1. előadás (február 13.) [K 2.2, 5.3, 5.11]
Bemelegítésképpen kétféle módszerrel is 'köbgyöktelenítettük' az 1/(1+∛2) tört nevezőjét. Vázoltam a félév tematikáját, majd összefoglaltam, mit érdemes átismételni a korábban tanultakból.
Gyűrű, kommutatív gyűrű, egységelemes gyűrű, ferdetest test. Gyűrűben 0r = r0 = 0, egységelemes gyűrűben 1 ≠ 0. A részgyűrű fogalma és jellemzése: benne van a 0, és zárt az összeadásra, a szorzásra és az ellentett képzésére. Egység, nullosztó. Nullosztómentes gyűrűben nem 0 számmal lehet egyszerűsíteni.
Példák gyűrűkre. Z, ebben részgyűrűt alkotnak egy adott számmal osztható számok. Minden (ferde)test. Zm, ez pontosan akkor nullosztómentes, ha m prím, ekkor egyben test is. T[x]. R[x], ha R 1-elemes kommutatív gyűrű. Ez pontosan akkor nullosztómentes, ha R is az, ebben az esetben áttekintettük az összes egységet is. Tn×n, ez n > 1 esetén nem kommutatív, nem nullosztómentes.
Egy halmaz részhalmazai a szimmetrikus differenciára és a metszetre nézve. A valós függvények a szokásos műveletekkel, ebben részgyűrűt alkotnak a folytonos függvények, azon belül pedig a differenciálhatók. Az a+b√2 alakú számok, ahol a,b egész. A Gauss-egészek.
Minden ferdetest nullosztómentes. Véges nem 0 nullosztómentes gyűrű ferdetest, a bizonyításhoz használtuk az 5.3.4 Lemmát.
Kvaterniók. Konjugált, norma, nem 0 kvaternió inverze. Ebben részgyűrűt alkotnak a komplex számok. Kapcsolat térvektorokkal, azok skaláris, illetve vektoriális szorzatával.
2. előadás (február 20.) [2.2, 5.1, 5.7, 5.11]
Művelettartó leképezések. Példák: csoportok izomorfizmusa, vektorterek közötti lineáris leképezések, maradékosztályok képzése, komplex konjugálás, permutáció előjele. H-ban a konjugálás az összeadást megtartja, de a szorzást nem.
Általános elv: művelettartó szürjektív leképezés egy algebrai struktúráról egy hasonló műveletekkel ellátott halmazra azon egy ugyanolyan típusú algebrai struktúrát hoz létre, a műveleti azonosságok, axiómák öröklődése révén. Csoportok esetén ezt be is bizonyítottuk. Példák: a komplex számok, illetve a kvaterniók reprezentálása 2×2-es valós, illetve komplex elemű mátrixokkal. Gyűrűhomomorfizmus, H-ban is teljesülnek a gyűrűaxiómák.
R és C beágyazása H-ba. A valós számok minden kvaternióval felcserélhetők, így nem nulla valós számmal lehet osztani, más kvaterniókkal való osztásnak csak jobb- vagy baloldalról van értelme és az eredmény általában nem ugyanaz.
Az alapvető számkörök: N, Z, Q, R, C, H egymásra épülése. A természetes számok felépítése az 1-ből, néhány szó ennek axiomatizálásáról, a teljes indukció és a rekurzív definiálhatóság elvéről. A természetes számok összeadásának és szorzásának rekurzív bevezetése, az összeadás asszociativitásának, illetve kommutativitásának levezetése.
Az egész számok bevezetése N-ből képzett számpárok ekvivalenciaosztályainak segítségével. A műveletek definiálása, ezzel kapcsolatban felmerülő kérdések. Az összeadásra nézve így kommutatív csoportot kapunk.
3. előadás, február 27. [K 2.2, 5.7, 5.8]
Az egész számok konstrukciójával kapcsolatban megbeszéltük, hogy az (1,1), (n+,1), (1,n+) párok (n∈ N) mind különböző osztályba esnek, és minden (a,b) pár ezek valamelyikével ekvivalens. Az n → (n+,1) leképezés N beágyazása Z-be. Z kommutatív, egységelemes, nullosztómentes gyűrű.
A hányados értelmezése kommutatív gyűrűben. A hányadostest fogalma; ehhez szükséges, hogy a gyűrű kommutatív és nullosztómentes legyen. A hányadostest konstrukciója bizonyítással, az egyértelműséget NB. Ha R részgyűrűje az S testnek, akkor S-nek van R hányadostestével izomorf részteste, és az az a/b (b ≠ 0) alakú elemekből áll. Z hányadosteste Q, T[x] hányadosteste T(x), a T fölötti racionális törtfüggvények teste. Z[x] hányadosteste Q(x).
Testek karakterisztikája és annak tulajdonságai, egyelőre bizonyítás nélkül. Minden test tartalmaz egy legszűkebb résztestet, ami a karakterisztikától függően vagy Q-val, vagy valamely Zp-vel izomorf (egyelőre nem biz.). E résztest fölött a test vektortér lesz.
