Néhány tanács:

• Az előadásokon, gyakorlatokon való jegyzeteléskor ne csak a képletekre koncentráljunk (mert azok valószínűleg benne vannak minden könyvben), hanem a magyarázatokra is. A hangsúlyozottan elmondott magyarázatokat mindenképpen érdemes leírni, akkor is, ha nem kerülnek fel a táblára. Úgy kell jegyzetelni, hogy a jegyzetből 2 hónappal később is meg lehessen érteni az anyagot. Ehhez szükséges a magyarázatok leírása.
• Az órákon, amikor valaki figyel, hajlamos belefeledkezni a magyarázatokba, gondolkodásba, de ilyenkor is fontos a jegyzetelés. Könnyebb megosztani a figyelmet, ha értjük a tananyagot. Érdemes felkészülten érkezni az órákra, átnézni az előző órák anyagát. A befektetett munka mindig megtérül.
• Írott szövegek (jegyzetek, könyvek) olvasásakor érdemes külön papíron végigszámolni a leírt levezetéseket, főleg akkor, ha azok tömörek, nem írnak le minden lépést.
• Olvasás közben, ha valami nem érthető, érdemes felírni minden kérdést, aztán elolvasva újra, meg kell próbálni válaszolni a kérdésekre. Ha nem sikerül, meg kell kérdezni a tárgy oktatóját.
• Az írott anyagból való tanulás során is meg kell érteni minden részletet. Tudni kell (definiálni), hogy melyik matematikai szakkifejezés mit jelent, és tudni kell, hogy egy állításból hogyan és miért következik egy másik állítás.

Hogyan oldjunk meg szöveges feladatokat?

• A szöveges feladatokat érdemes többször is elolvasni. Még a megoldás kezdete előtt világosan kell látnunk, hogy miről szól a feladat, mire vonatkozik a kérdés. Olvasás közben alá is húzhatjuk a fontosabb információkat. A feladat szövegét a megoldás alatt is érdemes akár többször újra elolvasni, mert lehet, hogy nem minden információt vettünk észre. A megoldás végén pedig azért kell elolvasni a szöveget megint, hogy ellenőrizzük, hogy a kérdésre válaszoltunk-e, és hogy válaszoltunk-e minden kérdésre.
• A megoldás kezdetekor, ha a feladat lehetővé teszi, érdemes rajzot készíteni, és a rajzon bejelölni a fontosabb adatokat, kiemelve azokat, amelyeket megadott a feladat, illetve, amit kérdez.
• Fontos írásban rögzíteni, hogy mit mivel jelölünk.
• Érdemes összegyűjteni a feladattal kapcsolatos tudásunkat még akkor is, ha nem feltétlenül használjuk fel mindet.
• Végig kell gondolni, hogy milyen megoldási módszerek jöhetnek számításba.
• A végeredmény kiszámítása után meg kell gondolni, hogy a végeredmény reális-e.
• Ha bármilyen hibára gyanakszunk a megoldás során, nagyon alaposan át kell nézni az egész megoldást. Sajnos, ha az ember egyszer elkövet egy hibát, akkor elköveti az utólagos ellenőrzéskor is. Ezért sokszor érdemes a megoldásokat teljesen újrakezdeni.

Példa szöveges feladat megoldására: Az és városok egymástól km távolságra vannak. Egy autó sebességgel elmegy -ból -be, majd sebességgel azonnal visszamegy -ba. Az autó a teljes utat 5 óra alatt teszi meg. Milyen és mellett a legkisebb a és sebességek számtani közepe? Megoldás:

• A feladatot először meg kell érteni, ehhez rajzot is készíthetünk.
  

