2. Valós számok

2.1. Racionális és irracionális számok

Definíció: Azokat a valós számokat, amelyeket felírhatunk két egész szám hányadosaként racionális számoknak nevezzük.
A racionális számok halmazát -val jelöljük.
Példák racionális számokra:
Tétel:Két racionális szám összege, különbsége, szorzata, és ha a nevező nem , akkor a hányadosa is racionális.
Definíció: Azokat a valós számokat, amelyeket nem írhatunk fel két egész szám hányadosaként irracionális számoknak nevezzük.
Tétel: irracionális.
Példák irracionális számokra:
Tétel:Végtelen sok irracionális szám van.
Minden valós szám vagy racionális vagy irracionális (azaz nem racionális) szám.
Jelölések:
  • , a valós számok halmaza.
  • , a racionális számok halmaza.
  • , az egész számok halmaza.
  • , a természetes számok halmaza (analízisben ez a pozitív egészek halmaza).
  • , a nemnegatív egész számok halmaza.

2.2. Egyenlőtlenségek: tulajdonságok, algebrai megoldások

Az analízis feladatok megoldása közben nagyon gyakran kell egyenlőtlenségeket megoldani. Ezért (is) fontos, hogy tudjuk az egyenlőtlenségek tulajdonságait, hogy ne kövessünk el hibákat a megoldás során, és az is, hogy könnyen és gyorsan tudjunk egyenlőtlenségeket megoldani. A technikát sok gyakorlással lehet elsajátítani, a hibák elkerülésében pedig segít a grafikus megoldás.
Helyes lépések egyenlőtlenségek megoldása közben:
  • Nem változik az egyenlőtlenségjel iránya, ha az egyenlőtlenség mindkét oldalához ugyanazt a számot hozzáadjuk: ha , akkor .
  • Nem változik az egyenlőtlenségjel iránya, ha az egyenlőtlenség mindkét oldalából ugyanazt a számot kivonjuk: ha , akkor .
  • Nem változik az egyenlőtlenségjel iránya, ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a pozitív számmal megszorozzuk vagy elosztjuk: ha , és , akkor és .
  • Nem változik az egyenlőtlenségjel iránya, ha az egyenlőtlenség mindkét oldala nagyobb vagy egyenlő, mint , és mindkét oldalt négyzetre emeljük.
  • Megfordul az egyenlőtlenségjel iránya, ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a negatív számmal megszorozzuk vagy elosztjuk: ha , és , akkor és .
  • Megfordul az egyenlőtlenségjel iránya, ha az egyenlőtlenség mindkét oldala pozitív, és vesszük mindkét oldal reciprokát.
Ha a fenti állításokban szereplő feltételek nem teljesülnek, akkor a fenti állítások már nem maradnak érvényben. Ha a feltételek nem teljesülnek, az egyenlőtlenségjel iránya bizonyos esetekben megváltozik, más esetekben nem.
Példák:
éé
éé
Fontos: Különösen figyeljünk a megoldások közben olyankor, amikor nem tudhatjuk az egyenlőtlenség oldalain szereplő kifejezések előjelét, vagy ha nem tudhatjuk annak a kifejezésnek az előjelét, amelyikkel az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk. Ilyenkor segíthet az esetszétválasztás, vagy olyan megoldási technika alkalmazása, amikor az előjeleknek nincs szerepük.
Példák:
  • Oldjuk meg az egyenlőtlenséget!

    Megoldás: Ha mindkét oldalból kivonunk -et, közös nevezőre hozás után a egyenlőtlenséget kapjuk. Tudjuk, hogy egy tört értéke pontosan akkor negatív, ha a számláló és a nevező előjele különböző. Ezt felhasználva a megoldás: vagy .

    A megoldást grafikusan is ellenőrizhetjük.
    bevaFigs/zfig/j_grafeq11.svg -- not found

  • Oldjuk meg az egyenlőtlenséget!

