Bevezető analízis I. jegyzet és példatár

1. Halmazok, logika, bizonyítási módszerek

1.1. Halmazok

A halmaz alapfogalom, nem definiáljuk. Talán úgy tudjuk körülírni, hogy valamilyen dolgok összessége. Egy halmazt az elemei határoznak meg. Az elemek benne vannak a halmazban. Jelölés: , azaz az elem benne van az halmazban. Annak a jelölése, hogy a elem nincs benne az halmazban: .

Példák halmazokra, elemekre:

A valós számok halmaza.

Definíció:

Két halmaz egyenlő, ha ugyanazok az elemei.
Az üres halmaz az a halmaz, amelyiknek nincs eleme. Az üres halmaz jele: .
Azt mondjuk, hogy részhalmaza -nak, ha minden eleme benne van -ban. Jelölés: . A részhalmaz definíciója megengedi, hogy a két halmaz megegyezzen.
Ha az egyenlőséget nem engedjük meg, akkor valódi részhalmaza -nak. Ennek jele: vagy .
- Egy halmaz mindig részhalmaza önmagának (de nem valódi része).
- Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza.

Megjegyzés: A részhalmaz definíciója megengedi, hogy a két halmaz megegyezzen.

Egy halmaz mindig részhalmaza önmagának.
Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza.

Példák halmazokra, részhalmazokra:

ahol a valós számok, a racionális számok, az egész, pedig a természetes számok halmaza.

Fontos: Nem szabad összekeverni a halmaz elemét a halmaz részhalmazával. Például , mert minden nemnegatív egész szám racionális is, de , mert elemei a racionális számok, és nem egy darab racionális szám, hanem (végtelen) sok egész szám.

A halmazokat Venn-diagrammal is szoktuk szemléltetni.

A halmazok között műveleteket is végezhetünk:

Definíció:Halmazműveletek. Az és halmazok

uniója vagy egyesítése az a halmaz, amelyik tartalmazza azokat az elemeket, amelyek és közül legalább az egyikben benne vannak. Jelölés: .
metszete vagy közös része az a halmaz, amelyik tartalmazza azokat az elemeket, amelyek -ban is, és -ben is benne vannak. Jelölés: .
különbsége az a halmaz, amelyik azokat az elemeket tartalmazza, amelyek -ba benne vannak, de -ben nem. Jelölés: .

Az és halmazokat diszjunktaknak nevezzük, ha a metszetük az üres halmaz: .
Legyen egy rögzített halmaz, és legyen . Ekkor az halmaz -ra vonatkozó komplementere az halmaz.

A következő Venn-diagramok a halmazműveleteket szemléltetik:

A következőben felsorolunk néhány fontos azonosságot a részhalmazokról és a halmazműveletekről.

Részhalmazok:

Ha és , akkor .

A de Morgan-féle azonosságok:

Halmazműveletek:

1.2. Logikai műveletek, igazságtáblázatok

Azokat a mondatokat, amelyekhez józan ésszel az igaz vagy hamis logikai értékek valamelyikét hozzárendelhetjük, állításoknak nevezzük.

Nem minden mondat állítás.

Példák olyan mondatokra, amelyek nem állítások:

Miért nem süt a nap?
Ez a mondat nem igaz.

Példák állításokra:

Most nem süt a nap. (Lehet igaz is, lehet hamis is.)
A logaritmus függvény a pozitív számokon van értelmezve. (Igaz.)
A logaritmus függvény a negatív számokon van értelmezve. (Hamis.)

Az állításokat logikai műveletekkel kapcsolhatjuk össze. A logikai műveletek:

konjunkció (vagy és),
diszjunkció (vagy vagy),
negáció (vagy tagadás),
implikáció (vagy következtetés).
ekvivalencia.

Jelöljön és állításokat, így a logikai műveletek jelölése:

konjunkció:
diszjunkció:
negáció: vagy
implikáció: vagy
ekvivalencia:

A logikai műveletek értelmezése:

pontosan akkor igaz, ha is igaz, és is igaz.
pontosan akkor hamis, ha is hamis, és is hamis.
vagy pontosan akkor igaz, ha hamis.
pontosan akkor hamis, ha igaz, és hamis.
pontosan akkor, ha és is teljesül, vagyis a két állítás kölcsönösen következik egymásból.

Megjegyzés:

A pontosan akkor igaz..., azt jelenti, hogy minden más esetben hamis.
A pontosan akkor hamis..., azt jelenti, hogy minden más esetben igaz.
A vagy-gyal összekötött állítás akkor is igaz, ha mindkét rész állítás igaz. A matematikában az úgynevezett megengedő vagy-ot használjuk.
Az implikáció arról szól, hogy minden olyan esetben, amikor igaz, -nek is teljesülnie kell.
Arról nem szól az implikáció, hogy mi van akkor, ha hamis. Ezért értelmes az implikációt úgy definiálni, hogy igaz legyen azokban az esetekben, amikor hamis, függetlenül attól, hogy igaz vagy hamis. Tehát hamis állításból minden következik. Ezt azért fontos tudnunk, mert így látjuk, hogy hamis állításból kiindulva nem tudunk semmit bizonyítani, hamis állításból ugyanis minden igaz és minden hamis állítás következik.

A logikai műveleteket igazságtáblázatokkal is fel lehet írni:


i	i	i	i	i	i
i	h	h	i	h	h
h	i	h	i	i	h
h	h	h	h	i	i


i	h
h	i

A logikai műveletekkel összekapcsolt állítások tagadásait is felírtuk táblázatba.
Fontos:Egy állításnak és a tagadásának mindig ellentétes a logikai értéke.



i	i	h	h	h	h
i	h	i	h	i	i
h	i	i	h	h	i
h	h	i	i	h	h

Példák igaz állításokra:

A páros szám.
A páros szám és .
A páros szám vagy .
A páratlan szám vagy .
A páros szám vagy .
Ha páros szám, akkor .
Ha páratlan szám, akkor .
Ha páratlan szám, akkor .

Példák hamis állításokra:

A páratlan szám.
A páros szám és .
A páratlan szám és .
A páratlan szám és .
A páratlan szám vagy .
Ha páros szám, akkor .

Példák állításokra és a tagadásukra:

Állítás: A csitári hegyek alatt leesett a hó.
Tagadása: A csitári hegyek alatt nem esett le a hó.
Állítás: Nem vagy itt jó helyen, és nem vagy való nekem.
Tagadása: Jó helyen vagy itt, vagy nekem való vagy.
Állítás: Esik az eső és nem találsz rám.
Tagadása: Nem esik az eső vagy rám találsz.
Állítás: Nem bérelek ki egy jó nagy puputevét vagy nem járom be Kenyát.
Tagadása: Kibérelek egy jó nagy puputevét és bejárom Kenyát.
Állítás: A világ a jóra éhes vagy az ember a széptől ékes.
Tagadása: A világ nem a jóra éhes és az ember nem a széptől ékes.
Állítás: Ha itt a nyár, akkor meleg az idő.
Tagadása: Itt a nyár, és nem meleg az idő.

A logika elemeit azért kell ismernünk, hogy a bizonyításainkban csak helyes lépéseket végezzünk.

1.3. Bizonyítási módszerek: direkt, indirekt

Ahogy már írtuk, a matematikában az axiómák kivételével minden állítást bizonyítani kell. Az egyszerű vagy egyszerűnek látszó állításokat is. Bizonyítás közben felhasználhatjuk az axiómákat és a már korábban bizonyított állításokat. Ez nem jelenti azt, hogy valóban mindig mindent bizonyítani fogunk, erre időnk sem lesz, ehelyett elfogadjuk, hogy mások már bizonyították a megfelelő állításokat, tételeket.
Ugyanakkor a feladatok gyakran szólnak állítások bizonyításáról.
A bizonyításokat éppen úgy meg lehet tanulni, mint a matematika többi részét.

A feladatok egy része megmondja, hogy mit kell bizonyítani.

Példa: Bizonyítsuk be, hogy , ahol .

Ilyenkor végig kell gondolni az állítást, és hogy milyen bizonyítási módszerek jöhetnek szóba. Itt például bizonyíthatunk teljes indukcióval vagy felhasználhatjuk a számtani sorozat összegképletét.

Sok esetben a feladat csak kérdez, és nem mondja meg, hogy mit kell bizonyítani.

Példa:Van-e olyan szám, amelyikre teljesül, hogy ha , akkor ?

Ahhoz, hogy tudjuk, hogy mit akarunk bizonyítani sejtésekre van szükségünk. A sejtésekhez rajzokkal, konkrét értékek kiszámításával juthatunk el. Nagyon fontos, hogy meg tudjuk különböztetni a sejtéseket a bizonyított állításoktól.

Ha az előző példát akarjuk megoldani, érdemes néhány kis esetet kiszámolni:

	-re	,
	-re	,
	-re	,
	-re	,
	-re	,

Most az a sejtésünk, hogy igen, van ilyen szám. Ha már van sejtésünk, akkor el kell kezdeni a bizonyítást. A bizonyítás nem azonos a bizonygatással. Az, hogy látszik, hogy igaz, nem bizonyítás.

Az előző sejtést becsléssel bizonyíthatjuk be: , ha . Tehát, ha , akkor , továbbá ha , akkor . Vagyis, ha , akkor az összes egyenlőtlenség teljesül a következő becslésben: , tehát az jó megoldás. Most esetben bizonyítottuk a sejtést.

Megjegyzés: Az teljesen érdektelen, hogy esetleg -nél kisebb jó megoldása is van a feladatnak.

Példa:Van-e olyan , amelyikre teljesül, hogy ha , akkor ?

Próbálkozzunk most is:

	-re	,
	-re	,
	-re	,
	-re	,
	-re	,

Most az a sejtés alakulhat ki, hogy a feladatban szereplő nem létezik, és ez látszik is. A látszik nem bizonyítás. Ha megpróbáljuk a sejtésünket bizonyítani, és azt tapasztaljuk, hogy nem sikerül, két lehetőség van: az egyik az, hogy ügyetlenek vagyunk, és ezért nem sikerül bizonyítani, a másik lehetőség az, hogy nem is igaz a sejtésünk. Tehát, ha nem sikerül egy bizonyítás, érdemes megváltoztatni a sejtést. Ebben az esetben a megváltoztatott sejtést kell bizonyítani.

Megjegyzés: Például teljes indukcióval be lehet bizonyítani, hogy van olyan , amelyikre teljesül, hogy ha , akkor . Ezt a bizonyítást most nem írjuk le.

A bizonyításoknál figyeljünk oda, hogy csak a feladatban megadott feltételeket használjuk fel! A megoldás során minden sejtést igazoljunk!

A bizonyítási módszerek közül kettővel foglalkozunk: a direkt és az indirekt bizonyítással. Szóba kerül még a teljes indukció is, amivel állítások egy sorozatát lehet bizonyítani, de ez is a direkt vagy indirekt bizonyítási módszerek valamelyikével történik.

Direkt bizonyítás:

A direkt bizonyításnál igaz állításból indulunk ki, és helyes matematikai lépésekkel jutunk el a bizonyítandó állításhoz.

Példa direkt bizonyításra:A számtani-mértani közép egyenlőtlenség bizonyítása két szám esetén.

A direkt bizonyításoknál nagyon kell figyelni arra, hogy nem a bizonyítandó állításból indulunk ki, hiszen arról nem tudjuk, hogy igaz-e, csak majd a bizonyítás után. Ha hamis állításból indulunk ki, bármit levezethetünk, ld. a megjegyzést az implikációnál.

Példa olyan hibás bizonyításra, amikor hamis állításból indulunk ki:

Az a sejtésünk, hogy . Az egyenlőség mindkét oldalát -val megszorozva a igaz állításhoz jutunk. Abból, hogy a végeredmény igaz, nem következtethetünk arra, hogy a kiindulás is igaz volt.

Nem minden esetben tudjuk előre, hogy melyik az az igaz állítás, amiből ki kell indulni. Természetesen gondolkozhatunk visszafele, próbálkozhatunk a bizonyítandó állítás alakításával, és azzal, hogy így jussunk el egy igaz állításhoz, de a megoldás végén a bizonyítás leírásakor az igaz állításból kiindulva kell eljutni helyes lépéseken keresztül a bizonyítandó állításhoz. Az igaz állítás a START, a bizonyítandó állítás a CÉL. Segíthet, ha visszafele bejárjuk a pályát, de a versenyen a STARTBÓL kell kiindulni, és a CÉLBA kell beérkezni.

Indirekt bizonyítás:

Az indirekt bizonyításnál feltesszük, hogy a bizonyítandó állítás tagadása igaz (ld. logikai műveletek), ez az indirekt feltevés, majd ebből az indirekt feltevésből kiindulva helyes matematikai lépéseken keresztül ellentmondásra jutunk. Az ellentmondás azt jelenti, hogy az indirekt feltevés hamis, tehát az eredeti állítás igaz. Példa indirekt bizonyításra:A szám irracionális. Az indirekt bizonyításnál arra kell figyelnünk, hogy helyesen fogalmazzuk meg a bizonyítandó állítás tagadását. Hibás tagadás hibás bizonyításhoz vezet. Annak a tagadása, hogy ez a toll kék az, hogy ez a toll nem kék. Nem a tagadása az ez a toll kék állításnak sem az, hogy ez a toll piros, sem az hogy ez a toll nem kék, hanem piros.

Példa olyan hibás bizonyításra, amikor rosszul fogalmazzuk meg az indirekt feltevést:

Az a sejtésünk, hogy ha , akkor . A sejtést indirekt módon próbáljuk bizonyítani. A hibásan megfogalmazott indirekt feltevés:

Ha , akkor .

Az így megfogalmazott indirekt feltevés biztosan nem igaz, ellenpélda az , hiszen , és . Tehát az indirekt feltevés nem igaz. Ebből helyesen megfogalmazott indirekt feltevés esetén következne, hogy az eredeti állítás igaz.

Most viszont nem következik, és az eredeti állítás nem is igaz: például esetén és .

A teljes indukció elve:

Ha minden természetes szám esetén egy állítás és

	(1)	igaz,
	(2)	ha igaz, akkor is igaz,

akkor mindegyik igaz.

1.4. Hogyan indokoljunk?

Sok feladat tesz fel olyan jellegű kérdést, hogy igaz-e, lehet-e, következik-e' valami, és a feladat végén ott van, hogy a választ indokoljuk meg'!

A helyes indokláshoz tudnunk kell, hogy mikor milyen jellegű indoklást kell adnunk.

Most különböző típusú feladatokra nézünk példákat.

Az Igaz-e minden esetben? típusú feladatok:

Példa: Igaz-e, hogy minden olyan esetben, amikor az egyenlőség mindkét oldala értelmes, akkor ?

Megoldás:
Első lépés a két oldal értelmezési tartományának vizsgálata: mindkét oldal értelmezve van a valós számok halmazán. Ha az egyenlőség mindkét oldalát négyzetre emeljük, akkor egy azonosságot kapunk a valós számok halmazán. A kérdés az, hogy az eredeti egyenlőség ekvivalens-e a négyzetre emelés utáni egyenlőséggel. Az a sejtésünk, hogy nem, mert az eredeti egyenlőség bal oldala nem lehet negatív, a jobb oldala viszont igen. Tehát a sejtésünk és a válaszunk az, hogy a két oldal nem lesz minden valós -re egyenlő. Ezt a választ úgy tudjuk megindokolni, hogy mutatunk egy olyan értéket, amely nem elégíti ki az egyenlőséget, például az jó lesz ellenpéldának. Ha ugyanis , akkor .

Tehát, ha a kérdés úgy hangzik, hogy Igaz-e minden esetben?, és a válasz az, hogy nem, akkor elég egyetlen ellenpéldát megadnunk. Természetesen mindig meg kell mutatnunk, hogy az ellenpélda valóban ellenpélda.

Megjegyzés: A feladatban nem feltétlenül szerepel a minden esetben kifejezés. Ha egy állításról általánosan beszélünk, akkor mindig a minden esetre gondolunk. Tehát az előbbi példát úgy is megfogalmazhattuk volna, hogy Igaz-e, hogy ? A válasz az, hogy nem igaz, és egyetlen ellenpélda jó indoklásnak.

Példa: Igaz-e, hogy két szigorúan monoton növő függvény összege szigorúan monoton növő, ha mindkét függvény értelmezve van a teljes számegyenesen?

Megoldás:
Próbálkozhatunk néhány konkrét példával. Mindig segít, ha ilyenkor vázoljuk néhány konkrét függvény grafikonját. Kialakul a sejtésünk, hogy a kérdésre az igaz válasz lesz a jó. Most viszont nem elég, ha konkrétan mutatunk példát arra, amikor az állítás igaz, hiszen minden szigorúan monoton növő függvénypárt ellenőriznünk kellene, ami lehetetlen. Ilyenkor bizonyítunk. Legyen és szigorúan monoton növő. Ez azt jelenti, hogy ha , akkor és . Az egyenlőtlenségeket összeadva , tehát az állítás igaz.

Tehát, ha a kérdés úgy hangzik, hogy Igaz-e minden esetben?', és a válasz az, hogy igen, akkor az indoklás az általános bizonyítás.

A Következik-e? típusú kérdésnél ugyanolyan jellegű indoklást kell adnunk, mint az Igaz-e? kérdésnél.

A Lehet-e? típusú feladatok:

Példák:

Lehet-e két irracionális szám összege racionális?
Megoldás:
Először át kell gondolni, hogy mi mindent tudunk az irracionális számokról, aztán próbálkozhatunk konkrét példákkal: , és az a sejtésünk, hogy a válasz nem. Megpróbáljuk a sejtést bebizonyítani, de nem sikerül. Talán azért nem, mert nem is igaz a sejtés. Megváltoztatjuk a sejtést arra, hogy igen, két irracionális szám összege lehet racionális. Ezt valamilyen konkrét példával tudjuk megindokolni. Példa: és . Adjuk össze a két számot: .

Lehet-e két szigorúan monoton csökkenő függvény összege szigorúan monoton növő?
Megoldás:
Próbálkozhatunk néhány konkrét példával. Mindig segít, ha ilyenkor vázoljuk néhány konkrét függvény grafikonját. Kialakul a sejtésünk, hogy a kérdésre a nem lehet válasz lesz a jó. Most viszont nem elég, ha konkrétan mutatunk példát arra, amikor az állítás nem igaz, hiszen minden szigorúan monoton csökkenő függvénypárt ellenőriznünk kellene, ami lehetetlen. Ilyenkor bizonyítunk. Legyen és szigorúan monoton csökkenő. Ez azt jelenti, hogy ha , akkor és . Az egyenlőtlenségeket összeadva , tehát az összegfüggvényre nem teljesülhet a szigorúan monoton növekedés definíciója, ami szerint az egyenlőtlenségnek kellene teljesülnie.

Tehát, ha a kérdés úgy hangzik, hogy Lehet-e?, és a válasz az, hogy igen, akkor az indoklás egy példa. Természetesen meg kell mutatni, hogy a példa valóban jó. Ha viszont a válasz az, hogy nem lehet, akkor az indoklás az általános bizonyítás.

Fontos: Az igaz-e, lehet-e, következik-e' típusú feladatok megoldásakor néhány konkrét példára vagy korábbi ismeretekre, tapasztalatokra támaszkodva először ki kell alakítani egy sejtést. A sejtés határozza meg, hogy példát, ellenpéldát keresünk, vagy bizonyítani próbálunk egy állítást. Ha az indoklás nem sikerül, érdemes a sejtést megváltoztatni. Lehet, hogy a megoldás során többször is változik a sejtésünk. Ha látjuk, hogy miért nem tudunk példát vagy ellenpéldát mutatni, az megkönnyíti a bizonyítást, illetve, ha látjuk, hogy miért nem tudunk bizonyítani, például milyen feltétel hiányzik, az megkönnyíti a példa, ellenpélda gyártását.

1.5. Feladatok

Biztatásul közlöm, hogy tévesnek bizonyult a cáfolata annak a híresztelésnek, mely szerint mégsem hazugság azt tagadni, hogy lesz olyan hallgató, akinek egy analízis feladatot sem kell megoldania ahhoz, hogy ne bukjon meg.

(Baranyai Zsolt)

Igaz-e tetszőleges és halmazokra, hogy

Balkezes Bendegúz a bal kezével mindig igaz, a jobb kezével mindig hamis állításokat írt. Melyik kezével írta a következő állításokat?

Minden -cel osztható négyzetszám osztható -mal.

Minden -cal osztható szám osztható 2-vel és 4-gyel.

Minden -cal osztható szám osztható 2-vel vagy 4-gyel.

Minden -re végződő négyzetszám páratlan.

A páros szám.

Van olyan piros krokodil, amelyik éppen most ebben a teremben repked.

Minden piros krokodil, amelyik éppen most ebben a teremben repked, -nél nagyobb prímszám.

A teremben hallgatók ülnek, az asztalon nyalókák vannak. Ugyanazt jelenti-e a következő két mondat?

Minden hallgatóhoz van olyan nyalóka, amelyiket szopogatott.

Van olyan nyalóka, amelyiket minden hallgató szopogatott.

Tudjuk, hogy egy buliban minden fiú táncolt valamelyik lánnyal. Következik-e ebből, hogy minden lány táncolt valamelyik fiúval? Következik-e az eredeti állításból, hogy van olyan lány, aki minden fiúval táncolt?

Egy udvarban van 5 kecske és 20 bolha. Tudjuk, hogy van olyan kecske, amelyiket minden bolha megcsípett. Következik-e ebből, hogy van olyan bolha, amelyik minden kecskét megcsípett?

Két doboz tetején a következő feliratok láthatók:

1. Ebben a dobozban egy tábla csoki van.

2. Ebben a dobozban nincs csoki.

Van-e biztosan csoki valamelyik dobozban, és ha igen, melyikben, feltéve, hogy

mindkét felirat igaz?

mindkét felirat hamis?

pontosan az egyik felirat igaz?

Ha hull a hó, akkor Micimackó fázik. Melyik mondat jelenti ugyanezt?

Ha nem hull a hó, akkor Micimackó nem fázik.

Ha Micimackó nem fázik, akkor nem hull a hó.

Ha hull a hó, akkor Micimackó fázik. Melyik mondat ennek a tagadása?

Ha nem hull a hó, akkor Micimackó nem fázik.

Ha Micimackó nem fázik, akkor nem hull a hó.

Ha hull a hó, akkor Micimackó nem fázik.

Ha nem hull a hó, akkor Micimackó fázik.

Hull a hó, és Micimackó nem fázik.

Írjuk le a következő mondatok tagadását!

Minden medve szereti a mézet.

Minden tengerész ismer olyan kikötőt, ahol minden kocsmában járt.

Van olyan méz, amit nem minden medve szeret.

Tagadjuk a következő mondatokat!

Ha itt a nyár, akkor meleg az idő.

A medve télen alszik, az egyetemi hallgató nyáron.

Az ausztrál úszók azért olyan gyorsak, mert cápát alkalmaznak segédedzőnek.

Ha a nagynénikémnek kerekei lennének, akkor ő lenne a miskolci gyors.

Fogadjuk el igaznak a következő állításokat:

(a) Ha egy állat emlős, akkor vagy van farka, vagy van kopoltyúja.
(b) Egyik állatnak sincs farka.
(c) Minden állat vagy emlős, vagy van farka, vagy van kopoltyúja.

Következik-e ebből, hogy minden állatnak van kopoltyúja?

Tudjuk, hogy az és olyan sorozatok, hogy ha , akkor . Mire következtethetünk abból, hogy

Matematika országban a bíró csak a bizonyítékoknak hisz. Például, ha Flóra azt állítja, hogy van fekete oroszlán, akkor állításának helyességéről meggyőzheti a bírót azzal, ha mutat neki egy fekete oroszlánt.

Flóra azt állítja, hogy minden oroszlán fekete. Elég bizonyíték-e, ha mutat a bírónak egy fekete oroszlánt?

Flóra azt állítja, hogy minden oroszlán fekete, Gerzson pedig azt állítja, hogy Flóra téved. Hogyan bizonyíthatná Gerzson az állítását?

Vizsgáljuk meg az állításpárokat, hogy következik-e valamelyikből a másik!

Flóra azt állítja, hogy minden függvénynek, ha van minimuma, akkor a minimumhelye -nél nagyobb vagy a minimum érték pozitív. Igazat állít-e Flóra, vagy nem? Ha igazat állít, hogyan indokolhatja a bírónak? Ha nem igaz az állítása, milyen indoklással győzhetjük meg erről a bírót?

Gerzson azt állítja, hogy ha egy sorozatban az -nél nagyobb indexű tagok -nél nagyobbak, akkor esetén . Igazat állít-e Gerzson, vagy nem? Ha igen, hogyan indokolhat a bírónak? Ha nem igaz az állítása, milyen indoklással győzhetjük meg erről a bírót?

Flóra azt állítja, hogy ha , akkor . Gerzson szerint Flóra állításának a tagadása igaz. Fogalmazzuk meg Gerzson állítását! Melyiküknek van igaza, és hogyan indokolhat a bírónak?

Gerzson azt állítja, hogy az függvény páros és az egész számegyenesen monoton. Igazat állít-e Gerzson? Ha igen, hogyan indokolhat a bírónak? Fogalmazzuk meg Gerzson állításának a tagadását!

Flóra azt állítja, hogy a függvény szigorúan monoton nő vagy periodikus. Igazat állít-e Flóra?

Hány igaz állítás van a következő keretben?

1) A teremben repkedő piros krokodilok prímszámok.
2) Ha , akkor
3) Ha , akkor .

Hány igaz állítás van a következő keretben?

1)
2)
3) Ebben a keretben pontosan 1 igaz állítás van.

Ebben a feladatban a Földet tökéletesen gömb alakúnak képzeljük. Ezen a gömb alakú Földön indult el egy kutató reggeli sétára. Először ment 1 km-t délre, majd 1 km-t keletre, végül 1 km-t északra, és így visszért arra pontra, ahonnan elindult. Honnan indulhatott el?

Egy kocsmáros 12 liter bort 4 liter vízzel akart keverni, de a bort tartalmazó 12 literes hordón kívül csak egy 2 literes és egy 8 literes edénye volt. Hogyan végezte el a keverést?

Négy embernek egy rozoga hídon kell átmennie sötétben egy zseblámpa segítségével. Egy\-szerre csak ketten tudnak átmenni és lámpa nélkül nem, tehát csak a ketten átmennek, egy visszajön a lámpával módszer lehetséges. Az emberek maximális sebessége különböző. Ha egyedül vannak, rendre 1, 2, 5 és 10 perc alatt érnek át. Két ember együtt a lassabbik sebességével tud haladni. Átjuthatnak-e a hídon valamennyien 30 perc alatt? Átjuthatnak-e 20 perc alatt? És 17 perc alatt? Vagy 15 perc alatt?

Egy jegyű kódszámban bármely szomszédos számjegy összege . A kód második jegye , a tizenkettedik jegy pedig . Mi a -adik jegy?

Kovács úr minden délután 5 órakor érkezik vonattal az állomásra, ahol a felesége várja kocsival, és azonnal hazaviszi. Egyik nap Kovács úr hamarabb végzett a munkájával, és korábbi vonatra szállt. Így 4 órakor érkezett az állomásra. Elindult gyalog hazafelé. A felesége a szokásos időben indult érte kocsival. Amikor az úton találkoztak, Kovács úr beült a kocsiba, és hazamentek. A szokásos időpontnál 10 perccel hamarabb érkeztek haza. Hány órakor ült be Kovács úr az autóba, ha feltételezzük, hogy a felesége mindig azonos és állandó sebességgel ment a kocsival?

Csélcsap Csaba egyszerre udvarolt Amáliának és Borókának. Amália a metró A, Boróka ugyanazon metróvonal B végállomásánál lakott. Csaba a véletlenszerű időpontban befejezett munka után lement a metróba, és mert mindkét lányt egyformán szerette, a metróra bízta a döntést. Amelyik metró először jött, arra szállt fel. A metrók mindkét irányban 10 percenként követték egymást. Egy idő után azt vette észre, hogy átlagosan 10 alkalomból 9-szer Amáliához ment, és csak egyszer Borókához. Hogyan lehetséges ez?

Egy börtönben az egyik rabnak felajánlják, hogy kiszabadulhat, ha a börtön kapuját egy megadott jel után pontosan 45 perccel nyitja ki. Órát viszont nem adnak neki, csak egy doboz gyufát, és két gyújtózsinórt. A gyújtózsinórokról azt lehet tudni, hogy mindkét gyújtózsinór pontosan 1 óra alatt ég végig, de a láng időben nem feltétlenül egyszerre és egyenletesen halad végig a zsinórokon. Hogyan tudja a rab a gyújtózsinórok segítségével pontosan kimérni a 45 percet?

Egy biológus egy 10m hosszú rúdra 100 hangyát rakott fel. Véletlenszerű volt, hogy melyik hangya a rúd melyik pontjára került, és az is véletlenszerű volt, hogy melyik hangya a rúd melyik vége fele nézett. A hangyák állandó, 1cm/s sebességgel haladtak mindaddig, amíg bele nem ütköztek egy másik hangyába. Akkor mindkét hangya megfordult, és 1cm/s sebességgel haladtak az ellenkező irányba a következő ütközésig, amikor is az ütköző hangyák megint megfordultak, és állandó, 1cm/s sebességgel haladtak tovább az ellenkező irányba a következő ütközésig, és így tovább. Ha egy hangya elért a rúd valamelyik széléhez, akkor leesett a rúdról. Bizonyítsuk be, hogy a kísérlet kezdete után 20 perccel már üres volt a rúd!

Válasszunk ki egy tetszőleges számot az alábbi négyzetben. Karikázzuk be, és a választott szám sorában és oszlopában lévő többi számot pedig húzzuk ki! Ezután a megmaradtak közül karikázzunk be egy újabb számot, és a választott szám sorában és oszlopában lévő többi számot pedig húzzuk ki! Folytassuk az eljárást, amíg lehet! A végén adjuk össze a bekarikázott számokat! Ismételjük meg az előző eljárást úgy, hogy másik számból indulunk ki! Mit tapasztalunk? Fejtsük meg a négyzet titkát!

bevaFigs/a68/a08-buvosnegyzet.svg -- not found

Egy vándor a sivatag szélén egy őrbódéhoz érkezett. Az őrbódétól két út indult tovább. Az egyik út a sivatag közepébe vezetett, ahonnan még senki nem jött vissza. A másik út egy oázishoz vitt. Az őrbódéban különböző őrök lehetnek. Lehet igazmondó, aki mindig igazat mond, lehet hazudós, aki mindig hazudik, és lehet szeszélyes, aki hol igazat mond, hol hazudik. A vándor eldöntendő kérdéseket tehet fel az őröknek, az őrök csak igen-nel vagy nem-mel felelhetnek. Milyen kérdéssel, illetve kérdésekkel tud a vándor biztosan eljutni az oázisba?

A bódéban két őr van, az egyik igazmondó, a másik hazug, és a vándor egy kérdést tehet fel.

A bódéban egy őr van, aki vagy igazmondó vagy hazug (nem tudjuk, melyik), és a vándor egy kérdést tehet fel.

A bódéban három őr van, egy igazmondó, egy hazug és egy szeszélyes, és a vándor két kérdést tehet fel.

A bódéban négy őr van, két igazmondó és két szeszélyes, és a vándor akárhány kérdést feltehet.

Oldjuk meg az előző feladatokat úgy, hogy az őrök ugyan értik a kérdést, de a vándor által nem ismert saját nyelvükön felelnek: csak ukk vagy mukk lehet a válaszuk, ahol a két válasz közül az egyik igent, a másik pedig nemet jelent.