  
  
• Össze kell gyűjteni a feladattal kapcsolatos ismeretanyagot is.
• Tudjuk (ha nem tudjuk, utána kell nézni), hogy egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén a sebesség , ahol a megtett út, pedig a megtételhez szükséges idő.
• A sebességek átlaga vagy számtani közepe: .
• Ez utóbbi kifejezést nem szabad összekeverni az átlagsebesség fogalmával: az átlagsebesség kiszámolásához pedig el kell osztanunk az összes utat a megtételhez szükséges összes idővel.
  A feladat az átlagsebesség kiszámolásához szükséges adatokat adta meg: az összes utat (km), és az összes időt ( óra). Ebből nem tudjuk a sebességek átlagát kiszámolni.
• Gondoljuk végig azt, amit ki tudunk számolni, vagy ki tudunk fejezni az ismert adatokból!
• Ha az út -ból -be ideig, és -ből -ba ideig tart, akkor óra. Tehát az átlagsebesség , ami nem más, mint a és sebességek harmonikus közepe (ld. harmonikus közép.)
• Mi pedig a sebességek számtani közepét akarjuk minimalizálni. Tudjuk, hogy a harmonikus közép kisebb vagy egyenlő, mint a számtani közép, ld, egyenlőtlenségek a nevezetes közepek között.

Tehát , és az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha , tehát az autó végig az átlagsebességével, km/h-val megy.

Példák helytelen és helyes megfogalmazásokra (hallgatók dolgozatai alapján):

• Helytelen: Az függvénynél -ben már nincs értékfelvétel.
  Helyesen: Az függvény nincs értelmezve -ben.
• Helytelen: Felül , alul van.
  Helyesen: A tört számlálója , a nevezője .
• Helytelen: Körzőzünk.
  Helyesen: Adott középpontú, adott sugarú kört rajzolunk.

Példák a nem egyértelmű fogalmazásra:

• Hányféleképpen színezhetjük ki egy kocka lapját színnel? (Hányszor használhatunk fel egy színt? Milyen színezéseket tekintünk különbözőnek?)
• Legyen a test sebessége . (Mi a mértékegység?)
• Igaz-e, hogy periódusa ? (Egyáltalán, a periódusa -nek? Melyik periódusa? Egyik periódusa? A legkisebb pozitív periódusa?)

Sokszor bizonyos szavak sorrendjének a felcserélésétől megváltozik a mondat értelme. Ezt mutatják a következő példák:

• 1. Minden hallgatóhoz van olyan cukorka, amit szopogatott.
  2. Van olyan cukorka, amit minden hallgató szopogatott.
• 1. Minden valós számnál van nagyobb egész szám.
  2. Van olyan egész szám, amelyik minden valós számnál nagyobb.

Sokszor egy szó megváltoztatásától teljesen megváltozik a mondat értelme. Ezt mutatják a következő példák:

• 1. Melyik körbe írható maximális területű téglalap?
  2. Melyik a körbe írható maximális területű téglalap?
• 1. Az egész szám osztható -gyel és -tel.
  2. Az egész szám osztható -gyel vagy -tel.
  3. Ha az egész szám osztható -gyel, akkor osztható -tel.

Néhány tanács:

• A feladatok megoldását akkor is el kell kezdeni, ha nem látjuk előre a megoldás végét. Az biztosan nem vezet eredményre, ha várjuk, hogy eszünkbe jusson a megoldás összes lépése. Elég nagy optimizmussal bele kell kezdeni a megoldásba.
• Bízzunk abban, hogy ha a megoldás során nem követünk el hibát, akkor a helyes megoldást írjuk le. Ha bizonytalanok vagyunk, akkor át kell gondolni a lépéseket, és meg kell indokolni minden egyes lépést. Csak azt fogadjuk el helyes lépésnek, amit meg tudunk indokolni. Indoklás közben ne csapjuk be saját magunkat azzal, hogy bizonyítás helyett bizonygatunk valamit. Viszont, ha valamit meg tudunk indokolni, bízzunk meg az indoklásban.
• Ha teljesen világos, hogy a végeredmény helytelen, például negatív eredményt kaptunk egy távolságra, akkor nézzük át a megoldást, lehet, hogy csak egy egyszerű másolási, számolási vagy átalakítási hibát követtünk el. Ezeket a hibákat nehéz észrevenni, sokszor az a célravezető, ha nagyon gondosan újra leírjuk a megoldást anélkül, hogy az elrontott megoldásból másolnánk.
• Ha egy megoldásban elakadunk, akkor érdemes a megoldást vagy annak egy részét valamilyen más módon megközelíteni. Teljesen természetes, hogy egy megoldást akár többször is elrontunk, és akár többször is újrakezdünk. A elrontás – újrakezdés módszer sokkal célravezetőbb, mint a bele sem kezdünk, amíg nem vagyunk biztosak az egészben módszer.
• Egy megoldás akkor van kész, ha le tudjuk írni, és szóban is el tudjuk mondani értelmesen néhány perc alatt.
• Ne felejtsük el, hogy minden tárgyból mindenki olyan feladatokat kap, amelyek többségét kellő munka, tanulás és gyakorlás után meg tudja oldani.

