ELTE, MATEMATIKUS MSC, EGYÉNI KUTATÓMUNKA / MSC IN MATHEMATICS, DIRECTED STUDIES

ELTE, MATEMATIKUS MSC, EGYÉNI KUTATÓMUNKA /
ELTE, MSC IN MATHEMATICS, DIRECTED STUDIES

Az alkalmazott matematikus MSc Önálló projekt c. tárgyának honlapja szabad témajavaslatokkal /
The web page of the subject Project work in the MSc program in applied mathematics, with suggested topics

A témabejelentés határideje	2021. február 28.	Az írásbeli beszámoló beadásának határideje	2021. május 14.	A szóbeli beszámolók időpontja	2021. május 20-21.
Deadline for submitting topic	February 28, 2021	Deadline for submitting report	May 14, 2021	Time of presentations	May 20-21, 2021

A szóbeli beszámolók beosztása (2021. május 20-21) / Schedule of the presentations (20-21 May, 2021): Program.

Május 20, csütörtök / May 20, Thursday: Teams

Május 21, péntek / May 21, Friday: Teams

NÉV / NAME	TÉMAVEZETŐ / ADVISOR	CÍM / TITLE	RÖVID LEÍRÁS / SHORT DESCRIPTION
2021 tavasz / Spring 2021
EGYÉNI KUTATÓMUNKA 1
Andó Szabolcs	Pálvölgyi Dömötör	Tudunk gyorsan egyenletes eloszlásban számot generálni mod 3 vagy NP-beli problémát megoldani?	Tegyük fel, hogy tudunk generálni egyenletes eloszlásban véletlen egész számot \(\{1,2,...,2^n\}\)-ből, és kapunk egy nehéz számítási feladatot. A célunk az, hogy vagy megoldjuk a nehéz problémát, vagy adjunk egyenletes eloszlásban egy számot \(\{1, 2, 3\}\)-ból. Beszámoló. Előadás.
Felsmann Dániel	Csikvári Péter	Gauss–Markov valószínűségi mezők	A kutatómunkámban Csikvári Péter és Szegedy Balázs Gauss–Markov valószínűségi mezőkhöz kapcsolódó determinánsegyenlőtlenségek és a Sidorenko-sejtés kapcsolatával foglalkozó cikkének megismerésével, valamint az ezzel kapcsolatban felmerülő problémákkal foglalkozom. Beszámoló. Előadás.
Geng Máté Szabolcs	Keleti Tamás	Mértékelmélet	Mértékelmélet feladatok megoldása, többek között Laczkovich Miklós 333 mértékelméleti feladat példatárának feldolgozásával, illetve különböző területek mélyebb megismerése (pl: abszolút folytonos függvények, mértékek differenciálása, sűrűségtopológia, geometriai mértékelmélet), Oxtoby Measure and Category című könyvének feldolgozása. Beszámoló. Előadás.
Kaczúr Flórián	Friedl Katalin	Kvantumszámítástudomány	A kvantumszámítástudomány kezdetei az 1980-as évekre nyúlnak vissza, a legjelentősebb eredmény pedig Shor polinomidejű prímfaktorizációs kvantumalgoritmusa 1994-ből. Azóta folyamatosan fejlődik a terület, de a nagy áttörés még várat magára: a jelenlegi kvantumszámítógépek még elég kezdetlegesek, csak 50-60 qubittel működnek, pár éven belül azonban több száz, több ezer qubiteset is létrehozhatnak. A célom, hogy betekintést nyerjek a kvantumvilágba, az alapvető fogalmakat, algoritmusokat meg szeretném érteni és az ehhez kapcsolódó irodalmat feldolgozni. Beszámoló. Előadás.
Stirling Anna Krisztina	Szabó Csaba	Problémafelvetési, feladatkészítési képességek vizsgálata	A Matematika Tanuláselméleti és -pszichológiai Kutatócsoportban végzett korábbi kutatásaink folytatásaként matematika tanárszakos hallgatók és közoktatásban tanuló diákok problémafelvetési és feladatkészítési képességeit vizsgáljuk. A diákok és leendő tanárok problémafelvetési képességének vizsgálata egyre hangsúlyosabbá válik a matematikadidaktika kutatásában, ennek ellenére ritkán jelennek meg akár a közoktatásban, akár a tanárképzés során olyan feladatok, melyek kifejezetten ezt a kompetenciát hivatottak fejleszteni. A problémafelvetési