    Megoldás: Az egyenlőtlenség értelmezési tartománya az halmaz. Mivel , ezért, ha , akkor az egyenlőtlenség biztosan teljesül. Ha , akkor az egyenlőtlenség mindkét oldalát négyzetre emelhetjük: . A másodfokú egyenlőtlenség megoldása: , de a négyzetre emelést az feltétel mellett végeztük el, így ennek az esetnek a megoldása: . A két eset együttes megoldása: .

    A megoldást grafikusan is ellenőrizhetjük.
    bevaFigs/zfig/j_grafeq12.svg -- not found

2.3. Nevezetes közepek, egyenlőtlenségek a közepek között

A matematikában többféle átlagot, közepet definiálunk.
Definíció:
  • Az számok számtani vagy aritmetikai közepe
  • Az nemnegatív számok mértani vagy geometriai közepe
  • Az nem számok harmonikus közepe
  • Az számok négyzetes vagy kvadratikus közepe
Most csak az esetben, azaz két szám esetén hasonlítjuk össze a számokat és a közepeket.
Tétel:Ha , akkor .
A tétel szerint, ha veszünk két valós számot, legyenek ezek , akkor az számtani közepük mindig közéjük esik. Ezért nincsenek szomszédos valós számok.
Tétel: Ha , akkor .
Ha és pozitív számok, akkor mind a négy közepet értelmezhetjük. Ebben az esetben teljesül a következő tétel:
Tétel:A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség. Ha , akkor , és az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha .
Tétel: Egyenlőtlenségek a nevezetes közepek között. Ha , akkor , és az egyenlőségek pontosan akkor teljesülnek, ha .
Most nem bizonyítjuk, de több tagra is igaz az előző tétel:
Tétel: Egyenlőtlenségek a nevezetes közepek között:
Ha , akkor , és az egyenlőségek pontosan akkor teljesülnek, ha bármelyik és esetén .

2.4. Szélsőértékek megkeresése a nevezetes közepek segítségével

A nevezetes közepek közötti egyenlőtlenségek segítségével sok esetben meghatározhatjuk függvények szélsőértékeit.
Példák:
  • Határozzuk meg az függvény minimumát!
    Megoldás:
    Legyen és . Ekkor és . Alkalmazzuk -ra és -re a számtani-mértani közép egyenlőtlenséget!
    , azaz . Tehát , és az egyenlőség teljesül, ha , amiből .
  • Mennyi a hosszúságegység kerületű téglalapok területének a maximuma? Határozzuk meg a maximális területtel rendelkező téglalap oldalainak hosszát!
    Megoldás:
    Jelöljük a téglalap oldalait -val és -vel. Ekkor , amiből . A téglalap területe . A számtani-mértani közép egyenlőtlenségből , vagyis .
    Az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha , vagyis . Tehát a négyzet területe maximális, és a maximális terület értéke területegység.
  • bevaFigs/zfig/j_grafmax2.svg -- not found

    Mennyi az hosszúságegység sugarú körbe írható téglalapok területének a maximuma? Határozzuk meg a maximális területtel rendelkező téglalap oldalainak hosszát!

    Megoldás:
    Jelöljük a téglalap oldalait -val és -vel. A Pitagorasz-tétel szerint , tehát , így . A téglalap területe . A nevezetes közepek közötti egyenlőtlenség szerint , és az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha . Tehát . Így , és az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha . Mivel , és , ezért . (Ld. még Megoldás másodfokú függvény segítségével.)

  • Bizonyítsuk be, hogy ha , akkor .
    Megoldás:
    Alkalmazzuk -ra és -ra a számtani-mértani közép egyenlőtlenséget! Ekkor . Ebből .

