\'ober 20-30)}
\parskip5.5pt plus 2pt

\item{1.} Igazoljuk, hogy a s\'\i kon nem azonosan z\'er\'o harmonikus f\"uggv\'eny nem t\H unhet el k\'etdimenzi\'os pozit\'\i v m\'ert\'ek\H u halmazon.

\item{2.} Az $f,g\in L^1 [0,1]$ f\"uggv\'enyekr\H ol tudjuk, hogy
$$\int_0^1 f=\int_0^1 g=1.$$
Igazoljuk, hogy van olyan $I$ intervallum, amelyre
$$\int_I f = \int_I g = 1/2.$$

\item{3.}Jel\"olje $\langle x \rangle$ az $x$ val\'os sz\'am t\'avols\'ag\'at a legk\"ozelebbi eg\'esz sz\'amt\'ol. Legyen $f$ szakaszonk\'ent line\'aris, 1 szerint periodikus, folytonos val\'os f\"uggv\'eny. Bizony\'\i tsuk be, hogy pontosan akkor vannak alkalmas $n$-nel olyan $a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n,c_1,\ldots,c_n$ val\'os sz\'amok, hogy
$$f(x)=\sum_{i=1}^n c_i\langle a_i x+b_i\rangle$$
minden $x$-re, ha van olyan $k$, hogy
$$\sum_{j=1}^{2^k} f\left(x+{j\over 2^k}\right)$$
konstans.

\item{4.} Az $a_1, \ldots, a_k$ p\'aratlan \'es $b_1, \ldots, b_k$ p\'aros sz\'amokra tudjuk, hogy
$$\sum_{j=1}^k a_j^n = \sum_{j=1}^k b_j^n$$
teljes\"ul $n=1,2,\ldots, N$--re. Igazoljuk, hogy ekkor $k\ge 2^N$, \'es hogy $k=2^N$ eset\'en mindig l\'etezik fenti tulajdons\'ag\'u rendszer.

\item{5.}Legyen $A$ az $\{1,2,\ldots,n\}$ halmaz legal\'abb $100\sqrt n$ elem\H u r\'eszhalmaza. Bizony\'\i tsuk be, hogy van olyan n\'egytag\'u sz\'amtani sorozat, amelynek mindegyik eleme el\H o\'all az $A$ halmaz k\'et-k\'et k\"ul\"onb\"oz\H o elem\'enek \"osszegek\'ent.

\item{6.}Bizony\'\i tsuk be, hogy minden v\'eges h\'aromsz\"ogmentes gr\'af be\'agyazhat\'o fesz\'\i tett r\'esz\-gr\'afk\'ent egy v\'eges h\'aromsz\"ogmentes 2 \'atm\'er\H oj\H u gr\'afba.

\item{7.}Legyen $R$ olyan asszociat\'\i v gy\H ur\H u, amelyben egyetlen nem 0 elem n\'egyzete sem 0. Bizony\'\i tsuk be, hogy ha $x_1, x_2, \ldots, x_n\in R$ \'es $x_1 x_2 \cdots x_n=0$, akkor ugyanezen elemek b\'armely m\'as sorrendben vett szorzata is 0.

\item{8.}Legyen $P$ v\'eges r\'eszbenrendezett halmaz, melyben van legnagyobb elem \'es ez a minim\'alis elemek halmaz\'anak egyetlen fels\H o korl\'atja. Igazoljuk, hogy b\'armely $f:P^n\ra P$ monoton f\"uggv\'eny megkaphat\'o $g(x_1,x_2,...,x_n,c_1,...,c_m)$ alakban, ahol $c_i\in P$ \'es $g$ monoton idempotens f\"uggv\'eny $P$-n ($g$ idempotens, ha $g(x,x,\ldots,x)=x$ minden $x\in P$-re).

\item{9.} Egy s\'\i kbeli $P_1, \ldots, P_m$ nem felt\'etlen\"ul k\"ul\"onb\"oz\H o pontokb\'ol \'all\'o pontsorozatot k\'\i gy\'oz\'onak nevez\"unk, ha $P_i$ \'es $P_{i+1}$ t\'avols\'aga legal\'abb 1, \'es a $P_i P_{i+1}$ szakaszok felv\'altva v\'\i zszintesek ill. f\"ugg\H olegesek. Konstru\'aljunk olyan kompakt halmazt, amelyben van ak\'armilyen hossz\'u k\'\i gy\'oz\'o sorozat, de nincs ilyen z\'ar\'od\'o sorozat (amelyre teh\'at $P_m=P_i$ valamely $i<m$-re).