tevékenységről számos vizsgálat kimutatta, hogy fejleszti a matematikai gondolkodást és a problémamegoldási képességet, valamint a NAT alapkompetenciái között is szerepel. A leendő matematikatanárok számára ezek mellett azért is fontos a problémafelvetési képeség fejlesztése, mert munkájuk során a diákjaik számára releváns, nekik megfelelő szintű és beöltöztetésű, matematikailag helyes feladatokat kell készíteniük vagy keresniük. A kutatás célja olyan módszerek létrehozása és bemutatása, melyek segítségével diákok és tanárszakos hallgatók problémafelvetéssel és feladatkészítéssel foglalkozhatnak, és az elkészített feladatok értékeléséhez egy komplex kutatói szempontrendszer létrehozása a tapasztalatok és a nemzetközi szakirodalom alapján. Beszámoló. Előadás.
Szabari Mátyás Márton	Tarcsay Zsigmond	Neumann-algebrák és klasszifikációjuk	A Neumann-algebrák építőkövei a Neumann-faktorok. Az általánosabb algebrák ezekből építhetők fel az ún. direkt integrál eljárás segítségével. A cél a faktoralgebrák megismerésén keresztül a Neumann algebrák klasszifikációja. Beszámoló. Előadás.
Szenderák Júlia	Szabó Csaba	Társasjátékok fejlesztő hatásainak vizsgálata	Kutatásomat a Matematika Tanuláselméleti és -pszichológiai Kutatócsoportban végzem. Jelen kutatásunkban a közoktatásban résztvevő diákok formális logikáját és geometriai szemléletét vizsgáljuk. Vizsgáljuk azt, hogy milyen hatással vannak a társasjátékok a formális logikájukra és geometriai szemléletükre. Az utóbbi 25 év agykutatásai során képalkotó eljárásokkal kimutatták, hogy a matematikai teljesítmény szempontjából a két legfontosabb agyterület fejlesztése lehetséges társasjátékokkal is. Ez azt jelenti, hogy játszva fejleszthetjük a diákok érvelési, logikai, problémamegoldó, kognitív képességeit, mint például a tudatos memória vagy a figyelem. Korábbi kutatásokat alapul véve tervezzük meg a kísérletünket, mely során vizsgáljuk a résztvevők formális logikájának, geometriai szemléletének, matematikai kompetenciájának alakulását. A játék már ősi idők óta foglalkoztatja az emberiséget, része a mindennapjainknak. Sokat vizsgált, klasszikus játék a sakk. Eleinte a játékokról szóló kutatások szinte csak a sakkot vizsgálták. Széleskörben születtek kutatások és eredmények a sakkjáték pozitív hatásainak feltárására. A kutatás célja, hogy megvizsgáljuk, vannak-e fejlesztő hatásai a kiválasztott társasjátékoknak, és hogy lehet-e eltérést megfigyelni a fejlődésben a tanórai társasjátékozás hatására. Beszámoló. Előadás.
DIRECTED STUDIES 1
Belfedal Chaima Djouhina	Karátson János	Numerical solution of a nonlinear plate equation	The project consists of three parts: 1. Understand the weak form of the nonlinear plate equation (a 4th order PDE) and prove that it has a unique weak solution. 2. Theory for the numerical solution: construction and proof of convergence. It consists of finite element discretization, Newton linearization and conjugate gradient method. 3. Write a Matlab code for a model problem on a square. Report. Presentation.
Labair Meriem Sanaa	Ágoston István	Sylow subgroups and generalizations	Sylow's theorems are among the first theorems one learns in group theory. Their role is essential in the investigation of the structure of finite groups. Related to Sylow's theorems there are: 1) many interesting proofs of different character; 2) various generalizations of the notion; 3) many interesting questions concerning the set of Sylow subgroups of certain groups. In my work I intend to learn more about these topics.
