Először megpróbáltuk 'köbgyökteleníteni' az 1/(1+∛2) tört
nevezőjét, majd röviden beszéltem arról, mivel fogunk foglalkozni a félév
során.
Gyűrű, kommutatív gyűrű, egységelemes gyűrű, ferdetest, test
fogalma. Részgyűrű fogalma, hogyan ellenőrizzük, hogy egy részhalmaz
részgyűrű. Egység, nullosztó. Minden ferdetest
nullosztómentes. Nullosztómentes gyűrűben minden nemnulla elemmel lehet
egyszerűsíteni. Minden véges nemnulla (egységelemes) nullosztómentes gyűrű
ferdetest, vagyis Weddernburn tétele értelmében (amit NB=nem biz.), test. A
bizonyításnál egyelőre feltettük az egységelem létezését, amire igazából
nincs szükség.
Példák: minden ferdetest (test), egész számok, modulo m maradékosztályok. Test
fölötti T[x] polinomgyűrű. Egységelemes kommutatív R gyűrű
fölötti R[x] polinomgyűrű, R[x] egységei, nullosztómentes ha
R is az volt. Test fölötti n x n-es mátrixok, nem kommutatív és
nem is nullosztómentes, ha n nagyobb, mint 1. A mátrixszorzás
asszociativitásának igazolása arra visszavezetve, hogy leképezések
kompozíciója asszociatív. Valós függvények a pontonkénti műveletekre nézve,
nem nullosztómentes. Ebben részgyűrűt alkotnak a differenciálható valós
függvények. Az a+b√2 alakú számok, ahol a,b egész.
Gauss-egészek.
Kvaterniók. Kvaternió konjugáltja, normája, nemnulla kvaternió
inverze. Tisztán képezetes (0 valós részű) kvaterniók kapcsolata a
térvektorokkal, azok skaláris illetve vektoriális szorzatával.
2. előadás, február 25. [K 5.1, 5.7, 5.11]
Művelettartó leképezések. Példák (csoportok közötti izomorfizmus, vektorterek
közötti lineáris leképezések, maradékosztályok képzése, komplex konjugálás,
permutációk előjele. Kvaternióknál a konjugálás összegtartó, de nem
szorzattartó. Művelettartó bijekció az 1. feladatsoron bevezetett K-ból
H-ra. Metatétel: művelettartó szürjektív leképezés egy algebrai
struktúrából egy megfelelő műveletekkel ellátott halmazra a halmazt
ugyanolyan típusú algebrai struktúrával ruházza fel (a műveleti
azonosságok, axiómák átöröklődnek). Ezt csoportok esetén be is
bizonyítottuk. Következmény: H-ban
is teljesülnek a gyűrűaxiómák. Gyűrűhomomorfizmus, beágyazás.
R és C beágyazása H-ba. A
kvaterniók minden valós számmal felcserélhetőek,
nem 0 valós számmal lehet osztani, egyébként nincs értelme, csak annak, hogy
jobbról, vagy balról végezzük az osztást, de az eredmény általában más lesz.
A számfogalom felépítésének vázlatos áttekintése az 1-től H-ig
(1, N, Z, Q, R, C, H). A természetes számok Peano-féle
axiómarendszere, rekurzióval való definiálhatóság és a teljes indukció elve. A
műveletek bevezetése N-en rekurzív definícióval.
A hányadostest fogalma, létezésének szükséges feltétele. A feltétel
elégségességének igazolása számpáros konstrukcióval. Számpárok
ekvivalenciaosztályai, ezeken a műveletek definiálása, háttérben a racionális
számok megszokott tulajdonságaival. Azt, hogy a műveletek jól definiáltak, a
gyakorlaton fogjuk megbeszélni.
3. előadás, március 3. [K 2.2, 5.7, 5.8, 5.10, 5.11, F 5.6]
Áttekintettük a hányadostest tulajdonságait, és ezek egy részét részletesen
igazoltuk is a múlt órán bevezetett konstrukcióra. A hányadostest
egyértelműsége (5.7.4 tétel, NB). R hányadosteste a legszűkebb olyan
test, amely R-et tartalmazza. Ha R részgyűrűje a T
testnek akkor T tartalmazza R
(egy) hányadostestét. Példák: Z hányadosteste Q,
T[x] hányadosteste T(x), a T fölötti racionális
törtfüggvények teste.
A többszörös fogalma gyűrűben. Az 1 által generált részcsoport egy test
additív csoportjában. Test karakterisztikája, prímteste.
Az algebra, mint struktúra fogalma. Példák: T fölötti n x n-es
mátrixok, T[x], test részteste fölött, H az
R fölött (de C fölött nem!).
Frobenius tétele (NB). Minden nem 0 véges dimenziós nullosztómentes algebra
ferdetest. Ehhez segedtételnek kimondtam, de még nem bizonyítottam, hogy ha
egy G nemüres halmazon a szorzás egy asszociatív művelet és minden
a,b elemre megoldhatók az ax=b és az ya=b egyenletek,
akkor G egy csoport.
