Matematika szintfelmérő megoldása matematika Bsc szakosoknak

ELTE TTK  2006.09.04.

 

 

1. a) Oldja meg a egyenletet a valós számok halmazán!                                            4 pont

A  alapú logaritmus függvény szigorúan monoton csökkenő, ezért létezik inverze, tehát . (2+2pont)

    b) Hány megoldása van a egyenletnek a  intervallumon?                                     6 pont

A  intervallumon a  helyen teljesül az egyenlőség. A tangensfüggvény periódushossza , 3 megoldás van az adott intervallumon: , , . (3+3 pont)

    c) Oldja meg a valós számok halmazán a  egyenletet!                              6 pont

Az adott kifejezés átalakítva: . (3 pont) Ez pontosan akkor egyenlő 950-nel, ha . ( 3 pont)

 

2. Az  paraméter mely értéke esetén merőlegesek egymásra a ,  egyenesek?   

                                                                                                                                              4 pont

 esetén. (A normálvektorok skaláris szorzata ebben az esetben lesz 0.) ( Nincs részpont)

3. Melyik nagyobb?  vagy                                                                                  8 pont

Az első kifejezés , a második (gyöktelenítés után) . Az első kifejezés nagyobb. (4+4 pont)

 

4. Egy mértani sorozatban (amelyben nem szerepel a 0) az első hat tag összege -szerese az első három tag összegének. Mennyi lehet a mértani sorozat hányadosa (kvóciense)? Van-e ilyen sorozat?
                                                                                                                                             12 pont

Az első három tag összege )a szokásos jelöléseket alkalmazva) , ennek -szerese az első hat tag összege:  (6pont)

Eszerint , amiből csak  lehet.( 3pont) Ilyen mértani sorozat van, például:

, általános alakban: . ( 3pont)

 

5. Két kör, A és B sugara 4, illetve 3 egység. A két kör úgy metszi egymást, hogy az egyik metszéspontra igaz, hogy az A körnek a metszéspontba húzott érintője merőleges a B körnek a metszéspontba húzott érintőjére. Számítsuk ki, hogy mennyivel nagyobb területű az A körnek a B kör által le nem fedett része a B körnek az A kör által nem lefedett részénél!   10 pont

 

Adjuk hozzá mindkét kérdéses területhez a közösen fedett rész területét, így a két kör területét kapjuk. A kérdéses területek különbsége ugyanannyi, mint a két kör területének különbsége:  – függetlenül attól, hogy mi módon metszik egymást a körök.

Ha számítással oldja meg, akkor részpont ( részarányosan) csak akkor adható, ha látszik a helyes gondolatmenet.

6. Adjon meg olyan pozitív egész  számot, amelyre az alábbi három állítás közül pontosan kettő igaz:

(1)  osztható 6-tal
(2)  nem osztható 2-vel
(3)  jegyeinek összege 12.                                                                                                    10 pont

 

Olyan szám nincs, amely 6-tal osztható, de 2-vel nem. Ezért, ha van ilyen szám, akkor (1) és (2) közül az egyik igaz rá, a másik hamis. Ezért (3)-nak igaznak kell lennie. Ha a számjegyei összege 12, akkor osztható 3-mal. Egy ilyen szám vagy osztható 2-vel, vagy nem. Ha nem, akkor igaz rá (2), de nem igaz rá (1), például 93, ha osztható 2-vel, akkor igaz rá (1), de nem igaz rá (2), például 66.

(Jó szám indoklással 10 pont)

7. Oldjuk meg a következő egyenletet:                                                 14 pont

 

A két oldalon álló két kifejezés az értelmezési tartomány minden elemére egymás reciproka. (,  pozitív.) Ezért az az  kifejezéssel ekvivalens ( 8 pont), amiből , vagyis ,  egész; (3 pont) vagy , ami nem lehetséges (3 pont)

 

8. Két dobókockát egyszer feldobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy a dobott számok átlaga egész szám? Válaszát indokolja!                                                                                                                                             10 pont

 

A két szám átlaga akkor egész, ha a dobott számok összege páros, azaz a számok paritása megegyezik. Ez az eseteknek pontosan a felében fordul elő. (Mindkét kockán ugyanannyi a páros szám, mint a páratlan.)

Gondolatmenettől függően részpontszám adható

9. Egy rombuszcsúcsánál fekvő szöge -os. Megrajzoljuk azokat a szabályos háromszögeket, amelyek egyik csúcsa, a másik két csúcs pedig a szemközti oldalakon van. Melyik háromszögnek lesz ezek közül a legkisebb a területe? Hányadrésze ez a rombusz területének?                                                                                                           16 pont

 

A szabályos háromszög területe négyzetesen arányos az oldala hosszúságával, ezért annak a szabályos háromszögnek a legkisebb a területe, amelynek a legrövidebb az oldala. Ez pedig az a háromszög, amelynek az oldalai az  csúcsból a szemközti oldalakra bocsájtott merőleges (ezek éppen szabályos háromszöget határoznak meg, mert az -nál lévő csúcs éppen , vagyis a két merőleges ezt a szöget éppen a negyedrészénél, illetve háromnegyed részénél osztja). (8 pont)

Legyen a rombusz oldala egységnyi, ekkor a területe , az  pontból a szemközti oldalakra bocsájtott merőlegesek hossza. A beírt –  oldalhosszúságú – szabályos háromszög területe, , ami az eredeti területnek  része.

(Ez az arány darabolással is egyszerűen belátható.)

 

Ha bizonyítás nélkül megsejti, hogy melyik a minimális területű háromszög ( 2pont)

Ha meghatározza még az arányt is ( 6 pont).