2.5. Becslések

Az analízisben gyakran lesz szükség becslésekre. A becslési technikát egy egyszerű példán keresztül mutatjuk be.
Példa: Adjunk meg olyan számot, amelyikre teljesül, hogy ha , akkor
FONTOS: Ez a feladat nem azonos azzal a feladattal hogy Oldjuk meg az egyenlőtlenséget! Ez utóbbi feladatban az összes olyan számot keressük, amely kielégíti az egyenlőtlenséget. Az eredeti feladatban nem kérdezzük az összes megoldást, csak olyan számot keresünk (ilyen -ból több is van), amelyik esetén biztosak lehetünk abban, hogy ha , akkor az egyenlőtlenség teljesül. Az nem érdekel minket, hogy esetén teljesül-e vagy sem az egyenlőtlenség. Mivel az eredeti feladat nem egy egyenlőtlenség megoldáshalmazának a megkeresése, nem is azzal a módszerrel célszerű dolgozni, amelyikkel az egyenlőtlenségek megoldásakor szoktunk. Az eredeti feladat megoldásához becsléseket írunk fel.
Megoldás:
Ha , akkor az kifejezés monoton nő, vagyis nagyobb helyeken nagyobb értékeket vesz fel. Sőt, ha , akkor még azt is tudjuk, hogy
Ezért -nél nagyobb számot keresünk, mert ekkor ha , akkor is teljesül. Azért tehetjük meg, hogy eleve -nél nagyobb számot keresünk, mert nem kell a legkisebb jó -t megkeresnünk, ha egyáltalán van a jó -k között legkisebb.

Tehát, ha , akkor . Ez azt jelenti, hogy ha , azaz , akkor . Tehát megoldása a feladatnak. (Sőt, a feladatnak minden -nél nagyobb szám megoldása lesz.)

Megjegyzés:
  • Az nem derül ki az előző megoldásból, hogy van-e a feladatnak -nél kisebb megoldása, de ez minket nem is érdekel. Nem a legkisebb megoldást keressük.
  • A megoldás során nem az egyenlőtlenséget oldottuk meg. Nem is tudtuk volna megoldani. A becsléssel addig egyszerűsítettük a kifejezést, amíg egy könnyen megoldható egyenlőtlenséghez () jutottunk.
Egy kicsit bonyolultabb
Példa: Adjunk meg olyan számot, amelyikre teljesül, hogy ha , akkor .
Megoldás:
Itt nem célravezető -t alulról becsülni -val, mert akkor az kifejezéshez jutunk, de erre nem igaz, hogy valamilyen számnál nagyobb -k esetén nagyobb, mint . Tehát a becslés még jó, de nem segít a feladat megoldásában. Ilyenkor kicsit másképpen becslünk. Fel fogjuk használni, hogy ha , akkor .
biztosan teljesül, ha . Tehát jó megoldás.
Megjegyzés:
  • A becslésben a második egyenlőtlenség csak akkor teljesül, ha . Ebben az esetben azért teljesül az egyenlőtlenség, mert -ből -nál többet vonunk ki, így a különbség kisebb lesz.
  • Mivel az eredmény lett, , tehát is teljesül, ezért a becslés minden egyenlőtlensége igaz.
További példák:
  • Adjunk meg olyan számot, amelyikre teljesül, hogy ha , akkor .
    Megoldás:
    Ha , akkor biztosan igaz, ha . Tehát jó megoldás.
    Megjegyzés:
    • Az, hogy esetén igaz-e az egyenlőtlenség, az ebben a feladatban érdektelen.
    • Minden -nél nagyobb szám is jó megoldás.
  • Adjunk meg olyan számot, amelyikre teljesül, hogy ha , akkor .
    Megoldás:
    biztosan igaz, ha , tehát jó megoldás.
  • Adjunk meg olyan számot, amelyikre teljesül, hogy ha , akkor .
    Megoldás:
    biztosan igaz, ha , tehát jó megoldás.
Eddig a megoldásoknál lényegében csak az monotonitását használtuk fel. További becslést írhatunk fel a binomiális tétel felhasználásával.
Binomiális tétel:
Másképpen írva
Ha , akkor
Ha , akkor az előző kifejezés mindegyik tagja pozitív, tehát a esetén kifejezés szigorúan csökken amikor (pozitív) tagokat elhagyunk:
Tehát pozitív esetén , ahol , és ha , akkor .
Példák:
  • Bizonyítsuk be, hogy .
    Megoldás:
    Legyen (a tétel feltételét mindig ellenőrizni kell), és alkalmazzuk az előző tételben szereplő egyenlőtlenséget: .
  • Adjunk meg olyan számot, amelyikre teljesül, hogy ha , akkor .
    Megoldás:
    Legyen , (a tétel feltételét mindig ellenőrizni kell),és alkalmazzuk az előző tételben szereplő egyenlőtlenséget: biztosan igaz, ha , tehát jó megoldás.
Megjegyzés: Az állítás, miszerint pozitív esetén , ahol , a Bernoulli-egyenlőtlenség leszűkítése arra az esetre, amikor .
Bernoulli-egyenlőtlenség: , ha és . Az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha vagy vagy .
A Bernoulli-egyenlőtlenséget most nem, de a következő félévben bizonyítjuk.