4. előadás, március 10. [K 5.9, 3.4, 3.5]
A rendezés fogalma, rendezés definiálása N-en. Rendezett gyűrű,
pozitivitási tartomány. Ez utóbbi meghatározza a rendezést. Pozitív elemek
összege is pozitív. Rendezett gyűrűben minden nemnulla elem négyzete és
ilyenek összege is pozitív. Következmény: C nem rendezhető,
R és Z pedig csak a szokásos módon rendezhető.
A számelmélet alaptétele, és bizonyításának áttekintése Z-ben,
illetve T[x]-ben. A felbontás létezésének igazolása
Z[x]-ben.
Példa olyan egész együtthatós polinomra, ami Q fölött
irreducibilis, Z fölött azonban nem. Primitív polinom, minden
rac. együtthatós polinom lényegében egyértelműen felírható egy racionális szám
és egy primitív polinom szorzataként. Egy konstans polinom pontosan akkor
osztója egy egész együtthatós polinomnak Z fölött, ha minden
együtthatójának osztója. Egy konstans c polinom pontosan akkor
felbonthatatlan Z[x]-ben, ha c felbonthatatlan
Z-ben. 1. Gauss-lemma, primitív polinomok szorzata is
primitív. Köv: ha egy primitív polinom osztója egy egész együtthatós
polinomnak Q[x]-ben, akkor a hányados is egész együtthatós, ezt
a maradékos osztás tétele csak normált esetben biztosította.
Schönemann--Eisenstein-kritérium, egyelőre biz. nélkül. Alkalmazás:
Q fölött létezik akárhanyadfokú irreducibilis polinom.
5. előadás, március 24. [K 3.4, 3.5, 3.9]
Második Gauss-lemma. A Z fölött irreducibilis polinomok leírása
(3.4.8). A számelmélet alaptételének befejezése Z[x]-ben: minden
irreducibilis polinom prímtulajdonságú. Ha az R szokásos gyűrű
alaptételes, akkor R[x] is az (NB). Következmény: T[x,y]
alaptételes.
A Schönemann-Eisenstein kritérium bizonyítása.
A körosztási polinom definíciója, rekurzív előállítása xn-1
szorzattá alakítása nyomán. Mivel a körosztási polinom normált, ebből
következik, hogy egész együtthatós. A p-edik körosztási polinom
irreducibilitásának igazolása, ha p prím, a
Schönemann--Eisenstein-kritériumot használva. Felhasználtuk, hogy f
pontosan akkor irreducibilis, ha f(x+c) irreducibilis, ennek igazolása
a gyakorlaton történik.
Az 5. előadás kézzel írott jegyzete (márc. 24.)
6. előadás, március 31. [FGy 9.1, 9.2, 10.1, 10.2, K 6.1, 6.2]
Algebrai és transzcendens számok. Algebrai szám ellentettje és négyzetgyöke
(k-adik gyöke) is algebrai. Algebrai szám minimálpolinomja, a
minimálpolinom tulajdonságai. Ha egy α algebrai szám gyöke egy normált,
Q fölött irreducibilis polinomnak, akkor az az α szám
minimálpolinomja. Ha a minimálpolinom foka d, akkor 1,
α,α2, ..., αd-1 bázis
Q(α)-ban. Q(α) elemeinek áttekintése.
Testbővítés algebrai elemei. Az előbbi fogalmak és tételek általánosítása
testbővítésekre. Testbővítés foka.
Egy L:K testbővítésben egy α elem pontosan akkor algebrai (K
fölött), ha
|K(α):K| véges. Következmény: véges fokú bővítés minden eleme
algebrai. Fokszámtétel (egyelőre bizonyítás nélkül). Következmény: az
algebrai számok, illetve általában egy testbővítés algebrai elemei testet
alkotnak.
A 6. előadás kézzel írott jegyzete (márc. 31.)
7. előadás, április 7. [FGy 9.1, 9.2, 10.1, 10.2, K 6.1, 6.2]
Ismétlés az előző óráról. Ha α algebrai K fölött, akkor K(α) minden eleme algebrai K fölött. Ha α transzcendens K fölött, akkor K(α) izomorf K[x] hányadostestével. A fokszámtétel bizonyítása. Q fölött minden véges bővítés egyszerű (NB). Példa: Q(√2)(∛2) hatodfokú bővítés, ∛2 nem írható fel a+b(√2) alakban, ahol a,b racionális. Ötödik gyök 4 foka 5, x5-4 irreducibilis Q fölött. Egy komplex szám pontosan akkor algebrai, ha valós és képzetes része algebrai. Másodfokú bővítések. Q minden másodfokú bővítése Q(√d) alakú, ahol d 1-től különböző négyzetmentes egész szám. Megjegyzés: ezek a bővítések mind különbözőek, lásd majd a gyakorlaton.
A 7. előadás kézzel írott jegyzete (ápr. 7.)