4. előadás, március 5. [K 2.2, 3.4, 3.5, 5.8, 5.9]
Felelevenítettük, hogy a hatványozás azonosságai mit jelentenek egy test additív csoportjában. Ha valamely nemnulla elem k-szorosa 0, akkor az e egységelem k- szorosa is 0. A legkisebb ilyen k pozitív egész szám prímszám, ez a test karakterisztikája. Ha ilyen szám nincs, akkor a karakterisztika 0. Az e által generált részcsoport T+-ban a karakterisztikától függően p-elemű vagy végtelen ciklikus csoport, ami a szorzásra nézve is zárt. Az e által generált részgyűrű ennek megfelelően Zp-vel vagy Z-vel izomorf, az e által generált résztest pedig Zp-vel, vagy Q-val. Ha a karakterisztika p, akkor egy nemnulla elem k-szorosa pontosan akkor 0, ha p | k.
Részbenrendezés, teljes rendezés, ezekkel kapcsolatos jelentések. Pár szó N rendezéséről, ennek kiterjesztéséről Z-re, Q-ra, R-re. A rendezés alapvető tulajdonságai ezeken a struktúrákon.
A részbenrendezett és a (teljesen) rendezett gyűrű fogalma. A pozitivitási tartomány tulajdonságai, kapcsolata a rendezéssel. Rendezett gyűrűben nemnulla elem négyzete, ilyenek összege is pozitív. Az 1 pozitív, a -1 pedig negatív. C és Zp nem rendezhető, Z és R pedig csak a szokásos módon.
Z[x]-ben minden polinom egy egész szám és egy primitív polinom szorzata. Tételek egyelőre bizonyítás nélkül: 3.4.5, 3.4.7, 3.5.2 (Schönemann–Eisenstein kritérium).
5. előadás, március 12. [K 3.4, 3.5, 3.9]
Egy konstans polinom pontosan akkor osztója f-nek Z[x]-ben, ha osztója f minden együtthatójának. Z[x] egységeinek és a felbonthatatlan konstans polinomoknak a leírása. Z[x]-ben minden polinom, ami nem 0 vagy egység, felírható véges sok felbonthatatlan (irreducibilis) polinom szorzataként.
A maradékos osztás Z-ben és Q[x]-ben. Normált polinommal Z[x]-ben is lehet maradékosan osztani.
1. Gauss-lemma: ha egy p prímszám, mint konstans polinom osztója két polinom szorzatának, akkor osztója valamelyik tényezőnek. Következmények: primitív polinomok szorzata is primitív, ha egy primitív polinom oszt egy egész együtthatós polinomot Q[x]-ben, akkor azt Z[x]-ben is osztja.
2. Gauss-lemma, egyelőre NB. A Schönemann-Eiseinstein kritérium bizonyítása. Q fölött minden n természetes számra létezik n-ed fokú irreducibilis polinom.
A primitív n. egységgyökök felelevenítése, az n. körosztási polinom. Az n=1,2,3,4 eset. xn-1, mint körosztási polinomok szorzata, Φn rekurzív meghatározása. Φn egész együtthatós. Φp általános alakja, irreducibilitása Q fölött.
6. előadás, március 19. [K 3.4, 3.5, 6.1] [FGy 9.1, 9.2]
A 2. Gauss-lemma bizonyítása. Kapcsolat a Z és a Q fölötti irreducibilis polinomok között. Egy egész együtthatós polinom pontosan akkor irreducibilis Z fölött, ha konstans prím, vagy nem konstans primitív, Q fölött irreducubilis polinom.
Z[x]-ben minden irreducibilis polinom prímtulajdonságú, ebből következik Z[x>]-ben a SZAT egyértelműségi része.
Alaptételes gyűrű. Z és Q[x] alaptételes, Q a Z hányadosteste. Általánosítás (NB): alaptételes gyűrű fölötti polinomgyűrű is alaptételes. Köv: Z, illetve T fölötti többváltozós polinomgyűrű is alaptételes.
Algebrai, illetve transzcendens számok, példák. A minimálpolinom fogalma és alapvető tulajdonságai, egyelőre csak kimondva.
7. előadás, április 9. [K 6.1, 6.2] [FGy 9.1,9.2, 10.1, 10.2]
A minimálpolinom alapvető tulajdonságainak bizonyítása. Algebrai szám foka. Q(α) definíciója. Ha α foka d, akkor ebben, mint Q fölötti vektortérben 1, α, α2, ..., αd-1 független rendszer, de αd hozzávételével már összefüggő.
Q(α) leírása, mint az f(α)/g(α) alakú törtek halmaza, ahol f,g eleme Q[x], g(α) nem 0. Ha α transzcendens, akkor ez izomorf Q[x] hányadostestével. Q(α) elemei, ha α algebrai szám. Következmény: ha α foka d, akkor 1, α,α2,...,αd-1 bázis Q(α)-ban.
