Ábrázoltunk néhány függvényt, minden koordinátarendszerben kettőt, de
nem rajzoltuk ki a koordinátarendszereket. Találjuk ki, hogy melyik
képlethez tartozik a zöld, és melyikhez a piros grafikon!
és
és
és
és
és
és
piros, zöld.
piros, zöld.
piros, zöld.
piros, zöld.
piros, zöld.
piros, zöld.
Ábrázoltunk néhány függvényt, minden koordinátarendszerben
kettőt. Találjuk ki, hogy melyik
képlethez tartozik a zöld, és melyikhez a piros grafikon!
és
és
és
és
piros, zöld.
piros, zöld.
piros, zöld.
piros, zöld.
A következő függvények közül ábrázoltunk néhányat. Találjuk meg az
ábrákhoz tartozó függvényeket!
;
;
;
;
;
;
;
.
Adjuk meg a grafikonokhoz tartozó függvényeket!
A következő függvények közül ábrázoltunk néhányat a
intervallumon. Találjuk meg az ábrákhoz tartozó függvényeket!
A következő függvények közül ábrázoltunk néhányat. Találjuk meg az
ábrákhoz tartozó függvényeket!
Adjunk meg formulákat a következő függvénygrafikonokhoz!
Adjunk meg formulákat a következő fél függvénygrafikonokhoz úgy, hogy a
formula
páros
páratlan
függvényt határozzon meg!
páros:
páratlan:
Keressünk inverz párokat a grafikonok között!
(a) - (a), (b) - (d)
Több nincs, az (f) alatti ábra nem függvénygrafikon!
5.2. Igaz-hamis kérdések
Melyik állítás igaz, melyik hamis minden olyan esetén, ahol az
adott részfeladatban minden képlet értelmes? (A választ mindig
indokoljuk meg!)
Hamis. Ellenpélda: pl. esetén .
Hamis. Ellenpélda: pl. .
Hamis. Ellenpélda: pl. (az egyenlőtlenség pontosan akkor igaz, ha és ).
Hamis. Ellenpélda: pl. (az egyenlőtlenség pontosan akkor igaz, ha .
Hamis. Keressünk ellenpéldát!
Hamis. Keressünk ellenpéldát!
Hamis. Keressünk ellenpéldát!
Hamis. Keressünk ellenpéldát!
Hamis. Keressünk ellenpéldát!
Hamis. Ellenpélda: ha .
Melyik állítás igaz, melyik hamis minden olyan esetén, ahol az
adott részfeladatban minden képlet értelmes? (A választ mindig
indokoljuk meg!)
Hamis. Ellenpélda: pl. . Csak esetén van egyenlőség.
Hamis. Ellenpélda: pl. . Csak esetén van egyenlőség.
Igaz, mert szorzat abszolút értéke az abszolút értékek szorzata.
Hamis. Ellenpélda: pl. .
Hamis. Ellenpélda: pl. .
Hamis. Ellenpélda: pl. .
Igaz. Bármely szám törtrésze megegyezik a szám és egész részének a különbségével:
Melyik állítás igaz, melyik hamis, amennyiben minden képlet értelmes?
A válaszokat indokoljuk!
egyik periódusa .
Igaz.
Hamis, ha negatív, például esetén.
Igaz. Használjuk az addíciós képleteket!
Igaz. Használjuk az addíciós képleteket!
Hamis, például ha . A függvény páratlan, de nem páros!
Igaz, a függvény páros függvény.
Hamis. Ne keverjük a fokot a radiánnal!
Igaz ott, ahol mindkét oldal értelmes, azaz :
irracionális.
Igaz, bizonyítsuk be indirekt módon (ld. a 2.4. feladatot).
irracionális.
Igaz. Irracionális szám reciproka irracionális, és az előző feladat szerint
irracionális.
Melyik állítás igaz, melyik hamis, amennyiben minden képlet értelmes?
A válaszokat indokoljuk! A hamis állításoknak írjuk le a tagadását!
Ha , akkor és .
Hamis. Ellenpélda: .
Az állítás tagadása: és ( vagy ).