8. előadás, április 14. [K 6.1, 6.2, 6.7]
Ismétlés, gyakorlás: számolás egyszerű algebrai bővítésekben. Szorzat, inverz kiszámolása gyöktelenítéssel, euklideszi algoritmussal, lineáris egyenletrendszer fölírásával. Algebrai szám minimálpolinomjának meghatározása. A fokszámtétel alkalmazása polinom irreducibilitásának bizonyítására. Egyszerű algebrai bővítés elemei minimálpolinomjának a kiszámolása lineáris egyenletrendszerrel. Véges testek elemszáma prímhatvány. Véges testek létezése és egyértelműsége (nem bizonyítjuk). Számolás véges testekben.
A 8. előadás kézzel írott jegyzete (ápr. 14.)
9. előadás, április 21. [K 6.8]
Szerkesztési feladatok a középiskolában. Az euklideszi szerkesztés eszközei, a szerkesztés megengedett lépései (öt fajta). Hogyan bizonyítsuk, hogy valami nem szerkeszthető? Példa nem szerkeszthető feladatra (korlátozott lépésekkel - csak vonalzós szerkesztés): Adott egy egység oldalú négyzet(rács), szerkesztendő az egyik négyzetoldal fölé szabályos háromszög csak egyenes vonalzó használatával. Ez azért nem lehetséges, mert a megszerkesztett pontok koordinátái mindig racionális számok lesznek. Másik, megoldható szerkesztési probléma csak vonalzóval: szerkesszük meg egy általános trapéz (egyik) alapjának felezőpontját. Csak körzővel minden megszerkeszthető (Mohr--Masceroni-tétel, BN). Euklideszi szerkesztések. A koordinátarendszer kijelölése. Az alapadatok által generált résztest. Pontok, egyenesek, körök koordinátái. Az egyes lépésekben megszerkesztett objektumok koordinátáinak kiszámítása: ezek benne van a már megszerkesztett adatok álal generált test egy max. másodfokú bővítésében. Szerkeszthető valós számok. Egy pont pontosan akkor megszerkeszthető, ha koordinátái szerkeszthető számok. Legyen K0 az alapadatok által generált résztest. Ha az x valós szám szerkeszthető, akkor benne van R egy olyan résztestében, amely K0-ból véges sok másodfokú bővítés egymásutánjával kapható meg. Köv: ha egy valós szám szerkeszthető, akkor foka K fölött 2-hatvány. Alkalmazások: a kockakettőzés és a körnégyszögesítés lehetetlensége. Általános szögharmadolás sem lehetséges euklideszi szerkesztéssel, hiszen a 20 fokos szög nem szerkeszthető meg (koszinusza harmadfokú algebrai szám). (Az alapadatok kiválasztása, ha csak egy kör vagy egy szög adott.)
A 9. előadás kézzel írott jegyzete (ápr. 21.)
10. előadás, április 28. [K 6.8, 6.2]
Geometriai szerkesztések (folyatás). A szerkeszthetőség szükséges feltétele (másodfokú bővítések sorozatának létezése) elégséges feltétel is. A bizonyítás során szerkeszhteő számok összegének, szorzatának és hányadosának szerkesztése. Szerkeszthető szám négyzetgyökének szerkesztése. A szerkeszthetőség másik (könnyebben ellenőrizhető) szükséges és elégséges feltétele (BN). Szabályos n-szög szerkesztése. A szabályos ötszög esete. cos 2π/n mikor kettőhatvány? A cos 2π/n és a megfelelő primitív egységgyök fokának kapcsolata. Az n-edik körosztási polinom foka és a szerkeszthetőség kapcsolata: szabályos n-szög pontosan akkor szerkeszthető, ha n úgy írható föl, mint egy kettőhatvány és különböző Fermat-prímek szorzata. Visszatérés a testelmélethez: az algebrai számok teste algebrailag zárt.
A 10. előadás kézzel írott jegyzete (ápr. 28.)
11. előadás, május 5. [FGy 4.1, 4.2]
Magasabb fokú diofantikus egyenletek és kongruenciák kapcsolata. Másodfokú binom kongruenciák. Kvadratikus maradékok és kvadratikus nemmaradékok. A mod p kvadratikus maradékok, illetve nemmaradékok jellemzése, számuk. Mely prímekre nézve lesz a (-1) kvadratikus maradék? Legendre-szimbólum. Elemi tulajdonságok, multiplikativitás. Mely prímekre nézve lesz a 2 kvadratikus maradék (NB). Kvadratikus reciprocitási tétel (NB). Számolás a Legendre-szimbólummal. A kvadratikus reciprocitási tétel alkalmazása annak eldöntésére, mely prímekre nézve lesz a 3 kvadratikus maradék. Végtelen sok 12k-1 alakú pozitív prímszám van. Ehhez segédtétel: egy 12c2-1 alakú szám minden prímosztója 12k+1 vagy 12k-1 alakú, és kell lennie 12k-1 alakú prímosztónak.
A 11. előadás kézzel írott jegyzete (máj. 5.)
12. előadás, május 12. >Mintadolgozat, megoldások.
Részletes vizsgatájékoztató: május 15-éig. Konzultáció a Teams-csoportban a mintadolgozatról, a vizsgakövetelményekről: pénteken, május 15-én, délután 4-től.