27. Zárthelyik és vizsgák a második félév anyagából
27.1. Első zárthelyi
Határozzuk meg a következő területi integrálokat:
A szukcesszív integrálási szabály szerint
Az integrálási tartomány egy középpontú sugarú körlap. Alkalmazzuk rá az
transzformációt, majd a szukcesszív integrálást.
Számítsuk annak a testnek a térfogatát, amelyet a és a
síkok, valamint az hengerpalást határolnak!
A (-sík) és a sík metszete az
egyenes az -síkban. Az origó és az egyenes távolsága nagyobb mint , ezért a kereset test
A test térfogata, ha
Konvergens-e a következő végtelen sor?
Első megoldás a nagyságrendi kritériummal:
Az racionális tört nagyságrendje .
Alkalmazzuk a nagyságrendi kritériumot a és a sorokra.
Mivel a sor konvergens, ezért a sor is konvergens.
Második megoldás a majorizációs elvvel:
Mivel a sor konvergens, ezért a sor is konvergens.
Konvergensek-e a következő végtelen sorok? Ha igen, határozzuk meg az
összeget!
A egy geometriai sor,
amelynek kvóciense . Ez abszolút értékben kisebb mint , ezért a sor konvergens és
A sor tagjai nem tartanak -hoz, mert
Ezért a sor divergens.
Adjuk meg az másodfokú, körüli Taylor-polinomját!
Mutassuk meg, hogy a másodfokú Taylor-polinom hibája esetén kisebb, mint .
Mivel az függvény páros, ezért a másodfokú Taylor-polinomja egyben a harmadfokú is:
Írjuk fel a Lagrange-féle maradékkal a függvény és a harmadik Taylor-polinom
eltérését. Eszerint esetén van olyan , amelyre
Adjuk meg az függvény körüli Taylor-sorát! Határozzuk
meg a sor konvergenciasugarát!
Felhasználjuk a geometriai sor összegképletét:
Ez a sor akkor konvergens, ha , azaz a konvergencia sugár .
Számoljuk ki a mátrixot, ha
27.2. Második zárthelyi
Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzét:
Az adjungált aldeterminánsaiból álló mátrix:
Ennek transzponáltja:
Tehát az inverz mátrix:
Keressük meg az differenciálegyenlet általános megoldását!
A differenciálegyenlet szeparálható:
A megoldás integrál alakban:
Az egyenletből kifejezhetjük -t:
Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket:
Az differenciálegyenlet elsőrendű inhomogén lineáris.
differenciálegyenlet. A homogén rész megoldása:
Keressük a partikuláris megoldást alakban:
Tehát az általános megoldás
Az differenciálegyenlet másodrendű állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenlet. Karakterisztikus egyenlete
Ennek az kétszeres gyöke, ezért az alaprendszer:
A differenciálegyenlet általános megoldása
Írjuk fel az alábbi térgörbe érintőjét a megadott pontban!
Az érintő egyenes irányvektora a görbe deriváltja az pontban. A görbe a esetén megy át ezen a ponton.
Az egyenes paraméteres egyenlete
Koordinátákkal felírva
Legyen valamint
Számítsuk ki azokat a kifejezéseket, amelyeknek van értelmük:
nem értelmes, csak skalármezőnek van gradiense!
nem értelmes, csak vektormezőnek van divergenciája!
nem értelmes, csak vektormezőnek van rotációja!
Határozzuk meg az alábbi vonalintegrált:
A görbe deriváltja
Határozzuk meg a primitív függvényt, ha
Tehát
27.3. Tesztkérdések
Melyik állítás igaz biztosan tetszőleges végtelen sor esetén? Ha a sor
divergens, akkor .
divergens, akkor divergens.
konvergens, akkor .
konvergens, akkor divergens.
A (c) igaz.
Melyik állítás hamis? A sor
konvergens.
tagjai -hoz tartanak.
divergens.
abszolút konvergens.
A (c) igaz.
Melyik állítás igaz minden esetén?
Az (a) igaz.
Melyik állítás igaz biztosan? Ha az hatványsor konvergens -ben, akkor
A (d) igaz.
Melyik állítás igaz? Legyen . Akkor
A (b) igaz.