Ha , akkor vagy .
Igaz. Indirekt módon tegyük fel, hogy az állítás tagadása igaz.
Az állítás tagadása: és ( és ).
Mivel bármely két racionális szám szorzata racionális, ezért az állítás tagadása hamis, tehát az eredeti állítás igaz.
Ha , akkor és .
Hamis. Ellenpélda: .
Az állítás tagadása: és ( vagy ).
Hamis. Ellenpélda: .
Megjegyzés: Mivel a bal oldal mindig pozitív, a jobb oldal pedig mindig negatív, ezért bármely megfelel ellenpéldának.
Az állítás tagadása: van olyan , amelyre
Hamis! Nincs olyan , amelyre a bal oldal is értelmes és a jobb oldal is értelmes!
Az állítás tagadása: van olyan , amelyre .
Ha , akkor .
Hamis. Ellenpélda: .
Az állítás tagadása: és .
Ha , akkor .
Igaz. A függvény minden értéket csak egyszer vesz fel (invertálható).
Az állítás tagadása: és .
Ha , akkor .
Hamis. Ellenpélda: .
Az állítás tagadása: és .
Hamis.
Melyik állítás igaz? A válaszokat indokoljuk! A hamis állításoknak
írjuk le a tagadását!
Ha az függvény páros, akkor nem lehet az egész
számegyenesen szigorúan monoton.
Igaz az állítás, indirekt módon bizonyítjuk: ha szigorúan monoton,
akkor . Ha , akkor , tehát az nem szigorúan nő. Ha viszont , akkor , tehát az nem szigorúan csökken.
Ha az függvény az egész számegyenesen szigorúan
monoton növő, akkor nem lehet páros.
Igaz az állítás. Ha szigorúan monoton növő, akkor , és ezért .
Ha az függvény páratlan, akkor nem lehet az egész
számegyenesen szigorúan monoton.
Igaz az állítás. Legyen tehát szigorúan növő -en. Ekkor , és ezért , tehát nem páros függvény.
Ha az függvény az egész számegyenesen szigorúan
monoton növő, akkor nem lehet páratlan.
Hamis az állítás, például az függvény szigorúan nő és páratlan.
Tagadás: Van olyan függvény, amelyik szigorúan nő és páratlan.
Ha az függvény páratlan, akkor az egész
számegyenesen szigorúan monoton.
Nem igaz, például az függvény páratlan, de vannak csökkenő és vannak növő szakaszai is.
Tagadás: Van olyan függvény, amelyik páratlan és nem szigorúan monoton az egész számegyenesen.
Ha az függvény periodikus, akkor végtelen sok
periódusa van.
Igaz az állítás. Ha az függvénynek a (nem nulla szám) periódusa, akkor minden esetén is periódus és különböző -k esetén ezek különböző számok.
A konstans függvénynek nincs legkisebb pozitív periódusa.
Igaz az állítás. A konstans függvénynek minden nem nulla szám, és ezért minden pozitív szám periódusa, de nincs legkisebb pozitív szám!
legkisebb pozitív periódusa .
Nem igaz az állítás. A függvénynek a is periódusa.
Azt viszont, hogy a a legkisebb pozitív periódus, nem könnyű bizonyítani.
Tagadás: A legkisebb pozitív periódusa nem a .
Ha és , akkor
legbővebb lehetséges értelmezési tartománya .
Igaz, mivel értelmezési tartománya , pedig mindenütt értelmezett.
Ha és , akkor
legbővebb lehetséges értelmezési tartománya .
Nem igaz, például esetén és nincs értelmezve a negatív számokon.
Tagadás: Az és esetén értelmezési tartománya nem az egész .
Ha egy függvénygrafikonnak van szimmetriatengelye, akkor a
függvény páros.
Nem igaz. Az függvény grafikonjának az egyenes szimmetriatengelye, de az függvény nem páros.
Tagadás: Van olyan függvény, amelyiknek a grafikonja tengely-szimmetrikus, de nem páros.
Ha egy függvénygrafikonnak van szimmetria-középpontja, akkor a
függvény páratlan.
Nem igaz. Az függvény ellenpélda.
