Bizonyos halmazokon természetes módon lehet definiálni két műveletet, a (kommutatív) összeadást és a számmal való szorzást. Ilyen például , a valós számok halmaza, , a sík és , a tér vektorai, vagy , illetve , az intervallumon értelmezett folytonos illetve Riemann-integrálható függvények tere. Ezeket a struktúrákat, ha a műveletek teljesítenek bizonyos szabályokat, lineáris vektortereknek nevezzük.
A tér vektorait megkaphatjuk három rögzített vektor () és a műveletek segítségével, azaz a tér véges (három) dimenziós. Ezzel ellentétben, nem adható meg véges sok folytonos függvény úgy, hogy az összes többi kifejezhető legyen ezekkel az összeadás és a számmal való szorzás segítségével.
A továbbiakban csak véges dimenziós vektorterekkel foglalkozunk.
23.1. Az n-dimenziós vektortér
Definíció:
-dimenziós vektor. A valós számok -hosszú (oszlop alakban írt) sorozatát -dimenziós vektornak nevezzük. A sorozat -edik tagja a vektor -edik koordinátája. Ha tehát az vektornak a koordinátái rendre az számok, akkor a vektort így
jelöljük:
Ebben a részben a vektorok tehát oszlop-vektorok és nem a kényelmesebb
jelölésű sor-vektorok. Ennek a jelölésnek a haszna – mint majd látjuk – az lesz, hogy a lineáris leképezéseket mátrixokkal tudjuk
leírni.
Az -dimenziós vektorok halmazát jelöli.
Vektor-műveletek.
Ha és , akkor
Tehát a műveleteket koordinátánként kell elvégezni.
jelöli azt a vektort, amelynek minden koordinátája nulla.
jelöli azt a vektort, amelynek az -edik koordinátája , a többi pedig nulla. Az vektort az -edik egységvektornak nevezzük.
Ha vagy , akkor az ezeket az egységvektorokat hagyományosan és jelöli.
Ha és , akkor a
kifejezést lineáris kombinációnak nevezzük.
Tétel:Műveleti szabályok.
, a null-vektor az additív egység.
és .
, additív inverz.
.
Definíció:Vektorok különbsége.
A fenti szabályok alapján bevezetjük két vektor különbségét:
Tétel:
Az egységvektorok segítségével felírhatjuk az vektort egy
lineáris kombináció segítségével, mégpedig egyértelműen:
Definíció:Vektor hossza vagy abszolút értéke.
Az vektor hossza a következőképpen van definiálva:
Az és a vektorok távolsága .
Tétel:Az abszolút érték tulajdonságai.
, Háromszög-egyenlőtlenség.
Definíció:Skalárszorzat.
Ha két -dimenziós vektor, akkor a két vektor skalárszorzata egy valós szám, mégpedig
Itt az vektor, pedig a vektor koordinátáit
jelöli.
Azt mondjuk, hogy az és a vektor merőleges egymásra,
ha .
Tétel:A skalárszorzat tulajdonságai.
, a skalárszorzat kommutatív.
Definíció:Vektortér bázisa.
Az vektortér vektoraiból álló rendszert bázisnak nevezünk, ha bármely vektorhoz egyértelműen találhatók olyan számok, amelyekre
Megjegyzés:
Tehát az egy bázisa az -dimenziós térnek.
Léteznek azonban más bázisok is.
23.2. Mátrixok
Definíció:
A -as mátrix valós számoknak egy olyan téglalap alakú táblázata, amelynek sora és oszlopa van. Egy általános mátrix -edik sorában és -edik oszlopában található számot -vel jelöljük. Magát az mátrixot pedig
jelöli.
Az összes -as mátrixok halmazát jelöli.
Azt a mátrixot, amelynek minden eleme nulla, null-mátrixnak nevezzük, és egyszerűen -val jelöljük.
Azokat a mátrixokat, amelyeknek ugyanannyi sora van mint oszlopa, azaz az -es mátrixokat négyzetes mátrixoknak nevezzük.
