A természettudományok számtalan területén fordul elő, hogy egy természeti
törvényt matematikai alakban úgy írhatunk le,
hogy egy vagy több összefüggést találunk egy állapot időbeli, térbeli
értéke és az állapot megváltozása között. A matematikában ez azt jelenti, hogy
egy vagy több egyenletet állítottunk fel egy függvény és a deriváltjai között.
Egyszerű példák erre a szaporodási illetve bomlási folyamatokat leíró
egyenletek. Ilyen például a hőátadási (hűlési) törvény:
a hőmennyiség átadásának sebessége egyenesen arányos a hőmérséklettel. De
hasonló törvény írja le a radioaktív bomlást is.
A matematika nyelvére fordítva keressük tehát azokat az időtől függő függvényeket,
amelyekre
Tétel:Az exponenciális függvény differenciálegyenlete.
Ha egy intervallumon a deriválható függvényre teljesül, hogy
. akkor megadható egy konstans úgy, hogy
Bizonyítás:
Ugyanis legyen . Ekkor
De ha egy függvény deriváltja egy egész intervallumon nulla, akkor a függvény
konstans, azaz megadható egy szám úgy, hogy
Definíció:Közönséges differenciálegyenletek.
Legyen egy pozitív egész szám, pedig egy változós függvény. Az
alakú egyenleteket -edrendű közönséges explicit differenciálegyenleteknek nevezzük.
Ha egy változós függvény, akkor a
alakú egyenleteket -edrendű közönséges implicit
differenciálegyenleteknek nevezzük.
A függvény a fenti explicit differenciálegyenlet
megoldása az intervallumon, ha itt -szer deriválható és
minden esetén
A "közönséges" szó arra utal, hogy a differenciálegyenlet megoldásait az
egyváltozós függvények körében keressük.
A többváltozós függvények esetén is felírhatunk differenciálegyenleteket.
Ilyenkor a keresett függvény parciális deriváltjai szerepelnek az
egyenletekben.
Ez indokolja, hogy ezeket az egyenleteket parciális differenciálegyenleteknek nevezzük.
A továbbiakban csak közönséges differenciálegyenletekkel foglalkozunk, ezért a
"közönséges" szót elhagyjuk.
Mint láttuk, egy differenciálegyenlet megoldásai még a legegyszerűbb esetekben
sem egyértelműek.
Általában a megoldások annyi szabadon választható paramétertől függenek, mint a
differenciálegyenlet rendje.
24.1. Elsőrendű differenciálegyenletek
Definíció:Szeparábilis (szétválasztható változójú) differenciálegyenletek.
Legyen és két egyváltozós függvény. Az
alakú elsőrendű differenciálegyenletet szeparábilis differenciálegyenletnek nevezzük.
Tétel:
Ha az szeparábilis differenciálegyenletben
szereplő függvény egy intervallumon sehol sem nulla,
valamint az -nek, pedig a -nek primitív függvénye, akkor egy
deriválható függvény pontosan akkor megoldása a
differenciálegyenletnek, ha megadható egy konstans úgy, hogy esetén
Megjegyzés:
Tehát a szeparábilis differenciálegyenlet összes megoldását implicit alakban adja meg a fenti formula. Néhány esetben az függvény kifejezhető az egyenletből, azaz explicit alakban is megkaphatjuk. Erre legjobb példa az elsőrendű homogén lineáris differenciálegyenlet.
Az alakú differenciálegyenleteket elsőrendű lineáris differenciálegyenletnek nevezzük.
Az alakú egyenletet elsőrendű homogén lineáris differenciálegyenletnek nevezzük.
Ha az függvény állandó, nem függ -től, az egyenletet állandó
együtthatós elsőrendű lineáris differenciálegyenletneknevezzük.
Megjegyzés:
A "lineáris" szót az indokolja, hogy ha egy homogén egyenletnek és
is megoldása, , akkor az és függvények is megoldások,
azaz a homogén egyenlet megoldásai lineáris vektorteret alkotnak.
Ha a lineáris differenciálegyenlet esetén jelöli a
függvény egy primitív függvényét, akkor az egyenlet összes megoldása az
alakú függvények.
Ha az lineáris differenciálegyenlet esetén a megfelelő
homogén egyenlet egy nem triviális (nem azonosan nulla) megoldása, pedig
az (inhomogén) egyenlet egy rögzített (partikuláris) megoldása, akkor az összes megoldás az
alakú függvények, ahol tetszőleges konstans.