2.6. Feladatok

Bizonyítsuk be, hogy két racionális szám összege racionális!
Bizonyítsuk be, hogy irracionális!
Bizonyítsuk be, hogy
irracionális!
Bizonyítsuk be, hogy a következő számok irracionálisak!
Lehet-e
két irracionális szám összege racionális?
két racionális szám hányadosa irracionális?
Igaz-e, hogy egy racionális és egy irracionális szám összege irracionális?
Lehet-e két irracionális szám hányadosa racionális?
Igaz-e, hogy egy racionális és egy irracionális szám szorzata irracionális?
Igaz-e, hogy ha
és , akkor ?
, akkor az és számok közül az egyik racionális, a másik irracionális?
Oldjuk meg a egyenletet a valós számok halmazán!
Oldjuk meg algebrai úton és grafikusan is a következő egyenlőtlenségeket!
Oldjuk meg a következő két feladatot!
Oldjuk meg az egyenlőtlenséget!
Keressünk meg azokat az értékeket, amelyekre igaz az, hogy ha , akkor .
Azonos-e a két feladat megoldáshalmaza? Megoldása-e az (a), illetve a (b) feladatnak az ? Ekvivalens-e az (a) és a (b) feladat?
Oldjuk meg a következő két feladatot!
Oldjuk meg az egyenlőtlenséget!
Keressünk meg azokat az értékeket, amelyekre igaz az, hogy ha , akkor .
Azonos-e a két feladat megoldáshalmaza? Megoldása-e az (a), illetve a (b) feladatnak az ? Ekvivalens-e az (a) és a (b) feladat?
Van-e olyan szám, amelyre teljesül, hogy ha , akkor ? Ha van, mutassunk ilyen számot! Hány ilyen számot tudunk mutatni?
Van-e olyan szám, amelyre teljesül, hogy ha , akkor ? Ha van, mutassunk ilyen számot! Hány ilyen számot tudunk mutatni?
Van-e olyan szám amelyre teljesül, hogy ha , akkor ? Ha van, mutassunk ilyen számot! Hány ilyen számot tudunk mutatni?
Adjunk meg olyan számot, amelyre igaz, hogy ha , akkor . Hány megoldása van a feladatnak?
Adjunk meg olyan számot, amelyre igaz, hogy ha , akkor . Hány megoldása van a feladatnak?
Adjunk meg olyan számot, amelyre igaz, hogy ha , akkor . Hány megoldása van a feladatnak?
Bizonyítsuk be, hogy ha , akkor az és számok számtani és mértani középére teljesül, hogy és .
Bizonyítsuk be, hogy nincsenek szomszédos valós számok, azaz bármely két (különböző) valós szám között van (mindkettőtől különböző) valós szám.
Írjuk fel az pozitív számok számtani és mértani közepét! Bizonyítsuk be a egyenlőtlenséget! Mikor teljesül az egyenlőség?
Határozzuk meg az függvény maximumát!
Adjunk meg olyan számot, amelyre igaz, hogy ha , akkor
Hány megoldása van a feladatnak?
Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív valós számra igaz, hogy
Mikor teljesül az egyenlőség?
Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív valós számra igaz, hogy
Mikor teljesül az egyenlőség?
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges pozitív szám esetén .
Határozzuk meg az függvény maximumát!
Legyen egy téglalap két éle és , átlója pedig . Ekkor a téglalap területe , és a téglalap kerülete .

