4. Sorozatok

4.1. Sorozatokról általában

A sorozatok a pozitív egész számokon értelmezett függvények. Mivel az értelmezési tartomány a természetes számok halmaza, a sorozatoknak mindig végtelen sok tagja van. Ha az értékkészlet része a valós számhalmaznak, valós számsorozatról beszélünk. Mi a továbbiakban mindig valós számsorozatokkal foglalkozunk.
A sorozatok jelölése: , a sorozatok -edik tagjának jelölése: .
A sorozatokat a tagjaik meghatározásával adjuk meg. A továbbiakban, ha mást nem mondunk, az betűk pozitív egészeket jelölnek.
Példák:
  • Legyen az -edik pozitív páros szám. így
  • Legyen Tehát

4.2. Rekurzív sorozatok

Az előző példákban a sorozat -edik tagját ki tudtuk számolni közvetlenül -ből.
A következő példákban a sorozat valamelyik tagjának kiszámolásához ismernünk kell a sorozat előző tagját vagy tagjait. Ezt a megadást rekurziónak hívjuk.
Példák:
  • Legyen , és . Ekkor
    Itt nem tudjuk közvetlenül segítségével megadni a sorozat -edik tagját. \item Legyen és . Most
  • Legyen és . Most
Sokszor a feladatok megoldásához hasznos, ha a rekurzióval megadott sorozatokat átírjuk olyan alakba, ahol a sorozat tagjait közvetlenül ki tudjuk számítani az indexükből.
Példa: Legyen , és . Határozzuk meg a sorozat tagjait közvetlenül az index segítségével!
Megoldás:Az ilyen típusú feladatokban célszerű kiszámolni a sorozat első tagjait:
Ezután az a sejtésünk, hogy esetén . Ezt a sejtést például teljes indukcióval bizonyíthatjuk be.
Kiinduló tag:
Indukciós feltevés: Tegyük fel hogy valamilyen esetén .
Ekkor , tehát a sorozat -nál nagyobb indexű összes tagja .
Megjegyzés:A matematikában az axiómák kivételével minden állítást bizonyítani kell. Az egyszerű vagy egyszerűnek látszó állításokat is. Bizonyítás közben felhasználhatjuk az axiómákat és a már korábban bizonyított állításokat. Ahhoz, hogy tudjuk, hogy mit akarunk bizonyítani sejtésekre van szükségünk. A sejtésekhez rajzokkal, konkrét értékek kiszámításával juthatunk el. Nagyon fontos, hogy meg tudjuk különböztetni a sejtéseket a bizonyított állításoktól.

4.3. Speciális sorozatok: számtani és mértani sorozatok

Definíció:
  • Ha egy sorozatban a szomszédos tagok különbsége állandó, akkor a sorozatot számtani sorozatnak nevezzük.
  • Ha egy sorozatban a szomszédos tagok hányadosa állandó, akkor a sorozatot mértani sorozatnak nevezzük.
Megjegyzés:A legtöbb sorozat se nem számtani, se nem mértani sorozat.
Példa: Melyik sorozat számtani, melyik mértani a következő sorozatok közül?
Megoldás:
é
tehát a szomszédos tagok különbsége nem állandó, tehát a sorozat nem számtani sorozat.
állandó, tehát mértani sorozat.
Megjegyzés: Ahhoz elég két, egymástól eltérő különbséget mutatni, hogy biztosan megállapíthassuk, hogy a szomszédos tagok különbségei nem állandók. Annak bizonyításához, hogy a szomszédos tagok hányadosai állandók viszont nem elég két, egymással megegyező hányadost mutatni. Ebben az esetben az összes hányadost ellenőrizni kell, és ezt úgy tudjuk megtenni, ha a hányadost általánosan írjuk fel.
tehát a szomszédos tagok különbsége nem állandó, tehát a sorozat nem számtani sorozat.
tehát a szomszédos tagok hányadosa nem állandó, tehát a sorozat nem mértani sorozat.

4.4. Feladatok

Adjuk meg a következő sorozatok első 6 tagját, valamint a -adik és -edik tagot!
, és
Adjuk meg a következő sorozatok első 6 tagját, valamint a -adik és -edik tagot!
íéé
, és , ha .
, és , ha .
, és , ha .
Adjuk meg az első tag összegét a következő sorozatok közül azoknál, amelyek számtani, illetve mértani sorozatok!
Legyen . Számítsuk ki az első tag összegét!
Mutassunk olyan pozitív egész számot, amelyre igaz az, hogy ha , akkor\\ . Hány megoldása van a feladatnak?
Legyen .

Van-e olyan tagja a sorozatnak, amelyik nagyobb, mint ?
Adjunk meg olyan számot, hogy minden esetén teljesüljön az egyenlőtlenség!
Mutassunk olyan pozitív egész számot, amelyre igaz az, hogy ha , akkor . Hány megoldása van a feladatnak?
Mutassunk olyan pozitív egész számot, amelyre igaz az, hogy ha , akkor . Hány megoldása van a feladatnak?
Van-e a következő sorozatoknak -nál nagyobb tagjuk? Van-e olyan , amelyre teljesül, hogy minden esetén ? Van-e a sorozatoknak -nél kisebb tagjuk? Van-e olyan , amelyre teljesül, hogy minden esetén ?
Van-e olyan , amelyre nagyobb, mint
Bizonyítsuk be a binomiális tétel segítségével, hogy minden pozitív egész számra igaz, hogy .
Bizonyítsuk be a binomiális tétel segítségével, hogy minden pozitív , és minden pozitív egész számra igaz, hogy .
Adjunk meg olyan számot, hogy minden esetén teljesüljön, hogy
Sorozatok versenyfutása: Azt mondjuk, hogy az sorozat a versenyfutásban legyőzi a sorozatot, ha van olyan , hogy minden esetén . Határozzuk meg, hogy a következő feladatokban melyik sorozat nyeri a versenyfutást!
Vannak-e olyan és sorozatok, amelyek közül egyik sem győzi le a másikat?
Vannak-e olyan és sorozatok, amelyek közül mindkettő legyőzi a másikat?
Vannak-e olyan és különböző sorozatok, amelyek közül mindegyik legyőzi a\\ sorozatot, de és versenyfutásában nincs győztes?
Legyen és két pozitív tagú sorozat! Határozzuk meg a versenyfutás lehetséges eredményeit és , illetve és között.
Tegyük fel, hogy van olyan , hogy minden esetén , és hogy van olyan , hogy minden esetén . Melyik sorozat nyeri a versenyfutást: vagy ?
Bizonyítsuk be, hogy esetén . Igaz-e, hogy az egyenlőtlenséget minden -nál nagyobb egész szám kielégíti? Igaz-e, hogy az egyenlőtlenség megoldása az egész számok halmazán ?
Tegyük fel, hogy van olyan , hogy minden esetén . Következnek-e ebből a következő feladatok állításai?
Minden esetén .
Van olyan , hogy .
Az egyenlőtlenség akkor és csak akkor teljesül, ha .
Tegyük fel, hogy van olyan , hogy minden esetén . Lehetnek-e igazak a következő feladatok állításai?
Minden esetén .
Van olyan , hogy .
Az egyenlőtlenség akkor és csak akkor teljesül, ha .
Mi a következő állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik?

P: A versenyfutásban az sorozat legyőzi a sorozatot.
Q: Végtelen sok esetén .

P: A versenyfutásban az sorozat legyőzi a sorozatot.
Q: Az egyenlőtlenség csak véges sok esetén teljesül.