Megjegyzés:
Gyakran kényelmesebb a megoldásokat a második tétel alapján megkeresni, mit az
első tétel bonyolult formuláját alkalmazni:
A homogén egyenlet "könnyen" megoldható, mert szeparábilis.
Egy partikuláris megoldást pedig gyakran megkaphatunk az úgynevezett próbafüggvény módszerrel.
Ez abban áll, hogy a megoldást speciális alakú (pl. másodfokú polinomok)
függvények körében keressük.
Ez egy vagy több ismeretlen paramétert (együtthatót) jelent a próbafüggvényben,
amelyekre az egyenletbe való behelyettesítés után numerikus egyenletet illetve
egyenletrendszert kapunk.
Tétel:Newton-féle hűlési törvény.
Ha jelöli a külső hőmérsékletet, akkor a Newton-féle hűlési törvény
szerint egy (pontszerű) test hőmérsékletének, -nek
a változása arányos a test és a környezet hőmérsékletének a különbségével, azaz
ahol rögzített, a test anyagára és alakjára jellemző pozitív
konstans.
Ha a test hőmérséklete a időpontban , akkor
Bizonyítás:
A fenti differenciálegyenlet egy állandó együtthatós elsőrendű lineáris
differenciálegyenlet:
Keressük meg előbb a homogén egyenlet megoldásait:
Ennek nyilvánvaló módon a függvény egy nem
triviális (sehol sem nulla) megoldása.
Keressük meg most már az inhomogén egyenlet egy megoldását konstans
alakban.
Rövid számolás után kapjuk, hogy ez éppen a konstans. Tehát a
differenciálegyenlet általános megoldása:
Minket most csak az a megoldás érdekel, amelyre
Tehát a keresett megoldás:
Az alábbi függvény grafikon a -os tea hűlési görbéjét mutatja a
hőmérsékletű levegőn.
Tétel:A radioaktív bomlás törvénye.
Jelölje egy radioaktív anyagban levő még el nem bomlott atommagok számát,
pedig a felezési időt, azaz azt az adott anyagra jellemző időt, ami idő alatt az atommagok száma a felére csökken.
A radioaktív bomlás törvénye szerint ez az időtartam egy anyagi állandó, nem
függ az anyagban levő atommagok számától.
Ugyanezen törvény szerint a bomlás sebessége, az aktivitás egyenesen arányos a
még el nem bomlott atommagok számával. Pontosabban:
Ennek megoldása, ha jelöli a időpontban az anyagban levő atomok számát, akkor
Ezt a formulát exponenciális bomlási törvénynek nevezik.
Bizonyítás:
Ez egy homogén lineáris egyenlet, sőt bevezetve a konstanst, az egyenlet az
Ha jelöli a időpontban az anyagban levő atomok számát, akkor
Megjegyzés:Radioaktív kormeghatározás.
Ha ismerjük a radioaktív anyag felezési idejét, valamint az elbomlott és az el
nem bomlott atommagok számainak arányát egy régebbi időpontban,
az anyag "keletkezésének korában", és most, az exponenciális bomlási törvény
alapján ki tudjuk számolni a radioaktív anyag keletkezésének korát.
Ez a "keletkezési kor" az az időpont, amikor feltételezhető, hogy a kétféle
anyag arányának változása csak a radioaktív bomlás következménye.
Egy élő anyagban a szénizotóp arányát állandónak tekintjük és az élet
megszűnte után az izotóp aránya csak a bomlás miatt változik.
24.2. Másodrendű lineáris differenciálegyenletek
Definíció:
Másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet. Az
alakú differenciálegyenleteket másodrendű homogén lineáris
differenciálegyenleteknek nevezzük.
Másodrendű inhomogén lineáris differenciálegyenlet.
Az alakú differenciálegyenleteket másodrendű
inhomogén lineáris differenciálegyenleteknek nevezzük ha a függvény nem azonosan nulla.
Alaprendszer.
Az függvény pár az másodrendű homogén
lineáris differenciálegyenlet
alaprendszere, ha az egyenlet minden megoldása előáll alakban.
Ha és két megoldása az homogén egyenletnek, és két tetszőleges valós szám, akkor az
is megoldása a homogén differenciálegyenletnek.