Tagadás: Van olyan függvény, amelyiknek a grafikonja szimmetrikus a sík valamelyik pontjára, de nem páratlan függvény.
Melyik állítás igaz, amikor a feladatban szereplő összes képlet
értelmes? A válaszokat indokoljuk! A hamis állításoknak írjuk le a tagadását!
Ha , akkor .
Hamis. Ellenpélda: .
Tagadás: és .
Ha , akkor .
Igaz.
Pozitív -eken az függvény szigorúan monoton nő, ezért ha
, akkor .
minden olyan valós valós számokra, amelyekre az egyenlőtlenség mindkét oldala értelmes.
Hamis. Ellenpélda: .
Tagadás: Van olyan valós szám, amelyre .
Van olyan függvény, amelyik egyszerre monoton nő és monoton
csökken a intervallumon.
Igaz. Például legyen .
Megjegyzés: A konstans függvények azok, amelyek egyszerre nőnek és csökkennek
(de nem szigorúan).
Ha az függvény nem monoton növő -en, akkor monoton
csökkenő -en.
Hamis. Ellenpélda: .
Tagadás: Az függvény nem monoton növő -en és nem monoton
csökkenő -en.
Minden függvénynek van inverze.
Hamis. Ellenpélda: .
Tagadás: Van olyan függvény, amelyik nem invertálható.
Minden páros függvénynek van inverze.
Hamis. Ellenpélda: .
Tagadás: Van olyan páros függvény, amelyik nem invertálható.
Minden páratlan függvénynek van inverze.
{
Hamis. Ellenpélda: .
Tagadás: Van olyan páratlan függvény, amelyik nem invertálható.
Ha az függvény páros, akkor nincs inverze.
Igaz. A függvény nem egy-egy értelmű, mert .
Ha az függvény páratlan, akkor van inverze.
Hamis. Ellenpélda: .
Tagadás: Van olyan függvény, amelyik páratlan és nem invertálható.
Ha az függvénynek van inverze, akkor a függvény nem páros.
Igaz, mert ha az függvény páros, akkor nincs inverze ( 5.71. feladat ).
Megjegyzés: Ez a 5.71. állításkontrapozitív verziója.
Ha az függvénynek van inverze, akkor a függvény páratlan.
Hamis. Ellenpélda: .
Tagadás: Van olyan függvény, amelyiknek van inverze és nem páratlan.
Melyik állítás igaz? A válaszokat indokoljuk! A feladatokban és
a valós számok részhalmazai, P, Q és R pedig állítások.
Ha és , akkor .
Igaz. Legyen tetszőleges. Mivel , ezért . És mivel
, ezért .
Ha és , akkor .
Igaz, ez éppen a részhalmaz definíciója.
Ha , akkor .
Nem igaz, például ha , akkor és .
Ha , akkor .
Nem igaz, például ha , akkor és .
Megjegyzés: ne keverjük össze a kivonást a halmazok különbségével!
Annyi viszont igaz, hogy ha , akkor
Ha , akkor .
Nem igaz, például ha , akkor és .
Megjegyzés: ne keverjük össze a metszetet az unióval. Az állítás az ``unióra'' igaz:
ha , akkor .
Ha P Q és Q R, akkor P R.
Igaz, a következtetés tranzitív. Leolvasható például az igazságtáblázatból.
Ha P igaz, és Q hamis, akkor a P állításból
nem következik a Q állítás.
Igaz az implikáció definíciója miatt.
Ha minden olyan esetben, amikor P igaz, Q is igaz,
akkor a P állításból következik a Q állítás.
Igaz az implikáció definíciója miatt.
Ha P Q, és P R, akkor a
Q és R állítások ekvivalensek.
Nem igaz. Például, ha P: , Q: , R: .
Melyik állítás igaz, melyik hamis, ha a feladatokban szereplő képletek
értelmesek? (A választ mindig indokoljuk meg!)
egyik periódusa
Igaz, .
egyik periódusa
Nem igaz, ha például , akkor .
Van olyan függvény, amelyik páros és szigorúan monoton növő.