Egy négyzetes mátrix főátlója azok az elemek, amelyeknek a sor-indexe megegyezik az oszlop-indexével.
Azt a négyzetes mátrixot, amelynek a főátlójában csupa -es másutt pedig áll, egység mátrixnak nevezzük és -vel jelöljük.
Definíció:Mátrixok összege és skalárral való szorzata.
Ha és két azonos típusú (-as) mátrix, pedig egy valós szám, akkor
Tehát a műveleteket úgy végezzük, hogy a megfelelő helyeken álló számokat összeadjuk illetve a mátrix minden elemét megszorozzuk ugyanazzal a valós számmal.
Tétel:Műveleti szabályok.
Az összeadás és a skalárral való szorzás szabályai ugyanazok mint a vektoroknál.
Tehát:
, az összeadás kommutatív.
, az összeadás asszociatív.
, a null-mátrix az additív egység.
, additív inverz.
.
.
és .
Megjegyzés:
A műveleti szabályok hasonlósága a vektorműveletekhez nem véletlen. Az -dimenziós vektorokat tekinthetjük olyan mátrixoknak amelyeknek sora és csak egy oszlopa van. Így a vektorok közötti összeadást és skalárral való szorzást megkaphatjuk úgy, mint a megfelelő mátrix műveletek eredményét.
Definíció:Mátrixok szorzása.
Legyen egy -as mátrix egy -es mátrix. Ekkor definiáljuk a két mátrix szorzatát, a -es mátrixot:
ahol
Ezt a fajta szorzást sor-oszlop szorzásnak is nevezik, mivel a elemet úgy kapjuk, hogy az első tényező -edik sorát (skalárisan) szorozzuk a második tényező -edik oszlopával.
Megjegyzés:
Fontos megjegyezni, hogy két mátrix szorzatát csak akkor értelmezzük,
ha a második tényezőnek, most -nek ugyanannyi sora van mint ahány oszlopa van
-nak, az első tényezőnek.
Tehát a mátrixok szorzása nem kommutatív, mert a fordított sorrendű szorzás általában nincs is értelmezve. Persze ha mindkét mátrix négyzetes mátrix, akkor van értelme a fordított sorrendű szorzásnak, de majd látunk példát arra, hogy a szorzás még így sem kommutatív!
Tétel:A mátrixszorzás műveleti szabályai.
, a mátrixszorzás asszociatív.
, baloldali disztributivitás.
, jobboldali disztributivitás.
Definíció:Transzponált mátrix.
Ha egy -as mátrix, akkor a , az mátrix transzponáltja az a mátrix,
amelyet úgy kapunk, hogy a mátrix sorait és oszlopait felcseréljük,
azaz . Az mátrix transzponáltját -vel jelöljük.
Tétel:
Ha az és vektoroknak megfelelő mátrixokat -val
illetve -vel jelöljük, akkor
A továbbiakban egy vektort és a neki megfelelő mátrixot ugyanúgy jelöljük.
Így tehát, ha egy -as mátrix pedig egy -dimenziós
vektor,
akkor az mátrixszorzat eredménye tekinthető egy -dimenziós
vektornak.
23.3. Lineáris leképezések
Definíció:
Egy leképezést lineáris leképezésnek nevezünk, ha művelettartó, azaz tetszőleges és esetén
Mint látható, lineáris leképezések esetén, ha nem okoz félreértést, nem tesszük
zárójelbe a leképezés argumentumát.
Definíció:Lineáris leképezés mátrixa.
Legyen egy lineáris leképezés. Jelölje az
egységvektor szerinti képét. Tehát
Ekkor az lineáris leképezéshez hozzárendelhetjük azt az -as
mátrixot, amelynek -edik oszlopában éppen az koordinátái állnak.
Ezt a mátrixot az lineáris leképezés mátrixának nevezzük.
Másrészt minden -as mátrix segítségével definiálhatunk egy lineáris leképezést. Ha tetszőleges -dimenziós vektor, akkor legyen
Könnyen látható, hogy az így kapott leképezés tényleg lineáris leképezés.
