Vizsgatájékoztató. A vizsgatematikából törlendő: Mese a valós számok egy algebrai bevezetésének a lehetőségéről.
Az előadás pontos ideje: hétfő 8-9:40 (10 perc szünettel), Északi épület 3.67 terem.
Konzultációk: hétfő és péntek 10-10:30, 3-202 szoba, valamint kedd 19 óra online, az előadás teams felületén.
Mi történt az előadáson?
1. előadás, 09/12. Gyűrű, inverz, nullosztó, kapcsolatuk, egyszerűsítés. Test. Véges nullosztómentes gyűrű ferdetest, sőt test, ez utóbbit nem bizonyítottuk. Példák: egészek, páros számok, racionális számok, kvaterniók, négyzetes mátrixok, polinomok, Z_n, sorozatok stb. Részgyűrű, példák, kritériumok. Részgyűrű nulleleme szükségképpen az eredeti gyűrű nulleleme és ugyanez áll az ellentettre, de egységelemre (ha van) ez általában nem igaz (lásd a gyakorlaton). [Kiss: Bevezetés az algebrába (ezentúl ALG) 2.2, Freud: Lineáris algebra (ezentúl LA) A.3.]
2. előadás, 09/19. Ideál, kritérium, testben (és ferdetestben) csak triviális ideálok vannak. Főideál (csak kommutatív egységelemes gyűrűben): egy elem többszörösei; ez az adott elemet tartalmazó legszűkebb ideál. Ideál szerinti maradékosztály, faktorgyűrű. Az ideálság ahhoz kellett, hogy a maradékosztályokra a reprezentánsok segítségével definiált műveletek eredménye ne függjön a reprezentáns választásától. (ALG: 5.1, 5.2, LA: A.6.)
3. előadás, 09/26. A valós együtthatós polinomoknak az (x^2+1) főideál szerinti faktorgyűrűje izomorf a komplex stámokkal. Erre később még egy bizonyítást adtunk a homomorfizmustétel segítségével. Homomorfizmus, a mag ideál, a kép részgyűrű. Homomorfizmustétel, természetes homomorfizmus. (ALG: 5.1, 5.2.)
4. előadás, 10/03. Két gyűrű direkt összege, ebben az az eredeti gyűrűk szerepe ideálként, illetve faktorgyűrűként. Hogyan látszik belülről, hogy egy gyűrű előáll nem triviálisan két gyűrű direkt összegeként? Nullosztók a direkt összegben. A gyűrűkön végzett struktúravizsgálatok összefoglalása. Rövid jelzés, hogy néz ez ki csoportoknál, ott az ideál megfelelője a normális részcsoport. Számelmélet egységelemes, kommutatív, nullosztómentes gyűrűben, egységek. Oszthatóság és főideálok kapcsolata. Mikor egyenlő két főideál? (ALG: 5.1,4.7, Freud-Gyarmati Számelmélet, ezentúl SZE: 11.2.)
5. előadás, 10/10. Lnko, irreducibilis és prím elem, SZAT. Lnko és két elem által generált ideál kapcsolata. SZAT szükséges és elégséges feltétele (bizonyítás egyes részei). Főideálgyűrűben igaz a SZAT (egyes bizonyításrészek érzékeltetve). Euklideszi gyűrű főideálgyűrű. Példák a különféle típusokra (egy részük gyakorlaton). (SZE: 11.2-3, ALG: 5.5.)
6. előadás, 10/17. I. zh.
7. előadás, 10/24. Fermat-sejtés: Hogyan kapcsolódik bizonyos gyűrűk számelméletéhez, és hogyan próbálták pótolni az lnko-t az "ideális számokkal"; így keletkeztek a később máshol alapvetően fontosnak bizonyult ideálok. Testbővítés mint faktorgyűrű. Véges testek, alaptulajdonságok. 8 elemű test konstrukciója. (SZE: 7.7, 11.2, ALG: 6.4, 6.7, LA: A.7, A.8.)
8. előadás, 11/07. Sidon-sorozatok: kettőhatványos konstrukció, alsó becslés mohó algoritmussal, felső becslés az összegek, illetve különbségek leszámlálásával, aszimptotikus eredmény (bizonyítás nélkül), véges testes konstrukció. Kódok: kétszeri, illetve háromszori ismétlés, paritásellenőrző kód, t-hibajelzés, t-hibajavítás, ezek jellemzése a kódszavak közötti távolsággal. (SZE: 12.2, LA: 9.6, 10.1, ALG: 9.1.)
9. előadás, 11/14. Vektor súlya, lineáris kód, generátor- és ellenőrző mátrix, hibaminta, szindróma, 1-hibajavítás, Hamming-kód, 2-hibajavító BCH-kód. (LA: 10.2-10.4, ALG: 9.2.)
10. előadás, 11/21. Sokszögek és poliéderek átdarabolhatósága: Bolyai- Gerwien-tétel, Hilbert harmadik problémája (LA: 9.7).
11. előadás, 11/28. II. zh.
12. előadás, 12/05. Hányadostest. A prímszámok sűrűsége, a felső becslés részletesen. (ALG: 5.7, SZE: 5.4.)