A fenti állítást úgy is megfogalmazhatjuk, hogy egy adott (másodrendű) homogén differenciálegyenlet megoldásai a függvények közötti összeadásra és a valós számmal való szorzásra nézve lineáris vektorteret alkotnak. A következő állítás azt mondja ki, hogy ennek a vektortérnek a dimenziója kettő.
Az másodrendű homogén lineáris differenciálegyenletnek
mindig van alaprendszere.
Az másodrendű lineáris homogén differenciálegyenlet két megoldása, pontosan akkor alaprendszer az intervallumon, ha a
Wronski-féle determináns sehol sem nulla.
Ha az inhomogén egyenletnek egy (partikuláris)
megoldása, pedig a megfelelő homogén egyenlet egy alaprendszere, akkor az inhomogén egyenlet összes megoldása az
alakú függvények.
A fenti állítás azt mondja ki, hogy az inhomogén egyenlet tetszőleges megoldását úgy kaphatjuk meg, hogy egy rögzített partikuláris megoldáshoz hozzáadjuk a homogén egyenlet egy tetszőleges megoldását.
Definíció:Másodrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet.
Ha és két valós szám, pedig egy valós függvény, akkor az
alakú differenciálegyenletet másodrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletnek nevezzük.
Karakterisztikus egyenlet.
Az másodrendű állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenlet karakterisztikus egyenlete a
másodfokú egyenlet.
Megjegyzés:
Az másodrendű állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenlet megoldásait keressük
alakban. Ha a keresett függvényt behelyettesítjük az egyenletbe, akkor
egyenletet kapjuk. A baloldalon szereplő szorzat csak úgy lehet nulla, ha az
első tényezője nulla. Így kapjuk -ra a másodfokú un. karakterisztikus egyenletet.
Tétel:Az homogén egyenlet alaprendszere.
Ha és a karakterisztikus egyenlet két különböző valós gyöke, akkor a homogén egyenlet alaprendszere:
Ha a karakterisztikus egyenlet kétszeres valós gyöke, akkor a homogén egyenlet alaprendszere:
Ha a karakterisztikus polinomnak nincs valós gyöke, és az egyik komplex gyök , akkor a homogén egyenlet alaprendszere:
Jegyezzük meg, hogy a harmadik esetben a karakterisztikus egyenlet komplex
gyökei egymás konjugáltjai. Ezért a két komplex gyök ugyanazt az alaprendszert
szolgáltatja.
Tétel:
Az másodrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását általában (nem mindig) megkaphatjuk az un. próbafüggvény módszer segítségével, azaz a megoldást speciális alakú függvények közt keressük. A leggyakoribb esetek:
ha egy -ed fokú polinom, akkor -t is ilyen alakban keressük;
ha , akkor ;
ha és nem gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor ;
ha és egyszeres gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor ;
ha kétszeres, akkor ;
Tétel:A harmonikus rezgőmozgás.
Tegyük fel hogy az egyenesen mozgó tömegű pontszerű testre minden
pillanatban az origótól való távolsággal arányos és a mozgás irányával
ellentétes irányú erő hat, például egy rugóra függesztett test mozog így, ha az
erő a gravitációs erő. Ekkor a időtől függő harmonikus rezgőmozgást leíró egyenlet
ahol az függvény idő szerinti második deriváltjának egy, a
fizikában gyakori jelölése, pedig az un. rugóállandó.
Az egyenlet általános megoldása
ahol a körfrekvencia, a rezgés amplitúdója, pedig a fázisszöge. A harmonikus rezgőmozgás periódusidejét jelöli.
Az alábbi illusztrációk egy rugóra függesztett test mozogását mutatják, ha és .
Bizonyítás:
egy másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet, tudniillik ha bevezetjük a jelölést, ahol az un. körfrekvencia, akkor az egyenlet
átrendezés után
A fenti homogén egyenlet karakterisztikus egyenlete .
Ennek az egyenletnek az egyik komplex gyöke és így a homogén egyenlet
megoldásai az
függvények. Vezessük be még az amplitúdót és
azt a fázisszöget, amelyre és
. Így az egyenlet általános megoldását
felírhatjuk
alakban.
