| 2020 ősz / Fall 2020 |
| EGYÉNI KUTATÓMUNKA 1 |
| Borbényi Márton |
Csikvári Péter |
Teljes párosítások síkgráfokban |
A teljes párosítások számának meghatározására nem ismert
gyors algoritmus tetszőleges gráf esetén. Azonban síkgráfok
esetén Kasteleyn illetve tőle függetlenül Temperley és Lieb
adott ilyen algoritmust. Richard Kenyon jelentősen
továbbfejlesztette elméletüket. 1995-ben megjelent
Local statistics of lattice dimers
című cikkében megmutatta például hogyan lehet egy adott
konfiguráció esélyét kiszámolni, ha választunk egy véletlen
teljes párosítást a négyzetrácsban vagy a hatszögrácsban.
Ehhez egy mély elméletet épített fel. Célom a témakör
komolyabb megértése, cikkek olvasása.
|
| Csahók Tímea |
Zábrádi Gergely |
Elliptikus görbék aritmetikája |
Az elliptikus görbék központi szerepet töltenek be az
aritmetikai geometriában. Számos híres megoldatlan probléma
kapcsolódik hozzájuk (pl. a milleniumi
Birch–Swinnerton-Dyer-sejtés), de a Fermat-sejtés
Wiles-féle bizonyításának kulcslépése is a Taniyama és Shimura
elliptikus görbékre vonatkozó sejtésének igazolása. A téma
mélyebb ismerete hasznos lesz mind a korábbi kutatási témám
(centrális egyszerű algebrák explicit izomorfizmusai) mind a
további algebrai számelméleti tanulmányaim
szempontjából.
|
| Csáji Gergely Kál |
Ivanyos Gábor |
Algebrai kvantumalgoritmusok |
Napjainkban jelentősen megnőtt az érdeklődés a
kvantumszámítástudomány iránt. Egyrészt Peter Shor forradalmi
algoritmusai nyomán, melyek polinomiális időben megoldják a
prímfaktorizációs és diszkrét-log problémákat, másrészt az első
kvantumszámítógépek sikeres létrehozása miatt. Azóta kiderült,
hogy ezen két probléma és még rengeteg más is, mind egy algebrai
feladat, az úgynevezett rejtett részcsoport probléma speciális
esetei. Erre Abel-csoportok esetében már létezik általános
polinomiális idejű kvantumalgoritmus, a nemkommutatív eset
viszont jóval bonyolultabb, itt még csak speciális esetekre
ismertek hatékony megoldások (pl. diédercsoport), azonban ezek
legjobb esetben is szubexponenciális idejűek. A feladat a
témakörhöz kapcsolódó cikkek és szakirodalom feldolgozása és
elsajátítása, illetve új algoritmusok keresése.
|
| Ferenczi Dávid |
Backhausz Ágnes |
PAF-hálózazok fokszámeloszlásai |
Egy olyan növekvő hálózatot vizsgálunk, ahol minden csúcsnak
van egy ún. „Fitnesse” vagy alkalmassága, ami
meghatározza, hogy egy új csúcs milyen valószínűséggel
csatlakozik hozzá, ahogy a hálózat bővül. Emellett persze az
is igaz, hogy egy új csúcs „szívesebben”
csatlakozik egy olyan csúcshoz, aminek már úgyis sok
szomszédja van. Ezen típusú hálózatok fokszámeloszlásainak
a viselkedését szeretnénk megérteni. Ennek a középpontjában
az alábbi cikk van:
Bas Lodewijks,
Marcel Ortgiese: A phase transition for
preferential attachment models with additive fitness.