EGYÉNI KUTATÓMUNKA 2
Borbényi Márton	Csikvári Péter	Véletlen párosítások végtelen gráfokban	Az előző félév során véletlen teljes párosításokkal foglalkoztam síkgráfokban. Ezt a témát szeretném most folytatni, de elhagyni a síkgráf feltételt. Adott egy \(G_n\) csúcs-tranzitív páros gráfokból álló gráfsorozat, amik ún. Benjamini-Schramm konvergálnak egy \(G\) gráfhoz. Itt ez azt jelenti, hogy a \(G_n\) gráfok lokálisan egy idő után úgy néznek ki, mint a \(G\) gráf lokálisan. Arra vagyunk kíváncsiak, hogy ennek a konvergenciának mi a kapcsolata a véletlen teljes párosítások mértékével. Beszámoló. Előadás.
Csahók Tímea	Zábrádi Gergely	Alacsony rangú elliptikus görbék	Vegyünk egy \(E\) elliptikus görbét \(\mathbb{Q}\) fölött, és tegyük föl, hogy nincs rajta komplex szorzás. Legyen továbbá \(p\) egy olyan prím, amelyre \(E\)-nek jó közönséges (ordinary) redukciója van mod \(p\). Legyen \(X\) a \(\operatorname{Sel}_{p^\infty}(E/F_\infty)\) Pontryagin-duálisa (azaz \(X=\operatorname{Hom}_Z( Sel_{p^\infty}(E/F_\infty), \mathbb{Q}/\mathbb{Z})\) ). Az a sejtés, hogy semmilyen nemnulla \(x\in X\) elem annullátorában sincs \(p\)-vel nem osztható centrumeleme \(Z_p[[G]]\)-nek. Ezzel a témával fogok foglalkozni, először a már meglévő irodalom megismerésével, majd a nyitott kérdések vizsgálatával. Beszámoló. Előadás.
Csáji Gergely Kál	Király Tamás	A stabil hozzárendelés probléma általánosításai	A stabil párosítás feladatban minden csúcsnak van egy (nem feltétlenül teljes) preferencialistája a többi csúcsról. Olyan párosítást keresünk, ami nem tartalmaz blokkoló párt, azaz olyan élet, ami nincs benne a párosításban, és mindkét végpont jobban járna, ha leváltaná a másikra az aktuális párját. A stabil hozzárendelés problémában egy páros gráfunk van, a csúcsok egyik osztálya a kórházak/egyetemek, melyeknek adott egy kapacitása is, a másik az orvosok/diákok. Itt persze a hozzárendelésnél ügyelni kell a kapacitások megtartására is. A feladat a kórház/egyetem csúcsok megtöbbszörözésével könnyen visszavezethető a stabil párosítás keresésre. Az alapesetben ilyen mindig létezik és a Gale-Shapley algoritmus lineáris időben megoldja a problémát. A feladatnak azonban számos általánosítása ismert, amikor már nem feltétlenül fog létezni stabil hozzárendelés, vagy ha létezik is jóval nehezebb megtalálni. Például már azzal az egyszerű módosítással is jócskán bonyolódik a helyzet, ha a jól megszokott kórház-orvos hozzárendelésnél megengedünk az orvosok közt párokat is. A feladat a probléma különböző általánosításainak és az azokra született eddigi algoritmusoknak tanulmányozása lenne, illetve új algoritmusok keresése/javítás az eddigieken. Beszámoló. Előadás.
Ferenczi Dávid	Backhausz Ágnes	Véletlen gráfok és gráflimeszek	A félév során véletlen gráfok határértékfogalmaival tervezek foglalkozni. Cél a sűrű gráfok konvergenciájának és a Benjamini-Schramm konvergenciának a megismerése és preferential attachment gráfok vizsgálata a határértékeik segítségével. Beszámoló. Előadás.
Forman Balázs Attila	Csikós Balázs	Lie csoportok reprezentációi	Lie csoportok gyökrendszereinek szerepe a reprezentációelméletben, és ezek alkalmazása a fizikában. Beszámoló. Előadás.