24.3. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek
Egy pont mozgását a legegyszerűbb esetben a pillanatnyi sebesség és hely közötti összefüggés, egy lineáris differenciálegyenlet írja le. De egy pont általában a térben mozog, nem pedig egy egyenesen. Ezért pályáját három függvény, a koordinátafüggvények írják le. És persze a pillanatnyi sebesség is vektorértékű. Ez indokolja, hogy szimultán vizsgáljunk differenciálegyenleteket azaz differenciálegyenlet rendszereket.
Definíció:
Az -dimenziós görbe.
Jelöljön egy egy változós vektor értékű leképezést. Egy ilyen leképezést dimenziós görbének nevezünk. Ennek értéke koordináta függvényekkel leírva:
Ha most jelöli az -edik koordináta függvény deriváltját, akkor a görbe deriváltja koordinátákkal felírva:
Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet rendszer.
Legyen egy -es mátrix, pedig egy dimenziós görbe. Ekkor az
alakú egyenletet állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet rendszernek nevezzük. Ha itt azonosan nulla, akkor a rendszer homogén, egyébként inhomogén.
Alaprendszer.
Az homogén egyenletrendszer megoldásaiból álló vektortér egy tetszőleges bázisát az egyenletrendszer alaprendszerének nevezzük.
Tétel:Lineáris differenciálegyenlet rendszer megoldása.
Ha egy -es mátrix, akkor az halmaz, azaz a homogén egyenletrendszer megoldásai lineáris vektorteret alkotnak az összeadásra és a valós számmal való szorzásra nézve. Ennek a vektortérnek a dimenziója éppen .
Ha az homogén egyenletrendszer egy alaprendszere, akkor az
alakú görbék a homogén egyenletrendszer összes megoldását adják meg.
Ha az homogén egyenletrendszer egy alaprendszere,
pedig az inhomogén rendszer egy partikuláris megoldása, akkor az inhomogén differenciálegyenlet rendszer összes megoldása az
alakú függvények.
Tegyük fel, hogy az -es mátrixnak van darab
sajátvektora (nem feltétlenül különböző)
sajátértékkel úgy, hogy a sajátvektorok bázist alkotnak -ben. Ez például szimmetrikus mátrix esetén mindig
igaz. Ekkor az homogén egyenletrendszer egy alaprendszere
Ez egy szeparálható differenciálegyenlet. Átrendezés után:
innen
A másik oldalon is elvégezve az integrálást kapjuk, hogy
Egyszerűsítések és a két oldal hatványra emelésével
Innen kifejezhető:
A kemencéből kivett kenyér hőmérséklete 20 perc alatt 100 °C·ról
60 °C-ra csökken. A levegő hőmérséklete 25 °C. A hűtés
kezdetétől számítva mennyi idő alatt csökken a kenyér hőmérséklete 30 °C-ra?
Newton törvénye szerint a test lehűlési sebessége arányos
a test és környezete hőmérsékletének különbségével. A kenyér lehűlésének
differenciálegyenlete tehát a következő:
ahol a kenyér hőmérséklete °C-ban, a levegő hőmérséklete (a mi esetünkben 25°C), egy arányossági tényező, ami ebben az alakban negatív,
pedig a kenyér lehűlési sebessége.
A változókat szétválasztva:
Mindkét oldalt integrálva
vagyis , azaz
Határozzuk meg a állandót! Ha időpontban , azaz . Innen
Hátra van még a anyagi állandó, illetve az kifejezés meghatározása. Ehhez azt használjuk fel, hogy ismert a értéke a időpontban is:
Innen
A kenyér lehűlési folyamatának egyenlete feladatunk feltételei mellett:
Keressük meg azt a időpontot, amikor :
Innen perc.
Egy térfogatú tartályban víz van. A tartály alján levő nyíláson
keresztül liter/perc sebességgel folyik ki a tartályban levő
folyadék, miközben a tartály feletti csapból liter/perc sebességgel töménységű sóoldat folyik a tartályba, ahol , és ott azonnal el is keveredik.
Határozzuk meg a tartályban levő sóoldat töménységét az idő függvényében.
A tartályban a időpontban a só koncentrációja , ezért idő alatt a tartályból mennyiségű só folyik ki.
(Mivel adott idő alatt a tartályba ugyanannyi folyadék folyik be, mint ki, a tartályban állandóan liter folyadék lesz,
ezért a kifolyt keverékben levő víz mennyiségével nem kell foglalkoznunk.) A tartályba
idő alatt mennyiségű só kerül be a tartály feletti csapból.
