Bevezetés a matematikába jegyzet és példatár kémia BsC-s hallgatók számára

5. Koordinátarendszerek

Definíció:Síkbeli Descartes-koordinátarendszer. Az síkban egy tetszőleges pontot egyértelműen meghatároz egy számpár. Itt

a pont -tengelytől,
pedig az -tengelytől való előjeles távolsága.

Definíció:Polárkoordináták. A sík egy pontjának polárkoordinátái az számpár, ha

a pont origótól mért távolsága,és így ,
a szög pedig az origóból induló,a ponton átmenő félegyenes és az -tengely pozitív fele által bezárt, a pozitív forgásirányban mért szög, ezért .

Az origóhoz ( eset) tartozó szög nincs egyértelműen meghatározva.

Tétel:A síkbeli Descartes-koordinátákra való átszámítás.

Definíció:Térbeli Descartes-koordinátarendszer. Az térben egy tetszőleges pontot egyértelműen meghatároz egy számhármas. Itt

a pont -síktól,
az -síktól,
pedig az -síktól való előjeles távolsága.

bmkFigs/jpg/descartes3d.png -- not found

Definíció:Hengerkoordináták. A tér egy pontjának hengerkoordinátái az számhármas, ha az

a pont -tengelytől való távolsága, így ,
a pont -síkra való vetületének az -síkbeli polárkoordináták szerint kapott szöge, ezért ,
pedig a pont -síktól való előjeles távolsága.

A tengely pontjaihoz ( eset) tartozó szög nincs egyértelműen meghatározva.

Tétel:A térbeli Descartes-koordinátákra való átszámítás.

Definíció:Gömbi koordináták. A tér egy pontjának gömbi koordinátái az számhármas, ha az

a pont origótól való távolsága, és így ,
a -tengely pozitív fele és az origóból húzott, -n átmenő félegyenes által bezárt szög, ezért ,
pedig a pont -síkra való vetületének a polárkoordináták szerint kapott szöge, ami tehát .

Az origóhoz ( eset) tartozó és szög nincs egyértelműen meghatározva.

Tétel:A térbeli Descartes-koordinátákra való átszámítás.

5.1. Feladatok

Adjuk meg a Descartes koordinátájú pont polárkoordinátáit.

Adjuk meg az polárkoordinátájú pont Descartes koordinátáit.

Adjuk meg az hengerkoordinátájú pont Descartes koordinátáit.

Adjuk meg az gömbi koordinátájú pont Descartes koordinátáit.

Egy 4m sugarú gömb felszínének egyik pontja gömbi koordinátákkal megadva. Legyen a gömb ponton átmenő átmérője! Határozzuk meg a pont gömbi koordinátáit!

Milyen alakzatot határoznak meg a térben az Descartes koordinátájú pontok?

Milyen alakzatot határoznak meg a térben az gömbi koordinátájú pontok?