Tétel:
Az előzőekben definiált megfeleltetés mátrixok és lineáris leképezések között
egy-egy értelmű: egy tetszőleges -as mátrixhoz tartozó lineáris leképezés mátrixa éppen az mátrix.
Legyen és két lineáris leképezés, mátrixaik pedig illetve . Ekkor a összetett leképezés mátrixa éppen a mátrix.
Megjegyzés:
A továbbiakban a lineáris leképezéseket ugyanúgy jelöljük, mint a mátrixokat, tehát helyett írhatjuk a neki megfelelő mátrix jelét.
Definíció:Lineáris transzformáció.
Az vektortér önmagába képző lineáris leképezéseit lineáris
transzformációknak nevezzük.
Az egység mátrixnak megfelelő lineáris transzformáció
az identitás, az a lineáris transzformáció, amelyik minden vektort helybenhagy.
Definíció:Lineáris egyenletrendszer.
Tekintsük a következő, ismeretlenből és egyenletből álló
Ha az egyenletek bal oldalán szereplő együtthatókat egy -as mátrix elemeinek tekintjük, az ismeretleneket egy -dimenziós vektor koordinátáinak, a számokat pedig a vektor koordinátáinak, akkor az egyenletrendszer a sokkal tömörebb
alakban is írhatjuk.
Megjegyzés:
Ha az mátrixnak megfelelő lineáris leképezést jelöli, akkor tehát a
egyenlet megoldása azt jelenti, hogy adott lineáris leképezés és adott
vektor esetén keressük azt az vektort amelynek szerinti képe éppen a vektor.
Természetesen merül fel az a kérdés, hogy igaz-e , hogy minden esetén
van megoldás és az egyértelmű.
Ez annak a kérdésnek a vizsgálata, hogy a lineáris leképezés
mikor bijekció és között.
Tétel:
Ha az lineáris leképezés injektív (egy-egy értelmű),
akkor .
Ha az lineáris leképezés szürjektív (ráképezés), akkor
.
Ha az lineáris leképezés bijektív (azaz van inverze),
akkor .
Ha akkor az lineáris transzformáció pontosan akkor injektív
(egy-egy értelmű), ha szürjektív (ráképezés).
Így tehát csak akkor remélhetjük, hogy minden esetén van egy és csak egy
megoldás, ha az lineáris leképezés mátrixa négyzetes mátrix.
Definíció:Mátrix inverze.
A -es mátrixot az -es mátrix inverzének
nevezzük, ha . Ekkor a mátrixot -el jelöljük. Ha az mátrixnak van inverze, akkor invertálható mátrixnak nevezzük.
Tétel:
Ha az mátrix invertálható és inverze akkor
Definíció:Ortogonális mátrix.
Az mátrixot ortogonális mátrixnak nevezzük, ha
invertálható és az inverz mátrix éppen a mátrix transzponáltja. Más szóval
ortogonális, ha
Tétel:
Ha az előbb vizsgált lineáris egyenletrendszer esetén és az mátrix
invertálható, akkor
Ekkor tehát az egyenletrendszer minden vektor esetén egyértelműen
megoldható.
Természetesen meg kell vizsgálni azt a kérdést, hogy mikor van egy mátrixnak
inverze és azt hogyan lehet megkapni. De ehhez a -ed rendű determinánsok fogalmára és tulajdonságaira lesz szükség.
23.4. Determinánsok
Az -ed rendű determináns egy hozzárendelés, amely darab
négyzet alakban elrendezett számhoz rendel egy számot. A determináns jelölése:
A hozzárendelés megadásához szükségünk lesz az aldetermináns fogalmára.
Definíció:
Aldetermináns.
Legyen egy -ed rendű determináns. A determináns (i,j)-edik
aldeterminánsa az az -ed rangú determináns,
amelyet -ből úgy kapunk, hogy kihagyjuk -edik sorát és -edik
oszlopát.
Ha tehát , akkor
Az számot a determináns adjungált aldeterminánsának nevezzük.
Az -ed rendű determináns rekurzív definíciója.
