A továbbiakban egy síkbeli zárt téglalapot illetve egy térbeli zárt téglatestet
téglának nevezünk, ha az élei párhuzamosak a koordinátatengelyekkel.
A továbbiakban csak a síkbeli definíciókat mondjuk ki részletesen, a térben ezek
értelemszerűen kiterjeszthetők.
Definíció:
A síkban a alakú halmazokat (zárt) tégláknak nevezünk.
A síkbeli tégla belseje a nyílt tégla.
Két tégla egymásba nem nyúló, ha a belsejüknek nincs közös pontja, azaz
a belsejük diszjunkt.
A tégla területét vagy mértékét a
szám jelöli.
Egy tégla átmérőjét (az átló hosszát) jelöli.
Az integrál definíciójához szükségünk van a felosztás és az közelítő összeg fogalmára.
Definíció:
Legyen egy síkbeli tégla,
az intervallum egy felosztása, pedig a intervallum
egy felosztása. Ekkor az
halmazt a tégla egy felosztásának nevezzük.
Adott és esetén a
téglát az felosztáshoz
tartozó (elemi) rácstéglának nevezzük.
Nyilvánvaló, hogy az összes elemi rácstégla páronként egymásba nem nyúló
téglarendszert alkot.
Tetszőleges felosztás
esetén az felosztás finomsága
Azt mondjuk, hogy az felosztás finomabb mint a pozitív
szám, ha
Az halmazt az
felosztáshoz tartozó
közbenső helyeknek nevezzük, ha minden esetén
Ha a T téglán értelmezett korlátos függvény,
egy felosztás -n, pedig az
felosztáshoz tartozó közbenső helyek, akkor a
számot az függvény felosztásához és közbenső helyekhez tartozó integrál közelítő összegének vagy röviden közelítő összegének nevezzük.
Ha nem okoz félreértést, akkor a közbenső helyekre utaló jelölést
elhagyhatjuk és röviden -et írunk.
Definíció:Az integrál definíciója téglán.
Azt mondjuk, hogy a korlátos függvény Riemann-integrálható vagy
röviden integrálható a téglán és az integrálja az szám,
ha minden -hoz van olyan , hogy minden -nál
finomabb felosztás és bármely -hez tartozó közelítő összeg esetén
Ezt az számot az függvény téglán vett integráljának ( vagy
Riemann-integráljának) nevezzük. Jelölése
Tétel:
Zárt téglán folytonos függvény integrálható.
18.2. Integrálás korlátos halmazon
Definíció:
Azt mondjuk, hogy az halmaz zárt halmaz, ha bármely pontra, amelyik nincs az halmazban, megadható egy, a pontot tartalmazó körlap (a térben gömb), amelyik nem metszi az halmazt.
Könnyen látható, hogy minden zárt tégla zárt halmaz.
Azt mondjuk, hogy az halmaz nyílt halmaz, ha bármely
pontra megadható egy, a pontot tartalmazó körlap (gömb), amelyik része az
halmaznak.
Tétel:
Egy halmaz akkor és csak akkor zárt halmaz, ha a komplementere nyílt
halmaz.
Definíció:Az integrál definíciója korlátos halmazon.
Legyen egy korlátos halmaz, pedig egy korlátos függvény, amelyik értelmezve van az halmazon. Mivel korlátos halmaz, megadható egy tégla úgy, hogy . Legyen
Azt mondjuk, hogy az függvény integrálható az halmazon, ha
integrálható a téglán. Ekkor az integrál értéke az szám.
Megjegyzés:
Természetesen ahhoz, hogy a fenti definíció értelmes legyen, be kell látni, hogy
az nem függ a tégla megválasztásától. Ez könnyen belátható, legalább is a
síkban.
Definíció:Mérhető halmaz.
Azt mondjuk, hogy a korlátos halmaz mérhető (Jordan-mérhető), ha
az azonosan függvény integrálható az halmazon. Ekkor az halmaz
területe
Tétel:
Minden korlátos és konvex halmaz mérhető.
Megjegyzés:
Az síkbeli integrál fenti definíciói és jelölései nyilvánvaló módon
általánosíthatók a háromdimenziós Euklideszi térben. Ennek megfelelően ha egy korlátos halmaz, pedig egy rajta értelmezett integrálható függvény, akkor az függvény integrálját az halmazon
jelöli.
18.3. Az integrál kiszámolása, alkalmazásai.
Definíció:
Az egymásba nem nyúló téglák mintájára azt mondjuk, hogy az és
halmaz egymásba nem nyúló, ha a metszetük nem tartalmaz valódi körlapot (a
térben gömböt).
Tétel:Az integrál alaptulajdonságai.
Ha és két korlátos egymásba nem nyúló halmaz és integrálható
-n és -n is, akkor integrálható a halmazon és
Két egymásba nem nyúló mérhető halmaz uniója mérhető és az unió mértéke a
két mérték összege.
Ha egy zárt mérhető halmaz, egy -n értelmezett folytonos
függvény, akkor integrálható az halmazon.
– Tehát egy zárt téglán folytonos függvény integrálható.
Ha és integrálható az halmazon pedig egy tetszőleges
valós szám, akkor és is integrálható és
Tétel:Az integrál kiszámolása.
Itt az függvényről feltesszük, hogy folytonos, bár gyengébb, de bonyolultabb feltétel is elegendő lenne.
Szukcesszív integrálás.
Síkbeli téglán, ha :
Térbeli téglán, ha :
Integrálás normáltartományon:
Legyen és két egyváltozós függvény, amelyek integrálhatók az
zárt intervallumon és esetén . Ekkor az
normáltartomány mérhető és ha és folytonos, akkor
zárt halmaz. Ekkor
Integrálás körlapon:
Ha egy tetszőleges sugarú, középpontú körlap a síkban, akkor az
transzformációt alkalmazva
A fenti transzformációs képlet egy nagyon speciális esete egy sokkal általánosabb integráltranszformációs képletnek. Ám az ehhez szükséges fogalmak ismertetése túlmegy ennek az előadásnak a keretein.
Tétel:Alkalmazások.
Vékony lemez tömege.
Ha a test vastagsága elhanyagolható a többi méretéhez képest, akkor a test
tömege:
ahol a test sűrűsége.
Vékony lemez tömegközéppontja (súlypontja).
Kiterjedt test tömege.
Ha egy térbeli test, amelynek sűrűsége , akkor a test tömege:
Egy vékony lemezt az és az egyenesek határolnak. A lemez sűrűsége . Határozzuk meg a test tömegét és tömegközéppontjának koordinátáit!
Egy test az első térnyolcadban van, a koordinátasíkok és az
sík határolja, a sűrűsége pedig . Határozzuk meg a
test tömegét és tömegközéppontjának koordinátáit!
Egy méter mély gödörből a felszínre szivattyúzzuk a vizet. Mennyi munkát végzünk a gravitáció
ellenében ha a gödör