A cél a cikk megértése mellett a cikkben használt diszkrét
martingálelméleti, valamint sztochasztikus approximációs
módszerek megértése és lehetséges további alkalmazások
keresése.
|
| Forman Balázs Attila |
Terpai Tamás |
Lie-csoportok vizsgálata Morse elmélettel |
A munka célja kompakt mátrix Lie-csoportok
csoportstruktúrájának és topológiájának mélyebb
megismerése alkalmas Morse-függvények segítségével.
|
| Gehér Boglárka |
Ágoston István |
A finitisztikusdimenzió-sejtés monomiális algebrákra |
A homologikus algebra egyik legismertebb, máig megoldatlan
sejtése a véges dimenziós algebrák ún. finitisztikus
dimenziójára vontakozik, s azt állítja, hogy ez a dimenzió
mindig véges. Számos speciális algebraosztályra már
bebizonyították a sejtést, de az általános tétel egyelőre még
„hiányzik”. A monomiális algebrák osztálya számos
problémánál „tesztesetként” működhet. A feladat a
monomiális algebrákra vonatkozó cikkek áttekintése lenne.
|
| Göde Ábel |
Tarcsay Zsigmond |
Pozitív operátorok lokálisan konvex tereken |
\(H\) Hilbert-tér esetén jól ismert a \(B(H)\)-beli pozitív
operátorok fogalma. Ez a fogalom kiterjeszthető olyan
\(X\)-ből \(Y\)-ba menő operátorokra, ahol \((X, Y)\) egy
úgynevezett antiduális pár. Célom az ilyen operátorokkal
kapcsolatos eredmények feldolgozása.
|
| Kovács Benedek |
Csikvári Péter |
Páronként diszjunkt vektorpárok keresése
\(F_2^n\)-ben előírt különbségsorozattal
|
Kutatásomban Balister, Győri és Schelp 2008-as sejtését
vizsgálom, mely a
Coloring Vertices and Edges of a Path by Nonempty
Subsets of a Set
c. cikkükben található. Eszerint ha a kételemű test feletti
\(N=2^n\) elemű vektortérben adottak \(d_1, d_2, \ldots, d_m\)
nemnulla különbségvektorok, ahol \(m=\frac{1}{2}N-1\), akkor
léteznek csupa különböző \(x_1, x_2, \ldots, x_m\) és
\(y_1, y_2, \ldots, y_m\) vektorok úgy, hogy minden \(i\)-re
\(x_i-y_i=d_i\). Egyszerű mohó algoritmussal a feladat
megoldható \(m=\frac{1}{4}N\)-re, és Zsigri Bálinttal közös
nyári kutatásunkban egy továbbfejlesztett módszer használatával
sikerült ezt megjavítanunk \(m=\frac{7}{26}N\)-re.
Célom az őszi félévben további haladás elérése a sejtés
irányában, például a módszerünkön való lehetséges javítások
keresésével.
|
| Michaletzky Tamás Vilmos |
Kurics Tamás |
Bevezetés a Deep Learningbe |
A gépi és mély tanulás számítógépes és matematikai
alapjai, neurális hálók interpretálása Pythonban.
|
| Pituk Sára |
Kiss György |
Többszörösen telítő halmazok és MCF-kódok |
Az \(R\) sugarú térlefedő kódok egy érdekes családját
alkotják az olyan kódok, ahol minden \(x\) szóhoz, ami
\(R\) Hamming-távolságra van a kódtól, egynél több olyan
\(y\) kódszó is van, amire \(d(x,y)=R\). Ezek az ún. MCF
(multiple covering of the farthest-off points)-kódok.
A kódelméletben megszokott módon az MCF-kódoknak is
megfeleltethetünk bizonyos tulajdonsággal rendelkező véges
projektív térbeli ponthalmazokat. A munkám során szeretném
feldolgozni a témához kapcsolódó szakirodalmat, valamint
minél optimálisabb kódokat konstruálni.
|
| Schefler Barna |
Ágoston István |
Konstrukciók kváziöröklődő és rétegezett algebrákra |
A kb. huszonöt-harminc éves múltra visszatekintő kváziöröklődő,
illetve rétegezett algebrák több irányból is megközelíthetők
(eredetileg a Lie-algebrák reprezentációelméletével
kapcsolatban kezdték őket vizsgálni). Számos konstrukció
eredményez ilyen algebrát, s ezek közül némelyek erős extra
tulajdonságokkal is rendelkeznek. A feladat az ún. erősen
kváziöröklődő algebrák előállításának vizsgálata lenne
(ezen algebrák bevezetését lásd Ringel
Iyama's finiteness theorem via strongly quasi-hereditary
algebras
c. cikkében).