Tehát idő alatt a tartályban levő só mennyiségének a megváltozása
, a koncentráció megváltozása
A határátmenettel differenciálegyenletet kapunk a függvényre: illetve átrendezés után
Ez egy elsőrendű lineáris differenciál egyenlet. A homogén rész egy megoldása az függvény.
Ha az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását
konstans alakban keressük, akkor kapjuk a konstans függvényt, ez az az eset, amikor a koncentrációt állandó szinten tartjuk. A differenciálegyenlet általános megoldása tehát:
ahol tetszőleges valós szám. Mivel kezdetben csak víz volt a tartályban, ezért .
Ha tehát az általános megoldásba behelyettesítjük a időpontot, akkor kapunk -re egy egyenletet: , azaz . A keresett megoldás tehát
Látni tehát, hogy az ideális stabil állapotot, amikor a koncentráció nem változik, soha nem érhető el.
Persze a megoldás függvényében olyan gyorsan tart a konstans függvényhez, hogy elég rövid idő után a koncentráció változása nem mérhető és így állandónak tekinthető.
De ha például benzinhez kevernek adalékanyagokat az oktánszám növelése miatt, hát elég rosszul jár az az autós, aki a folyamat elején tankol.
Az alábbi függvénygrafikon a esetben ábrázolja a folyamatot:
Látni tehát, hogy két perc elteltével a koncentráció lényegében nem változik.
Adott egy oldat, mely etil-acetátot és nátrium-hidroxidot tartalmaz. A két anyag között az alábbi
egyensúlyra vezető reakció megy végbe:
a reakciótermékek: nátrium-acetát és etil-alkohol. A kiindulási anyagok kezdeti koncentrációja:
Az etil-acetát koncentrációja perc alatt -kal csökken. A kémiai egyenletből látható, hogy a reakcióban az anyagok 1:1
arányban vesznek részt. Ha jelöli a időpontig a reakcióban résztvevő etil-acetát illetve nátrium-hidroxid anyagmennyiségét, pedig a reakció egyensúlyi-állandója, akkor a folyamatot a
differenciálegyenlet írja le. Mennyi idő alatt csökken a koncentráció -kal?
A változók szétválasztása után az integrál:
A bal oldalon szereplő integrandust bontsuk parciális törtekre:
azaz
A két oldal együtthatóinak összehasonlítása után a következő lineáris egyenletrendszert kapjuk az ismeretlen -ra és -re:
A második egyenletből , és így
Elvégezve az integrálást és a jobb oldalon bejövő konstanst alkalmas alakban írva:
Átalakítás után:
meghatározásához használjuk fel az kezdeti feltételt, amiből kapjuk, hogy
Mivel a feladatban egy bizonyos időpont meghatározása szerepel, érdemes a időt kifejezni segítségével:
A még ismeretlen arányossági tényezőt az feltételből határozhatjuk meg, amelyre a számolások elvégzése után kapjuk, hogy
A kapott számértéket behelyettesítve, valamint helyébe -öt írva
Tehát az etil-acetát mennyisége közelítőleg 48 perc alatt csökken -kal.
Egy 300 literes tartály alját só és (valamilyen) nem oldódó anyag keverékével fedik be.
Tegyük fel, hogy a só oldódási sebessége arányos az adott pillanatbeli koncentráció és a telített oldat (3 kg vízben l kg só)
koncentrációjának különbségével, és hogy a tiszta víz adott mennyisége 1/3 kg sót l perc
alatt old fel. Számítsuk ki, mennyi sót tartalmaz az oldat l óra múlva.
kb. 18,1 kg
Az ember 1 perc alatt átlag 18-szor lélegzik. Mindannyiszor 2000 cm
levegőt lehel ki, amely -t tartalmaz. Hány százalék széndioxidot
tartalmaz fél óra elteltével az a 400 m térfogatú előadóterem, amelyben
50 személy tartózkodik, ha a szellőzőberendezések l perc alatt 40 m
friss levegőt szállítanak. (A friss levegő ·t tartalmaz).
kb.
Egy m befogadóképességű tanterembe a szellőzőberendezések 1 perc alatt m friss levegőt szállítanak, amely
·t tartalmaz. Reggel 9 órakor bejönnek a helyiségbe a diákok és
30 perc alatt a levegő tartalma -ra emelkedik. Hány százalék
várható a levegőben du. 2 órára?