A determináns definícióját szerinti rekurzióval adjuk meg.
Ha akkor . Nem tévesztendő össze az abszolút
értékkel!
Ha , akkor
Ha már az -ed rendű determinánsokat már definiáltuk, akkor
Főátló.
A determináns azon elemeit, amelyeknek a sor és oszlop indexe megegyezik,
azaz az számokat a determináns főátlójának
nevezzük.
Tétel:A determináns tulajdonságai.
Ha a determináns két sorát felcseréljük, a determináns értéke -el
szorzódig. Ezért
– ha a determináns két sora megegyezik, a determináns nulla.
Ha valamelyik sor minden elemét ugyanazzal a számmal
megszorozzuk, akkor a determináns értéke is -val szorzódig:
Speciálisan
– ha a determináns egyik sora csupa -ból áll, akkor a determináns értéke
is .
Ha a determináns egyik sorának minden eleme kéttagú összeg, akkor a
determináns két determináns összegére bomlik, ahol az egyikben az adott sorban rendre az összegek egyik tagja a másikban pedig a másik tagja szerepel, a többi elem pedig mindkettőben ugyanaz mint az eredeti determinánsban:
Ha egy sorhoz hozzáadjuk a determináns egy másik sorának -szorosát, a determináns értéke nem változik. Ha tehát , akkor
Ha a determináns elemeit a főátlóra tükrözzük, azaz a sorokat és oszlopokat felcseréljük, a determináns értéke nem változik. Eszerint
– minden szabály amit sorokra mondtunk ki érvényben marad oszlopokra is.
Ha a determináns főátlója alatt csupa áll azaz ha
, akkor a determináns értéke a főátlóbeli elemek szorzata,
/
Tétel:Kifejtési tétel.
Egy determináns bármely sora szerint kifejthető, pontosabban
23.5. Invertálható mátrixok
Definíció:Mátrix determinánsa.
Ha egy -es mátrix, akkor a mátrix elemeiből álló -ed rendű determinánst az mátrix determinánsának nevezzük. Ennek jele . Ha tehát
Tétel:
Determinánsok szorzástétele.
Egy mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha .
Inverz mátrix kiszámolása. Ha az mátrix invertálható, és
Sajátérték.
A valós számot az lineáris transzformáció sajátértékének nevezzük, ha található egy vektor, amelyre .
Sajátvektor.
A vektort az lineáris transzformáció sajátvektorának nevezzük, ha található olyan valós szám, amelyre .
Megjegyzés:
A sajátvektorok köréből kizártuk a nullvektort, hiszen minden lineáris
transzformáció esetén . Így aztán minden sajátvektorhoz egyértelműen tartozik egy sajátérték. Viszont a valós számot nem zártuk ki a sajátértékek közül!
A fenti tétel segítségével megkaphatjuk egy lineáris transzformáció
sajátértékeit, mint egy polinom gyökeit.
Definíció:Karakterisztikus polinom.
Ha az lineáris transzformáció mátrixa
akkor a
-ed fokú polinomot az négyzetes mátrix karakterisztikus polinomjának nevezzük.
Tétel:Sajátérték, sajátvektor kiszámítása.
Ha a karakterisztikus polinom egy (valós) gyöke, , akkor az
homogén lineáris egyenletnek van nem triviális (nem azonosan nulla) megoldása,
mert az egyenletrendszer determinánsa nulla, és az egyenletrendszer minden nem triviális megoldása sajátvektor a sajátértékkel.
Megjegyzés:
Ennek az egyenletnek soha nem egyértelmű a megoldása,
hiszen ha egy vektor megoldás, akkor ennek minden nem nulla
számmal való szorzata is megoldás.
Definíció:Szimmetrikus mátrix.
Az -es mátrix szimmetrikus, ha , azaz esetén . Az elnevezés onnan ered, hogy a mátrix elemei szimmetrikusak a főátlóra.
Tétel:Főtengelytétel.
Az -es mátrix pontosan akkor szimmetrikus, ha megadható darab
páronként merőleges sajátvektora.