Melyik állítás lehet hamis? Ha , és három tetszőleges -as mátrix, akkor
A (b) lehet hamis.
Melyik állítás biztosan igaz? Ha tetszőleges -as invertálható mátrix, akkor
A (b) igaz biztosan.
Melyik állítás igaz? Az differenciálegyenlet általános megoldása
A (b) igaz.
Melyik állítás hamis? Az differenciálegyenletet kielégíti az
A (b) hamis.
Melyik állítás igaz? A vektormező
divergenciája,
A (c) igaz.
Melyik állítás hamis? Ha egy skalármező, egy vektormező, akkor
Az (a) hamis, csak vektormezőnek van divergenciája.
Melyik állítás igaz? Ha , akkor
Az (a) igaz.
Melyik állítás lehet hamis? Ha folytonosan deriválható pontjaiban és minden pontban , akkor
vonalintegrálja minden zárt görbén ;
A (b) hamis.
27.4. Vizsgakérdések
Mondja ki a végtelen sorokra vonatkozó integrálkritériumot!
Integrál kritérium.
Ha egy monoton csökkenő pozitív függvény az félegyenesen, akkor
a végtelen sor
és az improprius integrál egyszerre konvergens vagy
divergens.
Írja fel az függvény körüli Taylor-sorát!
, ha .
Mondja ki a sajátérték és sajátvektor definícióját!
Sajátérték.
A valós számot az lineáris transzformáció sajátértékének nevezzük, ha található egy vektor, amelyre .
Sajátvektor.
A vektort az lineáris transzformáció sajátvektorának nevezzük, ha található olyan valós szám, amelyre .
A sor két konvergens geometriai sor összegére bontható.
Határozza meg a hatványsor konvergenciasugarát!
A szomszédos együtthatók hányadosának határértéke
mivel a nevező foka nagyobb a számláló fokánál. Tehát a konvergencia sugár végtelen, a hatványsor mindenütt konvergens.
Számolja ki az
mátrix inverzét!
Az adjungált aldeterminánsaiból álló mátrix:
Ennek transzponáltja:
Tehát az inverz mátrix:
Írja fel a másodrendű állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldását!
Karakterisztikus egyenlet.
Az másodrendű állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenlet karakterisztikus egyenlete a
másodfokú egyenlet.
Ha és a karakterisztikus egyenlet két különböző valós gyöke, akkor a homogén egyenlet alaprendszere:
Ha a karakterisztikus egyenlet kétszeres valós gyöke, akkor a homogén egyenlet alaprendszere:
Ha a karakterisztikus polinomnak nincs valós gyöke, és az egyik komplex gyök , akkor a homogén egyenlet alaprendszere:
A homogén egyenlet általános megoldása
Hogyan számoljuk ki egy térgörbe ívhosszát?
Ívhossz kiszámolása.
Ha az térgörbe folytonosan deriválható, akkor a görbe rektifikálható és
Írja fel a gradiens, divergencia és a rotáció képleteit a parciális deriváltak használatával!
Ha egy skalármező, egy vektormező, akkor
Az skalármező gradiense:
A divergencia kiszámolása.
Ha a vektormező folytonosan deriválható, akkor
A rotáció kiszámolása.
Ha a vektormező folytonosan deriválható, akkor
Mit jelent az, hogy egy vektortérnek van primitív függvénye? Mi a primitív függvény létezésének szükséges feltétele folytonosan deriválható vektortér esetén?
Vektormező primitív függvénye.
Azt mondjuk, hogy az skalármező primitív függvénye a vektormezőnek a nyílt halmazon, ha a minden pontjában
Ha a vektormező folytonosan deriválható és -nek van primitív függvénye, akkor a vektormező örvénymentes azaz
Oldja meg az differenciálegyenletet!
Az differenciálegyenlet szeparálható.
Megjegyzés:
Az differenciálegyenlet elsőrendű lineáris, ezt használva is megoldhatjuk az egyenletet, de az több számolást igényel.
Írja fel az térgörbe érintőjének paraméteres egyenletrendszerét -ban!
Kiszámoljuk az érintési pontot és az érintő irányvektorát.
Az érintő paraméteres vektoregyenlete
Koordinátákkal felírva kapjuk az érintő paraméteres egyenletrendszerét:
