Ha az halmaz minden eleméhez hozzárendelünk egy elemet a
halmazból, akkor függvényről beszélünk. Az halmaz a függvény
értelmezési tartománya. A függvény értékkészlete a halmaz azon
részhalmaza, amelynek elemeit hozzárendeltük az halmaz
elemeihez.
Ha és a valós számok részhalmazai, akkor valós
függvényről beszélünk. A továbbiakban csak valós függvényekkel foglalkozunk.
Fontos: Az értelmezési tartomány minden eleméhez , azaz EGY
elemet rendelünk hozzá. Az értékkészlet bármelyik elemét
viszont több elemhez is hozzárendelhetjük.
Jelölés:
Az függvény értelmezési tartományát -fel vagy -fel jelöljük.
Az függvény értékkészletét -fel vagy -fel jelöljük.
Azt, hogy az függvény értelmezési tartománya az halmaz, értékei pedig a halmazban vannak, így jelöljük: .
Példák:
Értelmezési tartomány:
Értékkészlet: a nemnegatív valós számok halmaza.
Értelmezési tartomány:
Értékkészlet: a pozitív valós számok halmaza.
Értelmezési tartomány:
Értékkészlet: a négyzetszámok halmaza.
Ha nem jelöljük a függvény értelmezési tartományát, például csak
annyit írunk, hogy vagy , akkor az
értelmezési tartomány a valós számoknak az a legbővebb részhalmaza,
ahol a függvényt megadó képlet értelmes. Tehát értelmezési
tartománya a valós számok halmaza, értelmezési tartománya a valós
számok halmaza kivéve a -t.
Az értelmezési tartomány egy elemét pontnak vagy helynek is
hívjuk, az értékkészlet elemei pedig a függvényértékek vagy helyettesítési értékek vagy értékek.
Példa: Az függvény helyhez tartozó
helyettesítési értéke .
Definíció:A függvény grafikonja.
Az függvény grafikonja a
halmaz.
A függvények grafikonját ábrázolhatjuk is. Ilyenkor a Descartes-féle
koordinátarendszerben az értelmezési tartomány elemeit az
tengelyen, a függvényértékeket pedig az tengelyen ábrázoljuk:
.
Néhány függvényt ábrázoltunk a következő rajzokon:
Definíció:Két függvény egyenlő, ha értelmezési tartományuk
megegyezik, és minden pontban ugyanazt az értéket veszik fel.
Példa:
Az
és a
függvények nem egyenlők egymással, mert az értelmezési tartományuk nem egyezik meg.
3.2. Függvények tulajdonságai
Definíció: A valós számok bizonyos részhalmazait intervallumoknak nevezzük.
A következő intervallumokat értelmezzük ():
•
zárt intervallum
•
nyílt intervallum
•
balról nyílt, jobbról zárt intervallum
•
balról zárt, jobbról nyílt intervallum
•
balról zárt félegyenes
•
balról nyílt félegyenes
•
jobbról zárt félegyenes
•
jobbról nyílt félegyenes
•
számegyenes
Megjegyzés:Az intervallumok jelölésében a középiskolás tankönyvekben
szokásos kifele szögletes zárójel helyett kerek zárójelet használunk.
Definíció:
Azokat a helyeket, ahol a függvény -t vesz fel,
zérushelyeknek nevezzük.
Példák:
Az függvény zérushelye .
A függvénynek nincs zérushelye.
Definíció:
A függvények monotonitási szakaszai azok az intervallumok, amelyeken a
függvény végig monoton nő, és azok az intervallumok, amelyeken a függvény
végig monoton csökken.
Ha az függvény értelmezve van az
intervallumon, és az intervallum bármely két elemére teljesül,
hogy ha , akkor , akkor monoton nő az
intervallumon.
Ha az függvény értelmezve van az
intervallumon, és az intervallum bármely két elemére teljesül,
hogy ha , akkor , akkor szigorúan monoton nő az
intervallumon.
Ha az függvény értelmezve van az
intervallumon, és az intervallum bármely két elemére teljesül,
hogy ha , akkor , akkor monoton csökken az
intervallumon.
Ha az függvény értelmezve van az
intervallumon, és az intervallum bármely két elemére teljesül,
hogy ha , akkor , akkor szigorúan monoton
csökken az intervallumon.
Példák:
Az függvény szigorúan monoton csökken a
intervallumon, szigorúan monoton nő a intervallumon, de
nem monoton az egész számegyenesen.
A függvény monoton nő az egész számegyenesen, és monoton
csökken az egész számegyenesen.
Ábrázoltunk néhány függvényt, pirossal jelölve a monoton növő, kékkel pedig a monoton csökkenő szakaszait.
Megjegyzés: Van olyan függvény, amelyik semmilyen intervallumban sem
monoton.
Definíció:Szélsőértékek
Az értéket az függvény maximumának vagy
abszolút maximumának vagy maximum értékének
nevezzük, ha értelmezési tartományában van olyan hely, amelyre
, és sehol nem vesz fel -nél nagyobb értéket.
Azokat a helyeket, ahol helyettesítési értéke az
maximum érték, maximumhelyeknek nevezzük.
Az értéket az függvény minimumának vagy
abszolút minimumának vagy minimum értékének
nevezzük, ha értelmezési tartományában van olyan hely, amelyre
, és sehol nem vesz fel -nél kisebb értéket.
Azokat a helyeket, ahol helyettesítési értéke az
minimum érték, minimumhelyeknek nevezzük.
A maximum- és minimumhelyek közös neve: szélsőértékhelyek, a
maximum és minimum értékek közös neve: szélsőértékek.
Példák:
A függvény maximuma , maximumhelyei: .
A függvény minimuma , minimumhelyei: .
Az függvény minimuma , minimumhelye . Az
függvénynek nincs maximuma.
Az függvénynek nincs se minimuma, se maximuma.
A (törtrész vagy törtrésze) függvény minimuma ,
minimumhelyei az egész számok. A függvénynek nincs maximuma.
Definíció:Periodikus függvények
Az függvényt periodikusnak nevezzük, ha van olyan
szám, hogy értelmezési tartományának minden elemére
teljesül a következő két állítás:
(i)
és is eleme értelmezési tartományának,
(ii)
.
A definícióban levő számot a függvény periódusának nevezzük.
Ha periódusa az függvénynek, akkor minden
esetén is periódusa -nek.
Példák:
A függvény periodikus, periódusai . A
függvény legkisebb pozitív periódusa .
Az függvény nem periodikus.
Megjegyzés:Van olyan periodikus függvény, amelyiknek nincs legkisebb pozitív
periódusa.
Definíció:Páros és páratlan függvények
Az függvényt párosnak nevezzük, ha az értelmezési
tartomány minden elemére teljesül a következő két állítás:
(i)
is benne van az értelmezési tartományban,
(ii)
.
A páros függvények grafikonja szimmetrikus az tengelyre.
Az függvényt páratlannak nevezzük, ha az értelmezési
tartomány minden elemére teljesül a következő két állítás:
(i)
is benne van az értelmezési tartományban,
(ii)
.
A páratlan függvények grafikonja szimmetrikus az origóra.
Példák:
Az függvény páros.
Az függvény páratlan.
Az függvény se nem páros, se nem páratlan.
3.3. Műveletek a függvények körében
Definíció:Algebrai műveletek.
Függvények összege: Ha az és függvények
értelmezési tartománya megegyezik, jelöljük a közös értelmezési
tartományt -vel, akkor a értelmezési tartománya szintén
, és minden esetén .
Konstanssal való szorzás: Ha az függvény
értelmezési tartománya , és egy valós szám, akkor a
függvény értelmezési tartománya szintén , és minden
esetén .
Függvények szorzata: Ha az és függvények
értelmezési tartománya megegyezik, jelöljük a közös értelmezési
tartományt -vel, akkor a értelmezési tartománya szintén
, és minden esetén .
Függvények hányadosa: Ha az és függvények
értelmezési tartománya megegyezik, jelöljük a közös értelmezési
tartományt -vel, és -nek nincs zérushelye, akkor a
értelmezési tartománya szintén
, és minden esetén .
Példák:}
A függvények összegének és szorzatának grafikonja az alábbi ábrákon látható:
Két függvény összege
Két függvény szorzata
A függvények körében az algebrai műveleteken kívül van még egy
művelet: az összetétel vagy kompozíció.
Definíció:Kompozíció.
Ha és két valós függvény, akkor a
összetett függvény értelmezési tartománya
és minden esetén
Ha , akkor az az összetett függvény külső
függvénye, és a belső függvénye.
Megjegyzés:
Előfordulhat, hogy a fenti definíció esetén olyan függvényt kapunk, amelyre , azaz a függvény sehol sincs értelmezve. A továbbiakban
ezt az üres függvényt (azonosítható az üres halmazzal) nem tekintjük függvénynek.
Példák:
Legyen , és .\\
Ekkor ,
és
A függvények kompozíciójánál lényeges a sorrend, nem mindegy, hogy
melyik a külső, és melyik a belső függvény.
Két függvény kompozíciója
Megjegyzés:Vannak többszörösen összetett függvények
is. Például, ha , és , akkor
3.4. Függvénytranszformációk
A függvények ábrázolása sokat segíthet a feladatok megoldásában. A
grafikonokról hasznos adatokat tudunk leolvasni. Ha ismerjük a
fontosabb elemi függvények grafikonját, akkor a
függvénytranszformációkkal újabb függvényeket tudunk ábrázolni.
Legyen az egy olyan függvény, amelyiknek ismerjük a
grafikonját, és legyen , ahol és rögzített valós
számok.
Külső függvénytranszformációról a
ábrázolásakor beszélünk, ekkor .
Belső függvénytranszformációról a
ábrázolásakor beszélünk, ekkor .
Összetett függvénytranszformáció esetén külső és belső
transzformáció is előfordul.
Példák:
Legyen ,
valamint .
ábrázolásához az függvény grafikonját -vel toljuk
felfele, ha , illetve -vel lefele, ha .
ábrázolásához az függvény grafikonját az tengely
irányában -szorosára nyújtjuk, ha , illetve -ad részére
zsugorítjuk, ha . Ha , akkor a nyújtás vagy zsugorítás
mellett a grafikont tükrözzük is az tengelyre.
ábrázolásához az függvény grafikonját az tengely
irányában -szorosára nyújtjuk, ha , illetve -ad részére
zsugorítjuk, ha . Ha , akkor a nyújtás vagy zsugorítás
mellett a grafikont tükrözzük is az tengelyre, majd a kapott
grafikont -vel toljuk felfele, ha , illetve -vel lefele, ha .
Ha és , akkor a
grafikonok képei:
Legyen ,
valamint .
ábrázolásához az függvény grafikonját -vel toljuk balra,
ha , és -vel toljuk jobbra, ha .
ábrázolásához az függvény grafikonját az tengely
irányában -szorosára nyújtjuk, ha , illetve -ad részére
zsugorítjuk, ha . Ha , akkor a nyújtás vagy zsugorítás
mellett a grafikont tükrözzük is az tengelyre.
ábrázolásához az függvény grafikonját először -vel toljuk balra,
ha , és -vel toljuk jobbra, ha , majd a kapott
grafikont az tengely
irányában -szorosára nyújtjuk, ha , illetve -ad részére
zsugorítjuk, ha . Ha , akkor a nyújtás vagy zsugorítás
mellett a grafikont tükrözzük is az tengelyre.
Ha és , akkor a
grafikonok képei:
Legyen , valamint .
Ekkor ábrázolásának lépései: .
Ha és , akkor a
grafikonok képei:
A függvénytraszformációkat a transzformációk szerint is lehet
csoportosítani.
Függőleges eltolás:
Az kifejezés az grafikonját felfelé tolja -vel, ha és lefelé -vel, ha .
Példa:
Vízszintes eltolás:
Az kifejezés az grafikonját balra tolja -vel, ha és jobbra -vel, ha .
Példa:
Függőleges nyújtás:
Az kifejezés az grafikonját az tengely
irányában -szere\-sére változtatja. Ha , akkor nyújtja, ha
, akkor zsugorítja. Ha pedig , akkor tükrözi az tengelyre.
Példa:
Vízszintes nyújtás:
Az kifejezés az grafikonját az tengely
irányában -szeresére változtatja. Ha , akkor nyújtja, ha
, akkor zsugorítja. Ha pedig , akkor tükrözi az tengelyre.
Példa:
3.5. Fontosabb elemi függvények: grafikonok, tulajdonságok
Lineáris függvények:
Az vagy
alakú függvényeket lineáris függvényeknek nevezzük. Itt és állandó. Az elnevezést az indokolja,
hogy grafikonjuk a síkban egyenes. Itt az egyenes meredeksége, pedig az tengellyel való metszéspontja az egyenesnek.
Abban a speciális esetben, amikor , azaz a függvény grafikonja egy vízszintes egyenes, konstans függvényről beszélünk.
Hatványfüggvények:
Az vagy
alakú függvényeket hatványfüggvényeknek nevezzük. Itt egy állandó, a hatvány kitevője. Egyelőre csak olyan
hatványfüggvényekkel foglalkozunk, amelyeknek a kitevője egy nem egész szám. Ha ez a kitevő egy pozitív egész szám, akkor
a függvény értelmezési tartománya az egész számegyenes. Ha a kitevő negatív, akkor a függvény nincs értelmezve -ban.
A pozitív kitevős hatványfüggvényekből és konstansokból az összeadás és szorzás segítségével előállítható függvényeket
polinomoknak nevezzük. Minden polinom felírható
alakban, ahol valós számok, a polinom együtthatói. Azt a legnagyobb indexet, amelyre , a
polinom fokának nevezzük. Emiatt szokás a konstans függvényeket -ad fokú polinomoknak is nevezni.
A törtkitevőjű hatványfüggvények közül különösen fontos az
négyzetgyökfüggvény és az köbgyökfüggvény.
A négyzetgyökfüggvény értelmezési tartománya és értékkészlete a félegyenes, azaz a nemnegatív
valós számok. A köbgyökfüggvény értelmezési tartománya és értékkészlete a egyenes, azaz az összes valós szám.
Exponenciális függvények:
Az alakú függvényeket -alapú exponenciális függvényeknek nevezzük.
Itt az alap csak pozitív, -től különböző szám lehet: és . Az exponenciális
függvények értelmezési tartománya , értékkészlete pedig .
Logaritmusfüggvények:
Az alakú függvényeket -alapú logaritmusfüggvényeknek nevezzük. Ezek az exponenciális
függvények inverzei. Az alap itt is csak pozitív, -től különböző szám lehet: és . A logaritmusfüggvények
értelmezési tartománya , értékkészlete pedig .
Trigonometrikus függvények:
Az alábbi ábrákon a négy legismertebb trigonometrikus függvény grafikonja látható.
Közülük a és a mindenütt értelmezve van, értékkészlete a zárt intervallum és szerint periodikus.
A függvény nincs értelmezve ott, ahol a függvény értéke , azaz az helyeken, ahol
tetszőleges egész szám.
A függvény nincs értelmezve ott, ahol a függvény értéke , azaz az helyeken, ahol
tetszőleges egész szám.
A és a függvény értékkészlete és szerint periodikus.
3.6. Szakaszonként megadott függvények
Függvényeket többféle módon lehet megadni. Legtöbbször valamilyen
képlettel fogjuk megadni a hozzárendelést.
Ugyanakkor egy függvényt nem feltétlenül egyetlen képlettel adunk meg az egész
értelmezési tartományon. Vannak olyan függvények, amelyeket különböző
intervallumokon más-más képlet definiál.
Példák:
Nem adható meg egyetlen képlettel az ( egész része vagy egész
rész ) és a ( törtrésze vagy törtrész ) függvény sem.
Definíció:
Az valós szám egész része, jele ,
olyan egész szám, amelyre teljesül, hogy .
Példák:
Az függvény minden valós számhoz a szám egész részét
rendeli.
Az valós szám törtrészét, jele , úgy
kapjuk, hogy a számból kivonjuk az egész részét: .
Példák:
Az függvény minden valós számhoz a szám törtrészét
rendeli.
Megjegyzés:Egy függvényt nemcsak szakaszonként határozhat meg
egy képlet, hanem tetszőleges ponthalmazokon is meg lehet adni értékeket.
Példák:
Az első példában szereplő függvény grafikonját könnyű lerajzolni, a
második példában szereplő függvény grafikonját pedig nem lehet
lerajzolni.
3.7. Egyenlőtlenségek grafikus megoldása
A függvénygrafikonok ábrázolása hasznos módszer az egyenlőtlenségek
megoldásakor. Nem feltétlenül helyettesíti a pontos értékek kiszámolásában az
algebrai megoldást, de kiegészíti azt, és segít a hibák elkerülésében.
Mindig érdemes vázolni a grafikonokat, ha az egyenlőtlenségben
másodfokú függvény szerepel. Akkor is érdemes vázolni a grafikonokat,
ha az egyenlőtlenségben egyszerűbb trigonometrikus, logaritmus vagy
exponenciális függvények szerepelnek.
Példák:
Oldjuk meg az egyenlőtlenséget!
Oldjuk meg az egyenlőtlenséget!
Oldjuk meg az egyenlőtlenséget!
Oldjuk meg a egyenlőtlenséget!
Oldjuk meg az egyenlőtlenséget!
Oldjuk meg az egyenlőtlenséget!
Oldjuk meg a egyenlőtlenséget!
Oldjuk meg a egyenlőtlenséget!
Oldjuk meg a egyenlőtlenséget!
Oldjuk meg a egyenlőtlenséget!
3.8. Szélsőérték-feladatok megoldása másodfokú függvény segítségével
Bizonyos szélsőértékeket könnyen meghatározhatunk a másodfokú
függvény segítségével. A legegyszerűbb ilyen feladat valamilyen konkrét
másodfokú függvény szélsőértékének a meghatározása.
A megoldás során érdemes ábrázolni a függvény grafikonját.
Példák:
Határozzuk meg az függvény minimumát!
Megoldás: . A függvény minimumhelye
-ben van, és a minimumérték .
Határozzuk meg az függvény maximumát!
Megoldás:
A függvény maximumhelye -ban van, és a maximumérték .
Mennyi a hosszúságegység kerületű
téglalapok területének a maximuma? Határozzuk meg a maximális területtel rendelkező
téglalap oldalait!
Megoldás: Legyen a téglalap két oldala és . Ekkor
, amiből . A téglalap területe az oldal
függvényében .
A téglalap területe maximális, ha hosszúságegység. Ekkor
, tehát a téglalap négyzet, és a maximális terület
területegység. (Ld. még Megoldás nevezetes közepekkel.)
3.9. Függvények inverze
Definíció: Azt mondjuk, hogy az valós függvény
egy-egyértelmű vagy kölcsönösen egyértelmű, illetve
invertálható, ha az függvény különböző -beli pontokhoz különböző értékeket rendel.
Példák egy-egyértelmű függvényekre: .
Nem minden függvény egy-egyértelmű, példák nem egy-egyértelmű függvényekre: .
Definíció:Inverz függvény.
Kölcsönösen egyértelmű függvények esetében a hozzárendelés
irányát meg lehet fordítani. Ekkor az eredeti függvény
értékkészletéből lesz az új függvény értelmezési tartománya, és az
eredeti függvény értelmezési tartományából lesz az új függvény
értékkészlete. A hozzárendelés megfordításával invertáljuk a
függvényt. Az előbbi módon kapott új függvény az eredeti függvény
inverze, illetve az eredeti és az új függvény egymás
inverzei.
Az függvény inverzét -gyel jelöljük.
Ne keverjük össze az inverz függvényt a függvény reciprokával.
Ha és egymás inverzei, akkor értelmezési tartománya
megegyezik értékkészletével, értékkészlete
megegyezik értelmezési tartományával, továbbá, ha értelmezve
van az helyen, és , akkor .
Példák: Az függvény inverze , a
inverze , és inverze .
Fontos: Csak egy-egyértelmű függvénynek van inverze.
Mivel az inverz függvényt a leképezés irányának megfordításával
kapjuk, a grafikon ábrázolásakor ez az és tengelyek
szerepének felcserélését jelenti. Ezért az inverz függvények
grafikonjai szimmetrikusak az egyenesre.
Nincs inverze például az egész számegyenesen értelmezett
függvénynek, mert nem kölcsönösen egyértelmű. Az függvény grafikonját lehet
tükrözni az egyenesre, de az így kapott görbe már nem
függvénygrafikon, mert függvények esetében egy helyhez pontosan egy
értéket rendelünk.
Van viszont inverze az függvénynek, ha például csak a
intervallumon értelmezzük, mert itt egy-egyértelmű.
Az inverz függvény jelölését a zsebszámológépeken is
láthatjuk. Például a gomb felett van a
felirat. Az egész számegyenesen a szinusz függvény sem egy-egyértelmű, tehát
az egész számegyenesen nincs inverze. Ha viszont csak a
intervallumon értelmezzük, ott már egy-egyértelmű, és van
inverze. Ennek a intervallumra megszorított szinusz
függvénynek az inverzét jelöljük -gyel vagy -szal.
Példa:
Határozzuk meg az
függvény inverzét, továbbá adjuk meg az inverz értelmezési
tartományát és értékkészletét!
Ha , és a hozzárendelést megfordítjuk, vagyis és
szerepét felcseréljük, akkor az egyenlethez jutunk. Ezt
-ra megoldva:
eredményeket kapjuk. A két eredmény
közül egy konkrét értékpár segítségével tudjuk kiválasztani az eredeti
függvény inverzét. Válasszuk az helyet, és itt . Tehát az
inverz függvényre igaz, hogy . Az értéke -ben
, tehát az függvény inverze
( értéke -ben , tehát nem lehet inverze.)
Az inverz értelmezési tartománya (és nem ),
értékkészlete pedig .
3.10. Feladatok
Igazak-e a következő állítások?
Minden polinom esetén vannak olyan számok, amelyekre teljesül, hogy
.
Vannak olyan számok, amelyekre minden polinom esetén teljesül, hogy
.
Van-e olyan függvény, amelyre a
Minden -hez van olyan , amelyikre . Van olyan , hogy minden esetén .
állítások közül pontosan
teljesül?
Fogalmazzuk meg, hogy mit jelent az, hogy egy függvény az
intervallumban monoton nő! Fogalmazzuk meg, hogy mit jelent az, hogy
egy függvénynek az abszolút minimuma 4.
Fogalmazzuk meg, hogy mit jelent az, hogy egy függvény a
intervallumban monoton csökken! Fogalmazzuk meg, hogy mit jelent az, hogy
egy függvénynek abszolút minimuma van az pontban!
Az függvény monoton csökken a intervallumban, ha értelmezve van ezen az intervallumon, és minden esetén .
A függvénynek abszolút minimuma van az pontban, ha értelmezve van
-ben, és minden esetén .
Indokoljuk az alábbi kérdésekre adott válaszokat!
Lehet-e két szigorúan monoton növő függvény összege szigorúan monoton
csökkenő?
Lehet-e két szigorúan monoton növő függvény szorzata szigorúan monoton
csökkenő?
Igaz-e, hogy ha az függvény szigorúan monoton növő, akkor is
és is szigorúan monoton növő függvények?
Adjunk példát olyan szigorúan monoton növő és függvényekre, ha
vannak ilyenek, amelyeknek az összege
szigorúan monoton növő.
Például legyen .
Megjegyzés: Bármely szigorúan monoton növő és megfelel, ugyanis:
Ha és szigorúan monoton növő, akkor minden esetén és . A két egyenlőtlenséget összeadva , tehát .
szigorúan monoton csökkenő.
Az előző feladat megjegyzése szerint szigorúan monoton növő. Mivel egy függvény nem lehet egyszerre szigorúan monoton növő és csökkenő (MIÉRT?), ezért ilyen és nincs!
Adjunk példát olyan szigorúan monoton növő és függvényekre, ha
vannak ilyenek, amelyeknek a szorzata
szigorúan monoton növő.
Például .
szigorúan monoton csökkenő.
Például .
Van-e olyan mindenütt értelmezett függvény, amelyiknek
nincs abszolút minimuma?
nincs sem abszolút minimuma, sem abszolút maximuma?
nem monoton az egész számegyenesen, de nincs sem abszolút
minimuma, sem abszolút maximuma?
minden pontban az abszolút minimummal egyezik meg a
helyettesítési értéke?
Van-e olyan minden valós számon értelmezett függvény, amelyik
szigorúan monoton csökken a intervallumon, szigorúan
monoton nő a intervallumon, és -ban nincs minimuma?
Van-e olyan minden valós számon értelmezett függvény, amelyik nem vesz
fel -nél nagyobb értéket, de nincs maximuma?
Van-e maximuma a függvénynek?
Az függvénynek nincs maximuma. Legyen egy tetszőleges szám. Van olyan egész szám, amelyikre teljesül, hogy . A függvény a helyen nagyobb értéket vesz fel, mint -ban, tehát nem lehet maximumhely.
Ennek a -nek ugyanaz az egész része, tudniillik , mint -nak, de közelebb van -hez mint .
Van-e minimuma, illetve van-e maximuma a következő, mindenütt értelmezett függvényeknek?
Van-e minimuma, illetve van-e maximuma a következő, mindenütt értelmezett függvényeknek?
Keressük meg a következő függvények szélsőértékhelyeit, és adjuk meg a szélsőértéket is!
Keressük meg a következő függvények szélsőértékhelyeit a megadott
intervallumokon, és adjuk meg a
szélsőértéket is!
Határozzuk meg a paramétert úgy, ha lehet, hogy az
függvény
grafikonja érintse az -tengelyt!
minimuma legyen!
csak negatív értéket vegyen fel!
Határozzuk meg a paramétert úgy, ha lehet, hogy az
függvény
grafikonja érintse az egyenest!
A paramétert úgy kell megválasztani, hogy az parabolának a minimuma
legyen. Mivel -et felírhatjuk
alakban is, a függvény minimuma mindig az pontban van. Tehát az
egyenletnek kell teljesülnie. Ez a választással teljesül, ekkor
maximuma legyen!
Mivel tetszőleges esetén az parabola főegyütthatója pozitív,
ezért nincs maximuma.
csak pozitív értéket vegyen fel!
Az függvény minimuma tetszőleges esetén
-ben van, ezért akkor vesz fel csak pozitív értékeket, ha
Keressük meg a következő függvények szélsőértékhelyeit, és szélsőértékeit!
Mivel a másodfokú polinom főegyütthatója pozitív, a függvénynek van minimuma és nincs minimuma. Teljes négyzetté kiegészítés után
Az függvény értéke akkor minimális, ha , azaz .
A szélsőértékhely , a függvény minimuma .
Az parabola lefelé áll, van maximuma, de nincs minimuma.
A függvény maximuma -ben van, értéke .
Van minimum, de nincs maximum.
Van maximum, de nincs minimum.
Van-e olyan függvény, amelyiknek a grafikonja szimmetrikus az
tengelyre?
tengelyre?
egyenesre?
egyenesre?
egyenesre?
origóra?
pontra?
pontra?
Fogalmazzuk meg, hogy mit jelent az, hogy egy függvény páros!
Fogalmazzuk meg, hogy mit jelent az, hogy egy függvény nem páros!
Fogalmazzuk meg, hogy mit jelent az, hogy egy függvény páratlan!
Fogalmazzuk meg, hogy mit jelent az, hogy egy függvény nem páratlan!
Melyik függvény páros, melyik páratlan, melyik se nem páros, se nem
páratlan, melyik páros is, és páratlan is?
Adjunk példát olyan páros, és olyan páratlan függvényekre,
amelyek összege
páratlan.
se nem páros, se nem páratlan.
Legyen . Tudjuk, hogy . Következik-e ebből, hogy páros
függvény?
Legyen . Tudjuk, hogy . Következik-e ebből, hogy nem páros
függvény?
Melyik függvény páros, melyik páratlan, melyik se nem páros, se nem
páratlan, melyik páros is, és páratlan is?
Az páratlan, de nem páros:
Megjegyzés: Csak egyetlen olyan függvény van, amelyik egyszerre páros is és páratlan is, az azonosan függvény!
Az páratlan, de nem páros:
Az páros, de nem páratlan:
Mivel az függvény páros, ezért az is páros.
Mivel , ezért a függvény nem páratlan.
Az függvény se nem páros, se nem páratlan, mivel az értelmezési tartománya nem szimmetrikus az origóra.
Az konstans függvény páros, de nem páratlan.
A páratlan, de nem páros.
A se nem páros, se nem páratlan:
Adjunk példát olyan páros, és olyan páratlan függvényekre,
amelyek összege
páros.
Megjegyzés: Egy páros és egy páratlan függvény összege pontosan akkor páros, ha , mert
Hasonlóan kapjuk, hogy az összeg pontosan akkor páratlan, ha .
páros is, és páratlan is.
.
Legyen egy mindenütt értelmezett függvény, amelyre teljesül, hogy . Következik-e ebből, hogy páratlan
függvény?
Nem következik, legyen például
Egy mindenütt értelmezett függvény akkor páratlan, ha minden valós szám esetén teljesül, hogy . A fenti példa esetén ez az egyenlőség esetén nem teljesül.
Legyen egy mindenütt értelmezett függvény, amelyre teljesül, hogy . Lehet-e páros?
lehet páros, ha , például .
Legyen egy mindenütt értelmezett függvény, amelyre teljesül, hogy . Következik-e ebből, hogy nem páratlan
függvény?
Egy mindenütt értelmezett függvény akkor páratlan, ha minden valós szám esetén teljesül, hogy .
Ha , akkor nem páratlan, ezt éppen az tanúsítja!
Igaz-e, hogy egy páros és egy páratlan függvény összege
páros?
páratlan?
se nem páros, se nem páratlan?
páros is és páratlan is?
Lehet-e egy páros és egy páratlan függvény összege
páros?
páratlan?
se nem páros, se nem páratlan?
páros is és páratlan is?
Bizonyítsuk be, hogy minden függvény felbontható egy
páros és egy páratlan függvény összegére!
Van-e olyan függvénygrafikon, amelynek végtelen sok
szimmetriatengelye
szimmetria-középpontja
van?
Van-e olyan függvénygrafikon, amelynek pontosan
szimmetriatengelye
szimmetria-középpontja
van?
Van-e olyan függvény, amelyikre a
Minden -hez van olyan szám, hogy .} Van olyan szám, hogy minden esetén .
állítások közül pontosan
teljesül?
Fogalmazzuk meg, mit jelent az, hogy egy függvény periodikus!
Fogalmazzuk meg, mit jelent az, hogy egy függvény nem periodikus!
Fogalmazzuk meg, mit jelent az, hogy a periódusa egy függvénynek!
Fogalmazzuk meg, mit jelent az, hogy a nem periódusa egy függvénynek!
Van-e olyan függvény, amelyiknek pontosan
periódusa van?
Adjuk meg a függvény legkisebb pozitív periódusát!
Periodikusak-e a következő függvények? Ha igen, adjunk meg egy periódust!
Periódusa-e a függvénynek
az ,
a ,
a ?
Van-e -nek -nél kisebb pozitív periódusa?
Bizonyítsuk be, hogy a
függvény periodikus, és minden nem racionális szám a
periódusa. Van-e a pozitív periódusok között legkisebb?
Legyen és . Írjuk fel az alábbi összetett
függvényeket:
Legyen és . Írjuk fel
az alábbi összetett függvényeket:
Írjuk fel egyszerű alakban a következő függvényeket, és ábrázoljuk is őket!
Adjunk meg olyan függvényt, ha van ilyen, amelyre igaz, hogy
.
Van-e inverzük a következő függvényeknek? Ha igen, adjuk meg az inverz függvényeket!
Keressünk inverz párokat a függvények között!
Adjunk meg olyan függvényeket, amelyek saját maguk inverzei!
Igaz-e, hogy ha egy tetszőleges, mindenütt értelmezett függvény
grafikonját tükrözzük az egyenesre, akkor megkapjuk az inverz
függvény grafikonját?
Legyen .
Van-e olyan intervallum, ahol monoton? Van-e -nek inverze?
Adjunk meg olyan intervallumokat, amelyeken az függvénynek
van inverze! Adjuk meg az inverzeket ezeken az intervallumokon! Adjuk
meg az inverzek értelmezési tartományát és értékkészletét!
Adjuk meg inverzét a intervallumon, és
bizonyítsuk be, hogy az inverz függvény monoton! Adjuk
meg az inverz értelmezési tartományát és értékkészletét!
Van-e olyan függvény, amelyiknek a grafikonja a sík összes egyenesét metszi?
Van-e olyan függvény, amelyik a sík összes egyenesét végtelen sok
pontban metszi?
Van-e olyan függvény, amelyik végtelen sokszor felvesz minden valós
értéket?
Lehet-e valamilyen függvény grafikonja
egy kör?
egy álló parabola?
egy fekvő parabola?
egy vízszintes egyenes?
Lehetnek-e a következő egyenesek valamilyen lineáris függvény grafikonjai? Ha
igen, határozzuk meg a lineáris függvények meredekségét!
Lehetnek-e a következő egyenesek valamilyen lineáris függvény grafikonjai? Ha
igen, határozzuk meg a lineáris függvények meredekségét!
egy egyenes általános egyenlete. Más alakban:
Ezért a meredeksége .
egy vízszintes egyenes egyenlete, meredeksége .
egy egyenes általános egyenlete. Más alakban:
Ezért a meredeksége .
egy függőleges egyenes egyenlete, meredeksége végtelen', nem függvénygrafikon.
egy vízszintes egyenes, az -tengely egyenlete, meredeksége .
Írjuk fel az annak az elsőfokú függvénynek a
hozzárendelési szabályát alakban, amelyre igaz, hogy
átmegy a ponton és a meredeksége .
Írjuk fel az annak az elsőfokú függvénynek – ha van ilyen függvény – a
hozzárendelési szabályát alakban, amelyre igaz, hogy
átmegy a ponton és a meredeksége !
Az egyenes meredeksége , ezért
Mivel az egyenes átmegy a ponton, ezért ha helyébe -t írunk, akkor :
Innen , tehát a keresett egyenlet
átmegy a és pontokon!
Az adott és pontokon átmenő egyenes egyenlete:
Átalakítás után
átmegy a ponton és a meredeksége 5!
A ponton átmenő meredekségű egyenes egyenlete:
átmegy a és pontokon!
A és pontokon átmenő egyenes függőleges, mivel a két pont első koordinátái megegyeznek. Ezért az egyenes nem függvénygrafikon, egyenlete
Van-e olyan elsőfokú polinom, amelyre igaz, hogy minden esetén
?
?
?
Határozzuk meg a következő függvények lehető legbővebb értelmezési
tartományát, majd ábrázoljuk őket! Határozzuk meg az
értékkészletüket! Színezzük pirosra az tengelyen azokat a
szakaszokat, ahol a függvény monoton növő, és kékre azokat, ahol
monoton csökkenő! Határozzuk meg a minimum- és maximumhelyeket, ha vannak, és a
minimum és maximum értékeket is!
, értelmezési tartomány: , értékkészlet: .
A függvény szigorúan monoton nő az egész számegyenesen, mert ha , akkor .
A függvénynek nincs sem maximuma, sem minimuma. Legyen egy tetszőleges valós szám.
Ha , akkor , illetve, ha , akkor , tehát semmilyen hely nem lehet maximumhely vagy minimumhely.
, értelmezési tartomány: , értékkészlet: .
A függvény szigorúan monoton nő az egész számegyenesen, ezért semmilyen helyen nem lehet sem maximuma sem minimuma, mert ha , akkor , illetve, ha , akkor .
, értelmezési tartomány: , értékkészlet: .
A függvény szigorúan monoton nő a félegyenesen, mert ha , akkor , tehát .
A függvény szigorúan monoton csökken a félegyenesen. (MIÉRT?)
A függvénynek nincs sem maximuma sem minimuma. Legyen tetszőleges negatív vagy pozitív szám. Az függvény a helyen nagyobb, a helyen kisebb értéket vesz fel, mint .
Számoljuk ki a következő számok egész részét és törtrészét!
Határozzuk meg a következő függvények lehető legbővebb értelmezési
tartományát, majd ábrázoljuk őket! Határozzuk meg az
értékkészletüket! Színezzük pirosra az tengelyen azokat a
szakaszokat, ahol a függvény monoton növő, és kékre azokat, ahol
monoton csökkenő! Határozzuk meg a szélsőértékhelyeket, ha vannak, és a
szélsőértékeket is!
, értelmezési tartomány: , értékkészlet: .
A függvény monoton csökken az egész számegyenesen: a intervallumon az értéke konstans, itt . A függvény monoton nő a alakú intervallumokon.
Nincs sem maximuma sem minimuma, mert a helyen -nál kisebb, a helyen -nál nagyobb értéket vesz fel, tehát semmilyen hely nem lehet sem maximumhely, sem minimumhely.
, értelmezési tartomány: , értékkészlet: .
A függvény monoton nő az egész számegyenesen. Az intervallumon az értéke konstans, itt . A függvény monoton csökken alakú intervallumokon.
Nincs sem maximuma sem minimuma, helyen -nál nagyobb, a helyen -nál kisebb értéket vesz fel, tehát semmilyen hely nem lehet sem maximumhely, sem minimumhely.
, értelmezési tartomány: , értékkészlet: .
A függvény minden intervallumon szigorúan monoton csökken.
A intervallumon .
Az pontokban minimuma van, mert , és minden esetén , tehát a minimumérték .
A függvénynek nincs maximuma, mert tetszőleges esetén a helyen a függvényérték nagyobb, mint .
, értelmezési tartomány: , értékkészlet: .
A függvény minden intervallumom szigorúan monoton nő.
Az pontokban minimuma van, mert , és minden esetén , tehát a minimumérték .
A függvénynek nincs maximuma, mert tetszőleges esetén a helyen a függvényérték nagyobb, mint .