Ez egy elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlet. Oldjuk meg először a megfelelő homogén egyenletet:
A változók szétválasztása után
A homogén rész megoldása tehát
Kétféleképp is kereshetjük partikuláris megoldását az inhomogén egyenletnek:
1) Keressük az próbafüggvény alakjában. Ekkor
Innen és , ezért .
2) Az állandó variálásának módszerével keressük a partikuláris megoldást alakban. A behelyettesítés után
és így .
Ezért az előző megoldásnak megfelelően .
Az egyenlet általános megoldása tehát:
Melyek azok a görbék, amelyeknél az érintési pont felezi az érintőnek a koordináta-tengelyek közti darabját?
A feltétel szerint az pontban húzott érintőszakaszt, azaz az -tengellyel való
metszéspont és az -tengellyel való metszéspont közötti szakaszt felezi az
pont. Eszerint
Felhasználva, hogy az érintő meredeksége , a két egyenlet hányadosaként kapjuk, hogy
Melyek azok a görbék, amelyekre minden pontjában húzott érintő átmegy a ponton?
Határozzuk meg azokat a görbéket, amelyekre a következő állítás igaz: a görbe tetszőleges
pontjának az origótól mért távolsága ugyanakkora, mint az a szakasz, amit a pontban a görbéhez húzott érintő az y tengelyből lemetsz.
A rezgőmozgást végző tömegű testre egy, a sebességgel arányos fékező erő hat (csillapított rezgőmozgás). Ilyen csillapítást végez például az autó kerekén a lengéscsillapító. Ekkor a mozgás differenciálegyenlete ( a rugóállandó, a csillapítási tényező):
Keressük meg az egyenlet megoldásait és vizsgáljuk meg a megoldások menetét.
Felrajzoltunk egy megoldást gyenge csillapítás esetén:
Most az tömegű testre a rugóerőn kívül egy harmonikus kényszererő is hat (kényszerrezgés). Ilyen mozgást és az ezzel fellépő rezonanciát tud okozni például a szél egy hídon. A kényszererő nagyságát egy alakú függvény írja le, így a (csillapítatlan) kényszerrezgés differenciálegyenlete:
Keressük meg az egyenlet megoldásait és vizsgáljuk meg a megoldások menetét.
Felrajzoltunk egy megoldást amikor a sajátfrekvencia és a kényszerfrekvencia megegyezik:
Keressük meg az mátrix sajátértékeit és sajátvektorait. A sajátértékekre a következő egyenletet kapjuk:
Az mátrix sajátértékei: (kétszeres sajátérték), és . Sajátvektorai pedig
Keressük az inhomogén egyenletrendszer egy partikuláris megoldását konstans vektor alakjában. Azt kapjuk, hogy
A lineáris differenciálegyenletrendszer általános megoldása vektoriális alakban:
Az eredményt felírhatjuk koordinátánként:
Valamely anyag felbomlik két anyagra: -re és -ra. Az egyes
anyagok keletkezésének sebessége arányos a még fel nem bomlott
anyag mennyiségével. Legyen és a , illetve a anyagnak a időpontig keletkezett mennyisége.
Határozzuk meg ezeknek a változási szabályát, ha tudjuk, hogy a kezdeti pillanatban , órával
később pedig , ahol az anyag kezdeti mennyisége.
A időpontban a és a anyag keletkezésének sebessége a következő:
mert eddig a pillanatig az anyagból még maradt felbomlatlanul.
Az egyenleteket átrendezve
Legyen
Ekkor
A mátrix sajátértékei és , a megfelelő sajátvektorok és . Egy partikuláris megoldás például
az konstans vektor.
Az egyenlet általános megoldása koordinátánként felírva:
Határozzuk meg az ismeretlen paramétereket! Mivel a feltételek szerint
ezért , és így némi átalakítás után
A még ismeretlen és paramétereket a második feltételből határozhatjuk meg:
Mindkét egyenletet -val egyszerűsítve, majd az első egyenletet elosztva a másodikkal, azt kapjuk, hogy
Az második egyenletbe behelyettesítve kapjuk, hogy
Az eredményeket beírva a megoldásba, azt kapjuk, hogy