\item{10.} Legyen $X=\{X_1,X_2,\ldots\}$ megsz\'aml\'alhat\'o halmaz a t\'erben. Mutassuk meg, hogy van olyan $\{a_k\}$ pozit\'\i v sorozat, hogy a t\'er b\'armely $Z\not\in X$ pontj\'ara igaz az, hogy a $Z$ pontnak az $\{X_1,X_2,\ldots,X_k\}$ halmazt\'ol vett t\'avols\'aga legal\'abb $a_k$ v\'egtelen sok $k$-ra.

\item{11.}Egy k\"or ker\"ulet\'en vegy\"unk fel $2n$ diszjunkt \'\i vet \'es \'all\'\i tsuk p\'arba azokat. Az egyes p\'arokat egy t\'eglalap alak\'u szalag odaragaszt\'as\'aval \"osszek\"otj\"uk. A ragaszt\'as t\"ort\'enhet \'ugy, hogy a k\"or \'es a
t\'eglalap egy\"utt k\"orgy\H ur\H uvel homeomorf alakzatot ad, \'es
\'ugy is, hogy M\"obiusz-szalaggal homomeomorf alakzatot ad.
Az ut\'obbit csavart, az el\H obbit nem-csavart ragaszt\'asnak mondjuk.
Defini\'aljunk egy $n\times n$-es $(A_{ij})$ m\'atrixot a k\"ovetkez\H o m\'odon:
legyen $A_{ii} = 1$, ha az $i$-edik t\'eglalap odaragaszt\'asa csavart, \'es legyen
$A_{ii} = 0$, ha az nem-csavart.
Legyen $A_{ij}= 0$, ha a k\"orvonalnak van olyan \'\i ve, mely az $i$-edik
t\'eglalap mindk\'et odaragasztott oldal\'at tartalmazza, \'am a $j$-edik t\'eglalap
odaragasztott oldalaival nincs k\"oz\"os pontja; ellenkez\H o esetben legyen $A_{ij } = 1.$ Legyen $r$ az $(A_{ij})$ m\'atrix rangja a k\'etelem\H u test felett, 
\'es $k$ az $n$ darab t\'eglalap
k\"orlaphoz ragaszt\'as\'aval nyert fel\"ulet peremk\"oreinek a sz\'ama.
Igazoljuk, hogy $n = k + r - 1$.

\def\idez#1{{\ideza}#1''}
\def\ideza{\setbox0=\hbox{\lower1.38ex\hbox{''}}\dp0=0pt\box0}

\item{12.}$F(x)$ legyen ismert eloszl\'asf\"uggv\'eny, az $\eta_1,\eta_2\ldots$ val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok legyenek f\"uggetlenek a k\"oz\"os $F(x-\vartheta)$ eloszl\'asf\"uggv\'ennyel, ahol $\vartheta$ az ismeretlen, \'ugynevezett eltol\'asi param\'eter. Nevezz\"uk az eltol\'asi param\'etert \idez{j\'ol becs\"ulhet\H onek}, ha l\'etezik $c$ pozit\'\i v konstans \'ugy, hogy b\'armely $\ep>0$-hoz megadhat\'o a sz\'amegyenesen olyan $\ep$ Lebesgue-m\'ert\'ek\H u $E$ Borel-halmaz (\idez{konfidencia halmaz}) \'es olyan $t_n(x_1,\ldots,x_n)$ $(n=1,2,\ldots)$ Borel-m\'erhet\H o f\"uggv\'eny, amelyekkel b\'armilyen $\vartheta$ eset\'en
$$P(\vartheta-t_n(\eta_1,\ldots,\eta_n)\in E)>1-e^{-cn}\qquad (n>n_0(\ep,F)).$$
Igazoljuk, hogy\parskip0pt
\itemitem{a)}ha $F$ nem abszol\'ut folytonos, akkor az eltol\'asi param\'eter \idez{j\'ol becs\"ulhet\H o},
\itemitem{b)}ha $F$ abszol\'ut folytonos \'es $F'$ folytonos, akkor nem \idez{j\'ol becs\"ulhet\H o}.\parskip12pt

\bye