Határozzuk meg a következő függvények lehető legbővebb értelmezési
tartományát, majd ábrázoljuk őket! Határozzuk meg az
értékkészletüket! Színezzük pirosra az tengelyen azokat a
szakaszokat, ahol a függvény monoton növő, és kékre azokat, ahol
monoton csökkenő! Határozzuk meg a szélsőértékhelyeket, ha vannak, és a
szélsőértékeket is!
, értelmezési tartomány: , értékkészlet: .
A függvény szigorúan monoton csökken az egész számegyenesen, nincs sem
maximuma, sem minimuma.
, értelmezési tartomány: , értékkészlet: .
A függvény szigorúan monoton nő a félegyenesen, mert ha , akkor
, és szigorúan csökken a félegyenesen, mert ha , akkor
. Az pontban maximuma van, mert -ban a függvényérték , és a függvény sehol nem vesz fel pozitív értéket. A függvénynek minimuma nincs, mert tetszőleges esetén a helyen a függvényérték kisebb, mint .
, értelmezési tartomány: , értékkészlet: .
A függvény szigorúan monoton nő a félegyenesen és szigorúan csökken a félegyenesen. Az pontban maximuma van, mert , és minden esetén . A függvénynek nincs minimuma, mert tetszőleges esetén .
Határozzuk meg a következő függvények lehető legbővebb értelmezési
tartományát, majd
ábrázoljuk őket! Határozzuk meg az
értékkészletüket! Színezzük pirosra az tengelyen azokat a
szakaszokat, ahol a függvény monoton növő, és kékre azokat, ahol
monoton csökkenő! Határozzuk meg a szélsőértékhelyeket, ha vannak, és a
szélsőértékeket is!
Határozzuk meg a következő függvények lehető legbővebb értelmezési
tartományát, majd ábrázoljuk őket! Határozzuk meg
a függvények legkisebb pozitív periódusát is!
Határozzuk meg a következő függvények lehető legbővebb értelmezési
tartományát, majd ábrázoljuk őket! Határozzuk meg
a függvények legkisebb pozitív periódusát is!
A függvény periodikus, legkisebb pozitív periódusa .
A függvény periodikus, legkisebb pozitív periódusa .
A függvény periodikus, legkisebb pozitív periódusa .
A függvény periodikus, legkisebb pozitív periódusa .
A függvény periodikus, legkisebb pozitív periódusa .
A függvény periodikus, legkisebb pozitív periódusa .
Bizonyítsuk be, hogy az és a
függvények egyenlők!
Felhasználva az előző egyenlőséget, adjuk meg a következő kifejezések
értékét trigonometrikus függvények használata nélkül!
Bizonyítsuk be, hogy az és a
függvények egyenlők!
Használjuk az addíciós képleteket!
Felhasználva az előző egyenlőséget, adjuk meg a következő kifejezések
értékét trigonometrikus függvények használata nélkül!
Számítsuk ki és értékét, ha .
Innen
Adjuk meg a következő számok értékét minél egyszerűbb, logaritmust nem használó alakban!
Adjuk meg a következő számok értékét minél egyszerűbb alakban logaritmus
használata nélkül!
A logaritmus definíciója szerint
ezért .
Határozzuk meg a következő függvények lehető legbővebb értelmezési
tartományát, majd
ábrázoljuk őket! Határozzuk meg az
értékkészletüket! Színezzük pirosra az tengelyen azokat a
szakaszokat, ahol a függvény monoton növő, és kékre azokat, ahol
monoton csökkenő! Határozzuk meg a szélsőértékhelyeket, ha vannak, és a
szélsőértékeket is!
A függvény szigorúan monoton csökken az egész számegyenesen, nincs sem maximuma sem minimuma.
A függvény szigorúan monoton csökken a pozitív félegyenesen, nincs sem maximuma sem minimuma.
A függvény szigorúan monoton nő a pozitív félegyenesen, nincs sem maximuma sem minimuma.
A függvény szigorúan monoton csökken a intervallumon, mert ha , akkor , és ezen az intervallumon a függvény szigorúan monoton nő, tehát az függvény szigorúan monoton csökken. A függvény
szigorúan monoton nő az félegyenesen. Az pont minimumhely, mert , és minden esetén . A minimum érték .
Határozzuk meg a következő függvények lehető legbővebb értelmezési
tartományát! Vannak-e a függvények között egyenlők?
Hol van a hiba a következő levezetésben?
, ezért
A logaritmus azonosságát felhasználva:
Tehát:
azaz
Ábrázoljuk a következő függvényeket!
Ábrázoljuk a következő függvényeket!
Ábrázoljuk a következő függvényeket! Határozzuk meg az
értékkészletüket! Színezzük pirosra az tengelyen azokat a
szakaszokat, ahol a függvény monoton növő, és kékre azokat, ahol
monoton csökkenő! Határozzuk meg a szélsőértékhelyeket, ha vannak, és a
szélsőértékeket is!
Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tartományát, majd ábrázoljuk őket!
Határozzuk meg az értékkészletüket! Színezzük pirosra az tengelyen azokat a
szakaszokat, ahol a függvény monoton növő, és kékre azokat, ahol
monoton csökkenő! Határozzuk meg a szélsőértékhelyeket, ha vannak, és a
szélsőértékeket is! Vannak-e a függvények között párosak, páratlanok, periodikusak?
Legyen , és egy mindenütt értelmezett
függvény. Milyen függvénytranszformációval tudjuk ábrázolni az
és a függvényeket
grafikonjából kiindulva?
Oldjuk meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket!
Oldjuk meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket!
Oldjuk meg algebrailag is, és grafikusan is a következő egyenlőtlenségeket!
Oldjuk meg algebrailag is, és grafikusan is a következő egyenlőtlenségeket!
Ezért a megoldások halmaza
Ezért a megoldások halmaza
Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket algebrai úton is, és grafikusan is!
A függvény szigorúan monoton nő a félegyenesen,
. Ezért a egyenlőtlenség megoldásainak halmaza a
nyílt intervallum.
A függvény szigorúan monoton csökken a félegyenesen,
. Ezért a egyenlőtlenség megoldásainak halmaza a
nyílt intervallum.
A függvény szigorúan monoton csökken a számegyenesen,
. Ezért a egyenlőtlenség megoldásainak halmaza a
nyílt félegyenes.
A függvény periodikus, legkisebb pozitív periódusa .
A intervallumon belül az értéket az
és az helyeken veszi fel. A két pont között a függvényérték
nagyobb, mint . Tehát a egyenlőtlenség megoldásai
A függvény periodikus, legkisebb pozitív periódusa .