|
| EGYÉNI KUTATÓMUNKA 2 |
| Gehér Boglárka |
Sági Gábor |
Szubdirekt irreducibilis algebrák számosságai |
Egy \(V\) algebraosztályt varietásnak neveznek, ha
\(V\) azonosságokkal axiomatizálható. Egy \(V\) varietás
szubdirekt irreducibilis algebrái \(V\) elemeinek
„építőkövei”. Taylor egy tétele szerint, ha
\(V\)-ben legfeljebb \(\kappa\) darab művelet van, és
\(V\)-ben van \(2^\kappa\) méretű szubdirekt irreducibilis
algebra, akkor van akármekkora is. A projekt Taylor tételének
rekonstrukciója, finomítása.
|
| Jung Attila |
Katona Gyula |
Korlátos fokszámú halmazrendszerek árnyéka |
A cél egy árnyéktétel bizonyítása uniform halmazrendszerekre
korlátos fokszám esetén. Egy \(k\)-uniform \(H\)
halmazrendszer árnyéka az a legnagyobb \((k-1)\)-uniform \(S\)
halmazrendszer, ahol minden \(S\)-beli \(s\)-hez található
\(H\)-beli \(h\), hogy \(s\) része \(h\)-nak. Minden pozitív
egész \(k\)-ra és \(f\)-re vizsgáljuk, hogy \(k\)-uniform
halmazrendszerekben, ahol minden fokszám \(f\) alatt marad,
mi az árnyék és a halmazrendszer méretei hányadosának
minimuma.
|
| Kubasch Alexander Arnd |
Szőke Róbert |
Kompakt komplex sokaságok endomorfizmusai |
Legyen \(X\) kompakt komplex sokaság és jelölje
\(\operatorname{End}(X)\) az \(X\to X\) holomorf leképezések
halmazát. Azt szeretnénk megvizsgálni, hogy
\(\operatorname{End}(X)\) „mennyivel nagyobb”,
mint az automorfizmusok (Lie-)csoportja, hogy létezik-e valami
természetes komplex analitikus struktúra
\(\operatorname{End}(X)\)-en, illetve, hogy mire használható
ez az objektum. (Meghatározza-e \(X\)-et például?)
|
| Németh Álmos |
Csikós Balázs |
A középgörbületi folyam a síkon és a térben |
A félév során a középgörbületi folyammal kapcsolatos
következő problémákat szeretnénk körüljárni:
-
Milyen kapcsolat van a forgásfelületekre felírt
középgörbületi folyam és a megforgatott görbére felírt
görbe-rövidítő folyam között? Lehetséges kérdés például,
hogy milyen feltételek mellett fog egy beágyazott tórusz
rázsugorodni egy körvonalra, illetve egy pontra, valamint
hogy milyen feltételek mellett kapunk önhasonló megoldást a
folyamra.
-
Ismert, hogy a tórusznak megadható a 3-dimenziós térbe
történő olyan beágyazása, mely a középgörbületi folyam
hatására egy körhöz konvergál. Mely egyéb sima beágyazott
zárt görbéhez található olyan nemnegatív átlaggörbületű
felület, amely Hausdorff-konvergál a görbéhez az első
szinguláris időpontban?
(AIM Geometric
flows and Riemannian geometry, 2.4 probléma)
-
Hogyan jellemezhető egy „spirál-szerű” görbe
evolúciója a görbe-rövidítő folyam során?
(AIM Geometric
flows and Riemannian geometry, 2.3 probléma)
Feladat emellett a „Carlo Mantegazza - Lecture Notes on
Mean Curvature Flow” jegyzet és esetleges további irodalom
olvasása.
|
| Seress Dániel |
Komjáth Péter |
Rendezett halmazok |
Komjáth Péter és Totik Vilmos
Problems and Theorems in Classical Set Theory
című könyvének rendezett halmazokról szóló fejezetéből fogok
néhány feladattal foglalkozni. Számomra a legérdekesebb: van
olyan végtelen rendezett halmaz, amely semmilyen valódi
részhalmazával nem izomorf.
|