Göde Ábel	Tarcsay Zsigmond	Operátoralgebrák izomorfizmusai	A Hilbert-terek önadjungált elemeinek halmaza felett a pozitivitás fogalma egy természetes rendezést indukál. A cél e részben rendezett halmaznak, valamint annak bizonyos kitüntetett részhalmazainak (pozitív kúp, illetve operátor intervallumok) rendezés automorfizmusainak leírása. Beszámoló. Előadás.
Kovács Benedek	Csikvári Péter	Páronként diszjunkt vektorpárok keresése \(F_2^n\)-ben előírt különbségsorozattal	Az őszi félévben beláttam az alábbi állítást, mely Balister, Győri és Schelp 2008-as sejtéséhez kapcsolódik: ha az \(F_2^n\) vektortérben adottak a \(d_1\), \(d_2\), \(d_3\), ..., \(d_M\) nemnulla elemek, ahol \(M<\frac{5}{18}\cdot 2^n\), akkor ki lehet választani a vektortérben csupa különböző \(a_1\), \(a_2\), ..., \(a_M\) és \(b_1\), \(b_2\), ..., \(b_M\) vektorokat úgy, hogy minden \(i\)-re \(a_i-b_i=d_i\) legyen. A korábbi, Zsigri Bálinttal közös kutatásunkkal elért \(\frac{7}{26}\cdot 2^n\)-es eredményt egy rekurzív gondolatmenet használatával sikerült megjavítanom. A tavaszi félévben a kutatásom célja az eredményen való további javítások elérése. Beszámoló. Előadás.
Michaletzky Tamás Vilmos	Tóthmérész Lilla	Chip-firing típusú játékok vizsgálata	A chip-firing játék első megközelítésben egy diszkrét gráfelméleti folyamat. A játék során adott egy gráf, csúcsain egész számok. A játék meta-szabálya: ha valamelyik csúcsnak túl nagy súlya van, "tüzel", és a szomszédainak átad egy-egy egységnyi súlyt. A klasszikus verzióban a fokszámuknál nagyobb súlyú csúcsok tüzelnek, és a kiinduló súlyok nem-negatívak; ám létezik a dollár-játék változat például, ahol lehetnek negatívak is a súlyok, és a cél, hogy mindenki adósságmentes legyen: azaz nem-negatív súlyú. Ekkor mi választhatjuk meg, mely csúcsok tüzeljenek. A félév során először az eredeti verzió klasszikus eredményeit szeretném áttekinteni, később megnézni, mely tételek igazak a változtatott chip-firing játékokban. Beszámoló. Előadás.
Pituk Sára	Kiss György	Minimális kódok	A kódelmélet és a véges geometria számos ponton kapcsolódik egymáshoz. Gyakori, hogy egy praktikus szempontból hasznos kód jellemzőit a geometria nyelvére lefordítva egy véges projektív térbeli ponthalmaz valamilyen szép tulajdonságát kapjuk. Az előző féléves munkám során azzal kezdtem el foglalkozni, hogy a véges geometria módszereit hogyan lehet felhasználni bizonyos követelményeknek eleget tevő kódok konstruálására. Ebben a félévben szeretnék további hasonló módszereket megismerni, elsősorban a minimális kódokra koncentrálva. Egy lineáris kódot akkor nevezünk minimálisnak, ha nincs két lineárisan független eleme úgy, hogy az egyik tartója tartalmazza a másikét. A témakör fő kérdése, hogy legalább mekkora a kód hossza, ha az ábécé mérete és a dimenzió rögzített. Beszámoló. Előadás.
Schefler Barna	Ágoston István	Erősen kváziöröklődő algebrák	A kváziöröklődő algebrákkal az 1980-as évek végén kezdtek el foglalkozni. Az ilyen algebrákat rekurzívan tudjuk definiálni: egy algebra kváziöröklődő, ha létezik örökletes ideálja, mely szerinti faktora szintén kváziöröklődő. Az ebből keletkező örökletes ideállánc hosszából következtetni tudunk az algebra globális dimenziójára is. Később, egy speciális algebraosztályra, mely az előző definíciónál is többet tud, az erősen kváziöröklődő nevet vezették be. Ezekre a globális dimenzió becslés is szigorúbb, mint a fenti esetben. A mi kérdésünk pedig az, hogy vajon mi okozza azt, hogy az utóbbi esetben a becslés szigorúbb. Beszámoló. Előadás.
KORÁBBI FÉLÉVEK / PREVIOUS TERMS
2020 ősz / Fall 2020