A intervallumon belül az értéket az
és az helyeken veszi fel. A két pont között a függvényérték
kisebb, mint . Tehát a egyenlőtlenség megoldásai
A függvény periodikus, legkisebb pozitív periódusa .
Nincs értelmezve a helyeken.
A intervallumon belül a függvény szigorúan monoton nő,
az értéket az
helyen veszi fel. A intervallumban a függvényérték
kisebb, mint . Tehát a egyenlőtlenség megoldásai
Ábrázoljuk a számegyenesen a következő egyenlőtlenségek
megoldáshalmazát!
Ábrázoljuk a számegyenesen a következő egyenlőtlenségek
megoldáshalmazát!
Írjuk fel a kör területét a kör kerületének függvényében! (Például a
kör területe a sugár függvényeben .) Határozzuk meg a
függvény értelmezési tartományát!
Írjuk fel a kör területét egy feleakkora sugarú kör területének, illetve
kerületének a függvényében! Jelöljük a függő és a független változót!
Határozzuk meg a függvény értelmezési tartományát!
Adott sugarú kör esetén jelölje , illetve a feleakkora sugarú kör területét
illetve kerületét, pedig az sugarú kör területét.
Innen
Írjuk fel a gömb felszínét a gömb térfogatának függvényében! Határozzuk meg a
függvény értelmezési tartományát! Jelöljük a függő és a független változót!
Ha a gömb sugara , akkor felszíne
térfogata pedig
A térfogat képletéből fejezzük ki -et, majd helyettesítsük be a felszín képletébe:
Tehát a gömb felszíne a gömb térfogatának függvényében
Adjuk meg a kocka térfogatát és felszínét a testátló függvényeben!
Jelöljük a függő és a független változót! Határozzuk meg a függvények
értelmezési tartományát!
Ha a kocka élének hossza , akkor térfogata , felszíne , testátlója
pedig . Így tehát a keresett függvények:
Mindkét függvény értelmezési tartománya a félegyenes (ha nem engedjük meg az
elfajult, élhosszúságú kockát).
Adjuk meg a kocka testátlóját a kocka térfogatának függvényeben!
Jelöljük a függő és a független változót!
Határozzuk meg a függvény értelmezési tartományát!
Ha a kocka élének hossza , akkor térfogata , testátlója
pedig . Így tehát a keresett függvény:
A függvény értelmezési tartománya a félegyenes (ha nem engedjük meg az
elfajult, élhosszúságú kockát).
Egy kerékpáros egy sugarú, kör alakú pályán megy körbe-körbe
állandó kerületi sebességgel. Az elfordulás szögét a kör
középpontját az induló kerékpárossal összekötő sugártól mérjük pozitív
irányban. Adjuk meg a kerékpáros által megtett utat
függvényében!
Írjuk fel az sugarú körcikk területét a középponti szög
függvényében!
Az sugarú, középponti szögű körcikk területe:
Itt a független változó, pedig egy rögzített konstans (paraméter).
Egy téglatest alakú, alapterületű medencébe egy csapból
liter/perc sebességgel folyik be a víz. Adjuk meg a víz magasságát
az idő függvényében, ha a medence kezdetben üres volt, és a csapot
délben nyitották ki! Mikor telik meg a medence a részéig, ha a
mélysége méter?
A medencébe percenként víz folyik be.
Ezért a medence vízének magassága percenként métert emelkedik.
Így a medence vízének magassága a csap megnyitása után perccel
A méter mély medence része métert jelent, így az ehhez szükséges időt
(percben mérve) a
egyenletből kapjuk. Innen perc, azaz óra perc. Tehát a délben kinyitott
csap esetén éjfél után perccel lesz úszásra alkalmas másfél méter a víz magassága.
Egy élű kocka csúcsai egy gömbön vannak. Adjuk meg a gömb sugarát
az élhosszúság függvényeben!
Az élű kocka testátlója . Ez éppen a gömb átmérője (ha a gömb középpontja
megegyezik a kocka szimmetria középpontjával), azaz
Egy élű kocka éleit érinti az sugarú gömb. Adjuk meg az kocka
élét az sugár függvényében!
Az sugarú gömb pontosan akkor érinti az élű kocka éleit, ha
a gömb középpontja megegyezik a kocka szimmetria középpontjával és a kocka lapátlója
megegyezik a gömb átmérőjével, azaz
Egy magasságból leeső kő sebessége az idő függvényében ,
ahol a állandó a gravitációs gyorsulás. A kő által megtett út az
idő függvényében . Adjuk meg a kő által megtett
utat a sebesség függvényében!
Fejezzük ki az időt a sebesség függvényeben (a sebesség függvény inverze):
Ezt behelyettesítve az utat megadó képletbe
Egy ablak egy szélességű téglalap, és a téglalapon nyugvó
félkör. Készítsünk rajzot, írjuk be az ábrába a jelöléseket!
Adjuk meg az ablak kerületét és területét a téglalap
magasságának a függvényében! Jelöljük a függő és a független változót!
Használjuk az ábra jelöléseit!
Az ablak területe
kerülete pedig
Írjuk fel a gömb felszínét egy kétszer akkora sugarú gömb térfogatának
a függvényében! Jelöljük a függő és a független változót!
Ha jelöli a gömb sugarát, akkor a gömb felszíne
A kétszer akkora sugarú gömb térfogata pedig
Az utóbbi képletből fejezzük ki -et:
Ezt behelyettesítve a felszín képletébe
Egy téglatest alakú tartály alapterülete , magassága . A
tartály órakor tele van, pont ekkor kezd a vízszint egyenletes
sebességgel csökkenni. Adjuk meg a tartályban levő víz térfogatát
az idő függvényében, ha az időt órakor kezdjük mérni!
Ha jelöli a tartályban levő víz magasságát, pedig a térfogatát a időpontban, akkor
Ezek a képletek akkor érvényesek, amikor a magasság, illetve a térfogat nem negatív, azaz
Adjunk meg olyan mindenütt értelmezett függvényt, amelyikre teljesül,
hogy minden\\ esetén .
Van-e olyan mindenütt értelmezett függvény, amelyikre minden esetén igaz, hogy
;
;
;
?
Ábrázoljuk a derékszögű koordinátarendszerben azokat a pontokat, amelyek
koordinátáira teljesül, hogy .
Ezek a pontok az és az összefüggéssekkel megadott pontok a síkban, ez két, párhuzamos egyenesekből álló görbesereg.