Nem igaz, ha páros, akkor például és ezért .
Van olyan függvény, amelyik páratlan vagy szigorúan monoton növő.
Igaz, legyen .
Van olyan függvény, amelyiknek a grafikonja kör.
Nem igaz, egy függvénygrafikont minden függőleges egyenes legfeljebb egy pontban metsz, viszont például a kör középpontján áthaladó függőleges egyenes a kört két pontban metszi.
Ha egy függvény grafikonja nem metszi az tengelyt, akkor a függvény minden helyettesítési értéke egyforma előjelű.
Nem igaz, legyen például
Minden sorozat számtani vagy mértani sorozat.
Nem igaz, az sorozat se nem számtani, se nem mértani sorozat.
Van olyan sorozat, amelyik nem számtani sorozat.
Igaz, ld. az előző feladatot.
Van olyan sorozat, amelynek végtelen sok -nál nagyobb, és végtelen
sok -nél kisebb tagja van.
Igaz, legyen például .
Ha egy sorozat monoton nő, akkor a sorozatnak van -nál nagyobb tagja.
Nem igaz, legyen például .
5.3. Szövegértés, szövegalkotás
Ugyanazt jelentik-e a következő mondatok? Ha van eltérés a jelentések
között, adjunk olyan példákat, amelyek jól mutatják az eltérő
jelentéseket! A feladatban mindenütt értelmezett valós függvényt jelöl.
értékkészlete a intervallum.
mindenhol -nél nagyobb vagy egyenlő és -nél kisebb
vagy egyenlő értékeket vesz fel.
sehol nem vesz fel -nél kisebb értéket, és sehol nem
vesz fel -nél nagyobb értéket.
Ugyanazt jelentik-e a következő mondatok? Ha van eltérés a jelentések
között, adjunk olyan példákat, amelyek jól mutatják az eltérő
jelentéseket! A feladatban mindenütt értelmezett valós függvényt jelöl.
monoton csökken a intervallumon, és
monoton nő a intervallumon.
monoton csökken és monoton nő a intervallumon.
monoton a intervallumon.
Fogalmazzunk meg igaz állításokat a
függvények monotonitási szakaszairól, és a függvény értékkészletéről!
Ugyanazt jelentik-e a következő kérdések? Válaszoljunk a kérdésekre!
Melyik körbe írható maximális területű téglalap?
Melyik a körbe írható maximális területű téglalap?
Melyik körbe írható a maximális területű téglalap?
Ugyanazt jelentik-e a következő kérdések? Válaszoljunk a kérdésekre!
(Az is lehet válasz, hogy a kérdés nem értelmes.)
Van-e olyan mindenütt értelmezett függvény, amelyik kétszer vesz
fel minden pozitív értéket?
Van-e olyan mindenütt értelmezett függvény, amelyik minden
pozitív értéket felvesz kétszer?
Van-e olyan mindenütt értelmezett függvény, amelyik minden
pozitív értéket felvesz legalább kétszer?
Van-e olyan mindenütt értelmezett függvény, amelyik minden
pozitív értéket felvesz legfeljebb kétszer?
Van-e olyan mindenütt értelmezett függvény, amelyik minden
pozitív értéket felvesz pontosan kétszer?
Van-e olyan mindenütt értelmezett függvény, amelynek az
értékkészletében minden pozitív szám kétszer szerepel?
Ugyanazt jelentik-e a következő kérdések? Válaszoljunk a kérdésekre!
(Az is lehet válasz, hogy a kérdés nem értelmes.)
Az oldalvonal melyik pontjából látjuk a legnagyobb szögben a
futballpálya kapuját?
Melyik oldalvonal pontjaiból látjuk a legnagyobb szögben a
futballpálya kapuját?
Az oldalvonal pontjából melyik kaput látjuk a legnagyobb
szögben?
A kapuból melyik oldalvonalon levő pontot látjuk a legnagyobb
szögben?
Ugyanazt jelentik-e a következő kérdések? Válaszoljunk a kérdésekre!
Van-e olyan mindenütt értelmezett függvény, amelyik minden
értéket felvesz kétszer?