Tehát
.

Így
.

Mivel , ezért
.

Beszorzás után:
.

és helyébe írjunk -t és -t:
.

Rendezés után:
.

Kiemelés után:
.

Osztunk -vel, de , így
.

Négyzet esetén és .
.

Egyszerűsítés és rendezés után:
.

Hol a hiba?
Határozzuk meg az függvény minimumát!
Határozzuk meg az függvény minimumát!
Határozzuk meg az függvény minimumát!
Az számok kielégítik az feltételt. Határozzuk meg a kifejezés lehetséges legnagyobb és legkisebb értékét! (Pósa Lajos: Matematika Összefoglalás 447. feladat)
Adott kerületű derékszögű háromszögek közül határozzuk meg a legnagyobb területűt!
A kerületű téglalapok közül melyiknek a legnagyobb a területe?
A területű téglalapok közül melyiknek a legkisebb a kerülete?
Az egyenletű parabola melyik pontja van legközelebb az ponthoz? (Pósa Lajos: Matematika összefoglalás 202. feladat.)
A egyenletű parabola melyik pontja van legközelebb az ponthoz? (Pósa Lajos: Matematika összefoglalás 203. feladat.)
Két szám összege egy adott értékkel egyenlő. Mikor minimális a két szám
négyzetének,
köbének
az összege? (Pósa Lajos: Matematika összefoglalás 198. feladat.)
Adott hosszúságú kerítéssel egy téglalap alakú telket akarunk bekeríteni úgy, hogy kerítést csak a téglalap három oldalára kell építenünk, mert a negyedik oldalt egy folyó határolja. Mekkora a lehető legnagyobb terület, amit így bekeríthetünk? Mekkorák lesznek ebben az esetben a téglalap oldalai?
Egy négyzet alakú kartonlap oldala . A kartonból felül nyitott dobozt készítünk úgy, hogy a négy csúcsnál kivágunk egy-egy oldalú négyzetet, és a lap széleit felhajlítjuk. Legfeljebb mekkora lehet az így kapott doboz térfogata? Határozzuk meg értékét a maximális térfogat esetén!
Legyen és . Melyik állítás igaz, és melyik hamis?
Minden -beli elemhez van olyan , amelyikre igaz, hogy .
Minden -beli elemhez van olyan , amelyikre igaz, hogy .
Minden -beli elemhez van olyan , amelyikre igaz, hogy .
Van olyan -beli elem, hogy minden esetén igaz, hogy .
Fogalmazzuk meg az előző négy feladat (2.49....2.52.) állításainak a tagadását! A tagadások közül melyik állítás igaz, és melyik hamis?
Legyen és . Melyik állítás igaz, és melyik hamis?
Minden -beli elemhez van olyan , amelyikre igaz, hogy .
Minden -beli elemhez van olyan , amelyikre igaz, hogy .
Van olyan -beli elem, hogy minden esetén igaz, hogy .
Van olyan -beli elem, hogy minden esetén igaz, hogy .
Fogalmazzuk meg az előző négy feladat (2.54....2.57.) állításainak a tagadását! A tagadások közül melyik állítás igaz, és melyik hamis?