Távolság -ben.
, a dimenziós vektortér pontjai közt értelmezhető egy távolság (az Euklideszi távolság) a következő módon: ha és a tér két tetszőleges pontja, akkor a két pont
távolsága
Pont környezete.
Ha a -dimenziós tér egy tetszőleges pontja és pedig egy pozitív valós szám, akkor a
halmazt az pont körüli sugarú (nyílt) gömbnek, vagy másképpen az pont sugarú környezetének nevezzük.
Ha (a számegyenes), akkor ez éppen a nyílt intervallum, ha pedig , akkor a megfelelő nyílt
körlap.
változós függvény.
Ha a dimenziós tér egy részhalmaza, egy -n értelmezett valós értékű függvény, akkor -et változós függvénynek nevezzük. Az függvényértékeit az pontban
jelöli.
Grafikon. A
halmazt a függvény grafikonjának nevezzük.
Szintvonal.
Ha , akkor az
halmazt az függvény ponthoz tartozó szintvonalának nevezzük.
Tétel:A távolság tulajdonságai.
Tetszőleges esetén
és csak az esetben nulla;
, a távolság szimmetrikus;
, háromszög egyenlőtlenség.
Megjegyzés:
Ha egy kétváltozós függvény, akkor
grafikonja a térben egy felület, legalábbis, ha a függvény elég "sima".
Így a grafikon nagyon szemléletes képet ad a függvényről. De akkor is sok információt kaphatunk a függvényről,
ha különböző pontokhoz tartozó szintvonalait megrajzoljuk.
Ha egy origóból kiinduló félegyenest forgatunk a tengely körül, akkor a súrolt felület egy körkúp. Például az grafikonja is egy ilyen kúp:
Ha egy felfele álló parabolán mozgatunk egy rá merőleges lefele álló
parabolát, akkor a súrolt felület egy úgynevezett nyeregfelület.
Például az grafikonja is nyeregfelületet:
Definíció:Folytonosság definíciója.
Azt mondjuk, hogy az függvény folytonos az pontban, ha minden esetén megadható egy úgy, hogy ha és , akkor , azaz
Az függvény folytonos, ha az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos.
Tétel:A folytonosság definíciója környezetekkel.
Az függvény akkor és csak akkor folytonos az pontban, ha minden esetén megadható egy úgy, hogy az pont sugarú környezetének szerinti képe része az
pont sugarú környezetének, pontosabban:
13.2. Parciális derivált
Definíció:
Parciális derivált definíciója.
Legyen egy változós függvény, amelyik értelmezve van az pont egy környezetében. Jelölje még az -edik egységvektort, azaz azt a vektort, amelynek -edik koordinátája és az összes többi nulla. Azt mondjuk, hogy az függvény parciálisan deriválható az pontban az -edik változó szerint, ha a egyváltozós függvény deriválható a -ban. Más szóval létezik és véges a
Ekkor a értéket, az függvény parciális deriváltját
szimbólumok bármelyikével jelölhetjük. A két és három dimenzió esetén szokás még helyett -et, helyett -t és helyett -t írni.
Ha az változós függvény egy halmaz minden pontjában parciálisan deriválható a halmaz minden pontjában az -edik változó szerint, akkor az függvény -edik parciális deriváltfüggvénye .
Gradiens.
Ha az függvény minden változó szerint parciálisan deriválható, akkor a függvény gradiense a
vektor.
Folytonosan deriválható függvény.
Az függvény az pontban folytonosan deriválható, ha az valamelyik környezetének minden pontjában minden változó szerint parciálisan deriválható és az összes parciális deriváltfüggvény folytonos az pontban.
Tétel:Parciális derivált és folytonosság kapcsolata.
Ha egy függvény parciálisan deriválható, abból nem következik, hogy a függvény folytonos! Például, ha
akkor mindenütt, még az origóban is mindkét változója szerint parciálisan deriválható de az origóban nem folytonos:
Hasonlóan kapjuk, hogy . Másrészt, ha és akkor és .
Így, mint az könnyen látható, a -hez nincs "jó" az origóban.
Ha egy függvény az pontban folytonosan deriválható (ennél valamivel kevesebb feltétel is elég), akkor a függvény folytonos az pontban.
Definíció:Iránymenti derivált.
Legyen egy egységvektor, azaz amelyre . A egyváltozós függvény deriváltját a -ban (ha létezik) az függvény pontbeli irányú iránymenti deriváltjának nevezzük, és
-val vagy -val jelöljük.
Tétel:
Ha az függvény folytonosan deriválható az pontban, akkor minden irány szerint deriválható és
ahol a vektor -edik koordinátája.
Ha az függvény folytonosan deriválható az pontban, akkor az iránymenti deriváltjai között van egy leghosszabb (legnagyobb abszolút értékű), mégpedig az amelyik a gradiens irányába mutat.
Megjegyzés:
Az előző tétel azt mondja ki, hogy egy függvény a gradiens irányában változik leggyorsabban. Például két dimenzióban, ha a függvény grafikonját egy felületnek, a "domborzatot" leíró felületnek tekintjük, akkor a "hegymászás" ebben az irányban a legnehezebb, mert ebben az irányban a legmeredekebb a hegy.
13.3. Magasabb rendű parciális derivált
Definíció:
Másodrendű parciális derivált definíciója.
Ha a parciális derivált létezik az egy egész környezetében és az pontban parciálisan deriválható az változó szerint, akkor ezt a parciális deriváltat az függvény -beli
változók szerinti másodrendű parciális deriváltjának nevezzük és a
szimbólumok bármelyikével jelölhetjük.
Magasabb rendű parciális derivált definíciója.
Ha a -ad rendű parciális derivált létezik az pont egy egész környezetében és a függvény parciálisan deriválható pontban az -edik változó szerint, akkor ezt a parciális deriváltat az függvény -beli változók szerinti -ed rendű parciális deriváltjának nevezzük az és a
szimbólumok bármelyikével jelölhetjük.
Tétel:Young-tétel.
Ha és parciális deriváltak (folytonosan) differenciálhatók -ben, akkor
Megjegyzés:
A Young-tétel azt mondja ki, hogy ha egy függvény másodrendű parciális deriváltjai folytonosak, akkor a másodrendű
parciális deriváltak értékei nem függenek a parciális deriválás sorrendjétől.