Van-e olyan mindenütt értelmezett függvény, amelyik minden
értéket felvesz legalább kétszer?
Van-e olyan mindenütt értelmezett függvény, amelyik minden
értéket felvesz pontosan kétszer?
Melyik mondat helyes a matematikában, melyik nem? A helyes mondatok közül melyik igaz állítás?
tényezői és .
Nem helyes, az összegnek tagjai vannak.
tagjai és .
Helyes.
tényezői és .
Helyes.
tagjai és .
Nem helyes, a szorzatnak tényezői vannak.
Pozitív tagok esetén szabad tagonként gyököt vonni.
Helyes a mondat, de nem igaz.
Pozitív tényezők esetén szabad tényezőnként gyököt vonni.
Helyes és igaz.
Az eleme a halmaznak.
Helyes, a halmaznak elemei vannak és igaz az állítás.
Az tagja a halmaznak.
Helytelen, a halmaznak elemei vannak.
Az eleme az sorozatnak.
Helytelen, a sorozatnak tagjai vannak.
Az tagja az sorozatnak.
Helyes és igaz is.
Fogalmazzunk meg olyan értelmes szöveges szélsőérték-feladatokat,
amelyeket a tanult módszerekkel meg tudunk oldani! A feladatok
szövege legyen egyértelmű, a kérdés legyen értelmes! Adjuk meg a
feladatok megoldását is!
5.4. Számítógépes feladatok
Ábrázoljuk számítógépen közös koordináterendszerben az egy
részfeladatban szereplő függvényeket a megadott intervallumokban! Vizsgáljuk meg, hogy melyik intervallumban melyik függvény a nagyobb!
Oldjuk meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket úgy, hogy az
egyenlőtlenség jobb és bal oldalán álló függvényeket közös
koordinátarendszerben ábrázoljuk számítógéppel!
Határozzuk meg a következő feladatokban a függvények értelmezési tartományát!
Ábrázoljuk számítógépen közös koordináterendszerben az egy
részfeladatban szereplő függvényeket! Az ábrázoláshoz olyan
intervallumokat válasszunk, amelyben jól látszanak a függvények,
illetve a különbségek a függvények között!
Határozzuk meg a következő feladatokban a függvények értelmezési tartományát!
Ábrázoljuk számítógépen közös koordináterendszerben az egy
részfeladatban szereplő függvények közül az elsőt, majd vázoljuk kézzel a füzetben a második függvényt! Magyarázzuk el, hogy miért az a második függvény grafikonja, amit lerajzoltunk! Ellenőrzésképpen rajzoljuk ki a második függvény grafikonját a géppel is!
Oldjuk meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket úgy, hogy az
egyenlőtlenség jobb és bal oldalán álló függvényeket közös
koordinátarendszerben ábrázoljuk számítógéppel!
Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tartományát, és
ábrázoljuk őket! Vannak-e a függvények közt egyenlők?
Oldjuk meg a következő egyenleteket és egyenlőtlenségeket grafikusan!
Ábrázoljuk a következő, szakaszonként megadott függvényeket!
Határozzuk meg a következő összetett függvények értelmezési
tartományát és értékkészletét, és ennek megfelelően készítsük el a
megfelelő grafikonokat! Sejtsük meg a grafikonok alapján, hogy melyik
függvény páros, melyik páratlan, és melyik periodikus, majd
bizonyítsuk is be a sejtést!
Számítsuk ki a következő sorozatok -edik, -ödik és -edik
tagját! Hova közelednek az értékek? A tapasztalat szerint hányadik
tagtól kezdve nem változik az eredmény -ödik tizedesjegye az egyes
sorozatoknál?
, és
, és
Végezzünk számítógépes kísérleteket! A tapasztalat alapján sejtsük meg,
hogy van-e a sorozatoknak -nál nagyobb tagja! Bizonyítsuk a sejtést!
Írjunk olyan programot, amelyik bekéri az valós számokat,
és kirajzolja az függvény grafikonjának azt a
szakaszát, ha van ilyen,
amelyikre igaz, hogy ott minden függvényértékre teljesül, hogy}