Pólya György A gondolkodás iskolája című könyvében így írja le a megoldás lépéseit: Hogyan oldjunk meg feladatokat? ELŐSZÖR Értsd meg a feladatot. A FELADAT MEGÉRTÉSE

• Mit keresünk? Mi van adva? Mit kötünk ki?
• Kielégíthető-e a kikötés? Elegendő-e a kikötés az ismeretlen meghatározásához? Vagy nem elegendő? Vagy kevesebb is elég volna? Vagy ellentmondás van benne?
• Rajzolj ábrát. Vezess be alkalmas jelölést.
• Válaszd szét a kikötés egyes részeit.

MÁSODSZOR Keress összefüggést a adatok és az ismeretlenek között. Ha nem találsz közvetlen összefüggést, nézz segédfeladatok után. Végül készítsd el a megoldás tervét. TERVKÉSZÍTÉS

• Nem találkoztál már a feladattal? Esetleg a mostanitól kissé eltérő formában?
• Nem ismersz valami rokon feladatot? Vagy olyan tételt, aminek hasznát vehetnéd?
• Nézzük csak az ismeretlent! Próbálj visszaemlékezni valami ismert feladatra, amelyben ugyanez – vagy ehhez hasonló – az ismeretlen.
• Itt van egy már megoldott rokon feladat. Nem tudnád hasznosítani? Nem tudnád felhasználni az eredményét? Nem tudnád felhasználni a módszerét? Nem tudnád esetleg valami segédelem bevezetésével felhasználhatóvá tenni?
• Nem tudnád átfogalmazni a feladatot? Nem tudnád másképpen is átfogalmazni? Idézd fel a definíciót!
• Ha nem boldogulsz a kitűzött feladattal, próbálkozzál először egy rokon feladattal. Nem tudnál kigondolni egy könnyebben megközelíthető rokon feladatot? Egy általánosabb feladatot? Vagy egy speciálisabbat? Vagy egy analóg feladatot? Nem tudnád megoldani legalább a feladat egy részét? Tartsd meg a kikötés egyik részét, a többit ejtsd el. Mennyire van így meghatározva az ismeretlen, mennyiben változhat még? Nem tudnál az adatokból valami hasznosat levezetni? Nem tudnál mondani más adatokat, amelyek alkalmasak az ismeretlen meghatározására? Meg tudnád úgy változtatni az ismeretlent vagy az adatokat, vagy ha szükséges, mind a kettőt, hogy az új ismeretlen és az új adatok közelebb essenek egymáshoz?
• Felhasználtál minden adatot? Számításba vetted az egész kikötést? Számba vetted a feladatban előforduló összes lényeges fogalmat?

HARMADSZOR Hajtsd végre a tervedet. TERVÜNK VÉGREHAJTÁSA

• Ellenőrizz minden lépést, amikor végrehajtod a tervedet. Bizonyos vagy benne, hogy a lépés helyes? Be is tudnád bizonyítani, hogy helyes?

NEGYEDSZER Vizsgáld meg a megoldást. A MEGOLDÁS VIZSGÁLATA

• Nem tudnád ellenőrizni az eredményt? Nem tudnád ellenőrizni a bizonyítást?
• Nem tudnád másképpen is levezetni az eredményt? Nem tudnád az eredményt egyetlen pillantásra belátni?
• Nem tudnád alkalmazni az eredményt vagy a módszert valami más feladat megoldására?