Ha összeadunk véges sok szerint periodikus függvényt, szerint
periodikus függvényt kapunk. Ez végtelen összegre is igaz, feltéve, hogy a függvénysor konvergens -en. Ehhez persze elég, hogy egy hosszú intervallumon konvergens legyen az összeg.
Miért tudjuk megkülönböztetni a hegedű hangját a kürt hangjától, ha ugyanabból a
kottából játszanak?
A legegyszerűbb szerint periodikus függvények azok, amelyek a
és a függvényekből "keverhetőek" ki. Itt esetén a konstans
függvényt kapjuk. Igaz-e, hogy minden periodikus (vagy legalább is a legtöbb) előáll az említett függvényekből végtelen összeg segítségével?
Ezekkel a problémákkal a Fourier sorok elmélete foglalkozik. Az első konkrét
probléma a rezgő húr egyenletének a megtalálása volt a XVIII. században
(d'Alambert, Bernoulli, Euler). A XIX. század elején Fourier alkalmazta az előző
módszert a hővezetés egyenletének megtalálására.
Definíció:Trigonometrikus sorok.
Az alakú függvénysorokat trigonometrikus soroknak nevezzük.
Az itt szereplő függvényeket
trigonometrikus rendszernek nevezzük.
Tétel:A trigonometrikus rendszer ortonormált a intervallumon,
azaz teljesülnek a következő egyenletek:
,
ha .
.
ha .
Definíció:Fourier-sor.
Ha periodikus szerint és integrálható a
intervallumon, akkor az
számokat az függvény Fourier-együtthatóinak, az általuk felírt
Jegyezzük meg, hogy a Fourier-együtthatókat meghatározó integrálok határainak,
a periódusosság miatt, tetszőleges hosszú intervallum végpontjait is
választhatjuk.
Az alábbi ábrákon az , az és az függvények közelítéseit láthatjuk trigonometrikus polinomok segítségével.
Figyeljük meg, hogy a harmadik függvényt már a tizedik trigonometrikus polinom is sokkal jobban közelíti, mint a másik két esetben a tizenötödik. Ennek oka, hogy a periodikusan ismételt függvénynek sehol sincs szakadása.
Tétel:
Ha a szerint periódusos függvény páros, akkor minden , azaz a Fourier-sora tiszta koszinuszos sor.
Ha a szerint periódusos függvény páratlan, akkor minden , azaz a Fourier-sora tiszta szinuszos sor.
Definíció:Szakaszonként folytonos függvény. Azt mondjuk, hogy az függvény szakaszonként folytonos az intervallumon, ha véges sok pont kivételével folytonos és minden szakadási helyen van véges baloldali és jobboldali határértéke. Természetesen az végpontban csak a jobboldali, a -ben pedig baloldali határértéket követelünk meg.
Természetesen egy szakaszonként folytonos függvény integrálható, és ezért beszélhetünk a Fourier-soráról.
Tétel:A Fourier-sor pontonkénti konvergenciája.
Ha az függvény szerint periodikus és valamint szakaszonként folytonos a intervallumon, akkor az függvény Fourier-sora mindenütt konvergens, és
Eszerint az függvény folytonossági helyein a Fourier-sora előállítja a függvényt.
Megjegyzés:
Cantor tétele szerint bármely periodikus függvényt, ha előállítható trigonometrikus sor összegeként, akkor az előállítás egyértelmű.
Ezért egy szakaszonként folytonosan deriválható függvényt csak a Fourier-sora állítja elő a folytonossági helyein.
Fejtsük Fourier-sorba a a intervallumon az alábbi függvényeket:
Mivel páratlan, ezért minden .
Mivel a függvény szakaszonként folytonosan deriválható és -ban az érték a két féloldali határérték számtani közepe, ezért a Fourier-sora előállítja a intervallumon.
A fenti három függvény megegyezik a intervallumon!
Az előző két függvény megegyezik a intervallumon!
Legyen most az a szerint periodikus függvény, amelyikre
, ha és .
Ezt a függvényt fűrészfog-függvénynek is nevezik.
Fejtsük Fourier-sorba az függvényt a nyílt intervallumon.
Ez a függvény páratlan függvény, azaz . ezért minden .
Így tehát
Mivel az függvény szakaszonként folytonosan deriválható, azért -n, a folytonossági helyein a függvényt előállítja a Fourier-sora.
Mivel konvergens, ezért Fourier-sora egyenletesen konvergens a Weierstrass-kritérium szerint és mivel folytonos, a Fourier-sora előállítja a függvényt.