Általános L|K testbővítésben minden ugyanúgy megy, egyedül K(α) definíciójánál kell egy kicsit vigyázni. Testbővítés foka. Az α pontosan akkor algebrai K fölött, ha |K(α):K| véges, amikor is pontosan α fokával egyenlő. Köv: Véges fokú bővítés minden eleme algebrai.
K(α,β)=(K(α))(β). Fokszámtétel, egyelőre NB. Következmény: algebrai elemek összege, különbsége, szorzata és (értemezhető) hányadosa is algebrai, az algebrai számok testet alkotnak.
8. előadás, április 16. [K 3.6, 6.2, 6.3, FGy 10.1-3]
A fokszámtétel bizonyítása. Ha β∈K(α), akkor β (K fölötti) foka osztja α fokát.
Az a,b valós számokra a+bi pontosan akkor algebrai, ha a és b is algebrai.
Q másodfokú bővítéseinek leírása. Ha d ≠ 1 négyzetmentes szám, akkor √d foka 2. Ha |K:Q|=2, akkor van olyan d ≠ 1 négyzetmentes szám, amelyre K=Q(√d). Különböző d számokra különböző K testeket kapunk, ez gyakorlaton lesz.
A többszörös gyök fogalma. Ezt az előadáson csak C fölött csináltuk, mert ott minden polinom gyöktényezőkre bomlik. Egy f polinom egy gyöke pontosan akkor többszörös gyök, ha f deriváltjának is gyöke. Tehát a többszörös gyökök éppen f és f' közös gyökei, vagyis az (f,f') polinom gyökei. Köv: Q fölött irreducibilis polinomnak nem lehet többszörös gyöke.
Q fölött minden véges fokú bővítés egyszerű, vagyis Q(γ) alakú.
9. előadás, április 23. [K 6.8]
Először megbeszéltük, hogyan lehet megszerkeszteni egy egyenlő szárú háromszöget, ha adott az alapja és a beírt kör sugara. Eközben áttekintettük az euklideszi szerkesztések 5 fajta megengedett lépését. Megemlítettem, hogy nincs olyan szerkesztési eljárás, amely a szárak hosszából és a beírt kör sugarából mindig előállítaná a keresett háromszöget, ezt majd gyakorlaton dolgozzuk fel.
Csak vonalzóval történő szerkesztési feladatok közül megoldottuk azt, hogyan lehet egy adott általános trapéz alapjainak felezőpontjait megszerkeszteni. Bebizonyítottuk, hogy adott négyzetrácsból nem lehet csak vonalzóval olyan szabályos háromszöget szerkeszteni, melynek egyik oldala egybeesik valamelyik kis négyzet egy oldalával.
Nevezetes szerkesztési feladatokkal kapcsolatban elmondtam, hogy a kockakettőzést, körnégyszögesítést, szögharmadolást nem lehet megoldani euklideszi szerkesztéssel, szabályos 7-szög/9-szög nem szerkeszthető, de 5-szög igen.
A feladat pontos megfogalmazása, a koordinátarendszer felvétele. A (0,0) és (1,0) pontokból az egész koordinátájú pontok megszerkesztése. Szerkeszthető számok, pont pontosan akkor szerkeszthető, ha koordinátái ilyen számok. Összeg , különbség, szorzat, hányados, négyzetgyök szerkesztése. A kiindulási test elemei szerkeszthető számok, a szerkeszthető számok testet alkotnak.
Végül kimondtam a szerkeszthetőség szükséges és elégséges feltételéről szóló tételt, és megállapítottuk, hogy az elégségességet már többé-kevésbé be is láttuk. Következmény: minden szerkeszthető szám foka a kiindulási test fölött 2-hatvány, tehát pl. a kockakettőzés nem megoldható.
10. előadás, április 30. [K 6.8]
Felelevenítettük az euklideszi szerkesztési feladat pontos megfogalmazását. Ha egy kör adott, vagy egy szög, és abból kell valamit megszerkeszteni, az is visszavezethető arra, hogy adott legalább két pont.
Ha K elemei és α is szerkeszthető, akkor K(α) elemei is szerkeszthetők. Ennek speciális esete, ha α foka K fölött 2. A kiindulási test elemei szerkeszthető számok. Ebből következik a szerkeszthetőségre vonatkozó feltétel elégségessége.
Minden megengedett lépésnél a megszerkesztett pont, kör vagy egyenes koordinátái egy legfeljebb másodfokú bővítésen belül maradnak. Ebből következik a feltétel szükségessége.
Alkalmazás a kockakettőzés, körnégyszögesítés, szögharmadolás feladatára. Szabályos n-szög pontosan akkor szerkeszthető, ha cos(2π/n) szerkeszthető szám, ennek szükséges feltétele, hogy &\phi;(n) kettőhatvány legyen. A feltétel elégséges is, de ezt nem bizonyítjuk. A bizonyítás során felhasználtuk az általános körosztási polinom irreducibilitását (NB).